D. S. Macnah y J. A. Cummine

La enseñanza de las matemáticas de 11 a 16

Un enfoque centrado en la dificultad

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* l>c la prewntc edición VISOR DISTIUMXJO.- S A . 199?.

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índice

Introducción , 9

1, Objetivos en la educación de las matemáticas en secundaria \ , 13

2, Actitudes del alumno hacia las matemáticas 25

i. Algunos tenias de investigación 37

4. Dificultades de aprendizaje basadas en la organización escolar, metodología y curriculum 65

5. Dificultades de aprendizaje inherentes a la asignatura _ 77

6. Lenguaje y numeración en matemáticas 113

7. Matemáticas a través del curriculum 125 8. Evaluación 135

9. Prevención y remedio . 149

10, Diseño del curso y construcción del programa 171

1L Planificación de recursos 189

12- Construcción de unidades de trabajo 1V9

13. La calculadora como un recurso de aprendizaje ... 215

14. El microordenador 225

7

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•

Referencia*

Se uliliian IH fliguientes abicvioiurty Beli Cotìrtto y Kuchcmaroi: Bell, A. W, CoNto J V Kwtaoami, D. 1984:

R&tarch Uomini and Teachi*g Mathemm* NFER-Ncfeon. Baia»; Butto*, L 1981 Ito Ycu Panie Atout Natia? HròcmaniL Cockcrok Reputi oT te Cockcroft Coabito: Ì982: Mcth^umci lw*u

»IMSO [in « d u o : -1» SUtaaiuci* ti cucciai Mrciflcno df Educ**» y CÌCOCUL. Midrid, 19S5-1

Fnode&thil: Fraitanl» H 1981: MIJOT probfcim ir matteuiiiic» educatoci. EJtoAtional Swdks in Mathematica 12 (2). 13150

•

Introducción

Este libro trata de las rizones por las que el niño falla al aprender matemáticas. Creemos que sóEo entendiendo i as razones de este fallo puede mejorarse sustancialmente la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Sin tal entendimiento, cambios en el programa, en la metodología o en los recursos usados serán de poco valor. El punto de partida para conseguir este entendimiento deben ser los alumnos mismos —sus opiniones y sus actitudes para las matemáticas, y sus temores y ansiedades hacia ellas. El Capitulo 2 se dedica a un examen de estas opiniones de los alumnos y es por ello este capítulo el motivo central de este libro.

El fallo en aprender matemáticas no se reduce, naturalmente, a los menos capacitados. Muchos alumnos competentes, que son capaces de un alto rendimiento en otras áreas del curriculum, muestran pobres resultados en matemáticas. Entre aquellos que muestran una aparente competencia en la asignatura existen algunos cuyo entendimiento es sólo superficial y que son capaces, en ocasiones, de los errores más elementales- Otros son capaces de buenos resultados sólo en situaciones que les son familiares por la práctica repetida.

A la Iu2 de las razones por las que algunos niños Casi siempre, y casi todos los niños alguna vez, tienen dificultades en el aprendizaje de las matemáticas, y de las implicaciones de estas razones para la enseñanza de la asignatura, hemos creído conveniente, tanto a efectos expositivos como de referencia interna, disponer nuestro material en capítulos más o menos autónomos. Así, un lector interesado, por ejemplo, en las matemáticas a través deí curriculum o en la construcción de unidades de trabajo puede consultar estos capítulos sin leer primero los capítulos anteriores. Sin embargo, se hace referencia a otros capítulos que amplían los puntos que son discutidos o que tienen una estrecha relación con ellos.

El orden de los capítulos sigue un cierto modelo. Los primeros siete capítulos se refieren principalmente a tas razones por las que se dan dificultades de aprendizaje y a materias relacionadas. En los capítulos 1 a 3 se exponen los fundamentos (Capítulo 1 ) ; opiniones de los alumnos sobre las matemáticas (Capítulo 2); algunos temas de investigación

(Capiculo 3). Se incluye el Capítulo 3 para indicar el campo de pensamiento e investigación en el aprendizaje y comprensión de las matemáticas. Este capítulo está colocado tempranamente en el libro como parte del fundamento general para las dificultades de aprendizaje, pero puede ser leído más tarde, cuando se pueda apreciar más claramente su importancia*

Los Capítulos 4 y 5 forman el núcleo de la primera parte del libro, ocupándose directamente de las dificultades de aprendizaje que provienen de la organización escolar, metodología, curriculum y, también, de las matemáticas mismas. El capítulo 6 se refiere al papel del lenguaje en el proceso de aprendizaje, y al desarrollo de la numeración. El capítulo final de la primera parte —Matemáticas a través del curriculum— es digno de una mención especial Como una causa de las dificultades inlantiles de aprendizaje en matemáticas podemos mencionar la gran distancia aparente entre la asignatura y el mundo real. Resulta esencial acentuar las aplicaciones de las matemáticas en otras asignaturas y en la vida diaria. Visto a esta luz, el Capítulo 7 adquiere mayor importancia y no está alejado de las discusiones sobre dificultades de aprendizaje.

I.a segunda pane del libro trata de las implicaciones de lo dicho en la primera parre sobre la enseñanza y organización del aula, empezando con capítulos sobre evaluación, y sobre prevención y remedio de las dificultades de aprendizaje. £n el Capítulo 10, diseño del curso y construcción del programa, algunas de las ideas de los dos capítulos anteriores se desarrollan en el contesto de la planificación de cursos y programas.

Los siguientes dos capítulos tratan de la planificación y u*o de recursos —producidos comercialmtnte en el Capítulo 11 y preparados en el instituto en e! Capítulo 12—. Los capítulos finales tratan de la calculadora y el microordenador. Esras herramientas son tratadas como ayudas en el aprendizaje y comprensión de las matemáticas antes que como temas ce enseñanza en sí mismos.

' El libro está escrito como una contribución a una mejor enseñanza de las matemáticas y puede ser utilizado de varias maneras. Por una parte puede servir como un libro de referencia general para un director de departamento escolan por otra, puede ser usado como un texto en cursos de formación inicial de profesores de matemáticas. Puede también servir como ayuda para los profesores en sus clases individuales y como una fuente de ideas y discusiones para cursos de reciclaje. Los lectores generales —aquellos que sólo tienen un modesto conocimiento de las matemáticas— pueden encontrar

el libro de interés al proporcionarles ideas en tos problemas que implica b enseñanza y aprendí?aje Je las matemáticas.

A lo largo del libro hemos utilizado las formas masculinas, él y suyo, mejor que el incómodo él/ella y suyo/suya. No existe más razón que la comodidad para no usar ella/suya, especialmente cuando mudios de los profesores de matemática» mis capacitados son mujeres.

Sin pretender que la adopción de las ideas y consejos dados aquí vayan a revolucionar la habilidad matemática de los alumnos de dieciséis años, si este libro ayuda a me jo raí esta habilidad y, lo que es más importante» las actitudes de los alumnos hacia las matemáticas y la imagen que tienen de la asignatura, entonces habrá servido a su propósito.

D £ Macnah / A, Cummint

CAPÍTULO 1

Objetivos en la educación de las matemáticas en Secundaria

*

Los objetivos en enseñanza de las matemáticas aparecen divididos a menudo en dos categorías:

1. los específicamente matemáticos; 2. los que implican aspectos más generales del desarrollo

personal, educativo y social de los alumnos.

Respecto de 1, un objetivo apropiado para muchos alumnos capacitados puede ser el desarrollo de la habilidad de usar ideas algebraicas en contextos geométricos, mientras que respecto de 2, se puede mencionar ei desarrollo de fa habilidad para trabajar cooperativamente en un grupo para un propósito común.

Tradicionalmente, los profesores de matemáticas se han referido a objetivos específicamente matemáticos, pero han de considerarse separadamente objetivos más generales que lleven a englobar tales objetivos en metas más amplias de la educación matemática. Tampoco es satisfactorio para alumnos y asignatura el que las matemáticas se consideren un área de estudio técnico y personal en general. Sin embargo, algunos profesores de matemáticas ven con suspicacia los objetivos educativos generales, sobre todo si se expresan de una forma difícil de poner en práctica y su consecución no es fácil de valorar.

La completa separación de los objetivos matemáticos de aquellos de naturaleza más general puede tener como resultado que se de a los últimos un papel insignificante o menor o sean ignorados por completo y a que no puedan relacionarse directamente con la enseñanza matemática. £s, por tanto, preferible tener una lista única de objetivos que incorpore todas las metas deseables de la enseñanza de las matemáticas y el programa de aprendizaje. De esta forma» los objetivos generales se volverán una parte integral del programa de aprendizaje antes que quedar en la periferia. Dentro de una lista unificada, se pueden elaborar unos objetivos más detallados matemáticamente.

Ai considerar objetivos, es importante no enfati?ar demasía- U INSESANZAUE do !a necesidad de tests objetivos de evaluación. Las mate- LAS MATEMÁTICAS maricas se transforman así en una valoración formal donde el criterio de los tests puede establecerse precisa y objetivamente y> en consecuencia» se puede llegar a pensar que sólo los objetivos que se refieren directamente a la competencia matemática resultan apropiados para la asignatura.

Mientras que los objetivos de competencia son» naturalmente, de un mayor significado, existen otros tres tipos de objetivos que también son importantes:

1. Objetivos de proceso. 2. Objetivos actitudinales. 3. Objetivos de experiencia.

¡. Objetivos de proceso

Mientras que los objetivos de competencia se relacionan con metas-finales del aprendizaje matemático —con el conocimiento y la técnica—, los objetivos de proceso se refieren a los medios por los que se liega a tales metas-finales. Un objetivo general de proceso podría ser el desarrollo de la comprensión matemática a través de un programa de actividades prácticas. Dentro de este objetivo, un objetivo de proceso específico consistiría en el estudio de las simetrías de varios cuadriláteros a través de una serie de actividades sobre plantillas, tarjetas recortadas, plegándolas y moviéndolas.

Un segundo ejemplo de un objetivo de proceso es el desarrollo de la iniciativa en la resolución de problemas. Aquí un objetivo específico podría ser el de desarrollar en los alumnos la habilidad para formar hipótesis sobre las posibles soluciones del problema» basadas en la observación del modelo.

2. Objetivos actittuíinales

Como su nombre indica* tales objetivos se refieren a las actitudes del alumno, Unto hacia las matemáticas como de forma más general.

Un objetivo actitudinal de enorme importancia es el de animar a los alumnos a desarrollar un interés en, y una simpatía hacia, las matemáticas. (¡Suele resultar obvio si se ha conseguido tal objetivo!)

Otro objetivo actitudinal sería el de alentar a los alumnos a responsabilizarse de su propio trabajo matemático, valorando su corrección, por ejemplo.

J. Objetivos lie experiencia

Tales objetivos se encuentran a menudo asociados con actividades prácticas en las que el propósito esencial de la actividad es, simplemente, la experiencia a llevar a cabo. La construcción y coloreado de teselaciones interesantes o el trazado exacto de líneas envueltas por epicicloides tienen un fuerte contenido experiencia! —la producción de un dibujo exactamente, estéticamente agradable resulta ser un fin en sí mismo—. La inclusión de objetivos de experiencia puede conseguir incrementar el interés y hacer placenteras las matemáticas, contribuyendo así a crear unas actitudes positivas del alumno hacia la asignatura.

Los profesores en el aula tienen una escasa libertad para escoger objetivos amplios u otros mis detallados. Las restricciones surgen de varias maneras:

a) Un curso dirigido a una calificación externa tendrá unos objetivos matemáticos parcialmente especificados, al menos, por ia corporación que examine,

b) Los institutos de un área de autoridad educativa particular, o subgrupos de tales instituciones, pueden llevar i cabo un programa de matemáticas común con ciertos objetivos acordados, donde el consejero de matemáticas juegue un papel de coordinación.

c) El departamento de matemáticas de un instituto puede construir sus propios objetivos, tomando en cuenta, para los cursos de certificación, aquellos prescritos antes en a). Algunos cursos, especialmente para los menos capacitados, aun respondiendo a una calificación externa, contienen importantes elementos que se evalúan internamente y cuya naturaleza queda a discrección del instituto concreto.

Sin embargo, es importante que cada profesor de matemáticas tenga alguna libertad respecto de los objetivos, y alguna flexibilidad en su elección e interpretación.

Esta es una razón para confeccionar una lista de los objetivos deseables para un curso y para construir, ensenar y evaluar un curso satisfactorio de acuerdo con estos objetivos. Los siguientes puntos pueden ayudar a conseguirlo.

a) Los objetivos de un curso deben manifestarse claramente y listarse por separado. Esto es normalmente preferible a párrafos de prosa que se ocupan de una variedad de aspectos generales del curso.

O&jJTOVÚSENIA EDUCACIÓN DF I AS

MATEMÁTICAS EN SECUNDARÍA

b) La coincidencia enrre objetivos, hasta cierto punto 1.A ENSEÑA-NÍA OÍ. inevitable, debe redúcese al mínimo. Cada objetivo LAS MATEMÁTICAS debe identificar una meta separada, central del curso.

c) Al detallar los objetivos, debe pensarse en proporcionar el método para evaluarlos. Esto puede ser por una evaluación formal, por la producción de un trabajo práctico (por ejemplo, la construcción de un sólido geométrico), por la opinión subjetiva del profesor, o por otros medios (por ejemplo, un test de actitudes).

d) Los objetivos deben estar relacionados con la edad y habilidad de los grupos de alumnos. Algunos objetivos tienen una amplia aplicabilidad; por ejemplo, desarrollar el interés por la faceta estética de las matemáticas. Otros son más específicos para una edad y habilidad. Un objetivo referente a las destrezas vitales básicas es de mayor importancia para el menos capacitado, pero tendrá menos significado para muchos alumnos capaces. Los objetivos referentes a la aritmética social tienen más relevancia para los de dieciséis que para los de doce años.

Considerando los objetivos en educación matemática, es necesario conocer el lugar de las matemáticas en el curriculum escolar y la imagen que la asignatura tiene en las mentes de muchos alumnos y adultos. Para la mayoría de la gente la importancia de las matemáticas surge de su utilidad práctica y esto puede algunas veces estimular un interés general hacia !a asiguatura. Así, un objetivo en toda la enseñanza de las matemáticas debe ser el de ilustrar aplicaciones de matemáticas de tantas formas como sea posible.

Además» como discutimos en detalle en el Capítulo 2, muchos alumnos y adultos tienen sentimientos de tensión y miedo hacia las matemáticas —Ver, por ejemplo* el libro Do Yon Panic Abont MathtfK La naturaleza jerárquica y cargada de conceptos de las matemáticas contribuye a esta tensión. Una gran minoría de alumnos cometen fallos desmoralizadores con demasiada facilidad rcsukándoles difícil alcanzar el éxito. Una lista insatisfactoria de objetivos para la educación matemática puede tomar en cuenta, explícitamente, esta tensión y este miedo al fallo.

Ahora consideraremos nueve objetivos generales para las matemáticas de la enseñanza secundaria. Estos objetivos responden a los principales argumentos de la primera parte de este capítulo y también adelantan algunos de los temas de los capítulos que siguen. Alrededor de todos ellos se encuentra

1 tWixcoo.

OsjmvostNLA el objetivo fundamental de la enseñanza de las matemáticas t.0UCACtóN DE LAS —interesar a los alumnos en la asignatura, capacitarles para MATEMÁTICAS w desarrollar un gusto por ella y un sentido de su consecución,

SECUNDARIA a través del logro de todas sus capacidades para las matemáticas.

1. Mantenimiento de la continuidad

Cada etapa en el desarrollo matemático de los alumnos debe ser vista por el profesor y el alumno como un desarrollo coherente respecto a un trabajo previo. Durante mucho tiempo, este objetivo puede que no precise una atención específica. Un profesor que siga un esquema de trabajo bien construido según los niveles apropiados de dificultad de sus alumnos debe encontrar pocos problemas de continuidad sobre una base de trabajo semanal. Sin embargo, en ciertos puntos se presentan peligros evidentes. Esto ocurre, por ejemplo, en un cambio de curso y, en particular, con la transición desde la educación primaria a la secundaria. Para el alumno, este último cambio significa normalmente un cambio de centro y la aparición de profesores especialistas de matemáticas que pueden tener un conocimiento inadecuado dei curriculum de matemáticas en la escuela primaria. Mientras que en recientes años los aspectos social y psicológico de la transición primaria/secundaria han recibido una gran atención, y se ha generado una valiosa conexión entre ellas, mucho de lo que se encuentra actualmente en los programas de primer año de la educación secundaria no implica todavía una continuación bien planeada y un desarrollo del trabajo de años previos. Surgen en particular dos problemas.

1. Un nuevo tema introducido significativamente con gran entusiasmo por un profesor de matemáticas de secundaria puede, simplemente, ser una repetición de un trabajo ya realizado en la escuela primaria.

2. La introducción de un nuevo tema puede no haber sido construida sobre un trabajo previo. Los alumnos encontrarían así dificultades innecesarias al empegar su curso de enseñanza secundaria que, implicando una desconfianza en sus realizaciones, pueden tardar en remediarse-

La adopcióo de un esquema integrado (por ejemplo el Kent Mathematks Projeet1) que cubra tanto la primaria como

- Kent Af ademanes Projectt 1978. Ward tocK.

la secundaria puede ayudar considerablemente dentro de este contexto. Alternativamente, debe disponerse en la educación secundaria de registros detallados del trabajo realizado durante la primaria No existe, naturalmente, ningún sustituto a una coordinación a nivel personal: reuniones de profesores de primaria y secundaria en las que se discutan materias de interés mutuo que conciernan a la educación matemática de los alumnos. Sin embargo, esto requiere una organización cuidadosa y paciencia en todos los implicados.

Un proyecto reciente (1984-1985) en las escuelas de la Highland Región, Escocia, bajo los auspicios del Curriculum 10-14 Study, patrocinado por el Departamento Educativo de Escocia, señala la necesidad de una buena organización. Las escuelas de este tipo resultan inusuales en Escoda ya que los alumnos de esta escuela primaria comparten los mismos edificios que los de los dos primeros años de secundaria, así que ei posible una comunicación y coordinación excelentes. Se han organizado grupos de trabajo conjuntos de profesores de primaria y secundaria, y es solamente ahora, a pesar de la frecuente comunicación en el pasado entre materias generales de interés mutuo, cuando han comenzado discusiones detalladas sobre el curriculum en matemáticas.

También necesita prestarse una atención continua a la etapa posterior a Los dieciséis» particularmente para los alumnos que dejan el instituto para ingresar en la industria, el comercio o en alguna forma de educación superior. Tradictonalmentc, los que se integran en la universidad hap sido bien formados en los cursos académicos que estudiaban en el instituto* pero no puede decirse siempre lo mismo de los que entran en la industria y el comercio y estudian al tiempo que trabajan para la empresa, o para aquellos que directamente se matriculan en un curso libre en una institución

de enseñanza superior. La introducción del Plan de Acción 16-18 en Escocia, con

su enfoque modular y su* descriptores de módulo asociados, debe reducir la separación en la educación matemática entre los cursos escolares y los de la educación superior. Así como los profesores de primaria de las etapas superiores necesitan mirar hacia la educación secundaria, también los profesores de secundaria deben prestar atención a las demandas y requerimientos matemáticos de la industria, el comercio y la educación continua.

2, Desarrollo de la numeración

Mientras que este objetivo es importante para todos los alumnos, es mas significativo para los menos capacitado*. El

\7A DE ATOS

OBJ&TIVOS № LA 1DUC.ACIÓNDE LAS

MATEMÁTICAS EN"

SECUNDARA

informe del Comité Cockcroft, Mathernatics Counts^t no permite dudar de que la ignorancia numérica funcional es un problema real a todo lo largo de la sociedad; la cantidad de cursos sobre la numeración para adultos lo confirma. Puede que no sea posible precisar la cantidad mínima de habilidades matemáticas que se requieren en la vida diaria, pero el caso es que, ciertamente, muchos adultos no pueden contar adecuadamente, aunque, como las personas iletradas que siempre dicen haber perdido sus gafas, se recurre a métodos que lo disfrazan —por ejemplo, pagando siempre con una moneda o un billete excesivamente grande. La investigación en esta área no es extensa pero una publicación como Haz¿ Bnk is Basic* deja claro que existe una lista identiíicable de destrezas y conocimientos báúcot que pueden ser denominados de supervivencia matemática, principalmente relacionados con el dinero y e! tiempo. Los profesores deben estar seguros de que los alumnos más flojos encuentren la oportunidad de adquirir estas destrezas y conocimientos.

Es también importante que las destrezas sean desarrolladas en un contexto. Mientras que no se puede olvidar la práctica en el cálculo rutinario, resulta esencial que los alumnos sean capaces de aplicar tal cálculo a situaciones prácticas. La habilidad para usar una calculadora o para estimar respuestas es parte de la numeración»

Las dificultades en el trabajo numérico y rutinario no se reducen a los menos capacitados. En nuestro propio colegio los estudiantes, para una calificación en educación primaria» deben realizar un corto test aritmético al comienzo del curso* Las cuestiones, referentes las cuatro operaciones sobre números naturales, fracciones y decimales, son presentadas a un nivel de doce anos. Los resultados de tales tests revelan una serie de deficiencias. Las respuestas a un cálculo como 0,3 X 0,2 indican que la estimación del tamaño aproximado de la respuesta toroia sólo una pequeña parte del pensamiento de, a! menos, algunos alumnos. I-a división de fracciones es Nevada a cabo en un mediano número de casos por inversión de la primera fracción o de ambas fracciones, Respuestas correctas para un cálculo como 1/2 + 1/10 son alcanzados ocasión al men te a través de errores obvios. Ya que nuestros estudiantes están dentro del 10% de rango de habilidad total, dificultades como la arriba indicada se reflejan luego en su curso de matemáticas escolares.

En el Capítulo 6 estudiamos distintos aspectos de la numeración.

' Cockcroft. 4 Scottish Curriculum Development Service ISSO H<w Basic is Basici

Scottisch Curriculum Development Service. Dundee College of Education.

3, La reducción de dificultades específicas de aprendizaje La FNSESANZA DE LA$MAT£>lATIC¿5

Ya que este objetivo es el tema principal del libro, aquí simplemente mencionaremos que conlleva una consideración detallada de:

a) las causas de la dificultad en el aprendizaje (Capítulos 4 , 5 ) ,

b) el diagnóstico de evaluación (Capitulo 8), c) la prevención y el remedio (Capítulo 9), d) la utilización de recursos (Capítulos I I , 12).

4. La ejecución de actividades prácticas

El trabajo práctico en el nivel de secundaria es un aspecto importante de la enseñanza de las matemáticas que no siempre recibe la importancia que merece. Por el contrario, en las primeras etapas de la escuela primaria es una forma básica de adquisición de las ideas matemáticas. Existen varias razones para su menor importancia en la educación secundaria, como es la opinión de que las matemáticas son esencialmente una actividad descrita, la presión del tiempo sobre el programa» alguna resistencia de los alumnos mayores y un sentimiento de que la organización que se necesita es desproporcionada a los fines a conseguir. Un propósito del trabajo práctico es ayudar al desarrollo de la competencia y comprensión matemáticas. Los objetivos de proceso y experiencia de las actividades prácticas, como discutimos anteriormente en este capítulo, pueden dar a tal trabajo un grado de importancia en sí mismo que también es valorable. Consecuentemente» debe cuidarse la construcción de elementos prácticos en momentos apropiados de estos cursos disponiendo de los recursos necesarios —por ejemplo, instrumentos, aparatos y papel o tarjetas.

5, Desarrollo de la habilidad en resolución de problemas c Investigación

Una simple competencia en destrezas mecánicas es un resultado muy limitado del aprendizaje de las matemáticas, la resolución de problemas y las investigaciones, posiblemente relacionadas con actividades prácticas, ayudan a aplicar esas destrezas- Las posibilidades van desde puzzles simples a

-investigaciones a gran escala que requieran de los alumnos la obtención de datos, su organización en una forma ordenada,

20 h consideración de estrategias apropiadas para efectuar cálculos

OejíTivostNU aritméticos o manipulaciones algebraicas, y comunicar sus EDUCACIÓN DE LAS resultados con claridad.

MATEMÁTICAS EN Existen varias fuentes de ideas en cuanto a la resolución SECUNDARIA de problemas y las investigaciones, como por ejemplo:

Make is simpler: Meyer y Saüec*. A new Twist: Pedersen y Armbruster*. The Real World and Mathematics: Burkhardt 7. Aha! Insight; Gardner1*. Investigations in Mathematics Mottershead*. Solving Real Problems with Mathematics: Spodc G r o u p s SMILE Publications".

6- La comunicación rigurosa de las matemáticas

Se debe animar siempre a tos alumnos a usar con rigurosidad el vocabulario y la notación matemáticas. Esto puede, naturalmente, ser exagerado; por ejemplo, las llamadas «Nuevas Matemáticas» de los años 1960 y 1970 producían una proliferación de símbolos que confundían a los alumnos. Sin embargo, estos conocen, por ejemplo, la diferencia entre una ecuación, una fórmula y una expresión algebraica; es muy común en los exámenes del certificado, a los dieciséis años de edad, encontrar que un problema de cambio de disposición en una fórmula termina en algunos casos como simplificación de una expresión. De igual forma, en ei nivel más básico, es importante que los aluinos presenten su trabajo correctamente. Han de conocer que 7,60 libras es aceptable mientras que no lo es 7 t6 libras. Esto se discute con más detalle en el Capítulo 6. (Ver también el Capítulo 5, Sección 5).

El informe del Comité Cockcroft, Mathematics Counts:

exige que el aspecto comunicativo de las matemáticas sea una contribución clave para la utilidad de la asignatura. Por ejemplo, expone

Creemos que todas bs percepciones de la utilidad de las matemáticas surgen a partir del hecho de que las matemáticas

* Meyer, C. y Salice, T- 1983: Make it Simpler - A Practical GWV to Problem-Solving in Mathematics. Adduoa-Wesley.

^Pedersen, J. J. y Armbruiter, F- O., 1979: A New Twist * Developing Arithmetic Skilh Through Problem-Solving Adoison-Wesley.

? Burkhardt, H. 1981: The Real l£Vtó and Mathematics. Bbttie. 4 Gardner, M. 1978: Ahal insight. W. H. Freeman. [En castellano:

*[№piración jajaJ* Labor, Barcelona, 1985.] 9 Mocrersbead* L. 1985: Investigations in Mathematics. Blackwell.

10 The Spode Group 1981; Solving Real Problemi With Mathematics. Vols 1, 2. Granfwld Press.

« Inner London Educational Authority. SMILE Pablicationi* ILEA.

proveen un medio de comunicación poderoso, conciso y no ambiguo.

Este valor comunicativo no se reduce al uso de la notación matemática formal de la aritmética y el álgebra. También incluye la comunicación por medio de tablas, mapas, gráficos, diagramas, cuadros y dibujos.

Debe ser, por tanto, un objetivo de las matemáticos escolares que capacite a ios alumnos para interpretar y comunicar información en cualquiera de las forma* anteriores.

7. Utilización de (as matemática* en otras asignaturas

Otros departamentos escolares necesitan del conocimiento y habilidad matemáticos de los alumnos. Los profesores de matemáticas tienen que tener en cuenta estas demandas en sus programas de enseñanza. Esto se expone en detalle en el Capitulo 7,

8. Mejora de los niños más capaces

Las aptitudes de los niños mis capacitados requieren alguna atención especial tanto en contenido como en interés hacia las matemáticas —los ejercicios extra no son la única respuesta. Los profesores deben tener disponible un archivo de investigaciones y proyectos, donde se pueda escoger el nivel de dificultad según lo necesario. El valor de muchas investigaciones es que pueden ser abordadas desde una variedad de niveles. Donde un alumno menos capaz puede simplemente verificar un resultado en un número limitado de casos, un alumno hábil puede facilitar una demostración completa algebraica o geométrica.

9. Desarrollo de aspectos recreativo* y estéticos de las matemáticas

Las matemáticas pueden ser consideradas como una ocupación con sus propias razones y no simplemente como una herramienta vital en otras áreas de estudio. Esto debe reflejarse en los programas de trabajo de los alumnos. Los cursos de matemáticas deben incluir, explícitamente, elementos estéticos y recreativos, que no necesitan presentarse de forma

- separada sino integrándoles en las secciones usuales de un programa. En tales actividades, como en el trabajo práctico en general, ios ob|etivos de proceso y experiencia son al

Ow-TivosiNU menos un importantes como los objetivos de competencia. iWa¿X*itxix> Tcselaooncs coloreadas atractivamente puden ser un fin en sí

uATFiLíjiCASfN mismas y una forma de discutir y apreciar hechos geométricos. SECUNDARIA Mucho trabajo recreativo puede proporcionar una práctica

sustancial en el trabajo numérico —por ejemplo, la conjetura de Goldbach de que cada número excepto el 2 es Ja suma de dos primos, Existen muchos juegos publicados comerciaJmente, los mejores de los cuales combinan el interés, la diversión y el descubrimiento, con la práctica en las matemáticas.

Este conjunto de nueve objetivos no constituye una lisia completa y cxhuastiva. Sin embargo, proporciona un esquema básico en el que otros objetivos (alguno de los cuales se han indicado al comienzo del capítulo) pueden ser desarrollados. Los cursos que prestan atención al desarrollo de los objetivos que se han mencionado son probablemente cursos en los que se da un aprendizaje efectivo y que parecen interesantes y agradables para los alumnos.

CAPÍTULO 2

Actitudes del alumno hacia las Matemáticas

Como se mencionó en el Capiculo I, es obvio que a muchos estudiantes, incluyendo algunos de los más capacitados, no les gustan las matemáticas. Esta aversión, tanto en adultos como en estudiantes, esta a menudo relacionada con la ansiedad y eí miedo.

Tales actitudes negativas tienen diversos orígenes de los cuales los cinco siguientes son quizá los de mayor importancia:

% Percepciones generales y actitudes hacia las matemáticas que son transmitidas a los niños.

2* La presentación de las matemáticas en el aula. 3. Las actitudes de los profesores de matemáticas hacia

sus alumnos. 4. La naturaleza del pensamiento matemático. 5. La forma escrita de las matemáticas.

A las últimas dos se les prestará atención en los Capítulos 5 y 6- Nosotros empezaremos considerando la primera, es decir, las Opiniones acerca de las matemáticas arraigadas en el público en general.

Laurie Buxton, en su libro Do You Panic About Mathsf** p. 115, cita las siguientes creencias acerca de h naturaleza de las matemáticas como típicas de la perspectiva general de la asignatura Ы como es transmitida de padres a hijos-

«Las matemáticas son:

L fijas, inmutables, externas, intratables, irreales; 2. abstractas y no relacionadas con la realidad; 3. un misterio accesible a pocos; 4. una colección de reglas y hechos que deben ser recor

dados; 5. una ofensa al sentido común en algunas de bs cosas

que asegura;

Bu x con. 25

6. un área en la que se harán juicios, no sólo sobre el UFNSESANZADL intelecto, sino sobre la valía personal; LAS MATEMÁTICAS

7. se refiere sobre todo al cálculo*.

Uno puede añadir a éstas que las matemáticas:

8. son una asignatura en la que las opiniones y puntos de vista personales no tienen importancia;

9. están llenas de xs e ys y fórmulas incomprensibles.

Esta es una perspectiva externa a las matemáticas- Trata la asignatura como si fuera un territorio desconocido en el que uno se aventura sin un mapa y sólo con unas pocas herramientas rudimentarias. En tales circunstancias» no es sorprendente que surgan la ansiedad y el miedo. (El informe en 1982 de Hoyles, *Thc pupil's view of learning mathema-lics**, contiene evidencia adicional sobre tales actitudes).

Otra opinión o punto de vista generalizados a nivel nacional es que los profesores de matemáticas son «áridos como el polvo*, sarcásticos e impacientes. La televisión y las películas (particularmente las comedias) perpetúan tales estereotipos: las pizarras están llenas de complicadas expresiones y fórmulas algebraicas, cálculos aritméticos o el teorema de Picágoras: el profesor es estirado, didáctico y desdeña a aquellos incapaces de hacer el trabajo. La imagen está lejos de ser halagüeña. Naturalmente, existe una presentación alternativa, normalmente en la televisión educativa: el niño trabaja en grupos felizmente; existen lotes de materiales brillantemente coloreados; las paredes están cubiertas con matemáticas visuales interesantes; tan joven vestido casualmente como un profesor se mueve entre los grupos hablando tranquila e interesadamente con los alumnos; todos trabajan resueltamente. Es una de las imágenes preferidas, aunque en h práctica no es tan fácil de obtener.

Sin embargo, en los institutos de secundaria a menudo predomina el punto de vista nacional- Este no surge de cualquier manera; representa alguna realidad común percibida por una gran parte de la población. Es más, esta perspectiva tiende a confirmarse a si misma; aquellos elementos que lo conforman reciben un énfasis y una importancia excesivas mientras que otros elementos son suprimidos o ignorados. La gente tiende a recordar todas las xs e ys, los cálculos aritméticos, el teorema de Pitágoras y cualquier detecto temperamental de sus profesores y olvida otros aspectos de su experiencia matemática.

1 Hoyles C 1982: The pupiTs ww of líammg maibtínidcs. Edncational Stuáies m MtdxmtikBt 13 (4), 349-372.

AcmuDPSDEL La presentación de las matemáticas en el aula tiene, ALUMNO HACIA LAS obviamente, una gran importancia en las actitudes del alumno.

МАТШ/TICAS Los alumnos que esperan recordar y aplicar reglas separadas de su significado o experiencia olvidarán rápidamente las justificaciones de dichas reglas (o las regias mismas) y verán las matemáticas como si estuvieran dominadas por reglas. Tratarán a las matemáticas como incomprensibles estable* ciéndose un bloqueo psicológico.

Un alumno puede no intentar entender o llevar a cabo actividades que le conduzcan д Ja comprensión porque esté convencido de que, sea cualquiera la tarea que se le de, él no la entenderá. Cree entonces que está haciendo un esfuerzo vano y se detiene. Una vez que ha sucedido esto, en algunos casos en la escuela primaria, el material mas cuidadoso puede inicialmente ponerse a prueba sin éxito, y será necesaria una considerable atención por parte del profesor antes de hacer cualquier progreso.

El dominio de las reglas es e! principal ingrediente en el sentimiento de pánico que pueden provocar las matemáticas; si la regla apropiada no es conocida, entonces no se puede hacer nada- Las reglas mismas pueden ser vistas como una emanación de una autoridad remota más allá de su alcance. Además, las reglas pueden cambiar sin razón aparente creciendo asi la incertidumbre. El estado mental de Joseph К en la novela de Kafka The Triol* es el mejor reflejo de las emociones que experimenta mucha gente hacia las matemáti-cas.

Tomemos un ejemplo específico. En una suma Ы como 3 1/2 + 2 1/4, un niño puede aceptar la regla «Sumar los números enteros y sumar las fracciones». El profesor desaprueba la conversión a la forma de fracción impropia, 7/2 + 9/4, por las dificultades que surgirían con los cálculos de grandes números tales como 136 1/3 + 247 3/5. Más tarde se llega a ¡a multiplicación y entonces, inexplicablemente, todo cambia. Para multiplicar dos números mixtos se multiplican separadamente los números enteros y las fracciones, por ejemplo 3 1 / 2 X 2 1/4 == 6 1/8, lo que es equivocado, insisriéndose en la conversión a la forma de fracción pura, 7/2 X 9/4. Esta es precisamente la clase de situación que encuentra Joseph K.

Alguna gente no intenta emplear el sentido común en los problemas numéricos. La aparición de números es suficiente para provocar c! pánico. Para esta gente, una calculadora es de poca ayuda porque sus sentimientos de pánico le impiden usarla de una forma adecuada.

> Kafka, К 1980: ТЬс trU Picador.

Por ejemplo» consideremos el siguiente problema: LA ENSEÑANZA t* h- i I X vende en dos tamaños —normal y económico. Í-ASuArauTXA*

Fl tamaño normal pesa 630 gramos y cuesta 1,41 libras. El tamaño económico pesa 1650 gramos y cuesta 3,04 libras. ¿Cuánto te ahorras en cada kilo si compras el tamaño económico en vez del normad*

ti niño o el adulto que se enfrenta a este problema ve dos sumas de dinero y tres pesos, requiriéndose la suma, resta, multiplicación y división. La persona dominada por las reglas, no conociendo ninguna para enfrentarse a este problema, se siente falto de ayuda. Si intenta una solución no tiene ninguna idea de cuál debe ser una respuesta razonable, y eso que no es ninguna situación abstrusa, sino una situación cotidiana de un supermercado.

Otro aspecto del dominio de las reglas es que el simbo lismo, en particular el del álgebra, puede parecer que tiene vida propia. Muchos niños y adultos ven una expresión o ecuación algebraica como un ente misterioso divorciado de cualquier clase de realidad, y su manipulación resulta igualmente incomprensible. Ninguna persona razonable debe escribir

2(x + y) = 2x + y

y lin embargo es un error muy común* La amplia confusión entre 2x y x2 es otro. Parece que los símbolos algebraicos tienen una existencia inaccesible para una mente racional, de forma que su apariencia visual resulta ser el factor dominante en su uso. Por ejemplo, el error no tan común de escribir 3x — x = 3 puede ser el resultado de ver 3x y quitarle físicamente la x. Al final de! capítulo volveremos sobre este punto.

Una forma diferente en que niños y adultos, ven las matemática* como amenazantes es que el éxito o el fallo aparecen claramente separados. En particular, el fallo es manifiestamente obvio. Los exámenes de matemáticas son únicos quizá para exámenes, los candidatos encuentran algo que escribir para obtener un 0% o un 100%. En muchos otros una- cierta nota. La naturaleza de blanco*o-negro de las matemáticas puede causar mucha ansiedad. Por añadidura, hay poco lugar para las expresiones personales en matemáticas. Esta supresión del aspecto humano puede también provocar la sensación de esas tuerzas impersonales a las que nos referimos antes, sobre las cuales no se tiene control y que ignoran la creatividad y la individualidad de cada uno. Este último puoto es convenientemente enfatizado porque está detrás de mucho de lo que ya ha sido discutido. Las matemáticas se ven ausentes de cualquier clase de creatividad

ACTITUDES DCI o de iniciativa personal. Es simplemente así —fría, reservada, ALUUVÚ HACIA LAS independiente de lo humano. Los profesores de matemáticas

iMTiwaic i s contribuyen a esta perspectiva de tas matemáticas, que resalta su independencia emocional, su impersonalidad y su permanencia.

