4 Modelado Sist.fisicos2

Dpto. Electrnica, Automtica e Informtica Industrial 45

3 Descripcin y representacin de los sistemas continuos

Tanto para el anlisis dinmico de un sistema como para su mejora, empleando

las tcnicas de diseo, se necesita de una descripcin analtica del sistema. sta se

efecta con una descripcin exacta de sus componentes, la subdivisin del sistema total

en bloques funcionales y finalmente la caracterizacin de cada bloque por expresiones

matemticas.

Cada subsistema o bloque debe tener un comportamiento autnomo, de manera

que la salida de cada bloque debe depender exclusivamente de la entrada al mismo, sin

verse influenciado por la accin de otros bloques adyacentes.

Una vez obtenido el diagrama estructural del sistema, hay que caracterizarlo a

travs de un modelo matemtico. Dado que la mayor parte son sistemas dinmicos,

definidos por variables que son funciones del tiempo, su comportamiento vendr dado

por un conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales.

El estudio del conjunto deber de obtener la ecuacin diferencial que relacione

la variable de mando con la variable de salida. Aunque ste es el camino ms directo,

suele ser muy complicado, por lo que se establece relaciones parciales, obteniendo un

grupo de ecuaciones diferenciales.

Captulo 3: Descripcin y representacin de los sistemas continuos Apuntes de Regulacin

46 Dpto. Electrnica, Automtica e Informtica Industrial

Por otro lado, los sistemas fsicos que se utilizan en la prctica son normalmente

no lineales. Con el propsito de compatibilizarlo con la Teora Clsica de Control se va

a linealizar el modelo alrededor de un punto de trabajo.

En este captulo se analizar los procesos de linealizacin. Seguidamente, se

pasar a la determinacin de la funcin de transferencia, ya sea de un sistema LTI o de

otro al que se le ha linealizado a travs de un punto de reposo. El tercer punto abordar

la divisin del sistema en subsistemas y su representacin y modelado a travs de los

diagramas de bloques. Y para acabar, se tratar las propiedades de los sistemas de

control con realimentacin negativa.

3.1 Aproximacin lineal de sistemas no lineales

Como se ha visto en el captulo anterior, el estudio de aquellos sistemas fsicos

que responden a ecuaciones diferenciales lineales son abordables por tcnicas que,

como la transformada de Laplace, simplifican notablemente el proceso.

Sin embargo, la mayor parte de los sistemas fsicos no responden a ecuaciones

diferenciales lineales, presentndose numerosos tipos de no linealidades e incluso

discontinuidades.

Aun a costa de perder exactitud, la complejidad de los modelos no lineales

exigen su simplificacin a modelos lineales, aunque no sean del todo correcto, pero

facilitan la aplicacin de las tcnicas clsicas de Control.

Para que un sistema se considere lineal, en cuanto a su relacin causa - efecto

(excitacin/respuesta), es necesario que cumpla con el principio de superposicin. Un

sistema cumple con el principio de superposicin si ante una entrada x1(t) responde con

y1(t) y para una excitacin x2(t) su salida es y2(t), entonces para una entrada de

combinacin lineal de las excitaciones, su respuesta responde en una combinacin

lineal:

tytytytxtxtx 2121

El mtodo de linealizacin que a continuacin se expone es vlido para aquellos

sistemas no lineales que trabajan normalmente alrededor de un punto de funcionamiento

estable (punto de equilibrio), siendo pequeas las alteraciones a las que puede verse

sometido.

Supngase un sistema monovariable, cuya ecuacin diferencial sea no lineal. Si

se pretende estudiar el comportamiento del sistema cuando estando en un punto de

reposo, se ve sometido a una excitacin de pequea amplitud; el modelo no lineal puede

ser reempleado por su tangente en el punto de reposo. Esta idea intuitiva puede ser

justificada formalmente mediante el empleo del desarrollo en serie de Taylor en torno al

punto de equilibrio.

(3. 1)

Apuntes de Regulacin Captulo 3: Descripcin y representacin de los sistemas


0.6 0.65 0.7 0.750

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1Curva de transferencia del transistor bipolar

uBE [V]

iE[A

]

Modelo lineal

...!

1...

!2

10

0

2

0

0

2

2

0

0

0

n

n

n

xxdx

xdf

nxx

dx

xdfxx

dx

xdfxfxf

Si los incrementos de la variable independiente alrededor del punto de reposo son

pequeos, 00 xxx , podrn despreciarse las potencias de orden superior al

primer orden, 0xx , simplificando la funcin por su aproximacin lineal:

00

0xx

dx

xdfxfxf

o bien, si se designa y=f(x), la expresin anterior en incrementos quedar como:

x

dx

xdfy

0

Reflejando un modelo lineal incremental alrededor del punto de equilibrio. ste

explicar las variaciones de la variable dependiente a partir de las variaciones de la

variable independiente.

