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CAPÍTULO IV
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFÁSICOS
Con las siguientes premisas recordaremos nuestros conceptos dados de la potencia eléctrica en
circuitos monofásicos:
“ La potencia es tanto mayor cuanto menor es el tiempo en que se realiza un trabajo ”
“ La potencia es tanto mayor cuanto mayor es el trabajo realizado y menor el tiempo
necesario para ello ”
4.1. POTENCIA ACTIVA .
Es una parte de la potencia disponible que se encarga de realizar un trabajo, es decir es
aquella potencia que se encarga de transformar energía eléctrica en otro tipo de energía, es
un tipo de potencia útil, (Es la parte real de la potencia disponible ) su unidad es el “W”
(Vatio), “KW” (Kilovatio), “MW” (Megavatio), etc. Por ello también se llama Vatiada.
En una empresa productiva, el consumo de KW, es directamente proporcional a la
producción de la empresa. Analíticamente se las representan por la siguientes fórmulas:
p(t) = v(t) x i(t)
v(t) = 2 V cos wt
i(t) = 2 I cos (wt – )
Donde:
V - Valor eficaz de la tensión aplicada a una carga
- Desfase de la magnitud de corriente respecto a la tensión
p(t) = v(t) x i(t) = 2 V cos wt x 2 I cos (wt – ) = 2 V I cos wt cos (wt – )
p(t) = v(t) x i(t) = 2 V I cos2 wt cos + 2 V I cos wt sen wt sen
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Tomar en cuenta las siguientes relaciones:
cos2 wt - sen2 wt = cos 2wt
cos2 wt + sen2 wt = 1
2 cos wt sen wt = sen 2wt
p(t) = v(t) x i(t) = V I 2 cos2 wt cos + V I 2 cos wt sen wt sen
p(t) = v(t) x i(t) = V I cos ( 1 + cos 2wt ) + V I sen 2wt sen
p(t) = v(t) x i(t) = V I cos + V I cos cos 2wt + V I sen sen 2wt
p(t) = v(t) x i(t) = P + P cos 2wt + Q sen 2wt
Donde :
P – V I cos Potencia Activa ( W)
Q – V I sen Potencia Reactiva ( VAR )
P + P cos 2wt - Esta ecuación indica, que para un elemento resistivo, con = 0, la potencia
instantánea no puede ser negativa para ningún instante de tiempo. Esto
significa que el elemento está disipando la energía que le están
suministrando otros.
± Q sen 2wt - Esta ecuación indica, que para un elemento inductivo, con = 90º, ó
capacitivo, con = - 90º, la potencia media en dicho elemento es nula y
en cualquier instante de tiempo puede llegar a ser negativa. Esto significa
que en un elemento inductivo ó capacitivo no se produce transformación
de la energía, más bien, se produce un intercambio de energía entre el
elemento y la fuente. La diferencia entre estos dos tipos de elementos es la
magnitud de Q, para la Bobina ‘ +Q’ y para el condensador ‘- Q’.
La potencia instantánea en general será:
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p(t) = v(t) x i(t) = V I cos + V I cos ( 2wt – )
La potencia media sera:
P = ( ) dt = V I cos + V I cos ( 2wt – ) dt
P = cos + cos ( 2wt – ) dt = V I cos W
4.2. POTENCIA REACTIVA.
Es también una parte de la potencia disponible, es un tipo de potencia transitoria u
oscilante, porque en un semiperiodo la tenemos en la carga y en el siguiente semiperiodo
la tenemos en la fuente y así sucesivamente, esta potencia no produce un trabajo, es decir,
no se transforma en otro tipo de energía, más bien es un tipo de potencia “no útil”. Se
la denomina también potencia “Devatiada” y su unidad es el “VAR” (Volt-Amper-
Reactivo), “KVAR” (Kilo-Volt-Amper-Reactivo) y “MVAR” (Mega-Volt-Amper-Reactivo).
Este tipo de potencia es la parte compleja de la potencia disponible y se puede encontrar
en dos formas:
4.2.1. POTENCIA REACTIVA INDUCTIVA.
Propia de las bobinas y de los campos magnéticos es decir, almacena transitoriamente la
energía eléctrica como campo magnético de acuerdo a la frecuencia del sistema. La
expresión instantánea de esta potencia es proporcional a:
Q = Q sen 2wt = V I sen sen 2wt VAR
La potencia media sera:
Q = ( ) dt = {V I sen sen 2wt} dt
Q = { sen sen 2wt} dt = V I sen VAR
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Nota: En una empresa el excesivo consumo de potencia reactiva inductiva generalmente es
un indicador de sobredimensionamiento o baja producción de la empresa.
Por ejemplo, un motor de inducción en el momento del arranque toma de la red una corriente
alta y al mismo tiempo exige una potencia reactiva elevada, esto implica para la fuente de
alimentación, el suministro de una gran corriente con un factor de potencia muy bajo. Si la
potencia del motor no es despreciable al compararla con la capacidad de la red que la alimenta,
se presentará una fuerte disminución de voltaje en la fuente de alimentación y se aumentará la
demanda de energía de la red. Para reducir los efectos de esta caída de voltajes se recurre,
actualmente, al uso de arrancadores suaves, los cuales reducen parcialmente la magnitud de las
corrientes de arranque, pero no ejercen ningún control sobre la demanda de potencia reactiva de
la red requerida para el arranque del motor.
A veces se usan sistemas de arranque a base de capacitores en forma transitoria, que minimizan
los fluctuaciones de voltaje que se producen en las redes eléctricas cuando se ponen en marcha
motores de inducción de potencias elevadas a un costo muy bajo.