En un intento de hacer las matemáticas más aceptables» mucha gente bien intencionada trata de simplificar la asignatura, sugiriendo que es realmente fácil si sólo se pone menos énfasis en las nociones de acierto y error, tanto en el uso riguroso de la notación simbólica como trabajando cu términos abstractos. Su consejo es el de dejar al niño trabajar sobre problemas que no tengan una única respuesta acertada, olvidar la notación matemática habitual y trabajar principalmente con materiales concretos. El niño, sin embargo, ve esto fácilmente desde el principio. Pronto se siente lejos de ello. Es el equivalente de -Si estás inquieto porque no puedes m o n t a r en bicicleta, los triciclos son más fáciles y tú no puedes caerte», cuando lo que el niño realmente necesita es aprender a montar en bicicleta. Las dificultades están hechas para desaparecer aunque pretendamos que no existen. Es la salida más fácil.

Las matemáticas son abstractas, lo que requiere un pensamiento claro y una notación formal; los problemas expuestos con precisión tienen respuestas precisas. En cualquier intento de negociar con las opiniones de los alumnos sobre sus actitudes hacia la asignatura, y con sus dificultades de aprendizaje, estas molestias deben ser abordadas con firmeza.

Una forma de mejorar bs opiniones sobre las matemática* en las mentes del alumnado es la de poner una atención positiva sobre (a) el aspecto creativo de la asignatura y (b) su desarrollo a través del esfuerzo humano.

El esfuerzo humano está conectado con la creatividad. Es un aspecto de discusión filosófica si las matemáticas son creadas o descubiertas, pero en cualquier caso el esfuerzo hu mano es necesario. Sin embargo, la relación entre el descubrimiento y la creación es digna de ser examinada con más de> talle.

Para tomar un ejemplo no matemático, se puede decir que la catedral de San Pablo fué creada por Sir Christopher Wren mientras que Colón descubrió las Indias del Oeste. Asimismo, se puede afirmar que Constable creó sus pinturas de East Anglia, pero que Herschel descubrió el planeta Urano. La diferencia en estos casos entre creación y descubrimiento es que el explorador o astrónomo no toman parte en la existencia de lo que han descubierto, mientras que el arquitecto o el pintor están directamente implicados en la existencia del edificio o la obra de arxe. Ambas empresas —descubrimiento y creación— envuelven deseos y propósitos

humanos; son activos, no pasivos. Si nos fijamos en las UFSSFSANTAM matemáticas para colocarlas en una u otra categoría, su IAS MATEMÁTICAS característica esencial debe ser la actividad.

En matemáticas, de todas formas, la distinción entre descubrimiento y creación es imprecisa. Ya que los entes matemáticos y los teoremas son abstractos y no tienen existencia física, ¿en que sentido puede decirse que exista anees de que alguien lo invente, describa, desarrolle o lo pruebe? Una pintura tiene una existencia potencial; cada disposición del color es teóricamente posible pero se ha de ser un maestro para producir una pintura sobre el lienzo. De igual modo, se ha de ser un buen matemático para afirmar y probar un teorema importante. La creación implica el descubrimiento; el descubrimiento requiere de una iniciativa creativa.

Si se tiene una firme creencia en que las matemáticas tienen una existencia independiente dei pensamiento humano, se ha de reconocer aún más que la conciencia de esta existencia requiere un impulso creativo. Así, la introducción y la importancia dada a la noción de creatividad en matemáticas pone su atención en un componente esencial de todo desarrollo matemático. El libro Tbe Matematical Experience* de Davis y Hersch, se extiende sobre el tema y debe interesar a todos los profesores de matemáticas-

A menudo se defiende que para los escolares, y en particular para los que aprenden lentamente, esta tarea de la creatividad es irrelevante; no todos los alumnos son capaces de actuar de esta forma, o si es así, ninguno ha sido descubierto desde hace mucho tiempo. Sin embargo, esto confunde el proceso o actividad con el resultado. Un resultado descubierto/creado, o un problema resuelto, para uno que no lo conoce es como si lo hubiera descubierto/creado o resuelto él mismo aunque haya alguien que haya recorrido anees este camino. Es el sentimiento de haber realizado esta tarea, de haber conseguido algo por sí mismo, y es este sentido del logro lo que le aparta de una cadena que va desde el miedo y el pánico hasta el distanc i amiento. Es por ello algo que debe favorecerse y alentarse.

Ün uso eficiente, exacto de las regias y algoritmos puede también ayudar a desarrollar un sentido de logro y proporcionar confianza. Muchos niños se satisfacen a partir de la repetición de ejercicios correctamente realizados al usar la misma regla o reglas. Esta, sin embargo, puede ser una confianza superficial y de corta duración, fácilmente destruida al encontrar problemas en fos que ta regla no sea inmediata-

2 Davis, R. y Hersch. R. 1981: The Mathemaúeal Exptncnce. Pcaguiíi.

AcimüFSOiL mente aplicable. De donde se puede deducir que algunos AI i/HtJO HACIA LAS puntos de vista de las matemáticas causan inseguridad.

ALtrtjiATrcfts La práctica de reglas, como dijimos en el Capítulo I, debe tener propósitos más allá de la simple eficacia en la realización. El entrenamiento en cricket o el ejercicio musical con los dedos nunca son un fin en sí mismos. Existen unos prerrequisitos para tomar parte en un partido de cricket o para tocar piezas de música. Los profesores de música que enseñan sólo ejercicios mecánicos probablemente no tengan muchos alumnos. Así, las aplicaciones de las matemáticas deben tener su importancia en el aula. Ha de ser un objetivo general de cada profesor de matemáticas establecer en el pensamiento de sus alumnos una relación entre los aspectos creativo, algorítmico y aplicado de las matemáticas de forma que cada uno soporte y complemente a los otros.

Esta relación puede ser ilustrada considerando el segundo aspecto del camino mencionado antes con el que mejorar las opiniones del alumno hacia las matemáticas —su desarrollo a través del esfuerzo humano. En esta conexión el trabajo del filósofo Lakatos es digno de estudio. En Proofs and Refuta-tiom* defiende que ias matemáticas se desarrollan a través de intentos de generalización a partir de un análisis lógico. Uno de los problemas usados por Lakatos para desarrollar su tesis trata de la fórmula de Euler para cierto poliedro, V — E + P = 2 (donde V es el número de vértices, E el numero de ejes y F el número de caras). El problema consiste en explicar la distinción entre los poliedros para los que la fórmula se cumple y para los que no se cumple.

Un segundo ejemplo de la tesis de Lakatos es el desarrollo de geometrías no euclídeas. Esto surge como una consecuencia directa de los intentos de explicar el axioma de las paralelas de la geometría euclidiana sobre la base de los hechos más simples. Un interesante desarrollo de esto en el aula a un nivel elemental se encuentra en el folleto Alternatk>e Geome* trie&~

En un nivel más avanzado, muchos conceptos habituales del álgebra moderna tienen su origen en los intentos de explicar por qué la ecuación xn + y* = & {donde x, y, z son enteros y n es un número natural), tiene únicamente soluciones triviales cuando ni 3. (Una relación de este problema aún irresuelto ptiedc encontrarse en el libro Fermat*s Lase Theorem^ H. Edwards', en particular el Capítulo 4).

5 UkatO), I. 1976: Proofs and Refutations. CUP[En castelbno: *Prutbat y refutaciooes*. Alunfca, Madrid, 1978].

* Leapfrog Mathematics 1981: Alternative Geomttrtt** Tarquin. 7 Edwards, H. 1977: Ferrnax's Last Theorem Springer.

A través de este proceso de intentos sucesivos de explica- Ü ENSEÑANZA DE ción, surgen las definiciones significativas y quedan claros los LASIUIIUAÍK» conceptos estructurales importantes. Paralela mente se desarrollan las notaciones apropiadas, los algoritmos y los métodos técnicos.

Las matemática*, sin embargo, son normalmente presentadas para que se aprendan en una forma final, pulida, sin referencia a su desarrollo histórico» y consecuentemente pueden parecer sin motivos y arbitrarias. Decir esto no significa ser partidario de li enseñanza de las matemáticas escolares a través de sus orígenes históricos, sino que los profesores han de tomar conciencia de que tales orígenes dan la oportunidad de introducir aspectos históricos en puntos apropiados. Libros tales como Aten of Mathcmatiat de E. T. Bell* o History of Maíhematks, de C Boyer* contienen muchos detalles inreresantes sobre el tiempo, la vida y el trabajo de los matemáticos mejor conocidos de b historia.

El desarrollo de la notación matemática es otro tema digno de que se le preste atención en el nivel escolar. La notación moderna es el producto de muchos años o siglos de refinamiento. Los alumnos deben saber que notaciones como ?* para 2 multiplicado por x, o 3/4 para la fracción tres cuartos, o ^ para la división, no ocurren repentinamente por inspiración divina, sino que son el resultado de una decisión humana. La forma de la notación es dictada por su utilidad y conveniencia, así como por analogta, y no, como muchos alumnos piensan, ¡por alguna prescripción inmutable en el diseño del universo!

Nuestro uso aceptado de la base diez en la representación de los números es fortuita y desafortunada —fortuita porque es difícil de creer que un proceso de evolución en humanos que tienen cinco dedos en cada mano hjya terminado con una representación mental de diez, y desafortunada porque diez tiene sólo como factores propios al dos y al cinco, de manera que reproducir uní simple fracción como un tercio no puede representarse de forma finita en el sistema decimal. A este respecto, el sistema en base doce o duodecimal seria preferible* En dicho sistema tendríamos 1/3 - 0,4, 1/4 = 0 r3, 1/6 — 0,2. Sin embargo, los hechos básicos de la suma y la multiplicación serían mis numerosos y, por esta y otras razones, la causa duodecimal para la relorma de la representación numérica se ve condenada*

Una simple cuestión como ¡a definición de un número primo puede ser utilizada con alumnos competentes para

* Bell, E T my Mtn o/ Afoftautin. Vots. I, II. Pmgwr •Boyer, C 1968: Hiítory of Mxthrmatitu \Fiky [En castellano;

«Historia de la Mztctnaika*. Alianza, Madrid, 1986].

ArmUDMou ilustrar la conveniencia de las definiciones. Se está general •lOUNOHACMiA* mente de acuerdo en que el I no es un número primo.

UATTMATICAS aunque cumpla el criterio de que no tenga mis divisores que el mismo y la unidad. ¿Por qué no es considerado el 1 como un númeio primo? Básicamente, porque ello causa inconvenientes o dificultades en la exposición de muchos resultados concernientes a números primos. Por ejemplo, e] resultado «Si p es primo y es un factor del producto a.b de números naturales, entonces p es un factor de a o es un factor de b» queda sin sentido cuando se aplica al L Además el resultado -Cada número natural excepto el 1 puede ser factorizado de manera única (aparte del orden de los factores) como un producto de primos* es falso si se admite que el 1 sea primo. Así que es preferible excluir al 1 de la lisra de primos.

A través de ilustraciones como éstas, los alumnos pueden apreciar mejor el elemento humano en las matemáticas, y darse cuenta de la importante parte jugada por b iniciativa y ta decisión humanas.

Volvemos a otros aspectos de ta presentación de las matemáticas en el aula que pueden causar ansiedad y disgusto: la necesidad aparente de velocidad. En la práctica, muchos cálculos en la vida adulta pueden ser realizados lentamente o, si la velocidad es esencial, a través del uso de la calculadora. A menudo trabajar en matemáticas lleva su tiempo, evaluar etapas cuidadosamente y hacer lentos progresos. Muchos alumnos lo ignoran. Los matemáticos, se piensa habitualmente. son pensadores rápidos, exactos, que hacen las cosas bien la primera vez. Es solamente un aspecto de su imagen. La historia de las matemáticas nos cuenta una historia diferente, con ejemplos de ideas erróneas, pistas falsas, trticos equivocados, errores de planificación, e incapacidad para ver que» poi otro lado, las cosas se verían con facilidad, Los alumnos deben estar despiertos ante este otro lado y deben ser conducidos a interesarse en problemas y cálculos que puedan trabajar como si fueran pasatiempos*

En el aula de matemáticas un argumento favorable a la velocidad es el periodo de recreo. Un transcurso lento del trabajo significará que se repartirán pocos cálculos y problemas. Esto significará menos práctica y, consecuentemente» peores resultados. Sin embargo, los exámenes de matemáticas» en particular los exámenes a nivel nacional, requieren una componente de velocidad. Así, el ir más deprisa no es meramente un capricho de los profesores de matemáticas. Para lo^ alumnos lentos, que tienen en general un nivel bajo de realización, el círculo vicioso de descenso en la realización aludido antes puede presentarse fácilmente. Uo método de disminuir el problema de ia velocidad es el de colocar a los alumnos lentos en un grupo aparte, trabajando a un ritmo

mal lento, con un programa restringido a sus necesidades y UBBE£A5CZAW al tiempo disponible. Naturalmente, esta solución tiene el L\¿MATEMÁTICAS efecto de identificar a los alumnos lentos en virtud de su pertenencia a dichos grupos, lo que puede constituir una ra/ón social indeseable. La separación puede también resultar en una declinación de los resultados ya que no existen alumnos capacitados en el grupo que les sirvan de referencia. Sin embargo, la no separación puede fácilmente tener por rebultado que en una clase de matemáticas donde se mezclen las habilidades un profesor pueda (quizá inconscientemente) darse por vencido cansándose de los menos capacitados. Tan pronto como no constituyan una molestia, tan pronto como ellos hagan algo, siquiera poco, uno puede verse libre para concentrarse en los alumnos más capacitados en matemáticas. De esta forma las realizaciones de los alumnos y sus actitudes hacia las matemáticas pueden ser influenciadas por la organización de la clase, una cuestión discutida más adelante en el Capítulo 4.

La necesidad de velocidad, sentida a lo largo de un aula de matemáticas (ver, por ejemplo. Do You Panic Abata Miitlxmaucs o «The puptl's view of learning mathtmatics*), puede tener una marcada influencia en las opiniones del alumnado sobre sus profesores de matemáticas — una cuestión abordada al comienzo de este capítulo. Muchos alumnos ven a los profesores de matemáticas como de poco humor, impacientes ante las lentas respuestas a las preguntas, y esperando una atención total, un recuerdo instantáneo y relevante. La información es dada de forma compacta y sin paja; no se da el tiempo adecuado para que las ideas que flotan en una nube de generalización y ejemplifitatión se implanten en la mente de los alumnos. Muchos profesores de matemáticas dañarán, al alumno, si responden a esta descripción. Debe recordarse, sin embargo, que la impresión que uno piensa que está dando y la impresión real recibida por los otros puede ser muy diferente. Naturalmente, se puede defender que el enfoque anterior está en general de acuerdo con la naturaleza de las matemáticas, que es concisa, precisa y densa en pensamiento y lenguaie. Con todo, estas características de los profesores de matemáticas cal como es percibida por los alumnos no da una imagen muy buena de las matemáticas.

La intolerancia hacia la lentitud, algunas veces aliada con el sarcasmo, no es la única prerrogativa de los profesores de matemáticas, pero de algún modo en la opinión pública estas cualidades se han venido asociando a los profesores de matemáticas y de ahí que se identifiquen con la misma asignatura. Nadie que desee dar valor a las matemáticas en el proceso educativo puede dejar de estar profundamente pre-

Acirri/DFSDfciL ocupado ante este estado de cosas. Parte de la dificultad es ALUMNO HACIA LAS que otras asignaturas poseen mayor calidez emocional por sí

MATEMÁTICA* mismas o tienen un impacto más inmediato en los intereses del alumno, lo que puede ayudar a superar la posible frialdad en la actitud de un profesor. F.n contraste, la enseñanza de las matemáticas requiere una relación emocional positiva entre el profesor y los alumnos difícil a veces de conseguir. Por ello la consecución de una atmósfera de amistad debe ser la primera prioridad.

Otra forma en que los profesores de matemáticas pueden despertar en sus alumnos el gusto por las matemáticas es la de demostrar un interés personal real hacia la asignatura.

Los profesores de inglés leen libros, asisten, producen y/o actúan en obras de teatro; los profesores de música acuden a obras musicales y/o actúan en coros y orquestas; los profesores de historia o geografía visitan lugares de interés hiitórico o geográfico. Si un profesor de matemáticas da a sus alumnos l,i impresión de no haber abierto nunca un libro de inateraá ticas (además de los textos escolares) desde que dejó la universidad, de no tener ningún libro personal de matemáticas y no tener demasiado interés en los resultados matemáticas, entonces no sorprenderá si los alumnos también fallan en interesarse por la asignatura. Para dicho profesor resulta fácil crear una atmósfera pobre de aprendizaje en su aula y animar actitudes negativas hacia las matemáticas.

A partir de la discusión anterior, surgen cuatro cualidades necesarias para los buenos profesores de matemáticas (Ver también el Capítulo 3, Sección 7). Pueden ser formuladas como sigue;

1. Cultivan con sus alumnos relaciones de ánimo y de calidez emocional. El ánimo es difícilmente sobrevalo-rado.

2. Insisten en interesar y comprometerse en las matemáticas,

У, Buscan desarrollar las realizaciones propias en los alumnos a través de un modelo de actividades en que tales realizaciones sean posibles.

4. Discuten de matemáticas con sus alumnos antes que transmitirlas simplemente, de forma que estos pueden distinguir enere un hecho matemático y la conveniencia y práctica notacionalcs y. mis generalmente, consiguen uo mayor conocimiento de los procesos de desarrollo matemático.

Mientras los profesores con estas cualidades no sean capaces de construir una actitud positiva hacia la asignatura, y conseguir desvanecer en gran medida la ansiedad y el

pinico de na alumnos hacia las matemáticas, no H puede 1.A ENSEÑANZA PE esperar que todos ellos sientan un interés real y duradero. Ú&iUttBlfiKM Para muchos alumnos, las matemáticas no serán más que una asignatura útil, y para mucho* más jugará una pequeña parte en su vida adulta aparte de los cálculos rutinarios de la existencia normal. Sin embargo, esto no resta importancia al cultivo del entendimiento y de la realización propia de las matemáticas en el instituto. La educación matemática debe tener propósitos más amplios que la habilidad en las mate-máticas mismas.

La historia de Linda contada por David Kent en «Linda's ítory* l c es digna de leerse- Linda, aunque no era una niña poco inteligente, fallaba en el instituto, se apartaba de la educación en general y de las matemáticas en particular» que tanto ella como sus amigos encontraban aburridas en extremo. Kent intentó introducirla en aspectos más interesantes de las matemáticas compartiendo su propio entusiasmo hacia hs matemáticas con ella. Aunque no lo conseguía plenamente, Linda constataba que las matemáticas, sin llegar a ser nunca realmente interesantes para ella, era un área de actividad humana en la cual se podía desarrollar un entusiasmo real, si no pasión- Como consecuencia, observaba que algo en su propia vida podía cumplir el mismo papel, con el resultado de que llegó a convertirse en enfermera.

La moraleja que se dibuja a partir de esto es que cada profesor debe ocuparse en la educación general del niño tanto como en el desarrollo de habilidades específicas de su asignatura. En particular, la educación matemática, abordada con propiedad, puede ser un vehículo para el fomento de la iniciativa, independencia y confianza en si mismo para los alumnos de cualquier nivel de habilidad. El desarrollo de escás cualidades debe ser una meta general para todos los profesores de matemáticas.

4

36 1 C Kent, D. 1978: LINDA1* txwy. Mathemáüa 7*<¿tt% 8 ) , 111*935,

CAPIYUVO 3

Algunos temas de investigación

En un libro que se refiere a las dificultades de aprendizaje resulta apropiado considerar la naturaleza de los procesos de aprendizaje y conocimiento tal como los revela ¡a investigación.

Tradicionalmente, tales estudios e investigaciones no tienen un notable efecto sobre las aulas de matemáticas de la educación secundaría, en las que la norma es un enfoque pragmático y con los pies en la rierra. Existen diversas razones para esto.

1. La sociedad en general, y los negocios y la industria en particular, tanto como la educación universitaria, tienden a subrayar el aspecto del conocimiento en matemáticas. Su preocupación principal es aquello que c: alumno, a! dejar el instituto, conozca y pueda realizar. Done este punto de vista, los fines son más importantes que los medios.

2. El trabajo de investigación se escribe y publica, a menudo, en términos que no son siempre comprensibles para los que no son especialistas en psicología educativa y en la teoría de la educación matemática. El estilo global de los libros y las revistas, así como el vocabulario técnico empleado pueden conducir a un sentid miento de lejanía respecto al aula típica de secundaria. A partir de ello, se concluye fácilmente en una sensación de irrelcvancia.

3. La investigación no aporta un cuadro cíaro de los procesos de aprendizaje y conocimiento- Produce fogonazos ocasionales con los que ilumina pequeñas áreas aquí y allá sin revelar las conexiones estructurales

4. Se tiende al partidismo en la investigación educativa, de forma que en un momento determinado algunas líneas de investigación se ven más favorecidas que otras. Esto puede animar un cierto sentimiento de cinismo en ¡os profesores con consecuencias desafortu» nadas, en general, para los descubrimientos de la investigación.

5. Algunos de los principales investigadores implicados UtM^WAOe no son matemáticos o educadores matemáticos. Hay L.Ü HATÍMÍTICAS

psicólogos con una fuerza considerable en la teoría general del desarrollo cognitivo pero sin la sensibilidad hacia las matemáticas que sólo puede brindar el trabajo desarrollado en la asignatura misma*

A pesar de estas razones, resulta un ejercicio útil rl considerar algunos de los temas principales a los que han prestado su atención los teóricos del aprendizaje y los educadores matemáticos. Haciendo esto, sin embargo» inten taremos tener siempre en mente la segunda de las cinco ra2uncs anteriores para d abandono que luce el aula de m investigación —el sentido de incomprensión y/o irrelcvancia que el estilo general de la investigación y el vocabulario (jerga) técnico pueden provocar en el profesor con varias clases numerosas por día. Aunque no podemos esperar a este respecto un ¿xito completo, hemos tratado de aseguramos de que las ideas aparezcan expresadas y ejemplificadas clara y simplemente y que el vocabulario técnico se reduzca al mínimo. Donde se emplean términos tóenicos nos hemos tomado la molestia de explicarlos extensamente. Reconocemos, sin embargo, que a muchos lectores el contenido de este capitulo no les será de un uso inmediato. Tales lectores pueden preterir leer el último punto u omitirlo enteramente.

Por conveniencia, los temas que consideramos se han dividido en ocho clases como sigue:

1. El enfoque evolutivo - Piaget, 2. Jerarquía de aprendizaie y análisis de tareas Gagné. 3. Las ideas de Case, 4. El enfoque estmeturalista - Bruner y Diencs. 5. Modos de entendimiento - Skemp. 6. Teoría de la Guestalt, 7. Constructivismo. 8. Procesamiento de información.

i "En algunos casos nuestra exposición partirá de los libros y artículos de investigación citados en las referencias. Los lectores que deseen entrar en detalle sobre alguno de los temas discutidos o quieran estudiar los escritos actuales de los investigadores pueden hacerlo a través de estas referencias. Inevitablemente, en un capítulo corto es imposible hacer justicia a las ideas completas asociadas con cada uno de los temas. Nuestro propósito es simplemente describir y comentar alguno de los temas principales y centrales que surgen a

38 partir de la investigación y que tengan una relevancia especial

AM-UNOSmuj para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas- Hacer ot INV6ST-CÀCKÌN más requeriría un libro aparte.

Una referencia general útil es Research m Learning and Teaching MathematicíK La comunicación de H. hreudenthal a la Cuarta Conferencia Internacional sobre Educación Mate mitica (1980), impresa en Educational Studies in Mathcm*tHS*t

es un amplio comentario sobre los problemas de la educación matemática. Para una revisión del pensamiento reciente sobre la comprensión matemática con referencia particular a la memoria, es digno de leerse el artículo «Memory in niailic matical understanding* de Byers y Erlwanger\

L El enfoque evolutivo

Clásicamente, está caracterizado por el trabajo de Piager. Existen muchos trabajos generales que exponen esta propuesta como, por ejemplo, PUget for Educaior^ de Bubee y 5und\

Aquí nos concentraremos en uno de los principales aspectos de su pensamiento —la evolución del niño desde la etapa operacional hasta la de las operaciones formales. El pensamiento operacional concreto es el tipo de pensamiento característico de muchos niños sobre los 10 anos aproxima damente pero en muchos casos se extiende hasta la adolescencia y aún más allá. Se basa en la consideración y manipulación de materiales físicos c implica solamente operaciones con resultado inmediato. Para ilustrarlo proponemos algunos ejemplos de operaciones que implican un resultado inmediato, uno mediato y ningún tipo de resultado.

a) 23 + 14 es una operación sobre dos números con un resultado inmediato de 37,

b) La igualdad 23 X 8 = 8 X 23, tratada como un ejemplo específico de la ley conmutativa de la multiplicación, no requiere el cálculo de ningún producto y, por unto, no implica un resultado inmediato. Como, sin embargo, es posible encontrar un resultado, el hecho es considerado como presentando un resaludo mediato,

c) 2x + 3y es una expresión algebraica que no tiene resultado; esto es, no existe una única forma de

1 Bell, Costello T Kucttcaun. ¿Frei^WaL J Byers, V, frlwangcr. S, 1985: Mcfnocy in onthcraarical w-dmrandiiij;

Educational Studies m Mithrm^tk^ 16 (J). 4Bybec, R. W. y Suj.d, R. B. I9*i P*yt for Edmcétoti Chaiir* E.

MCTT.I1 (2.* «dO.

escribir esta expresión, ninguna manera de llevar a LA CWA NTA nr cabo realmente la *uma. (L* necesidad continua del ws MATIMATICM pensamiento de los niños de obtener un resultado es, al menos en parte, el responsable de respuestas como 2x + 3y » 5xy» tan comunes en las primeras clases de secundarias).

En general, ¡os cálculos aritméticos llevados a cabo con el uso de materiales físicos como el abaco, bloques aritméticos multi-base, fichas, envuelven operaciones concretas. El cálculo algorítmico formal está en el límite entre las operaciones concretas y las formales.

En la propuesta piagetiana, esta última etapa formal está caracterizada por presentar los siguientes aspectos (adaptados de Ptaget far Educators, p. 139).

i) Abstracción reflexiva —la habilidad para razonar sin referencia a una experiencia concreta.

ii) Pensamiento proposicional —la habilidad para pensar teóricamente en la* consecuencias de los cambios sufridos por los objetos y acontecimientos.

iii) Lógica combinatoria —la habilidad para razonar acerca de combinaciones de variables en un problema.

iv) Razonamiento inductivo —construyendo modelos generales a partir de ejemplos particulares.

v) Razonamiento deductivo —razonamiento a partir de proposiciones generales hasta las conclusiones particulares.

Existe, naturalmente, un grado de solapamiento entre estos cinco aspectos, y algunos de ellos pueden presentar (iv) en particular) una extensión limitada en el joven. Pero, tomados globalmente, indican bastante bien los diferentes estilos de pensamiento implicados en la transición desde moddos de pensamiento concreto a formales.

Es evidente que muchos alumnos de secundaria dejan el instituto sin haber abandonado realmente la etapa de¡ desarrollo concreto- Igualmente, un niño capacitado puede mostrar modelos de razonamiento que indican que todavía opera conceptualmente en términos de objetos concretos. Por ejemplo, muchos de los problemas asociados a la enseñanza de los enteros están conectados con la necesidad infantil de relacionar el concepto de entero con objetos físicos.

Las etapas concreta y formal han sido subdivididas en «temprana* y «tardía». Varios escritores como CoUis* (también

* Collis, 1975: A $t*Jf of Concrete ana Formal Opersúoiv in Scbcol Mdzketnatia. Melbourne: ALER

AICUWTUIAS en Research in Lcarnhtg and Teaching Mathetnatics^ pp. 5 6 -otiHVfsnoACiiM 5 8 ) * han intentado identificar las características de las fases

temprana y urdía de ambas etapas pero se pueden apreciar las dificultades que ello implica leyendo un artículo como Children's understandmg of numérica] variables*. Para el propósito general de la enseñanza, en los niños de 11 o más años, estas subdivisiones adicionales pueden ser ignoradas.

En el pensamiento geométrico, además» se puede distinguir entre modelos de pensamiento concreto y formal. Van Hiele, por ejemplo, (véase la Rcf. 1, pp, 222-224) ha identificado cinco etapas que conducen desde lo concreto a lo formal. Estas etapas serán discutidas en el Capítulo 4.

Así. una fuente importante de dificultades en el aprendizaje es el conflicto causado en el niño cuyo pensamiento está todavía en la etapa operacional concreta pero al que se le requiere que haga frente a operaciones formales.

Un concepto estrechamente conectado con el enfoque de Piagct es el de «buena disposición». la evolución cognitiva en el niño —desde el pensamiento concreto al formal— es función del tiempo. De acuerdo con el argumento de la buena disposición, si un alumno no ha alcanzado la etapa apropiada en su evolución para entender una cierta idea o un proceso, entonces es poco aconsejable tratar de enseñarle. En otras palabras, el proceso de enseñanza no puede ir más deprisa que el ritmo tomado por ta evolución cognitiva, aunque la materia sea tan bien ensenada como pueda serlo. (Ver, por ejemplo, 77* Psytbology of Matbematia fot fns-truction, de Resnick y Ford', p. 189. y «Piagetian tasks as readíness measures in mathematics instrucción* de Hicbcrt y Carpcnter*).

Tal creencia ha conducido desafortunadamente a la opinión de que uno puede culpar de un rallo en el proceso del alumno, no a una enseñanza mal estructurada e inefectiva, sino a los alumnos mismos —fallan en aprender porque aún no están «listos» para aprender. Este concepto de *buena disposición» necesita por tanto ser tratado con precaución cuando se toma como causa de las dificultades de aprendizaje del niño. A menudo es un recurso demasiado fácil, cuando sólo debería ser considerado después de haber examinado otra variedad de posibilidades.

* Kuthenun. t"V 1i'hildrcn'i understandíng of Ruxncrical varubtrv Watkemaúts m Sttnk 7 (4), 25-26.

'Resnick. IB y Ford. V W. 19S1 TV tÜj&übgJ of Mathematia for I n .i . ' Erlbaum.

•Hícbcrc, jr Carptotcr. T. Ptagetian tasks as máineii racasura ín nwthemaüa uiitmcimn Ed*c¿ttanA SaUks m Mathematra, 13 (3K 329-J46.

Aquellos que quieran estudiar en mayor detalle las ideas U ENSEÑANZA t>£ de esta sección deben encontrar en el libro Piag^t for UstUMMffBAl Eduatton un útil punto de partida.

Para observar ciertas elaboraciones del enfoque de !a evolución del aprendizaje, es necesario primero considerar una propuesta más mecánica, diferente - el análisis de tareas. Esto se hace en la siguiente sección, antes de volver a las ideas evolutivas en la Sección 3.

2, jerarquías de aprendizaje y análisis de urcas

La noción general de una jerarquía de aprendizaje es familiar a muchos profesores de matemáticas, aunque quiza no por el nombre. Es el procedimiento de análisis de una tarea, una t¿cnica o proceso en componentes simples o subtareas tales que:

a) cada subtarea es un componente de una urea dada; b) cada subtarea tiene que ser dominada antes de que la

tarea dada pueda ser realizada con éxito.

Una subtarea puede ser subdividida más. De esta forma se crea una jerarquía de tarcas a partir de un nivel básico apropiado, y impresentable a través de un diagrama como sigue:

ímmmkl

Para aprender una urea dada (proceso, técnica) en lo alto de la jerarquía, se debe ser hábil en las ureas de nivel básico y trabajar gradualmente hacia arriba a través de los sucesivos niveles. En el nivel 1. las subtareas A y B son componentes de la subtarea P del nivel 2; Us subtareas C, D y t son componentes de la subtarea Q: las subtareas P, Q y R del nivel 2 son componentes de !a tarea dada 7 en el nivel 3. El

ALGUNOS TFMAS trabajo del profesor es llevar a cabo tal análisis de tareas, y OF ENVKncAciúN proporcionar un programa de instrucción moviéndose pro*

gi chivamente haca arriba. Tales jerarquías tienen un considerable valor en el apren-

dizaje de tareas prácticas complejas —realizar una unión dt muesca-con^spiga en . aq infería, por ejemplo. La propuesta está quizá más estrechamente relacionada con R. Cagué, pudiéndose encontrar exposiciones detalladas en sus libros The Condiüons of Learning* y Principies of Imtrucriotuf Design10. Un tratamiento de amplios resultados está también contenido en The Psychology of Matlmnaticí for fnstructiorL En esta propuesta está implícito que no importa lo compleja que pueda ser una tarca, é*ta puede ser dominada si se proporciona una jerarquía apropiada de subtareas, aunque, naturalmente, tales jerarquías puedan ser muy largas.

El proceso de análisis de tareas es obviamente el núcleo de muchos programas de enseñanza, siendo esenciales tales análisis para construir programas de trabajo.

En la enseñanza de las matemáticas, sin embargo, existen dos aspectos del análisis de urcas que requieren una cuidadosa atención:

L A partir del punto de vista del que aprende, el proceso de aprendizaje es sintético —es decir, es un proceso de reunión a partir de componentes individuales. Hasta que el aprendiz no ha alcanzado lo más alto de la jerarquía, no puede conocer cuál es la última meta —en otras palabras, no puede saber dónde está yendo. Puede quedarse atascado en uno de los subniveles y no alcanzar nunca la meta. A menos que pueda ver las subtareas en relación a la última meta o a no ser que se pueda dar alguna motivación en las subtareas, el programa de trabajo puede aparecer sin interés ni ventajas —una situación que se debe evitar a toda costa,

2- El proceso de construcción del análisis de tareas, tal como se ha indicado al comienzo de esta sección, no considera cómo se aprenden las subtareas, sino que se concentra sólo en su naturaleza. Sin embargo, en el aprendizaje de una subtarea, proceso o técnica matemáticas dadas, son introducidos los contextos o mode los particulares o se desarrollan reglas de procedimiento particulares que ayudan al aprendizaje en cada etapa,

* Gagoí, R. N. 1970: Tbe ConJtUo», of Umatp Holt, Kinctiirt, Y'uuron.

,cGagiié, EL N. y Briggs, U J. 1974: Principies of ln*m«tkm*t *j IMijpt Holi, Rjuebarr, \Tiimon É

pero que requerirán dejarse a un lado al proceder con LftEN5EtaN74№

niveles mas altos. Dos ejemplos servirán para ilustrar L-UHATHIÁTICAS este ponto. a) La suma de enteros es normalmente introducida

usando un modelo de escalera (es decir, un vector). Este modelo no es muy adecuado para introducir La multiplicación de enteros. Consecuentemente, no es improbable ver en los libros que la multiplicación de enteros se introduce a través de modelos diferentes. El modelo de escalera es así dejado a un lado cuando se pasa de la suma a la multiplicación,

b) Al resolver ecuaciones simples, el niño aprende una regla general —«Coloca todas las incógnitas a un lado y los términos (numéricos) constantes al otro** Para resolver por factoriución ecuaciones cuadráticas, esta regla ha de verse como una característica de la solución de las ecuaciones simples que no es aplicable cuando se trata de un proceso de factorización.

Donde el enfoque de la jerarquía de aprendizaje en su estado puro trabaja mejor en matemáticas es en la construcción de técnicas a partir de conceptos simples. Un ejemplo serla el desarrollo de la técnica de la sustracción. El nivel básico consistiría en el dominio de tareas tales como 5 — 2, conduciéndonos a través de varios niveles a la técnica requerida para realizar un cálculo como 1273 — 7 6 9 por los principios de descomposición o sumas iguales* De igual forma» en un sistema de ecuaciones con dos incógnitas se comienza con

3 x + y = 12 ) x + y = 6 í

llegando a

l/3(x + 3y) —1 = 2 x \ 4/3x — U2y = 2(x + l/3y) j

lo que se sigue del análisis de tareas. En procesos de aprendizaje complejos (ver las últimas

secciones de este capítulo), el análisis de tareas sólo constituye una primera etapa en el proceso de diseño mstruccional Ciertamente, no puede ser considerado como un remedio para todas las dificultades de aprendizaje en matemáticas.

3. Las ideas de Case

Como ya se ha mencionado, las jerarquías de aprendizaje en la forma defendida por Gagné. se refiere sólo al análisis de

Au;UNüsmiM tareas divididas en subtareas componentes. N o forma parte 0tiNvr>TiGAciiíN del análisis cómo es dominada cada una de las subtareas ni

cómo se realiza el desarrollo desde un nivel a otro. En otras palabras, no toma en cuenta Io> procesos de aprendizaje infantiles. En matemáticas, este es un punto de vista demasiado estrecho. Es necesario un análisis de la tarea comple mentado por el enfoque evolutivo del pensamiento infantil*

Un intento reciente sobre ello es el que R. Case desuribr en sus artículos «Gearing i\\v drmands oí ínstruction to ihc developmental capacities oí the learner»11, y *A devclopmeiv tally-bascd theory and technology of ínstruction*. Case considera que una de las principales causas de la dificultad en el aprendizaje es el conflicto entre la intuición ingenua del alumno que supone correcta y lo que indica el análisis lógico y racional. Los seguidores de Piaget asignan este conflicto a la ausencia de la etapa apropiada del desarrollo conceptual; el enfoque del anilisis de tareas aduce un número insuficiente de niveles de subtareas. Sin embargo, el trabado experimental de Case y otros muestra que la extensión de la jerarquía de aprendizaje en sí misma no resuelve el conflicto. Esperar ta «buena disposición» del aprendiz no es tampoco una estrategia realista.

Case avanza un método en tres etapas para la construcción del análisis de tareas, diseñado para minimizar el conflicto mencionado* Estas tres etapas son las siguientes (tomadas de Case'*):

L Precede al diseño de la instrucción una descripción etapa-a-etapa no sólo de la estrategia que debe ser enseñada sino también de la estrategia o estrategia* que el niño aplica espontáneamente en la tarea instruc-cional.

2. Diseñar la instrucción de tal forma que las limitaciones en las estrategias espontáneas de los niños se pondrán de relieve y se aclarará la necesidad de aplicar la estrategia enseñada.

3. Seleccionar la estrategia que debe ser enseñada y diseñar la secuencia de actividades insrruccionales, reduciendo al mínimo los requerimientos de la situación de aprendizaje en el trabajo de la memoria.