Ejemplo 3.1

Linealizar la ecuacin de Ebers-Moll sobre la corriente de emisor, cuando el transistor bipolar trabaja en zona activa. Suponer constante la temperatura del transistor.

En este caso, la corriente de emisor

depende slo de la tensin base emisor:

TBE

V

u

SEBEEE eIiuii

En la figura adjunta, se he representado la

curva de transferencia, teniendo una corriente de

saturacin, IS, de 10-14

A y una tensin trmica,

VT, de 25 mV.

Si se linealiza alrededor del punto de polarizacin del transistor con la ec.(3. 3),

quedar como:

BEBET

EEEBEBE

Vu

T

V

u

S

Vu

V

u

SE VuV

IIiVu

V

eIeIi

BEBE

T

BE

BEBE

T

BE

;

(3. 2)

(3. 3)

(3. 4)



donde IE es la corriente de emisor de polarizacin. Adems, al cociente IE/VT se

le conoce como la transconductancia del transistor, gm. Se observa que en la

linealizacin aparece el principio de superposicin. La corriente de emisor es explicada

por una componente de polarizacin continua de frecuencia cero y otra de naturaleza

variable en el tiempo alrededor del punto de reposo. En concreto, la primera respuesta

es debido al circuito de polarizacin del transistor, mientras la segunda es el efecto de

amplificacin del transistor bipolar, cuyo modelo ser:

BEmE ugi

Cmo se observa en la grfica, cuando los incrementos de la variable

independiente, BEu , empiezan a ser significativos aparecen discrepancias entre el

modelo lineal y el no lineal.

En trminos generales, sea un comportamiento dinmico modelado por una

ecuacin diferencial no lineal, cuya funcin nF : sea linealizada en torno a un punto de equilibrio:

0,...,,,...,,,,...,,, 111 nnn xxxxxxyyyF

El modelo lineal basado en incrementos de primer orden ser de la forma:

0...

......

000

1

01

1

01

1

01000

n

n

n

n

n

n

xx

Fx

x

Fx

x

F

xx

Fx

x

Fx

x

Fy

y

Fy

y

Fy

y

F

Vase primero un ejemplo matemtico y luego un ejercicio sobre un sistema

fsico.

Ejemplo 3.2

Linealizar la expresin, 243 2 xsenxxxy , entorno al punto de

reposo .2

0

x

La funcin es del tipo F(y,x, x ) = 0. Por tanto, la linealizacin quedar:

04cos46

0

00

000

xxxxxxy

xx

Fx

x

Fy

y

F

(3. 5)



Para calcular los coeficientes del modelo incremental se calcular con la

ecuacin F(y,x, x ) = 0 y en el punto de reposo .2

0

x Obsrvese que en el punto de

equilibrio, todas las derivadas parciales respecto al tiempo son nulas, por la propia

definicin de punto de equilibrio. El modelo incremental para el punto de reposo citado

valdr:

023 xxy

Ejercicio 3.3

Obtener el modelo dinmico del nivel del agua y linealizarlo en torno a un punto de reposo. Consider que el caudal de entrada, Qe, en equilibrio es de 1 m

3/s y la seccin de salida, A, es de 1 m2, mientras la base de depsito, B, es de 1 m2. Analizar las discrepancias entre el modelo no lineal y lineal en el rgimen permanente, si el caudal de entrada, en primer lugar, evoluciona a 1.1 m3/s y luego pasa a 2 m3/s.

Las ecuaciones del comportamiento dinmico del depsito estn relacionadas

con la incomprensibilidad de los fluidos y su balance caudalmetro, junto con el

principio de Torricelli:

02

2

hBAghctQ

AghcAvctQ

dt

dhBtQtQ

e

ss

se

donde c es el coeficiente de contraccin debido a las caractersticas del fluido

(para el caso del agua es igual a 1) y vs es la velocidad de salida del agua.

