7/17/2019 4.0 Medidas de Variabilidad

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ESTADÍGRAFOS DE DISPERSIÓN o VARIABILIDAD

Las medidas de dispersión son las qe !an"i#i!an el $rado de !on!en"ra!ión o de dispersión delos %alores de la %aria&le en "orno a n promedio o %alor !en"ral de la dis"ri&!ión'Dos !on(n"os de da"os peden "ener la misma lo!ali)a!ión !en"ral * no o&s"an"e ser m*

di#eren"es+ si no es", m,s disperso qe el o"ro' E(emplo-

. / 01 00 02

  2 3 01 04 0.

En am&os !asos se "iene la misma media * la misma mediana * sin em&ar$o+ no se ne!esi"am!5o es#er)o para darse !en"a qe son mes"ras si$ni#i!a"i%amen"e di#eren"es'

Las medidas de dispersión se ne!esi"an para dos propósi"os &,si!os-

a6 Para %eri#i!ar la !on#ia&ilidad de los promedios'

 &6 Para qe sir%a !omo &ase para el !on"rol de la %aria!ión de misma

Se pede de!ir qe los "7rminos !on!en"ra!ión * dispersión peden ser sados indis"in"amen"e'Pes se da la rela!ión-

Al"a dispersión Ba(a 8on!en"ra!ión

Ba(a dispersión Al"a 8on!en"ra!ión

Den"ro de las medidas de dispersión m,s !ono!idas+ "enemos-

EL RECORRIDO O RANGO (R)

Es la di#eren!ia en"re los dos %alore e9"remos' Es de!ir-

R   : ;<A; = ;<IN

El re!orrido !omo es"ad>$ra#o de dispersión es m* limi"ado+ pes sólo !onsidera los %alorese9"remos de la dis"ri&!ión+ * no di!e nada de !omo se dispersan los %alores in"ermedios de la

%aria&le'

E(emplo-

Sean los si$ien"es da"os+ el n?mero de %e!es qe na mes"ra de 0@ almnos del !ole$io SanA$s">n de 85i!la*o+ #e al !ine en el mes de A&ril del ao 2114- 

2+ + 4+ @+ 3+ C+ .+ .+ /+ /+ 01+ 00+ 02+ 02+ 0Le$o-

R   : ;<A; = ;<IN

R   : 0  = 2 : 00

R   : 00

@1

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LA VARIANZA, LA DESVIACIÓN ESTANDAR O TIPICA yEL COEFICIENTE DE VARIACIÓN.

LA VARIANZA es el es"ad>$ra#o de dispersión m,s impor"an"e * e9presa el $rado dedispersión de las o&ser%a!iones respe!"o a la media ari"m7"i!a'

Sin em&ar$o+ si &ien la %arian)a es n es"ad>$ra#o qe e9presa !an"i"a"i%amen"e la dispersión den !on(n"o de da"os+ o!rren in!on%enien"es en !an"o a la in"erpre"a!ión de es"a !an"idad+ *aqe es"a dada en el !adrado de la dimensión en qe se e9presa la !ara!"er>s"i!a+ "ra*endo!onsi$o !on#sión' Es !on%enien"e en"on!es "ra"ar !on o"ro es"ad>s"i!o qe &asado en el %alor dela %arian)a+ sir%a para dar na medida de la dispersión en la misma dimensión en qe se "omaronlos da"os * es-

LA DESVIACION ESTANDAR, se de#ine !omo la ra>) !adrada posi"i%a de la %arian)a'

EL COEFICIENTE DE VARIACION, es el indi!ador del $rado de dispersión de los%alores respe!"o de s promedio+ el mismo qe es"a e9presado en "an"o por !ien"o'

El %alor de es"e indi!ador+ no es", a#e!"ado por la nidad de medida+ por lo "an"o es ?"il para la !ompara!ión en "7rminos rela"i%os del $rado de !on!en"ra!ión en "orno a la mediade dos dis"ri&!iones dis"in"as'