Más brevemente, estas etapas pueden expresarse como:

11 Case, R. 1975: Gearing the demand* of instruction to the develop mental capacities of the learne/- Rtv. EÍ RffNrA 45 {1), 59-S7.

13 Cite, R. 1978: A dcrrlopmrniilly bised iheory and technology ot instruction. R*u. E<L Roitfdt 48 (3), 439-4*3.

1. informarse de vómo el nmo trata de realizar la tarca si LA iJfclfUKZA 0£

no sabe como hacerla; mmkmttOá 2. motivar el aprendizaje del método preferido en la

enseñanza resaltando las limitaciones de las ideas ingenuas de los alumnos;

3. diseñar jerarquías de aprendizaje, imponiendo la menor carga posible a la memoria.

Existen en la práctica, sin embargo, ciertos supuestos y dificultades elementales presentes en la aplicación de la estrategia de Case para las etapas 1 y 2.

La etapa 1 del procedimiento, por ejemplo, supone que el niño adopta estrategias equivocadas de una manera que le parecen lógicas pero que resultan inapropiadas por razones que van más allá de sus percepciones inmediatas —en resumen, el niño no sigue una regla, sino que conjetura. Mientras esto puede ser cierto en un gran número de situaciones, no es ciertamente una verdad universal- Entonces, con un grupo dado de niños, uno no puede preveer qué procedimientos equivocado* (si los hay) adoptarán al intentar una tarea dada. Así que, al diseñar la instrucción como se indica en la etapa 2, un profesor puede pfcvecr la exposición de limitaciones en los métodos de los alumnos que ellos nunca van a pensar en adoptar. De igual forma, si se requiere de los alumnos que intenten una tarea sin instrucción para que así pueda el profesor ver cómo proceden, todavía quedará el problema de formular las razones de los errores que cometen. Así, se pueden introducir aspectos innecesarios en el programa de aprendizaje sea;

a) dando errores que los alumnos nunca podrán realizar; o

b) dando razones hipotéticas para los errores que no son, de hecho* razones reales.

Este problema ha conducido a Gagné en su artículo *Soine issucs in the psysochology of mathematics instrue-tion-'\ a comentar el análisis de Case como sigue:

El electo de reglas incorrectas de cálculo, como se muestra ta realizaciones incorrectas, puede ser vencido antes por una enseñanza deliberada de la* reglas correctas. ... Esto significa que los profesóte* deben ignorar mejor la* realizaciones incotrectas y colocara tan directamente como sea posible en la enseñanza de las < correctas. Una alternativa que no

" Gagi-tí. R, 1983: Somc issucs Ln tbc piythülogy oí maihcmatta imtnicuun. /. Researtit m MtthtmJtXi Educatwn. H (T>» 7*18.

ALCUJ«STBtA\ W ItfVLSTI&ACXVN

es preferible es hacer que los estudiantes estén co*npletamente enterado* de la naturale?a de sus regla* incorrecta* antes de que se les enseñen las correctas. Esto me parece que es un tiempo perdido.

Las notas de Gagné iluminan el dilema del profusor. Mientras no existan errores que cometan los alumnos, les dará igual sentirse seguros en su uso de una estrategia correcta que ser conscientes de las (mutaciones de un procedimiento incorrecto que no se les ha llegado a ocurrir —un procedimiento que, demasiado a menudo» funciona dentro del estrecho rango de situaciones que el niño ha prohado pero que resulta defectuoso como método general. Así, la enseñanza solamente corrije métodos pero no tiene tanto éxito como unu cabría esperar porque los alumnos no entienden por qué sus propias técnicas intuitivas no funcionan; esta es la esencia de la tesis de Case. El problema para el profesor es corno el descubrimiento de la naturaleza de tales métodos intuitivos así como de sus limitaciones, puede ser expuesto, si es necesario, como parte del proceso de aprendi-

debe reducirse a los alumnos —el

zaje —la aproximación preventiva— O aquellos métodos que realmente usan remedio apropiado.

En la práctica, permitir a los alumnos intentar una nueva tarea sin un fundamento previo de enseñanza y aprendizaje es una estrategia que debe ser utilizada con gran precaución (véase también la .Sección 6). Esto puede animar a los alumnos a pensar en métodos equivocados que nunca se les hubiera ocurrido si hubieran sido directamente introducidos n un procedimiento correcto. No es normalmente necesario ya que el rango de métodos incorrectos que probablemente adopten los alumnos se manifiesta en su realización actual; esto es, en los errores que cometen a pesar del cuidado con que se les enseña. IX' ahí que aplicar la estrategia de Case u| - i e incorporar en la etapa 2 las amplias áreas de conceptos

erróneos que la experiencia dicta que son cometidos por los alumnos y permite que las ideas erróneas sean consideradas cuando y como se dan en la práctica —esto es, prevenir en general, remediar en particular. Diremos más sobre esu cuestión en el Capítulo 9 sobre Prevención y Remedio.

El esforzarse por encontrar un método correcto después de que se han hecho evidentes las limitaciones de un enfoque incorrecto, es a menudo mencionado como un conflicto cognirivo.

La tercera etapa de Case introduce la noción de memoria activa o memoria a corto plazo. EfM término denota el numero de ideas o trozos de información que debe operar simultáneamente un individuo en la solución de un problema 47

(ver The Psychology of Matíyemaúa fot ¡Jiitruition). La LA investigación ha mostrado (ver Referencias 1 y 12) que el US número de ideas a las que puede hacer frente un alumno se incrementa con la edad y, para una edad particular, es constante a través de la población. En el diseño de una estrategia de aprendizaje, se deben considerar las cargas que debe soportar la memoria activa. Para los aprendices más lentos deben ser tan bajas como sea posible. Como un simple ejemplo, encontrar el valor de n en 64 + n = 81 por medio de un procedimiento de adición requiere una carga mis baja que alcanzar la respuesta a través de 81 —64 por medio de un algoritmo formal.

Un procedimiento que presenta pocas exigencias a la memoria activa puede precisar más etapas que una técnica mis -veloz» —es decir» ser Técnicamente menos eficiente y llevar más tiempo. Puede ser asimismo menos ordenada en su realización— implicando tiguras de apoyo o trabajos intermedio* en los cálculos aritméticos* Por orra parte» un algoritmo realmente efectivo reduce sustancial mente los requerimientos de la memoria activa —la fórmula 1/2 n (n + 1) para ía suma de los primeros n números naturales es un ejemplo. Lo que apunta Case es que, a! considerar los métodos de resolución de problemas, la carga de la memoria activa no debe ser sobrepasada.

4. El enfoque estructuradla

Lis propuestas ya discutidas —Evolutiva, Análisis de Tareas y el trabajo de Case— se refieren al pensamiento cognitivo en general. Como las matemáticas tienen un alto contenido cognitivo, resultan candidatas adecuadas para rales análisis.

Volvemos ahora a las teorías del conocimiento que prestan una mayor atención a la naturaleza especial del pensamiento matemático. La primera de éstas —Estructuralismo— que consideramos en esta sección, se refiere a la forma en que se desarrollan las matemáticas; la segunda —Modos de Comprensión— que será tratada en la Sección 5, se refiere a diferentes aspectos del significado de la palabra «comprensión* cuando es aplicada a las matemáticas.

En términos generales, el enfoque estructúrala sta para el aprendizaje se refiere a los principios umficadores subyacentes y a la organización lógica del material de la asignatura —esto es, materias que tienen un gran alcance externo en el aprendiz. Uno de los principales pensadores relacionados con

j el estructuralismo es J. Bruner quien, no siendo matemático. 4o tuvo un interés particular en la aplicación de las ideas

AiciJNOsTtMAS estructuralistas a las matemáticas. Ha presentado su posición ¿.EíNVtSDGACiów concisamente del siguiente modo (tomado de The Procer of

EtÍHCdtion1** Bruner, p. 31).

«... el curriculum de una asignatura debe ser determinado por las comprensiones más fundamentales que puedan ser alcan-z*dx\ | partir de los principios subyacentes que ana estructura da a la asignatura. Los temas específicos de enseñanza o la* dest: sin dejar claro su contexto en la estructura funda-mema! de un campo, no son económicos en varios sentidos. En primer lugar, ta] enseñanza hace difícil al estudiante generalizar desde lo que ha aprendido a aquello que encontrará más tarde. En segundo lugar, el aprendizaje que cae íueta de un grupo de principios generales tiene poco premio en términos de excitación intelectual... Tercero, un conocimiento adquirido sin una estruenua suficiente estorba el conocimiento previo, siendo probable que sea olvidado*.

En el libro Matbematics An Educational Task, Fretlcnt-haP* desarrolla, inUr alia, una perspectiva estructural is ta de la educación matemática y, para aquellos que poseen un fuerte fundamento matemático, contiene mucho que reflexionar.

Se da el caso, naturalmente, de que pocos niños conocen principio* de unificación y organización lógica en su aprendi zaje de las matemáticas. Su percepción de las matemáticas está mis cercana a la de un erizo —muchas espinas individuales pero ninguna conectada directamente con otra. Por otra parte, los profesores defienden que existen pocos niños capacitados para apreciar los principios fundamentales y la organización lógica, lo que es particularmente cierto en el caso de los menos capacitados. Pese a ello, si se entiende un principio general, éste puede ser aplicado a diferentes situaciones con la consecuente economía del pensamiento. Esta es la fuerza y el atractivo del estructuralismo.

Como un simple ejemplo de este enfoque consideremos la sustracción. Esta es aprendida inicialmente como un proceso de tomar prestado desde las unidades superiores a las inferiores. Sin embargo, si se aprende el principio general de que la resta es la operación inversa de ta suma en el sentido de que a + b — b = i 1 y a - b + b = a, entonces ta operación resulta aplicable en una variedad de contextos que no están directamente relacionados con el «tomar prestado desde la unidad superior*. Más aún, si se ve la relación entre la multiplicación y la división corno similar a la existente entre

14 Bruner, J. S, 1960: The Procexi of EJucation. Harvard Univtriiiy

» PmioVnthaL H. 1973: MatheTufia - An EdMcaUond T*k D, Reide!. 49

la suma y la resta se aumenta la comprensión de los procesos L* í M r t M l A Ü*

aritméticos. En el mismo sentido, muchas de las dificultades LAS MAIIMVIICAS

asociadas con el 0 y el I *on debidas a una falta de conocimiento de La idea de un elemento identidad. Otros principios unificados en matemáticas elementales que resultan convenientes para los niños más capacitados son las nociones de estructuras de grupo y de anillo —no explícitamente como rales— sino en términos de las ideas asociadas con las estructuras —asociatividad, conmutatividad, distributividad,

identidad, inverso* El estructuralisrno, sin embargo, no ha ido demasiado

lejos en las matemáticas escolares por dos razones fundamentales.

La primera es que el estructuralisrno ha puesto en la enseñanza de las matemáticas, particularmente en los años sesenta, un énfasis desafortunado e indebido en el formalismo matemático, tanto en conceptos como en notación. La abstracción formal es una piedra fundamental de las matemáticas modernas pero requiere una madurez del pensamiento matemático que no se posee en el nivel escolar más que en los alumnos más capacitados y sólo al final del período escolar. Una de las series de libros de texto que han seguido esta propuesta estructuralista con más confianza fué Modern Mathematics for Schools publicado por Blackie/Chambers en la segunda mitad de los sesenta. La aparición en pocos años de una segunda edición, en la que se modificaban considerablemente las demandas estructurales formales y se incrementaba al mismo tiempo la cantidad de ejercicios prácticos rutinarios, muestra las dificultades que conlleva una puesta en práctica eficaz de las ideas estructural istas.

Estas dificultades están relacionadas con la segunda razón por la que el estructuralisrno no ha tenido realmente éxito en el nivel escolan que requiere una considerable intuición por parte del profesor, tanto de la naturaleza del pensamiento matemático como de la forma en que trabajan las mentes infantiles. Uno de los intentos más ambiciosos para desarrollar m enfoque estructuralista en la que se evitasen los peligros del formalismo, fué el trabajo inicial en el nivel de primaria dgLNuffield Mathematics Progranime. Este intento fallaba porque, simplemente, el material contenido en las guías producidas por el Programa requería más fundamentos sobre el pensamiento y conocimiento matemáticos de lo que poseían los profesores de primaria aventajados. Una versión más suave del trabajo de Nuffield —la serie •Fletcher Maths-% Modern Mathematics for Scbools* publicado por Addison-MFesley, —que todavía es ampliamente utilizada, tiende a ser sustituida por la serie Heinemann— Primary Mathematics^ A

50 devetopment throngh Activity. Esta última vuelve a una

hWmiOUS aproximación más tradicional del aprendizaje de las matemá-DE IWVKTKACION ticas, con una disminución correspondiente de la demandas

matemáticas en términos de estructura y proíundización, en lo que respecta a los profesores de primaria.

Actualmente, la perspectiva estructuralista de la enseñanza y el aprendizaje puede encontrarse en el material del Kcnt Mathematics Project, que intenta relacionar los principios estructurales de las matemáticas con los procesos de pensam i e n t o de los alumnos. La complejidad de la organización en este Proyecto es una indicación de las dificultades encontradas. Como es de esperar, requiere un considerable compromiso por parte de los profesores que lo utilicen.

Este último requerimiento es quizá la clave del éxiro en la aplicación del estructuralisrno en la enseñanza de las matemáticas; requiere por parte de los profesores un interés activo en la asignatura, que entiendan los principio* generales de las matemáticas y aprecien su importancia, y que tengan buena voluntad para planificar su enseñanza en torno a estos principios. Sin tales cualidades en los profesores implicados, el estructuralisrno se reduce al formalismo y es más probable que no tenga éxito.

Esto es desafortunado porque las ideas del estructuralisrno son centrales en el desarrollo moderno de las matemáticas; sin estas ideas las matemáticas se reducen a una colección de temas relativamente inconexos, cada uno de ellos desarrollado aisladamente, para resolver problemas particulares.

Cualquier discusión sobre el estructuralisrno resultaría incompleta sin una referencia al trabajo del matemático Z. P. Dienes. Aunque mucho de su pensamiento se ha referido al trabajo matemático en la escuela primaria, también ha colaborado con Bruner en un intento de producir materiales que ilustren la propuesta estructuralista en algunos ternas habituales de las matemáticas de secundaria tales como ia facto-rización y la solución de las ecuaciones cuadráticas.

Se puede apreciar la profunda perspectiva de Dienes en sus libros Buiidmg Up Mathematics^ y The Six Stages m Ai Process of Lcayntng Mathematics17. Lo esencial de su pensamiento* ilustrando bien la complejidad de la propuesta estructuralista, puede apreciarse a partir del siguiente extracto de Bailding Up Mathematics, p. 29.

»nifü, Z. P. 1960: Bnilding Up Mathematics. HHuichinioo [En castellano: «La construcción de las nucemátiias». Viotns-Vives, l u -I .A 19701-

1 7 Dients, Z. P. 1970: The Six Sta^n m tkr Proctu of UJTTU*$

MjthmMKS. NFER (En cartel Uno: «Las seis ctaptt del jpmtdrzaK de bu Miier - Teidf. i-V < lona 19 / I ¡

•a) Los planilicndores deberán tener plena conciencia de la LAENStÑ^ADr unidad de la estructura matemática. El curso de UÍ experien- LAS MATEUAITCAS cías matemáticas deberá ser considerado globalmente a partir de los 5 años y tener presentes los procesos matemáticos, lógicos y psicológicos implicados. b) Deberá haber una rica variedad de experiencias matemáticas, a partir de las cuales los niños puedan construir individualmente los conceptos matemáticos. Para cada concepto serán necesarias varias experiencias; de otro modo habrá asociación pero no generalización. c) El profesor deberá tener conocimiento de ia dinámica genera! del proceso de aprendizaje, así como de la etapa particular que cada niño haya alcanzado. Deberá observar las diferencias individuales en el aprendizaje y deberá tener anee todo conciencia de que el potencial emociona! de una situación de aprendizaje creativa es delicado y que, por tanto, en tal situación existe la posibilidad de favorecer o entorpecer el proceso de aprendi2aje*.

Dienes enuncia cuatro principios que rigen el diseño de las secuencias de aprendizaje. Son (Buíldmg Up Marhetnattcs, p. 44):

1. Principio dinámico: Deben incluirse actividades prácticas o mentales que provean de la necesaria experiencia fundamental.

2. Principio de constructividad: Esencialmente, esto implica la inducción desde lo particular a lo general (en contraste con el análisis que va de lo general a lo particular).

3. Principio de variabilidad matemática: Debe variarse la estructura matemática a partir de la cual el nuevo concepto o proceso se desarrolla para permitir que se distingan claramente todas las características matemáticas implicadas.

4. Principio de variabilidad perceptiva: Debe variarse suficientemente el marco de experiencia a partir del cual se desarrollan ideas y procesos al objeto de prevenir su fijación en un conjunto o conjuntos particulares de

!? * experiencias —esto es, debe propiciarse la abstracción.

Una de las formas prácticas en las que el trabajo de Dienes ha aparecido en las aulas de primaria es en el uso de los Bloques Aritméticos Multi-base que quizá son lo suficientemente conocidos como para no requerir aquí una descripción. Tienen por objeto conocer el cálculo del valor de posición en aritmética a través de la manipulación física de piezas de madera. En la representación en base seis, por ejemplo, existen cubos (usualmentc de 1 CITK de lado), barras,

ALGUNOSTEMAS placas y bloques. Una barra equivale a 6 cubos, 6 barras unNVKSTiGACíON forman una placa y 6 placas constituyen un bloque de 6 cm

X 6 cm X 6 cm. El trabajo, cuando las rcgbs se cambian en una base concreta, corresponde a ¡os Principios Dinámico y de Constructividad; utilizar el material en diferentes bases corresponde al Principio de Variabilidad Matemática. El Principio de Variabilidad Perceptiva requeriría usar otro material además de los bloques.

El trabajo de Dienes hace algo más que contactar con Bruner a travos de la noción de representación cognitiva. En términos generales es el medio por el que el niño representa mentalmente las ideas o procesos que ha aprendido. Bruner, en su libro «The course of cognitive growth»^ identifica tres etapas —enactiva, ¡cónica y simbólica.

En la fase enactiva Ja representación implica un movimiento físico —por ejemplo, la manipulación de materiales concretos. En la fase ¡cónica la ¡dea o proceso se independiza del movimiento físico y es representado mentalmente, pero dicha representación todavía implica una percepción física, ahora sólo visualizada. Por ejemplo, para calcular 4 + 9 , un niño en la fase ¡cónica no necesita usar objetos físicos, pero mentalmente puede visualizar tales objetos para obtener la respuesta.

La fase simbólica implica el uso de símbolos con los que representar ideas y procesos; las operaciones matemáticas son llevadas a cabo por manipulación simbólica sin referencia at mundo real El punto final de la fase simbólica es el uso puramente sintáctico de los símboíos, el tratamiento de los símbolos como si fueran objetos físicos. La regla de «cambio de lado, cambio de signo» en la resolución de una ecuación es un ejemplo de manipulación sintáctica de los símbolos.

Existen, naturalmente, analogías obvias con las etapas de Piaget pero la interpretación es diferente. Bruner asegura que sus tres etapas se presentan en el desarrollo de cada tenia nuevo en matemáticas tanto en el niño pequeño como en el mayor, de forma que la etapa enactiva le puede ser necesaria todavía al mayor y la etapa simbólica serie posible a] pequeño.

El problema global de la manipulación sintáctica simbólica a partir de la interpretación semántica (es decir, de su significado) ha sido por largo tiempo una fuente de investigación en la que han trabajado los educadores taatemácicos-El problema se refiere al significado de ¡a palabra comprensión tal como es aplicada en el aprendizaje de las matemáticas. Si un niño que realiza un algoritmo de cálculo dice *No

•* Bmncr, j. S. 1%4: The counc of cogmrive gn>wrh. American PsychotvsJst, \% 1-15.

entiendo*, probablemente se esté retí ríen Jo a las etapa* del LAEN»*ANZADR proceso. El quiere conocer cómo proceder, no por q*¿ LASMATÍ MÍTICAS funciona el procedimiento. Tales consideraciones conducen a una segunda perspectiva del cstmcturalismo en matemáticas que se discute en la sección siguiente.

54

5. Formas de comprensión

Surge del trabajo de R. Skemp fver 'Relational understanding and instrumental understanding*"). Skemp es ut) educador matemático transformado en psicólogo. Sus ideas fueron elaboradas por Byers y Herscovics en ^Understanding school mathematics*^ introduciendo el llamado Modelo Tetraédrico de la comprensión en matemáticas. El mismo Skemp desarrolla sus ideas en «Goals of learning and qualities of understanding*" (ver también la Referencia 3).

La proposición original de Skemp era que había dos tipos distintos de comprensión, que llama relacional e inscrumental. Relational es la comprensión no sólo de cómo trabaja algo sino también de por qué trabaja así; la comprensión instrumental implica sólo el cómo. Cuando los psicólogos u otros contrastan la comprensión con el aprendizaje rutinario, se están refiriendo a la comprensión rclaciojial. La instrumental se identifica algunas veces con el aprendizaje rutinario, pero ello oscurece el a menudo complejo proceso que se requiere —algo más que el recuerdo inmediato-

Skemp valora La comprensión instrumental como la segunda en importancia y lo justifica por analogías y argumentos basados en el aprendizaje efectivo. Por ejemplo, el aprendizaje instrumental no es adaptable y se basa en la memoria; el niño que es enseñado por un profesor que piensa instrumentalmente puede frustrarse y alejarse de las matemáticas. Pero los juicios más simples en matemáticas ignoran ciertas realidades. En primer lugar, la potencia de las matemáticas se debe a sus procedimientos algorítmicos instrumentales. Hace vario* anos el matemático A. N. Withehead mostró que las matemáticas avanzan al incrementarse el número de procesos que pueden llevarse a cabo sin pensar. Desde su punto de vista, la comprensión instrumental se transforma en una característica clave en el uso efectivo de las mat emir i cas.

Skemp, R. 1976: Relational undemindifig and ¡rmnirnenul undemanding. Mathemjtio Teaching, 77, 70 26

í 6 Byers , V. y Herscovics, N. 1977: Uculcistanding schooi mathematics. Maxhematur TiaiMll 81, 24 27.

21 Skemp, R. 1979: Goals of learning and qualities of uruftrtf3ndin£ Marhemazui Trading, $8, 44-49.

AlfiLNOS rtUAS En segundo lugar, la intuición relacional puede ser aumentaos CívtsnCAtidN da al llevar a cabo procedimientos instrumentales con éxito,

lo que conduce tanto a un aumento de confianza como de interés. Inversamente, el niño puede llegar a quedar atascado en una confusión de actividades al tratar con la comprensión relacioual, dándose por vencido al encontrarse dificultades periféricas respecto a la idea central. Los árboles no le dejan ver el bosque.

Byers y Herscovics identifican dos tipos mis de comprensión —formal e intuitiva. La comprensión formal es capaz de usar correctamente formas matemáticas escritas. Algunas veces no se le ha prestado la atención que merece; está relacionada con la escritura del inglés gramaticalmente co* rrecto. Un inglés gramaticalmente incorrecto todavía puede responder al significado ileseado; el uso incorrecto de ia notación matemática puede dejar sin sentido la forma escrita.

Las formas incorrectas de escritura también propician errores. Sin embargo, la habilidad para usar la notación matemática correctamente es una destreza adquirida. Ello reqtiiere el conocimiento de lo que significan los distintos símbolos escritos, A menudo» este conocimiento se considera ya garantizado por parte de los profesores por lo que no lo enseñan especialmente. No es infrecuente ver trabajos como:

2x + 3 = 9 o sen x - 1/2 =»2x -6 x= sen 1/2 = 30° = x = 3

Muchos profesores ven esto como una simple cuestión de estilo; y si no se comenta con ellos a menudo les llevará a cometer errores en el procedimiento que llevarán a respuestas equivocadas. Esto se discute mis adelante en el Capítulo 6.

La segunda forma adicional de comprensión —intuitiva— es más difícil de encontrar. Es el aspecto de la actividad men* tal en que un niño, sin conocer por qué ni habérsele mostrado un método, consigue conocer cómo obtener cierto resultado. El termino «intuición* se aplica también a la forma en que la gente tiene ideas «fantásticas* y e>ti conectado con los principios de la Guestalt considerados en la Sección 6. Aunque el entendimiento intuitivo no es ignorado por la en-señaaza de las matemáticas, no se enseña fácilmente.

Byers y Herscovics no ordenan ni valoran entre sí estos cuatro tipos de entendimiento, sino que los colocan en los vértices de un tetraedro, siendo su perspectiva que el proceso de aprendizaje matemático implica a los cuatro en proporciones variadas. Un rema particular puede requerir un mayor énfasis en uno más que en los otros pero todos tienen un lugar en el cuadro completo al desarrollarse la habilidad matemática.

fe. Teoría de la Guestalt UQttr tUCaw LAS UATFWATKA5

Una opinión común sobre el encendimiento matemático es que depende de la intuición y que ésta no puede ser ensenada. El enfoque gucstáltico se refiere a este aspecto intuitivo del aprendizaje de las matemáticas. La palabra guestalt significa figura o forma y fué adoptada por los psicólogos alemanes —por ejemplo, Wertheimer— en la primera parte de este siglo a! estudiar la organización de las funciones mentales en su interpretación de las percepciones sensoriales, más tarde extendidas para incluir las percepciones mentales.

Usada como un nombre, una guestalt es la percepción de que una forma completa es algo más que. simplemente, sus partes constituyentes. Por ejemplo, et modelo " puede ser percibido como un cuadrado aunque sus componentes sean cuatro puntos. De igual forma, si se percibe la secuencia de números 149162536496481 no como una simple secuencia aleatoria de dígitos sino como los cuadrados de I, 2, 3, 9, es decir, si se ha formado la guesialt, entonces la memorización y el recuerdo de la secuencia es mucho más fácil. Un tipo común de juego visual implica un proceso de la guestalt al proporcionar partes de un total, de forma que en cada etapa se añade una parte más. siendo el ganador quien identifique primero de forma correcta la figura global. Cuando sólo se dan unas pocas partes del total, existen muchos diferentes torales de los que pueden formar parte así que son posibles diferentes guestalt*. El incremento de partes dadas reduce estas posibilidades. La inducción desde un caso particular al general es de esta naturaleza; dados algunos casos individuales, estos se pueden ver acomodándose a un modelo que da lugar y permite la generalización. Como en el juego, si se dan pocos casos específicos, son posibles muchas generalizaciones.

En el caso de la educación matemática surgen dos cuestiones, que discutimos ahora:

1. El proceso en matemáticas que requiere un pensamiento guestalt ¿en qué se puede aplicar?

- 2. ¿Se puede enseñar la habilidad para formar guestalts matemáticas?

Desde el punto de vista de la comprensión instrumental discutida en la Sección 5, el pensamiento de la guestalt no es particularmente importante ya que ia operación a través de reglas basadas en el «cómo» no parecen requerir intuición sino una instrucción detallada de cómo llevar a cabo el cálculo o la técnica. Sin embargo, como ya se ha apuntado, las reglas sin una razón llegan fácilmente a la falta de uso y 56

ta

Atemos TIMAS el olvido. De igual forma, con las explicaciones hay que tener 0£TNVESTOACHJÍI cuidado. Un profesor puede dar una explicación en forma

lógicamente detallada para encontrar tan sólo que sus alumno* no comprenden globalmenre el sentido de la explicación. Esto hace que algunos profesores se impacienten con sus alumnos, particularmente con los más lentos, y recurran a un enfoque puramente instrumental.

Para que una explicación sea convincente (sea que la desarrolle directamente el profesor o se haga a través de un programa de actividades prácticas) se debe fomentar en el estudiante el sentimiento de que «ahora veo por qué trabaja así»; en o t m palabras, debe tener lugar algún pensamiento guestalt. El estudiante debe descubrir alguna intuición bajo la definición, el concepto o la técnica. Para muchos niños, particularmente los menos capacitados, será necesario un programa de actividades prácticas que consiga desarrollar estos objetivos; para otros puede ser suficiente una explicación verbal o escrita.

Consideremos ahora la sustracción de enteros, Utilizando un enfoque instrumental o formal, se puede definir a — bt

donde a y b son enteros, por medio de a + (— b), así que, por ejemplo, 5 — 3 se define por medio de 5 + (— 3) y 5 — (— 3) se define por medio de 5 + 3, Armado de la definición anterior un alumno puede llevar a cabo una sustracción con virtiéndola en una suma. Si es inteligente podrá apreciar, intuitivamente incluso, que la definición es razonable. Un chico no un inteligente verá simplemente la situación como un ejemplo más de la naturaleza banda en reglas de las matemáticas. Este niño no formará ninguna guestalt del proceso de sustracción de enteros.

Por otra parte, si se considera la sustracción a través de la suma complementaria, de forma que 5 — (— 3), por ejemplo, sea interpretada como *<Qué ha de añadirse a — 3 para que de 5?», entonces unía*, las sustracciones pueden ser resueltas sin una regla luruul. Usando una línea numérica de enteros quedará claro que el proceso de suma complementaria es llevado a cabo inviniendo el signo del ciñera de la derecha y sumando entonces, lo que constituye, naturalmente! la regla simbolizada como a — b — a 4- (— J>). lín este caso íl niño alcanzará una intuición del proceso de sustracción de enteros, a partir de la cual se sigue naturalmente la iv^U. Este es el proceso de la guestalt. Resulta ser una aracieií\iku esencial del aprendizaje por descubrimiento.

El aprendizaje por descubrimiento, sin embargo, no deja de tener detractores que apuntan que, en matemáticas, el niño abandonado a sí mismo aprenderá rara vez algo de valor. Esta opinión muestra una falta de entendimiento de la naturaleza del pensamiento guesralt, del aprendizaje intuitivo, 57

Un conjunto desorganizado de experiencias puede sugerir LA ENfl&ANZá DE muchos modelos de generalización diferentes o, más normal- LAS MATEMÁTICAS mente, ninguno- En el contexto de las matemáticas deben organizarse las experiencias y actividades del alumno de forma que la inducción y la generalización sean las más firmes posibilidades; esto es, e¡ proceso de aprendizaje por descubrimiento requiere ser guiado y estructurado.

Aquí es donde son aplicables los cuatro principios de Dienes (ver la anterior Sección 4)- ellos refuerzan la generalización o guestalt deseadas ya que, variando orros factores, se revela la característica unificadora de las diferentes situaciones presentadas al niño*

Quizá no es enteramente honesto utilizar el término descubrimiento ya que el niño descubre aquello que se quiere que descubra tomando un camino que le conduce directamente al descubrimiento- Por otro lado, teniendo que llevar a cabo las etapas requeridas, es más probable que adquiera una comprensión real (relaciona]) del concepto o del proceso que se le ensena. La discusión del Capítulo 2 referente al descubrimiento y la creatividad indica los probables beneficios de este enfoque para las actitudes del alumno hacia las matemáticas en general.

Esta característica del aprendizaje por descubrimiento —que anima a los niños a pensar por sí mismos, a formular hipótesis, desarrollar estrategias y, en general, a abordar la resolución de problemas —ha atraído considerable atención siendo denominada heurística. Quizá su exposición más conocida sea la de Polya, en sus libros How to Salve ¿í2*, Matbematics and Plausible Reasoningn

t y Mathematieal -D/s-covery14.

Se piensa algunas veces que los alumnos menos aventajados deben ser apartados de tal actividad porque su necesidad principal es realizar un trabajo fuertemente controlado con una práctica sustancial. Mientras la consolidación debida a la práctica es una característica necesaria en la mayor parte del aprendizaje de matemáticas, sin embargo tiende a inhibir Ja intuición; más aún, demasiada práctica rutinaria, como se ha mencionado en el Capítulo 1, puede tener un efecto adormecedor sobre los alumnos y resultar contraproducente, llevándoles al aburrimiento y a la falta de cooperación.

22 Polya, G. 1957: How so Sohe iu Vok L II. Princíiori Untvcrmy Prcw (2.J ed.) [En castellano: «Cómo plantear y molvcr problemas». Trillas, México, 19791-

" Dienes, 2. P- Í970: The Six Sta^rs m the Process oj Lemrnmt Mathemaua. NFER [En castellano; «Las seis etapas del aprendizaje de las Matemáticas». Teide. Barcelona, 1971].

24 Polya* G. 1968: Matbematics and Plausible Re*sonm# Princeton Universíty Press.

ALGUNOS TEMAS La colocación de las destrezas de cálculo dentro de i INVESTIGACIÓN estructuras que interesen al alumno y en las que su jui

cio tenga importancia, puede mejorar estas destrezas tanto o más efectivamente que la practica repetida y aumentar al mismo tiempo la iniciativa y el placer por tas matemáticas.

La consideración de los procesos de la guestalt en el aprendizaje de las matemáticas introduce inmediatamente un problema de importancia fundamental, ya mencionado en la Sección 3. ¿Cómo sabe el profesor la estructuración cognitiva que está teniendo lugar en las mentes infantiles? Ciertamente, eí niño puede formar unos principios generales al operar matemáticamente, pero pueden ser inapropiados, irrelevantcs, equivocados o sin fundamento. El profesor» como adulto, lleva su propia mentalidad adulta a la tarea de diseñar la instrucción. Puede, en el espíritu de Piaget o Case, tratar de determinar los errores del alumno experimentando o reflexionando, pero nada revelará necesariamente la perspectiva que tienen los alumnos de las matemáticas, qué estructuras infantiles están operando. Estas no pueden ser expresadas por el niño que no tiene conciencia de la forma en que intenta dar significado y coherencia a las matemáticas que espera aprender. A este problema se refiere ia siguiente sec ción.

7. Constructivismo

Puede ser descrito como el estudio de los modelos de pensamiento de cada niño, viendo los procesos de aprendizaje desde dentro de la mente del que aprende. La idea central del contructivismo es que el proceso de aprendizaje en el alumno implica la interpretación de programas de actividades de aprendizaje (proporcionados, por ejemplo, por el profesor) a la luz de las propias estructuras conceptuales del alumno, construidas a partir de sus experiencias previas- Dicho de otro modo, la experiencia que un alumno gana a partir de sus actividades de aprendizaje no puede ser predeterminada por el profesor, ya que depende de cómo el niño relacione las actividades de aprendizaje con su experiencia previa y de sus actitudes afectivas/emocionales; así, un profesor no puede motivar a un alumno a construir un conocimiento específico —puede llevar al caballo al agua pero no puede obligarle a beber. El constructivismo estudia esta interacción entre los procesos de pensamiento infantiles y las experiencias de aprendizaje. Una exposición más completa de estas ideas

viene dada en *The eonstruttivisc rescarcher as teacher and LA ENSEÑANZA ot model buildcr*» Ui MVTEAUTICM

Tamo como la experiencia y las actitudes que el mismo alumno expresa en las actividades di* aprendizaje y que pueden afectar materialmente a la naturaleza de este aprendí taje, deben también tenerse en cuenta los llamados efectos laterales de estas actividades —esto es, aspectos del diseño de enseñanza que afectan también al proceso de aprendizaje pero que no han sido específicamente planificados por el profesor.

Como ejemplo de esto, un profesor cuyo principal método de enseñanza sea explicar reglas y dar entonces a los alumnos mucha práctica puede llevarles a aprender que no es importante el pensamiento propio y que resulta mejor esperar a que le digan lo que ha de hacer. Sin duda» ningún profesor se propondría tener tal resultado en el aprendizaje; es un efecto lateral de una perspectiva particular de la enseñanza —el enfoque de una comprensión instrumental. Esta forma de aprendizaje auxiliar ha sido llamado meta aprendizaje por Skemp y analizado extensamente en su libro Inttlligenct, Lcanung and Action*. El meta-aprendizaje implica a menudo un aprendizaje no intencional (en lo que se refiere al profesor) debido a algunos aspectos de la metodología utilizada o por las expectativas y actitudes de los alumnos.

De forma similar, las dificultades de aprendizaje pueden surgir debido a las percepciones (frecuentemente inconscientes) con que el niño aprende una idea o técnica particulares. Por ejemplo, un alumno puede haber formado una interpretación del término algebraico 3x como significando treinta-y-algo siendo x la cantidad desconocida de unidades. Para este alumno una ecuación como 3x = 6 carecería de sentido- Más adelante, un alumno que piense que eos x es algo llamado eos multiplicado por x, creerá que eos 2x y 2 eos x representan la misma cosa.

Estos errores de los alumnos (que Skemp denomina meta-esquema) no tienen por qué ser evidentes a partir de la naturaleza de los errores que los alumnos cometen o de las dificultades que tienen; puede llevar un tiempo considerable el descubrirlos. Un método de identificar tales errores es el conseguido a través de los llamados análisis de protocolos (ver Tíie Psychology of Mathcmaücs for Imtmction, pp. 83 89). Implican la formación de un registro completo de las acciones realizadas por los niños al llevar a cabo una urea

*CoW\ P- y Surfe, U P. 1983: TSc comtmcnvut rcmrchcr as teacher aiid model buiider. / Rffearch sn Mathmattcs Eduzaúoru 14 (2),

- 83-94. {\Q * Skcnip. R. 1979; lnielhgencet Uaming *n¿ AcücrL Wiley.

ALGUNOS TWAS matemática, incluyendo el pedir al niño que ^piense en voz D£twESTiüAacW alta- mientras ejecuta las distintas etapas de la tarca. Mientras

esto es posible en condiciones de investigación, claramente no es realista en el contexto de las aulas de matemáticas de un típico instituto de secundaria. A menos que el profesor tenga alguna información acerca de la forma en que cada alumno piensa acerca de las matemáticas (consciente o inconscientemente) su diseño de los procedimientos de aprendizaje tenderá a tener distintos grados de éxito con alumnos concretos.

Esto, naturalmente, es una parte del pensamiento que subyace en el trabajo de Case, discutido anteriormente en la Sección 3, pero aquí no se refiere a los procesos cognitivos racionales* bien o mal concebidos, que ocupan la atención de Case, sino a modelos de pensamiento más irracionales que los alumnos, a menudo, no pueden expresar en palabras y tal como son ejemplificados eficazmente en Do Yon Patúc alfout Maths*

En el núcleo de! enfoque constructivista está la sensibilidad de una parte de! profesorado que es capaz de sentir con sus alumnos, poniéndose ellos mismos en la piel del que aprende, no sólo en el sentido cognitivo, sino también en el emocional. Los errores matemáticos de muchos niños van algunas veces mas allá de nuestra comprensión; no debería nunca olvidarse que tales errores conducen a una ansiedad y confusión que pueden afectar desastrosamente al proceso de aprendizaje.

