Medidas de tendencia y de variabilidad

I. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Las medidas de tendencia central son valores que se ubican al centro de un conjunto de datos ordenados segn su magnitud. Generalmente se utilizan 3

de estos valores, tambin conocidos como estadgrafos: la media aritmtica, la mediana y la moda.

La media aritmtica es la medida de posicin utilizada con ms frecuencia.

Si se tienen n valores de observaciones, la media aritmtica es la suma de todos y cada uno de los valores dividida entre el total de valores: Lo que

indica que puede ser afectada por los valores extremos, por lo que puede dar una imagen distorsionada de la informacin de los datos.

La Mediana, es el valor que ocupa la posicin central en un conjunto de

datos, que deben estar ordenados, de esta manera la mitad de las

observaciones es menor que la mediana y la otra mitad es mayor que la mediana;resulta muy apropiada cuando se poseen observaciones extremas.

La Moda es el valor de un conjunto de datos que aparece con mayor

frecuencia. No depende de valores extremos, pero es ms variable que la media y la mediana.

1. Media Aritmtica Simple

La media o promedio aritmtico simple se define como el cociente entre la

suma de los datos u observaciones y el nmero de datos que intervienen

en dicha suma.

a. Datos No Agrupados:

Cuando los datos no se encuentran agrupados en Tablas de Frecuencia

Poblacin: Muestra:

=1

=1

=1

=1

b. Datos Agrupados:

Para datos DISCRETOS, pero agrupados en una Tabla de Frecuencia:

Poblacin: Muestra:

=1

.

=1

=1

.

=1

Donde: es la frecuencia absoluta

1

c. Datos Continuos:

Para datos agrupados en Intervalos de clase en la Tabla de Frecuencia:

Poblacin: Muestra:

=1

.

=1

=1

.

=1

Donde: es la frecuencia absoluta

es la Marca de clase

Observacines:

1. Las frmulas b y c son idnticas, basta reemplazar por

2. En funcin a las frecuencias relativas ,tenemos:

Poblacin: Muestra:

= .

=1

= .

=1

3. En funcin a las frecuencias porcentuales ,tenemos:

Poblacin: Muestra:

=1

100 .

=1

=1

100 .

=1

2. Mediana:

Es el dato cuyo valor ocupa la posicin central dentro de un conjunto de

datos, ordenados segn su magnitud.

a. Datos Discretos:

Los datos son numerables y pueden estar agrupados o no.

1. Ordenar los datos ascendentemente.

2

2. Segn sea n un nmero par o impar,se calcula La Mediana:

n es impar n es par

= +12

= 12

(2

+ 2

+1)

b. Datos Continuos:

Los datos estn organizados en intervalos de clase.

1. Utilizando a las Frecuencias acumuladas se identifica la fila i :

2. Reemplazar los valores de la fila en la frmula correspondiente

b.1) 1. Ubico

en La , identifico la fila i, luego la frmula es:

= + (

)

b.2) 1. Ubico

en La , identifico la fila i, luego la frmula es:

= + (

)

b.3) 1. Ubico 50 en La , identifico la fila i, luego la frmula es:

= + (

)

3. Moda:

Es el Valor, clase o categora que ocurre con mayor frecuencia en un

conjunto de datos.

a. Datos Discretos:

Los datos son numerables y pueden estar agrupados o no.

Mo = dato que ms veces se repite o con la mayor frecuencia

b. Datos Continuos:

Los datos se encuentran agrupados en intervalos de clase.

3

1. Identificar la fila i correspondiente al mayor valor de frecuencia:

2. Reemplazar los valores de la fila en la frmula:

= + (

+ )

Donde:

b1. 1 = 1 ; 2 = +1

b2. 1 = 1 ; 2 = +1

b3. 1 = 1 ; 2 = +1

4. Media Aritmtica Ponderada:

Este indicador se utiliza para promediar observaciones Xi que tienen

diferente importancia relativa o pesos(Wi). Si son promedios,

entonces Es el promedio de promedios.

5. Media Geomtrica:

Es igual a la raz n del producto de las n observaciones o datos

positivos. Este promedio es usado en la elaboracin de nmeros

ndices y para el clculo de tasas promedio de variacin.

nn

1i

in

n21 X...X XXX

g

Si los datos estan en tasas :

cada Xi = 1 + tasa i donde : cada tasa = %/100

La Frmula es:

= (1 + 1)(1 + 2) . (1 + )

4

Si los datos tienen unidades de medida :

La Frmula es: =

0

X0 : es el valor de la variable medida en el perodo inicial o cero Xn : es el valor de la variable medida en el perodo final o n Tambin la utilizamos para realizar Estimaciones o valor futuro.

Conversin de tasas :

(1 + tasa 1)n1 = (1 + tasa 2)n2

Donde n1 y n2 : # de perodos de tasa, contenidos en un ao.

Ejm: Convertir una tasa trimestral(m=4) del 24%, a tasa bimestral(n=6)

(1+TBim.)6 = (1+24%)4 de donde: TBim = (1.24)6/4-1 = 38.08%

6. Media Armnica:

Es igual a la inversa del promedio de los recprocos de un conjunto de

observaciones diferentes de cero. Este indicador se utiliza para

promediar razones o variables que tienen dimensiones fsicas tales

como kilmetros por galn, costo por kilmetro, kilmetros por hora, etc.

Se calcula mediante la frmula :

n

1i i

n

1i i

h

X

1

n

1

1

X

1

nX

PROMEDIO DE DATOS DE RAZN ENTRE DOS MAGNITUDES:

Dato de Razn = Numerador / Denominador = N / D

Caso 1: Si el Numerador permanece constante :

X1= N / D1, X2= N / D2, ........ Xn= N / D

Se Promediarn, utilizando: La media armnica.

5

Entonces el promedio ser :

n

1i i

n

1i i

A

X

1

n

1

1

X

1

nX

Caso 2: Si el Denominador permanece constante :

X1= N1 / D, X2= N2 / D, .......... Xn= N / D

Se Promediarn, utilizando : La media aritmtica

Entonces el promedio ser :

n

1i

iXn

1X

Caso 3: Si el Numerador y el Denominador no permanecen

constante los datos son promedios, se juntan grupos:

Se Promediarn, utilizando: La Media ponderada:

n

1ii

n

1iii

p

w

XwX

Nota: es la magnitud del DENOMINADOR

Ejemplo: Se compra 4 lotes , cada uno por el mismo Monto de dinero (M)

En la obtencin de los precios por unidad dentro de cada lote se tiene:

en el lote 1 : M / Q1= 4.00 soles por unidad;



en el lote 4 : M / Q4= 3.77 soles.

Donde: M= cantidad de dinero invertida en cada lote

Como el numerador M siempre es el mismo, luego, para hallar el

precio promedio, usaremos la media armnica :

soles 88.3

77.3

1

85.3

1

92.3

1

4

1

4

X

1

44

1i i

A

6

II . MEDIDAS DE POSICIN

Percentiles

Un percentil Pp, es el valor de la variable que tiene 100p% de obsv. hacia

su izquierda y 100(1-p)% de obsv. hacia su derecha.

Percentil P0.7

|-------- 70% de datos-------------- |- ----30 % de datos--|

p0.7=0.62

Clculo del Percentil :

Primero : Se ubica el valor p.n en Fi p en Fri p% en Pi

para identificar la fila y con ello identificar : el LI y el TIC .

Segundo : La frmula es : ii

1)-(i

ip TIC f

F-pn LI P

Donde:

1)-(iF : es la frecuencia acumulada del intervalo anterior

if : frecuencia absoluta del intervalo de clase

iTIC : Tamao del intervalo de clase

1. Deciles

DECIL Di (i=1,2,...,9) es el valor de la variable que tiene 10i% de

observaciones son menores al decil y el (100-10i%) de datos son

mayores al decil.

Son casos particulares de los percentiles :

D1= P0.10,

D2= P0.20 ,

.

.

.

D8= P0.80,

D9= P0.90

7

12, 13, 15, 20,....., 55, 62, 65, 68, 74,......,93

2. Cuartiles

CUARTIL Qi (i=1,2,3), es el valor de la variable que tiene 25i% de

observaciones que son menores al cuartil y el (100-25i%) de las

observaciones son mayores al cuartil.

Tambin pueden obtenerse como percentiles :

Q1 = P0.25,

Q2 = P0.50 ,

Q3 = P0.75

RANGO INTERCUARTLICO: RIC = Q3 Q1

NOTA : la mediana es considerada como el Q2 el Decil D5

Las aplicaciones de los percentiles estn asociados al clculo de

porcentajes de datos, cuyas medidas son menores a un valor dado

(p%), al % de datos comprendidos entre dos valores dados a

y b , que son el (q % p %) donde el p% de ellos son menores que

a y el q % menores a b, Si se desea calcular el % de datos mayores

que a se tender que restar p% del 100% o sea (100 p)%.

