4. NÚMEROS ENTEROS

En Jujulandia están en invierno. Está previsto la entrada de un frente de aire frío que va a bajar las temperaturas una media de 10º C. Hoy, la temperatura máxima ha sido de 6º C. ¿Qué temperatura máxima está previsto que tengan mañana, con el frente de aire frío justo en Jujulandia?

Jaime tiene un amigo alemán aficionado al submarinismo como él. Quiere indicarle con una medida en formato número a qué profundidad descendió ayer: 15 metros. No puede utilizar palabras, sólo números, ¿cómo puede hacerlo?

Estos dos problemas tienen una característica común: no pueden resolverse utilizando números naturales. Necesitamos unos nuevos números que nos permitan manejar situaciones donde aparecen términos como bajo cero, debo, me falta...

Estos nuevos números van a ser los números enteros :

{. . . . . . ,  ,  ,  , 0 ,  ,  ,  , . . . . . . }  − 3   − 2   − 1     + 1   + 2   + 3  

Fíjate en algo muy importante: los números enteros tienen signo. Puede ser positivo o negativo. El único número que no tiene signo es el 0.

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   1.- Resuelve las dos situaciones que han introducido la unidad de números enteros. 2.- Expresa con números enteros las cantidades que aparecen en los siguientes enunciados: a) Un helicóptero sobrevuela a 340 metros de altura. b) Un buceador desciende a 33 metros de profundidad. c) Un equipo de baloncesto terminó el partido con una diferencia de 14 puntos a su favor. d) El ascensor está en la 5ª planta. e) He dejado el coche en el aparcamiento del segundo sótano f) Euclides murió en el año 265 antes de Cristo. g) Tengo un saldo positivo de 12345 € en la cuenta del banco. h) Debo 23 € en la carnicería. i) La temperatura de fusión del mercurio es de 39 º C bajo cero. j) La temperatura máxima alcanzada en el Valle de la Muerte de California es de 56º C sobre cero. k) La profundidad de la fosa de las Marianas es de 11012 metros. l) El agua hierve a 100º C 3.- La diferencia horaria entre Torrejón de Ardoz y algunas ciudades del mundo es:

Ciudad Diferencia horaria

Reikiavik -1

Estambul +1

Bogotá -6

Melbourne +10

Indica qué hora es actualmente en cada ciudad anterior.

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4.- En 1990 Soria tenía 97 546 habitantes. El censo de 2010 indica 95 093 habitantes. Expresa numéricamente la evolución de la población soriana. 5.- El extracto de la cuenta corriente de Laura indica las siguientes cantidades:

a) ¿Qué significan las cantidades negativas? ¿Y las positivas? b) ¿Qué cantidad final ha pagado? c) ¿Cuáles son los ingresos totales de ese extracto? d) Actualmente, ¿cuál es la cantidad máxima que puede pagar?

6.- En el juego de la oca empezamos por la casilla 1. El dado nos indica que avancemos 6 casillas. Tiramos otra vez y obtenemos un 5 y caemos en el puente por lo que debemos retroceder 4 casillas. Después sacamos un 3 y caemos en la oca por lo que avanzamos a la próxima oca que está 6 casillas más adelante. ¿En qué casilla me encuentro ahora?

REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS. VALOR ABSOLUTO. Ahora vamos a ver cómo representar los números enteros. Lo haremos sobre una recta numérica donde el 0 separa los números enteros positivos ( hacia la derecha del 0) de los números enteros negativos ( hacia la izquierda del 0).

Ahora representamos los números enteros teniendo en cuenta que, por ejemplo:

- 4 está a la izquierda del 0, a 4 unidades de distancia

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+ 5 está a la derecha del 0, a 5 unidades de distancia

¿ Cuál es el procedimiento para representar cualquier número entero? Haz un esquema.