El comportamiento dinmico es no lineal y el modelo depende de

0,, hhQF e . Linealizando en un punto de equilibrio, segn la ec. (3. 5), se obtendr el modelo lineal incremental:

02

12

0

hBhA

hgctQe

Si el punto de reposo es cuando el caudal es 1 m3/s. El modelo lineal queda

definido por:

B



2

,0

0 20.05

2

eQh

A g

m 10 0eQ t h B h

El modelo incremental quedar como: 10

1

ssQ

sh

e

. Para analizar la validez

de la aproximacin se considera primero un incremento de 0.1 m3/s en el caudal de

entrada. Segn el modelo no lineal, el reposo se alcanzar cuando el nivel de altura sea:

mgA

Qh

e0605.0

221,

2

1

En cambio, atendiendo al modelo incremental ser por aplicacin del teorema

del valor final: mh

mgA

Qh

hhhQ

h

e

e

06.0

05.02

01.010

1

2

0,2

0

101

1,

1

Si el incremento es de 1 m3/s, los resultados son:

mh

mh

15.0: lineal Modelo

2.0 :lineal no Modelo

2

2

Verificndose que cuando ms se aleja el sistema del punto de reposo, mayor

discrepancia va a existir entre el modelo lineal y no lineal.

3.2 Funcin de transferencia

La representacin dinmica de un sistema monovariable, SISO, mediante la

relacin entre su entrada y salida, conduce a una ecuacin diferencial que o bien es

lineal de inicio, o bien es susceptible, como se acaba de ver, de ser linealizada. Los

modelos dependiendo de cada caso sern:

n

j

jm

j

ji

i

n

j

jm

j

ji

i

txdt

dbty

dt

d

txdt

dbty

dt

d

0i 0

i

0i 0

i

a :lincrementa Modelo

a :lineal Modelo

Expresiones que pueden ser transformadas por Laplace. Aplicando el operador

a ambos lados de las igualdades quedarn:

(3. 6)



ni

m

j

j

i

nj

m

j

j

i

sXsbsYs

sXsbsYs

0i 0

i

0i 0

i

a :lincrementa Modelo

a :lineal Modelo

Para el primer caso, se ha considerado que las condiciones iniciales son nulas;

mientras en el segundo, se ha inicializado a partir de un punto de reposo, por tanto, sus

derivadas iniciales y las variaciones alrededor del punto de reposo son nulas.

Reagrupando se tendr:

n

0

i

0

n

0

i

0

a

:lincrementa Modelo

a

:lineal Modelo

i

i

jm

j

j

i

i

jm

j

j

s

sb

sX

sY

s

sb

sX

sY

A estos cocientes entre las transformadas de Laplace de salida y entrada se le

denomina funcin de transferencia, FDT. Su valor depende nicamente de los

coeficientes ai y bi, fijados nicamente por las caractersticas del sistema. El

conocimiento de la FDT de un sistema permite conocer el valor de salida ante cualquier

tipo de entrada.

Ejemplo 3.4

Determinar la FDT del cuadripolo de la figura, i.e. la ganancia de tensin. Supngase que el condensador est cargado con una tensin entre extremos de 5V y la corriente inicial que circula es nula. Determinar la seal de salida, si recibe una entrada en escaln unitario.

Por aplicacin del mtodo de mallas, la ecuacin diferencial que relaciona la

seal de entrada respecto a la corriente que circula por los elementos pasivos es:

51

0

t

e dttiCdt

tdiLtRitu

Aunque la ecuacin diferencial es lineal, la aplicacin de la transformada de

Laplace resultar dada por:

(3. 7)

(3. 8)



s

sisC

sLisRisue1

51

Evidenciando la imposibilidad de obtener la FDT como consecuencia del valor

inicial del condensador. Para conseguirlo se requerir un proceso de linealizacin

entorno al valor inicial de 5V en el condensador. Este cambio implica que las variables

de la ecuacin diferencial se conviertan en incrementos alrededor del punto inicial,

desapareciendo el trmino de los 5V.

1

12

RCsLCs

Cs

su

sisi

sCsiLsiRsu

e

e

La ganancia de tensin del cuadripolo tambin requerir de una linealizacin, ya

que:

1

11)0(

12

0

RCsLCstu

tuti

sCtuudtti

Ctu

e

s

ss

t

s

Igual resultado se habra obtenido si se emplea la ecuacin diferencial entre la

tensin de entrada y la de salida:

tutuLCtuRCtu ssse

Al tomar transformadas de Laplace en ambos lados de la igualdad quedar:

susususLCussuRCsu ssssse 00 2

No pudiendo obtener la FDT, lo que conduce a un proceso de linealizacin. Para

conocer la tensin de salida, us(t), sabiendo el tipo de entrada, se aplicar el teorema de

la convolucin entre el modelo de la seal de entrada y la FDT en incrementos,

pasndose luego a su antitransformada. La respuesta final ser sumada al valor inicial de

la tensin en el condensador.

3.3 Diagramas de bloques

Un sistema de control puede consistir, en general, por un cierto nmero de

componentes. Con el fin de mostrar las interacciones existentes de forma cmoda, se

acostumbra a usar una representacin grfica denominado diagrama a bloques.

