4 medio - Matematica - Santillana - Estudiante

ALEJANDRO PEDREROS MATTA

ÁNGELA BAEZA PEÑA

MARCIA VILLENA RAMÍREZ

PABLO JORQUERA ROZBACZYLO

GABRIEL MORENO RIOSECO

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EMÁT

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AÑO

201

0

EDUCACIÓN MEDIA

TEXTO PARA EL ESTUDIANTE

EDICIÓN ESPECIAL PARA EL MINISTERIO DE EDUCACIÓNPROHIBIDA SU COMERCIALIZACIÓN

AÑO 2010

EDICIÓN ESPECIAL PARA ELMINISTERIO DE EDUCACIÓNPROHIBIDA SU COMERCIALIZACIÓN

AÑO 2010

9 789561 512504

ISBN 956-15-1250-5

PORTXTO MATEMATICA IV 07 24/7/09 16:41

PAG 1 9/1/09 11:08 PM Página 1

El texto Matemática, para Cuarto Año de Educación Media, es una obra colectiva, creaday diseñada por el departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, bajo la dirección general de:

MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA

Coordinación Área Científico-Matemática: GABRIEL MORENO RIOSECO

Edición: ÁNGELA BAEZA PEÑA


Ayudante de edición: PABLO JORQUERA ROZBACZYLO

Autores: ALEJANDRO PEDREROS MATTA

ÁNGELA BAEZA PEÑA



GABRIEL MORENO RIOSECO VILLENA RAMÍREZ

Corrección de estilo: ISABEL SPOERER VARELA

Documentación: PAULINA NOVOA VENTURINO

RUBÉN ÁLVAREZ ALMARZA

La realización gráfica ha sido efectuada bajo la dirección de

VERÓNICA ROJAS LUNA

con el siguiente equipo de especialistas:

Coordinación gráfica: CARLOTA GODOY BUSTOS

Diseño y diagramación: XIMENA MONCADA LOMEÑA

ALFREDO GALDAMES CID

Cubierta: XENIA VENEGAS ZEVALLOS

[email protected]

Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del "Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o

parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella

mediante alquiler o préstamo público.

© 2006, by Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones, Dr. Aníbal Ariztía 1444, Providencia, Santiago (Chile)

PRINTED IN CHILE Impreso en Chile por Quebecor World S.A.

ISBN: 956 - 15 - 1250 - 5Inscripción N°159.772

www.santillana.cl

Pag.2 Créditos 6/30/08 4:39 PM Página 2

EEDDUUCCAACCIIÓÓNN MMEEDDIIAA


ALEJANDRO HUMBERTO PEDREROS MATTAPROFESOR DE EDUCACIÓN MEDIA EN MATEMÁTICA, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILEDOCTOR EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN (C),PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE

ÁNGELA ROSSANA BAEZA PEÑAPROFESORA DE EDUCACIÓN MEDIA EN MATEMÁTICA, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILEMAGÍSTER EN EDUCACIÓN MENCIÓN DIFICULTADES DEL APRENDIZAJE,PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE

MARCIA ROMINA VILLENA RAMÍREZPROFESORA DE EDUCACIÓN MEDIA EN MATEMÁTICA, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILEMAGÍSTER EN EDUCACIÓN MENCIÓN DIFICULTADES DEL APRENDIZAJE (C),PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE

PABLO ALFONSO JORQUERA ROZBACZYLOPROFESOR DE EDUCACIÓN MEDIA EN MATEMÁTICA, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILEMAGÍSTER EN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA (C),PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE VALPARAÍSO

GABRIEL IVÁN MORENO RIOSECOPROFESOR DE EDUCACIÓN MEDIA EN MATEMÁTICA, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILEDIPLOMADO EN DISEÑO YPRODUCCIÓN DE MULTIMEDIOS INTERACTIVOS,PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE

PAG.3 6/30/08 4:41 PM Página 3

Para archivar

4 Organización del texto

ORGANIZACIÓN DEL TEXTO

REPASO

En estas dos páginas pretendemos que revises tus aprendizajesanteriores y que te detengas en aquellos que todavía no dominas.Es un buen momento para que te autoevalúes y pidas ayuda a tuprofesor o profesora en lo que estimes que estás más débil.

EJERCICIOS RESUELTOS

En estas dos páginas te mostramos cómo resolver cierto tipo deejercicios, con algunas estrategias muy particulares que te puedenayudar a solucionar problemas similares. Eso sí, en matemática siem-pre hay más de un camino para resolver un problema.

ÍCONOS DE SEÑALIZACIÓN

PÁGINAS DE CONTENIDOS

Las páginas de contenidos están en un lenguaje muy sencillo y directoque se apoyan en una gran cantidad de ejercicios. Algunas seccionesque encontrarás son: “Para archivar”, que generaliza o enfatiza loimportante del contenido, En equipo, Enlace, Historia, Ayuda yalgunos “tips” que complementan los contenidos. Además, se indicacuándo debes realizar una actividad de laboratorio a través del sitiowww.santillana.cl/emedia/mat4 .

DOBLE PÁGINA INICIAL

Presenta una introducción y motivación al tema de la unidad a travésde elementos e imágenes de la vida diaria. Además se presentan losobjetivos que se pretenden lograr. Por otra parte, como uno de nues-tros objetivos es la integración de las tecnologías de la información ycomunicación (TIC) con la matemática, te proponemos que al comien-zo de cada unidad desarrolles el laboratorio que encontrarás en lapágina web: www.santillana.cl/emedia/mat4 .

En este texto encontrarás 6 unidades temáticas, 2 evaluaciones semestrales y un glosario de términosmatemáticos. Cada unidad temática se estructura de manera que puedas identificar lo mejor posible loscontenidos, los ejercicios, los ejercicios resueltos, los desafíos y las evaluaciones que te proponemos.

AyudaDefinición Ir a la Web

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5Organización del texto

DESAFÍOS Y MEDIOS

Tomando en cuenta que una de las alternativas al egresar de laEducación Media es rendir la PSU, incluimos algunas preguntas tipo deesta prueba, y otras que hemos recopilado de evaluaciones interna-cionales para que midas tus destrezas matemáticas frente a jóvenes deotros países. En la sección Medios te presentamos la matemática enconexión con diversos ámbitos de la vida diaria: medios de comunicación,Internet, el arte, etc.

EVALUACIÓN SEMESTRAL

Luego de terminar las primeras 3 unidades del texto, te proponemosuna evaluación semestral que incluya estos contenidos. Al final de las3 unidades siguientes encontrarás la segunda evaluación semestral.

EJERCICIOS DE REFUERZO

Según tu evaluación o lo que indique tu profesor o profesora, podrásreforzar aquellos contenidos que no dominas bien o que quieras prac-ticar aún más.

EVALUACIÓN

En estas dos páginas podrás autoevaluarte con respecto a los conte-nidos matemáticos aprendidos en la unidad.

SÍNTESIS

Este es un espacio para que construyas tu mapa conceptual a partir dealgunos conceptos clave.Además, encontrarás el resumen de los conceptos y definiciones tra-tados en la unidad.

En equipo Enlaces HistoriaTips

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6 Índice

ÍNDICE

3 Función Potencia y Logarítmica 68

Repaso 70

Funciones 72

- Función inversa 73

- Funciones periódicas 74

Gráficos con Javamath 75

Función potencia 76

- Análisis de la función potencia 77

- Traslaciones verticales y horizontales 79

Concepto de logaritmo 80

- Base de un logaritmo 81

- Propiedades de los logaritmos 82

Función logarítmica 84

- Distintas gráficas de la función logarítmica 86

- Profundizando en los logaritmos 88

- Logaritmo natural o neperiano 89

Ecuaciones logarítmicas con una incógnita 90

Aplicaciones de los logaritmos 92

Ejercicios resueltos 94

Desafíos 96

Medios: Modelación matemática 97

Síntesis 98

Evaluación 100

Ejercicios de refuerzo 102

Unidad

2 Estadística II 34

Repaso 36

- Media aritmética 38

Medidas de tendencia central 38

Medidas de dispersión 41

- Desviación media 42

- Desviación estándar o típica 43

- Desviaciones para datos agrupados 43

- Correlación 45

Medidas de localización:cuartiles, percentiles y deciles 46

Diagrama de cajas 49

Muestras al azar 50

- Muestras representativas 50

- Nivel de confianza 51

- Margen de error 51

- Tamaño de la muestra 52

Aplicaciones de la estadística 53

Distribución normal 56


Desafíos 60

Medios: ¿Cuántas personas tendránun accidente mañana? 61

Síntesis 62

Evaluación 64


Unidad

4 La función exponencial 108

Repaso 110

Función exponencial 112

Aproximándonos al número e 116

Función exponencial natural 117

Función exponencial y función logarítmica 118

- Caso particular 119

Ecuaciones exponenciales 120

Crecimiento exponencial 122

Decrecimiento exponencial 124

- Aplicaciones de la función exponencial 126

Unidad

Evaluación semestral 1 104

1 Estadística I 8

Repaso 10

Historia de la estadística 12

- Conceptos básicos 13

Ordenando la información 14

- Tabla de frecuencias de datos agrupados 15

- Diagrama de tallo y hoja 16

Análisis de gráficos 17

Uso del computador 21


Desafíos 26

Medios: Indicadores mensuales: INE 27

Síntesis 28

Evaluación 30


Unidad

PAG 6-7 1/12/06 16:33 Page 6

7Índice

5 Vectores 138

Repaso 140

Rectas en el espacio 142

Planos en el espacio 144

- Posiciones relativas entre 2 planos 144

- Planos y sistemas de ecuaciones 145

- Intersección de planos 146

Coordenadas cartesianas 148

- Vectores 150

- Módulo de un vector 150

- Operatoria con vectores 152

- Regla del paralelogramo 152

- Producto de un número real por un vector 154

- Propiedades del producto 155

- Producto escalar 156

- Producto cruz 157

Vectores en el plano cartesiano 158

- Ecuación vectorial de la recta 160

Ecuación vectorial de la recta en el espacio 162

Ecuación vectorial de un plano en el espacio 164

Gráfico de rectas y planos 166

Intersección de rectas y planos en el espacio 168

Transformaciones geométricas 170

- Traslación 170

- Composición de traslaciones 171

- Homotecia 172

- Composición de homotecias 173


Desafíos 176

Medios: Ajedrez: un juego de razonamientoy concentración 177

Síntesis 178

Evaluación 180



Desafíos 130

Medios: Ley de enfriamiento de Newton 131

Síntesis 132

Evaluación 134


Unidad

6 Geometría: áreas y volúmenes 184

Repaso 186

Concepto de área 188

Concepto de volumen 189

Principio de Cavalieri 190

Teorema de Euler 191

Área y volumen de prismas 192

- Volumen de un prisma 193

Área y volumen de pirámides 194

Área y volumen de cilindros 196

Área y volumen de conos 198

Área y volumen de la esfera 200

- Volumen de una esfera 200

- Área de una esfera 201

Secciones de una esfera 202

Proyecciones en el plano 204

Cuerpos generados mediante rotación 206

Problemas de aplicación I 208

Problemas de aplicación II 210


Desafíos 214

Medios: Las latas de bebida 215

Síntesis 216

Evaluación 218


Unidad

Evaluación semestral 2 222

Solucionario 226

Glosario 251

Bibliografía 255

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UN

IDA

D

1

Estadística I

Hoy en día no seentendería una campaña

publicitaria sin los estudiosprevios basados en la información

que aporta la estadística. En general,la mayoría de las empresas tienen su

departamento de estudios estadísticosque se encarga de recopilar, organi-

zar y analizar los datos refe-rentes a un determinado

producto.

Los avances tecnológicosde hoy, como la red de Internet,

y los que vendrán, causarán efectos sobrela producción, ya que esta se orientará

de acuerdo a la información que se obtenga sobrelas necesidades, gustos e intereses de la población.De ahí, la importancia de conocer mecanismos para

analizar la información que se tiene.

8 Estadística I

U1 Pág. 8 - 23 29/11/06 17:13 Page 8

En esta unidad aprenderás a...

Conocer algunos hitos importantes en el desa-rrollo de la estadística.

Trabajar con algunos conceptos básicos de laestadística: muestra, población y tipos de variables.

Ordenar y organizar la información.

Analizar tablas y gráficos.

Usar el computador para analizar y presentar lainformación.

ExploraRealiza el laboratorio 1

correspondiente a la unidad 1que aparece en

www.santillana.cl/emedia/mat4

9Estadística I

U1 Pág. 8 - 23 29/11/06 17:13 Page 9

Unidad 1 ESTADÍSTICA I

10 Estadística I

REPASO

¿Cuánto sabes? 1. La siguiente es una tabla que muestra el número de alumnos(as) que hay en4º medio en un colegio, agrupados por curso y por sexo.

Niñas Niños

4º A 20 25

4º B 22 23

Escribe la razón entre:

a. el número de niñas y el número de niños del 4º A.b. el número de mujeres y el número de hombres.c. los estudiantes del 4º A y del 4º B.

2. Completa la tabla.

Porcentaje Fracción Fracción irreductible Expresión decimal

75 0,75

0,3–

90

3. Indica qué números enteros están contenidos en los siguientes intervalos.

a. �2, 9� b. �–3 , 3� c. �0 , 1� d. �–1 , 10�

4. Encuentra un intervalo de números reales que cumpla con lo pedido.

a. Un intervalo abierto que contenga a , 0 y – .

b. Un intervalo que contenga todos los números mayores que 5.

c. Un intervalo que no contenga a los números positivos.

d. Un intervalo semiabierto que no contenga ni al 8,3 ni al .7

10

13

12

150

62100

34

75100

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11Estadística I

¿Qué debesrecordar?

Construye un gráfico de barras que tengacomo variables la edad y la cantidad depersonas que tienen esa edad.

5. En la siguiente tabla se muestran las edades de 6 niños pertenecientes a untaller de teatro.

Nombre Edad (años)

Pablo 8

Daniela 6

Enrique 10

Carolina 6

Angélica 8

Jaime 6

6. En la siguiente tabla se muestra la población por grupos de edad del censode 1992. Completa los recuadros de la tabla con la frecuencia acumulada.

Grupos de edad Habitantes Frecuencia acumulada

0 – 14 3.929.468

15 – 24 2.425.140

25 – 39 3.286.011

40 – 49 1.415.589

50 – 64 1.415.149

65 y más 877.044

1 El a% de un número se puede representar con la fracción .

Ejemplo: 34% se representa por . Su fracción irreductible es y

la expresión decimal equivalente es 0,34.

2 �a, b� es la representación del intervalo cerrado a, b; por tanto, contiene aa y a b y a todos los números comprendidos entre ellos.

3 �a, b� es la representación del intervalo abierto a, b; por tanto, solocontiene a aquellos números que están comprendidos entre a y b.

4 �a, b� o �a, b� son representaciones de un intervalo semiabierto quecontiene a a o b, según sea el caso, también contiene a los valorescomprendidos entre a y b.

5 Frecuencia: es la cantidad de veces que ocurre un suceso.

6 Frecuencia acumulada: es la suma de las frecuencias observadas hasta uncierto punto.

1750

34100

a100

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12 Estadística I

CONTENIDOS

Historia de la estadística

Los orígenes de la estadística, aunque no se sabe con exactitud cuándo secomenzó a utilizar, pueden estar ligados al antiguo Egipto como a los censoschinos que se realizaron hace unos 4.000 años, aproximadamente.

Sin duda, fueron los romanos, maestros de la organización política, quienesmejor supieron ocupar la estadística. Cada cinco años realizaban un censo de lapoblación, cuyos datos de nacimientos, defunciones y matrimonios eran esen-ciales para estudiar los avances del imperio; sin olvidar los recuentos de gana-do y las riquezas que dejaban las tierras.

Desde esa época, diversos Estados realizaron estudios sobre algunas caracterís-ticas de sus poblaciones, sus riquezas, posesiones, etc.

En 1662, John Graunt (1620 – 1674), un mercader inglés, publicó un libro sobrelos nacimientos y defunciones ocurridos en Londres; el libro contenía conclu-siones acerca de ciertos aspectos relacionados con estos acontecimientos. Estaobra es considerada como el punto de partida de la estadística moderna.

La palabra estadística comenzó a usarse en el siglo XVIII, en Alemania, enrelación a estudios donde los grandes números, que representaban datos, erande importancia para el Estado. Sin embargo, la estadística moderna se desarro-lló en el siglo XX a partir de los estudios de Karl Pearson.

Hoy, la estadística tiene importancia no solo porque presenta información, sinoque además permite inferir y predecir lo que va a ocurrir, y por lo tanto, es unaherramienta fundamental a la hora de tomar decisiones de importancia.

EJERCICIOS

1. Averigua en qué parte del libro “Números”, del

Antiguo Testamento, se hace referencia a censos

o recuentos estadísticos. ¿Qué semejanzas hay

con los censos actuales?

2. ¿Qué importante acontecimiento relacionado

con la estadística marcó el momento del

nacimiento de Cristo?

3. En tu vida diaria, ¿cuándo usas la estadística

para informarte? ¿Cuándo lo haces para tomar

decisiones?

4. ¿Por qué crees tú que la estadística demoró

tanto tiempo en desarrollarse?

5. Señala 4 áreas distintas en las cuales se utilice la

estadística como herramienta de investigación.

HISTORIA

Karl Pearson

(1857 – 1936)

Matemático inglés, trabajó en la

University College de Londres.

Es considerado el padre de la

Estadística Moderna.

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13Estadística I

EJERCICIOS

1. Se desea saber si los dueños de automóviles

catalíticos están dispuestos a pagar la conversión

de sus motores a gas natural. Para ello se decide

realizar una encuesta.

a. Determina cuál de las siguientes es la mejor

muestra:

i. Escoger al azar a adultos que caminan por el

centro de las principales ciudades del país.

ii. Escoger al azar a conductores de automóviles

en las intersecciones más concurridas.

iii. Escoger al azar del registro de vehículos

motorizados a dueños de automóviles

catalíticos y enviarles un encuestador.

b. Explica la razón de tu elección, señala las

ventajas y desventajas de cada alternativa.

c. ¿Cuáles son las variables utilizadas en la

encuesta? ¿A qué tipo de variables correspon-

den? ¿Por qué?

Conceptos básicos

El Instituto Nacional de Estadísticas (INE) es el organismo encargado de reco-ger, de forma fidedigna y oportuna, información relevante para la adminis-tración del Estado y para las actividades nacionales, con el objetivo de mejorarla calidad de vida de las personas.

En muchas ocasiones, para llevar a cabo una investigación se hacen encuestas,las cuales son dirigidas a una muestra representativa de la población. Paracomprender mejor este tipo de estudio es importante que conozcas los siguien-tes términos básicos:

ENLACES

En la página web www.ine.cl

podrás encontrar más información

relacionada con estudios estadísti-

cos.

Población: es un conjunto de personas, eventos o cosas de las cualesse desea hacer un estudio, y tienen una característica en común.

Muestra: es un subconjunto cualquiera de la población; es impor-tante escoger la muestra en forma aleatoria (al azar), pues así selogra que sea representativa y se puedan obtener conclusiones másafines acerca de las características de la población.

Para estudiar alguna característica específica de la población sepueden definir los siguientes tipos de variables:

Variables cualitativas: relacionadas con características no numéricasde un individuo (por ejemplo: atributos de una persona).

Variables cuantitativas: relacionadas con características numéricas delindividuo. Las variables cuantitativas se dividen en discretas (aquellasque pueden tomar solo algunos valores en un intervalo y no valoresintermedios) o continuas (aquellas que pueden tomar cualquier valoren un intervalo real).

Portada del estudio “Estadísticas

Sociales de los Pueblos Indígenas en

Chile” publicado por el Instituto

Nacional de Estadísticas (INE) acerca

de la información recopilada en el

censo del año 2002.

U1 Pág. 8 - 23 29/11/06 17:13 Page 13

4,2 5 20,8524

3,2 4 16,7424


14 Estadística I

CONTENIDOS

Ordenando la información

Al ordenar datos muy numerosos, es usual agruparlos en clases o categorías.Al determinar cuántos pertenecen a cada clase, establecemos la frecuencia.Construimos así una tabla de datos llamada tabla de frecuencias.

Ejemplo

Los siguientes datos corresponden a las notas obtenidas por un curso de24 alumnos en un trabajo de matemática:

Ordenemos estos datos en la siguiente tabla:

Nota Frecuencia absoluta (fi) Frecuencia relativa (hi) Frecuencia relativa porcentual (%)

2,8 1 4,2

3,9 3 12,5

5,0 4 16,7

6,0 4 16,7

¿Qué conclusiones puedes obtener de la tabla anterior?Solo un 16,7% del curso obtuvo nota seis. El 33,4% del curso obtuvo nota defi-ciente, etc.

424

424

324

124

TIPS

A veces, por efecto de las aproxi-

maciones, es posible que la suma

de las frecuencias relativas porcen-

tuales no sea exactamente 100%.

EJERCICIOS

PARA ARCHIVAR

La frecuencia absoluta de una clase es el número de datos que forma dichaclase, mientras que la frecuencia relativa corresponde a la razón entre lafrecuencia absoluta y el total de datos, la cual se puede expresar medianteel uso de porcentajes.

3,2 4,2 5,6 6,0 2,8 3,9 4,2 4,2 5,0 5,0 3,9 3,93,2 3,2 4,2 5,6 6,0 6,0 3,2 6,0 4,2 5,0 5,6 5,0

5,6 3 12,5324

1. Los siguientes datos corresponden a los lugares

favoritos de vacaciones de los empleados de una

empresa.

Mar - Montaña - Campo - Mar - Mar - Montaña -

Campo - Mar - Mar - Montaña - Campo - Mar - Campo.

a. Completa la siguiente tabla y luego obtén al

menos dos conclusiones.

F. Absoluta F. Relativa %

Campo

Mar

Montaña

Total

LugarFrecuencia

IR A LA WEB

Desarrolla el laboratorio 2.


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15Estadística I

Tabla de frecuencias de datos agrupados

En ocasiones, el agrupar los datos en intervalos, nos puede ayudar para realizarun mejor análisis de ellos.

Ejemplo

Consideremos los siguientes datos, expresados en metros, correspondientes alas estaturas de 80 estudiantes de Cuarto año de Educación Media.

1,67 1,72 1,81 1,72 1,74 1,83 1,84 1,88 1,92 1,751,84 1,86 1,73 1,84 1,87 1,83 1,81 1,77 1,73 1,751,78 1,77 1,67 1,83 1,83 1,72 1,71 1,85 1,84 1,931,82 1,69 1,70 1,81 1,66 1,76 1,75 1,80 1,79 1,841,86 1,80 1,77 1,80 1,76 1,88 1,75 1,79 1,87 1,791,77 1,67 1,74 1,75 1,78 1,77 1,74 1,73 1,83 1,761,83 1,77 1,75 1,77 1,77 1,84 1,83 1,79 1,82 1,761,76 1,76 1,79 1,88 1,66 1,80 1,72 1,75 1,79 1,77

Estatura mayor: 1,93 m; estatura menor: 1,66 m; rango: 0,27 m = 27 cm. Formaremos 6 intervalos. Para calcular el tamaño de cada uno dividimos 27 : 6 = 4,5 �� 5.

Nos queda la siguiente tabla,

Intervalo Marca de clase Frecuencia absoluta

1,65 – 1,69 1,67 6

1,70 – 1,74 1,72 12

1,75 – 1,79 1,77 30

1,80 – 1,84 1,82 22

1,85 – 1,89 1,87 8

1,90 – 1,94 1,92 2

Total: 80


EJERCICIOS

1. Utilizando los datos anteriores, haz una tabla de

frecuencias para datos no agrupados. Luego

responde:

a. ¿Cuántos alumnos miden entre 1,75 m y

1,89 m?

b. ¿Qué ventajas y desventajas tiene la

utilización de cada tipo de tabla?

2. Considera los siguientes datos:

1, 2, 5, 4, 7, 8, 9, 5, 6, 4, 7, 4, 1, 8, 5, 2, 3,

construye una tabla de datos agrupados y

determina la marca de clase de cada intervalo.

AYUDA

El rango, está dado por la diferen-

cia entre el máximo y el mínimo

valor de una variable.

AYUDA

La marca de clase es el represen-

tante de un intervalo, y corres-

ponde al promedio entre los ex-

tremos de este.

PARA ARCHIVAR

Para construir una tabla de frecuencias para datos agrupados, determinamosel tamaño de cada intervalo, dividiendo el valor del rango por la cantidad deintervalos que se desea obtener. Se recomienda tomar como longitud de losintervalos un valor entero que sea mayor o igual al cociente obtenido.

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16 Estadística I

CONTENIDOS

Diagrama de tallo y hoja

Otra forma de organizar la información, es la utilización del diagrama de talloy hoja, este nos sirve para analizar la variabilidad de los datos, o bien paracomparar dos grupos diferentes.

Ejemplo:Los siguientes datos corresponden a la esperanza de vida de hombres y mujerescorrespondientes a diversos países.

Si observas los datos anteriores podrás apreciar que son similares, sin embargo,el siguiente diagrama de hoja nos permite apreciar algunas diferencias.

Esperanza de vida del hombre Esperanza de vida de la mujer

7 3 2 4 6 73 6 5 0 2

2 6 8 3 2 2 8 6 6 6 7 94 6 1 7 5 1 8 3 7 5 2

0 8 2

El diagrama anterior nos permite visualizar que la esperanza de vida de la mujeres mayor que la del hombre. Además podemos obtener otras conclusiones,como por ejemplo, que el intervalo �62, 68�, presenta la mayor frecuenciarespecto a la esperanza de vida del hombre.

ENLACES

Para mayor información acerca

de datos estadísticos de diversos

países ingresa a la página web:

www.amstat.org/publications/jse/

AYUDA

En este caso el tallo representa la

cifra de las decenas y las hojas, las

unidades.

Mujer75 66 66 6746 47 50 6971 78 73 5277 82 75 72

Hombre68 62 62 5642 43 47 6368 62 80 5374 76 71 66

EJERCICIOS

1. Los siguientes datos corresponden a la tasa bru-

ta de natalidad y mortalidad infantil de algunos

países de Latinoamérica.

Natalidad (niños nacidos vivos en 1 año, por

cada 1.000 habitantes):

21 47 29 27 23 3328 29 35 33 18 28

Mortalidad (número de muertes al año por cada

1.000 habitantes, niños menores de 1 año):

26 51 63 40 17 6356 43 42 109 22 23

a. Construye un diagrama de tallo y hoja para

los datos anteriores.

b. Se afirma que la tasa de mortalidad infantil

correspondiente a países africanos es de

aproximadamente 96. ¿A qué crees que se

debe la diferencia entre países latinoameri-

canos y africanos?

c. ¿A qué problemas puede conllevar la dife-

rencia entre tasas de natalidad y mortalidad?

d. Averigua las tasas de natalidad y mortalidad

correspondientes a otros grupos de países,

por ejemplo, países de Oriente o Asia, y

compáralos con las tasas de Latinoamérica.

Comparte tus resultados con tus compañeros.

TIPS

La variabilidad de los datos se rela-

ciona con cuán dispersos están

estos.

U1 Pág. 8 - 23 29/11/06 17:13 Page 16


17Estadística I

ENLACES

Para obtener más información

visita el sitio www.conace.cl.

Recuerda que el contenido de la

página puede variar.

Análisis de gráficos

En mayo del 2005, el Consejo Nacional para el Control de Estupefacientes,(CONACE), publicó el Sexto Estudio Nacional de Drogas en Población Generalde Chile (realizado en el año 2004), relacionado con las tendencias en el uso dealgunas drogas en el país.

En los siguientes gráficos se muestran las tendencias, de los adolescentes (entre12 y 18 años) en el uso de ciertas drogas (lícitas e ilícitas), según el ingreso total,al mes, de la familia.

Ejemplo 1: Histograma

Fuente: Sexto Estudio Nacional de Drogas en Población General de Chile (2004),

www.conace.cl, julio 2005.

La más alta frecuencia de consumo de marihuana se registra entre las personascuyas familias tienen ingresos promedios mensuales sobre 1 millón de pesos,con una tasa cercana al 20%. Esta tasa porcentual de marihuana es tres vecesmás alta que en familias con los más bajos ingresos, con tasas de 6,7%.El consumo de cocaína entre adolescentes está latente, con tasas que bordeanel 1%, en familias de todos los niveles de ingresos, con la salvedad de las fami-lias con los más altos recursos.

Ejemplo 2: Gráfico circular

TIPS

El polígono de frecuencias se gra-

fica a partir de un histograma. Se

construye uniendo los puntos me-

dios de cada barra (marca de clase).

Ejemplo:

fi

5

12

30

37

34

26

12

Edad

16 – 20

21 – 25

26 – 30

31 – 35

36 – 40

41 – 45

46 – 50

Marca de clase

18

23

28

33

38

43

48

40

30

20

10

018 23 28 33 38 43 48 Edad

fi

Consumo de cigarrillos De aquellos adolescentes que consumencigarrillos, el 36% provienen de familias conlos más altos ingresos mensuales. Dicha tasaes 16 puntos porcentuales más alta que enfamilias con los más bajos ingresos, con tasasde 20%.

Fuente: Sexto Estudio Nacional de Drogas en Población

General de Chile (2004), www.conace.cl, julio 2005.

Menos de $ 100.000 – $ 200.000

$ 200.001 – $ 500.000

$ 500.001 – $ 1.000.000

$ 1.000.001 – más $ 2.000.000

20%

Menos de $ 100.000 –$ 200.000

6,7

0,9 1,1

5,4

1,00,3

5,5

0,60,0

Marihuana

Pasta Base

Cocaína

25

20

15

10

5

0$ 200.001 – $ 500.000 $ 500.001 – $ 1.000.000 $ 1.000.001 – Más de

$ 2.000.000

20%24%

36%

1,1

19,5

0,0

IR A LA WEB



U1 Pág. 8 - 23 6/30/08 10:40 PM Página 17


18 Estadística I

CONTENIDOS

Ejemplo 3: Pictograma

El consumo de cigarrillos en adolescen-tes de familias con el ingreso más alto,tiene una tasa que supera casi por 21puntos porcentuales al consumo enfamilias con el ingreso más bajo.

Ejemplo 4: Gráfico de barras

La encuesta Consumo de Cultura, realizada por el Instituto Nacional de Estadís-ticas (INE) entre varias temáticas, arrojó la siguiente información relacionadacon el tipo de música que escuchan hombres y mujeres.

Fuente: Encuesta Consumo de Cultura, www.ine.cl , julio 2005.

Ejemplo 5: Gráfico de dispersiónEn la gráfica se observan datos obteni-dos del Censo del año 2002, relacionadocon la cantidad de población que hay encada región del país.Por millones de habitantes, una de lasregiones está por sobre las demás, conaproximadamente seis millones depersonas. Le siguen en tamaño, con másde un millón de habitantes, dosregiones más. En las restantes regiones,la cantidad de población es bastantehomogénea.

Fuente: Censo 2002, www.ine.cl , julio 2005.

TIPS

Observa otro tipo de gráfico que

te permite un buen análisis de

información.

Fuente: Estudio de la Mujer (2004), www.sernam.cl, julio 2005.

fi

138.478

156.305

37.436

13.529

5.205

120.129

12.308

26.074

Tipo de música

Rock latino

Hip-hop

Electrónica (tecno)

Funk

Punk

Cumbia

Sound

Bossa Nova

fi

138.478

156.305

37.436

13.529

5.205

120.129

12.308

26.074

Tipo de música

Rock latino

Hip-hop

Electrónica (tecno)

Funk

Punk

Cumbia

Sound

Bossa Nova

180.000

160.000

140.000

120.000

100.000

80.000

60.000

40.000

20.000

0

7.000

6.000

5.000

4.000

3.000

2.000

1.000

0

mile

s de

per

sona

s

regiones

Rock la

tino

Hip-hop

Electrónica

(tecn

o)Fu

nkPunk

Cumbia

Sound

Bossa N

ova

Fuente: Sexto Estudio Nacional de Drogas enPoblación General de Chile (2004), www.conace.cl,julio 2005.

Cantidad de población por región(Chile. Censo 2002)

Consumo de alcohol y cigarrillos

alcohol

Menos de $ 100.000–$ 200.000

29,2

25,1

32,4

25,4

38,7

30,0

41,2 44

,1

$ 200.001 – $ 500.000 $ 500.001 – $ 1.000.000 $ 1.000.001 – Más de$ 2.000.000

cigarrillos

cantidad de población

7

6

5

4

3

2

1

0

Año

s de

est

udio

Grupos de edad

Mujer

Hombre

15 – 19 20 – 34 35 – 49 50 y más

50

45

40

35

30

25

20

15

10

5

0

I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII RM

U1 Pág. 8 - 23 6/30/08 10:40 PM Página 18


19Estadística I

PARA ARCHIVAR

Utilidad de diversos tipos de gráficos:

Gráfico de barras: facilita la comparación entre las frecuencias de las variables.

Pictograma: mediante figuras o diagramas representa los valores de una variable estadística.

Gráfico circular: es útil cuando se necesita representar porcentajes.

Histograma: sirve para expresar información sobre datos que están agrupados.

Gráfico de dispersión: sirve para estudiar la homogeneidad o heterogeneidad de los datos.

EJERCICIOS

1. El gráfico muestra la cantidad de pacientes

semanales que asistieron al hospital Sótero del

Río, por motivos de enfermedades respiratorias.

a. ¿Qué conclusiones puedes obtener a partir

del gráfico?

b. ¿En qué período las atenciones médicas

fueron similares, en cantidad de pacientes?

c. ¿En qué período se produjo mayor demanda

en el hospital?

2. El siguiente gráfico nos presenta la información

obtenida de 300 encuestados por la Fundación

Futuro (2004), acerca de la pregunta: ¿Qué nota

colocas a lo bueno y malo en el deporte chileno?

a. ¿Cuál fue la categoría mejor evaluada? ¿Tú

también la hubieras evaluado con esa nota?

¿Por qué?

500

400

300

200

100

0

ATENCIONES SEMANALES A ADULTOS POR CAUSASRESPIRATORIAS EN SERVICIO DE URGENCIA

HOSPITAL SÓTERO DEL RÍO, ABRIL A AGOSTO 2003–2005.

Fuente: DEIS. Departamento de Estadísticas eInformación de Salud, Ministerio de Salud.

Número de atenciones

Semanas Estadísticas

14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34

Fuente: Encuesta Lo bueno, lo malo y lo feo,www.fundacionfuturo.cl , julio 2005.

1 2 3 4 5 6 7

6,9

6,7

6,5

5,4

5,4

4,6

2,5

3,9

LO BUENO

LO MALO

Massú y Gonzálezcampeones olímpicos

Carlo de Gavardocampeón de Rally

mundial

Chile a la seriemundial deCopa Davis

Salida de Orozcode U. de Chile

Cobreloa campeóndel torneo de

clausura

U. de Chilecampeón del torneo

de apertura

Quiebra deColo-Colo

Retiro del Chino Ríosdel tenis

200520032004

Nota promedio

U1 Pág. 8 - 23 6/30/08 10:40 PM Página 19

EJERCICIOS


20 Estadística I

CONTENIDOS

b. De lo bueno, ¿qué área del deporte tiene el

mejor promedio, el tenis o el fútbol?

c. Con la información obtenida en b, construye

un gráfico circular que muestre la diferencia

obtenida? ¿A qué atribuyes esta diferencia?

3. Dada la siguiente tabla, que muestra los resulta-

dos de la prueba SIMCE (Sistema de Medición de

la Calidad de la Educación) año 2002 de 4º año

Básico, responde:

Región Matemática Lenguaje

I Tarapacá 240 245

II Antofagasta 247 250

III Atacama 244 248

IV Coquimbo 242 249

V Valparaíso 249 254

VI L. Bdo. O´Higgins 246 252

VII Maule 243 248

VIII Bío- Bío 243 247

IX Araucanía 235 243

X Los Lagos 242 249

XI Aisén 254 261

XII Magallanes 254 260

RM Región Metropolitana 254 257

Total 248 252

a. ¿Cuáles son las regiones que tienen menos de

246 puntos en Matemática?

b. ¿Qué región obtuvo el puntaje más bajo en

cada área? ¿Coinciden estos puntajes con la

misma región?

c. ¿Qué región obtuvo el mejor promedio en

Lenguaje? Esta región, ¿también obtuvo el

puntaje más alto en Matemática?

d. ¿Qué tipo de variables son las consideradas

en esta tabla?

e. ¿Qué tipo de gráfico representa mejor la

diferencia de puntajes totales en cada área?

f. ¿Qué tipo de gráfico construirías para repre-

sentar los puntajes de las mejores 5 regiones?

4. Uno de los problemas más complejos que debe

abordar nuestra sociedad es la pobreza; un país

que quiere surgir debe eliminar este problema.

En la tabla se ven las comunas más pobres del

país; en la mayoría de ellas vive población

mayoritariamente mapuche que no ha podido

salir del círculo de la pobreza.

a. ¿Qué gráfico representaría mejor la informa-

ción dada en la tabla? ¿Por qué?

b. ¿Qué tipo de variable utilizaste para el gráfi-

co anterior?

c. De la tabla, determina los dos pueblos que

presenten mayor porcentaje de pobreza y dos

que tengan el menor porcentaje. Elige algún

tipo de gráfico que te permita estudiar la

comparación, ¿qué puedes concluir?

d. ¿Qué factores culturales crees tú que afectan

al pueblo mapuche y le impiden salir de la

pobreza?

e. ¿Qué factores de nuestra sociedad impiden a

los mapuches vivir como ellos desean?

f. ¿Qué soluciones ves tú al problema?

g. Averigua en cuáles de las comunas del cuadro

vive mayoritariamente gente mapuche.

Fuente: Prueba SIMCE, 4º Año Educación Básica (2002),www.mineduc.cl, julio 2005.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Más pobres %

59,5

53,3

50,8

50,6

49,9

48,5

47,8

46,9

46,4

45,4

44,5

44,4

44,1

44,0

43,8

Comunas

Mulchén

Angol

Carahue

Gorbea

Constitución

Coihueco

Curanilahue

Padre Las Casas

Nueva Imperial

Traiguén

Coronel

Lebu

Collipulli

Nacimiento

Cañete

Fuente: CASEN 1998, MIDEPLAN

U1 Pág. 8 - 23 29/11/06 17:13 Page 20


21Estadística I

Uso del computador

Las planillas de cálculo permiten ahorrar gran cantidad de tiempo al hacer tra-bajos estadísticos. A continuación se presenta un ejemplo de cómo utilizar elprograma Excel para graficar un conjunto de datos. Lo primero que se debe hacer es construir una tabla de valores, luego selec-cionarla y por último pulsar “Asistente de gráficos”.

Ejemplo

La siguiente tabla muestra las hectáreas afectadas en 1999 por incendios fores-tales, para graficarla realizamos lo siguiente:

1. Seleccionamos presionando con el mouse, desde la columna B2 hasta la

columna D14.

2. En la barra de menú, selecciona “Insertar”, luego selecciona “Gráfico” en el

submenú.

3. Elegimos “Tipo de gráfico”, en este caso seleccionamos un gráfico de barras.

4. Finalizamos nuestro gráfico en “Terminar”.

TIPS

Puedes personalizar tu gráfico,

haciendo clic sobre él, de esta ma-

nera puedes cambiar los colores.

Además en “Título”, puedes poner

nombre a los ejes y al gráfico.

EJERCICIOS

1. Utilizando los datos anteriores realiza lo

siguiente:

a. Ingresa la tabla anterior en una planilla Excel.

b. Realiza un gráfico de dispersión y otro circu-

lar. ¿Qué ventaja tiene la utilización de cada

tipo de gráfico?

c. ¿En qué regiones se observa mayor cantidad

de hectáreas afectadas por incendios fores-

tales? ¿A qué crees que se debe?

d. Está comprobado que la mayor cantidad de

incendios forestales es causada directa o indi-

rectamente por el ser humano. ¿Qué medidas

tomarías tú para proteger nuestros bosques?

IR A LA WEB



U1 Pág. 8 - 23 29/11/06 17:13 Page 21


22 Estadística I

CONTENIDOS

Uso Invierno Verano

Duchas 250 350

Aseo en lavatorios 50 60

Descarga WC 300 300

Comida y lavado de vajilla 80 90

Lavado general 150 185

Riego 5 165

Total diario 835 1.150

Total mensual 25.050 34.500

Fuente: EMOS.

Colesterol total (mg/dl) Frecuencia

170 – 179 4

180 – 189 7

190 – 199 12

200 – 209 16

210 – 219 35

220 – 229 37

230 – 239 11

240 – 249 8

EJERCICIOS

2. Las siguientes son las respuestas de un grupo de

jóvenes a la pregunta: ¿Cuál es tu deporte

favorito?

Fútbol - Tenis - Fútbol - Basquetbol - Fútbol -

Automovilismo -Tenis - Fútbol - Natación -

Fútbol - Tenis - Automovilismo - Gimnasia -

Fútbol - Hockey - Fútbol - Tenis - Atletismo -

Fútbol -Gimnasia - Tenis - Atletismo - Gimnasia

a. Construye en Excel un gráfico circular e inter-

preta los resultados.

b. ¿Qué deporte presenta mayor frecuencia?

3. Según la Empresa Metropolitana de Obras

Sanitarias (EMOS), el consumo promedio de

agua, en metros cúbicos, en una familia de

5 integrantes es:

a. Construye en Excel, un gráfico que permita

comparar el consumo de una familia de

5 integrantes en invierno y verano.

b. Construye un gráfico circular, para el

consumo de invierno que muestre los

porcentajes de agua destinados a cada fin.

c. Repite el ejercicio anterior para mostrar el

consumo de agua en verano.

d. ¿A qué crees que se deba el incremento del

consumo de agua en verano?

e. Divide cada uno de los valores dados en la

tabla por 5, luego construye un gráfico que

muestre estos valores. ¿Qué resultados nos

entrega este gráfico?

f. Discute con tus compañeros acerca de la

escasez del agua y su mal uso.

4. La siguiente tabla de frecuencias muestra la

cantidad de colesterol total de un grupo de

pacientes cuya edad es de 50 a 60 años.

a. Calcula las frecuencias relativas para cada

intervalo.

b. Se considera un nivel normal de colesterol

entre 200 y 239 (mg/dl). ¿Cuántos de los

pacientes se encuentran dentro de los niveles

normales?

c. Construye en Excel un histograma para

comparar la frecuencia de cada intervalo.

¿Qué puedes concluir?

U1 Pág. 8 - 23 6/30/08 10:40 PM Página 22


23Estadística I

EJERCICIOS

5. En septiembre del año 2003, la Fundación Futuro

realizó un estudio en 34 comunas de Santiago,

que arrojó los siguientes resultados, respecto a la

siguiente pregunta:

¿En qué lugar se siente más seguro?

a. Construye un gráfico circular para cada uno

de los lugares. ¿Qué puedes concluir?

b. Construye un histograma que muestre las

diferencias entre los cuatro lugares. ¿A qué

crees que se deba esta diferencia?

c. Si la muestra de la encuesta anterior fue de

402 personas, ¿cuántas personas correspon-

den a cada categoría?

d. La encuesta fue realizada telefónicamente.

¿Cómo influye este hecho en los resultados

de la encuesta? Discútelo con tus

compañeros(as).

e. ¿Qué medidas implementarías para mejorar

los problemas relacionados con la seguridad?

6. La siguiente tabla muestra la disponibilidad de

agua (en miles de metros cúbicos) por persona

en el año 1950 y en el año 2000.

a. Construye un gráfico de barras que permita

comparar la disponibilidad de agua durante

ambos períodos.

b. Calcula el porcentaje de descenso para cada

lugar.

c. ¿Por qué crees que en algunos lugares el

descenso de la cantidad de agua es mayor

que en otras?

d. ¿Qué crees que sucederá con la disponibilidad

de agua en 50 años más?

e. Construye un gráfico circular que muestre la

diferencia de disponibilidad de agua en el

año 2000. ¿Qué puedes concluir? ¿A qué se

debe la diferencia?

1950 2000

África 17,8 4,8

Asia 7,6 2,9

Europa 5,9 4,5

América del Norte 32,4 17,6

América Latina 72,1 22,8

Ex URSS 24,1 14,8

Oceanía 159,5 65,6

Fuente: FAO (Food and Agriculture, Organizationof the United Nations)

Casa Lugar Lugares Callede trabajo públicos

% % % %

Muy seguro 53 41 41 13

Muy inseguro 47 30 55 86

No responde 1 29 5 1

Fuente: Estudio Fundación Futuro, julio 2005.

U1 Pág. 8 - 23 6/30/08 10:40 PM Página 23


24 Estadística I


Cantidad de habitantespor kilómetro cuadrado.

Cantidad de hombrescomprendidos en el

intervalo �10, 24�, por

cada año.

1950

Intervalo Frecuencia Frecuenciaabsoluta acumulada

[10, 14] 300.000 300.000

[15, 19] 280.000 580.000

[20, 24] 300.000 880.000

2000


[10, 14] 700.000 700.000

[15, 19] 650.000 1.350.000

[20, 24] 600.000 1.950.000

2025


[10, 14] 700.000 700.000

[15, 19] 700.000 1.400.000

[20, 24] 700.000 2.100.000

800 700 600 500 400 300 200 100 0 100 200 300 400 500 600 700 800

202520001950Edad (años)

80 y más75 – 7970 – 7465 – 6960 – 6455 – 5950 – 5445 – 4940 – 4435 – 3930 – 3425 – 2920 – 2415 – 1910 – 14

5 – 90 – 4

800 700 600 500 400 300 200 100 0 100 200 300 400 500 600 700 800

Edad (años)80 y más

75 – 7970 – 7465 – 6960 – 6455 – 5950 – 5445 – 4940 – 4435 – 3930 – 3425 – 2920 – 2415 – 1910 – 14

5 – 90 – 4

500 400 300 200 100 0 100 200 300 400 500

Miles de personas Miles de personas Miles de personas

Chile: Población estimada al 30 de junio

Edad (años)80 y más

75 – 7970 – 7465 – 6960 – 6455 – 5950 – 5445 – 4940 – 4435 – 3930 – 3425 – 2920 – 2415 – 1910 – 14

5 – 90 – 4

Fuente: Proyecciones de población INE-CELADE.Hombres Mujeres

Ejercicio 1Los siguientes gráficos piramidales, muestran la distribución poblacional de Chileen tres años diferentes. Observa y luego responde las siguientes preguntas.

a. ¿Cuántos hombres aproximadamente comprende el intervalo �10, 24� en

cada uno de los años mostrados en los gráficos?

b. ¿En qué año la población masculina comprendida en el intervalo �10, 24�presentó una mayor diferencia por tramos de edad?

c. ¿Qué consecuencias geográficas podrían derivarse de la pirámide

poblacional proyectada para el año 2025?

d. ¿En qué tipo de análisis es recomendable la utilización de gráficos

piramidales?

Solucióna. Para responder, debemos determinar la frecuencia de cada uno de los

tramos comprendidos en el intervalo �10, 24�, es decir, en los tramos

�10, 14�, �15, 19�, �20, 24� para cada año.

b. Si observamos la frecuencia acumulada para cada año, podemos concluir

que en el año 2025 la población masculina comprendida en el intervalo

�10, 24� presentará una mayor diferencia por tramos de edad.

c. Dado que en el año 2025 se observa un importante incremento de la pobla-

ción, uno de los principales problemas podrá estar dado por la densidad, y

como consecuencia, el espacio disponible por individuo se verá disminuido.

d. Se recomienda el uso de gráficos piramidales para realizar comparación de

variables que presentan más de una categoría, por ejemplo, sexo.

U1 Pág. 24 - 33 29/11/06 17:14 Page 24


25Estadística I

Ángulo correspondientea cada categoría.

Resolviendo la proporción

=

x = 3,6º

100%1%

360ºxº

Ejercicio 2

El siguiente gráfico circular muestra la distribuciónde personas de 60 años o mayores, según estadocivil en Chile.

a. Determina el porcentaje correspondiente a cada

categoría.

b. Determina el ángulo central aproximado corres-

pondiente a cada uno de los grupos indicados

en el gráfico.

Solución

a. Para calcular el porcentaje correspondiente a cada categoría, completare-

mos la siguiente tabla de frecuencias.

Categoría Frecuencia Frecuencia Frecuencia relativaabsoluta relativa porcentual (%)

Casado 684.590 0,524 52,43

Conviviente 40.872 0,031 3,13

Soltero 150.833 0,115 11,55

Viudo 364.120 0,27 27,9

Anulado o separado 65.142 0,05 4,98

Total 1.305.557 0,99 99,99

b. Ahora que hemos calculado los porcentajes correspondientes, determina-

remos el ángulo central correspondiente a cada grupo.

Sabemos que los 360º del círculo representan la frecuencia relativa porcen-

tual acumulada, es decir 100%, por lo tanto cada 1% corresponderá a 3,6º.

Luego para obtener el ángulo correspondiente, basta con multiplicar cada

porcentaje por 3,6. Nos queda:

Categoría % Ángulo (grados)

Casado 52,43 188,75

Conviviente 3,13 11,27

Soltero 11,55 41,58

Viudo 27,9 100,44

Anulado o separado 4,98 17,93

Total 99,99 359,9

Fuente: Instituto Nacional de Estadísticas, www.ine.cl, Julio 2005.

CasadoConvivienteSolteroViudoAnulado o separado

684.590

65.142

364.120

40.872

150.833

Porcentajecorrespondiente a cadacategoría.

U1 Pág. 24 - 33 6/30/08 10:43 PM Página 25


26 Estadística I

DESAFÍOS

1. (Ensayo PSU, 2004) En un curso cada estudiante

puede optar solamente por una actividad

extraprogramática: las tres cuartas partes de los

estudiantes elige deportes y una sexta parte del

curso elige teatro. ¿Cuál de las siguientes es la

mejor estimación del porcentaje de estudiantes

que participa en alguna de estas dos actividades?

A. Menos del 91%

B. Entre el 91% y el 93%

C. Entre el 93% y el 95%

D. Entre el 95% y el 97%

E. Más del 97%

2. (Ensayo PSU, 2004) La distribución del número

de horas que duraron encendidas 200 ampo-

lletas está dada en el gráfico siguiente. La

duración promedio de una ampolleta en horas,

aproximadamente, es:

A. 1

B. 380

C. 400

D. 480

E. 580

3. (Facsímil PSU, Demre, 2004) El estadio A de una

ciudad tiene capacidad para 40.000 personas

sentadas y otro estadio B para 18.000. Se hacen

eventos simultáneos; el A se ocupa hasta el 25%

de su capacidad y el B llena solo el 50%.

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

verdadera(s)?

I) El estadio A registró mayor asistencia depúblico que el B.

II) Si se hubiese llevado a los asistentes deambos estadios al A, habría quedado eneste, menos del 50% de sus asientos vacíos.

III) Los espectadores que asistieron en conjuntoa los dos estadios superan en 1.000 a lacapacidad de B.

A. Solo I D. I y II

B. Solo II E. I y III

C. Solo III

4. (Pisa, 2003) Un presentador de TV mostró este

gráfico y dijo:

“El gráfico muestra que hay un enorme aumento del

número de robos comparando 1998 con 1999”.

¿Consideras que la afirmación del presentador es

una interpretación razonable del gráfico? Da

una explicación que fundamente tu respuesta.

5. (Pisa, 2003) Los siguientes gráficos muestran

información sobre las exportaciones de

Zedlandia, un país cuya moneda es el zed.

¿Cuál fue el valor de las exportaciones de zumo

de fruta en el año 2000?

A. 1,8 millones de zeds.

B. 2,3 millones de zeds.

C. 2,4 millones de zeds.

D. 3,4 millones de zeds.

E. 3,8 millones de zeds.

100

50

100

200 400 600 800 horas

No de ampolletas

Distribución de las exportaciones deZedlandia en el año 2000

Tejido dealgodón

26%

Otros21%

Carne14%

Té5%

Arroz13%

Zumode fruta

9%

Tabaco7%

Lana5%

Total de las exportaciones anuales deZedlandia en millones de zeds, 1996–2000

50

45

40

35

30

25

20

15

10

5

01996 1997 1998 1999 2000

20,4

25,427,1

37,9

42,6

Año

U1 Pág. 24 - 33 6/30/08 10:43 PM Página 26


27Estadística I

MEDIOS

Indicadores mensuales: INEEn la página web del Instituto Nacional de Estadísticas (INE) se publican mensualmente las variacionesque experimentan los precios de los productos con lo cual se obtiene el IPC del mes. El siguiente textocorresponde a las variaciones de julio del 2005.

Una variación mensual de 0,6% experimentó el IPC en julio, con lo cual la inflación acumulada en el añoes de 2,4%. En doce meses se registra un alza de 3,1%. El grupo Transporte, con un aumento promedio de 1,5%, muestra la más importante alza de precios.También se observaron aumentos en los grupos Vivienda (0,8%), Salud (0,7%), Alimentación (0,6%) yEquipamiento de la Vivienda (0,1%). En tanto, los precios del grupo Vestuario cayeron en 0,8%, fundamentalmente por las liquidaciones detemporada. Por otra parte, este grupo muestra una tendencia a la baja que se refleja en una caída de16,4% en los últimos cinco años. Los grupos Educación y Recreación y Otros se mantuvieron sin variación respecto de junio. Especial incidencia en el alza del grupo Vivienda tuvo el aumento del precio de la electricidad quealcanzó al 4,4%. Éste obedeció al efecto rezagado del aumento de tarifas de mediados de junio. Entre los veinte productos con mayor ponderación en el cálculo del IPC resaltan las alzas de la bencinay el gas licuado, frente a caídas en los precios medios del pasaje de micro, el agua potable y el dividendohipotecario.

1. Actualiza esta información según la fecha en que te encuentres ingresando a la página web del INE.

2. ¿Cuál es la variación histórica del IPC del mes buscado?

3. ¿Cuáles son los productos con mayor variación? ¿Y cuáles son los que no tuvieron variación?

4. ¿Qué elementos importantes hacen que se produzcan variaciones importantes del IPC?

U1 Pág. 24 - 33 29/11/06 17:14 Page 27


28 Estadística I

SÍNTESIS

Mapaconceptual

Resumen

Construye tu mapa conceptual que relacione al menos los conceptos clavedados.

Conceptos clave:

Población

Muestra

Variables

Clase

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Intervalos

Diagrama de tallo y hoja

Gráficos

1 Población: conjunto completo de individuos u objetos a observar, que

tienen una característica que se desea medir.

2 Muestra: parte representativa de la población sobre la que se efectúa la

medición.

3 Variable estadística: característica o atributo que se observa en cada uno

de los elementos de la población y que se mide en la muestra.

4 Variable cualitativa: son aquellas que no se pueden expresar con nú-

meros, pues representan una cualidad (color de pelo, comuna, deporte

preferido, etc.).

U1 Pág. 24 - 33 6/30/08 10:43 PM Página 28


29Estadística I

908070605040302010

10 20 30 40 50 60 70

6

5

4

3

2

1

01 2 3

4%

4% 9%8%

12%

25%18%

20%

4 5 6 7

Gráfico de barras Gráfico circular

Gráfico de dispersión Histograma

0

5 Variable cuantitativa: son aquellas que se pueden expresar numérica-

mente, pues representan una cantidad (edad, peso, cantidad de habitan-

tes, etc.).

6 Frecuencia absoluta: número de veces que se repite un valor de la variable

en la muestra.

7 Frecuencia relativa: razón entre la frecuencia absoluta y el número total

de elementos de la muestra.

8 Frecuencia relativa porcentual: corresponde a la frecuencia relativa expre-

sada en porcentaje.

9 Diagrama de tallo y hoja: sirve para comparar la distribución de frecuen-

cias, se puede realizar considerando una o dos variables.

10 Tipos de gráficos: los gráficos nos permiten representar la información de

manera visual, algunos de ellos son:

U1 Pág. 24 - 33 7/24/09 3:10 PM Página 29


30 Estadística I

EVALUACIÓN

1. De las siguientes afirmaciones, son correctas:

I) Los chinos hacían censos desde hace miles

de años atrás.

II) La palabra estadística comenzó a usarse en

Alemania.

III) Pearson es considerado el padre de la

Estadística Moderna.

A. Solo I D. I y III

B. I y II E. Todas.

C. II y III

2. En un análisis estadístico, el conjunto de todos

los elementos que conforman el objeto de

estudio se llama:

A. rango.

B. marca de clase.

C. muestra.

D. población.

E. datos.

3. La estatura de un grupo de personas,

empleada para un estudio estadístico, es una

variable:

I) cuantitativa.

II) continua.

III) discreta.

A. Solo I

B. Solo II

C. Solo III

D. Solo I y II

E. Solo I y III

4. El tipo de muestra que es adecuado escoger

para un estudio estadístico, es:

A. una muy grande.

B. una muy pequeña.

C. una proporcional a la población.

D. una representativa de la población.

E. según sea el caso.

5. El gráfico que mejor representa la tabla es:

Nº de semanas fi

0 2

1 4

2 15

3 2

A. D.

B. E.

C.

6. Catalina quiere estudiar psicología. La tabla

muestra sus resultados y las ponderaciones

pedidas.

N.E.M. PSU Leng. PSU Matem. PSU Hist. y Geog. PSU Ciencia

740 712 770 605 610

20% 20% 30% 10% 20%

Con respecto a la tabla es verdadero que:

I) El puntaje de postulación es levemente

superior a 700.

II) La prueba de más valor es la de

matemática.

III) Si el 10% del valor de la prueba de historia

se va a la prueba de lenguaje, el puntaje

de lenguaje aumenta unos 10 puntos.

A. Solo I

B. Solo II

C. Solo III

D. I y II

E. Todas.

U1 Pág. 24 - 33 29/11/06 17:14 Page 30


31Estadística I

6

5

4

3

2

1

días

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 ºC

7. El gráfico muestra las temperaturas máximas

del mes de enero en el Valle Central.

Con respecto a la información del gráfico es

falso que:

A. Más de la mitad del mes hubo entre29º a 31º.

B. Los días más calurosos tuvieron temperaturas de 30º y 31º.

C. La menor frecuencia fue 34º.

D. Ningún día la máxima fue 34º.

E. 11 días hubo menos de 30º.

El gráfico circular nos muestra los porcentajes de

los componentes alimenticios que el ser humano

debiera consumir.

Fuente: RDA (Recommended Dietary Allowences)

Según el gráfico anterior contesta las siguientes

preguntas:

8. ¿Qué porcentaje corresponde a aquellos

componentes alimenticios que no sean

carbohidratos?

A. C. E.

B. D.

9. El ser humano debe consumir mayormente:

I) grasas.II) proteínas.III) carbohidratos.IV) fibra.