4.2.1.1. CONSUMIDORES DE POTENCIA REACTIVA INDUCTIVA.
Los receptores característicos de esta familia de consumo, utilizan gran parte de su energía aparente (S), para energía reactiva (Q). Los receptores consumidores más importantes de energía reactiva son:
Los motores asíncronos, en proporciones del 65 al 75% de energía reactiva (Q) en relación a la energía activa (P).
Los transformadores, en proporciones del 5 al 10% de energía reactiva (Q) en relación a
la energía activa (P).
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Otros elementos, como las reactancias de las lámparas fluorescentes y de descarga, o los convertidores estáticos (rectificadores), consumen también energía reactiva.
4.2.2. POTENCIA REACTIVA CAPACITIVA.
Propia de los condensadores o capacitores y de los campos eléctricos, es decir almacena la
energía eléctrica como campo eléctrico de acuerdo a la frecuencia del sistema. La
expresión instantánea de esta potencia es proporcional a:
- Q = - Q sen 2wt = - V I sen sen 2wt VAR
La potencia media sera:
Q = ( ) dt = {V I sen sen 2wt} dt
Q = - { sen sen 2wt} dt = - V I sen VAR
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4.3. POTENCIA APARENTE .
Denominada también potencia disponible o potencia compleja, es propia de generadores
de corriente alterna, transformadores (fuentes), su unidad es el “VA” (Volt-Amperio),
“KVA” (Kilo-Volt-Amperio) y “MVA” (Mega-Volt-Amperio). La expresión general de esta
potencia compleja ,en forma polar, es proporcional a:
V I* = e x e-j = e -j = -
Donde: y son los ángulos de los fasores de tensión y corriente, respectivamente y la
diferencia – , será el ángulo conocido como ‘ ’. Esta potencia está simbolizada por:
S = P + j Q = V I*
P = Re{ } = V I cos = Re{V I } = I2 R =
Q = Im{ } = V I sen = Im{V I } = I2 X =
Nota: La potencia aparente es un fiel indicador de la potencia disponible del
transformador que alimenta a una empresa.
4.4. FACTOR DE POTENCIA.
El factor de potencia nos indica eléctricamente, el grado de utilidad o eficiencia que le da
el usuario a la energía que le entrega la compañía de electricidad ya sea en alta, media ó baja
tensión.
Un alto factor de potencia, técnicamente quiere decir que la empresa usa bien la potencia
disponible y la transforma en su totalidad en otro tipo de energía, indicando la
productividad de una empresa, ocurriendo lo contrario con un factor de potencia bajo.
Matemáticamente el factor de potencia ó cos , está relacionado como la potencia activa a la
potencia disponible o aparente y adquiere un valor entre 0 y1, es decir:
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Cos = =
=
El cos , no toma en cuenta la potencia propia de los armónicos. Un factor de potencia
próximo a 1 indica que la potencia absorbida de la red se transforma prácticamente en trabajo y
pérdidas por calentamiento, optimizando, de esta manera, el consumo.
Algunos autores condicionan los cálculos a la tangente de en vez del cos ; la tangente de
representa la cantidad de potencia reactiva necesaria por vatio de consumo.
Una tangente de (tg ) baja, corresponde a un factor de potencia alto, poca potencia reactiva.
Q
El concepto de factor de potencia siempre ha estado cambiando, antes simplemente se le
definía como el ángulo entre el voltaje y la corriente, en los últimos años la definición se puede
interpretar "como la relación entre la potencia activa (kW) y la potencia aparente (kVA) y es el
indicativo de la eficiencia con que está utilizando la energía eléctrica para producir un trabajo
útil, se introdujo la palabra eficiencia, lo que le da un nuevo significado al sistema.
Es necesario mantener el factor de dentro de ciertos límites permisibles, caso contrario
pueden producir ciertos inconvenientes, como:
Aumento de la intensidad de corriente
Caídas de tensión y pérdidas de potencia en los conductores ó alimentadores
principales
Incremento de la potencia de las plantas de generación, y transformación, reduciendo, al
mismo tiempo, su vida útil
Mayor inversión en los equipos de generación, ya que su capacidad en KVA debe ser
mayor, para poder entregar esa energía reactiva adicional.
Mayores capacidades en líneas de transmisión y distribución, así como en
transformadores para el transporte y transformación de esta energía reactiva.
Elevadas caídas de tensión y baja regulación de voltaje, lo cual puede afectar la
estabilidad de la red eléctrica.
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Una forma propia de las empresas de distribución de energía a nivel nacional, para
hacer reflexionar a las industrias sobre la conveniencia de generar o controlar su
consumo de energía reactiva ha sido a través de un cargo por demanda, facturado en
Bs./KVA y lo que actualmente se hace es penalizar el consumo excesivo de potencia
reactiva inductiva enmarcado en un porcentaje limitado.