La sensibilidad a que nos referimos en el párrafo anterior es propia de los mejores profesores de matemáticas. Ello* tienen una conciencia casi misteriosa sobre los orígenes de las dificultades de aprendizaje de cada uno de sus alumnos, y adaptan sus propuestas de acuerdo con ellas. Junto a esta sensibilidad esta un llevar adelante la valoración propia y la autocrítica de la efectividad de su enseñanza. En esta conexión se dice algunas veces que el mejor profesor, particularmente para IOÍ alumnos lentos, es aquél con un modesto nivel de conocimientos matemáticos. Así tiene una experiencia personal de primera mano sobre las dificultades que los alumno* pueden tener. De otra parte, los profesores con altos grados académicos en matemáticas pueden algunas veces tener dificultades para descender al nivel de sus alumnos al objeto dr entender sus problemas de aprendizaje. Sin embargo, entender y tratar una dificultad son dos cosas muy diferentes —-un mal jugador de ajedrez no es quizá el mejor de quien aprender para mejorar en este juego. Una enseñanza efectiva en la educación secundaria requiere el aumento de! pensamiento matemático a partir del estudio de la asignatura junto a un entendimiento comprensivo de los orígenes de las dificultades 61

de aprendizaje de los niños; ninguna de estas habilidades por L\ ENSEÑANZA DÉ separado sería suficiente, LAS UATEMÍTKM

3. Procesamiento de información

Con la llegada de la computadora electrónica y el incremento de su habilidad para llevar a cabo razonablemente actividades superficialmente parecidas, ha surgido una teoría de aprendizaje que interpreta los procesos de aprendizaje en términos de computación; desde este punto de vista, el aprendizaje es análogo a la capacidad de procesamiento de información de una computadora —los datos son recibidos, procesados, almacenados y tienen su salida.

Los aspectos de procesamiento y almacenaje implican la memoria a corto plazo o memoria activa (ver Sección 3) y la memoria a largo plazo o semántica. Los contenidos de la memoria activa (o chunks como a veces son llamados) cambian frecuentemente; tan pronto como un ítem particular del procesamiento está completo, todo lo que está en la memoria activa es o borrado o transferido a la memoria semántica. La memoria activa, por tanto, tiene una estructura interna pequeña. Por el contrario, la memoria semántica, que contiene información para la retención y el recuerdo a largo plazo, requiere un alto grado de estructuración, expresado en términos de redes y relaciones. Cuanto mayor es la estructuración, mayor es la comprensión y más fácil el i-ecuerdo y su utilización. Los que llevan a cabo pobremente las matemáticas tienden a tener una memoria semántica relativamente no estructurada de forma que el recuerdo puede transformarse aparentemente en una búsqueda aleatoria. Esta es una idea que encontramos en varias de Jas secciones anteriores —Die-nes, Skemp, los guestaltistas— pero aquí aparece con un alto grado de penetración y detalle por utilizar la analogía de la computadora.

Acorde, entonces, con el enfoque del procesamiento de información, el éxito en el aprendizaje requiere la formación de redes relaciónales apropiadas; es responsabilidad del profesor proporcionar al alumno nuevas experiencias que le permitan desarrollar estas redes. En un caso particular, consideremos la relación entre la resra y la suma. Una red mental completamente organizada incorporaría esta relación. En términos esquemáticos se podría representar corno sigue:

Naturalmente, los diagramas bidimensionales como estos no deben ser confundidos con redes mentales, pero pueden ayudar a los profesores a identificar aspectos clave de las relaciones implicadas. Son una ayuda para proporcionar

ALCUNOSTEMAS experiencias a partir de las cuales Cl alumno pueda asimilar di INVESTIGACIÓN una red apropiada en su memoria semántica.

OBfUTO/ MSTAR RESULTADO m *3 ft

i UK AX It *

1

RESULTADO

La ley conmutativa de la suma puede ser esquematizada de forma similar como:

RESOLTADO t + n + ira k + m + n

SUMAR ¿i RESULTADO/ OejETOk + m

SUMAR ¿i RESULTADO/ OejETOk + m

I OBJETO k

UMAX a RESUtTAEfcO' OBJtVOk *• a

Para un estudio más extenso, el lector puede consultar The Psychology of Mathematics for Instruction, Capítulo 8, y seguir las referencias contenidas al final de este capítulo.

Resumen

Los ocho temas considerados se refieren a cómo aprende el niño y cómo se puede facilitar este aprendizaje.

Piaget se refiere a las etapas del desarrollo cognirivo y a la idea de una buena disposición.

Gagne presenta un análisis de tareas, construyéndola desde lo complejo hasta los componentes más simples.

Case desarrolla el análisis de ureas tomando en cuenta las ¡deas intuitivas infantiles.

Los estructuralistas consideran cómo procede el aprendizaje a través de los principios matemáticos generales.

Skemp y otros observan ios diferentes significados del entendimiento tal como se aplican a las matemáticas y los distintos aspectos de este entendimiento.

Los psicólogos guestaltistas se refieren a la percepción de la forma a partir de los elementos individuales. 63

El constructivismo muestra la necesidad de considerar U BOrtütU DE cómo interpretan individualmente los niños sus experiencias us MATFMÁUCAS matemáticas (a menudo de una íorma incoherente e irracional).

El procesamiento de información intenta aplicar los conceptos de almacenaje, procesamiento y recuperación al trabajo mental.

Todas estas propuestas deben ser vistas como vanas facetas del complejo proceso de aprendizaje y comprensión de Us matemáticas. No forman una jerarquía; no se debe elegir sólo una ni escogerla por nuestras propias inclinaciones. Todas tienen algo que ofrecer y todas pueden contribuir a mejorar los métodos de enseñanza y de construcción y diseño del programa.

64

C A P I T U L O 4

Dificultades de aprendizaje basadas en la organización escolar, metodología y curriculum

En el capítulo anterior nos referimos a cierros estudios de investigación que trataban del aprendizaje y sus dificultades. En este capítulo veremos mis específicamente ios orígenes de estas dificultades en el instituto y discutiremos tres de ellos:

1. La organización del instituto, el departamento y la clase.

2. La metodología del aula. 3. El curriculum de matemáticas.

El Capítulo 5 tratará de las dificultades inherentes a la propia naturaleza de tas matemáticas.

I. Organización de la escuela, ci departamento y la clase

Pocos directores de departamentos de matemáticas son capaces de organizar sus clases exactamente como lo desean; se encuentran limitados por el horario global del centro* la provisión de personal y la política escolar. Si las clases no se diferencian por la distinta capacidad de los alumnos y son distribuidas en una variedad de horas en el departamento de matemáticas* entonces un director de departamento encontrará difícil organizarías —es decir, clasilícar a los alumnos en grupos homogéneos acordes con su habilidad en matemáticas. Si las clases se distribuyen en base a la capacidad general no encontrará posible organizar grupos de habilidad variada en matemáticas, aunque desee hacerlo. Un director de departamento puede ver grandes ventajas en la formación de un equipo de enseñanza para encontrar soto que no puede obtener el suficiente profesorado cuando lo pide. Aún sin

tales restricciones externas, muchos directores de departamento LA pueden encontrar difícil decidir las formas más apropiadas LAS para las clases y la organización de los grupos, debido a la distinta naturaleza de los recursos disponibles.

Las formas globales de organización escolar varían ampliamente —lo que a un instituto le va bien puede ser poco aconsejable en otro, Ha de considerarse asimismo la disponibilidad, opinión y recursos de! profesorado. Actualmente, un modelo típico de organización escolar es aquel en que se enseña a los más jóvenes alumnos de secundaria en clases de capacidad variada, mientras los mayores trabajan en temas individuales acordes con su capacidad. Muchos profesores de matemáticas apoyarían las razones sociales y educativas para no mantenerlos en el comienzo de la secundaría, pero cambian de opinión cuando los alumnos pasan a los últimos años. Ven incrementarse en complejidad ios conceptos que han de ser adquiridos y encuentran las explicaciones más fáciles de enseñar si se encuentran con alumnos de una capacidad aproximadamente similar. Las demandas de los exámenes externos animan a mantenerlos en los primeros cursos. Dentro de este sistema general de organización escolar existen, naturalmente, variaciones; algunas de ellas son mencionadas al final de la Sección 2, más adelante.

Por el contrarío* consideremos un sistema muy diferente tal como funciona en una nueva escuela al noreste de Escocia, con un censo actual de alrededor de 600 alumnos. La semana está dividida en diez unidades de tiempo, cada una de 2 1/2 horas, cinco por las mañanas y cinco por las tardes. Cada clase dedica una unidad de tiempo por semana a cada asignatura, Un clase puede, por tanto* tener todas sus clases de matemáticas el martes por la mañana, o codas las de inglés el jueves por la tarde. En toda la escuela las clases son de capacidad variada. Existe un departamento de dificultades de aprendizaje integrado por especialistas de las distintas asignaturas.

Además de la sesión normal de 2 1/2 horas, los alumnos trabajan en matemáticas en otros momentos. Por ejemplo, los alumnos más jóvenes tienen treinca minutos de apoyo tutorial cada mañana cuando se necesita ayuda en matemáticas. Existe también un programa estructurado de ejercicios obligatorios. Los alumnos mayores de dieciséis tienen una organización diferente en los dos últimos años escolares al situarse aparte ta mitad de cada día para un estudio individual, parte del cual es supervisado y otra parte es informal. (La enseñanza, como se podría esperar, es llevada a cabo con materiales adecuados a un enfoque de capacidad variada; se

DIFICULTADES DE AWENDfZAjE

RAMDAS EU1A

ORGANÍZAClÜtf

K9C0U&,

utiliza el plan Hemcmann Modular Mathenuítks1 pero está siendo reemplazado por el K&tt Mathematia Project\)

Está organización, que no es excepcional pero sí poco común en el instituto, ha demostrado que tiene éxito. Puede no ser aceptable en otros institutos, pero apoyado por un personal entusiasta no sólo ha tenido éxito en términos de aprendizaje matemático sino que resulta popular entre los alumnos. Todavía surgen dificultades de aprendizaje pero muchas pueden ser previstas y resueltas por la organización que se ha adoptado. Se puede conseguir un éxito .semejante con las dificultades de aprendizaje y los bajos resultados a través de una forma más ortodoxa de organización.

También es posible adoptar una forma de organización específicamente diseñada para facilitar el aprendizaje y que, sin embargo, no se haga el mejor uso de ella. Muchos institutos todavía ordenan a sus alumnos en clases acordes con su capacidad, pero no utilizan plenamente este orden en la disminución de las dificultades de aprendizaje. A cada clase se le da anualmente el mismo contenido al mismo ritmo, usando los mismos recursos y se ie presentan las mismas pruebas de evaluación. En tales circunstancias, los alumnos más capacitados tendón malos resultados debido a lo relativamente lento que discurre el proceso y a la existencia de un programa común con su rango restringido de experiencias matemáticas, mientras los alumnos en los grupos de habilidad más baja lo harán mal, esperarán hacerlo mal y continuarán haciéndolo mal, ya que para ellos el ritmo y el programa les piden demasiado. De igual manera, los alumnos medios pueden hacerlo peor de lo que podrían si el ritmo de trabajo de los alumnos más capacitados les influyera.

Cada tipo de organización escolar tiene su propia capacidad para reducir las dificultades de aprendizaje dependiendo de si el estilo de enseñanza y el rango de recursos desarrollado son apropiados para la organización global. De ules cuestiones nos ocuparemos ahora.

2. Metodología del aula

La metodología debe estar ligada a la organización. Uno de los aspectos de esta relación que no hemos mencionado antes es la ratio profesor/alumnos. Una ratio alta (superior a 1:30) no permitirá que el profesor preste mucha atención personal a cada alumno, pero es un error admitir que una disminución en la ratio debe mejorar la enseñanza y el

1 Modular Matbtmatia* 1974, Heinemaun. 1 Ktnt Mattxmaúcs Project^ (978. Ward Lock, 67

aprendizaje. En último término, una ratio 1:1 puede dar LA lugar a varios problemas, uno de los cuales es la ausencia de Ul interacción entre alumnos. La electividad de la enseñanza se incrementa con un decrecimiento de b ratio profesor/alumnos pero sólo hasta un punto fijo y* desde luego, tampoco resulta proporcional El estilo de enseñanza, naturalmente, depende del tamafto de la clase. Uno no enseña a una clase de cinco como lo haría a una clase de treinta y cinco.

Ahora identificaremos vanas causas de dificultades en el aprendizaje que radican en la metodología del profesor.

Una inadecuada presentación dtí profesor

Una presentación inadecuada puede deberse a varias razones. El profesor puede olvidar algunas lagunas en el conocimiento de los alumnos. Su exposición puede estar ausente de estructura y claridad o basarse en supuestos injustificados respecto a la capacidad y progreso de los alumnos. Puede dar un énfasis insuficiente en las ideas clave* No proporcionar actividades apropiadas tales como trabajo práctico, dibujo, medida, investigación o resolución de problemas. Tratar pocos ejemplos sencillos con los que ilustrar las explicaciones. Los ejercicios del alumno pueden estar mal graduados o ser confusos, o pueden ser rutinarios y mecánicos, extraídos de un único libro de texto insuficientemente comprensivo. La ausencia de una supervisión continua y progresiva, así como de una evaluación apropiada, vendrán a añadir nuevas dificultades.

El ritmo de trabajo

Las principales dificultades de aprendizaje pueden deberse al ritmo de trabajo. En primer lugar, la velocidad con que un profesor desarrolla un tema puede resultar demasiado rápida para ciertos alumnos. Por otro lado, la exposición puede ser satisfactoria pero, al presentar el trabajo demasiado rápidamente, llegar a presentarse dificultades. Ninguna tarea de consolidación y revisión, si se lleva a cabo al mismo ritmo, mejorará el tema. Esto, naturalmente, se relaciona con las opiniones del alumno sobre la velocidad en matemáticas que se han discutido en el Capítulo 2.

Las dificultades de aprendizaje también pueden venir motivadas por el ritmo con que se diseña un curso entero. No es extraña la existencia de programas que requieren que el alumno, el grupo o clase alcancen una cierta etapa en un tiempo determinado. Tales cursos, planificados con poco

DIHOJUADÍSDE interés por las'necesidades y capacidades de los alumnos, APRENDÍ?AJE fomentan los fallos y la tensión.

MÍMk)*IKU OftGAXIZACIÚN

tscou*. Insuficiencia de tos recursos de aprendizaje

Mientras no exista algo como un libro de texto o conjunto de fichas de trabajo perfectos, algunos productos serán mejores que otros. La presentación visual es importante para todos los grupos de edad y niveles de capacidad. Los alumnos más jóvenes o menos capaces no se sentirán atraídos por los textos con largos párrafos escritos de sentencias complicadas y ausentes de ilustraciones, diagramas y dibujos. Otro* alumnos pueden no apreciar los materiales basados en dibujos que le intercambian palabras contenidas en «burbujas». Factores simples como el equilibrio entre el texto y la ilustración son importantes; así como su distribución. Puede resultar confuso encontrar que la información necesaria pan un cálculo se presenta tres páginas más adelante. Estos puntos serán considerados en detalle en el Capítulo 12.

Los ejercicios propuestos son también un factor impor tante. Aunque el material del libro de rexto pueda aumentarse y a menudo así se hace, resulta todavía importante que exista un programa de ejercicios bien graduados en el texto principal. En algunos libros y materiales se presta una atención insuficiente a la graduación* El segundo problema en un conjunto de ejercicios puede resultar más difícil que el décimo. Igualmente, pueden aparecer en los ejercicios destrezas que no se han enseñado o que no se han revisado hace tiempo, originándose dificultades que no se preveían. Una expresión tal como x1 — x* — 6x, presentándose inesperadamente en un ejercicio de factorización de trinomios cuadrárteos, puede causar estragos en codos los alumnos, incluidos los más capacitados. Los alumnos que practiquen aplicaciones de la ley distributiva pueden hacer progresos con ejemplos como 3(2x — 3y) pero se detendrán en su camino por la aparición no anunciada de —(x + 2y). Conjuntos variados de ejercicios tienen lugar en la revisión y consolidación, pero deben ser planificados para los alumnos y estos deben saber qué pueden esperar.

Secuencialiíación de temas

IM dificultades pueden ser causadas en ciertos alumnos porque una destreza que es un prerrequisito necesario para un nuevo tema no se ha encontrado desde hace algún tiempo. Los beneficios de un curriculum en espiral (ver

Capiculo 5, Sección 3) pueden reducirse mucho si no se vuelve frecuente y suficientemente sobre ciertos temas clave.

Niveles de lenguaje

El nivel de lenguaje empleado por el profesor debe adaptarse a las capacidades y comprensión de sus alumnos; esto es cierto igualmente para la palabra escrita. En años recientes ha existido sobre este tema una conciencia creciente por lo que le dedicaremos una discusión posterior en los Capítulos 6 y 12, Aquí sólo haremos un comentario general.

Muchos niños, particularmente los menos capacitados, tienen dificultades en su progreso matemático por algunas palabras o frases (aparentemente simples) utilizadas con frecuencia en matemáticas. (Los alumnos invitados a «completar los cálculos» que no han empezado, obtener un «conjunto de soluciones» cuando no están en una clase de ciencias y calcular productos cuando la lección no es de geografía! En general, e! lenguaje utilizado debe ser simple y evitar en la medida de lo posible, vocabulario inapropiado o confuso. Cuando se emplee vocabulario técnico, se debe tener cuidado en asegurarse que los alumnos entiendan el significado matemático de los términos implicados.

Otra forma en que tiene tugar la interacción entre metodología y organización es a través de la atención individual que se preste a los alumnos durante un tiempo apropiado. La extensión en que esté disponible esta ayuda individual puede tener una considerable influencia sobre el aprendizaje del alumno.

En las escuelas de un área urbana escocesa en la que los censos son bajos, la autoridad educativa utiliza profesores excedentes de matemáticas para proporcionar una ayuda adicional, especialmente a los alumnos ruás jóvenes, con dos profesores de matemáticas presentes en la misma clase. Más interesante resulta que una clase pueda tener tres bloques consecutivos de veinte minutos, estando un profesor en el primer bloque y los dos el tiempo restante. Como resultado surge una forma particular de enseñanza cooperativa con dos especialistas compartiendo la responsabilidad en los progresos del alumnado.

Otras autoridades pueden proponer una cooperación entre profesores de apoyo o especialistas en dificultades de aprendizaje y departamentos de matemáticas. Estos especialistas, sí están apropiadamente entrenados y motivados, pueden influenciar favorablemente todos los aspectos de la administración del aula de matemáticas» incluyendo la metodología, de las siguientes cuatro formas:

l. Consultan con los profesores de matemáticas, ayudan a eliminar recursos inconvenientes, promueven una evaluación bien definida, y ejercen una influencia general sobre el método de enseñanza.

?. Se constituyen en una ayuda importante para los alumnos menos capacitados, que tienen severas dificultades en el lenguaje básico y trabajo numérico,

i. Participan como compañeros en la enseftanza cooperativa. Su papel no es tanto el de un auxiliar que corrije tos ejercicios, como el de un compañero especializado en dificultades de aprendizaje.

4. Proponen y supervisan programas para los alumnos que tienen problemas temporales a cono plazo causados por circunstancias tales como ausencia, enfermedad, traslado de instituto o problemas familiares.

Finalmente, todo lo dicho resulta equivalente a una cita del Informe Cockcroft, Mathemalia Counts\ sobre el estilo de enseñanza y la metodología. Afirma (p. 243) que:

la enseñanza de las matemáticas en todos los niveles debe incluir oportunidades para • la exposición por el profesor • la discusión entre el prolesor y los alumnos y entre los alumnos mismos. • el trabajo práctico apropiado • ta consolidación y práctica de las. rutinas y las desaeras

fundamentales m la resolución de problemas, incluyendo la aplicación de tas

matemáticas a situaciones cotidianas • el tribajo de investigación

Como ei propio informe nota, sin embargo, una lista de actividades no garantiza una buena metodología. Los factores determinantes realmente son el contexto en que estas actividades tienen lugar, la importancia que se asigna a cada una y las relaciones entre ellas.

3. El curriculum de matemáticas

Hasta aquí hemos considerado sólo superficialmente el curriculum de matemáticas. Ahora veremos tres dificultades de aprendizaje que se originan en el curriculum:

DlHCtlTAMSDE

APRENDIZAJE

BASADAS № LA

ORGANIZACIÓN

ESCOLA*.

71

i) Ausencia de dominio <k contenidos anteriores LA LAS

Algunas veces esca ausencia de dominio se refiere a un tema estrechamente relacionado con aquél que se está estudiando por lo que se identifica con facilidad, Un alumno que no puede manejar los enteros ha de encontrar dificultades en la resolución de ecuaciones. En este caso, la ausencia de habilidad con el cálculo de enteros se vuelve completamente obvia, pero algunas veces las relaciones no son un claras. Un alumno que factoriza expresiones cuadráticas está en deventaja si tiene un pobre conocimiento de los hechos multiplicativos básicos, una desventaja que puede ser pasada por alto porque el profesor se concentre en otros conceptos implicados, absorbentes por s! mismos.

7 2

//) Nivel de abstracción

El alumno puede no estar listo para el grado de abstracción que se le exige. Las matemáticas de la educación secundaria, incluyendo la geometría, tienden a ser presentadas de forma abstracta, con poco trabajo práctico en muchos cursos. En otros se incluye este trabajo práctico pero la aparente escasez de tiempo conduce a menudo al profesor a su abandono. Se puede esperar, por ejemplo, que los alumnos comprendan las propiedades de un paralelogramo viéndolo dibujado sobre la pizarra. Un dibujo tal hace difícil de apreciar las propiedades de simetría en los alumnos jóvenes, mientras que el cortado, doblado y la rotación de figuras reduce enormemente las dificultades de percepción.

La investigación sobre los niveles de desarrollo cognitivo en geometría ha sido llevada a cabo por P. M. Van Hiele, que ha identificado los cinco siguientes, denominados niveles de Van Hiele (ver Research m Learning and Teaching Maihe-maífcí*, pp. 222*224).

Nivel 1: En este nivel los alumnos perciben diagramas geométricos como una totalidad. Los alumnos no observan:

a) las parres individuales de la figura, b) las relaciones entre las partes componentes, c) las relaciones entre figuras diferentes.

El reconocimiento de figuras es fácil ya que se perciben como formas completas. Este nivel puede ser descrito como global/descriptivo.

* fieil, Cosccllo y Kuchtman.

Dt7íCUtTAI>ES DE

APRENDÍ?. Aj£

BASADAS EN LA

ORGANIZACIÓN

ESCOLAR,

Nivel II: Los alumnos empiezan a ver las partes de las figuras. Se pueden establecer experimcntaJmente las propiedades de las formas, aunque no definidas formalmente Este nivel puede ser descrito como experimental/analítico. {Los niveles I y II juntos forman una etapa experimental preliminar basada en situaciones prácticas, en dibujo y medida.)

Nhel líl: lx>$ alumnos son capaces de establecer relaciones entre las propiedades de una figura y entre las figuras mismas. Pueden determinar la posibilidad de una propiedad a partir de otra. El proceso de enseñanza desarrolla conclusiones lógicas, clarificánd ose el papel de la definición. Este nivel puede ser descrito como educativo.

Nivel IV: Los alumnos reconocen el significado de la deducción como un medio de construir y desarrollar ia teoría geométrica. Queda claro el papel de los axiomas en este desarrollo.

Nivel V: En el nivel final las teorías se desarrollan sin necesidad de ninguna interpretación concreta.

Es evidente que las dos primeras etapas de Van Hiele son de naturaleza experimental, basadas en el trabajo práctico, y solamente en el nivel III aparecen las ideas deductivas. Muchos programas actuales de matemáticas retrasan actualmente el trabajo en el nivel III hasta los catorce anos. Aún hay profesores de secundaria, sin embargo, que tratan la geometría como si los alumnos fueran automáticamente capaces de realizar deducciones y llegar a conclusiones lógicas; es decir, que alcanzan la etapa del pensamiento operacionat formal ayudados tan sólo por los libros de texto y la instrucción de clase.

Aunque hemos utilizado la geometría como una ilustración, la introducción temprana de una abstracción innecesaria causa dificultades en todas las áreas de las matemáticas. Esto será discutido en el capítulo siguiente.

iii) Habilidad innata

La tercera fuente de dificultades en el aprendizaje provt-nientes del curriculum se refiere al nivel de inteligencia. Algunos alumnos no tienen la habilidad innata para hacer frente a ciertos contenidos matemáticos. Mientras algunos alumnos pueden recuperarse a través de tina enseñanza complementaria, existen otros en lo que se observa una capacidad general baja a parür de cierto punto de un tema concreto. Este es un problema serio para el que no existe una respuesta simple, aunque las ideas discutidas en las

Secciones 2 y 3 del Capítulo 3 sugerirán ciertas líneas de actuación.

Las siguientes estrategias generales —relativas a Ja organización escolar, metodología y curriculum— ayudarán a mejorar la calidad global del aprendizaje del alumno.

Reuniones departamentales regulares: La reunión del departamento de matemáticas debe jugar un papel central en la discusión y evaluación de la política a seguir. Hoy en día, muchos departamentos tienen algunos profesores de materna-ricas a tiempo parcial. Esto incluye a profesores que también enseñan otras asignaturas, profesores que se ocupan de labores de apoyo a otros profesores. La comunicación dentro del departamento es, por tanto, una cuestión importante. Las reuniones semanales pueden servir para asegurar que todo el personal implicado en la enseñanza de las matemáticas está convenientemente informado acerca de la organización y la política departamentales y tiene la oportunidad de contribuir a llevar adelante la planificación.

Actualización del profesorado: Un buen programa de actualización del profesorado es de considerable valor. Puede tomar muchas formas y es siempre oportuno para incrementar la conciencia del profesorado sobre las dificultades del aprendizaje.

Provisión de recursos de aprendizaje: Los recursos para e! aprendizaje en el aula se pueden obtener de varias maneras. Además del material producido comercial mente y del preparado dentro del instituto, se pueden obtener a menudo informes de otros institutos que, normalmente* recomiendan aquel material que han encontrado interesante y popular. Naturalmente, es necesario desarrollar criterios con los que valorar la conveniencia de los recursos tal como discutiremos en el Capítulo 11.

Apoyo a alumnos individuales: Es especialmente importante una organización que facilite una ayuda individual efectiva a los alumnos. Si esta ayuda viene proporcionada por un profesor de matemáticas, no tendrán tanta importancia el profesor de apoyo o el especialista en dificultades de aprendizaje.

Relación de la organización de objetivos: La organización escolar y departamental debe ser examinada para asegurar que ayuda a realizar los objetivos de la enseñanza pero no dicta cómo debe enseñarse la asignatura.

Registro efectivo de observaciones: Es esencial tener un conocimiento fiable de la etapa de conocimiento en que se encuentra actualmente cada alumno en su desarrollo matemático.

APRENDIZAJE*

BASADAS EN IA

ORGANIZACIÓN

UCOLALl

Relación entre el contenido y las actitudes y habilidades del alumno: Esto es central para el proceso global de enseñanza y aprendizaje. Debe haber una definición clara del contenido a enseñar, con indicación de las prioridades para los alumnos según sus capacidades y sus diferentes etapas de desarrollo.

Estas estrategias deben ayudar al desarrollo de una metodología efectiva en el aula. Tal metodología requiere también la comprensión de las causas espeífícamente matemáticas de las dificultades de aprendizaje. El próximo capítulo se refiere a tales causas.

•

«A

CAPfTULO 5

Dificultades de aprendizaje inherentes a la asignatura

En los Capítulos 2, 3 y 4 hemos examinado aquellas percepciones de las matemáticas en los alumnos que pueden interferir o bloquear el aprendizaje, hemos considerado algunos aspectos teóricos del proceso de aprendizaje de las matemáticas y cómo puede facilitarse dicho proceso, así como tres amplias áreas de dificultad en el aprendizaje dentro de! aula —organización metodología y curriculum.

Volvemos ahora a las causas de las dificultades de aprendizaje adjudicables a la propia naturaleza de las matemáticas. Tales dificultades no son debidas, simplemente, a una pobre planificación curricular, aunque una planificación de este tipo indudablemente las aumentaría, sino que provienen de la naturaleza de la propia asignatura, sus procesos de pensamiento y su simbolismo.

Para facilitar las referencias consideraremos por separado estas dificultades dentro de ocho áreas con los siguientes encabezamientos:

1. la naturaleza abstracta de los conceptos implicados 2. la complejidad de los conceptos 3. la naturaleza jerárquica de las matemáticas 4. la naturaleza lógica de las matemáticas 5. la notación formal 6. los algoritmos formales 7. el concepto y uso de las variables 8. los conceptos espaciales y el pensamiento geométrico.

Aunque existe un solapamiento inevitable entre estas áreas, se puede identificar una idea central en cada una. No todas las áreas son exclusivas de las matemáticas —las ideas abstractas o complejas, por ejemplo., están presentes en muchas asignaturas— pero consideradas acumulativamente constituyen, para muchos alumnos*, unos obstáculos formidables para el aprendizaje de las matemáticas.

1. La naturaleza abstracta de los conceptos implicados LA LAS

Para mucha gente, ios conceptos y procesos matemáticos pertenecen a un campo del pensamiento que parece una tierra de tinieblas, donde se vislumbra ocasionalmente ahora una característica, ahora otra. Es una tierra de misterio en la que los resultados claros del mundo cotidiano son reemplazados por formas ambiguas cuyos límites son inciertos y cuyas lormas cambian, así que (como ya ha sido notado en el Capítulo 2) lo que en un momento parece claro y bien definido, parece imposible de reconocer en otro momento.

Como ilustración, consideremos el siguiente desarrollo a partir del punto de vista infantil* En el comienzo de la escuela primaria aprende a asociar las palabras *dc*, «veces» y «producto» con el símbolo «X» de la operación llamada multiplicación e interpretada como una suma reiterada de números naturales. Así, tres cuatros, tres grupos de cuatro, tres veces cuatro, el producto d e 3 y 4 y 3 X 4 denotan la misma operación 4 + 4 + 4. Hasta aquí los cambios se han referido tanto al lenguaje como a la forma escrita. El significado es esencialmente el mismo. Sin embargo, al extender esta operación de multiplicación a las fracciones y enteros se observa la potencia de esta analogía. El niño ha percibido que la multiplicación es una operación sobre números naturales por ia que las cosas se hacen mayores. Tres grupos de cuatro significa añadir juntos cuatros de forma que la* respuesta será inevitablemente mayor que cuatro. (Los casos de la multiplicación por 0 y 1 plantean problemas aparte). Este aspecto de aumento en la multiplicación se construye sobre el concepto tal como llega a la conciencia mfantiL

Consideremos ahora las fracciones. Tempranamente al niño le resulta familiar la idea de la mitad de una manzana se obtiene ai dividirla en dos partes iguales. Más tarde aprende o encuentra que 1/2 de 12 es 6, obteniendo la respuesta nuevamente por división entre 2. Se le dice entonces que a este proceso se le llama también multiplicación y se escribe con el mismo signo X que se usaba en la multiplicación de números naturales. Encuentra también que el producto por fracciones propias tales como 1/2 y 1/3 hace las cosas mas pequeñas. Muchos niños no llegan a comprenderlo. La aparente solidez de su noción de multiplicación se disuelve siendo reemplazada por una idea resbaladiza, nebulosa que debe relacionarse con la división y la reducción de tamaño.

Supongamos que un alumno reajusta su pensamiento y llega a aceptar que «hacer las cosas más grandes* no es una característica esencial de la multiplicación. En su debido momento se verá confrontado a la multiplicación de enteros

DtficuLTAors DE negativos, lo que le exigirá un nuevo reajuste de su perspec-APRENDIZAJE tiva, cosa que pocos niños pueden hacer satisfactoriamente.

tNHEUNThs A LA Los alumnos más capacitados encontrarán en su debido ASIGNATURA momento la mtdtiplicación de matrices, productos escalares y

vectoriales, todos denotados por las mismas palabras «multiplicación» y «producto», SÍ es capaz llegará a comprender que existen elementos comunes en todos estos cambios de límites y ele formas —por ejemplo, las operaciones llamadas de multiplicación están asociadas con operaciones aditivas y distributivas respecto de U suma (es decir, a X (b + c) = {a X b) + (a X c)). Este nivel de abstracción, sin embargo, está más allá de lo que son capaces casi todos los alumnos. (Existen, naturalmente, situaciones donde una operación es llamada multiplicación sólo por conveniencia notacional; esto pertenece a un nivel de estudio matemático superior al tratado en este libro).

La multiplicación ha sido discutida en detalle a causa de su importancia, pero el fenómeno descrito antes no es exclusivo de e s » operación. Se pueden encontrar ejemplos similares en cualquier tema matemático. Inicialmemc, una idea matemática aparece en un contexto particular y surge así con ciertas características relacionadas con este contexto. Estas características pueden ser vistas por los alumnos como una parce integral de la idea o el concepto y se pueden asociar, tanto con la naturaleza particular de las actividades prácticas utilizadas para introducir la idea como con su contexto matemático inicial. Muchos niños llegan a ver que las actividades prácticas no son una característica esencial de la ¡dea o del concepto, pero el contexto matemático inicial las asocia irremediablemente con ellas. (Fue al tratar con estos problemas que Dienes formuló sus Principios de variabilidad perceptiva y matemática). Hablando en general, la abstracción a partir de un marco físico ocurre antes que la efectuada a partir de un marco matemático.

Para tomar un ejemplo matemático más sustancial, consideremos la introducción de las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente. Aparecen frecuentemente a! principio relacionándose con triángulos rectángulos y con definiciones formuladas en términos de ^adyacente», «opuesto*, ^hipotenusa». El contexto se refiere a alturas, distancias y ángulos de elevación y depresión. No se menciona la periodicidad (que no tiene sentido en un contexto de triángulos rectángulos) o la naturaleza funcional. Más tarde, muchos alumnos se enfrentarán con extensiones de la definición de ángulo comprendiéndolos entre los 90° y los 180u para tratar con triángulos arbitrarios. Pocos encontrarán las definiciones de las funciones periódicas completas del seno, coseno y tangente, en el contexto de un plano de coordenadas. Pero como los

>

alumnos más capaces encuentran difícil abandonar las definiciones originales basadas en el triángulo rectángulo, cuando lleguen a un conflicto intentarán que la definición vuelva a éste- La etapa final del proceso de abstracción, esto es, el desprendimiento de características matemáticas particulares y no esenciales, es la extracción de la noción de ángulo a partir de las definiciones de manera que, por ejemplo, en cálculo diferencial, la función sen (x*) sea significativa, aunque el cuadrado de un ángulo no lo sea.

Este despojar a la cebolla de los aspectos matemáticos no esenciales es un aspecto ineludible del desarrollo matemático. Debe, por tanto, ser explícitamente planificado por la secuencia de enseñinza. Las dificultades de aprendizaje en esta área presentan los mayores problemas a los no especialistas implicados en la enseñanza de las matemáticas, ya que el

esor debe comprender cómo y por qué tiene lugar este proceso de abstracción. Mucha de la potencia de las matemáticas surge en el proceso de remover las capas para alcanzar e| núcleo de la idea matemática. De los pocos componentes esenciales que tienen una idea o un concepto, el mayor es su aplicabilidad- La abstracción y la potencia van de la mano.

2. La complejidad de los conceptos

En la enseñanza se debe aceptar que todas tas ideas matemáticas son complejas. Que el profesor infravalore esta complejidad crea muchas dificultades de aprendizaje-

Para demostrarlo, consideremos los dos siguientes temas, cuya complejidad a menudo no es completamente apreciada —las fracciones vulgares y los enteros- Traten, por ejemplo, de responder brevemente a las dos preguntas siguientes de una forma que capte la naturaleza esencia! de cada concepto:

L ¿Qué es una fracción? 2. ¿Qué es un entero?

Pongan a prueba sus respuestas ante compañeros mate-milicos y no matemáticos viendo si

a) ellos les entienden, b) están de acuerdo con usted.

Mientras mucha gente escaria probablemente de acuerdo en que describir una fracción vulgar como dos números naturales escritos verticalmente con una linca horizontal entre ellos sería una respuesta inadecuada para la primera pregunta, de otro lado muchos pueden encontrar razonable

DincutT\D€S Dt definir un enrero como un número natural con un signo más MftEKiHZAjE o menos frence a él. Ambas cosas son igualmente insatisfac-

fSHEMzrrBAU tonas porque se refieren sólo a la forma escrita-ASKNATW* De igual forma, la definición de una matriz 2 X 2 como

4 números escritos en dos filas y dos columnas y encerrados emre paréntesis, se refiere sólo a la forma escrita aunque una definición tal puede encontrarse en libros de texto. A menudo, definiciones como éstas son las que recuerdan los alumnos, sobre todo si el enfoque de la enseñanza las resalta sobre las ideas realmente implícitas. Un profesor debe primero analizar por sí mismo aquellas características de una idea (o concepto o técnica) que el estudiante debe entender antes de poder aprenderla. Sólo entonces puede construir actividades y secuencias de aprendizaje que permitirán al que aprende ir conociendo aquellas características en una progresión apro piada. Volveremos sobre este punto al final de la sección.

El profesor debe evifcar, mientras le sea posible, introducir aspectos complementarios complejos que no sean centrales al concepto o a la técnica. Por ejemplo, resolviendo una ecuación tal como 2x + 1 = 11, la introducción del conectivo lógico es de una complejidad superior a la que se requiere para encontrar la solución. Kn general, el contexto utilizado para introducir un concepto o una técnica no debe contener aspectos que requieran explicaciones sustanciales al comienzo.

Al intentar superar los problemas que surgen de la complejidad de las ideas matemáticas, los profesores han recurrido a varias estrategias, de las que mencionaremos tres. Cada una tiene su mérito pero también es defectuosa de alguna manera:

i) la simplicidad a través de la abstracción ii) la simplicidad a través de la analogía

üi) la simplicidad a través de la autoridad

i) La simplicidad a través de la abstracción

La idea que subyace a esta propuesta es que muchas ideas matemáticas son esencialmente simples cuando se ven bajo su propia luz, pero que esta simplicidad resulta ocultada por los contextos usados en su introducción a los alumnos —la misma idea puede presentar aspectos diferentes al que aprende

• en dos contextos distintos. Así, la esencia de esta estrategia es la de presentar

definiciones, teoremas y técnicas en una organización tan abstracta como sea posible, evitando que tomen aspectos distintos en la mente infantil según el contexto tratado. Esto

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es lo que sucede ¿ menudo en los cursos de matemáticas de IAEKB£AM&LDÍ la Universidad pero puede tener un coste importante. Los LAS ¿IATUÍÁIÍCAS estudiantes no pueden cntvndtr el propósito o la importancia de las definiciones, teorvnu* o técnicas o la motivación que conduce a ellas y, como consecuencia, no son capaces de aplicarlas a su trabajo, vencidos así por el tratamiento abstracto seguido.

