CapÃtulo 1 Espacios vectoriales. Aplicaciones lineales INTRODUCCiÃ�N La primera parte del libro comprende el estudio de lo que matemáticamente se conoce como Ã�lgebra Lineal, y abarca los conceptos fundamentales de es-pacio vectorial, aplicación lineal, matriz, formas lineal, bilineal y cuadráti -ca, asà como la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Por tratarse de unos conceptos con un alto grado de abstracción, puede resultar difÃcil comprender su necesidad en la formali zación y estudio de la EconomÃa. Sin embargo, se trata de ideas fundamental es para el poster ior tratamiento de muchos problemas de origen económico. La primera idea a tener en cuenta nace del hecho de que en Economia, en FÃsica y en muchas otras ciencias, además de las denominadas magnitudes escalares, caracterizadas porque con un úni co valor numérico están comple-tamente determinadas (como puede ser el precio de un artÃculo o la altura de una persona), existen también otro tipo de magnitudes denominadas magnitudes vectoriales, caracterizadas por el hecho de que, para estar det er-minadas, no es sufi ciente con dar un valor numérico, sino que además es preciso conocer su origen, su sentido y su dirección (ejemplos fÃsicos tÃpicos son la velocidad o la fuer za). Estas magnilUdes vectoriales, mat ematizadas, nos ll evan a los conceptos de vectores fijos, vectores libres y, con la estructu-3 4 â�¢ MATEMATICAS EMPRESARIALES ra matemática que determinan las operaciones entre ellos, de espacio vec-torial. Con la const rucción de la estructura fundamemal de espacio vectorial es posible tratar satisfactoriamente el est udio de problemas económicos que de-penden de varias variables, plant eados sobre el espacio real n-dimensional, rR". Aplicaciones Que nos per miti rá el estudio del Ã�lgebra Lineal son, por ejemplo, la resolución de sistemas de ecuaciones lineales generales y la ob-tención de las condiciones necesari as y suficientes de optimalidad para fun-ciones de varias vari ables, a partir de los signos de det erminadas formas cuadráticas, que nos facult arán para resolver los problemas de determina-ción de resultados óptimos (máximos beneficios, mÃnimos costes, etc.) de fu nciones que representan, mat emáti camente, problemas de origen econó-mi co-empresarial . 1.1 ESPACIOS VECTORIALES. APLICACIONES LINEALES . 5 CONCEPTO DE ESPACIO VECTORIAL Dado el conjunto de los números reales, iR, y un conjunto E cualquiera, no

vacÃo (E t= 0 ), consideramos dos operaciones definidas sobre él: â�¢ Suma o ley de composición inl erna: E x E + E '11(11, v)eEx E----_. u + veE â�¢ Producto por escalares o le)' de composición externa : n< xE â�¢ E V(A, U)E n< x A· uEE Diremos que (E, +, . ) tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo t IR, o espacio vectorial real O lR·cspacio vectorial , si y s6lo si se veri -fican las siguientes propiedades: m Asociativa: Vu, v, WE E, (11 + v) + IV = U + (v + w). [1] Conmutat iva: VII , VE E, u + v = v + U. f1J Existe nci a de elemento neut ro: 30E E E tal que Vil E E OE + U = U + OE = u. [!] Existencia de elemento simét rico: vueE 3( - u)eE talque u + ( - u) =(-U) + U= OE' «Asocialividad)): v>.., fl E IR, Vu E E A· . u) = . U. t Esta generaliza de for ma inmediata cambiando el cuerpo de los numeros reales IR por cualquier otro cuerpo conmutativo (IK , + , '). 6 â�¢ MATEMATICAS EMPRESARIALES ffi] Existencia de «( elemento unidad»: 31 e IR tal que rn «Dislributi vidad)): 'rI A, ~ E IR Y 'rI U E E, 'rIAe IR y 'rI 1I,ve E, 'rIu e V 1 . u = 11 . (A + ~ ) . u ~ A' u + ~ . u. A . (11 + v) = A . 11 + A . v. Los elementos del conjunto E se denominan vectores t y los del cuerpo IR se denominan escalares. El espacio vectorial real (E, +, .), cuando no exista posi bilidad de confusión, se representará únicamente por el conjunto E. EJEM PLO 1 Uno de los ejemplos más caracterÃsticos de espacio vectorial es el conjunto 1R2, o plano real, con las operaciones habi tuales de suma de vectores y producto por escalares. Es decir, consideramos el conj unto ~ = ! (a, b) / a, b E IR J, y definimos las operaciones: :::J Suma: (a, b) + (e, d) = (a + e, b + d). O Producto por escalares: A' (a, b) = (A' a, A' b) . Con estas dos operaciones, y teniendo en cuenta las propiedades de la suma del producto de numeras reales, es fácil demostrar que se verifican las propiedades que definen el concepto de espacio vectorial real. Veamos como ejemplo la propiedad conmutativa: (u, b) + (e, d) = (u + e, b + d) = = [por la propiedad conmutatiVa} de los numeros reales = (e + a, d + b) = (e, d) + (a, b). Las restantes propiedades se demostrarÃan de for ma análoga. En este

espacio, el elemento neutro de la suma serÃa el vector (O, O) Y el elemento simétrico de un vector (a, b) scrÃa el vector ( - a, - b). EJEMPLO 2 De forma análoga, se podrÃa generalizar el ejemplo 1 para el conj unto IR) , o espacio real o tridimensional, y, en general , para IRn, si endo n E tN el número de dimensiones o componentes, denominado espacio real n-di mensional. t En muchos textos, los vectores u â�¬ E se representan por ü. Considerarnos que est a notaci ón no es necesaria para la correcta distinción entre vectores y escalares. ESPACIOS VECTORIALES. APLICACIONES LINEALES . 7 EJEMPLO 3 Otro ejemplo caracterÃstico del espacio vectorial es el formado por los polinomios con coeficientes reales, considerando las operaciones suma de polinomios y produc-10 de polinomios por un escalar. 1.2 PROPIEDADES Dado un espacio vectorial Esobre IR, se ve rifican las propiedades siguientes: ITl Vu e E, O'U = OE' rn VA e IR, A·OE = OE · [1] VA' !( y Vu E E, SI A'U = OE @] VA ' ~ Y Vu E E, se verifica Que SUBESPACIO VECTORIAL entonces A= O o u = OE' ( - A)'" = - (A'U), Diremos Que un subconjunlO S e E es un suhespacio vectorial del espacio vectorial real E si y sólo si verifica Que: a . S 1= 0 . b . VU,VES=-U+VES. C . vAe R, vileS => A· /leS. Las condiciones b y c pueden expresarse conjuntamente de la siguiente forma: VA,P-E fR y Vil, VES =- A' u + p.. ve S. Si S e E es un subespacio veclOrial, enlonces el conjunto S puede ser considerado también como un espacio veclOrial sobre IR, con las mismas operaciones. 8 â�¢ MATEMÃ�TICAS EMPRESARIALES PROPI EDAD Si S e E es un subespacio vectorial, enlonces DE E S. EJEMPLO 1 Como ejemplos inmediatos de subespacio vectorial dc cualquier espacio vectorial real E tenemos los conjuntos f OE I y E. EJ EMPLO 2 El conj unto S = f (x, y. Z) E rR1 I x - 2y + z = O I es subespacio vectorial de IRl.