4.5. POTENCIA EN SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS.
4.5.1. POTENCIA INSTANTÁNEA.
p(t) = p(t)1 + p(t)2 + p(t)3 = v(t)1 x i(t)1 + v(t)2 x i(t)2 + v(t)3 x i(t)3
Dónde los subíndices 1, 2 y 3, corresponden a las fases de un sistema trifásico y aplicando la
ecuación de potencia en una fase, deducida anteriormente y asignando a cada fase del sistema
trifásico, podemos escribir:
p(t)1 = v(t)1 x i(t)1 = V1 I1 cos 1 + V1 I1 cos ( 2wt – 1 )
Considerando:
v(t)1 = 2 V1 cos wt i(t)1 = 2 I1 cos (wt – 1)
v(t)2 = 2 V2 cos (wt - 120º) i(t)2 = 2 I2 cos (wt– 2 – 120º)
v(t)3 = 2 V3 cos (wt – 240º) i(t)3 = 2 I3 cos (wt– 3 – 240º)
p(t)1 = v(t)1 x i(t)1 = 2 V1 I1 cos wt cos ( wt – 1 ) = V1 I1 cos 1 + V1 I1 cos ( 2wt – 1 )
p(t)2 = v(t)2 x i(t)2 = 2 V2 I2 cos (wt - 120º) cos (wt– 2 – 120º) = V2 I2 cos 2 + V2 I2
cos ( 2wt – 2 – 240º )
p(t)3 = v(t)3 x i(t)3 = 2 V3 I3 cos (wt - 120º) cos (wt– 3 – 120º) = V3 I3 cos 3 + V3 I3
cos ( 2wt – 3 – 480º )
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Considerando la condición de equilibrio:
V1 = V2 = V3 = V ; I1 = I2 = I3 = I ; 1 = 2 = 3 =
La potencia total instantánea:
p(t) = p(t)1 + p(t)2 + p(t)3 = 3 V I cos +
V I cos 2wt – + cos 2wt – – 240º + cos ( 2wt – – 480º )
Pero:
cos 2wt – + cos 2wt – – 240º + cos ( 2wt – – 480º ) = 0
Fasorialmente:
Finalmente, la potencia total instantánea estará dada por:
p(t) = p(t)1 + p(t)2 + p(t)3 = 3 V I cos = P
Es decir, la potencia instantánea es constante e independiente del tiempo, y es igual a la suma
de las potencias medias de todas las fases, es decir, al producto de la potencia activa de una fase
por el número de fases, en este caso, tres.
Sin embargo, en base a las ecuaciones deducidas del circuito monofásico, podemos realizar
algunas observaciones:
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La potencia de un sistema trifásico, es aquella potencia que aportan o demandan las tres
fases a la vez.
La potencia instantánea en cada fase conserva su carácter monofásico y pulsante (
potencia media más la potencia fluctuante).
Si el sistema no es equilibrado, existirá una potencia trifásica pulsante.
4.5.2. RESUMEN DE POTENCIAS EN UN SISTEMA TRIFÁSICO EQUILIBRADO
P = 3 V I cos = 3 VF IF cos (RP-01)
F - Fase
Se mostrarán las ecuaciones para una conexión estrella y triángulo, en base a la ecuación (RP-
01):
CONEXIÓN POTENCIA ACTIVA POTENCIA REACTIVA POTENCIA APARENTE
ESTRELLA
3 VF IF cos
IF = IL ; VL = VF
3 IL cos
VL IL cos
3 VF IF sen
IF = IL ; VL = VF
3 IL sen
VL IL sen
3 VF IF
IF = IL ; VL = VF
3 IL
VL IL
TRIÁNGULO 3 VF IF cos
VF = VL ; IL = IF
3 VL cos
VL IL cos
3 VF IF sen
VF = VL ; IL = IF
3 VL sen
VL IL sen
3 VF IF
VF = VL ; IL = IF
3 VL
VL IL
UNIDADES W, KW, MW VAR, KVAR, MVAR VA, KVA, MVA
SIMBOLOGÍA P
P = S cos
Q+ -
Q = S sen
S
+
4.6. CONVENIO REFERENCIAL DE POTENCIA.
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Potencia Activa:
P > 0 - Receptor ; cos > 0 - /2 < < /2 < /2
P < 0 - Generador ; cos < 0 - /2 > > /2 > /2
Potencia Reactiva:
Q > 0 - Carga consume energía reactiva; sen > 0 0 < <
Q < 0 - Carga cede energía reactiva ; sen < 0 - < < 0
P > 0 - Receptor < /2 P < 0 - Generador > /2
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4.7. POTENCIA COMPLEJA EN SISTEMAS TRIFÁSICOS.
= + j =
= = VL IL
= VL IL cos + j VL IL sen
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= cos-1 ( ) = tg-1 ( ) = sen-1 ( )
4.9. COMPENSACIÓN DE LA POTENCIA REACTIVA.
Básicamente, existen dos tipos de compensación:
Compensación Fija:
El mejoramiento del factor de potencia se la realiza con la instalación de condensadores
fijos, cuya compensación de la energía reactiva es constante o fija. Actualmente poco
usada.
Compensación Variable:
La compensación de la energía reactiva se realiza, generalmente, con baterías de
condensadores con regulación automática. Actualmente muy usada.
Este tipo de compensación permite la adaptación automática de la potencia reactiva
suministrada por los condensadores, en función de la potencia reactiva solicitada en cada
momento para ajustar el sistema a un cos prefijado.
Las baterías automáticas de condensadores están formadas por escalones de energía
reactiva. El valor del cos se detecta por medio de un regulador, que actúa
automáticamente en la conexión y desconexión de los escalones de la batería, adaptando la
potencia de la batería a las necesidades de la energía reactiva a compensar y ajustando el
máximo posible al cos medio deseado.
El regulador detecta las potencias a través de los secundarios de uno o varios
transformadores de intensidad (dependiendo del sistema equilibrado o fuertemente
desequilibrado). Los transformadores de intensidad deben situarse aguas arriba de la
batería. La batería automática permite la adaptación de la potencia de compensación a la
potencia reactiva de la carga, evitando el envío de energía capacitiva a la red de suministro.
Cuyo principio de funcionamiento y circuito de instalación es la siguiente:
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4.11. LOCALIZACIÓN DE CAPACITORES: La compensación de una instalación puede realizarse de diferentes formas.
Compensación Global.
Compensación por Sectores.
Compensación Individual.
En principio, la compensación ideal es aquella que limita el campo de actuación de la energía
reactiva al entorno más próximo a su creación. Pero los criterios técnico-económicos
determinarán su situación.
4.11.1. COMPENSACIÓN GLOBAL: Si la carga es estable y continua, una compensación global es adecuada.
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Ventajas:
Los niveles de consumo propios de la instalación permiten dimensionar una mínima potencia
de la batería y un máximo de horas de funcionamiento.