III. MEDIDAS DE VARIABILIDAD

Son Indicadores estadsticos que miden el grado de alejamiento o de

Dispersin que presenta el conjunto de Datos alrededor de su valor

Promedio. A mayor variabilidad, mayor ser la heterogeneidad en el

Conjunto. Pueden ser Absolutos: Rango, La Variancia y la Desviacin

estandart Relativos: Coeficiente de Variacin.

1. RANGO : Diferencia entre la observacin de mayor valor y la observacin de

menor valor. Es la ms Inestable de todas ellas.

R = Xmx - Xmn

2. VARIANCIA : La variancia de un conjunto de observaciones se define:

8

N

XN

1

2

Xi2

i

2

i

2 1

X X

S1

n

i

n

Tambin se tiene para datos continuos:

Poblacin:

Muestra:

3. DESVIACIN ESTANDART :

Es la raz cuadrada positiva de la variancia

4. COEFICIENTE DE VARIACIN: CV=Desviacin Estandart/|Media|

Medida de variabilidad relativa que indica la cantidad de veces que la

desviacin estndar contiene a la media aritmtica.

Interpretacin:

Coeficiente de Variabilidad en %

Calificacin: La Distribucin ser

0 Completamente homognea

0

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Con las 20 viviendas de una urbanizacin se obtiene la siguiente

informacin sobre el consumo mensual de agua potable (en decenas de metros cbicos).

2 2.5 3 3.5 3.5 4 4 4 4 4.5

5 5.3 5.6 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9.2

Determine los valores de la media aritmtica, la mediana, la moda, el

cuartil 3, el rango, la variancia y el coeficiente de variabilidad. Interprete,

segn enunciado, cada uno de los valores hallados.

Determinacin de los valores de la media aritmtica, mediana y

moda

=

20=1

20=

2 + 2.5 + + 9.2

20= 5.18

=4.5 + 5

2= 4.75

= 4

Determinacin del valor de Q3=P75

Los datos estn ordenados

Ubicacin del Percentil :

75(20+1)/100 = 15.75 esta entre el 15 y 16

Interpolacin

Valor de la variable Ubicacin en el Pi

7 ------------ 16

P75 ------------ 15.75

6.5 ------------ 15

6.6

De donde: P75 = 7 (0.5)(0.25) = 6.875

Determinacin del valor de la Variancia

2 =

2 (20)(

2 )20=120

=616.84 (20)(5.18)2

20=

80.192

20= 4.0096

10

Determinacin del valor del Coeficiente de Variabilidad

=

||100 =

4.0096

5.18100 = 38.66%

INTERPRETACIONES :

2. En el siguiente cuadro se muestra informacin sobre la cantidad viajes al

exterior que realizaron al menos uno de los componentes de las familias residentes en la Zona A, durante el ao 2008.

N de viajes al exterior N de familias

0 500

1 250

2 100

3 40

4 10

Calcule e interprete los valores de la media aritmtica, la moda, el

percentil 50, el rango interdeclico, el rango, la desviacin estndar y el

coeficiente de variabilidad. Interprete los valores hallados.

Solucin:

1. Media: =(0)(500)+(1)(250)++(4)(10)

500+250++10 = 0.6778

2. Mediana: Mex = 0

3. MoX= 0

Deciles: D1=0 ; D9=P90= 2; RID = 2-0 = 2

4. Rango: RX= 4 0 = 4

5. Desviacin estandart:

=

[[(0)2(500) + (1)2(250) + + (4)2(10)] (610)2

900 ]

900=

756.556

900= 0.840617

= 0.916852

6. Coeficiente de variacin:

=0.916852

0.6778100 = 135.27%

11

3. En un estudio sobre el tiempo de espera (en semanas), desde que el mdico tratante decide que se debe operar hasta que se realiz la

intervencin quirrgica, de los pacientes del servicio de ciruga de Cabeza y Cuello, de los hospitales GAA y ERR., de una misma ciudad, se form el

siguiente cuadro, con datos de muestras aleatorias, de tamao 50 y 40, respectivamente:

Tiempo de espera (semanas) Marcas de

Clase

Hospital GAA Hospital ERR

Porcentaje de

Pacientes

Porcentaje de

Pacientes

Desde 4.4 a menos de 5.5 4.95 6 0

Desde 5.5 a menos de 6.6 6.05 8 7.5

Desde 6.6 a menos de 7.7 7.15 12 17.5

Desde 7.7 a menos de 8.8 8.25 16 35.0

Desde 8.8 a menos de 9.9 9.35 30 22.5

Desde 9.9 a menos de 11.0 10.45 20 12.5

Desde 11.0 a menos de 12.1 11.55 8 5.0

Total --- 100 100

a) Calcule los valores de las medidas estadsticas de tendencia central, variabilidad, asimetra y curtosis.

Clculo de las medidas estadsticas para la muestra de

pacientes del Hospital GAA

1. La Media: X1 (4.95)(0.06) + (6.05)(0.08) + + (11.55)(0.08) 8.778

2. Mediana: me1 8.8 + [0.50.42

0.3] (1.1) 9.0933

3. La Moda: mo1 8.8 + [0.3+0.16

0.3] (1.1) 9.4417

4. El Rango o amplitud : r1 12.1 4.4 7.7

SG2 (

50

49) [(4.95)2(0.06) + (6.05)2(0.08) + + (11.55)2(0.08) (8.778)2]

3.172669

SG 3.172669 1.781199

cvG 1.78199

8.778 100 20.29%

SKPG 3(8.7789.0933)

1.781199 0.5310

PG,10 5.5 + [0.10.06

0.08] (1.1) 6.05

12

PG,25 6.6 + [0.250.14

0.12] (1.1) 7.60833

PG,75 9.9 + [0.750.72

0.20] (1.1) 10.065

PG,90 9.9 + [0.90.72

0.2] (1.1) 10.89

Clculo de las medidas estadsticas para la muestra de pacientes

del Hospital ERR

XE (6.05)(0.075) + (7.15)(0.175) + + (11.55)(0.05) 8.58

meE 7.7 + [0.50.25

0.35] (1.1) 8.4857

moE 7.7 + [0.350.175

(0.350.175)+(0.350.225)] (1.1) 8.3417

rE 12.1 5.5 6.6

SE2 (

40

39) [(6.05)2(0.075) + (7.15)2(0.175) + + (11.55)2(0.05) (8.58)2] 1.936

SE 1.391402

cvE 1.391402

8.58 100 16.22%

PE,10 5.5 + [0.10.075

0.175] (1.1) 5.6571

PE,25 7.7

PE,75 8.8 + [0.750.6

0.225] (1.1) 9.533

PE,90 9.9 + [0.90.825

0.125] (1.1) 10.56

KuE (1

2) [

9.53337.7

10.565.6571] 0.187

13

b) Para la distribucin de tiempos de espera correspondiente a la muestra de pacientes del Hospital GAA, interprete, segn enunciado, los valores

de las tres medidas de tendencia central.

INTERPRETACIONES

c) Realice un anlisis comparativo de las dos distribuciones.

ANLISIS

d) Establezca cuatro conclusiones, de gran importancia, uno para cada

grupo de medidas estadsticas.

CUATRO CONCLUSIONES

e) Qu conclusiones, de carcter comparativo, puede establecer con los

rangos intercuantlicos?

Rangos Intercuartlicos

RIQG 10.065 7.6083 2.4567

RIQE 9.5333 7.7 1.8333

CONCLUSIN

Rangos Interdeclicos

RIDG 10.89 6.05 4.84

RIDE 10.56 5.6571 4.9029

CONCLUSIN

Rangos Interpercentlicos

RIPG 11.9625 4.5833 7.3792

RIPE 11.88 5.6467 6.2333

f) Suponga que en el Hospital GAA, para el servicio quirrgico

ambulatorio, se realizar la compra de nuevos equipos de mayor

calidad, se aumentar la cantidad de equipos, ampliar el horario de atencin y se capacitar al personal que interviene en la operaciones

quirrgicas ambulatorias, por lo tanto, se debe reducir el tiempo de 14

espera de los pacientes para acceder al servicio quirrgico ambulatorio. Si se estima que el tiempo de espera se debe reducir en 20% por la

compra de nuevos equipos, y adicionalmente, se reducir el tiempo de espera en 0.25 semanas, qu ocurrir con la tendencia y la

variabilidad de la distribucin del tiempo de espera, por la mejoras que se realizarn? Justifique.

VALORES DE LAS MEDIDAS ESTADSTICAS DESPUS DE LAS MEJORAS

Y: Tiempo de espera despus de las mejoras.

YG (0.8)(8.778) 0.25 6.7724 ;

meG (0.8)(9.0933) 0.25 7.02464

moG (0.8)(9.4417) 0.25 7.30336; 1 (0.8)(7.7) 6.16

SG2 (0.8)2(3.172669) 2.030508;

SG (0.8)(3.172669) 1.424959

cvG (3.172669)(0.8)

(8.779)(0.8)0.25 100 21.04%

g) Si se considera que las dos poblaciones tienen iguales valores de

variancia, estime, para la dos poblaciones, los parmetros de dispersin afectados por la antes mencionada consideracin.

