5. Contraste de Hipotesis_NIVEL BAJO

7/22/2019 5. Contraste de Hipotesis_NIVEL BAJO

1/20

IES Viera y Clavijo 2 de Bachillerato. Matemticas aplicadas a las Ciencias Sociales

- 1 -

Contraste de hiptesis Tema 5

1. Conceptos bsicos sobre contraste de hiptesis.-

Ejemplo 1: Suponga que en el envoltorio de determinado tipo de bateras figura el siguiente enun-ciado:

Enunciado: Duracin media de las bateras de 4 aos

, lo que es lo mismo, usando la notacin para la media:

Enunciado: = 4

Se plantea entonces la siguiente pregunta: Ser cierta o falsa esa afirmacin que ah se dice? Contestar a preguntas como sta es el objetivo del contraste de hiptesis. La contestacin se har a

partir del estudio de una muestra de elementos (bateras, en este caso) aleatoriamente extradas de la poblacin.

Formalicemos todo lo dicho:

Dada una variable aleatoria X, definida sobre una poblacin, se llama hiptesis estadstica sobreX a toda afirmacin provisional o enunciado provisional que se haga:

a) acerca de la media poblacional de dicha variable, cuando esa es desconocida. b) o bien, acerca de la proporcin p de individuos de toda la poblacin que cumplen un suceso

especial A en el que estamos interesados, cuando esa p es desconocida.

Para abreviar las hiptesis estadsticas se simbolizan como H0.

La afirmacin es provisional en el sentido de que algo o alguien la dice, pero dado que el valordel parmetro ( p, segn el caso) es desconocido, en realidad no se sabe si esa afirmacin escierta o si, por el contrario, es falsa.

Ejemplo 2: a) En un reciente discurso un poltico aseguraba que al menos el 85% de los habitantes del pas enedad de votar es favorable a las ideas sociales de su partido. Esa aseveracin es una hiptesis estads-tica (porque lo que dice no se sabe a ciencia cierta si es verdadera o falsa):

H0: La proporcin de votantes favorables a sus ideas sociales es al menos del 85%

Esta es una hiptesis relativa al parmetro proporcin p, por lo que puede enunciarse tambin as:

H0: p 085

b) En la etiqueta de determinado pegamento figura el siguiente enunciado:

H0: Tiempo medio que tarda en actuar no es superior a 10 min .

O, lo que es lo mismo:

H0: 10

(X = v.a. tiempo que tarda en endurecerse). Eso es lo que dice la publicidad del pegamento, pero enrealidad no sabemos si ese enunciado que se hace es verdadero o es falso.


2/20


- 2 -

El objetivo del contraste de hiptesis es el de averiguar si esa afirmacin H 0 que se hace puedeaceptarse como cierta o si, por el contrario, debe rechazarse, a partir del estudio de los valores num-ricos concretos correspondientes a los individuos de una muestra aleatoriamente seleccionada detoda la poblacin. (De cada individuo de la muestra se observar un nico valor, lgicamente, co-rrespondiente a la variable X que se est estudiando).

Al aceptar o rechazar la hiptesis H 0 con slo el estudio de una muestra de valores numricosseleccionados de la poblacin (y no con el estudio de los valores de todos y cada uno de los indivi-duos de dicha poblacin) es posible que se pueda cometer un error en la conclusin del contraste.Este error se denomina nivel de significacin.

Si en vez de con slo una muestra se obtienen los datos de X correspondientes a todos y cada unode los individuos de la poblacin entonces se puede calcular el valor exacto del parmetro descono-cido ( p, segn el caso) y por tanto, en ese caso, se aceptara o rechazara la hiptesis sin posibili-dad de cometer ningn error en la toma de esa decisin. Pero si se estudia toda la poblacin no es un

problema de contraste de hiptesis.

Por otro lado, el problema del contraste de hiptesis no es un problema de calcular o estimar lasmedidas p (que es el problema de la estimacin por intervalos). En el contraste de hiptesis elvalor valores de p (segn el caso) estn ahora dados (por lo menos provisionalmente), y el

problema es averiguar si esos valores dados pueden aceptarse como verdaderos o si, por el contrario,deben rechazarse y declararlos errneos (en ambos casos, como ya dijimos, con un cierto margen deerror en la conclusin).

Por ltimo digamos que al plantear cualquier problema de contraste de hiptesis son realmentedos las hiptesis que siempre deben quedar planteadas:

1) La hiptesis nula (H 0): que es la importante, la que se quiere contrastar; y por tanto, la que seaceptar o rechazar como conclusin del contraste.

2) La hiptesis alternativa (H 1): que es la que nos sita frente a H 0, de manera que, si se acepta H 0 entonces se rechaza H 1, en tanto que si se rechaza H 0 entonces se acepta H 1.

Ejemplo 3: En el ejemplo anterior del pegamento, el planteamiento del problema del contraste po-dra ser por ejemplo:

H0: 10

H1: > 10

Y entonces, realizar un contraste para estas hiptesis es averiguar (con ayuda de una muestra y portanto con un margen de error en la conclusin) si se puede aceptar H 0 (es decir, aceptar que efecti-vamente el pegamento endurece por trmino medio en no ms de 10 min.) o si por el contrario serechaza H 0, y por tanto se acepta H 1 (es decir, se acepta que en promedio el pegamento tarda enactuar ms de 10 min.).

Nota: Al igual que en el tema anterior, en el desarrollo que sigue se usar la letra n para designarel nmero de elementos que forman la muestra que se selecciona de toda la poblacin y con la cualse realiza el contraste de hiptesis.


3/20


- 3 -

2. Contraste bilateral para la media poblacional de una v.a. normal.-Suponga que X es una v.a. normal: X ~ N( ,), en la que la media poblacional tiene un valor

en realidad desconocido. Suponga tambin, por otro lado, que 0 es un nmero dado correspondien-te a la opinin que algo o alguien hace acerca del verdadero valor de la media desconocida . Elcontraste bilateral para es:

H0: = 0 (0 = n dado)

H1: 0

En este instante hemos de distinguir dos casos:

I) Contraste bilateral para la media poblacional cuando la desviacin tpica es conocida:

H0: = 0

H1: 0

En este caso, la decisin entre aceptar o rechazar H 0 se basa en si se puede aceptar o no, respectiva-mente, que la media muestral x (de los n valores numricos de la muestra seleccionada de la pobla-cin) se encuentra suficientemente cerca o no, respectivamente, del nmero 0 dado. Y se demuestra(dicho en trminos grficos) que se puede considerar que x est suficientemente cerca de ese n-mero 0 siempre que dicha media x tome un valor que caiga dentro del intervalo que se encuentrasealado en la siguiente figura (intervalo de aceptacin A) :

/ 2 / 2

1 -

n

.z2

10

0n

.z2

10

+

4 4 4 4 4 4 34 4 4 4 4 4 21

A

Por eso: Al % de significacin, la muestra recogida de la poblacin llevar a tomar la deci-sin de aceptar H0 (o ms concretamente, lo que enuncia H0 de que la media poblacional vale elnmero 0 dado) siempre y cuando la media muestral x pertenezca al siguiente intervalo deaceptacin:

x

n.z,n.z 21

02

10

esto es, si la media de la muestra x toma un valor que se encuentra comprendido estrictamen-


4/20


- 4 -

te entre los valores que tomen las expresionesn

.z2

10 y n

.z2

10 .

