CAPITULO 3 CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA 3.1. Introduccin

El clculo y anlisis del flujo de potencias en la red de un Sistema Elctrico de Potencia (SEP) es uno de los aspectos ms importantes de su comportamiento en rgimen permanente. Consiste en determinar los flujos de potencia activa y reactiva en cada lnea del sistema y las tensiones en cada una de las barras, para ciertas condiciones preestablecidas de operacin. Hasta el ao 1950, el Clculo del Flujo de Potencias (CFP) se realizaba utilizando principalmente los Analizadores de Redes de Corriente Alterna (ARCA) y en algunos casos, los Analizadores de Redes de Corriente Contnua (ARCC) que corresponden a una simulacin a escala del Sistema Real. En la actualidad, el CFP se realiza fundamentalmente, utilizando los computadores digitales por las grandes ventajas que stos presentan respecto a los analizadores de redes. El anlisis del flujo de potencias (AFP) permite:

3.2.

Programar las ampliaciones necesarias del SEP y determinar su mejor modo de operacin, teniendo en cuenta posibles nuevos consumos, nuevas lneas o nuevas centrales generadoras. Estudiar los efectos sobre la distribucin de potencias, cuando se producen prdidas temporales de generacin o circuitos de transmisin. Ayudar a determinar los programas de despacho de carga para obtener un funcionamiento ptimo. Planteamiento del problema bsico

Considrese el SEP elemental de dos barras de la Figura 3.1 y su circuito equivalente por fase que se muestra en la Figura 3.2. La lnea L12 se ha representado por su circuito nominal y donde:& & S1 y S 2 : Potencias complejas netas de las barra 1 y 2 respectivamente, representadas como fuentes de potencia activa y reactiva, que corresponden a la Potencia Generada menos la Potencia Consumida.

& & S12 y S 21 : Flujos de potencia compleja que van desde la barra 1 a la barra 2 y viceversa.G1 1 L12 S12 SC1 S 21 S C2 21 2 RL + j XL V2

G2

V 1

S G1

SG2

S1

Y/2

Y/2

S2

Figura 3.1.- Sistema elemental de dos barras para plantear el problema bsico

Figura 3.2.- Circuito equivalente por fase del sistema de la Figura 3.1

En la Figura 3.1, las potencias complejas netas de las barras 1 y 2 son:

& & & S1 = S G1 S C1 = (PG1 PC1 ) + j (Q G1 Q C1 ) = P1 + jQ1 & & & S 2 = S G 2 S C 2 = (PG 2 PC 2 ) + j (Q G 2 Q C 2 ) = P2 + jQ 2

(3.1)

23

En el circuito de la Figura 3.2 se puede escribir:* S1 * V1

= =

P1 jQ1* V1

& & V V2 & Y = V1 + 1 2 R L + jX L & & V2 V1 & Y = V2 + 2 R L + jX L

S* 2* V2

P2 jQ 2* V2

(3.2)

Estas ecuaciones, que relacionan las tensiones con las potencias activas y reactivas, presentan las siguientes caractersticas.

Son algebraicas y no lineales. La frecuencia no aparece en forma explcita porque se la supone constante. El sistema de cuatro ecuaciones, tiene 12 variables en total: PG1, PG2, QG1, QG2, PC1, PC2, QC1, QC2, V1, 1, V2, 2, por lo que no es posible obtener una solucin para ninguna de ellas a menos que se reduzca el nmero de incgnitas, fijando de antemano algunas variables. En relacin a esto ltimo, una forma posible de resolver el problema es la siguiente:

A partir de los datos del consumo suponer conocidas e independientes del voltaje, las potencias de las cargas PCi, QCi, con i = 1,2. Fijar a priori dos variables de generacin PG2 y QG2 por ejemplo. No se pueden fijar las cuatro variables de generacin debido a que las prdidas en el sistema no son conocidas inicialmente. Fijar el mdulo y ngulo de la tensin en barra 1; es decir; suponer conocidos V1, 1. En particular, puede tomarse esta tensin como referencia, o sea, 1=0 En estas condiciones, el sistema de 4 ecuaciones (3.2) queda con slo 4 variables: PG1, QG1, V2, 2.

3.3.

Modelo de representacin del SEP

Teniendo presente el anlisis del problema bsico y con el objeto de establecer un procedimiento general para el CFP, es necesario considerar lo siguiente:

3.3.1. Tipos de BarrasAsociados a cada barra p de un SEP existen cuatro variables, Pp; Qp; Vp; p. Segn las variables conocidas y desconocidas, las barras se clasifican en los siguientes grupos:

Barras de Carga (Barras P-Q): Pp y Qp estn especificadas; Vp y p son las incgnitas Barras de tensin controlada (Barra P-V): Pp y Vp estn especificadas; Qp y p son las incgnitas. En este tipo de barra debe existir alguna fuente controlable de potencia reactiva. & Barra flotante (Barra V ): Vp y p estn especificados; Pp y Qp constituyen las incgnitas. En estabarra debe existir por lo menos un generador. La necesidad de definir esta barra nace del hecho que no es posible especificar a priori, la potencia total que es necesario generar en el sistema debido a que inicialmente no se conocen las prdidas en el mismo. La barra flotante debe suministrar la diferencia entre la potencia compleja inyectada al sistema en el resto de las barras y la carga total ms las prdidas. Esta barra se conoce tambin con otros nombres tales como: de referencia, oscilante, de relajacin (slack).