Llamamos valor absoluto de un número entero a su distancia

al cero: ist ( a , 0 )  a| |   = d  

Por ejemplo :

d (+  , 0 )  3+| 3| =   3   =  

  1.- Escribe los números enteros representados en cada recta:

2.- Calcula el valor absoluto de los siguientes números: a) +5 b) -5 c) +23 d) -34 e) -21 f) +567

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3.- Razona la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones: a) Si dos números son negativos, el que está más lejos del 0 es el que tiene menor valor absoluto. b) Si dos números son positivos, el que está más cerca del 0 es el que tiene el menor valor absoluto. c) Sólo hay un número entero que tenga de valor absoluto 5. 4.- Realiza las siguientes operaciones: a)  +| 6| − −| 6| = b)  2 ∙ −| 4| + −| 8| : 4 = c)  (7 )− −| 3| ∙ +| 5| =

5.- ¿ Qué números enteros tienen valor absoluto igual a 3? ¿E igual a -3?

RELACIÓN DE ORDEN EN LOS NÚMEROS ENTEROS

Diremos que a < b si al representar los números enteros a y b en la recta

numérica, b queda a la derecha de a.

 

  1.- Completa las expresiones con los símbolos < o > :

a) +4 ▢ +3 b) -5 ▢ +6 c) +10 ▢ +13

d) -7 ▢ -12 e) -6 ▢ -2 f) -7 ▢ 0

2.- Escribe dos números enteros comprendidos entre las siguientes parejas:

a) -10 y -7 b) +4 y 0

c) -2 y +1 d) +5 y +12

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3.- Ordena los números enteros que aparecen a continuación según el criterio indicado: a) De menor a mayor : +5 , -2 , -3 , 0 , +3 , -4 y -7 b) De mayor a menor : -10 , -12 , +5 , +7 , - 7 , +1 y +3 4.- Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) Dados dos números enteros positivos, el menor está más lejos del 0 que el mayor b) Dados dos números enteros, el mayor es aquel que está más lejos del 0 c) Dados dos números enteros, el menor está a la izquierda del mayor. d) Dados dos números enteros, el menor está a la izquierda del 0 y el mayor está a la derecha. 5.- Completa y observa:

a) -3 ▢ -4 b)  −| 3|▢ −| 4|

c) -7 ▢ -5 d)  −| 7|▢ −| 5|

e) +3 ▢ +6 f)  +| 3|▢ +| 6|

g) +10 ▢ +5 h)  + 0| 1 |▢ +| 5|

OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS

ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Para sumar números enteros: a) Si son del mismo signo, se suman los valores absolutos y se deja el signo común. b) Si son de distinto signo, se resta al mayor valor absoluto el menor valor absoluto y se pone el signo del número entero con mayor valor absoluto.

Ejemplos:

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8  (+ )5 + (+  )3 =   + (  )+| 5| + +| 3|   =   +  

21  (− )8 + (− 3)1 =   − (  )−| 8| + − 3| 1 |   =   −  

 (− )7 + (+ )9 =   + ( + )| 9| − −| 7| =   + 2

8  (+ )6 + (− 4)2 =   − ( − 4 )| 2 | − +| 6| =   − 1

  Calcula: a) (+ 3) + (- 4 ) = b) (- 5) + ( -6 ) = c) (- 23) + ( +45 ) = d) (+ 56) + (- 34) = e) (+ 12) + (- 23) = f) (- 34) + ( + 56) = g) (- 67) + (+ 45) = h) (- 34) + (+ 23 ) = i) (+ 67) + (- 87) = j) (+ 98) + (- 102) = k) (- 34) + (+ 24) = l) (- 48) + ( - 49) = Averigua el término que falta y completa la expresión: a) …… + (- 5 ) = -17 b) (+ 34) + …… = +18 c) (- 25) + ….. = -14 d) ……+ (- 27) = +45 e) (- 34) + ….. = +65 f) (+ 65) + ….. = -34

DIFERENCIA DE NÚMEROS ENTEROS  Para restar números enteros necesitamos una nueva definición:

Llamamos opuesto de un número al número cambiado de signo.