A. Solo I D. Solo II y III

B. Solo III E. Todas las anteriores.

C. Solo I y II

10. De los siguientes gráficos el único que

presenta una variabilidad homogénea es:

A. C. E.

B. D.

11. La siguiente tabla de frecuencias muestra las

calificaciones de un examen de matemática.

¿Cuál es la proposición falsa?

Calificaciones Cantidad de alumnos

7.0 36.9 – 6.0 65.9 – 5.0 54.9 – 4.0 133.9 – 3.0 102.9 – 2.0 3

A. Hay 6 alumnos que tienen una calificación

entre 6.0 y 6.9.

B. Hay 14 alumnos que tienen una

calificación mayor a 4.9.

C. El total de la muestra es de 40 alumnos.

D. Hay 13 alumnos que obtuvieron nota

insuficiente.

E. Hay 11 alumnos que calificaron con nota

inferior a 7.0 y superior a 6.0.320

3100

57100

14

43100

Carbohidratos

Fibra

Proteínas

Grasas

57%3%

15%

25%

U1 Pág. 24 - 33 29/11/06 17:14 Page 31


32 Estadística I


1. Determina cuál de las siguientes muestras son

representativas. En el caso de que no lo sean,

explica por qué.

a. Se aplicó una encuesta durante la campaña

para la elección de senadores de una región.

El muestreo se realizó seleccionando

2.000 personas al azar, a las cuales se las

llamó por teléfono. Para la selección se usó

la guía de la región.

b. En un hospital se hace una encuesta acerca

de los hábitos alimenticios de los pacientes,

para ello cada médico debe encuestar a tres

pacientes en una semana; la selección debe

ser al azar.

c. En un club social y deportivo quieren saber

qué deportes nuevos le interesan a sus aso-

ciados, para ello encuestaron a los asistentes

a un bingo un día sábado.

2. La siguiente tabla presenta los gustos musicales

de los alumnos(as) de dos cuartos medios.

Música fi

Sound 5

Hip-hop 7

Romántica 12

Rock 16

Reagee 10

b. Construye un gráfico circular.

3. El siguiente diagrama de tallo y hoja, nos per-

mite visualizar el porcentaje de atenciones

respiratorias en niños, de abril a julio del 2005

(datos aproximados) www.minsal.cl .

Niños menores 1 año Niños entre 1 y 14 años

9 5 4 6 9 6 4 2 0 6 1 2 3 4 9

9 8 3 3 2 7 2 2 5 7 7 7 87 5 3 2 1 0 8 1 1

1 9

a. Construir una tabla de frecuencias para cada

categoría.

b. Construir un gráfico de dispersión para cada

categoría.

c. Compara ambas distribuciones ¿qué conclu-

siones puedes obtener?

4. La siguiente tabla de distribución de frecuencias

agrupa las marcas, expresadas en metros, obte-

nidas por un grupo de estudiantes en el lanza-

miento del disco.

a. ¿Qué porcentaje de estudiantes obtuvo mar-

cas en el intervalo 39,1 – 39,9?

b. ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvo una

marca igual o superior a los 40 m?

5. Completa la siguiente tabla de distribución de

frecuencias correspondientes a las medidas de

una pieza de motor, después de un año de uso.

Expresa las frecuencias relativas aproximadas a

las milésimas (tres decimales).

Intervalo (mm) fi frFrecuencia

relativa porcentual

100 – 109 4

110 – 119 17

120 – 129 29

130 – 139 18

140 – 149 10

150 – 159 5

160 – 169 2

a. Calcula la frecuencia

relativa de cada tipo

de música.

Intervalo (m) fi

34,1 – 34,9 12

35,1 – 35,9 15

36,1 – 36,9 18

37,1 – 37,9 30

38,1 – 38,9 28

39,1 – 39,9 20

40,1 – 40,9 17

41,1 – 41,9 6

42,1 – 42,9 4

U1 Pág. 24 - 33 29/11/06 17:14 Page 32


33Estadística I

6. Dibuja, en un solo gráfico, el histograma y el

polígono de frecuencias correspondiente a la

tabla del ejercicio anterior.

7. Los siguientes datos corresponden a la dura-

ción en horas, de uso continuo de 50 dispo-

sitivos electrónicos iguales, sometidos a un

control de calidad.

480 496 724 780 801570 802 795 886 714775 712 683 830 560826 560 794 676 760890 590 750 489 725666 746 668 880 570830 452 810 720 680680 660 490 895 660

Construye una tabla de distribución de frecuen-

cias agrupadas que considere las columnas:

intervalo, frecuencia absoluta, frecuencia rela-

tiva.

8. A un curso de 40 estudiantes de cuarto medio

se les preguntó su grupo sanguíneo.

a. ¿A qué tipo de gráfico corresponde el repre-

sentado?

b. ¿Qué procedimiento utilizarías para encon-

trar la cantidad de personas por grupo san-

guíneo?

c. Realiza un gráfico de barras cuyas variables

sean el grupo sanguíneo y su frecuencia

absoluta.

9. Construye un diagrama de tallo y hoja con los

datos del ejercicio 7.

10. El siguiente gráfico muestra la principal razón

para no estar estudiando, según nivel socio-

económico (NSE).

a. ¿Qué NSE presenta, en mayor medida, mo-

tivos para no poder terminar los estudios?

b. ¿Cuál es el que tiene más personas con sus

estudios terminados?

11. Los datos que se indican a continuación corres-

ponden a g/dl de hemoglobina en la sangre de

pacientes hombres entre 25 y 35 años de edad.

14,3 15,1 15,3 15,5 13,015,0 14,5 15,2 14,2 15,915,2 15,7 15,4 15,8 17,513,2 15,4 16,1 17,1 15,215,4 16,2 14,2 15,4 13,315,2 15,3 16,7 15,5 16,915,1 15,2 14,2 13,2 15,314,3 14,6 13,3 15,2 14,315,5 14,1 15,5 14,8 13,613,9 15,0 16,2 15,2 14,914,7 14,7 15,0 14,9 15,915,8 16,4 17,3 14,7 16,314,8 14,8 16,4 16,8 15,015,7 16,5 14,8 15,6 14,814,6 14,9 15,6 16,0 14,716,3 16,5 16,9 17,3 15,817,2 15,8 16,3 15,9 16,916,0 17,1 16,8 16,7 17,317,5 16,8 16,4 17,4 16,015,7 15,9 16,1 15,8 16,4

Con ayuda de una planilla Excel, construye una

tabla de frecuencias que agrupe estos datos.

grupo A32%

grupo B18%

grupo AB8%

grupo O42%

31,2

9

47

Alto MedioNivel socioeconómico

Principal razón para no estar estudiando por NSE

Bajo

54,3

14,1 148,8

Problemas económicos/trabajo

Porque tengo que cuidara mi hijo

Terminé mi educación19,2

50,4

U1 Pág. 24 - 33 29/11/06 17:14 Page 33

UN

IDA

D

2

34 Estadística II

A veces, cuando las poblacionesson muy grandes, es muy difícil,

por problemas de tiempo y dinero, hacer un análisis que incluya a toda la población.

Por este motivo, lo que se hace es estudiar unaparte de ella, llamada muestra; cuando los indi-viduos de la muestra han sido seleccionados de

acuerdo a procedimientos estadísticos, sepueden sacar conclusiones que caracteri-

zan a toda la población. A estosresultados los llamaremos

inferencias.

Estadística II

Es común, hoy en día,recibir invitaciones a participar

de encuestas en la mayoría de lossitios de Internet relacionados con

las comunicaciones o empresas que necesitansaber lo que quieren sus clientes. Por ejemplo,

en un diario electrónico se publicó unaencuesta sobre la creencia en extraterrestres.En relación con ella, ¿se puede decir que el

67% de las personas cree en extraterrestres?¿Bastará con encuestar a 316 personas

para obtener conclusionesrelevantes?

U2 Pág. 34 - 57 1/12/06 12:57 Page 34

35Estadística II


Conocer las medidas de tendencia central: pro-medio, mediana y moda.

Conocer las medidas de dispersión: rango, des-viación media, desviación estándar.

Trabajar con las medidas de localización: cuarti-les, deciles, percentiles.

Conocer y trabajar con muestras, identificandoniveles de confianza y margen de errores.



www.santillana.cl/emedia.cl/mat4

U2 Pág. 34 - 57 1/12/06 12:57 Page 35

Unidad 2 ESTADÍSTICA II

36 Estadística II

REPASO

1. Calcula el valor de x en las siguientes proporciones.

a. = c. : = : x e. =

b. = d. x : 2,4 = 3 : 1,8 f. =

2. Calcula los siguientes porcentajes.

a. 10% de 457 c. 99% de 1.246 e. 18% de 310.000

b. 25% de 398 d. 5,7% de 45.980 f. 60% de 94.327

3. Completa.

a. 281,49 representa el % de 853

b. 38.000 representa el % de 95.000

c. 13.891,5 representa el % de 18.522

d. 2.809,8 representa el % de 46.830

e. 652 representa el % de 65.200

f. 55.928,95 representa el % de 76.615

4. En una empresa se ha entregado la planilla de sueldos correspondiente almes de julio. Completa la planilla para poder saber cuánto dinero recibecada persona al cobrar su sueldo.

NombreSueldo Fonasa o Isapre AFP

Sueldo líquido(imponible) (7% del imponible) (13% del imponible)

Daniel $ 165.249

Carolina $ 237.860

Andrea $ 551.925

Sebastián $ 618.004

Jorge $ 1.045.776

5. Usando tu calculadora, evalúa cada expresión dados los siguientes valores(aproxima el resultado a tres decimales):

a = b = 0 c = –5 d = 8019

24x

x6

x900

721

2,51,4

0,7x

13

1512

16

15x

624

¿Cuánto sabes?

a. d. (c – b : d3) : (a2 + ) g.

c. f. a – b + c – d2 i. a d+( )63a d ci − 2

b cca

−( ) :4

2da bd c+ −

b. e. h. (c – a) • (b + d)abc d

c

3ac

a b acd: 4 2+ i

U2 Pág. 34 - 57 29/11/06 17:15 Page 36


37Estadística II


términos extremos

términos medios

6. Los siguientes datos corresponden a las estaturas, en metros, de los alum-nos de IV Medio de un colegio.

Mujeres1,56 – 1,49 – 1,63 – 1,71 – 1,56 – 1,55 – 1,61 – 1,74 – 1,68 – 1,52 – 1,57 – 1,48 – 1,54 –1,60 – 1,55 – 1,54 – 1,49 – 1,50 – 1,56 – 1,53 – 1,72 – 1,66 – 1,53 – 1,62 – 1,59 – 1,63 –1,71 – 1,69 – 1,73 – 1,67 – 1,59 – 1,63 – 1,65 – 1,76 – 1,61 – 1,57 – 1,58 – 1,71 – 1,51 –1,66 – 1,64 – 1,63

Hombres1,65 – 1,69 – 1,74 – 1,81 – 1,72 – 1,68 – 1,61 – 1,73 – 1,79 – 1,81 – 1,74 – 1,85 – 1,84 –1,76 – 1,66 – 1,69 – 1,73 – 1,72 – 1,76 – 1,79 – 1,86 – 1,69 – 1,63 – 1,79 – 1,77 – 1,76 –1,74 – 1,81 – 1,83 – 1,69 – 1,74 – 1,77 – 1,71 – 1,75 – 1,68 – 1,88 – 1,76 – 1,74 – 1,68 –1,83 – 1,81 – 1,73 – 1,76 – 1,78 – 1,76 – 1,79 – 1,83 – 1,66

a. Determina el valor máximo y mínimo en cada caso.b. Construye un gráfico de barras y un polígono de frecuencias con la

estatura de todos los alumnos de IV Medio.c. Usando una planilla Excel, construye un gráfico de dispersión que per-

mita comparar la estatura de los hombres y la estatura de las mujeres.¿Qué conclusiones puedes obtener?

1 Teorema fundamental de las proporciones: “Dos razones forman unaproporción si y solo si el producto de sus términos extremos es igual al pro-ducto de sus términos medios”.

a : b = c : d ⇔ = ⇔ a • d = b • c, b ≠ 0, d ≠ 0

2 Para calcular el a% de un número b cualquiera, puedes aplicar el siguien-te procedimiento:

• b

O puedes calcular x • b, donde x es la expresión decimal que representael a%.

3 Sean a, b dos números reales cualesquiera. Para calcular a qué porcentajecorresponde a de b, puedes aplicar el siguiente procedimiento:

Si x es el porcentaje, entonces x = .

4 Población: es un conjunto de personas, situaciones o cosas de las cuales sedesea hacer un estudio y las cuales tienen una característica en común.

5 Muestra: es un subconjunto cualquiera de la población.

a • 100b

a100

cd

ab

U2 Pág. 34 - 57 6/30/08 10:45 PM Página 37


38 Estadística II

CONTENIDOS

PARA ARCHIVAR

El uso de sumatoria tiene evidentes ventajas, puesto que permite escribirfórmulas de manera reducida.

Medidas de tendencia central

Las medidas de tendencia central nos dan una idea acerca del comportamien-to de los datos a los que se refieren. Se puede decir que expresan el grado decentralización de los datos que representan.

Antes de profundizar en las principales medidas de tendencia central, es nece-sario conocer la siguiente notación de sumatoria.

Una suma como x1 + x2 + x3 + x4 + … + xn se puede expresar de manera resu-mida mediante el uso del símbolo de sumatoria: Σ.

La suma de los términos de la forma xk, donde k es un número natural que

varía desde 1 a n, se simboliza por Σ xk .

Entonces, Σ xk = x1 + x2 + x3 + x4 + … + xn

Media aritmética

La media aritmética de n datos numéricos que expresan cantidades, es elcociente entre la suma de todos los datos y la frecuencia total de ellos.

Es decir, x–

= =

Ejemplo 1

La siguiente tabla muestra el precio (en pesos) de un cuaderno en diferentestiendas comerciales (según un estudio del SERNAC).

Tienda 1 Tienda 2 Tienda 3 Tienda 4 Tienda 5

940 1.100 845 820 745

Calculemos la media aritmética de los precios anteriores:

x–

= = = 890 pesos

Observa que el promedio en este caso no coincide con ninguno de los valoresdados en la tabla.

4.4505

940 + 1.100 + 845 + 820 + 7455

n

x1 + x2 + x3 + x4 + … + xnn

n

k = 1n

k = 1

n

k = 1

TIPS

El símbolo Σ es la letra griega

“sigma” mayúscula. Corresponde

a la decimoctava letra del alfa-

beto griego, que equivale a la

letra S de nuestro alfabeto.

TIPS

El promedio que se emplea en las

calificaciones escolares, corres-

ponde a la media aritmética de

estas.

TIPS

La media aritmética se designa

por el signo x–

.

Σ xk

AYUDA

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = Σ k

5

k = 1

U2 Pág. 34 - 57 29/11/06 17:15 Page 38


39Estadística II

EJERCICIOS

1. Un alumno obtuvo las siguientes notas par-

ciales en Matemática: 4,8; 2,5; 6,0; 3,9 y una

quinta nota que no recuerda. Si su promedio

fue 4,6, calcula la nota que falta.

2. Dos alumnos obtuvieron el mismo promedio

semestral de notas. ¿Significa que tuvieron las

mismas notas? Justifica numéricamente tu

respuesta.

3. En una oficina, el jefe gana $ 540.000 y tres

empleados ganan $ 100.000, $ 155.000 y

$ 165.000, respectivamente. La media aritmética

de los sueldos, ¿es un valor representativo de

esos sueldos?

4. En una muestra de control se midieron 10

clavos de una bolsa, con los siguientes resulta-

dos: 5 de 2,00”; 3 de 1,99” y 2 de 2,05”.

Calcula la longitud media de la muestra.

PARA ARCHIVAR

Para calcular la media aritmética de datos no agrupados utilizamos la

fórmula , mientras que para datos agrupados utilizamos ,

donde fi es la frecuencia absoluta y xi la marca de clase correspondiente acada intervalo.

Σfi • xi

Σfin

AYUDA

• Observa que, en el ejemplo 2,

se calculó la media aritmética

para datos agrupados (separa-

dos en intervalos, en una

tabla de frecuencias).

• La marca de clase es un valor

representativo de cada interva-

lo, corresponde al punto medio

de este y lo calculamos suman-

do cada extremo del intervalo

y dividiéndolo en dos. Si se

conocen solo los intervalos y no

los datos, para calcular el

promedio, consideraremos que

el valor de los datos corres-

ponde a la marca de clase del

intervalo al que pertenecen (se

puede calcular de manera

abreviada como un promedio

ponderado).

• Σf • x =

Σ xk

n

k = 1

Ejemplo 2

La siguiente tabla muestra la distribución de frecuencias de los puntajes obte-nidos por 50 alumnos en una prueba de matemática.

Intervalo Frecuencia absoluta Marca de clase (xi) fi • xi(fi)

60 – 64 5 62 310

65 – 69 5 67 335

70 – 74 8 72 576

75 – 79 12 77 924

80 – 84 16 82 1.312

85 – 89 4 87 348

Σfi = 50 Σfi • xi = 3.805

El promedio de los valores está dado por x–x–

= = = 76,1 puntos.3.805

50Σfi • xi

Σfi

IR A LA WEB



Σxi • fi

Σfi

n

i = 1n

i = 1

U2 Pág. 34 - 57 6/30/08 10:45 PM Página 39


40 Estadística II

CONTENIDOS

Ejemplo 3

Un alumno que postula a la Universidad tiene los siguientes puntajes en lasPruebas de Selección Universitaria (PSU) y en sus notas de Educación Media.

Puntaje Ponderación (%)

Prueba Lenguaje 680 10

Prueba Matemática 752 20

Prueba Ciencias 640 10

Prueba Historia y Geografía 720 40

Notas E. Media 590 20

Calculemos su puntaje ponderado, es decir, la media aritmética ponderada desus puntajes:

x–

= = = 688,4 puntos.

Hemos calculado la media aritmética ponderada, la cual nos sirve para calcularel promedio de datos que no tienen igual ponderación.

Ejemplos

68.840

100

10 • 680 + 20 • 752 + 10 • 640 + 40 • 720 + 20 • 590

10 + 20 + 10 + 40 + 20

PARA ARCHIVAR

Si pk es la ponderación de un dato xk, el promedio ponderado se obtiene

utilizando la siguiente expresión: x–

=

MedianaLa mediana de un conjunto de datos numéricos ordenados en formacreciente o decreciente, es el dato que se encuentra al centro dedicha ordenación, o la media aritmética de los datos centrales (encaso que la muestra tenga un número de datos pares).

ModaLa moda de un conjunto de datos, es aquel que tiene la mayorfrecuencia.

Σ xk • pk

n

k = 1

Σ pk

n

k = 1

AYUDA

La mediana divide los datos en

dos subconjuntos que contienen

igual cantidad de elementos.

EN EQUIPO

Averigüen el promedio de notas

por cada alumno del curso.

Ordenen la información en una

tabla de frecuencia, luego deter-

minen media, mediana y moda.

¿Qué pueden concluir?

AYUDA

La importancia de un dato se

traduce en un número que co-

rresponde a su ponderación.

1 3 6 7 9

Mediana: 6

1 3 4 5 7 9

Mediana: 4,5 (promedio entre 4 y 5)

U2 Pág. 34 - 57 6/30/08 10:45 PM Página 40

41Estadística II


AYUDA

Recuerda que el rango de un

conjunto de datos numéricos,

se calcula como la diferencia

entre el dato mayor y el dato

menor.

TIPS

¿Qué significado tiene un rango

de notas 4,2 respecto de las notas

de otro alumno cuyo rango es

2,1?

En el primer caso las notas están

más dispersas que en el segun-

do. Sin embargo, no sabemos en

qué caso son mejores; para de-

terminarlo debemos disponer de

más información.

Muchos conjuntos de notas pue-

den tener rango 2,1 y sus respec-

tivas medias aritméticas ser muy

diferentes.

Medidas de dispersión

Las medidas de dispersión determinan cuán cercanos o lejanos están los datosde un valor central, respecto a la media aritmética. También indican el gradode variabilidad de los datos. En estas páginas estudiaremos algunas de ellas:rango, desviación con respecto a la media y la desviación estándar o típica.

Ejemplo

El colegio otorgará una beca de matrícula para la universidad, al alumno cuyobuen rendimiento se haya mantenido por mayor tiempo, en el último trimestrede 4º medio. Para calcular el mejor promedio solo consideraron algunas asig-naturas. Los mejores alumnos de la promoción fueron Pablo y Soledad. La media aritmética (promedio) de cada uno es 6,3. Si solo uno debe ser elegido ¿quién ganará la beca?

Las calificaciones son las siguientes:

Lenguaje Matemática Historia Ciencias

Pablo 6,2 6,8 5,8 6,4

Soledad 6,9 5,0 7,0 6,3

Observa la siguiente representación de las calificaciones,

Pablo

Soledad

Las calificaciones de Pablo se encuentran más cercanas a la media aritmética,que las notas de Soledad. Es decir, las calificaciones de Soledad se encuentranmás dispersas. ¿Es suficiente este argumento para optar por Pablo, como un alumno que hamantenido su buen rendimiento?

Las medidas de dispersión nos permitirán realizar un análisis más certero.

RangoAnteriormente utilizamos el rango para determinar el tamaño de cada inter-valo en una tabla de frecuencias. Simbolizaremos el rango por la letra R.Aunque no es una medida muy significativa, este nos indica cuán dispersos seencuentran los datos entre los valores de los extremos.

Pablo R: 6,8 – 5,8 = 1 Soledad R: 7,0 – 5,0 = 2

Como el valor del rango de las notas de Pablo es menor que el de Soledad,podemos decir que sus calificaciones son menos dispersas. Por lo tanto, sería elmás apto para ganar el premio por mantener un buen rendimiento.

5,8 6,2

6,3

6,4 6,8

6,35,0

6,3

6,9 7,0

U2 Pág. 34 - 57 29/11/06 17:15 Page 41


42 Estadística II

CONTENIDOS

Desviación media

La media aritmética de ambos alumnos es de 6,3. Si calculamos la diferencia de una nota con la media aritmética tendremos la desviación de la nota con respecto a x

–. Las desviaciones de todas las

notas, de Pablo y Soledad, con respecto a xx–

= 6,3 se indican a continuación:

Si sumamos las desviaciones medias de cada uno resulta 0.

Para conocer quién presenta un valor de desviación, que nos indique cuán cer-cano o lejano está de la media aritmética, será necesario calcular el valor abso-luto de la desviación.

Desviación absoluta de Pablo: Σ⎟xk – x–⎟ = 0,1 + 0,5 + 0,5 + 0,1 = 1,2

Desviación absoluta de Soledad: Σ⎟xk – x–⎟ = 0,6 + 1,3 + 0,7 + 0 = 2,6

Como el valor de la desviación absoluta de Soledad es mayor, entonces lasnotas de Pablo son las que representan mejor un buen rendimiento duranteun período de tiempo.

La DM de Pablo es 0,3 y la de Soledad es 0,65.

PARA ARCHIVAR

La desviación de una variable x con respecto a la media aritmética x– estádada por la diferencia: d = x – x– .La suma de las desviaciones de todos los datos con respecto a su media arit-mética es cero.

TIPS

La idea de desviación representa

el mayor o menor alejamiento

de un dato con respecto a x–

.

TIPS

La desviación se puede calcular

con respecto a cualquier valor,

no solo respecto a la media arit-

mética. Esta puede ser positiva,

cero o negativa.

Nota x 6,2 6,8 5,8 6,4

Desviación respecto a la media x – x– –0,1 0,5 –0,5 0,1

Pablo

Nota x 6,9 5,0 7,0 6,3

Desviación respecto a la media x – x– 0,6 –1,3 0,7 0

Soledad

Nota x 6,2 6,8 5,8 6,4

Desviación respecto a la media ⎟x – x– 0,1 0,5 0,5 0,1

Pablo

Nota x 6,9 5,0 7,0 6,3

Desviación respecto a la media ⎟x – x– 0,6 1,3 0,7 0

Soledad

AYUDA

Comprobemos que la suma de

las desviaciones es siempre 0:

Pablo:

–0,1 + 0,5 – 0,5 + 0,1 = 0

Soledad:

0,6 – 1,3 + 0,7 + 0 = 0

⎟ ⎟

4

k = 1

4

k = 1

EN EQUIPO

Si las desviaciones se calculan en

relación a un valor distinto de la

media aritmética, ¿cuánto suman

sus valores?, ¿por qué?

Se define desviación media como la media aritmética de las desvia-ciones absolutas respecto a la media. La designaremos como DM.

DM = n

Σ⎟xk – x–⎟

n

k = 1

U2 Pág. 34 - 57 29/11/06 17:15 Page 42

Desviación estándar o típica

Otra importante medida de dispersión es la desviación estándar.

Continuando con el análisis de quién ganará la beca, obtendremos el valor de

la desviación estándar de cada alumno:

Observamos que el valor de la desviación estándar de las notas de Pablo esmenor que la de Soledad, entonces, podemos decir que las calificaciones dePablo están más cercanas a la media, y son menos dispersas. Por lo tanto, el más indicado para ganarse la beca que otorga el colegio esPablo, ya que sus calificaciones cumplen con haber mantenido un buenrendimiento.

Desviaciones para datos agrupados

Recordemos que los datos agrupados pertenecientes a una clase se consideraniguales a la respectiva marca de clase.


43Estadística II

TIPS

La desviación estándar es muy

inestable a pequeñas variacio-

nes que se producen respecto a

la media.

TIPS

Recuerda que la desviación

estándar (s) puede estar referida

a otro valor que no sea la media

aritmética (x–

). Si se emplea x–

, el

valor de s que se obtiene es míni-

mo. En otros casos este valor

sería mayor.

Sole

dad

Pab

lo

EN EQUIPO

Averigüen, ¿qué significa la pa-

labra “homogéneo” y “hete-

rogéneo”?

Para datos agrupados, el cálculo de ambos tipos de desviaciones sepuede aplicar al método abreviado, tal como se obtuvo en la mediaaritmética:

La desviación estándar o típica expresa el grado de dispersión de losdatos con respecto a la media aritmética (x–) . Se designará con laletra s, y se calculará de la forma:

s =

x x

n

kk

n

−( )=

∑ 2

1

PARA ARCHIVAR

Mientras menor sea el valor de la desviación estándar, el grupo deobservaciones es más “homogéneo” que si el valor de la desviaciónestándar fuera más grande. O sea, a menor dispersión mayor homo-geneidad y a mayor dispersión, menor homogeneidad.

AYUDA

La desviación típica (s) es un

valor de la misma naturaleza

que los datos con que se calcula.

Si el valor de s en un conjunto

de notas es s = 1,8, el número

1,8 se refiere a puntos de notas.

s = ≈0 52

40 36

,,

s = ≈2 54

40 79

,,

Nota (x) 6,2 6,8 5,8 6,4

(xk – x–

)2 0,01 0,25 0,25 0,01 0,52

Nota (x) 6,9 5,0 7,0 6,3

(xk – x–

)2 0,36 1,69 0,49 0 2,54

Desviación media: Desviación estándar:

DM = s = f x x

n

i −( )∑ 2f x x

f

∑∑

–•

Σ�xk – x–�24

k = 1

Σ�xk – x–�24

k = 1

U2 Pág. 34 - 57 30/6/08 12:36 Page 43


44 Estadística II

CONTENIDOS

EJERCICIOS

1. El análisis de las notas de un curso señala que en

ambos trimestres el promedio en matemática es

5,1, al término del primer y segundo trimestre,

la nota máxima es 7,0 y la mínima es 3,2. Sin

embargo, los alumnos tienen la sensación de

mejores resultados en un trimestre que en otro.

Primer trimestre

Segundo trimestre

Responde las siguientes preguntas:

a. ¿Cuánto es el coeficiente del rango en cada

trimestre? ¿Qué trimestre tiene un coefi-

ciente de rango menor?

b. Según el coeficiente del rango, ¿qué

trimestre presenta calificaciones más disper-

sas, en relación al promedio?

c. ¿Cuánto es el valor del coeficiente de la

desviación media en cada trimestre?

d. Según la situación, ¿cómo interpretarías el

coeficiente de desviación media? ¿Corrobora

la “sensación” de los estudiantes?

e. Calcula el coeficiente de la desviación están-

dar para cada trimestre.

f. ¿Qué trimestre presenta calificaciones más

homogéneas?

g. ¿Cómo interpretarías el valor del coeficiente

de desviación estándar?

h. ¿Cuál fue el mejor trimestre?, ¿por qué lo

consideras mejor?

i. Construye la gráfica que mejor represente la

situación.

2. Un grupo de alumnos obtuvo las siguientes mar-

cas, en salto con garrocha, expresadas en metros:

2,50 ; 2,80 ; 2,60 ; 3,00 ; 2,90.

a. Comprueba que la suma de las desviaciones

de estos datos respecto a x–

es 0.

b. Calcula la desviación media de los datos.

3. La tabla de distribución de frecuencias muestra la

puntuación obtenida por 1.800 alumnos de 5º a

8º Básico en un cuestionario de cultura general.

a.

b. ¿A qué cantidad de puntos corresponden los

valores de x–

+ s y x–

– s?

4. En una misma prueba de Matemática dos cursos

A y B, obtuvieron resultados cuyos datos estadís-

ticos son los siguientes:

Curso A Curso B

x–

5,3 5,4

s 0,7 0,4

De acuerdo con estos datos:

a. Un alumno del curso A obtuvo un 6,7 y uno

del curso B un 6,6. ¿A cuál de los alumnos

le fue mejor en la prueba, en relación a su

curso?

b. Justifica la respuesta anterior y compártela

con un compañero.

7,06,96,55,85,6

5,65,45,24,84,8

4,34,34,14,13,2

7,06,86,35,75,6

5,45,25,24,84,5

4,34,14,13,23,2

7,06,15,75,45,3

5,35,25,15,05,0

5,04,74,74,53,2

6,46,05,55,35,3

5,25,25,05,05,0

4,94,14,64,53,2

Puntaje

0 – 23 – 56 – 8

9 – 1112 – 1415 – 1718 – 2021 – 2324 – 2627 – 29

Frecuencia

2150

1102414234572751346623

Calcula la desviación estándar de la distribución.

U2 Pág. 34 - 57 6/30/08 10:45 PM Página 44


45Estadística II

Correlación

La correlación indica el grado de asociación de dos variables; la influencia quepueda tener una sobre la otra, lo que a veces permite encontrar funciones quepredicen ciertos comportamientos, como, por ejemplo, el modelo que se usapara aplicar la restricción vehicular.

Veamos algunos ejemplos gráficos.

PARA ARCHIVAR

El grado de asociación o correlación de dos variables puede ser:• positiva: están directamente relacionadas.• negativa: se relacionan de manera inversa.• nula: no existe relación entre ellas.

x2 – 4x – 960 = 0

EJERCICIOS

1. En las siguientes situaciones señala si la correla-ción es positiva, negativa o nula.

a. Cantidad de hijos de una familia y dinero gas-

tado por esa familia en el supermercado.

b. Edad de una persona y cantidad de libros que

ha leído.

c. Promedio en matemática de cuarto medio y

resultado de esa persona en la PSU de

matemática.

2. Averigua los promedios que tus compañerosobtuvieron en el primer semestre en los subsec-tores de Lengua Castellana y Comunicación,Historia y Ciencias Sociales, Educación Matemá-tica, Biología, Química y Física.

a. Calcula los coeficientes de correlación entre:

- Educación Matemática y Física

- Educación Matemática y Química

- Lengua Castellana y Comunicación

e Historia y Ciencias Sociales

- Química y Biología

- Lengua Castellana y Comunicación y

Educación Matemática

b. ¿Entre qué asignaturas existe mayor

correlación?

c. ¿Son lógicos los resultados? Justifica.

3. Al estudiar la relación entre la masa y la edad de

los niños de un jardín infantil, la directora obtu-

vo que el coeficiente de correlación de Pearson

era de 0,85, por lo que dedujo que había un alto

grado de asociación entre ambas variables.

Por otra parte, el director de una casa de reposo

para ancianos hizo el mismo estudio, obteniendo

como coeficiente de correlación 0,345, por lo

que determinó que la edad no tenía ninguna

relación con la masa. ¿A qué se deben estas

diferentes conjeturas.

TIPS

Para calcular el coeficiente de

correlación en Excel se utiliza la

función estadística COEF. DE

CORREL.

AYUDA

La correlación se puede medir

usando el coeficiente de corre-

lación lineal de Pearson (r).

r =

sxy = – x–

• y–

sx = Desviación típica x.

sy = Desviación típica y.

r cercano a 1, indica correlación

positiva.

r cercano a –1, indica correla-

ción negativa.

r cercano a cero, indica correla-

ción nula.

Σxi • yi

n

sxy

sx • sy

Correlación positiva Correlación negativa Correlación nula

n

i = 1

U2 Pág. 34 - 57 7/24/09 3:12 PM Página 45


46 Estadística II

CONTENIDOS

Medidas de localización: cuartiles, percentilesy deciles

Anteriormente aprendiste que la mediana de un conjunto de datos ordenados,de acuerdo a su magnitud, los separa en dos mitades.

Ahora estudiaremos otros valores típicos que dividen a un conjunto de datosnuméricos en cierta cantidad de partes iguales, como los cuartiles, deciles, per-centiles.

Ejemplo

En la distribución de notas de un grupo de alumnos, el cuartil Q2 es una notade referencia que permite afirmar que el 50% de los alumnos obtuvo esa notao una menor.

Ejemplo

En el caso anterior, el decil D6 es una nota de referencia que nos permite afir-mar que el 60% de los alumnos obtuvo esa nota o una menor.

CuartilLos cuartiles de una distribución de datos numéricos, corresponden alos 3 valores que dividen a estos en 4 partes iguales, es decir, al 25%,50% y 75%. Los cuartiles se designan por Q1(25%), Q2(50%) y Q3(75%).

Deciles

Los deciles de una distribución de datos numéricos corresponden alos 9 valores que dividen a estos en 10 partes iguales.Los deciles se designan por D1, D2, ..., D9

TIPS

Observa que, en el caso de los

cuartiles, la mediana corres-

ponde a Q2. En el caso de los

deciles, corresponde a D5.

Q1 Q2 Q3

25%

D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9

10%

La prueba de tolerancia a la glucosa

se realiza mediante muestras de

sangre, determinando si los niveles

de glicemia están dentro de los per-

centiles considerados normales.

IR A LA WEB



U2 Pág. 34 - 57 29/11/06 17:15 Page 46

Ejemplo

Calculemos el percentil 45 considerando la distribución de frecuencias de212 puntajes obtenidos en la PSU.

Puntaje Frecuencia absoluta Frecuencia acumulada

[400, 450[ 10 10

[450, 500[ 9 19

[500, 550[ 20 39

[550, 600[ 31 70

[600, 650[ 80 150

[650, 700[ 42 192

[700, 750[ 10 202

[750, 800[ 10 212

212


47Estadística II

PARA ARCHIVAR

Para calcular el n-ésimo percentil utilizamos la siguiente fórmula

Pn = Ii + (Ii + 1 – Ii) • , con

li : extremo izquierdo del intervalo donde se ubica el percentil.

li + 1 : extremo derecho del intervalo donde se ubica el percentil.

fi : frecuencia acumulada hasta li.

fi + 1 : frecuencia acumulada hasta li + 1.

fn : frecuencia acumulada hasta el percentil buscado (Pn).

fn – fifi + 1 – fi

Cuando queremos estudiar una muestra que contiene muchos datos, podemossubdividir esta en percentiles. Los percentiles de una distribución de datosnuméricos, corresponden a los 99 valores que dividen a estos en 100 partesiguales.Los percentiles se designan por P1, P2, … , P99

Ejemplo

El percentil P70 de una distribución de frecuencias dadas en una competenciadel lanzamiento de la jabalina, nos indica que el 70% de los competidoresalcanzó esa distancia o una menor.

AYUDA

Observa que: P50 equivale a la

mediana.

AYUDA

La frecuencia acumulada hasta

el percentil Pn, se calcula de la

siguiente manera:

fn = • N

(N: tamaño de la muestra).

n

100

TIPS

En Excel podemos calcular per-

centiles utilizando la función:

=PERCENTIL().

Por ejemplo, el percentil 5 de los

datos A1 hasta A6 se ingresa:

=PERCENTIL(A1:A6,5).

U2 Pág. 34 - 57 29/11/06 17:15 Page 47


48 Estadística II

CONTENIDOS

El 45% de los datos es 95,4, entonces fn = 95,4, este valor se encuentra en elintervalo [600, 650[. Además li = 600; li + 1 = 650; fi = 70; fi + 1 = 150.

Remplazando en la fórmula tenemos:

P45 = 600 + (650 – 600) • �� 615,9.

El resultado nos indica que el 45% de los alumnos obtuvo puntajes menores oiguales a 615,9.

NotaLa fórmula para encontrar un determinado percentil se puede generalizar paraencontrar cuartiles y deciles, solo varía el cálculo de fn.

(95,4 – 70)150 – 70

TIPS

Los percentiles, deciles y

cuartiles reciben el nombre de

cuantiles. Conocer estos valores

nos proporciona una impor-

tante información acerca de los

datos de una cierta distribución.

EJERCICIOS

1. A partir de los datos dados en la tabla anterior:

a. Calcula D3.

b. Calcula Q3.

c. ¿Qué información nos entrega (a) y (b)?

d. ¿Qué porcentaje de los 212 alumnos obtuvo

resultados entre 620 y 680 puntos?

2. Dada la siguiente tabla de distribución de fre-

cuencias, que muestra los puntajes obtenidos

por 50 alumnos en un test (se consideran va-

lores enteros), calcula:

Intervalo F. Absoluta F. Acumulada

[60, 64] 5 5

[65, 69] 5 10

[70, 74] 8 18

[75, 79] 12 30

[80, 84] 16 46

[85, 89] 4 50

a. P3

b. P90

c. Q1

d. Q3

e. Interpreta los resultados obtenidos.

3. ¿Qué significa que un alumno haya obtenido

un puntaje superior al noveno decil D9 en un

cuestionario de intereses científicos?

4. Analiza el siguiente cuadro que muestra la

evolución de la distribución del ingreso per

cápita entre 1987 y 1998 según quintiles

(divide a la muestra en 5 partes iguales).

Fuente: MIDEPLAN, encuesta CASEN.

a. Investiga sobre el monto de ingresos

per cápita en los años que indica el cuadro

y establece los valores por año y quintil.

b. Establece el significado de los quintiles y

su aporte como complemento a la media

aritmética que es el ingreso per cápita.

Quintil

I

II

III

IV

V

Total

1987

4,3

7,9

11,7

19

57,2

100

1990

4,4

8,2

12,3

18,1

56,9

100

1992

4,6

8,5

12,2

18,4

56,3

100

1994

4,3

8,2

12

18,5

56,9

100

1996

4,1

8,2

11,9

19,1

56,7

100

1998

4,1

8,2

11,8

19,1

56,9

100

Años

U2 Pág. 34 - 57 29/11/06 17:15 Page 48


49Estadística II

Diagrama de cajas

Ejemplo

Los siguientes datos corresponden a la masa (en kg) de 24 mujeres de 17 años.

44 48 48 48 48 50 50 5152 52 54 54 54 55 55 5555 57 57 57 57 58 60 61

Al analizar estos datos podemos obtener lo siguiente:

Tamaño muestra Mediana Cuartiles Valor mínimo Valor máximo Rango

Q1 = 50

24 54 Q2 = 54 44 61 17

Q3 = 57

Visualizaremos todos los elementos anterioresmediante el siguiente diagrama de caja.

Observa que en el gráfico, los extremos del rec-tángulo indican los cuartiles Q1 y Q3, mientrasque la línea que divide a este horizontalmenteindica la mediana (Q2).

Las líneas que sobresalen del rectángulo, indi-can el valor mínimo y máximo de la distribución,y el signo + indica la media aritmética.

EJERCICIOS

1. La siguiente tabla muestra la tasa de desocu-

pación, correspondiente a los meses de abril,

mayo y junio del 2005, según el Boletín Informa-

tivo del Instituto Nacional de Estadísticas.

Actividad Tasa desocupación

Agricultura, caza, pesca 685,01Minas y canteras 73,07Industria manufacturera 798,13Electricidad, gas y agua 30,69Construcción 451,36Comercio 1.122,93

a. Calcula la media.

b. Construye el diagrama de caja correspon-

diente.

c. ¿A qué crees que se debe la diferencia

entre la tasa de desocupación de cada

actividad?

d. Si la tasa de desocupación de servicios

financieros es de 510,32, ¿a qué cuartil

corresponde?

El diagrama de cajas consiste en un gráfico que muestra simultánea-mente diferentes características de un conjunto de datos, tales como,mediana, rango, cuartiles, valores extremos, etc.Este diagrama presenta los tres cuantiles, (y los valores mínimos ymáximos) alineados sobre una caja horizontal o verticalmente.

TIPS

A este tipo de gráfico se le llama

también “cajón con bigotes”.

AYUDA

Observa que Q1 = 50 indica

que el 25% pesó menos de

50 kilos o igual; Q2 que el

50% pesó menos o igual que

54 kilos y Q3 que el 75% pesó

menos de 57 kilos o igual.

AYUDA

En un gráfico de cajas se pue-

den expresar los datos de ma-

nera vertical u horizontal. 40

masa (kg)

50

6061

54

57

44

70

Q3

Q2

Q1

+

U2 Pág. 34 - 57 6/30/08 10:45 PM Página 49


50 Estadística II

CONTENIDOS

Muestras al azar

En determinadas ocasiones se debe obtener el número de elementos que tieneuna cierta población. Para este fin, se toma una muestra, se marca y se devuelvea la población originaria. Se vuelve a tomar una segunda muestra, y con los ele-mentos marcados de esta muestra, se forma una razón con su total, entregan-do así un total aproximado del tamaño de la población.

Ejemplo

Un grupo de científicos llegó al parque nacional Pan de Azúcar a estudiar lafauna del lugar. Observaron una gran colonia de pingüinos Humboldt, para cal-cular la cantidad total siguieron el siguiente procedimiento: Durante 4 días, endiversos lugares del parque, capturaron 120 pingüinos, a los cuales marcaroncon una cinta: a la semana, en diversos sitios del parque, capturaron 160 pingüi-nos, de los cuales 30 estaban marcados. Con esta simple proporción obtuvieronla cantidad aproximada de pingüinos en la isla.

= ⇒ 160 • = 640

Muestras representativas

El cálculo anterior no es más que una estimación de la cantidad de población,ya que dependerá de lo representativa que sea la muestra escogida. La esti-mación en la práctica es muy difícil, por esta razón se toman varias muestraspara mejorarla.

Para que la muestra sea representativa se deben considerar varios aspectos;uno de ellos es el tamaño de la muestra, mientras mayor sea su tamaño mayorserá su confiabilidad, pero a su vez más costoso será el estudio. Otro aspecto serelaciona con que todos los integrantes de la población tengan la misma pro-babilidad de ser seleccionados en la muestra, por este motivo la selección debeser al azar, es decir una muestra aleatoria.

Las muestras, al igual que las poblaciones, nos permiten calcular parámetrosestadísticos como la media, la desviación estándar, etc.; para diferenciarlosusaremos x

–y s, respectivamente, en el caso de la muestra, µµ y σσ en el caso de

la población.

12030

120N

30160

PARA ARCHIVAR

El tamaño de la población se aproxima despejando N de la ecuación:

= .n1N

mn2

Donde, n1 : tamaño de la primera muestra.

n2 : tamaño de la segunda muestra.

m : número de individuos marcados en la segunda muestra.

N : tamaño de la población.

AYUDA

Recuerda:

x–

: media muestral.

s : desviación estándar

muestral.

µµ : media poblacional.

σσ : desviación estándar

poblacional.

TIPS

El término muestreo es el nom-

bre que recibe la forma de

seleccionar a un individuo de la

población, para una muestra.

Algunas técnicas de muestreo

son: muestreo aleatorio, mues-

treo sistemático, muestreo

estratificado, entre otros.

U2 Pág. 34 - 57 29/11/06 17:15 Page 50


51Estadística II

Nivel de confianza

Si se desea conocer la media aritmética de una población, se puede obtener unintervalo, que con cierto nivel de confianza, pueda asegurar que esta se en-cuentra dentro de un intervalo.

Margen de error

El margen de error depende del nivel de confianza y del tamaño de la muestra.

Ejemplo

Un grupo de médicos de distintos hospitales desea saber cuánto tiempo per-manecen hospitalizados los pacientes con problemas cardíacos. Extraen unamuestra de 80 pacientes obteniendo una media muestral de 2,5 días; ellossabían que la desviación típica era de 4 días. Si el nivel de confianza es de un95%, ¿cuál es el intervalo?

�1,62 ; 3,38� con un 95% de confianza.

Por lo tanto, la cantidad de días que permanecerán los pacientes, será aproxi-madamente entre los valores dados en el intervalo.

2 5 1 964

80, ,± ⇒i

PARA ARCHIVAR

Llamaremos intervalo de confianza al intervalo en el cual se encuentrael verdadero valor del parámetro que se está estimando, con una proba-bilidad determinada. El nivel de confianza es la “probabilidad” de queel intervalo calculado contenga al verdadero valor del parámetro.La media poblacional se encuentra en el siguiente intervalo de confianza:

x–

, donde x–

: media muestralk: coeficiente asociado al nivel de confianza s: desviación estándar de la muestran: número de elementos de la muestra

± ks

n

PARA ARCHIVAR

Al estimar la media poblacional a partir de una muestra, el intervalo de

confianza está dado por: �x–

– E, x–

+ E� siendo E = (error).ks

n•

AYUDA

La estimación por intervalos, es

más útil, ya que se calculan dos

valores, entre los que se encon-

trará el parámetro, con un nivel

de confianza fijado de ante-

mano.

AYUDA

Un parámetro es una caracterís-

tica numérica de una población.

Equivale a una constante fija

para cada estudio particular.

AYUDA

El coeficiente k se obtiene de la

siguiente tabla.

68 0,99

75 1,15

80 1,28

90 1,64

95 1,96

96 2,05

97 2,17

98 2,32

99 2,58

Nivel deCoeficienteconfianza

k(%)

U2 Pág. 34 - 57 11/7/08 13:29 Page 51

1. Para estimar la cantidad de salmones en un

lago se realizó lo siguiente:

I. Se capturó una muestra al azar, se les

marcó y fueron devueltos al agua.

II. Breve tiempo después, se capturó una

nueva muestra, se registró la proporción de

salmones marcados versus el total de

salmones de la muestra.

a. Si en el primer proceso se capturan y

marcan 100 salmones. Posteriormente,

80 salmones, de los cuales 20 están

marcados, ¿cuántos salmones hay aproxi-

madamente en el lago?

2. Trabajo experimental: Se dispone de una bolsa

con 100 fichas numeradas y distribuidas como

lo indica la tabla.

a. Obtén muestras al azar de tamaño 10, 20 y

30. Calcula para cada una de ellas la media

de los valores de las fichas y su desviación

estándar.

b. Compara los valores de las medias y desvia-

ciones estándar obtenidos para cada muestra

de la pregunta a.

c. ¿Qué inferencias puedes sacar a partir de las

medias poblacionales anteriores?


52 Estadística II

CONTENIDOS

Tamaño de la muestra

El tamaño de la muestra está dado por el número de sujetos que componen lamuestra extraída de una población.

Ejemplo

En un colegio de 1.600 alumnos se está estudiando la relación entre la estatu-ra de los niños al nacer y otras variables. Se sabe que la desviación típica pobla-cional es de 1,5 cm y se desea estimar la media con un 99% de confianza y conun error máximo de 0,5 cm.

Se debe tomar al menos una muestra de 60 alumnos.

n kE

n=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ → = ≈,i σ2

59 9076 60

E kn n

, ,,

= → =i iσ0 5 2 58

1 5

PARA ARCHIVAR

El tamaño de la muestra se calcula de la siguiente forma:

donde, k: nivel de confianzaσσ: desviación estándar de la poblaciónE: margen de error

n kE

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

• σ2

EJERCICIOS

nk

En= → = =

, ,,

,i iσ 2 58 1 5

0 57 74

TIPS

El error porcentual está dado

por • 100.E

x–

Nº de ficha 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Cantidad 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

AYUDA

El tamaño de la muestra corres-

ponde al número mínimo de

unidades de análisis (personas,

organizaciones, municipios, etc),

que se necesitan para confor-

mar una muestra n que asegure

un error estándar menor que

un valor determinado, fijado

por el investigador, dado que

la población N.

U2 Pág. 34 - 57 30/6/08 12:36 Page 52


53Estadística II

Aplicaciones de la estadística

Ciencias naturalesLos estudios estadísticos, realizados por el Ministerio de Salud, relacionados conel estado nutricional de las personas, tienen como uno de sus objetivos el“supervisar la situación alimentario-nutricional de la población chilena, detec-tando grupos en riesgo de sufrir alguna forma de malnutrición, y normar laimplementación de acciones y programas orientados a prevenir el daño endichos grupos y en la población general” (www.minsal.cl). La siguiente tabla y gráfico nos muestran la cantidad de población adultomayor, de la Región Metropolitana, que se encuentra en algún estado de nor-malidad o no, en relación a su masa.

Fuente: Estado nutricional del adulto mayor en control, según servicios de salud,

(diciembre 2004), www.minsal.cl, julio 2005.

¿Qué puedes concluir?De la población estudiada, observamos que en toda la Región Metropolitana lapoblación se ordena en: personas con peso normal, sobrepeso, obesidad y bajopeso. Por otro lado, la cantidad de población con sobrepeso y obesidad, superaen demasía a la población con peso normal. Siendo el rango de bajo peso, elque considera la menor porción de población adulto mayor.

Metropolitano norte

Metropolitano occidente

Metropolitano central

Metropolitano oriente

Metropolitano sur

Metropolitano oriente

Bajo peso

2.2202.2181.4533.6472.7272.527

Peso normal

8.45413.3565.760

14.51411.82710.898

Sobrepeso

7.58010.0004.8069.433

11.0178.926

Obesidad

6.8789.9884.0197.1838.8947.816

ESTADO NUTRICIONAL DEL ADULTO MAYOR EN CONTROL,SEGÚN SERVICIOS DE SALUD, DICIEMBRE 2004.

Bajo peso

Peso normal

Sobrepeso

Obesidad

Met

ropo

litan

ono

rte

Met

ropo

litan

o oc

cide

nte

Met

ropo

litan

oce

ntra

l

Met

ropo

litan

oor

ient

e

Met

ropo

litan

osu

r

Met

ropo

litan

osu

r or

ient

e

Cant

idad

de

pers

onas

16.000

14.000

12.000

10.000

8.000

6.000

4.000

2.000

0En los últimos 40 años, el grupo lla-

mado “adulto mayor” ha crecido

más de un 25%, llegando a repre-

sentar más del 10% de la pobla-

ción total. Por este motivo, el país

ha creado nuevas políticas, con el

fin de mejorar su calidad de vida.

U2 Pág. 34 - 57 6/30/08 10:45 PM Página 53


54 Estadística II

CONTENIDOS

Al igual que las ciencias naturales, la estadística es aplicable a otros campos,tales como las ciencias humanas, económicas, entre otras.

Ciencias humanasEn la tabla se observa que la asistencia delos chilenos a espectáculos masivos hacambiado en los 10 últimos años. Seaprecia claramente un aumento en even-tos de orden artístico cultural, como sonel teatro, los conciertos y los recitales; unresurgimiento del cine, y una leve bajaen los espectáculos deportivos. El cinebajó mucho durante la década de los 90debido al auge de los video club y cuan-do parecía que este iba a ser un espec-táculo cada vez menos masivo, hubo unresurgimiento producto de un cambio enel concepto del cine.

En vez de tener grandes salas para mostrar una gran película, ahora se tienenmuchas salas pequeñas con gran variedad de películas, más un ambienteacogedor y venta de chocolates, cabritas, bebidas, etc. El cine volvió a ser atrac-tivo, pues es una alternativa interesante y entretenida que permite desconec-tarse de los deberes del hogar, cosa que no se logra con el video.

Ciencias económicas

Fuente: indicadores del mes de INE, Empleo y sectoriales. Boletín Nº 81 de junio de 2005Distribución de energía eléctrica por sectores económicos. Junio 2005.

EN EQUIPO

Según la información de

ciencias humanas, contesten

las siguientes preguntas:

a. ¿Cuál de los espectáculos

tuvo mayor aumento en

estos años?

b. De mantenerse el ritmo

de aumento de asistencia

al cine, ¿en qué año se

superará la asistencia de

1989? ¿La asistencia a este

tipo de espectáculos, sería

superior a los años señala-

dos en la tabla?

Fundamenten.

c. Si hicieran una encuesta

este año, ¿la asistencia a

este tipo de espectáculos

sería superior a los años

señalados en la tabla?

Fundamenten.

EN EQUIPO

¿A qué causas atribuyen uste-

des que el área agrícola utilice

menor cantidad de energía

eléctrica?

Fuente: Anuario de Cultura y Medios de Comunicación 1989–1998 y Datos preliminares 1999.

Año

19891990199119921993199419951996199719981999

Conciertos

110122113 127 203159145156225230 308

Espectáculos deportivos

6.9577.034 7.5248.816 8.1407.8075.4677.4837.1456.3005.885

Cine

9.2587.2576.2425.1894.8564.2624.4034.0545.0396.1987.739

Teatro

195150158246179221175247354352 407

Recitales

246275191333 273 331 403306440373512

Tasa de asistentes (Por cien mil habitantes) Cine, Teatro, Recitales, Conciertos y Espectáculos Deportivos

1989-1999 (promedio mensual)

U2 Pág. 34 - 57 29/11/06 17:15 Page 54


55Estadística II

50,00

45,00

40,00

35,00

30,00

25,00

20,00

15,00

10,00

5,00

0,00<15 años15-19 20-24 25-29 30-34 35-39 40-44 45-49 50-54 55-59 60 y más

PorcentajePorcentajes de matrimonios por grupos de edad

del contrayente. 1980 y 1998

Grupo de edad del contrayente

1980

1998

EJERCICIOS

1. En la tabla y en el gráfico se aprecia la evolución

de la relación edad/matrimonio en los últimos

años.

a. ¿Qué conclusiones se obtienen con respecto a

las edades en que se casan las personas?

b. ¿Cómo es la distribución de las edades en que

se casa la gente? ¿Por qué?

2. En una provincia se desea establecer la media de

los sueldos, con un 99% de confianza y con un

error máximo de $ 15.000. Si se sabe que la

desviación estándar es de $ 100.000, ¿de qué

tamaño debe ser la muestra?

3. El IPC se calcula sobre la base de un promedio

ponderado, de modo que cada rubro tiene dis-

tinta importancia de acuerdo a los consumos de

la población.

a. Observa la tabla y determina cuál es el rubro

que tiene mayor importancia.

b. ¿Por qué crees tú que los rubros de salud y

educación son los que más subieron?

c. ¿Por qué crees tú que el rubro vestuario es el

que más bajó?

4. El gráfico muestra la variación de las ventas de

marzo de 2004 comparado con noviembre del

2005.

a. ¿Por qué crees tú que se compara con el

mismo mes del año anterior?

b. Averigua qué diferencias hay entre los indi-

cadores nominal y real.

Año

1980198119821983198419851986198719881989199019911992199319941995199619971998

Hombre

26,626,727,026,927,027,027,027,127,227,227,527,827,927,727,928,028,328,528,9

Mujer

23,823,924,324,224,324,324,424,624,724,725,025,225,325,225,425,525,826,026,3

Edad media al matrimoniopor sexo de los contrayentes

1980–1998

Fuente: INE. Anuario de Demografía. Serie 1980-1988.9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Nominal

Real

Marzo 04/Marzo 05

Marzo 05/Marzo 04

Variación anual %

2,03,50,1

–4,84,44,94,90,02,6

Grupos

AlimentaciónViviendaEquipamiento de la ViviendaVestuarioTransporteSaludEducación y RecreaciónOtrosÍndice General

IPC 2001Variaciones e incidencias anuales

Incidencia anual

0,520,730,00

–0,310,650,470,560,002,64

Indicadores del mes precios y remuneraciones del INE, Boletín Nº 38,www.ine.cl, enero 2002.

Fuente: www.ine.cl, julio 2005.

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56 Estadística II

CONTENIDOS

Distribución normal

Cuando una variable continua tiene distribu-ción normal, su gráfico es similar al indicado.Como se observa, tiene forma de campana(conocida como campana de Gauss) y essimétrico con respecto a la media, ademáspresenta pocos valores extremos.Además, se sabe que si una población tienemedia µµ y desviación típica σσ, se cumple losiguiente:

La distribución normal, una de las más importantes, recibe su nom-bre debido a que en cierto momento se pensó que la mayoría de losfenómenos estaban distribuidos de dicha manera. Esta distribuciónnos permite representar fenómenos estadísticos de manera proba-bilística.

PARA ARCHIVAR

Una de las distribuciones probabilísticas de variables continuas es la distribu-ción normal, cuya representación gráfica tiene una forma muy conocida enel ámbito de la estadística y las ciencias naturales: la campana de Gauss.

EJERCICIOS

1. Determina en cuáles de los siguientes casos se

trata de una población con distribución normal.

a. Sueldos que se pagan en una empresa.

b. Edad a la que una persona muere.

2. De un colegio mixto egresaron 210 varones y

225 damas. Las edades de los varones se dis-

tribuyen N(18,8; 0,4) y las de las damas,

N(18,2; 0,6).

a. ¿Cuántos varones tenían más de 18 años?

b. ¿Cuántas damas tenían más de 17 años?

c. Si se selecciona un alumno al azar, ¿cuál es

la probabilidad de que tenga a lo menos

18,8 años?

c. El 99,7% de los individuos se

encuentran en el intervalo

�µµ – 3σσ , µµ + 3σσ�.

a. El 68,3% de los individuos se


�µµ – σσ , µµ + σσ�.

b. El 95,5% de los individuos se


�µµ – 2σσ , µµ + 2σσ�.

HISTORIA

Abraham de Moivre

(1667-1754)

Matemático francés exiliado en

Londres, donde publicó en 1733

una obra en la que aparece por

primera vez la curva de distribu-

ción de los errores, que con el

tiempo conocemos como distri-

bución normal de Gauss.

AYUDA

Si una población tiene distribu-

ción normal con media µ y

desviación típica σσ, anotamos

que ella distribuye N(µ, σσ).

68,3% 95,5% 99,7%

µµ – σσ µµ µµ µµ

m

µµ + σσ µµ – 2σσ µµ + 2σσ µµ – 3σσ µµ + 3σσ

U2 Pág. 34 - 57 29/11/06 17:15 Page 56

AYUDA


57Estadística II

Ejemplo

El resultado de una prueba de cuarto medio, tiene una distribu-ción N(5,3 ; 0,6). El total de estudiantes que rindió la prueba esde 150. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger un estudianteal azar este haya obtenido al menos un 6,0?