Estas características permiten una rápida amortización.
Suprime las penalizaciones por energía reactiva en el recibo de energía eléctrica.
Disminuye la potencia aparente acercándola a la potencia activa.
Optimiza el rendimiento del transformador de suministro.
Desventajas:
La corriente reactiva circula por toda la instalación.
Las pérdidas por calentamiento (Joule) se mantienen y no permite una reducción de su
dimensionamiento, aguas abajo de la instalación de la batería.
4.11.2. COMPENSACIÓN PARCIAL. Una compensación parcial es aconsejable cuando la distribución de cargas es muy
desequilibrada y de un cuadro de distribución depende una carga importante.
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Ventajas:
Suprime las penalizaciones por energía reactiva.
Disminuye la potencia aparente acercándola a la potencia activa.
Optimiza el rendimiento del transformador de suministro.
Optimiza una parte de la instalación entre los puntos 1 y 2.
Desventajas:
La corriente reactiva circula desde el nivel 2, aguas abajo de la instalación.
Las pérdidas por calentamiento (Joule) se mantienen a partir del nivel 2 y no permite
una reducción del dimensionamiento de la instalación.
Si los escalones no están bien dimensionados, en función de la potencia y su propio
reparto en cargas individuales, lleva el riesgo de sobredimensionamiento en períodos
determinados.
4.11.3. COMPENSACIÓN INDIVIDUAL.
Una compensación individual es aconsejable cuando existen cargas muy importantes en
relación a la carga total. Es el tipo de compensación que aporta más ventajas.
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Ventajas:
Suprime las penalizaciones por energía reactiva.
Disminuye la potencia aparente acercándola a la potencia activa.
Optimiza el rendimiento del transformador de suministro.
Optimiza la mayor parte de la instalación.
Desventajas:
El costo de la instalación sólo es rentable con cargas muy inductivas y regulares.
Ejemplo. 4.1.
Se tiene el diagrama unifilar siguiente, compuesto de un transformador trifásico de 630 KVA,
que alimenta una carga Q1 (450 KW, FP = 0,8 (-)), para efectos de aumento de producción, se
requiere cerrar el interruptor ‘s’ y alimentar la carga Q2 (100 KW, FP = 0,7 (-)). Cuáles los
pasos a seguir para conseguir cerrar el interruptor?
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Identificando la carga Q1:
La potencia aparente:
1 = = ,
= 562,5
La potencia reactiva:
= = 562,5 450 = 337,5
La corriente de línea:
= = , ,
= 811,92 /- 36,86 A
Identificando el Transformador:
La corriente nominal del transformador en el lado de 400 V:
= 3
= 700
3 0,4= 1010,39
El índice de carga del transformador:
= = 811,92
1010,39 = 80,35 %
Vale decir, que el transformador se encuentra trabajando con el 80,35 % de su capacidad
nominal.
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La potencia reactiva disponible del transformador:
= = 700 450 = 536,19
Excedente de potencia reactiva a favor del transformador:
QE = QT – Q1 = 536,19 - 337,5 = 198,69 KVAR
Identificando la carga Q2:
La potencia aparente:
2 = = ,
= 214,28
La potencia reactiva:
= = 214,28 150 = 153
La corriente de línea:
= = , ,
= 309,3 /- 45,57 A
La suma de las potencias aparentes cargas Q1 y Q2:
= + = (450 + 150) + (337,5 + 153) = 775
La suma de corrientes cargas Q1 y Q2:
´ = + = 811,92 < 36,86 + 309,28 < 45,57 = 1118,49 /- 39,26 A
La potencia reactiva del transformador apotencia activa nominal, cargas Q1 y Q2:
= = 700 600 = 360,55
La potencia reactiva excedente para el transformador:
= = 490,13 360,55 = 129,98
Ver figura:
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Lo que quiere decir, si se desea cerrar el interruptor ‘s’, mínimamente se debe compensar la
potencia reactiva, con bancos de condensadores de 129,98 KVAR nominal; ello depende del
valor del factor de potencia a operar en el sistema. Por ejemplo, se mejorará a 0.95, en retraso,
el factor de potencia en el sistema:
El factor de potencia del sistema formado por Q1 y Q2:
El diagrama fasorial será:
= tg-1 Q/P = 360,55/600 = 31°
cos = 0,85
El factor de potencia a mejorar:
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= cos-1 0,95 = 18,19 °
Qtr = P x tg = 600 x tg 18,19 = 197,15 KVAR
Qc = Q - Qtr = 360,5 – 197,15 = 163,35 KVAR
La potencia trifásica del banco de condensadores para mejorar el factor de potencia a 0,95, en
la operación del transformador, para optimizar el suministro de energía a las dos cargas Q1 y
Q2.
Ejemplo 4.2.
Sea el siguiente esquema trifásico:
Cuyos datos son los siguientes:
P = 0,9 Q
Tensión de Alimentación – 230 V
Corriente en el Amperímetro – 22 A
Tensión en el Voltímetro – 220 V
Impedancia de línea Resistivo - Z1
Impedancia de línea – Z2
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Impedancia equivalente de línea trifásica tiene el mismo desfase que la impedancia de
la carga.
Pérdidas en las líneas Z1 y Z2 se relacionan como Ppz1 = (1/2) Ppz2
Se pide:
Realizar el diagrama trifilar de impedancias del esquema de circuito, cuando s =0
Determine la tensión de línea en la zona 2 (Z2)
Determine el factor de potencia de la impedancia de línea 2, más la impedancia de carga
Determine la capacidad del Banco de Condensadores necesarios para mejorar el Factor
de Potencia a 0,95 (-), cuando s=1
Evalúe las potencias por zonas, cuando s = 1 y cuando s = 0
Realice los diagramas fasoriales de tensión y corriente en cada zona, para s=1 y s=0
Realice los diagramas fasoriales equivalentes de potencia por zonas, para s=1 y s=0
Cuál el % de liberación de carga y potencia en la línea de suministro.