DATOS

Hospital Tamao de

muestra Promedio Variancia

GAA (1) 50 8.778 3.172669

ERR(2) 40 8.2775 2.139994

sp2 =

(49)(3.172669)+(39)(2.139994)

49+39= 2.175006216

cv1 =2.175006216

8.778 100 = 16.8%

cv1 =2.175006216

8.2775 100 = 17.82%

h) Si se considera que las dos poblaciones tienen iguales valores de variancia, as como iguales valores para la media, estime, para las dos

poblaciones, los parmetros de dispersin afectados por la antes mencionada consideracin.

15

DATOS

Hospital Tamao de

muestra Promedio Variancia

GAA(1) 50 8.778 3.172669

ERR(2) 40 8.2775 2.139994

Sp2 =

(49)(3.172669)+(39)(2.139994)

49+39= 2.175006216

Xp =(50)(8.778)+(40)(8.2775)

50+40= 8.5556

cv =2.175006216

8.5556 100 = 17.24%

i) Si los hospitales GAA y ERR son los nicos de la ciudad, estime la media, variancia y coeficiente de variabilidad de la distribucin de

tiempos de espera, desde que el mdico decide que se debe operar hasta que se realiza la operacin quirrgica, para el conjunto de

pacientes de los dos hospitales que deben tener la antes mencionada operacin.

=(50)(8.778)+(40)(8.2775)

50+40=

770

90= 8.5556

2 =

[(49)(3.172669)+(50)(8.778)2+(39)(2.139994)+(40)(8.2775)2](90)(8.5556)2

89

2 =

6832.2649976587.846222

89= 2.746278366

=2.746278366

8.5556 100 = 19.37%

4. Los precios de venta de 80 automviles nuevos que se vendieron el mes pasado en la agencia SOLO PARA TI fueron:

Precio de venta (miles de

dlares)

Nmeros de

ventas

De 12 a menos de 15 8




De 24 a menos 27 8


De 30 a ms 2

En esa misma agencia para los precios de los automviles vendidos en el

mismo mes el ao anterior se obtuvieron los siguientes resultados:

16

Medidas estadsticas

Media 16.5

Mediana 18.25

Moda 21.5

Rango 20

Variancia 27.4365

Desviacion estndar 5.2380

Coeficiente de variabilidad

31.7454

Al comparar ambos conjuntos de datos indique usted cuatro conclusiones

importantes, haciendo uso de las medidas estadsticas. Antes, realice los

clculos necesarios.

Solucin:

Clculo de las medidas estadsticas del mes de abril 2012

Precio de venta (miles

de dlares)

Nmero

de ventas

Mi Mi.fi M2.fi Fi

De 12 a menos de 15 8 13.5 108 1458 8

De 15 a menos de 18 23 16.5 379.5 6261.75 31

De 18 a menos de 21 18 19.5 351 6844.5 49

De 21 a menos de 24 17 22.5 382.5 8606.25 66

De 24 a menos de 27 8 25.5 204 5202 74

De 27 a menos de 30 4 28.5 114 3249 78

De 30 a ms 2 31.5

63 1984.5 80

Total 80 1602 33606

RID 26.25 15 11.25

P1 12 + [0.010

0.01] (3) 12.3; 99 30 + [

0.990.975

0.025] ( 3) 31.8

RIP 31.8 12.3 1 9.5

CUADRO RESUMEN

Medidas estadsticas

Abril 2012 Abril 2011

Media 20.025 16.5

Mediana 19.5 18.25

Moda 17.25 21.5

80 23.6471 22.12

Rando Mayor a 18

20

Variancia 19.074375 27.4365

Desviacin estndar

4.367422 5.2380

Coeficiente de

variabilidad 21.81% 31.7454%

RIQ 6.3766 -------

RID 11.25 -------

RIP 19.5 -------

CONCLUSIONES

5. En una empresa, 400 trabajadores forman el grupo 1, y lo conforman

operarios (subgrupo 1 A) y tcnicos (subgrupo 1B). La cantidad de trabajadores del grupo 1 es el 80% del total de trabajadores de la

empresa, y tienen un sueldo mensual promedio de 2730.5 nuevos soles. El otro 20% de los trabajadores de la empresa lo conforman los ejecutivos

y trabajadores administrativos (grupo 2), y tienen un sueldo mensual promedio de 6500 nuevos soles.

a) Si se conoce que el sueldo mensual promedio de los operarios es 2270 nuevos soles y el sueldo mensual promedio de los tcnicos es 3498

nuevos soles, halle el nmero de operarios y tcnicos que tiene la empresa.

N1=Nmero de trabajadores del grupo 1 = 400 = N1,A + N1,B

b) Si la direccin de la empresa establece una bonificacin de 50 soles para los operarios, una bonificacin del 8% del sueldo mensual para los

tcnicos, y una bonificacin de 200 soles para los trabajadores con del

grupo 2; halle el salario promedio para todos los trabajadores de la empresa.

Con la bonificacin, las medias de los sueldos son:

Para los operarios 1, = 1, + 50 = 2270 + 50 = 2320

Para los tcnicos 1, = (1,)(1.08) = (3498)(1.08) = 3777.84

Para los trabajadores del grupo 2 2 = 2 + 200 = 6500 + 200 = 6700

El 80% del total de trabajadores son del grupo 1 : N1,A + N1,B = 400

El 20% del total de trabajadores son del grupo 2

=1,1, + 1,1, + 22

1, + 1, + 2

=(250)(2320) + (150)(3777.84) + (100)(6700)

500= 3633.352

18

6. Una empresa constructora construy una carretera en cuatro meses, de la siguiente manera: el primer mes, construy 134 kilmetros, que

constituye el 10% del total de kilmetros que se comprometi a construir; el segundo mes, construy el 15% del total de kilmetros que se

comprometi a construir; el tercer mes, construy el 25% del total de kilmetros que se comprometi a construir y; el cuarto mes, construy lo

restante. Determine la cantidad promedio de kilmetros construidos por mes.

Si 134 Kms es el 10% del total de Kms que se construirn, En total, se

construirn 1340 Kms

Cantidad promedio de Kms construidos por mes = 1340/ 4 = 335 Kms

7. En una empresa exportadora se tiene la siguiente informacin sobre el

valor de los bienes exportados ( en miles de dlares): en el periodo 2000

al 2003 el valor de las exportaciones tuvo un crecimiento promedio anual del 40%; en el perodo 2003 al 2006, el crecimiento promedio anual fue

de 20% y ; para el perodo 2006 al 2011 se tuvo un crecimiento promedio anual del 30%. Adems, se conoce que en el ao 2000 las exportaciones

fueron de 200 mil dlares.

a) Calcule la tasa promedio de crecimiento anual para el perodo 2000

2011. Interprete el valor hallado.

Periodo 2000-2003 (1) ndices de 3 aos ,1 = 1.4



Periodo 2000-2011 (4) ndices de 11 aos

, = (1.4)3(1.2)3(1.3)511

= 1.297898

Tasa de crecimiento geomtrico promedio anual para 2000-2011

0.297898 = 29.7898%

INTERPRETACIN

c) Considerando el resultado de la pregunta anterior, determine la tasa de crecimiento promedio mensual; luego, estime la exportacin del mes

de octubre del ao 2012.

, = (,)1

12 = (1.297898)1

12 = 1.021967

, = 0.021967 , = 2.1967%

Exportacin del ao 2000 = 200

Exportacin del ao 2003 = (200)(1.4)3 = 548.8

Exportacin del ao 2006 = (548.8)(1.2)3= 948.3264

Exportacin del ao 2011 = (948.3264) (1.3)5 = 3521.06954

Exportacin mensual promedio para el 2011 = 3521.06954/12

= 293.422462

Estimado de la exportacin de octubre 2012

(293.422462)(1.021967)10 = 364.63813

8. Una empresa tiene tres talleres de confeccin de prendas de vestir. Se

seleccionaron al azar 30 semanas para cada uno de los talleres. Para el taller 1 se obtuvo la siguiente informacin sobre la cantidad de kilgramos

de retazos de tela:

25 28 29 29 30 32 32 32 33 34 34 34 35 35 35

36 36 36 36 36 37 37 37 37 38 38 38 39 40 41

Con esta informacin, un analista de control de calidad, obtuvo una media

aritmtica de 34.633 y una desviacin estndar de 3.718.

Para el taller 2, el analista de control de calidad obtuvo los siguientes

resultados:

Medida

Estadstica

Media

Aritmtica

Desviaci

n Estndar

Valor

Mnimo

Cuarti

l 1

Median

a

Cuarti

l 3

Valor

mximo

Valor 31.800 2.310 28.00

0

30.00

0

31.000 33.25

0

37.000

Para el taller 3, el analista de control de calidad tiene el siguiente grfico.

a) Para el taller 1, determine los valores de la moda, cuartil 1, cuartil 2, cuartil 3, rango y el coeficiente de variabilidad de la distribucin de la

variable de inters. Interprete los valores de la moda, el rango, cuartil 3 y el coeficiente de variabilidad.