En un diagrama de bloques, todas las variables quedan interrelacionadas a travs

de los bloques funcionales. Para los sistemas SISO, caracterizados por una entrada y

una salida, se representa en su interior la relacin entre ambas seales mediante la



correspondiente funcin de transferencia. Los bloques quedan conectados por flechas

que indican las direcciones de los procesamientos de las seales.

Adems de los bloques funcionales, otros elementos constitutivos de los

diagramas de bloque son los sumadores. En estos, hay varias seales de entrada y una

nica salida, siendo su valor la suma de las entradas.

Puesto que los diagramas de bloques responden a una representacin de una

ecuacin o, mayoritariamente, de un conjunto de ecuaciones en transformadas de

Laplace, es posible su manipulacin, tal y como se hara con las propias transformadas.

As, supngase que las transformadas de Laplace de tres seales, X, Y y Z estn

conectadas por el procesamiento en serie de stas por dos sistemas, cuyas FDT se

denominan G1(s) y G2(s). Por aplicacin del teorema de la convolucin se puede reducir

la representacin mediante la asociacin de las dos FDT. En el sistema de ecuaciones

quedara como:

sXsGsGsZsYsGsZsXsGsY 2121

El diagrama de bloques correspondiente sera:

Pudindose establecer, en general,

que varios bloques en cascada pueden ser

sustituidos por un nico bloque, cuyo

contenido es el producto de las FDT de cada

uno de ellos. Otra posible situacin sera la

correspondiente a un procesamiento en

paralelo de la seal por varios sistemas a la

vez. El diagrama a bloques quedara reducido

a la suma de las FDT. La demostracin est

en el lgebra de bloques:

sXsGsGsY

sXsGsXsGsY

21

21

X(s)G1(s) G2(s)

Y(s) Z(s)

X(s)G1(s)G2(s)

Z(s)

Figura 3. 1. Asociacin de bloques en cascada o serie

X(s)

G1(s)

G2(s)

X(s)G1(s)+G2(s)

Y(s)

Y(s)+

+

Figura 3. 2. Asociacin en paralelo



Por tanto, si los bloques estn en paralelo es igual a la suma de sus FDT.

Un diagrama a bloques complejo, con varios bucles de realimentacin y

combinaciones series y paralelas, puede ser reducido tericamente a la configuracin

bsica de un sistema de realimentacin. El diagrama a bloque queda mostrado en la

figura 3.3.

La seal de mando, X(s), es

comparada con la realimentada, la cual es

la seal de salida, Y(s), procesada por

H(s). La salida del comparador se la

llama seal de error, E(s). sta a su vez

ataca a la planta, G(s), dando origen a la

seal de salida, Y(s). Las expresiones que

modelan este procesamiento de la seal

son las derivadas de la seal de error y de

la propia salida:

sHsG

sG

sX

sYsM

sYsHsXsE

sGsEsY

1

Si el signo de la comparacin entre la seal de mando y la realimentada es

negativo, se dice que es una estructura de realimentacin negativa. Y si en vez de una

comparacin, entre las dos seales, es una adiccin, se dice que es una realimentacin

positiva. La FDT total para el caso de realimentacin positiva es similar, pero cambiado

el signo + del denominador:

sHsG

sG

sX

sYsM

1

3.4 Sistemas realimentados

Todas las plantas de control sufren de perturbaciones que inciden negativamente

en la gobernabilidad del sistema. Para hacer que el sistema de control se vuelva

insensible al ruido, se disea, mayoritariamente, estructuras de control en cadena

cerrada. Vase a continuacin, cmo esta arquitectura permitir mejorar el

comportamiento dinmico de los sistemas de control.

Un diagrama a bloques donde se tiene en cuenta la perturbacin queda reflejado

en la figura 3.4. Normalmente, el ruido influye decisivamente en las seales de

potencia. Por supuesto, tambin existe ruido en la pequea seal, i.e. en los bloques de

(3. 9)

(3. 10)

X(s)G(s)

H(s)

Y(s)+

-

E(s)

Figura 3. 3. Estructura de realimentacin negativa



procesamiento de las seales de error. Sin embargo, la relacin seal ruido, SNR

(Signal Noise Ratio), en estas etapas son ms elevadas que en las de gran seal1.

