María del Consuelo Valle Espinosa

Teorema Central de Límite

Muestreo

Instituto Tecnológico Superior de Zacapoaxtla

Departamento de Desarrollo Académico

El objetivo principal de la Inferencia Estadística consiste en extraer conclusiones a partir de un conjunto de datos observados. Por lo general estos datos proceden de una muestra de individuos de una población, y el objetivo será utilizar esta muestra para sacar conclusiones sobre la población total.

Si X1, … , Xn son variables aleatorias independientes siguiendo una misma distribución de probabilidad, se dicen que constituyen una muestra procedente de la

misma distribución.

En concreto, los datos de la muestra son variables aleatorias que tienen una misma distribución de probabilidad común.

En la mayor parte de las aplicaciones, los parámetros poblacionales no serán completamente conocidas, y se intentará utilizar la muestra para hacer inferencia sobre ellos

Los valores µ y se denominarán media poblacional y varianza poblacional.

2

Sean X1, X2, … , Xn los valores de una muestra extraída de una población . La media muestral se define como:

nXX

X n ...1

Se puede demostrar que el valor esperado de la media muestral es igual a la media poblacional, esto es:

][XE

También se puede demostrar que la varianza de la distribución de frecuencias de medias muestrales es:

nXVarS

22 )(

Estos dos últimos resultados son importantísimos para la Inferencia Estadística debido a que la distribución de todas las medias muestrales está centrada en la media poblacional, pero su dispersión disminuye más y más a medida que el tamaño de muestra aumenta.

La desviación estándar de la distribución de medias muestrales es igual a la desviación estándar de la

población dividida por la raíz cuadrada del tamaño de la muestra

nn

XSDS

2

)(

Teorema Central de Límite

Sean X1, X2, … Xn una muestra aleatoria procedente de una población con media µ y desviación estándar σ, la suma (y por consiguiente también la media)

X1 + X2 + … + Xn

Sigue aproximadamente una distribución normal con:

media µ y desviación estándar

n

El Teorema Central de Límite ayuda a explicar el hecho observable de que las frecuencias empíricas de un gran números de poblaciones existentes en la naturaleza exhiben una forma gaussiana

 Francis Galton (1889): "Difícilmente conozco algo tanto que alimente mi imaginación como el maravilloso orden cósmico que se deriva de la LEY DE FRECUENCIAS DE LOS ERRORES. Si los griegos hubieran conocido esta ley seguro que la habrían endiosado. Reina con seguridad en completa auto-modestia entre la confusión más salvaje. Cuando más vigentes están la ley de la calle y la aparente anarquía, más perfecto es su balanceo. Es la ley suprema de la sinrazón".

En esta dirección de Internet se puede simular la distribución de frecuencia de las medias muestrales, tomado como base una población normal, uniforme o sesgada. Para 10,000 repeticiones de extracción de muestras de tamaño 20.

http://onlinestatbook.com/stat_sim/sampling_dist/index.html

Distribución Chi- cuadrada

Distribución de la varianza muestral en una población

normal

Si Z1, … , Zn son variables aleatorias normales estándar e independientes (con media 0 y desviación estándar 1), la variable aleatoria

Se dice que es una variable aleatoria Chi-cuadrado con n grados de libertad

n

iiZ

1

2

Supongamos ahora que se tiene una muestra X1, … , Xn procedente de una población normal con media µ y desviación estándar σ.

Consideremos la varianza muestral:

11

2

2

n

XXS

n

ii

Entonces:

Sigue una distribución Chi-cuadrado con n -1 grados de libertad

2

1

2

2

21

n

ii XX

Sn

Técnicas de muestreo

Cuando se decide cuantificar sólo una parte de las unidades de una población y a partir de esta información estimar sus

parámetros, entonces decimos que se ha planteado un problema de muestreo

El muestreo es una herramienta de la investigación científica, su función básica es determinar qué parte de la realidad en estudio (población o universo) debe de examinarse con la finalidad de hacer inferencias sobre el TODO de la que procede.

Error de muestreo

Es el error que se comete debido al hecho de que se sacan conclusiones sobre cierta realidad, a partir de la observación de sólo una parte de ella

Muestra probabilística:

A cada elemento de la población, se le otorgue una probabilidad conocida de integrar la muestra.