En $eneral-

• Cuando es menor de 30% se d!e "ue #a ds$ru!&n es 'omonea*

• S es ma+or a 30% se !onsdera a #a ds$ru!&n !omo 'e$eronea o de a#$o

rado de dsers&n*

E-em#o ./

Las #re!en!ias !ardia!as de @ nios son- 01+ 02+ 02C+ 02/+ 02+ plsa!iones por min"o'De"erminar la %arian)a de la #re!en!ia !ardia!a de la mes"ra'

So#u!&n/

i6 Se de"ermina la media ari"m7"i!a de la mes"ra

 X  =n

 Xi∑ = 

@

3@1=130

@0

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Le$o pro!edemos a los !,l!los en la si$ien"e "a&la-

 Variable

 

Desviación respecto

a la media* ( 1  X  )( 1  X  ) 2

127 -3 9

129 -1 1

130 0 0

132 2 4

132 2 4

650 Σ(Xi - X )2= 18

ii6 Se "oma la di#eren!ia en"re !ada o&ser%a!ión * la media ari"m7"i!a * se ele%a al!adrado %er "a&la6'

ii6 8al!lamos la %arian)a-

 V[ ]   = x s2 =0=n

6D2

 ∑   −   X  i X  

 V[ ]  = x s2 = @'4

4

0.=

iii6 En"on!es podemos 8al!lar la des%ia!ión es",ndar-2

S S   =   Reempla)amos en la #órmla * o&"enemos- @'4=S 

020B2'2=S   Plsa!iones por min"o

In$erre$a!&n- Las #re!en!ias !ardia!as de los nios %ar>an en 2'02 plsa!iones por min"orespe!"o a la plsa!ión promedio'

i%6 De"erminando el !oe#i!ien"e de %aria!ión de las #re!en!ias !ardia!as de la mes"ra-

Se "iene-  X = 130 020B2'2=S   plsa!iones por min"o

A5ora reempla)amos en la #órmla * o&"enemos-

CV =0B1

020B2'2* 100 = 1.63%

In$erre$a!&n- Las #re!en!ias !ardia!as de los nios %ar>an en 0'3 respe!"o a la#re!en!ia !ardia!a promedio+ se pede de!ir qe los da"os son 5omo$7neos o presen"an

na al"a !on!en"ra!ión'

@

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E-em#o 2/De"ermine la %arian)a qe !orresponde a la dis"ri&!ión de 21 pos"as m7di!as se$?n el Nde "ra&a(adores'

So#u!&n/

i6 Se de"ermina la media ari"m7"i!a de la mes"ra * se reali)an los si$ien"es !,l!los-

N de

$raa-adores ()

N os$as

(4 )( 1   X  ) ( 1   X  )

2( 1   X  )

2 4 

2 0 =2'@ @'@22@ @'@22@3 =0'@ 0'.22@ @'43C@5 C =1'@ 1'022@ 1'.@C@6 3 1'3@ 1'422@ 2'@@17 0'3@ 2'C22@ .'03C@

To$a# 21   ∑  4  (8 1   X  )2 9 22*66

 x GG   : 4'@ "ra&a(adores por pos"a'

ii6 8al!lamos la %arian)a-

 V[ ]  = x s2 =0=n

6HDi# 

2

 ∑   −   X  i

s2= 0.3.'0

0/

@@'22=

iii6 A5ora podemos 8al!lar la des%ia!ión es",ndar-

2S S   =   Reempla)amos en la #órmla * o&"enemos- 0.3.'0=S 

1./'0=S   Tra&a(adores'

In$erre$a!&n- El n?mero de "ra&a(adores de las pos"as m7di!as %ar>an en n "ra&a(ador respe!"o al %alor promedio'

i%6 De"erminando el !oe#i!ien"e de %aria!ión del n?mero de empleados por pos"a m7di!ade la mes"ra-

Se "iene-  X = 4'@ "ra&a(adores por pos"a   1./'0=S   "ra&a(adores'

A5ora reempla)amos en la #órmla * o&"enemos-

CV =35 4

0891

'

