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Paloma Páez de la Cadena Universidad Autónoma de Madrid TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL
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Paloma Páez de la Cadena
Universidad Autónoma de Madrid
TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL
Estadística Inferencial
Métodos para obtener conclusiones válidas para
toda la población a partir del estudio de una
muestra.
Años 30 del siglo XX: Relación entre la Probabilidad y la
Estadística
Algunos nombres:
De Moivre, Gauss
Ronald A. Fisher (1890-1962)
Karl Pearson
Yale, Neyman y E. Pearson
¿Por qué se recurre a las muestras?
La población es excesivamente numerosa
La población es muy difícil o imposible de controlar
El proceso de medición es destructivo
Se desea conocer rápidamente ciertos datos de la población y
se tardaría demasiado en consultar a todos
Población y muestra
300.000 puntos 1.200 puntos
Muestreos
Distribuciones Muestrales El estudio de determinadas características de una población se
efectúa a través de diversas muestras que pueden extraerse de
ella.
Los estadísticos (media, mediana, desviación típica) obtenidos de
las muestras nos van a permitir decidir sobre la aproximación
apropiada del correspondiente parámetro de la población.
Para abordar de manera satisfactoria los problemas anteriores, es
necesario el conocimiento de las relaciones existentes
entre los estadísticos muestrales y los parámetros de la población.
Como estos últimos se infieren de los estadísticos, es necesario
conocer la distribución muestral de estos estadísticos.
Distribución muestral de medias
Comenzamos con la situación de obtener conclusiones sobre
la media de la población a partir del estudio de las medias
obtenidas en las muestras.
Consideramos una población y de ella extraemos muestras de
tamaño n
Cada una de estas muestras tendrá una media.
Consideramos la variable aleatoria X, que asigna a cada
muestra su media.
Así podemos estudiar su distribución, llamada distribución
muestral de medias.
Ejemplo: Lanzamiento de varios dados
Media y desviación típica
MEDIA DESVIACIÓN TÍPICA
UN DADO 3,5 1,71
DOS DADOS (PROMEDIO) 3,5 1,21
TRES DADOS (PROMEDIO) 3,5 0,98
CUATRO DADOS (PROMEDIO) 3,5 0,86
Conclusiones sobre la
Media y la Desviación Típica
Las cuatro medias son iguales
La desviación típica es tanto menor cuantos más dados
participan
En la tabla anterior se puede comprobar que la desviación
típica para n dados es:
desviación típica para 1 dado /n
Distribución de las medias muestrales
Distribución de las medias muestrales
El resultado del lanzamiento de un dado puede considerarse
un individuo de una población infinita: lanzar un dado
indefinidamente.
Lanzar un dado cuatro veces (o lanzar cuatro dados) puede
ser considerado como una muestra de tamaño 4 de esa población.
Según ese punto de vista, la experiencia que hemos descrito
puede resumirse así:
Conclusiones sobre la Distribución de
las medias muestrales
Si de la distribución “resultado obtenido al lanzar un dado”
extraemos muestras de tamaños n = 2, n = 3, n = 4,… la
distribución de sus correspondientes medias se parece a una
distribución normal tanto más cuanto mayor sea n.
Todas las distribuciones tienen la misma media.
Cuantos más dados intervienen, menor desviación típica
tiene la distribución.