Moda = mo = 36

Rango = = 41-25 = 16

Coeficiente de Variacin:

20

1 =1

1 100 =

3.718

34.633 100 = 10.7354%

b) Calcule los valores de las medidas de tendencia central, los cuartiles y

las medidas de variabilidad de la distribucin de la variable de inters

correspondiente al taller 3.

3 (19)(2)+(21)(3)++(29)(3)

30 24.3333

3 24 + [1513

10] (2) 24.4 3 24 + [

2

2+6] (2) 24.5

25 22 + [7.55

8] (2) 22.625

75 24 + [22.513

10] (2) 25.9

3 30 18 12

32

[(19)2(2)++(29)2(3)](30)(24.3333)2

29 6.990184

3 6.990184 2.643896

3 6.990184

24.3333 100 10.87%

c) Realice un anlisis comparativo entre las tres distribuciones.

Media estadstica Taller 1 Taller 2 Taller 3

Media aritmtica 34.633 31.8000 24.3333

Mediana 35.500 31.000 24.400

Moda 36.000 24.500

Cuartil 1 32.000 30.000 22.625

Cuartil 3 37.000 33.250 25.900

Rango 16.000 9.000 12.000

Desviacin

Estndar 3.718 2.310 2.643896

Coef. Variabilidad 10.74% 7.26% 10.87%

ANLISIS COMPARATIVO

9. Las ventas anuales (en millones de dlares) de una empresa durante el

perodo 2005-2011, se da a continuacin: 21

Ao 2005 2006 2007 2008 2003 2010 2011

Ventas 5 3.5 ------- ------- 5.8 4.5 -------

Adems, se conoce que la tasa de crecimiento de las venta del 2007

respecto al 2006 fue 10%, la tasa de crecimiento del 2008 respecto al

2007 fue 15%, y la venta del 2010 fue 11.11% superior a la venta del

2011.

a) Determine la tasa de crecimiento promedio anual. Interprete segn enunciado.

(2010 2011 ) =2010

2011= 1.1111 (2010 2011 ) =

4.5

2011= 1.1111

2011 =4.5

1.1111= 4.05004050

, = 4.05004050

5

6= 0.96549099 , = 0.034509 .34509%

INTERPRETACIN

b) Estime las ventas de la empresa para el ltimo trimestre del 2012.

, = (.)1 4

= (0.96549099)1 4 = 0.991258

Venta estimada del trimestre 4 del 2012

=(4.05004050/4) (0.991258) 4

10. Al estudiar las ventas (en millones de dlares) de una empresa para

ver los cambios en el tiempo registrados por ella en el perodo 2000 al 2011, se obtuvo la siguiente informacin: En el ao 2006 fue de 8

millones de dlares, en el perodo 2000 al 2006 se registr una tasa promedio de crecimiento del 1%; y en el perodo 2007 al 2011 las ventas

fueron:

Ao 2007 2008 2009 2010 2011

ventas 9.4 13.8 11.7 11.9 14.7

a) Con la informacin obtenida calcule la tasa promedio de crecimiento

para el perodo 2000 2011. Interprete el valor hallado.

Ao 200

0

200

1

200

2

200

3

200

4

200

5

200

6

200

7

200

8

200

9

201

2

201

1

Ventas

(Y)

8 9.4 13.

8

11.

7

11.

9

14.

7

22

La razn de crecimiento geomtrico promedio para el periodo 2000-

2006, fue 1.01, es decir:

1.01 = 2006

2000

6=

8

2000

6 2000 = 7.5364

Determinacin de la razn de crecimiento geomtrico promedio

para el periodo 2000-2011

, = 2011

2000

11=

14.7

7.5364

11= 1.06262 , = 6.262%

b) Considerado el resultado de la pregunta anterior, estime las ventas del

ao 2012.

Estimado de las ventas del 2012 = Estimado de Y2012 =

(14.7)(1.06262) = 15.620514

c) Usando el resultado obtenido en la pregunta a), determine la tasa de

crecimiento promedio trimestral. Luego, estime las ventas del primer trimestre del ao 2013.

,(,)1 4

= (1.06262)1 4 = 1.01530026 , = 1.530026%

Estimado de las ventas del primer trimestre del 2013

= (14.7/4) (1.01530026)5= 3.964878

11. En una empresa se ha formado dos grupos de trabajadores para la confeccin de camisas para atender dos contratos. Al grupo A se le asigna un contrato, y a cada trabajador del grupo se le encarga producir la misma cantidad de camisas. Si los trabajadores del grupo A confeccionan 100, 98, 103, 100, 100 camisas por da, respectivamente.

a) Determine la cantidad promedio de camisas por da.

=5

1100 +

198 +

1103 +

1100 +

1100

= 100.1747

b) El grupo B est conformado por 4 trabajadores, y se le asigna otro contrato. La informacin sobre la cantidad de camisas confeccionadas y

cantidad de das empleados por cada trabajador, se proporciona en el

23

siguiente cuadro.

Trabajador N de camisas Confeccionadas

N de das Empleados

1 200 3

2 150 2

3 210 5

4 180 3

Suponiendo los trabajadores del grupo A trabajaron en total 20 das,

determine la cantidad promedio de camisas confeccionadas por da para

el conjunto de los dos contratos.

=Nmero total de camisas confeccionadas

Nmero total de das trabajados=

(N camisas GrA)+(N camisas Gr B)

(N das trab Gr A)+(N das trab Gr B)

=(20)(100.1747)+(200+150+210+180)

(20)+(3+2+5+3)

12. Se desea evaluar los precios de cuatro insumos importantes utilizado en

la produccin de artculos para fijar los costos de produccin de la empre sa. Para ello, se hacen las cotizaciones, obtenindose la informacin sig:

Insumos Precios (miles de

dlares/Tm)

Cantidades (en Toneladas)

A 25 30

B 30 20

C 50 10

D 40 15

a) Si la empresa tuviera que comprar por montos iguales los cuatro insumos, calcule el precio promedio de compra de los insumos.

=4

125 +

130 +

150 +

140

= 33.8028169

b) Si la empresa compra igual cantidad de cada insumo, calcule el precio

promedio de compra de los insumos.

=25 + 30 + 50 + 40

4= 36.25

13. En una pequea empresa familiar, dedicada a la confeccin de prendas de vestir, laboran 5 trabajadores en la fabricacin de camisas. La empresa

firma dos contratos: A y B. Para el contrato A confeccionan 1400 camisas, con una productividad promedio por da 140 camisas. Para el contrato B,

24

cada trabajador confecciona 280 camisas, siendo la productividad por da de 100, 98, 103, 100, 100 camisas por da, respectivamente. Determine

la productividad promedio diaria, considerando los dos contratos.

Contrato A

N total de camisas confeccionadas = 1400

Cant. Promedio de camisas por da = 140 = A

Contrato B

Trabajador 1 2 3 4 5

N camisas

confeccionadas 280 280 280 280 280

N camisas por da

100 98 103 100 100

Cant. Promedio de camisas por da

= =5

1

100+

1

98+

1

103+

1

100+

1

100

= 100.174666

Cant. Promedio de camisas por da

= =Cant total de camisas

Cant de das=

(280)(5)

Cant de das= 100.174666

Cant. De das = (280)(5)/100.174666 = 13.9756

=1400+(280)(5)1400

40+13.9756

= 116.7854

14. Una empresa exportadora de esprragos ha observado un crecimiento del 10% de sus ventas del ao 2001 con respecto al ao

anterior, en el ao 2002 sus ventas disminuyeron en dos puntos porcentuales respecto al 2001, en el 2003 se incremento en 25% respecto

al ao anterior y sus ventas fueron de 10 millones de soles; finalmente, en el ao 2010 sus ventas ascendieron a 25 millones de soles. Halle la

venta del ao 2000 y estime la venta del 2011.

Ao 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

Venta 10

Indice ---- 1.1 0.98 1.25

(03.02) =10

02= 1.25 02 =

10

1.25 02 = 8

25

(02,01) =8

01= 0.98 01 =

8

0.98 01 =

400

49= 8.16326531

(01,00) =(400 49 )

00= 1.1 00 =

(400 49 )

1.1 00 =

40000

5390= 7.42115028

La venta del ao 2000 fue, aprox. 7.42115028 millones de soles.

15. Con el propsito de estimar y comparar el gasto mensual, por consumo

de pastas, harinas y derivados (en nuevos soles), de las familias de las dos zonas, A y B, en las que est dividido un distrito. Se seleccionaron, aleatoriamente, 40 familias de A y 60 de B. Con los datos obtenidos de la muestra de familias de A, se form el siguiente cuadro de frecuencias.