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3.3.2. Representacin de los elementos del SEP a. Lneas: Se representan usualmente por su circuito nominal. Para una lnea conectada entre las barras p y q de un SEP, el circuito equivalente corresponde al mostrado en la Figura 3.3. En algunos casos, basta representar la lnea por su impedancia serie. b. Transformadores: Cuando funcionan en su razn nominal, se representan por su impedancia de cortocircuito. Cuando operan con cambio de TAP y razn no nominal, se pueden representar por su circuito equivalente que se muestra en la Figura 3.4, cuyos parametros se indican en la ecuacin (3.3).

p Vp

S pq I pq Y' /2 pq

Z pq ( Ypq )

S qp I qp Y' /2 pq

I1

I2 B A C + V2 -

q Vq

+ V1 -

Figura 3.3.- Circuito equivalente de una lnea para el clculo de flujos de potencia

Figura 3.4.- Modelacin circuital en tanto por unidad de un transformador con cambio de TAP

A=

Y 1 1

B=

Y

C=

Y1 1

(3.3)

Con =1+t1 y =1+t2; y donde t1 y t2, representan el cambio del Tap, en el lado respectivo.

c. 3.4.

Generadores: Se consideran normalmente como fuentes de potencia activa y reactiva. Planteamiento matemtico del problema para un SEP de n barras

3.4.1. Ecuaciones de BarrasConsidrese una barra p cualquiera de un sistema tal como se muestra en la Figura 3.5. La & potencia compleja neta, S p y la corrienteinyectada en la barra p, & p estn relacionadas por I las siguientes ecuaciones, que constituyen las ecuaciones de barras. & S = V I * = P + jQp p p p p

p Resto del SEP + V p Ip

Figura 3.5.- Representacin de una Barra p en un SEP

& = Ip

S* p * Vp

=

Pp jQ p* Vp

(3.4)

3.4.2. Ecuaciones del flujo de potenciasA partir de la Figura 3.3 se puede escribir:

& = (V V )Y + V (Y ' 2) & & & & & I pq p q pq p pqLa potencia compleja que fluye desde la barra p a la q est dada por:* ' 2 & & & * * S pq = Vp I * = Ypq + (Ypq 2) * Vp Vp Vq Ypq pq

(3.5)

[

]

(3.6)

25

Anlogamente, la potencia compleja que fluye desde la barra q a la barra p estar dada por:* ' 2 *& * & & S qp = Vq I * = Yqp + (Yqp 2) * Vq Vp Vq Yqp qp

[

]

(3.7)

Las expresiones (3.6) y (3.7) corresponden a las ecuaciones del flujo de potencia a travs de la lnea. & & & & & Conviene indicar que Y = Y y ( Y ' 2) = ( Y ' 2) . Adems, Y es el inverso de la impedancia entre laspq qp pq qp pq

barras p y q, el que no debe confundirse con el valor correspondiente en la matriz YB, de la ecuacin (3.10).

3.4.3. Potencia perdida en la transmisin& & De acuerdo con los sentidos adoptados para S pq y S qp , la potencia compleja perdida en la lnea ser:

& & & S Lpq = S pq + S qp3.4.4. Clculo de las tensiones de barras

(3.8)

Las ecuaciones (3.6) y (3.7) indican claramente que para resolver el problema del flujo de potencias se requiere determinar previamente las tensiones en todas las barras que correspondan. Empleando el mtodo nodal de resolucin de circuitos, en forma matricial, para la red de un SEP de n barras se puede escribir:

[I B ] = [YB ][VB ]

(3.9)

donde [I B ] es el vector de corrientes inyectadas a las barras; [YB ] es la matriz admitancia de barras y [VB ] es el vector tensiones de barra, definidos como:

&1 I & I 2 [I B ] = &M I p M & n I

& V1 & V2 [VB ] = &M Vp M & Vn

& Y11 & Y21 M [YB ] = & Yp1 M & Yn1

& Y12 & Y

22

& Y1p & L Y2 p L M & L Ypp

M & Yp 2

M L M & & Yn 2 L Ynp

& L Y1n & L Y2 n L M & L Ypn L M & L Ynn

(3.10)

Teniendo presente que segn (3.4), las corrientes inyectadas en las barras dependen de las potencias complejas netas respectivas y considerando (3.9) y (3.10), se puede escribir:* S1 * V1

& & & & & & & & = Y11 V1 + Y12 V2 + + Y1p Vp + + Y1n Vn & & & & & & & & = Y21V1 + Y22 V2 + + Y2 p Vp + + Y2 n Vn M M M M(3.11)

S* 2* V2

M S* p* Vp

& & & & & & & & = Yp1 V1 + Yp 2 V2 + + Ypp Vp + + Ypn Vn M M M M

M S* n* Vn

& & & & & & & & = Yn1 V1 + Yn 2 V2 + + Ynp Vp + + Ynn Vn

26

Este sistema de ecuaciones es similar al obtenido en el problema elemental de 2 barras; es decir; las ecuaciones son algebraicas y no lineales, por lo tanto es necesario resolverlo mediante tcnicas de aproximaciones sucesivas.

3.5.

