5.- Campo Electrico

Campo elctrico 0 de 12

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INDICE

Repaso

Ley de Coulomb

Unidades.

Fuerza sobre una carga situada en un campo elctrico. Concepto de intensidad de campo.

Principio de superposicin. Energa potencial electrosttica

Diferencia de potencial entre dos puntos de un campo

Flujo de un vector a travs de una superficie.

Teorema de gauss para un campo electrico.

Aplicacin del teorema de Gauss el clculo de campos.

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REPASO

Los tomos estn constituidos por partculas que en algunos casos poseen carga elctrica. La materia suele ser elctricamente neutra y solo cuando los protones o los electrones estn en exceso son las responsables de la carga en la materia.

El signo positivo o negativo asignado a cada tipo de carga fue algo totalmente arbitrario aunque aceptado universalmente. Las cargas que tienen signo contrario se atraen mientras que las cargas que tienen el mismo signo se repelen.

Por otra parte la carga total se conserva, cuando un cuerpo se electriza por cualquier mtodo (por ejemplo por frotamiento) otro tambin se carga con cargas de signo contrario.

Por otra parte la carga libre menor que se conoce es la carga del electrn (-) o la del protn (+) y su valor es en ambos casos de 1,610-19 C. Se dice que es la unidad natural de carga.

LEY DE COULOMB.

Charles Augustin Coulomb fue quien, entre 1784-85 realiz la primera investigacin cuantitativa de la ley que rige las fuerzas entre cuerpos cargados, utilizando una balanza de torsin del mismo tipo que la empleada posteriormente por Cavendish para medir las fuerzas gravitatorias. Coulomb demostr entonces que las fuerzas existentes entre dos cuerpos cargados (atractivas o repulsivas) eran inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia que haba entre ellos.

(1) Antes de cargar la esfera pequea (2) Despus de cargar la esfera pequea la fuerza entre cargas provoca la torsin del hilo (M = fr = k) siendo k coeficiente de torsin y el ngulo girado.

La balanza de torsin consiste en dos bolas muy ligeras unidas a los extremos de una barra que a su vez est suspendida por un cable. Una de estas bolas tiene una carga (q'). Para medir la interaccin electrosttica se usa otra bola ms, cargada (q) a una distancia de la primera (r). Las dos bolas cargadas se repelen o se atraen, segn sean los signos de las cargas, provocando una torsin en el hilo que se puede medir.

Se ve que la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia: 2rF r

Aunque el concepto de cantidad de electricidad (carga) no era conocido con mucha precisin, Coulomb ide una forma de, a partir de una esfera cargada y por contacto con otras iguales, obtener cargas mitad, tercio...... de la primera. De esta forma se vio que la fuerza atractiva o



repulsiva de la que se habl antes era directamente proporcional a las cargas de los

cuerpos: 2'

r

qqF

Esta proporcin puede convertirse en una igualdad si se multiplica por una constante:

2'

r

qqKF =

El valor de esta constante depende del sistema de unidades en el que se expresen la fuerza, la carga y la distancia. En el sistema internacional de unidades y cuando las cargas se encuentran en el vaco el valor de K es 9109 Nm2C-2.

Tambin K aparece en funcin de otra constante 0

041pi

=K

Se conoce como permitividad dielctrica del medio, en el vaco es 8,84210-12C2N-1m-2. En otras ocasiones aparece la permitividad relativa cuyo valor viene dado por / 0 , siendo la permitividad del medio considerado. Lgicamente en el vaco la permitividad relativa es 1 al igual que en el aire.

Este es pues el enunciado de la ley de Coulomb:

"la atraccin o repulsin ejercida sobre un cuerpo cargado por otro, es directamente proporcional a las cargas e inversamente al cuadrado de la distancia que los separa."

Esta ley queda restringida a cuerpos cuyo tamao sea pequeo comparado con la distancia que los separa (cargas puntuales). Si el signo es el mismo son fuerzas repulsivas, si es distinto son fuerzas atractivas.

Unidades.

La unidad natural de carga es el electrn, sin embargo dado que es una carga muy pequea se elige como unidad en el sistema internacional el culombio (C). La definicin de coulombio se har ms adelante a partir de la unidad de intensidad de corriente elctrica. La carga de un electrn equivale a 1.610-19 C.

La unidad de carga en el S.I. recibe el nombre de culombio (C) y se puede definir como la cantidad de carga elctrica que atraviesa la seccin del conductor en un tiempo de 1 segundo cuando este est recorrido por una corriente de intensidad 1 amperio (A)



La carga de 1 C es muy grande dado que segn la ley de Coulomb, la fuerza con que se atraeran dos cargas de 1 C distanciadas 1 m en el vaco sera de 9109 N. Por esta razn se tienden a usar submltiplos de esta unidad. Normalmente se usa 1mC = 10-3 C; 1C = 10-6 C, 1nC = 10-6 C, 1pC = 10-9 C.

