LGEBRA LINEAL Trabajo Colaborativo No. 2

UNIDAD II

GLADYS JOSEFA CONTRERAS COD. 51.991.807 RAUL CAMACHO COD. 7.172.758

DIEGO FERNANDO MORENO COD. 79.533.859 VCTOR JULIO CAAS RINCN COD. 4179413

GRUPO 100408_44

TUTOR: CAMILO ARTURO ZUIGA GUERRERO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD LGEBRA LINEAL

Act.8 TRABAJO COLABORATIVO No. 2 21 de Mayo de 2010

INTRODUCCION

En el presente trabajo expondremos de manera prctica los temas trazados en la lnea de estudio del Algebra Lineal segunda Unidad, ya que a travs del desarrollo de los ejercicios propuestos, se analiz que existen diferentes formas de realizarlos, una de ellas es mediante el mtodo Gaussiana el cual consiste en consiste en convertir a travs de operaciones bsicas llamadas operaciones de rengln un sistema en otro equivalente ms sencillo cuya respuesta pueda leerse de manera directa. El mtodo de eliminacin Gaussiana es el mismo para sistemas de ecuaciones 22, 33, 44 y as sucesivamente siempre y cuando se respete la relacin de al menos una ecuacin por cada variable por otra parte observamos los pasos a seguir para el desarrollo de ecuaciones mediante el mtodo Gauss Jordn llamadas as debido a Carl Friedrich Gauss y WILHELM JORDAN, son algoritmos del lgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas e indudablemente no podemos dejar de hablar y analizar el mtodo de la regla de CRAMER. La regla de CRAMER es un teorema en lgebra lineal, que da la solucin de un sistema lineal de ecuaciones en trminos de determinantes. Recibe este nombre en honor a GABRIEL CRAMER (1704 1752. La regla de CRAMER es de importancia terica porque da una expresin explcita para la solucin del sistema; la cual nos permite determinar nuestro grado de conocimiento sobre el tema y la asignatura como tal, y como eje fundamental para el desarrollo de situaciones prcticas de nuestra carrera como Ingenieros de Sistemas agrupando conceptos y experiencias que nos ayuden a enriquecer como profesionales y como personas.

OBJETIVOS

Conocimos cada uno de los temas propuestos en la unidad 2, conocer la estructura general de las unidad Dos Sistemas de Algebra Lineal Sistemas Lineales de ecuaciones, rectas, planos y Espacios Vectoriales y capacitndonos en cada uno de los captulos profundizando en cada uno de los temas, logrando la solucin de cada uno de los temas con precisin y exactitud.

Observamos que he venido desarrollando habilidades para recopilar, analizar e interpretar la informacin obtenida de cada uno de los captulos que integraron cada una de las unidades del mdulo de Algebra Lineal, estudiando con disciplina y responsabilidad.

Como estudiantes identificamos y practique cada uno de los conceptos aprendidos en los ejercicios propuestos.

Los estudiantes conocimos los elementos bsicos y su aplicacin en el planteamiento y solucin de problemas y los diferentes modelos matemticos de los mtodos para resolver ejercicios.

1. Utilice el mtodo de eliminacin GAUSS - JORDAN, para encontrar tosas las soluciones (si existen) de los siguientes sistemas Lineales: 1.1

La matriz ampliada es:

[

|

] [

|

] [

| ]

[

| ] [

| ]

[

|| ]

[

| ]

[

| ]

[

| ]

De la ltima matriz (que se encuentra en su forma escalonada reducida), se tiene:

1.2

La matriz ampliada es:

*

|

+

[

|

] [

|

]

[

|

]

*

|

+

La matriz ya se encuentra en su forma escalonada reducida por lo que el mtodo finaliza all. El sistema resultante ser:

Notemos que la variable z est presente en las dos ecuaciones y a z la llamaremos variable libre. Para encontrar un vector que satisfaga las dos ecuaciones se requiere asignarle a z un valor

arbitrario, as obtenemos los valores para x e y.

Despejamos x en la primera ecuacin:

Despejamos y en la segunda ecuacin:

Z es arbitrario. Lo que buscamos es un vector (x,y,z), que satisfaga el sistema por lo tanto podemos escribirlo as:

Que escrito como vector fila sera:

[ ] Como z es un valor arbitrario, el sistema tiene infinitas soluciones ya que a z se le pueden asignar infinitos valores. 1.3

[

|

] [

|

]

[

|

] [

|

]

[

|

]

[

||

]

[

||

]

[

|

|

]

[

|

|

]

[

|

|

]

[

|

|

]

[

|

|

]

[

|

|

]

[

|

|

]

[

||

]

[

||

]

[

|

]

De la ltima matriz que se encuentra en su forma escalonada reducida se tiene:

1.4

La matriz aumentada es:

[

|

] [

|

] [

|

]

Aqu ya podemos detenernos, ya que, si observamos cuidadosamente, en la tercera fila dice: , lo cual es absurdo. Se trata de un Sistema Lineal Inconsistente (No tiene solucin) 2. Resuelva el siguiente sistema lineal, empleando para ello la factorizacin LU.

Empleando el mtodo fcil para hallar L y U, tenemos

[

] [

]

De donde

[

] [

] [

]

De la multiplicacin de matrices, del lado izquierdo y de la igualdad tenemos:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

(

)

[ ] [ ]

(

)

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

(

)

[ ] [ ]

(

) (

) (

)

Por tanto las matrices L y U son:

[

]

[

]

Ahora para resolver el sistema empleamos inicialmente Ly=b

[

]

[

] [

]

Realizando el producto de la izquierda:

[

]

[

]

Realizando el proceso de sustitucin hacia atrs, tenemos:

De la segunda fila tenemos:

De la tercera fila:

De la cuarta fila:

(

)

Finalmente empleando la relacin UX=y, podemos hallar x.