Determine la lectura de los vatímetros monofásicos, para s=0 y s=1
SOLUCIÓN:
El factor de potencia de la carga:
P = 0,9 Q => = = ,
=> = ,
= 48° en retraso
Carga en conexión triángulo equilibrado:
| | = 3 | |
Argumento de | | = Argumento de | | -30° , para secuencia positiva
La impedancia de fase en magnitud:
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ZQ = Ó
= Í =
= 17,32
La impedancia en forma fasorial:
= 17,32 48° = 11,59 + j 12,87 = RQ + j XQ
Las impedancias equivalentes de la línea y de la carga, podemos representarlas en el siguiente triángulo:
Donde:
= Reactancia equivalente de la línea de transmisión
= Resistencia equivalente de la línea de transmisión
= Impedancia equivalente de la línea de transmisión =
= Reactancia equivalente de la carga
= Resistencia equivalente de la carga
= Impedancia equivalente de la carga
= => = (1)
En magnitud:
| | = = = 0,455 (2)
Del triángulo de impedancias:
= + => = (3)
De (1):
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= = (4)
Igualando (3) y (4):
=
= ( 1 + ) = > =
= ,
= 0,093
= 0,305
Luego:
= = tg 48 = tg 48 * 0,305 = 0,339
= 0,339
Las pérdidas en las líneas de transmisión:
= 12
=
= (5)
La resistencia equivalente de la línea de transmisión:
= + = + =
= = 0,305 = 0,203
= = 0,203 = 0,102
El diagrama trifilar de impedancias del esquema de circuito, cuando s =0 :
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Tensión en bornes del Banco de Condensadores:
Caída de tensión en la línea Z2:
| | = | || | = + 22 = 0,203 + 0,339 * 22 = 8,693 V
Argumento de la caída:
tg = ,,
= 59°
La corriente de línea:
Argumento de la corriente de línea = Argumento de la corriente de fase – 30° (Sec.+)
Para la fase R, tomando como referencia la tensión compuesta RS, luego:
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= 22 -48-30 = 22 -78°
= 0,395 59° * 22 -78° = 8,693 -19°
= 8,693 -19° V
= 8,693 -19° - 120° V
= 8,693 -19° + 120° V
La tensión de línea en la zona 2 (Z2)
Fasorialmente:
= + = 220 0° + 8,693 -19°
= 228,23 - 0,71° V
= 228,23 - 0,71°- 120° V
= 228,23 - 0,71° + 120° V
La potencia reactiva trifásica de la carga:
= 3 = 3 * 220 * 22 * 48
= 6229,87 VAR
La potencia activa trifásica de la carga:
= 3 = 3 * 220 * 22 * cos 48
= 5609,41 W
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172
La potencia reactiva trifásica de la línea Z2:
= 3 * = 3 * 222 * 0,339
= 492,23 VAR
La potencia activa trifásica de la línea Z2:
= 3 * = 3 * 222 * 0,203
= 294,76 W
La potencia reactiva trifásica Línea + Carga:
= +
= 6229,87 + 492,23
= 6722,1 VAR
La potencia activa trifásica Línea + Carga:
= +
= 5609,41 + 294,76
= 5904,17 W
El factor de potencia de la impedancia de línea 2, más la impedancia de carga:
REDES TRIFÁSICAS Y SUS APLICACIONES ELT – 2510 CIRCUITOS ELÉCTRICOS II GESTIÓN 2009
173
= = ,,
= 48,71°
= 48,71°
La capacidad del Banco de Condensadores necesarios para mejorar el Factor de
Potencia a 0,95 (-), cuando s=1:
La potencia reactiva de la línea + carga, para un factor de potencia 0,95 (-)
= tg 18,19 * 5904,17 =
= 1940 VAR
La potencia reactiva a compensar por el banco de condensadores:
= 6722,1 - 1940 =
= 4782,1 VAR
La potencia reactiva compensada por fase:
/ = = ,
/ = 1594 VAR
REDES TRIFÁSICAS Y SUS APLICACIONES ELT – 2510 CIRCUITOS ELÉCTRICOS II GESTIÓN 2009
174
La capacidad por fase del Banco de Condensadores:
/ = * w * C
C = /
= =
,
C = 97,4
La corriente de línea con el interruptor cerrado (s = 1):
= = ,, ,
= 15,72 A
Fasorialmente:
= 15,72 18,19° – 30° A
= 15,72 18,19° – 30° - 120° A
REDES TRIFÁSICAS Y SUS APLICACIONES ELT – 2510 CIRCUITOS ELÉCTRICOS II GESTIÓN 2009
175
= 15,72 18,19° – 30° + 120° A
Las potencias por zonas, cuando s = 1 y cuando s = 0
La potencia trifásica que se disipa en la línea Z1 con s=1:
= 3 * * = 3 * 15,72 * 0,102
= 75,62 W
La potencia trifásica que se disipa en la línea Z1 con s=0:
= 3 * * = 3 * 22 * 0,102
= 148,1 W
La potencia activa trifásica que suministra la línea con s=0:
= +
= 148,1 + 294,76 + 5609,41
= 6052,27 W
La potencia activa trifásica que suministra la línea con s=1:
= +
= 75,62 + 294,76 + 5609,41
= 5979,79 W
La potencia reactiva trifásica que suministra la línea con s=0:
= +
= 492,23 + 6229,87
= 6722,1 VAR
REDES TRIFÁSICAS Y SUS APLICACIONES ELT – 2510 CIRCUITOS ELÉCTRICOS II GESTIÓN 2009
176
La potencia reactiva trifásica que suministra la línea con s=1:
= +
= 492,23 + 6229,87 - 4782,1
= 1940 VAR