La seal de salida depende de la seal de mando, de las perturbaciones y de la

FDT del sistema. Al ser un modelo de tipo lineal, es posible aplicar el principio de

superposicin, quedando la transformada de Laplace de la seal de salida como:

sZsMsXsMsY 21

siendo M1(s) la FDT entre la seal de salida y la de mando, cuando la seal de

ruido es nula y M2(s) la correspondiente entre la salida y la de perturbacin, para seal

de mando cero. Estas funciones valdrn segn el lgebra de bloques:

sHsGsG

sGsM

sHsGsG

sGsGsM

21

22

21

211

11

Como se ver en el mdulo de diseo de los sistemas de control, un buen

planteamiento de la gobernabilidad del sistema depende del tipo de realimentacin. Esta

condicin se puede expresar haciendo que el mdulo de la ganancia de la cadena abierta

sea mucho mayor que uno2. Para el esquema aqu tratado, la condicin de fuerte

realimentacin se expresara en la forma:

121 sHsGsG

1 Recurdese que una de las razones de peso de utilizar la tecnologa digital es justamente por el

alto valor de SNR, tanto en el procesamiento como en la transmisin de la informacin.

2 Por ejemplo, se podra citar a los amplificadores operacionales, los cules ofrecen una alta

ganancia de tensin diferencial en cadena abierta, con valores tpicos de 106 a bajas frecuencias. Al

aplicarles lazos de realimentacin, para construir aplicaciones lineales, se consiguen que los

amplificadores operacionales reales y los ideales sean casi idnticos.

(3. 11)

(3. 12)

(3. 13)

Z(s)

G 1 (s) G 2 (s) + X(s)

H(s)

Y(s)

-

+ -

Figura 3. 4. Estructura de control en cadena cerrado con perturbacin



Al aplicar esta condicin de diseo sobre las FDT obtenidas, M1(s) y M2(s),

resultarn:

sHsG

sMsH

sM

1

21

11

Indicando estas ecuaciones, las estrategias de control. Obviamente, para tener

inmunidad a la perturbacin en la seal de salida, se necesita que M2(s) tienda a ser

nula. Por tanto, esto supone que o bien se tiene alta ganancia en G1(s) o en H(s). En el

primer caso, corresponde con la estrategia tpica del control clsico, pues es la insercin

de un compensador de tipo PID (proporcional, integral, derivativo). Estos reguladores,

que se estiman en un 90% de las aplicaciones de control industrial, son colocados en el

procesamiento de la seal de error, i.e. en G1(s). La segunda posibilidad se basa en las

modificaciones de los lazos de realimentacin, H(s), y est estrechamente unido al

control por realimentacin de variables de estado, correspondiente a la Teora Moderna

de Control. No obstante, se observa que un incremento positivo en la realimentacin,

H(s), supone una prdida de ganancia en M1(s). Por eso, es habitual poner altas

ganancias en la cadena abierta, para luego alcanzar el valor deseado de ganancia en la

cadena cerrada.

Ejemplo 3.5

Para calentar el agua de un termo elctrico se emplea el efecto Joule. Un amplificador de tensin cede energa elctrica a una resistencia elctrica, R, que lo transfiere en forma de calor. Para su regulacin se emplea una estructura de realimentacin negativa. La temperatura interior del termo, Ti, es adquirida por un transductor de tipo termopar. La salida del sensor es acondicionada y es convertida en una seal de tensin analgica, uTi, cuya dinmica sigue la expresin:

TiTii auuA

T 1

donde A y a son constantes. La temperatura deseada en el termo o seal de mando, dada por el usuario, es convertida a travs de un potencimetro en una seal de referencia, um. sta es comparada con la salida de la tarjeta de acondicionamiento y amplificada por un valor K. Esta seal, uFT, ataca a la etapa de potencia. Por otro lado, hay que aadir las prdidas de calor por transmisin de calor, desde el tanque al exterior. La causa dominante es por mecanismo de conduccin, caracterizada por una resistencia trmica

(3. 14)

Ti

K

VCC Ta

Acondicionamiento

seal

RTH

+-

um



equivalente, RTH. Obtener el diagrama a bloques del sistema de control del termo elctrico.

El conjunto de ecuaciones lgebro-diferenciales que caracterizan el sistema

sera:

or) transductamientoacondicion de (Etapa /17

)energtico (Balance 6

calor) delisin por transm (Prdidas R5

)calorfica energa de iento(Almacenam 4

potencia) de (Etapa /3

error) sealcin (Amplifica 2

r)(Comparado 1

TH

2

TiTii

pTi

Pai

iTi

FT

errFT

errTim

auuAT

qqp

qTT

Tmcq

Rup

Kuu

uuu

qTi y qP son los flujos calorficos de almacenamiento y de prdidas en el depsito

respectivamente. El valor de m ser la masa que hay dentro del tanque y c el calor

especfico del agua. Al producto de mc se le llama capacitancia trmica o inercia

trmica y se le designa por CTH. La no linealidad del efecto Joule obligar a buscar un

modelo incremental alrededor de un punto de reposo. Aplicando las transformadas de