En efecto, el veClor OE = (O, O, O) E S, ya que O - 2 . O + O = O. Por tanto, S F- 0 . Sean u = (UI, U2' Ul) y v = (U¡, V2. Ul ) dos vectores de S; por tanto, verifican U¡ - 2uz + Ul = O y V¡ - 2U2 + v] "" O. Si tomamos >.., p. E IR, obtenemos el vector >... u + Ji.. u = >... (UI, 112' Ul) + p.. (U¡, U2' Ul) = = (>.. . U¡ + p. UI> >"·"2 + p.. U2' >... u] + p. vl)· Comprobemos que este vector verifica la propiedad que define el conjunto S: (>... UL + p. VI) - 2· (>... u2 + p.. U2) + (>.. . 11) + Ji' Ul ) "" = >... (uL - 2U2 + ul) + p.. (u¡ - 2 U2 + Ul ) = >... 0 + p.. O = o. EJEM Pl O 3 El conjunto de los numeras enteros, represent ado por l , no es un subespacio VC(:to-1 rial de los reales IR, ya que si tomamos u = 3 E Z y }., = 5 E IR , el producto 1 5 · J fl. No se cumple, pues, la condición e de la definición de subespacio. EJEMPLO 4 Consideremos el conjunto S = [(x, y) E fR2 I X = y2 J. Observese que. por defini-ción, si (XI' YL), (x2� h ) E S, deben verificar que XL = yL X2 = y ~ . Const ruimos el vector suma, 1.3 ESPACIOS VECTORIALES. APLICACIONES LINEALES . 9 y, en este caso, tenemos , '( )' XI + X2 = YI + Y2 -¡t. y] + Y2 . Como (XI' YI) + (X2' ll) "S, no se trata de un subespacio vectorial. Podemos ver que el vector (0, O) E S, pero este hecho no es suficiente para que el conj ullt o sea suhespacio vectorial. COMBINACi�N LINEAL DE VECTORES Dado un conjunto de vectores ut> U2' ... ,un E E del espacio vectorial real E, se di ce Que el vector u E E es combinación lineal de los

vectores ul, u2, � �� , un E E si y sólo si existen fI escalares).\> A2' ... ,An E IR tales Que " v =).1' 11 ] +).2' " 2 + ... + ).n· " n = ¿: A¡' "¡. i . ] EJEMPLO 1 El vector ( - 5,8) es combinación lineal de los vectores (2, 1) Y (3, - 2), porque exis-ten los escalares 2, - 3 e IR tales que ( - 5,8) = 2·(2,1) - J·(J, - 2). Por ot ra parte, para comprobar si el vector (1, 3) es combinación lineal de esos vectores, debemos resolver la igualdad: (1 , J) = A, . (2, 1) + A,' (3, - 2) = (2· A, + 3 . A" 1 . A, - 2 · A,), de donde [1 = 2 . Al + 3 . A2 � 3 = 1 . Al - 2 · A2 El sistema ti ene solución 11 ).1 = 7 10 � MATEM�TICAS EMPRESARIALES Por tanto, el vector (1, 3) también es combinación lineal de los vectores (2, 1) Y (3, - 2). EJEMPLO 2 El vector (1, O) no es combinación lineal de los vectores ( 1, 2) Y (-2, - 4) , ya que el sistema de ecuaciones a que da lugar la igualdad 1.4 (1, O) ~ A, . (1, 2) + A, . ( - 2, - 4) no liene sol ución. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LI NEAL DE VECTORES Un conjunto de vcctores ,, ], 11 2 ���.� 11" E E del espacio vectOrial real E es li-nealmente independiente si y sólo si se verifica que o. equivalent emente, , ~ A¡ · U¡ = OE =- vi E 11, 2, ... ,n 1, A, = O. ¡ . ] Es decir. cuando la única forma de expresar el vector OE E E como combi-nación lineal de los vectores Ul, uz �.. . , u" es tomando todos los escalares A¡ iguales a o. En caso contrari o, se dice que u], U2' ... ,11" E E forman un conjunto de vectores linealrnenle dcpendienles. Entonces, es posi ble expresar el vector DE como combinación lineal de los vectores u], U2' ... ,11" si n que, necesaria-mente, todos los escalares A¡ sean nulos. EJEMPLO 1 Veamos si los vectores (2, 1) Y (3, - 2) son linealment e dependientes o independien-tes. De la combinación lineal A' (2.1) + ~ . (3, - 2) ~ (O, O), ESPACIOS VECTORI ALES APLICACIONES LINEALES . 11

resulta el sistema de ecuaciones [2 ~ + 3 ¡:¡ 1\ 2 ¡:¡ o O Corno la unica solucion del sistema es A 0, p. 0, los \eclOreS son linealmente independiellt es EJEMPLO 2 Los , ect ores (2, 1) Y ( ~ , 2) son linealmente dependientes, ~ a que la combinación li-neal admite como posible solución A = 2, ¡:¡ = 1, además de la solución nula . EJEMPLO 3 También es sencillo comprobar que los vectores (2, 1, O) y ( 1,4,2) son linealmen-te independienlcs Basta resolver el sistema de ecuaciones a que da lugar la combina-cion lineal , (2. l. O) ~ " ( 1. 4. 2) (O. O. O) . PROPI EDADES [TI Los vectores "l . // 2. ' .. ,11" E E son li neal mente de pendientes si y sólo si alguno de ellos puede expresarse como combi nacion lineal de los res-tantes. DEMOSTRACtO:>: I =- J Si los vectores son li nealmente dependiemes, se verifica que 3AI, Al � . .. ,A" E IR no todos nulos tales que + AI/ ' II" = 0l: ' Supongamos que sea A, jo O. Entonces, se puede expresar 11, = ", A, . 11 , A -, A, , A, . 1I , I A .... 1 A, A" � 11" � A, Es decir, 1I , es combinación lineal del conj unto de veClores li t . 112 . ... , 11 , 1,11' + 1, .. . ,11" . 12 � MATEMAT1CAS EMPRESARIALES [ <= I Sea U¡ combinación lineal del resto de vectores. Por tanto 3A], A2, . . . , A, l> A, ~ ], . . . , A" E R, tales que + A¡ ]' !i; _ I+ A; "' I' U¡+ I +"'+ A" 'U,, , de donde y 3A¡ = l -j:. Q. Por tant o, Il ¡, Uz, ... , 11" for man un conjunt o de vectores linealmente de-pendient es. EJEMPLO 4 Hemos visto en el ejemplo 2 que los vectores (2, 1) Y (4, 2) son linealment e depen-dient es. Obsérvese que (4, 2) = 2 · (2, 1) y, por tanto, se puede expresar un vector como combinación li neal del aI ro.