Tcnicas de solucin para el problema del flujo de potencias

Existen actualmente diversos mtodos para resolver el problema de clculo del flujo de potencias, los que reciben nombres segn sea el procedimiento que se aplique para calcular las tensiones. Entre ellos podemos mencionar el de Gauss, el de Gauss-Seidel, los de Newton-Raphson (Completo, Desacoplado, Desacoplado rpido), el flujo DC, etc. Se estudiar a continuacin, cada uno de ellos, considerando en primer lugar el procedimiento general y luego las aplicaciones al clculo de flujo de potencias

3.5.1. Mtodo de GaussSe emplea para resolver un problema lineal o no lineal. Por simplicidad se considerar un sistema lineal de ecuaciones, como el indicado en (3.12), para fundamentarlo. Sin embargo, su aplicacin a un sistema no lineal resulta inmediata.

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = y1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = y 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = y 3 Despejando x1 de la primera ecuacin, x2 de la segunda y x3 de la tercera se obtiene: (3.12)

x 1 = (y1 a 12 x 2 a 13 x 3 )/a 11 x 2 = (y 2 a 21 x 1 a 23 x 3 )/a 22 x 3 = (y 3 a 31 x 1 a 32 x 2 )/a 330 0 Sean x 1 , x 0 , x 3 , valores iniciales estimados a priori de la solucin del sistema (3.12), entonces, 2 reemplazando estos valores en (3.13) se tiene:0 x 1 = ( y1 a 12 x 0 a 13 x 3 ) / a 11 1 2 0 0 x 1 = ( y 2 a 21 x 1 a 23 x 3 ) / a 22 2

(3.13)

(3.14)

x1 3

0 = ( y 3 a 31 x 1

a 32 x 0 ) / a 33 2

El procedimiento continua hasta que se satisface algn criterio de convergencia tal como, por ejemplo, el indicado en (3.15), donde es una cantidad de valor pequeo y positivo. A cada etapa del proceso se le denomina iteracin.

x ik +1 x ik

con i = 1, 2, 3

(3.15)

Aplicando el mtodo a un sistema de n ecuaciones con n incgnitas; para la incgnita xi, despus de k iteraciones, y con i= 1, 2,.....; n; se puede escribir:

x ik +1 =

n 1 y i a ij x k j a ii j=1 j i

(3.16)

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Los inconvenientes de este procedimiento son el gran nmero de pasos que se requiere para llegar al resultado y la ocurrencia relativamente alta de situaciones en que no hay convergencia, por lo que no se utiliza para resolver el problema de clculo de los voltajes de la ecuacin (3.11). Sin embargo, constituye la base para la formulacin del Mtodo de Gauss-Seidel, lo que justifica su anlisis. Al aplicar la ecuacin (3.16) al problema de clculo de los voltajes en las barras del sistema de ecuaciones (3.11) se obtiene:

n P jQ p & k +1 = 1 p & Vk & Ypq q Vp k & Ypp (Vp ) * q =1 qp Donde: p = 1, 2, 3, .., n; q= 1, 2, 3, ....., n y p s (barra slack).

(3.17)

La ecuacin (3.17) se conoce como mtodo de Gauss YB, porque usa el Mtodo de Gauss y se trabaja con la matriz admitancia de barras del sistema elctrico. La expresin es vlida slo para las barras de carga. En el caso en que el SEP contenga barras de tensin controlada, la ecuacin (3.17) debe ser modificada, pues en este tipo de barras no se conoce el valor de la potencia reactiva Qp. Por lo dicho en el prrafo anterior, la modificaciones requeridas se estudiarn al considerar el Mtodo de Gauss-Seidel YB.3.5.2 Mtodo de Gauss-Seidel

a. Caso general: Corresponde a una modificacin del mtodo de Gauss tendiente a acelerar la convergencia del proceso iterativo. En el mtodo de Gauss se calculan todos los valores de las incgnitas correspondientes a una iteracin y luego se emplean para determinar los nuevos valores de las incgnitas en la iteracin siguiente. En el mtodo de Gauss-Seidel en cambio, los valores calculados en una iteracin determinada, se utilizan inmediatamente para calcular los valores de las incgnitas que restan por calcular en la misma iteracin.

De este modo, si el proceso de clculo se encuentra en la iteracin (k+1) y ya se han determinadok x 1 +1 , k x 1 +1 ,

x k +1 , ....., x ik+1 ; 2 1

entonces,

los

valores

que

se

utilizan

para

calcular

x ik +1

sern

x k +1 , ....., x ik+1 , x ik+1 , 2 1

x ik+ 2 , ....., x k n

Por tanto, la frmula iterativa del Mtodo de Gauss-Seidel aplicada a un sistema de n ecuaciones de la forma dada por (3.12) es:

x ik +1 =

1 a ii

i 1 n k +1 k y i a ij x j a ij x j j=1 j=i +1

(3.18)

b. Aplicacin del mtodo de Gauss-Seidel YB al clculo flujos de potencia: El clculo de las tensiones de barras aplicando el procedimiento explicado anteriormente es distinto segn sean los tipos de barras existentes en el SEP. Por ello se considerarn en primer lugar los sistemas con barras de carga y flotante solamente, por ser el caso ms simple. A continuacin se analizar la situacin de las barras de tensin controlada. b1. Sistemas con barras de carga y flotante solamente: Aplicando la ecuacin (3.18) al sistema (3.11) se tiene:

n 1 Pp jQ p p 1 & & k +1 &k & &k Ypq Vq Ypq Vq Vp +1 = k & Ypp (Vp ) * q =1 q = p +1 Donde: p = 1, 2, 3, .., n; q= 1, 2, 3, ....., n y p s (barra slack).

