5 Mat Financiera Taller de Matemticas Financieras 2

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Taller de MatemticasTaller de MatemticasFinancierasFinancierasMatemticas Matemticas FinancieraFinanciera

El Inters compuesto:El inters compuesto es una frmula exponencial y en todas las frmulas derivadas de ella debemos operar nicamente con la tasa efectiva. La tasa peridica tiene la caracterstica de ser a la ve! efectiva y nominal" sta tasa es la #ue debemos utili!ar en las frmulas del inters compuesto. $on el inters compuesto" pa%amos o %anamos no solo sobre el capital inicial sino tambin sobre el inters acumulado" en contraste con el inters simple #ue slo pa%a o %ana intereses sobre el capital inicial. Matemticas Matemticas FinancieraFinanciera &na operacin financiera es a inters compuesto cuando el pla!o completo de la operacin 'por e(emplo un a)o* est dividido en perodos re%ulares 'por e(emplo un mes* y el inters deven%ado al final de cada uno de ellos es a%re%ado al capital existente al inicio. +s" el inters %anado en cada perodo percibir intereses en los periodos sucesivos ,asta el final del pla!o completo. -u aplicacin produce intereses sobre intereses" conocido como: la capitali!acin del valor del dinero en el tiempo. Matemticas Matemticas FinancieraFinanciera La tasa de inters en el e(emplo anterior es ./ compuesto anualmente. Esto si%nifica #ue el inters pa%a anualmente. +s tenemos #ue en nuestra libreta de a,orros al final del primer a)o tendremos &M 01. 'el principal ms los intereses*" en el se%undo a)o este saldo aumenta en ./. +rro(ando al final del se%undo a)o un saldo de &M 002.20 #ue puede computarse como si%ue:Matemticas Matemticas FinancieraFinanciera

$omo vemos" un modelo matemtico va manifestndose con muc,a nitide!. El 3alor Futuro de una inversin inicial a una tasa de inters dada compuesta anualmente en un perodo futuro es calculado mediante la si%uiente expresin: Matemticas Matemticas FinancieraFinanciera

4ue no es otra cosa" #ue la frmula %eneral del inters compuesto para el perodo n de composicin. En las matemticas financieras es fundamental el empleo de la frmula %eneral del inters compuesto para la evaluacin y anlisis de los flu(os de dinero.Matemticas Matemticas FinancieraFinanciera Las ecuaciones derivadas de la frmula 5006 'para inversin y recuperacin en un slo pa%o* son: El tipo de inters 'i* y el pla!o 'n* deben referirse a la misma unidad de tiempo 'si el tipo de inters es anual" el pla!o debe ser anual" si el tipo de inters es mensual" el pla!o ir en meses" etc.*. -iendo indiferente adecuar la tasa al tiempo o viceversa. +l utili!ar una tasa de inters mensual" el resultado de n estar expresado en meses.Matemticas Matemticas FinancieraFinancieraE7E8$I$I9 0: $alcular el 3F al final de : a)os de una inversin de &M ;1"111 con un costo de oportunidad del capital de ;1/ anual. Matemticas Matemticas FinancieraFinanciera-olucin:3+ < ;1"111= n < := i < 1.;1= 3F < >8espuesta: El 3F al final de los : a)os es &M ?."@AA.?1Matemticas FinancieraMatemticas FinancieraE7E8$I$I9 ;: Bo ten%o un excedente de utilidades de &M 0"111 y los %uardo en un banco a pla!o fi(o" #ue anualmente me pa%a 2/= Ccunto tendr dentro de D a)os> Matemticas Matemticas FinancieraFinanciera-olucin: 3+ < 0"111= n < D= i < 1.12= 3F < > Indistintamente aplicamos la frmula y la funcin financiera 3F: 8espuesta: El monto al final de los D a)os es &M 0";:[email protected] Matemticas FinancieraFinancieraE7E8$I$I9 D :Inversamente" al%uien nos ofrece &M :"111 dentro de D a)os" siempre y cuando le entre%uemos el da de ,oy una cantidad al 01/ anual. C$unto es el monto a entre%ar ,oy> Matemticas FinancieraMatemticas Financiera-olucin:3F < :"111= n < D= i < 1.01= 3+ < >+plicamos la frmula yEo la funcin financiera 3+:8espuesta:El monto a entre%ar el da de ,oy es &M D"@:@.:@Matemticas FinancieraMatemticas FinancieraEJERCICIO 4: Feterminar la tasa de inters aplicada a un capital de &M ;:"111 #ue ,a %enerado en tres a)os intereses totales por &M A":11.Matemticas Matemticas FinancieraFinanciera-olucin:

'3F < ;:"111 G A":11*i < >= 3+ < ;:"111= n < D= I < A":11= 3F < D0":11 +plicando la frmula 50D6 o la funcin H+-+" tenemos: Matemticas Matemticas FinancieraFinancieraRespuesta: La tasa de inters aplicada es de 2/ anual.Matemticas Matemticas FinancieraFinancieraEJERCICIO 5 $alcular el tiempo #ue ,a estado invertido un capital de &M D:"111" si el monto producido fue &M :A"?:: con un inters de . /.Matemticas Matemticas FinancieraFinanciera Solucin 3+ < D:"111= 3F < :A"?::= i < 1.1.= n < > +plicando la frmula 50?6 o la funcin IJE8" tenemos:Respuesta: El tiempo en #ue ,a estado invertido el capital fuede : a)os" A meses y [email protected] das Matemticas Matemticas FinancieraFinanciera Valor actual de un flujo nico El valor actual" es el valor de las unidades monetarias de ,oy. El proceso de calcular los valores actuales a una tasa especfica de Inters es conocido como descuento. La tasa de inters con el #ue determinamos los valores actuales es la tasa de descuento" cuando el dinero proviene de fuentes externas y costo de oportunidad cuando la inversin proviene de recursos propios. Por ejemplo: El valor actual de &M 011 a ser recibido dentro de un a)o es &M [email protected]?" si la tasa de descuento es ./ compuesto anualmente tenemos:Matemticas Matemticas FinancieraFinanciera$lculos a valor futuro:&n a)o [email protected]?'0 G 1.1.* < 011 La ecuacin de valor futuro la utili!amos para describir la relacin entre el valor actual y el valor futuro. +s" el valor actual de &M 011 a ser recibido dentro de dos a)os es &M [email protected] a la tasa de descuento de ./. Fos a)os [email protected]'0 G 1.1.*; < &M 011 [email protected] < 011E'0 G 1.1.*;$omo vemos el modelo matemtico derivado de la frmula del inters compuesto utili!ada es el del valor actual. Ecuacin #ue nos permite calcular el valor actual de un flu(o de ca(a futuro dado la tasa de descuento en un perodo determinado de tiempo.Matemticas Matemticas FinancieraFinancieraEJERCICIO 6

Determinar el valor actual de UM 100 a ser recibido dentro de 3 aos a partir de hoy si la tasa de inters es 9! Matemticas Matemticas FinancieraFinancieraSolucin: 3F < 011= n < D= i < 1.1.= 3+ < > +plicando al flu(o la frmula 0; o la funcin financiera 3+" tenemos:Respuesta: El 3+ al final de los D a)os es &M @@.;;Matemticas Matemticas FinancieraFinancieraValor actual de un flujo aria!le:El valor actual de un flu(o variable es i%ual a la suma de los valores actuales de cada uno de estos flu(os. Jara comprender esto" supon%a una inversin en #uelas promesas de pa%o de &M 011 dentro de un a)o y &M ;11 dentro de dos a)os es ,oy= si un inversionista tiene #ue decidir entre estas dos opciones" al inversionista le resultara indiferente" ele%ir entre las dos opciones" asumiendo #ue las inversiones son deMatemticas Matemticas FinancieraFinancierai%ual ries%o" es decir" la tasa de descuento es la misma. Esto es por#ue los flu(os futuros #ue el inversionista recibira ,oy carecen de ries%o y tienen el mismo valor ba(o cual#uier alternativa. -in embar%o" s la inversin tuviera una tasa de descuento de 0;/" el valor actual de la inversin puede encontrarse como si%ue:3alor actual de la inversion:Matemticas Matemticas FinancieraFinanciera3+ < 2..;. G @[email protected]; < &M 0A..10La si%uiente ecuacin puede emplearse para calcular el valor actual de un flu(o futuro de ca(a:Matemticas Matemticas FinancieraFinancieraFnde: 3+ < 3alor actual del flu(o de ca(a F$t < Flu(o de ca(a 'in%resos menos e%resos* de t < 1 a ni < Hasa de descuento" t < El perodo #ue va de cero a n n < El ltimo perodo del flu(o de ca(aMatemticas Matemticas FinancieraFinancieraEJERCICIO " $alcule el valor actual del si%uiente flu(o de ca(a considerando una tasa de descuento de 0:/ donde el primer a)o se pa%a :11" el se%undo y el tercero se pa%a @11 y el ultimo a)o se pa%a .11Matemticas Matemticas FinancieraFinanciera-olucin: E(ercicio 2 El Kanco descont el : de Mayo del ;11? un pa%ar por &M 01"111 #ue tena esta misma fec,a.Feven%aba el A/ de inters y venca el : de (unio del mismo a)o. -i el tipo de descuento del Kanco es tambin del A/ mensual" Ccul es el descuento retenido por el Kanco> Matemticas Matemticas FinancieraFinanciera-olucin3+ < 01"111= n < 0=i < 1.1A= 3F 3F < 01"11150G'1.1AL0*6 < &M 01"A11 ;M $alculamos el descuento" 3F < 3I: 3I < 01"A11=n < 0= d < 1.1A= F F < 01"A11L0L1.1A