Por tanto, si esa media x toma un valor que cae fuera del intervalo, as:

x

n.z,

n.z

210

210

entonces se rechazar H0 y por consiguiente lo que se aceptar ser lo que enuncia H1 (es decirque la media poblacional toma un valor distinto al nmero 0 dado) .

Recalcar que 0 representa al nmero al que se quiere ver si la es igual o no, que es el va-lor (conocido) de la desviacin tpica poblacional, que

21

z es el correspondiente valor crtico de la

normal tipificada Z y que n representa al tamao de la muestra con la que se hace el contraste.

Ejemplo 4: Suponga que en una guardera se comprob hace cinco aos que el peso medio de losnios de dos aos era de 0 = 125 kg. con una desviacin tpica de = 16 kg. Despus de uncambio de alimentacin que hubo se quiere saber, con un nivel de significacin = 005, si en laactualidad ese peso medio se mantiene igual que antes o si, por el contrario, el mismo ha cambiado,se toma una muestra de n = 16 nios de esa edad y se observa que el peso medio de esos 16 nios esde x = 131 kg. Entonces debemos realizar, con esos datos, un contraste para las hiptesis:

H0: = 125 ( el peso medio actual se mantiene igual que hace 5 aos)

H1: 125 ( el peso medio actual ha cambiado) representando el peso medio de todos los nios de un ao de la guardera despus del cambio dealimentacin. El intervalo de aceptacin es:

x

+ n

.z,n

.z2

10

21

0

0 = 125

Valores crticos: = 005 1 -2

= 0975 z0975 = 196

El intervalo de aceptacin queda entonces as:

+

16

6'1.96'15'12,

16

6'1.96'15'12 = (11716 , 13284 )

Se cumple la condicin de aceptacin?

x = 131 ? (11716 , 13284 ) Si


5/20


- 5 -

Por tanto, con un nivel de significacin del 5% la muestra recogida nos lleva a la decisin de aceptarH0, es decir, aceptar que despus del cambio de alimentacin el peso medio de los nios sigue siendode 125 kg. (igual que antes del cambio de alimentacin).

Observaciones:1) Como en el ejemplo anterior, cuando se plantea cualquier problema de contraste de hiptesis:

H0: = 125 H1: 125

lo que se quiere es averiguar con cul de las dos hiptesis nos quedamos al final.

2) El nivel de significacin es . Representa la probabilidad que hay de equivocarnos al tomar ladecisin de aceptar o rechazar H 0 al concluir el contraste. As en el ejemplo anterior se ha aceptadoque H 0 es cierta pero con una probabilidad del 5% de que la conclusin del contraste sea errnea yde que, en realidad, H 0 sea falsa. Sin embargo, ese hecho no es muy grave puesto que esa probabili-dad es bastante pequea, siendo por el contrario muy grande (el 95%) la probabilidad de que este-mos acertando en la conclusin del contraste.

3) El nivel de confianza es 1 - . Representa la probabilidad que hay de acertar al tomar la decisinde aceptar o rechazar H 0 al concluir el contraste. As en el ejemplo anterior se ha aceptado que H 0 escierta con un 95% de probabilidad. El nivel de confianza es 1 - es la probabilidad complementa-ria al nivel de significacin .4) Observe en las grficas como, efectivamente, a los intervalos de aceptacin corresponde siempreuna probabilidad igual al nivel de confianza 1 - .5) Resulta interesante hacer observar (sobre todo para ayudar a su recordatorio) la similitud de lafrmula del intervalo de aceptacin del contraste bilateral para con la correspondiente frmula delintervalo de confianza para la de una estimacin por intervalos:

Intervalo de aceptacin:

+ n.z,

n.z

21

0

21

0

Intervalo de confianza:

+ n.zx,

n.zx

21

21

6) En los ejercicios y problemas se presenta con frecuencia una dificultad a la hora de plantear el problema de contraste, sobre todo a la hora de interpretar el valor que juega el papel de la 0. Como

regla de tipo general se puede decir que esa 0 puede ser:

a) el valor que corresponde a una opinin ( 0) que algo o alguien da sobre el valor del parme-tro desconocido , y se quiere saber si esa opinin puede aceptarse como cierta o si por elcontrario debe rechazarse.

b) el valor que tena la media poblacional ( 0) en otro tiempo o lugar y se quiere saber si esamedia poblacional en la actualidad (desconocida) es o no igual a la del pasado.

Ejercicio 1:Suponga que hace 10 aos se realiz un estudio sobre la duracin de los focos producidos por una

fbrica y se encontr que dicha duracin se distribua normalmente con media una de 1.500 horas y

una desviacin tpica de 100 horas. Debido que en la actualidad han cambiado las condiciones detrabajo, se sospecha que la duracin media es ahora distinta. Por eso, si con una muestra de 25 focos

producidos recientemente se encuentra una duracin media de 1.525 horas, se puede aceptar al 95%de confianza que esas sospechas son fundadas?.


6/20


- 6 -

II) Contraste bilateral para la media poblacional cuando la desviacin tipo es "desconocida":

H0: = 0 ( 0 = n dado)

H1: 0

Este caso es el que ms se presenta en la prctica. En l el intervalo de aceptacin es prcticamenteel mismo que en el caso anterior (para valores relativamente grandes de n) pues basta reemplazar ladesviacin tpica poblacional (ahora desconocida) por la desviacin tpica de la muestra s:

x

n

s.z,ns.z

210

210

Por si fuera necesario recordemos que la varianza de una muestra se calcula as: s 2 =( )

n

xxn

1i

2i

=

Ejercicio 2:2.1) En la publicidad de cierto tipo de batera para coches se dice que la duracin media es de 4aos. Para averiguar si se puede estar de acuerdo o no con esa informacin, se toma una muestra conlas duraciones de 144 de esas bateras, encontrndose una duracin media de 375 aos con unadesviacin tpica de 1 ao. En base a los resultados obtenidos de esa muestra, puede aceptarse co-mo cierto lo dicho en la publicidad de esas bateras al 5% de significacin? Razone la respuesta. 2.2) En los tubos de determinado tipo de pegamento elaborados por una empresa A se dice que tie-ne un tiempo medio de secado de 10 segundos. Una fbrica de pegamentos de la competencia quieredemostrar que esa informacin es falsa. Para ello estudia una muestra de 100 pegamentos elegidos alazar de la empresa A, encontrando un tiempo medio de secado de 12 segundos con una desviacintpica igual a 21 segundos. Al 90% de confianza, y en base a la muestra observada, se debe acep-tar que la informacin de los pegamentos de la empresa A es falsa? Razone la respuesta.

2.3) A partir de los datos recogidos sobre una muestra aleatoria de 121 medianas empresas de un pas se ha calculado, para el ao pasado, un beneficio medio de 089 millones de euros, con unavarianza igual a 03. En base a estos datos, podramos rechazar (con un nivel de significacin del0001) la afirmacin de que los beneficios medios en todas las medianas empresas de ese pas sonde 09 millones de euros?