Calcularemos la probabilidad de que un alumno tenga menos deun 6,0; para facilitar el uso de la tabla, el complemento será lobuscado.

z = = = 1,16 �� 1,2

En la tabla, 1,2 corresponde a 0,8849; por lo tanto,1 – 0,8849 = 0,1151 (probabilidad de obtener un alumno con notaigual o superior a 6,0, o bien el 11,51% de los alumnos obtuvouna nota perteneciente a ese intervalo).

0,70,6

6,0 – 5,30,6

PARA ARCHIVAR

Se puede demostrar que si X es una variable que se distribuye N(µµ, σσ),

utilizando la variable Z = , distribuirá N(0, 1).

A este procedimiento se le conoce como tipificación.

La ventaja de la variable Z es que existen valores tabulados para ella (verayuda), de modo que se pueden hacer cálculos de probabilidades y tama-ños de grupos de población con solo usar correctamente la tabla, y luegohacer los cálculos correspondientes.

X – µµσσ

EJERCICIOS

1. Utilizando los datos dados en el ejemplo ante-

rior, determina cuántos alumnos reprobaron.

2. Las estaturas de los recién nacidos en un hospi-

tal distribuyen N(46, 2), en cm. Calcula la pro-

babilidad de que:

a. Un bebé mida menos de 44 cm.

b. Un bebé mida más de 50 cm.

3. Se ha calculado que los gastos de los jóvenes

en un fin de semana tienen una distribución

N(8.500, 5.700), en pesos.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que un joven

gaste más de $ 20.000?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que un joven

gaste entre $ 5.000 y $ 10.000?

c. Si un joven invita a su pareja, ¿cuál es la

probabilidad de que gaste menos de

$ 25.000?

Ayuda(tabla pag 204 cuarto medio)

P(Z < z)

z

HISTORIA

C. Friedrich Gauss

(1777–1855)

Matemático alemán llamado el

“príncipe de las matemáticas”.

Entre sus contribuciones desta-

can la demostración del teorema

fundamental de álgebra y el des-

cubrimiento de la distribución

normal.

z

–3,0

–2,9

–2,8

–2,7

–2,6

–2,5

–2,4

–2,3

–2,2

–2,1

–2,0

–1,9

–1,8

–1,7

–1,6

–1,5

P(Z < z)

0,0013

0,0019

0,0026

0,0035

0,0047

0,0062

0,0082

0,0107

0,0139

0,0179

0,0228

0,0287

0,0359

0,0446

0,0548

0,0668

z

–1,4

–1,3

–1,2

–1,1

–1,0

–0,9

–0,8

–0,7

–0,6

–0,5

–0,4

–0,3

–0,2

–0,1

0,0

0,1

P(Z < z)

0,0808

0,0968

0,1151

0,1357

0,1587

0,1841

0,2119

0,2420

0,2743

0,3085

0,3446

0,3821

0,4207

0,4602

0,5000

0,5398

z

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

P(Z < z)

0,5793

0,6179

0,6554

0,6915

0,7257

0,7580

0,7881

0,8159

0,8413

0,8643

0,8849

0,9032

0,9192

0,9332

0,9452

0,9554

z

1,8

1,9

2,0

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

2,7

2,8

2,9

3,0

3,1

3,2

3,3

P(Z < z)

0,9641

0,9713

0,9772

0,9821

0,9861

0,9893

0,9918

0,9938

0,9953

0,9965

0,9974

0,9981

0,9987

0,9990

0,9993

0,9995

U2 Pág. 34 - 57 29/11/06 17:15 Page 57


58 Estadística II


Dicho de otra forma:

Jorge obtuvo un mejor

rendimiento en biología

ya que 1 • s está por

encima de x–

, mientras

que en física está

solamente 0,875 • ssobre x

–, aun cuando

obtuvo nota más

alta en física.

Ejercicio 1

Jorge obtuvo un 5,4 en biología y un 5,7 en física. Si los promedios en ambasasignaturas fueron 4,8 y 5,0 y las desviaciones estándar 0,6 y 0,8,respectivamente, ¿en qué asignatura obtuvo un lugar relativo mejor?

Solución

Los datos entregados, por cada asignatura son: nota cualquiera: 5,4 y 5,7media aritmética: 4,8 y 5,0desviación estándar: 0,6 y 0,8

Como se quiere conocer en cuál de las asignaturas Jorge tuvo un rendi-miento relativamente mejor, obtendremos los puntajes tipificados de cadaasignatura (o puntajes z).

Biología

z = ⇒ z = 1 ⇒ valor tabulado correspondiente: 0,8413⇒ equivale aproximadamente a 84%

Física

z = ⇒ z = 0,875 ⇒ valor tabulado correspondiente: 0,7881⇒ equivale aproximadamente a 78%

En relación a la media x–

, Jorge obtuvo un mejor rendimiento en biologíaque en física, ya que, su puntaje z, está por encima de la media x

–.

Ejercicio 2

El siguiente gráfico corresponde a las tasas de natalidad de ciertos países deOriente Medio (grupo 4) y Asia (grupo 5).

5,7 – 5,00,8

5,4 – 4,80,6

El valor tipificado se

encuentra a través de la

expresión: z = x – µµ

σσ

1

2

3

4

5

6

0 10 20 30 40 50 60Tasa natalidad

Gráficos de caja

Grupo

U2 Pág. 58 - 67 29/11/06 17:16 Page 58


59Estadística II

Los datos, de tasa de natalidad , utilizados para construir el gráfico anteriorcorresponden a:

grupo Oriente Medio: 42,6 22,3 26,8 29,2 38,9 42,128,4 42,5 22,8 45,6 31,7

grupo Asia: 28,6 21,2 30,5 21,3 11,7 30,342,2 39,6 41,4 31,6 17,8 31,833,2 23,5 36,1 40,4 22,3

a. Obtén los cuartiles de cada grupo de datos.b. Encuentra el promedio de cada grupo de datos.c. Encuentra la mediana de cada grupo de datos.d. Obtén el valor máximo y mínimo de cada grupo de datos.e. Con los datos obtenidos y la gráfica dada, ¿qué puedes concluir, en

relación a la tasa de natalidad de cada país?

Solución

a. Q1 Q2 Q3

Oriente Medio 27,6 31,7 42,3

Asia 22,3 30,5 36,1

b. x–

Oriente Medio = �� 33,99 ; x–

Asia = �� 29,62

c. La mediana de cada grupo corresponde al valor del cuartil 2 (Q2).

Oriente Medio: 31,7Asia: 30,5

d. Valor mínimo Valor máximo Rango

Oriente Medio 22,3 45,6 23,3

Asia 11,7 42,2 30,5

e. Como el valor mínimo de Oriente Medio coincide con el valor del Q1de Asia, podemos decir que la tasa de natalidad de los países de esteúltimo grupo es más baja. Las tasas de natalidad de los países de Asia se encuentran másdispersas, ya que la distancia del primer al segundo cuartil es bastantemás amplia que del segundo al tercero. En cambio la mayor dispersión,en el otro grupo, se encuentra entre el segundo y tercer cuartil,confirmando de esta manera que los países de Oriente Medio tienenuna menor tasa de natalidad.

503,517

373,911

La tasa de natalidad

corresponde a niños

nacidos vivos en el año

por cada

1.000 habitantes.

El cálculo de los cuartiles

se pueden obtener en el

programa EXCEL.Recuerda que se debe

anotar, = CUARTIL().Ejemplo:

= CUARTIL(A1: A6; 2). A1: fila en la cual se ubica

el primer dato ordenado.

A6: fila en la cual se ubica

el último dato ordenado.

2: segundo cuartil.

Para obtener el valor de

la mediana hay que

ordenar los datos

entregados. El valor debe

coincidir con el valor del

Q2.

U2 Pág. 58 - 67 29/11/06 17:16 Page 59


60 Estadística II

DESAFÍOS

1. (Ensayo PSU, 2004) Alberto, Sebastián y Carlos

juegan a lanzar un dado 2 veces y gana el que

obtiene una suma par. En el primer lanzamiento

Alberto obtiene un 2, Sebastián un 3 y Carlos un

6. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verda-

dera?

A. Todos tienen probabilidad de ganar.

B. Todos tienen probabilidad de ganar.

C. El que tiene más probabilidad de ganar es

Carlos.

D. Carlos tiene más probabilidad de ganar que

Alberto.

E. Sebastián tiene menos probabilidad de

ganar que Alberto y Carlos.

2. (Ensayo PSU, 2004) La tabla muestra las edades

de 220 alumnos de un colegio. ¿Cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La moda es 17 años.II) La mediana es mayor que la media (prome-

dio).III) La mitad de los alumnos del colegio tiene

17 o 19 años.

A. Solo I C. I y III E. I, II y III

B. I y II D. II y III

3. (Facsímil PSU, Demre, 2004) En un supermercado

el precio de costo de un kilogramo de pan es de

$ 600 y lo venden en $ 820; las conservas de

mariscos tienen un costo de $ 800 y las venden en

$ 1.060. Si la política de asignación de precios del

supermercado es lineal, ¿cuál es el precio de venta

de un kilogramo de arroz cuyo costo es $ 400?

A. $ 600 C. $ 547 E. $ 530

B. $ 580 D. $ 537

4. (Pisa, 2003) En la figura, se tiene una ruleta en

que la flecha puede indicar cualquiera de los

4 sectores y ella nunca cae en los límites de

dichos sectores. ¿Cuál(es) de las siguientes

proposiciones es(son) verdadera(s)?

I) La probabilidad de que la flecha apunte al

número 1 es de .

II) La probabilidad de que la flecha apunte al

número 2 es de .

III) La probabilidad de que la flecha apunte al

número 2 o al 3 es de .

A. Solo I C. Solo III E. Todas.

B. Solo II D. I y II

5. (Facsímil PSU, Demre, 2004) El gráfico de la figura

muestra las preferencias de 30 personas en

actividades deportivas. ¿Cuál(es) de las siguien-

tes afirmaciones es(son) correctas(s)?

I) La frecuencia relativa del grupo de fútbol esde 40%.

II) Las frecuencia relativa del grupo debasquetbol es de 30%.

III) La mitad del grupo no prefirió fútbol ni tenis.

A. Solo I C. Solo III E. Todas.


23

14

12

13

12

Edad (en años) 15 16 17 18 19

Alumnos 50 40 60 50 20

fútbol12

basquetbol9

atletismo6

tenis3

U2 Pág. 58 - 67 29/11/06 17:16 Page 60


61Estadística II

MEDIOS

¿Cuántas personas tendrán un accidente mañana?

A partir de la información diaria relativa a los accidentes del tránsito, se pueden construir estadísticasque permitan inferir de manera aproximada la cantidad de muertos en futuros accidentes. Porejemplo, se espera que en las épocas de fiestas patrias mueran, aunque no quisiéramos, ciertacantidad de personas. Carabineros de Chile en su sitio web publica a diario, estadísticas sobre accidentes y sus causas. (Verwww.carabinerosdechile.cl)

1. Construye en una planilla de cálculo distintostipos de gráficos asociados a estos datos.

2. Actualiza estos datos según el día actual.

3. ¿En qué medida ayuda conocer las estadísticas

de accidentes del tránsito?

4. Quizás muy pronto tendrás la oportunidad de

obtener tu licencia de conducir, por lo que sería

muy bueno averiguar las causas más importantes

detectadas en los accidentes. Construye un

gráfico con la información que obtengas.

U2 Pág. 58 - 67 29/11/06 17:16 Page 61


62 Estadística II

SÍNTESIS

Mapaconceptual

Resumen


Conceptos clave:

Media

Moda

Mediana

Rango

Desviación media

Desviación estándar

Correlación

Muestra

Error porcentual

Intervalo de confianza

1 Media aritmética: cociente entre la suma de todos los valores de un con-

junto de datos y la frecuencia total de estos. Está dada por la expresión:

2 Mediana: dato que ocupa el valor central de un conjunto de datos

ordenados según magnitud (decreciente o creciente).

3 Moda: la moda de un conjunto de datos es el valor que presenta

mayor frecuencia.

4 Rango: diferencia entre el mayor valor y menor valor de una

distribución de datos.

5 Desviación: representa el mayor o menor alejamiento de un dato

respecto a la media aritmética, para calcularla, utilizamos la fórmula:

d = x – x–

x–

= = n

x1 + x2 + … + xnn

(para datos no agrupados)

n

k = 1Σ xk

x–

= = f1x1 + f2x2 + … + fjxj

f1 + f2 + … + fj

j

k = 1Σ fk xk

j

k = 1Σ fk(para datos agrupados)

, donde j es el númerode intervalos en que se agrupan los datos.

U2 Pág. 58 - 67 6/30/08 10:47 PM Página 62


63Estadística II

6 Desviación respecto a la media: media aritmética de las desviaciones abso-

lutas respecto de la media. Se calcula utilizando la fórmula:

DM = o DM =

(para datos no agrupados) (para datos agrupados)

7 Desviación estándar o típica: representa el grado de dispersión de los datos

respecto a la media, la calculamos utilizando la expresión:

s = o s =

(para datos no agrupados) (para datos agrupados)

8 Correlación: indica el grado de asociación de dos variables, esta puede

ser positiva, negativa o nula.

9 Tamaño de la población: número de individuos que pertenecen a una

cierta población, se calcula mediante la proporción: = ,

(n1: tamaño de la primera muestra; n2: tamaño de la segunda muestra;

m: número de marcados en segunda muestra; N: tamaño de la población).

10 Tamaño muestral: se calcula utilizando la expresión: n = � �2

(k: nivel de confianza; σσ: desviación estándar de la población; E: margen

de error).

11 Margen de error: se calcula utilizando la expresión: E = k • ;

s: desviación estándar; k: coeficiente asociado al nivel de confianza;

n: número de elementos de la muestra.

El error puede ser expresado de manera porcentual dado por • 100 .

12 Intervalo de confianza: intervalo que con cierto nivel de confianza, nos

asegura que dentro de él se encuentra la media poblacional.

Está dado por � x–

– E, x–

+ E � , donde E es el margen de error.

13 Medidas de localización: dividen a una distribución de datos en una cierta

cantidad de partes iguales, los más conocidos son cuartiles (cuatro partes

iguales), deciles (diez partes iguales) y percentiles (cien partes iguales).

E

x–

s

k • σσE

n1N

mn2

f x x

n

i −( )∑ 2x x

n

kk

n

−( )=

∑2

1

f x x

f

i −∑∑

x x

n

kk

n

−=

∑1

n

U2 Pág. 58 - 67 30/6/08 12:38 Page 63


64 Estadística II

EVALUACIÓN

1. Las edades de los jóvenes de un grupo

musical son 15, 14, 13, 15, 14 y 13 años.

Entonces, es verdadero que:

I) la media es 14 años.

II) la mediana es 15 años.

III) la desviación típica es años.

A. Solo I D. I y II


C. Solo III

2. La tabla muestra las

edades de los jóvenes

de un grupo de una

parroquia. Con respecto

a la información de la

tabla, es falso que:

A. el 25% tiene 15 años.

B. la moda es 16 años.

C. la media es alrededor de 15 años.

D. el 35,7% tiene 16 años.

E. la mediana es 16 años.

3. Las notas de Claudia en Física son: 3,5; 4,2;

5,3; 2,8; 5,6 y 5,6. Con respecto a esta

situación, es verdadero que:

I) su media es 4,5.

II) la moda es un 5,6.

III) si Claudia obtiene en un trabajo un 6,5 ylo remplaza por su peor nota, su mediaahora es un 5,1.

A. Solo I D. I y II

B. Solo II E. Todas.

C. II y III

4. Antonia lleva un 5,5 de promedio con

4 notas en Física y debe rendir la Prueba

Coeficiente 2. Con respecto a esta situación,

es verdadero que:

I) si se saca un 7,0 en la prueba global supromedio sube a 6,0.

II) si se saca un 4,0 en la prueba global supromedio baja a 5,0.

III) No se puede sacar el promedio si no seconocen las otras notas.

A. Solo I D. I y II

B. Solo II E. Ninguna.

C. Solo III

5. En la selección de voleibol de un colegio A,

la media de las estaturas es 183 cm y la

desviación típica 3,5 cm. En otro colegio B,

la media es 174 cm y la desviación típica es

5 cm. Entonces:

I) los seleccionados de B tienen unaestatura más pareja que en A.

II) los seleccionados más altos están en A.

III) los seleccionados más bajos están en B.

A. Solo I C. Solo III E. II y III


6. Con respecto al coeficiente de correlación de

Pearson es verdadero que:

I) Cuando su valor es cercano a 1, haycorrelación positiva.

II) Cuando su valor es cercano a 0,5, lacorrelación es nula.

III) Cuando su valor es 0, la correlación esnegativa.

A. Solo I C. Solo III E. Todas

B. Solo II D. II y III

23

Edad fi

14 615 816 1217 6

Total 32

U2 Pág. 58 - 67 7/24/09 3:15 PM Página 64


65Estadística II

7. En un zoológico desean saber cuántos loros

hay. Escogen una muestra de 50 loros y los

marcan; al día siguiente toman una muestra

de 40 y observan que 5 de ellos están

marcados. El total aproximado de loros del

zoológico es:

A. 100 C. 400 E. 350

B. 250 D. 200

8. Cecilia, en su preparación para la PSU de

lenguaje, realizó 10 ensayos y su tiempo

promedio fue de una hora y media. Ella sabe

que su desviación típica es de 20 minutos. Si

se asume un nivel de confianza del 95%, el

error máximo en tiempo, el día que rinda la

prueba, será aproximadamente:

A. 0,14 minutos.

B. 12 minutos.

C. 13 minutos.

D. 3,92 minutos.

E. Ninguna de las anteriores.

9. En un colegio de 4.000 alumnos, las notas en

matemáticas se distribuyen N(5,2; 0,6).

¿Alrededor de cuántos alumnos tienen pro-

medio sobre 6,0?

A. 0,9032 C. 10% E. 500

B. 0,0968 D. 390

10. Un consultorio realizó un estudio para

determinar la masa de la población femenina

de su comuna obteniendo una distribución

N(62, 5). ¿Alrededor de qué porcentaje de la

cantidad de mujeres de la comuna tienen una

masa entre 57 y 62 kilogramos?

A. 99% C. 68% E. 24%

B. 95% D. 34%

11. Se desea saber las preferencias musicales de la

juventud chilena y para ello se decide hacer

una encuesta. ¿Cuál de los siguientes procedi-

mientos asegura una muestra representativa?

A. Se encuesta a 100 jóvenes en el centro delas principales ciudades.

B. Se encuesta a 2.000 jóvenes a la salida delos liceos de acuerdo a la cantidad dealumnos de cada liceo.

C. Se consigue en el registro civil una listade todos los jóvenes del país y seseleccionan 2.500 al azar.

D. Se pide a los jóvenes que den su opiniónen una radio de alcance nacional.

E. Se invita a los jóvenes a participar en suscomunas habilitando formularios ybuzones.

12. La vida media de una pila (en horas) tiene

una distribución N(150, 50). ¿Cuál es la

probabilidad (en porcentaje) de que dure

menos de 50 horas?

A. 2% C. 16% E. 68%

B. 4% D. 32%

13. En la selección de personal para un museo

de historia, se realizará una prueba de

conocimientos básicos de Historia de Chile.

Se sabe que los puntajes distribuyen

N(132, 18) y tan solo el 10% de los puntajes

más altos será seleccionado.

Aproximadamente, ¿desde qué puntaje se

aceptará a los candidatos?

A. 109

B. 155

C. 190

D. No se puede determinar.


U2 Pág. 58 - 67 29/11/06 17:16 Page 65


66 Estadística II


1. En un curso universitario se sabe que la moda

de las edades es de 20 años, la mediana es

21 años, el menor de los alumnos tiene 19 años

y el mayor 23 años. Si hubiera uno más que

tuviera 22 años, la moda sería ésta. Si en total

hay 9 alumnos, construye una tabla de fre-

cuencias con sus edades y calcula la media, la

desviación media y la desviación estándar.

2. Calcula la media del tiempo de espera en un

consultorio de acuerdo a la siguiente tabla.

Tiempo (min) fi

[0 – 10[ 2

[10 – 20[ 12

[20 – 30[ 15

[30 – 40[ 10

[40 – 50[ 8

[50 – 60[ 7

3. En un curso hay 24 hombres y 16 mujeres. En

la tabla se muestra la estatura y la masa

promedio.

Estatura (m) Masa (kg)

Hombres 1,78 74

Mujeres 1,59 56

Calcula la media de la estatura y de la masa

del total del curso.

4. Los números que aparecen a continuación co-

rresponden a la cantidad de preguntas omitidas

en un ensayo de PSU de un cuarto medio:

6 - 0 - 7 - 15 - 2 - 5 - 36 - 18 - 9 - 3 - 2 - 0 - 1 - 4 -4 - 6 - 7 - 5 - 8 - 10 - 9 - 0 - 3 - 0 - 2 - 0 - 8 - 9 -22 - 16 - 0 - 4 - 7 - 0 - 12 - 11 - 0 - 6 - 8 - 0 - 0 - 9

a. Calcula la media, la mediana, moda, rango

y desviación estándar.

b. ¿Qué valores distorsionan la media y no

son representativos del curso?

5. En las siguientes situaciones indica si la corre-

lación es positiva, negativa o nula. Fundamenta

tu respuesta.

a. Sueldo de una persona comparado con el

dinero que destina a recreación.

b. Estatura de una persona comparado con el

número de calzado que usa.

c. Estatura de una persona comparado con el

número de cabezazos que se da con lám-

paras colgantes.

d. Edad de una persona comparada con la

cantidad de veces que ha salido de vaca-

ciones en su vida.

e. Notas promedio de una persona en la ense-

ñanza media comparada con puntaje en la

PSU.

f. Número de cesáreas comparado con núme-

ro de partos normales.

g. Peso de una persona comparado con su can-

tidad de dientes.

h. Lugar de un tenista en el ranking mundial

comparado con su número de derrotas.

6. En una feria ganadera se remataron 9 terne-

ros, de acuerdo con el siguiente cuadro:

Cabezas Peso (kg) Precio ($ x kg)

3 204 496

2 148 488

4 196 482

Calcula:

a. El peso promedio ponderado.

b. El precio promedio ponderado por kilo-

gramo.

U2 Pág. 58 - 67 29/11/06 17:16 Page 66


67Estadística II

Frecuencia

193

251

1.156

2.747

9.152

10.718

24.176

27.609

28.480

22.830

14.183

6.223

2.721

1.822

1.209

Intervalo

[100,149]

[150,199]

[200,249]

[250,299]

[300,349]

[350,399]

[400,449]

[450,499]

[500,549]

[550,599]

[600,649]

[650,699]

[700,749]

[750,799]

[800,849]

7. La siguiente tabla presenta los puntajes

obtenidos por los jóvenes que rindieron la PSU

Matemática en el año 2003.

a. ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvo punta-

jes iguales o superiores a los del intervalo

[700,749]?

b. Calcula los percentiles 10, 30, 40, 60, 70, 80

y 90.

c. Calcula la mediana y la desviación estándar

de esta distribución de puntajes.

d. Calcula Q1, Q2 y Q3.

e. Calcula el segundo decil (D2) y el quinto

decil (D5).

f. ¿A qué percentil corresponde, aproximada-

mente, el puntaje 628?

8. Un fabricante asegura que el contenido pro-

medio de nicotina de sus cigarrillos es de 2 mg.

Para verificar esto se realizó un estudio con una

muestra aleatoria de 45 cigarrillos, obtenién-

dose un promedio de 3 mg de nicotina. Se sabe

que el contenido de nicotina de un cigarrillo

sigue una distribución normal con desviación

estándar de 0,5 mg.

a. Obtén e interpreta un intervalo con un 95%

de confianza para el verdadero promedio.

b. Obtén el intervalo con un 80% de confianza

para la media.

c. ¿Qué puedes concluir en relación con lo que

dice el fabricante?

9. En una misma prueba de Inglés dos cursos,

C y D, obtuvieron resultados cuyos datos esta-

dísticos son los siguientes:

Curso C Curso D

x–

5,0 5,1

s 0,6 0,5

De acuerdo con estos datos:

a. Compara el resultado de ambos cursos.

b. Un alumno del curso C obtuvo un 6,0 y uno

del curso D, un 6,2. ¿A cuál de los dos alum-

nos les fue mejor en la prueba, en relación a

su curso?

c. Suponiendo que las notas se distribuyeron en

forma normal, ¿entre qué notas por debajo y

por encima del promedio se encuentra el

68,3% central de los alumnos en cada curso?

10. Un apicultor desea conocer, con fines industria-

les, la cantidad de miel producida por las abejas

de colmenas. Estudios anteriores indican que la

desviación estándar es de 10 kg anuales.

a. ¿Cuántas colmenas debe incluir en su estu-

dio, si admite un error máximo de 2 kg y un

98% de confianza?

b. Si desea disminuir su error en un 50%, ¿cuán-

tas colmenas más debe incluir en el estudio?

c. ¿Qué relación hay entre los resultados obte-

nidos?

U2 Pág. 58 - 67 6/30/08 10:48 PM Página 67

Muy cerca del lugardonde se clonó a la oveja “Dolly”,

en Inglaterra, nació y vivió John Napier(1550 - 1617), quien sin ser un matemático

de profesión contribuyó al desarrollode una herramienta que simplificó los cálculos

matemáticos y mercantiles: los logaritmos.En tu tercer año de educación media hubo una

aproximación al tema de los logaritmos, específicamentecomo una ayuda para calcular el pH de algunas

sustancias. Recordarás que el pH representael grado de acidez y se expresa como:

pH = –log�H+�donde �H+� corresponde a la concentración

de iones de Hidrógeno y quegeneralmente se expresa como

potencia de 10.

UN

IDA

D

3

68 Función Potencia y Logarítmica

Función Potenciay Logarítmica

U3 Pág. 68 - 93 29/11/06 17:17 Page 68


69Función Potencia y Logarítmica

Trabajar con distintas funciones identificando: dominio, recorrido, periodicidad y gráficos.

Obtener funciones inversas.

Usar programas computacionales para graficar y resolver problemas.

Conocer las funciones potencia y logarítmica: dominio, recorrido y gráficos.

Trabajar con logaritmos en base 10.

Resolver ecuaciones logarítmicas.




U3 Pág. 68 - 93 29/11/06 17:18 Page 69

1. Completa con el número que falta para que la igualdad sea verdadera.

a.–5

= f. : 75 = 74• 7–2

b. 107• = 104 g. �642�5

= �2 �10

c. 5 = h. 10 = 1.024

d. (–6) = –216 i. �– � = –

e. � �4= j. �– � =

2. Grafica las siguientes funciones.

a. y = 8x – 3 d. y = –2x2 + 1 g. m(x) = 9 + 4x

b. y = 3x2 e. g(x) = 5 h.

c. f. h(x) = –7x i. y= 6 – 5x2

3. Determina para qué valores están definidas las siguientes funcionesreales.

a. f(x) = f. m(x) = 4x2 – (2x)2 + 5

b. g(x) = (x – 3) (x + 8) g. n(x) = x2 + 2ax + a2

c. h. p(x) =

d. i(x) = i. q(x) =

e. j.

4. Determina los intervalos para los cuales las siguientes funciones soncrecientes y decrecientes.

a. u(x) = –(x + 5)2 b. c. w(x) = 3 + (10 – x)2v x x( ) = − +2 4

u xx b

( ) =−

12

k x x a( ) = −

x + 2x2 + 10x + 25

4x + 1

1 – x2

x + 1h x

x( ) = +

−6

3

1

2x2 – 1

f x x( ) = − + 4

q x x( ) = + −6 2

122

25681

343512

78

1625

132

Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA


REPASO

¿Cuánto sabes?

2

U3 Pág. 68 - 93 29/11/06 17:18 Page 70




5. Completa el cuadro, indicando a qué intervalo debe pertenecer x paraque la función sea negativa, cero o positiva.

f(x) = –

f(x) = x2 – 10

f(x) = |x – 5|

f(x) = 1 – 4x2

f x x( ) = + 7

f x x( ) = −11

1x – 3

1x

f < 0 f = 0 f > 0

f(y)

f(x)

x y

f(x)

f(y)

x y

1 Propiedades de las potencias:

am• an = am + n

am : an = = am – n, a ≠ 0

�am�n= a m • n

, con n ≠ 0

2 Función creciente y decreciente:

Sean a, b � �

a. Una función f es creciente en el intervalo]a, b[ si dados x e y cualquiera en ese intervalo,se tiene

x < y ⇒⇒ f(x) < f(y)

b. Una función f es decreciente en el intervalo]a, b[ si dados x e y cualquiera en ese intervalo,se tiene

x < y ⇒⇒ f(x) > f(y)

Si en la gráfica de la función cuadrática, el vértice es el punto más bajode los valores del eje Y, entonces el eje de simetría indica un cambio dedecreciente a creciente.Por el contrario, si en la gráfica de una función cuadrática, el vértice esel punto más alto de los valores en el eje Y, entonces el eje de simetríaindica un cambio de creciente a decreciente.

a amnmn=

am

an

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CONTENIDOS

Funciones

En cursos anteriores has estudiado diversos tipos de funciones: función portramos, función cuadrática, etc. Recordemos el concepto de función:

Por ejemplo, consideremos

a la función f(x) = (x – 32)

que convierte grados

Fahrenheit (ºF) a

grados Celsius (ºC).

Por ejemplo, f(32) = 0 indica

que 32 ºF equivalen a

0 ºC, f(5) = –15 indica que

5 ºF son equivalentes

a –15 ºC, etc.

59

EJERCICIOS

1. Si x es un número natural, se define f(x) de la

siguiente manera:

Si x = 1 o x = 2, f(x) = 1

Si x > 2 entonces f(x) = f(x – 1) + f(x – 2)

a. Calcula: f(1), f(2), f(3), f(4), f(5) y f(6).

b. Determina el dominio y el recorrido de la

función.

2. Determina el dominio y recorrido de:

a. f(x) = c.

b. f(x) = + d.

3. Si f(x) = |x – 1| + |x – 2|, completa los datos que

faltan en el gráfico de f(x). Indica el dominio y

recorrido de f(x).

f xxx

( ) = +−

11

1x – 1

1x

f x x( ) = + 2x

x – 1

AYUDA

Un método para encontrar el

recorrido de f(x) es despejar la

variable x y luego analizar los

valores que puede tomar la va-

riable y en la expresión resultante. Una función es una regla que asigna a cada elemento x de unconjunto A un único elemento f(x) de un conjunto B, donde A seconoce como dominio (dom(f)) de la función y B es el conjunto dellegada o codominio, además el conjunto de valores que lafunción puede tomar se conoce como imagen o recorrido (rec(f)).

TIPS

Muchas de las teclas de la calcu-

ladora definen funciones, por

ejemplo, la tecla funciona

así:

aparecerá en la

pantalla 3, que es la imagen de 9

en la función .

Sin embargo, si remplazamos 9

por –4, aparecerá –E–. Esto nos

indica que –4 no pertenece al

dominio de la función, y por

ende, no podemos encontrar su

imagen.

y x=

9 =

Y

X

Recorrido de f

Dominio de f

50

25

0

-25

-50

-75 -50 -25 25 50 75

ºC

ºF

U3 Pág. 68 - 93 7/17/08 11:17 PM Página 72



EJERCICIOS

1. Encuentra la inversa de la función

y = f(x) = , con x ≠≠ 3.

a. ¿Cuál es el dominio de f–1(x)?

b. ¿Cuál es el recorrido de f–1(x)?

2. Encuentra la función inversa para:

a. y = c.

b. d.

3. Determina, a partir del gráfico, cuáles de las

siguientes funciones tienen inversas.

a. c.

b. d.

yx

=+

1

1y x= + −3 4

y x= + 1

2

3x – 510

x – 1x – 3

AYUDA

• Observa que la función inversa

en función de y también se

representa con x.

• Se define una composición de

funciones como una función

denotada por (g o f)(x) que

resulta de aplicar primero f

sobre x y después g sobre el

resultado obtenido. Es decir:

(g o f)(x) = g[f(x)].

• Observa que: (fof–1)(x) = x

f–1(x) corresponde a la función inversa de f(x). Para determinar lafunción inversa de una función f(x), despejamos la variable x. Además,si f(a) = b entonces f–1(b) = a.

PARA ARCHIVAR

TIPS

Criterio de la recta horizontal. No

todas las funciones tienen inver-

sa. Por ahora, puedes utilizar un

método que se basa en el gráfico

para saber si una función tiene o

no tiene inversa. Uno de los

métodos consiste en trazar una

recta imaginaria paralela al eje X

y moverla de arriba a abajo. Si

intersecta a la función en dos o

más puntos, entonces la función

NO tiene inversa.

Función inversa

Consideremos la función f(x) = (x – 32) estudiada anteriormente.

Buscaremos una expresión que nos permita expresar grados Celsius enfunción de grados Fahrenheit, para esto debemos expresar x en función def(x), es decir, despejaremos la variable x de la expresión original.

y = f(x) = (x – 32) y = (x – 32)

9y = 5(x – 32)

y = x – 32

x = y + 32

La expresión obtenida en el proceso anterior se conoce como función inversa

de f, y se escribe como f –1(x). Luego, tenemos por ejemplo:

f(–4) = (–4 – 32) = –20 y f –1(–20) = (–20) + 32 = –495

59

95

95

59

59

59

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CONTENIDOS

Funciones periódicas

Observa las siguientes gráficas correspondientes a las funciones sen(x) ycos(x), respectivamente.

y = f(x) = sen(x) y = f(x) = cos(x)

¿Qué puedes observar?

• El recorrido de ambas funciones corresponde al intervalo [–1, 1].• Ambas funciones tienen un comportamiento que se repite cada ciertos

valores.• El comportamiento de ambas funciones nos permiten predecir cómo será

la prolongación de su gráfica.• Tanto la función sen(x) como cos(x) son funciones periódicas, con período

de 360º o 2ππ.

La válvula de aire de la rueda

de una bicicleta describe una

curva periódica conocida como

cicloide. Esta curva está dada

por las ecuaciones:

x = x(t) = a(t – sen(t));

y = y(t) = a(1 – cos(t))

(a: radio de la rueda)

EJERCICIOS

1. Observa las siguientes gráficas e indica

el período de la función representada.

a. y =

b. y = sen(x) • cos(x)

2. El siguiente gráfico

corresponde a

la función tan(x).

a. Indica el dominio

y recorrido de

la función.

b. ¿Cuál es el período de tan(x)?

3. Gráfica las siguientes funciones e indica si son

periódicas o no; en caso afirmativo, indica el

período. (Puedes usar un computador)

a. y = c. y =

b. y = sen(x + 24) d. y = x2 + tan(x)

cos(x)sen(x)

1tan(x)

1cos(x)

Una función f es periódica de período T, si T es el menor número posi-tivo tal que x + T está en el dominio de la función y f(x) = f(x + T).Gráficamente se puede observar que la función se repite en intervalosde largo T.

PARA ARCHIVAR

AYUDA

Y

Xx + T

T

x

X

Y

1

-1

1

-1

Y

X

X

X

Y

Y

Y

π2

π2

3π2

3π2

2π 2πππ

π2-

π2π

-π

π

π2 π

π2 π

-

X

π2

-

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Gráficos con Javamath

La utilización de programas computacionales, resulta muy útil para el análisisde funciones. En esta página te enseñaremos acerca de Java Componentsfor Mathematics, un sitio web que utiliza el lenguaje de programación Javapara desarrollar applets (pequeños programas de aplicación) que comple-mentan y apoyan el aprendizaje de las matemáticas. Además, puedesdescargar el sitio completo a tu computador.

Este programa funciona mediante elingreso de funciones, en las cualespuedes variar los parámetros y observarsu comportamiento. Veamos cómoingresar dichas funciones:

1. Ingresamos ahttp://math.hws.edu/javamath/

2. Con el mouse seleccionamos"Configurable applets"

3. Seleccionamos "MultiGraph",luego "Launch MultiGraph".

4. Ingresamos las funciones a graficaren f1(x), f2(x), f3(x) o f4(x).

Ejemplo

Queremos comparar la gráfica de lasfunciones f(x) = x2, para x �� 0, y suinversa dada por .Ingresamos ambas funciones enf1(x) y f2(x) respectivamente(ver pantalla adjunta).

f x x− ( ) =1

EJERCICIOS

Utilizando Javamath, realiza lo siguiente:

1. Grafica las siguientes funciones y determina

si tienen o no inversa.

a. f(x) =

b. f(x) =

c. f(x) =

2. Grafica las siguientes funciones e indica

dominio, recorrido y período.

a. f(x) = sen2 (x)

b. f(x) =

c. f(x) = cos x

1sen(x) • cos(x)

1x2

1x

1x – 1

d. f(x) = |x – 2|

e. f(x) = x3

d. f(x) = x2 + x + 41

e. f(x) = + 1

x – 11x

TIPS

Javamath fue un proyecto desa-

rrollado por David Eck en el

Hobart and William Smith

Colleges, en el año 2001.

AYUDA

Observa que la función raíz

cuadrada de x se ingresó como

sqrt(x).

Para ver cómo se ingresan otras

funciones puedes buscar en

"Configurable applets":

"Expressions in JCM"

U3 Pág. 68 - 93 6/30/08 11:01 PM Página 75



CONTENIDOS

Función potencia

Observa las siguientes gráficas correspondientes a la función f(x) = x2 yg(x) = x3.

f(x) = x2 g(x) = x3

¿Cuál es el dominio de cada función?Ambas funciones están definidas para todo �, es decir:

dom (f) = dom (g) = �

¿Cuál es el recorrido de cada función?En el primer caso, el rec (f) es �+

o y en el segundo es rec (g) = �.

Las funciones estudiadas anteriormente pertenecen al tipo de funcióndenominada función potencia: axn.

EJERCICIOS

1. Utilizando algún programa computacional, o

bien en papel milimetrado, grafica las siguientes

funciones. Luego responde.

y = x4 y = x5 y = x6 y = x7

a. Las funciones dadas, ¿son simétricas?

b. A medida que el exponente aumenta, ¿qué

sucede con las gráficas de las funciones?

c. ¿Cuál es el dominio de cada función?

d. ¿Cuál es el recorrido de cada función?

2. Se quiere construir una caja de cartón con

forma similar a un paralelepípedo recto de base

cuadrada. Se dispone de 12 dm totales de cinta

para pegarla en cada una de sus aristas. ¿Cuál

es el mayor volumen que puede tener la caja?

3. Determina para qué valores de x las siguientes

funciones son positivas.

a. y = 4x2; b. y = x323

Una función potencia es una función de la forma f(x) = axn, donde a esun número real y n = 0, 1, 2, 3,… Su dominio es �.

PARA ARCHIVAR

U3 Pág. 68 - 93 6/30/08 11:01 PM Página 76



Análisis de la función potencia

Exponente par

Los siguientes gráficos corresponden a la función y = axn, para n par.

y = x2 y = x4 y = x6

y = –x2 y = –x4 y = –x6

Observando los gráficos podemos obtener las siguientes conclusiones:

• Si a > 0, entonces la gráfica de la función y = axn, para n par tiene suvértice en el punto más bajo de la curva.

• Si a < 0, entonces la gráfica de la función y = axn, para n par, tiene suvértice en el punto más alto de la curva.

• En ambos casos las gráficas presentan simetría respecto al eje Y, es decir,f(x) = f(–x), para todo x perteneciente al dominio de la función.

Sea y = axn una función potencia con n par, entonces:

Si a > 0, la gráfica de la función Si a < 0, la gráfica de la funciónes de la forma: es de la forma:

PARA ARCHIVAR

EN EQUIPO

Grafiquen las siguientes funciones:

y = 0,05x2 y = x2

y = 3x2 y = 5x2

¿Qué sucede a medida que a

crece?

¿Ocurrirá lo mismo para a < 0?

TIPS

Si f(x) = f(–x), para cualquier x

en el dominio, la función f es

par.

IR A LA WEB



X

Y Y Y

Y Y Y

X X

X

Y Y

X X

X X

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

3

2

1

0

-1

-2

-3

U3 Pág. 68 - 93 7/17/08 11:22 PM Página 77



CONTENIDOS

Exponente impar

Ampliaremos nuestro análisis para n impar.

y = 2x3 y = x5 y = 4x7

y = – x3 y = –3x5 y = – x7

Observando los gráficos podemos obtener las siguientes conclusiones:

• Si a > 0, la gráfica de la función se encuentra en el primer y tercer cua-drante.

• Si a < 0, la gráfica de la función se encuentra en el segundo y cuartocuadrante.

• Las gráficas presentan simetría central respecto al origen, es decir,f(–x) = –f(x), para todo x perteneciente al dominio de la función.

12

32

13

EN EQUIPO

Determinen qué sucede con el

gráfico de una función de la

forma y = axn para 0 < a < 1 y n

impar.

TIPS

Si f(–x) = –f(x), para cualquier x

en el dominio, a función f es

impar.

PARA ARCHIVAR

Sea y = axn una función potencia con n impar, entonces:

Si a > 0, la gráfica de la función Si a < 0, la gráfica de la funciónes de la forma: es de la forma:

Y

X

Y

X

X X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y Y

U3 Pág. 68 - 93 6/30/08 11:01 PM Página 78



EJERCICIOS

1. Grafica las siguientes funciones (puedes

utilizar un programa computacional):

a. y = x4 y = (x + 2)4 y = (x – 2)4

b. y = 2x3 y = 2(x – 1)3 y = 2(x + 1)3

2. Construye 2 funciones polinomiales que corres-

pondan a una traslación horizontal en cada

caso. Dibuja los gráficos.

a. y = –3x3

b. y = 5x4

c. y = –5x5

3. A partir del gráfico de la función f(x) = 2x5,

haz un bosquejo de g(x) = 2x5 + 3.

a. ¿Qué semejanzas encuentras?

b. Según lo obtenido, ¿cómo se obtiene una

función trasladada verticalmente con

respecto a f(x) = –3x2?

4. Indica la función que representa a cada una

de las siguientes gráficas.

5. Comprueba que para una función del tipo

f(x) = axn + c, con n par, su recorrido está dado

por el intervalo [c, +��[.

6. Determina el dominio y recorrido de las

funciones del ejercicio 1, e indica para qué

valores son positivas.

EN EQUIPO

Comprueben que para el caso

de funciones potencia con expo-

nente par, también se cumple

este tipo de traslación.

Traslaciones verticales y horizontales

La figura muestra las gráficasde las siguientes funciones:

y = x3

y = (x + 2)3

y = (x – )3

Podemos observar que el gráfico deestas funciones polinomiales es elmismo pero trasladado con respectoal de la función potencia: x3.

12

Si f(x) = axn, entonces la gráfica de la función polinomial g(x) = a(x + c)n,con c > 0, es idéntica a la de f pero trasladada hacia la izquierda.

Si f(x) = axn, entonces la gráfica de la función polinomial g(x) = a(x + c)n,con c < 0, es idéntica a la de f pero trasladada hacia la derecha.

PARA ARCHIVAR

AYUDA

Las funciones polinomiales o

polinómicas son aquellas que se

pueden formar sumando fun-

ciones potencia, cuyos expo-

nentes correspondientes son

enteros. Ejemplos,

f(x) = 3x2 + x + 1

f(x) = –3x5 – 1

f(x) = 3x4 + x3 + x2 + x – 7

Y

X

Y

X

U3 Pág. 68 - 93 6/30/08 11:01 PM Página 79



CONTENIDOS

Concepto de logaritmo

Logaritmo de un número

A partir de la expresión bn = p, podemos plantear distintas ecuaciones,dependiendo de cuál de sus tres elementos es el desconocido.

Caso I: Se desconoce el valor de la potencia: p.Si p = x, entonces se tiene la ecuación x = bn.Esto implica el cálculo del valor de una potencia, operación que se denominapotenciación.El valor de x es la enésima potencia de b.

x = bn ⇒ Ejemplo: x = 34 = 81

Caso II: Se desconoce el valor de la base de la potencia: b.Si b = x, entonces se tiene la ecuación xn = p.Esto implica el cálculo del valor de una raíz enésima, que se denominaradicación.El valor de x es la raíz enésima de p.

xn = p ⇔ ⇒ Ejemplo: x3 = 64 ⇒ = 4

Caso III. Se desconoce el valor del exponente de la potencia: n.Si n = x, entonces se tiene la ecuación exponencial bx = p.Esto implica calcular el exponente de una potencia conocida su base y suvalor, operación que se denomina logaritmización.Este exponente x es el logaritmo de p en base b, lo que en símbolos serepresenta por:

x = logb p ⇔ bx = p

Ejemplo: x = log2 16 ⇔ 2x = 16 ⇒ 2x = 24 ⇒ x = 4

x = 643x pn=

HISTORIA

John Napier (1550 - 1617).

Los logaritmos fueron inventados

por John Napier. “Descripción de

la maravillosa regla de los loga-

ritmos”, es el título del libro que

publicó en 1614. El término

acuñado por él tiene la descom-

posición:

logos razón,

aritmos números.

TIPS

En relación al logaritmo se puede

deducir que, tal como una poten-

cia se puede escribir como un

logaritmo, de manera recíproca,

un logaritmo puede expresarse

en forma exponencial.

TIPS

En algunas textos, el número p

en la expresión logb p, recibe el

nombre de antilogaritmo o

argumento.

PARA ARCHIVAR

Dada la expresión bx = p ⇔ x = logb p podemos decir que el logaritmoes el exponente de una potencia, siendo p un valor real positivo. La expresión logb p se leerá como: “logaritmo de p en base b“

AYUDA

Recuerda que, xn = c ⇒⇒ x cn=

Ejemplos

a. Calcula el valor de log7 343.

log7 343 = x ⇔ 7x = 343 = 73 ⇒⇒ x = 3 ⇒⇒ log7 343 = 3

b. Obtener el valor de x en logx 32 = 5.

logx 32 = 5 ⇒⇒ x5 = 32 ⇒⇒ ⇒⇒ x = 2x = 325

U3 Pág. 68 - 93 6/30/08 11:01 PM Página 80



PARA ARCHIVAR

En relación a la base de un logaritmo:- es siempre positiva;- el número 1 no puede ser considerado como base de un logaritmo.En general, la base de un logaritmo es un número real positivo distintode 1. Es decir, en la expresión logb p, la base b pertenece a los �+ – {1}.

TIPS

Los logaritmos más utilizados

son los logaritmos decimales (de

base 10) que se denotan escri-

biendo simplemente log.

Por convención matemática se

ha establecido que cuando la

base del logaritmo es 10, se

puede representar por la

expresión log (x). Entonces,

log10 (x) = log (x). Sin embargo,

hay libros que no la utilizan, ya

que no existe una única

notación universal, pero en este

texto la ocuparemos.

TIPS

Se denomina sistema logarítmico

al conjunto de todos los logarit-

mos que tienen la misma base.

Ejemplo:

log3 3, log3 5, log3 27 y log3 81

son logaritmos del sistema de

base 3.

Base de un logaritmo

Revisemos algunas particularidades de los logaritmos.

Ejemplo 1: Base positiva.

¿Qué podrías concluir?

Ejemplo 2: Base negativa.

¿Cuánto resulta log(–2) 8?Sea x = log(–2) 8, entonces (–2)x = 8 = 23

No existe un valor real de x, tal que (–2)x sea igual a 8.

Ejemplo 3: Base igual a 1.

¿Cuánto resulta log1 5? ¿Cuánto resulta log1 ?

Sea x = log1 5 Sea x = log1

entonces, 1x = 5 entonces, 1x =

No existe un valor real de No existe un valor real de x,

x, tal que 1x sea igual a 5. tal que 1x sea igual a .

¿Será una restricción considerar 1 como base de un logaritmo?

14

14

14

14

¿Cuánto resulta log8 512?

Sea x = log8 512

entonces, 8x = 512 = 83

⇒ x = 3

¿Cuánto resulta log 64?

Sea x = log 64

entonces, � �x

= 64 = 26

� �x

= � �–6

⇒ x = –612

12

12

12

12

IR A LA WEB



U3 Pág. 68 - 93 6/30/08 11:01 PM Página 81



CONTENIDOS

Propiedades de los logaritmos

Ya vimos que un logaritmo es el exponente de una potencia y, por lo tanto,puede ser escrito en forma exponencial. O sea, a partir de las propiedadesde las potencias, se pueden demostrar las propiedades de los logaritmos.Para las propiedades consideraremos un sistema logarítmico de base b,donde b pertenece a los �+ – {1}. Las propiedades son las siguientes.

1. Logaritmo de la unidad

logb 1 = 0

Ejemplo: log5 1 = 0

3. Logaritmo de una potencia

logb an = n • logb a

Ejemplo:

log2 43 = 3 • log2 4 = 3 • 2 = 6

5. Logaritmo de un producto

logb (a • c) = logb a + logb c

Ejemplo:

log2 24 = log2 (4 • 6)

= log2 4 + log2 6

= 2 + log2 6

7. Logaritmo de una potenciacon igual base

logb bn = n

Ejemplo

log6 63 = 3

Revisemos algunas demostraciones de las propiedades anteriores.

Propiedad 1 Propiedad 7

logb 1 = x ⇔ bx = 1 logb b = x ⇔ bx = bn ⇒ b(x – n) = 1

bx = b0 ⇒ x = 0 ⇒ x – n = 0 (b ≠ 1)

�� logb 1 = 0 x = n

�� logb b = n

TIPS

En relación a las propiedades de

los logaritmos se debe tener

presente lo siguiente:

logb (p • q) ≠ logb p • logb q

logb (p + q) ≠ logb p + logb q

logb (p – q) ≠ logb p – logb q

≠ pq

logb plogb q

AYUDA

Dado un determinado logaritmo

podemos encontrar su valor con

una calculadora científica.

Observa atentamente.

Ejemplo 1. Logaritmo decimal.

Calcular log 20,6.

En algunas calculadoras debes

seguir los siguientes pasos:

1º Anota el número (20,6).

2º Pulsa la tecla log

El valor es 1,313…

En otras calculadoras, se procede

primero con el paso 2º y luego 1º.

Ejemplo 2.

Para calcular el valor de log3 7,

primero se debe hacer un cam-

bio de base, ya que la base del

logaritmo no es 10.

Entonces, x = log3 7 ⇒⇒ x =

Con este cambio a base 10, basta

obtener el cociente entre los va-

lores del log 7 y log 3.

log 7log 3

2. Logaritmo de la base del sistema

logb b = 1

Ejemplo: log3 3 = 1

4. Logaritmo de una raíz

logb = • logb a

Ejemplo:

log4 = • log4 4 = • 1 =

6. Logaritmo de un cociente

logb � � = logb a – logb c

Ejemplo

log3 � � = log3 81 – log3 243

= 4 – 5 = – 1

8. Fórmula de cambio de base

logb B =

para todo b, c, B > 0; b, c ≠ 1

Ejemplo

log2 5 = log5log2

logc Blogc b

81243

ac

56

56

56

456

mn

amn

U3 Pág. 68 - 93 29/11/06 17:18 Page 82



EJERCICIOS

1. Calcula cada uno de los siguientes logaritmos.

a. log9 243 f. log6

b. log2 128 g. log

c. loga a9 h. loga

d. log0,7 0,343 i. log8 16

e. log16 8 j. loga

2. Dada cada expresión, encuentra el valor de x.

a. log2 x = 6 c. log x = –2

b. log0,3 x = 3 d. log0,004 x = –3

3. Calcula el valor de cada una de las siguientes

expresiones.

a. log4 64 + log 1.000 + log5 125

b. log – log + log 10.000

c. 2log5 25 – 3log7 49 + 4log8 4.096

d. 2 log 100.000 – 2 log4 256 + 4 log2 32

4. Desarrolla cada una de las siguientes expre-

siones, utilizando propiedades.

a. logp

b. logm

c. logb (x2 – 9x – 22)

d. logb (100x8 – 80x7 + 16x6)

e. logb (x3 + y3)2

5. Utilizando calculadora encuentra el valor de

las siguientes expresiones.

a. log 4 b. log6 7 c. log7 9 d. log6 11

6. Demuestra las siguientes propiedades.

a. logb an = n • logb a

b. logb = • logb a

c. logb (a • c) = logb a + logb c

d. logb � � = logb a – logb c

7. Reduce cada una de las siguientes expresiones

a un solo logaritmo.

a. 2logb 3 + 3logb 2

b. logb c – 6logb a

c. logb a – logb c – logb d + logb e

d. logb c + logb a – 1

e. logm a – 2logm b + logm c – 3logm d

f. logb (x2 + 1) + logb (x + 1) + logb (x – 1)

g. logp (x + y + z) – 4logp (x – y – z)

h. logp (x + 3) – 4logp (x – 2)

8. Si log6 2 = A, log6 3 = B y log6 5 = C, expresa

en términos de A, B y C.

a. log6 5.400

b. log6 90

c. log6

d. log61.08032.400

216

14

34

13

35

23

23

34

23

34

12

ac

mn

amn

83

(a – b)3 c4

(d + f) .

a2 b4 c5

d2

125216

56

49

23

34

a25

a8

94

32

136

1

5

U3 Pág. 68 - 93 29/11/06 17:18 Page 83

Función logarítmica

Para estudiar las características de la función logarítmica, graficaremos en

Javamath, algunas de ellas.

Caso I. Consideremos la función logaritmica: f(x) = logb (x), con b > 1.Grafiquemos en un mismo sistema de coordenadas las siguientes funciones: f1(x) = log2 (x), f2(x) = log3 (x), f3(x) = log4 (x) y f4(x) = log5 (x).

Si observamos los gráficos de las funciones anteriores, podemos generalizarcon respecto a la función f(x) = logb (x) que para b > 1:

• La curva asociada a la función logarítmica intersecta al eje de las abscisasX en el punto (1, 0).

• La función es creciente para todo valor real de x.• El dominio de la función son los números reales positivos: �+



CONTENIDOS

EJERCICIOS

1. Utilizando Javamath, grafica las siguientes

funciones. Luego, responde en tu cuaderno.

i. f(x) = log5 (x) iii. f(x) = log15 (x)

ii. f(x) = log10 (x) iv. f(x) = log20 (x)

a. ¿Qué semejanzas y diferencias observas

entre las gráficas? Justifica.

2. Dada la función y = log7 (x), grafícala y deter-

mina observando el gráfico, el valor aproximado

a las décimas de los siguientes logaritmos.

a. log7 (4) c. log7 (10)

b. log7 (7) d. log7 (2)

AYUDA

El programa Javamath acepta como

expresiones válidas los siguientes

logarítmos: log10 y log2 .

Para escribir expresiones en el

computador debes usar lo si-

guiente:

f(x)=log10 x ⇒⇒ f(x)=log10(x)

f(x)=log2 x ⇒⇒ f(x)=log2(x)

Para otras base deberás usar

cambio de variable:

f(x)=log3x⇒⇒ f(x)=log10(x)/log10(3)

La función logarítmica se representará por f(x) = logb (x), donde labase b es un valor perteneciente a �+ – {1}.

X

Y

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Caso II. Consideremos la función f(x) = logb (x), con 0 < b < 1.En un mismo sistema de coordenadas grafiquemos las siguientes funciones:f1(x) = log (x), f2(x) = log (x), f3(x) = log0,6 (x) y f4(x) = log0,75 (x).

Observando las gráficas anteriores de la función, con 0 < b < 1, se puedegeneralizar lo siguiente:

• la curva asociada a la función logarítmica intersecta al eje de las abscisasX en el punto (1, 0).

• La función es decreciente para todo valor real de x.• Los reales positivos son el dominio de la función: �+.

¿Qué conclusiones puedes sacar de ambos casos?

12

13

PARA ARCHIVAR

La función logarítmica, f(x) = logb (x), tiene las siguientes características: - El dominio de la función son los números reales positivos.- El conjunto de valores que puede tomar la variable y (recorrido) es �.- La curva asociada a la función, intersecta al eje de las abscisas en el

punto (1, 0).

Si b > 1, entonces la función Si 0 < b < 1, entonces la funciónes creciente. es decreciente.

IR A LA WEB



X

Y

X X

Y Y

U3 Pág. 68 - 93 6/30/08 11:01 PM Página 85

EJERCICIOS

1. Dada la función logarítmica f(x) = log2 (x),

determinar:

a. f(4) e. f� �b. f(16) f. 2f(2) – 6f� �c. f(32) g. 2f(4) + 3f(32) – f� �d. f� � h. 2f(128) – 8f� �

2. Determina si las siguientes proposiciones son

verdaderas o falsas. Justifica las falsas.

a. La función f(x) = log(x) es creciente.

b. La gráfica de la función f(x) = log3 (x)

pasa por el punto (2, 9).

c. Una función logarítmica es decreciente

para valores negativos de x.

d. Una función logarítmica es siempre

creciente.

e. La gráfica de una función logarítmica es

siempre simétrica con respecto al eje

de las abscisas.

f. El punto, (1, 0) pertenece a cualquier

función logarítmica.

1128

18

18

12

164



CONTENIDOS

Distintas gráficas de la función logarítmica

Ya conocida la función f(x) = logb (x), con b perteneciente a �+ – {1},

analizaremos distintas gráficas según sea el caso.

b = 10 y a > 0

f1(x) = log (x)

f2(x) = 2 log (x)

f3(x) = 4 log (x)

f4(x) = 0,5 log (x)

b = 10 y a < 0

f1(x) = log (x)

f2(x) = –3 log (x)

f3(x) = –5 log (x)

f4(x) = –0,3 log (x)

b = 2 y a > 0

f1(x) = log2 (x)

f2(x) = 2 log2 (x)

f3(x) = 4 log2 (x)

f4(x) = 0,5 log2 (x)

b = 2 y a < 0

f1(x) = log2 (x)

f2(x) = –3 log2 (x)

f3(x) = –5 log2 (x)

f4(x) = –0,3 log2 (x)

Caso I. Función logarítmica f(x) = a logb (x) con a perteneciente a �.Graficaremos las siguientes funciones.

f3(x)

f2(x)f1(x)f4(x)

f3(x)

f2(x)

f1(x)f4(x)

f3(x)

f2(x)

f1(x)

f4(x)

f3(x)

f2(x)f1(x)f4(x)

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

U3 Pág. 68 - 93 6/30/08 11:01 PM Página 86



Observamos, en las gráficas anteriores, que dada la función f(x) = a logb (x),con b perteneciente a �+ – {1} que:

• Si a > 0, la gráfica de la función será siempre creciente.• Si a < 0, la gráfica de la función será siempre decreciente.

¿Qué otras conclusiones se podrían obtener de las gráficas anteriores?

con

En el caso II, observamos que las gráficas corresponden a traslaciones hori-zontales de la función f1(x) = log (x) y según sea el valor de a, positivo onegativo, la traslación es hacia la izquierda o hacia la derecha, respectiva-mente.

En las gráficas del caso III, las traslaciones son verticales, hacia abajo o haciaarriba, según sea el valor positivo o negativo de a.