Además, el nivel de pensamiento abstracto que se necesita para llegar a la simplicidad puede estar lucra de su alcance. Los tratamientos de enteros en términos de clases de equivalencia que aparecen en algunas publicaciones comerciales de los anos setenta, fallan exactamente por esta razón. El trabajo de Piaget (y la experiencia práctica) deberían alertar a los autoras sobre los problemas que implica este enfoque.

(lomo otro ejemplo en el nivel escolar de la propuesta de M i n p t i u d a d a través de la abstracción, consideremos el ti-\. JK-niL desarrollo de las reglas habituales para la multiplicación de enteros. Consideramos el requisito uncial de que la multiplicación de enteros sea distributiva respecto de la suma.

Para calcular 2 X ( - 3), por ejemplo, empezamos con 2 X (3 + ( - 3» = 2 X 0 = 0

Aplicando ia ley distributiva, obtenemos: ( 2 X 3 ) f ( 2 X ( - 3 ) ) = 0

Sumando — 6 a cada lado nos da: 2 X ( — 3) ~ —

Para calcular (— 2) X (— 3) comenzamos con: (2 + < - 2)) X { - 3) = 0 X ( - 3) = 0.

Hntonces: ( 2 X < - $)) + « - 2 ) X ( - 3 ) ) = 0

Ahora: 2 X ( - 3) = — 6

Sumando 6 a ambos miembros tenemos ahora: ( - 2) X ( - 3) = 6.

Matemáticamente, este desarrollo desde la suma a la multiplicación es simple; no requiere analogías o modelos complicados y utiliza una propiedad básica de la multiplicación: la distributiva respecto de la suma. Por sólo los más capacitados entre los de 12 y 13 años alcanzarán el nivel de pensamiento abstracto necesario para apreciar tal simplicidad. La mayoría de los alumnos entenderán muy poco o nada.

DincuiTAnes £>£ La definición de un vector como un conjunto de ¿mwflZAjE segmentos dingidos equivalentes es otro ejemplo de una

INHERENTES A IA aproximación abstracta, matemáticamente impecable, pero ASKÍNATUM inconveniente para la mayoría de los alumnos.

En el nivel escolar entonces, la simplicidad a través dr la abstracción no es una estrategia realista en términos del desarrollo mental de muchos alumnos.

Resulta importante aquí mencionar el trabajo de Bruner discutido en el Capitulo 3, Sección 4. Bruner defiende el desarrollo tic principios generales para el proceso de abstrae* ción a partir de contextos particulares, no la introducción de dichos principios sin motivación.

ii) La simplicidad a trairs de la analogía

Existe un intento de reducir las complejidades a través de la comparación de un nuevo concepto o proceso con alguna situación o actividad familiar o un lugar común que presente un parecido superficial con el concepto o el proceso. Por ejemplo, cuando traíamos con la regla «dos menos hacen un más* para la multiplicación de enteros, un profesor puede compararla con el uso de la doble negación en castellano. La frase «No voy a negarme a ir- es equivalente a «Voy». Esta analogía puede usarse también para explicar un resultado inverso como — (— 3) = 3. Desafortunadamente, esta analogía no sólo tiene una conexión con la multiplicación de enteros o con la regla inversa — (— a) = a, sino que puede igualmente estar ligada con la suma o resta de enteros donde, por ejemplo» (— 2) — 3 ^ 5. La llamada «álgebra de macedonia de frutas», a la que nos referiremos rnás de una vez, es otro ejemplo del uso de una analogía superficial que no está realmente conectada con la idea que ha de explicarse. Esta analogía consiste en tratar un término algebraico tal como 5x como siendo similar a 5 naranjas, así que, por ejemplo, 5x + 3x — 8x puede ser explicado refiriéndose a que 5 naranjas mas 3 naranjas son iguales a 8 naranjas. No es entonces sorprendente que el niño pueda pensar que 5x + 3y = 8xy sobre la base de que (1) ha de existir una solución (deseo de resultado, ver Capítulo 3, Sección 1), y (2) 5 naranjas más 3 manzanas dan 8 piezas de fruta, algunas de las cuales son naranjas y otras manzanas,

En ambos casos las analogías consideran las ideas sólo a un nivel superficial y no ayudan a dirigir la atención del que aprende hacia el núcleo real de la idea, concepto o proceso implicado. Naturalmente, el uso de una analogía puede ser un método efectivo de alcanzar la esencia de una iJea pero

debe ser medíame una analogía que se relacione con la naturaleza matemática de la idea.

üij La simplicidad a través de la autoridad

La enseñanza de esta propuesta de enseñanza es «Haz como te digo*- En otras palabras, no intentar dar explicaciones sobre las actividades que estén diseñadas para promover la comprensión: es decir* enunciar ías definiciones, demostrar las reglas y dejar a los alumnos que las practiquen. Esto se justifica a menudo con el argumento de la experiencia —las explicaciones confunden a la gente y estorban un uso eficaz de las reglas. Sin embargo, como se lia discutido en los Capítulos 2 y 3, las reglas sin justificación no sólo pueden ser olvidadas o mal utilizadas, sino que el efecto de esta postura sobre la actitud global de los alumnos hacia la asignatura puede ser desastroso.

Una respuesta al problema de la complejidad de las ¡deas matemáticas es la de considerar las distintas ramas de un concepto o una técnica y diseñar actividades para ilustrar cada rama separadamente así como las interrelaciones entre ellas. Haciéndolo así resultará evidente que algunos aspectos deben aparecer más pronto y otros más tarde. De esta forma se construye un análisis de tareas o jerarquía de aprendizaje, tal como se discutió en el Capítulo 3, Sección 2. Discurriendo a través de las etapas de la jerarquía, surgirán las reglas y las técnicas, y podrán ser practicadas en cada etapa. La confianza así construida servirá normalmente para que parezcan fáciles las etapas sucesivas.

Así, el progreso a través de la jerarquía de aprendizaje se acompaña de una interacción entre las formas de comprensión relaciona!, instrumental y formal.

3. La naturaleza jerárquica de las matemáticas

De todas las asignaturas escolares, las matemáticas son probablemente las más jerárquicas en su naturaleza. Si se permite que esta jerarquía en el contenido guíe la secuencia de enseñanza, no sólo es probable que surjan dificultades sustanciales en el aprendizaje, sino también que se provoque el aburrimiento y la apatía. Los peligros para el proceso de aprendizaje de construir todo el nuevo conocimiento sobre la misma base material, son bastante obvios y han sido discutidos en el Capítulo 4,

Es, por tanto, una buena práctica en la enseñanza de las matemáticas adoptar un abanico de estrategias diseñadas para

DIFICULTADES DE evitar o disminuir las consecuencias de una adhesión demasiado Af>REKDi/A|F estricta a la naturaleza secuencial de la asignatura. Tre& de

INHERENTES A LA tales estrategias que pueden ser usadas a discrección por los ASIGNATURA profesores son las siguientes. Todas tienen peligros y ventajas.

i) Mirando hacia adelante

Esta estrategia implica que ei profesor discuta con los alumnos la dirección futura del trabajo en matemáticas, de forma que puedan ver a donde les conduce dicho trabajo. Puede comenzar un tema a través de la discusión sobre los problemas finales que han de ser resueltos, en orden a motivar un trabajo dirigido a los métodos de resolución de los problemas planteados.

Como ilustración, consideremos la habitual técnica de equilibrio para la resolución de ecuaciones simples. Muchos niños encontraron inicialmente tales ecuaciones en un contexto aritmético de inversión de operaciones. Por ejemplo, para resolver la ecuación 2x + 1 = 13, se debe hacer;

2x es menor que 13 en 1, así que 2x = 12 x es la mitad de 12, así que x = 6

Para motivarle hacia el equilibrio, se debe invitar a los alumnos a intentar encontrar la solución de una ecuación tal como 2x + 4 = 5x — I t , poniendo en práctica el método de equilibrio encontrado antes- Los alumnos pueden desarrollar las nociones de equilibrio por ellos mismos, con el consiguiente beneficio para su comprensión.

Como un segundo ejemplo, una forma de motivar el descubrimiento del teorema de Pitágoras consistiría en considerar el problema de encontrar la longitud del segmento que una dos puntos dados en un plano de coordenadas, a través del cual los alumnos pueden construir el teorema por ellos mismos considerando el área de un cuadrado, uno de cuyos lados es el segmento en cuestión (ver el Capítulo 10, la Sección sobre el área).

La mayoría de los alumnos puede descubrir lo que deben hacer y por qué, una minoría se aburrirá sintiéndose indecisos y sólo otra minoría apreciará que la jerarquía de contenidos le guía en su pensamiento (ver también el Capítulo 3, Sección 3).

ti) Cambiando de tema

Un aspecto a considerar es el del curriculum en espiral que fue mencionado en el Capítulo 4, en el que un tema

dado no era tratado de una vez por todas sino que se LA ENSEÑANZA IH

¡ntroducía y se volvía a él en varias ocasiones siendo cada vez usMAnuAncAS

mayor el alcance y la profundidad con que era considerado. Un desarrollo tal está previamente planificado y es parte esencial de la construcción del programa (Capítulo 10). Puede tener lugar algún cambio de tema, aunque no baya sido planificado con anterioridad, si se basa en las observaciones del profesor sobre el progreso y las actitudes de los alumnos. Antes que continuar el desarrollo de un tema más allá de un punto en que el alumno evidentemente se aburre y progresa lentamente, un profesor debe decidir cambiar a una parte enteramente diferente de matemáticas —particularmente, si uno quiere volver a captar el interés del alumno. Los profesores bien organizados tienen material preparado y listo para ser usado en varios de tales temas de interés. El tema original puede ser retomado de nuevo más tarde, probablemente con un mayor interés del alumno-

Es necesario enjuiciar con cuidado la posición y la naturaleza de tales cambios. Romper el desarrollo de un tema en un punto equivocado puede hacer necesaria una revisión posterior antes de poder avanzar de nuevo. Cambios demasiado frecuentes pueden llevar al alumno a pensar en una fragmentación del programa. Utilizados diestramente, sin embargo, los cambios pueden ser muy beneficiosos para mantener el interés del alumno hacia las matemáticas.

iii) Empezando de nuevo

En algunas situaciones, puede resultar ventajoso comenzar el desarrollo lógico de un nuevo tema a partir de algunos temas previos, no desde el tema anterior sino desde los primeros principios o un material mis simple. De esra forma, se puede dar un nuevo comienzo y las dificultades del alumno con los tema* previos no interferirán en el desarrollo del nuevo. Por ejemplo, antes que desarrollar la regla del seno en su forma completa a^ partir de las propiedades angulares de los círculos, el profesor puede usar directamente la definición de la función seno en un triángulo rectángulo y obtener la regla en una forma restringida (Sección 8).

La geometría en general conduce por sí misma a este enfoque, pese al coste de perder el sentido del desarrollo lógico (Sección 4 ) , Para muchos temas no es posible esta opción. Por ejemplo, la introducción de las funciones trigonométricas requiere un entendimiento previo de las propiedades de semejanza; de otro modo las definiciones no tendrían significado.

El método general de reducción de las dificultades de aprendizaje en lo que respecta a la jerarquía de contenidos,

1

es el de la revisión, el asegurar que las principales características de los materiales encontrados previamente y que se requieren para comprender el nuevo tema, estarán presentes en las mentes de los alumnos. Las tres estrategias anteriores están diseñadas para disminuir, en ocasiones apropiadas, la necesidad y la extensión de tal revisión aunque, naturalmente, se requiere la revisión para otras cosas.

Es parte de la profesional idad del buen profesor de matemáticas tener el suficiente conocimiento tanto de Jas matemáticas como de los procesos de pensamiento infantiles como para conocer cuándo la jerarquía de contenidos debe ser respetada, cuándo ignorada o esquivada. Como regla de trabajo general, si las matemáticas que han de ser ensenadas no precisan una secuencia particular de contenidos, entonces el programa de aprendizaje debe ser determinado por la receptividad de los alumnos.

4. La naturaleza lógica de las matemáticas

El aspecto deductivo formal de las matemáticas se ha considerado una de las principales dificultades en el aprendizaje de la asignatura, de tal forma que, por ejemplo, la geometría eucüdea tradicional ha desaparecido de los programas escolares para ser reemplazada por métodos intuitivos más informales. Mientras que el abandono de las demostraciones formales sólo ha tenido elogios, la falta de atención sobre el pensamiento lógico es insatisfactoria en general, así como la incapacidad de seguir un argumento lógico es la causa de considerables dificultades en el aprendizaje de las matemáticas. Ciertamente, es una destreza de alto nivel, pero resulta necesaria en todos los niveles de competencia matemática. El abandonar esta destreza en beneficio de una aplicación instrumental de las reglas, además de limitar ¡a habilidad matemática de los alumnos, es siempre una mala práctica.

Este es, sin embargo, un aspecto paradójico de las matemáticas que puede parecer irrazonable a muchos alumnos. Por ejemplo, como se ha mencionado en e! Capítulo 1, «1/3 4; i/12 = 4* puede confundir a los alumnos más capaces ya que 1/3 y 1/12 son fracciones pequeñas y 4 es más grande-¿Cómo se pueden combinar dos fracciones pequeñas para dar una respuesta un grande? Nuevamente -1/12 < 1/2* puede causai" confusión ya que 12 es mayor que 2. Kent relaciona muchos de tales ejemplos en sus dos artículos «Sorne processes through wich mathematics is lost*1 y *More about some

1 Keot. D, 1978: Some proceses through wich minhematics ía lost, Educational Restar^ 21, 27-36.

processes through wich mathematics is lost**. Una chica pensaba que x = у no tenia sentido. ¿Cómo puede ser x lo mismo que y?

FJ sentimiento de lo inesperado que evencualmente se siente ante las matemáticas produce un estado mental en el que los alumnos siguen sus propias reglas. Para un alumno en estas condiciones, (a + b) 2 = a2 + Ы es otro ejemplo de 2 (a + b) • 2a + 2b; 0,4 X 0,2 = 0,08 lleva a que 0.4 + 0,2 m 0,02. No es que el alumno esté dando razone» a lo loco;

el piensa que se comporta racionalmente —se aferra a la idea de una regla y ahora usa su iniciativa para aplicarla a otras situaciones (ver Capítulo 3, Sección 3 sobre el trabajo de Case), Socavando esta iniciativa al decirles que dejen de hacer lo que están haciendo es, al menos, poco satisfactorio. Una alternativa preferible consistiría en animarles a que pensaran por qué y dónde trabaja la regla, de manera que pudieran observar por qué no funciona en otras circunstancias. Tales métodos de apoyo serán tratados con más detalle en el Capítulo 9.

Algunas veces, naturalmente, es posible llegar a un resultado o método correctos para resolver un problema a través de una intuición ingenua antes que por el razonamiento lógico, pero una de las dificultades de aplicar estas intuiciones aparentemente razonables a la solución de !os problemas de matemáticas es que éstas presentan a menudo resultados que están en conflicto con la intuición y que, para mucha gente, son difíciles de creer. Uno de tales resultados, en aritmética, es que no existen más números naturales que números pares Un ejemplo famoso del matemático Besicovirch (el problema Кдкеуа) es el de una varilla de una longitud dada que puede ser girada 160° dentro de un área tan pequeña como uno quiera. Para algunos, resultados como estos infunden un nuevo respeto por el poder lógico de las matemáticas; para otros, les lleva л ta opinión de que las matemáticas tratan con lo increíble y lo ridículo y están alejadas del sentido común del mundo cotidiano. A nivel práctico, sin embargo, la intuición puede ser una guía equívoca. Por ejemplo, considerar el siguiente problema* «Cuatro puntos forman los vértices de un cuadrado. Unir estos cuatro puntos entre $í por segmentos de longitud tan pequeña como sea posible».

La configuración

da una longitud total más pequeña que

1 Kent, D. 1979; More about some processes dirough wich matbemiDCi M lost, tducjiional Renard*, 22t 22-31.

DlKCULTACFS DE

APUNDI7A|h ffflEUNTESAH

U D E O V U

y mucha gente pensará equivocadamente que el primer

diagrama da la solución. En efecto, una posible ^ ^ ^ ^

solución al problema no es obvia: Este último resultado es discutido en el libro clási

co What is Mathematks?, de Courant y Robbins1. Otro libro que ofrece muchas ideas acerca de la explicación y la demostración en matemáticas es Infinite Procttscs* de Gardi-ncr'. Muchas de las sugerencias del libro de Gardiner pueden desarrollarse con alumnos capacitados de 15 o más años.

El enfoque lógico de las matemáticas al que, como se ha comentado al principio de esta sección, es necesario darle importancia en las matemáticas escolares, conduce a considerar que los problemas pueden ser resueltos por medio de un pensamiento inteligente, sin confiar en métodos rutinarios, reglas formales o conjeturas aleatorias. Esta es una idea más amplia que la de la deducción formal. La última debe, naturalmente, ser conservada por los alumnos capicitados que pueden apreciarla y beneficiarse de ella, pero debe ser des* arrollada dentro de un contexto.

En cualquier caso, el propósito de la demostración en matemáticas no está tan bien definido como un no matemático pueda suponer. Hace doscientos arios, la demostración rigurosa en el sentido moderno no era la preocupación constante que es hoy. Lo que los matemáticos de aquel tiempo pretendían hacer era llegar a:

a) su propia convicción de la certeza de un resultado, b) una explicación con la que convencer a los demás.

Sus explicaciones debían a menudo mucho a la analogía o a lo que ahora se considerarían extrapolaciones injustificadas de resultados ya conocidos. Algunas de las demostraciones de The Laws of Thought de G. Boole (1851), basadas como estaban en analogías asombrosas, hoy serían consideradas insat i ¿factorías.

Una perspectiva moderna de los propósitos de las demostraciones puede contener los dos aspectos siguientes (entre otros):

c) mostrar las condiciones precisas bajo las cuales $e cumple el resultado;

3Counnt, R. y Rofabiiu, 1941: Wh*t is Méthemattat OUP [i* castellano: «¿Que c ta matemática?*, Aguilar, Madrid, 1979].

4 Gardiner, A, 1 80: Infinite Processe*. Springer. 89

d) relacionar un nuevo resultado con la red de resultados LA :-ÑAN?A W existentes, de forma que su lugar en la estructura del IASMATUIÁIKAS desarrollo se pueda apreciar con claridad.

Dentro del nivel escolar ni c) ni d) tienen una importancia primordial cli sí mismas, mientras que a) y b) proporcionan hi* luso sobre las que desarrollar laj» ideas de ua demostración formal. Las explicaciones comenzadas sobre la base de a) y b) pueden muy bien acabar en el contexto de c) y d) —en geometría, por ejemplo (ver Sección 8). Tales casos pueden ser utilizados para colocar la demostración formal en una perspectiva apropiada— como el punto final de una explicación, no como el punto de partida.

En general, el lugar del razonamiento deductivo en el desarrollo de las matemáticas ha sido objeto de controversia-La postura de filósofos de las matemáticas como Lakatos es que el avance de las matemáticas debe muchísimo más al enunciado y refutación de hipótesis que conducen a su refinamiento sucesivo que a las demostraciones formales como un fin en sí mismas, tal como puede defenderse desde l.i historia de las matemáticas. Del otro lado del espectro de opiniones hay matemáticos como Bel] o Dieudonné que defienden la alternativa de precisión lógica y exactitud de la demostración en matemáticas o su caída, El libro de Bell The Devetopment of Mathernatks* desarrolla este punto de vista con amplitud.

Uno supone, en Ja práctica, que los matemáticos trabajan moviéndose entre una y otra perspectivas. No cabe duda de que la demostración formal ¡uega un gran papel, pero de forma más sutil de lo que pueda sugerir la noción de estricta deducción lógica. Sobre esto puede comprenderse algo más a partir del libro de Lakatos Proojs and Refutationr* donde la noción de análisis-demostración es discutida e ilustrada. En particular, investigando por qué fallan las demostraciones de un nuevo resultado, un matemático puede ser capaz simultá-neamenie de llegar a la forma correcta de un nuevo resultado y a su demostración.

i Sm embargo, los matemáticos confían igualmente en la intuición y la analogía, la especulación y el presentimiento sobre la hipótesis y las demostraciones Desafortunadamente, es el aspecto deductivo formal el que, demasiado a menudo en el nivel escolar, tiende a ser prominente en detrimento de aquellas destrezas investigadoras ya mencionadas. Lo que es más, para muchos alumnos la deducción lógica se confunde con procedimientos algorítmicos. Llegan a pensar que el

5 Bel! f T. 1945: The Dctvlapment of IUUWIAML McGraw-HüL * Lakatos, t. 1976: Pwft and Rrfnunons. CUP.

IXFKUITAÜES DE proceso formal de resolución de una ecuación o la simplifica AJ*R£Kí>i2Ajt ción IM una expresión algebraica son sinónimos de argumento

iKH&fthNTfS A LA lógico. De esta forma, los alumnos no pueden ganar AttCnAiuM experiencia ni de un argumento lógico formal ni de las

destrezas investigadoras, adquiriendo así una perspectiva mis insatufactoria de la naturaleza de las matemáticas.

Esto nos conduce nuevamente al fundamento del proceso de demostración —la habilidad para argumentar de una manera lógica. Como en todos los problemas de aprendizaje inherentes a la naturaleza de las matemáticas, las dificultades asociadas con la naturaleza lógica de la asignatura tienen más de un aspecto. Recursos aparentemente plausibles como prestar poca atención al pensamiento lógico tendrán un éxito improbable. En esta sección hemos indicado algunas formas de afrontarlo que serán desarrolladas en el Capítulo 9.

5. Notación formal

En esta sección trataremos de las dificultades asociadas al uso de la notación matemática. Ya que una de las funciones de tal notación es hacer posible la aplicación formal de las reglas aritméticas/algebraicas, consideraremos también la naturaleza y lugar de tales reglas. Los procedimientos formalizados (algoritmos) son tratados en la Sección 6, y la Sección 7 considera las dificultades concretas que genera el concepto de variable y su uso.

La notación formal en matemáticas, central para el desarrollo de la asignatura, puede causar una considerable confusión en las mentes de muchos alumnos. Es debido a la notación, al menos en parte, que las matemáticas se -icen visibles, ¡o que conduce a que distintos conceptos erróneos surjan de la separación entre la apariencia visible y el significado fundamental. En concreto, muchos alumnos intentan entender aisladamente el significado de la notación sobre la base de su apariencia visible. El error 3x — x = 3, mencionado en el Capítulo 2, es un claro ejemplo de esto —quitar x de 3x deja 3, Además, el uso anómalo en álgebra de la yuxtaposición para denotar la operación de la multiplicación (es decir, escribir xy por x X y) fomenta estas nociones equivocadas. Desde la perspectiva de las dificultades de aprendizaje ésta es una anomalía desafortunada porque no puede aplicarse al producto de dos números naturales específicos —evidentemente, no se escribe 28 por 2 X 8 . Además se escribe 2x, raramente x2. La notación también entra en conflicto en el caso de las fracciones como en el caso en que

2 1/3 significa 2 + 1/3. La confusión puede conducir fácil- LA ENSEÑANZA DE mente a resultados como 2 1 / 3 X 3 i/4 = 6 1/12. LAS MATEMÁTICAS

Surgen más confusiones cuando nos encontramos con la notación funcional. Sen 30° es el valor de la función seno para un ángulo de 30"; no es algo llamado -sen» multiplicado por 30°. La escritura de sen 2x como 2 sen x surge a partir de la conversión propia de a2b en 2ab, De forma similar los errores

sen(A + B) = sen A + sen B log(a + b) = log a + log b

proceden en parte del uso de la yuxtaposición para escribir la multiplicación.

Otros errores surgen, al menos en parteT de la apariencia visual, como

x + 3 ^ 3 x + 3 __ 4 1 • 1 __ 1 h ^ = h . x + 2 T * x + 2 a T T T a + b '

Tales errores son debidos también al uso de reglas fuera de su propio contexto. Todos los profesores de matemáticas tienen su propia lista de ejemplos similares.

La notación de índices es otra área donde la apariencia visual hace posible la confusión. El uso de a2 para denotar a X a (nunca se escribe aa, curiosamente) aunque frecuentemente confundido con 2a, es una forma escrita razonable de la que salen resultados como a J X a3 — a5 que pueden ser demostrados por conversión a la forma expandida. La posición del X entre el 2 y el 3, sin embargo, conduce por sí misma al error a* X a* = a*.

No obstante, las confusiones más serias ocurren en la extensión al cero, índices negativos y fraccionarios. Muchos alumnos opinarán que a* debe ser igual a cero, (ya que a^ significa 2as multiplicadas entre sí, a° debe significar ninguna a multiplicada por sí misma, es decir, cero). De manera similar, a^ 1 debe ser negativo para un a positivo, y 1/a2 debe ser Las supuestas anomalías no están en la notación sino en el pensamiento de los alumnos, ya que las definiciones actuales nacen del deseo de preservar, para todos los índices racionales, las leyes de índices establecidas cuando son números naturales 1, 2, 3 y en particular, la ley am X a f l = a r o f f t . Si esta ley es aplicada a los índices cero, negativos y fraccionarios, entonces las consecuencias son a° = 1, a—1 = 1/a, z i n = \¡ a. Esto no impide que estas definiciones parezcan extrañas a los alumnos.

DIFICULTADES DÉ A?RfeN0.ZAJ£

fNHFRENTES A LA

ASIGNATURA

Es necesario también que los profesores sean precisos en la interpretación de la notación- Ya hemos mencionado {en la Sección 2) el problema que puede causar la interpretación del álgebra como »macedonia de frutas*. Como un ejemplo más, consideremos la fórmula de conversión de horas a minutos. Para los alumnos que piensan que las letras representan de alguna forma cantidades en general, la fórmula 60 m = h puede erróneamente parecer razonable, pensando vagamente que m representa minutos y h horas, cuando la fórmula correcta es m =* 60 h, donde h es el número de horas y m el correspondiente número de minutos. De igual forma, una interpretación demasiado causal del signo de igualdad puede fácilmente conducir a 4 4 - 3 = 7 + 5= 12, entendiendo que el significado es de 4 más 3 igual a 7, más 5 igual a 12.

La utilización del signo de igualdad en matemáticas plantea varias dificultades de aprendizaje. El niño encuentra primero normalmente el signo en su forma operacional —5 más 2 hace 7, que se escribe 5 + 2 = 7— y sólo más urde en su aspecto más general de equilibrio. En álgebra, el uso del signo igual denotando tanto e c u a c i o n e s como identidades puede causar confusión. Por ejemplo.

x(x -f 2) = x* + 2x

es una identidad pero

x(x + 2) = 3x + 2

es una ecuación. De nuevo, si el signo de igualdad es utilizado en la simplificación de expresiones algebraicas, ¿por que es equivocado, se preguntan muchos alumnos, usar el mismo signo cuando se simplifican ecuaciones?

Hemos notado tambión, en la Sección 3> que los alumnos pueden confundir fácilmente la forma escrita con el concepto que representa. Para tales alumnos, —3 es un entero consistente en un signo menos y un número natural;

t i t )

es una matriz. Esto no es erróneo, pero separa las formas escritas de las ideas que representan, con las consecuencias ya indicadas.

La mejor forma de tratar con tales conceptos equivocados es, naturalmente, animarles a pensar acerca del significado de lo que hacen- Una presión excesiva sobre ello, sin embargo, puede entrar en conflicto con el propósito principal que 93

anima el empleo de la notación formal: el llevar a cabo los LA ENS&SANZA DE procesos matemáticos sin tener que justificar cada una de sus i AS .IATRAIATICAS etapas individuales, estando determinadas la manipulación apropiada y las reglas de simplificación por la forma matemática de las expresiones implicadas. Las reglas en sí mismas deben ser justificadas en una etapa inicial por su significado pero» en la utilización habitual, son las formas de la notación las que determinan la elección de las reglas. Un alumno que ha de referirse a tal significado de cada etapa no sólo tendrá una gran dificultad en llevar a cabo las distintas manipulaciones, sino que tendrá poca ventaja en el uso de dicha notación.

Este es uno de los dilemas centrales de la enseñanza de las matemáticas. El uso formal de la notación puede conducir a reglas sin fundamentos, a una manipulación sin significado y, aún así, la manipulación formal sigue siendo una característica esencial de la asignatura. De esta forma, al tratar de las dificultades que experimentan los que aprenden, minimizar las dificultades con la notación es optar por no hacer matemáticas.

Esto es cierto igualmente en un nivel más básico con los alumnos menos capacitados. Corno se comentó en el Capítulo 2, quedarse en el mundo de los materiales concretos puede considerarse, para tales alumnos, como el único camino posible para capacitarles frente a las demandas numéricas de la vida cotidiana, pero significa retirarse al mundo infantil de las matemáticas; un retiro, además, que sería considerado inadmisible en otras áreas de comportamiento. Por ejemplo, cuando el adulto es incapaz de leer, una respuesta adecuada resulta ser la de proporcionarle libros de grabados con dibujos que le den significado. Como un objetivo literario en ¡os adultos es capacitar a la gente para tratar adecuadamente con material lingüístico escrito, en matemáticas el objetivo debe ser el de permitir que estos alumnos interpreten la notación (aritmética principalmente) y la utilice en situaciones reales. Volveremos sobre esto en el Capítulo 6 sobre Lenguaje y Numeración.

El problema referido antes —impedir la manipulación de notación aritmética o algebraica sin recurso directo al significado a partir de una manipulación que favorece la falta de significado —puede exacerbarse si, como sucede a menudo, los alumnos no ven las características de lo que están haciendo. De igual manera, allí donde los alumnos comprenden razonablemente las reglas manipulativas del álgebra y las utilizan formalmente, pueden apreciar una pobreza en su trabajo —los ejercicios no parecen llevarles a ningún lado. Esto puede suceder en todas las etapas de la educación secundaria, pero es más preocupante cuando ocurre en los

DirKui TAors DF comienzos del álgebra, alrededor de los 1! o 12 años. Un •u'fttNDQAjt»: excesivo interés por la resolución de ecuaciones lineales y por

INHERENTES A LA la simplificación de expresiones como ASIGNATURA

2x + 3y + z — x + 2y — 3z

puede causar muchos problemas para entender el propósito del álgebra.

Una introducción al álgebra a través de idea:, funcionales y afirmaciones universales mostraría con más claridad el propósito de la notación algebraica.

Por ejemplo, supongamos que tenemos la secuencia 1, 4, 7, 10, 12, obtenida por suma reiterada de 3, y estamos interesados en obtener una regla para determinar un número particular a partir de su posición en la secuencia. Tal regla, determinada probablemente por ensayo y error, según c! nivel del alumno, consiste en multiplicar la posición por 3 y entonces restar 2 as! que, por ejemplo, el décimo número en la secuencia es (3 X 10) — 2» como puede verificarse continuando la secuencia. Esta regla puede ahora ser expresada concisamente diciendo que eí número en posición n es {3n — 2). Otra regla que puede obtener un alumno es la de restar uno al número de la posición, multiplicar el resultado por 3 y entonces sumar L Esto produce el resultado 3(n — l) + 1. Expresado así se puede reescribir esto como 3n — 3 + 1 = 3n — 2 de modo que, como debe ser, las dos regias son equivalentes. Las ecuaciones pueden ahora permitir hallar el lugar invirtiendo la regla —dado el número, encontrar su posición en la secuencia. Por ejemplo, para encontrar la posición del 67, precisamos encontrar un n cal que 3n — 2 = 67. La regla misma es una relación funcional y es una forma de afirmación universal ya que se cumple para todos los valores de n.

Las afirmaciones universales no necesitan estar directamente relacionadas con ¡as funciones. Pueden tomar la forma de identidades. Por ejemplo, al practicar los alumnos multiplicaciones se pueden dar ejercicios consistentes en multiplicar dos números entre sí, uno de los cuales es mayor que el otro —2 X 4, 3 X 5, 4 X 6 y así sucesivamente. En cada caso pueden observar {o ser guiados hacia ello) el hecho de que cada respuesta es menor que el cuadrado del número que hay entre elios; por ejemplo, 4 X 6 — (5 X 5) — L La siguiente etapa consiste en expresarlo más brevemente. Se puede hacer o bien

n(n + 2) = (n + l)(n -I- 1) — 1 = (n + 1)1 — 1

o bien (n — l)(n + 1) = n 2 — 1

y comprobarlo para distintos valores de n. La forma algebraica da una expresión clara y abreviada del hecho y hace posible una explicación que irá más allá de la capacidad de muchos alumnos. (Existen también, naturalmente, explicaciones geométricas del resultado).

Como un tercer ejemplo, consideremos la suma de los n primeros números naturales. Varias estratagemas —aritméticas y geométricas— sugerirán que

1 + 2 + 3 + ..- + n = 2

Tenemos una expresión simple en forma algebraica a partir de la cual resulta fácil realizar el cálculo para un valor particular de n. Otro ejemplo de este enfoque del álgebra se presenta en la Sección 7, Contexto (viii).

De esta forma, un enfoque del álgebra a través de ideas funcionales y afirmaciones universales demuestra la utilidad de la notación algebraica. Se hace evidente cuál es el propósito al introducir letras y resolver ecuaciones. Las reglas manipu-lativas —asociativa, conmutativa, distributiva, etc.— son necesarias para convertir una forma algebraica en otra, para mostrar que dos formas algebraicas son iguales, para expresar una fórmula o una regla en una forma tan simple como sea posible. Se clarifica así la importancia y la utilización de tales mantpulaciones. Un enfoque tal hace también más fácil de apreciar al principio del álgebra el concepto de variable, tema sobre el que volveremos en la Sección 7.

La enseñanza actual requiere una presentación completa a través de muchos casos numéricos, dirigidos a establecer afirmaciones generales. Esta no es una opción fácil pero no es sorprendente que las dificultades de aprendizaje relacionadas con la notación desaparezcan totalmente y que el álgebra gane en significado y motivación (Ver también la discusión sobre las fórmulas en el Capítulo 10).

La habilidad para usar ta notación matemática con efectividad requiere tiempo y experiencia en su desarrollo. En el proceso de promover este desarrollo, los profesores deben tener en mente los siguientes principios:

a) Dar un significado preciso a los símbolos y la notación matemáticos.

b) Conocer los problemas causados por la apariencia visuaL

c) AI tiempo que se asocia la manipulación con el significado, desarrollar también en los alumnos la habilidad

LAIFSEÑANZADE DIFICULTADES DE de llevar a cabo correctamente la manipulación sin el US MATEMÁTICAS APREADIZAJE recurso continuo a la interpretación semántica.

1NKE&ENT&SAH d) Tener el propósito de desarrollar la notación y el ASIGNATURA cálculo algebraicos.

ej Conocer el aspecto anómalo de la notación matemática y asegurarse de que los alumnos entienden estas ano-mallas reales u supuestas.

6. Algoritmos formales

Hemos dicho ya mucho acerca de este aspecto d/ las matemáticas. Aquí nos concentraremos sobre unas pocas características centrales en torno a la cuestión. «¿Cuan importantes son los algoritmos en las matemáticas escolares?*. Al discutir la cuestión restringiremos el término «algoritmo* a los procedimientos de cálculo numérico formal tales como la división larga o el procedimiento de división sintética para los polinomios. As!, un algoritmo es un proceso numérico automático que se puede llevar a cabo con la calculadora o el ordenador y se distingue de la manipulación algebraica formal en general. La habilidad de razonar no está implicada.

En un sentido real las matemáticas acaban en los algoritmos. Vista a esta luz, mucha aritmética tradicional de la escuela primaria es periférica a las matemáticas. En efecto, uno de los mayores problemas en el trabajo matemático de la escuela primaria es la separación entre los algoritmos de cálculo y las ideas matemáticas, de modo que los alumnos concluyen que los algoritmos vienen a ser la esencia de las matemáticas.

En el pasado existían más algoritmos mentales que los existentes hoy —el algoritmo de la división para calcular las raices cuadradas es un ejemplo. ¿Cuántos lectores menores de 50 años conocen cuál era? Hoy en día, con la fácil disponibilidad y el precio barato de las calculadoras es un punto a debate (en primaria o secundaria) cuánto tiempo se debo emplear en practicar los algoritmos rutinarios de cálculo aritmético. Puede preferirse emplear el tiempo as! destinado a extender las habilidades de los alumnos para trabajar inteligentemente con los números. Para los alumnos menos capacitados, poder formar una estimación razonable de la respuesta numérica (ver Capítulo 6) o ser capaz de utilizar un método no algorítmico más largo que pueda entender, es una preparación mejor para la vida adulta que una frecuente práctica algorítmica que puede ser olvidada en gran medida después de dejar la escuela.

Para todos los niños, el énfasis en los algoritmos va en detrimento de la calidad esencial del razonamiento en mate-

maricas. Obligar a los niños a responder mediadamente y U tSUERAN2A DE enseñarles pocos o ningún algoritmo es, quizá, excesivamente i-** MATTMATICA* drástico, pero a! mismo tiempo puede recuperar las matemáticas reales y darles más importancia en la mente de muchos alumnos. (Ver también Atajar Problems in Mathernatics Edu-caúon7 de Frcudenthal).

Hasta aquí hemos resaltado el lado negativo de los algoritmos, donde interfieren con las habilidades de razonamiento y el pensamiento matemático; ahora volveremos a los aspeaos positivos. Los algoritmos son dignos de valoración cuando permiten hacer con técnicas más simples lo que, de otro modo, serían procesos complejos y/o largos-

Por ejemplo, la fórmula nr 2 para el área de un círculo de radio r, da un procedimiento para calcular áreas de círculos para el que no existe una alternativa practicable y mas sencilla. (Ver el Capítulo 10, Sección sobre el área). Como un segundo ejemplo, la fórmula

l + 2 + 3 + ... + n = l / 2 n ( n + l)

reduce la longitud de los cálculos tales como 1 + 2 + 3 + ... + 1000 a 1/2 X 1000 X 1001.