Gasto mensual por consumo de Pastas, harinas y

derivados

Nmero de Viviendas





De 80 hasta 90 4

a) Determine los valores de las medidas estadsticas para la distribucin

de gastos mensuales por consumo de pastas, harinas y derivados, correspondiente a la muestra de la zona A. Interprete de los valores de la media aritmtica, la mediana, la moda, el percentil 90, el rango intercuartlico y el coeficiente de variabilidad.

(45)(2)+(55)(8)++(85)(4)

40 66.5

60 + [2010

16] (10) 66.25

60 + [8

8+6] (10) 65.7143

90 40 50

2

[(45)2(4)++(85)2(4)](40)(66.5)2

39

181000176890

39 105.384615

105.384615

66.5 100 15.44%

26

90 80

75 70 + [0.750.65

0.25] (10) 74; 25 60

74 60 14

b) En el siguiente cuadro, se presentan los valores de las medidas

estadsticas correspondientes a la muestra de familias de la zona B. Realice un anlisis comparativo de las dos distribuciones.

Medida: Valor

Promedio 98.5

Mediana 95.4

Moda 88.25

Rango 100

Variancia 146.4525

Rango intercuartlico

30

Percentil 90 125

ANLISIS COMPARATIVO

c) Es conveniente estimar el valor de la variancia ponderada? Por qu?

d) Estime el coeficiente de variabilidad de la distribucin del gasto

mensual en pasta, harinas y derivados de las familias del distrito. Compare el valor hallado con los valores estimados para las zonas A y B. Qu se puede concluir?

2 = (39)(105.384615) + (40)(66.5)2 = 18100040=1

2 = (59)(146.4525) + (60)(98.5)2 = 590775.697540=1

+ = (40)(66.5) + (60)(98.5) = 857060=1

40=1

=8570

100= 85.7

2 =

(151000+590775.6975)(8570)2

100

99

771775.6975734449

99 377.037348

=377.037348

85.7100 22.66%

27

405.384615

66.5 100 15.44%

146.4525

98.5100 12.9%

COMPARACIN

16. Una empresa dedicada a la exportacin de un producto nacional, tiene la

siguiente informacin de los ltimos 8 meses.

Mes Agosto 2011

Set. 2011

Oct 2011

Nov. 2011

Dic. 2011

Enero 2012

Febrero 2012

Marzo 2012

Cantidad

Exportada (en TM)

40 33 28 30

Tasa de Crec.

(en%)

16.67 8.57 15.79 2.27

a) Halle e interprete la tasa promedio de crecimiento geomtrico mensual.

Interprete, segn enunciado.

Mes

Ago

sto

2011

Setiemb

re 2011

Octubre

2011

Noviembr

e

Dic.

2011

Ener

o

2012

Ferb

.

2012

Mar

zo

2012

Cantidad

Exportada

(en TM)

40 33 28 30

I

ndices

------

33/40=0.825

28/33=0.8485

30/28=1.0714

11.667

1.0857

1.1579

1.0227

= (0.825)(0.8485)(1.0714)(1.1667)(1.0857)(1.1579)(1.0227)7

= 1.016966

= 1 = 0.6966%

INTERPRETACIN

b) Estime la cantidad exportada para el mes de mayo del 2012.

Estimado de la cantidad a exportar en mayo 2012

= (40) (1.016966) 9

= 73.3283

28

17. Suponga que el Valor de venta, en cientos de miles de dlares, de cierto

artefacto electrodomstico fue dos (2) , en el ao 2000. En el ao 2001, el valor de la venta disminuy en 5% en relacin al ao anterior. Para el

periodo 2001-2005, se observ un crecimiento promedio del 15%. Finalmente, para el perodo 2005-2007, el crecimiento promedio fue del

30%. Estime el Valor de venta del artefacto electrodomstico para el ao 2008, considerando la tasa de crecimiento promedio para el periodo de

estudio 2000-2007.

Ao 00 01 02 03 04 05 06 07

Ventas

(Y)

2 1.9

Indices ---- 0.95 1.15 1.15 1.15 1.15 1.3 1.3

, = (0.95)(1.15)4(1.3)27

= 1.15893

Estimacin para el 2008 _ (2) (1.15893) 8 = 6.5086

18. La empresa CONO S.A., que produce a pedido, tiene dos plantas de produccin. Con la informacin obtenida, de los costos por unidad (en

soles) de los 1000 lotes producidos por la planta A, y los 1200 lotes producidos por la planta B, desde que la empresa inici sus operaciones

hace dos aos, decide analizar estadsticamente dicha informacin, obteniendo los siguientes resultados.

Medidas Estadisticas Planta A Planta B

Promedio 68.6 86.2

Mediana 67.0 82.4

Moda 65.2 76.8

Desviacin estndar 17.0 24.6

Coeficiente de

Variabilidad

24.8% 28.5%

a) Es conveniente establecer una variancia comn para los dos conjuntos

de datos? Justifique, decuadamente, su respuesta.

b) Qu se puede afirmar de la variabilidad de la distribucin de los costos

de produccin por unidad para la empresa CONO, en relacin a los correspondientes a las distribuciones de los costos por unidad de las

dos plantas de produccin? Explique.

=(1000)(68.6)+(1200)(86.2)

2200= 78.2

2 =

(1000)(289+(68.6)2)+(1200)(605.16+(86.2)2)(2200)(78.2)2

2200

29

2 =

4994960+964272013453528

2200= 538.250909

=538.250303

78.2100 = 29.67%

COMPARACIN

c) Suponga que la empresa establece que la utilidad neta por unidad

producida es el 30% del costo por unidad producida ms 4 soles. Cules son los valores de la media y la desviacin estndar de la

distribucin de la utilidad neta por unidad producida? Justifique.

Y: Utilidad neta por unidad producida.

Y = (0.3) (X) + 4 ; donde X, es el costo por unidad producida.

, = (0.3)(,) + 4 = (0.3)(78.2) + 4 = 27146

, = (0.3)() = (0.3)(538.250303) = 6.960071

19. El distrito ST se divide en dos sectores, A y B. Para un estudio socioeconmico, se seleccionan al azar 60 familias del sector A y 80

familias del sector B. Con los datos de la variable Ingreso Familiar Mensual (en miles de soles), se obtienen los resultados que se

proporcionan en el siguiente cuadro.

Medida

Estadistica

Sector

A

Sector

B

Distrito

Si

Medida

estadstica

Secto

r A

Secto

r B

Distrit

o SI

Media 3.1000 5.3500 4.3857 Percentil

10

1.333

3

3.333

3

1.777

6

Moda 2.8000 5.6667 5.3478 Percentil

25

1.833

3

4.250

0

2.121

4

Rango 6.0000 7.0000 8.0000 Percentil 50

2.8000

5.3333

4.4093

Variancia 2.277966

2.255696

3.497636

Percentil 75

4.0000

6.3333

5.7331

Desviaci

n Estndar

1.509293

1.501898

1.870197

Percentil 90

5.5000

7.5000

6.8674

Realice un anlisis comparativo completo entre las distribuciones de

ingresos familiares mensuales de los sectores A y B, utilizando las

medidas estadsticas convenientes. Calcule los valores de las medidas

estadsticas necesarias. 30

RESUMEN DE PROPIEDADES DE LAS MEDIDAS ESTADSTICAS I

A. MEDIA ARITMTICA

1. Es un valor representativo, debido a que es el centro de gravedad o punto

de equilibrio de un conjunto de observaciones.

2. La suma de las desviaciones de las observaciones respecto a la media

aritmtica es igual a cero.

3. Si se sustituye el valor de cada observacin por el valor del promedio

aritmtico, la suma de todas las observaciones no cambia.

4. La suma de los cuadrados de las desviaciones de las observaciones con

respecto a la media aritmtica es un valor mnimo.

5. Si un conjunto de datos se divide en K subconjuntos, la media aritmtica

del conjunto es igual a la media ponderada de las medias de los K

subconjuntos, considerndose como ponderaciones pesos a las cantidades

de datos de los K subconjuntos

6. Si a cada observacin de un conjunto inicial de datos se le suma una

constante, la media aritmtica del nuevo conjunto de datos ser igual a la

media aritmtica del conjunto inicial ms la constante.

7. Si a cada observacin de un conjunto inicial de datos se le multiplica una

constante, la media aritmtica del nuevo conjunto de datos ser igual a la

media aritmtica del conjunto inicial por la constante.

8. El promedio aritmtico de la suma o diferencia de dos o ms variables es

igual a la suma o diferencia de las medias aritmticas de dichas variables.

Si: Yi = a + bXi entonces Y = a + b X

9. Desventajas de la Media:

La media puede estar afectada por los llamados valores extremos.

Solamente se puede aplicar si todos los datos u observaciones tienen

la misma importancia relativa.

B. MEDIANA

1. Divide a un conjunto de datos en dos partes iguales en cantidad de

observaciones; 50% de ellas son mayores que la mediana y el otro

50% son menores que la mediana.

31

2. La mediana est influenciada por el nmero de observaciones y no por

los valores de las observaciones.

3. No la afectan los valores extremos.

4. La suma de las desviaciones absolutas respecto a la mediana es

mnima.