[IJ Si un vector u e E es combinación lineal de los vectores li nealment e in-dependientes 11 ]. 11 2 � � .� ,11" E E. entonces los escalares Al' A2 � ... , A" E ~ que verifican que ti = L: A; ' tI ¡ son únicos. ; . ] D EMOSTRACi�N Supongamos que ti puede expresarse de dos formas como combinación lineal de los vectores 11 1.112, ��� � U,, : u = Al . U1 + A2 . 11 2 + . .. + A" . u" = ¡..t 1 . 111 + JJ-2 . U2 + ... + ¡..t" . U" . Entonces, restando ambas combinaciones li neales. tenemos 1.5 ESPACIOS VECTORIALES. APLICACIONES LINEALES . 13 y, por ser los vectores linealmente independientes, se verifica: (A, - ~ , ) : O, (A, - ~ 2 ) : O, ... ,(A" - ~ " ) : O; es deci r. vie f l . 2 �. .. � IIJ. A, = p. ,. [I] El vector OE E E es combinación li neal de cualquier conjunto de vecto-res. Obsérvese que, siempre, DE = D· lIt + . . . + O· u/I ' Por tanto, cualquier conjunto de vectores que incl uya cl vector OE e E es linealmente dependiente. SISTEMA DE GENERADORES Un conj unto de vectores II It 112, .� _ ' U/I E E forma un sislema de generadores del espacio vectorial real E si y sólo si cualquier vector v E E es combinación lineal de los vectores 11 [ , u2, .� � , 11/1 ; es decir, 'I v E E, 3A[o Az, . .. , A/I E IR, tales que " v = A[ . u¡ + A2 - 112 + .. - + A/I - " /1 = ¿: A/' " ,_ i . ! EJ EMPLO 1 Comprobemos que los vectores (2, 1) Y (3, - 2) del ejemplo 1 de l apartado anterior forman un sistema de generadores de 1R2. Sea (x, y) E 1R2 un vector cualquiera. De (x, y ) = "J.... (2, 1) + ¡;. . (3, - 2), obtenernos el sistema de ecuaciones [X= 2 ' "J... + 3.¡;. . y = "J... - 2 · ¡;. Resol viendo el sistema. resulta 2x + 3y A= 7 , 14 � MATEMATICAS EMPRESARIALES Por tanto, cualqui cra que sea el \ector (x, y), se puede expresar como combina-don lineal de los do!> \ectores (2, 1)} (3, 2) Si consideramos, por ejemplo, el \ec-

3 5 tor (.\, y) (J, 1) . tendnamos}., 7 (2 , 1) Y (3, 2) forman. un sistema de de IRz EJEMPLO 2 Los \ectorcs (2, l. O) y ( 1,4,2) no forman un sistema de generadores de ya que se puede comprobar que el sistema a que da lugar la expresion 1.6 (x. Y. ,) A . (2. 1. O) +" ( 1. 4. 2). no siempre tiene solución. BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL 1. 6. 1. DEFI NICI�N DE BASE El conjunto de vectores 111, 112" . . ,11" E E rorma una bllse del es paci o vecto-rial real E si y sólo si ve rifica que: a . tll, tl 2."" ti" son vectOres linealmente independicnt cs. b . 1I1, lI l' .. , lI'j forman un sistema de generadores del es pacio E. EJEM PlO 1 vectores (2, 1) y (3, 2) forman una base de ya que, como hemos compro-bado en ejemplos anteriores, son vectores linealmente independientes y forman un sistema de generadores de dicho espacio. EJEMPLO 2 Los \ectores (2,1, O) } ( L 4, 2) no forman una base de r,(l, ya que. aun siendo linealmente independientes, no for ma n un sistema generador de :l?'\ ESPACIOS VECTORIALES APLICACIONES LINEALES . 15 Un ejemplo muy caractenstico de base. ya que es la habit ual mente utili-zada , es la denomi nada bast' canónita de un es pacio \eetorial E. que esta formada por todos los vectores de la fo rma (l. O . ... . O). (O. l . . . O) . . . . , (O. O, .... 1) . I' IIOI' IEDADES [IJ Si 11 , . U2' . , u" E E es una base del es pacio vectorial E. entonces cual-quier vector de E se expresa de forma llllica como combinacion lineal de los de la base; es decir . " . A" E R únicos tales que t· .L: A, 11, , , Al vector (Al, A2' " . , A,, ) se le denomina "ector de componentes del vec-tor uEEen la base 111.112 �... , 11". Esta propiedad se deduce directamente a panir de la definicioll de base y de la propiedad 2 del apartado 1.4. EJ EM Pl O 3 Hemos \ iforo anteriormente que el \cctor ( S. 8) es combinadon lineal de \ ecto-res (2, 1»' (3, 2) , porque 2 · (2. 1) 3 (3. 2) ( 5,8) Por tanto, el \erlOr

( 5.8) tiene componentes (2. 3) en la base for mada por \CelOreS (2. 1) } (3. 2) Obscnese que 5· (1. O) + S· (O. 1) :0 ( 5. S) Por tanlO. las componentes del \eetor ( 5. S) son precisamente sus component es en la base canonita de IR: [!] Dos bases de un espacio vectorial E ti enen siempre el mi smo numero de vectores Por ejempl o, todas las bases que se puedan formar en el es pacio 'R2 esta-ran compuestas por dos vectores. En general. cualquier base del espacio [1(" estara formada por 11 veClores . 16 � MATEMATICAS EMPRESARIALES 1.7 1.6.2. DIMENSI�N DE UN ESPACIO VECTORIAL Se denomina dimensión del espacio vectorial E, y se representa por dim E, al número de vectores de una cualqui era de sus bases. t En los espacios vectoriales de dimensión finita 11 , para que un conjunto de fI vectores forme una base, es suficiente con que se verifique una cualquie-ra de las dos condiciones de la definición; es decir, que los n vectores sean linealmente independientes o formen un sistema de generadores ya asegura que forman base. Además, si dim E = n, se verifica que: � Si Ut, � �� , Um son linealmente independientes == m ~ n . � Si Ut, �� � , u'" son un sistema dc generadores == m ~ n. SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO DE VECTORES Dado un conjunto de vectores Ulo U2.' ..� u" del espacio vectorial real E, se denomina subespacio generado por ell os, y se representa por (1I1� 11 2 � ��� , U,,), al conjunto dc vectores formado por todas las posi bles combinaciones linea-Jes de UI� 112."" U,,; es decir: [VEE / 3At,A2'" .,AIIE R y EJEMPLO El subespacio generado por los veClores (1,2,3) y ( 2, 1, O) será el conjunto for-mado por lodos los veClores que son combinación lineal de ellos. Es decir, los vecto· t Tralaremos unicamenle el caso en que la base está formada por un numero finito-de \ecto-res (espacios \ ectoriales de dirnension finita). Los conceplOS ameriores se podnan generali· zar para espacios vectoriales de dimensión infinita. como. por ejemplo, el espacio \ectoria! de los polinomios, con una base infini ta del tipo: ¡,x,x