2.4) Un laboratorio afirma que un calmante quita la jaqueca en 14 minutos en los casos corrientes.Con el fin de comprobar esta afirmacin, se eligen al azar 30 pacientes con jaqueca y se toma comovariable en el experimento el tiempo que transcurre desde la administracin del calmante y el mo-mento en que desaparece la jaqueca. Los resultados obtenidos en esta muestra fueron: media, 17 mi-nutos y desviacin tpica, 7 minutos. Podemos admitir como cierta la afirmacin del laboratorio a

un nivel de confianza del 95%?2.5) Las tensiones de ruptura de los cables fabricados por una empresa tienen una media de 1.800 N y una desviacin tpica de 100 N. Se desea comprobar si un nuevo proceso de fabricacin modificadicha tensin media de ruptura. Para ello se toma una muestra de 50 cables y se encuentra que sutensin media de ruptura es 1.850 N. Se puede afirmar que el nuevo proceso ha modificado la ten-sin media de ruptura, al nivel de significacin del 5% ?

3. Contraste unilateral a la derecha para la media de una v.a. normal.-Suponga que X es una v.a. normal: X ~ N( , ), en la que la media poblacional tiene un valoren realidad desconocido. Suponga tambin, por otro lado, que 0 es un nmero dado correspondien-

te a uno de los valores que la media desconocida puede tomar. El contraste unilateral a la dere-cha para es:


7/20


- 7 -

H0: 0 ( 0 = n dado)

H1: < 0

En este instante debemos distinguir dos casos:

I) Contraste unilateral derecho para la media cuando la desviacin tpica es conocida:

1 -

x

n.z10 0

4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 34 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 21

A

Al % de significacin, la muestra recogida de la poblacin llevar a tomar la decisin deaceptar H0 (o ms concretamente, lo que enuncia H0 de que la media poblacional vale al menosel nmero 0 dado) siempre y cuando la media muestral x pertenezca al siguiente intervalo deaceptacin:

x

,n.z10

esto es, si la media de la muestra x toma un valor que se encuentra grficamente a la dere-

cha del valor que tome la expresinn

.z10 . Por tanto, si esa media x toma un

valor que sea cae fuera del intervalo, as:

x

,n.z10

entonces se rechazar H0 y por consiguiente lo que se aceptar ser lo que enuncia H1 (es decirque la media poblacional toma un valor inferior al nmero 0 dado) .

Ejercicio3:3.1) Se sabe que la renta anual de los individuos de una localidad se distribuye normal de mediadesconocida y desviacin tpica 1440 . Se ha observado la renta anual de 16 individuos de esa loca-lidad, escogidos al azar, y se ha obtenido un valor medio de 9600 . Contrastar si la media de la dis-tribucin no es menor de 9700 a un nivel de significacin del 5%.

3.2) Segn datos del INE (Instituto Nacional de Estadstica), la edad media a la que los hijos se in-dependizan definitivamente de los padres se sita a los 29 aos con una desviacin tpica de 3 aos.Un ayuntamiento pone en marcha una poltica de ayudas al empleo y hace un estudio con 100 jve-nes, detectando que la edad media de independencia en ella baja a 281 aos. Con un nivel de signi-ficacin del 1%, puede defenderse que la edad media no ha disminuido frente a que s lo ha hecho,como parece indicar el dato? Razone la respuesta.


8/20


- 8 -

Ejercicio 4:El equipo directivo de un centro de bachillerato afirma que la media del recorrido que hacen los

alumnos que asisten a dicho centro es como mnimo de 2 kilmetros. Se toma una muestra de 81alumnos y se obtiene para ellos un recorrido medio de 22 km. con una desviacin tpica de 05 km.En base a esa informacin se pide:a) Se puede aceptar con un nivel de confianza del 95% la aseveracin del equipo directivo?

b) La respuesta del apartado anterior ser la misma con un nivel de confianza igual a 099?

Observacin: Desde el punto de vista de un enunciado, una desigualdad como la que enuncia H 0, pongamos por caso 20, para la edad de los habitantes de una poblacin, puede leerse , entreotras formas, as:

la edad media es mayor o igual a 20 aos

la edad media es de al menos 20 aos

la edad media es como mnimo de 20 aos

la edad media no es menor de 20 aos

II) Contraste unilateral derecho para la media cuando la desviacin tipo es desconocida: Este caso es el que ms se presenta en la prctica. En l el intervalo de aceptacin es prctica-

mente el mismo que en el caso anterior (para valores relativamente grandes de n) pues basta reemplazar la desviacin tpica poblacional (ahora desconocida) por la desviacin tpica de la muestras:

x

,ns.z10

Ejercicio 5:5.1) Un fabricante de pilas para calculadoras afirma que la vida til de las mismas es de por lo me-nos 1.600 horas. Se hizo un seguimiento sobre la duracin de 100 pilas seleccionadas aleatoriamen-te, dando una media muestral de 1.562 horas y una desviacin tpica muestral de 150. Se puedeafirmar que la duracin de las pilas es de por lo menos 1.600 horas a un nivel de significacin del2%?

5.2) Para una operacin de compraventa de un Supermercado los vendedores afirman, entre otrascosas, que la caja media por cliente es por lo menos igual a 48 . Aceptando que el gasto de losclientes se distribuye normal, la empresa de la compradora efectu un muestreo de tamao 36 elcual dio un gasto medio de 462 con una desviacin estndar de 035 . En virtud a esa informa-cin, puede aceptarse la afirmacin que indican los vendedores del Supermercado, al 5% de signi-ficacin?

4. Contraste unilateral a la izquierda para la media de una v.a. normal.-Suponga que X es una v.a. normal: X ~ N( , ), en la que la media poblacional tiene un valor

en realidad desconocido. Suponga tambin, por otro lado, que 0 es un nmero dado correspondien-te a uno de los valores que la media desconocida puede tomar. El contraste unilateral a la iz-quierda para es:

H0: 0 ( 0 = n dado)

H1: > 0

En este instante debemos distinguir dos casos:


9/20


- 9 -

I) Contraste unilateral izquierdo para la media cuando la desviacin tpica es conocida:

1 -

x

0 n

.z10+

Al % de significacin, la muestra recogida de la poblacin llevar a tomar la decisin deaceptar H0 (o ms concretamente, lo que enuncia H0 de que la media poblacional vale comomximo el nmero

0 dado) siempre y cuando la media muestral x pertenezca al siguiente in-

tervalo de aceptacin:

x

n.z, 10

esto es, si la media de la muestra x toma un valor que se encuentra grficamente a la izquier-

da del valor que tome la expresinn

.z10 . Por tanto, si esa media x toma un

valor que sea cae fuera del intervalo, as:

x

n.z, 10

entonces se rechazar H0 y por consiguiente lo que se aceptar ser lo que enuncia H1 (es decirque la media poblacional toma un valor mayor al nmero 0 dado) .

II) Contraste unilateral izquierdo para la media cuando la desviacin tipo es desconocida: Este caso es el que ms se presenta en la prctica. En l el intervalo de aceptacin es prctica-

mente el mismo que en el caso anterior (para valores relativamente grandes de n) pues basta reemplazar la desviacin tpica poblacional (ahora desconocida) por la desviacin tpica de la muestras:

x

ns

.z, 10

Ejercicio 6:6.1) Una encuesta realizada a 64 trabajadores de una fbrica concluy que el tiempo medio de dura-cin de un empleo en la misma era de 65 aos con una desviacin tpica de 4. Sirve esta informa-cin para aceptar, con un nivel de significacin del 5%, que el tiempo medio de un empleo en esafbrica es menor o igual a 6 aos? Justificar adecuadamente la respuesta.