EJERCICIOS

1. Utilizando algún programa computacional

grafica las siguientes funciones logarítmicas.

Luego indica el tipo de traslación en relación a

la función f(x) = log (x).

a. f(x) = log (x) + 4 c. f(x) = –log (x + 1)

b. f(x) = log (x – 5) d. f(x) = 2 log (x) – 3

2. Grafica las siguientes funciones, y luego responde.

i. f(x) = log (x – 1) + log (x + 1)

ii. f(x) = log (x + 2) + log (x – 2)

iii. f(x) = log (x – 3) + log (x + 3)

a. ¿Qué regularidad observas entre las gráficas?

b. ¿Cuál es el dominio de cada función?

c. ¿Las funciones son crecientes o decrecientes?

3. Grafica en un mismo sistema de coordenadas

las siguientes funciones, y luego responde.

i. f(x) = log (x) y f1(x) = –log (x)

ii. g(x) = log2 (x) y g1(x) = –log2 (x)

iii. m(x) = log (x – 4) y m1(x) = –log (x – 4)

a. ¿Qué diferencias y semejanzas encuentras

entre las gráficas de las funciones de i?,

¿y de ii?, ¿y de iii?

b. En las funciones de i, ii y iii, ¿cuál es

el punto de intersección con el eje X?

c. ¿Cuál es el dominio de las funciones i, ii

y iii?

Caso II. Sea f(x) = logb (x + a), con a ∈ �.

Para b = 10

f1(x) = log (x)

f2(x) = log (x + 1)

f3(x) = log (x – 1)

Caso III. Sea f(x) = logb (x) + a, con a ∈ �.

Para b = 10

f1(x) = log (x)

f2(x) = log (x) + 3

f3(x) = log (x) – 3

EN EQUIPO

Discutan la siguiente pregunta.

En el caso II o III, ¿cambiará la

gráfica de la función si la base

del logaritmo toma otro valor?

Justifiquen su respuesta.

f2(x)

f2(x) f1(x) f3(x)

f1(x)

f3(x)

X

Y

X

Y

U3 Pág. 68 - 93 6/30/08 11:01 PM Página 87

EJERCICIOS

1. Completa.

a. log (googol)

b. log (log googol)

c. log log log (googolplex)

2. Verifica la siguiente afirmación:

“El número de dígitos de un número n está entre

log n y (log n + 1) o, dicho de otra manera: si

n > 0, entonces n tiene [log n] + 1 dígitos,

donde [log n] equivale a la parte entera”.

a. Determina el número de dígitos de 2195.

b. ¿Qué número es mayor: 6970 o 7069?

3. El número de configuraciones de un cubo de

Rubik es, según la matemática de conteo:

227• 314

• 53• 72

• 11

a. Demuestra que este número tiene 20 cifras.

b. ¿Es mayor o menor que 43 trillones?

4. Demuestra que:

log (hectoplex-plex) = googol



CONTENIDOS

Profundizando en los logaritmos

Googol y grandes números

En muchas ocasiones es necesario trabajar con grandes cantidades, por estoa lo largo del tiempo se han establecido algunas abreviaturas para expresardichas cantidades de manera más sencilla.

En 1930, Edward Kasner popularizó el número “googol”, es decir, unnúmero que tiene 100 ceros: 10................0.

En 1953 un comité internacional de pesos y medidas sugirió las siguientesdenominaciones (n – plex es 10n):

Ejemplo

Calculemos log (n – plex). Sabemos que n – plex equivale a 10n, entonces:

log (n – plex) = log 10n

= n log 10= n

entonces log (n – plex) = n

HISTORIA

Arquímedes

(287 a. C. - 212 a. C.)

Arquímedes, el sabio griego de

la Antigüedad, estaba interesa-

do en determinar la cantidad de

granos de arena que cabrían en

el Universo y afirmaba que

aunque podría ser un número

muy grande, no significaba que

fuese infinito.

10 mil millones

googol

dekaplex

hectoplex

kiloplex

megaplex

gigaplex

teraplex

googolplex

1010

10100

10 1.000

10 1.000.000

10 1.000.000.000

10 1.000.000.000.000

10 goolgol o hectoplexplex

U3 Pág. 68 - 93 29/11/06 17:18 Page 88



EJERCICIOS

1. Dada la función y = ln x, calcula utilizando

calculadora científica, el valor de y para los

siguientes valores de x.

a. 1 b. 2 c. 5 d. e.

2. Usa una calculadora científica para resolver.

a. ln 2

b. Calcula 2� + • + • �c. ¿Qué sucede si agregas más términos a la

suma en b?

d. Escribe la suma del ejercicio b con 7 térmi-

nos y determina la diferencia entre este

valor y el de ln 2.

3. En los siguientes gráficos aparece la función

y = f(x) = para x > 0.

Usando las áreas achuradas, completa:

a. < ln 2 <

b. ¿Qué sucede con la precisión de ln 2 si

aumentas la división del intervalo [1, 2]?

1x

135

15

133

13

13

15

12

Logaritmo natural o neperiano

Entre las funciones logarítmicas, merece especial importancia aquella quetiene como base el número irracional e. La denotaremos por y = loge x, obien y = ln x y se lee "logaritmo natural de x".

El gráfico de esta función es el siguiente:

Sabemos que e > 1, por lo tantosus características son similaresa las funciones logarítmicasde bases mayores que 1.

AYUDA

Neper concibió los logaritmos

como el área bajo la curva. Así ln u

es el valor numérico del área

bajo y = entre 1 y u.1x

AYUDA

Recuerda quee �� 2,7182818

PARA ARCHIVAR

Sea y = logb x, con b = e �� 2,7182…., entonces loge x se representa porln x y se llama logaritmo natural de x. Además, ln 1 = 0 y ln e = 1.

y

y =

xu1

1x

Y

y =

X21 1,5

1x

Y

y =

X21 1,5

1x

X

Y

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CONTENIDOS

Ecuaciones logarítmicas con una incógnita

Ejemplos: log (x + 1) = 1 log (2x + 3) = log (x + 2)

En general, para resolver una ecuación logarítmica con una incógnita, hayque escribirlas de la forma, logb f(x) = logb g(x), donde f(x) y g(x) son expre-siones que contienen a la incógnita. Como la función y = logb (x) es “uno auno” (inyectiva), es decir, existe un único valor de y para cada valor de x,entonces: logb f(x) = logb g(x) ⇔ f(x) = g(x).Lo anterior, junto con las propiedades de los logaritmos, nos permitiráresolver una ecuación.

Ejemplo 1log (x + 4) = log 2 + log (x + 1)

log (x + 4) = log (2 • (x + 1))

log (x + 4) = log (2x + 2)

x + 4 = 2x + 2

x = 2

Verificaremos la solución, remplazando x = 2 en la ecuación:

log (x + 4) = log (2 + 4) = log 6 = log 2·3 = log 2 + log 3 = log 2 + log (2+1)

Por lo que x = 2 satisface la ecuación.

Ejemplo 2log (x2 – 18) = log 3 + log x

log (x2 – 18) = log (3x)

x2 – 18 = 3x

x2 – 3x – 18 = 0

(x – 6) (x + 3) = 0

x = 6 y x = –3

Al remplazar x = 6 obtenemos: log (62 – 18) = log 3 • 6. Por lo tanto satisfacela ecuación logarítmica. Por otra parte, al tomar x = –3 se obtiene el loga-ritmo de un número negativo (–9) para el cual la función logarítmica no estádefinida. Por lo tanto, x = –3 no es solución de la ecuación.

Se denomina ecuación logarítmica con una incógnita a una igualdaden la que intervienen logaritmos y donde dicha incógnita formaparte del argumento (antilogaritmo), de al menos uno de ellos.

AYUDA

Las soluciones de una ecuación

logarítmica deben ser compro-

badas ya que esta función solo

admite valores positivos, y

podría ocurrir que el valor

encontrado no satisfaga esta

condición.

Las ecuaciones logarítmicas nos

permiten calcular, mediante la

expresión pH = log [H+], el pH

de una concentración acuosa.

Aplicamos propiedades de los logaritmos.

Desarrollando el paréntesis e igualando.

“Eliminamos” los logaritmos por ser la funciónuno a uno .

Aplicando las propiedades de los logaritmos.

Igualando el argumento de ambos logaritmos.

Al resolver esta ecuación de grado 2 seobtienen 2 soluciones.

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EJERCICIOS

1. Obtén el valor de x en los siguientes casos.

a. log2 128 = x c. logx 100 =

b. log343 = x d. log2 322 = x

2. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas.

a. log x = log 7

b. log x = 4

c. log x – log 2 = 3

d. log x + log 7 = log 4

e. 6 log x = log 64 + log

f. log � � = 1

g. log (x + 3) + log (x – 5) = 2log (x – 6)

h. log (3x – 4) – log x+ log 5 = log (15x + 2) – log (x + 2)

i. log (x + 5) = log 2

j. log (6x + 5) + log (2x + 7) = log (3x + 4) + log (x + 5)

k. log (x + 7) – log (x + 5) = log (x2 + 10x + 25)

l. log x + 2log x + log x3 – 5log x = 2

m. log3 [log3 (5x + 2)] = 1

n. log2 [log2 (5x + 6)] = 2

ñ. log2 {log2 [log2 (2x – 8)]} = 0

o. log3 {log3 [log3 (x + 25)]} = 0

p. log (x – 4) + log x = log 5

q. 2log (2x – 1) – 2 = –2log (3x – 4)

r. log5 (5x – 4) – log5 (2x – 7) = 2

s. log � – x� = log � � – log x

t. = 2

u. log + log = log 30

v. log2 x + log2 6 = log2 30 – log2 5

w. log (log x3) = –1

x. log7 = log7 xx + 1

x − +5 12 3x −

log4 (x2 + 8)log4 (x + 3)

92

92

12

12

12

15

3 – x2

2x + 10

x4

7

12

Ejemplo 3

log(x2 – 1) = log (x – 1)

log(x2 – 1) = log (x – 1)

x2 – 1 = x – 1

x2 – x = 0

x(x – 1) = 0

x = 0 y x = 1

Para x = 0 obtenemos log (–1), que ya sabemos que no está definido.

Para x = 1 obtenemos log (0), que también está indefinido.

Por lo tanto, la ecuación logarítmica no tiene solución real, aunque desdeel punto de vista técnico se obtuvieron valores. De aquí la importancia decomprobar tus resultados.

Igualando los argumentos de ambos logaritmos.

Resolviendo la ecuación de segundo grado.

U3 Pág. 68 - 93 6/30/08 11:01 PM Página 91



CONTENIDOS

Aplicaciones de los logaritmos

La variación de la masa de cierta cantidad de Carbono–14, a través del tiempo,puede calcularse, aproximadamente, aplicando la siguiente función:

M(t) = Mi • 0,886t

donde Mi (en gramos) es la masa inicial, t (en miles de años) es el tiempotranscurrido y M (en gramos) es la masa de carbono que queda como conse-cuencia de la desintegración radiactiva.Utilizando esta expresión puedes calcular la edad aproximada de cualquierfósil.

Ejemplo

Supongamos que se halló un fósil con 100 g de Carbono–14 y se sabe quecuando estaba vivo, contenía 200 g de Carbono–14. ¿Cuántos años deantigüedad tiene?

Resolvamos este problema con la ayuda de logaritmos.

100 = 200 • 0,886t

= 0,886t

log = t log 0,886

t =

t �� 5,788

Entonces, el fósil tiene aproximadamente 6.000 años.

Así como en la situación anterior, existen variadas aplicaciones de los loga-ritmos, en otras áreas del conocimiento, como por ejemplo, física,psicología, música.

12

12

EJERCICIOS

1. Los químicos miden el pH de una solución

(condición de ácido o base) mediante la fórmula:

pH = –log [H+], donde [H+] es la concentración

de iones de hidrógeno en moles por litro.

a. Muchas soluciones tienen un rango de pH

que fluctúa entre 1 y 14. ¿Qué valores de

H+ están asociados a esos valores extremos?

b. Encuentra el pH aproximado de:

i. Cerveza, [H+] = 6,31 • 10–5

ii. Sangre, [H+] = 3,98 • 10–8

iii. Vinagre, [H+] = 6,3 • 10–3

c. Si el huevo tiene un pH = 7,79, una

manzana un pH = 3,0 y el agua pura un

pH = 7,0, encuentra [H+] en cada caso.

log

log ,

12

0 886

Aplicando logaritmos.

U3 Pág. 68 - 93 7/24/09 4:03 PM Página 92



EJERCICIOS

2. Estudios hechos por agrónomos han demostra-

do que el crecimiento de un bosque se puede

proyectar mediante la expresión:

M(t) = m (1 + i)t

en que M es la madera que habrá dentro de

t años, m la madera inicial e i la tasa de cre-

cimiento anual, que en este caso considerare-

mos como i = 0,03.

a. Si al inicio se tienen 3 há de madera,

¿cuántas há habrá dentro de 10 años?

b. Obtener una expresión para t(M).

c. ¿Cuántos años tarda en duplicarse la

madera del bosque?

3. Una famosa escala para medir la cantidad de

energía liberada por un sismo es la escala de

Richter, representada por la ecuación:

log E = 1,5R+11,8

donde E: energía liberada medida en ergios;

R: magnitud del sismo en grados de la escala Richter.

a. Calcula la cantidad de energía liberada en un

sismo de grado 6 y en un sismo de grado 7.

b. ¿Qué relación numérica existe entre ambos

valores?

c. ¿Qué aumento representa en la cantidad

de energía liberada, el aumento de un

grado en la escala Richter? Si el aumento

fuera de dos grados, ¿cómo aumenta la

energía liberada?

d. El terremoto de mayor magnitud registrado

corresponde al ocurrido en 1960 en la ciudad

de Valdivia, el cual fue de 9,5 grados Richter.

¿Cuál fue la energía liberada por este sismo?

e. Averigua acerca de otros terremotos

ocurridos en nuestro país y compara su

magnitud con el terremoto de Valdivia.

(Puedes encontrar información acerca de sismos

en la página web del Servicio Sismológico de la

Universidad de Chile http://ssn.dgf.uchile.cl/)

4. El nivel de decibeles del sonido (db), se puede

calcular mediante la siguiente fórmula:

D = 10 log (l • 1012)

donde l corresponde a la intensidad del sonido

medido en .

a. Si se duplica la intensidad del sonido ¿cómo

cambia el nivel de decibeles del sonido?

b. El umbral auditivo es la mínima intensidad

de sonido que podemos oír, y corresponde

a 10–12. Demuestra que el nivel de decibeles

del umbral auditivo es cero.

c. En una multitienda se vende un equipo

musical que tiene 1.000 de salida.

¿A qué nivel de decibeles corresponde esta

intensidad?

d. Si en la misma tienda se vende otro equipo

musical cuya intensidad es de 2.000 ,

¿corresponde al doble del nivel de decibeles

del equipo anterior?

e. Completa la siguiente tabla.

f. ¿Qué medidas implementarías para

disminuir la contaminación acústica?

Discútelo con tus compañeros.

wattsm2

wattsm2

wattsm2

Fuente Intensidad Decibeles

Susurro 10–10

Tráfico callejero 10–5

Posible daño auditivo 10–3,5

Cercano a un trueno 120

Umbral del dolor 130

Perforación

instantánea 160

del tímpano

Concierto de rock 101

U3 Pág. 68 - 93 29/11/06 17:18 Page 93




Ejercicio 1

Considera la figura:

Demuestra que logh q + logh p = 2

Solución

Realizaremos un cambio de base.

logh q = logh p =

Entonces, remplazando en la expresión inicial:

Ahora aplicaremos el teorema de Euclides:

h2 = p • q

log h2 = log (p • q)

2 log h = log p + log q

2 =

Hemos demostrado que: logh q + logh p = 2

Ejercicio 2

Si u3 – v• w5v = uv + 5

• w3v, demuestra que v log � � = log u.

Solución

u3 – v• w5v = uv + 5

• w3v,

(3 – v) log u + 5v log w = (v + 5) log u + 3v log w

3 log u – v log u + 5v log w = v log u + 5 log u + 3v log w

3 log u – v log u – v log u – 5 log u = 3v log w – 5v log w

–2v log u – 2 log u = –2v log w

–2 log u = –2v log w + 2v log u

log u = v log w – v log u

log u = v(log w – log u)

log u = v log � �wu

wu

log p + log qlog h

log plog h

log qlog h

Igualdad a demostrar.

Aplicamos logaritmo.


Factorizamos.

Q.e.d.

Es equivalente a la

expresión original.

Reducimos términos

semejantes.

Dividimos toda la

expresión por –2.

qp

h

+ = 2 ⇒ = 2 log q + log p

log hlog plog h

log qlog h

U3 Pág. 94 - 103 6/30/08 11:03 PM Página 94

Ejercicio 3

Si log = p calcula log a en función de p.

Solución

log = p

log a = p

log a = p

log a = 3p

Por otro lado, la expresión log a puede ser escrita como log a, luegoremplazando tenemos:

log a = • 3p = p

Entonces, log a = p.

Ejercicio 4

Demuestra que ax = bx logb a.

Solución

x log a = x log a

x log a = x • log b

x log a = x logb a • log b

x log a = (x log b) • logb a

x log a = logb ax log b

Podemos observar que la expresión resultante es una identidad, por lotanto, la expresión original ax = bx logb a, es verdadera.

log alog b

65

25

65

25

25

25

25

13

13

a3

25a3



Aplicamos propiedades

de logaritmos.

Recuerda que: a a313=

Aplicamos las propiedades.

Realizamos un cambio

de base.

Multiplicamos por log blog b

U3 Pág. 94 - 103 7/28/09 12:45 PM Página 95



DESAFÍOS

1. (Ensayo PSU, 2004) Si f(x) = xa + 1 y f(2) = 9,

entonces a =

A. 9

B. 4

C. 3

D. 2

E.

2. (Ensayo PSU, 2004) Al aplicar la definición de

logaritmo a la expresión log3 2 = a resulta:

A. a3 = 2

B. a2 = 3

C. 23 = a

D. 32 = a

E. 3a = 2

3. (Facsímil PSU, Demre, 2004) Las raíces o

soluciones de la ecuación x(x – 1) = 20 son:

A. 1 y 20

B. 2 y 20

C. 4 y 5

D. 4 y –5

E. –4 y 5

4. (Facsímil PSU, Demre, 2004) La trayectoria de

un proyectil está dada por la ecuación:

y(t) = 100t – 5t2

donde t se mide en segundos y la altura y(t) se

mide en metros. ¿En cuál(es) de los siguientes

valores de t estará el proyectil a 420 m de

altura sobre el nivel del suelo?

I. 6 segundos

II. 10 segundos

III. 14 segundos

A. Solo I D. I y II


C. Solo III

5. ¿Cuál de las siguientes figuras representa la

gráfica de las rectas 3x + y = 4 y x + y = 0?

A.

D.

B.

E.

C.

6. Facsímil PSU, Demre, 2004) Si g(x) = 3a – 2x,

donde a es número real fijo mayor que cero,

representa los gastos de una persona, entonces

cuando x varía entre y el gasto varia

entre:

A. 2a y a

B. a y a

C. 3a y 2a

D. 3a y a

E. a y 2a52

52

52

a2

a4

8

2

4

2

4

22

2

–2

–2

4

4

–2

–2

Y

Y

Y

Y

Y

X

X

X

X

X

U3 Pág. 94 - 103 6/30/08 11:03 PM Página 96

Modelación matemática

Cuando el físico M. Faraday presentó su descubrimiento, inmediatamente alguien le preguntó:“¿Para qué sirve?” A lo que él respondió: “¿Para qué sirve un recién nacido?”Todo quedó ahí hasta que 50 años después, en 1881, T. A. Edison, basándose en las teorías deFaraday, inauguraba la primera planta eléctrica de Nueva York.En otro lugar en el tiempo, Einstein propone las ecuaciones matemáticas que rigen el Universo,permitiendo así escudriñar hasta su último rincón.Son muchos los ejemplos y el denominador común es uno solo: las matemáticas describeninexorablemente a las Ciencias Naturales. Hoy en día, en diversas partes del mundo, Chile incluido,existen centros de “modelamiento matemático” que se dedican a estudiar problemas que, de sersolucionados significan una avance que incide en el bienestar de todos.

1. Averigua acerca de las instituciones que se dedican al modelamiento matemático en Chile.Debes indicar el área de investigación (minería, transporte, recursos, etc.) y el financiamientoutilizado.

2. Desarrolla una investigación sobre los triunfos del pensamiento humano que aportaron aldesarrollo de la civilización tal como la conocemos hoy y para los cuales la matemática fuedecisiva. Abarca desde los griegos hasta nuestros días.

Michael Faraday

(1791 - 1867)

Nacido en los turbu-

lentos días de la Revo-

lución Francesa, a los 13

años comienza a tra-

bajar como ayudante de

encuadernación. Se pue-

de señalar que en esta

etapa de su vida comien-

za su proceso de educa-

ción, lo cual le llevaría a

ser el más importante de

los experimentadores del

siglo XIX. Su ejemplo, es

la prueba de la completa

independencia entre el

genio creador y la forma-

ción escolar tradicional.



MEDIOS

U3 Pág. 94 - 103 29/11/06 17:19 Page 97



SÍNTESIS

Mapaconceptual

Resumen


Conceptos clave:

Función

Dominio

Recorrido

Función potencia

Logaritmo

Función logarítmica

Logaritmo natural

1 Función: es aquella correspondencia entre variables que asocia a cada

valor de la variable independiente (x) un único valor de la variable

dependiente (y).

2 Dominio: conjunto de todos los valores que puede tomar la variable

independiente.

3 Recorrido: conjunto de todos los valores que puede tomar la variable

dependiente.

4 Función periódica: una función f es periódica de período T, si T es el

menor número positivo tal que x + T está en el dominio de la función y

f(x) = f(x + T). Gráficamente se puede observar que la función se repite

en intervalos de largo T.

5 Función inversa: función inversa de f(x) = y corresponde a la función g

que toma el elemento y y lo devuelve a x de tal forma que

f(g(x) = g(f(x)) = x.

6 Función potencia: está dada por y = axn, donde a es un número real

distinto de cero y n pertenece a los naturales.

U3 Pág. 94 - 103 6/30/08 11:03 PM Página 98



7 Logaritmo: es el exponente de una potencia. Además,

Si by = x ⇔ y = logb x

Por otra parte, en la expresión logb x, llamaremos base del logaritmo a

b (b pertenece a �+ – {1}), y argumento a x.

8 Algunas propiedades de los logaritmos son:

a. logb 1 = 0

b. logb b = 1

c. logb (a • c) = logb a + logb c

d. logb � � = logb a – logb c

e. logb an = n logb a

f. logb = logb a

g. logb bn = n

h. logb a = : cambio de base

9 Función logarítmica: esta función está dada por f(x) = logb x, donde

b pertenece a �+ – {1}, cuyo dominio son los reales positivos y su

recorrido el conjunto de los números reales.

Además:

Si b > 1, el gráfico Si 0 < b < 1, el gráfico

de la función está dado por: de la función está dado por:

10 Logaritmo natural: corresponde a y = loge x, con e �� 2,7182 y se puede

representar como ln x.

logc alogc b

mn

amn

ac

Y

XX

Y

U3 Pág. 94 - 103 6/30/08 11:03 PM Página 99



EVALUACIÓN

1. El dominio de f(x) = es:

A. ]1, 2[ D. � – {1, 2}

B. ]–∞∞, 2[ E. �

C. ]–∞∞, 1] U [2, +∞∞[

2. El dominio de f(x) = es:

A. ]–∞∞, 1[ U [2, +∞∞[

B. ]–∞∞, 1[ U ]2, +∞∞[

C. � – {0, 1, 2}

D. ]1, 2[

E. �

3. La función inversa de g(x) = x3 + 1 es:

A. D.

B. E.

C.

4. Si h(x) = x3 y k(x) = 3x – 4, entonces

(k–1 o h–1) (8) es:

A. 1

B. 2

C. 4

D. 8


5. Si f(x) = 2x + 3, entonces f–1 (33)

A. 15 D. 69

B. 18 E. 70

C. 30

6. El recorrido de f(x) = 2x2 + 5, con x � 0 es el

conjunto:

A. [5, +∞∞[

B. ]5, +∞∞[

C. �+

D. �–

E. �

x − 13

x +( )133x x+ 3

x −( )133x3 1−

x

x x−( ) −( )1 2

x x−( ) −( )1 2 7. ¿Cuál de las siguientes funciones no es

periódica?

A. y = sen x

B. y = –sen x

C. y = – sen x

D. y = sen x + 2

E. y = sen

8. ¿Cuál de los siguientes corresponden al

gráfico de la función g(x) = 2x3?

A.

B.

C.

D.


1x

12

U3 Pág. 94 - 103 7/24/09 3:23 PM Página 100



9. Si logb 3 = – , entonces el valor de b es:

A. 3–1 D. 12

B. E. 27

C. 9

10. Una expresión equivalente a

• (3 loga x – 5 loga y – 30 loga z) es:

A. loga

B.

C.

D.

E. N.A.

11. Si logb 16 = –2, entonces el valor de b es:

A. D. 2

B. y – E. 4 y –4

C. 4

12. Si pH = –log [H+], halla la concentración de

H+ si el pH de una sustancia es 6,8.

A. 1,58 • 10–7 D. 6,8 • 10–7

B. –6,8 E. 1,58 • 107

C. 6,8 • 107

13. La solución de la ecuación log3 3x2

= 1 es:

A. 0 D. 3

B. 1 E. Todos los reales.

C. 1 y –1

14

14

14

logax

y z

3

5 30+

logax

y z3

5 30+

logax

y z

3

5 30+

3x5y + 30z

12

127

13

14. Encuentra el valor de x en la ecuación

log2 x + log2 x = 2

A. x = 0 D. x = 3

B. x = 1 E. x = 2,5

C. x = 2

15. La siguiente fórmula relaciona los decibeles

según la potencia de un amplificador

D = 10 • log(l • 1012) (con I: intensidad).

Si en un amplificador de sonido triplicamos la

potencia, ¿en cuánto aumentan los decibles?

A. Aproximadamente 4 unidades.

B. Aproximadamente 5 unidades.

C. Aproximadamente 10 unidades.

D. Aproximadamente 12 unidades.


16. Si en el mismo amplificador se aumenta de

I a 5I, ¿cuántos decibeles aumenta D?

A. 5 D. 15

B. 7 E. 70

C. 10

17. Si A = log x con x > 1, B = log �1 + � y

C = log (1 + x), entonces se cumple:

A. A + B = C D. A + B + C = 0

B. A + C = B E. N.A.

C. B + C = A

18. ¿Cuál de las siguientes propiedades son

siempre verdaderas?

I. a = blogb a

II. logb a • loga b = 1

III. logb • loga a = 0

A. Solo I D. II y III

B. Solo II E. Todas.

C. I y II

1a

1x

U3 Pág. 94 - 103 29/11/06 17:19 Page 101




1. Grafica las siguientes funciones, considerando

como dominio el conjunto de los números

reales.

a. f(x) = 4x c. h(x) = – x

b. g(x) = 2 • 1,25x

2. Calcula la inversa de las siguientes funciones.

a. f(x) = 4 + 7x

b.

c.

d. k(x) = 10 –

3. A partir de la gráfica de la función g(x) = x5,

dibuja la gráfica de las funciones:

a. t(x) = g(x) + 4 c. v(x) = g(x + 1)

b. u(x) = g(x) – 3 d. w(x) = g(x – 2) + 5

4. Determina el recorrido y el período de las

siguientes funciones.

a. y = 2 sen x d. y = sen x + 2

b. y = –2 cos x e. y = cos x – 1

c. y = – sen x f. y = cos x

5. La gráfica siguiente muestra una función que

representa cómo varía la tensión arterial

mínima de una persona a lo largo de varios días.

a. ¿Es una función periódica? Si lo es, indica

el período.

b. Utiliza la prueba de la recta vertical, para ver

si la gráfica representa una función. Si lo es,

indica el dominio y el recorrido de la función.

6. Representa en un gráfico las funciones

trigonométricas y = cot(x), y = sec(x) e

y = cosec(x) en el intervalo [0, π]. A partir de

estas gráficas, determina:

a. si la función tiene algún período en ese

intervalo.

b. El recorrido de cada una.

c. si es posible extender el intervalo dado y

obtener igualmente una función.

7. Caracteriza el parámetro a y el exponente

n en la función y = axn, para los siguientes

gráficos:

a. c.

c. d.

8. Expresa en la forma más reducida posible.

a. log13 + log – 13

b. – log ab + log + log

c. log + log a –

9. Demuestra que:

(loga b) (logb c) (logc d)… (logm n) (logn a) = 1

para cualquier conjunto de números positivos

a, b, c,…, n distintos de 1.

10. Calcular, en cada caso, el dominio de f(x)

a. f(x)= log (log x)

b. f x x x( ) = ( ) − +log log2

5 6

ab12

b

ba12

1312

12

3 + x2

h x x( ) = +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3 517

4,

g xx( ) =

− 55

23

16

12

8

4

1 2 3 4 5

U3 Pág. 94 - 103 29/11/06 17:19 Page 102



11. Sean x1 y x2 dos números reales positivos

tales que:

log � � = (log x1 + log x2)

Calcula el valor de: 5x1x2

12. Demuestra o refuta la igualdad:

loga x + logb x = logab x

para todo valor de x, siendo a y b positivos.

13. Las funciones logarítmicas graficadas son del

tipo y = log (x – a)

a. Halla el valor de a para cada una de ellas.

b. ¿Cuál de las gráficas corta al eje Y?

14. Analiza la validez de las siguientes

afirmaciones:

a. Los logaritmos son siempre positivos.

b. No existen logaritmos de números

negativos.

c. Los logaritmos están definidos para bases

positivas.

d. Las potencias de un número positivo son

todas positivas.

15. Considera que log 2 = 0,301030, y calcula el

valor de las siguientes expresiones:

a. b.

16. Demuestra las siguientes propiedades:

a. a = blogb a

b. logb � � + logb a = 0

c. log xn = n • log x

17. ¿En qué casos se cumple la siguiente

igualdad?

(loga b) (logb a) = 1

18. Si se verifica que log a + log b = 0, ¿cuál es la

relación entre a y b?

19. Si a, b pertenecen a �, calcula el valor de:

log a + logb � �20. Completa el siguiente cuadro:

21. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:

a. log3 (3x – 2) = 2

b. log2 x2 + 3log2 x = 10

c. log (x + 3) – log (2x – 1) = 0

d. log2 (x + 1) + log2 (x – 1) = log2 8

e. ln x3 – ln x=

f. log x–1 + (log x) –1 = –

g. log8 x – log8 3 – log8 7 = 13

32

52

12

1b1

a

1a

log1

2 2

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟log

2

2

3

5

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

12

x1 • x23

Producto Concentración de H+ pH

Leche 6,6

Pasta de 9,9

dientes

Vino 3,162 • 10–4

–3 –1 1 3 5 7 9

Y1

X

U3 Pág. 94 - 103 29/11/06 17:19 Page 103

104 Evaluación semestral 1

1. Una distribución de datos tiene como

diagrama de barras:

A. La media es 3.

B. La mediana es 3.

C. La moda es 3.

D. La desviación media es 3.

E. La desviación estándar es 3.

2. Observa el siguiente gráfico circular

asociado a una encuesta sobre veracidad

de la información en los medios de

comunicación.

Sabiendo que 400 personas dijeron que la

información es muy veraz, ¿a cuántas

personas se encuestó aproximadamente?

A. 1.000

B. 1.600

C. 4.000

D. 8.000


Para los problemas 3 a 7, consideraremos la distri-

bución de frecuencia con las alturas (en metros)

de 100 estudiantes.

3. La media aritmética es:

A. 1,658 m D. 1,6901 m

B. 1,6745 m E. Ninguna de las anteriores.

C. 1,683 m

4. La mediana es aproximadamente:

A. 1,665 m D. 1,674 m

B. 1,669 m E. 1,681 m

C. 1,671 m

5. La moda es aproximadamente:

A. 1,66 m D. 1,69 m

B. 1,67 m E. 1,70 m

C. 1,68 m

6. La desviación estándar es:

A. 0,0185 m D. 0,0304 m

B. 0,0216 m E. 0,0417 m

C. 0,0292 m

7. La desviación media es:

A. 0,0193 D. 0,0292

B. 0,0216 E. Ninguna de las anteriores.

C. 0,0227

Intervalo

1,60 – 1,62

1,63 – 1,65

1,66 – 1,68

1,69 – 1,71

1,72 – 1,74

fi

5

18

42

27

8

N = 100

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

Muy veraz

Aceptable

Poco veraz

Nada veraz

1 2 3 4 5

EVALUACIÓN SEMESTRAL 1

Eval Pág. 104-107 7/24/09 3:28 PM Página 104

105Evaluación semestral 1


8. Se lanza un dado cierta cantidad de veces y

con los valores obtenidos se construye la

tabla de frecuencias que se indica. Si la media

aritmética de los valores es 3,8, el número

total de lanzamientos es:

x fi

1 5

2 2

3 4

4 a

5 4

6 7

A. 3 D. 25

B. 4 E. Ninguna de las anteriores.

C. 19

9. Las calificaciones de un estudiante en

Química son: 5,4 – 4,8 – 6,2 y 3,5.

Si las ponderaciones son 20%, 10%, 30% y

40%, respectivamente, entonces su

promedio ponderado final será·:

A. 4,8 C. 5,0 E. 5,3

B. 4,9 D. 5,2

10. Las marcas de clase en una distribución de

frecuencias son:

126 – 135 – 144 – 153 – 162 – 171 – 180.

Entonces, el tamaño de los intervalos de

clase es:

A. 4,5 D. 10

B. 5 E. Ninguna de las anteriores.

C. 9

Para los problemas 11, 12 y 13, considera el con-junto de datos:{2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 18, 20}.

11. La media aritmética es:

A. 7,4 C. 9,5 E. 11,7

B. 8,2 D. 10,1

12. La mediana es:

A. 7 C. 10 E. 20

B. 9 D. 11

13. La moda es:

A. 2 C. 9 E. 20

B. 7 D. 18

14. La desviación media del conjunto de datos

{2, 3, 6, 8, 11} es:

A. 2,8 C. 5,5 E. 6,3

B. 3,6 D. 6

15. La desviación estándar de los datos,

3 – 5 – 6 – 7 – 10 – 12 – 15 – 18, es:

A. 2,48 C. 9 E. 11,36

B. 4,87 D. 9,5

Para los problemas 16, 17 y 18, la tabla de distri-bución de frecuencias muestra los puntajes obte-nidos por 120 estudiantes de una universidad enuna prueba de álgebra.

16. El percentil P70 es:

A. 73,5 C. 82,5 E. 90,5

B. 74,9 D. 83,9

Puntaje

38 – 4647 – 55

56 – 64

65 – 73

74 – 8283 – 91

92 – 100

fi

13

1121

43329

Eval Pág. 104-107 29/11/06 17:30 Page 105


17. El cuartil Q2 es:

A. 66

B. 67

C. 78,52

D. 83


18. El decil D3 es:

A. 47,5

B. 55,5

C. 64,5

D. 73,5


19. El cuartil Q3 es un valor que, ordenados

todos los datos:

A. deja por encima el 50%.

B. deja por debajo el 75%.

C. deja por debajo el 25%.

D. deja por encima el 75%.


20. En una encuesta se obtiene una media

muestral x; se sabe que la desviación

estándar de la población es σσ, el tamaño de

la muestra es n y la variable tiene una

distribución normal.

El intervalo de confianza con un 99,7% de

confianza para la media µµ , está dado por:

A. � x–

– 3σσ, x–

+ 3σσ�

B. � x–

– 2σσ, x–

+ 2σσ�

C. � x–

– , x–

+ �

A. todos los números reales.

B. todos los números negativos.

C. todos los números reales mayores que 1.

D. todos los números reales, sin incluir al –1.

E. todos los números reales menores que 1.

22. ¿Cuál es el recorrido de la función que

asocia a cada número su raíz cúbica?

A. Solo los números reales positivos.

B. Todos los números reales.

C. Solo los números no negativos.

D. Solo los múltiplos de 3.

E. Solo los números naturales.

23. Si f es una función periódica y T es su

período, ¿cuál de las siguientes afirmaciones

es falsa para todo x?

A. f(x) = f(x – T)

B. f(x) = f(x + 4T)

C. f(x) = f(2x + T)

D. f(x) = f(x + 6T)


24. Dada la función g, que asocia a cada

número su triple menos 2 unidades, ¿cuánto

es g(2)?

A. –2

B. 0

C. 2

D. 4

E. 63σσ3σσ

D. � x–

– , x–

+ �2σσ2σσ

E. � x–

– , x–

+ �kσσkσσ

n n

n n

nn

21. El dominio de f(x) = es:1

x + 1


Eval Pág. 104-107 29/11/06 17:30 Page 106


25. Dado el gráfico de la función h(x) = axn.

Es correcto afirmar que:

I) a es positivoII) n es parIII) a �� 0

A. Solo I

B. Solo II

C. Solo III

D. I y II

E. II y III

26. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es

verdadera?

A. La gráfica de la ecuación y = xn, para

todo n par, se encuentra ubicada en los

cuatro cuadrantes del plano.

B. El gráfico de f(x) = x3 tiene forma de

parábola.

C. La gráfica de y = (x + 7)2 e y = x2 + 7 es

exactamente la misma.

D. La gráfica de la función t(x) = 5x6, se

encuentra ubicada en el primer y

segundo cuadrante.


27. Si log 3 �� 0,47 y log 5 �� 0,70, entonces el valor

de la expresión log 75 – log 125 + log 81 es:

A. 0,47 C. 0,94 E. 1,65

B. 0,9 D. 1,41

28. El valor de la expresión

log2 – log3 + log5 es:

A. –3 C. 4 E. 11

B. 3 D. 7

29. ¿Cuál de las siguientes igualdades es

incorrecta?

A. log 53 = 3 log 5

B. log 10 + log 100 = log 1.000

C. log 81 = 2 log 9

D. log =

E. log 8 = log 12 – log 4

30. ¿Cuál(es) de las siguientes relaciones es(son)

verdadera(s) para la función f(x) = logb x?

I) Si b >1 entonces f(x) es creciente.II) logb x = logb z ⇔ x = zIII) El recorrido de f(x) es �.

A. Solo I

B. Solo II

C. Solo III

D. II y III

E. Todas

31. El valor de x en la ecuación log2 x = log3 x es:

A. –1 C. 0 E. 1

B. – D.

32. El valor de x en la expresión log0,4 0,064 = x

es:

A. 3 C. 16 E. 64

B. 4 D. 60

12

12

log 26

26

1125

181

116


(soluciones en página 250)

5

–5

–4–8 84

Eval Pág. 104-107 29/11/06 17:30 Page 107

Según el último censo(2002), publicado por el Instituto

Nacional de Estadísticas (INE) la poblaciónde nuestro país llegaba a 15.116.435 personas.Mediante modelos matemáticos se estimó la

población para los años siguientes, esperándose para elaño 2005, 16.267.278 personas. ¿Qué expresiones

matemáticas estarán involucradas en esta predicción?En esta unidad trabajarás con expresiones del tipof(x) = Cax, en que la variable independiente x es el

exponente de una constante positiva y cuyo aporte es elestudio del crecimiento o decrecimiento de poblaciones.De esta manera, surge otro de los números importantes

en la matemática: el número e.

UN

IDA

D

4

108 La función exponencial

La función exponencial

U4 Pág. 108 - 127 6/30/08 11:07 PM Página 108

109La función exponencial





Conocer el concepto de función exponencial y su gráfico.

Trabajar con el número e en funciones expo-nenciales.

Analizar el crecimiento y decrecimiento de fun-ciones exponenciales: crecimiento geométrico y aritmético.

Relacionar la función logarítmica y exponencial.

Resolver ecuaciones exponenciales.

Resolver problemas de aplicación.

U4 Pág. 108 - 127 29/11/06 17:20 Page 109

Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL


REPASO

¿Cuánto sabes?

c. � �2x2

= i. 28x = 42x1128

12

f. 5 • � �2x – 15= 253x l. (0,25)3 + 10x =

1

4–215

b. y = + e. w(x) = 6 + x – 192

x3

1. Encuentra el valor de x.

a. 52x – 1 = 25 g. 2x + 5 = 32

b. 22x + 3 = (0,5)3x + 2 h. � �3 – 2x= 82x

d. • 2 • • 2 • = 2 • j. 3–2x2 + 14x – 6 = � �x2 – 2x + 4

e. 1 – ax2 – 5x – 84 = 0 k. =

2. Un capital estuvo depositado 3 años con un interés de 1,8% mensual. Sidio una utilidad de $ 382.761, ¿cuánto fue el capital depositado?

3. Romina reunió un capital de $ 6.000.000 y lo depositó. Si en dos añosprodujo una utilidad de $ 600.000, ¿a qué tasa de interés anual lo colocó?

4. Completa la siguiente tabla.

Capital inicial Interés Capital final después de 3 años

$ 200.000 1,5% anual $

$ 10% anual $ 2.600.000

$ 300.000 % anual $ 435.000

5. Dado log 2 �� 0,301; log 3 �� 0,477; log 5 �� 0,699; log 7 �� 0,845 ylog 11 �� 1,041. Calcula:

a. log 70 d. log g. log 2.401

b. log 0,22 e. log 0,6 h. log

c. log f. log i. log

6. Grafica las siguientes funciones indicando en qué intervalo la función escreciente y en cuál decreciente.

a. u(x) = x2 – 5 d. y = –

c. v(x)= (x – 1,7)2 + 3

x

21330

511.00015

67

554

30

1

3121

92x

127

18

1x

12

1

22

14

U4 Pág. 108 - 127 29/11/06 17:20 Page 110




7. A partir de los siguientes gráficos, escribe la representación algebraicade esas funciones y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

a. c. e.

b. d. f.

8. Un tipo de bacteria se reproduce de tal forma que cada hora hay 10 vecesmás bacterias que la hora anterior. Si partimos con 1 sola bacteria,

a. ¿cuántas habrá dentro de una hora? ¿Y 2 horas? ¿Y 10 horas?b. Si en un instante tenemos 10 millones de bacterias, ¿cuántas había

una hora antes? ¿Y 3 horas antes?c. ¿En cuántas horas hay 1 millón de bacterias?

–5

5

–4 4 8

–5

5

–5

–3

–3

3

5

4,5 9–4–8 4

13,5

–5

5

4 8

4

–2 2

8 12

1 Para resolver una ecuación exponencial debes igualar las bases de laspotencias y luego resolver la ecuación que resulta de igualar losexponentes.

Por ejemplo: 32x – 5 = 27x – 1

32x – 5 = 33(x – 1)

32x – 5 = 33x – 3 ⇔ 2x – 5 = 3x – 3

–5 + 3 = 3x – 2x

–2 = x

2 El interés simple es el que se obtiene cuando los intereses producidos,durante todo el tiempo que dura una inversión, se deben únicamenteal capital inicial.

3 La utilidad u producida al invertir $ C durante t meses con un interéssimple mensual de r% es:

u = t • r • C100

X

Y

X

Y

X

Y

XXX

YYY

U4 Pág. 108 - 127 6/30/08 11:07 PM Página 111



CONTENIDOS

TIPS

AYUDA

La curva de la función expo-

nencial se dice que es asintótica

al eje X, ya que se acerca a esa

recta sin llegar nunca a intersec-

tarla.

EJERCICIOS

1. Utilizando algún programa computacional,

grafica las siguientes funciones, y luego

responde.

i. f(x) = 2x iii. f(x) = 22x

ii. f(x) = 2 • 3x iv. f(x) = 4 • 3x

a. ¿Cuál es el dominio de cada función?

b. ¿En qué punto intersectan al eje Y?

c. Las gráficas, ¿mantienen las características

de una función exponencial f(x) = ax, con

a > 1?

2. Dada la función f(x) = 3x, determina en el

gráfico el valor aproximado de:

a. 30,5 b. 3 c. d. 3 33 213

Una función exponencial se representa por f(x) = ax, con aperteneciente �+ – {1} y x perteneciente a �.

Función exponencial

Observa las siguientes gráficas para determinar las características de estafunción.

Caso I. Función exponencial f(x) = ax, con a > 1.En el mismo sistema de coordenadas graficaremos las siguientes funciones: f1(x) = 2x, f2(x) = 4x, f3(x) = 9x y f4(x) = 100x.

En estas gráficas observamos varios aspectos importantes: • la curva asociada a la función exponencial f(x) = ax, para los valores de a:

2, 4, 9 y 100, intersecta al eje de las ordenadas (Y) en el punto (0, 1). Nohay intersección con el eje X.

• La función es creciente para todo valor de x.• El dominio de la función son todos los números reales.• Los valores que toma la variable dependiente y son los números reales

positivos.

Para graficar la función

f(x) = 2x puedes usar la página

www.santillana.cl/emedia/mat4/

grafica.htm y escribir la expresión

2^x en el espacio correspondiente.

X

Y

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Caso II. Función exponencial f(x) = ax, con 0 < a < 1.

Graficaremos en el mismo sistema de coordenadas las siguientes funciones:

f1(x) = � �x , f2(x) = � �x

, f3(x) = � �x y f4(x) = � �x

.

Al observar las gráficas anteriores podemos generalizar lo siguiente:• la curva asociada a la función exponencial f(x) = ax, con 0 < a < 1, inter-

secta al eje Y en el punto (0, 1). No hay intersección con el eje X. • La función es decreciente para todo valor real de x.• Los números reales son el dominio de la función; y el recorrido, los reales

positivos.

Dados los dos casos, ¿podrías sacar algún tipo de conclusión?

1100

19

14

12


La función exponencial, f(x) = ax, con a perteneciente a �+ – {1} y x perteneciente a �, posee las

siguientes características:

• el dominio de la función son los números reales.• Los números reales positivos son el recorrido de la función.• La curva asociada a la función, intersecta al eje de las ordenadas en el punto (0, 1).

Si a > 1, la función es creciente. Si 0 < a < 1, la función es decreciente.

PARA ARCHIVAR

IR A LA WEB



X

Y

X

Y

X

Y

U4 Pág. 108 - 127 6/30/08 11:07 PM Página 113



CONTENIDOS

Algunas consideraciones para a en la función f(x) = ax:

• Base a = 1.

Si la base de la función es el número real1, la función es f(x) = 1x.

Se observa que para todo valor real dex se tiene que f(x) = 1, de lo cual resultauna recta paralela al eje de las abscisasX, es decir, se trata de una funciónconstante, por lo que no se habla de unafunción exponencial.

• Base a = 10.

Si la base de la función es el número 10,la función es f(x) = 10x.Si comparas su gráfica con la gráfica def(x) = log x obtienes curvas simétricascon respecto a la gráfica de la funciónf(x) = x. Compruébalo.

Ejemplo

Grafiquemos en el mismo sistema de coordenadas las funciones

f(x) = 2x y g(x) = � �x = 2–x

¿Qué semejanzas y diferencias hayentre ellas?

Semejanzas: • el dominio de cada una de ellas

son los números reales.• el recorrido de cada una de ellas

son los números reales positivos.

Diferencias:• En f(x), si los valores de x se hacen cada vez más grandes, los valores de y

aumentan con rapidez, mientras que en g(x) si los valores de x se hacencada vez más grandes, los valores de y se acercan cada vez más a cero.

• La base de g(x) es el inverso multiplicativo de la base de f(x).• Las gráficas de f(x) y g(x) son simétricas entre sí, con respecto al semieje OY.

Cuando las funciones son inversas, ¿son siempre simétricas al semieje OY? Verifica tu respuesta graficando este tipo de funciones exponenciales.

12

AYUDA

El semieje OY está representado

por:

O

Y

X

g(x)g(x) f(x)

f(x) = 10x

→

→

→

X

Y

X

X

Y

Y

U4 Pág. 108 - 127 30/6/08 12:39 Page 114



EJERCICIOS

1. Utilizando algún programa computacional,

grafica las siguientes funciones.

a. f(x) = 4x g. f(x) = 2–x

b. f(x) = � �xh. f(x) = � �–x

c. f(x) = –4x i. f(x) = 2x – 1

d. f(x) = –� �xj. f(x) = � �x

e. f(x) = 5x k. f(x) = 2x + 1

f. f(x) = � �–xl. f(x) = –� �x

2. Grafica en un mismo sistema de coordenadas

las siguientes funciones. Luego responde.

a. f(x) = 5x y g(x) = � �x

c. f(x) = 2x y g(x) = 2–x

d. f(x) = 3–x y g(x) = 3x

e. f(x) = –2x y g(x) = 2x

f. f(x) = –� �xy g(x) = � �x

h. f(x) = 3 • 2x y g(x) = 2 • 2x

i. f(x) = 2x + 1 y g(x) = 2x – 1

j. f(x) = � �x+ 1 y g(x) = � �x – 1

k. En relación a la gráfica, dominio y

recorrido, ¿qué puedes concluir entre las

funciones de: a y b, c y d, e y f, g y h,

i y j?

3. Dadas las siguientes funciones indica su

dominio, recorrido y el punto de intersección

con cada eje.

a. m(x) = 5–x d. r(x) = 2x2

b. n(x) = e. f(x) = 3x + 2 – 9

c. s(x) = 2⎟x⎟ f. f(x) = 3x – 3–x

4. Sin construir las tablas de valores ni las

gráficas, indica cuáles de las siguientes

funciones son crecientes o decrecientes.

a. r(x) = 675x c. r(x) = 0,001x

b. r(x) = � �xd. r(x) = 2,01x

5. Encuentra la función f(x) = ax que pasa por los

siguientes puntos, respectivamente.

a. (3, 216) d. (3, 743)

b. (–1, 5) e. (–4, 0,625)

c. (4, 4.096) f. (m, m5)

6. Dada la función exponencial f(x) = (0,09)x,

indica cuál(es) de las siguientes proposiciones

es(son) correcta(s). Justifica.

a. f(–m) = �f(m)�–1

b. f(n + m) = f(n) • f(m)

7. Indica cuál(es) de las siguientes funciones

exponenciales pasa(n) por el origen del

sistema de coordenadas.

a. y = 2x + 1 c. y = 1 – 2x

b. y = 2x + 1 d. y = 1 – 2x + 1

45

14x

13

13

12

12

15

23

12

23

14

13

14

b. f(x) = � �xy g(x) = 7x1

7

g. f(x) = 2 • � �xy g(x) = 3 • � �x1

212

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CONTENIDOS

El número e se define como el valor al que tiende la expresión

�1 + �xcuando x toma valores muy grandes. Su expresión

decimal es aproximadamente e = 2,71828182845.

1x

TIPS

La siguiente simbología f(x) → e

cuando x → +∞∞, es una forma

de escribir que la función f(x) se

aproxima a e cuando x tiende a

infinito (números cada vez más

grandes).

HISTORIA

Leonhard Euler(1707- 1783)

Euler fue el primero en simbolizar

el número e, utilizando este sím-

bolo, quizás, por ser la primera

letra de la palabra exponencial.

Aproximándonos al número e

El número e surge del estudio de la función definida por f(x) = �1 + �x,

donde x es un número positivo.

Estudiaremos los valores de la función a medida que x aumenta.

x f(x) Aproximación

10 �1 + �102,5937424601...

100 �1 + �1002,70481382942...

.

1.000 �1 + �1.0002,71692393224...

10.000 �1 + �10.0002,71814592683...

100.000 �1 + �100.0002,71826823717...

1.000.000 �1 + �1.000.0002,71828046923...

¿Qué tendencia hay en la función f(x) a medida que los valores de x se hacencada vez más grandes?

Como observas, a medida que los valores de x aumentan, el valorde la función f(x) se aproxima al valor 2,71828… O dicho de otraforma, a medida que los valores de x se hacen cada vez másgrandes, la función f(x) se aproxima al número e.

Graficaremos la función f(x) para observar cómo se comporta amedida que los valores de x crecen infinitamente.

El gráfico de la función muestra que f(x) tiende a estabilizarseen la medida en que x aumenta.

Verifica, de manera análoga, lo que sucede para valores ne-gativos de x.

11.000.000

1100.000

110.000

11.000

1100

110

1x

Y

X

U4 Pág. 108 - 127 6/30/08 11:07 PM Página 116



La función exponencial natural f(x) = ex, con base el número e, y xperteneciente a los números reales, posee las siguientescaracterísticas:

• El dominio de la función son los números reales.• El recorrido son los números reales positivos.• La curva asociada a la función, intersecta al eje de las ordenadas

en el punto (0, 1).

Función exponencial natural

Una función exponencial especialmente importante es f(x) = ex, cuya basees el número irracional e, y x perteneciente a los números reales. Para estudiar f(x) = ex graficaremos las siguientes funciones:

f(x) = ex g(x) = e–x

Observamos que para ambas funciones el dominio y recorrido es el mismo.El dominio serán los reales, y el recorrido corresponderá a los reales positivos.La curva asociada a f(x) es creciente, mientras que para g(x) es decreciente.Ambas gráficas intersectan al eje Y en el punto (0, 1).

EJERCICIOS

1. Grafica las siguientes funciones y analiza qué

sucede con cada una.

a. f(x) = e0,1x c. f(x) = e0,001x

b. f(x) = e0,01x d. f(x) = e0,0001x

2. Dadas las siguientes funciones, ¿cuál es su

dominio y recorrido?

a. f(x) = ex + 1 c. f(x) = e2x

b. f(x) = –ex + 1 d. f(x) = e–2x

3. En cada uno de los siguientes puntos, la

gráfica de una función exponencial f(x) = ax

pasa por el punto dado. Encuentra f.

a. (–1, e2) b. (2, e)

4. En un sistema de coordenadas realiza un

esbozo de las siguientes funciones.

a. f(x) = c. f(x) = + e–x

2ex

2ex

2

b. f(x) = d. f(x) = + ex + 1

2ex + 1

2e–x

2

AYUDA

Las características de la función

exponencial natural son las

mismas que una función expo-

nencial.

IR A LA WEB



X X

Y Y

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CONTENIDOS

Función exponencial y función logarítmica

Dada y = bx, determinemos la función inversa de y, para b > 0, b = 1, paraesto debemos despejar x en función de y.

y = bx

log y = log bx

log y = x log b

x =

x = logby

Luego, y–1 = logbx.

Para realizar un mejor análisis graficaremos ambas funciones.

Caso I: Si b > 1 Caso II: Si 0 < b < 1

¿Qué puedes observar?

• Ambas funciones son simétricas con respecto a la recta y = x.• El dominio de la función logarítmica es el conjunto de los reales positivos,

lo cual corresponde al recorrido de la función exponencial.• El recorrido de la función logarítmica es el conjunto de los números reales

y corresponde al dominio de la función exponencial.

log ylog b

AYUDA

Recuerda que:

logb a = log a

log b

AYUDA

y–1 = f–1(x)

Sea y = bx una función exponencial, su inversa está dada pory–1 = logb x.

PARA ARCHIVARTIPS

La recta y = x es bisectriz de los

cuadrantes I y III, es decir, los

divide en dos regiones iguales.

TIPS

Una manera de graficar la fun-

ción logarítmica es “reflejando”

sobre la recta y = x, la función

exponencial correspondiente.

y = bx

y–1 = logbx

y–1 = logbx

y = x

y = xy = b

x

aplicamos logaritmo ya que y y b son números positivos

ya que b = 1

utilizando la propiedad de cambio de base, tenemos

al encontrar la función inversa remplazamos x por y

X

Y

X

Y

U4 Pág. 108 - 127 6/30/08 11:07 PM Página 118



AYUDA

Recuerda que para encontrar

una función inversa despejamos

la variable independiente en

función de la variable depen-

diente y, luego, intercambiamos

las variables x e y en la expresión

resultante.

La función inversa del logaritmo natural y = ln x, está dada por lafunción y = ex.

PARA ARCHIVAR

Caso particular

¿Cuál es la función inversa de y = ln x?

Si y = ln x ⇒ y = loge x, luego, por definición de logaritmo se tiene que

ey = x.

Por lo tanto, y–1 está dada por la función y = ex.

EJERCICIOS

1. En un mismo sistema de coordenadas, grafica

las funciones y = ln x e y = ex.

a. Indica los puntos de intersección con losejes.

b. Determina el dominio y recorrido de cadafunción.

c. Determina el eje de simetría.

2. Determina la función inversa de las siguientes

funciones exponenciales.

a. y = 2x c. y = � �x

b. y = 3x d. y = � �x

3. Determina la función inversa de las siguientes

funciones logarítmicas.

a. y = log6 x c. y = log x

b. y = log9 x d. y = log x

4. Dada la función y = 4x, determina su función

inversa y grafícalas en un mismo sistema

cartesiano.

5. Si f(x) = xa + 1 y f(2) = 32, determina el valor de a.

6. Determina la veracidad de las siguientes

proposiciones:

a. Si la función y = ax es creciente, entoncesy = loga x es decreciente.

b. La función y = � �xes la función inversa

de y = log2 x.

c. Una función exponencial es siempredecreciente, al igual que una funciónlogarítmica.

d. Las gráficas de la función logarítmica y surespectiva función inversa son simétricasrespecto a una recta.

7. Dadas las funciones exponencial y = 3x y

logarítmica y = log3 x, represéntalas en un

mismo sistema de coordenadas. ¿Qué puedes

concluir?

12

34

25

157

54

U4 Pág. 108 - 127 29/11/06 17:20 Page 119



CONTENIDOS

Ecuaciones exponenciales

En cursos anteriores hemos resuelto ecuaciones exponenciales en la que esposible igualar las bases de las potencias, aplicar propiedades y por último igua-lar los exponentes.Este año estudiaremos aquellas ecuaciones exponenciales en la que no es posi-ble igualar sus bases y se resuelven aplicando logaritmos y sus propiedades.

Ejemplo 1

La población de un país dentro de t años está dada por la relación

P(t) = 2 • 3 millones de habitantes. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para

que la población del país sea 148 millones de habitantes?

Si t es la incógnita, remplazamos P(t) = 148, y obtenemos: 148 = 2 • 3 .

Aplicamos logaritmos y sus propiedades, ya que ambas expresiones de laigualdad son positivas.

log 148 = log �2 • 3 � log 148 = log 2 + log 3

log 3 = log 148 – log 2

t = = �� 5,876

Deben transcurrir entre 5 y 6 años.

Ejemplo 2

3x + 6 = 2

Aplicamos logaritmos y propiedades, ya que 3x+6 y 2 son expresionespositivas.

log 3x + 6 = log 2 (x + 6) log 3 = log 2 x log 3 + 6 log 3 = log 2

x log 3 = log 2 – 6 log 3

despejamos la incógnita x,

x = = – x = – 6log 2log 3

6 log 3log 3

log 2log 3

log 2 – 6 log 3log 3

3(2,17026 – 0,30102)2 • 0,47712

3(log 148 – log 2)2 log 3

2t3

2t3

2t3

2t3

2t3

Una ecuación exponencial es una igualdad en la que intervienenpotencias, en uno o en ambos lados de la ecuación, y que constade una incógnita en al menos uno de sus exponentes.