l, . x ~ . 1.8 ESPACIOS VECTORI ALES APLICACIONES LINEALES . 17 res (o. b. e) tales que (a. b. e) ~ A (1. 2. J) +" ( 2, 1, O) Por tanto. APLICACi �N LI NEAL 1.8. 1. CONCEPTO DE APLICACI�N LINEAL Sean E Y F dos espacios vectoriales reales. Diremos que una aplicación f: E F ./I EE -- - -J(u)EF es una aplicaci ón lineal u homomorfismo, ent re E y F si y sólo si se verifica que a � � u, u E E, J(u + u) ~ J(u) + J (v). b � � A E H< Y ./1 E E, J ( A' u) ~ A . J(u) . Las condiciones a y b pueden expresarse conjuntamente de la siguiente forma: v'A.¡.t.e i'R y vu,ve E, J(A'u +". u) ~ A ·J(u) +" ·J(u). El conju nto formado por todas las aplicaciones lineales entre los espacios E y F, representado por J.:(E, F), con las operaciones suma de aplicaciones y producto de un escalar por una aplicación constituye otro ejemplo de e s p a ~ cio vectorial. EJ EM Pl O 1 Veamos que la aplicación f: 1R2 --- - - IR} (x, y) --- -Ix + y. x Jy, y) 18 � MATEMATICAS EMPRESARI ALES una aplicacion !i ncal clHrc estos cspacios \ cctoriales: (a) Sean 11 ('\'1' )' 1)' v = ( X2' JIl ) e 1R2 dos cualesquiera: f(u .... v) f[(x l' )' 1) + f(x ) + X2')'1 .,. h ) = ((XI + xz) .... (YI + (Xl .... Xl ) 3()' ) + + [por propiedades asociatha y] eonmutati\ a de la suma en IR [(XI - )' 1) + (x! ... JIl ). (XI 3YI) + (X2 3J1l )')' I"" JIlJ - (XI'" )' 1' XI 3YI' )' 1) + (X2 + )'2· x2 3)'2' )'2) J(u) + J(,) (b) Sean /1 (X, y) e y A e J (A u) J IA (x, y)J " J(A x, A y) = I( A x ) + (, y ), (A x ) 3(, , )" y l [por la propiedad diSITiblll i\' a ] de la suma en IR 1, . (x y), , . (x ly).' ' )'1 = A (x + y, x 3)'. y ) , J (u) EJ EMPLO 2 En r:ambio, la aplir:adon x no es una aplicacion lineal. ya que 1. 8,2. TlI' OS DE AI' lICACIONES LI NEALES Dada una aplicaci on lineal f: E - . F, diremos que: a . f es un monomor fi smo si f es una aplicación inyectiva. b . J es un CI)i lllOrfi smo si f es una aplicacion exhausti va. ESPACIOS VECTORIALES APLICACIONES LINEALES . 19

c . j es un isomorfi smo si j es una aplicacion bi yecti va . d � I es un cndomorfi smo si E = F. e . f es un aul omorfismo si I es una apl icación bi yccli va y E = F 1. 8.3. N�CLEO E IMAGEN DE UNA APLI CACi�N LI NEAL Dada una aplicación li neal f: E - F, se denomina nticlco de la aplicación lineal, y se representa por Ker lo por Nucj, al conj unt o de vectores de E lales que su imagen es el vector nulo de F. Es decir. {IIE E / J (II) O, E PI . Por otra pane, se denomina imagen de la aplicación lineal, y se represen-ta por 1m! o I(E ), al conj unt o de vectores de F que son imagen de alglm vector de E. Es decir. vi EJ EMPLO 3 el nudeo ) la imagen de la apl icacioll lineal f (x. y ) - � (x + y. x 3)" . y) Para determinar el nuc1co. buscamos \eClOreS de 11(2 que tienen como imagen el \ector nulo de IR '. es decir. Kerf !(x . y) E IRI / f (x . y) (O. O. 0>1: ¡(x. y) (x - y. x 3y. yl (O. o. O) Resulta el sistema de e<:uaciones: La lloludon .\ O. y O Por tanto. O O O K,,¡ 1(0.0)1 20 � MATEMATI CAS EMPRESARIALES Para determinar la imagen, debemos encontrar todos los "ectores de [1( 1 que son imagen de algun \ ector de <.?.'!; es decir , 1m! {a.b,e) 1 Dc ! (x, y) (x 1'" y , x 3y. y ) (o, b, e) resulta el sistema de ecuaciones: {X + y = a x 3y - b J - e Al sustituir la tercera ecuación en las dos alll eriores, tenemos Que x .... e a, x 3c b, de donde x (f,' b + 3e Por tanto, a b Es deci r. Im! = l(o. b. c) eIR1 j a b 4(' - 01, y la antiimagen de un vector (o , b. e) cualquiera de este conjunt o es de la for ma (x , y) = (o e, e) "" (b + 3e, e). "ROI' IEDADES Dada una apl icación lineal f: E - F, se cumplen las sigui entes propiedades: [TI f(O/J = O,. . Por tanto, el vector OE E E siempre pert enece a Kerf. VUE E, f ( u) = f (u) . El nucleo de la aplicación lineal f es un subcspacio vectorial de E. Por tanto, dim (Ker f) dim E. ESPACIOS VECTORIALES. APLICACIONES LINEALES . 21