C. MODA

1. Un conjunto de datos puede no tener moda o tener una o ms modas.

2. No est afectada por los llamados valores extremos.

3. Se aplica a conjuntos de datos cualitativos o cuantitativos.

4. La moda muestral es inestable.

D. RANGO

1. Tiene la misma unidad de medida que las observaciones.

2. Se utiliza para tener una idea rpida del grado de dispersin de un

conjunto de datos.

3. Es poco confiable.

4. El rango muestral es muy inestable.

5. El valor del rango no vara cuando se suma una constante K a cada

observacin de un conjunto de datos.

6. El valor del rango si vara cuando se multiplica por constante K a

cada observacin de un conjunto de datos.

E. VARIANCIA

1. Es confiable.

2. Su valor numrico est expresada en unidades cuadrticas.

32

3. No cambia de valor cuando se suma una constante a cada observacin

de un conjunto de datos.

4. Cambia de valor si se multiplica por una constante K, a cada


F. DESVIACIN ESTANDAR

1. Confiable.

2. Tiene la misma unidad de medida que los datos originales.

3. No cambia de valor cuando se suma una constante a cada observacin

de un conjunto de datos.

4. Cuando se multiplica a los datos por una constante K, el valor de la

desviacin estndar cambia segn la relacin siguiente:

G. COEFICIENTE DE VARIABILIDAD

1. No tiene unidad de medida.

2. No aplicable cuando la distribucin tiene media cero.

3. Se afecta su valor cuando se suma una constante K a cada


4. No cambia de valor cuando se multiplica por una constante K a cada

una de las observaciones.

33

Y XK Y XS K S

1.5. GRFICOS ESPECIALES

1. DIAGRAMA DE PARETO:

Es una herramienta estadstica que permite organizar por orden de relevancia los problemas o las causas que los generan,para corregirlo.

La grfica es muy til en temas relacionados con gestin de la calidad, al analizar las causas de un problema, evaluar los resultados de los cambios

efectuados a un proceso (antes y despus) y para Identificar oportunidades de mejora continua.

PASOS PARA CONSTRUIR EL DIAGRAMA DE PARETO

1. Ordenar las categoras de la tabla de mayor a menor frecuencia.

2. Calcular las frecuencias acumuladas porcentuales Pi 3. En un sistema de Ejes Perpendiculares XY:

a) En el Eje Horizontal: se colocan las categoras igualmente

espaciadas b) En el Eje Vertical izquierdo: se marcan los valores de las

frecuencias porcentuales pi respectivas. c) En el Eje Vertical derecho: se marcan los valores de las

frecuencias porcentuales acumuladas Pi respectivas. d) Sobre el Eje horizontal, se construye rectngulos adyacentes, con

el mismo ancho pero cuyas alturas son estn determina das por el valor de las frecuencias porcentuales pi.

e) Se construye la curva formada por los puntos de interseccin entre la Frecuencia acumulada (Pi) y la prolongacin de los lados

derechos verticales de cada rectngulo.

4. Se traza un eje horizontal al nivel de % acumulado sealado(si no

hay indicacin se toma el 50%) que intersecta a la curva anterior en un punto por el cual se proyecta hacia el eje horizontal,la cual

indicar la(s) categora(s) ms relevante(s) que sern corregidas.

Ejemplo 2.5-1:

En un estudio de mercado de formacin on-line(E-Learning, o Educacina

distancia por medio de Internet) se tom una muestra aleatoria de tamao 40 encontrndose los siguientes resultados:

34

Asignatura Preferida

Jvenes

Adultos

Artes 5 2

Fotografa y videos 10 8

Informtica 15 10

Finanzas 5 15

Comercio 5 15

Total 40 50

Determine las asignaturas que se deberan recomendar en un programa educativo de educacin a distancia para atender al menos al 70% de dicho

pblico adulto.

Solucin:

1. Ordenamos las categoras en orden decreciente de sus frecuencias:

2. Calculamos las frecuencias porcentuales simples y acumuladas:

3. El Diagrama de Pareto en Minitab ser:

% de Adultos 30 30 20 16 4

Porcentaje 30.0 30.0 20.0 16.0 4.0

% acumulado 30.0 60.0 80.0 96.0 100.0

Asig. Preferida ArtesFoto y videosInformFinanzasComercio

100

80

60

40

20

0

100

80

60

40

20

0

% d

e A

du

lto

s

% A

cu

mu

lad

o d

e A

du

lto

s96

70

DIAGRAMA DE PARETO

35


Adultos fi

Finanzas 2

Comercio 8

Informtica 10

Fotografa y videos 15

Artes 15

Total 50


% de Adultos pi

% acumulado De Adultos Pi

Finanzas 30.0 30.0

Comercio 30.0 60.0

Informtica 20.0 80.0

Fotografa y videos 16.0 96.0

Artes 4.0 100.0

Total 100.0 -

Del Grfico de Pareto se observa que la lnea vertical proyectada para

el porcentaje requerido a un nivel del 70%, invade hasta la categora

Informtica,Por lo tanto se concluye que:

Cualquier propuesta debera de involucrar asignaturas de:

Finanzas, Comercio Informtica,para atender al menos al 70%

del Pblico Adulto.

2. GRFICA DE TIEMPO

Se utiliza para representar la evolucin temporal que experimenta una

variable cuantitativa continua, tales como: Precio mensual, Incremento de

las ventas anuales, Evolucin anual del PBI,etc.

El grfico refleja caractersticas propias de comportamiento,como:

Aumentos y/ disminuciones peridicas de la variable.

Tendencia creciente o decreciente durante el perodo de anlisis.

Prediccin al alza o a la baja para el siguiente Perodo de tiempo.

Su construccin se realiza en un sistema de ejes Perpendiculares XY:

Eje Horizontal: Se ubican los perodos de tiempo

Eje Vertical: Los valores de la variable en cada perodo de tiempo

La Grfica no debe intersectarse con el Eje Horizontal; si hay valores

Negativos, estos se colocan por encima del eje horizontal,

Adaptando la escala del eje vertical.

Ejemplo 2.9-2:

En el Informativo de Empleo del INEI, del 09 de agosto del 2012,

se presenta la siguiente informacin sobre la Tasa de Desempleo

Mensual en Lima Metropolitana.

36

Mes Tasa Mensual(%)

Enero 10.8

Febrero 11.1

Marzo 9.9

Abril 11.0

Mayo 9.7

Junio 9.0

Julio 8.2

Construya un grfico con sta informacin y realice un breve anlisis del

comportamiento del desempleo en Lima Metropolitana entre los meses

de Enero y Julio del 2012.

Solucin:

La variable continua,Tasa de desempleo, evoluciona mensualmente

Entonces utilizaremos una Grfica Temporal para representarla.

Para graficarla,elaboraremos la tabla horizontal temporal:

Meses Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio

Tasa Mensual % 10.8 11.1 9.9 11.0 9.7 9.0 8.2

Usando el software Minitab,tenemos:

Grfica 11

Anlisis:

1. En los Perodos de Enero-febrero y de Marzo-Abril, la tasa

mensual de desempleados en Lima Metropolitana aument,pero en el resto de los perodos,este disminuy.

2. La Tasa Mensual de desempleo en Lima Metropolitana durante los meses de Enero-Agosto,en el ao 2012, present un

comportamiento cuya tendencia fue decreciente. 3. Se pronostica que para el perodo: Agosto-setiembre la tasa

mensual de desempleo en Lima Metropolitana, seguir disminuyendo.

37

JulioJunioMayoAbrilMarzoFebreroEnero

11.5

11.0

10.5

10.0

9.5

9.0

8.5

8.0

Meses

Ta

sa

Me

nsu

al(

%)

8.2

9.0

9.7

11.0

9.9

11.1

10.8

EVOLUCIN DE LA TASA MENSUAL DE DESEMPLEO EN LIMA DURANTE EL PERODO: ENERO-AGOSTO DEL 2012

Fuente: INEI

PRACTICA CALIFICADA N 2

1) Suponga que se tiene el siguiente cuadros de frecuencia formado con los

datos por una muestra aleatoria de inmigrantes peruanos residentes en el

Japn (A) y con los datos proporcionados por muestra aleatoria de

inmigrantes peruanos residentes en Espaa (B). Los datos

correspondientes a remesas de dinero (en dlares USA) enviados durante

el mes de diciembre del 2008.