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Ejemplo 3

Resuelve la siguiente ecuación exponencial: ax + 3 = b2x + 5

ax + 3 = b2x + 5

(x + 3) log a = (2x + 5) log b

Utilizamos propiedad distributiva:

x log a + 3 log a = 2x log b + 5 log b

Agrupamos y factorizamos los términos de la incógnita:

2x log b – x log a = 3 log a – 5 log bx(2 log b – log a) = 3 log a – 5 log b

Ya que a = b2, tenemos que 2 log b – log a = 0, por lo que despejamos la incógnita:

x = solución de la ecuación.3 log a – 5 log b2 log b – log a

EJERCICIOS

1. Resuelve las siguientes ecuaciones

exponenciales, igualando las bases.

a. 2x – 1 = 4

b. 83x + 1 = 32x

c. 81x2 – 1 = 27–(7 – 5x)

d. 8–3x• 2x + 1 = 4x + 2

e. 64x2 + 2x• 16x – 5 = 0

2. Determina el radio de una esfera si su

volumen es 113,04 m3. (El volumen de una

esfera está dado por la relación

V = • ππ • R3).

Resuelve el problema utilizando ecuaciones

exponenciales. Compara tu respuesta con la de

un compañero.

3. Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones

exponenciales.

a. 22x + 1 = 3x + 5

b. 4x2 – 1 = 154

c. 3 = 768

d. 8x = 81

e. 3 • 2x + 1 = 5

f. 5 • 23x = 9

g. 2x + 4 = 3 • 4x – 3

h. 4x + 2 = 93x – 4

i. a3x + 4 = b2x – 3

j. mx +

= n3x +

l. m– + 4

= 4x – 2

n. 2 • 3x = 5

4. Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones.

a. 3x + 5 – 3x + 2 + 3x = 506

b. 22(x + 3) + 22(5 + x) = 3.264

c. 0,1252(x + 1) – 0,253(x + 2) = 189

x4

23

13

x2

43

k. p2x +

= q0,75x – 128

m. a3x +

= cx + 13

713

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aplicamos logaritmo y propiedades, ya que ax+3 y b2x+5 sonexpresiones positivas

con a y b positivos, a = b2.

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CONTENIDOS

Crecimiento exponencial

En el mundo de los negocios, en la biología y en las ciencias sociales, elestudio del crecimiento de las variables es de mucho interés, ya que permite,por ejemplo, predecir valores de las monedas, número de bacterias opoblaciones en el futuro.

Ejemplo

Según información entregada por el INE, la población en nuestro país en 1960era de 7.643.277 habitantes, y en 1970, de 9.569.631 habitantes.Solo con estos datos, se podría estimar la cantidad de habitantes en Chile parael año 2000. El crecimiento poblacional, ya sea de insectos, bacterias o seres humanos, lopodemos modelar como:

P(t) = P0ert, donde P(t): población en un tiempo t.

P0: población cuando t = 0 (año 1960).

r: constante relacionada con la tasa de crecimientoen porcentaje anual.

Como transcurrieron 10 años (t) entre las 2 mediciones, podemos conocer elvalor de r resolviendo la ecuación:

8.836.223 = 7.374.712 • e10r

= e10r

ln � � = 10r r = 0,018080

Luego, la proyección estimada de la población para el año 2000 es:

P = 8.836.223 • e0,018080 • 30

P(30) = 15.199.454 habitantes, lo cual es bastante cercano a la población realque existió en Chile en el año 2002.

8.836.2237.374.712

8.836.2237.374.712

Si el crecimiento de las variables se puede modelar mediante la funciónf(x) = c • ax, con c > 0, a > 1, diremos que crecen exponencialmente, obien que presentan un crecimiento exponencial.

PARA ARCHIVAR

TIPS

A la modelación del crecimiento

de la población mediante la

fórmula P(t) = P0ert, se le llama

teoría malthusiana del creci-

miento de la población.

AYUDA

Si a > 1, f(x) = ax es una función

estrictamente creciente, es decir,

si x1 < x2 entonces f(x1) < f(x2), y

el gráfico es de la forma:

ax

X

Y

Aplicamos logaritmo natural

para despejar la incógnita.

Recuerda que ln e = 1 ⇒ ln(ex) = x.

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EJERCICIOS

1. Actualmente la población de Chile bordea los

15 millones de habitantes y la tasa de

crecimiento, entre el censo de 1982 y el censo de

1992, fue de 1,6% anual.

a. ¿En cuánto tiempo se habrá duplicado la

población?

b. Si la tasa de crecimiento se mantiene en los

siguientes 20 años, ¿cuál será la población en

el año 2012?

c. Estima la población de Chile en el año 1980.

2. En un almanaque del año 1970 se encontraron

los siguientes datos:

Provincias 1970 1960(cantidad de habitantes) (cantidad de habitantes)

Antofagasta 250.665 215.376

Santiago 3.218.155 2.436.398

Concepción 638.118 539.450

Magallanes 88.244 73.426

a. Determina expresiones matemáticas de

crecimiento para cada ciudad.

b. Calcula, según estas fórmulas, la proyección

para el año 2002.

c. ¿Por qué el crecimiento no es lineal?

Fundamenta tu respuesta

3. El crecimiento de organismos en ambientes

limitados sigue otro tipo de fórmula o modelo.

Por ejemplo, si se quiere predecir el número de

alumnos de una universidad que tiene planes de

expansión limitada, el modelo usado es:

P(t) = 1.500 • (0,5)0,4tdonde t es el número de

años después de abierta la universidad.

a. ¿Qué cantidad de alumnos había cuando

abrió la universidad?

b. Después de 2 años de funcionamiento,

¿cuántos alumnos tiene?

c. ¿Qué forma tiene la curva del gráfico?

d. ¿A qué valor máximo se aproxima P?

4. Según investigaciones médicas, las personas que

conducen bajo los efectos del alcohol tienen un

riesgo R(x) de tener un accidente, el cual está

dado por la siguiente expresión: R(x) = 6ekx,

donde k es una constante y x es la concentración

porcentual de alcohol en la sangre.

a. Se sabe que un 4% de alcohol en la sangre

implica un riesgo de 10% de tener un

accidente. ¿Cuál es el valor de la constante?

b. Grafica la función f(x) = R(x) = 6ekx.

c. Indica si la función es creciente o decreciente.

d. ¿Cuál es el máximo riesgo posible?

e. Si el riesgo de tener un accidente es de un

90%, ¿cuál es la concentración de alcohol en

la sangre?

f. ¿Cuál es la máxima concentración de alcohol

en la sangre para no sobrepasar un riesgo

del 20%?

g. Averigua acerca del “alcotest” y de los máxi-

mos niveles de alcohol que puede soportar el

cuerpo humano.

5. Una empresa dedicada a vender viviendas decide

colocar en marcha una campaña publicitaria. La

agencia proyecta que el número de viviendas

que se venderán está dado por la siguiente

expresión:

y = 800 • (0,1)0,7x

en que x representa la cantidad de meses que

transcurren una vez que empieza la campaña.

a. Antes del comienzo de la campaña, ¿cuántas

viviendas se vendían?

b. ¿Cuántas se venden después de 5 meses?

c. ¿Cuál es el máximo que se espera vender?

d. Haz un esbozo de la función.

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CONTENIDOS

Si el decrecimiento de las variables se puede modelar mediante lafunción, f(x) = c • arx con c > 0, a > 1 y r < 0, diremos que las variablesdecrecen exponencialmente o bien, que presentan un decrecimientoexponencial.

PARA ARCHIVAR

Decrecimiento exponencial

Para cada sustancia radiactiva, existe un tiempo llamado vida media, que esel tiempo que transcurre hasta que se desintegra la mitad de su masa (de lasustancia radiactiva). Usando esta información es posible hallar la edadaproximada de objetos de antigüedad desconocida. Este tipo de situacionesse puede modelar mediante una ecuación de decrecimiento exponencial.

Ejemplo

En los años 80 se encontraron unos cacharros y unos huesos. Para datar susedades se usó el modelo matemático dado por: P(t) = P0 • e–λt.

Se elige el Carbono–14, cuya vida media es conocida y es de 5.570 años,

y λλ está dado por λλ = = 0,0001244.

Luego, si se analiza la cantidad de radiación del Carbono–14 que emite, porejemplo, uno de estos huesos, es posible hallar la edad aproximada de este.Si un hueso hallado emana 15,5 unidades por minuto y un hueso normalactual emana 19,5 unidades por minuto se obtiene:

15,5 = 19,5 • e–0,0001244t

Entonces, el problema se reduce a encontrar el valor de t en la expresiónanterior.

15,5 = 19,5 • e–0,0001244t

= e–0,0001244t

–0,229574 = –0,0001244t ⇒ 1.845,45 = t

Por lo tanto, los huesos hallados tienen una antigüedad de 1.845 años,aproximadamente.

15,519,5

0,6935.570

AYUDA

Una función se dice decrecien-

te si x1 < x2, entonces,

f(x1) > f(x2). Un ejemplo de la

gráfica de funciones decre-

cientes es el decrecimiento

exponencial como se muestra:

ln � � = ln �e–0,0001244t�15,519,5

IR A LA WEB



Gentileza, Consejo de Monumentos Nacionales.

X

Y

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EJERCICIOS

1. Se dispone de 500 miligramos de Carbono–14

de un organismo muerto. Si la cantidad que

queda después de x años está dada por

P(x) = 500e–0,000115x miligramos:

a. Expresa x en términos de P.

b. Indica el dominio y recorrido de la función.

c. ¿Qué cantidad es posible encontrar en

1.000 años más?

d. ¿Cuántos años deben transcurrir para que

solo sea posible hallar 1 miligramo?

e. ¿En cuánto tiempo la cantidad de

Carbono-14 baja a la mitad?

2. Al momento de morir, un organismo

contiene 50 miligramos de átomos de

Carbono–14 radiactivo. La cantidad de

Carbono–14 x años después, se ajusta a la

función: P(x) = 50e–0,000119x miligramos.

a. ¿Después de cuánto tiempo de la fecha

de muerte del organismo, le quedará

0,8 miligramos de Carbono–14?

b. Indica el dominio y el recorrido de la

función.

3. Al consumir un medicamento, este queda en

el organismo una cierta cantidad de tiempo,

dado por la expresión: m(h) = 10e–0,2h, donde

m representa los miligramos del medicamento

y h el tiempo en horas.

a. Utilizando algún programa computacional,

grafica la función e indica qué tipo de

función es (creciente o decreciente).

b. Si en un organismo se encuentran

0,407 miligramos de un cierto

medicamento, ¿cuánto tiempo ha

transcurrido desde que se ingirió?

c. Si la cantidad de medicamento no puede

ser menor a 2 miligramos, ¿cada cuánto

tiempo se debe tomar el remedio?

d. Discute con tus compañeros acerca de la

importancia de respetar los horarios de

ingesta de medicamentos.

4. La ecuación I(t) = �1 – e� �t�, en que t es el

tiempo en segundos, es utilizada en el estudio

de algunos circuitos eléctricos. Si E = 10 volts,

R = 12 ohms y L = 7 henrys, entonces:

a. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para llegar

a una corriente de I = 0,9 amperes?

b. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para llegar

a una corriente de I = 0,55 amperes?

5. Halla el valor de f(10) si f(x) = 30 – ae–kx,

sabiendo que f(0) = 10 y f(3) = 20.

a. ¿Existirá un punto a tal que f(a) = 15?

b. Grafica la función. ¿Qué puedes observar?

c. Indica el dominio y el recorrido de la

función.

6. Para tratar el virus de la influenza, en una

región del país, se vacunó a la población. Se

espera que la cantidad de contagiados

disminuya siguiendo el siguiente modelo:

f(x) = 150�e–0,472x�, donde x representa las

horas transcurridas.

a. ¿Cuál es el número de contagiados luego

de 2 horas?

b. Grafica la función y discute con tus

compañeros acerca de la validez del

modelo utilizado.

RLE

R

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CONTENIDOS

Aplicaciones de la función exponencial

Como has estudiado a lo largo de esta unidad, la función exponencial estápresente en diversas áreas. Entre algunas de sus importantes aplicaciones seencuentran las matemáticas financieras, la biología y la física.

Ejemplo 1

Una persona deposita en un banco $ 2.000.000 al 12% anual de interés. ¿Enqué tiempo ascenderá su capital a $ 2.508.800?

Aplicamos logaritmos a la fórmula para el cálculo de capital, estudiado enaños anteriores:

log Cf = log �Ci�1 + �n� ⇒ log Cf = log Ci + log �1 + �n

Entonces:

Ci: $ 2.000.000 y log 2.000.000 = 6,30103Cf: $ 2.508.000 y log 2.508.000 = 6,3993t = 12% anual.

Calculamos:

log �1 + � = log �1 + � = log (1,12) = 0,04922

luego, �� 2

Entonces, su capital será de $ 2.508.000 al cabo de 2 años.

Ejemplo 2

Un cultivo de bacterias experimenta un crecimiento dado por la función

Nt + 1 = Nt • er • t.

Donde,Nt: población inicial de bacterias que tienen la capacidad de reproducirse.Nt + 1: población de bacterias luego de transcurrido un tiempo determinado.r: índice de crecimiento poblacional por bacteria.t: tiempo de cultivo.

Consideremos Nt = 100 bacterias y r = 8. ¿Cuál es la población de bacteriasal cabo de 10 horas?

Nt +1 = 100 • e8 • 10 ⇒ Nt+1 �� 100 • 5,54 • 1034 ⇒ Nt + 1 �� 5,54 • 1036

Luego de 10 horas la población de bacterias será de Nt + 1 �� 5,54 • 1036.

6,3993 – 6,301030,04922

12100

t100

t100

t100

AYUDA

Para calcular el capital, utiliza-

mos la fórmula:

Cf = Ci�1 + �n

Donde:

Ci: capital a depositar.

Cf: capital final.

t: porcentaje de interés.

n: tiempo.

t

100

AYUDA

e8 • 10 �� 5,54 • 1034

log �1 + �t100

log Cf = log Ci + n log �1 + � ⇒ n = log Cf – log Cit

100

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EJERCICIOS

1. En muchas situaciones, el crecimiento de las

poblaciones de seres vivos comienza acorde a

una función exponencial, pero luego se ve

frenado por condiciones medioambientales. En

estos casos se presenta un tipo de crecimiento

que se puede aproximar mediante una función,

llamada logística, según la siguiente expresión:

f(t) = , donde L es el valor máximo

al que crece esta población, k y a son constantes

por determinar y t el tiempo transcurrido en días.

a. Utilizando algún programa computacional

grafica la función anterior e indica dominio,

recorrido e intervalos de crecimiento o

decrecimiento según corresponda.

b. La siguiente función de crecimiento

corresponde a una población de mosquitos:

f(t) =

¿Cuál es la población en 50 días? ¿Y en

300 días? ¿Y en 800 días?

2. Calcula la tasa de interés compuesto al que se

invierten $ 10.000.000, si al cabo de 2 años

produjeron 2 millones de pesos.

3. Determina una fórmula que describa el

crecimiento exponencial de una población que

aumenta el 12% cada 5 años, considerando una

cantidad inicial de 55 millones de personas.

a. ¿Cuál será la población en 40 años más?

4. Interés capitalizado continuamente. Si se

invierten P0 pesos a una tasa de interés anual

de R y el interés se capitaliza continuamente,

después de t años se dispone de

P(t) = P0 • eRt pesos.

a. Si se invierten dos millones de pesos a una

tasa de interés anual del 6,9%, calcula el

monto después de 6 años si el interés se

capitaliza continuamente.

b. ¿Después de cuánto tiempo se duplicará la

fortuna de un millonario si la invierte a una

tasa de interés anual del 7,1% con

capitalización continua?

c. El dinero depositado en una financiera se

duplica cada 12 años. Esta capitaliza el interés

en forma continua. ¿Cuál es la tasa de interés

de la financiera?

5. Utilizando la fórmula para calcular el interés

capitalizado al cabo de cierto tiempo, dado en

el ejercicio anterior, responde:

a. ¿Cuánto dinero debe invertir un corredor de

la Bolsa, a una tasa anual del 7,2% para que

dentro de 5 años tenga 8 millones de pesos,

si el interés se capitaliza continuamente?

6. La población de un continente está dada por la

función:

P(t) = 10 • � �Si t se mide en años, ¿cuánto tiempo transcurrirá

para que la población de este continente se

cuadruplique?

t23

2

500.000

1 + 499 • e–0,02t

L1 + k • e–at

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Ejercicio 1

Grafica la función y = f(x) = e–x2

, luego responde:

a. ¿Cuál es el valor máximo de la función?

b. ¿Qué sucede para valores grandes de x?

c. Evalúa f(105) y f(–105).

d. ¿Es f(x) una función par?

SoluciónEl gráfico de lafunción está dado por:

a. Como se puede apreciar en el gráfico, el valor máximo de la función es 1.

b. Observando el gráfico, podemos afirmar que a medida que x crece, la fun-

ción se acerca a cero.

c. Evaluaremos la función para 105.

y = f(105) = e –�105�2

f(105) = e–1010

Ahora evaluaremos la función para x = –105.

y = f(–105) = e–�–105�2

f(–105) = e–1010

Por lo tanto, f(105) = f(–105).

d. Determinemos si f(x) es una función par.

De c, podemos deducir que sí es una función par, sin embargo, verificaremos

esta condición algebraicamente.

Para esto evaluaremos la función para x y –x:

f(x) = e–x2

y f(–x) = e–(–x)2, por lo tanto

f(x) = f(–x), es decir y = f(x) = e–x2

es una función par.

Recuerda: �ab�c= ab • c

f(x) es par si f(x) = f(–x).

Si c es par, entonces

ac = (–a)c.

Se puede observaren el gráfico que f(x)

es par, pues es simétricarespecto a la recta x = 0.

X

Y

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Despejamos x en función

de y.

Ejercicio 2

Si y = , demuestra que x = ln .

Solución

y =

y(e2x + 1) = e2x – 1

ye2x + y = e2x – 1

ye2x – e2x = –1 – y

e2x(y – 1) = –1 – y

e2x =

ln e2x = ln � �2x = ln � �x = ln � �, q.e.d.

Ejercicio 3

Sin usar calculadora, obtén el valor de 25log58.

Solución

25log58 = x

log (25log58) = log x

log5 8 • log 25 = log x

• log 52 = log x ⇒ • 2 • log 5 = log x

2 • log 8 = log x

log 82 = log x ⇒ 82 = x ⇒ x = 64

log 8log 5

log 8log 5

y + 11 – y

12

–(y + 1)–(1 – y)

–1 – yy – 1

–1 – yy – 1

e2x – 1

e2x + 1

1 + y1 – y

12

e2x – 1

e2x + 1

Factorizamos.

Aplicamos logaritmo

natural.

Realizamos cambio debase.

Usando propiedades delos logaritmos.

La función logarítmica es

inyectiva.


Recuerda que ln ea = a

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DESAFÍOS

1. (Ensayo PSU, 2004) Una persona P decide

apostar en un casino, para lo cual elabora el

siguiente plan: apostar cada vez el doble de

su apuesta anterior. ¿Cuál de las siguientes

expresiones representa el dinero que apuesta

P en la jugada n, si comienza con $ 1.000?

A. $ 1.000 • 2nB. $ 1.000 • 2n – 1

C. $ 1.000 • 2n

D. $ 1.000 • nE. $ 1.000 • 2(n – 1)

2. (Ensayo PSU, 2004) a2 + b2 = (a + b)2 es cierto

si:

1) a = 02) b = 0

A. 1 por sí sola.B. 2 por sí sola.C. Ambas juntas, 1 y 2.D. Cada una por sí sola, 1 ó 2.E. Se requiere información adicional.

3. Después de x semanas del brote de influenza

en una región del país, la cantidad de perso-

nas (en cientos) que había contraído el virus

se podía modelar mediante la expresión

matemática:

f(x) =

a. ¿Cuántas personas padecían la enferme-dad cuando se comenzó a hablar de brote?

b. Después de un mes y si las condicionessiguen igual, ¿cuántas personas tendráninfluenza?

c. Si no se ataca el brote en su momento,¿en cuánto tiempo es posible esperar1.000.000 de infectados? ¿Qué medidasconsideras se debieran tomar en unasituación similar?

d. Grafica f(x) y compara tus respuestas conlas de tus compañeros(as).

4. Al resolver la ecuación 2x• 42x – 1 = 84 – 2x, el

valor que se obtiene para x es:

A. 10 C. E. 27

B. D. –4

5. Si f(x) = 2x + 2–x y g(x) = 2x – 2–x, entonces

f(2) – g(–2) es igual a:

A. C. E. 8

B. D. 64

6. Si f(x) = , entonces f(2) es igual a:

A. 10 C. 80 E. –1

B. D. 82

7. Si f(t) = , ¿qué valor tiene

f para t = ?

A. C. E.

B. 42 D. 0

8. Sea la función exponencial

f(t) = . ¿Cuál es el valor de f(4)?

A. 15 C. 60 E. 9.000

B. 25 D. 1.125

4.500

64

12

2542

2540

125

25

40 + 12 • 6–25t

4041

3x – 3–x

3x + 3–x

18

116

12

1411

12

22

1 + 21e–1,12x

t12

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MEDIOS

Ley de enfriamiento de Newton

Newton, junto a Arquímedes y Einstein, figura como uno de los más grandes pensadores de la historia,tanto por el impacto de sus teorías como por los giros radicales que significaron en su época.Una de las tantas aplicaciones del cálculo que Newton desarrolló es la llamadaLey del enfriamiento, la cual dice:

“La rapidez con que un objeto se enfría es directamente proporcionala la diferencia de temperaturas entre el objeto y el medio que lo rodea”.

El modelo matemático de esta ley se expresa por: T(t) = T0 + � • e–kt

donde k > 0 es una constante y � es la diferencia de temperatura entre el estado inicial y el medioambiente T0.

En algunas películas, como en Los 7 pecados capitales, los protagonistas deducen la hora en que fueroncometidos los crímenes. ¿Cómo lo hacen? Analicemos un ejemplo concreto.

• La policía llegó al lugar de los hechos a las 10:00 y la temperatura del cadáver a esa hora era de 29 °C.• La temperatura de la pieza donde se encontró el cuerpo era de 23 °C.• Una hora y media después, la temperatura del cuerpo bajó a 27 °C.

¿A qué hora fue el crimen?

Usando la expresión dada por Newton, tenemos:T0 = 23 °C y � = 29 – 23 = 6. Falta por determinar k.Tenemos entonces:T(t) = 23 + 6 • e–kt

Por otra parte, la temperatura del desafortunado erade 27 °C a las 11:30, es decir: T(1,5) = 27.Igualando y aplicando logaritmo natural tenemos:

23 + 6 • e–1,5k = 27

k = 0,27031007

Por lo tanto,

T(t) = 23 + 6 • e–0,27031007t

Volviendo al problema original, se sabe que la temperatura normal del cuerpo humano es 36,5 °C,se obtiene:

36,5 = 23 + 6e–0,27031007t

Al resolver esta ecuación, se obtiene t = –3 con lo que podemos concluir que el crimen se cometió3 horas antes, es decir, a las 7 de la mañana.

1. Plantea un problema similar pero variando los datos. Pídele a un compañero(a) que loresuelva.

Gentileza, Carabineros de Chile.

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SÍNTESIS

Mapaconceptual

Resumen


Conceptos clave:

Función exponencial

Número e

Ecuación exponencial

Crecimiento exponencial

Decrecimiento exponencial

1 Función exponencial: es una función de la forma y = f(x) = ax, donde

a > 0 y a ≠ 1; x �� .

2 Propiedades de la función exponencial:

• El dominio de la función exponencial está dado por todos los númerosreales.

• El recorrido de la función exponencial está dado por los reales posi-tivos.

• El punto de intersección de la función con el eje Y es (0, 1).• La función no intersecta al eje X.• La función exponencial se sitúa encima del eje de las abscisas: eje X.

3 Ecuación exponencial: es aquella en la cual la incógnita aparece en el

exponente.

Ejemplo: 35x = 9x – 6

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ax

f(x) f(x)

f–1(x)

f–1(x)

4 Número e: el número e surge del análisis de la función f(n) = �1 + �n,

donde n es un entero positivo. e se aproxima a 2,71828182...

5 Crecimiento exponencial: una función exponencial y = f(x) = ax, es cre-

ciente si a > 1, es decir, si x1 < x2 entonces f(x1) < f(x2) y su gráfica es de

la forma:

6 Decrecimiento exponencial: una función exponencial y = f(x) = ax, es

decreciente si 0 < a < 1, es decir: si x1 < x2 entonces f(x1) > f(x2) y su

gráfica es de la forma:

7 Inversa de la función exponencial: sea f(x) = ax una función exponen-

cial, su inversa está dada por f–1(x) = logax. Además, sus gráficas son

simétricas respecto a la recta y = x.

Si a > 1 Si 0 < a < 1

1

n

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

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EVALUACIÓN

1. Al simplificar ln ex + eln x + 1 se obtiene:

A. 1

B. x + 1

C. 2x + 1

D. ln (ex + 1)

E. Otro valor.

2. ¿Qué valor tiene x en la siguiente ecuación200 = 150 • e0,15x?

A. 1,917

B. 19,17

C. 10

D. 1,5

E. 1,05

3. ¿Cuánto demora un capital P en duplicarse si seinvierte con un interés compuesto del 11%?

A. 4,5 años

B. 5 años

C. 6,5 años

D. 11 años

E. 1,1 años

4. El valor de x en eln (5x – 5) = 5 es:

A. x = 0

B. x = e

C. x = 2 y x = –2

D. x = 2

E. x = 5

5. La solución de eln x2= 9 es:

A. x = 9 y x = –9

B. x = 3 y x = –3

C. x = 3

D. x = 9


6. La solución de ln e–4x + 5 = 21 es:

A. x= –4

B. x = 4

C. x = 4 y x = –4

D. x = e


7. La solución de la ecuación 2ex + 5 = 3e–x es:

A. e2 C. ln 2 E. ln (–2)

B. e–2 D. –ln 2

8. Si f(x) = �3x + 3–x� y g(x) = �3x – 3–x�,

entonces f(x) + g(x) es igual a:

A. 3x C. 3x – 3–x E. 3x + 3–x

B. D. –3–x

9. Un cultivo de bacterias tiene 300 bacteriasen un principio y después de una hora hay450 bacterias. Según este crecimiento,¿en cuánto tiempo el número de bacterias setriplica?

A. 163 minutos

B. 2 horas

C. 2,5 horas

D. 3 horas

E. 3,5 horas

10. Una población de bacterias duplica sutamaño cada 21 minutos. ¿Cuánto tiempotardará en incrementarse el número deorganismos de 106 a 109 bacterias?

A. 1 hora

B. 2 horas

C. 200 minutos

D. 209 minutos


3x

2

1

2

1

2

U4 Pág. 128 - 137 29/11/06 17:21 Page 134



11. Cuando x toma un valor muy grande,f(x) = 2 + 3 • 10–x se acerca a:

A. 2 D. 6

B. 3 E. Falta información

C. 5

12. Las soluciones de la ecuación(x2 – 5)ex + 4exx = 0 son:

A. x = 0

B. x = 0 y x =

C. x = 1 y x = –5

D. x = –4 y x =

E. Infinitas soluciones.

13. El valor de 3x + 3x + 1 es igual a:

A. 3 • 3x + 1

B. 2 • 32x + 1

C. 4 • 3x

D. 32x + 1

E. Otro valor.

14. El valor de log2(3x + 3x + 1) es igual a:

A. x log 3 + 2

B. x log2 3 + 2

C. log2 3x + log2 3x + 1

D. log2 32x + 1

E. 32x + 1

15. Al despejar la variable x en la ecuación

y = ln (x – 1) se obtiene:

A. x = e2y + a

B. x = e2y + 1

C. x = e2y

D. x = 2ln (x – 1)

E. x = ln (x – 1)

16. El número de bacterias en un cultivo,está dado por la relación f(t) = B • 2kt,con t medido en horas. Si al cabo de 8 horas,

el número de bacterias es veces lo quehabía al principio, ¿cuál es el valor de k?

A.

B. 2

C. 64

D.


17. ¿Cuál de las siguientes relaciones sonverdaderas para la función exponencialf(x) = ax con a > 0 y a ≠ 1?

I) El dominio de f(x) es �.II) Si a > 1 entonces f(x) es creciente.III) ax = az ⇔ x = z

A. Solo I C. I y III E. Todas.B. Solo II D. II y III

18. Al resolver la ecuación ln (5 – 2x) = –2, elvalor de x es:

A. 5 – e–2 D.

B. E. Ninguna de las anteriores.

C.

19. Si f(x) = ax, a > 0, entonces f(x) • f(z) es:

A. axz D. f(x + z)

B. ax + az E. ax – az

C. axz

e–2

10

5 – e–2

2

5

2

1

128

1

2

216

1

2

5

5

U4 Pág. 128 - 137 29/11/06 17:21 Page 135




1. Tiempo de duplicación. Si una población crecesin interrupción a razón del 3% anual, ¿encuánto tiempo se duplica?Indicación: usa la fórmula de crecimientoy = aert con r = 0,03.

2. Estudios hechos por agrónomos han demos-trado que el crecimiento de un bosque sepuede proyectar mediante la expresión:

M(t) = m(1 + i)t

en que M es la madera que habrá dentro det años, m la madera inicial e i la tasa de creci-miento anual, que en este caso consideraremoscomo i = 0,03.

a. Si al inicio se tienen 3 há de madera,¿cuántas há habrá dentro de 10 años?

b. Obtener una expresión para t(M).c. ¿Cuántos años tarda en duplicarse la

madera del bosque?

3. Una población de bacterias crece en un 10%cada día. Un estudio sobre cierto cultivo indicaque el crecimiento de la población P(x), despuésde x días, está dado por la fórmula P(x) = 5.000 e0,17x.

a. ¿Cuántas bacterias había en un comienzo?b. ¿Cuál es el número de bacterias después de

5 días?c. ¿Cuánto tiempo debe pasar para alcanzar

una población de 20.000 unidades?

4. Encuentra el valor de la incógnita en cada caso:

a. ex = 5,2

b. eln e100= x

c. 2ex =

d. = e2x

5. En circuitos eléctricos aparecen las siguientesfórmulas para la intensidad I(t). Despeja encada una de ellas la variable t.

a. I(t) = �1 – e �b. I(t) = e

6. La función f(x) = �eax + e–ax�; a > 0, describe

algunos fenómenos como la curva de lostendidos eléctricos o los cables de los puentescolgantes. Resuelve la ecuación f(x) = 1 paraa = 1.

7. Demuestra la equivalencia:

ex – e–x = 2y ⇔ x = log �y + �8. Una suma de dinero se invierte a 4 años con un

interés del 4% y luego 6 años más a un interésdel x%. Determina x, si la cantidad de dinero seduplica exactamente a los 10 años.

9. Si la población de la ciudad de Concepción enun instante t está dada por P(t)= 1,1 • e0,025t

millones. ¿Cuál es el porcentaje de crecimientopor año? (t: años)

10. Un cultivo de laboratorio tiene una cantidad

de 100100 bacterias. Después de 1 hora la

cantidad de bacterias es • 100100.

Encuentra el tiempo necesario para que elnúmero de bacterias se triplique.

11. Si y = donde e = 2,71828...

demuestra que x = ln .1 + y

1 – y

1

2

ex – e–x

ex + e–x

3

2

y2 1+

1

2

tRC

E

R

–RtL

E

R

ex – 1

4

1

3

U4 Pág. 128 - 137 29/11/06 17:21 Page 136



12. Dadas las siguientes funciones,

f(x) = ln (x – 1) ; F(x) = e2x + 1 ;

g(x) = ; G(x) = ln calcula:

a. (f o F)(x)

b. (F o f)(x)

c. (g o G)(x)

d. (G o g)(x)

13. Si y = ln (x – 1), demuestra que

x = ln .

14. Un plato de lentejas con temperatura de80 ºC se pone en la mesa de un comedor queestá a 22 ºC. Su temperatura después dex minutos está dada por,f(x) = 22 + 58e–0,051x ºC. ¿Cuánto tarda cadaplato de lentejas en enfriarse hasta llegar auna temperatura de 37 ºC?

15. Un experimento parte con P0 gramos depolonio y la cantidad que queda después dex días está dada por:

P(x) = P0e–0,0005x

Encuentra el número de días necesariospara que la cantidad de polonio sea de0,48 P0 gramos.

16. Resuelve la ecuación:

(20.736)x2 – 4x – 1 = 248.832

17. Despeja x en la ecuación abx= c.

¿Qué condiciones deben cumplir a, b y c?

18. Un hueso fosilizado, supuestamente de unmilodón, encontrado en Magallanes contiene

de la cantidad de Carbono-14.

Determina la edad del fósil.

19. La medida de la presión atmosférica P enpulgadas de mercurio a una altitud de x millas sobre el nivel del mar, está dada porla ecuación p(x) = 28 e–0,22x.

a. Si la presión en la cima de la montaña esde 15 pulgadas de mercurio, determina laaltura de la montaña.

b. ¿Cuál es la presión atmosférica en la cimadel Everest? (Altura 8.000 metros).

20. Encuentra la función inversa de las siguientesfunciones:

a. h(x) = � �x

b. g(x) = 2 • 1,25x

c. l(x) = 0,1x•

d. f(x) = � �– x

21. Grafica en un mismo sistema de ejes coor-denados las siguientes funciones:

I) y = ln x

II) y = ex

III) y = 4x

IV) y = log4 x

a. Indica el dominio de cada función.b. Indica el recorrido de cada función.c. Encuentra la función inversa para cada

una de las funciones anteriores.

121

64

13

23

1

1.000

1 + y

1 – y

1

2

1

2

1 + x

1 – x

1

2e2x – 1e2x + 1

1

2

U4 Pág. 128 - 137 29/11/06 17:21 Page 137

Vectores

UN

IDA

D

5

138 Vectores

En Astronomía,gracias a la labor heroica y

milenaria de hombres y mujeresque han contemplado los diferentes

planetas y estrellas, ha permitidoproponer y desarrollar leyes que intentan

desentrañar los grandes secretos delUniverso. Gracias a la geometría, comoformalización del conocimiento, se ha

permitido modelar, conocer ycomprender nuestro sistema

solar y nuestro planeta.

O

p1→

p2→

U5 Pág. 138 - 157 29/11/06 17:22 Page 138


139Vectores

Calcular magnitudes vectoriales y escalares.

Utilizar operatoria con vectores.

Identificar vectores en el plano y en el espacio.

Obtener la ecuación vectorial de la recta y del plano.

Identificar la intersección de planos.

Identificar ángulos diedros.

Realizar traslaciones y homotecias.




U5 Pág. 138 - 157 29/11/06 17:22 Page 139

1. Grafica las siguientes funciones.

a. y = 2 c. y = 2x + 1 e. y = –(x + 1)

b. y = x + 7 d. y = –3x + 3 f. y = – x + 2

2. Analiza los siguientes gráficos y determina si corresponden a una funcióncontinua o discontinua.

3. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a. �x� = 2 c. �x – 2� = 1 e. 3�x + 4� = 8

b. �x� = 10 d. �–x� = 5 f. –3�x – 5� = 12

4. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones y analiza sus soluciones.

a. 3x + 2y = 14 b. x + y = 42 c. x – y = 3

x – y = 28 2x + 2y = 24 4x – 2y = 24

5. Comprueba la falsedad de las siguientes afirmaciones dando un contra-ejemplo. Como por ejemplo:

La suma de dos números primos siempre es otro número primo. Contraejemplo: Los números 3 y 7 son primos, pero su suma es 10, y estenúmero no es un número primo. Por lo tanto la proposición es falsa.

a. El producto de un número impar por otro par es siempre impar.

b. Todo número natural al cuadrado es siempre un número par.

c. El producto de dos fracciones es siempre menor que 1.

14

12

12

14

12

Unidad 5 VECTORES

140 Vectores

REPASO

¿Cuánto sabes?

X

X

X

Y Y Y

U5 Pág. 138 - 157 30/6/08 12:41 Page 140

Unidad 5 VECTORES

141Vectores


6. Representa las siguientes proposiciones, tal como lo indica el ejemplo.

Ejemplo: Representaremos simbólica y gráficamente la afirmación “larecta a’ y la recta b’ se intersectan en el punto C”.

Lenguaje simbólico: Representación grafica:

a. Las rectas αα y ββ se encuentran a la misma distancia de un punto p.

b. Los planos γγ y δδ no se intersectan.

c. La intersección de la recta αα con el plano φφ es la misma recta alfa.

1 El módulo de un número o de una expresión algebraica es siempre elvalor absoluto de esta.

�x� =

2 Todo sistema de dos ecuaciones lineales presenta tres posibilidades encuanto a las soluciones.

Si se tiene que una

ecuación de la recta es

una amplificación de la

otra, el sistema tiene

infinitas soluciones,

ya que las rectas son

coincidentes.

2x + 6y = 10x + 3y = 5

Si se tiene que ambas

rectas tienen igual valor

de la pendiente y la

ecuación no es la misma,

el sistema no tiene solu-

ción, ya que sus rectas

son paralelas.

x – y = 0x – y = 2

Si se tiene que las rectas

no son coincidentes ni

paralelas, el sistema

tiene una única solución,

ya que sus rectas son

secantes.

x – y = 02x – y = 1

–x si x < 0

x si x �� 0�

La’ �� Lb’ = �C�

La’Lb’

C

1

2

es una amplificación

de .2

1

x 2

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Unidad 5 VECTORES

142 Vectores

CONTENIDOS

Rectas en el espacio

Para conocer aproximadamente dónde se encuentra la Línea del Ecuador,podemos fijar una varilla verticalmente en una superficie plana y horizon-tal, y posteriormente trazar varios círculos concéntricos cuyos centros seanel pie de la varilla.

Luego de haber marcado en la mañana y en la tarde los diferentes puntosen que la extremidad de la sombra de la varilla toca los círculos concéntri-cos, y trazando a continuación las bisectrices correspondientes a cada sectorcircular, obtendremos la dirección de la meridiana o plano meridiano.

Como podemos observar, si se une el punto ubicado en el pie de la varilla yel punto de intersección en cada círculo se forma un segmento, dandoorigen a un plano.

¿Cómo podemos determinar un único plano ππ?

Puntos no colineales Dos rectas que se intersectan

AYUDA

Tres puntos son colineales si

pertenecen a una misma recta.

Tres puntos no colineales deter-minan un único plano.

Si dos rectas secantes pertenecena un mismo plano, estas danorigen a cuatro semiplanos.

A B

C

ππ ππ

L1L2

Sol

SUR

NORTE

LÍNEA

MERIDIANA

TIPS

Si la intersección de dos rectas o

de dos planos es no vacía, se dice

que son secantes.

TIPS

Los planos se simbolizan utili-

zando la letra ππ.

U5 Pág. 138 - 157 29/11/06 17:22 Page 142

Unidad 5 VECTORES

143Vectores

Dos rectas paralelas

Dos rectas paralelas determinan un único plano.

Una recta y un punto exterior a ella

Una recta y un punto exterior a ella determinan un único plano.

EJERCICIOS

1. Indica ejemplos de modelos físicos en que se

observen:

a. Rectas: concurrentes, paralelas y alabeadas.

b. Puntos no colineales.

c. Rectas y planos: secantes, paralelos y coinci-

dentes.

2. De acuerdo con la figura, en la cual los puntos

A, B, C y D son coplanarios (pertenecen al

mismo plano), indica en cada caso si la afirma-

ción es verdadera o falsa, según corresponda.

a. Los puntos A, E y F son colineales.

b. Los puntos B, C, E y F son coplanarios.

c. El segmento AC se intersecta con BD.

d. El segmento AC se intersecta con DF.

e. Los puntos B, E y F son coplanarios.

f. Los puntos B, D, F y G son coplanarios.

3. Construye un contraejemplo para cada una de

las siguientes proposiciones.

a. Si dos rectas diferentes se intersectan, exis-

ten solo dos planos que las contienen.

b. Dado tres puntos colineales, existe un único

plano que los contiene.

TIPS

Si dos rectas están contenidas en

planos distintos y no se intersec-

tan, diremos que dichas rectas

son alabeadas.

A

B

CL

ππ

ππ

L1

L2

DG

CA

B

E

F

U5 Pág. 138 - 157 29/11/06 17:22 Page 143

Unidad 5 VECTORES

144 Vectores

CONTENIDOS

AYUDA

Por una recta pasa un número

infinito de planos. Se habla de

un haz de planos.

ππ1

ππ2

ππ1

ππ1

ππ2

ππ2

BC

L

Planos en el espacio

Observa la siguiente representación de 3 planos en el interior de un cubo.

Posiciones relativas entre 2 planos

• Planos paralelos

• Planos secantes

• Planos coincidentes

La intersección de tres planos en un punto (el piso y dos murallas de undormitorio) da origen a tres semiplanos distintos, los cuales nos permitenhacer referencia al largo, ancho y a la altura.

PARA ARCHIVAR

Dos planos paralelos no tienen puntosde intersección.

La intersección de dos planos secantesdetermina una recta y por ende poseeninfinitos puntos de intersección pertene-cientes a esa recta.

Dos planos coincidentes tienen todos suspuntos en común.A

U5 Pág. 138 - 157 30/6/08 12:43 Page 144

145Vectores

Planos y sistemas de ecuaciones

Las representaciones gráficas de planos en el espacio tienen directa relacióncon un sistema de ecuaciones, de 3 ecuaciones lineales con tres incógnitas.

Ejemplo

Siempre que tres planos conformen un haz de planos, es decir, que la inter-sección entre estos planos dé origen a una línea recta, podemos inferir queel sistema de ecuaciones asociado a la representación gráfica tiene infinitassoluciones, ya que una línea recta está constituida por infinitos puntos.

Unidad 5 VECTORES

Un sistema de ecuaciones de tres ecuaciones y tres incógnitas puederepresentarse gráficamente mediante la intersección de planos.

No hay solución.

Infinitas soluciones (3 planoscoincidentes).

Infinitas soluciones (tres planossecantes)

PARA ARCHIVAR

EJERCICIOS

1. Representa gráficamente las siguientes situa-

ciones.

a. El plano ππ1 tiene origen a partir de la recta

Lββ y un punto Z exterior a ella.

b. El plano ππ1 es secante con el plano ππ2 dando

origen a la recta L1 que es perpendicular a la

recta L2 que pertenece al plano ππ2.

c. El plano ππ1 es perpendicular con el plano ππ2

dando origen a la recta L1 que es paralela a

la recta L2 que pertenece al plano ππ1.

d. Dado los planos ππ1, ππ2 y ππ3, cada uno de

ellos intersecta a los otros dos planos.

¿Cuántos semiplanos se forman en esta

representación gráfica?

AYUDA

La solución de un sistema de

ecuaciones debe satisfacer a cada

una de las ecuaciones involu-

cradas.ππ1

ππ1

ππ2 ππ3

ππ2 ππ3

ππ1

ππ2ππ3

ππ1

ππ2

ππ3

AB

C

EN EQUIPO

Utilizando alguno de los métodos

para resolver sistemas de ecua-

ciones aprendidos anteriormente

intenten resolver un sistema de 3

ecuaciones con 3 incógnitas.

Al intersectar estos 3 planos se

obtiene una recta llamada arista

del haz.

Una solución.

U5 Pág. 138 - 157 30/6/08 12:43 Page 145

Unidad 5 VECTORES

146 Vectores

CONTENIDOS

Intersección de planos

Como hemos aprendido, la intersección de dosplanos da origen a distintos semiplanos que secortan. El ángulo de intersección entre dossemiplanos se denomina ángulo diedro.

En la figura observamos que P se ubica en una cara y Q en la otra (cada caracorresponde a un semiplano). Mientras, los puntos A y B se ubican en la aristadel diedro (recta común a los dos semiplanos).

Los ángulos diedros se simbolizan de la siguiente manera: ��(P, , Q), donde

P y Q representan puntos de cada semiplano, respectivamente, y la rectarepresenta la recta común a ambos semiplanos.

Dado el nombre de cada semiplano, un ángulo diedro también se puede repre-sentar por: ��(ππ1, , ππ2).

¿Dónde se utiliza un ángulo diedro? Las avionetas que conforman un ángulodiedro entre las alas, tienen mayor estabilidad de vuelo (que el diedro neutro).

Diedro positivo Diedro neutro Diedro negativo

¿Cómo conocer la medida del ángulo diedro?

Observa la figura. Se conoce como ángulo rec-tilíneo al ángulo formado por dos rectas situa-das una en cada cara del ángulo diedro, demanera tal que ambas sean perpendiculares ala recta en un mismo punto de ella. La me-dida del ángulo diedro es igual a la medida delángulo rectilíneo correspondiente.

AB� ��

AB� ��

AB� ��

AB� ��

Se llama ángulo diedro a la porción de espacio comprendida entredos semiplanos que tienen un borde (recta) común , y estánsituados en planos distintos.

AB� ��

ππ1 y ππ2 es el nombre que

representa a cada semiplano.

Ángulo diedro

CaraCara

Arista

A

B

A

O

BP

Q

P

ππ2

ππ1

ππ1

ππ2

Q

U5 Pág. 138 - 157 29/11/06 17:22 Page 146

Unidad 5 VECTORES

147Vectores

EJERCICIOS

1. Observa los siguientes poliedros.

a. ¿Cuál o cuáles de los poliedros anteriores no

se pueden apoyar sobre todas sus caras?

b. ¿Qué característica tiene el ángulo diedro en

los poliedros que sí se pueden apoyar en

todas sus caras?

c. Según la siguiente clasificación: A los

poliedros que tienen alguna cara sobre la que

no se pueden apoyar, se les llama cóncavos y

a los demás, convexos. ¿Cuáles de los

poliedros anteriores son convexos o

cóncavos?

2. Busca en tu sala los siguientes tipos de ángulos.

En los cuerpos geométricos regulares se encuentra el hexaedro, tetrae-dro, octaedro, icosaedro y dodecaedro. A continuación se presentan lasmedidas del ángulo diedro en cada uno de ellos (el ángulo diedro delcubo ya fue revisado).

PARA ARCHIVAR

Como sabemos, los cuerpos geométricos son poliedros que están conformadospor caras regulares y congruentes.

El cubo es un cuerpo geométrico con 6 caras cuadradas congruentes, lo cual im-plica que dos rectas pertenecientes a distintas caras se intersectan perpendicu-larmente, es decir, el ángulo rectilíneo mide 90º. Por lo tanto, el ángulo diedroen el cubo (hexaedro) mide 90º.

Tetraedro Octaedro70,53º 109,45º

Icosaedro Dodecaedro138,2º 116,57º

Cubo

Triedro Tetraedro

U5 Pág. 138 - 157 29/11/06 17:22 Page 147

Coordenadas cartesianas

Las coordenadas cartesianas fueron crea-das por René Descartes y representan unade las herramientas más usadas y útiles enel estudio de las matemáticas.

Descartes consiguió establecer una sólidarelación entre la geometría y las ecuacio-nes. A cada recta se le asigna una ecuaciónque relaciona el eje Y con el eje X, de talmodo que se pueden representar gráfica-mente en el plano cartesiano.

Ejemplo

La ecuación de una recta es y = 2x – 3, de tal modo que para cada valor de xtenemos un valor para y. Si x = 0, al evaluar en la expresión y = 2 • 0 – 3 = –3 obtenemos el punto de coor-denadas (0, –3).Si x = 2, al evaluar en la expresión y = 2 • 2 – 3 = 1 obtenemos el punto de coor-denadas (2, 1).

Unidad 5 VECTORES

148 Vectores

CONTENIDOS

El plano cartesiano está formado por dos líneas rectas (ejes) perpendi-culares entre sí. La representación en coordenadas de los cuadrantes esla siguiente:

Primer cuadrante (x, y)

Segundo cuadrante (–x, y)

Tercer cuadrante (–x, –y)

Cuarto cuadrante (x, –y)(Considerando x > 0, y > 0).

El eje horizontal se llama eje de abscisas o también eje X, el eje de lasordenadas o eje Y, y el punto O se llama origen de coordenadas.

PARA ARCHIVAR

AYUDA

Recuerda que todo plano carte-

siano tiene 4 cuadrantes: en el

primer cuadrante ambas coorde-

nadas son positivas, en el tercer

cuadrante ambas coordenadas

son negativas.

AYUDA

• Dado dos puntos distintos, se

puede obtener una única ecua-

ción de la recta.

• Todo punto en el plano carte-

siano tiene coordenadas (x, y).

Y

XO

III

IVIII

Y

X–2 2

1

–1

–2

2

1–1

Y

X–2 2

1

–1

–2

2

1–1

(2, 1)

(–1, –1)

(–1, –2)

(2, 1)

y = x – 1

HISTORIA

René Descartes

(1596–1650)

IR A LA WEB



U5 Pág. 138 - 157 29/11/06 17:22 Page 148

Unidad 5 VECTORES

149Vectores

EJERCICIOS

1. Completa las siguientes afirmaciones.

a. Si la abscisa y la ordenada tienen el mismo

signo, el punto (x, y) se encuentran en el

cuadrante.

b. Si la ordenada es negativa y la abscisa es

positiva, el punto (x, y) se encuentran en el

cuadrante.

c. Si la abscisa es negativa y la ordenada es

positiva, el punto (x, y) se encuentra en el

cuadrante.

2. Responde.

a. ¿Cuáles son las coordenadas del punto que

está a 4 unidades a la izquierda del eje de

las ordenadas y 3 unidades por encima del

eje de las abscisas?

b. ¿Cuáles son las coordenadas de los puntos

que se encuentran a 5 u del origen del plano

cartesiano?

3. Probar que los puntos son vértices de un trián-

gulo equilátero.

4. Probar que los puntos son vértices de un para-

lelogramo.

5. Escoge cuatro puntos de tal manera que sean

los vértices de un cuadrado, y cada punto

pertenezca a un único cuadrante.

AYUDA

Teorema de Pitágoras: la suma

de las medidas de los catetos al

cuadrado es igual a la medida

de la hipotenusa al cuadrado.

¿Cómo se calcula la distancia entre dos puntos del plano cartesiano?

Por el teorema de Pitágoras podemos calcular la distancia de cada cateto deltriángulo rectángulo que se muestra en la figura a continuación.

Dado que el punto E tiene coordenadas (x1, y2), la medida de los lados estaría

dada por: = (x1 – x2), = (y1 – y2) y = d.

Aplicando el teorema de Pitágoras, obtenemos que + = ,

y sustituyendo (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 = d2,

de donde, d = . (x – x ) + (y – y )1 22

1 22

P P1 22

EP12

P E22

P P1 2EP1P E2

Y

XAC

D E

B

0

P1(x1, y1)

P2(x2, y2)

Y

XO

P3(3 , 3 )33

P2(–3, –3)

P1(3, 3)

Y

X

A(–4, 2)

B(2, 10)C(20, 14)

D(14, 6)

O

U5 Pág. 138 - 157 29/11/06 17:22 Page 149

Unidad 5 VECTORES

150 Vectores

CONTENIDOS

Vectores

Johannes Kepler logró deducir las famosas tres leyes descriptivas del movimien-to orbital de los planetas. Una de sus leyes tiene relación con que el radio vectorque va desde el Sol al planeta describe áreas iguales en tiempos iguales.

Como podemos observar,el radio vector es todosegmento de recta dirigidoen el espacio. Por lo tanto,cada radio vector posee unorigen, un sentido y unadirección.

Módulo de un vector

Se sabe que cuando el planeta está más alejado del Sol su velocidad esmenor que cuando está más cercano al Sol. Observa la siguiente imagen:

El vector velocidad 1 tienemayor módulo (longitud) queel vector 2.

�� 1 �� > �� 2 ��

El radio r tiene menor móduloque el radio r2.

�r� < �r2�

�v

�v

�v

�v

Todo radio vector posee las siguientes características.

Origen o también denominado punto de aplicación: corresponde alpunto exacto sobre el cual actúa el vector.Dirección: está dada por la orientación en el espacio de la recta que locontiene.Sentido: se indica mediante una punta de flecha situada en el extremodel vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige elvector.

PARA ARCHIVAR

TIPS

La palabra vector, proviene del

latín, y significa “el que conduce”.

TIPS

• Dos vectores son iguales al ser

paralelos y tener la misma

intensidad o módulo.

• Dos vectores son opuestos al

tener igual intensidad y direc-

ción, pero sentido contrario.

2

�v

1

�v

Sol

La Tierra

r2 r1

r

θ

�v

HISTORIA

Johannes Kepler

(1571–1630)

U5 Pág. 138 - 157 30/6/08 12:44 Page 150

Unidad 5 VECTORES

151Vectores

¿Qué sucede si el origen de un vectorcoincide con el punto O del planocartesiano?

Cuando el punto de aplicación de unvector está en el origen de un sistemade coordenadas, su extremo, coinci-dirá con un punto del plano, el punto(x, y).

Entonces, si el punto de aplicación es el punto (0, 0), utilizando el teorema dePitágoras, podemos determinar el módulo de este vector , pues la suma de loscuadrados de los catetos (las coordenadas) debe ser el cuadrado de lahipotenusa (la intensidad o módulo del vector). Es decir:

�� 2 = x2 + y2 o bien, �� = x y2 2+�v

�v

EJERCICIOS

1. Dibuja y calcula el módulo de los siguientes

vectores centrados en el origen del plano y cuyo

extremo es el siguiente punto:

a. A(3, 4)

b. B(–7, 12)

c. C(–9, –12)

d. D(–13, 12)

e. E(–1, 0)

f. F(0, –4)

2. Dos vectores de igual intensidad, pero distinta

dirección y sentido, son distintos; cuando tienen

la misma dirección y sentido, pero distinta inten-

sidad, también son distintos. ¿Cómo son los

siguientes vectores?

a. c.

b. d.

Las coordenadas de un vector se denominan componentes, ademástodo vector está definido por dos puntos, y a su vez, cada punto tienedos componentes, una x y otra y, que corresponden a las componentescartesianas del vector.

Todo vector posee además módulo que corresponde a la longitud o tama-

ño del vector, dado por la expresión: �� = .x y2 2+�v

PARA ARCHIVARTIPS

�� = ��– ��v

�v

AYUDA

El vector o segmento orientado

con origen en A y extremo en B, se

representa por el símbolo: .AB� ��

y

xO

�v

A

B

AB� ��

U5 Pág. 138 - 157 29/11/06 17:22 Page 151

Unidad 5 VECTORES

152 Vectores

CONTENIDOS

Operatoria con vectores

Un bote se desplaza en línea recta desde el puerto hastauna isla, y luego lo hace desde la isla hasta el faro. Si obser-vas el dibujo, el desplazamiento final del bote corres-ponde al vector que tiene su origen en el puerto y suextremo en el faro, y se expresa como: = + .

En general, para hallar el vector suma = + , dibujas

uno de ellos, por ejemplo , y luego representas el

vector colocando el origen de en el extremo de .

El vector resultante tiene su origen en y su extremo en .�b

�a

�a

�b

�b

�a

�b

�a

�s

�b

�a

�s

�s

Regla del paralelogramo

Otra forma de realizar la suma de y esdibujar dos representantes de ambos vectorescon un mismo origen, O. A continuación sedibuja un paralelogramo cuyos lados son y ,

el vector suma + es la diagonal de dichoparalelogramo de origen O.

�b

�a

�b

�a

�b

�a

La adición de vectores cumple las siguientes propiedades:

• Conmutativa:

• Asociativa: + ( + ) = ( + ) +

• Elemento neutro: + 0 = 0 + =

•

• Dado un vector existe un elemento opuesto (– ), de igual módulo ydirección, pero sentido opuesto, de forma que al sumarlos se obtieneel vector o nulo + (– ) = .

�0

�a

�a

�0

�a

�a

� � � �a b a b+ +≤

�a

�a

�a

�c

�b

�a

�c

�b

�a

� � � �a b b a+ = +

PARA ARCHIVAR

� � �s a b= +

� � �s a b= +

�a

�b

�b

AYUDA

La adición de vectores da como

resultado un vector.

�a

�a

�b

�a

� �a b+

�b

IR A LA WEB



→ →

U5 Pág. 138 - 157 29/11/06 17:22 Page 152

Unidad 5 VECTORES

153Vectores

Al igual que en el caso de los números, la sustracción es la operación inversa dela adición. Restar dos vectores consiste en sumarle al primero, el vector opuestodel segundo: – = + (– ).

Gráficamente, si empleamos el método del paralelogramo, para la sustracción,la otra diagonal del paralelogramo obtenido representa la resta de los dosvectores.

�b

�a

�b

�a

EJERCICIOS

1. Resuelve las siguientes sumas de vectores, repre-

sentando gráficamente los resultados.

a. (2, 5) + (3, –2)

b. (–1, 3) + (–1, –1)

c. (0, –5) – (3, 6)

d. (–6, –9) – (5, –3)

2. Encuentra el valor de x e y en los siguientes

casos.

a. (x, y) + (1, 6) = (2, –3)

b. (x, 3) + (2, y) = (9, –2)

c. (x, 2) – (–3, y) = (–1, 3)

d. (–1, –4) – (x, y) = (5, 6)

3. Resuelve los siguientes problemas.

a. El minutero de un reloj mide 5 cm. Represen-

ta gráficamente el vector desplazamiento de

su punta después de quince minutos, media

hora, tres cuartos de hora y después de una

hora.

b. Una araña está en un vértice de una sala

cuyas dimensiones son 7 m de largo, 5 m de

ancho y 3 m de alto, y desea ir al vértice

diametralmente opuesto. Determina la

distancia mínima que recorrería y el vector

desplazamiento que realizaría.

c. Dos vectores de desplazamiento centrados en

el origen tienen módulos iguales a 6 metros y

8 metros. ¿Cuál debe ser la dirección y senti-

do de cada uno de estos vectores para que la

resultante tenga un módulo igual a 14

metros, 2 metros y 6 metros? Representa

gráficamente cada uno de los casos pedidos.

La suma de vectores en forma analítica se efectúa a través de sus coor-denadas cartesianas. La adición se realiza entonces sumando compo-nente a componente. Por ejemplo, la suma de los vectores centrados en el origen y cuyosextremos son (2, 3) y (–1, 2) respectivamente, será el vector resultantede (2, 3) + (–1, 2) = (2 + –1, 3 + 2) = (1, 5).

PARA ARCHIVAR

AYUDA

La diagonal de un paralelo-

gramo es la recta que pasa por

dos vértices opuestos.

AYUDA

La representación de la diago-

nal como – o – , de-

penderá del punto de aplicación

del vector y de su extremo.