'* 100 = 25.03%

In$erre$a!&n- El n?mero de empleados por pos"a m7di!a+ %ar>an en 2@'1 respe!"o aln?mero de empleados promedio+ se pede de!ir qe los da"os son 5omo$7neos o presen"an

na al"a !on!en"ra!ión *a qe es"e por!en"a(e es menor a 1'E-em#o 3/

@4

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La Empresa Roa#a S'A' re$is"ró el seldo de ss .1 "ra&a(adores+ !on la #inalidad dereplan"ear n #"ro amen"o en ss seldos' Basados en es"os re$is"ros de"ermine la%arian)a para es"os da"os'

So#u!&n/

i6 Se de"ermina la media ari"m7"i!a de la po&la!ión * se reali)an los si$ien"es !,l!los-( L : Ls; 4  ( 1  µ  ) ( 1  µ  )2 ( 1  µ  )2 4 

/1=021 01@ 00 =3/'4 4.03'3 @2/.1'1021=0@1 0@ 0 =/'4 0@@2'3 210.0'C0@1=0.1 03@ 21 =/'4 ..'3 0C3C'20.1=201 0/@ 0C 21'3 424'3 C204'0201=241 22@ 0@ @1'3 2@31'3 .41@'4241=2C1 2@@ .1'3 34/3'3 0/4./'02C1=11 2.@ 0 001'3 0222'3 0222'4

m 9< =0 .6227>*>

Tenemos !omo promedio µ 

  : 0C4'4En"on!es+ podemos de"erminar la %arian)a+

n

6HDi# 2

2

∑

=

−  µ σ 

i

 =.1

/'0@223/ = 1903.40

2σ  

  : 0/1'41 dólares al !adrado

Tam&i7n podemos 8al!lar la des%ia!ión es",ndar-2

σ  σ    =   Reempla)amos en la #órmla * o&"enemos- 41'0/1B=σ  

32'4B=σ    Dólares'

In$erre$a!&n- El seldo de los "ra&a(adores de di!5a empresa %ar>a en 4'32 dólares !onrespe!"o al seldo promedio mensal'

Finalmen"e podemos 5allar el !oe#i!ien"e de %aria!ión+ reempla)amos en la #órmla *o&"enemos-

CV =

4'0C4

32'4B* 100 = 25.01%

In$erre$a!&n- Los seldos de los "ra&a(adores de di!5a empresa+ %ar>an en 2@'10respe!"o al seldo promedio+ se pede de!ir qe los da"os son 5omo$7neos o presen"an na

al"a !on!en"ra!ión *a qe es"e por!en"a(e es menor a 1'

@@

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?RO?IEDADES DE LA VARIANZA

0' Para !alqier dis"ri&!ión la %arian)a es siempre n n?mero no ne$a"i%o'

s2 ≥0

2' Si el %alor de las o&ser%a!iones son "odas i$ales+ en"on!es la %arian)a es !ero+ esde!ir la %arian)a de na !ons"an"e es !ero'

s2 =n

1 = 0

' La %arian)a del prod!"o de na !ons"an"e !J por na %aria&le ;Jes i$al al!adrado de la !ons"an"e por la %arian)a de la %aria&le'

V ( C.X) = C2V(X)

4' La %arian)a de la sma de na %aria&le m,s na !ons"an"e+ es i$al a la %arian)a de

la %aria&le' V ( X+ K ) = V (X)

LAS MEDIDAS DE DISPERSIÓN SOLO INDICAN LA MAGNITUD DE LASVARIACIONES PERON NO DAN INFORMACIÓN ACERCA DE LA DIRECCION DELAS VARIACIONES......

......CUANDO EN EL DESARROLLO DE LA ESTADÍSTICA COMO APOYO A

 TRABAJOS PROPIOS DE ALGUNAS DISCIPLINAS, SURGE LA NECESIDAD DEUNA MEDIDA QUE MUESTRE LAS DIRECCIONES DE LA DISPERSIÓN DE LOSDATOS CON RESPECTO A SU CENTROY QUE COMPLETAN LA DESCRIPCIÓN DELA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS, APARECEN: ASIMETRÍA Y KURTORSIS

@3