BJ La imagen de la aplicación lineal fes un subespacio vectorial de F. Por tanto, dim (1m!) ~ dim F. [i] Si los vectores 11" u2, �.� 'Un forman una base de E, entonces los vecto-res!(U¡).!(U2), ... .!(un) son un sistema de generadores del subespa-cio Imf. ~ Se veririea que dirn(Kerf) + dirn( lrnf) = dimE. EJEMPLO 4 En el ejemplo anterior se comprueba que Kerf = 1(0, O»), luego dim (Ker f) = O < dim 11(2 . Como dim (Kerf) + di m (Imf) :: dim 1R2 = 2, resulta que dim(l mf) :::: 2 < d i m ~ . Obsérvese que, como tenemos que Imf = {(a, b, c)e lRl / a - b - 4c = O], Imf = {(a, b, e) E IR] / a :: b + 4c 1 = = {(b + 4e, b, e)e Rl'1 = = IIb, b, O) + (4e, O, e) e RI' l. Por tanto, una base de Imfcstá formada por los vectores (1,1 , O) Y (4, 0,1), ya que, además de generar el subespacio Imf, son linealmente independientes. 1.8.4, MATRI Z ASOCIADA A UNA APLI CACI�N LI NEAL Dados dos espacios vectoriales reales E y F, cualquier aplicación lineal !: E - F queda completamente determinada si se conocen las imágenes, por la aplicación!, de todos los vectores de una base del espacio E. Obsérve-se que si 81 = tu" U2, ... , un J e E es una base de E, y conocemos sus res-22 � MATEM�TICAS EMPRESARIALES pectivas imágenes, f (III).!(Uz), . .. .!(u,, ) e F, enlences se veri ri ca: VII e E Por tanto, f (u) = f e'A ] . u ] + Az' Uz + . .. + A,,' u,, ) = = A, . f (u , ) + l., -/(u, ) + ... + A, . f (u, ). Asà pues, si B]=l u ], uz, . . .� u"JC E es unabase deE B2 = {VI> vz, . . . , vm J C F es una base de F y conocemos las imágenes -de los vectores de 81 por la aplicación 1: f(u] ) = o]! v! + a2! V2 + . . . + amI VIII f (uz) = O!ZV] + 0nVz + . . . + OIllZV

III podemos representar todas estas imágenes en rorma de cuadro de m rilas y 11 columnas. que se denomina matri z asociada a la aplicación li neal f en las bases B L Y 8z: f(u, ) f(II , ) f (u,) 1 1 1 a" a" a" a" a" a" A = °"' 1 OmZ °m" Entonces, dado cualquier vector 11 e E, con component es (Al. Az, ...â�¢ AtI) en la base 81, podemos calcul ar su imagen por la aplicación J a partir de la matri z asociada: a" a" a" l., f(lI) = a" a" o" l., am, °nrZ am, l., ESPACIOS VECTORIALES. APLICACIONES LINEALES . 23 EJEMPLO 5 La matriz asociada a la aplicación lineal I R' (x, y) ---_, (x + y, x - 3y, y) en las bases canónicas de los dos espacios vectoriales se determinarÃa a partir dc y y seria, por tanto, J (I , O) J(O, 1) 1 1 A l -i ] La imagen del vector u "" (5, - 8), que es J(5 , -8) (5 - 8, 5 + 24, - 8) ( - 3, 29, - 8), se puede calcular a part ir de la mat riz asociada, haciendo: J(u) -i J [1.5 + 1.( - 8)J [ - 3J [-:J 1·5 - ).( - 8) 29. 0·5+1·( - 8) - 8 1.8.5. RANGO DE UNA APLICACIÃ�N LINEAL Dada la aplicación li nealf: E ......,. F, defin imos rango de fcomo la dimensión de la imagen de f. Es decir. Rango (f) = dim (l mJ). EJEMPLO 6 En el caso de la aplicación J: HI' (x, y ) ---- , (x + y, x - 3y, y) 24 â�¢ MATEMATtCAS EMPRESARIALES

1.9 hemos visto que y que una base de la imagen está formada por los vectores (J, 1, O) Y (4, 0,1), ya que además de generar la 1m! son independienles. Luego, Rango (f) = d;m (Im/) = 2. CAMBIO DE BASE EN UN ESPACIO VECTORIAL Dado un espacio vectorial real E de dimensión n, supongamos que B I = I uI� uI�· .. ,u,,1 y 81 = {VI' °1 �. . . v,,1 son dos bases del mismo. Un vector V E E se puede expresar de forma única como combinación li -neal de los veclOres de cada una de las dos bases. con lo que tiene componen-tes distintas en cada una de ellas. Si (al' a2" .. ,Q,,) Y «(JI> (J2.' .. ,(3,,) son las componentes respectivas del vector V E E en cada una de las bases ante-riores, entonces la relación entre dichas componentes viene dada por la de-nominada matriz del cambio de base de la base B1 a la base Bz, definida por: a ll a12 al" 0 Zl 022 O2,, donde los coeficientes o ij representan las componentes de cada uno de los vectores de la base Bl> expresados en la base 82, escritas en columnas; es de-cir: U¡ = 011 . VI + ... + 0"1 . V" Uz = 012 � VI + ... + an2 � Vn u" = al'" VI + ... + 0"" . V" . ESPACIOS VECTORIALES. APLICACIONES LINEALES . 25 Matricialmeme, la relación entre las componentes del vector se puede es-cribir como: ~ , a" a" a," a, ~ , a" a" a," a,

~ " a", a", a"" a" EJEMPLO Consideremos el espacio vectorial 1R2, y sean B, = [( 1, O), (0, 1)[ Y B, = [(1 . 3), (0, - 1)[ dos bases del mismo. Podemos expresar los vectores de la primera base como combi-nación lineal de los vectores de la segunda: (1,0) = A,·(1,3)+A,· (0, - 1)_A,= I, A, = 3 (0,1) = ",' (1,3) + ", · (0, - 1)_", = 0, ", =- 1. â�¢ Si ahora queremos expresar el vector (1 , - 2) en la segunda base, tendremos: (1, - 2) = 1-(1,0) - 2-(0, 1) = = 1 . [1 . (1, 3) + 3 . (0, - 1)[ - 2 . [O· (1, 3) - 1 . (O, - 1)[ = = (1 - 0)-(1,3)+(3+2)-(0, - 1) = = 1 . (1,3) + 5 - (O, - 1). Por tanto. las componentes del vector ( 1, - 2) en la segunda base son (1 , 5). Obsérvese que obtendrÃamos el mismo resultado si tomamos la matri z del cam-bio de base (expresando en columnas las componentes de los vectores de la primera base en la segunda) y la muliiplicamos por las componentes del vector (l. - 2) en la primera de las bases; es decir, EJERCICIOS RESUELTOS DEL CAPà TULO 1 â�¢ 27 Ej ercici os resueltos Ejercicio 1.1 Compruébese si los siguientes conjuntos son subespacios \'ectoriales. En caso afi rmali-\'0, determÃnese una basf " la dimensión de cada uno de ell os. (a) A = 1 (x, y, <: ) e IR) j x - 2y = z, x - Z = O l. (b) (e) c = I (x, y)e [Rl ¡ x+ 3y= 1, h + 6y = 41. ( d ) D = I (x, y, <:, t) e :¡t ¡ x - 3<: + I = O, X - I = O, 2;: + 4t = O ¡. (e) E=I(x'Y'4)e IRJj x+y<:= - 21 . SOLUCIÃ�N (a) Comprobemos en este primer caso que efectivamente es un subespacio vectorial de RJ. El vector (O, O, O) e A . ya que cumple las condiciones; por tan to, A l' :: . Sean (x ]. )'1. 41). (xzâ�¢ ll. <:z) E A Y )... p. e IR. Veamos que Por ser (XI. )' 1' <:1)' (x!. yz. zz ) elementos de A , verifican las condiciones Veamos que el vector también las verifi ca: XI - 2YI = ;::], x1- 2Y2 = ;::z, XI - ZI = O. Xl - Zl = O. (Axl + p.Xz) - 2 ()..)' ] + p.yz) = )..(x