Un ejemplo de un poderoso algoritmo que no se basa en una fórmula es el que permite calcular el mayor factor común de dos números- El algoritmo depende del resultado de forma que, si a = bq 4- r> entonces MFC (a, b) == MFC (b, r) lo que es fácil de comprobar ya que un factor común de a y b es también un factor común de b y r, y viceversa.

Supongamos que deseamos calcular MFC (28374, 13436). El algoritmo da, sucesivamente, MFC (28374, 13436) = MFC (13436, 1502) = MFC (1420, 1502) = MFC (1420, 8 2 ) = MFC (26, 82) = MFC (26, 4) = 2, donde en cada etapa calculamos el resto de dividir el número mayor de los dos entre el menor. Existen formas más breves de llevar a cabo las etapas del cálculo, pero la potencia del algoritmo no depende de esto. Para apreciar esta potencia el lector puede intentar encontrar el MFC (28374, 13436) por el método alternativo de la factorización en números primos.

Un buen algoritmo es un algoritmo eficaz. Demasiado a menudo los algoritmos son vistos por los alumnos, en el nivel escolar, como «el procedimiento que ha dicho el profesor». Sí un algoritmo no puede demostrar ser claramente superior a los otros métodos en términos de tiempo y esfuerzo empleados, su razón de ser ha de ponerse en cuestión y la persistencia del profesor en su utilización

7 Freudenthal.

DincuiTADfcS DE llevará a socavar la confianza del alumno en lo razonable del APRENW2AJI trabajo matemático en general, lo que originará una variedad

INHERENTE ALA de problemas de aprendizaje. ASIGNAIVIU Cuando se usa un algoritmo es importante que, en unco

sea posible, los alumnos también entiendan por que funciona. Esto no quiere decir que un método «ingenioso» no explicado no deba ser introducido ocasionalmente para añadir un elemento de diversión y misterio, o que fórmulas no demostradas (en el nivel previo al cálculo) tales como la del volumen de la esfera, 4/3 írr 3, no deban ser usadas* pero deben constituir una excepción.

El método de multiplicación llamado ruso o chino es un buen ejemplo de un algoritmo interesante. Consideremos 34 X 19. Duplicando sucesivamente el primero y dividiendo el segundo por dos al tiempo que se ignora el resto* da:

34 19 68 9

136 4 272 2

544 1

Ahora sumamos los números de la columna de la izquierda que se oponen a los números impares de la columna derecha. Esta suma da la respuesta, 646. Bastantes niños se divierten con este procedimiento aunque la explicación en base dos está fuera de su alcance.

Los algoritmos forman un aspecto importante de las matemáticas que no siempre está claro para los alumnos-Proporcionan (o deben proporcionar) procedimientos eficaces y fáciles de usar que de otro modo darían lugar a cálculos complejos y largos pero no son un sustituto del pensamiento razonado lógicamente, que es el núcleo de la asignatura.

7. El concepto y el uso de las variables

El concepto de variable en matemáticas está lejos de ser simple; los alumnos más adelantados son capaces de cometer los errores más abísmales. Parte de la dificultad consiste en que, en el álgebra de la escuela elemental, muchos de los contextos no tienen (al menos para el pensamiento de muchos alumnos) un sentido de variabilidad. Veremos primero algunos de estos y, posteriormente, trataremos de los contextos en los que la noción de variable es más fácil de entender. Se introduce cada contexto a través de un ejemplo típico. Existen estrechas conexiones con la Sección 5 de Notación formal de forma que las ideas discutidas entonces

deben tenerse en cuenta. Aquí no nos referiremos tanto a las notaciones en sí mismas como a las ideas representadas por estas notaciones (o que los alumnos piensan que representan). Un tipo similar de análisis puede ser encontrado en el artículo «Children's Understanding of Numérica! Variables» de D. Kuchemann, reproducido como Capítulo S en ChÜdren's Understanding of Mat/wmatics, de K. Hart (editor)*. El libro mismo contiene los resultados de un extenso proyecto de investigación sobre el pensamiento matemático infantil y es, por el!o> conveniente su lectura.

Contexto i): Si b + 4 = 9¿cuál es el valor de h?

Aquí la letra b tiene un valor específico. Es una cantidad inicialmentc desconocida pero evaluable. No se evidencia variabilidad- Los problemas de esta clase, habituales al final de la escuela primaria, pueden llevar fácilmente al niño a pensar que una letra tiene siempre un valor específico- Este uso de las letras» frecuentemente el primero que el alumno encuentra, se desarrolla a partir de la simple forma aritmética • + 4 = 9, donde el número desconocido ha de ser insertado dentro del recuadro. Este mismo no tiene valor sino que indtea simplemente que existe un número desconocido, A partir de este punto es usual plantear preguntas como *S¡ • + 4 = 9, entonces • = ?», que es conceptuai-mente diferente de poner el número desconocido en el recuadro. El recuadro D pasa de ser un indicador a ser un símbolo matemático con un valor numérico, que puede ser combinado con números y otros símbolos tales como +. En algún momento, los símbolos tales como • son reemplazados por letras del alfabeto tales como n o x. Esta forma de introducir el álgebra —desde un recuadro a una letra con un valor fijo— no es probable que de al niño una ¡dea real de la noción de variable.

Contexto ti): ¿cuál es el valor de Ja + 4 cuando .1 = 1, a = 2, a = 3?

Nos movemos ahora desde la noción de una letra que tiene un valor fijo, inicialmentc desconocido pero calculable, a (a idea de una letra que puede ser reemplazada por varios números. Sin embargo, la cuestión realmente es un cálculo

• Нагц К, (ed.) 1981: Chdiren't Understanding of Matbematks. John

Miixray.

DiRCtXTADESDE numérico disfrazado. Lo que se le pregunta al alumno-es el AHUMDtZAjE cálculo de ( 3 X 1 ) + 4, ( 3 X 2 ) + 4, ( 3 X 3 ) + 4.

INHERENTES A LA

ASIGNATURA

Contexto iii): Si cada lado de un cuadrado tiene s ста, ¿cuál es el perímetro total del cuadrado?

Mientras que se puede pensar que ahora empieza a aparecer un sentido real de la variabilidad, no lo ven así los niños. Esto se puede apreciar en la respuesta habitual s + s + s + s. De igual forma, en el caso de un rectángulo de lados s cm. y t cm., una respuesta que se da frecuentemente es s + t + s + t. Estas respuestas indican lo que se quiere hacer —sumar los lados entre sí. No existe simplificación porque las letras son vistas como nombrando simplemente a los lados.

Contexto iv): Simplificar 2x + 3y + 4x — y

Aquí. las letras x e y no son interpretadas a menudo como números que representan a algún conjunto, es decir, como variables que recorren un conjunto, sino como objetos reales dír alguna clase —la noción de «macedonia de frutas* discutida anteriormente.

Contexto v): ¿Cuál es el multado de sumar S a 3x?

Esta cíase de pregunta confunde a muchos niños. La respuesta —3x + 5— no les parece una respuesta, ya que no ha tenido lugar ninguna suma. Ciertamente, existe poca consideración de la cantidad variable 3x + 5, con 5 mayor que 3x para algún valor de x. Un error común es, naturalmente, Sx.

Cotffejcfo vi):¿Para qué valores de x en el conjunto JO, 1, 9} es 3x + í < 19?

Se le pide al alumno que evalúe 3x + 1 para x = 0, 1, 2, 9 y compare la solución con 19. Aunque los términos de

la pregunta parecen indicar claramente la noción de variable, muchos niños realizan esencialmente otro tipo de cálculo aritmético.

En los siguientes cuatro contextos, la idea de variable se hace más evidente.

Contexto vü): ¿Cual es el n-ésimo número impar? LA ENSEÑAN2A DE LAS MATEMÁTICAS

A partir de una pregunta como ésta difícilmente puede eludirse el verdadero concepto de variable. La letra n puede ser un número natural cualquiera; la respuesta, (2n — I) nos dice cómo encontrar el número impar requerido a partir de su posición en la secuencia de números impares. Naturalmente, esta es una relación funcional y es en esta clase de relaciones donde se puede ver con claridad la noción de variable en ios comienzos del álgebra.

Contexto viii): Un rectángulo tiene un área de 24 cm* Encontrar una expresión para el perímetro del rectángulo en términos de la longitud del rectángulo

Se le pide al alumno que describa el método de cálculo del perímetro de tal rectángulo, conociendo su longitud. La expresión resultante es

2

o, como una fórmula:

P = 2 ( i + ^ )

donde la longitud es de 1 cm. y el perímetro de P CÍÍI El símbolo *U representa una variable ya que su valor cambia de rectángulo en rectángulo. Representando esta relación (funcional) entre e! perímetro y longitud sobre un gráfico cartesiano se refuerza el concepto de variable, ya que el movimiento a lo largo del gráfico es una consecuencia de la variación del valor de la longitud.

El trabajo gráfico, en general, puede ser de una considerable ayuda en el refuerzo del concepto de variable ya que hace, en algún sentido, visible la variabilidad. El enfoque gráfico puede tener un uso eficaz al introducir ideas algebraicas (véase el final de la Sección 5) ya que los gráficos pueden ser construidos sobre bases puramente numéricas, introduciendo los símbolos algebraicos para dar una descripción concisa, corta y fácil de la relación descrita con palabras en castellano.

Contexto ix): Demostrar que si x > 5, entonces 4x + / > 3x + 4

Este es un contexto no funcional en el que la letra x IUJ tiene claramente las características de una variable. Nótese

DíftcutTAOESDr que en el tipo inverso de problema — «Demostrar que si 3x APftENDiZAjr + 1 > 2x + 5, entonces x > 4 — la noción de variable

iNHfcRFXTFS A LA tiende a no resultar tan obvia ya que el problema es tratado ASiGNAniRA normalmente bajo la rúbrica de «Resolver una inecuación*

que, a través de un proceso manipulativo formal* no requiere realmente una consideración de la idea de variable.

Contexto x): El n-ésimo número impar es 2n — l; ¿Cuál es el (3n + í)-ésimo número impar?

Esto es equivalente a preguntar por f{3n 4- 1), dada f(n) = 2n — 1. La capacidad de tratar correctamente un problema de este tipo indica que el concepto de variable está bien entendido. Pocos alumnos de secundaria se sienten realmente confiados en este tipo de problema.

Es útil examinar en detalle el problema del contexto (x). En esencia, la o de (2n — 1) tiene que ser sustituida por 2n + 1 para dar 2(3n + 1 ) — 1 que, una vez simplificado, resulta 6n 4- 1. Sustituir ahora n por un número tal como 5 es sencillo. Escribimos «cuando n = 5, entonces 2n — 1 = 9*>. De igual forma, podemos sustituir n por 5a, digamos, y escribir «cuando n = 5a, entonces 2n — 1 = 10a — 1*. Pero no es matemáticamente prudente escribir «cuando n = 3n + 1, entonces 2n — 1 = 2(3n + 1) — 1 = 6n +• 1», ya que n = 3n 4- 1 requiere que n = — 1/2. Este es un aspecto del término «variable» que no hemos visto hasta ahora. Para observarlo más claramente, es útil considerar la interpretación numérica del probl ema. Nos hemos referido inicialmenre a la correspondencia

1 2 3 4 5 6 7 ... n 1 3 5 7 9 11 13 ... (2n — 1).

Considerando ei número impar (3n 4- l)-ésimo tenernos una nueva correspondencia:

4 10 13 16 ... 3 n 4 - l 7 13 19 25 31 ... 6 n + l

En la primera correspondencia, n se refiere a la posición ordinal del número impar con referencia a la secuencia 1, 2, 3, 4, 5 — En la segunda correspondencia n se refiere a la posición ordinahen referencia a Ja secuencia 4, 7, 10, 12, ... Asi, la n en (3n 4- 1) tiene un significado diferente del que presenta en la afirmación *EI número impar n-ésimo es (2n — 1)». De esta forma se hace evidente que, mientras en muchas circunstancias cualquier ocurrencia de una variable

en un contexto matemático dado tiene el mismo significado L* ENSEÑANZA i* e idéntico valor, existen otras circunstancias donde no es asi. I-ASMATOÍATICA*

Una situación similar surge en el cálculo de una fórmula para la función inversa a partir de la relación:

y = f( x ) m x = f-'{y).

Por ejemplo, a partir de y = 2x + 3 obtenemos, por reordenamiento» x = 1/2 (y — 3) así que

f - H y ) a l / 2 ( y - 3 ) .

Esto puede repetirse como

f-t(x) = 1/2 (i - 3),

pero ello no unplica que y = x« o que la x en ffx) = 2x + 3 se deba identificar con la x en í~x(x) = 1/2 (x — 3).

Vemos, por tanto, que las situaciones surgen donde: i) pueden hacerse los cambios de variables aunque no exista identidad de significado o de valor entre las variables cambiadas; o ü) puede existir más de una presencia del mismo símbolo de variable sin necesidad de que los símbolos tengan siempre el mismo valor. No es sorprendente que surjan dificultades de aprendizaje, ya que es necesario prestar atención en muchas introducciones del álgebra a que un símbolo de variable en un contexto dado tome siempre el mismo valor, Los niños afirman, por ejemplo, que en x + s - 10, resulta equivocado dar a la primera x el valor de 7 y a la segunda el valor de 3. Brevemente debe mencionarse que el hecho de qpe, por ejemplo en x + y = 10, x e y tengan el mismo valor es también una sorpresa para algunos niños.

En las matemáticas escolares, estos problemas ocurren principalmente en tres áreas —la notación del conjunto solución, la notación funcional y el cálculo. La notación funcional ya ha sido mencionada. Veamos algunos ejemplos de las otrxs dos áreas.

Notación del conjunto nluáón

Puede transformarse en un choque para los alumnos que los intervalos en el eje de la coordenada y puedan ser descritos por medio del símbolo variable x. Por ejemplo» el dominio de la función parabólica y = x2 + 1 se puede escribir correctamente como Ix 6 R: x > 1} o como lu £ R: u > 1¡, usando un símbolo completamente diferente u.

DlüCUtTAWS DI

APKENWAJi

GERENTES A LA

ASIGNATURA

y - i» + 1

1 ^ x

Nótese que aparece una dificultad relacionada con la sustitución numérica. Sustituyendo 5. digamos, por x en lx 6 R: x > II el resultado no tiene sentido.

Cálculo

a) /x dx = l/2x* + c, c o n / 3 dx # 9/2 + c b) (x + l)* = x* + 2x + 1 «* (sen sen*x + 2

sen x + 1; con /x dx = 1/2 x2 * sen x dx = 1/2 scnax + c

En todos estos casos, los símbolos de variable son realmente utilizados para describir enteramente los conjuntos o funciones. Siempre que aparezcan tales variables descriptivas (o limitadas), los intercambios y sustituciones numéricas requerirán una consideración cuidadosa y no simplemente una aplicación sin pensar de las reglas formales de manipulación apropiadas para el uso «ordinario* de las variables.

En resumen, las variables pueden causar una confusión considerable en los que aprenden por tres razones fundamentales:

1. Pueden ser introducidas a los alumnos en unos contextos en los que su propósito no es evidente.

2. Pueden ser introducidas en contextos donde la noción de variabilidad no es obvia.

3. Pueden no hacerse distinciones entre las variables en sentido ordinario y las descriptivas o limitadas.

8. Conceptos espaciales y pensamiento geométrico

1:1 estudio de la geometría supone un número de dificultades para los que la aprenden, de alguna forma de naturaleza diferente de aquéllas presenradas en aritmética y en álgebra, debido fundamentalmente a su naturaleza visual Mientras en aritmética, por ejemplo, los signos numéricos representan

meramenu: números y la figura de los primeros no se LA ÍMEÍÍANZA DC relaciona con el número, en geometría un concepto como el LAS MATEMÁTICAS de triángulo y su forma gráfica es esencialmente una y la misma cosa.

Así, uno puede considerar un triángulo arbitrario (es decir, un triángulo que no posea otras propiedades que las que tengan codos los triángulos) pero, una vez que lo dibuja, resulta ser un triángulo muy específico en forma, tamaño y orientación e, inevitablemente, posee características que no pertenecen a todos los triángulos. En la formulación de definiciones o en la introducción de ideas se necesita ir con cuidado para asegurarnos de que tales características accidentales no formen parte del pensamiento de los alumnos en cuanto a esa definición o idea.

Los tres ejemplos siguientes ilustran estos puntos.

1. Ya que los rectángulos siempre se dibujan con lados adyacentes desiguales, muchos alumnos piensan que c&ta desigualdad forma parte de ta definición de rectángulo y fallan al intentar comprender que los cuadrados son también rectángulos.

2. Las longitudes de los lados do un ángulo no afectan a la definición del tamaño del mismo pero, como unos lados largos incrementan el tamaño total de la configuración angular, se puede pensar con facilidad que lados largos significan un ángulo grande.

3. Las ideas y definiciones que se refieren a los triángulos rectángulos tienden a ser introducidas usando triángulos en cualquiera de las siguientes posiciones:

Muchos alumnos tienen entonces dificultades en identificar la hipotenusa o los lados adyacentes y opuestos a un ángulo si el triángulo es dibujado así:

Como la geometría es principalmente una asignatura visual, no hay forma de evitar este conflicto entre Jo particular y lo general. El proceso de aprendizaje de la geometría requiere la capacidad de distinguir las características

106 esenciales de una configuración particular que aparece dibujada,

DIFICULTADES DE a partir de las características accidentales e irrelevantes. Los APKENDQAJS niveles de Van Hiele del pensamiento geométrico, discutidos

IVHEUMTESAIA en el Capítulo 4, se refieran a esto, así como los Principios ASIGNATURA de variabilidad perceptiva y matemática de Dienes, encontrados

en el Capítulo 3. Una segunda dificultad general que surge al tratar con

conceptos geométricos espaciales es la relación entre la experiencia visual y el pensamiento lógico. Con el actual declive de la enseñanza de la geometría tradicional con su énfasis en la deducción formal, las distinciones entre la experiencia visual y la demostración se han hecho imprecisas, de donde resulta que muchos alumnos pueden llegar a creer que ta! experiencia es equivalente a la demostración. Este punto de vista tiene considerables inconvenientes, no sólo porque reduce la geometría al nivel de una actividad observa-cional, sino porque hace que la apariencia de las figuras geométricas sea determinante de sus propiedades- Por ejemplo, si en un diagrama dado aparece un rectángulo que parece estar cerca de ser un cuadrado, muchos alumnos admitirán lácilmente que es un cuadrado; si una cuerda de un círculo está cerca de ser un diámetro se admitirá entonces que lo es.

La geometría de experiencia es una geometría aproximada. 9 Puede dar una guía de lo que es probable que sea cierto pero

nada más. El alumno que recorta los tres vértices de un triángulo y los dispone lado por lado o que mide los tres ángulos y los suma, puede razonablemente estar convencido de que la suma de los ángulos es de cerca de 180° para los pocos y pequeños triángulos que ha usado, pero es una cuestión muy diferente conocer que la suma es exactamente de 180> para cualquier triángulo de cualquier tamaño. De igual forma, en el nivel de la escuela primaria, las explicaciones que surgen a partir de las teselaciones triangulares del plano están dentro de la capacidad de muchos alumnos y deben estar disponibles. Tales explicaciones también sirven para dejar claro que la propiedad de la suma de los ángulos es una consecuencia de la existencia de una red de líneas paralelas equidistantes. Como es bien conocido, tales redes no existen en la geometría no euclídca; la geometría de la teoría de ta relatividad muestra que tales propiedades de las paralelas se cumplen en la realidad sólo a pequeña escala. La suma de los ángulos de un triángulo sobre la superficie de una esfera, por ejemplo, es siempre mayor que Í 8 0 \ mayor cuanto más grande sea el triángulo; consideremos, por ejemplo, un triángulo con un vértice en el polo norte terrestre y los dos restantes en el ecuador. Tales consideraciones también conducen a la discusión de lo que es realmente una línea recta. Algunos alumnos no estarán satisfechos con el ejemplo anterior del triángulo sobre la esfera porque verán los lados

curvados, antes que rectos. Cuestiones similares se tratan al LA ENSEÑAKZA DE considerar triángulos astronómicos. El desarrollo de los LAS MATEMÁTICAS vuelos espaciales y la moderna ciencia ficción hacen más fáciles de discutir en el aula estas ideas.

Aparte de estas consideraciones generales de la base sobre la que son ciertos los hechos geométricos, existen dos áreas particulares en geometría donde la distinción entre el enfoque de la experiencia y las consecuencias lógicas ha de ser comprendida: i) ia medida y ü) las construcciones con regla y compás.

i) Medida

El cálculo de la distancia o la longitud en la geometría ordinaria euclídea se basa en el teorema de Pitágoras. Esto conduce a longitudes cuyo valor numérico es irracional. Un triángulo rectángulo isósceles con sus lados iguales de longitud 1 tiene una hipotenusa de y 2 , por ejemplo. Este no es un hecho experimental. De igual forma, el hecho de que la longitud de la circunferencia de un círculo es TT veces la longitud del diámetro no es accesible a la experiencia.

ii) Construcciones con regla y compás

Los alumnos al final de la primaria y comienzos de la secundaria no entienden a menudo el propósito de las construcciones geométricas tales como la bisección de un ángulo o de un segmento, o el dibujo de un segmento perpendicular a otro y que pase por un punto dado. Se puede utilizar un transportador o una regla para dividir ángulos o segmentos y una escuadra es adecuada para la construcción mencionada en tercer lugar. Mientras que es indudablemente cierto que algo del énfasis dado a las construcciones con regla y compás proviene del interés de los griegos por la geometría de la recta y el círculo, también sucede que estas construcciones aclaran la distinción entre exactitud teórica y experiencia práctica. Al igual que en teoría la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles con los lados iguales de longitud 1 es exactamente V2, de igual forma la construcción de la bisección de un ángulo se puede hacer teóricamente con exacritud, mientras que la aplicación de un transportador estará inevitablemente sujeta a un error de medida. El hecho de que la ejecución práctica de la construcción no sea perfecta no le resra valor. En el mundo ideal de los objetos geométricos, la constmeción es exacta. (Desde el punto de vista práctico las construcciones

DIFICULTADES DE pueden ser simples de ejecutar ya que son independientes de APRENDIZAJE los recursos de medida, que no son fáciles de usar con un

(NHFACNTFS A LA alto grado de exactitud). ASIGNATURA Volvamos ahora a dos aspectos más de ia geometría en

los que el sentido visual es predominante. El primero de ellos se refiere a la percepción de los

hechos de una configuración geométrica como un resultado de identificar o aislar partes de la figura dentro del todo. Esta habilidad corresponde a uno de los niveles más altos de Van Hiele, y también se relaciona con la capacidad de formar gucstalts (Capítulo 3, Sección 6). De igual manera, en los niveles elementales, por ejemplo en el cálculo de un área, es necesario ser capaz de dividir una figura en sus componentes o verla en el contexto de un todo mayor, mientras que para alguna forma de geometría deductiva, la habilidad es esencial, Esto puede llevar a una considerable simplificación y unificación de ías explicaciones y demostraciones geométricas.

Consideremos, por ejemplo, el siguiente diagrama, donde las flechas indican líneas paralelas:

P Esta es una configuración habitual que surge del enrejado

triangular del plano. Si se aisla el A ABC y se relaciona con A PQR» se puede comprobar que las perpendiculares que dividen en dos a tos lados de A PQR son las alturas de A ABC. Así, la intersección de unas se sigue de la intersección de las otras. Como la intersección de estas perpendiculares es un hecho completamente comprobado (basado en la equidistancia), obtenemos una demostración de la intersección de las alturas.

Una reflexión más aclara el hecho de que A PQR y A ABC tienen las mismas medianas. Se sigue de que si las medianas de A PQR no se intersectaran, entonces ninguna sería mediana del A ABC Por otra parte, como los dos triángulos son semejantes con los lados en proporción 2:1, los lados del triángulo encerrado por las medianas del A ABC tienen la mitad de longitud que los del triángulo encerrado por las medianas del A PQR. Como los dos triángulos formados por ¡as medianas son uno y el mismo, llegamos a una contradicción. La suposición de la no intersección de las medianas es, por tanto, falsa, y el teorema de la intersección ha de cumplirse.

La habilidad geométrica depende de una gran extensión LA FNSEÑAHZA DF de este tipo de intuiciones, y muchas diíicultades de aprendí- LAS KATUIATICAS 2a¡e son debidas a su ausencia, Por tanto, la realización de estas intuiciones debe ser perseguida como una meta específicamente identificada.

El segundo de los dos aspectos donde el sentido visual predomina es en la representación en e! plano de objetos de tres dimensiones. Mientras los sólidos constituyen una ayuda visual obviamente importante en el trabajo tridimensional, la capacidad de traslación de dos a tres dimensiones y viceversa es también importante. Parte de la dificultad que implica es que ta representación bidimensional de un objeto tridimensional tiene una apariencia visual ambigua, siendo al mismo tiempo interpretable como un diagrama plano y como un objeto sólido. Algunos artistas modernos como Escher y Magritte expÜcitan CSU ambigüedad para producir resultados desorientadores. En particular, Escher se interesa en lo que aparentemente son representaciones bidimensionales de objetos sólidos, pero objetos que un examen detallado revela como imposibles en tres dimensiones. Una variedad de ejemplos puede ser encontrada en The Graphic Work o/M. C. Escher*.

Otras dificultades pueden surgir en los alumnos, ya que los ángulos que en el objeto sólido son rectos pueden aparecer como no rectos en el diagrama bidimensional y el efecto de U perspectiva visual hará que líneas paralelas parezcan diverger. El familiar diagrama bidimensional de un cubo ilustra este primer punto.

Otro punto (explotado por Escher) es la interpretación actual de tal diagrama como un objeto de eres dimensiones. ¿Es el punto A el más cercano o el más alejado del observador?

• "La interpretación simultánea de la figura anterior como un cubo y como una configuración plana de paralelogramos tiene, como una interesante consecuencia, el hecho de que los segmentos CF, BG y DE sean concurrentes ya que son tres de las diagonales espaciales del cubo. Tratadas puramente en el plano, una explicación de esta concurrencia requiere mucho razonamiento. Una idea similar que trata de la intersección de alturas puede ser encontrada en una nota a

110 9 Eieher, M. C »967; The Graph* Work ofM C E*dm. Oldboume.

DIFICULTADES DE pie de página de los autores <D5M) en la Mathematical AjftEttüftAjt- Gazetted

INHERENTES A LA Para resumir, las dificultades en el aprendizaje de h ASIGNATURA geomecría pueden surgir porque

a) las certezas geométricas tienen que ser distinguidas de las caracteríscicas accidentales/irrelevantes de los diagramas concretos»

b) debe diferenciarse la observación de las consecuencias lógicas.

c) debe distinguirse el cálculo teórico exacto de la medida práctica,

d) es necesaria una intuición reflexiva para percibir los aspectos implícitos de los diagramas geométricos»

e) es necesario ser capaz de aprehender objetos tridimensionales y sus propiedades a través de su representación bidimensional

Para muchos alumnos, la aplicación de las ideas algebraicas a la geometría es una dificultad añadida. Esto no se debe a una seria falta de entendimiento del álgebra misma, sino a la ausencia de apreciación de las relaciones entre los métodos abstractos del álgebra y los diagramas geométricos concretos. Para tales alumnos, la geometría parece relacionar cosas que uno cree ver y tocar, mientras que el álgebra está más allá de la experiencia sensorial. Ix>$ métodos vectoriales, en particular, son vistos con antipatía por los alumnos mayores porque la aplicación formal délas reglas del álgebra vectorial se extraen de la realidad de las figuras geométricas. Mientras el uso de las técnicas algebraicas empiece a partir de donde acaban los diagramas geométricos, la etapa manípulauva del álgebra no puede ser relacionada con estos diagramas o, al menos, no de forma obvia. Esta dificultad no se aplica tanto a la representación de los lugares geométricos por medio de ecuaciones e inecuaciones algebraicas, ya que en el nivel educativo superior a los 16 años tales representaciones se refieren raramente al pensamiento geométrico y son utilizadas por razones puramente algebraicas o numéricas —por ejemplo, obteniendo las coordenadas del punto (o puntos) de intersección de dos Jugares geométricos.

Quizá, una de las piedras de toque de la capacidad real en matemáticas sea que un alumno utilice métodos algebraicos con confianza para el establecimiento de resultados geométricos- Ya que ésta es un área donde pueden demostrar el valor de la técnica de manipulación algebraica, debe ser tomada en

10 Matnab, D. S. 1984; The Eukr line and wberc it led to. Matfama-tied Gazette. 68, 95-98.

rumia por la enseñanza de forma que se 1« den ai alumno UEMtfAKZADf

aplicaciones del algebra por este camino. Tal experiencia t-v> HA TEMÁTICAS ayuda también a dar a los alumnos una perspectiva de la unidad esencial de las matemáticas.

* a *

112

CAPÍTULO 6

Lenguaje y numeración en matemáticas

El lenguaje es un vehículo necesario para la comunicación del pensamiento racional. En matemáticas, sin embargo, el simbolismo formal constituye otro canal de comunicación, principalmente en forma escrita. Es más, este lenguaje escrito de las matemáticas opera en dos niveles. El primero de ellos es el nivel semántico —los símbolos y la notación conllevan un significado- En este nivel existe un paralelismo exacto con un lenguaje natural como el castellano. El simbolismo matemático tiene también un nivel puramente sintáctico en el que se pueden aplicar reglas manipulativas sin referencia directa a su significado. Este nivel sintáctico es un elemento esencial en el desarrollo de la asignatura. (Ver el Capiculo 5, Sección

En matemáticas, el lenguaje ordinario (o natural) tiene que interpretar el lenguaje simbólico. Esto conduce a un conflicto de precisión. Til lenguaje ordinario puede comunicar su significado notablemente bien a pesar de los abusos sintácticos como la rotura de las reglas gramaticales o los errores ortográficos. El significado puede ser comunicado por alusión y por asociación* El lenguaje natural puede expresar emociones, dar opiniones, puede emplearse para discutir o valorar. En contraste, el lenguaje matemático es preciso, obedece a reglas exactas, no tiene un significado salvo por la exacta interpretación de sus símbolos, y no puede expresar emociones, juicios o valores. Este es e! conflicto que implica el uso del lenguaje ordinario en contextos matemáticos.

Otro aspecto del lenguaje simbólico de las matemáticas» que le diferencia del lenguaje natural y que es una fuente de confusión en muchos niños, es que su sintaxis (es decir, las reglas formales con las que se opera) pueden algunas veces extenderse más allá del dominio original de su aplicación. Por ejemplo, las definiciones de a°, a1'2, a - 1 son determinadas por el deseo de que la regla i"1 X a° — a™4* se cumpla para todos los valores racionales de m y n. Una característica tal de la notación matemática requiere, como se ha visto, un

tratamiento cuidadoso ya que, normalmente, uno no desea LA que los alumnos extrapolen regias que vayan mis alli de su LAS dominio original de validez.

Un tercer problema de lenguaje en matemáticas se debe al vocabulario común. Algunas palabras tienen un significado en el uso normal del castellano y uno muy diferente en matemáticas (a menudo se remonta a los días en que el latir-era ia lengua de comunicación científica) — por ejemplo* raíz, solución, producto, matriz, diferenciar, integrar, 1 unción, coordenada, primo, facior, multiplicar, potencia, índice. La utilización de tales palabras causa dificultades porque implican una confusión semántica. No existe una forma fácil de evitarlo —las palabras son parte del vocabulario matemático habitual. Sin embargo, el reconocimiento de la existencia de tal dificultad es una primera etapa hacia su solución.

Además de estas palabras con significados especiales en matemáticas, existe otro conjunto de palabras para las que existe confusión en cualquier pane y que forman parte del castellano ordinario- Estas incluyen palabras como evaluar, isósceles, conmutativa, polígono, rombo, paralelogramo. Tales palabras y las mencionadas antes, crean la impresión de que las matemáticas son más difíciles de lo que realmente son, ya que las palabras difíciles sugieren ideas del mismo tipo.

Como se ha dicho al comienzo de este capítulo, el lenguaje es claramente esencial en el proceso de aprendizaje tanto en su forma escrita como vcrbaL La comunicación, sin embargo, tiene un doble camino; el lenguaje del alumno es tan importante como el del profesor. Escuchando a los alumnos, un profesor puede calibrar su nivel de lenguaje y la calidad de su entendimiento. Un alumno que no puede hablar acerca de su trabajo en matemáticas incluso en su, comparativamente, simple lenguaje, es un alumno que no entiende completamente lo que está haciendo. Los alumnos deben ser animados a hablar sobre las matemáticas que van construyendo.

Se dice a menudo que no hay bastante tiempo en el aula para una extensa discusión profesor/alumno o para poner de relieve las ideas de los alumnos.

No debe infravalorarse, sin embargo, el valor de tal interacción verbal. Crea una atmósfera de ínteres en clase, muestra que el profesor se interesa por lo que piensan sus alumnos; anima una activa participación de los alumnos en contribuir al trabajo matemático que está siendo desarrollado; permite al profesor diagnosticar los falsos aprendizajes; da a los alumnos individuales la oportunidad de avanzar en su forma de aprendizaje y mejorar su comprensión. Los alumnos pueden aprender también de las preguntas que les hacen al

profesor otros companeros —preguntas que, posiblemente, no se le hayan ocurrido— y de las respuestas del profesor.

Es necesario un tiempo para que las ideas y las técnicas adquieran un significado real para los alumnos; se puede necesitar verlas desde diterentes perspectivas y ser iluminadas por analogías apropiadas. Este proceso de aumento del significado puede ser considerablemente impulsado por el uso de un lenguaje que entiendan los alumnos. Una confianza excesiva del profesor en [a precisión del lenguaje matemático, mientras le permite concentrarse en las matemáticas mis esenciales, puede dejar a los alumnos con una comprensión menos clara que si utilizara un nivel de lenguaje informal, más cercano a los propios alumnos.

Existe, naturalmente, un equilibrio que debe conseguirse entre el silencio del aula donde únicamente se escucha la voz del profesor y la clase donde la discusión abierta entre alumnos y profesor o entre grupos de alumnos produce unos niveles de ruido que van en contra del propósito de terminar la discusión comenzada. Sin embargo, si la clase cree en la seriedad del propósito del profesor, si su trabajo le parece bien planeado y si existen oportunidades para algún elemento de frivolidad, entonces puede establecerse la atmósfera que produzca el tipo de discusiones que ayudan a promover la comprensión.

Volvamos ahora al problema de leer y escribir matemáticas, empezando con la escritura, que es la actividad del alumno que el profesor suele utilizar en la evaluación.

El contraste entre la flexibilidad semántica del lenguaje ordinario y la precisión del simbolismo matemático ya ha sido mencionado. Algunos profesores no consideran conveniente el uso del castellano porque ello unplicaria la existencia de dificultades que no quieren admitir y prefieren utilizar símbolos matemáticos que identifican con las matemáticas escritas. Esto sólo sirve para incrementar la distancia entre las matemáticas y la realidad. La capacidad de los alumnos para explicar exactamente sobre el papel Jo que están haciendo debe propiciarse. Es una habilidad tristemente ausente en muchos de los que dejau el instituto, incluyendo alumnos capacitados.

Como un ejemplo del uso del lenguaje natural en las explicaciones matemáticas, consideremos el siguiente problema.

Problema: Un cierto artículo cuesca 65 peniques. Si se compran más de 10, el precio baja a 60 p. cada uno. Un hombre tiene 6 libras para comprar estos artículos. Otro hombre tiene 7 libras. ¿Cuántos artículos más comprará el segundo hombre?

Solución; A 60 p. cada uno, con 6 libras se podrán comprar 10 artículos, que no son bastantes para llegar al descuento en el precio. Por tanto, el primer hombre tiene que pagar 65 p. por Cada uno y, consecuentemente, puede comprar sólo 9 artículos por un coste de 5,85 libra*, A 60 p. cada uno, 7 libras comprarán 11 artículos. Una vez aplicado el descuento en el precio, el segundo hombre puede comprar 11 de los artículos por un coste de 6,60 libras. Compra así 2 artículos más que el primer hombre.

Esta solución explica claramente las bases razonadas del cálculo y lo expresa razonablemente en castellano. Es probable que muy pocos alumnos de secundaria se expresen de esta forma, aunque el proceso de producir una solución escrita razonable pueda ayudarles a desarrollar la capacidad de razonamiento.

Alentar un uso preciso del castellano en las explicaciones escritas debe empozar, naturalmente, en la escuela primaria con problemas más simples que requieran sólo unas pocas líneas a través de un cálculo sencillo* Por ejemplo:

Problema; Las naranjas cuestan 16 p. cada una. Si compro 4 con una libra ¿cuánto cambio me devolverán?

Solución; Coste de 1 naranja = 16 p. Coste de 4 naranjas = 4 X 16 p, = 64 p. Cantidad de moneda que doy = 1 libra. Cambio = 1 1 . — 64 p. — 36 p.

Esta solución emplea tanto notación matemática como castellano y se debe ser cuidadoso en que la notación sea correctamente utilizada. La segunda linea de la solución puede ser expresada como «4 naranjas cuestan 4 X 16 p, = 64 p.*, pero esto no sólo requiere que el signo de igualdad sea interpretado como *lo que es igual a», sino que es probable que la disposición se contraiga a «4 naranjas - 1 X 16 p. — 64 p.», lo que es una mala utilización del símbolo de igualdad.

• Como ya se ha comentado, algunos profesores creen (y esta creencia es dirigida hacia sus alumnos) que, en su trabajo escrito, los alumnos deben reducir el castellano al mínimo porque, en caso contrario, se hace más lento el proceso de solución y, sobre todo, porque el idioma interfiere con dicho proceso. De acuerdo con este punto de vista, el centrarse en una clara expresión de la solución desvía la atención de los procesos matemáticos necesarios para llegar a ella. En otras palabras, mejor es una solución correcta sin explicaciones que una solución incorrecta escrita en detalle. Estas, sin

LKVGCAJF.Y embargo, no son alternativas excluyeme;. En cualquier caso MJttAOdNEN el profesor es, o debe ser, un profesor del propio idioma. El

MATEMÁTICAS proceso de expresar una solución a través de explicaciones puede servir para clarificar las etapas matemáticas seguidas y, en consecuencia, hacer el trabajo mis comprensible para el alumno (y también para ios que han de leerlo). Esto también permite localizar los errores de una respuesta equivocada más fácilmente, tanto para el profesor como para el alumno.