6.2) Se ha comprobado que el tiempo de espera (en minutos) hasta ser atendido, en cierto servicio deurgencias, sigue un modelo normal de probabilidad. A partir de una muestra de 100 personas que

fueron atendidas en dicho servicio, se ha calculado un tiempo medio de espera de 14,25 min. y unadesviacin tpica de 25 min. Podramos entonces afirmar, con un nivel de significacin del 5%,que el tiempo medio de espera, en ese servicio de urgencias, no supera los 15 minutos?


10/20


- 10 -

Observaciones:1) Desde el punto de vista de un enunciado, una desigualdad como la que enuncia H 0, por ejemplo 20, para la edad de los habitantes de una poblacin, puede leerse, entre otras formas, as:

la edad media es menor o igual a 20 aos

la edad media es a lo sumo de 20 aos

la edad media es como mximo de 20 aos

la edad media no es mayor de 20 aos

la edad media no supera los 20 aos

2) Como siempre ocurre, hay que hacer observar en las grficas que a los intervalos de aceptacincorresponde una probabilidad igual al nivel de confianza 1 - .

5. Aclaraciones al contraste unilateral para la de una v. a. normal.-Los intervalos de aceptacin para los contrastes unilaterales (a la derecha y a la izquierda) estnconstruidos a partir de que la hiptesis nula H 0 sea una de las siguientes:

Contraste unilateral a la derecha: H 0: 0

Contraste unilateral a la izquierda: H 0: 0

en donde la desigualdad contiene adems la igualdad, en tanto que la hiptesis alternativa H 1 contie-ne la desigualdad estricta complementaria. Es decir, en otras palabras, las hiptesis de estos contras-tes unilaterales no pueden enunciarse as:

H0: > 0 H0: < 0 H1: 0 H1: 0

Por eso, si en un problema se pide hacer un contraste para averiguar si se puede aceptar o se deberechazar el que una media poblacional sea mayor estrictamente que el nmero 20, por ejemplo,(es decir que sea > 20) entonces este enunciado (aunque sea el que nos interesa aceptar o recha-zar como conclusin del contraste) debe figurar forzosamente en la hiptesis alternativa H 1. En otras

palabras, el contraste debe realizarse para las hiptesis:

H0: 20

H1: > 20 hiptesis que nos interesaY si en otro caso, por ejemplo sabemos que con cierto proceso de produccin, antiguo ya, el costemedio de cierto artculo es de 100 ( 0 = 100) y se pide averiguar si con un nuevo proceso de pro-duccin se puede aceptar o no que ese coste medio ( desconocido) ha disminuido, o sea que es < 100 (que no 100; atencin a esto), este enunciado, aunque sea el que nos interesa aceptar orechazar como conclusin del contraste, debe figurar asimismo en la hiptesis alternativa, as:

H0: 100

H1: < 100 hiptesis que nos interesa

Luego, al hacer la interpretacin del resultado del contraste, para contestar textualmente a la pregun-ta planteada (como sta se encuentra en H 1) debemos interpretar, como siempre, primero H 0 e inme-diatamente despus H 1.

ESTN MAL PLANTEADOS ;


11/20


- 11 -

Ejercicio 7:7.1)En funcin de la informacin disponible, la direccin de un centro de secundaria ha establecidoque la media de horas semanales dedicadas por el alumnado de ese centro al estudio es de 15 horas,con una desviacin tpica igual a 1 hora. Durante el presente curso el departamento de Matemticasquiere demostrar que esta media ha disminuido. Para ello elige una muestra aleatoria de 150 alumnosobtenindose una media muestral de 127 horas. Conteste a las siguientes cuestiones:

a) Puede afirmarse, con un nivel de confianza del 90%, que ha disminuido el tiempo medio dedica-do al estudio por parte del alumnado del centro? b) Responda al apartado a) usando un nivel de significacin del 1%.

7.2)Un fabricante de lmparas, suministrador de un centro comercial, asegura que la vida til de suslmparas es de, por lo menos, 1600 horas. El jefe de mantenimiento del centro, que no estaba deacuerdo con el fabricante, hizo un seguimiento del funcionamiento de 100 lmparas elegidas de for-ma aleatoria. Respalda una media muestral de 15623 h. su parecer de que la duracin efectiva esmenor que 1600 h. a una significacin del 1%? Tomar como desviacin tpica poblacional 150 horas.

7.3) Una empresa comercializa bebidas refrescantes, en un envase en cuya etiqueta se puede leer:contenido 250 cc . El Departamento de Consumo toma aleatoriamente 36 envases y estudia el con-

tenido medio, obteniendo una media de 234 cc y una desviacin tpica muestral de 18 cc. Puedeafirmarse, con un nivel de significacin del 1%, que se est estafando al pblico? (Consideramosestafa que el contenido sea menor que el expresado en la etiqueta) .

7.4)El gerente de una empresa de servicios de paquetera por avin tiene la impresin de que el pesode los envos que ha manejado su compaa recientemente es inferior al que tena en el pasado. Losregistros sealan que la media era de 36,7 kg. con una desviacin tipo de 12,4 kg. Una muestra alea-toria de 64 paquetes manejados el mes anterior indica un peso promedio de 32,1 kg. Es esta eviden-cia suficiente para rechazar la hiptesis nula a favor de la impresin del gerente? Utiliza un nivel deconfianza del 99%.

7.5)Un profesor ha registrado las calificaciones de sus estudiantes durante varios semestres y la me-dia de ellas es de 72 puntos. Su grupo actual, de 36 estudiantes, parece tener una habilidad promediosuperior, por lo que el profesor desea mostrar que de acuerdo a su media, el grupo actual es mejorque sus grupos anteriores. Constituye el promedio x = 752 del grupo actual suficiente evidencia

para respaldar la afirmacin del profesor en el sentido de que su grupo actual es superior? Utilice unnivel de significacin de 005 y una desviacin tpica de 12.

7.6)La demanda de un determinado artculo ha venido comportndose durante los ltimos aos conarreglo a una distribucin N(200 , 20). A la empresa que lo produce se le ofrece una campaa publi-citaria del artculo, con objeto de aumentar sus ventas. Si bien el precio de la campaa es alto, laempresa considera que si su aplicacin eleva la venta media por encima de las 250 unidades su con-tratacin sera rentable. Con objeto de tomar una decisin, tal campaa se aplica durante un cierto

perodo de prueba, obtenindose como venta media en dicho perodo 260 unidades, correspondientesa 35 de sus clientes habituales. Qu decisin adoptar la empresa, al nivel de significacin del 1% ?

7.7) Los tiempos de armado (en minutos) para 20 unidades seleccionadas aleatoriamente han sido: 98 , 104 , 106 , 96 , 97 , 99 , 105 , 111 , 96 , 102

103 , 96 , 99 , 112 , 106 , 98 , 105 , 101 , 105 , 97

Supngase que el tiempo necesario para armar una unidad es una variable aleatoria normal con me-dia y desviacin tpica = 06 minutos. En base a esta muestra existe alguna razn para creerque el tiempo promedio de armado es mayor de 10 minutos, al nivel de significacin 005 ?