l - 2YI ) + p.(x2 - 212) = hz] + P.Zz (Axl + ¡.LXz) - (AzI + p.zz) = ).. (x ] - ZI) + p.(x! - zz) = )..·0 + /l' O = O. Por tanto. es un subespacio vectorial de IR) . Para determinar una base, resolvemos el sistema: [X - 2Y = Z . x - z = O De la segunda ecuación, tenemos x = z; sustituyendo en la primera , obtenemos <: - 2y = Z, de donde 2)' = O y, por tanto, y = O. Asà pues, x = 4, Y = O. 28 â�¢ MATEMATICAS EMPRESARIALES Los vectores del conjunt o A son de la forma (x, 0, x). Por tanto, el vector (1,0, 1) genera todo el conjunt o y, por ser distint o de (0,0, O) , es linealment e inde-pendiente, luego constituye una base del subcspacio. La dimensión es, pues, l. (b) Sà es subespacio vectorial de fRl . Para determinar una base, despejando la ecuación 2x - 3y + z = ° obtenemos z = - 2x + 3y. Los vectores del conjunt o 8 son de la forma (x, y, - h '+ 3y) = (x,0, - 2x)+(0,y,3y) = x · (1,0, - 2)+ y '(0, 1,3). Por tanto, los vectores (1. 0, - 2»)' (0, 1,3) generan todo el conjunt o y, por ser li nealmente independient es, constituyen una base del mismo. La di mensión es, pues, 2. (e) No es subespacio de ya que el sistema de ecuaciones [X + 3y = I 2\' + 6y= 4 no tiene soluci ón y, por tanto, el conj unlO e es vacÃo, e = e. Otra for ma de verlo consiste en tomar (x, y) E e y x E R, Y comprobar que A·(X,y)' C: En efecto, si (x, y ) E e, cumple las condiciones x + 3y = 1, 2x + 6y = 4. En ca mbio, X(x, y) = (Xx, Xy) no cumple las condiciones, ya que, por ejemplo: ( AX) + 3(AY) = A (x + 3y) = X . I = X F I en general. (d) Si es subespaci o vectorial Para determinar una base, resolvemos el sistema:

X - I = O. 24+4t = 0 De la segunda ecuación, tenemos x "" t. Sustituyendo en las otras dos ecuacio-nes, resulta [21 - 3<: = O 4/ + 2<:= 0' Sistema que tiene solución;: = O, I = O. También, pues, x = O. Los veclOres del subespacio O son, pues, de la forma (0, y, O, O) . Por tanto, el

vector (0, 1, O, O) genera todo el conj unt o y, por ser li nealmente independiente, constituye una base del subespacio. La dimensión de O es, pues, l . EJERCICIOS RESUELTOS DEL CAPITULO 1 â�¢ 29 (e) No es un subespacio veClOrial de ~ ) . Basta con ver Que el vector (O, 0, O) no pertene-ce al conjunto, ya Que ° + O· O:::: ° 1'- - 2. Ejercicio 1.2 Determà nese una base y la dimensión de los siguientes subespacios vectori ales: (o) Subespacio de IR) generado por los \'eetores [(1,2,0), (3,1, - l), (2, - 6, - 1O),( - 1,3,l)[. (b) Subespacio de lit generado por los "et' lOres [(2,1. 2, 1), (O, 3, - 1,2), (2, 4, 1,0)[. SOLUCION (o) Por tratarse de un subcspacio de IR), su dimensión será menor o igual Que 3. Comprobemos que los vectores (1, 2, O) y (3, 1, - S) son linealmente indepen-dientes: de (1,2, O) :::: A(3, 1, - S), tenemos I = 3A, 2 = A, ° "" - SA. Como no existe solución, no podemos expresar un vector como combinación lineal del otro y, por tanto, los vectores son lineal mente independientes. Además, se puede comprobar Que los dos sistemas de ecuaciones resultantes de A¡·( 1,2.0)+A2·(J, 1, -5) +A)· (2, - 6, - 10) = (0,0,0) >, ,(1, 2, 0)+ >"(3, 1, - l) + >,·(-1,3, l) ~ (O, O, O) no sólo tienen la solución Al = A2 = Al = O. Veámoslo, por ejemplo, en el primer caso: El sistema de ecuaciones es [Al + 3A! + 2A) = ° 2AI +A2 - 6A) = O. - 5A2 - lOA) = O De la tercera ecuación, obtenemos A2 = - 2A)_ Sustituyendo en las otras dos ecuaciones, queda Como las dos ecuaciones son proporcionales, tenemos Al =- 4A). Por tanto, el sis-tema tiene infinitas soluciones: AJ e IR. 30 â�¢ MATEMÃ�TICAS EMPRESARIALES En el segundo caso, se procederÃa de for ma análoga . Asà pues, los conjuntos de vectores 1(1, 2,0),(3,1. - 5),(2, - 6, - 10)1 y 1(1,2,0),(3,1, - 5),(- 1,3,5)1 son linealmente dependientes, y no pueden ser base. Por tanto, una base del subes-pacio es ! (1 , 2, 0.), (3 , 1, - 5) J ' ya que son linealmente independientes y generan el subespacio, y su dimensión es 2. (b) En eSle caso, se puede comprobar que el sistema de ecuaciones Al . (2, 1, 2, 1) + A2 . (O, 3, - 1, 2) + Aj . (2, 4, 1, 0.) = (O, O, O, O) sólo tiene la solución trivial Al = A2 = Al = O y, por tant o, los vectores son lineal-mente independientes. En consccuencia, los vcelores (2, 1, 2, 1) , (O, 3, - 1, 2) y (2,4, 1, O) forman una base del subespacio vectoria l, y su dimensión es 3. Ejercicio ' .3 que la intersección de dos