El opuesto de un número entero se representa por - a

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Por ejemplo :

El opuesto de ( - 3 ) es ( + 3 ) El opuesto de ( + 5 ) es ( - 5 )

Ahora ya podemos definir la diferencia de números enteros:

Para restar números enteros sumamos al minuendo el opuesto del sustraendo, es decir: − )a − b = a + ( b

Ejemplos:

a) (- 3) - (-5) = (- 3) + (+ 5) = + 2

b) (- 5) - (+ 4) = (- 5) + (- 4) = -9

c) (+ 7) - (+ 9) = (+ 7) + (- 9) = -2

d) (+ 9) - (- 12) = (+ 9) + (+ 12) = + 21

  Calcula:  a) (- 3) - (+ 6 ) = b) (- 6) - (+ 4) = c) (- 56) - (- 46) = d) (+ 120) - (- 30) = e) (- 65) - (- 56) = f) (+ 34) - (+ 45) = g) (+ 68) - (- 98) = h) ( +56) - ( - 49) = i) (- 45) - ( - 23) = j) (- 68) - (- 86) = k) (+49) - (- 54) = l) (+89) - (- 96) = Averigua el término que falta y completa la expresión: a) …… - (- 5 ) = +17 b) (+ 34) - …… = -18 c) (- 25) - ….. = +14 d) ……- (- 27) = - 45 e) (- 34) - ….. = - 65 f) (+ 65) - ….. = +34

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Podemos simplificar las expresiones con números enteros si tenemos en cuenta la siguiente regla:

+ ( - a ) = - a + ( + a ) = a

- ( + a ) = - a - ( - a ) = a

  Simplifica los signos de las siguientes expresiones y calcula el resultado:  a) (+ 3) + (­ 6) = b) (­ 10) + (­ 4) = c) (­ 7) + (+ 4) =  d) (­ 5) ­ ( ­ 6) = e) (­ 24) + (­ 45) = f) (+ 56) ­ (­ 45) =  g) (+65) + (+ 56) = h) (­ 24) ­ (­ 45) = i) (­ 98) + (­ 24) =  j) (­ 120) + (­ 20 ) = k) (­ 12) + (­25) = l) (+86) ­ (+ 65) =   

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Para multiplicar dos números enteros se multiplican los valores absolutos y se aplica la siguiente regla de los signos: (+) · (+) = + (-) · (-) = + (+) · (-) = - (-) · (+) = -

Ejemplos:

(- 3) · (- 2) = +(3 · 2) = +6 (+4) · (+7) = +(4 · 7) = +28 (- 12) · (+2) = - (12·2) = - 2 (+9) · (- 3) = - (9·3) = - 27

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1.- Calcula:

a) (-3) · (-3) = b) (-7) · (+4) = c) (+5) · (-3) =

d) (+2) · (+7) = e) (-1) · (-7) = f) (+6) · (-3) =

g) (-9) · (+5) = h) (+4) · (+4) = i) (-8) · (+7) = 2- Completa:

(-3) · = + 15 (+7) · = - 21

(+8) · = + 24 (-6) · = - 36

3.- Realiza estos productos de tres números como en el siguiente ejemplo:

(-7) · (-2) ·(-5) = (+14) · ( -5) = - 70

a) (+6) · (-2) ·(-3) = b) (+8) · (+4) ·(+2) = c) (-9) · (-2) ·(+4) = d) (-4) · (+3) ·(+5) =

 

DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Para dividir dos números enteros se dividen los valores absolutos y se aplica la siguiente regla de los signos: (+) : (+) = + (-) : (-) = + (+) : (-) = - (-) : (+) = - Ejemplos:

(-12) : (-2) =+(12: 2) = +6 (+14) : (+7) = +(14: 7) = +2

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(-24) : (+3) = -(24 : 3) = -8 (+9) : (-3) = -(9: 3) = -3

  

 

1.- Calcula:  

a) 6 : (-2) c) (-5) : (-5) e) (-8) : 2 g) - 4 : ( -2 ) i) (-18) : ( -6 )

b) 12 : (-6) d) (+7) : ( -1) f) 6 : 2 h) 9 : (-3) j) (-18) : 6

Completa las frases: a) El cociente de dos números enteros de ………………………… signo es un número entero negativo. b) Si el cociente de dos números enteros es positivo, el numerador y el denominador son dos enteros de ………………… signo. c) Para que el cociente de dos números enteros sea negativo, los signos del numerador y del denominador deben ser ……………………… d) Si el cociente de dos números enteros es positivo y el numerador es negativo, el signo del número entero del denominador debe ser …………………

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2.- Completa :

a) ( -27 ) : ▢ = - 3 b) ▢ : ( - 4 ) = 64

c) ▢ : ( +6 ) = ( - 36 ) d) 18 : ( -9 ) = ▢

e) ( -121 ) : ▢ = 11 f) 124 : ( -4 ) = ▢

OPERACIONES COMBINADAS. JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES.