7.8) La resistencia a la rotura de los cables producidos por un fabricante tiene una media de 1800libras y una desviacin tpica de 100 libras. Mediante una nueva tcnica en el proceso de fabricacinse aspira a que esta resistencia pueda ser incrementada. Para comprobar esta aspiracin, se elige unamuestra de 50 cables y se encuentra que su resistencia media es de 1850 libras. Puede mantenerseque hay un aumento de la resistencia al nivel de significacin del 001 ?


12/20


- 12 -

6. Contraste bilateral para la proporcin p en que se encuentra un determinado su-ceso en una poblacin.-

Con la letra p designaremos la proporcin del suceso A en toda la poblacin y con p la proporcin de ese suceso en slo una muestra seleccionada de esa poblacin. Aclaremos esto con unosejemplos:

Ejemplo 5: Si se tiene una poblacin de 200.000 personas en total de las cuales 85.000 tiene carnde conducir entonces la proporcin de personas con carn de conducir en toda esa poblacin es:

p =20000085000

= 0425 425%

Ejemplo 6: Si de la poblacin anterior se selecciona ahora al azar una muestra de slo 36 personasencontrndose que 19 de ellas tienen carn de conducir entonces la proporcin de personas con carnde conducir en esa muestra es:

3619= p = 0528 528%

Supongamos ahora, en general, que se tiene una poblacin (de personas, animales o cosas) en laque se desconoce la proporcin p de veces que se encuentra un determinado suceso, en el que es-tamos interesados, entre los elementos de la misma:

A = un determinado detalle de los elementos de la poblacin

p = proporcin (desconocida) de veces que est A entre los individuos de esa poblacin

Suponga tambin, por otro lado, que p 0 es un nmero dado (comprendido entre 0 y 1) correspon-diente a la opinin que algo o alguien hace acerca del verdadero valor de la proporcin poblacionaldesconocida p. El contraste bilateral para la proporcin poblacional p es

H0: p = p 0 (p 0 = n dado)

H1: p p0

En este caso, la decisin entre aceptar o rechazar H 0 se basa en si se puede aceptar o no, respectiva-mente, que la proporcin muestral p (de los n valores numricos de la muestra seleccionada de la

poblacin) se encuentra suficientemente cerca o no, respectivamente, del nmero p 0 dado:

/ 2 / 2

1 -

p

n

q. p.z p 00

21

0 p 0

n

q. p.z p 00

21

0 +

4 4 4 4 4 4 4 34 4 4 4 4 4 4 21

A

Al % de significacin, la muestra recogida de la poblacin llevar a tomar la decisin deaceptar H0 (o ms concretamente, lo que enuncia H0 de que la proporcin poblacional vale el


13/20


- 13 -

nmero p0 dado) siempre y cuando la proporcin muestral p pertenezca al siguiente intervalode aceptacin:

n)q.p(

.zp,n

)q.p(.zpp 00

210

00

210

esto es, si la proporcin muestralp toma un valor que se encuentra comprendido estrictamen-

te entre los valores que tomen las expresionesn

)q.p(.zp 00

210

y

n)q.p(

.zp 00

210

. Por tanto, si esa proporcinp toma un valor que cae fuera del

intervalo, as:

n

)q.p(.zp,

n

)q.p(.zpp 00

210

00

210

entonces se rechazar H0 y por consiguiente lo que se aceptar ser lo que enuncia H1 (es decirque la proporcin poblacional toma un valor distinto al nmero p0 dado).

Recalcar que aqu p0 representa la proporcin dada a la que se quiere ver si la p es igual o no yque q0 es la proporcin complementaria: q0 = 1 p0 .

Ejercicio 8:8.1) Una compaa produce unidades de un cierto tipo de alimentos. Dicha compaa asegura que el

porcentaje de estas unidades que contienen mayor nivel de aditivos que el autorizado es del 10%.Una organizacin de consumidores desea demostrar que la compaa miente. Para ello toma unamuestra de 100 unidades y, despus de efectuar los correspondientes anlisis, encuentra que 16 deesos artculos contienen ms aditivos que los permitidos. Proporcionan estos datos suficiente evi-dencia para considerar falsa la afirmacin de la compaa? Use para responder un 5% de significa-cin.

8.2) Suponga que se quiere contrastar la hiptesis de que la probabilidad de que un experimentadolanzador de dardos acierte en el centro de una diana con un solo intento es de 09. Si lanza en 200ocasiones y acierta 160 veces qu conclusin se saca al 1% de significacin?

8.3) Tras 100 lanzamientos de una moneda se observa que tan solo en 35 ocasiones ha salido cara.

Se pide:a) Con un nivel de significacin del 4%, se puede afirmar que la moneda est trucada? b) Qu conclusin se saca si en una experiencia con la misma moneda se obtienen 45 caras?Nota: La moneda ser normal cuando, y slo cuando, la probabilidad de cara sea .

8.4) Tras 300 lanzamientos de un dado se observa que en 59 ocasiones ha salido el nmero 5. Lle-van estos datos, al 99% de confianza, a la decisin de considerar que el dado est trucado?

Observaciones:1) Normalmente, en la prctica, la proporcin p 0 suele darse en porcentaje (%) y, asimismo, la in-terpretacin de la proporcin poblacional p suele hacerse en porcentaje.

2) Observe en la grfica, como siempre, que al intervalo de aceptacin corresponde una probabili-dad igual al nivel de confianza 1 - .

3) Resulta interesante hacer observar (sobre todo para ayudar a la hora de recordarlo) la similitud


14/20


- 14 -

de la frmula del intervalo de aceptacin del contraste de hiptesis bilateral para p con la frmula delintervalo de confianza para p de una estimacin por intervalos:

Intervalo de aceptacin:

+ n

)q. p(.z p,

n

)q. p(.z p 00

21

000

21

0

Intervalo de confianza:

+ n

)q. p(.z p,

n

)q. p(.z p

21

21

4) Tambin existe cierto parecido con el intervalo de aceptacin del contraste bilateral para la me-dia poblacional :

Intervalo de aceptacin para p:

+ n

)q. p(.z p,

n

)q. p(.z p 00

21

000

21

0

Intervalo de aceptacin para :

+ n.z,

n.z

21

02

10

5) Los dems comentarios realizados en el caso del contraste bilateral para la media de una v.a.normal pueden trasladarse a este caso de la proporcin (desconocida) p de ocurrencia del suceso enel que estamos interesados en toda la poblacin

7. Contraste unilateral a la derecha para la proporcin p en que se encuentra undeterminado suceso en una poblacin.-

El contraste unilateral a la derecha para p es: H 0: p p0 (p 0 = n dado)

H1: p < p 0

Al % de significacin, la muestra recogida de la poblacin llevar a tomar la decisin deaceptar H0 (o ms concretamente, lo que enuncia H0 de que la proporcin poblacional vale almenos el nmero p0 dado) siempre y cuando la proporcin muestral p pertenezca al siguienteintervalo de aceptacin:

,n

)q.p(.zpp 0010


15/20


- 15 -

esto es, si la proporcin en la muestra p toma un valor que se encuentra grficamente a la

derecha del valor que tome la expresinn

)q.p(.zp 0010 . Por tanto, si esa pro-

porcin p toma un valor que sea cae fuera del intervalo, as:

,n)q.p(

.zpp00

10

entonces se rechazar H0 y por consiguiente lo que se aceptar ser lo que enuncia H1 (es decirque la proporcin poblacional toma un valor inferior al nmero p0 dado).