subespacios \'cctoriales del espaci o E es otro sub-espacio ' ·cetoria!. SOL VelON Supongamos que S, T e E son subespacios vectori ales de E. (a) Por ser S y T subespacios vcctoriales, result a que 0.1: eS, O"e T. Por tanto, O"esnT y este subconjmlto no puede ser vacÃo, (b) Si tomamos A, p. e IR, u, ve s n T. lenemos que, por ser Sy Tsubespacios. cumplen: Por tanto, A, p.e lR. lI.veS_A·u +p.·veS A,p.e lR, /I. ve T= A·u+p.·veT. A·U + }1·vesnT. Asà pues, sn T es tambi én un subespacio vcctorial de E. EJERCICIOS RESUELTOS DEL CAPITULO 1 â�¢ 31 Ejercicio 1.4 Demuéstrese que el conjunto de pOli nomios de grado menor o igual que 2 )' eodicientes real es es un espaci o "cetorial real. l>Ctermà nese una base y la dimensión. SOLUCIÃ�N El conjunto considerado es P = [a + bx + exl / a. b. e e [R 1, con las operaciones entre polinomios: c::: Suma: o ProduclO por escalares: ).. (a + bx + exl) = ().a) + (M)· x + ().e). X l . Se puede comprobar que se veri fican todas las propiedades que definen un espacio vectorial. En concreto, el elemento neutro de la suma de poli nomi os es el polinomio O = O + O . x + O . Xl, Y el opuesto de un polinomio 0 + bx + ex2 es - o - bx - exl. Una base de este espacio vectorial estará formada por los polinomios 1, X, X2. En efec-to, obsérvese que cualquier polinomio se puede escribir como combinación li neal suya: a + bx+ exl =a· I + b·x+ e ·xl, con a , b , c e ~ . Además, estos tres polinomios son li nealment e independieme5, ya que: ).1 + ).2 â�¢ X + AJ . X Z = O = O + O 'x + ° . Xl - ).1 = 0, ).2 = O, ).l = O. Por tanto, el espacio tiene dimensión 3. Ej ercicio 1.5 Compruébese si los siguientes conjuntos de "ectores son li neal mente de pendientes o in-dependientes: (a) I(J,2, 1,4), (O, - J, 1,6»). (b) 1(1,2, J), (4, 2, 6), (l, 4, 9»), (e) 1(0,1, 0,1), (8, J, 1, 2) , (l, J, 1, J), (O, 0,1, O»). (ti) )(2,I,O),( - I,O, I) ,(O,O, J»). SOLUCIÃ�N (a) Linealmellle independient es. (b) Li nealmente dependientes. (c) Linealmente independientes. (d) Lineal mente independientes.

32 â�¢ MATEMATICAS EMPRESARIALES Ejercicio 1.6 DetermÃnese entre los "ectores U¡ = ( - 1, O, 2), = (2, l. 3), tlJ = (1,1,5), tl4 = (5, - 2, O) . cuá nt as bases de RJ se pueden for mar y hállense las componentes del "ector (1 , 1, 3) en cada una de las SOL VelaN El espacio IRJ tiene dimensión 3, luego cada una de sus bases estará formada por !reS vectores, Las diferentes bases dc fl2J que se pueden formar con estos veclores son: puesto que en la otra posibilidad. I u1â�¢ u2â�¢ uJI. los vectores son linealmente dependien-tes, ya que 1/ ) = 1/1 + 11 2' Las diferentes componentes son: Ejerci ci o 1.7 C OI de' apli 1 5 1 ( 1 5 1 ) (1, 1,3) =.- ( - 1, O, 2) + 6 (2, 1, 3) - 12 (5, - 2, O) = 4' 6 ' - 12 . 7 (1 , 1.3) = 12(2,1,3) + la base B1: 1 ( 7 1 1 ) 4 (1,1,5) - 12 (5, - 2, O) = 12' 4 ' - 12 . 7 5 1 ( 7 5 1 ) , 3) = - 12 ( - 1, 0,2)+ 6 (1, 1,5) - 12(5, - 2, 0) = - 12 ' 6 ' - 12 . si las siguient es aplicaciones son aplicaciones lineales. En easo afirmativo. 'te el núcl eo, la imagen, sus di mensiones y una base respectiva, el rango de la y su matri z asociada en las bases canónicas: L ¡. (a) f: IR! dd ini da por ¡(x, y, z) = (l.\" + Y. y - 3z). (b) f: IRJ - IRl definida por ¡(x, y, z) = (xy. y. z). (e) f: IRl II(J definida por ¡(x, y, z) = (x + y , O, Y + z). EJERCICIOS RESUELTOS DEL CAPÃTULO 1 â�¢ 33 SOLUCIÃ�N (a) La aplicación defi nida por ¡(x, y, z) = (2x + y. y - 3z) es una aplicación lineal, ya que: ¡[(XI' Y¡, z¡) + (x2, Yl, Z2)] = ¡ (XI + x

2' YI + Y2, ZI + Zz) = = [2 (XI + X2) + (YI + h), (YI + Y2) - 3 (ZI + Z2)] = = [(al + YI) + (2xl + h ), (YI - 3zl) + (Y2 - 3z2)] = = (2x1 + YI' YI - 3zl) + (2x2 + Yl, Yl - 3z2) = = ¡(XI' YI' ZI ) + ¡ (x2, h, Z2)' Análogamente. tenemos que JlA' (x, y, z)) ~ f(Ax, AY, AZ) ~ [2· (Ax) + (AY), (AY) ~ 3 . (Az)[ ~ ~ [A' (2x + y), A' (y ~ 3z)1 ~ A' (2x + y, y ~ 3z) ~ ~ A ·f(x , y, z) . Para determinar el núcleo de la apl icación, buscamos los vectores (x, y, Z) E IRl cuya imagen sea el vector (O, O) E f,(2; f(x, y, z) ~ (2x + y, Y ~ 3z) ~ (0, O). Resulta el sistema de ecuaciones f2X+Y =O ty -3z = O â�¢ Despejando en la segunda ecuación, obtenemos y = 3z, y sustituyendo en la pri-mera, 2x + 3z = O y, por tanto, 3 x = - 2 z. Asà pues. el núcleo está for mado por todos los vectores de la forma ( - ~ z, 3z , z), con ZE IR. Una base del núcleo está formada por el vector ( ~ ~ , J. 1), ya que, además de generar el Ker J, es linealmente independiente. Su dimensión es 1. A partir de la propiedad 6 de las apli caciones lineales, sabemos que dim IR' = dim KerJ + dim 1m/. 34 â�¢ MATEMÃ�TICAS EMPRESARIALES Por tanto, dim Imf = dim IR) - dim Ker 1= 3 - 1 = 2. Como la dimensión de la imagen coincide con el espacio final, IRl, tenemos que Im/ = IRl ; por tanto, una base podrÃa ser la canónica, (1, O), (O, 1) . El rango de la aplicación, o dimensión de la imagen, es 2. Finalmente, para determinar la matri z asociada a la aplicación en las bases canó-nicas, debemos determi nar las imágenes de los vectores de la base canónica de IR] :