¿Qué debemos hacer cuando nos piden realizar unas operaciones donde hay sumas, restas, multiplicaciones y divisiones? ¿Importará el orden en el que realicemos esas operaciones?  Vamos a ver con un ejemplo que el orden es importante. Imaginemos que nos

piden calcular .− 3)  − 4 + 3 ∙ (   El primer 3 de la operación no está solo, está multiplicado por ( - 3 ). No podemos sumar a - 4 el primer 3, sino el resultado de . Por eso debemos seguir el   )  3 ∙ ( − 3

siguiente orden:

  3 )  4  (   )    9  13  − 4 + 3 ∙ ( −   =   −   +   − 9 =   − 4 −   =   −   Si nos hubiéramos limitado a seguir el orden de izquierda a derecha nos habría

dado un resultado erróneo :     3 )  (  1 )    3 )  3  − 4 + 3 ∙ ( −   =   −   ∙ ( −   =  ¡Falso! A este correcto orden para realizar operaciones combinadas lo llamamos

jerarquía de las operaciones.

Para calcular el valor de una expresión aritmética que contiene operaciones combinadas y paréntesis procedemos con el siguiente orden: 1.- Calculamos el valor de las operaciones entre los paréntesis 2.- Realizamos las potencias y las raíces. 3.- Realizamos las multiplicaciones y divisiones 4.- Acabamos calculando las sumas y las restas.

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1.- Realiza las siguientes operaciones:

4 - 2·5 = 5 + 2 ·7 = 4 · (6-10) = 4 · 2 : 2 = 8 + 3 : 3 = 6 - 12 : 2 = 4 : (7 - 8) = -3 - 25 : (-5) = 6 + 7 · (-3) = 12 : (6 : 3) =

2.- Realiza y compara los resultados de las siguientes operaciones:

6 + 6 : 2 = 7 + 4 · 8 = -3 -6 : 3 = 8 + 7 ·(-2) =

(6 + 6) : 2 = (7 + 4) · 8 = (-3 - 6 ) : 3 = (8 + 7) · (-2) =

3.- Realiza las siguientes operaciones:

8 : (2 + 2) = (-3) · 2 : 2 = (- 4 - 5) : 3 = (2 + 8) · 5 = 15 : (18 - 13 ) = (-5) · (9 - 11) = 4 - 7 ·(-2) = (-7) + (-3) : (-3) =

4.- Sara tiene en su libreta de ahorros 80 euros. Cada mes su padre le ingresa 12 euros y ella saca para sus gastos 7 euros. ¿Cuántos euros tendrá en su libreta al cabo de seis meses? Escribe las operaciones en una sola expresión. 5.- En un CD has grabado dos documentales de 12 minutos y tres vídeos musicales de 4 minutos. Después borras uno de los documentales. ¿Cuántos minutos hay grabados después de borrar el documental? Escribe las operaciones en una sola expresión.

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6.- Razona cuál de los siguientes desarrollos es el correcto:

72 : ( 9) · 8 = 8 · 8 = 64 72 : ( 9) · 8 = 72 : ( 72) = 1 72 : [( 9) · 8] = 72 : ( 72) = 1

7.- Escribe paréntesis donde corresponda para que las igualdades sean ciertas:

-2 + 30 : 7 · (-4) = 1

-3 -2 · 6 : 5 = -3

5 · (-8) + 6 : 2 = -25

7 · 6 -2 : (-10) = - 4

8.- Para comenzar el curso escolar, Mateo compra en la papelería 3 libros de lectura a 8 € cada uno, 3 cuadernos de espiral y una carpeta a 2 € cada uno y por último descambia un diccionario de inglés que costaba 30 € por dos más elementales de inglés y francés que cuestan 14 € cada uno. Utiliza una expresión de operaciones combinadas para calcular lo que se ha gastado Mateo en la papelería.

Recuperación de Matemáticas 1º ESO por Francisco Javier García, Juan José López, Alicia Marín y Olga Pereda se distribuye bajo una licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 3.0. Elaborado durante el curso 2013-2014.

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