La interpretacin de los enunciados y la interpretacin de la conclusin de estos contrastes sonsimilares a las de los apartados anteriores:

Ejercicio 9:9.1) Un investigador, utilizando informacin de anteriores comicios, sostiene que en determinadaregin la abstencin en las prximas elecciones ser del 40% como mnimo. Se elige una muestraaleatoria de 200 individuos de tal regin y preguntados al respecto 75 contestan que estaran dis-

puestos a votar. Determinar, con un nivel de significacin del 1%, si se puede aceptar como cierta laafirmacin del investigador.

9.2) Un profesor afirma que el porcentaje de alumnos de bachillerato de su centro que fuman no esinferior al 15%. Si en una muestra de 60 de esos alumnos se observ que 12 fuman:a) Es aceptable la afirmacin del profesor con un nivel de significacin de 001?

b) La afirmacin del apartado anterior es la misma si el nivel de confianza es del 90%?

9.3) Una empresa dedicada a la fabricacin de luminosos publicitarios anuncia que, como mnimo,el 99% de los luminosos estn en buen estado. Se selecciona una muestra de 100 rtulos publicita-rios y se observa que aparecen 3 defectuosos. Se pide:a) Con un nivel de significacin del 5%, podemos aceptar la hiptesis del fabricante?

b) Y con un nivel de confianza del 99% ?

9.4) Tras los atentados del 11 de Septiembre de 2001, y debido a su actuacin, la popularidad del presidente de los Estados Unidos, George Bush, lleg al 68%. En enero de 2002 se ha hecho unaencuesta a 3600 personas y 2117 han mantenido su voto a favor del seor Bush. Se puede afirmar,con un nivel de confianza del 90%, que el presidente no pierde popularidad? Razone la respuesta.

9.5) La cofrada de pescadores de un pueblo A afirma que en al menos el 50% de los barcos de un pueblo vecino B se suelen usar redes ilegales para faenar. Los pescadores agraviados salen al pasode tales afirmaciones diciendo que no niegan que en algn momento, por razones coyunturales,hayan usado este tipo de redes, pero que en esos casos el porcentaje de pescadores que las utilizaronfue mucho menor. Para poner fin a estos enfrentamientos, la alcalda del municipio acord inspec-cionar 100 barcos de la flota del pueblo B, encontrando 46 barcos que tenan redes ilegales. En basea este resultado, se puede afirmar que las sospechas de la cofrada de pescadores del pueblo A eraninfundadas? Use un nivel de confianza del 95%.

9.6) El fabricante de una medicina sostiene que es efectiva en el 90% de los casos para disminuir losefectos de una alergia. Un laboratorio de la competencia sostiene que esa eficacia es menor, y parademostrarlo suministra la medicina a 200 individuos que tenan la alergia, de los cuales 160 mejora-ron. Prueban estos datos, con un nivel de confianza del 99%, que el laboratorio de la competenciatena razn?

9.7) Hace diez aos el 52% de los ciudadanos estaban en contra de una determinada ley. Reciente-mente se ha elaborado una encuesta a 400 personas y el 46% de ellas se mostraron en contra de lacitada ley. Con estos datos, y con un nivel de significacin del 0'01, podemos afirmar que la pro-

porcin de contrarios a la ley ha disminuido?


16/20


- 16 -

8. Contraste unilateral a la izquierda para la proporcin p en que se encuentra undeterminado suceso en una poblacin.-

El contraste unilateral a la izquierda para p es: H 0: p p0 (p 0 = n dado)

H1: p > p 0

Al % de significacin, la muestra recogida de la poblacin llevar a tomar la decisin deaceptar H0 (o ms concretamente, lo que enuncia H0 de que la proporcin poblacional vale noms del nmero p0 dado) siempre y cuando la proporcin muestral p pertenezca al siguienteintervalo de aceptacin:

p

n

)q.p(.zp, 0010

esto es, si la proporcin en la muestra p toma un valor que se encuentra grficamente a la

izquierda del valor que tome la expresinn

)q.p(.zp 0010 . Por tanto, si esa pro-

porcin p toma un valor que sea cae fuera del intervalo, as:

p

n

)q.p(.zp, 0010

entonces se rechazar H0 y por consiguiente lo que se aceptar ser lo que enuncia H1 (es decirque la proporcin poblacional toma un valor superior al nmero p0 dado) .

Ejercicio 10:10.1) Se afirma que el 18 por ciento de los hogares de una ciudad tienen televisin de pago. Despusde una campaa publicitaria se estima que dicho porcentaje ha aumentado y para corroborarlo sehace una encuesta eligiendo una muestra de 121 hogares de los que, en 28 de ellos, existe televisinde pago. i) Se puede afirmar, tomando = 001, que la proporcin de hogares que tienen televisinde pago ha aumentado despus de la campaa publicitaria? ii) Responder al apartado anterior si =01.

10.2)Si esta temporada el jugador de baloncesto A. Garca ha efectuado 400 lanzamientos desde lalnea de tiros libres y ha realizado 300 aciertos (encestes), se pide:a) Estimar, con una confianza del 95%, la probabilidad actual que tiene ese jugador de encestar eltiro libre cada vez que se sita para lanzarlo.

b) Si hace cinco temporadas A. Garca tena una estadstica del 72% de aciertos, cada vez que lan-zaba un tiro libre, muestran los datos de esta ltima temporada evidencias significativas para consi-derar que ese porcentaje ha aumentado? Use para responder un nivel de significacin del 5%.


17/20


- 17 -

9. Representatividad de una muestra: Relacin con el contraste de hiptesis.- Vamos a plantear la cuestin con unos ejemplos:

Ejemplo 7: Suponga que las calificaciones de un estudiante en un curso escolar han sido:

9 , 10 , 4 , 8 , 10 , 8 , 10 , 8 , 5 , 9 , 8 , 10

La puntuacin media obtenida ha sido: = 1294 = 783 APTO !

La Inferencia Estadstica pretende llegar a conclusiones globales (de toda la poblacin) a partir delestudio de una muestra extrada aleatoriamente de la poblacin. Pero si al seleccionar una muestracon slo dos (n = 2) de esas notas toca la casualidad de que sacamos el 4 y el 5 entonces, con estamuestra, la nota media obtenida ser:

x = 29 = 45 NO APTO !

Pero si esto fuera as, tendramos que esa muestra que se ha seleccionado no sera representativadel rendimiento del estudiante en todo el curso pues, claramente, el estudiante est aprobado de so-

bra y, sin embargo, la informacin de la muestra reproduce todo lo contrario. En cambio, si podra-mos considerar representativas del rendimiento escolar del estudiante a todas las siguientes muestrasseleccionadas:

43421

2=n

5,10 x = 75 APTO !

4 4 34 4 21

3=n

5,10,8 x = 77 APTO !