Laplace en las ecuaciones diferenciales linealizadas, stas quedarn reflejadas en el

siguiente diagrama de bloques:

Como se desprende del diagrama de bloques, las variaciones de la temperatura

del deposito dependen de la seal de mando y de la temperatura ambiente. Luego, en

este caso, la temperatura exterior representa una perturbacin en el control del termo. Al

tener un modelo incremental lineal y por aplicacin del principio de superposicin, las

variaciones de la temperatura en el interior del depsito se pueden explicar a travs de la

FDT que hay respecto a la seal de referencia (anulando la temperatura exterior), y la

relacin causa-efecto entre la temperatura ambiente y la del tanque (eliminando la seal

del usuario):

sTsMsusMsT ami 21



siendo M1(s) y M2(s) las FDT entre las variaciones de temperatura del termo y la

seal de mando y la perturbacin, respectivamente. El diagrama de bloques de M1(s) se

obtiene eliminado la seal de perturbacin, quedando como:

Para simplificar, se ha denotado por G1 la FDT de la etapa de potencia y H1 la

FDT de la etapa de instrumentacin. Empleando la expresin de estructura realimentada

sobre la relacin entre la temperatura interna y la potencia elctrica, quedar un

diagrama ms simplificado:

THTHTH

TH

m

i

CsRRKGH

RKG

su

sTsM

11

11

1

En cuanto a la relacin causa-efecto debido a la perturbacin, el diagrama a

bloques quedar de la forma:



Aplicando reduccin de bloques y eliminado el primer lazo de realimentacin:

La FDT entre las variaciones de temperatura del termo y de la temperatura

ambiente quedar reducida a travs de la expresin de realimentacin unitaria:

THTHTHa

i

CsRRKGHsT

sTsM

11

21

1

Por aplicacin del teorema del valor final sobre M2 se conseguir la ganancia

ofrecida en el rgimen permanente. Considerando un diseo de fuerte realimentacin,

tal cual se ha comentado, quedar:

THRKGH

tM11

2

1

Si se desea que el termo sea insensible a las variaciones de la temperatura

ambiente, esta idea se traduce en hacer que la ganancia de M2 tienda a ser nula. De la

ltima expresin, se concluye que a medida de que se aumente la resistencia trmica,

menos influencia se tendr del ruido. O bien que un control basado en altos valores de

H1, K o G1 supondr una disminucin de la perturbacin.



+

-

G(s)X(s)

Y(s)

Z(s)+

-Y(s)

G(s)

G(s)

X(s) Z(s)

+

-Y(s)

G(s)X(s) Z(s)

+

-

G(s)

Y(s)

Z(s)X(s)

1/G(s)

Figura 3. 5. Transposicin de sumadores

3.5 Reduccin de bloques

En el proceso de reduccin de los bloques a veces interesa transponer un

sumador o un punto de bifurcacin de una determinada seal. Esta operacin puede

darse tanto un cambio hacia la derecha o hacia la izquierda. El fundamento de estos

movimientos se basa en el lgebra de bloques. En las figuras 3.5 y 3.6 se indican las

transposiciones de los comparadores y de los puntos de bifurcacin, primero hacia la

derecha, luego a la izquierda. Ntese la equivalencia de las expresiones de las salidas en

relacin a sus entradas.

Las expresiones de transposicin del sumador hacia la derecha y luego hacia la

izquierda quedan reflejadas en las siguientes ecuaciones y en sus respectivas

representaciones:

sGsYsXsGsZsYsXsGsZ

sYsGsXsGsZsYsXsGsZ

/1

En cuanto al movimiento de los puntos de bifurcacin de las seales, resultarn

las transposiciones hacia la derecha y la izquierda respectivamente:



G 1 +

-

H 2

G 2

G 3

H 1

G 4

H 3

+

+

+ + -

-

sGsXsYsXsGsZsYsXsGsZ

sGsGsXsYsXsGsZsXsYsXsGsZ

;

1;;

Ejemplo 3.6

Obtener el diagrama a bloques reducido equivalente del mostrado en la figura

adjunta:

Del diagrama se observa que G2 y G3 estan procesando en paralelo la seal que

los ataca. Por otro, una primera simplificacin podra conseguirse a travs del

G(s)X(s)

Y(s)

Z(s)

Y(s)

G(s)

1/G(s)

X(s) Z(s)

Y(s)

G(s)X(s) Z(s)

G(s)

Y(s)

Z(s)X(s)

G(s)