�a

�b

�b

�a

v→ v→w→w→

v→ – w→v→ + w→ v→ + w→

w→ – v→

U5 Pág. 138 - 157 1/11/10 3:37 PM Página 153

Unidad 5 VECTORES

154 Vectores

CONTENIDOS

Producto de un número real por un vector

Ejemplo

Dado el vector = (2, 3) lo representaremosgeométricamente, de color rojo.

En el mismo sistema de coordenadas, ¿cómo representarías el vector 2 ?

Aplicaremos la definición de ponderacióndel vector . Entonces se tiene,

= (2, 3) ⇒2 = 2 • (2, 3) = (2 • 2, 2 • 3) = (4, 6)

Observa, que tanto gráfica como algebraicamente, el vector ponderado aumen-ta al doble su módulo, manteniendo su dirección y sentido.

¿Cómo se graficará el mismo vector, pero ponderado por –1?Revisemos su representación algebraica,

= (2, 3) ⇒ –1 = –1 • (2, 3) = (–1 • 2, –1 • 3) = (–2, –3)

Gráficamente resulta,

¿Qué puedes concluir?

�a

�a

�a

�a

�a

�a

�a

AYUDA

Hay que mencionar que existen

magnitudes vectoriales (veloci-

dad, fuerza, etc.) y aquellas que

no lo son; estas últimas son las

llamadas magnitudes escalares

(distancia, masa, etc.).

TIPS

Al número real que pondera a

un vector también se le llama

escalar.

El producto de un número real λλ por un vector , de coordenadas

(x, y), es otro vector dado por λλ , y se define como:

λλ = λλ(x, y) = (λλx, λλy).�a

�a

�a

El producto de un número real (λλ: escalar) por un vector , resulta el

vector ponderado λλ , que tiene las siguientes características:

• Mantiene la misma dirección.

• ��λλ �� = �λλ � • �� .

• Si λλ > 0, el vector mantiene el mismo sentido. Si λλ < 0, el vector cambiade sentido.

• Si λλ = 0, entonces λλ = (vector nulo).�0

�a

�a

�a

�a

�a

PARA ARCHIVAR

X

Y

X

Y

3

2

2

–

�a

�a

�a

�a

U5 Pág. 138 - 157 29/11/06 17:22 Page 154

Unidad 5 VECTORES

155Vectores

Propiedades del producto

Dado los escalares λλ y µµ, y los vectores y , se cumplen las siguientespropiedades:

1. λλ ( + ) = λλ + λλ 3. λλ(µµ ) = (λλµµ)

2. (λλ + µµ) = λλ + µµ 4. 1 =

Ejemplo

Dados los vectores = (–5, 2) y = (3, –4), ¿cuánto resulta ( + )?�v

�u

12

�v

�u

�u

�u

�u

�u

�u

�u

�u

�v

�u

�v

�u

�v

�u

EJERCICIOS

1. Comprueba numéricamente las propiedades 2,

3 y 4.

2. Conocidos los vectores , y representa

sobre una cuadrícula los siguientes vectores.

a. +

b. 3

c. 2 –

d. – 2

e. 2 – +

3. Dado el producto de µµ , con ≠ , contesta

las siguientes preguntas:

a. ¿Qué características cumple el producto si:

µµ > 1?, ¿µµ = 1?, ¿0 < µµ < 1?, ¿µµ = 0?,

¿µµ = –1?, µµ < –1?

b. Para cada caso anterior, justifica tu respues-

ta con la representación gráfica correspon-

diente.

4. Considera los siguientes vectores (1, 2); (4, 8);

(0, 0) y (–2, –4).

a. Expresa algebraicamente, por medio del

producto de un escalar por un vector, cada

uno en términos del otro.

b. Grafica los cuatro vectores en el mismo

sistema de coordenadas.

c. De la pregunta a y b, ¿se genera alguna

regularidad?

d. ¿Qué conclusiones puedes obtener?

5. Dados los siguientes vectores, selecciona aque-

llos que pueden representarse en función de

otro.

(–2, 1); (2, –1); (0, 1); (4, –2); (1, –0,5); (3, 1,5)

a. Los vectores seleccionados, represéntalos en

un sistema de coordenadas.

b. ¿Qué regularidad se cumple?

c. Reflexiona acerca de la siguiente frase:

“que uno o más vectores puedan escribirse

en función de otro, quiere decir que

pertenecen a la misma recta”. Justifica tu

respuesta.

�0

�a

�a

�w

�v

�u

�w

�v

�v

�u

�u

�v

�u

�w

�v

�u

TIPS

La colinealidad de puntos se

puede expresar y verificar vecto-

rialmente por medio de la

ponderación. Si M, N y P son tres

puntos colineales, entonces exis-

te algún número real λλ tal que:

= λλ .MN� ��

MP� ��

Sumo coordenadas de vectoresAplico propiedad no1

( + ) = + = (–5, 2) + (3, –4) = �– , 1� + � , –2� = �– + , 1 – 2� = (–1, –1)32

52

32

52

12

12

�v

12

�u

12

�v

�u

12

M

N

P

�w

�v

�u

U5 Pág. 138 - 157 29/11/06 17:22 Page 155

Unidad 5 VECTORES

156 Vectores

CONTENIDOS

Producto escalar

Así como está definida la operación suma para dos vectores, se define otra ope-ración, el producto escalar entre dos vectores. Este producto debe su nombre aque su resultado es un número, no un vector.

El producto escalar se define para dos vectores representados en forma carte-siana, = (a1, a2) y = (b1, b2), como la multiplicación de las coordenadas deambos vectores, componente a componente y sumando sus resultados.

Ejemplo 1

Dados los vectores = (2, –1) y = (3, 4), ¿cuánto resulta su producto escalar?

• = (2, –1) • (3, 4) = 2 • 3 + (–1) • 4 = 6 – 4 = 2

Otra manera de obtener el producto escalar entre dos vectores = (a1, a2) y

= (b1, b2), es cuando está involucrado el ángulo que se forma entre ellos (αα).

Este se calcula como, • = �� • �� • cos(αα)).

Ejemplo 2

Se tienen los mismos vectores que en el ejemplo 1. ¿Cuál es el ángulo compren-dido entre ellos?

De, • = �� • �� • cos(αα)) despejamos cos(αα))

cos αα = = �� 0,179

cos (αα)) �� 0,179 ⇒ αα �� 79,7°

2

�b

�a

�b

�a

�b

�a

�b

�a

�b

�a

�b

�a

�b

�a

�b

�a

El producto escalar de dos vectores es el producto del módulo de unode ellos por la proyección ortogonal del otro sobre él. El productoescalar de dos vectores y está dado por la expresión:

�b

�a

• = �� • �� cos (αα)) (αα: ángulo comprendido entre ambos vectores)�b

�a

�b

�a

o bien si = (a1, a2, ..., an) y = (b1, b2 ..., bn)�b

�a

• = a1 • b1 + a2 • b2 + ... + an • bn�b

�a

Por ejemplo:Dados los vectores = (a1, a2) y = (b1, b2), el producto escalar seobtiene de la siguiente forma:

• = (a1, a2) • (b1, b2) = a1 • b1 + a2 • b2�b

�a

�b

�a

PARA ARCHIVAR

TIPS

• El producto escalar es conmu-

tativo:

• Se cumple que:� �b a•≤

� �a b•

� � � �a b b a• •=

�� • �� b

�a

•�b

�a

5 5

Ya se calculó el producto escalar

Calcular el módulo de cada vector

EN EQUIPO

Analicen qué ocurre con el

producto escalar de y si:

a. aumenta y se mantiene

constante.

b. y aumentan.

c. y son perpendiculares.

d. y son paralelos.�b

�a

�b

�a

�b

�a

�b

�a

�b

�a

U5 Pág. 138 - 157 30/6/08 12:47 Page 156

Unidad 5 VECTORES

157Vectores

Producto cruz

En el producto escalar entre dos vectores y se obtiene como resultado unvalor numérico (escalar), en cambio, en el producto cruz se obtiene un nuevovector.

�b

�a

El producto cruz cumple con las siguientes propiedades:

• Es distributivo respecto de la suma de vectores.• El producto cruz de un vector por sí mismo es nulo.

EJERCICIOS

1. Demuestra algebraicamente:

a. Que el producto cruz es distributivo.

b. Que el producto cruz de un vector por sí

mismo es el vector nulo.

2. Considera un cubo de 4 unidades de arista y los

posibles vectores que se pueden formar.

Completa en cada caso con el vector que resulta.

a.

b.

c.

d.

3. En el pizarrón se dibuja un vector horizontal

de 12 unidades y otro de 10 unidades que

forman un ángulo de 30º con el anterior.

a. ¿Cuál es la dirección del producto de x ?

b. ¿Cuál es el sentido de este vector?

c. ¿Cuál es el módulo de este producto cruz?

d. ¿Cuál es el área del paralelogramo que se

forma con estos vectores?

�b

�a

BF x BC� �� EA x EF� �� CD x CB� �� AB x AD� ��

El producto cruz o vectorial entre dos vectores y , se define

como un tercer vector , perpendicular a los vectores y , cuyo

módulo corresponde al área del paralelogramo que forman y ,

y se simboliza por x , el cual corresponde al nuevo vector , es

decir, x = .

Además: �� = �� • �� • sen(αα)) , donde αα es el ángulo menorformado por los vectores y

�b

�a

�p

�p

�b

�a

�p

�b

�a

�b

�a

�b

�a

�p

�b

�a

EN EQUIPO

Demuestren que el producto

cruz no es conmutativo.

D

B

C

E

F

GH

A

� � �p a x b=

� � �p b x a=

� � �p a b= •

αα

αα

αα

�p

�a

�b

�p

�a

�a

�b

�b

�b

sen(αα))

sen(αα))

AYUDA

Si colocas los dedos de tu mano

derecha, de modo que el dedo

índice apunte en el mismo senti-

do que el vector y el dedo

del medio en el mismo sentido

que el vector , el sentido del �b

�a

producto cruz entre y está

dado por el dedo pulgar cuando

este se estira en forma perpendi-

cular a los otros dos dedos. Esto

se conoce como “la regla de la

mano derecha”.

�b

�a

�a

�b

x�b

�a

�a

�b

U5 Pág. 138 - 157 30/6/08 12:47 Page 157

Unidad 5 VECTORES

158 Vectores

CONTENIDOS

Vectores en el plano cartesiano

El vector unitario es perpendicular al

vector unitario .

�� = 1 y �� = 1

Ejemplos

Observa la siguiente imagen en que se muestra el vector cuya proyección

sobre el eje X es 2 vectores unitarios , y cuya proyección sobre el eje Y es

3 vectores unitarios .

De esta manera, las componentes ocoordenadas del vector son:

= 2 + 3 = (xc, yc)

= 2 + 3 = (2, 3)ji�c

ji�c

�c

j

i

�c

ji

i

j

TIPS

• Para representar vectores uni-

tarios que están en los ejes X e Y,

utilizamos las letras y respec-

tivamente.

• El vector unitario tiene la

misma dirección que el eje X, en

sentido positivo.

• El vector unitario tiene la

misma dirección que el eje Y, en

sentido positivo.

j

i

ji

Se denominan vectores unitarios aquellos vectores cuya magnitudo módulo es igual a la unidad. Estos definen las coordenadas deun vector respecto del origen del plano cartesiano.

Si los vectores unitarios y están centrados en el origen, estos sepueden escribir en la forma canónica, es decir:

= (xi, yi) = (1, 0) �� = 1

= (xj, yj) = (0, 1) �� = 1jj

ii

ji

PARA ARCHIVAR

X

Y

Y

X

3

2

1

–1

–2

–3 –2 –1 1 2 3

3

2

1

–1

–2

–3 –2 –1 1 2 3i

�c

j

U5 Pág. 158 - 173 30/6/08 12:49 Page 158

Unidad 5 VECTORES

159Vectores

Entonces, para expresar en forma canónica el vector , debemos descom-poner las coordenadas (xc, yc) en función de las coordenadas de los vectoresunitarios.

= (2 , 3) = 2 + 3 = 2 (1, 0) + 3 (0, 1)

¿Cómo realizarías la suma de vectores en el plano cartesiano?

Dado los vectores = (ax, ay), = (bx, by) y = +

Entonces se tiene que = ax + ay y = bx + by .

= + = ax + ay + bx + by

= + = (ax + bx) + (ay + by)

Finalmente = + = (ax + bx, ay + by).�b

�a

�c

ji�b

�a

�c

jiji�b

�a

�c

ji�bji

�a

�b

�a

�c

�b

�a

ji�c

�c

EJERCICIOS

1. Expresa en forma canónica los siguientes

vectores y grafícalos.

a. = (–1, 2) d. = (0, 5)

c. = (–4, 0)

2. Escribe en forma canónica los vectores señala-

dos en la imagen.

3. En un mismo sistema cartesiano dibuja los

siguientes vectores de posición.

= (–1, 4) = � , 3� = (–1, –3)

= (2, –2) = (1, 1) = (1, –1)

4. Expresa los vectores , y en términos de

los vectores unitarios y .ji

�c

�b

�a

OF� ��

OE� ��

OD� ��

OC� ��1

2OB� ��

OA� ��

�u

�v

�s

Todo vector = (vx, vy) puede ser escrito en forma canónica de la si-guiente manera:

= (vx, vy) = vx + vy = vx(1, 0) + vy(0, 1)ji�v

�v

PARA ARCHIVAR

b. = �–3, – � e. = �– , – �12

12

�x

13

�t

–4

–4

4

4 X

Y

O

O

OO

i

j�b

�b �

a�a

�c

�c �

d

IR A LA WEB



U5 Pág. 158 - 173 29/11/06 17:23 Page 159

Unidad 5 VECTORES

160 Vectores

CONTENIDOS

Ecuación vectorial de la recta

Sabemos que dos puntos determinan una recta en el plano. Del mismo modo,si esos puntos son extremos de vectores, podríamos generalizar diciendo quedos vectores dan origen a una recta.

En un plano cartesiano se puede representar una recta L que pasa por el puntoP0(x0, y0) y con vector de dirección . Si P es un punto cualquiera de la recta

de coordenadas P(x, y), existe un número real λλ, tal que, = λλ , y por lo tanto:

OP = OP0 + λλ

Utilizando los vectores de posición p0 de P0 y de P, resulta:

= p0 + λλ

Además, si d1 y d2 son las componentes del vector , la ecuación vectorial de larecta, expresada en coordenadas es:

(x, y) = (x0, y0) + λλ(d1, d2)

Ejemplo 1

Dado los puntos A(2, 3) y B(5, 2) determina la ecuación vectorial de la recta quepasa por ellos.

Calculamos el vector dirección de la recta buscada = – = (–3, 1).

De esa manera podemos escribir la ecuación de la recta vectorial como:(x, y) = (5, 2) + λλ(–3, 1) con λλ ∈ �.

También podemos escribir la ecuación vectorial como:

(x, y) = (5 – 3λλ, 2 + λλ) o bien,

x = 5 – 3λλ

y = 2 + λλ

�b

�a

�d

�d

�d

�p

�p

�d

�dP P0

� ��

�d

La expresión = p0 + λλ recibe el nombre de ecuación vectorial de la �d

�p

recta o ecuación de la recta en la forma vectorial, donde es el vectordirección conocido, paralelo a la recta, y λλ es un parámetro que al tomardiferentes valores nos entrega diferentes puntos que forman la recta.

�d

PARA ARCHIVAR

Y

X

P0

p0

P

L

O

�

p�

� ��

� ��

la cual se conoce como ecuación paramétrica de la recta.�

� ��

� ��

�d

U5 Pág. 158 - 173 30/6/08 12:49 Page 160

Unidad 5 VECTORES

161Vectores

¿Qué sucede si λλ = ?

Remplacemos en la ecuación (x, y) = (5 – 3λλ, 2 + λλ)

(x, y) = �5 – , 2 + � = � , � = � , �Por otra parte, el punto medio del segmento determinado por estos vectoresestá dado por:

� , � = � , �, lo cual coincide con el punto

correspondiente a λλ = .

Ejemplo 2

Dada la ecuación paramétrica de la recta:

x = 5 + 3λλy = 2 + λλ

determina la ecuación cartesiana.

Para esto debemos despejar el parámetro en cada una de las ecuaciones ante-riores:

x = 5 + 3λλ ⇒ λλ =

y = 2 + λλ ⇒ λλ = y – 2

Igualamos ambos parámetros y despejamos:

= y – 2 ⇒ x – 5 = 3y – 6 ⇒ y = x +

(Ecuación cartesiana de la recta)

Observa que la recta tiene como pendiente , esto indica que un vectordirector posible es (3, 1).

13

13

13

x – 53

x – 53

12

52

72

3 + 22

2 + 52

52

72

4 + 12

10 – 32

12

32

12

Una ventaja importante de una ecuación vectorial de una recta, espoder obtener ecuaciones para un segmento específico de la recta pormedio de una restricción del parámetro λλ. Por ejemplo, la ecuaciónvectorial (x, y) = (2, –1) + λλ(1, 2); 1 �� λλ �� 3 describe el segmento de rectaque va desde (3, 1) hasta (5, 5) (obtenidos al remplazar por el mínimo yel máximo valor del parámetro).

PARA ARCHIVAR

AYUDA

El punto medio de un segmen-

to, cuyos extremos son (a, b) y

(c, d) está dado por:

� , �b + d2

a + c2

AYUDA

La ecuación cartesiana de la

recta está dada por

ax + by + c = 0, o bien

y = mx + n.

TIPS

Si d es un vector director cuyas

coordenadas son (d1, d2), la

pendiente de la recta m corres-

pondiente está dada por

m = .d2

d1

U5 Pág. 158 - 173 30/6/08 12:49 Page 161

Unidad 5 VECTORES

162 Vectores

CONTENIDOS

Ecuación vectorial de la recta en el espacio

Para representar la ecuación vectorial de una recta en el espacio, podemosgeneralizar a partir de su ecuación vectorial en el plano, es decir, dado unpunto P(x0, y0, z0) perteneciente a una recta L, cuyo vector director tienecoordenadas (d1, d2, d3). Entonces la ecuación vectorial en el espacio es:

(x, y, z) = (x0, y0, z0) + λλ(d1, d2, d3)

Además: (x, y, z) = (x0 + λλd1, y0 + λλd2, z0 + λλd3) λλ ∈ �

La forma paramétrica de esta recta se obtiene al despejar las coordenadas, esdecir,

(x, y, z) = (x0 + λλd1, y0 + λλd2, z0 + λλd3)entonces:

x = x0 + λλd1y = y0 + λλd2z = z0 + λλd3

Ejemplo 1

Consideremos la recta L que pasa por P(1, 3, –2) y Q(2, 1, –2). En este caso, el

vector director está dado por = = (1, –2, 0), luego la ecuación vecto-rial de L es:

(x, y, z) = (1, 3, –2) + λλ(1, –2, 0)

Ejemplo 2

¿Cómo podemos determinar si tres puntos son colineales y por tanto quepertenecen a una misma recta?

Dados los puntos P(1, 1, 1), Q(1, 0, –1) y R(1, 2, 3), debemos comprobar que

los vectores y son paralelos, = (0, –1, –2) y = (0, 2, 4).

Ahora debemos comprobar que existe un número real λλ, tal que = λλ .Veamos si se cumple:

(0, 2, 4) = λλ(0, –1, –2) ⇒ 2 = –λλ y 4 = –2λλ, de donde se infiere que λλ = –2.Por lo tanto, los puntos P, Q y R son colineales y pertenecen a la mismaecuación vectorial de la recta.

PQ� ��

QR� ��

QR� ��

PQ� ��

QR� ��

PQ� ��

PQ� ��

d

Ecuación paramétrica dela recta en el espacio.

AYUDA

Si P es cualquier punto de la

recta L, se tiene:

= + λλ λλ ∈ ��d

�q

�p

AYUDA

• Recuerda que los vectores

y son paralelos si existe un

número real λλ, tal que:

�w

�v

• Dos vectores y son per-

pendiculares si • = 0.�w

�v

�w

�v

TIPS

Sean L1: = 0 + λλ y

L2: = 0 + µµ , entonces L1 es

paralela con L2 solo si es para-

lelo a .

Del mismo modo, L1 es perpen-

dicular a L2 solo si es perpen-

dicular a .�w

�v

�w

�v

�w

�q

�q

�v

�p

�p

= λλ�w

�v

�dQ

P

O

Z

Y

L

X

�

RP

Q

= –2PQ� ��

QR� ��

�q�

p

U5 Pág. 158 - 173 29/11/06 17:23 Page 162

Unidad 5 VECTORES

163Vectores

La ecuación vectorial de la recta en el espacio que pasa por (x0, y0, z0),con vector director (d1, d2, d3) está dada por(x, y, z) = (x0, y0, z0) + λλ(d1, d2, d3), con λλ � �.

PARA ARCHIVAR

EJERCICIOS

1. ¿Se puede determinar la ecuación vectorial de

la recta a partir de los puntos (1, 1) y (4, 4)? Si

la respuesta fuera sí. ¿Cuál sería la ecuación

vectorial?

2. Dado el punto P(2, –2) y el punto Q(–4, 4).

¿Cuál es el punto medio del segmento PQ?

3. Dada la ecuación vectorial de la recta

(x, y) = (1, 2) + λλ(4, 8). Determina tres puntos

que pertenezcan a la recta.

4. Dada la ecuación vectorial de la recta

(x, y) = (1, 2) + λλ(4, 8). Determina la ecuación

cartesiana de la recta.

5. Dada la recta y = 3x, grafícala y luego obtén

su ecuación vectorial.

6. Encuentra la ecuación cartesiana correspondien-

te a la recta que pasa por el punto (5, –2) y es

paralela a la dirección del vector = (–2, 3).

7. Encuentra la ecuación vectorial de la recta que

pasa por el punto (–3, 2) y es paralela a la

recta y = 3x – 2.

8. Determina si los puntos (0, 0); (0, 11); (–3, 0)

pertenecen a la recta anterior.

9. Determina la ecuación vectorial de una recta

perpendicular a (x, y) = (2, –5) + λλ(1, –4), luego

grafica ambas rectas.

10. Escribe la ecuación vectorial de la recta L que

pasa por P(12, –5, 7) y Q(0, 6 , –3).

11. Determina si los siguientes puntos son coli-

neales.

a. P(1, 0, 2), Q(–1, 1, 1) y R(3, –1, 1).

b. P(–1, –1, –1), Q(–1, 0, 1) y R(–1, –2, –3)

c. P(0, –1, –2), Q(0, 2, 4) y R(0, 1, 2)

d. Escribe la ecuación vectorial para cada trío

de puntos colineales encontrados anterior-

mente.

12. Encuentra la ecuación vectorial de la recta L1

de tal manera que sea paralela a la recta

L2: (x, y, z) = (1, 3, –2) + λλ(6, 4, 2).

13. Generaliza la ecuación vectorial de la recta en

el espacio, para una recta que pasa por el

origen.

14. Generaliza la ecuación vectorial de la recta en

el espacio, para una recta que pasa por un

punto cualquiera y es paralela a una recta

que pasa por el origen.

�d

U5 Pág. 158 - 173 29/11/06 17:23 Page 163

Unidad 5 VECTORES

164 Vectores

CONTENIDOS

Ecuación vectorial de un plano en el espacio

Anteriormente aprendiste que un plano queda determinado por tres puntosno colineales, dos rectas secantes, dos rectas paralelas o una recta y un puntoque no está en ella.Complementaremos lo anterior con algunas herramientas matemáticas revi-sadas en la unidad, por lo tanto, un plano en el espacio ππ, también puede estardeterminado por un punto A(a1, a2, a3) y dos vectores directores no paralelos,

= (r1, r2, r3) y = (s1, s2, s3).

Observando la figura, para un punto P(x, y, z) cualquiera del plano ππ se

cumple lo siguiente: .

Por lo que es un vector que pertenece al plano ππ, entonces = λλ + µµ ,

con λλ y µµ números reales, luego = + λλ + µµ .

¿Cuál será la ecuación vectorial del plano?

Expresando la ecuación vectorial por sus coordenadas, tenemos:(x, y, z) = (a1, a2, a3) + λλ(r1, r2, r3) + µµ(s1, s2, s3). Igualando componente a componente, encontraremos las ecuaciones paramé-tricas de un plano, x = a1 + λλr1 + µµs1; y = a2 + λλr2 + µµs2; z = a3 + λλr3 + µµs3.

Las ecuaciones paramétricas se pueden reescribir como sistemas de ecuaciones,para ser eliminados los parámetros λλ y µµ, para así obtener la ecuación generalo cartesiana de un plano.

Ax + By + Cz + D = 0

Ejemplo 1

Dados A(2, –2 , 1), = (1, 0, –1) y = (–2, 3, 2). Determina la ecuación vecto-rial del plano.Conocida la ecuación vectorial = + λλ + µµ , se tiene que la ecuación pedi-

da es: = (2, –2, 1) + λλ(1, 0, –1) + µµ(–2, 3, 2).

Ejemplo 2

Dado un plano ππ que pasa por los puntos no colineales P(1, 1, 1), Q(2, 1, 2) yR(0, 2, –1), ¿cuál es la ecuación vectorial del plano?Para obtener la ecuación pedida tenemos que encontrar los vectores directores.

�p

�s

�r

�a

�p

�s

�r

�s

�rOA

� ��OP� ��

�s

�rAP

� ��AP� ��

OP OA AP� ��

= +

�s

�r

La ecuación vectorial del plano en el espacio queda determinada por= + λλ + µµ , siendo y los vectores posición de los puntos

A y P, respectivamente; con λλ y µµ números reales.

�p�

a�s

�r

�a

�p

PARA ARCHIVAR

O

�s

�s

ππ

ππP

�r

A

A �r

U5 Pág. 158 - 173 11/7/08 13:31 Page 164

Unidad 5 VECTORES

165Vectores

= = (1 – 2, 1 – 1, 1 – 2) = (–1, 0, –1)

= = (1 – 0, 1 – 2, 1 + 1) = (1, –1, 2)

Por lo tanto la ecuación vectorial del plano es: ππ : (x, y, z) = (1, 1, 1) + λλ(–1, 0, –1) + µµ(1, –1, 2).

Ejemplo 3

Dados tres puntos, P(0, 0, –1), Q(1, 2, 1) y R(1, 4, 4) no colineales. Obtén unpunto T, tal que los cuatro puntos conformen un paralelogramo.Determinamos T de la siguiente manera:

= (1 + 1 – 0, 2 + 4 – 0, 1 + 4 + 1) = (2, 6, 6)

¿Cuál es la ecuación vectorial del plano que pasa por los puntos P(0, 0, –1), Q(1, 2, 1) y R(1, 4, 4)?

(x, y, z) = P + λλ + µµ ; λλ, µµ � �.

(x, y, z) = (0, 0, –1) + λλ(–1, –2, –2) + µµ(–1, –4, –5)

Vamos a determinar su ecuación vectorial y luego comprobar que el puntoT(2, 6, 6) pertenece al plano. Para esto debemos resolver el siguiente sistemade ecuaciones.

(2, 6, 6) = (0, 0, –1) + λλ(1, 2, 2) + µµ(2, 6, 7)

Con λλ, µµ � � y su vector director = (2 – 0, 6 – 0, 6 + 1) = (2, 6, 7)

2 = –λλ – 2µµ4 = –2λλ – 4µµ λλ = 06 = –2λλ – 6µµ

–6 = 2λλ + 6µµ µµ = –16 = –1 – 2λλ – 7µµ

Como este sistema tiene solución (satisface las tres ecuaciones), el punto Tpertenece al plano y además conforma un paralelogramo originado a partirde los puntos P, Q y R.

TP� ��

RP� ��

QP� ��

�t

� � � �� t p PQ PR p q p( – )= + + = + + ( – ) –

� � � � �r p q r p= +

RP p r� ��

= –�s

QP p q� ��

= –�r

EJERCICIOS

1. Caracteriza el plano definido por

λλ(2, 2, 0) + µµ(0, 0, 1) = , con λλ y µµ números

cualesquiera.

2. Analiza la suma λλ + µµ(0, 0, 1) para cualquier

valor de los parámetros, con un vector en el

espacio tridimensional. ¿Qué se obtiene?

3. Sitúa un cubo con vértices en el origen, de

modo que las aristas se ubiquen sobre los ejes

X, Y, Z. Determina la ecuación vectorial y

analítica de los planos portadores de sus caras

y de las rectas formadas por la prolongación

de sus aristas.

4. La ecuación vectorial de un plano es

(x, y, z) = (0, 0, 2) + k (2, 4, 4) + g (2, 6, 7),

k, g � �. Determina si es paralelo a alguno de

los ejes X, Y o Z.

�v

�v

�v

TIPS

Si la ecuación vectorial de un

plano es

(x, y, z) = P + λλ + µµ ;

λλ, µµ � �, se tiene que:

• El plano es paralelo al eje X, si

los vectores y son parale-

• El plano es paralelo al eje Y, si

los vectores y son parale-

• El plano es paralelo al eje Z, si

los vectores y son parale-RP� ��

QP� ��

RP� ��

QP� ��

RP� ��

QP� ��

RP� ��

QP� ��

AYUDA

Planos en el espaciotridimensional

Plano horizontal XY ecuación

z = 0.

Plano vertical YZ ecuación x = 0.

Plano vertical XZ ecuación y = 0.

X

Z

Y

X

Z

Y

X

Z

Y

los al vector unitario = (0, 1, 0).j

los al vector unitario = (1, 0, 0).i

los al vector unitario = (0, 0, 1).k

⇒�

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Unidad 5 VECTORES

166 Vectores

CONTENIDOS

Gráfico de rectas y planos

Como ya sabemos, la ecuación vectorial de la recta está determinada por unpunto y una dirección, por consiguiente por un punto de la recta y un vectorparalelo a ella. ¿Cómo graficar una recta en el plano, dada la ecuación vecto-rial de esta?

Ejemplo

Consideremos una recta L en el plano, A(5, 7) un punto perteneciente a L y = (2, 2) un vector paralelo a L.

Primer paso: determinamos la ecuación vectorial de la recta.(x, y) = (5, 7) + λλ(2, 2) con λλ: número real.

Segundo paso: graficamos el punto A y el vector en el plano cartesiano.

Tercer paso: asignamos un valor cualquiera a λλ.Si λλ = 3 el punto B resultante es:(x, y) = (5, 7) + 3 • (2, 2)(x, y) = (5, 7) + (6, 6)(x, y) = (11, 13)

Cuarto paso: unimos el punto A y B para obtenerla recta L.

�d

�d

A

A

16

14

12

10

8

6

4

2

–2

–2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

16

14

12

10

8

6

4

2

–2

–2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

16

14

12

10

8

6

4

2

–2

–2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

A

B

B

�d

�d

�d

U5 Pág. 158 - 173 29/11/06 17:23 Page 166

Unidad 5 VECTORES

167Vectores

Ejemplo 1

Considera el plano ππ paralelo a XY, que pasa por elpunto A(1, 4, 6).

Primer paso: determinamos la ecuación vectorial delplano.ππ: (x, y, z) = (1, 4, 6) + λλ(1, 0, 0) + µµ(0, 1, 0); con λλ, µµnúmeros reales.

Segundo paso: obtenemos la ecuación paramétricadel plano.x = 1 + λλ; y = 4 + µµ; z = 6

Tercer paso: como el plano es paralelo a XY, seobtiene la ecuación cartesiana del plano, z = 6.

Cuarto paso: graficamos.

Veamos ahora cómo graficar un plano en el espacio.

Ejemplo 2

Considera la ecuación cartesiana del plano 4x + 3y = 12.

Primer paso: determinar los puntos en que corta alos ejes coordenados.Intersección eje X: y = 0 y z = 0, entonces4x = 12 ⇒ x = 3. Punto obtenido (3, 0, 0).Intersección eje Y: x = 0 y z = 0, entonces3y = 12 ⇒ y = 4. Punto obtenido (0, 4, 0).Intersección eje Z: x = 0 e y = 0, entonces0 = 12 ⇒ falso. Como esto no es cierto significaque no existe un punto en el eje Z.

Segundo paso: como no hay un punto común aleje Z, el plano que se graficará es paralelo a ese eje.

EJERCICIOS

1. Grafica la recta que pasa por el punto

A(–1, 3, 4) y es paralela al vector

= (3, –1, 2).

2. Grafica el plano que pasa por el punto (1, 6, 1)

y es paralelo al plano XZ.

3. Encuentra la ecuación cartesiana y el gráfico

de un plano, dadas las ecuaciones: x = λλ,

y = 3µµ, z = µµ y con λλ, µµ números reales.

4. Grafica el plano 4x + 5z = 20. ¿A qué eje es

paralelo?

5. ¿Qué sucede cuando en la ecuación cartesiana

de un plano no aparece una variable x, y o z?

Justifica.

6. Grafica el plano que pasa por el punto

A(3, 3, 4) y es paralelo a los vectores

= (2, 1, 1) y = (–3, –3, –3).�u

�v

�v

Z

6 (1, 4, 6)

ππ

X

Y

Z

X 3

4

Y

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Unidad 5 VECTORES

168 Vectores

CONTENIDOS

Intersección de rectas y planos en el espacio

Si consideras una recta y un plano en el espacio, se pueden dar las siguientessituaciones:

Ejemplo

Considera el plano ππ: 4x + 3y – z = 2 y la recta L :

L : con h en �. ¿Cuál es la intersección?

Sea el punto (x0, y0, z0) que pertenece al plano y a la recta. Entonces se tiene:

ππ: 4x0 + 3y0 – z0 = 2

Se tienen 4 ecuaciones.Basta obtener el valor de h0.

Remplazamos las ecuaciones de la recta, en la ecuación del plano.

4(4 + 2h0) + 3(6 + 3h0) – (–2) = 2

16 + 8h0 + 18 + 9h0 + 2 = 2

h0 = –2

Por lo tanto: x0 = 4 + 2 • –2 = 0y0 = 6 + 3 • –2 = 0z0 = –2

El punto obtenido es (0, 0, –2). Este punto satisface la ecuación del plano yla de la recta, por lo tanto, estamos en el caso en que la recta es secante alplano.

EN EQUIPO

¿Cómo tendrían que ser las ecua-

ciones del plano y de la recta, para

que su intersección sea vacía? ¿Y

para que sea una recta? Justifica.

Recta paralela al plano

Su intersección es vacía.

Recta contenida en el plano

Su intersección es la recta L.

Recta secante al plano

Su intersección es un punto P.

x = 4 + 2hy = 6 + 3hz = –2�

�

LL

L

P

ππ ππ ππ

x0 = 4 + 2h0 L : y0 = 6 + 3h0

z0 = –2

U5 Pág. 158 - 173 29/11/06 17:23 Page 168

Unidad 5 VECTORES

169Vectores

Si consideramos dos planos en el espacio, estos pueden ser paralelos, secanteso coincidentes.

Ejemplo

Considera los planos:

ππ1: 4x + 3y + z = 6ππ2: 3x + 4y + 4z = 12

Eje x Eje y Eje z

ππ1 � , 0, 0� (0, 2, 0) (0, 0, 6)

ππ2 (4, 0, 0) (0, 3, 0) (0, 0, 3)

Observamos en la gráfica que P y Q son los puntos de intersección de ambosplanos.

La intersección de los planos es una recta, ya que estos son secantes.Determinaremos su ecuación de la recta, considerando que pasa por el punto

P y que su vector director es = �– , , – �.

Entonces la ecuación vectorial de la recta es:

(x, y, z) = � , 0, � + λλ�– , , – �, con λλ perteneciente a �.2126

32

1213

3013

1213

2126

32

1213

PQ� ��

32

HISTORIA

Giuseppe Peano

(1858–1932)

Desarrolló el concepto de espacio

vectorial, en 1888, a partir de lo

cual fue posible encontrar impor-

tantísimas aplicaciones a la geo-

metría en el siglo XX.

Graficamos los planos, revisando los puntos deintersección en cada eje.

El punto Q se ubica en el plano YZ, por lo que suabscisa es cero.

� x = 0 y = z =

Luego, Q tiene coordenadas � 0, , �.32

32

32

El punto P se ubica en el plano XZ, por lo que suordenada es cero.

� y = 0 x = , z =

Luego, P tiene coordenadas � , 0, �.3013

1213

3013

1213 � �

� Z

Y

4x + z = 63x + 4z = 12

3y + z = 64y + 4z = 12

X 4

6

2

32

3

3

PQ

ππ2

ππ1

EJERCICIOS

1. Obtén el punto de intersección de la recta x = 2t,

y = 3t + 1, z = t con el plano 3x + 2y – 11z – 5 = 0.

2. ¿Cuál es la posición relativa del plano

x + y + z + 1 = 0 y la recta de ecuaciones

x – 1 = 2 – y = ?

3. Dados los siguientes planos:

x + y = 1 mz + z = 0

determina los valores de m para los cuales:

a. se cortan en un plano.

b. se cortan en una recta.

c. no se cortan.z3

U5 Pág. 158 - 173 29/11/06 17:23 Page 169

Unidad 5 VECTORES

170 Vectores

CONTENIDOS

Transformaciones geométricasTraslación

Una figura dada se puede trasladar según un vector, es decir, considerando unadirección, un sentido y una magnitud dadas. Observa a continuación la traslación T del cuadrilátero ABCD.

AA’ = BB’ = CC’ = DD’ = dABCD A’B’C’D’

Una traslación en el plano cartesiano considera las coordenadas de los vérticesde la figura a trasladar y las coordenadas del vector que traslada.

Ejemplo

La traslación del triángulo cuyos vértices son A(–4, 4), B(–2, 2) y C(–3, 6), dadapor el vector = (2, 1) es:

A’: (–4, 4) + (2, 1) = (–2, 5)

B’: (–2, 2) + (2, 1) = (0, 3)

C’: (–3, 6) + (2, 1) = (–1, 7)

En la siguiente imagen se muestrala traslación del triángulo ABC.La traslación anterior se denotacomo T(2, 1) de los puntos �ABC.

�v

La traslación de una figura en el plano cartesiano, da origen a una nuevafigura que es congruente con la anterior, es decir, mantienen la mismaforma y medidas.

T(x, y) es la traslación de una figura en el plano cartesiano, en cambioT –1 (x, y) es la traslación inversa de T(x, y), y corresponde a la trasforma-ción de A’B’C’ en ABC.

PARA ARCHIVAR

T

d

T

A

B

C

D

A’

B’

C’

D’

–4 –2 2 4

7

6

2

1

AYUDA

En el ejemplo:

ABC ≅ A’B’C’

�v

En esta obra de M. C. Escher se apre-

cian diferentes transformaciones

geométricas, como la traslación y la

rotación.

A

B

B’

A’

C’

C

U5 Pág. 158 - 173 29/11/06 17:23 Page 170

Unidad 5 VECTORES

171Vectores

Composición de traslaciones

Si al resultado de una traslación se le aplica otra traslación, hablaremos decomposición de traslaciones.

Observa la figura:

Como podemos observar, A’B’C’ se obtiene aplicando T1 (10, 2) a los vértices deltriángulo ABC. En cambio, A’’B’’C’’ se obtiene aplicando T2 (1, -6) a los vérticesdel triángulo A’B’C’.¿Cómo podríamos designar directamente la traslación de los vértices del trián-gulo ABC a los vértices del triángulo A’’B’’C’’?

Si los vértices del triángulo A’’B’’C’’ se obtienen aplicando T1 a ABC y luego T2 alos vértices del triángulo A’B’C’, podemos inferir que existe una composición detraslaciones, es decir,

si T1(x1, y1) y T2(x2, y2), entonces T1 o T2 = (x1 + x2, y1 + y2).

Una composición de traslaciones resulta de aplicar una traslación a otratraslación ya realizada.

PARA ARCHIVAR

EJERCICIOS

1. Identifica las traslaciones inversas de cada una

de las siguientes traslaciones.

a. T1(2, 3)

b. T2(–3, 4)

c. T3(–6, –7)

d. T4(0, –4)

2. Los vértices de un cuadrilátero son (1, 0); (0, 2);

(–3, 0); (0, –1). ¿Cuáles serán los vértices del

cuadrilátero si se aplica una traslación (3, –2)?

3. Una circunferencia de radio 1 tiene su centro

en el punto (2, 2), realiza una traslación de

esta circunferencia respecto al vector (1, –2).

–6 –4 –2 2 4 6 8 10

4

2

–2

–4

–6

–8

A

B

CA‘

B‘

B‘’

C‘

A‘’

C ‘’

T1

T2

EN EQUIPO

Consideren dos circunferencias,

una con centro O(–2, 3) y la otra

con centro A(–1, 1).

Determinen el vector que permi-

te trasladar la circunferencia de

centro O a la posición con centro

en A. Luego determinen el vec-

tor de la traslación opuesta a la

realizada.

¿Qué pueden concluir?

U5 Pág. 158 - 173 29/11/06 17:23 Page 171

Unidad 5 VECTORES

172 Vectores

CONTENIDOS

Homotecia

Una homotecia se refiere a una transformación geométrica realizada a unafigura geométrica, de manera que mantiene inalterable su forma, pero nonecesariamente su tamaño. También se puede decir que dos figuras son homotéticas si al unir medianterectas los puntos o vértices correspondientes de ellas, estas rectas concurren enun único punto que es el centro de homotecia O.

Ejemplo

En la siguiente figura se puede observar el

cuadrilátero KLMN de vértices

K(–5, 1), L(–2, 4), M(–6, 6) y N(–7, 3), y sus

respectivas transformaciones

homotéticas: H1(O, –2) y H2�O, – �.

Observa que –2 y – corresponden a la razón

de homotecia.

32

32

¿Qué sucederá con las homotecias en el espacio?

Sea A(ax, ay, az) un punto cualquiera en el espacio, y A’(ax’, ay’, az’) el puntotransformado de A por la homotecia H(C, k), con centro en C = (cx, cy, cz) yrazón k.

Se cumple que:A’ = (cx, cy, cz) + k(ax – cx, ay – cy, az – cz) lo cual se denomina ecuación vecto-rial de la homotecia H(C, k).

Una homotecia es una transformación geométrica que no afecta la formade la figura, pero sí puede cambiar su tamaño y orientación. Además:

Si k > 0 se llama homotecia directa.

Si k < 0 se llama homotecia inversa.

k = –1 corresponde a una rotación alrededor del centro O en un ángulo de180º.

PARA ARCHIVAR

K

L

O

Y

X

M

N

K2 K1

L1

M1

N1L2

M2

N2

AYUDA

Una homotecia con centro en O

y razón a, se escribe H(O, a).

TIPS

En homotecias de centro en el

origen de coordenadas, si se

considera A(x, y), y su homotético

A’(x’, y’), la relación que hay entre

ellos es la siguiente:

x’ = kx e y’ = ky

U5 Pág. 158 - 173 29/11/06 17:23 Page 172

Unidad 5 VECTORES

173Vectores

Composición de homotecias

Al igual que con las traslaciones, se puede realizar una composición de homote-cias.La composición de homotecias con distinto centro y razón nos muestra que lasfiguras se invierten cuando la constante de homotecia es -1.

Ejemplo

A continuación se muestra la composición de homotecias H1 o H2 , con H1(M, –1)y H2(N, –1).

ABC A1B1C1 A2B2C2

Algunas características de las homotecias son:• Las figuras generadas mediante homotecia son semejantes a las figuras

originales. • Los lados correspondientes entre dos figuras homotéticas son paralelos. • El producto de dos homotecias de centro C es otra homotecia de

centro C, y razón, el producto de las razones, esto es:H’(C, k’) o H(C, k) = H1(C, kk’).

PARA ARCHIVAR

TIPS

La palabra homotecia, proviene

del griego homos (semejante) y

thesis (posición).

H1(M, –1) H2(N, –1)

A1

A2

B2

C2

B

C

M

N

AB1

C1

EJERCICIOS

1. Considera un cuadrilátero ABCD de coorde-

nadas A(3, –3); B(6 , –6); C(10, 1) y D(4, 3).

Encuentra su figura homotética, respecto de

a. H(0, –1) b. H�0, �2. Comprueba que el área de una figura homotéti-

ca es igual al producto del área de la figura ori-

ginal por el cuadrado de la razón de homotecia.

3. Obtén la razón de homotecia entre �ABC y

�A’B’C’. Además, calcula las dimensiones de los

triángulos.

32 O

A

B

CC’

A’

B’

15

12

5

U5 Pág. 158 - 173 29/11/06 17:23 Page 173

Unidad 5 VECTORES

174 Vectores


Comprobamos que los

vectores sean

perpendiculares mediante

el producto escalar.

El módulo de debe ser 5.�v

Ejercicio 1

Dados los vectores = (2, x) y = (y, 3), determina el valor de x e y para que

sea perpendicular a y �� = 5.

Solución

Si es perpendicular a , su producto escalar debe ser cero, entonces2y + 3x = 0.

Además si �� = 5 ⇒ = 5

Despejamos y en la ecuación anterior: y2 + 9 = 25 ⇒ y2 = 16

Entonces y = 4 o y = –4.

Remplacemos los valores para y en la ecuación dada por el producto escalarde ambos vectores:

Para y = 4 8 + 3x = 0 ⇒ x = –

Para y= –4 –8 + 3x = 0 ⇒ x =

Luego, tenemos dos soluciones:

x = – e y = 4 ; x = e y = –4

Comprobemos que las soluciones sean correctas.

Con x = – e y = 4, tenemos = �2, – � y = (4, 3)

• = 8 – 8 = 0

�� = = = 5

Con x = e y = –4 , tenemos = �2, � y = (–4, 3)

• = –8 + 8 = 0

�� = = = 5

Por lo tanto, ambas soluciones son correctas.

25–4 32 2( )+�v

�v

�u

�v

83

�u

83

254 32 2+�v

�v

�u

�v

83

�u

83

83

83

83

83

y2 23+�v

�v

�u

�v

�v

�u

�v

�u

El módulo de un

vector (a, b)

está dado por .a b2 2+

(a, b) • (d, c) = ad + bc

Despejamos x

U5 Pág. 174 - 183 29/11/06 17:24 Page 174

Unidad 5 VECTORES

175Vectores

Ejercicio 2

Dado un paralelogramo ABCD, se conocen tres vértices A(1, –2), B(6, 1) yD(–6, 3).

a. Calcula el cuarto vértice C.b. Encuentra el punto M de intersección de las diagonales.

Solución

Para facilitar la resolución del problema lo represen-taremos gráficamente.

a. Observa que está dado por la suma de y ,es decir,

= B +

= B +

= = (6, 1) + (–6, 3) – (1, –2) = (–1, 6)

Entonces C tiene coordenadas (–1, 6).

b. Las dos diagonales se cortan en su punto medio, por lo tanto

M = = � , � = (0, 2) o bien,

M = = � , � = (0, 2) , coordenadas del punto medio de las diagonales.

Ejercicio 3

Determina si el punto (–2, 7) pertenece a la recta L: (x, y) = (2, 1) + λλ(–2, 3).

Solución

Escribiremos la ecuación vectorial en la forma cartesiana,L: (x, y) = (2 – 2λλ, 1 + 3λλ).

Entonces, x = 2 – 2λλ e y = 1 + 3λλ , por lo tanto, λλ = � � y λλ = � �.

Igualamos los valores de λλ,

= ⇒ 6 – 3x = 2y – 2 ⇒ –2y – 3x + 8 = 0

Por último evaluamos la pertenencia del punto en la recta–2 • 7 – 3 • –2 + 8 = –14 + 6 + 8 = 0

Podemos concluir que (–2, 7) pertenece a la recta L.

y – 13

2 – x2

y – 13

2 – x2

1 + 32

6 – 62

B + D2

–2 + 62

1 – 12

A + C2

� � �b d a( – )+

�c

AD� ��

c

BC� ��

c

BC� ��

b�c

En un paralelogramo, los

lados paralelos tienen igual

medida, por lo tanto:

+ = + AD� ��

bBC� ��

b

También se puede resolver

utilizando = + .DC� ��

d�c

El punto medio entre (a, b)y (d, c) está dado por

� , �.b + c

2a + d

2

Despejando λλ de x e y.

Si un punto pertenece a una

recta, entonces satisface la

ecuación de esta.

C

B

A

D

–6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6

7

6

5

4

3

2

1

–1

–2

U5 Pág. 174 - 183 30/6/08 12:51 Page 175

Unidad 5 VECTORES

176 Vectores

DESAFÍOS

1. (Demre, 2003) ¿Cuál de las siguientes rectas del

plano cartesiano es representada por la ecuación

x = a?

A. La recta paralela al eje X que pasa por elpunto (0, a).

B. La recta paralela al eje X que pasa por elpunto (a, 0).

C. La recta paralela al eje Y que pasa por elpunto (0, a).

D. La recta paralela al eje Y que pasa por elpunto (a, 0).

E. La recta que pasa por el origen y por elpunto (a, a).

2. (Demre, 2004) El paralelepípedo recto se sitúa

en un sistema cartesiano tridimensional tal como

lo ilustra la figura. ¿Cuáles son las coordenadas

del punto D?

A. (a, b, c) D. (b, 0, c)

B. (0, a, c) E. (0, b, c)

C. (a, 0, c)

3. (Olimpiadas matemáticas, 2003) Dadas 3 rectas

en el plano, que concurren en el punto O,

considere los 3 ángulos consecutivos que se

forman entre ellas (cuya suma es, naturalmente,

180 grados). Sea P un punto del plano que no se

encuentra en ninguna de las rectas y sean A, B, C

los pies de las correspondientes perpendiculares

trazadas desde P a cada recta. Demuestra que el

triángulo ABC tiene los mismos ángulos que los

que las rectas forman entre sí.

4. (Demre, 2004) El �ABC de la figura, se sitúa en

el sistema cartesiano tridimensional, tal como se

ilustra en la figura. ¿Cuál es el perímetro de este

triángulo?

A. 3

B. 10 + 3

C. 10 +

D. 3 + 5

E. N. A.

5. (Olimpiadas matemáticas, 2003) Investiga si

puede un caballo de ajedrez recorrer un mini ta-

blero de tamaño 4 x 4 de modo que llegue a cada

uno de los 16 casilleros una única vez. Nota: el

dibujo abajo muestra los puntos finales de las

ocho posibles movidas del caballo (C) en un table-

ro de ajedrez de tamaño 8 x 8.

6. (Demre, 2004) En la figura, se tiene un círculo de

centro (–2, 2) y radio 1, entonces al efectuar una

traslación del círculo al nuevo centro (2, 1) sitúa

al punto P en las coordenadas:

A. (1, 2)

B. (2, 1)

C. (0, 2)

D. (2, 2)

E. (1, 1)

2

2

2

2

C

X

X

Z

Y

Y

Z

4

33

C

B

A

D

ab

c

Y

X

P

–4 –3 –2 –1 1

4

3

2

1

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Unidad 5 VECTORES

177Vectores

MEDIOS

Ajedrez: un juego de razonamiento y concentración

Se cree que el origen del ajedrez data del siglo VI. Este consiste en un tablero que está formado por64 cuadrados organizado en filas y columnas (llamadas escaques), de las cuales la mitad son blancosy la otra mitad son negros.Sobre el tablero se disponen fichas con las cuales se pueden realizar distintos movimientos. Paradescribir el movimiento de una pieza podemos indicar el número de cuadrados que se desplaza.

Por ejemplo, el alfil blanco que está colocado en la cuadrícula (1, 1), para pasar a la cuadrícula (4, 4), sedesplaza tres cuadraditos hacia el este y tres cuadraditos hacia el norte. Describimos el movimiento del alfil de la siguiente manera:

(3, 3) = (4, 4) – (1, 1)Con la operación anterior hemos encontrado las componentes del vector desplazamiento del alfil.

1. Indica el vector de desplazamiento descrito por los pares de números que se indican acontinuación:

a. Torre blanca pasa de (5, 3) a (5, 7).b. Alfil negro pasa de (3, 6) a (7, 2).c. Peón blanco pasa de (7, 2) a (7, 4).d. Caballo negro pasa de (6, 5) a (7, 7).

2. Para mayor información acerca del ajedrez y de torneos que se realizan en nuestro país, puedesingresar al sitio web: www.clubajedrezchile.cl (recuerda que las páginas o su contenido puedenvariar).

Un juego de ajedrez termina cuando unode los jugadores realiza un “jaque mate”,palabra derivada de shah mat (“el rey hamuerto” en idioma persa).

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Unidad 5 VECTORES

178 Vectores

SÍNTESIS

Mapaconceptual

Resumen


Conceptos clave:

Vector

Sentido

Magnitud

Dirección

Plano

Recta

Espacio

Vector director

Ángulo diedro

1 Módulo de un vector: longitud del segmento determinado por el vector.

El módulo de un vector = (a1, a2) está dado por �� = .

2 Dirección de un vector: está dada por la recta que lo contiene.

3 Sentido de un vector: está indicado por la punta de la flecha.

4 Operatoria con vectores

Suma o resta de vectores: se realiza de la siguiente manera,

± = (a1, a2) ± (b1, b2) = (a1 ± b1, a2 ± b2),

donde = (a1, a2) y = (b1, b2)

�b

�a

a a12

22+

�a

�a

�a

�b

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Unidad 5 VECTORES

179Vectores

Ecuación cartesiana de la recta:

Ax + By + C = 0

Ecuación paramétrica de la recta:

x = x0 + λλd1

y = y0 + λλd2

: vector director de la recta que contiene al vector; P0(x0, y0): un punto perteneciente a dicha rectaλλ : parámetro (número real).

�d

�b

�b

�b

�b

�a

�a

�a

�a�� cos(αα))

�b

x�b

�a

� �a kb=

αα

Ecuación vectorial de la recta:

(x, y) = p0 + λλ = (x0, y0) + λλ(d1, d2)�d

� ��

Producto escalar de dos vectores: Geométricamente, el producto escalar

de dos vectores es el producto del módulo de uno de ellos por la proyec-

ción ortogonal del otro sobre él. Si el sentido de esta proyección es

opuesto al del primer vector, esta proyección es negativa. El producto

escalar da como resultado un número dado por:

• = �� cos(αα))

• = (a1, a2) • (b1, b2) = a1 • b1 + a2 • b2

Producto cruz o vectorial: este producto entre dos vectores está dado

por la expresión �� sen(αα)), donde αα representa el ángulo

formado por ambos vectores. El resultado de este producto resulta un

nuevo vector, perpendicular a los anteriores.

Vector ponderado: sean y dos vectores con la misma dirección. Si

los situamos en el mismo origen, vemos que podemos expresar uno en

función del otro multiplicando por un escalar: = k o = k’ .

Recíprocamente, si = k o = k’ , los dos vectores tienen la misma

dirección y por lo tanto son paralelos (k: constante).

5 Ecuación de la recta en el plano

6 Ecuación de la recta en el espacio

La ecuación de la recta en el espacio, está dada por la expresión,

(x, y, z) = P0 + λλ = (x0, y0, z0) + λλ(d1, d2, d3), donde : vector director de

la recta; P0(x0, y0, z0): un punto perteneciente a dicha recta; λλ: parámetro

(número real).

7 Ecuación vectorial de un plano en el espacio: está dada por

ππ: (x, y, z) = (x0, y0, z0) + λλ(d1, d2, d3) + µµ(v1, v2, v3), con y vectores

directores del plano; P0(x0, y0, z0) un punto perteneciente a él.

�v

�d

�d

�d

�a

�b

�b

�a

�a

�b

�b

�a

�b

�a

�b

�a

�b

�a

�b

�a

�b

�a

U5 Pág. 174 - 183 30/6/08 12:53 Page 179

Unidad 5 VECTORES

180 Vectores

EVALUACIÓN

1. Los vectores de la figura tienen la misma mag-

nitud. Si = 2 – + , entonces el vector

que mejor representa la dirección de es:

A. C. E.

B. D.

2. Los módulos de los vectores de la figura son 4,

3 y 2 unidades. Si = – 2 – 3 , entonces

el módulo de es:

A. 4 unidades

B. 8 unidades

C. 14 unidades

D. 16 unidades

E. 18 unidades

3. Los vértices de un hexágono regular definen

los vectores de la figura. ¿Cuál de las siguien-

tes relaciones es incorrecta?

A.

B.

C.

D.

E.

4. Sobre una partícula actúan dos fuerzas, como

indica la figura. El módulo de la fuerza

resultante es:

A. 3 N

B. 15 N

C. 21 N

D. 225 N


5. Si = (2, 1); = (0, 1) entonces =

A. 1

B. 2

C. 3

D. (2, 1)

E. (0, 1)

6. La ponderación entre λλ = 5 y = (1, 5) es:

A. 5

B. 25

C. (1, 5)

D. (5, 25)


7. Los vectores de la figura forman un cuadri-

látero. ¿Cuál de las siguientes relaciones entre

ellos es correcta?

A.

B.

C.

D.

E.� � � �a b c d+ = +

� � � �a c d b+ = –

� � � �a d c b+ = –

� � � �a c b d– = –

� � � �a d b c+ = +

�a

� �a b•

�b

�a

� � �e d c– = 3

� � �d a c+ = –2

� � �e c a– =

� � � �e d b a+ = –

� � � �a b c+ + = 0

�r

�c

�b

�a

�r

�r

�c

�b

�a

�r

�a

�a

�a

�d

�a

�b

�b

�b

�c

�c

�c

�b

�c

9 N

12 N

�d

�e

U5 Pág. 174 - 183 29/11/06 17:24 Page 180

Unidad 5 VECTORES

181Vectores

I)

II)

III)

A. Solo I

B. Solo II

C. Solo III

D. I, II y III


9. Sobre una partícula se aplican tres fuerzas

, . Si la partícula se

A.

B.

C.

D.


10. Sean = (2, 3) y = (7, 2), entonces

es:

A. 29

B. (21, 8)

C. (27, 22)

D. 27

E. No se puede determinar.

A. �� + ��

B. •

C. � , �D. � , �E. � , �

12. Si P es un punto de la recta y Q es un

punto que no pertenece a esta recta, entonces

es falso que:

A. hay una recta perpendicular a que

pasa por Q.

B. hay un plano que contiene .

C. P, Q y M son colineales.

D. P, M y N son colineales.

E. hay un solo plano que pasa por Q, M y N.

13. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa

la misma recta que la ecuación vectorial:

= (1, 1) + λλ(–1, 1)?

A. y – x – 2 = 0 D. –y – x – 2 = 0

B. y + x – 2 = 0 E. –y – x + 2 = 0

C. y + x + 2 = 0

�x

MN� ��

MN� ��

MN� ��

2ac

(a + b)(c2 + 1)cd

a2 – b2

c(a + b)2

d

(a + b)2

c2d

a2 – b2

d

�s

�r

�s

�r

� � �a b b• +

�b

�a

– ˆ ˆ3 4i j–

– ˆ ˆ3 4i j+

13 18ˆ ˆi j–

3 4ˆ ˆi j–

F i j2 5 7��

= – +ˆ ˆF i j1 8 11��

= –ˆ ˆ

�c i jˆ ˆ= –3 3

�b i jˆ ˆ= – –3 4

�a i jˆ ˆ= – –5 2

mantiene en equilibrio, la expresión para es:F3

��

8. Si los vectores , y se encuentran en un

plano cartesiano, ¿cuál(es) de las siguientes

relaciones es(son) correcta(s)?