La potencia aparente trifásica que suministra la línea con s=0:
SL = + = 6052,27 + 6722,1
SL = 9045,25 VA
La potencia aparente trifásica que suministra la línea con s=1:
SL = + = 5979,79 + 1940
SL = 6286,61 VA
El % de liberación de carga y potencia en la línea de suministro:
Porcentaje de liberación de carga:
% = /
/ *100 = , 100
% = 71,4 %
% = 100 - 71,4 %
% = 28,6 %
Porcentaje de liberación de potencia aparente:
% = /
/ *100 = ,
, 100
% = 70 %
REDES TRIFÁSICAS Y SUS APLICACIONES ELT – 2510 CIRCUITOS ELÉCTRICOS II GESTIÓN 2009
177
% = 100 - 70 %
% = 30 %
Los diagramas fasoriales de tensión, corriente y potencia en cada zona, para s=1 y s=0
ZONA 3:
ZONA 2 con s=0:
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178
ZONA 2 con s=1:
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179
ZONA 1:
= + * = 228,23 -0,71° + 15,72 18.19° - 30° * 0,102
= 229,32 -1° V
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180
= 229,32 -1° - 120° V
= 229,32 -1° + 120° V
La lectura de los vatímetros monofásicos, para s=0 y s=1
REDES TRIFÁSICAS Y SUS APLICACIONES ELT – 2510 CIRCUITOS ELÉCTRICOS II GESTIÓN 2009
181
Los diagramas fasoriales son los siguientes:
Para s=1:
Para el vatímetro 1:
= cos W
Para el vatímetro 2:
= cos W
Para el vatímetro 3:
= cos W
La suma de los vatímetros:
REDES TRIFÁSICAS Y SUS APLICACIONES ELT – 2510 CIRCUITOS ELÉCTRICOS II GESTIÓN 2009
182
+ + = cos + cos + cos
Por la condición de equilibrio, en magnitud:
= = =
= = =
La lectura total:
= 3 cos = 3 cos
= 3 cos = 3 * 230 * 15,72 * 0,95122
= 5956,92 W
En forma análoga, podemos calcular la lectura de los vatímetros cuando s =0:
= 3 cos = 3 cos
= 3 cos = 3 * 230 * 22 * 0,66
= 5784,36 W
4.12. TRANSPORTE MONOFÁSICO vs TRIFÁSICO.
A continuación, detallaremos básicamente las ventajas de transportar trifásicamente respecto al
transporte monofásico, para lo cual, las condiciones serán:
Potencia aparente S (MVA)
Longitud (km)
Tensión fase – neutro (kV)
Densidad de corriente máxima admisible del material conductor ( A/cm2)
PARÁMETRO TRANSPORTE MONOFÁSICO TRANSPORTE TRIFÁSICO
REDES TRIFÁSICAS Y SUS APLICACIONES ELT – 2510 CIRCUITOS ELÉCTRICOS II GESTIÓN 2009
183
POTENCIA S1 = S S3 = S TENSIÓN V1 = V V3 = 3 V
CORRIENTE I1 = I3 =
=
SECCIÓN CONDUCTOR
A1 = =
A3 = =
CANTIDAD MATERIAL M1 = 2 A1 d =
M3 = 2 A3 d =
PÉRDIDAS P1 = 2 =
P3 = 3 =
CONCLUSIÓN = 2 = 2
“ A igualdad de potencia a transportar y la misma tensión, en trifásica mitad de material y mitad de pérdidas, en comparación con la monofásica”
REDES TRIFÁSICAS Y SUS APLICACIONES ELT – 2510 CIRCUITOS ELÉCTRICOS II GESTIÓN 2009
184
4.13. MEDICIÓN DE POTENCIA EN SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS.
El equipo generalmente usado para medir la potencia activa de un sistema trifásico, es el
instrumento denominado Vatímetro, éste en la actualidad, se la puede encontrar como
instrumento unimedida o como instrumento multimedida, a la fecha es de uso corriente los
vatímetros electrónicos y los digitales con ó sin memoria. A pesar de ello, estudiaremos a los
vatímetros analógicos monofásicos y trifásicos, con el objetivo de fortalecer nuestros
conocimiento de elaboración de diagramas fasoriales monofásicos y trifásicos y criterio de
polaridad de cada una de la bobinas de los vatímetros.
A continuación describiremos cada uno de los componentes de un vatímetro monofásico:
R = VRN 0º / Z º
R = -
La ecuación de la potencia leída por el vatímetro será:
REDES TRIFÁSICAS Y SUS APLICACIONES ELT – 2510 CIRCUITOS ELÉCTRICOS II GESTIÓN 2009
185
P = VRN x IR < = VRN x IR cos ; VRN = V ; IR = I
P = V x I cos
De este pequeño, pero importante análisis, podemos concluir lo siguiente: El vatímetro sea
este analógico, híbrido, electrónico, digital con memoria ó sin memoria, para su registro ó
despliegue correcto debe tener en sus bobinas, terminales, sensores, etc corriente y tensión, y
en base a estas magnitudes desplegará sus registros de los diferentes parámetros, en otras
palabras, el instrumento operará en función como se lo conecte, por lo que depende de
quienes operen el instrumento. No olvide dentro esta operación se encuentran involucrados
muchos parámetros eléctricos, corriente, tensión, polaridad, etc, etc.
Es por esta razón que es muy importante la conexión de estos instrumentos porque en algunos
casos, casi mayormente, trabajan para cuantificar el consumo de energía eléctrica, que se
manifiesta al final en plata.