En matemáticas existe, desde luego, mucho trabajo formal o algorítmico que implica cálculos o simplificaciones algebraicas sin explicación escrita, pero incluso así se debe escribir bastante para dejar claro cómo se está resolviendo el problema.

Problema: Resolver las ecuaciones

3x + 2y = 14 2 x - y ~ 7

donde x, y son números reales.

Solución;

3x + 2y = 14 (1) 2x - y = 7 (2)

Ecuación (2) X 2: 4x - 2y = 14 (3) Ecuación fl) + Ecuación (3): 7x = 28 ^ x = 4 Sustituyendo x « 4 en (2): 8 — y = 7 •+ y = i Comprobando en (1): (3 X 4) + (2 X 1) = 14

De donde la solución es x = 4, y = 1.

Animarles e insistirles en que expliquen las soluciones ayuda en particular a los alumnos lentos, aunque no será fácil para los que tengan severas dificultades con el lenguaje. Es difícil a veces persuadir a los alumnos para que den soluciones detalladas ya que ven claramente lo que están haciendo, pero es conveniente insistir porque de vez en cuando encontrarán tareas que les presentarán mayores dificultades. Insistir demasiado sobre una explicación desanima a realizar atajos y estos, como sabe cualquier profesor, producen errores. Como regla general, la reducción en la cantidad de explicaciones que se requieren debe ser el resultado de un entendimiento más completo del alumno, no una ayuda supuesta que permita alcanzar la comprensión.

Hemos visto entonces las relaciones entre las soluciones explicadas y U reducción de las dificultades de aprendizaje. Las explicaciones han de ser consideradas como instrumentales; explicaciones de cómo se obtiene la solución. Son del tipo «Hice esto, entonces hice aquello». Las explicaciones de la comprensión relaciona! se refieren a la pregunta ¿Por qué? y

requieren una mayor profundización; las demostraciones ma- LAÍNSÍAANZADI temáticas caerían en esta categoría. La palabra demostración, L\s MATEMÁTICAS sin embargo, evoca las matemáticas formales y una atención puntillosa a cuestiones tic detalle. La explicación es un termino amplio. Como ejemplo, consideremos los siguientes lirt hos:

1 + 3 - 4 =2* 1 + 3 + 5 * V - P

1 + 3 + 5 + 7 = 1 6 - 4 2

En general, parece que

1 + 3 + 5 + ... + término n~ésimo — n'

¿Por qué es así? La explicación aquí no se reitere a cómo se suman los números impares sino a por qai cuando se añade uno a los anteriores la respuesta es un cuadrado exacto.

Una posible demostración debe empezar por el hecho de que tenemos una serie aritmética cuyo primer término es 1 y de razón 2, y que debemos usar la fórmula general para la suma de tales series. Pero tal demostración, aunque es lógicamente irreprochable, no explica realmente el resultado. Muchas demostraciones formales son de este tipo, irrefutables, pero carentes de explicación.

Una explicación más perspicaz consistiría en imaginar modelos cuadrados de puntos como el ilustrado.

• «

Una explicación escrita complementaria al diagrama, seña-lana que se comienza con un simple punto abajo a la derecha de forma que ( moviéndose hacia la izquierda, cada forma contiene eos puntos mas que la anterior de modo que se genera la suma de números impares y resulta un modelo cuadrado de puntos,

. Esta forma de explicación está relacionada con el tipo de / /0 resolución de problemas en el que se requiere explicar por

Lhjguaje v qué la solución es la que es y no simplemente cómo se xummackJnhn obtiene. Este uso del lenguaje escrito precisa mayor habilidad

matemáticas lingüística que el uso instrumental ya que no existen modelos prevaos que seguir- Esto permite una interacción entre las matemáticas y el lenguaje en beneficio de ambos. El primer problema planteado en este capítulo es de este tipo.

Destrezas de lectura en matemáticas

La habilidad para leer matemáticas está centrando cada vez mayor atención de los educadores. El libro recientemente publicado, Children Reading Mathematk\ de Shuard y Rot-hery (editores)', es una muestra de este interés. Otru libro útil publicado en 1974, es Helping Children Rgdd Matlyennizic^ de Kane, Byrne y Hater2, Una razón para esta mayor atención ha sido el movimiento hacia un aprendizaje centrado en el alumno como opuesto a un aprendizaje centrado en el profesor. Esta tendencia traslada el énfasis desde el l eng^e hablado por el profesor al lenguaje escrito de los recursos materiales —fichas, láminas, libros de texto. Es interesante notar sobre esta conexión que el Kent Mathcmatics Project incluye cintas que permiten usar la palabra dando instrucciones o recursos.

Las dificultades que implica la lectura en matemáticas incluyen las siguientes cuatro (que son, desde luego, dificultades de la lectura en general):

L Dificultades debidas a la complejidad sintáctica del castellano utilizado.

2. Dificultades debidas a la utilización de vocabulario técnico.

3. Dificultades causadas por la utilización de notación matemática.

4. Dificultades debidas a la incapacidad de relacionar las matemáticas con el contexto.

Los cuatro pares de ejemplos siguientes ilustran sucesivamente cada una de estas dificultades. En cada par, la segunda formulación presenta mayores dificultades que la primera.

• Shuaxd, H. v Rotbery. A. (cdi.) 1984: ChUrm Re*dmg M*zbfrnm£*í. >¡R M IRRIV.

J Kan*. R. Byrne. M. A. y Hater. M. A 1974: Uelping Children , ,q Ktjd At*thfm*tiu, American Book Company. 11?

1. a) Juan compra una barra de chocolate por 30 p. y LA ENSEÑANZA W una boba de patatas fritas por 12 p. ¿Cuánto dinero LAS UATCMATKAS le har. de devolver si paga con 50 p.?

b) A partir de una cantidad inicial de 50 p,, un chico gasta 30 p. en una tienda y, mis tarde, 12 p. en una segunda tienda. Calcular cuánto le queda por gastar.

2- a) En el triánglo ABC que se muestra, encontrar la , longitud de AC hasta en una cifra decimal.

b) Evaluar, con una precisión de una cifra decimal, la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, en el que las longitudes de los otros dos lados son de 5 cm. y 8 cm.

3. a) Encontrar aquellos valores de x para los que

(2x— l ) (x + 3 ) < 0

donde x es un número real, b) Encontrar el conjunto solución de la inecuación

(2x— l ) (x + 3 ) < 0

donde x 6 R.

4. a) Dos rectas tienen por ecuaciones y = 3x — I e y = 2x + 3. Encontrar las coordenadas del punto de corte de ambas rectas,

b) ¿Qué punto de la recta de ecuación y = 3x — I pertenece también a la recta y = 2x + 3?

Puede haber muy buenas razones para utilizar la versión b) en cada caso pero uno debe tener claras las razones para ello. De igual forma, con el texto explicatorio, el objetivo debe ser el de emplear términos simples lingüísticamente a no ser que se tengan razones específicas para otra cosa. En particular, se deben evitar explicaciones o instrucciones escritas largas e intrincadas. (Estas cuestiones son exploradas en detalle en el Capitulo 12.)

Como un ejemplo inintencionado de una explicación compleja, reproducimos la siguiente parte del texto aparecido en las series CSE publicadas en 1985.

-Sólo se pueden sumir matrices entre sí cuando son de! mismo orden. La solución se encuentra entonces sumando

LSNCUAIFY los valores correspondientes a cada matriz para dar una NCWRACJONtN nutriz linal del mismo orden que las originales.*

MATOtáTCAS Se deja a! lector el decidir cómo contribuye el párrafo

anterior al entendimiento de la suma de matrices en los alumnos de la CSE. Se puede reescribir este párrafo de una forma que revele su simplicidad.

Se han desarrollado procedimientos para valorar la comprensión lectora en matemáticas. Una forma de estos tests —el llamado test Cloze— implica dejar en blanco una porción del texto al tiempo que se proporcionan suficientes claves matemáticas y lingüísticas al alumno para que pueda rellenar estos espacios en blanco. La comprensión lectora es valorada según la capacidad del alumno de completar el test.

Para ilustrarlo, damos un ejemplo: «Un chico con 2 libras fue a una tienda a comprar

caramelos, patatas fritas y limonada. Los caramelos cuestan un ... de 85 p. lo que deja al chico con ... Decide entonces gastar 30 p. en paratas fritas y ... lo que ... 75 p. Gasta así ... en total, para encontrar su cambio el ... esta suma de ... Encuentra entonces que su cambio debe ser de...>.

Una versión completa puede ser la siguiente: «Un chico con 2 libras fue a una tienda a comprar

caramelos, pautas fritas y limonada. Los caramelos cuestan un total de 85 p. lo que deja al chico con 1,5 libras. Decide entonces gastar 30 p. en patatas fritas y 45 p. en limonada, lo que suma 75 p. Gasta así 1,60 libras en totaL Para encontrar su cambio el resta esta suma de 2 libras. Encuentra entonces que su cambio debe ser do 40 p.* t

En el trabajo de investigación, las palabras borradas forman un modelo —típicamente la primera y séptima palabras borradas. Sin embargo, en un uso más informal en las aulas de matemáticas es preferible que las palabras borradas sean escogidas por su importancia para las ideas o cálculos matemáticos implicados, como en el ejemplo dado. Los lectores interesados en un análisis detallado de la labilidad lectora y en los procedimientos «Cloze» en particular encontrarán de mucho interés los dos libros mencionados antes —Chitaren Readirtg Mathematks y Helping Chitdwn Read M&thematics*

Sentido numérico

Antes de discutir el sentido numérico en el contexto de la enseñanza de las matemáticas, es necesario tener una idea clara de lo que significa ya que, a los ojos de mucha gente, rl sentido numérico y el cálculo son sinónimos. El primero, sm embargo, es un concepto más amplio que el segundo.

Para decirlo brevemente, el sentido numérico es el uso inteli- LAENSf&ANZADt

gente de los números. Kl cálculo formal basado en reglas, en LAS MATEMÁTICAS contrasto» puede requerir poca inteligencia aparte de memoria,

t Imito un ejemplo de un enfoque numérico consideremos el siguiente:

Prttl/lpmtt; Kl tamaño uormal de 7C0 g. de un producto cuesta 1,32 libras, El tamaño económico do 1.250 g. cuesta 2,08 libras. ¿Es realmente el tamaño económico el más barato?

Solución: Si el producto tiene un coste de 1,40 libras por 700 g,, entonces 100 g. costarán 20 p. Como 1,32 libras por 700 g. es cerca de 19 p. por 100 g., 1.250 g. a 20 p. los ICO g. cuestan 2^50 libras. Con 1 p. menos el coste es así de 2,38 libras. Por tanto, el tamaño económico es ciertamente más barato.

l'A evidente que tal solución demuestra un buen sentido numérico. De igual forma, la habilidad para llevar a cabo el cálculo implicado en una calculadora mostrará una presencia de tal sentido ya que la secuencia de operaciones debe ser determinada.

En algunos libros el sentido numérico es un hecho definido como la habilidad para usar una calculadora de cuatro funciones con eficacia pero ésta es una definición tlt-inasiado estrecha.

Un elemento básico del sentido numérico es la habilidad para realizar aproximaciones ajustadas. Por ejemplo, tratando 28 X 137 como 30 X 140 (incrementando ambos factores) no se consigue una aproximación tan buena como 30 X 135 (incrementando un factor y disminuyendo el otro) aunque para muchos propósitos 30 X 140 sea bastante buena. De igual manera, 15/3 es una aproximación más cercana a 15,63/3,2 que 16/3. Conocer por qué 15/3 será una aproximación mejor que 16/3 es tener sentido numérico.

Otro de sus importantes aspectos es la habilidad para razonar acerca de números sin la utilización de algoritmos y saber cuándo un cálculo a simple vista es inútil. Por ejemplo, consideremos el problema de empaquetar tantos bloques de 3 cm. por 4 cm. como sea posible en una caja rectangular de 11 cm. por 7 cm. Dos respuestas posibles se muestran en el siguiente diagrama.

LtNGUAjtr En cada caja pueden ser empaquetados 5 bloques- El uso NI-M&MCUÍN EK de la fórmula del área de un rectángulo produce el resultado

MATEMÁTICAS (11 X 7) / (3 X 4) que es igual a 6 5/12, sin importancia en el actual problema, aunque muchos alumnos seguirán este camino hasta concluir que la respuesta es 6 o, posiblemente, 7.

Este problema puede estimular una investigación general sobre el mayor número de bloques rectangulares que pueden ser empaquetados en un contenedor rectangular. Tales investigaciones aumentarán el sentido numérico asi como intensificarán tas actitudes del alumno hacia las matemáticas.

Otro elemento del sentido numérico es la capacidad de interpretar una respuesta. Si un alumno calcula la altura de un árbol a partir de la longitud de su sombra y el ángulo de elevación del sol, obteniendo una respuesta de 3.245 m., debe darse cuenta inmediatamente de que lia cometido un error. Si su calculadora le muestra que la altura de un edificio es de 35,362451 ni-, debe saber que los tres últimos dígitos decimales, al menos, son irrelevantes y que una exacritud razonable es la de 35 1/2 m. o, como mucho, 35,36 m. Si en un cálculo de cuántos autobuses de 40 plazas se necesitan para transportar a 373 personas, un alumno divide 373 entre 40 y obtiene la respuesta 9 13/40 o 9,325, debe reconocer que se necesitan 10 autobuses.

El sentido numérico parece envolver más de un aspecto. Requiere:

a) una cierta facilidad de cálculo, b) la habilidad para usar sensiblemente una calculadora, c) la habilidad para estimar, saber la magnitud, aplicar

apropiadamente la exactitud, d) la habilidad para colocar ios cálculos en su contexto,

para analizarlo primero y entonces, si es apropiado^ usar una regla.

Como dijimos al comienzo de este capítulo, es esencialmente la habilidad para pensar inteligentemente en contextos numéricos.

CAPÍTULO 7

Matemáticas a través del curriculum

Recientemente, (os profesores se han dado cuenta de que el aspecto práctico de las matemáticas debe recibir una mayor atención cuando se planifica el curriculum. Muchas asignaturas escolares tales como Ciencias, Geografía, asigna* turas técnicas y económicas tienen necesidades matemáticas —necesidades a las que los alumnos no responden siempre de forma adecuada. Como consecuencia^ aquellos sentimientos de ansiedad, tensión y temor al fallo, que los alumnos han podido tener en su trabajo en la clase de matemáticas, aumentan. La importancia de este aspecto práctico no puede ser subestimada ya que, para muchos alumnos, las matemáticas adquieren su valor real sólo a través de sus aplicaciones.

Existen tres razones fundamentales para las dificultades que encuentran los alumnos al aplicar las matemáticas a otras áreas del curriculum:

1. La falta de coordinación entre los programas. Un tema matemático puede aparecer en otra área del curriculum antes de haber sido desarrollado en la cíase de matemáticas, o en una forma diferente a aquella en que la aprendió en matemáticas, o sin una revisión previa conveniente.

2. La actitud de los profesores de otras asignaturas hacia las matemáticas. Los profesores de otras asignaturas pueden dar la impresión a los alumnos de que ellos mismos ven las matemáticas como una ayuda necesaria pero no como una asignatura digna de ser comprendida.

3. La actitud de los profesores de matemáticas hacia otras asignaturas. 1J>$ profesores de matemáticas pueden no tener demasiado interés en la forma en que su asignatura es utilizada en otras áreas del curriculum, y consecuentemente enseñan matemáticas en un vacio contextual.

Es necesario condiderar cada una de esias razones con más detalle.

í. Falta de coordinación entre los programas LA BONANZA DE IAS UATM¿IKA$

Resulta deseable que las ideas o métodos matemáticos, necesarios en un punto particular de otra asignatura, aparezcan algún tiempo antes en eí aula de matemáticas. Recibir una receta de los profesores de otras asignaturas en el momento de usar una técnica matemática va en detrimento de la comprensión del alumno. No sólo es probable que no entiendan la técnica cuando es introducida en otra asignatura sino que, cuando sea desarrollada más tarde en matemáticas, las anteriores experiencias del alumno les causarán considera-bies dificultades de aprendizaje.

Los problemas originados por la falta de coordinación de lus programas no deben ser subestimados. Las asignaturas individuales tienen su propio curso separado y su propio diseño de programa. En matemáticas, en particular, los profesores no desean introducir temas fuera de su secuencia jerárquica o lógica simplemente porque las ciencias, por ejemplo, hayan adoptado un orden particular. Sin embargo* con una buena relación interdepartamenul y acritudes adecuadas se pueden conseguir progresos en todos los aspectos, aunque un acuerdo completo sobre el dominio completo de asignaturas escolares pueda parecer imposible.

Jasmine Denyer, en su libro Mathematics Across the Curtí-cttlumxy detalla dos estudios sobre esta cuestión; se pueden encontrar otros en la revista Mathematics for Schools* publicado por la Mathematical Association* volumen 10, números 3, 4, 5 y volumen 11, números 1-5 desde mayo de 1981 en adelante. Estos artículos contienen estudios sobre 100 escuelas, propuestas de cooperación interdepartamental y una extensa bibliografía.

El acuerdo sobre la coordinación de programas debe ir de la mano con ei tratamiento de los temas para asegurar que la forma en que es utilizada una técnica matemática en otra asignatura no parecerá diferente de la forma en que se aprende en el aula de matemáticas. Por ejemplo, los alumnos pueden estar acostumbrados, en matemáticas, a usar la razón en la proporcionalidad directa, mientras que el profesor de geografía, por ejemplo, puede realizar sus cálculos a través de la proporción. Puede evitar cualquier método relaciona! recurriendo a Ja mnemotecnia como en el siguiente caso:

126 * Denyer, J. 19#4: Matbetnacia Across the Curricwlum* LotignianíSchoolj

Cütfocih

para dar los cálculos distancia* velocidad-tiempo. El uso de tal diagrama puede llevar al alumno, en su esfuerzo por recordar dónde va cada letra, a perder todo lo que había entendido de las relaciones matemáticas entre distancia, velocidad y tiempo.

Un segundo ejemplo sería el de las ecuaciones y fórmulas que se encuentran en ciencias. Pueden presentarse de forma diferente a como se presentan en matemáticas. No sólo son utilizadas letras inhabituales como V, P, A —en contraste con las xs e ys tan comunes en matemáticas— sino que tales letras presentan ya un significado; por ejemplo» V representa el voltaje, V el peso y A la altura. Consecuentemente, tienen unidades relacionadas con ellas. Esto les puede parecer a los alumnos muy diferente de las variables sin dimensión típicas en la clase de matemáticas. Estos (y otros) aspectos de las fórmulas serán discutidos más adelante en el Capítulo 10.

Otro tema que deja claras las diferencias entre los enfoques escolares de las matemáticas y otras asignaturas son los

icos* En matemáticas, normalmente los gráficos tienen una variable independiente (usualmente denotada por x) sobre el eje horizontal y una variable dependiente (denotada por y) sobre el eje vertical. En otras áreas de! curriculum los gráficos pueden estar orientados de forma diferente y sólo raramente etiquetados (si alguna vez) como ejes x e y* Las gráficas en la clase de matemáticas tienden a comenzar los ejes en la escala 0; en otras asignaturas los ejes pueden muy bien no empezar en 0.

No se puede afirmar que el resto del mundo educativo se equivoca en !o que los profesores de matemáticas ven como una notación habitual. Por ello, estos últimos deben prestar atención a las formas en que aparecen las ideas matemáticas en otras asignaturas y familiarizar a sus alumnos con ellas. A este respecto, muchos profesores de matemáticas tienen un punto de vista demasiado estricto en lo que se refiere a la corrección de una fonna matemática. No existe nada inmutable, por ejemplo, en cómo deben ser dibujados los ejes coordenados —es una simple cuestión de gusto y conveniencia* Por otra parte, los profesores de matemáticas tienen la responsabilidad de asegurarse de que los profesores de otras asignaturas usan con exactitud la notación matemática.

En este punto surge la necesidad de una revisión constante. Cuando hay un buen acuerdo en la coordinación de los programas, se puede dar un tema particular en matemáticas algún tiempo antes de que se le necesite en otra asignatura. Si transcurre más de una semana* quizá no se recuerde bien dicho tema. Tales situaciones deben identificarse y tomarse en cuenta cuando se planifican los programas del departamento de matemáticas. De esta forma, un profesor de matemáticas

será capaz de recordar a sus alumnos las ideas y los métodos U FNSIIÍANZA ut necesarios poco antes de que aparezcan en otra asignatura, L-UNATIHÁTICU

La cuestión se complicaría i\ no todos los alumnos de matemáticas lo son de la otra asignatura. En tal caso, $e puede invitar a un profesor de matemáticas desde el departamento de b otra asignatura para que efectúe la necesaria revisión y refuerzo de los alumnos. Alternativamente, el departamento de matemáticas puede comunicar a los profesores de la otra asignatura el fundamento matemático y el nivel de conocimientos que se espera de sus alumnos (ver Sección ?), Donde existe buena voluntad y una relación eficaz son posibles estos y oíros aspectos de la cooperación inierdepar-tamental.

2, Actitudes de lo* profesores de oirás asignaturas hacia las matemáticas

Esta es una cuestión más delicada ya que depende de la actitud hacia las matemáticas antes que de la organización. Muchos profesores de ciencias y geografía admitirían abiertamente que tienen una perspectiva de *caja negra- respecto de ¡as matemáticas se meten los datos en ella, se da al botón y se esperan los resultados. Lo que sucede dentro de la caja es irrclevante y no interesa. Ahora bien, aunque esto resulte razonable para un profesional que desea hacer uso de las matemáticas en su propio trabajo, es insatisíactorio en el contexto de la educación total de un niño. Un profesor de ciencias o de geografía tienen la responsabilidad de asegurarse de que las matemáticas que usa en el contexto de su propia asignatura, lo son de una forma que ios alumnos puedan comprender. Ciertamente, ello significará que debe discutir con sus colegas de matemáticas el uso que se propone dar, buscar su consejo observando lo que sus alumnos conocen y son capaces de hacer. Ha de reforzar la comprensión del alumnado respecto de las matemáticas permitiéndoles que el trabajo que realizan en la clase de matemáticas sea aplicado al estudio de su propia asignatura para obtener resultados. Haciéndolo as¡ puede jugar un importante papel reduciendo la ansiedad y la tensión de sus alumnos hacia las matemáticas. Este punto está expuesto de forma interesante en el libro mencionado antes Mathematics ACTOÍS the Curriculum de jasmine Denyer donde* en una sección de propuestas generales, formula diez puntos, cuatro de los cuales se relacionan con la necesidad de los profesores de otras asignaturas, así como los de matemáticas, de tener una actitud positiva hacia esta ciencia y, en tanto sea posible, fomentar en sus alumnos el

MATEMÁTICAS * gusto por las matemáticas. Algunos de los puntos más TRAvtsori, sobresalientes son los siguientes:

CUtUUCULUH

a) La necesidad matemática más importante para la vida adulta es tener suficiente confianza para hacer un uso eficaz de las destrezas y conocimientos matemáticos que se posean,

b) El departamento de matemática* debe ver en otras asignaturas la oportunidad de poner en práctica las destrezas matemáticas y, debido a ello, incrementar la motivación del alumnado. ¿

c) Es importante fomentar actitudes positivas hacia las matemáticas. Deben buscarse oportunidades para integrar los ejercicios matemáticos en tixlas las asignaturas, y los profesores de éstas últimas no deben evitar las matemáticas.

d) Los profesores que no sean de matemáticas y que no estén seguros de los métodos actuales de su enseñanza deben ser invitados a acercarse al departamento de matemáticas.

Es necesario aquí lucer una mención más. Los profesores de otras asignaturas, como les sucede a los de matemáticas, pueden no apreciar todas las dificultades de aprendizaje que los niños tienen en su asignatura. Si un alumno no entiende completamente un concepto o un procedimiento en. por ejemplo, geografía, el intento de utilizar las matemáticas en este contexto auméntala su confusión. Si no entiende totalmente el coeficiente de expansión (o lo que es un coeficiente) en física, difícilmente se aplicará la aritmética decimal (bastante compleja) al cálculo de tales coeficientes. Así, antes de introducir ias matemáticas en un tema, el profesor de otra área debe asegurarse de que sus alumnos comprenden bien las matemáticas necesarias.

3. Actitud de los profesores de matemáticas hacia otras asignaturas

Un énfasis excesivo en la enseñanza de destrezas, aprendizaje rutinario y práctica con ejemplos puramente mecánicos, no sólo tiene efectos desafortunados sobre la comprensión de :os alumnos en matemáticas, sino que puede proporcionarles considerables dificultades cuando se les requiera el uso de las matemáticas en otra parte del curriculum. Los profesores de matemáticas tienen que conocer la forma en que se pueden usar las matemáticas y, como ya se ha dicho, familiarizar a sus alumnos con las aplicaciones a otras asignaturas. Esto también

4

ayudará a incrementar la importancia de las matemáticas- Para I-A ENSEÑANZADE muchos alumnos, las matemáticas como un fin en sí mismas IAS MATEMÁTICAS no son apropiadas; muchos profesores pueden indicar aplicaciones que será probable que permitan un aumento en el interés en su asignatura.

Uno puede pensar que tales consejos son evidentes por sí mismos pero, desafortunadamente, la experiencia muestra que no es así.

Una extensa investigación sobre las formas en que las matemáticas son utilizadas en orras asignaturas fue llevada a cabo en Glasgow, Escocia, entre 1977 y 1980. Bajo los auspicios del National Committee on Mathematics for the Less Able se estableció un subgrupo con el siguiente objetivo:

-«Establecer bs formas en que los alumnos que tienen dificultades con las matemáticas pueden ser ayudados a través de relaciones con otras asignaturas-*

El informe final del subgrupo incluye un examen del contenido matemático en todas las asignaturas de la educación secundaria, poniendo el énfasis en el trabajo realizado con los menos capacitados y en referencia a los primeros dos años de educación secundaria escocesa (12*13 anos)- Con todo ello, el informe» Learning Difficulties ir: Mádyernatics Sí y S2*> publicado por el Scottisch Curriculum Development Service, contiene una gran riqueza de información respecto del uso de las matemáticas en otras asignaturas. A partir de una de las secciones de conclusiones, citamos lo siguiente;

La ocurrencia de las matemáticas (en otras asignaturas)

1. Es intermitente e imprevista-,, requiriendo un recuerdo instantáneo y uoa re-orientación por pane del alumno.

2. Surge en contextos no familiares-, donde se supone la habilidad para aplicar el conocimiento.

3- Precisa inmediatamente la re-orientación y el recuerdo— que son funciones de una alta capacidad intelectual.

4. Da salida a situaciones: a) que implican frecuentemente técnicas que no han sido

introducidas (o no todavía) ni enseñadas por el departamento de matemáticas,., debido a la ausencia de una relación ¡mercurricular.

b) que raramente dependen de destrezas básicas.-, sino mejor de su aplicación, apreciación y'o extensión.

2 Scottisch Curriculum Development Service 1980: Learning Difficulties t fi *** Mathematics St asta $2 - Does every teachw teach mathematics? Scottisch i jl) Curriculum Development Service, Dundee College of Education.

Hemos discutido antes su relación con otras asignaturas y el hecho de que no existe habitualmente unacoordinación preliminar. La técnica matemática que se requiere puede que no haya sido utilizada por el alumno desde hace bastante tiempo. Como ya se ha mencionado, los profesores de matemáticas deben repasar con sus alumnos las ideas y métodos necesarios. La cita numerada como 4 b) indica también la necesidad dr un sentido numérico genuino.

Concluimos este capítulo con algunas ilustraciones especf* ficas de las dificultades que atraviesan ios alumnos al usar las matemáticas en otras áreas del curriculum. Se han extraído de una selección de preguntas de examen y son incluidas para atraer la atención hacia los caminos irreales por ios que se pueden usar ¡as matemáticas y los problemas que surgen de aplicar en otras áreas curnculares las destrezas aprendidas en la clase de matemáticas.

La primera proviene del ejercicio CSE en economía.

1 Número de Número de Número de paradas trabajadores días de trabajo

implicados perdidos

Huelga oficial 82 84-700 643-000 Huelga no oficial 2.125 663-300 1.85/.OCO

a) ¿Cuál ha sido el tipo más frecuente de huelga durante estos años?

b) Explicar la diferencia entre los dos tipos de huelga. c> ¿Cuántos hombres, por término medio, estaban implicados

en cada huelga oficial? d) Del total de días de trabajo perdidos por huelgas, ¿qué

proporción se perdió a causa de bs huelgas no oficiales?

Las cuestiones c) y d) no son sólo difíciles sino que además muestran la ausencia de conocimiento sobre puntos importantes concernientes al manejo de los datos matemáticos.

En la pregunta c) ¿qué respuesta se puede esperar del cálculo 84-700 + 82? ¿Es 1.000 una buena respuesta (obtenida por una acertada aproximación) o es mala (no bastante exacta)? ¿Es 1.032,9268 una buena respuesta o es una solución ridicula en esre contexto? ¿Es 1.033 la mejor respuesta aquí? Los autores de esta pregunta pueden tener una regla general acerca de la aproximación, adoptada por el tribunal de examen. No obstante, fa pregunta, que es s in duda simple en términos de interpretación general, requiere un entendimiento claro de los conceptos de media y estimación.

De igual forma, en la parte d) la idea de proporción resulta difícil a este nivel. Encierra más dificultades cuando

se ha realizado un cálculo previo para obtener el número total de días perdidos- Como en la parte c) ¿conocerán los examinadores las formas diferentes en que se puede expresar la respuesta? Quizá nuevamente tengan reglas generales que cubran la situación, pero las demandas matemáticas de !a cuestión (d) parecen desproporcionadamente más duras que la interpretación general.

LA ENSEÑANZA DE IAS MATfcMÀ OCAS

La segunda cuestión proviene de un examen en historia económica;

2 Estudiar los siguientes diagramas y responder después las preguntas que siguen.

Número de salidas al por menor en el Remo Unido

1971

30%

68% 60%

TOTAL 510C00 TOTAL 368CO0

Valor de ventas al por menor en el Reino Unido

1971 1977

42%

33%

TOTAL £17999 millón TOTAL E390CO million

Salidas ai por menor únicas

81 Cooperativas al por mencrf Múltiple

a) ¿Qué cambio tuvo lugar en el número tutal de salidas al por menor entre 1971 y 1977?

b) i) ¿Que cambia tuvo lugar en el valor total de las ventas al por menor entre 1971 y 1977?

ii) Sugerir dos razones para este cambio. c) El valor de las ventas por las salidas al por menor

¿aumentó mas rápido o más lento que el total de ventas entre 1971 y 1977? Mostrar con claridad cómo calculas tu respuesta.

d) i) ¿Cual es el significado de «múltiple- tal como es usado en el diagrama?

¡t) Dar un ejemplo de una firma múltiple al por menor en el Keíno Unido.

e) i) ¿Qué cambios tienen lugar en la importancia de los múltiples respecto de las otras formas de salidas al por menor entre 1971 y 1977?

ii) ¿Qué razones puedes dar para estos cambios? f) Dar dos ventajas y dos desventajas que puede experimentar

el ama de casa como resultado de los cambios en el modelo de coemrcio al por menor.

Mucho del contenido es matemático y proviene de áreas en las que los profesores de matemáticas no suelen poner el suficiente énfasis, tal como:

i) obtener información de diferentes tipos de gráficos antes que del dibujo de estos gráficos;

ü) entender y manipular grandes números tal como son utilizados usualrnente en economía, estudios de negocios y otras asignaturas sociales; por ejemplo, 17,000 millones de libras;

üi) el uso de cuestiones de final abierto donde la respuesta depende en primera instancia de una interpretación de los datos {por ejemplo, la pregunta e) (i)).

La tercera cuestión está tomada de un examen de ingeniería:

3 (a) Cuando se examina un motor, es necesario medir el par de torsióu en el árbol de salida. Explica brevemente cómo se puede hacer.

(b) Durante dicho test sobre uu modelo de motor, se registraron los siguientes datos:

Duración del test 5 minutos Energía específica de combustible 40 MJ/kg Consumo de combustible 0,94 X 10~J kg Velocidad del motor 7.CO0 rev/min Salida del par 34 X 10-* N m

Calcular: (i) la energía que suministra el combustible por segundo;

(ii) la potencia del freno; (iü) la eficacia térmica del freno,

(c) Este motor es utilizado para impulsar una lancha. El árbol propulsor debe girar a 120 rev/muL Inventar un sistema para dar la reducción de velocidad requerida, hacer un boceto y demostrar todos los cálculos.

Las fórmulas numéricas utilizadas para mostrar el consumo de combustible y la solida del par pueden confundir a ios

alumnos que se enfrentan a ellas por primera vez» ya que no L\*N»fl«OAne es probable que se traten en matemáticas cantidades como LAS UAITUÁTKAS 9,4 X kg y 3,4 X 10-* N. La operación con índices que son múltiplos de tres es» sin embargo, un procedimiento reconocido en ingeniería y, por tanto, debe ser mencionado en los programas de matemáticas.

las conclusiones que se pueden extrar de estas ilustraciones son las siguientes:

L Debe haber una buena relación entre los departamentos para asegurar la ordenación oprima de los temas en los programas.

2, Los profesores de matemáticas deben tomar en cuenta las formas en que aparecen las matemáticas en otras asignaturas y familiarizar a los alumnos con ellas.

3. Todos los profesores tienen la responsabilidad de animar el entendimento y el gusto por las matemáticas.

Las matemáticas a través del curriculum es una variación del tema de la aplicación de las matemáticas a la vida cotidiana. Un informe sobre el í/se of Mathemalics by Adulto ¡n Daily life\ comisionado por el Advisory Council for Adule and Continuing Education Project, hace la observación de que -las dificultades matemáticas más frecuentes se refieren a porcentajes» razones, gráficos y tablar horarios y unidades métricas». Con la posible excepción de los horarios» éstas son precisamente las áreas de las matemáticas que muchos profesores de ciencias, geografía o economía domestica, por ejemplo, identifican como causantes de frecuentes dificultades para sus alumnos. La revisión de temas, asignatura por asignatura, que da el libro Mathematia Across ihe Curriculum4, de John Ling, muestra también que los temas mencionados antes se presentan consistentemente en muchas asignaturas de la educación secundaria. Así, dentro de las distintas asignaturas del curriculum escolar, cada una tiene sus propias necesidades matemáticas así como necesidades comunes y estas últimas se refieren exactamente a las destrezas requeridas por la población adulta en su vida cotidiana.

•:.-.-:! B, 1981; Use of MatbtniMus h AdéUts m D*ih Lífr

/ 71 Advííor* Council for Adult ü*I C w n i i n t i : r ¡ f-liwauoc. / J4 « Line, J. 1977: Mathemxtict Aavss the Cmíimkm Blicfcic

CAPÍTULO 8

Evaluación

El término ^evaluación* puede suscitar sospecha y des confianza en algunos profesores. Lo pueden asociar con exámenes formales que producen una tensión innecesaria en los alumnos, con resultados poco más fiables que sus propios juicios subjetivos. Consideran que se aplican sólo a una parte del aprendizaje de sus alumnos, que ignoran el entusiasmo, U cooperación, el esfuerzo sostenido, el éxito en las tareas prácticas, etc.

Los profesores de secundaria pueden dudar del valor de registrar detalladamente los resultados en matemáticas de la escuela primaria y presentan sus propios exámenes al comienzo de la educación secundaria. Tales examenes, si no están directamente basados en el trabajo de los alumnos en primaria, pueden casar mal con los resultados de primaria y ser unos indicadores inexactos sobre las futuras realizaciones matemáticas,

La evaluación de la calidad y cantidad del aprendizaje del alumno, s in embargo, es una parte integral del proceso de tratamiento de las dificultades de aprendizaje. Es una valoración continua día por día, semana tras semana, que continúa a través de los cursos seguidos por los alumnos, de forma que los exámenes de fin de curso (internos o externos; constituyen sólo una pequeña parte del procedimiento.

Este capítulo trata de las distintas formas en que puede llevarse a cabo la evaluación y de los objetivos que persigue.

Evaluación informal

La evaluación informal (ver también el Capítulo 6) discurre a lo largo del tiempo transcurrido en el aula tanto en forma oral como escrita.

La utilización de preguntas orales para valorar la comprensión de los alumnos es un componente esencial de una buena enseñanza. Las preguntas, normalmente, deben ser formuladas pensando en el alumno. No es muy válido formular preguntas simples, cuestiones básicas a los alumnos

capacitados (aunque se sospeche que estén distraídos), o UENSÉ AWAOC preguntar cuestiones difíciles a los que aprenden más lenta- us №TEU.VLKAS

mente, ya que es probable que no se obtenga una respuesta correcta. Por otra parte, los alumnos menos capacitados pueden salir ganando al oír una respuesta correcta de los alumnos más capacitados de la clase y preguntas sencillas formuladas a alumnos tímidos pueden mejorar su propia confianza. El profesor debe comportarse, con cualquier grupo de alumnos, de manera que se asegure que todos están implicados en el trabajo oral al nivel apropiado a sus habilidades individuales.

Una segunda forma importante de evaluación continua es el trabajo escrito de los alumnos, llevado a cabo en clase o en casa. Es el método más habitual para evaluar lo que han aprendido y entendido y con el que se pueden diagnosticar dificultades en el aprendizaje. Tiene poco valor corregir los trabajos escritos presentados por los alumnos sin indicar al mismo tiempo la naturaleza de sus errores e indicar los métodos de tratarlos. Desde este punto de vista, los ejercicios escritos son parte de la enseñanza y del programa de aprendizaje y no, simplemente, un medio de registrar lo que el alumno sabe o no sabe.

I valuación formal

Cuando volvemos a una evaluación más formal, existen cuatro factores a considerar:

1. ¿El examen es escrito, práctico u oral? 2. ¿Por qué se está poniendo el examen? ¿Es para dignos-

ticar con precisión las causas de sus dificultades?, ¿utiliza criterios con los que evaluar la competencia en áreas específicas o se refiere a una norma con la que relacionar la capacidad del alumno con criterios más generales de capacidad?

3. ¿Cuál es la forma de las respuestas de los alumnos? ¿Los ítems del examen son de elección múltiple, de forma que piden a los alumnos que escojan una respuesta correcta entre varias posibles o son ítems que requieren respuestas cortas o más extensas?

4. ¿Cómo están ordenados los ítems?

Son de mayor importancia las cuestiones 2, 3 y 4 en relación a los exámenes escritos, dado que son los más comunes en las matemáticas escolares. (En este contexto, los tests por computadora pueden interpretarse como una forma de examen escrito.)