4 4 4 4 34 4 4 4 21

4=n

9,10,10,4 x = 825 APTO !

etc.

Como en el ejemplo anterior, una muestra extrada al azar de una poblacin ser representativade dicha poblacin, desde el punto de vista de una cierta caracterstica, cuando reproduzca resulta-dos consistentes o coherentes con lo que sepamos a ciencia cierta de esa caracterstica en esa pobla-cin (o sea, cuando no reproduce una informacin sesgada de lo que realmente ocurre de esa carac-terstica en toda la poblacin). Abusando del lenguaje, se puede decir que una muestra es represen-tativa de una poblacin, desde el punto de vista de cierta caracterstica, cuando, a todos los efectosde esa caracterstica, da lo mismo considerar la muestra que toda la poblacin, pues la muestra

proporciona los mismos resultados que toda la poblacin a la hora de considerar esa caracterstica.

Ejemplo 8: Suponga que se tiene estudiado actualmente que la duracin media de las pilas de de-terminada marca es, sin lugar a dudas, de 30 horas ( = 30 h. ) y suponga que se selecciona unamuestra de 400 de esas pilas, la cual tiene x = 27 horas. Entonces, realizando el siguiente contraste:

H0 : = 30 ( lo que se tiene estudiado y demostrado )H1 : 30

se puede saber si la informacin que suministra la muestra seleccionada es consistente o no con loque sabemos a ciencia cierta de la media poblacional (que es = 30 ). En efecto:

a) si como conclusin del contraste se termina rechazando H0, entonces la informacin que nos est

dando la muestra seleccionada entra en contradiccin con lo que sabemos es seguro de la media poblacional (que es = 30 ), por lo que esa muestra podr considerarse (con una reserva del %) norepresentativa de la poblacin, al generar un resultado incoherente con lo que sabemos;


18/20


- 18 -

b) si como conclusin del contraste se termina aceptando H 0 , entonces la informacin que nos estdando la muestra seleccionada nos lleva a concluir lo que sabemos de la media poblacional (que es = 30 ), por lo que, por este camino, no se encuentra ningn inconveniente para que pueda ser con-siderada representativa de la poblacin desde el punto de vista de la duracin de las pilas, al produ-cir un resultado coherente con lo que sabemos (si, en su caso, no fuera representativa de la pobla-cin no es por culta de que, a travs del contraste, nos lleve a una contradiccin con lo que sabemosde que es = 30, sino por otro motivo).

Ejemplo 9: Si tenemos demostrado hoy por hoy que el costo medio mensual de las pequeas empresas vale 1.200 ( = 1.200), al seleccionar al azar una muestra de esas empresas, se puedeaceptar que dicha muestra contendr una informacin sesgada y, por tanto, no ser representativa dela poblacin, si con dicha muestra se rechaza lo que sabemos seguro de (es decir, que es =1.200). O sea, si con dicha muestra se rechaza la hiptesis:

H0 : = 1.200 ( lo que se tiene demostrado; lo que se sabe a ciencia cierta)

entonces la muestra no ser representativa de la poblacin de todas las pequeas empresas, por lomenos desde el punto de vista de los costes mensuales.

Observaciones: 1) Para verificar si una muestra pudiera ser o no representativa de una poblacin se debe plantearun contraste (unilateral o bilateral) para lo que se sabe a ciencia cierta del parmetro poblacional( o p).

2) La representatividad supuesta de una muestra puede plantearse cuando se conozca el valor ovalores la media de una v.a. normal como tambin cuando se conozca el valor o valores de la pro-

porcin p en la que esta un cierto suceso en una gran poblacin

Ejercicio 11:11.1)En las guarderas de una comunidad se ha comprobado que el peso medio de los nios de unao es de 125 kgrs., con una desviacin tpica de 16 kgrs. La consejala de de asuntos sociales dela comunidad seleccion al azar una muestra de 16 nios, obteniendo para ellos un peso medio de131 kgrs. Con un nivel de confianza del 99%, en base a los resultados obtenidos, se puede aceptar,en ensayo bilateral, que dicha muestra es representativa de la poblacin de nios?

11.2) Se sabe que la duracin del sueo en cierta poblacin se distribuye normalmente con mediaigual a 7 horas. Para una investigacin farmacutica se seleccionan 25 personas de esa poblacin,obtenindose una duracin media de sueo de 8 horas, con una desviacin tpica de 448 horas. Enfuncin de estos resultados, se puede aceptar la representatividad del muestreo realizado, en ensayo

bilateral, al 5% de significacin?

11.3) Suponga conocido que el salario mensual medio de la poblacin de empleados administrativoses de por lo menos de 900 . Si se obtiene un salario medio mensual de 880 , con una desviacintpica de 100 , para una muestra de 41 empleados elegidos aleatoriamente de esa poblacin, se

puede considerar que esa muestra es representativa del colectivo de administrativos en cuanto al sa-lario mensual se refiere, con un 1% de significacin?

11.4) Se sabe que el 23% de los coches del parque automovilstico de Tenerife son de color blanco.Si al colocarnos en una esquina de una calle cuantificamos que de los primeros 100 coches que pa-san son 29 los coches de color blanco, podra aceptarse que esta muestra de 100 coches es repre-sentativa del parque automovilstico de Tenerife, en cuanto al color de refiere? Use para responder

un 95% de confianza.


19/20


- 19 -

10. Observaciones finales para el planteamiento de los problemas de contraste.-Conviene recalcar los siguientes puntos ya vistos:

PRIMERO) En los problemas, se estar ante un problema de contraste de hiptesis para la media descono-cida de una v.a. normal X siempre que alguien o algo haga una afirmacin o d una opinin acerca delvalor de dicha media y luego se pida averiguar, con un cierto nivel de significacin, si esa afirmacinque se hace puede aceptarse como cierta o si por el contrario debe rechazarse, y declararla falsa, a partirdel estudio de una muestra de valores recogidos de esa variable (o poblacin).

Ejercicio PRIMERO:Un informe de la Asociacin de Compaas Areas indica que el precio medio del billete de avin entre Canarias

y la Pennsula Ibrica es, como mximo, de 120 con una desviacin tpica de 40 . Se toma una muestra de 100viajeros Canarias - Pennsula Ibrica y se obtiene que la media de los precios de sus billetes es de 128 . Se pide:a) Se puede aceptar, con un nivel de significacin igual a 0.1, la afirmacin de partida?

b) Se concluira lo mismo si el nivel de significacin fuera del 1 %?

SEGUNDO) Asimismo, habr que realizar un contraste de hiptesis para la proporcin desconocida p de unasuceso en una gran poblacin siempre que alguien o algo haga una afirmacin o de una opinin acerca del valor de

dicha proporcin p y luego se pida averiguar, con un cierto nivel de significacin , si esa afirmacin que se hace puede aceptarse como cierta o si por el contrario debe rechazarse, y declararla falsa, a partir del estudio de unamuestra de valores recogidos de esa poblacin.

Ejercicio SEGUNDO:Los responsables de educacin de una comunidad trabajan con la hiptesis de que al menos el 78% de los padres

son favorables a la introduccin de la segunda lengua extranjera en el primer curso de Primaria. Encuestados 1024 padres elegidos al azar, 776 estn a favor.a) Se puede aceptar la hiptesis de trabajo con un nivel de significacin del 10%?

b) Se concluira lo mismo si el nivel de significacin fuera igual a 0,01?