Remesa Enviada

% de Inmigrantes

(En decenas de $) Japn(A) Espaa (B)

Desde 25 a menos de 50 15 10






Desde 175 hasta 200 2 3

Total 100 100

a) Construya y realice un anlisis comparativo de los grficos adecuados

correspondiente a los porcentajes acumulados.

b) Para ambos grupos inmigrantes, determine el porcentaje de ellos que

enviaron entre 600 y 900 dlares USA en el mes de diciembre del 2008

c) Calcule los valores de las medidas de tendencia central de las

distribuciones de remesas de dinero correspondiente a diciembre del

2008. Interprete las medidas estadsticas de la distribucin de remesas de

dinero correspondiente a la muestra de inmigrantes peruanos en Espaa

(B).

d) Realice un anlisis comparativo de las dos distribuciones, considerando

los valores de las medidas estadsticas obtenidas en la pregunta anterior.

e) Suponga que segn estudios realizados se ha determinado que, en

promedio, cada inmigrante peruano en Japn enviar en el mes de enero

2009, una remesa de dinero que ser inferior en 35% al que envi en el

mes de diciembre del 2008. Estime los valores de as medidas e tendencia

central de la de la distribucin de remesas de dinero que enviarn los

inmigrantes peruanos en el Japn en el mes de enero del 2009.

38

2) La empresa industrial MECASIST S.A. dispone de la siguiente informacin

de ingresos y gastos de la empresa (en millones de S/.) del periodo 2001-

2008.

Ao 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

Ingresos 2.0 3.5 4.0 5.3 6.5 6.8 6.0 5.6

Egresos 2.4 3.2 4.3 4.5 5.6 5.8 5.4 5.2

Establezca el los grficos necesarios para a analizar la informacin dada

y la de las utilidades anuales..Qu conclusiones importantes puede

obtener?

3) La empresa distribuidora de perfumes LA OLOROSA realiza una encuesta,

seleccionando, aleatoriamente, 80 de sus clientes. La encuesta tiene

como objetivo, 50 encuestados, 50 sealaron por lo menos una

deficiencia. La informacin, sobre las deficiencias sealadas por los

encuestados, se resume en el siguiente cuadro.

Construya un grfico apropiado con la informacin proporcionada. Qu

debe hacer la empresa para mejorar su servicio e imagen?

Segunda PC 2

1. Con el propsito de estimar y comparar el monto cobrado por telefona

fija de dos empresas operadoras,A y B, en un distrito de Lima

Metropolitana en el mes de agosto del presente ao, se tomaron

muestras aleatorias e independientes de clientes, registrndose los

siguientes montos facturados de 50 clientes de A, en nuevos soles:

39

Deficiencia Nmero de veces

Demora en la entrega del pedido 35

Mala facturacin 52

Entrega incompleta del pedido 30

Falta de informacin sobre precios 18

Embalaje inadecuado 25

Mala atencin del vendedor 40

Total 200

97.07 104.91 109.93 110.60 110.84 111.41 111.64 112.86 113.17 114.04

115.00 115.15 115.63 115.70 116.85 117.04 117.59 117.63 119.19 119.20

119.23 119.82 120.40 122.44 123.52 123.83 124.13 124.43 124.53 126.08

126.08 126.11 126.63 126.82 127.61 128.10 128.24 128.26 129.53 129.81

129.93 130.25 130.34 131.04 133.02 135.63 138.23 139.77 140.94 143.42

Para la empresa B se tiene el siguiente cuadro de frecuencias:

Monto facturado (en soles) % de Clientes

Desde 105.0 a menos de 114.0 3






Desde 159.0 hasta 168.0 8

Total 100

a) Construya un cuadro comparativo de los montos pagados por telefona

fija por los clientes seleccionados de las dos empresas ene Studio y luego

a partir de l determine los valores de las medidas estadsticas de

tendencia central.

b) Interprete los valores de las medidas de tendencia central para la

empresa A.

c) Realice un anlisis comparativo de las dos distribuciones, considerando

los valores de las medidas estadsticas obtenidas en la pregunta b).

d) Para las dos empresas, determine el valor mnimo del monto mensual en

telefona fija para estar dentro del cuarto superior de los que ms gastan

en telefona fija. A qu medida estadstica corresponde los valores

hallados? Para cul de las empresas es mayor?.

e) Si en el mes de agosto se hubiera aplicado una reduccin de la renta

bsica que hubiera implicado una reduccin de 25 soles en el monto

facturado para cada cliente, determine para la empresa A los valores de

las medidas de tendencia central considerando la reduccin de 25 soles.

40

2.- Se dispone de la siguiente informacin con respecto a los anlisis de

rentabilidad de Telefnica del Per, en decenas de miles de dlares:

Fuente: Memorias Anuales de Telefnica del Per.

Establezca el (los) grficos necesarios para analizar esta informacin.

Qu conclusiones importantes puede obtener?

3. Con las 20 viviendas de una urbanizacin se obtiene la siguiente

informacin sobre el consumo mensual de agua potable (en decenas de

metros cbicos).

2 2.5 3. 3.5 3.5 4 4 4 4 4.5

5.3 5.6 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9.2 9.5

Determine los valores de la media aritmtica, mediana y moda, para los

datos no organizados en cuadros de frecuencia. Interprete, segn

enunciado, cada uno de los valores hallados.

4. En una empresa grfica se realiza un control de calidad de los talonarios

de facturas impresas. Se seleccionaron 200 talonarios de facturas,

obtenindose la siguiente informacin:

Deficiencia encontradas en el corte de papel

Deficiencia Nmero de

veces

Corte de

papel

20

Engrapado 10

Numeracin 15

Impreso 5

Total 50

Construya un grfico apropiado para la informacin proporcionada. Qu

acciones debe tomar la empresa para superar el 70% de las deficiencias

encontradas? 41

Ao 2004 2005 2006 2007

Ingresos 4085 4193 4499 44.22

Unidad Neta 182 176 178 91

5.- En un estudio sobre los gastos semanales en gasolina de los automovilistas

de los distritos de san Isidro y de Lince, se tomaron muestras aleatorias cuyos

resultados fueron:

Gasto semanal en

gasolina (nuevos soles)

Nmero de

automovilistas

en San Isidro

Porcentaje de

automviles en

Lince

De 50 a menos de 80 5 20

De 80 a menos de 110 5 30

De 110 a menos de 140 20 25

De 140 a menos de 170 35 15

De 170 a menos de 200 25 10

De 200 a menos de 230 10 0

a)- Calcule los valores de las medidas de tendencia central para los dos

distritos. Luego, interprete, para San Isidro, los valores de las medidas de

tendencia.

b)- Realice un anlisis comparativo de las dos distribuciones, utilizando los

valores de las medidas de tendencia central calculadas en la pregunta anterior.

c)- Cul de las dos distribuciones presenta mayor valor del Rango

Intercuartlico? Justifique su respuesta.

d)- Para los dos distritos, determine el valor mnimo del gasto semanal en

gasolina para estar dentro del quinto superior de la distribucin respectiva. En

qu porcentaje es mayor o menor el valor mnimo del gasto semanal en

gasolina para estar dentro del quinto superior correspondiente a San Isidro en

relacin al respecto valor minimo correspondiente a Lince?

6.- En un estudio comparativo de os gastos semanales en movilidad (en nuevos

soles) que realizan los trabajadores de la empresa MIVOL S.A, encontrando los

siguientes resultados:

Medidas estadsticas Trabajadores

estables (1)

Trabajadores

eventuales (2)

Promedio 45.730 64.450

Mediana 46.332 63.826

Suma de cuadrados corregida 9424.902 5947.11

42

La empresa MIVOL S.A, cuenta con 180 trabajadores, de los cuales 78 son

eventuales.

Adems, se conoce que los trabajadores estables gastan en su movilidad

semanal, el 10% de su sueldo semanal, mientras que, los trabajadores

eventuales gastan el 12% de su sueldo semanal para su movilidad semanal.

a)- Determine los montos de la mediana y el promedio de los montos

semanales no destinados a movilidad de los trabajadores estables.

b)- Calcule el promedio de los montos no destinados a movilidad semanal de los

trabajadores de la empresa.

43

Estadstica 1 CONTROLES 2

1. La medida estadstica considerada como el valor de equilibrio del nmero

de observaciones de una poblacin o muestra, es:

A) La media aritmtica

B) La mediana

C) La moda D) El percentil 75

2. Marque la afirmacin correcta

A) La suma de las distancias de las observaciones con respecto a la

mediana es mayor o igual que la suma de las distancias de las observaciones son respecto a la media aritmtica.

B) La suma de los cuadrados de las diferencias de las observaciones con respecto a la mediana es mayor o igual que la suma de los cuadrados

de las diferencias de las observaciones con respecto a la media aritmtica.

C) La suma de las distancias de las observaciones con respecto a la mediana nunca es igual que la suma de las distancias de las

observaciones con respecto a la media aritmtica.

D) La suma de las distancias de las observaciones con respecto a la mediana es mayor que la suma de las distancias de las observaciones

con respecto a la moda.

3. Marque la afirmacin correcta.

A) La moda muestral y la mediana muestral estn afectados por los llamados valores extremos.

B) La media aritmtica, la mediana y la moda se puede aplicar a cualquier tipo de dato.

C) La media aritmtica muestral es ms inestable que la media muestral.

D) Cuando un cuadro de frecuencias para datos continuos tiene alguno

de sus intervalos extremos abiertos, puede existir dificultad para el clculo de la mediana.