Figura 3. 6. Transposicin de puntos de bifurcacin



G 1 +

-

H 2

G 2 + G 3

H 1

H 3

+ -

-

3 4

4

1 H G

G

+

desplazamiento haca la izquierda de la seal de entrada de H1. Con este desplazamiento

aparecera facilmente la estructura de realimentacin entre G4 y H3:

El desplazamiento hacia la izquierda de la bifurcacin de la seal de salida que

es entrada en H3 mostrar un procesamiento paralelo de la seal que ataca al bloque de

la realimentacin de G4 y H3:

H 3 +

-

3 4

4

1 H G

G

3 4

4

1 H G

G

G 1 +

-

H 2

G 2 + G 3 +

-

3 4

4 3 1 1

1 H G

G H H

3 4

4

1 H G

G



La cascada de G2 y G3 muestra con el ltimo equivalente una estructura de

realimentacin:

Finalmente, queda una estructura con un lazo de realimentacin a travs de H2

que esta en serie con el ltimo bloque de procesamiento equivalente:

La FDT equivalente del conjunto ser:

3.6 Ejercicios propuestos

Problema 1

Determinar el diagrama de bloques reducido y demostrar que la FDT total es la dada:

+

-

H 2

3 4

4

1 H G

G

G 1

3 2

3 4

3 4 1

3 2

1 1 1 G G

H G

H G H

G G

34

4

1 HG

G

34321232134

34321

11

1

HGGGGHGGHHG

HGGGG

343212321344321

11 HGGGGHGGHHG

GGGGsM



a)

34323214321

4321

1 HGGHGGHGGGG

GGGG

sX

sYsM

b)

CDA

BAD

sX

sYsM

1

G 1 + -

H 1

G 2

H 2

+ +

-

-

H 3

G 3 G 4

s X s Y

+ + -

-

C

B

A D s X s Y

-



Problema 2

El esquema de la figura representa un sistema de control continuo sobre un depsito de agua. La altura es medida por un transductor resistivo, de forma que la tarjeta de acondicionamiento de la seal, da una tensin proporcional a la altura:

thktuAC 1

siendo k1 la ganancia, de valor 10 [V/m]. Esta seal es comparada con la seal de mando, um(t), generando la seal de error, la cual ataca al regulador PI analgico, cuya ganancia de tensin est dada por la siguiente ecuacin

diferencial:

dt

tdutu

dt

tdutu errerr

elecelec 23

El compensador ataca a la electrovlvula de seccin variable. La seccin de paso, W, es proporcional a la tensin de salida del regulador con una ganancia k2, de valor 0.01 [m

2/V]. Se pide:

1. Conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales que determinen la dinmica del sistema.

2. Linealizar el modelo respecto al punto de equilibrio, um0 = 6V y h0= 0.5m. Cunto vale el caudal de salida ?, y el de entrada ?.

3. Diagrama de bloques entre los incrementos de la seal de mando y de la altura del depsito.

Problema 3

El circuito de la figura representa una clula de Sallen-Key. El tringulo con el valor de ganancia k es una simplificacin del amplificador de estructura no inversora con amplificador



operacional ideal. Por tanto, la tensin de salida del amplificador es la de su entrada multiplicada por k y la impedancia de entrada de ste es infinita. Se pide:

1. El diagrama de bloques en el que aparecern explcitamente las variables ue(s), uA(s), uB(s) y us(s).

2. FDT entre us(s) y ue(s).

Resolucin

El conjunto de ecuaciones algebro diferenciales son:

Bs

BBA

BABAAe

kuu

R

uuuC

R

uuuuCuuC

2

1

Aplicando transformadas de Laplace, se conseguir el diagrama a bloques.

Empleando lgebra de bloques la FDT entre la tensin de salida y de entrada es:

1221221

2122

22

kRRRsCCRRs

kCRRs

su

susA

e

sV

Problema 4

La figura representa el esquema simplificado de la calefaccin de una habitacin por medio de un radiador elctrico. El radiador consiste en una resistencia R alimentada a V voltios, situada en un bao de aceite de masa calorfica Mc y temperatura Tc. Posee una superficie Sc de coeficiente global de transmisin Uc hacia el aire.

El aire de la habitacin se encuentra a una temperatura Th y tiene una masa calorfica Mh. La temperatura exterior es Te. Las paredes tienen una superficie SP y un coeficiente global de transmisin UP.

La temperatura de la habitacin se mide con un termmetro situado cerca del radiador, por lo que su indicacin Tm viene afectada ligeramente por l. Dicha medida se compara con una referencia Tr y la diferencia, amplificada con una ganancia K se lleva a la resistencia del radiador.