(3.19)

28

La secuencia de solucin segn este mtodo es como sigue: 1. Se suponen valores iniciales de tensin para todas las barras a excepcin de la flotante, cuya tensin est especificada, o sea es dato del problema, al igual que Pp y Qp en todas las barras de carga y los trminos de la matriz admitancia de barras [YB]. Se aplica la frmula iterativa (3.19) hasta que se cumpla algn criterio de convergencia, por ejemplo:

2.

Vpk +1 Vpk 1 especificado

con p = 1, 2, 3, ......., n con p = 1, 2, 3, ......., n

y p s (barra slack) y p s (barra slack)(3.20)

k +1 k 2 especificado p p3. 4.

& & & Determinadas las tensiones Vp , se calculan los flujos de potencia S pq y S qp aplicando (3.6) y (3.7). & & Conocidos los valores de S pq y S qp se determinan las prdidas en el sistema, empleando (3.8).

b2. Sistemas con barras de carga, tensin controlada y flotante: Normalmente un SEP incluye adems de las barras de carga y flotante, barras de tensin controlada (BTC) que tienen por objeto permitir regular la tensin en uno o varios puntos del sistema. En las barras de tensin controlada debe existir una fuente regulable de potencia reactiva para poder cumplir su cometido.

Debido a que en este tipo de barra slo se conocen el mdulo de la tensin y la potencia activa, es necesario calcular previamente la potencia reactiva, antes de emplear la ecuacin (3.19) para determinar el voltaje complejo en ella. A partir de la ecuacin para la barra p de la expresin (3.11), se puede escribir:* & & * & & & & & & & & S* = Pp jQ p = Vp ( Yp1V1 + Yp 2 V2 + + Ypp Vp + + Ypn Vn = Vp Ypq Vq p q =1 n

(3.21)

es decir:

* n & & Q p = Im ag Vp Ypq Vq q =1

(3.22)

Cuando se emplea la ecuacin (3.19) en una BTC, el valor de Qp, que debe utilizarse corresponde al indicado por (3.22), el que se debe actualizar en cada iteracin. Al determinar el voltaje, debe tenerse en cuenta que su mdulo en esta barra est especificado y por lo tanto slo puede cambiar su ngulo.Lmites de Potencia reactiva en una Barra de tensin Controlada: En el clculo del flujo de potencias en un SEP con Barras de tensin controlada es necesario tomar en cuenta los lmites de potencia reactiva de las fuentes de potencia.

Sea p una BTC, entonces el valor de Qp se puede escribir como:

Q p = Q Gp Q CpAdems: (QGp)mx : Valor mximo de generacin de potencia reactiva de la fuente. (Qgp)mn : Valor mnimo de generacin de potencia reactiva de la fuente. : Potencia reactiva de la carga en la barra QCp

(3.23)

29

Los lmites de potencia reactiva para la barra p sern:

(Q p ) mn Q p (Q p ) mxdonde: (Q p ) mn = (Q Gp ) mn Q Cp y (Q p ) mx = (Q Gp ) mx Q Cp

(3.24)

Si el valor de la potencia reactiva calculado segn (3.22) en una iteracin cualquiera k, Qpk, excede el lmite mximo o mnimo prefijado, significa que es imposible obtener una solucin con la tensin especificada en esta barra y en consecuencia, ella debe ser considerada como una barra de carga en esa iteracin, en la cual la potencia reactiva es igual al lmite superior e inferior segn corresponda. En las iteraciones siguientes, el mtodo intentar mantener el voltaje especificado originalmente en esa barra, siempre que no se violen los lmites de Qp. Esto es posible, porque pueden ocurrir cambios en otros puntos del sistema, que lo permitan. Para explicar mejor el procedimiento, considrese el sistema de 3 barras de la Figura 3.6. Sean: Barra 1: Flotante Barra 2: de carga Barra 3: de tensin controlada La secuencia de clculo aplicando el Mtodo de Gauss-Seidel YB es: 1. 2. 3.1 2

3

Figura 3.6.- Sistema de tres barras para explicar el mtodo de Gauss-Seidel YB

Especificar los datos necesarios: V1, 1, P2, Q2, P3, V3 y los parmetros para determinar la matriz YB0 0 Suponer los valores iniciales: V2 , 0 , 3 . Normalmente se usa 1,0 (pu) para los mdulos de voltaje y 2 0 para los ngulos; V3 est especificado.

Calcular la tensin en la barra 2 1 P2 jQ 2 & & &1 & &0 V2 = Y21 V1 Y23 V3 0 & Y22 (V2 ) * (3.25)

4.

Calcular la potencia reactiva en la barra 30 0 & & & &1 & & 0 Q 3 = Im (V3 ) * (Y31 V1 + Y32 V2 + Y33 V3

{

}

(3.26)

5. 6.

0 Verificar si Q 3 est dentro de los lmites establecidos

0 Si Q 3 est dentro de los lmites, determinar la tensin en la barra 3 segn (3.27), mantener el valor especificado para V3 y cambiar el ngulo inicial por el determinado con (3.27)0 1 P3 jQ 3 & & &1 & &1 V3 = Y31V1 Y32 V2 & (V 0 ) * Y33 3

(3.27)

7.

0 0 Si Q 3 no est dentro de los lmites, reemplazar Q 3 en (3.27) por el valor del lmite excedido, & tomando el valor de V1 calculado en (3.27) completo (mdulo y ngulo).3

30

8.