4. La medida estadstica considerada como el valor de equilibrio de los

valores de las observaciones es:

A) La media aritmtica

B) La mediana C) La moda

D) El percentil 75

5. Marque la alternativa correcta con respecto a la moda:

A) La ventaja de la moda sobre la mediana es que no se afecta con los

valores extremos. B) El percentil 50 es mayor que el valor modal cuando existen valores

extremos bajos. 44

C) Cuando se tiene una distribucin unimodal con valores extremos altos, el valor de la media aritmtica es inferior al valor modal.

D) La moda es el dato que tiene mayor frecuencia dentro de un conjunto de datos cualitativos o cuantitativos y puede no existir o

tomar uno o ms valores dentro de dicho conjunto.

6. Marque la alternativa correcta.

A) Si la nota promedio de los 18 alumnos del aula A es 18 y la de los 14 alumnos del , aula B es 14, la nota promedio de los alumnos de

ambas secciones no es mayor de 16. B) Si la edad promedio de 10 personas es 12 y la edad promedio de 12

personas es 10, entonces la edad promedio de todas estas personas es 11.

C) Para un conjunto de 15 personas la suma de sus edades es 180 y

para otro conjunto 20 de personas la suma de sus edades es 240, entonces la edad promedio de todas ellas est entre 15 y 20.

D) Cuando se juntan dos muestras que tienen medias: 252 y 252, entonces el valor de la media del conjunto total es igual a 252.

7. Marque la afirmacin correcta:

a. El valor de la media aritmtica simple nunca coincide con el valor de un

decil.

b. La suma de los valores absolutos de las desviaciones de las observaciones

con respecto a su media aritmtica es menor o igual que la suma de los

valores absolutos de las desviaciones de las observaciones con respecto a

cualquier otra constante real.

c. Para una distribucin asimtrica, la suma de los valores de los cuadrados

de las desviaciones de las observaciones con respecto a su media

aritmtica es menor o igual a la suma de los cuadrados de los valores de

las desviaciones de las observaciones con respecto a su moda

d. Las suma de las distancias de las observaciones con respecto a la mediana

es menor que la suma de las distancias de las observaciones con respecto

a la media aritmtica, cuando la distribucin tiene valores extremos

bajos

8. Respecto al coeficiente de variablidad muestral la afirmacin correcta es:

a. No tiene unidad de medida y es constante.

b. Mide la variabilidad relativa y siempre tiene valor no negativo.

c. Mide la variabilidad absoluta y siempre tiene valor no negativo.

d. No es aplicable cuando al media aritmtica es igual a cero y no puede ser

mayor al 100 %.

e. No es aplicable cuando la media aritmtica tiene un valor negativo.


45

a. El coeficiente de variablidad solo es aplicable cuando se comparan dos

poblaciones de tamaos diferentes.

b. La variancia ponderada muestral es representativa cuando la variabilidad

absoluta poblacional entre los grupos es similar.

c. El coeficiente de variabilidad es una medida de dispersion relativa que no

se altera de valor cuando se suma una cantidad constante negativa a las

observaciones de una muestra.

d. El coeficiente de variabilidad se debe utilizar para comparar la tendencia

de dos conjuntos de datos que tienen diferentes unidades de medida.

10. En cuanto a las medidas de variabilidad marque la alternativa correcta:

a. El coeficiente de variabilidad no es aplicable cuando no existen valores

extremos.

b. El rango es una medida de variabilidad relativa que tiene la ventaja de

ser fcil de calcular.

c. Al estudiar el gasto semanal en gasolina de los automovilistas de dos

distritos que tienen como consumo pormedio 35 y 60 nuevos soles, la

comparacin de la variabilidad de los consumos debe ser efectuada con la

desviacin estndar.

d. Para comparar la homogeneidad de dos conjuntos de datos para los

cuales los valores de sus promedios aritmticos son similares y estan

expresados en unidades de medida diferentes, se debe utilizar el

coeficiente de variabilidad.

11. Marque la alternativa correcta:

a. Cuando a cada observacin se le resta una constantes igual a 25;

entonces, la variancia de las nuevas observaciones es mayor que la

variancia de los datos originales.

b. Si a cada observacin se le multiplica la constante -5, entonces la

desviacin estndar de las nuevas observaciones ser igual a la

desviacin estndar de las observaciones originales multiplicada por -5.

c. Con los ingresos mensuales de los empleados de una empresa se tiene

una desviacin estndar de 252 soles y un coeficiente de variabilidad de

28%. Si a todos los empleados se les otorga un incremento de 300

nuevos soles en sus ingresos mensuales, el valor del coeficiente de

variabilidad de los nuevos ingresos mensuales es igual a 28%.

d. Suponga que x es el gasto semanal en movilidad que realizan los

alumnos de la UP y que su variancia es 80. Si se define el ingreso

semanal por alumno como W=6x+60, variancia de W es 2880


a) El coeficiente de variabilidad es aplicable cuando se comparan poblaciones de tamaos iguales o diferentes. 46

b) Me = 72. Esto significa que el 50% de los datos de la distribucin es igual a 72.

c) Para un mismo conjunto de datos, u siempre tiene un valor mayor o igual que Me.

d) P60 = 42 esto significa que el 42% de las observaciones son mayores a 60.


a) La desviacin estndar o es el promedio de las distancias de las

observaciones con respecto a la media aritmtica. b) La varianza o2 es el promedio de las distancias de las observaciones

con respecto a la media aritmtica. c) La suma de cuadrados corregida es un valor mnimo.

d) La suma de los cuadrados de las desviaciones de las observaciones respecto a la mediana es un valor mnimo.


a) Si la tasa de crecimiento promedio anual de las ventas de una empresa es 36%; entonces , en promedio, las ventas crecieron trimestralmente

a una tasa promedio igual al 9%. b) Si la tasa de crecimiento promedio anual de las ventas de una empresa

es 36%, entonces, la razn de crecimiento geomtrico promedio anual es 0.64.

c) Dos distribuciones son unimodales y simtricas, luego las dos tienen la misma variabilidad.

d) La media de una distribucin simtrica es igual a 40; luego, el 50% de las observaciones son menores o iguales a la moda, y el otro 50% de

las observaciones son mayores que el valor de la moda.


a) Cuando se suma una constante a cada observacin de un conjunto de

datos, se ven afectados la media aritmtica, la mediana, la variancia y el rango.

b) Cuando se suma una constante a cada observacin de un conjunto de datos, se ven afectados la media aritmtica, la mediana, el primer decil

y el coeficiente de variabilidad. c) Cuando se multiplica por una constante a cada observacin de un

conjunto de datos, se ven afectadas solamente las medidas de tendencia central.

d) Cuando se multiplica por una constante cada observacin de un conjunto de datos, se ven afectadas todas las medidas de variabilidad.


a. En la representacin tallo-hoja, las hojas se asocian a las cifras o dgitos ms significativos.

b. En la representacin tallo-hoja, la primera hoja tiene que salir necesariamente del dato ms pequeo disponible.

47

c. Las curvas Ojivas son no decrecientes. d. Los grficos circulares no sirven para realizar comparaciones.


a. El grfico de Pareto permite analizar los cambios de una variable a

travs del tiempo. b. Para construir los polgonos de frecuencia se deben usar las marcas

de clase. c. En un cuadro de frecuencias para datos continuos los intervalos

siempre tienen el mismo tamao. d. Los intervalos de clase no siempre son colectivamente exhaustivos.


a. En la tcnica tallo-hoja, el nmero de tallo determina el nmero de intervalos de clase.

b. Con la tcnica tallo-hoja se establece que el lmite superior del

ltimo intervalo sea igual a la observacin de mayor valor. c. Para comparar dos conjuntos de datos, sus cuadros de frecuencias

deben tener la misma cantidad de intervalos. d. Para comparar dos conjuntos de datos, mediante sus cuadros de

frecuencias, nunca se debe trabajar con tamaos de muestra diferentes.


a. La suma de los valores absolutos de las observaciones con respecto

a la media aritmtica es igual a cero. b. La suma de las desviaciones absolutas de las observaciones con

respecto a la mediana nunca puede ser cero. c. La suma de las desviaciones de las observaciones con respecto a la

mediana puede ser negativo.

d. La tcnica tallo-hoja siempre es aplicable a cualquier conjunto de datos.

20. Marque la alternativa correcta.

A) Si la nota promedio de los 18 alumnos del aula A es 18 y la de los 14

alumnos del, aula B es 14, la nota promedio de los alumnos de ambas secciones no es mayor de 16.

B) Si la edad promedio de 10 personas es 12 y la edad promedio de 12 personas es 10, entonces la edad promedio de todas estas personas

es 11. C) Para un conjunto de 15 personas la suma de sus edades es 180 y para

otro conjunto 20 de personas la suma de sus edades es 240, entonces

la edad promedio de todas ellas est entre 15 y 20. D) Cuando se juntan dos muestras que tienen medias: 252 y 252,

entonces el valor de la media del conjunto total es igual a 252.

Prof: MILE LEN

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Medidas de tendencia y de variabilidad

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