�c

�b

�a 11. Si = � , � y = � , �

con c y d no nulos, entonces + es:�s

�r

a + bc

a + bcd

�s

a – bc

ac + bcd

�r

(1, 1)(–1, 1)

�a

�b

�c

Y

X

U5 Pág. 174 - 183 29/11/06 17:24 Page 181

1. Un profesor de Educación Física ideó la forma-

ción de su equipo de fútbol en dos esquemas, A

y B. Uno para jugar como local y otro de visita.

Los vectores indican los desplazamientos que

realizan los jugadores desde sus puestos en un

partido. Completa el esquema B con los vectores

correspondientes de acuerdo a las indicaciones

del profesor.

Esquema A

Esquema B

Indicaciones

A. Gómez se mueve en 2 direcciones distintas y en

una dirección en un solo sentido.B. Reyes se mueve en las mismas direcciones que

en el esquema A, pero en una de las direccionesen las que se mueve supera la línea central de lacancha.

C. Solano, desde su nuevo puesto, se mueve en2 direcciones distintas, y sobre cada dirección en2 sentidos.

D. Pérez se desplazará según 3 vectores y 2 de ellosson iguales a los correspondientes a Pinto.

E. Pinto se mueve de la misma forma que en elesquema A.

F. Prado se mueve en una sola dirección.G. Moreno se mueve igual que Reyes en el

esquema A.H. Salas se mueve de la misma forma que en el es-

quema A y además en dirección a la posición deZurita.

I. Quiroz y Zurita repiten su esquema.

2. Los vectores de la figura tienen su origen en el

centro de un cuadrado y el extremo en un vér-

tice o en el punto medio de uno de los lados del

cuadrado. ¿Cuál de las siguientes igualdades es

incorrecta? Explica en cada caso.

a. d.

b. e.

c.

3. En el sistema de la ilustración, aparecen dos

bloques sobre planos inclinados en los cuales

no hay fuerza de roce.

a. Haz un diagrama que te permita repre-

sentar las fuerzas que intervienen.

b. Calcula el peso de cada uno de los bloques.

c. ¿Hacia qué lado se deslizarán los bloques?

� � � �a d b c– = +

� � � �c a b d+ = +

� � �a b d+ = 2

� � �c d b– =

� � �a c c– = –2

Unidad 5 VECTORES

182 Vectores


>

>>

>

Pint

oPé

rez

Sola

no

Prad

oM

ore

no

Gó

mez

Reye

s

Qui

roz

Zuri

taSa

las

Pint

o

Pére

zSo

lano

Prad

oM

ore

noG

óm

ez

Reye

s

Qui

roz

Zuri

ta

Sala

s

30º

40º

30 kg

35 kg

�a

�b

�c

�d

U5 Pág. 174 - 183 30/6/08 12:54 Page 182

Unidad 5 VECTORES

183Vectores

4. Sobre el cuerpo de la figura actúan las fuerzas

= (6, 8), = (–15, 20) y = (–4, –16).

Calcula:

a. La magnitud del vector resultante.

b. La dirección del vector resultante.

5. Si = (–4, 5), = (6, –3) y = (–2, –2) grafica y

determina de modo que .

Luego, calcula su módulo y dirección dando el

ángulo que forma con el eje X.

6. En el paralelepípedo rectangular se han defi-

nido las traslaciones T1, T2 y T3 según se indica.

Determina la imagen de los siguientes puntos,

según las traslaciones indicadas.

a. D por T1 seguida de T2.

b. D por T2 seguida de T1.

c. A por T2 seguida de T1.

d. C por T2 seguida de T3–1.

e. G por T1–1 seguida de T2

–1.

f. A por T2 seguida de T3.

g. F por T1–1 seguida de T2

–1.

h. H por T2–1 seguida de T1.

7. Determina la ecuación vectorial de la recta que

pasa por dos puntos dados: A(–4, 6) y B(4, –2).

8. Considera un cuadrado ABCD, tal que el punto

de intersección de sus diagonales es G. Haz el

dibujo en tu cuaderno de las siguientes trans-

formaciones homotéticas.

b. H1(A, 2) seguida de H2�A, – �9. Define cada una de las siguientes traslaciones.

a. T1 y T1–1 b. T2 y T2

–1 c. T3 y T3–1

10. Considera el triángulo de la figura y trans-

seguida de H2(B, –1).

11. Sitúa un cubo con un vértice en el origen, de

modo que las aristas se ubiquen sobre los ejes

X, Y y Z. Determina al menos 3 ecuaciones

vectoriales de los planos portadores de sus

caras y 3 de las rectas portadoras de sus aristas.

32

� � � �v a b c= + – 2

�v

�c

�b

�a

f3��

f2��

f1��

A

T1

T2

T3E

D

H G

F

C

B

fórmalo mediante la homotecia H1�A, �32

a. H1(G, 3) seguida de H2�G, �12

T1–1

T3–1

T2–1

T1T2

T3

A

B

U5 Pág. 174 - 183 29/11/06 17:24 Page 183

UN

IDA

D

6

184 Geometría: áreas y volúmenes

Geometría: áreasy volúmenes

Laconstrucción yremodelación deedificios ha tenido undesarrollo importante enlos últimos años, productodel crecimiento económico denuestro país. En una de las prin-cipales avenidas de Santiago,apreciamos esta realidad.

Si nos detenemos un poco y obser-vamos las formas geométricaspresentes en estas construccionesencontraremos los mismos ele-mentos que has estudiado através de tus años de escolari-dad. En esta unidad profun-dizarás acerca de dosconceptos muy impor-tantes: el área y elvolumen.

U6 Pág. 184 - 207 29/11/06 17:26 Page 184


185Geometría: áreas y volúmenes

Calcular áreas y volúmenes de cuerpos geo-métricos.

Conocer y aplicar el principio de Euler y Cavalieri.

Trabajar con las secciones de una esfera.

Dibujar las proyecciones de un cuerpo en el plano.

Calcular el área y volumen de cuerpos genera-dos por traslación y rotación.




U6 Pág. 184 - 207 29/11/06 17:26 Page 185

1. Si un lado del cuadrado PQRS de la figuramide 20 cm, y L, M, N son puntos medios decada lado, calcula el área sombreada.

2. Calcula el área del trapezoide ABCD de lafigura, considerando que AB = 8 cm, DE = 12 cm,h = 3 cm y h1 = 7 cm.

DE//AB

3. Calcula el área del triángulo FHG de la figura,suponiendo que HG = 3 cm, FH = 5 cm, FG = 7 cm.

4. Calcula el área de las siguientes figuras:

a. c. e.

b. d. f.

5. Expresa la mitad del lado de un triángulo equilátero inscrito en unacircunferencia, en función del radio.

6. Completa las siguientes equivalencias:

a. 234 m = dm g. 53.288 cm3 = dm3

b. 8.400 dm2 = cm2 h. 5.000 dm2 = m2

c. 4,51 m = cm i. 4,0009 m3 = cm3

d. 0,0079 cm2 = m2 j. 0,0057 dm3 = m3

e. 5,606 cm3 = m3 k. 1.000 dm = cm

f. 3.600.000 m = dm l. 9.350 cm2 = dm2

ρ =3

2

Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES


REPASO

¿Cuánto sabes? S

L

P

R

N

Q

C

E

B

H

F G

3 cm7 cm

2 cm

1,5

cm

3,2 cm

0,6

6

97

122

4

3 3

2

44

4

32

6 6

6

72

5 cm

A

D

h

h1

M

ρ

4 cm

4 cm

2,5 cm

2,5 cm

U6 Pág. 184 - 207 29/11/06 17:26 Page 186




7. Calcula el área coloreada de las siguientes figuras, considerando launidad de medida.

a. A = ______ dm2 b. A = ______ m2 c. A = ______ cm2

8. La siguiente lata de conservas tiene un diámetrode 8 cm y una altura de 13 cm.

a. ¿A qué cuerpo geométrico se asemeja?b. ¿Cuál es el área total de sus bases?c. Estima el área de la etiqueta

de papel que cubre la lata.d. Estima el volumen de la lata.

15 m 7,5 m 2 m3 m

1 Un polígono es una figura geométrica plana cerrada formada por launión de un conjunto de segmentos consecutivos que se intersectan alo más en un extremo común, donde cualquier par de ellos con unextremo común no es colineal.

2 Un polígono es convexo si cualquier par de puntos que pertenece a suinterior, determina un segmento totalmente contenido en él. De locontrario, es un polígono cóncavo.

3 Se llama polígono regular a todo polígono convexo cuyos lados y ángu-los son congruentes.

Por ejemplo: triángulo equilátero, cuadrado, pentágono regular, etc.

4 Se llama polígono inscrito en una circunferencia a todo polígono cuyosvértices son puntos de ella.

5 Un polígono está circunscrito a una circunferencia si todos sus lados sontangentes a la circunferencia.

6 Equivalencias en las unidades de medida:

1 m = 10 dm = 100 cm1 m2 = 100 dm2 = 10.000 cm2

1 m3 = 1.000 dm3 = 1.000.000 cm3

U6 Pág. 184 - 207 6/30/08 11:14 PM Página 187

EJERCICIOS

1. Calcula el área de un cuadrado cuya diagonal

mide cm.

2. El área de un cuadrado circunscrito en una

circunferencia es 144 m2. Calcula el área de la

circunferencia.

3. Halla el área de un triángulo cuya base y altura

son respectivamente el lado del triángulo

equilátero y el lado del cuadrado, inscritos en

una circunferencia de radio cm.

4. Calcula el área de un cuadrado inscrito en una

circunferencia de radio 8 cm.

5. Calcula el área y el perímetro

de la figura, si para su

construcción se dibujaron 4

semicírculos de radio 2 cm.

6. En la figura, el lado del cuadrado ABCD mide

10 m. Calcula la razón entre el área de la

circunferencia circunscrita e inscrita al cuadrado.2

4 2



CONTENIDOS

Concepto de área

A lo largo de tu educación básica y media estudiaste progresivamente lasfiguras en el plano, como cuadriláteros, círculos y triángulos entre otras.

Así también, conociste fórmulas y procedimientos para determinar el área yel perímetro de estas figuras. En esta unidad ampliaremos nuestro estudiohacia el cálculo de áreas y volúmenes en el espacio tridimensional.

Es común asignar al concepto de superficie y área el mismo significado; sinembargo, debemos diferenciar ambos términos.

Una idea intuitiva de superficie se refiere a aquellas formas quecaracterizan a un cuerpo. Una superficie puede ser plana, como esen el caso de las caras de prismas, pirámides, etc., o bien, curvas,como por ejemplo, en el cono, cilindro, etc.

El área es la medida que se asocia a una superficie, el área de uncuerpo será entonces, la suma de las medidas de la superficie decada una de sus caras. El área se mide en unidades tales como,centímetros cuadrados, metros cuadrados, etc.

h h

A B

D C

b

b

TIPS

Superficie se puede entender

como la cáscara que cubre a los

cuerpos.

U6 Pág. 184 - 207 6/30/08 12:23 PM Página 188



EJERCICIOS

1. Observa los cuerpos anteriores, luego responde.

a. ¿Tienen igual área?

b. ¿Qué puedes concluir?

2. Las medidas de las bases de los siguientes

paralelepípedos son iguales, pero la altura del

bloque C es igual a la suma de las alturas de

los bloques A y B.

a. ¿Qué relación hay entre los volúmenes

respectivos?

3. Demuestra que el

plano trazado que

contiene a las aristas

opuestas de un para-

lelepípedo oblicuo

divide a este cuerpo en dos prismas triangu-

lares equivalentes en volumen.

4. Considera un cubo de arista 2 cm.

a. ¿Qué sucede con el volumen si el lado

aumenta al doble? ¿Y con el área?

b. Si entre dos cuerpos semejantes, el cociente

de sus longitudes (ya sea referida a aristas,

diagonales, etc.) es k, ¿cuál es el cociente

entre sus volúmenes?

Concepto de volumen

Para calcular el volumen de un cuerpo en el espacio, lo comparamos con uncubo de arista una unidad. En el sistema métrico decimal, la unidad de volu-men es el metro cúbico (volumen de un cubo de un metro de arista).

Ejemplo

Cada uno de los siguientes cuerpos está formado por cubitos de 1 metro dearista cada uno.

¿Cuál es el volumen de cada cuerpo?

Todos tienen igual volumen, 8 m3, pues están formados por 8 cubitos deigual medida.

El volumen de un cuerpo es la medida del espacio que ocupa.

AB

C

A BC

D

EF

GH

2

22

2

4 1

1 1

8

U6 Pág. 184 - 207 29/11/06 17:26 Page 189



CONTENIDOS

Principio de Cavalieri

Observa la siguiente figura:

A la izquierda tenemos unmontón de discos iguales unossobre otros, a la derecha seencuentran los mismos discospero descolocados. ¿Tendrán elmismo volumen?

Por lo tanto, en la figura anterior, ambos montones de discos tienen elmismo volumen.

EJERCICIOS

1. Determina si las siguientes construcciones

tienen igual volumen en las cuales se ocuparon

bloques de igual dimensión. Justifica.

2. Si el volumen del prisma de la figura es 340 cm3,

calcula el área de una sección transversal que

se obtiene mediante el corte con un plano

paralelo a las bases.

HISTORIA

Bonaventura Cavalieri.

(1598 - 1647)

Matemático y clérigo italiano,

pionero del cálculo integral,

enunció el teorema que actual-

mente lleva su nombre.

Si dos cuerpos tienen la misma altura y bases de igual área, y al cortarlospor cualquier plano paralelo a las bases el área de las secciones es lamisma, ambos tienen el mismo volumen.

Es decir, si A1 = A2, entonces V1 = V2

Lo anterior se conoce como principio de Cavalieri.

PARA ARCHIVAR

12 cm

A1

A2

V1

V2

U6 Pág. 184 - 207 6/30/08 12:24 PM Página 190



Teorema de Euler

En años anteriores estudiaste diferentes tipos de poliedros, recordemos sudefinición:

Observa los siguientes poliedros convexos:

¿Existe alguna relación entre el número de caras, vértices y aristas de cada uno?

EJERCICIOS

1. En el siguiente cuadro se muestran 5 poliedros

regulares (todas sus caras son polígonos regu-

lares).

a. Verifica el teorema de Euler para cada uno

de ellos.

2. Sabiendo que el número de vértices de un prisma

es 20 y el número de aristas es 30, ¿cuántas

caras tiene?

3. El número de vértices de una pirámide es 11 y

el número de aristas 20, ¿cuántas caras tiene?

4. Determina la veracidad de las siguientes

proposiciones. Justifica tus respuestas.

a. Un poliedro puede tener el mismo número

de vértices que de aristas.

b. Un poliedro puede tener el mismo número

de caras y de aristas.

c. Un poliedro puede tener el mismo número

de vértices que de caras.

En un poliedro convexo cualquiera se cumple la siguiente relación:

nº de caras + nº de vértices = nº de aristas + 2

Esta relación se conoce como Teorema de Euler.

PARA ARCHIVAR

Un poliedro es un cuerpo geométrico cerrado delimitado por cuatroo más regiones poligonales. Las regiones poligonales que limitan alpoliedro se llaman caras del poliedro, los lados de estos reciben elnombre de aristas y concurren a un punto llamado vértice.

AYUDA

Poliedro convexo

Todas sus caras se pueden "apoyar"

en el plano.

Poliedro cóncavo

No todas sus caras se pueden

"apoyar en el plano".

Tetraedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro

Cubo

U6 Pág. 184 - 207 29/11/06 17:26 Page 191

EJERCICIOS

1. Calcula el área de un prisma rectangular de

6,4 y 9,5 cm de base y 16,5 cm de altura.

2. Calcula el área total de un prisma hexagonal

regular de arista 8 cm de base y altura 10 cm.

3. Calcula la arista de un cubo que tiene igual

área total que un octaedro formado por un

triángulo de lado 6 cm.

4. Se quiere pintar una habitación rectangular

(incluido el techo) de medidas 4 m de ancho,

6 m de largo y 3 m de alto. Cada tarro de

pintura sirve para pintar 30 m2.

a. ¿Cuántos tarros de pintura se necesitarán

para realizar el trabajo?

5. Calcula el área de los siguientes prismas.

a. c.

b. d.



CONTENIDOS

Área y volumen de prismas

Es fácil deducir cómo obtener el área de un prisma a partir de su desarro-llo, es decir, la figura plana con la que podemos construir el prisma doblan-do y pegando. El desarrollo de un prisma está formado por rectángulos (quecorresponden a las caras laterales) y por dos polígonos que forman lasbases.

Ejemplo

¿Cómo calcularías el área total de un prisma?

TIPS

Aquellos prismas cuyas bases y

caras laterales son paralelo-

gramos se denominan para-

lelepípedos.

El área total de un prisma es igual a la suma de las áreas de cada unade sus caras laterales y basales. Es decir,

AT = AL + 2AB

Donde AT: área total; AL: suma de áreas laterales; AB: área basal.

PARA ARCHIVAR

8 cm

h

2,4 cm

5 cm

4 cm4 cm

4 cm

4 cm4 cm

12 cm

6 cm

10 cm

10 cm

h

B

U6 Pág. 184 - 207 29/11/06 17:26 Page 192



Volumen de un prisma

Vamos a calcular el volumen de un prisma a partir del volumen de un para-lelepípedo. Puedes observar que un prisma es una traslación de un polígonosobre un plano determinado, y como tal, puede tener dirección y sentido.En las siguientes figuras se observa esta situación.

Todos estos cuerpos tienen la misma altura y sus bases tienen igual área, sinembargo, sus inclinaciones son distintas. Según el principio de Cavalieri:como las áreas transversales son iguales, los volúmenes también lo son, portanto, resulta fácil calcular el volumen, ya que basta con determinar solo eldel paralelepípedo.

EJERCICIOS

1. Calcula el volumen de un cubo de arista 12 cm.

2. Calcula el volumen de un prisma triangular

regular donde la arista de la base mide 10 cm

y altura 6 cm.

3. Calcula el volumen de los siguientes prismas.

En ambos casos la arista de la base mide 3 cm,

la altura 4 cm y sus bases son polígonos regu-

lares.

a.

b.

4. El área de la base de un prisma es x cm2, y su

altura mide 2x cm. Si el volumen del prisma es

54 cm3, ¿cuál es la altura del prisma?

5. Las aristas de un paralelepípedo están en la

razón 2 : 3 : 4 y su diagonal principal mide

cm. ¿Cuál es el área total y el volumen

del paralelepípedo?

6. El volumen de un prisma recto de base hexa-

gonal es m3 y su altura mide 5 cm.

¿Cuál es la medida de los lados del hexágono?

7. En un envase con forma de prisma de base

cuadrada, la altura es el doble de la medida

del lado de la base y el área total es 250 m2.

Calcula el volumen del envase.

120 3

4 29

TIPS

En algunos problemas, lo más

difícil es calcular el área basal.

El volumen de un prisma está dado por la expresión: V = B • h,donde B es el área de la base y h la altura del prisma.

PARA ARCHIVAR

HISTORIA

Gérard Desargues

(1591 - 1661)

Matemático francés, precursor

del planteamiento de la geome-

tría proyectiva.

h h h

B B B

figura 2figura 1 figura 3T

T T1

U6 Pág. 184 - 207 6/30/08 12:25 PM Página 193

B B B

h

H1 H2 H3



CONTENIDOS

Área y volumen de pirámides

Al igual que en el caso de los prismas o de cualquier otro poliedro, el áreade una pirámide se calcula sumando el área de cada una de sus caras. ¿Pero,cómo se calculará el volumen de una pirámide?

En las siguientes figuras se observa la descomposición de un prisma trian-gular en tres pirámides regulares.

Las 3 pirámides tienen el mismo volumen.Entonces, ¿qué puedes deducir respecto del volumen de una pirámide?

Ejemplo

Calcula el volumen de las siguientes pirámides, sabiendo que B = 3 cm2 yh = 10 cm.

Como puedes observar, H1, H2, H3 son semejantes a las bases, en cada caso,además cada pirámide tiene igual área basal, por lo tanto podemos concluir que

H1 = H2 = H3

Luego, aplicando el principio de Cavalieri, tenemos que las tres pirámidestienen, igual volumen, es decir,

V = • 3 • 10 = 10 cm313

TIPS

Si la base de una pirámide tiene

n lados, entonces el número de

caras es n + 1, el de aristas 2 • n

y el número de vértices n + 1.

AYUDA

Recuerda que H1, H2 y H3 corres-

ponden a secciones definidas

por el plano transversal.

AYUDA

Una pirámide regular tiene

todas sus aristas de igual medida.

El volumen de una pirámide equivale a un tercio del volumen del prisma,es decir,

Vpirámide = Vprisma = B • h (B: área de la base; h: altura)13

13

PARA ARCHIVAR

P

Q

N

S

M

R

B

P

Q

N

S

M

R

PP

QQ

N

SS

MM M

R

U6 Pág. 184 - 207 29/11/06 17:26 Page 194



EJERCICIOS

1. Calcula en cada caso el volumen del prisma y

el de la pirámide. Comprueba las relaciones

obtenidas en la página anterior.

a.

b.

2. Calcula el volumen y el área de las siguientes

pirámides de base cuadrada.

a.

b.

3. El techo de una casa tiene forma de pirámide

cuya base es un cuadrado de 12 m de lado y

8 m de altura. Determina los metros cuadrados

de tejas necesarios para cubrir todo el techo.

4. Calcula la masa del siguiente objeto de base

cuadrada, si cada cm3 tiene una masa de

3,2 gramos.

5. Los siguientes son juguetes de madera que

serán pintados del mismo color. Sobre cada

uno se indica cuántos se van a fabricar. Calcula

la cantidad de pintura necesaria para tal labor.

(Un litro de pintura rinde aproximadamente

3 m2).

6. En el museo del Louvre, en París, se construyó

una pirámide de vidrio en el año 1989. Ésta

tiene una altura de 22 m y la base tiene forma

de un cuadrado de 30 m de lado. Calcula el

volumen y el área de la pirámide.

7 cm4 cm4 cm

6 cm

12 cm

14 cm

12 cm

8 cm6 cm

8 cm

7 cm

4 cm3 cm3 cm

12 cm

h = 24 cm

h

10 cm

4 cm

5,3 cm

12 cm

10 cm5 cm

15 cm

10 cm15 cm

4 cm 3 cm

1530 22

U6 Pág. 184 - 207 29/11/06 17:26 Page 195



CONTENIDOS

Área y volumen de cilindros

Observa la siguiente ilustración:

Las secciones definidas por el plano transversal tienen igual área, por tanto,aplicando el principio de Cavalieri, tenemos que el área de las bases esequivalente, además:

Vprisma = VcilindroV = h • B (B: área de la base)

Vcilindro = h • ππ • r2

Veamos ahora cómo calcular el área de un cilindro.Observa el desarrollo de un cilindro:

Podemos ver que la superficie lateral del cilindro está formada por unrectángulo, mientras que sus bases corresponden a círculos.

AYUDA

El área de una circunferencia está

dada por la expresión ππ • r2.

(r: radio)

AYUDA

Un cilindro se obtiene al rotar

un rectángulo sobre uno de sus

lados. La altura del rectángulo

que genera el cilindro se denomi-

na generatriz (g).

El volumen de un cilindro se calcula mediante la siguiente fórmula:

V = h • ππ • r2 (r: radio de la circunferencia de las bases)

PARA ARCHIVAR

g

g

h

r

h

r

U6 Pág. 184 - 207 29/11/06 17:26 Page 196



Entonces, el área del cilindro está dada por:

A cilindro = 2 • A circunferencia + A rectánguloA cilindro = 2 • ππ • r2 + 2ππr • gA cilindro = 2 • ππ • r (r + g)

El área de un cilindro es igual a la suma del área lateral, dada por unrectángulo, y sus áreas basales, dadas por dos circunferencias congruentes.Esto es:

A cilindro = 2 • ππ • r (r + g)

(g: generatriz o altura del rectángulo; r: radio de la circunferencia de labase)

PARA ARCHIVAR

AYUDA

La base del rectángulo coincide

con el perímetro de la circunfe-

rencia.

EJERCICIOS

1. ¿Cuál es el área total de un tubo de acero con

forma cilíndrica, si su radio basal mide 5 cm y

su largo 2 m?

a. ¿Cuántos cm3 de pintura se necesitan para

pintar 100 de estos tubos? (1 litro de pintura

rinde aproximadamente 3m2).

2. ¿Qué condición debe cumplir el radio y la

altura de un cilindro para que su área lateral

sea equivalente a la suma de las áreas basales?

3. Responde, dando un ejemplo en cada caso.

a. ¿En qué razón están las áreas de dos

cilindros rectos de igual altura, si el radio

basal de uno de ellos es el doble del otro?

b. ¿Qué sucede con el área de un cilindro

si solo su altura se duplica?

c. ¿Qué sucede con el área de un cilindro

si el radio y la altura se duplican?

d. ¿Qué sucede con el volumen de un cilindro

si solo su altura se duplica?

e. ¿Qué sucede con el volumen de un cilindro

si solo su radio se duplica?

4. Se construyó un pozo como el de la figura.

Si la altura es de 120 cm, el grosor es de 40 cm

y el hueco mide 1 m, ¿cuál es el volumen del

pozo?

5. Las bebidas en lata, en general, tienen todas

el mismo volumen (350 cm3) y tienen forma

cilíndrica. ¿Cuál debería ser el diámetro de la

base de cada lata si ahora todas deben tener

una altura de 5 cm? ¿Por qué tendrán todas

la misma medida?

g

2 • ππ • r

1 m

U6 Pág. 184 - 207 29/11/06 17:26 Page 197



CONTENIDOS

Área y volumen de conos

En esta unidad, se ha estudiado cómo los prismas son generados por trasla-ciones de algún polígono, y cómo las pirámides son generadas por homote-cias (proyecciones) con respecto a un polígono. Los conos, que ahora vere-mos son generados por revoluciones de una región triangular con respectoa un eje de simetría.

Un cono está formado por un círculo (base) y por un sector circular. El arcodel sector circular tiene longitud 2 • ππ • r (porque es la longitud de la circun-ferencia de la base). Por consiguiente, el área lateral de un cono es igual alárea del sector circular.

Asc = = = ππ • r • g

El área de la base corresponde al área de una circunferencia, es decir, ππ • r2,entonces, el área total de un cono se puede calcular mediante la siguientefórmula:

Acono = ππ • r • g + ππ • r2

Acono = ππ • r (g + r)

2 • ππ • r • g2

longitud del arco • radio2

El área de un cono está dada por la expresión:

Acono = ππ • r (g + r)

(r: radio de la circunferencia de la base del cono, g: generatriz del cono).

PARA ARCHIVAR

CC

generatriz (g)

B

r

BA

AYUDA

r

Sectorcircular

αα

U6 Pág. 184 - 207 29/11/06 17:26 Page 198

Hemos determinado una expresión para calcular el área de un cono, pero¿cómo calculamos su volumen?

Si construimos un cilindro y un cono (de cartón por ejemplo) cuyas basestengan igual área y sus alturas sean congruentes, llenando el cono conarena y volcando su contenido en el cilindro, podremos comprobar que elcontenido del cono cabe exactamente tres veces en el cilindro. Esto significaque el volumen del cono equivale a la tercera parte del volumen delcilindro.



EJERCICIOS

1. Calcula el área de un cono recto cuya genera-

triz mide 20 cm y cuyo radio basal es de 15 cm.

2. Determina la capacidad de un depósito de

arroz que tiene una forma similar a la que se

muestra en la figura.

3. Calcula la altura de un cono si el área lateral

mide 16 ππ cm2 y el radio basal mide 4 cm.

4. En una planta de salitre almacenan el mineral

formando cerros con forma similar a un cono de

dimensiones: 40 m de radio y 10 m de altura.

Si el salitre acumulado debe ser transportado

en un camión con capacidad de carga de

300 m3, ¿cuántos viajes debería realizar el camión?

5. Calcula el volumen del espacio limitado entre

el cono y el prisma, según las medidas indicadas.

5

El volumen de un cono está dado por la expresión

V = ππ • r2• h

(r: radio de la base del cono; h: altura del cono)

13

PARA ARCHIVAR

20 cm

15 cm

4 cm

4 cm

6 cm

8 cm

12 cm

8 cm 6 cm

U6 Pág. 184 - 207 6/30/08 11:15 PM Página 199



CONTENIDOS

Área y volumen de la esfera

Volumen de la esfera

Uno de los hallazgos más apreciados del matemático griego Arquímedesfue determinar cómo calcular el volumen de la esfera. El procedimiento queutilizó consistió en relacionar el volumen de la esfera con el volumen delcilindro y el del cono.

Empezó considerando un cilindro de radio R, un cono de radio R y altura R

y una semiesfera de radio R. Arquímedes observó que cuando se corta la

semiesfera, el cilindro y el cono por un plano paralelo a las bases a una

distancia h del vértice, las áreas de las secciones producidas en la semiesfera

(A1), en el cilindro (A2) y en el cono (A3) verifican la siguiente relación:

A1 = A2 – A3

Observa esta situación en el siguiente cuadro.

Se observa que A1 = ππR2 – ππh2 = A2 – A3

Considerando una nueva superficie: el cilindro menos el cono, aplicamos el

principio de Cavalieri, ya que los cuerpos tienen la misma área en la base y la

misma altura, y tenemos:

Vsemiesfera = Vcilindro – Vcono

Vsemiesfera = ππ • R2• R – ππR2

• R

Vsemiesfera = ππR3 – ππR3

Vsemiesfera = ππR3 y a partir de esta relación podemos deducir el volumen

de la esfera.

23

13

13

TIPS

La esfera se puede obtener a

partir de la rotación de una

semicircunferencia sobre un eje.

El volumen de la esfera está dado por la expresión:

Vesfera = ππR3 (R: radio de la esfera)43

PARA ARCHIVAR

Sección de la semiesfera (A1) Sección del cilindro (A2) Sección del cono (A3)

Como r2 + h2 = R2

Entonces r2 = R2 – h2

A1 = ππr2 = ππR2 – ππh2

A2 = ππR2 A3 = ππr2

Como el radio y la altura del cono soniguales, al cortar por un plano el cono

se forma un triángulo OPQ, luego:

h = rππh2 = ππr2 = A3

O

h Rr R

RO O

hP Qr

U6 Pág. 184 - 207 6/30/08 11:15 PM Página 200



Área de una esfera

El cálculo del área de una superficie esférica es complejo, pues a diferencia

de los poliedros, del cono y del cilindro, esta no se puede representar en el

plano (no es posible construir una red).

Para calcular el área de la superficie esférica, nos apoyaremos en el volumen

de esta.

El volumen de la esfera se puede aproximar sumando los volúmenes de

muchas pirámides triangulares iguales, cuyas bases (triángulos) están

inscritas o circunscritas en la superficie esférica y cuyos vértices están en el

centro de la esfera, como muestra la siguiente ilustración.

El volumen de la esfera equivale a la suma de todos los volúmenes de las

pirámides (supongamos n pirámides). Se obtiene:

Vesfera = B1 • h + B2 • h + … + Bn • h = (B1 + B2 + … + Bn) • h

Además, B1 + B2 + … + Bn equivale al área total de la esfera, luego:

Vesfera = Aesfera • h = ππR3, despejamos Aesfera, Aesfera = 4ππR243

13

13

13

13

13

AYUDA

B1, B2, …, Bn corresponden al área

de la base de cada pirámide.

El área de la esfera está dada por la expresión:

Aesfera = 4ππR2 (R: radio de la esfera)

PARA ARCHIVAR

EJERCICIOS

1. Calcula el volumen y el área de una esfera de

6 cm de radio.

2. Una esfera, un cilindro y un cono tienen igual

radio. La suma de los volúmenes del cilindro y

del cono ¿puede equivaler al volumen de la

esfera? Justifica.

3. Una esfera está inscrita en

un cubo de 6 cm de arista,

es decir, las caras son

tangentes a la esfera.

Calcula el volumen de

la esfera y el área de la

superficie esférica.

Esta estructura corresponde

a la Geode ubicada en Francia.

U6 Pág. 184 - 207 6/30/08 11:15 PM Página 201



CONTENIDOS

Secciones de una esfera

Al cortar una esfera por uno o más planos secantes, estos generan dife-rentes secciones. A continuación estudiaremos algunos casos particulares.

Ejemplo

Observa que al cortar la esfera con un plano se forman dos secciones, seconsidera como casquete esférico a la menor de ellas.

Para calcular el área de un casquete esférico, necesitamos conocer la medi-da de la altura de este y el radio de la esfera. Con estos datos, el área estádada por la expresión:

Acasquete = 2ππR • h

Ejemplo

Como puedes apreciar, esta sección está relacionada con el ángulo queforman entre sí estas dos semicircunferencias.

Casquete esférico: parte de la superficie esférica formada al cortaruna esfera por un plano secante.

Huso esférico: parte de la superficie de la esfera limitada por dossemicircunferencias máximas que tienen un diámetro en común.

AYUDA

R: radio de la esfera.

r: radio de la circunferencia

formada por la intersección del

plano y la esfera.

AYUDA

Al cortar una superficie esférica

con un plano, las secciones

obtenidas corresponden a cir-

cunferencias. Si el plano pasa

por el centro de la esfera, las

circunferencias se denominan

circunferencias máximas.

h h

R

r

αα

U6 Pág. 184 - 207 6/30/08 11:15 PM Página 202



Para determinar el área de un huso, utilizaremos proporciones. Tenemos:

= (αα: ángulo formado por las semicircunferencias)

Ahuso = 4ππR2

• αα360º

ααAhuso

360º

4ππR2

EJERCICIOS

1. Calcula el área de un huso esférico con radio

R = 10 cm y ángulo 90º.

2. Si la altura de un casquete es h, entonces el

volumen de este casquete está dado por la

fórmula:

V = ππRh2 – ππh3

a. ¿Cuál es el volumen de un casquete de

3 cm de altura en una esfera de 9 cm

de radio?

b. Si el volumen de un casquete es 54,43 cm3

y su altura es de 2 cm, ¿cuál es el radio

aproximado de la esfera?

c. ¿Cuál es el área del casquete en los dos

casos anteriores?

3. Calcula el área de un huso esférico de 40º de

amplitud, en una esfera de 3 cm de radio.

4. Calcula la amplitud de un huso esférico en una

superficie esférica de 6 cm de radio y cuya

superficie es de 32 cm2.

5. ¿Qué amplitud en grados debe tener un huso

esférico en una esfera de radio 12 cm para que

su área sea igual a la de un casquete esférico

de altura 5 cm?

6. El radio de la tierra es de 6.370 km.

a. ¿Cuál es el área de un huso esférico de 5º?

b. ¿Cuál es el área de un huso esférico de 18º?

7. En la figura se observa un foco que ilumina

una esfera de radio 10 cm. Si la altura del

sector iluminado es 2 cm, ¿cuál es el área de

la superficie iluminada de la esfera?

¿Qué sucede con el área si se aleja o acerca

el foco de luz? Comparte con tus compañeros.

13

El área de un casquete esférico está dada por la expresión:

Acasquete = 2ππR • h

El área de un huso esférico está dada por la expresión:

Ahuso =

(R: radio de la esfera; αα: ángulo formado por dos semicircunferencias;h: altura del casquete esférico).

4ππR2• αα

360º

PARA ARCHIVAR

U6 Pág. 184 - 207 29/11/06 17:26 Page 203

PV

PH

LT



CONTENIDOS

Proyecciones en el plano

En la unidad anterior aprendiste que mediante algunas transformacionesgeométricas, tales como una traslación, se podían generar otras figuras. Enestas páginas estudiaremos cómo, por medio de proyecciones, todo cuerpopuede ser representado en el plano.

Ejemplo

El cuerpo de la figura está representado en tres planos por medio deproyecciones ortogonales (perpendiculares a los planos).

A partir de las proyecciones de un sólido se puede obtener un modelo delmismo en tres dimensiones. Este principio es usado en programas computa-cionales para dar la idea de volumen de un cuerpo que se representa en unapantalla (plano).

Veamos el siguiente ejemplo de un sistema diédrico.

PV: plano vertical

PH: plano horizontal

LT: Línea de tierra

EN EQUIPO

Respondan las siguientes pre-

guntas:

¿Qué tipo de cuerpo se genera

mediante la proyección ortogonal

de un polígono?

¿Qué cuerpo se genera mediante

la proyección ortogonal de un

círculo?

Si la representación del cuerpo es solo en dos planos perpendiculares,se habla de un sistema diédrico.

PARA ARCHIVAR

Z

X

Y

C

AYUDA

La línea de tierra representa la

intersección entre el plano verti-

cal y horizontal.

U6 Pág. 184 - 207 6/30/08 11:15 PM Página 204



En la figura anterior, las proyecciones ortogonales originan dos vistas delobjeto: la planta y el alzado, términos muy utilizados por profesionales deldiseño y del arte.

Veamos otros ejemplos:

EJERCICIOS

1. Dibuja en un sistema diédrico los siguientes

cuerpos.

a. b.

2. Dibuja el cuerpo correspondiente

a la siguiente representación

en un sistema diédrico.

3. Supón que un cuadrado tiene uno de sus

vértices en el origen, con uno de sus lados

sobre los ejes de coordenadas y con una arista

de 4 unidades de longitud.

a. ¿Qué cuerpo se genera al trasladar este

cuadrado por un vector (0, 0, 4)?

b. ¿Cuál es el volumen de este cuerpo?

c. ¿Cuál es el área total del cuerpo generado?

d. Si el vector de traslación fuera (0, 0, –8),

¿qué cuerpo se generaría y cuánto sería

su volumen?

e. ¿Cuál debería ser el vector de traslación

que se aplique al cuadrado para generar

un paralelepípedo que tenga un volumen

igual a 1.000 unidades cúbicas?

PV

PVPV

PV

PH

PH PH

PHLT

LT LT

LT

LT

LT

LT

LT

CILINDRO RECTO PRISMA RECTO

PIRÁMIDE PRISMA OBLICUO

TIPS

En relación a las proyecciones

ortogonales en un sistema

diédrico se tiene que:

Alzado: es la vista de frente del

cuerpo.

Planta: es la vista desde arriba.

Además se tiene la vista de lado

llamada perfil, cuando se repre-

sentan 3 planos.

U6 Pág. 184 - 207 29/11/06 17:26 Page 205



CONTENIDOS

Cuerpos generados mediante rotación

Ejemplo

Recordemos algunos cuerpos en revolución anteriormente estudiados:

Tronco de un cono

Un caso particular de cuerpo en revolu-ción, es el tronco de un cono o cono trun-cado. Este se genera mediante la rotaciónde un trapecio rectángulo cuyo eje corres-ponde al lado que forman los ángulosrectos como muestra la siguiente figura:

El área de un cono truncado, corresponde a la suma del área de la base deltronco del cono y el área lateral.

Se denomina cuerpos o sólidos en revolución a aquellos quepueden obtenerse mediante la rotación de una figura plana sobreun eje.

El área de tronco de cono está dada por la fórmula:

AT = ππ�(R + r) • g + R2 + r2�

Por otra parte, el volumen del cono truncado está dado por la expresión:

VTronco de cono = ππ h(r2 + R2 + r • R)

donde, R: radio de la base mayor; r: radio de la base menor; g: generatrizdel cono y h: altura del cono.

13

PARA ARCHIVAR

Cilindro

(generado por la rotaciónde un rectángulo alrededorde uno de sus lados)

Cono

(generado por la rotaciónde un triángulo rectángulorespecto a uno de sus catetos)

Esfera

(generada por la rotaciónde un semicírculo alrededorde su diámetro)

C C M

D D N

M

N

A

BB

A

U6 Pág. 184 - 207 29/11/06 17:26 Page 206



Ejemplo

Calcula el volumen de un tronco de cono cuyos radios basales miden 10 y 6 cm,respectivamente, y su generatriz mide 8 cm.

Para calcular la altura del cuerpo, aplicaremos el teorema de Pitágoras,

h = (utilizamos las medidas del triángulo generado por lageneratriz, la base mayor del cuerpo y la altura)

V = ππ (102 + 62 + 10 • 6) = ππ • 196 �� 1.422 cm3.483

4813

8 4 482 2– =

EJERCICIOS

1. Calcula el área y volumen del siguiente cuerpo.

2. Considera el tronco de cono generado por la

rotación de un trapecio recto cuyas bases

miden 11 y 6 cm y cuya generatriz mide 13 cm.

a. Calcula la altura del tronco de cono.

b. Calcula el área del tronco de cono.

c. Calcula el volumen del tronco de cono

que se genera.

3. Dibuja el cuerpo que se genera al rotar las

siguientes figuras alrededor del eje indicado.

a.

b.

c.

4. Imagina que un rectángulo de lados 4 cm

y 6 cm gira en torno a su lado menor.

a. Dibuja el sólido que se genera.

b. Calcula el volumen del sólido.

c. Compara el volumen del sólido anterior

con el que se genera si la rotación es

respecto al lado mayor.

d. Calcula el área de cada uno de los sólidos.

e. ¿Qué condiciones debe satisfacer

el rectángulo para que el volumen

del sólido generado por la rotación

en torno a uno de sus lados sea igual

al doble del volumen del sólido generado

por una rotación en torno al otro lado?

5. De los cuerpos geométricos estudiados

a lo largo de esta unidad, ¿cuáles se pueden

generar mediante rotaciones?, ¿qué tipo de

rotaciones?

1 cm

8 cm

14 cm

10 cm

8 cm

6 cm

U6 Pág. 184 - 207 19/12/06 17:41 Page 207

EJERCICIOS

1. Dibuja en perspectiva los cuerpos relacionados

con las siguientes tomografías.

a. b. c. d.



CONTENIDOS

Problemas de aplicación I

Cuando en medicina se quiere obtener la imagen de un órgano por dentro,como por ejemplo el cerebro, se emplea una técnica que se llama tomo-grafía. Consiste en tomar una serie de radiografías del órgano que se estáexaminando, que dan imágenes del mismo según cortes paralelos entre sí,como si se hubieran hecho cortes horizontales de muy poco espesor.

Observa las tomografías que se hacen del siguiente cilindro.

En la siguiente figura se muestra una tomografía realizada a un cono.

Las tomografías funcionan de

manera similar a los rayos X,

con la diferencia que la tomo-

grafía guarda las imágenes

captadas en un computador,

mientras que los rayos X son

grabados en una placa radio-

gráfica.

U6 Pág. 208 - 211 29/11/06 17:27 Page 208



EJERCICIOS

2. Imagina que el cubo de la figura puede ser

cortado por un plano

a. ¿Cuál debería ser la posición del plano para

que al cortar se origine un cuadrado?

Dibújalo.

b. ¿Cuál debería ser la posición del plano para

que al cortar se origine un rectángulo?

Dibújalo.

c. ¿Cuántos tipos diferentes de cuadriláteros

se pueden obtener? Dibújalos.

d. De todos los rectángulos que se pueden

obtener, ¿cuál es el de área máxima?

e. ¿Se pueden obtener trapecios?

f. Si se quiere obtener un triángulo

equilátero, ¿cómo debería ser el corte?

Calcula el área del mayor que se pueda

obtener.

g. ¿Hay alguna manera de obtener

una superficie que sea un pentágono?

Explica.

h. Aunque no lo creas, es posible obtener

un hexágono. Descúbrelo.

i. ¿Es posible obtener polígonos de más

de 6 lados? Explica.

3. Imagina que una pirámide de base cuadrada

se corta con un plano secante.

a. ¿Cuál debería ser la posición del plano para

que al cortar se origine un cuadrado?

Dibújalo.

b. ¿Cuál debería ser la posición del plano para

que al cortar se origine un trapecio?

Dibújalo.

c. ¿Qué otros cuadriláteros se pueden obtener

al cortar una pirámide de base cuadrada

con un plano?

4. En la figura se observa una tomografía

realizada a un cubo. Intenta dibujar los cortes

realizados al cubo de manera de obtener estas

tomografías.

5. Explica cómo son las posibles secciones que

produce un plano secante en una esfera.

Dibújalas en un papel.

6. Un plano corta a una superficie esférica dando

origen a dos casquetes esféricos. El menor

tiene 9 cm de altura y 192ππ cm2 de superficie.

Halla el área del otro casquete.

7. Explica cómo son las posibles secciones que

produce un plano secante a un cilindro.

Dibújalas en un papel.

U6 Pág. 208 - 211 29/11/06 17:27 Page 209

EJERCICIOS

1. Resuelve el problema anterior, utilizando la

semejanza entre el volumen de ambas

pirámides.

2. La maqueta de una piscina tiene forma de

prisma rectangular con dimensiones 10, 25 y

1,5 cm. Si el volumen de la piscina real es de

3 millones de litros, calcula:

a. El volumen de la maqueta.

b. Las dimensiones reales de la piscina.

c. El área de la maqueta y de la piscina real.

3. En un río contaminado hay una concentración

de nitrógeno de 0,4 miligramos por litro.

¿Cuántos gramos de nitrógeno contiene un

depósito cúbico de 12 m de arista?

4. A un lápiz grafito con forma de cilindro se le

sacó punta y esta quedó con forma cónica

como muestra la figura. La densidad de la

madera con la que está hecho el lápiz es de

0,7 , mientras que la mina tiene una

densidad de 2,25 . Considerando que

la punta del grafito es un cono con 5 mm de

altura, calcula en gramos la masa del lápiz con

una precisión de milésimos de gramos.

Considera ππ = 3,14.

kgdm3

gcm3



CONTENIDOS

Problemas de aplicación II

La pirámide de Keops es una pirámide cuadrada de arista básica 230 m yaltura 146 m. Se ha construido una maqueta de ella a escala 1 : 5.000 ¿Cuáles el volumen de dicha maqueta?

Resolveremos el problema mediante la utilización de proporcionalidad:Ambas pirámides son semejantes, por lo tanto:

= =

entonces, la altura de la maqueta está dada por

hmaqueta = = 0,0292 m = 2,92 cm

Del mismo modo calculamos la arista de la maqueta,

amaqueta = = 0,046 m = 4,6 cm

(como la pirámide es de base cuadrada el área de la base está dada por (4,6 cm)2

Por lo tanto el volumen de la maqueta es:

Vmaqueta = (4,6)2 • 2,92 �� 20,6 cm313

2305.000

1465.000

15.000

amaquetaapirámide

hmaquetahpirámide

Pirámide de Keops.

AYUDA

Recuerda la fórmula para calcu-

lar el volumen de una pirámide:

V= Ab • h

(Ab: área de la base; h: altura)

13

2 cm 8 mm

2 mm

8 cm

U6 Pág. 208 - 211 6/30/08 11:17 PM Página 210



EJERCICIOS

5. El radio de la Tierra es de 6.370 km y el de la

luna es de 1.738 km.

a. ¿Cuántas veces mayor es el radio de

la Tierra respecto al radio de la luna?

b. ¿Cuántas veces mayor es el volumen de

la Tierra respecto al volumen de la luna?

6. Un arquitecto ha proyectado un edificio de

dimensiones 25, 15 y 20 m. Sabiendo que solo

se aprovecha el 85% del volumen total del

edificio para construir y que la altura de cada

piso es de 2,5 m, calcula:

a. ¿Cuántos departamentos de 75 m2 podrán

construirse?

b. ¿Cuánto dinero obtendrá el arquitecto si

cobra el 3% del total recaudado y el metro

cuadrado de cada piso cuesta $1.200.000 ?

7. La Municipalidad de una ciudad revisó los

planos para construir un nuevo depósito de

agua con forma cilíndrica, y decidió que debía

ser el doble del tamaño planeado original-

mente. Por tanto, ordenó al constructor que

duplicara el diámetro y que no cambiara la

altura original. ¿Qué opinas acerca de esta

decisión? Comenta con tus compañeros(as).

8. Una empresa que vende jugo de fruta en

envases con forma de prisma rectangular

(11 x 6 x 15 cm) decide cambiar dichos envases

por otros en los que disminuye un 10% el área

de la base y aumenta un 10% la altura.

a. El volumen del nuevo envase, ¿es mayor o

menor que el del antiguo?

b. Si mantienen el mismo precio, ¿es positivo

para los consumidores?

9. Una empresa de reciclaje tiene un depósito

lleno de aceite. Mide 25 m de largo y 14 m de

ancho y su profundidad varía, desde los 16 m

en su parte menos profunda a los 20 m de la

zona más profunda.

a. ¿Cuántos metros cuadrados tienen

las paredes del depósito?

b. ¿Cuál es el volumen del depósito?

c. ¿Qué volumen tendría el depósito

si fuera igual de profundo en todas partes?

10. En una habitación de 5 m de largo, 3 m de

ancho y 2 m de altura se requiere almacenar

cajas de 1 m de largo, 60 cm de ancho y

40 cm de altura. ¿Cuántas cajas se pueden

almacenar en esta habitación?

11. ¿Cuántos centímetros de papel se necesitan

para una etiqueta de una lata cilíndrica de

10 cm de altura y base circular de 6 cm de

diámetro? ¿Cuál es el volumen de la lata?

U6 Pág. 208 - 211 29/11/06 17:27 Page 211




Por criterio desemejanza AA

Remplazamos los valoresconocidos

despejemos h

Ejercicio 1

Un piloto vuela a 6.000 m de altura. ¿Cuál es el área del casquete esféricoque puede observar?

Solución

Si realizamos un dibujo de la situación planteada podremos apreciar unaserie de relaciones que nos pueden ayudar a resolver el problema. Para ellonecesitamos conocer la altura h de dicho casquete esférico.

El triángulo PQO es un triángulo rectángulo al igual que el formado por R,r y (R – h). Además ambos triángulos son semejantes. Luego:

=

dR – dh + R2 – Rh = R2

dR = dh + Rh

h =

h = = = �� 6 km

Por otro lado, sabemos que el área de un casquete esférico está dado por 2ππ • R • h, entonces:

2ππ • 6.370 • 6 �� 240.021,6 km2

El área que el piloto puede observar es de 240.021,6 km2.

38.2206.376

6 • 6.3706.376

dRd + R

dRd + R

RR – h

d + RR

d + R = (6 + 6.370) km= 6.376

6.000 m equivale a 6 km

h

rQ

R

O

P

d = 6.000 m

R = 6.370 km

U6 Pág. 212 - 221 29/11/06 17:28 Page 212



Ejercicio 2

Un depósito cilíndrico de 2 m de radio y 5 m de altura está lleno de agua.Se echa dentro una bola de piedra de 3 m de diámetro.

a. ¿Qué cantidad de agua se desbordará?

b. ¿Cuánta agua queda en el depósito?

c. Si se arrojara otra bola, quedando en el depósito 35,3 m3 de agua, ¿cuál

es el volumen de esta bola?

Solución

a. La cantidad de agua que se desbordará será igual

al volumen de la bola. Calculémoslo:

Vbola = ππ R3

Vbola = = 14,13 m3

Luego, se desbordarán 14,13 m3 de agua.

b. Para calcular la cantidad de agua que quedará en el depósito, debemos

calcular su volumen y luego restar a este la cantidad de agua

desbordada.

Vcilindro = ππr2• h

Vcilindro = ππ • 22• 5 �� 62,83 m3

Luego restamos la cantidad de agua que contiene el depósito y la

cantidad desbordada:

62,83 – 14,13 = 48,7 m3

Dentro del depósito quedará 48,7 m3 de agua.

c. Si dentro del depósito quedó 35,3 m3 de agua entonces:

48,7 – x = 35,3

x = 13,4

Luego, el volumen de la bola arrojada es 13,4 m3.

4ππ • (1,5)3

3

43

Volumen de una esfera.

Vesfera = ππ R343

Remplazamos los valoresconocidos.

El volumen del depósitomenos el aguadesbordada será igual

a 35,3 m3.

U6 Pág. 212 - 221 29/11/06 17:28 Page 213



DESAFÍOS

1. (Ensayo PSU, 2004) En la figura, se tiene un

cuarto de círculo de centro O. Se hace rotar la

figura indefinidamente en torno al eje . Si

OT = 3 cm, entonces el volumen del cuerpo

geométrico que se genera es:

A. 9ππ cm3

B. ππ cm3

C. 36ππ cm3

D. 27ππ cm3

E. 18ππ cm3

2. (Facsímil PSU, Demre, 2004) Se han dibujado 3

circunferencias congruentes de radio r y centro

O. ¿En cuál de los siguientes dibujos el

triángulo es rectángulo?

I. III.

II.

A. Solo en II D. II y III

B. I y II E. En todos.

C. I y III

3. (Facsímil PSU, Demre, 2004) Si en un triángulo

equilátero se dibuja una de sus alturas,

entonces se forman dos triángulos:

A. isósceles rectángulos congruentes.

B. acutángulos escalenos congruentes.

C. acutángulos congruentes.

D. escalenos rectángulos congruentes.

E. equiláteros congruentes.

4. (Facsímil PSU, Demre, 2004) En la figura, se

muestra el polígono ABCD. ¿Cuál(es) de las


I. el perímetro del polígono es .

II. cada diagonal del polígono mide 4.

III. el área del polígono es .

A. Solo I D. II y III

B. Solo II E. I, II y III

C. I y II

5. (Facsímil PSU, Demre, 2004) En la figura, se

muestra un hexágono regular, sobre sus lados

se construyen exteriormente triángulos

equiláteros, cuyos lados son de igual medida

que el lado del hexágono. ¿Cuál(es) de las


I. El área total de la nueva figura duplica al

área del hexágono.

II. La suma de las áreas de los triángulos

es igual al área del hexágono.

III. El perímetro de la nueva figura es el doble

del perímetro del hexágono.

A. Solo III

B. I y II

C. I y III

D. II y III

E. I, II y III

6. (Facsímil PSU, Demre, 2004) En la figura, el

área del ∆ABC es 90 cm2 y AB // DE. ¿Cuál es el

área del trapecio ADEB?

A. 36 cm2

B. 40 cm2

C. 50 cm2

D. 54 cm2

E. 60 cm2

4 2

8 2

272

OT

–2

T

O

Or

r

r 45˚

O

A

D E

C

15 cm

10 cm

E

O

2 X

C A

B

Y

2

D –2

B

U6 Pág. 212 - 221 29/11/06 17:28 Page 214



MEDIOS

Las latas de bebida

Uno de los envases más utilizados es el de las latas de bebida en sus diferentes usos: refrescos,

cervezas, conservas, etc. Los hay en muchos tamaños, si nos referimos por ejemplo a la altura y el

radio de cada uno. Para hacer un estudio acabado de este tema te sugerimos que visites un

supermercado y realices las siguientes actividades.

1. Haz una lista de todos los productos diferentes que conozcas que se envasan en lata.

2. Mide 5 diferentes productos envasados en latas y completa:

a. ¿Qué relación encuentras entre las dimensiones de la lata y su capacidad?b. ¿Y entre las dimensiones de las latas de diferentes capacidades?

3. Propón otras 3 medidas de envase para una bebida de 300 cc de capacidad. Calcula la superficiede estos nuevos envases. ¿Qué relación tienen con las dimensiones del envase oficial para latasde 300 cc?

4. A tu juicio, ¿cuáles deberían ser las dimensiones de una lata de bebida de modo que se gastela menor cantidad de material y que almacene los mismos 300 cc? Compara tu respuesta contus compañeros(as) indicando las ventajas y desventajas de tu nuevo envase.

Producto Capacidad Diámetro Altura

U6 Pág. 212 - 221 29/11/06 17:28 Page 215



SÍNTESIS

Mapaconceptual


Conceptos clave:

Área

Volumen

Traslación

Rotación

Prismas

Pirámides

Cuerpos redondos

Resumen 1 Área: medida de la superficie de un cuerpo o figura geométrica. Se

puede distinguir:

Área lateral: medida de las superficies de un cuerpo sin considerar sus

bases.

Área total: medida de toda la superficie de un cuerpo geométrico.

2 Volumen: medida del espacio que ocupa un cuerpo.

3 Principio de Cavalieri: dos cuerpos de la misma altura, bases de la

misma área, y cuyas secciones paralelas a las bases, formadas por un

plano secante tienen igual área, tienen el mismo volumen.

4 Teorema de Euler: en todo cuerpo poliedro convexo se verifica la

siguiente relación:

Nº caras + Nº vértices = Nº aristas + 2

U6 Pág. 212 - 221 6/30/08 11:18 PM Página 216



Prismas

AT = AL + 2Ab

V = Ab • h

(Ab: área basal; h: altura)

Pirámides

AT = AL + Ab

V = Ab • h

(AL: áreas laterales;Ab: área basal; h: altura)

13

Cilindros

AT = 2ππr (h + r)

V = ππ • r2• h

(r: radio de la base; h: altura)

Conos

AT = ππr (g + r)

V = ππ • r2• h

(r: radio de la base;g: generatriz; h: altura)

13

Esfera

AT = 4ππ R2

V = ππ • R3

(R: radio de la esfera)

43

5 Área y volumen de cuerpos geométricos.

6 Proyecciones en el plano: son proyecciones de un cuerpo sobre planos

perpendiculares. Se puede distinguir las siguientes partes del cuerpo:

perfil (vista de lado del cuerpo), planta (vista desde arriba) y alzada

(vista de frente).

7 Cuerpos generados por traslación.

- Prisma: generado por la traslación de un polígono en dirección a un plano

paralelo respecto al plano que lo contiene.

- Cilindro: generado por la traslación de un círculo en dirección a un plano

paralelo respecto al plano que lo contiene.

8 Cuerpos generados por rotación.

- Cilindro: generado por la rotación de un rectángulo sobre uno de sus

lados.

- Cono: generado por la rotación de un triángulo rectángulo sobre uno

de sus catetos.

- Esfera: generado por la rotación de un semicírculo sobre su diámetro.

U6 Pág. 212 - 221 6/30/08 11:18 PM Página 217



EVALUACIÓN

1. Si la medida de cada una de las aristas de un

cubo aumenta en un 20%, entonces su

volumen aumenta en:

A. 10%

B. 21%

C. 30%

D. 60%

E. 72,8%

2. Una pirámide cuya base es un cuadrado de

lado 2a unidades tiene el mismo volumen

que un prisma cuya base es un cuadrado de

lado a. ¿En qué razón están las alturas de la

pirámide y del prisma?

A. 1 : 4

B. 3 : 4

C. 4 : 3

D. a : 3

E. 3 : 2

3. La medida de la altura de un cono recto es

igual al triple del radio basal. Su volumen es:

A. ππ r3

B. ππr3

C. 3ππ r3

D. 9ππ r3

E. Ninguna

de las anteriores.