Otro sistema de unidades al que nos podemos referir es el sistema C.G.S. En este sistema K = 1 en el vaco y la unidad de carga es la unidad electroesttica de carga. 1 C = 3109 uee(q).

FUERZA SOBRE UNA CARGA SITUADA EN UN CAMPO ELECTRICO. CONCEPTO DE INTENSIDAD DE CAMPO.

En primer lugar vamos con el concepto de campo elctrico:

1. Se definir, al igual que se hizo con el campo gravitatorio, como una zona del espacio donde una partcula cargada (con una carga q') experimenta una fuerza, atractiva o repulsiva. El campo est creado por otra u otras cargas.

El mdulo de la fuerza que ejerce la carga que crea el campo (Q), sobre cualquier otra (q') que se sita en l a una distancia (r), viene dado por:

2'

r

qqKF =

Siendo Q la carga que crea el campo. La magnitud activa en el caso de un campo elctrico es la carga.

Su direccin es la recta que une las dos cargas y su sentido depende del signo de la carga que crea el campo y de la otra carga que se situa en uno de sus puntos.

2. Si en un punto del espacio existe una carga Q se define en todos los puntos que la rodean un vector que tiene la direccin de la recta que une el punto con la carga Q y el sentido hacia Q si es negativa y el contrario si es positiva y cuyo mdulo ser:

2' r

qKqFE ==

Este vector se llama intensidad del campo elctrico. Sus unidades sern N/C

3. Si en un punto del espacio en que est definido un campo elctrico de intensidad E se coloca una carga q', esta experimentar una fuerza cuyo mdulo ser: F = q' E



4. Se ve aqu que la intensidad de campo se puede definir numricamente como la fuerza que ejerce el campo en cualquier punto sobre la unidad de carga positiva. Sin embargo no se trata de una fuerza puesto que sus unidades seran N/C

5. Las lneas de fuerza se definen como las trayectorias que seguira la unidad de carga positiva situada en un determinado punto del campo. Sern lneas convergentes hacia la carga que crea el campo (q) si sta es negativa y divergentes si sta fuese positiva. Por esta razn se dice que una carga positiva es un manantial de lneas de fuerza y una carga negativa es un sumidero de lneas de fuerza. Adems estas lneas sern tangentes en

cualquier punto al vector intensidad de campo.

stas lneas tomarn diferentes formas segn que el campo creado lo sea por una o varias cargas y que stas sean positivas o negativas como se ilustra en el ejemplo.

PRINCIPIO DE SUPERPOSICION PARA FUERZAS ELECTROSTATICAS.

Supongamos la carga q positiva sobre la que ejercen fuerzas (de atraccin) las cargas q' (negativas) que se encuentran en sus proximidades. Tambin en este caso se aplica el principio de superposicin para las fuerzas en campos vectoriales. En este caso se puede expresar en la forma siguiente: "Las fuerzas electrostticas entre dos partculas cargadas son independientes de la presencia de otras partculas cargadas".

Es decir que la fuerza total que acta sobre la carga q' es la suma vectorial de las fuerzas que ejercen cada una de las otras partculas sobre ella.



De ah se deduce que el vector intensidad de campo elctrico (E) en el punto ocupado por q' ser igual a la suma vectorial de cada una de las intensidades de campo debidas a cada una de las partculas que en conjunto crean el campo elctrico.

ENERGIA POTENCIAL ELECTROSTATICA

(I) (II) (III)

Supongamos una carga q' que se mueve debido a la accin de la fuerza que realiza sobre ella el campo elctrico creado por una partcula de masa m y carga Q que se supone fija en el origen de coordenadas. La partcula de masa m' describe la trayectoria indicada en la figura entre los puntos 1 y 2. Esta trayectoria es plana debido a que la fuerza que acta sobre la partcula es central.

Podemos calcular el trabajo realizado por las fuerzas del campo para llevar a la carga q' desde el punto 1 hasta el punto 2 en la forma que se indica a continuacin en la pizarra.



Que es la expresin del teorema de conservacin de la energa mecnica en un campo electrosttico.

Como vemos en este caso W12 coincide con el valor de la circulacin de a lo largo de la trayectoria indicada y su valor solo depende de la posicin inicial y final con lo que nos encontramos en un campo conservativo igual que lo era el campo gravitatorio. Como se puede deducir de la frmula la energa potencial es positiva en el caso de que las cargas tengan el mismo signo y negativa en caso contrario.

DIFERENCIA DE POTENCIAL ENTRE DOS PUNTOS DE UN CAMPO

La diferencia de potencial entre dos puntos A y B se define como el trabajo realizado por el campo sobre la unidad de carga positiva para desplazarla desde A hasta B. Sin embargo no se debe olvidar que la diferencia de potencial no es un trabajo y que sus unidades vienen en voltios. Un voltio sera la diferencia de potencial entre dos puntos de un campo elctrico cuando ese campo realiza un trabajo de 1 J para llevar la unidad de carga positiva desde el primer punto hasta el segundo.