TERCERO) Tambin estaremos ante un contraste para la media poblacional (desconocida) siempre que se nosd el valor o valores de esa media en cierto tiempo (ese ser entonces el papel que jugar el 0) y luego se pidecontrastar si el valor de esa (desconocida) en otro tiempo (en la actualidad, por ejemplo) es o no igual que elantiguo; o si ha aumentado, o si ha disminuido.

Ejercicio TERCERO;3.a) Suponga que hace 10 aos se realiz un estudio sobre la duracin de los focos producidos por una fbrica yse encontr que dicha duracin se distribua normalmente con media una de 1.500 horas y una desviacin tpica de100 horas. Debido que en la actualidad han cambiado las condiciones de trabajo, se sospecha que la duracin me-dia es ahora distinta. Por eso, si con una muestra de 25 focos producidos recientemente se encuentra una duracinmedia de 1.525 horas, se puede aceptar al 95% de confianza que esas sospechas son fundadas?

3.b) A mediados de los aos 90 el consumo medio mensual de electricidad por vivienda en Canarias era de 320Kw. En el ao 2006 se ha tomado una muestra aleatoria de 25 viviendas y se ha obtenido un consumo medio men-sual de 350 Kw. con una desviacin tpica de 80 Kw. Con un nivel de significacin del 10%, se acepta que elconsumo medio ha aumentado?

CUARTO) Lo mismo se podra decir cuando se conozca a ciencia cierta el valor 0 de la media poblacional encierto sitio (la Pennsula, por ejemplo) y luego se pide contrastar si el valor desconocido de esa media en otrositio (Canarias, siguiendo con el ejemplo) es o no igual que en el primer lugar; o si ha aumentado, o si ha disminui-do.

Ejercicio CUARTO: Un estudio realizado por un departamento gubernamental ha determinado que en Francia las llamadas telefni-

cas en el mbito del hogar tienen una duracin media de un minuto y 20 segundos. En Espaa se hizo un estudiomuestral similar con 91 hogares el cual concluy que la duracin media de esas llamadas era de un minuto y 25segundos, con una desviacin tpica de 10 segundos. Puede entonces decirse que en Espaa son las llamadas mslargas que en Francia al 95% de confianza?


20/20


QUINTO) O por ejemplo, cuando se conozca sin lugar a dudas el valor 0 de la media poblacional con un cierto proceso de produccin A, o con un sistema de alimentacin A, o con cualquier otro proceso, y luego se pide con-trastar si el valor desconocido de esa media con otro proceso distinto B es o no igual que con el primer proceso(el proceso A); o si ha aumentado, o si ha disminuido.

Ejercicio QUINTO: La duracin de las bombillas producidas por una determinada fbrica es de 2.000 horas. Otra empresa, de cre-

ciente creacin, est tanteando un nuevo proceso de produccin para lo cul pone a prueba a 100 de esas bombillasencontrando una duracin media de 1995 horas con una desviacin tpica de 25 horas. Con esto, se puede concluirque esta segunda empresa est produciendo bombillas de ms baja calidad al 99%? Razone la respuesta.

SEXTO) Comentarios anlogos se podran hacer para cuando se conozca el valor o valores de la proporcin p 0 encierto tiempo, o en cierto lugar o con cierto proceso A, y luego se pide contrastar si el valor desconocido de esa

proporcin p, en la actualidad, en otro sitio o con otro proceso distinto B, respectivamente, es o no igual que elantiguo, o en el primer lugar o con el primer proceso, respectivamente; o si ha aumentado, o si ha disminuido.

Ejercicio SEXTO: 6.a) El jugador de baloncesto A. Fisher vino de Estados Unidos con un porcentaje de aciertos, desde la lnea detiros libres, de un 875%. En esta temporada ha realizado, hasta el momento, 400 lanzamientos y ha conseguido300 encestes. En base a esta informacin, puede decirse que el jugador se encuentra en los nmeros que trajo desu pas con un 95% de confianza? Razone la respuesta.

6.b) Hace dos aos se tena demostrado que menos del 35% de los jvenes oa msica habitualmente en un apara-to que reproduce ficheros en formato MP3. El verano pasado se realiz una encuesta a 900 de esos jvenes y resul-t que 300 utilizan tales aparatos. Con estos datos, se podra admitir de alguna manera al 5% de significacin queesa proporcin ha cambiado?. Razone la respuesta.

6.c) En un hospital se observ que los pacientes abusaban del servicio de urgencias, de forma que un 30% de lasconsultas podan perfectamente haber esperado a concertar una cita con el mdico de cabecera, porque no eranrealmente urgencias. Puesto que esta situacin ralentizaba el servicio, se realiz una campaa intensiva de concien-ciacin. Transcurridos unos meses se ha recogido informacin de 60 consultas al servicio, de las cuales slo 15 noeran realmente urgencias. Con un nivel de significacin del 1 %, puede decirse que la campaa ha mejorado lasituacin? Razone la respuesta.

SPTIMO) Si en el enunciado de un problema se establece que hoy en da se tiene perfectamente determinado elvalor o valores del parmetro desconocido de cierta magnitud en una determinada poblacin, por ejemplo, que sea = 319 que sea p 0'5, y luego se pide testar si una muestra aleatoriamente que se ha seleccionado de esa po-

blacin es representativa o no de la misma, desde el punto de vista de esa magnitud, lo que hay que hacer es reali-zar un contraste para eso que conocemos a ciencia cierta del valor o valores del parmetro desconocido, as:

H0: = 319 (lo que se tiene perfectamente determinado; lo que se conoce a ciencia cierta ) H1: 319

o:

H0: p 0'5 (lo que se tiene perfectamente determinado; lo que se conoce a ciencia cierta ) H1: p > 0'5

Ejercicio SPTIMO7.a) Una Universidad tiene un estudio por el que se sabe que slo el 25'1% de los estudiantes universitarios pro-ceden de familias con estudios hasta primarios. Para un trabajo de investigacin un profesor de Sociologa selec-ciona una muestra aleatoria de 200 estudiantes encontrando que el 30% de ellos provienen de familias con estudioshasta primarios. En base a este resultado, hay evidencias, al 95% de confianza, de que la muestra no es representa-tiva de todos los estudiantes? Razone la respuesta.

7.b) Se quiere comprobar si una mquina destinada al llenado de envases de agua mineral ha sufrido un desajuste.Una muestra aleatoria de 10 envases de esta mquina ha proporcionado los siguientes resultados:

0'49 ; 0'52 ; 0'51 ; 0'48 ; 0153 ; 0'55 ; 0'49 ; 0'50 ; 0'52 ; 0'49Suponiendo que la cantidad de agua mineral que este tipo de mquina deposita en cada envase sigue una distribu-

cin normal de media 0'5 litros y una desviacin tpica de 0'02 litros, se desea saber, con un nivel de confianza del95 %, si la muestra recogida es o no representativa de los envases que realizan esas mquinas. Raznelo.

5. Contraste de Hipotesis_NIVEL BAJO

Documents

Transcript of 5. Contraste de Hipotesis_NIVEL BAJO