J(1, O, O) (2, O) } 1 O]. O 1 - 3 J(O, O, 1) (O, - J) (b) La aplicación f: IRJ ---. IR) definida por f(x, y , z) = (xy, y, z) no es una aplicación lineal , puesto que, por ejemplo, tomando X:: 2, (x, y, z) = ( l. 2. 3). tenemos quc J12· (1 , 2, J)I J(2, 4, 6) (2 . 4, 4, 6) (8, 4, 6) " " 2 . J(1 , 2, J) 2 . (1 . 2, 2, J) 2 . (2, 2, J) (4, 4, 6) y, por tanto, en general, JlX, (x, y, ¡)I " X ·J(x, y, x). (e) De for ma análoga a como se ha hecho en el apart ado (a), se puede comprobar que la aplicación f: IRJ -4 R3 definida por I (x, y , z) = (x + y , 0, y + z) es lineal. Para determinar el núcleo de la aplicaciónf, buscamos los vectores (x. y. <:) E IR) tales que f (x. Y. z) = (x + Y. O, Y + z) = (O, O. O). Resulta el sistema de ecuaciones

0 = 0 }'+z =o cuyas soluciones son x "" z "" - y. Por tanto. los vectores del núcleo son de la forma (x, - x, x), de donde Ker/ = «1, - 1, 1» . Asà pues, la dimensión del núcl eo es 1, y una base de este subespacio está formada por el vector (1, - 1, 1). Aplicando la propiedad que relaciona las dimensiones del núcleo, imagen y espa-cio inicial de la aplicación, tenemos: dim Imf = dim R1 - dim Ker f = 3 - 1 = 2. EJERCICIOS RESUElTOS OEl CAPiTULO 1 � 35 Por tanto, la imagen de la aplicación no coi ncidc con el espacio final, [RJ. Para determinar una base de la imagen, como sabemos que vendrá grnerada por las imá-genes de los vectorrs de la base canónica, ¡ (I, O, O) (1, O, O), ¡(O, 1), ¡(O, O, 1) (O, O, 1), debemos escoger dos vectores linealmente independientes entre ellos; por ejemplo, una base estará formada por los vec tores 1(1, O, O), (1 , O, 1) l. El rango de la apli ca-ción es 2. Para determinar la matri z asociada a la aplicación en las bases canónicas, hace-mos: [1 O] O O O. 0 1 Ejercicio 1.8 Demuéstresl' que toda aplicación lineal f: E - F cumple I(Oa = 01-' SOLUCI�N Teniendo en cuenta que. tomando el escalar O E JR Y cualquier vector u E E, siempre se

verifica que O· u == 0F, podemos escribir: f (O/J = 1(0 · 11) = I por ser 1 lineal I = O . 1(11) = O, de donde resulta que, efect ivamente, I (Oe) = 01-' Ej erci ci o 1.9 Si la mulri..: asociada u tl nu uplicaci ón lineal es, en determi nadas bases, A [ - - : ] determÃnese: (a) l as dimensiones de los espacios inici al y final. (h) analÃtica de 1:1 aplicación lineal. (e) El núcleo. una base y su dimensión. (d) l a imagen. una base. su dimensión l' el rango de la aplicación. SOL vel6N (a) Por ser una matriz de orden 3 x 2, resulta que la aplicación es del lipo f: JR2 _ r;?l. 36 â�¢ MATEMÃ�TICAS EMPRESARI ALES (b) La expresión analÃtica la calcularemos determinando la imagen de un vector de ~ cualqui era: Asà pues, J(x, y) : (2x, - x - Jy, y ). (e) Para determinar el núcleo, buscamos los vectores (x. y) E ~ tales que J(x, y) : (2x. - x - Jy, y) : (0, 0, O). Result a el sistema de ecuaciones [ 2x : ° - x - 3y = 0 y ::: O con solución x = y = O. Por tanto. Kerl= 1(0,0)1 y dim Kerl = O. (d) Usando la relación emre las dimensiones. tenemos que dim lml = dim ~ - dim Ker 1= 2 - O = 2. Como sabemos que las imágenes de los vectores de una base de ~ generan el subespacio Iml. tenemos que J(l, O): (2, - 1, O), J(O, 1) : (O, - J, 1) generan Iml; como tiene dimensión 2, además constituyen una base suya: ImJ: «2, - l . O), (0, -J, 1)). Por definición, rangol = dim Im f = 2. Ejercici o 1.10 Duda 111 apli cación lineal f: 1R2 -- Jl(l defini da Ilor f(x , y ) = (2x - y. 3y, xl . se pide: (a) DetermÃnese la mat riz asoci ada a la a pli caci ón en las bases [(J, 1) ,(0, - 1) ) Y 1(1,0,1),(0,2,0),(1,1,0)). (b) CalclÃl eS4! la imagen del ,'eclor (3, - 2) en las bases a nteri ores. EJERCICIOS RESUELTOS DEl CAPiTULO 1 â�¢ 37 SOLUCIÃ�N (a) Para determinar la matriz asociada a la aplicaci ón lineal en unas determinadas ba-ses , debemos calcular las imágenes de los vectores de la base del espacio inicial , ex-presadas en la base del espacio fi nal; por tanto: 1(3, 1) ~ (5, 3, 3) ~ A,' ( 1, 0, 1) + A,' (0,2, O) + A,' (1 , 1, O). Desarrollando, queda el sistema de ecuaciones: La solución del sistema es Al = 3, Análogamente, determinarÃamos feo, - 1) = (1, - 3,0)=1-'1· (1, 0, 1)+1-'2, (0,2,0) +1-'3, (1, 1,0), La solución es, en este caso, 1-' 1 = 0, Por tanto, expresando las imágenes en las bases ci tadas, tenemos

1(3, 1) ~ ( 3, : ' 2) Y 1(0, - 1) ~ (0, - 2, 1). Por tanto, la matriz asociada a la apl icación linea l en las bases citadas es: (b) Para calcular la imagen de (3, - 2), debemos expresar este vector en las bases utili-zadas: (3, - 2) ~ A, . (3, 1) + A,' (0, - 1). Al resolver el sistema resultante, queda Al = I Y A2 = 3. 38 â�¢ MATEMÃ�TICAS EMPRESARI ALES Por tanlO. Obsérvese que 11 3· (1 ,0, 1) - 2 · (0, 2.0) + 5 ' (1. 1, 0) = (8, - 6,3) es la imagen del vector (3. - 2) expresada cn las bases canónicas. como se puede comprobar a parti r de la definición analÃtica dc la aplicación.