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

De la cuarta fila:

De la tercera fila:

(

)

De la segunda fila:

(

) (

)

Por ltimo de la primera fila tenemos:

(

) (

) (

)

NOTA: El resultado es el mismo que en el punto 1.3 ya que son el mismo sistema de ecuaciones resueltas por diferente mtodo. 3. Resuelva el siguiente sistema lineal, empleando para ello la inversa (utilice el mtodo que prefiera para hallar la )

Para determinar si el sistema tiene solucin nica o no, debemos calcular su determinante. Si este nos da diferente de cero (0), entonces el sistema tendr nica solucin y adems la inversa de la matriz de coeficientes existir (y esta ser nica) Encontremos el determinante:

[

]

Ahora para hallar la inversa de la matriz utilicemos el mtodo de reduccin de GAUSS-JORDAN

Lo primero que hacemos ponerla junto con su matriz identidad.

[

|

] [

|

]

[

|

]

[

||

]

[

|

]

[

|

]

[

|

]

[

|

]

[

|

] [

||

]

[

]

Finalmente, para obtener la solucin del sistema, consideramos la ecuacin . Dnde:

B=[ ]

Por tanto:

[

]

[ ]

Es decir que la solucin es:

4. Encuentre las ecuaciones simtricas y paramtricas de la recta que: 4.1 Contiene los puntos Solucin:

( ) Por lo tanto:

Ecuaciones Paramtricas:

Ecuacin Simtrica

4.2 Contiene a

Solucin: Como la recta est representada por su correspondiente ecuacin simtrica utilizamos sus coeficientes para hallar el vector de la siguiente forma:

Ecuaciones Paramtricas: Ecuaciones Simtricas:

5. Encuentre la Ecuacin General del Plano que: 5.1 Contiene a los puntos

Formamos los vectores

Ahora hallamos un vector que sea perpendicular a simultneamente, (este nos servir como vector normal)

|

| |

| |

| |

|

Utilizando cualquiera de los tres puntos (por ejemplo Q) tenemos:

Verificamos si la ecuacin resulta igual si decidimos hacer y escogemos el punto P.

|

| |

| |

| |

|

5.2 Contiene al punto Solucin: Remplazamos los valores del punto P en el vector normal: 6. Encuentre todos los puntos de interseccin de los planos:

Lo primero que debemos hacer es resolver las dos ecuaciones simultneamente, es decir:

*

| +

[

|

] [

|

]

[

|

]

[

|

]

Aqu finaliza el mtodo de reduccin de GAUSS-JORDAN. Las ecuaciones resultantes son:

Ntese que z (que est presente en las dos ecuaciones) es la variable libre. Por lo tanto despejando x e y tenemos:

Si designamos a nos queda:

Que son las ecuaciones paramtricas de la recta en que se intersectan los dos planos . Para verificar obtengamos un punto en comn a los dos planos a partir de las ecuaciones paramtricas y veamos que satisface las ecuaciones de los dos planos.

Sea , entonces:

(

)

Verifiquemos que estos valores se cumplen para ambas ecuaciones:

(

) (

) (

) (

)

(

) (

) (

) (

)

Si cambiamos el valor de t con diferentes nmeros iremos obteniendo diferentes puntos de la recta la cual es el resultado de la interseccin de los dos planos. 7. Demuestre que el conjunto formado por los vectores de R2, constituyen un Espacio Vectorial. NOTA: Muestre que cada uno de los axiomas se satisface.

PROPIEDAD SIGNIFICADO

Propiedad asociativa de la suma u + (v + w) = (u + v) + w

Propiedad conmutativa de la suma v + w = w + v

Existencia de elemento neutro o nulo de la suma

Existe un elemento 0 V, llamado vector cero o nulo, de forma que v + 0 = v para todo v V.

Existencia de elemento opuesto o simtrico de la suma

Para todo v V, existe un elemento -v V, llamado opuesto de v, de forma que v + (-v) = 0.

Propiedad distributiva del producto por un escalar respecto a la suma de vectores

a (v + w) = a v + a w

Propiedad distributiva del producto por un vector respecto a la suma de escalares

(a + b) v = a v + b v

Propiedad asociativa mixta del producto por un escalar

a (b v) = (ab) v

Existencia de elemento unidad del producto por un escalar

1 v = v, donde 1 es la identidad multiplicativa en K

Veamos pues que juega el papel : Los elementos de son, de forma genrica, pares de nmeros reales.

Defino la operacin que pertenece a , esto implica que la suma de vectores es interna y bien definida.

Es decir

( )

( ) ( )

Es decir

Es decir cero de

Es decir

Defino la operacin que pertenece a V, esto implica que la multiplicacin de escalar por vector es interna y bien definida.

Es decir

Es decir

Es decir

Es decir

Queda demostrado que es espacio vectorial.

BIBLIOGRAFA Y WEBGRAFA Grossman, Stanley. Algebra Lineal, Quinta Edicin 2003

Mdulo de Algebra Lineal para descargar en formato PDF. (2010). Campus Virtual UNAD. Fecha de

consulta: 09:15, mayo 05, 2010 de http://campus07.unadvirtual.org/moodle/mod/resource/view.php?id=797

Mtodo de Eliminacin Gaussiana. (2010). MITECNOLGICO. Fecha de consulta: 11:33, mayo 5, 2010

de http://www.mitecnologico.com/Main/MetodoEliminacionGaussiana

Eliminacin de GAUSS-JORDAN. (2010). Wikipedia, La enciclopedia libre. Fecha de consulta: 09:15, mayo 05,

2010 de http://es.wikipedia.org/wiki/Eliminaci%C3%B3n_de_Gauss-Jordan