4. Un cubo de arista a está inscrito en una

esfera de radio R. Entonces se cumple:

A. a = 2R

B. 2R =

C. 2R =

D. R =

E. R =

5. En la figura se representa la mitad de un

anillo circular. El volumen generado al girar

este anillo en torno al eje indicado es:

A. ππ cm3

B. 128ππ cm3

C. 32ππ cm3

D. ππ cm3

E. 208ππ cm3

6. En la imagen está representado un cuerpo

generado por una revolución de alguna

figura plana. Indica la(s) posible(s) figura(s)

generadora(s).

A. Solo I C. Solo III E. I y III


7. Si el radio basal de un cono recto aumenta

en un 20% y su altura disminuye en un 10%,

entonces su volumen aumenta en:

A. 129,6%

B. 29,6%

C. 2,96%

D. 0,296%

E. Falta información.

2243

163

a 3

a 2

a 3

a 2

13

I II III

2aa

r

2 2

2a

U6 Pág. 212 - 221 29/11/06 17:28 Page 218



8. ¿Cuál es la diferencia, en relación a la

superficie, entre construir un tubo de 15 cm

de alto y 6 cm de diámetro y construirlo sin

tapas?

A. 18ππ cm2

B. 36ππ cm2

C. 72ππ cm2

D. 90ππ cm2

E. 108ππ cm2

9. Si una esfera de radio r aumenta su área a

36r cm2, entonces su radio aumentó:

A. al cuádruple.

B. 18 veces.

C. al triple.

D. en 8 veces.

E. al doble.

10. El volumen de la pirámide de base cuadrada

es 96 cm3. ¿Cuál es el volumen de la

pirámide superior si su altura es la mitad de

la pirámide mayor?

A. 96 cm3

B. 64 cm3

C. 48 cm3

D. 36 cm3

E. 12 cm3

11. Las dimensiones de una boya cilíndrica son

r = 2 m y h = 2 m. ¿Cuál es el volumen de la

boya?

A. 2ππ m3

B. 4ππ m3

C. 6ππ m3

D. 8ππ m3

E. 16ππ m3

12. Si el área total de un tetraedro es cm2,

entonces la arista mide:

A. 5 cm

B. 6,25 cm

C. 5 cm

D. 25 cm


13. El volumen de un tronco de cono cuyas

medidas son r = 6 cm; R = 10 cm; h = 4,8 cm

es:

A. 900 cm3

B. 908,5 cm3

C. 984,7 cm3

D. 890 cm3


14. Un poliedro convexo tiene 9 caras y

15 aristas. Su número de vértices es:

A. 12 C. 8 E. 15

B. 6 D. 5

15. En una esfera de radio r, si S es el valor del

área y V el del volumen, se cumple que:

A. S > V

B. V > S

C. S = V si r = 3

D. S = V


16. ¿Cuál es el volumen comprendido entre el

cubo y el cono de la figura?

A. 738 cm3

B. 821 cm3

C. 785 cm3

D. 684 cm3


3

3

25 3

6 cm

r

10 cm

10 cm10 cm

U6 Pág. 212 - 221 29/11/06 17:28 Page 219




1. De un cubo sólido de arista a unidades se

extrajo un cubo de arista b unidades tal

como se muestra en la figura. Calcula el

volumen del cuerpo resultante, teniendo en

cuenta los siguientes datos:

(a – b)3 = 27

3a2b = 150

3ab2 = 60

2. Calcula el área total de un prisma recto de

base hexagonal regular, cuya arista basal

mide 4 cm y la arista lateral es de 16 cm.

3. El área total de un paralelepípedo

rectangular es igual a la de un cubo. Si las

medidas de tres aristas que concurren a un

vértice del paralelepípedo miden 3, 5 y 7 cm

respectivamente, ¿cuánto mide la diagonal

del cubo?

4. Calcula la medida de la superficie total de

una pirámide recta de base cuadrada, cuya

arista de la región basal mide 6 cm y su

altura 5 cm.

5. En una esfera con radio de 15 cm se inscribe

un cilindro circular recto con un diámetro

igual al radio de la esfera. Calcula el área

lateral de este cilindro.

6. ¿En qué razón están el área de una esfera y

el área total de un cilindro circular recto,

circunscrito a ella?

7. Supón que se dibuja un dodecaedro en el

interior de una esfera de radio 10 cm y se

coloca un foco de luz en el centro de la

esfera. Al dividir cada pentágono en

5 triángulos equiláteros, el foco proyecta

estos triángulos en la esfera formando

triángulos esféricos. ¿Cuál es el área

de cada uno de estos triángulos?

4 cm

r

r

hr h = 2r

6 cm

16 cm

U6 Pág. 212 - 221 29/11/06 17:28 Page 220



Eje 1

Eje 2

Eje 3

8. Se tiene un cubo cuya arista es de 4 cm y

está constituido por pequeños cubos

independientes con aristas de 1 cm. Se desea

construir con ellos un paralelepípedo.

¿Qué dimensiones tiene el paralelepípedo

de menor área que se puede formar?

¿Y el de mayor área?

9. ¿Cuál es el área lateral de un cono recto

cuya región basal tiene un área de 25ππ cm2

y su altura mide 12 cm?

h = 12 cm

10. Un triángulo isósceles de 16 cm de base y

13 cm de altura, es equivalente en superficie

a un rectángulo de 12 cm de base. Halla las

áreas laterales de los cuerpos que se

generan al girar cada figura en torno a su

eje de simetría.

a. b.

11. La razón de semejanza entre dos pirámides

es 5. Halla el volumen de la menor, sabiendo

que el de la mayor es igual al volumen de

un cubo de 15 cm de arista.

12. Dada la región trapecial de la figura:

a. Representa cada uno de los cuerpos de

revolución generados por su rotación

respecto de cada uno de los ejes

indicados.

b. Calcula el volumen de cada uno de los

cuerpos generados, considerando que los

lados paralelos miden 12 y 8 cm y su

altura 5 cm.

13. Las alturas de dos conos de igual base miden

14 y 6 cm respectivamente. Halla el volumen

del cono mayor sabiendo que el del menor

es de 81 cm3.

14. Un cono de revolución de 6 cm de radio y

8 cm de altura es cortado por un plano

paralelo a la base en el punto medio de su

altura. Determina el área lateral del tronco

de cono resultante.

h

U6 Pág. 212 - 221 29/11/06 17:28 Page 221


1. En la celebración de un matrimonio sirven

un consomé que se enfría siguiendo la ley

de Newton, con lo que su temperatura (°F)

está dada por la función:

f(t) = 70 + 140e–0,04t

¿Cuál era la temperatura inicial del consomé?

A. 70 °F D. 150 °F

B. 100 °F E. 210 °F

C. 140 °F

2. Si dentro de t años la población de cierto

país en África estará dada por la función:

N(t) = + e–0,05t (millones).

¿Cuál es la población actual aproximadamente?

A. 3 millones

B. 4 millones

C. millones

D. 16 millones

E. No se puede saber.

3. Patricio invierte $793.000 en un banco, a

una tasa de interés anual del 9%. Después

de 2 años y medio, ¿cuánto habrá ganado,

si se considera un interés simple?

A. $17.270 D. $810.270

B. $190.647 E. $983.647

C. $794.710

4. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones

no es válida para la ecuación ?

I) Tiene más de una solución.II) Tiene exactamente dos soluciones.III) Una de sus soluciones no es real.

A. Solo I D. I y II


C. Solo III

5. Dada la gráfica de la función y = � �x, se

han estimado ciertas potencias.

¿Cuál de las siguientes expresiones es falsa?

A. � �0,8

= 0,276

B. � �–1

= 5

C. = 1,027

D. � � = 0,089


6. Dada la gráfica de la función y = e– x

El gráfico de y–1 es:

A. D.

B. E.

C.

13

321

5

15

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

15

15

15

2

28

2

2

x

x=

163

163


Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Eval Pág. 222-225 6/30/08 11:19 PM Página 222



7. De las siguientes funciones exponenciales (x > 0);

I) y = e6x

II) y = 5x

III) y = � �x

la(s) que presenta(n) decrecimiento exponen-

cial es(son):

A. Solo II D. II y III

B. Solo III E. Todas las anteriores.

C. I y III

8. La representación del plano cartesiano,

corresponde a los siguientes vectores:

A. = (–5, 3); = (–1, –2); = (–4, 0)

B. = (–5, 3); = (–1, –2); = (1, 2)

C. = (3, –5); = (–2, –1); = (1, 2)

D. = (2, 1); = (–1, –2); = (2, 1)

E. Ninguno de los anteriores.

9. En una semicircunferencia se dibujan los

vectores y . Según esto, la

alternativa falsa es:

A. D.

B. E.

C.

10. En la figura, el pentágono regular ABCDE está

inscrito en una circunferencia. ¿Cuál(es) de

las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I)

II)

III)

A. Solo II D. I, II y III

B. I y II E. Ninguna de

C. I y III las anteriores.

11. La ecuación vectorial de la recta que pasa

por los puntos C(1, –2) y D(3, –1) es:

A. = t(0, 1) + (1, 0)

B. = t(2, 1) + (1, –2)

C. = t(1, –2) + (3, –1)

D. = t(–3, 1) + (1, –2)


12. La ecuación vectorial de la recta 3x – y + 4 = 0

es:

A. (x, y) = t�3, � + �–3, �

B. (x, y) = t� , 1� + (1, 3)

C. (x, y) = t� , 1� + (1, 1)

D. (x, y) = t� , 1� + �– , 3�

E. (x, y) = t� , 1� + (3, 4)13

13

13

13

13

13

13

�x

�x

�x

�x

EF AF��

=

EF FD DE��

+ =

EF CB��

=

� �s t=

ST RT t� ��

+ = 2RT t s� ��

= −

OR OS o� ��

+ =ST s t� ��

= +

OT t� ��

=OR s� ��

=

�w

�v

�u

�w

�v

�u

�w

�v

�u

�w

�v

�u

38

S RO

T

s→

t→

A

B

F

E

CD

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2

3

2

1

–1

–2

�u �

w

�v

Eval Pág. 222-225 29/11/06 17:29 Page 223


13. La ecuación analítica y la ecuación vectorial

de la recta que pasa por el punto A(–2, 1) y

es paralela a la recta y = 2x + 3 es:

A. y = 2x + 5t ; L = t� , 1� + �– , 0�B. y = 2x – 1 ; L = t(1, 2) + (–5, 0)

C. y = 2x + 5 ; L = t(1, 2) + (–5, 0)

D. y = 2x – 1 ; L = t� , 1� + �– , 0�

E. y = 2x + 5 ; L = t� , 1� + �– , 0�14. ¿Cuál de las siguientes igualdades es

incorrecta, respecto al producto escalar

entre dos vectores?

A. (2, –1) • (1, 1) = 1

B. (3, 0) • (1, 2) = 3

C. (5, –2) • (1, –1) = 7

D. (0, 2) • (5, 0) = 0


15. Sea = (3, –2) y = (7, 4), entonces la

expresión equivale a:

A. 13

B. (1, –17)

C. (3, –17)

D. (1, –18)

E. (–17,3)

16. Considerando las siguientes igualdades:

2(1, x) + 3(y, 2) = (8, –2)

Los valores de x e y que verifican la

igualdad, son, respectivamente:

A. –2 y –4 D. –6 y –1

B. 6 y 1 E. –4 y 2

C. –2 y 4

17. En un punto, en equilibrio, de un plano hay

tres fuerzas , y que actúan sobre él.

¿Cuál representación corresponde a ?

A.

B.

C.

D.

E.

18. Sean = (–3, 1), = �– , 0�, y

= (2, –5).

¿Qué vectores tienen igual módulo?

A. y D. y

B. y E. Ninguna de

C. y las anteriores.

19. Un tren se mueve con velocidad a con

respecto a la tierra. Desde la ventanilla de

un vagón cae un objeto con una velocidad

respecto al tren, entonces, la velocidad del

objeto respecto a la tierra está representada

por el vector.

A.

B.

C.

D.

E. Un vector diferente a los anteriores.

20. ¿Cuántos vértices tendrá un poliedro con 8

caras y 18 aristas?

A. 12 B. 18 C. 20 D. 24 E. 26

S�

R��

R��

Q��

S�

P�

Q��

P�

S�

R��

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

52

1,32

Q��

P�

C��

C��

B�

A��

5 2� �u v−

�v

�u

52

12

52

12

52

12 C

��

C��

C��

C��

C��

B�

A��


V

t

desplazamiento

Eval Pág. 222-225 29/11/06 17:29 Page 224


21. El volumen de un hexaedro regular es

64 cm3. Se afirma que:

I) la suma de todas sus aristas es 48 cm.

II) El área de una cara es numéricamente

igual al perímetro de ella.

III) Su diagonal mide .

De estas afirmaciones, es(son) verdadera(s):

A. Solo I

B. I y II

C. I y III

D. II y III

E. I, II y III

22. El volumen de un cilindro es V = ππr2h.

Si un cuerpo cilíndrico tiene un volumen de

3.080 cm3 y una altura de 20 cm, entonces el

radio de su base, considerando el valor para

ππ = , es:

A. 1,4 mm

B. 0,014 m

C. 7 cm

D. 70 cm

E. 0,007 km

23. La generatriz de un cono recto mide 13 cm y

la altura 12 cm. Para que su volumen sea

100ππ cm3, su radio basal debe medir:

A. cm D. 5 cm

B. cm E. Ninguna de

las anteriores.

C. 3 cm

24. La superficie de una esfera es 100ππ cm2.

Entonces su volumen mide:

A. 72ππ cm3

B. 144ππ cm3

C. 188ππ cm3

D. 288ππ cm3


25. La arista de un cubo es a. Si los cuatro

vértices de la cara superior se unen con el

centro de la cara inferior, se obtiene una

especie de embudo cuyo volumen es:

A. C. E.

B. D.

26. La tercera parte del volumen de un cubo es

9 m3. Luego, su arista mide:

A. 3 m C. 9 m E. 27 m

B. 6 m D. 18 m

27. A un cilindro de altura igual al diámetro de

la base de radio a, se le circunscribe una

esfera. El volumen de la esfera es:

A. C. E. 4ππ a3

B. ππ a3 D.

28. Las diagonales de un rombo miden 2m y 2n.

Entonces, la razón de los volúmenes de los

cuerpos que se generan al girar

sucesivamente en torno a cada diagonal es:

A. C. E.

B. D. m + nm – n

m – nn

3m4n

mn

m + nn

2ππ a3

322

3

824ππ a3

328ππ a3

3

3a3

8a3

3

2a3

3a2

2a3

4

53

35

227

4 3


Eval Pág. 222-225 29/11/06 17:29 Page 225

226 Solucionario

1. a. b. c. 1

2.

3. a. 2, 3, ..., 9 b. –2, –1, 0, 1, 2 c. Ninguno. d. –1, 0, 1, 2, …, 9, 10

5. 6.

1. a. iii

c. Cualitativa.

1. a.

1. a. 60 2.

7

8

4

5Página 10

Página 11

Página 13

Página 14

Página 15

Porcentaje Fracción Fracción irreductible Expresión decimal

75% 0,75

62% 0,62

2% 0,02

33,333...% 0,3–

90% 0,99

10

90

100

1

3

300

900

1

50

2

100

31

50

62

100

3

4

75

100

LugarFrecuencia

F. Absoluta F. Relativa %

Campo 4 30,7

Mar 6 46,2

Montaña 3 23,1

Total 13 100

Intervalo Marca de clase

1 - 3 5

4 - 6 7

7 - 9 5

SOLUCIONARIO Unidad 1

Can

tid

ad d

e p

erso

nas

Edad

Grupos de edad Frecuencia acumulada

0 – 14 3.929.468

15 – 24 6.354.608

25 – 39 9.640.619

40 – 49 11.056.208

50 – 64 12.471.357

65 y más 13.348.401

P226 - 227 6/30/08 11:20 PM Página 226

227Solucionario

1. a. Natalidad Mortalidad

8 1 7

9 9 8 8 7 3 1 2 2 3 6

5 3 3 3

7 4 0 2 3

5 1 6

6 3 3

7

8

9

10 9

1. b. Entre las semanas 16 y 17. c. 2005 (semana 21)

2. a. Massú y González.

3. a. I, III, IV, VII, VIII, IX, X

b. Matemática: IX; Lenguaje: IX

c. Lenguaje: XI; Matemática: XI, XII, RM

d. Variable cuantitativa.

4. c. Mayor: Mulchén y Angol.

Menor: Nacimiento y Cañete.

2. b. Fútbol.

4. a. 0,0307 b. 99

0,0538

0,0923

0,1231

0,2692

0,2846

0,0846

0,0615

5. c. Casa: Muy Seguro 213; Muy Inseguro 189; No responde 4.

Trabajo: Muy Seguro 165; Muy inseguro 121; No responde 117.

Lugares públicos: Muy seguro 165; Muy inseguro 221; No responde 20.

Calle: Muy Seguro 52; Muy inseguro 346; No responde 4.

6. b. África: 73%; Asia: 62%; Europa: 24%; América del Norte: 46%; América Latina: 68%; Ex URSS: 39%;

Oceanía: 59%

1. B 2. D 3. E 5. E

1. E 2. D 3. D 4. D 5. C 6. D

7. E 8. A 9. B 10. C 11. E


Página 16

Página 19

Página 20

Página 22

Página 23

Página 26

Página 30

Página 31

P226 - 227 29/11/06 17:40 Page 227

228 Solucionario

1. Solo b

2. a. Sound: 0,1 ; Hip-hop: 0,14 ; Romántica: 0,24 ; Rock: 0,32 ; Reagge: 0,2

b.

4. a. 13,3% b. 18%

5.

6.


Página 32

Página 33

Intervalo (mm) fi frFrecuencia

relativa porcentual

100 – 109 4 0,047 4,7%

110 – 119 17 0,2 20%

120 – 129 29 0,341 34,1%

130 – 139 18 0,211 21,1%

140 – 149 10 0,117 11,7%

150 – 159 5 0,059 5,9%

160 – 169 2 0,024 2,4%

P228 - 229 29/11/06 17:40 Page 228

229Solucionario

7.

8. a. Circular.

c.

9. 4 52 80 89 90 96

5 60 60 70 70 90

6 60 60 66 68 76 80 80 83

7 12 14 20 24 25 46 50 60 75 80 94 95

8 01 02 10 26 30 30 80 86 90 95

10. a. Nivel socioeconómico bajo.

b. Nivel socioeconómico alto.


Intervalo Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

452 – 497 5 0,1

498 – 543 0 0

544 – 599 5 0,1

600 – 645 0 0

646 – 691 9 0,18

692 – 737 8 0,16

738 – 783 7 0,14

784 – 829 9 0,18

830 – 875 3 0,06

876 – 921 4 0,08

Grupo sanguíneo

Grupo sanguíneo alumnos

Frec

uen

cia

abso

luta

P228 - 229 29/11/06 17:40 Page 229

230 Solucionario


1. a. x = 60 b. x = 300 c. x = 2,5 d. x = 4 e. x = 0,392 f. x = 12 y x = –12

2. a. 45,7 b. 99,5 c. 1.233,54 d. 2.620,80 e. 55.800 f. 56.596,2

3. a. 33% b. 40% c. 75% d. 6% e. 1% f. 73%

4.

5. a. 5,333 b. –1,8 c. 3,888 d. –0,558 e. 0 f. –6.404,889 g. 0,094

h. –408,89 i. 6.417,79

6. a. Mujeres: 1,76 metros y 1,48 metros. Hombres: 1,88 metros y 1,61 metros.

b. Mujeres Hombres

c.

Página 36

Página 37

Nombre Sueldo Fonasa o Isapre AFP Sueldo líquido(imponible) (7% del imponible) (13% del imponible)

Daniel $ 165.249 11.567 21.482 $ 132.199

Carolina $ 237.860 16.650 30.922 $ 190.288

Andrea $ 551.925 38.635 71.750 $ 441.540

Sebastián $ 618.004 43.260 80.341 $ 494.403

Jorge $ 1.045.776 73.204 135.951 $ 836.621

Frec

uen

cia

Frec

uen

cia

Estatura

Dispersión de estaturas

Estatura

1,48 - 1,53 1,60 - 1,651,54 - 1,59

1,72 - 1,781,66 - 1,71

1,84 - 1,891,79 - 1,83 : mujeres

: hombres

P230 - 231 6/30/08 11:21 PM Página 230

231Solucionario


1. x = 5,8

2. No.

3. No.

4. 2,007

1. a. Primer trimestre: 3,8; Segundo trimestre: 3,8

c. Primer trimestre: 0,9067; Segundo trimestre: 0,52

e. Primer trimestre: 1,113; Segundo trimestre: 0,777

f. Las notas del segundo trimestre son más homogéneas.

2. b. Desviación media = 0,168

3. a. 5,098 b. Entre 9,722 y 19,918 aproximadamente.

4. a. Curso B.

1. a. Positiva. b. Nula. c. Positiva.

1. a. 590 b. 661 d. 35%

2. a. 61,2 b. 83,75 c. 71,25 d. 81,875

3. Significa que está dentro del 10% de las calificaciones más altas.

1. a. 526,87

1. a. 400 salmones.

1. b. No homogénea. 2. Aproximadamente 296. 3. a. Vivienda.

1. b

2. a. 205 b. 220 c. 0,5

1. 2 alumnos.

2. a. 0,1587 b. 0,0228

3. a. 0,0228 b. 0,3436 c. 0,9981

1. A 2. B 3. B 4. D 5. E

1. E 2. D 3. E 4. D 5. E 6. A

7. C 8. B 9. D 10. D 11. C 12. A 13. A

Página 39

Página 44

Página 45

Página 48

Página 49

Página 52

Página 55

Página 56

Página 57

Página 60

Página 64

Página 65

P230 - 231 7/24/09 4:42 PM Página 231

232 Solucionario


1. Media: 20,9

Desviación media: 1,012

Desviación estándar: 1,269

2. 30,74 minutos.

3. Estatura: 1,70 metros; masa: 66,8 kilogramos.

4. a. Media: 6,5; moda: 0; mediana: 5,5; rango: 36; desviación estándar: 7,09

b. 15, 16, 18, 22, 36

5. a. Positiva. b. Positiva. c. Nula. d. Positiva. e. Positiva.

f. Nula. g. Nula. h. Negativa.

6. a. 188 kilogramos. b. $ 488

7. a. 3,7%

b. P10: 358,44; P30: 444,23; P40: 473,06; P60: 527,67; P70: 556,33; P80: 589,26; P90: 637,35

c. Mediana: 501,26; desviación estándar: 109,56

d. Q1: 428,68; Q2: 501,26; Q3: 572,79

e. D2: 413,13; D5: 501,26

f. P88

8. a. [2,854; 3,146] b. [2,905; 3,095]

9. b. Al alumno del curso D.

c. Curso C: 4,4 debajo de la media y 5,6 sobre la media.

Curso D: 4,6 debajo de la media y 5,6 sobre la media.

10. a. 135 colmenas.

b. 538 colmenas.

c. Si el error disminuye a la mitad, el tamaño de la muestra aumenta cuatro veces.

Página 66

Página 67

Edad Frecuencia

19 1

20 3

21 2

22 2

23 1

P232 - 233 29/11/06 17:38 Page 232

233Solucionario


1. a. 2 b. 10–3 c. –4 d. 3 e. , – f. 77

g. 6 h. 2 i. 3 j. 2

2. a. d. g.

b. e. h.

c. f. i.

3. a. � – �–1, 1� e. x �� a i. � – �–5�b. � f. � j. x > b2

c. x > 1 g. �

d. � – �–1� h. � – �–1�

4. a. C → ]–∞∞, –5[ b. Siempre decreciente en el intervalo ]–4, +∞∞[ c. C → ]10, +∞∞[

D → ]–5, +∞∞[ D → ]–∞∞, 10[

5.

43

43

Página 70

Página 71

f(x) = –

f(x) = x2 – 10

f(x) = |x – 5|

f(x) = 1 – 4x2

f x x( ) = + 7

f x x( ) = −11

1x – 3

1x

f < 0 f = 0 f > 0

]–∞, 0[ U ]3, +∞[ ]0, 3[

�– , � � ]–∞, – [ ∪∪ ] , +∞[

11 ]–∞, 11[

5 ]–∞, 5[ ∪∪ ]5, +∞[

�–∞, – � U � , +∞� � �– , �–7 ]–7, +∞[

12

12

12

12

12

10101010 10

para ningúnvalor de x

para ningún valor de x



P232 - 233 29/11/06 17:38 Page 233

234 Solucionario


1. a. f(1) = 1; f(2) = 1; f(3) = 2; f(4) = 3; f(5) = 5; f(6) = 8 (Serie de Fibonacci)

b. Dom f: � rec f: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... (Serie de Fibonacci)

2. a. Dom: � – �1� c. Dom: �

rec: � – �1� rec: �+0

b. Dom: �–∞∞, 0� ∪∪ �0, 1� ∪∪ �1, +∞∞� d. Dom: �–∞∞, –1� ∪∪ �1, +∞∞�rec: � – �0� rec: �+ – �1�

3.

1. a. Dom: � – �1� b. Rec: � – �3�

2. a. f–1(x) = b. f–1(x) = (x – 3)2 + 4 c. f–1(x) = x – d. f–1(x) = – 1

3. a. Sí b. No c. No d. No

1. a. 2ππ b. ππ

2. a. Dom: � – � +– kππ�, k ∈ �0 b. ππ

3. a. Sí, 2ππ b. Sí, 2ππ c. Sí, ππ d. No

1. a. Sí. b. Sí. c. No. d. No. e. Sí.

2. a. Dom: � ; rec: [0, 1]; P = ππ d. Dom: �; rec: x �� 40,75

b. Dom: � – �2kππ� k ∈ �; rec: �–∞∞, –2� ∪∪ �2, +∞∞�; P = ππ e. Dom: � – �0, 1�

c. Dom: � (4k – 1); (4k + 1)�, k ∈ �; rec: [0, 1] ; P = ππ rec: �–∞∞, 0� ∪∪ �0, +∞∞�

1. c. Para todas en �. d. Rec x4: �+0

rec x5: �

rec x6: �+0

rec x7: �

2. 1 dm3

3. a. ∀ x ≠ 0 b. ∀ x > 0

ππ

2

ππ

2

ππ

2

1

x22

10x + 5

3

Página 72

Página 73

Página 74

Página 75

Página 76

Y

X

3

1

1 2dom: �

rec: x �� 1

2

P234 - 235 29/11/06 17:38 Page 234

235Solucionario


6. a. Dom: � b. Dom: �

rec: �+0 rec: �

f(x) > 0 para todo x ∈ � f(x) > 0 para x > 0

1. a. b. 7 c. 9 d. 3 e. f. –2 g. 2 h. 4 i. j.

2. a. x = 64 b. x = 0,027 c. x = d. x =

3. a. 9 b. 3 c. 14 d. 22

4. a. 2 logp a + 4 logp b + 5 logp c – 2 logp d d. �logb 2 + logb (5x – 2)� + 16 logb x

c. logb (x – 11) + logb (x + 2)

5. a. 0,602 b. 1,086 c. 1,129 d. 1,338

7. a. logb 72 d. logb g. logp

b. logb e. logm h. logp

c. logb f. logb (x4 – 1)

8. a. 3A + 3B + 2C b. A + 2B + C c. (A + B) d. –(A + B + C)

2. a. 0,7 b. 1 c. 1,2 c. 0,4

1. a. 2 b. 4 c. 5 d. –3 e. –6 f. 8 g. 22 h. 70

2. a. V b. F c. F d. F e. F f. V

32

(x + 3)

(x – 2)4a6

163

109

64169

25

43

34

52

Página 79

Página 83

Página 84

Página 86

b. 3 logm (a – b) + 4 logm c – logm (d + f) e. 2 �logb (x + y) + logb (x2 – xy + y2)�1

5

a e

c d34

23

23

34

a cb

23

35

a c

b2 d94

13

(x + y + z)(x – y – z)4

14

c

P234 - 235 7/24/09 3:32 PM Página 235

236 Solucionario


1. a. Vertical b. Horizontal c. Horizontal d. Vertical

2. b. Dom: x > 1 c. i. Creciente. ii. Creciente. iii. Creciente.

dom: x > 2

dom: x > 3

3. b. i. (1, 0) c. i. x > 0 ii. x > 0 iii. x > 4

ii. (1, 0)

iii. (5, 0)

1. a. 100 b. 2 c. 2 2. a. 126 b. 6970 3. b. Mayor que 43 trillones.

1. a. 0 b. 0,693 c. 1,609 d. –0,693 e. –1,609

2. a. 0,6931471... b. 0,6930041... d. 1,04 • 10–8

3. a. 0,583 < ln 2 < 0,83 b. Aumenta.

1. a. 7 b. b. 10.000 b. 10

h. 5 i. 27 j. k. No tiene solución real. l. 100 m. 5

u. 6 v. 1 w. 10 x.

1. a. 10–1 y 10–14 b. i. 4,2 ii. 7,4 iii. 2,2 c. Huevo → 1,62 • 10–8

Manzana → 10–3

Agua pura → 10–7

2. a. 4,0317... b. t(M) = c. En 23 años aproximadamente.

3. a. 1020,8 ; 1022,3 d. E = 1026,05

4. a. Aumentó en 10 log 2 c. D = 150 db d. No, aumenta en 10 log 2.

5 12+

13

–11 616±

16

Página 87

Página 88

Página 89

Página 91

Página 92

Página 93log

Mm

log 1,03

2. a. 7 b. 104 c. 2.000 d. e. f. –10 ± g. 5,1316547

n. 2 ñ. 6 o. 2 p. 5 q. r. 3,8 s. 1,5 ; 3 t. –16

11 26512

+

P236 - 237 29/11/06 17:37 Page 236

237Solucionario


4. e.

1. C 2. E 3. E 4. E 5. E 6. E

1. C 2. B 3. C 4. B 5. A 6. A 7. E 8. B

9. B 10. E 11. A 12. A 13. C 14. C 15. B 16. B 17. A 18. C

1. a. b. c.

2. a. = f–1(x) b. f –1(x) = 25x2 + 5 c. f –1(x) = � y – �2d. f –1(x) = 17 – 2x

3. 4. a. rec: [–2, 2] d. rec: [1, 3]

P = 2ππ P = 2ππ

b. rec: [–2, 2] e. rec: [–2, 0]

P = 2ππ P = 2ππ

c. rec: �– , � f. rec: �– , �P = 2ππ P = 2ππ

5. a. Sí, P �� 1,25 b. dom: �+0 ; rec: [6, 10]

7. a. a < 0, n par. b. a > 0, n par. c. a > 0, n par. d. a < 0, n par.

8. a. log b. log = log 1 = 0 c. log 10. a. dom: �+ b. dom: x > 0

11. 45 13. a. a = –4; a = 2 b. y = log (x + 4) 14. a. Falso b. Verdadero c. Falso d. Verdadero

15. a. –1,404806 b. –0,301029 17. a y b ∈ �+ – �1� 18. a = 19. –2

21. a. x = b. x = 4 c. x = 4 d. x = 3 e. e f. 100 y g. x = 4210

10113

1b

ab

ab10

a b

ab

13 13

1013

12

12

12

12

17

27

14

x – 47

Página 93

Página 96

Página 100

Página 101

Página 102

Página 103

Fuente Intensidad Decibeles

Susurro 10–10 20

Tráfico callejero 10–5 70

Posible daño auditivo 10–3,5 85

Cercano a un trueno 1 120

Umbral del dolor 10 130

Perforación instantánea 104 160del tímpano

Concierto de rock 101 130

P236 - 237 7/28/09 12:48 PM Página 237

238 Solucionario


1. a. x = b. x = –1 c. x = d. x = 2 e. x = 12 y x = –7 f. x = 2 g. x = 0

h. x = –3 i. x = 0 j. x = –4 k. x = 3 l. x = –

2. $ 362.814 3. t = 4,88% 4. Ci: $1.953.418; Interés: 1,5 %; CF: $ 209.136

5. a. 1,845 b. –0,658 c. –0,067 d. 0,7385 e. –0,222 f. 2,865 g. 3,38

h. 0,435 i. –2,2536

6. a. Creciente: ]0, +��[ b. Creciente: ]–��, +��[ c. Creciente: ]1,7, +��[

Decreciente: ]–��, 0[ Decreciente: ]–��, 1,7[

d. Decreciente: ]–��, +��[ e. Creciente: ]1, +��[

7. a. y = (x – 1)2 b. y = + 2 c. y = – d. y = – 3 e. y = –x2 – 1 f. y = (x + 4)2 – 3

D: �–∞∞, 1� C: �2, +∞∞� D: �–1, +∞∞� C: �0, +∞∞� C: �–∞∞, 0� D: �–∞∞, –4�C: �1, +∞∞� D: �0, +∞∞� C: �–4, +∞∞�

8. a. 10; 100; 1010 b. 1 millón de bacterias, 10.000 bacterias. c. 6 horas.

1. a. Todos los reales, en todos los casos.

b. i) (0,1) ii) (0,2) iii) (0,1) iv) (0,4)

c. Sí, las mantendrían.

2. a. 1,732 b. 1,442 c. 4,729 d. 6,705

xx + 1x – 2

12

± 10

32

Página 110

Página 111

Página 112

± 14

2

P238 - 239 6/30/08 11:24 PM Página 238

239Solucionario

1. a. b. c. d.

e. f. g. h.

i. j. k. l.

2. a. b. c. d.

e. f. g. h.

i. j.

3. a. Dom: �; rec: �+; intersección con eje Y: (0, 1)

b. Dom: �; rec: �+; intersección eje Y: (0, 1)

c. Dom: �; rec: [1, +��[ ; intersección eje Y: (0, 1)

d. Dom: �; rec: [1, +��[ ; intersección eje Y: (0, 1)

e. Dom: �; rec: ]–9, +��[; intersección con los ejes (0, 0)

f. Dom: �; rec: �; intersección con los ejes (0, 0)


Página 115

P238 - 239 29/11/06 17:36 Page 239

240 Solucionario


4. a. Creciente. b. Decreciente. c. Decreciente. d. Creciente.

5. a. f(x) = 6x b. f(x) = � �xc. f(x) = 8x d. f(x) = (9,057)x e. f(x) = (1,12)x f. f(x) = �m �x

y(x) = (–8)x

6. a y b son correctas.

7. Solo c.

2. a. Dom: �; rec: �+ b. Dom: �; rec: ]–��, 1[ c. Dom: �; rec: �+ d. Dom: �; rec: �+

3. a. f(x) = � �xb. f(x) = � �x

4. a. b. c. d.

1. a. (1, 0) y (0, 1) respectivamente.

b. ln x: dom �+ – {0}; rec �

ex: dom �; rec: �+

c. y = x

2. a. y = log2 x b. y = log3 x c. y = log x d. y = log x

3. a. y = 6x b. y = 9x c. y = � �x

d. y = � �x

4. y = log4 x

5. a = 4

6. a. Falso. b. Falso. c. Falso. d. Verdadero.

7.

34

25

157

54

a1e2

5m1

5

Página 115

Página 117

Página 119

P240 - 241 29/11/06 17:35 Page 240

241Solucionario

1. a. x = 3 b. x = – c. No tiene solución real. d. x = – e. No tiene solución real.

2. R = 3 cm

3. a. x = 16,685... b. x = 2,15 c. x = 12,095 d. x = 2,1133 e. x = –0,26 f. x = 0,28

g. x = 8,4 h. x = 2,2211 i. x = j. x = k. x =

l. x = m. x = n. x = 0,83404...

4. a. x = 0,6981... b. x = 0,789 c. x = –2,264...

1. a. En 43 años aproximadamente. b. Partiendo del 2005, 16.778.000 aproximadamente.

c. Aproximadamente 9.895.000 habitantes.

2. a. Antofagasta: P = 250.665 e0,01517t

Santiago: P = 3.218.155 e0,02782t

Concepción: P = 638.118 e0,01679t

Magallanes: P = 88.244 e0,01838t

3. a. 750 alumnos. b. 1.343 alumnos. c. d. Se aproxima a 1.500.

4. a. 0,11 aproximadamente. b. c. Creciente

e. Aproximadamente 21% de alcohol.

f. Aproximadamente 9,4% de alcohol.

5. a. 80 viviendas. b. 543 viviendas. c. 800 viviendas.

1. a. x = –8.695,652 ln � � b. Dom: �+; rec: �+ c. 445,68 ml

d. 54.040 años aproximadamente. e. 6.027 años aproximadamente.

2. a. 34.749 años. b. Dom: �+; rec: �+

3. a. Decreciente. b. 16 horas. c. Cada 8 horas.

4. a. No tiene solución. b. No tiene solución.

5. a. 28, 01 ; a = 1,24537 c. Dom: �; rec: �–��, 30�

6. a. 58 contagiados.

P500

3log b + 4log a2log b – 3 log a

310

34

4log m + 2log 4

log m – 3log n

23

13


Página 121

Página 123

Página 125

log n – log m

7(3log c – log a) 9(7log a – log c)

14

34

log p + log q

log q – 2log p

14

log m + log 4

1.500

750

P240 - 241 29/11/06 17:35 Page 241

242 Solucionario


1. b. 50 días: 2.708 habitantes. 2. 9,544% anual.

300 días: 223.524 habitantes.

800 días: 499.972 habitantes.

3. P(t) = 55.000.000 • (1,024)t

a. 142.023.743 habitantes aproximadamente.

4. a. $ 3.025.714 b. 9,7 años. c. 5,77%

5. a. $ 5.581.410 6. 7 años aproximadamente.

1. B 2. D 3. a. 1 b. 18 4. B 5. E 6. B 7. C 8. D

1. C 2. A 3. C 4. D 5. B 6. A 7. D 8. A 9. A 10. D

11. A 12. C 13. C 14. B 15. B 16. D 17. E 18. B 19. D

1. 23 años aproximadamente.

2. a. 4.03 há. b. t = c. 23,45 años.

3. a. 5.000 bacterias. b. 11.698 bacterias aproximadamente. c. Alrededor de 8 días.

4. a. x = 1,65 b. e100 c. x = –1,79 d. x = –2,38

5. a. t = �ln(1 – �� b. t = RC ln� I(t)�6. x = 0 8. 9,3% 9. 2,53% 10. 2, 7 horas.

12. a. x b. x c. x d. x

14. 26 minutos aprox. 15. 1.468 días aprox. 16. y –

17. x =

18. 55.700 años.

19. a. 2,83 millas. b. 9,378 pulgadas de mercurio.

20. a. log x b. log1,25 c. –log 3x d. 2 log64 x

21. a. I) Dom: �+ b. I) Rec: � c. I) ex

II) Dom: � II) Rec: �+ II) ln(x)

III) Dom: � III) Rec: �+ III) log4(x)

IV) Dom: �+ IV) Rec: � IV) 4x

x22

3

.logb

12

92

RE

RIE

–LR

In(M) – ln(m)In(1 + i)

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logcloga

log

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243Solucionario

1. a. b. c.

d. e. f.

2. a. Discontinua. b. Continua. c. Continua.

3. a. x = 2 o x = –2 b. x = 20 o x = –20 c. x = 3 o x = 1

d. x = 5 o x = –5 e. x = – o x = – f. No tiene solución.

4. a. x = 14; y = –14 b. No tiene solución. c. �

2. a. Falso. b. Falso. c. Verdadero. d. Falso. e. Verdadero. f. Verdadero.

1. a. Los dos primeros. b. Es menor que 180º. c. Los dos primeros son cóncavos.

1. a. Primer y tercer cuadrante. b. Cuarto cuadrante. c. Segundo cuadrante.

2. a. (–4, 3) b. (4, 3); (–4, –3); (–4, 3); (4, –3); (0, 5); (0, –5); (5, 0); (–5, 0)

3. No es equilátero.

1. a. Módulo: 5 b. Módulo: 13,8 aproximadamente. c. Módulo: 15

d. Módulo: 17,69 aproximadamente. e. Módulo: 1 f. Módulo: 4

2. a. Iguales. b. Diferentes. c. Opuestos. d. Diferentes.

1. a. (5, 3) b. (–2, 2) c. (–3, –11) d. (–11, –6)

2. a. x = 1; y = –9 b. x = 7; y = –5 c. x = –4; y = –1 d. x = –6; y = –10

3. b. 9,1 metros; = (7, 5, 3)

3. a. � > 1: resulta un vector con mayor magnitud que

� = 1: resulta un vector equivalente a

0 < � < 1: resulta un vector con menor longitud que a�

a�

a�

v��

203

43


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Página 155

P242 - 243 1/12/06 16:35 Page 243

� = 0: resulta el vector nulo

� = –1: resulta un vector opuesto a

� < –1: el vector resultante cambia de sentido respecto a y disminuye su módulo.

4. a. (1, 2) = (4, 8) = – (–2, –4) b.

(4, 8) = 4(1, 2) = –(–2, –4)

(–2, –4) = –2(1, 2) = – (4, 8)

(0, 0) = 0(1, 2) = 0(–2, –4) = 0(4, 8)

d. Los vectores pertenecen a una misma recta.

2. a. b. c. d.

3. a. Perpendicular al plano de la pizarra. b. Hacia afuera. c. 60 d. 3.600

1. a. = (–1, 2) = –1 + 2 b. = (–3, – ) = –3 – c. = (–4, 0) = –4

d. = (0, 5) = 5 e. = (– , – ) = – –

2. = 2 + = – + 4 = –2 – = 2 – 2

3. 4. = – – 2 = 3 – 2 = 4 +

1. (x, y) = (1, 1) + λλ(3, 3) 2. (–1, 1) 3. (1, 2); (5, 10); (–3, –6) 4. y = 2x

5. 6. 2y + 3x – 11 = 0

7. (x, y) = (–3, 2) + λλ(1, 3)

8. (0, 0) no pertenece; (0, 11) pertenece; (–3, 0) no pertenece.

9. = (4, 1); (x, y) = (x0, y0) + λλ(4, 1)

10. (x, y, z) = (12, –5, 7) + λλ(–12, 11, –10)

d�

j�i�c�

j�i�b��

j�i�a�

j�i�d�

j�i�c�

j�i�b��

j�i�a�

j�12

i�12

12

12

x��

j�v��

i�u�

j�13

i�13

t�

j�i�s�

BA� ��

EH� ��

CG� ��

AE� ��

12

12

14

a�

a�

0�

244 Solucionario


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Página 163

–4 4

2

–4

8

1–2

Y

X

(x, y) = λλ( , 1)13

OA� ��

OB� ��

OE� ��

OF� ��

OD� ��

OC� ��

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245Solucionario


11. a. No son colineales. b. Son colineales. c. Son colineales.

12. (x, y, z) = (x0, y0, z0) + λλ(6, 4, 2) 13. (x, y, z) = λλ(d1, d2, d3) 14. (x, y, z) = (x0, y0, z0)

1. Vectores directores (2, 2, 0) y (0, 0, 1), el punto (0, 0, 0) pertenece al plano.

3. x = 0; y = 0; z = 0; y = c; z = c; x = c 4. No.

1. 2. 3. (x, y, z) = (0, 0, 0) + λλ(1, 0, 0) + �(0, 3, 1)

4. Es paralelo al eje Y. 5. El plano es paralelo a ese eje.

1. (6, 10, 3) 2. Recta secante al plano.

3. a. m �� –1 b. m = –1 c. No existe tal valor.

1. a. (–2, –3) b. (3, –4) c. (6, 7) d. (0, 4)

2. (4, –2); (3, 0); (0, –2); (3, –3) 3.

1. a.

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Z

XY

Z

X Y

Z

X Y

32

2

3 4 6 10

6

3

1

–3

–6

–10 –6 –4 –3

B´

A´

D´

C´

D

C

B

A

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246 Solucionario


b.

3. k = 3 AC = 3 CB = 4 A'C' = 9

1. D 2. B 4. B 6. E

1. D 2. B 3. C 4. B 5. A 6. D 7. E

8. C 9. C 10. E 11. E 12. C 13. B

2. a y b

3. b. Bloque 1: 343 kilogramos.

Bloque 2: 294 kilogramos.

c. En sentido del desplazamiento del bloque 2.

4. a. 17,69 b. (–13, 12)

5. = (6, 6); = 8,48; Forma un ángulo de 45º con el eje X.

6. a. G b. G c. F d. F e. D f. H g. A h. C

7. (x, y) = (–4, 6) + λλ(8, –8)

9. a. T1: (–4, –5); T1–1: (4, 5)

b. T2: (3, -5); T2–1: (–3, 5)

c. T3: (2, 5); T3–1: (–2, –5)

v��

v��

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3 4 6 9 10 15

5

4

3

1

–3

–4

–6

–9

92

92

–

92

32

D

D”

CC”

B

A

B”

A”

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247Solucionario


1. 86 cm2 2. 88 cm2 3. 6,5 cm2 aproximadamente

4. a. A = 26 cm2 b. A = 6,25 cm2 c. A = 2,4 cm2 d. A = 11,42 cm2

e. A = 166,28 unidades cuadradas. f. A = 76,13 unidades cuadradas.

5. a = r

6. a. 2.340 b. 840.000 c. 451 d. 7,9 • 10–7 e. 5,606 • 10–6 f. 36.000.000

g. 53,288 h. 50 i. 4.000.900 j. 5,7 • 10–6 k. 10.000 l. 93,5

7. a. 52.987,5 dm2 b. 2,17 m2 c. 240.173,6 cm2

8. a. A un cilindro. b. 100,48 cm2 c. 326,56 cm2 d. 653,12 cm3

1. 16 cm2 2. 113,04 m2 3. cm2 4. 128 cm2

5. A = (8ππ – 16) cm2 ; P = 8ππ cm 6. 2 : 1

1. a. No b. Dos cuerpos pueden tener igual volumen pero diferentes áreas.

2. El volumen de C es igual a la suma de los volúmenes de A y B.

4. El volumen aumenta ocho veces; el área aumenta cuatro veces.

1. Sí, por el principio de Cavalieri. 2. A = 28,3 cm2

2. 12 caras. 3. 11 caras. 4. a. Falso. b. Falso. b. Verdadero.

1. 646,3 cm2 2. 8.112 cm2 3. a = 4,56 cm 4. Aproximadamente 3 tarros.

5. a. 107,45 cm2 b. 192 cm2 c. 547,061 cm2 d. 157,86 cm2

1. 1.728 cm3 2. 259,8 cm3 3. a. 93,53 cm3 b. 36 cm3 4. 2 cm

5. V = 1.536 cm3 ; A = 832 cm2 6. 4 cm 7. 250 cm3

1. a. Prisma: 42 cm3; pirámide: 14 cm3 b. Prisma: 288 cm3; pirámide: 96 cm3

2. a. V = 1.568 cm3; A = 896 cm2 b. V = 384 cm3; A = 384 cm2 3. 240 m2

4. 119,9 aproximadamente. 5. 0,8 litros. 6. Volumen: 6.600 m3 ; Área: 2.497 m2 aprox.

1. 6.280 cm2 a. 20,91 cm3 aproximadamente. 2. Si la medida de la altura es igual a la medida del radio.

4. 3,0520 m3 5. 9,4 cm3

27

643

323

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248 Solucionario


1. 1.648,5 cm2 2. 150,72 cm3 3. 8 cm 4. 56 viajes 5. 654,96 cm3

1. A = 144 ππ cm2; V = 288 ππ cm3 2. Si puede equivaler para r = h 3. A = 36 ππ cm2; V = 36 ππ cm3

1. 314 cm2 2. a. 226,08 cm3 b. 49,3 cm c. A1: 169,56 cm2; A2: 619,208 cm2 3. 4 ππ cm2

4. 25,46º 5. αα = 75º 6. a. 7.078.414,77 km2 b. 25.482.293,2 km2 7. 125,6 cm2

1. a. b. 2.

3. a. Un cubo. b. 64 unidades cúbicas. c. 64 unidades cuadradas.

d. Un prisma de base cuadrada; volumen: 128 unidades cúbicas. e. (0, 0, 62,5)

1. A = 599,74 ; V = 295 cm3 2. a. 12 cm b. 1.186,92 cm2 c. 2.800,88 cm3

4. a. 452,16 cm3 d. S1: 376,991 cm2 ; S2: 251,2 cm2 5. Cilindro, cono, esfera.

2. a. b. c. d.

2. e. Sí. g. No. 3. a. Paralelo a la base. b. Diagonal.

4. 6. 106,50 cm2

2. a. 375 cm3 b. 3 m ; 20 m y 50 m c. 605 cm2 y 2.270 m2, respectivamente.

3. 691.200 miligramos. 4. 2,835 kilogramos.

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249Solucionario


5. a. Aproximadamente 3,6 veces. b. Aproximadamente 49 veces. 6. a. 34 b. $ 91.800.000

8. a. Menor b. No 9. a. 1.404 m2 b. 6.300 m3 c. 7.000 m3 10. 125 cajas.

11. 188,4 cm, de 10 cm de ancho; volumen: 284,6 cm3

1. E 2. E 3. D 4. C 5. E 6. C

1. E 2. B 3. B 4. C 5. D 6. E 7. B

8. A 9. C 10. E 11. D 12. A 13. C 14. C 15. C 16. A

1. 117 unidades 2. 467,13 cm2 3. 8,426 cm 4. 105,97 cm2

5. 1.413 cm2 6. 2 : 3 7. 20,93 cm2

9. 204,1 cm2 10. a. 383,44 cm2 b. 326,56 cm2 11. 27 cm3

12. a. Eje 1 Eje 2 Eje 3

b. V1: 1.590,7 cm3 ; V2: 837,124 cm3 ; V3: 732,562 cm3

13. 189 cm3

14. 141,3 cm2

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P248 - 249 29/11/06 17:33 Page 249

250 Solucionario

Evaluación semestral 1

Página 104

1. C

2. E

3. B

4. C

5. B

6. C

7. C

Página 105

8. D

9. A

10. C

11. C

12. B

13. C

14. A

15. B

16. D

Página 106

17. C

18. D

19. B

20. A

21. D

22. B

23. C

24. D

Página 107

25. E

26. D

27. E

28. A

29. E

30. E

31. E

32. A

Evaluación semestral 2

Página 222

1. E

2. E

3. B

4. D

5. C

6. C

Página 223

7. B

8. E

9. E

10. D

11. B

12. D

Página 224

13. E

14. E

15. D

16. E

17. C

18. B

19. D

20. A

Página 225

21. E

22. C

23. D

24. E

25. B

26. A

27. A

28. C

SOLUCIONARIO Evaluación Semestral 1 y Evaluación Semestral 2

P250 7/24/09 3:45 PM Página 250

251Glosario

GLOSARIO

Ángulo diedro: corresponde a cada una de lasregiones limitadas por la intersección de dosplanos.

Área: medida asociada a una superficie.

Casquete esférico: parte de la superficie esféricaobtenida al intersectar la esfera con un planosecante.

Correlación: es el grado de asociación de dosvariables y que explica la influencia que puedetener una sobre la otra.

Cuartil: parte que se obtiene al dividir el total dedatos en cuatro partes con igual cantidad deelementos: 25%, 50% y 75%.

Decil: parte que se obtiene al dividir el total dedatos en diez partes con igual cantidad deelementos: 10%, 20%, 30%,..., 90%.

Desviación estándar: expresa el grado de dispersiónde los datos con respecto a la media aritmética deestos.

Dirección de un vector: corresponde a lainclinación de la recta que contiene al vector.

Distribución normal: describe las distribuciones delos datos relacionados con variables, como porejemplo: el tamaño de algunas especies, variablessociales, etc.

Dominio de una función: conjunto de todos losvalores que puede tomar la variableindependiente.

Ecuación logarítmica: son aquellas ecuaciones enlas cuales la incógnita aparece como argumento ocomo base de un logaritmo.

Ecuación vectorial de la recta: está determinadapor un punto fijo po� y un vector director v�. Suexpresión vectorial es:

p� = po� + λv� , λ ∈ �

Ecuación vectorial del plano: está determinadapor un punto fijo po� y dos vectores directores v� yw�. Su expresión vectorial es:

p� = po� + λv� + µw� , λ y µ ∈ �

Frecuencia absoluta: número de veces que serepite un cierto valor en una variable.

Frecuencia acumulada: es la suma de lasfrecuencias absolutas hasta un determinado valor.

Función cuadrática: función de la forma ax2 + bx + c,donde a ≠ 0 y a, b, c pertenecen a �.

Función exponencial: es aquella cuya variableindependiente es el exponente de una potenciacon base positiva y distinta de 1. Su expresión es:

f(x) = ax a > 0 y a ≠ 1

Función inversa: corresponde a la expresión en lacual la variable independiente está en función dela variable dependiente. Por ejemplo,

si y = 3x + 2 entonces x =

o bien, si f(x) = 3x + 2, entonces f–1(x) =x – 2

3

y – 23

Ejemplo: f(x) = 3x

h

R

r

Pág. 251 - 256 29/11/06 17:42 Page 251

Función logarítmica: es aquella cuya expresiónmatemática es:

f(x) = logb x b ∈ �+ – {1}

Función periódica: es aquella cuyos valores serepiten cada cierto intervalo. Esto es:

f(x) = f(x + T) T: período

Función potencia: está dada por f(x) = axn, dondea es un número real distinto de cero y n = 2, 3, 4, 5,...

Homotecia: es una transformación geométrica queno altera la forma inicial, pero puede cambiar sutamaño y posición.

Huso esférico: es una parte de la superficieesférica, limitada por la intersección de doscircunferencias máximas.

Logaritmo: el logaritmo en base a de un número xes el exponente y al que hay que elevar la basepara obtener dicho número. Es decir,

Si loga x = y entonces, x = ay

Logaritmo natural: es aquel cuya base es el númeroe.

Media aritmética: corresponde al cociente entre lasuma de los datos y el número total de ellos. Estecociente indica el valor al cual se aproximan losdatos.

Media aritmética ponderada: es la media de losdatos que no poseen la misma ponderación oimportancia.

Mediana: valor de la variable cuya frecuenciaacumulada es inmediatamente superior a la mitaddel total de datos.

Medidas de dispersión: son los parámetrosestadísticos que indican el mayor o menor gradode agrupamiento de los valores que forman elconjunto de datos.

Moda: es el valor de la variable o intervalo conmayor frecuencia absoluta.

Módulo de un vector: es la longitud del segmentodeterminado por el vector. Su expresión es:

|| a� || =

Muestra: es una parte de la población.

Número e: número que puede obtenerse de laexpresión siguiente cuando n toma valores muygrandes.

�1 + �n

tiende a e = 2,7182...

Percentil: parte obtenida al dividir el total de datosen 100 partes iguales: 1%, 2%, 3%, ... 99%.

Población: conjunto de elementos en los cuales seestudiará un determinado aspecto o característica.

Principio de Cavalieri: dos cuerpos de la mismaaltura, con base de igual área y cuyas seccionesparalelas a las bases son siempre de igual áreatienen el mismo volumen.

Principio de Euler: relaciona el número de caras,vértices y aristas de un poliedro convexo:

Nº caras + Nº vértices = 2 + Nº aristas

Producto cruz: es el producto entre dos vectores yque genera un nuevo vector, perpendicular aambos y cuyo módulo es || a� || • || b� || • sen αα , enque αα representa el ángulo formado por ambosvectores.

1n

a a1 22 2+

252 Glosario

GLOSARIO

Pág. 251 - 256 29/11/06 17:42 Page 252

253Glosario

GLOSARIO

Producto escalar: es el producto del módulo de unvector por la proyección ortogonal de otro vectorsobre él. El producto escalar da como resultado unnúmero dado por la expresión

a� • b� = || a� || || b� || cos αα, o bien,

si ambos vectores están dados en coordenadastenemos:

(a1, a2 ) • (b1, b2) = a1 • b1 + a2 • b2

Rango: diferencia entre el mayor y el menor valorde la variable estadística.

Recorrido de una función: conjunto de todos losvalores que puede tomar la variable dependiente.

Sentido de un vector: está indicado por la puntade la flecha del vector.

Sistema diédrico: se refiere a la representación deun cuerpo en dos planos perpendiculares.

Traslación: transformación geométrica que daorigen a una nueva figura congruente con laanterior pero en otra posición.

Variable cualitativa: variable relacionada concaracterísticas no numéricas de un individuo.

Variable cuantitativa: variable que se puede mediry expresar mediante números.

Variable estadística: es todo carácter o aspecto delos elementos de una población o muestra,susceptible de ser estudiado.

Volumen: medida del espacio que ocupa uncuerpo.

αα

a�

b�|| a� || cosαα

Pág. 251 - 256 29/11/06 17:42 Page 253

254 Glosario

GLOSARIO

Productos notables

(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2

(a + b)(a – b) = a2 – b2

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

(a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3

Factorización

ka + kb = k(a + b)

(a + b)x + (a + b)y = (a + b)(x + y)

x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2)

x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2)

Perímetros y áreas de figuras planas

Alfabeto griego

� Alpha

� Beta

� Gamma

� Delta

� Épsilon

� Zeta

� Eta

� Theta

Iota

Kappa

� Lambda

� Mu

Nu

� Xi

� Ómicron

� Pi

� Rho

� Sigma

� Tau

� Úpsilon

� Phi

� Chi

� Psi

� Omega

Figura Perímetro Área

Triángulo a + b + c

Paralelogramo 2 • (a + b) b • h

Rectángulo 2 • (b + a) b • a

Cuadrado 4 • a a2

Rombo 4 • a

Cometa 2 • (b + a)

Trapecio B + b + a + c

Círculo 2 • ππ • r ππ • r2

(B + b) • h2

D • d2

D • d2

b • h2

a

a

a

a

a

a

b

b

h

r

ca

B

dD

Dd

b

b

b

ch

h

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2. Sector Matemática: www.sectormatematica.cl

3. Aula virtual de Aritmética: http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/aritmetica.htm

Aula virtual de Álgebra: http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/algebra.htm

4. El número de oro en el arte y la naturaleza: http://www.omerique.net/calcumat/arteoro.htm

Demostraciones del teorema de Pitágoras (en inglés): http://www.ies.co.jp/math/java/geo/pythagoras.html

Patrones numéricos: http://ciencias.huascaran.edu.pe/modulos/m_sucesiones/act1.htm

5. Entretenimientos matemáticos:

www.geocities.com/Eureka/Gold/8274/matemati.htm

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http://ar.geocities.com/matematicamente/cmagico.htm

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ALEJANDRO PEDREROS MATTA

ÁNGELA BAEZA PEÑA



GABRIEL MORENO RIOSECO

MAT

EMÁT

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AÑO

201

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EDUCACIÓN MEDIA


EDICIÓN ESPECIAL PARA EL MINISTERIO DE EDUCACIÓNPROHIBIDA SU COMERCIALIZACIÓN

AÑO 2010

EDICIÓN ESPECIAL PARA ELMINISTERIO DE EDUCACIÓNPROHIBIDA SU COMERCIALIZACIÓN

AÑO 2010

9 789561 512504

ISBN 956-15-1250-5

PORTXTO MATEMATICA IV 07 24/7/09 16:41 Page 1

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