Y por supuesto, esta probabilidad no sea nula.

Se considera que el método de selección de la muestra tiene un carácter estadísticamente riguroso cuando su diseño cumplen las siguientes condiciones:

La nociones de muestra representativa y de muestra probabilística suelen identificarse erróneamente, hay que tener cuidado pues no son los mismos conceptos.

La noción de representatividad sólo tiene un alcance intuitivo y se sintetiza de la manera siguiente: 

“ lo que debe procurarse es que la muestra exhiba internamente el mismo grado de diversidad que

la población”

Muestras no probabilísticas:

Cuando las muestras, habiendo sido planificadas probabílisticamente, pierden ese carácter en la fase del terreno. En este caso puede introducirse un fuerte sesgo que descalifique los resultados.

Situaciones que se presentan cuando se pretende detectar diferencias, asociaciones, etcétera. En estos casos, el énfasis debe ponerse en la comparatividad de los grupos, más que en la representatividad que unos y otros exhiban en relación con las respetivas poblaciones.

Cuando no se tiene acceso a una población de la cual extraer la muestra, sino que se trabaja con los datos que se han podido obtener y el proceso se invierte en cierto sentido: las inferencias recaen sobre aquella población de la que se supone que la muestra es representativa.

Tipos de muestreo no probabilístico:

Suponiendo que se tiene una población bien definida de la que se va a obtener una muestra, pueden mencionarse tres formas básicas de selección no probabilística:

a) Muestreo semiprobabilístico: Es un procedimiento de tal manera que el carácter probabilístico se mantiene sólo hasta un punto del proceso de selección.

b) Muestreo por cuotas: La muestra debe de estar dispersa por toda la población y ha de contener la misma proporción de objetos o individuos con ciertas características que en la población entera se han detectado o seleccionado.

c) Selección según criterio de autoridad: La muestra es determinada mediante el criterio razonado de autoridades en la materia que se estudia. En la aplicación de este método, el investigador sopesa cuidadosamente los elementos de la población (de los cuales debe de tener suficiente información) para elegir aquellos que ha su juicio pueden conformar el modelo de la realidad en estudio dados los objetivos del trabajo a desarrollar.

Algunos procedimientos probabilísticos de muestreo

Muestreo simple aleatorio (MSA) :

Se dice que el procedimiento de selección es un muestreo simple aleatorio si el proceso que se sigue otorga a todo subconjunto (muestra) de tamaño n de la población la misma posibilidad de selección; en otras palabras, ninguna combinación de n elementos tenga mayor probabilidad de ser elegida que otra del mismo tamaño.

Para seleccionar aletoriamente los objetos que hay que integrar a la muestra, primero hay que numerar los todos los objetos de la población en forma secuencial desde 1 hasta N, y con tablas de números aleatorios o software seleccionar n de ellos.

Muestreo aleatorio estratificado (MAE):

Supongamos que en la población bajo estudio pueden identificarse diferentes grupos cuya representación en la muestra quisiera asegurarse

La manera natural de lograrlo es hacer listados separados para dichos grupos y proceder a seleccionar submuestras en cada uno de ellos. Con el marco muestral dividido, dentro de los subconjuntos se seleccionan aleatoriamente las unidades de análisis que formarán cada uno de ellos

Muestreo por conglomerados monoetápico :

Supongamos que se tiene una población finita de N elementos (unidades de análisis), la cual se ha dividido en M subconjuntos (o conglomerados) cuyos tamaños son

De manera que:

Una muestra simple aleatoria por conglomerados monoetápica de tamaño m de los M conglomerados queda integrada por todas las unidades de análisis contenidas en esos m subconjuntos. Si llamamos n al tamaño de la muestra, se tiene que:

Muestreo por conglomerados bietápico:

Conocido también con el nombre de submuestreo. Donde se trata de seleccionar aleatoriamente un cierto número m de subconjuntos (o conglomerados) y, dentro de cada uno de ellos elegir aleatoriamente unidades de análisis.

Referencias:

INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA

ROSS, SHELDON M. Editorial REVERTE

ISBN: 978-84-291-5039-1

MUESTREO PARA LA INVESTIGACION EN CIENCIA DE LA SALUD 

LUIS CARLOS SILVA AYÇAGUER, DIAZ DE SANTOS, 1993

ISBN 9788479780982