Este resultado relativo al lanzamiento de un dado se
generaliza para cualquier distribución según el siguiente
teorema:
Teorema del Límite Central
Dada una población de media y desviación típica , no
necesariamente normal, la distribución de las medias
de las muestras de tamaño n:
Tiene la misma media que la población
Su desviación típica es n y, por consiguiente, disminuye al
aumentar n
Cuando n ≥30 es prácticamente normal
Condiciones Es importante señalar que este teorema es válido cualquiera que
sea la distribución de la población de partida
El grado de aproximación de la distribución de las medias
muestrales a la correspondiente normal depende del tipo de
población de partida y del valor de n
Si la población de partida es normal, también lo será la distribución
de las medias muestrales, cualquiera que sea el valor de n
Aunque la población de partida no sea normal, la distribución de las
medias muestrales puede ser muy parecida a la normal, incluso para
valores pequeños de n, pero para n≥30 es seguro que se consigue una
gran aproximación a la normal cualquiera que sea la distribución de
partida
Una simulación del Teorema del Límite
Central
Simulación de un estudio sobre el peso de una población con
sobrepeso
Francisco Javier Barón
Universidad de Málaga
http://www.youtube.com/watch?v=FcDcJnw00hk
Consecuencias / Ventajas
1. Control de las medias muestrales
En una población de media y desviación típica , nos
disponemos a extraer una muestra de tamaño n. Antes de
hacerlo, sabemos que la distribución de las medias x, de
todas las posibles muestras es normal, con media y
desviación típica n y, por tanto, podemos averiguar la
probabilidad de que la media de una muestra concreta esté
en un cierto intervalo
2. Control de la suma de todos los individuos de la
muestra
La suma de todos los individuos de la muestra es una
distribución normal de media n y desviación típica n
Por tanto podemos calcular cuál es la probabilidad de que
la suma de los elementos de una muestra esté, a priori, en
un cierto intervalo
3. Inferir la media de la población a partir de una
muestra
Esta es la aplicación más importante del Teorema del
Límite Central.
A partir de una muestra se pueden extraer conclusiones
válidas sobre la media de la población de partida
Mapa Conceptual
Estadística inductiva y deductiva
Estadística inductiva. Estimación de parámetros Buscar estadísticos muestrales que puedan considerarse buenos
estimadores de los parámetros poblacionales.
Estadística deductiva. Contrastes de hipótesis Plantear hipótesis sobre la población y el uso de los datos de una
muestra para saber si son aceptables o no
El problema: Estimación de la media
Uno de los problemas más sencillos de la estadística inductiva
es el de:
ESTIMAR EL VALOR DE LA MEDIA DE UNA
POBLACIÓN A PARTIR DE UNA MUESTRA
Estimación Puntual
Desconocemos los cocientes intelectuales de los alumnos de
una universidad, pero disponemos de los datos de una
muestra de 200 de estos alumnos
Calculamos x = 108 media del CI de los individuos
de la muestra
Parece razonable estimar que la media de la población será
aproximadamente, igual que la media de la muestra, 108
Pero ¿cómo de aproximadamente?
La estimación puntual sirve de poco mientras desconozcamos
cuál es el grado de aproximación de x a
Estimación por intervalos
A partir de una muestra aleatoria de tamaño n podemos
estimar el valor de un parámetro de la población del
siguiente modo:
Dando un intervalo dentro del cual confiamos que esté el
parámetro.
Se llama intervalo de confianza.
Hallando la probabilidad de que tal cosa ocurra.
A dicha probabilidad se la llama nivel de confianza
Eficacia de una estimación
Cuanto mayor sea el tamaño de la muestra, mayor eficacia
tendremos en nuestra estimación.
Esta eficacia se manifiesta de dos formas:
En el tamaño del intervalo (cuanto más pequeño, más precisos
estamos siendo )
En el nivel de confianza (más nivel de confianza significa mayor
seguridad en la estimación
Tamaño de la muestra, longitud del intervalo y nivel de
confianza son tres variables estrechamente relacionadas
La Distribución Normal
En un estudio estadístico, la distribución normal se puede
aplicar a casi todas las muestras que se extraigan y a muchas
poblaciones que las incluyan
Karl Pearson entusiasta de la curva normal Comprobó que en la naturaleza había medidas que no se distribuyen
normalmente
Elaboró esquemas específicos de dichas distribuciones
Muchas distribuciones que a primera vista no son normales, resultan ser,
después de cuidadosos análisis, una combinación de dos o más
distribuciones normales
A lo largo de su historia ha sido mitificada y denostada
La distribución Normal en Educación
La “CONSTANTE MACABRA o cómo se ha desmotivado a
muchos estudiantes” (El rompecabezas) André Antibi. Universidad Paul Sabatié de Toulouse
http://firgoa.usc.es/drupal/node/20362
Universidad de Santiago de Compostela
Extraído del libro Alsina, C. “Vitaminas matemáticas. Cien claves sorprendentes para introducirse en
el fascinante mundo de los números”. Barcelona. Ariel. 2008