Verificar que se cumpla el criterio de convergencia tal como se indica en ecuacin (3.20), por ejemplo, en todas las barras. Si se cumple, el proceso de clculo de las tensiones finaliza y se determinan los flujos de potencia y las prdidas en las lneas segn ecuaciones (3.6) y (3.7) y (3.8). Si el criterio de convergencia no se cumple, volver al punto 3 y repetir el proceso.

9.

Ejemplo 3.1. Para el sistema de tres barras de la Figura 3.7, los datos en pu, base comn, se dan en las Tablas N 1 y N 2. Realizar una iteracin con el mtodo de Gauss-Seidel YB, para determinar el voltaje en todas las barras. Con los valores obtenidos, determinar los flujos de potencia en todas las lneas, las prdidas del sistema, la potencia entregada por el generador de la barra slack y la verificacin de la potencia entregada a la carga SC1.

G3 3

G2 2

PG2

Tabla N 1: Datos de las lneasLnea 1-2 1-3 2-3 Z (pu) 0,04+j0,12 0,02+j0,06 0,06+j0,18 Y/2 (pu) j0,05 j0,06 j0,05

Tabla N 2: Datos de las barras

1 SC1Figura 3.7 Lmites de generacin de Q en la barra 2: 1 QG2 1

Barra N Tipo V (pu) 1 2 3 PQ PV SL 1,04 1,06

PG QG 0,2 -

PC 0,0 0,0

QC 0,0 0,0

0,6 0,25

Solucin: a) Determinacin de la matriz de admitancia de barras YB

1 1 + + j0,05 + j0,06 = 7,5 j22,39 = 23,6128 71,48 0,04 + j0,12 0,02 + j0,06 1 1 + + j0,05 + j0,05 = 4,1667 j12,4 = 13,0813 71,43 Y22 = 0,04 + j0,12 0,06 + j0,18 1 1 + + j0,06 + j0,05 = 6,6667 j19,89 = 20,9775 71,47 Y33 = 0,02 + j0,06 0,06 + j0,18 1 = 2,5 + j7,5 = 7,9057108,43 Y12 = Y21 = 0,04 + j0,12 1 Y23 = Y32 = = 1,6667 + j5 = 5,2705108,43 0,06 + j0,18 1 Y31 = Y13 = = 5 + j15 = 15,8114108,43 0,02 + j0,06 Y11 =b) Valores iniciales y otros datos

& &0 & V10 = 10 ; V2 = 1,040 ; V3 = 1,060 , especificado (Barra slack) & S = 0 0,6 + j(0 0,25) = 0,6 j0,25; P = 0,2 0 = 0,21 2

Lmites de Q en la barra 2 :

1 Q2 1

31

c) Proceso iterativo: Utilizando la ecuacin (3.19)

&1 V1 =

1 0,6 + j0,25 7,9057108,43 * 1,040 15,8114108,43 * 1,060 23,6128 71,48 10

&1 V1 = 1,0401 1,23

&1 Antes de determinar V2 se debe calcular la potencia reactiva neta de la barra 2, expresin (3.22)Q 0 = Im{7,9057108,43 * 1,0401 1,23 +13,0813 71,43 * 1,040 +5,2705108,43*1,060}* 1,040 2 Q 0 = 0,2693 2 (est entre los lmites)

&1 La tensin V2 se determina usando de nuevo la expresin (3.19), es decir:1 0,2 + j0,2693 7,9057108,43 * 1,0401 1,23 5,2705108,43 * 1,060 13,0813 71,43 1,040 1 1 & & V2 = 1,04140,23 V2 = 1,040,23

&1 V2 =

d) Clculo de los flujos de potencia en las lneas: Usando las expresiones (3.6) y (3.7) y considerando que:

1 = 2,5 j7,5 = 7,9057 71,57 0,04 + j0,12 1 Y23 = Y32 = = 1,6667 j5 = 5,2705 71,57 0,06 + j0,18 1 Y31 = Y13 = = 5 j15 = 15,8114 71,57 0,02 + j0,06 Y12 = Y21 =se tiene:

& S12 = {7,905771,57 +0,05 90}* 1,04012 1,0401 1,23 * 1,04 0,23 * 7,905771,57 & S12 = 0,2056 + j0,0182 = 0,2064174,94 & S = {7,905771,57 +0,05 90}* 1,04 2 1,040,23 * 1,04011,23 * 7,905771,57 21

& S 21 = 0,2073 j0,1211 = 0,2401 30,29 & S 23 = {5,270571,57 +0,05 90}* 1,04 2 1,040,23 * 1,060 * 5,270571,57 & S 23 = 0,0125 0,1654 = 0,1659 94,33 & S 32 = {5,270571,57 +0,05 90}* 1,06 2 1,060 * 1,04 0,23 * 5,270571,57 & S = 0,0132 + j0,0572 = 0,0587577,032

& S 31 = { ,811471,57 +0,06 90}* 1,06 2 1,060 * 1,04011,23 * 15,811471,57 15 & S 31 = 0,4617 + j0,1345 = 0,480916,24 & S = { ,811471,57 +0,06 90}* 1,04012 1,0401 1,23 * 1,060 * 15,811471,57 1513

& S13 = 0,4572 0,2533 = 0,5227 151,01

32

e) Prdidas: Utilizando la ecuacin (3.8) se tiene:

& & & S L12 = S12 + S 21 = 0,2056 + j0,0182 + 0,2073 j0,1211 = 0,0017 j0,1029 & & & S L 23 = S 23 + S32 = 0,0125 j0,1654 + 0,0132 + j0,0572 = 0,0007 j0,1082 & & & S = S + S = 0,4617 + j0,1345 0,4572 j0,2533 = 0,0045 j0,1188L31 31 13

f) Potencia entregada por el generador de la barra slack

& & & S G 3 = S 31 + S32 = 0,4617 + j0,1345 + 0,0132 + j0,0572 = 0,4749 + j0,1917g) Verificacin de la potencia recibida por la carga SC1

& & & S C1 = S12 S13 = (0,2056 + j0,0182) (0,4572 j0,2533) = 0,6628 + j0,2351Observacin: No corresponde exactamente al valor especificado para la carga. Porqu? Factores de Aceleracin: La experiencia con el mtodo de Gauss-Seidel YB para el clculo de flujos de potencia ha mostrado que se puede reducir considerablemente el nmero de iteraciones requeridas si la correccin en el voltaje de cada barra se multiplica por alguna constante que la incremente, para que el voltaje sea ms cercano al valor al que se est aproximando. El multiplicador que realiza esto, se denomina factor de &k aceleracin. La diferencia entre el valor de voltaje de la barra p calculado en la iteracin actual Vp +1 y el

&k mejor que se obtuvo en la iteracin anterior (Vp ) ac se multiplica por un apropiado para obtener una mejorcorreccin que se agrega a este ltimo. Es decir:

&k &k &k &k (Vp +1 ) ac = (Vp ) ac + Vp +1 (Vp ) ac

[

]

(3.28)

La eleccin del valor de depende del sistema en estudio. Hay valores ptimos de los factores de aceleracin para cualquier sistema. Una mala seleccin de ellos puede dar como resultado una convergencia menos rpida o hacerla imposible. Normalmente, en los estudios de flujos de potencia, vara entre 1,3 y 1,8. Generalmente, un factor de aceleracin de 1,6 para las componentes real e imaginaria es una buena seleccin. Sin embargo, es posible que el factor de aceleracin utilizado para la componente real pueda diferir del usado para la componente imaginaria.

3.5.3. Mtodo de Newton Raphson a. Formulacin general: Este mtodo es mas sofisticado que los anteriores y exige un mayor volumen de clculos, pero asegura convergencia en un mayor nmero de veces y adems en forma ms rpida. El problema matemtico a resolver consiste en n relaciones no lineales del tipo f(xi)=0. Es decir, se trata de un sistema de n ecuaciones de la forma:

f1 ( x 1 , x 2 ,....., x n ) = 0 f 2 ( x 1 , x 2 ,....., x n ) = 0 ............................... f n ( x 1 , x 2 ,....., x n ) = 0Si se supone una estimacin inicial del vector solucin: (3.29)

[x ] = [x0

0 1

x 0 ...... x 0 2 n

]

(3.30)

Al que le falta un residuo x tener f

[ ]= [0

0 x 1

x 0 2

...... x 0 n

], para llegar a la solucin correcta; esto es,

33

( x i0

+

x i0 )

= 0 , aunque f

( x i0 )

0 , se tiene:

0 0 f1 ( x 1 + x 1 , x 0 + x 0 ,....., x 0 + x 0 ) = 0 2 2 n n 0 0 f 2 ( x 1 + x 1 , x 0 + x 0 ,....., x 0 + x 0 ) = 0 2 2 n n

(3.31)

...............................................................0 0 f n ( x 1 + x 1 , x 0 + x 0 ,....., x 0 + x 0 ) = 0 2 2 n n

Desarrollando cada ecuacin en serie de Taylor en torno a los valores x i0 se tiene:0 f1 ( x 1

+

0 x 1 ,....., x 0 n

+

x 0 ) n

0 = f1 ( x 1 ,....., x 0 ) n

+

0 x 1

f f1 + ..... + x 0 1 n x n x 1 0

0

+ 1 (3.32)

0

............................................................... f 0 0 0 0 f f n ( x 1 + x 1 ,....., x 0 + x 0 ) = f n ( x 1 ,....., x 0 ) + x 1 n + ..... + x 0 n n n n n x 1 x n + n 0

donde i es el residuo en la serie de Taylor, que contiene los trminos de orden superior

f j x i

: representa las correspondientes derivadas parciales, evaluadas en x i0

0

Como los x i0 son pequeos, se pueden despreciar los trminos de orden superior y se obtiene:0 f1 ( x 1 ,....., x 0 ) + n 0 x 1

f f1 + ..... + x 0 1 n x 1 x n0

0

=0 (3.33)

0

............................................................... f 0 0 f f n ( x 1 ,....., x 0 ) + x 1 n + ..... + x 0 n n n x 1 x ncon i, j = 1, 2, , n Matricialmente se puede escribir:0 f 0 f 1 L 1 0 f1 ( x i0 ) x x x 1 0 n 1 M = M M M + M 0 L 0 f ( x 0 ) f n f n x 0 0 n L n i x x n 1

=0

0

(3.34)

Es decir:

[f (x )] + [J ] [x ] = [0]0 0 0

(3.35)

Donde cada vector y matriz est definido segn las ecuaciones (3.34) y (3.35), o sea:

34

[

f1 ( x i0 ) f (x 0 ) = M f ( x 0 ) n i

]

Vector funcin evaluada en x i0

[J ]0

0 f 0 f 1 L 1 x x 1 n = M L M 0 0 f n L f n x x n 1 0 x 1 = M x 0 n

Matriz Jacobiana evaluada en x i0

[x ]0

Vector residuo evaluado en x i0

A partir de (3.35), el vector residuo evaluado en x i0 ; x 0 se puede escribir:

[ ]

[x ] = [J ] [f (x )]0 0 1 0

(3.36)

En general entonces, el residuo en una iteracin k es:

[x ] = [J ] [f (x )]k k 1 k

(3.37)

[ ] obtenerse una aproximacin mejor [x ] de la forma: [x ] = [x ]+ [x ] = [x ] [J ] [f (x )]k +1 k +1 k k k k 1 k

Suponiendo que se conoce x k (vector de valores aproximados de la variable), entonces puede

(3.38)

Como se han despreciado los trminos de orden superior, x k +1 no ser la solucin correcta y se debe repetir el proceso en forma iterativa, hasta que se satisfaga algn criterio de convergencia, tal como:

[ ]

x k +1 x k

(3.39)

b. Aplicacin al clculo de flujos de potencia: En el caso de un Sistema de Potencia, los xi corresponden a las tensiones de las barras (mdulo y ngulo), de manera que la ecuacin (3.37) se puede escribir como:

k k k=J V en que:

[ ]

1 P k

k Q

(3.40)

P P esp P calc Q = esp calc Q Q

(3.41)

35

Donde P y Q son los valores de P y Q especificados o programados y P y Q son los respectivos valores que se van calculando en cada iteracin. Para mayor comodidad, a los valores calculados, se les eliminar el superndice calc, es decir, se designarn simplemente como P y Q. Segn (3.21), los valores de P y Q en la barra p se pueden obtener a partir de:* * & & S p = Pp + jQ p = Vp Ypq Vq q =1 n

esp

esp

calc

calc

(3.42)

Expresando los voltajes de barras en forma polar y las admitancias de lnea en forma rectangular se tiene que:

& & Vp = Vp p ; Vq = Vq q

y

& Ypq = G pq + j B pq

(3.43)

Reemplazando (3.43) en (3.42), con pq = p q se obtiene:

& S p = Pp + jQ p = Vp Vq (G pq j B pq ) (cos pq + j sin pq )q =1

n

(3.44)

de (3.44) se obtiene finalmente:

Pp = Vp Vq (G pq cos pq + B pq sin pq )q =1 n

n

(3.45)

Q p = Vp Vq (G pq sin pq B pq cos pq )q =1

A partir de (3.41) y (3.45), P y Q para la barra p se pueden determinar como:esp Pp = Pp Vp Vq (G pq cos pq + B pq sin pq ) q =1 n n

(3.46) B pq

Q p = Q esp p

Vp Vq (G pq sin pqq =1

cos pq )

Por lo tanto se puede escribir a manera de resumen:

Para las barras PQ y PVesp Pp = Pp Vp Vq (G pq cos pq + B pq sin pq ) q =1 n

(3.47)

Para las barras PQ

Q p = Q esp Vp Vq (G pq sin pq pq =1

n

B pq

cos pq )

(3.48)

Para la barra slack no se requiere ecuaciones.

En las ecuaciones anteriores, las magnitudes de las tensiones en las barras PV y slack al igual que el ngulo en la barra slack no son variables, sino que se mantienen en sus valores especificados. Por lo tanto, el sistema formulado incluye dos ecuaciones para cada barra PQ y una para cada barra PV. Las variables del problema son V y para cada barra PQ y para cada barra PV.

36

Por razones prcticas se da a la barra slack el nmero n y se colocan los primeros nmeros a las barras PQ. Luego si se tiene m barras PQ, se tendr (n-m-1) barras con control de voltaje (barras PV). La Ecuacin (3.40) queda entonces:

1 P V = [J ] Q Con P y Q calculados segn (3.46). Luego, los valores actualizados para y V son:

(3.49)

k +1 k k k +1 = k + k V V V

(3.50)

Despejando P y Q de (3.49), considerando (3.34) y arreglando adecuadamente, para hacer ms fcil el manejo de las ecuaciones, se tiene:

P P = Q Q

P H V = Q V V M V V V

N V L V

(3.51)

Si se tiene n nodos, m de carga, 1 libre y n-m-1 de voltaje controlado las dimensiones de las submatrices que forman el Jacobiano son: [H] es de (n-1) x (n-1) [M] es de m x (n-1) [N] es de (n-1) x m [L] es de m x m

Segn lo anterior, la matriz Jacobiana completa es cuadrada y de dimensin, [(n-1)+m] x [(n-1)+m]. A partir de (3.51), se obtiene que:

H pq = M pq =

Pp q Q p q

N pq = Vq L pq = Vq

Pp Vq Q p Vq(3.52)

Considerando (3.46), se pueden determinar todos los elementos de la matriz Jacobiana como sigue:

para p q

H pq = Vp (G pq sin pq B pq cos pq )Vq N pq = Vp (G pq cos pq + B pq sin pq )Vq M pq = Vp (G pq cos pq + B pq sin pq ) Vq L pq = Vp (G pq sin pq B pq cos pq )VqSe puede apreciar, que por la forma de la ecuacin (3.51): (3.53)

H pq = L pq N pq = M pq

(3.54)

37

Para p = q2 H pp = B pp Vp + Q p 2 N pp = G pp Vp Pp 2 M pp = G pp Vp Pp 2 L pp = B pp Vp Q p

(3.55)