Se tiene un libro de mi autoría en la biblioteca de la Carrera, cuyo título, Aplicación de
Diagramas Fasoriales Monofásicos y Trifásicos a Sistemas de Medición, edición 2002, en el
que se pueden ver toda una variedad de ejercicios de sistemas de medición, en el que se
constituye los diagramas fasoriales sean estos monofásicos 2 – 3 hilos y los trifásicos 3 – 4
hilos, como una aplicación muy importantes. Por lo que aconsejo a los alumnos referirse a
este libro para cualquier inquietud al respecto.
4.10. CIRCUITO TRIFÁSICO 4 HILOS CONEXIÓN ESTRELLA.
4.13.1. TRES VATÍMETROS 4 HILOS.
El presente esquema de medición, corresponde al Sistema de Medición Trifásico Directo,
Estrella 4 hilos, el medidor de potencia, está compuesto por tres vatímetros monofásicos,
denominado también por el método de tres vatímetros, sin embargo, también debemos ver
con cierto detenimiento las polaridades de las bobinas de corriente y de tensión del medidor
para definir el sentido de las corrientes aquí involucradas.
REDES TRIFÁSICAS Y SUS APLICACIONES ELT – 2510 CIRCUITOS ELÉCTRICOS II GESTIÓN 2009
186
De la condición de equilibrio podemos escribir:
FLFLL VVVVVVIIIIVVVV 3;;; 302010321312312
El respectivo circuito de medición equivalente será:
El diagrama fasorial, para este caso, es el siguiente :
10V
20V30V
12V
31V
23V
1I
2I
3I
301
2
303
30
REDES TRIFÁSICAS Y SUS APLICACIONES ELT – 2510 CIRCUITOS ELÉCTRICOS II GESTIÓN 2009
187
El registro del medidor, en base a su circuito de medición equivalente y su diagrama fasorial
es el mostrado a continuación:
30
3
20
2
10
1coscoscos 330220110
VI
VI
VI IVIVIVRg
Del diagrama fasorial:
WIVRg
IVIVRg
IVIVIVRg
IVIVIVRg
Ll
LFLF
LFLFLF
............cos3
cos333cos3
coscoscos
coscoscos 333022201110
Rg = Potencia Activa 3ø de la carga, en Vatios
4.13.2. DOS VATÍMETROS ESPECIALES 4 HILOS.
El presente esquema, se trata de un Sistema de Medición de Potencia para una red trifásica 4
Hilos, en conexión estrella, cuya fuente de suministro de energía está compuesto de un
transformador trifásico con conexión estrella – estrella con neutro, el medidor de potencia,
está compuesto por dos vatímetros especiales monofásicos, cada uno, con dos medias bobinas
de corriente repartidas entre dos fases restantes, con polaridades opuestas a la línea o fase original
y con sus dos respectivas bobinas de tensión polarizadas normalmente línea-carga.
REDES TRIFÁSICAS Y SUS APLICACIONES ELT – 2510 CIRCUITOS ELÉCTRICOS II GESTIÓN 2009
188
Los diagramas fasoriales de tensiones y corrientes:
Podemos escribir:
| 1| = | 2| = | 3|
(1)
El correspondiente diagrama fasorial, correspondiente al circuito en conexión estrella 4 hilos será el siguiente :
321
312312
302010
2123
3
3
FL
L
F
VV
VVVV
VVVV
IIIII
REDES TRIFÁSICAS Y SUS APLICACIONES ELT – 2510 CIRCUITOS ELÉCTRICOS II GESTIÓN 2009
189
En el diagrama Fasorial podemos puntualizar :
130' ; = 30 + 3
El registro del vatímetro, según el circuito equivalente y el diagrama fasorial:
30
23
10
21cos)(cos)( 2330''2110
VII
VII IIVIIVRg
)30cos()()30cos()( 3233012110 IIVIIVRg
REDES TRIFÁSICAS Y SUS APLICACIONES ELT – 2510 CIRCUITOS ELÉCTRICOS II GESTIÓN 2009
190
WIVRg
sensenIVRg
IVIVRg
LL
LL
LFLF
...............cos3
)21cos
23
21cos
23(
)30cos(3)30cos(3
Rg = Potencia Activa Trifásica consumida por la carga expresada en vatios
REDES TRIFÁSICAS Y SUS APLICACIONES ELT – 2510 CIRCUITOS ELÉCTRICOS II GESTIÓN 2009
191
4.14. CIRCUITO TRIFÁSICO 3 HILOS CONEXIÓN TRIÁNGULO.
4.14.1. DOS VATÍMETROS 3 HILOS.
El presente esquema, corresponde al Sistema de Medición Trifásico Directo, Triángulo 3 hilos, el medidor de potencia, está compuesto por dos vatímetros monofásicos, denominado también método de dos vatímetros (Conexión Arón), sin embargo, también debemos ver con cierto detenimiento las polaridades de las bobinas de corriente y de tensión del medidor para definir el sentido de las corrientes aquí involucradas
El Circuito representativo será :
El diagrama fasorial respectivo:
REDES TRIFÁSICAS Y SUS APLICACIONES ELT – 2510 CIRCUITOS ELÉCTRICOS II GESTIÓN 2009
192
El registro de los dos vatímetros:
32
3
12
1coscos 332112
VI
VIT IVIVW
Del diagrama fasorial:
)30cos30(cos)30cos30(cos
)30cos()30cos(
32323321212112
3233212112
sensenIVsensenIVRg
IVIVWT
De la condición de equilibrio:
LVVV 3212
REDES TRIFÁSICAS Y SUS APLICACIONES ELT – 2510 CIRCUITOS ELÉCTRICOS II GESTIÓN 2009
193
LIII 21
3212
(W)