Se defina como potencial en un punto de un campo, la energa potencial que posee en ese punto la unidad de carga positiva, por lo tanto:



r

QqE

V p 4

1' 0pi

==

Siendo Q la carga que crea el campo y r la distancia desde ella al punto considerado.

Dado que el campo electrosttico es conservativo: pgradEF =r

y gradVE =r

puesto que Ep = q'V se deduce que el trabajo realizado por la fuerza del campo sobre una carga q' para llevarla desde la posicin 1 a la 2 viene dado por:

W1->2 = Ep1 - Ep2 = q'(V1 - V2)

Donde se puede igualar la diferencia de potencial entre dos puntos de un campo elctrico con el trabajo realizado por las fuerzas del campo para llevar la unidad de carga positiva de 1 a 2. Si lo que queremos es definir el potencial en un punto lo haremos diciendo que es igual al trabajo realizado por las fuerzas del campo para llevar la unidad positiva de carga desde ese punto hasta el infinito (fuera del campo): W1->fuera del campo = Ep1 = q'V1

Ahora podemos definir las unidades de potencial en un campo elctrico. En el sistema internacional la unidad de potencial es el voltio (volt). De la propia definicin de potencial se deduce que:1J = 1volt1C

De igual forma y teniendo en cuenta las equivalencias de uee(q) y erg. con C y J se deduce que la unidad electrosttica de potencial (unidad en el sistema electrosttico) tiene la siguiente equivalencia: 1 uee(V) = 300 volt

FLUJO DE UN VECTOR A TRAVES DE UNA SUPERFICIE.

En primer lugar se debe recordar que una superficie se puede representar por un vector de direccin perpendicular a ella y cuyo sentido depende del sentido de recorrido que se asigne al permetro de la misma.

Supongamos ahora la superficie de la figura situada en el interior de un campo, se define como flujo del campo a travs de la superficie:

=S

Sdarr

pero dado que: a dS =

adScos() y dado que dScos sera el mdulo de la superficie elemental perpendicular al vector a (se nombrar como dS') resulta: =

S

dSa '



Se considera como positivo el flujo cuando las lneas de campo salen hacia afuera de la superficie (ver signo del producto escalar). Esto ocurre si la carga que hay en el interior de la superficie es positiva (una carga positiva ejercer una fuerza de repulsin sobre otra carga del mismo signo) ser un manantial de lneas de fuerza.

TEOREMA DE GAUSS PARA UN CAMPO ELECTRICO.

Sea una carga puntual q positiva y centrada en ella trazamos una superficie esfrica S.

Puesto que el flujo se hace coincidir con el nmero de lneas de fuerza que atraviesan la superficie, se puede ver que ste es independiente de la forma de la superficie.



Si hubiese dos o ms cargas en el interior de la superficie dado que E = E1 + E2 por el principio de superposicin se ve que:

= 1 + 2 = (q1 / 0) + (q2 / 0)

Si en el interior de la superficie no hubiese ninguna carga el flujo sera nulo:

= 0 = entrante + saliente

Por tanto el teorema de Gauss establece que el flujo de un campo elctrico a travs de una superficie cerrada viene dado por: = q / 0

APLICACION DEL TEOREMA DE GAUSS EL CALCULO DE CAMPOS.

1. Clculo del campo creado por una esfera cargada uniformemente. a. En el exterior de la esfera

Supondremos que la densidad de carga en la esfera es constante y uniforme en todos sus puntos:

Luego la intensidad de campo creado por una esfera cargada en un punto que dista r > R de su centro es la misma que el que creara una carga puntual (Q) situada en el centro de dicha esfera.



2. Campo creado en un punto prximo a un plano cargado.

Supondremos que la densidad superficial de carga es = q/S. Consideremos un cilindro imaginario de base dS (rea). El plano est cargado positivamente. El flujo a travs de toda la superficie cilndrica es: = EdS + EdS (se ha de tener en cuenta que el vector intensidad de campo es perpendicular al vector superficie correspondiente a la superficie lateral del cilindro y de la misma direccin que los vectores superficie de las bases).

3. Campo creado por un hilo indefinido cargado.

Llamaremos =q/l la densidad lineal de carga en el hilo. Si queremos calcular a una distancia r del hilo lo haremos calculando el flujo a travs de la superficie cilndrica.



3. Campo creado por un hilo indefinido cargado.

Llamaremos =q/l la densidad lineal de carga en el hilo. Si queremos calcular a una distancia r del hilo lo haremos calculando el flujo a travs de la superficie cilndrica.

5.- Campo Electrico

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