Las expresiones (3.54) y (3.55) muestran lo importante que fue el haber planteado la matriz Jacobiana tal como se hizo en (3.51). Utilizando este tipo de coordenadas, el valor de Q en las barras PV puede ser calculado luego que el proceso haya convergido. El proceso mediante el mtodo de Newton-Raphson para calcular los voltajes en las barras, se muestra en la Figura 3.8, luego de lo cual se determinan los flujos de potencia y las prdidas en las lneas.Ingreso de Datos del sistema

Eleccin de Tensiones Iniciales Iter=0 Calcular P y Q si

Convergi la solucin? no Iter = Iter mx? no Iter = Iter+1 Formacin del Jacobiano Inversin del Jacobiano Clculo de y V

Salida si

Correccin de Valores de y V

Figura 3.8.- Diagrama de Flujo del Algoritmo de Newton-Raphson

38

En estricto rigor, la matriz Jacobiana se calcula e invierte en cada iteracin. Sin embargo, en la prctica se recalcula usualmente slo un determinado nmero de veces en un rango de iteraciones, con el fin de aumentar la velocidad al proceso iterativo.

Ejemplo 3.2. En el sistema del ejemplo 3.1 y, considerando los valores de voltajes obtenidos mediante el mtodo de Gauss-Seidel, determine el Jacobiano completo en la iteracin 1 Solucin: La matriz Jacobiana queda de la siguiente forma:

P1 1 [J ] = P2 1 Q1 1

P1 2 P2 2 Q1 2

P1 V1 H 11 P2 = H 21 V1 V1 Q1 M 11 V1 V1 V1

H12 H 22 M 12

N11 N 21 L11

Los elementos de la matriz Jacobiana se obtienen utilizando las expresiones (3.53) para pq y (3.55) para p=q; por lo tanto, para los elementos de la diagonal se deben determinar previamente P y Q, utilizando (3.45) y considerando los resultados obtenidos en el ejemplo 3.1, que se resumen a continuacin:

2,5 5 7,5 2,5 4,1667 1,6667 [G ] = 5 1,6667 6,6667 & V1 = 1,0401 1,23 ;Con (3.45) se obtiene: P1=0,6628; P2=0,1948; Q1=0,235; Q2=0,2865 Con (3.53) y (3.55), la matriz Jacobiana queda:

7,5 15 22,39 7,5 [B] = 5 12,4 15 5 19,89 & V3 = 1,060

& V2 = 1,040,23

7,4508 24,4567 8,0412 8,1790 [J ] = 13,6983 2,4967 8,7764 2,91 23,9867 3.5.4. Mtodo de Newton-Raphson desacoplado (MNRD)Cuando se resuelven problemas que involucren un nmero considerable de barras, este mtodo representa una alternativa para mejorar la eficiencia computacional y reducir los requerimientos de memoria. Se hace uso de una versin aproximada del mtodo de Newton-Raphson completo visto en 3.5.3., basada en las siguientes consideraciones:

Un cambio en el ngulo del voltaje en una barra afecta principalmente al flujo de potencia activa P P Q en las lneas y dbilmente a la potencia reactiva Q, lo que significa que: Un cambio en el mdulo del voltaje V en una barra afecta principalmente al flujo de potencia reactiva Q P Q en las lneas y dbilmente a la potencia activa P. Por lo tanto: V V

39

De acuerdo con esto, en la ecuacin (3.51) N y M se pueden despreciar frente a L y H respectivamente y se puede escribir:

P P = 0 Q o bien:

H 0 = Q V V V 0 L V V V 0

(3.56)

[P] = [H][]

(3.57) (3.58)

[Q] = [L] [V V ]

Estas ecuaciones estn desacopladas, en el sentido que las correcciones de los ngulos de los voltajes se calculan usando slo los cambios en la potencia activa mientras que las correcciones en la magnitud de los voltajes se determinan slo con los cambios en la potencia reactiva. Sin embargo, las matrices [H] y [L] son interdependientes, porque los elementos de [H] dependen de las magnitudes de los voltajes que se estn resolviendo en la ecuacin (3.58), mientras que los elementos de [L] dependen de los ngulos de la ecuacin (3.57). El procedimiento natural es ir resolviendo alternadamente los dos sistemas de ecuaciones usando en uno, las soluciones ms recientes del otro. Esta aproximacin significa aumentar el nmero de iteraciones, lo que en la prctica queda compensado por el menor tiempo en cada iteracin, debido a la disminucin del tiempo ocupado en la inversin de las matrices [H] y [L] de menor dimensin que la del Jacobiano completo.

Ejemplo 3.3. A partir del ejemplo 3.2 escriba la matriz jacobiana del mtodo de Newton-Raphson desacoplado. Eliminando las submatrices N y M se tiene:

0 24,4567 8,04124 8,1790 [J ] = 13,6983 0 0 0 23,9867 3.5.5. Mtodo de Newton-Raphson desacoplado rpido (MNRDR)El mtodo de Newton Raphson desacoplado, requiere la inversin de dos matrices en cada iteracin. Para evitar estos clculos, se introducen ms simplificaciones que se justifican por las caractersticas que presentan los flujos de potencia en las lneas y los voltajes en las barras de un sistemas de transmisin bien diseado y operando apropiadamente. Estas caractersticas son:

Las diferencias angulares pq = p-q entre los voltajes de dos barras tpicas son, por lo general, tan pequeos que: cos pq = cos (p-q) = 1 y sin pq = sin (p-q) 0 (3.59)

Las susceptancias Bpq de las lneas son mucho ms grandes que las conductancias Gpq, por lo que: Gpq sin (p-q)