Las ecuaciones del sistema son:



ehpphccch

hhccc

c

c

mrchm

TTSUTTSUdt

dTMTTSUq

dt

dTM

RVqTTkVTTT

)5)4

/24.0)3)205.095.0)1 2

Datos

CcalMCcalM

CscalSUCscalSUCVkR

hc

ppcc

/3000/1000

/33/5.12/5020

Se pide:

1. Determinar el punto de equilibrio (Tc,o y Th,0) en torno a Te,0 = 5C, Tr,0 =25C.

2. Linealizar las ecuaciones en torno al punto de equilibrio. 3. Dibujar el diagrama a bloques del sistema de control. 4. Determinar la FDT entre las variaciones de la temperatura de la

habitacin respecto a la de mando y a la temperatura externa.

Problema 5

El diagrama de la figura representa un esquema simplificado de levitacin magntica. La fuerza magntica producida por el electroimn intenta compensar la fuerza de gravitacin sobre el cuerpo que levita. Sabiendo que la fuerza magntica es proporcional al cuadrado de la

i(t)LR

txti

ktf pm

2

x(t)

u(t)

i(t)LR

txti

ktf pm

2

x(t)

u(t)



corriente de la bobina e inversamente a la posicin del cuerpo, txti

ktf pm

2

,

determinar:

1. Conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales que describe la dinmica del levitador.

2. Linealizacin de la planta alrededor del punto de reposo. 3. Diagrama de bloques del sistema. 4. Es estable?

Datos:

M = 0.1 kg kp= 2510-3 [Nm/A2] R = 0.1 L = 5.4 mH

Punto de reposo: x0 = 25 mm

1. El conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales son:

txti

kgMxM

dt

tdiLtiRtu

p

2

2. Para la linealizacin habr que calcular la corriente en el punto de reposo:

Aik

xgMi

p

1002

0

Las ecuaciones linealizadas sobre este punto de reposo quedan establecidas

como:

txx

ikti

x

ikxM

tiLtiRtu

pp

02

02

0

02

3.



4. La FDT contiene un polo en el semiplano positivo, por tanto, el sistema es

inestable:

52.182020

7.3703

ssssu

sx

Problema 6

Una masa se desliza por un plano inclinado a una determinada velocidad, se pide:

1. Conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales que modele la dinmica y velocidad del rgimen permanente

de la masa cuando la pendiente es 6

.

2. Determinar el modelo incremental entre el ngulo del plano inclinado y

su velocidad,

v sG s

s

, con las condiciones iniciales dadas.

3. Variacin temporal de la velocidad del objeto si hay un cambio de

pendiente de 6

a 3

. Utilcese el modelo lineal del apartado anterior.

4. Determinar la velocidad en el rgimen permanente, cuando la masa se

desliza sobre el plano de 3

. Existe discrepancia con el resultado del

apartado anterior? Por qu?.

Datos: M = 10 kg, B = 5 Ns/m, g ~ 10 m/s2.

1. Las ecuaciones que modela el descenso del bloque rgido son:

r rMx t Mgsen f t f t Bx t

En el rgimen permanente la velocidad ser constante, por tanto para un ngulo

de 30, la velocidad ser:

10 /rp

Mg senv m s

B

2.

0

cos 10 3

1 2

Mgv sG s

s Ms B s

3. El sistema es de primer orden y se produce un incremento de 30 en forma de

entrada en escaln: 1 10 3

6 1 2v s

s s

06

13

v t



0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

[s]

[m/s

]

Evolucin temporal de la velocidad del bloque

4. 10 3 /rpMgsen

v m sB

. Existe discrepancia por la aproximacin del

sistema no lineal a travs de la pendiente. En el modelo linealizado da 19 m/s y en el

modelo no lineal es de 17.32 m/s.

Derecho de Autor 2014 Carlos Platero Dueas.

Permiso para copiar, distribuir y/o modificar este documento bajo los trminos

de la Licencia de Documentacin Libre GNU, Versin 1.1 o cualquier otra

versin posterior publicada por la Free Software Foundation; sin secciones

invariantes, sin texto de la Cubierta Frontal, as como el texto de la Cubierta

Posterior. Una copia de la licencia es incluida en la seccin titulada "Licencia de

Documentacin Libre GNU".

La Licencia de documentacin libre GNU (GNU Free Documentation License)

es una licencia con copyleft para contenidos abiertos. Todos los contenidos de estos

apuntes estn cubiertos por esta licencia. La version 1.1 se encuentra en

http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html. La traduccin (no oficial) al castellano de la

versin 1.1 se encuentra en http://www.es.gnu.org/Licencias/fdles.html

4 Modelado Sist.fisicos2

Documents

Transcript of 4 Modelado Sist.fisicos2