cos3cos23cos
23
30cos30cos30cos30cos
ifásicaPotenciaTrW
IVIVW
sensenIVsensenIVW
T
LLLLT
LLLLT
4.15. CONEXIÓN TRIÁNGULO 4 HILOS
4.15.1. MEDICIÓN ESPECIAL DE POTENCIA EN CONEXIÓN TRIÁNGULO 4 HILOS.
El circuito característico es el siguiente:
REDES TRIFÁSICAS Y SUS APLICACIONES ELT – 2510 CIRCUITOS ELÉCTRICOS II GESTIÓN 2009
194
/V12 / = /V23/ = /V31/ = V
/V20 / = /V30/ = /V/2/
/V12 / = / 23
V /
Diagrama fasorial:
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195
12V
23V31V
1I
2I
3I12I
23I
31I
30°
30°
30°
12
23
31
60°
32V
2I10V
30° 30°
23 II30°
Donde:
31
31303030
31
31
303060
12
12
12
303030
30
Registro del medidor:
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196
12312313210
2332110
;3 ; ; ;23
cos)(cos 32
23
10
1
IIIIIVVVV
IIVIVRg VII
VI
Del diagrama fasorial:
cos323)1
21(cos3
cos3cos23
VIVIRg
VIIRg
Rg = 1.5 Potencia Activa 3ø (W)
Rg = 50 % más Potencia Activa 3ø
El esquema analizado tal cual fue propuesto no mide exactamente la potencia activa trifásica de la carga, según el análisis matemático registra un cincuenta por ciento más de potencia activa trifásica en vatios.
REDES TRIFÁSICAS Y SUS APLICACIONES ELT – 2510 CIRCUITOS ELÉCTRICOS II GESTIÓN 2009
197
4.13. POTENCIA SUMINISTRADA POR UN BANCO DE TRANSFORMADORES MONOFÁSICOS CONECTADOS EN DELTA ABIERTO.
El Libro Circuitos Magnéticos y transformadores de S.S STAFF – M.I.T., en la página 521,
indica : “Un Banco en Triangulo abierto de transformadores exactamente iguales , se
encuentra a plena carga cuando alimenta a una carga trifásica equilibrada con el 86,6 % de
la Potencia aparente nominal total de los transformadores instalados. Será pues, necesario
instalar una capacidad total de transformadores mayor en un Triángulo abierto que en uno
triángulo - triángulo, capaz de alimentar la misma carga trifásica equilibrada. Este es el
principal inconveniente del triángulo abierto frente a cualquiera de las conexiones
simétricas.”
A continuación se analizará analítica y fasorialmente la operación del Banco de
Transformadores conectados en Delta Abierto, y para ello se basará siempre en una carga
equilibrada y la instalación de dos vatímetros para una red tres hilos trifásico, lado primario
de los transformadores I, II, y III:
El circuito equivalente de análisis y medición de potencia es el siguiente:
Diagrama fasorial considerando al Banco conectado en Triángulo :
REDES TRIFÁSICAS Y SUS APLICACIONES ELT – 2510 CIRCUITOS ELÉCTRICOS II GESTIÓN 2009
198
3012 VV
9023 VV
15031 VV
3012 FII
)90(23 FII
)150(31 FII
LII1
)120(2 LII
)120(3 LII
Considerando ahora la conexión Delta Abierto en la fuente de Transformadores Monofásicos :
233131223231121 IIIIIIIII
Si I31 = 0, entonces las corrientes de línea serán :
23312232121 IIIIIII
Vale decir que las corrientes de fase, ahora se convierten en corrientes de línea, ver diagrama fasorial :
REDES TRIFÁSICAS Y SUS APLICACIONES ELT – 2510 CIRCUITOS ELÉCTRICOS II GESTIÓN 2009
199
Los desfases de tensión y de corriente para este caso quedan de la siguiente forma:
3012 VV
9023 VV
15031 VV
Considerando la condición de equilibrio:
IIISiIIIIIIII LFLF ////: 321 312312
VVVV ////// 312312
Donde :
V e I , son la tensión aplicada a cada transformador monofásico y la corriente
que circula también por cada transformador :
II1
)120(2 LII
)120(2 II
El registro de los medidores será proporcional a la siguiente ecuación :
32
3
12
1cos // //cos // // 332112
VI
VI IVIVRg
Reemplazando los desfases respectivo tanto de tensión como de corriente :
REDES TRIFÁSICAS Y SUS APLICACIONES ELT – 2510 CIRCUITOS ELÉCTRICOS II GESTIÓN 2009
200
)30( cos )30( cos IVIVRg
QPQPRg
sensenIVIVRg
sensenIVRg
21
23
21 -
23
21 cos
23
21 cos
23
) 21 cos
23 ( )
21 cos
23 (
Rg = 2 x 86.6 % de Potencia Activa expresada en vatios (W)
Por lo que podemos concluir que en la conexión Delta Abierto de Transformadores
Monofásicos cada transformador sólo puede suministrar el 86,6 % como Potencia Activa de
la totalidad de potencia disponible, vale decir, transformable en otro tipo de energía, porque
requiere el 14,4 % de Potencia Disponible como campo magnético, potencia reactiva, para
fortalecer el circuito magnético de ambos transformadores, provocado por la ausencia de un
transformador; el signo en la última ecuación indica ello, vale decir, energía en transición,
primera potencia reactiva con signo + y segunda potencia reactiva con signo -, que es
característica de la transición de Potencia Reactiva, cuyo valor medio es igual a cero, energía
no aprovechable.
REDES TRIFÁSICAS Y SUS APLICACIONES ELT – 2510 CIRCUITOS ELÉCTRICOS II GESTIÓN 2009
201