EVUOACXW Exámenes escritos

Exámenes de diagnóstico

Son exámenes diseñados para detectar dificultades específicas de aprendizaje, al objeto de identificar a los alumnos que precisen una ayuda adicional. Una vez que se ha determinado la naturaleza de las dificultades puede ponérseles remedio, ral como se discute en el siguiente capítulo.

La primera etapa en la construcción de un examen de diagnóstico es construir un análisis de tareas del tema que está siendo examinado para identificar las subtareas compo nentes. El examen debe incluir ítems que valoren separadamente cada una de estas subtareas, de forma que una respuesta incorrecta a un ítem del examen permita localizar con exactitud el área de dificultad.

Naturalmente, un programa bien diseñado de actividades de aprendizaje debe permitir al profesor conocer las difícil'-tades que tienen, de manera que el subsecuente examen de diagnóstico se antojaría innecesario. Existen, sin embargo, ocasiones en que un profesor puede desear utilizar tales exámenes.

a) Al comienzo de una sesión escolar, para determinar qué necesidades deben repasarse antes de pasar adelante.

b) Cuando en el curso del aprendizaje de un tema, el alumno parezca encontrar dificultades en otra ¿rea «lilas matemáticas. Por ejemplo, al tratar con ímlkYx fraccionarios, un alumno puede cometer errorc\ qut1

parezcan ser debidos a una ausencia de conocimientos sobre las fracciones. Puede saber que zxn X a U J se resuelve sumando los índices pero puede hacerlo inco* rrectamente, obteniendo posiblemente 2/5 como la suma. En contraste, un alumno que calcula a l /* X a l / 1

como a ! í* muestra que no conoce un tema principal de los que están siendo estudiados.

c) Cuando un alumno vuelve a un tema algún ik*ui|*> después y parece haber olvidado mucho de ki i¡ur había aprendido anteriormente.

El valor de la evaluación diagnóstica, particularmente con los alumnos menos capacitados, es muy reducido si no está ligada a un sistema de registro eficaz que establecerá la continuidad en los remedínt que se aporten. Sin embargo, el interés principal debe ser el que al diagnóstico le siga inmediatamente una acción conveniente de remedio. El remedio es tratado con detalle en rl próximo capítulo pero se

puede hacer aquí una observación general- Existen dos U ENSEÑANZA OK aspectos en el proceso de diagnosis: LAS MATEMÁTICAS

i) la dificultad debe ser identificada con claridad, ¡i) deben considerarse las circunstancias relacionadas con

la dificultad.

El segundo aspecto es importante respecto de las dificultades encontradas entre los menos capacitados. Por ejemplo, et error 36 X 2 = 612, cuando ocurre en el contexto de la técnica de multiplicación, está relacionado con una pobre comprensión del valor de posición y una falta de conocimiento sobre el uso de estimaciones con las que valorar lo razonable de una respuesta. (Un alumno que hace esto, cada vez que recibe el cambio de una libra debe saber que 36 X 2 es menor que 100). En este caso, el programa de remedio debe comenzar con una revisión de las ideas del valor de posición en base diez —'centenas, decenas y unidades— usando la notación expandida y, posiblemente, ta comprobación con calculadora. La suma reiterada —36 + 36— servirá entonces para consolidar el aspecto de «llevarse» en el cálculo del valor de posición. Después de una práctica suficiente, se puede volver a la técnica de la multiplicación y a las ideas de distribución.

Exámenes con referencia a criterios

Tales exámenes miden la habilidad de ios alumnos respecto de un criterio establecido. Al diseñarlo un profesor tiene primero que decidir cuál es el criterio apropiado. Una pregunta puede implicar un criterio único que se alcanza o no, puede considerar criterios variados, algunos de los cuales pueden haber sido alcanzados y otros no. Damos cuatro ejemplos.

1. Criterio: Comprensión de lo que significa la frase «una solución de una ecuación». Pregunta de examen: Determinar si 7 es una solución de la ecuación 4x + 3 = 31.

2. Criterio: Comprensión del hecho de que, para números reales, a.b = 0 =* a = 0 ó b = 0. Pregunta de examen: Para qué números reales x se cumple que (x — 4) (x — 7) = 0.

J. Criterio: a) Comprensión del hecho de que a.b = 0 => a = 0 ó

b = 0 es una propiedad única para el 0. 1S8

EVALUACIÓN b) Habilidad para usar la ley distributiva. c) Habilidad para factorizar un trinomio. Pregunta de examen: Resolver la ecuación (x — 2) ( X _ 3) = 12.

4, Criterio: a) Habilidad para calcular la pendiente de una recta

que une dos puntos dados en el plano. b) Habilidad para construir la ecuación de una línea

recta a partir de su pendiente y un punto de la misma,

c) Comprensión de la relación entre las pendientes de rectas perpendiculares.

d) Habilidad para encontrar el punto de intersección de dos rectas cuando se conoce la ecuación de cada una.

Pregunta de examen: A, B y C tienen por coordenadas (l f 4), (2,2) y (10,1), respectivamente. La recta que pasa por C y es perpendicular a AB corta a AB en D. Encontrar las coordenadas de D.

Notar que si t en el ejemplo 3, no se alcanza el primero de los criterios mencionados —si, por ejemplo, escribe *x — 2 = 12 o x — 3 - 12»— entonces los dos criterios restantes no se pueden evaluar. En el ejemplo 4, si existen errores en los primeros tres criterios, es posible valorar el cuarto. Desde este punto de vista, la cuarta pregunta está mejor construida que la tercera. Diseñar preguntas de examen —particularmente cuando hay más de un criterio implicados— requiere una reflexión cuidadosa.

Cuando cada pregunta de un examen implica el mismo criterio único que es o no alcanzado, el examen se transforma en un test sobre el aprendizaje que se ha llegado a dominar. Por ejemplo, para valorar el dominio en el uso básico de la ley distributiva en álgebra se pueden presentar preguntas que requieran el desarrollo de expresiones como 3(2x + 5y).

Mientras los exámenes referentes a criterios contienen un elemento de diagnóstico —ya que el fallo en tratar un criterio indica una dificultad de aprendizaje—, el examen mismo no puede identificar el punco o pumos específicos que causan la dificultad. De ahí que hacer mal este tipo de exámenes implica realizar valoraciones posteriores que incluyan, posiblemente, un examen de diagnóstico.

No es necesario que los criterios sean especificados en términos puramente matemáticos. Por ejemplo, se puede tener un criterio como:

a) El alumno ¿puede seleccionar una estrategia apropiada?

b) ¿Puede explicar claramente una solución? c) ¿Puede revisar la corrección de su trabajo?

En el primero de ellos una pregunta conveniente en el examen (en un formato de elección múltiple) describiría un problema matemático y relacionaría cuatro estrategias, re-ttíendo que seleccionar el alumno la más apropiada para dar solución al problema.

En el segundo caso se puede dar un problema al alumno preguntándole cómo resolverlo. Por ejemplo, se le presenta el siguiente diagrama en trigonometría pidiéndole que explique cómo se puede calcular la longitud de AD.

Para tratar el tercer criterio se le muestra un cálculo detallado, preguntándole a) que encuentre una fornu de comprobar que la respuesta sea correcta, o b) encontrar un error en el trabajo.

MATEMÁTICA;

Exámenes con referencia a normas

Estos exámenes están diseñados para valorar la habilidad de un alumno respecto de los demás alumnos o de alguna medida normalizada de habilidad. Así, se puede intentar determinar la habilidad del alumno en términos de percentiles; un alumno dado estaría situado en el 10% superior o en el 30*ft inferior de su grupo de edad en matemáticas. Muchos exámenes externos de la Junta evaluadora son de este tipo. En un ano concreto, las puntuaciones de los exámenes son tratadas para fijar la media y la desviación standard y se determinan entonces franjas de habilidad correspondientes a los distintos años. En la práctica se utilizan técnicas de comparación más sofisticadas, pero los principios fundamentales son los mismos.

Los exámenes con referencia a normas no se refieren directamente, por tanto, a la estimación del conocimiento sobre temas matemáticos concretos ni revelan dificultades de aprendizaje, aunque una lectura detenida de los exámenes revelará obviamente muchos errores. En el enfoque de las matemáticas basado en las dificultades de aprendizaje, los

EvUüACtós exámenes con referencia a normas deben jugar un pequeño papel.

Además de los propósitos generales de evaluación mencionados antes, los exámenes pueden ser necesarios para propósiros más específicos.

a) El traslado de un alumno de un instituto a otro requiere una valoración a su ent rada en el nuevo instituto, para determinar sus conocimientos en varias áreas de matemáticas. Tal examen debe contener pre guntas de distinta dificultad y que provengan de diferentes áreas de las matemáticas. En el momento en que se pueda construir su perfil de habilidades se le proporcionará la ayuda necesaria en aquello que debe conocer para que su trabajo progrese. La forma del examen debe ser de diagnóstico o referente a criterios, basados en las matemáticas que el alumno necesita conocer para acomodarse a la etapa del programa que se lleve a cabo cuando entre. Si se conoce su rendimiento anterior en matemáticas, puede emplearse un examen basado en este trabajo pra estimar su nivel general de habilidad matemática. Un alumno puede puntuar alto en este tipo de examen pero hacerlo mal en un examen basado en el programa de su nuevo instituto y conteniendo temas que él conoce poco.

b) Es necesario de vez en cuando obtener información acerca de la competencia matemática de los alumnos de cara a un empleo, para otros profesores o sus padres. SÍ no está disponible ninguna evaluación escrita reciente, los exámenes se realizarían con este propósito.

Formas de respuesta del alumno en exámenes escritos

Pregunta* de elección múltiple

Las preguntas de este tipo requieren del alumno que escoja entre un número de respuestas dad.t%, de las cuales sólo una es correcta. Las respuestas incorrecta:* pene plausibles son denominadas distractores. Desde la perspectiva dr la detección de las dificultades de aprendizaje, las preguntas do este tipo no son particularmente útiles ya que no existí-forma de conocer, sobre una pregunta concreta, cómo decide el alumno escoger una respuesta.

Supongamos que se desea valorar si un alumno conoce la relación gráfica de la proporcionalidad inversa —es decir, la forma gráfica asociada a la ecuación xy = k, donde k es una constante. Una pregunta de respuesta corta puede pedir al

alumno que dibuje un boceto aproximado de tal relación. LA INSERANZA ot Una pregunta de elección múltiple le presentaría cinco i£k MATFMJVT[CAS gráficos (cartesianos) y le pediría que seleccionara el más

* parecido al gráfico de la proporcionalidad inversa. Un alumno que soa incapaz de responder a la pregunta de respuesta c<>ri;i jukxlr seleccionar bien el gráfico apropiado en la pregunta tic elección múltiple, no porque sepa que es correcta sino porque, por diversas razones, descarta las restantes —o, posiblemente, por una simple conjetura. Así no resulta fácil saber lo que la pregunta de elección múltiple está realmente evaluando. Por otro lado, un alumno que puede obtener una respuesta correcta cuando se le pide directamente que realice un cálculo, es posible que escoja una respuesta incorrecta pero plausible cuando se le presentan cíuco respuestas diferentes.

Existe también algo poco limpio en el intento de que el niño de respuestas incorrectas al proporcionarle distractores plausibles. Después de todo, el arte de construir bien un examen de elección múltiple consiste en presentar todas las respuestas como igualmente convincentes —la respuesta correcta no debe ser claramente diferente de las otras. La construcción de tal examen no es una labor simple y resulta necesario algún adiestramiento. Además de los temas estadísticos como la fiabilidad, el diseño de una pregunta del examen para valorar un objetivo específico requiere alguna reflexión.

Preguntas de respuesta corta

Muchos exámenes escolares son de este tipo. Las preguntas requieren un cálculo único o la aplicación inmediata de una técnica, al objeto de determinar si una destreza apropiada ha sido aprendida o no. Tales exámenes tienden a valorar solamente el aprendizaje instrumental. Son fáciles de construir y fáciles de calificar, lo que contribuye a su amplia utilización.

Preguntas de respuesta extensa

Estas evalúan habilidades de alto nivel y comprensión relacionaL Le piden al alumno que decida una estrategia apropiada de solución, o ci uso de más de una técnica, o que explique cómo puede obtenerse una respuesta o por qué un resultado es cierto. Ya que, en general, son más difíciles de construir, lleva tiempo la respuesta de los alumnos y la calificación por los profesores, tales exámenes son, comprensiblemente, menos comunes en las aulas de matemáticas de

EVALUACIÓN secundaria. Tales preguntas se presentan mejor como ejercicios esentos que no precisan de velocidad por parte de los alumnos. Sin embargo, ya que les requieren pensar relaciona!* mente y aplicar destrezas y técnicas, deben formar parte de un programa global de evaluación.

Examen de composición

Los exámenes simples, consistentes en cuestiones similares valorando la misma parte del trabajo matemático, necesitan poca atención en la composición, ya que todas las preguntas son del mismo tipo y muchas del mismo nivel de dificultad.

Otras formas de examen requieren mayor estructura interna. Es importante colocar las cuestiones más fáciles a! comienzo del examen y dejar las más difíciles para el final* Esto da confianza al alumno y permite a los menos capacitados demostrar su capacidad-

Una pregunta difícil demasiado pronto puede llevar al alumno demasiado tiempo para, eventualmcnte, obtener una solución correcta, dejándole con poco tiempo para completar las cuestiones más fáciles y tardías. Una preguuta difícil puede no ser apreciada así por el alumno a primera vista, de modo que la estrategia de leer todas las preguntas para escoger las más fáciles no es tampoco una posibilidad factible.

Se tiene que decidir también qué formas de la respuesta del alumno serán admisibles. En general, las preguntas de respuesta corta deben colocarse antes que las de respuesta extensa. Esto puede servir de ayuda cuando las técnicas valoradas en las de respuesta corta se empleen en las últimas cuestiones. Alternativamente, una pregunta de respuesta extensa puede venir precedida por una cuestión corta directamente relacionada con ella. En este caso, naturalmente, la habilidad para seleccionar una estrategia apropiada no puede ser evaluada ya que esta estrategia aparece indicada en la cuestión introductoria.

Como se ha dicho antes, las preguntas de elección múltiple son inconvenientes para detectar las dificultades de aprendizaje. Si se utilizan, es preferible que todo el examen sea de esce tipo, porque una mezcla en el m i s m o examen de preguntas de elección múltiple y de respuestas cortas puede confundir a los alumnos.

Si un examen se presenta a alumnos de un amplio rango de habilidad* surgen problemas especiales. Sirve, de poco presentar un examen en el que una gran proporción de alumnos puntuarán poco o en el que las preguntas resultarán triviales para los alumnos capacitados. Una solución es presentar exámenes separados pero esto no es posible si los

alumnos se encuentran en grupos de habilidad mixta. Una U ENSEÑANZA I>E alternativa consiste en subdividir el examen en secciones LASMAIÜÍÍÍKAS —una sección inicial común para todos los alumnos, seguida por secciones progresivamente mis difíciles dirigidas a los alumnos según aumenten sus conocimientos.

Debemos recordar que, aunque unos exámenes apropiados pueden motivar a los alumnos y aumentar su confianza en sí mismos, también pueden ser inquietantes y rompeí los nervios de muchos niños. Muchos profesores defienden un sistema de evaluación continua y la realización de un registro (perfil) del alumno sobre cada uno de sus logros. Existen, sin embargo, razones válidas para conservar un elemento del examen formal.

a) El trabajo matemático requiere una consolidación pe riódica. Los exámenes formales pueden evaluar la extensión de esta consolidación y poner de relieve Las debilidades existentes.

b) Los exámenes formales dan una estimación más objetiva de las capacidades de los alumnos que la evaluación continua día por día, que puede estar teñida por aspectos subjetivos de las relaciones entre el profesor y los alumnos.

c) En general, a los alumnos les gusta conocer si hacen bien su tarea. Los exámenes formales pueden darles esta información más claramente que la evaluación continua.

d) En los últimos años de secundaria, los exámenes formales sirven de preparación a los exámenes a nivel nacional.

Volvemos ahora a los otros dos métodos de llevar a cabo un examen —práctico y oral.

Exámenes prácticos

Los exámenes de trabajo práctico, que resultan habituales et\ -asignaturas como ciencias, arre, economía doméstica y educación técnica, juegan tradicionalmente un pequeño papel en U evaluación del trabajo matemático.

Existen distintas razones para ello.

1. A menudo, se ve el trabajo práctico en matemáticas como un medio para un fin, siendo éste el trabajo dr lápiz y papeL

2. I-os objetivos matemáticos que quieren ser evaluados no son siempre fáciles de identificar,

y La norma standard de una realización puede ser difícil de definir

En años recientes, sin embargo, existe una tendencia creciente a tratar el trabajo práctico como una parte integral de la experiencia matemática (ver el Capítulo 1). La evaluación del trabajo práctico debe así formar parte de la evaluación global de la capacidad de un alumno para las matemáticas.

Para poner de relieve los problemas de la evaluación práctica, consideremos la construcción de un sólido en cartulina, un tetraedro por ejemplo. Se le pide a cada alumno que haga el tetraedro en un tiempo especificado. ¿Cómo se

C evaluar el tetraedro resultante? ¿Es una simple cuestión de completarlo o no? ¿Es una cuestión de destreza del alumno en la exactitud del cortado, doblado y pegado? En otras palabras, si un alumno sabe cómo hacer el modelo, su i v - . t u / . i i i u m u i en n C Ü Í : > : : \ A / i o n 'Í.SUJ M I ; I M I U ÍA

evaluación matemática? Más aún, la construcción de un tetraedro sobre cartulina implica un número de etapas (análisis de tareas). ¿Se debe evaluar separadamente cada etapa?

Se pueden dar varias respuestas a las preguntas anteriores. Es posible evaluar la habilidad para completar el modelo independientemente de !a calidad del sólido construido. Se puede admitir que completar el modelo indica que sus distintas etapas han sido llevadas a cabo con éxito. Sin embargo, si el sólido no se ha completado, un profesor querrá conocer qué etapa produce esta dificultad. Otro aspecto de la evaluación separada de las etapas es que requiere que el profesor observe el trabajo de sus alumnos frecuentemente, lo que consume mucho tiempo y puede ser imposible en una cíase grande. Este último punto podría ser superado si la evaluación sólo afecta a una parte de la cla.se al mismo tiempo. Esto es posible en los exámenes prácticos ya que, contra lo que sucede en los de tipo cálculo, el conocimiento de lo que hacen otros alumnos no ayuda tanto en la realización propia. Esto, sin embargo, limita la naturaleza de lo que puede ser evaluado ya que, por ejemplo, puede dar a algunos alumnos más oportunidad de practicar.

Cuando esto se lleva a cabo, la evaluación práctica requiere organización. Una forma de conseguirla es disponer de los llamados puestos de evaluación. Son colocadas en varios puntos de la clase las tareas prácticas a realizar, las instrucciones necesarias, el equipamiento necesario y los malcríale* y, si es necesario, una hoja para registrar los resultados (por ejemplo, en los experimentos estadísticos). Se 1c pediría al alumno, asimismo, que discutiera sus resultados con él profesor.

A cada alumno se 1c insta a realizar todas las tareas en LAENSFÍ-ANZAM tiempos variados mientras el resto de la clase está ocupado LAS MATKMATTCAS en otras ureas. Para tener éxito, tal sistema requiere que el profesor establezca un registro de resultados para cada alumno.

SÍ el equipamiento y el espacio disponibles son suficientes, la evaluación práctica puede ser llevada a cabo sobre la clase entera, lo que es claramente más simple en términos de organización.

Exámenes orales

Esta forma de evaluación es central en eí proceso de enseñanza/aprendizaje. Como se ha dicho antes, proporciona la base a partir de la cual un profesor obtiene información acerca de la forma en que los alumnos comprenden un tema concreto dentro del proceso de aprendizaje.

La evaluación oral puede tener lugar en un contexto formal. Quizá el uso más común de los métodos orales en matemáticas hasta hace poco ha sido el de viva voz para el doctorado, donde el estudiante tiene que discutir y defender su tesis frente a un tribunal de examinadores. Tales confrontaciones pueden asustar a algunos candidatos más que un examen escrito.

La evaluación oral de alumnos individuales consume claramente tiempo en el contexto de un instituto típico. Existe, sin embargo, la ventaja de que, para los alumnos lentos, no se necesita la comprensión lectora. De otro lado, una pregunta escrita es permanente y puede uno acudir a ella tan a menudo como se desee. Las preguntas verbales deben ser cortas o surgirán problemas de memoria, lo que lleva a la necesidad de repetirla. En consecuencia, los exámenes orales son más convenientes cuando se exponen brevemente y pueden ser entendidos con exactitud.

Para ilustrar algunos aspectos de los exámenes orales para alumnos lengos, describiremos el trabajo llevado a cabo por uno de los autores (JAC): la evaluación oral de 58 alumnos ligeramente disminuidos, con edades entre los catorce y dieciséis años y con coeficientes de inteligencia entre cincuenta y setenta. Se Elevaban a cabo cinco exámenes orales, conteniendo cada uno 10 cuestiones con las que se identificaban destrezas vitales en matemáticas. Cada respuesta correcta significaba 2 puntos pero, si era necesario repetir la pregunta, se puntuaba sólo 1 punto. Como control, se daban a los alumnos cinco exámenes escritos el último día conteniendo las mismas preguntas. Los análisis de las puntuaciones en los

F.VALUACÍÚN dos conjuntos de exámenes mostraba que los alumnos realizaban significativamente mejor los exámenes orales.

(R. Sumner encontraba puntuaciones significativamente más altas en exámenes orales de alumnos con bajos conocimientos en destrezas lectoras tal como lo atestigua en su libro Tests of Attmnrnent m Mattxmatks m Schooft*)

La evaluación oral que se comentaba anteriormente revelaba una ausencia de conocimientos en algunos temas que no se había sospechado. Por ejemplo, todos los alumnos podían copiar de la pizarra correctamente una fecha como 13/9/85 pero algunos, cuando se les preguntaba a qué mes correspondía la fecha 16/11/85, no sabían responder.

Con la información oral dada, los alumnos intentan los cálculos, en algunos casos, por métodos diferentes de los que adoptan al tratar con cuestiones escritas. Por ejemplo, en la suma de dinero se agrupaban primero las unidades más altas, o al menos tendían a hacerlo, en vez de empezar por las unidades más pequeñas como se hace habitualmenre en el trabajo escrito.

En los exámenes orales los alumnos parecen estar libres de tensión y disfrutando de una interacción más personal con el profesor. l^>s alumnos en clases de 20-30 en escuelas estatales tienen, normalmente, una relación más impersonal con sus profesores. En rales circunstancias, los alumnos tímidos pueden encontrar Ja evaluación oral uno a uno como una aventura desalentadora, por lo que debe animarse una interacción más personal entre profesor y alumno; la evaluación oral debe fomentarlo considerándose una parte normal del programa global de evaluación.

Tests comerciales v bancos de ítems

Hasta aquí nos hemos referido a exámenes construidos dentro de ta escuela. También están disponibles una gran variedad de tests publicados comercialmente. Se puede encontrar una lista de tales tests en el folleto Tests2^ publicado por la Mathematical Association. Este folleto incluye también una fundamentación excelente sobre la evaluación formal en general.

Otra fuente más reciente de preguntas de test es el ítem Bank. Tales bancos de ítems están disponibles, incluyendo uno preparado en Escocia sobre bases nacionales. Están

1 Sumner, R. !975: Tests of Attainment ¡n Mathtmaticí m Schools. NFER.

*The MacbemaritaJ Association 1978: Tesis. The Mathematical Asociación.

EVALUACIÓN planificados para contener cuestiones válidas estadísticamente c incluyen información sobre el nivel de dificultad y los criterios que están siendo evaluados, con la intención de que el profesor pueda obtener un test de cualquier longitud, en un grado prescrito de dificultad, sobre cualquier tema de las matemáticas escolares. Puede obtenerse una información estadística sobre los ítems que capacitan para juzgar sobre el promedio alcanzado por los alumnos según una norma standard.

En la práctica, los bancos de ítems no han alcanzado aún una etapa de desarrollo que permita una valoración critica apropiada. Cuando están disponibles, muchos son incompletos por lo que los profesores que quieran usarlos deben considerarlos como cuestiones razonablemente bien construidas para evaluar la consecución de objetivos especificados. La teoría estadística debida a Rasch, que está detrás de muchos bancos de ítems> no ha sido todavía adecuadamente valorada con el uso práctico del aula.

Hemos examinado en este capítulo un amplio campo de elección disponible en la invención de técnicas de evaluación formal. Es útil volver a repetir lo dicho al comienzo. La evaluación más efectiva del aprendizaje del alumno es la que se lleva a cabo día a día a través de la discusión entre el profesor y el alumno y las observaciones del trabajo de los alumnos. La evaluación forma! es una extensión de todo ello, no su sustituto-

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CAPÍTULO 9

Prevención y remedio

En los Capítulos anteriores nos hemos referido a una variedad de fuentes en las dificultades de aprendizaje que pueden ser resumidas bajo los siguientes encabezamientos:

L Dificultades que surgen de ¡os procesos de desarrollo cognitivo infantil y de su estructuración de la experiencia (Capítulo 3 ) ,

2. Dificultades atribuíbles a la escuela o a la organización de la clase —formación de la clase, naturaleza de los métodos de enseñanza utilizados, naturaleza de los programas (Capítulo 4 ) .

3. Dificultades debidas a actitudes afectivas, emocionales y no racionales hacia las matemáticas (Capítulo 2 ) .

4. Dificultades debidas a la naturaleza de la asignatura (Capítulo 5 ) .

En cada una de estas áreas se lian hecho algunxs sugerencias tanto para la prevención como, con menor extensión, para el remedio. Este capítulo relaciona los pensamientos de estos primeros capítulos dándoles la forma de estrategias prácticas para la enseñanza en clase. Inevitablemente, existe una coincidencia con discusiones anteriores por lo que se hará una referencia a ellas en los puntos apropiados. Mientras se hacen pocas referencias directas en este capiculo a3 diagnóstico y a otras técnicas de evaluación, se debe conocer lo que se está tratando de prevenir y mejorar, tanto en la prevención de los errores antes de que ocurran como en su mejora, una vez ocurridos. El uso adecuado de la evaluación es un elemento importante en ambos, así como la completa supervisión del trabajo de los alumnos»

Al discutir las dificultades de aprendizaje en términos de prevención y mejora combinamos el enfoque a largo plazo y general con el inmediato y particular. La prevención afecta directamente a los recursos y a la planificación del programa, cuestiones discutidas en sucesivos capítulos. Las mejoras, por otra parte, se refieren a la interacción diaria en clase entre el profesor y el alumno. Esto es preferible, sin embargo, a ver

*•! i r n i r t l i o , no en e l s e n t i d o n e g a t i v o de c o r r e g i r s i m p l e m e n t e LirNSEÑAir2Aft:

t o s r m i r c s , .s ino en e l a m p l i o s e n t i d o p o s i t i v o de a u m e n t a r la iMHArEiiíTicu

t o m p j ^ i i s i ó n , d e f o r m a q u e l a m e j o r a s e i n t e g r e e n e l

. u i i m ' i t i o Litis genera l de la ca l idad de la e n s e ñ a n z a y el

..piVHílix.*i*\ S i v i p r o f e s o r o b s e r v a e r r o r e s e s p e c í f i c o s d e l

n o C|IIL* n o sv d e b e n a la d i s t r a c c i ó n y q u e ind ican u n a

c o m p r e n s i ó n parc ia l , l e será más fácil t e n e r é x i t o q u e s i l o s

v e c o m o a b e r r a c i o n e s innecesar ias q u e n o habr ían o c u r r i d o

e n c a s o d e q u e e l a l u m n o p r e s t a s e m á s a t e n c i ó n . Por b i e n

q u e i m a g i n e m o s n u e s t r a e n s e ñ a n z a y la o r g a n i z a c i ó n de las

a c t i v i d a d e s d e l a l u m n o , n o t o d o s l o s c a p a c i t a d o s a u m e n t a r á n

a la v e z su c o m p r e n s i ó n . E l p r o c e s o p o s t e r i o r de o c u p a r s e de

l o s errores i n d i v i d u a l e s , así c o m o de ION e r r o r e s c o m u n e s a

g r u p a s e n t e r o s d e a l u m n o s , e s u n a p a r t e i n t e g r a l d e u n a

e s t r a t e g i a d e e n s e ñ a n z a g l o b a l .

Estrategias de prevención

Las seis estrategias siguientes sirven para minimizar las principales dificultades de aprendizaje. Cacti una de ellas aparece encabezada por un consejo específico.

/ Na introducir nuevas ideas demasiado rápidamente

Es imprescindible insistir en este consejo. Debe ser uno de los principios fundamentales de toda enseñanza. Ignorarlo es el camino más seguro para crear dificultades de aprendizaje sustanciales y profundamente enraizadas.

Para ponerlo en práctica, se deben adoptar los siguientes procedimientos:

a) Cuando se desarrolle un tema, se han de consolidar y practicar considerablemente las primeras etapas antes de introducir una idea o técnica nuevas.

b) El contexto o marco de estas etapas tempranas no debe interferir con futuros desarrollos (véase 2 más abajo),

c) Las ideas y técnicas nuevas deben ser introducidas tratando de que no creen confusión en el alumno respecto al trabajo previo.

d) Donde se necesite una nueva técnica para resolver problemas que no se pueden tratar con las anteriores, la necesidad de esta nueva técnica debe ser claramente percibida por los alumnos.

e) La idea o técnica nueva, una vez consolidada y practicada, debe relacionarse con las etapas anteriores para

pKt.vbNCHlK Y

REHEPIO

que queden claras las similitudes y/o diferencias entre las etapas.

Como una ilustración de d) en la solución de ecuaciones simples, podemos mencionar una idea que puede llegar a ser perjudicial: la de equilibrio cuando se introduce al comienzo de los métodos opcracionales. Para muchos niños, el equilibrio no es un camino obvio para resolver ecuaciones y su necesidad debe ser convenientemente preparada- No es solución el evitar el uso de todos los métodos operacionales; ello sólo servirá para confundir más al niño. Como hemos discutido en c! Capítulo 5, Sección 3 ( las limitaciones del método operacional deben ser demostradas —por ejemplo, considerando una ecuación tal como 3x + 1 = 7x — 11— para dejar claro que se necesita algo más. Una vez que los alumnos han entendido esto, se puede llevar a cabo la práctica en la técnica del equilibrio con ecuaciones tales como 3x + 4 = 19, antes de tratar una ecuación como 3x + 1 = 7x — 11, donde el equilibrio es necesario.

Como una ilustración más general de la estrategia de introducir nuevas ideas gradualmente, consideremos la ecuación algebraica de una línea recta en el plano cartesiano. Inicial-ment£, este tema puede introducirse considerando la pendiente o gradiente que conduce a las formas algebraicas y = mx e y = mx + c, trabajando principalmente en un marco funcional. En algún punto, sin embargo, se introducirá la forma general de la ecuación de una línea recta ax + by — c„ posiblemente por la vía del lugar geométrico y los pares ordenados- La relación del aspecto funcional con el aspecto del par ordenado requiere un tratamiento cuidadoso. Un método posible sería el de observar cualquier forma de la ecuación de una línea recta como esencialmente funcional, de modo que para encontrar las coordenadas del punto de intersección de dos rectas se les pida a los alumnos que expresen cada ecuación en la forma y = mx + c y resuelvan entonces las ecuaciones por sustitución. Sin embargo, ésta es una solución extrema al problema de reconciliar dos enfoques diferentes de la ecuación algebraica de la línea recta.

Una solución más satisfactoria, entre otras, sería la de desarrollar el enfoque del lugar geométrico a partir de la faceta algebraica de una ecuación en dos variables, usando la técnica de la eliminación como el método de obtener las coordenadas de un punto de intersección, y en secuencia (antes o depucs) o en paralelo, adquirir experiencia en la noción geométrica de pendiente y en el aspecto funcional. Las conexiones entre los dos enfoques se van haciendo progresivamente más fuertes, a través de las distintas tormas en que puede escribirse la ecuación de la recta, hasta que

cxisca una compleca combinación de lugar geométrico, pen diente y función, complementándose unos a otros.

En una forma como ésta, se va estableciendo cada idea o técnica en el pensamiento infantil, tanto separadamente como en relación con las otras. Se constntve así una red de aprendizaje (véase el Capítulo 3, Sección 8).

2. No introducir ideas ffl un marco demasiado específico o que no ayude a un futuro desarrollo

De algún modo, éste es un ideal imposible. Sin embargo, lo incluímos para llamar la atención hacia el tipo de dificultades que se pueden mitigar pero no hacer desaparecer. Por ejemplo, si las funciones trigonométricas se introducen primero en el contexto de los triángulos rectángulos, entonces las definiciones aparecería ligadas a dichos triángulos (véase Capítulo 5, Sección 1), Este contexto es demasiado específico y (K poca ayuda en la futura extensión de las definiciones a la de un ángulo en general La alternativa de empezar con la definición general de ingulo y, más tarde, particularizar a los triángulos rectángulos o de otro tipo, aunque evita tales dificultades, introduce otras que implican una falta de moti* vación y un nivel de abstracción más elevado. En ninguna paite se necesita mencionar la naturaleza periódica de las funciones trigonométricas ya que son, de algún modo, un subproducto. Algunos libros de texto toman el camino de la periodicidad a gran escala, pero ello requiere una planificación más cuidadosa que la vía de los triángulos rectángulos.

Ya hemos discutido (Capítulo 5) otros dos ejemplos de un contexto inicial que no ayuda al desarrollo futuro de un tema, que volveremos a mencionar aquí brevemente.

1. La introducción del álgebra de un modo que trate a las letras como incógnitas específicas con un valor único (Capítulo 5, Secciones 5, 7).

¡I 2, El álgebra de *la macedonia de frutas* (Capítulo 5, Sección 2).

Dos temas más en que un contexto inicial demasiado específico puede causar dificultades en futuros desarrollos son:

a) las ecuaciones de las rectas; b) la solución de las ecuaciones polinomiales.

U ENSEÑANZA DÉ PttVBetüN r Ecuaciones de las rectas LAS H*TQlXnuU RTUIDtO

Si uno se aproxima a tales ecuaciones por medio del lugar geométrico, pendiente o función, un contexto demasiado específico consistiría en empezar con rectas paralelas a los ejes coordenados. Las formas c y x = c no aclaran la situación general y es mejor tratarlas como casos particulares después de haber desarrollado ia forma general de la ecuación por otros medios. En cualquier caso, la forma x = c no tiene una interpretación tan simple a partir de la perspectiva de la pendiente o de la función.

Ecuaciones poliatómicas

El método usual de comenzar con ecuaciones cuadráticas (utilizando el ensayo y error para obtener una factorización por examen de los factores del término constante), es de una ayuda muy limitada al tratar con ecuaciones de grado más alto. Se puede proceder directamente hasta el resultado general de que un polinomio P(x) tiene un tactor (x — b) si y solo si b es una solución de la ecuación P(x) = 0.

I-os trucos habítualmente presentes en la factorización, por ejemplo, de 2x* — x — 6, clarifican poco ei proceso general. Para ilustrar este enfoque general, consideremos la factorización de

P(x) = Ky + 4x* — 3x — 18.

Si existe una solución entera de P(x) — 0, debe ser un factor de 18. (Si no existe una solución entera, no existirá una factorización simple). A través de un ensayo, encontramos que 2 C5 una solución así que (x — 2) es un factor de P(x). De donde

x i + 4 X 2 _ 3x — 18 = (x 2X > ).

El restante tactor cuadrático puede ser encontrado ahora por división sintética, pero ésta es una técnica que parece diseñada para ser muy poco clara. Es más sunplr № la práctica y también mucho más perspicaz obtener los Ctjpfi cientes del factor cuadrático comparando las potencias de x.

Por ejemplo, el término constante debe ser 9. y si escribimos el término lineal como x% encontramos que a — 2 - 4, fo que —2a 4 9 - - 3) t todo lo cual da a = 6. La factorización es así

P(x) = (x — 2)(x2 + 6x I V)

V U S o l u c i ó n de P(x) = O lleva, por simplificación, a que X = : I A NStÑANZAOt

.í » que x* I* fix *H 9 = 0. nsMA'rmATiQtt No li(iy nuda particularmente difícil en este enfoque. Sólo

depende de d o s Tutores:

1. Si a, h \\Mi números reales, y ab = 0, entonces a = 0 ó tí 0.

2. 1.a propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma.

El centrarnos en el caso euadrátieo puede fácilmente ocultar la uniformidad del método gcneraL En particular, la propiedad I anterior tiende a ser menos explorada en el enfoque pjr ecuaciones cuadráticas q u e en un tratamiento mas genera!. Consecuentemente, los errores tales como X (x

3) fe Mí « o x — 3 — 6 son frecuentes. Así, la especificidad del contexto euadrátieo, aunque no es inmediato que sea asi, puede conducir en h práctica a dar una importancia insuficiente a las ideas clave para relacionar la factori-zación con la resolución de ecuaciones —la propiedad 1 anterior.

la introducción de una nueva idea o técnica en un i 'outcxto más general evitará necesariamente los problemas creados p o r tomar un contexto demasiado específico, pero puede llegar a eausar otras dificultades iguales o más serias (ver el Capítulo 3, Sección 2). Esto no niega o devalúa e! consejo de esta sección; el consejo se propone para señalar las siguientes cuestiones, que deben ser consideradas en el desarrollo de cada nuevo tema:

I- Un contexto altamente específico ¿puede hacer la idea o la técnica más fáciles de entender?

2. El contexto propuesto ¿contendrá características extrañas que oscurecerán el verdadero significado de la ideea o el propósito de [a técnica?

3. Ei contexto propuesto ¿contendrá características que han de ser vistas como extrañas antes de proceder al desarrollo de la idea o de la técnica?

A El contexto propuesto ¿oculta los principios matemáticos implicados?

5. ¿Es preferible un tratamiento más general, en orden a hacer más fáciles de apreciar las cualidades esenciales de la idea o los principios de la técnica?

ó. ¿Se puede motivar apropiadamente un tratamiento más general?

En muchos casos, particularmente il tratar con los alumnos menos capacitados, será necesario un contexto muy específico

P№V£KC:IONY para hacer algún progreso. Las cuestiones anteriores resultan WW! 1 ser de menor importancia en tales circunstancias; su conside

ración detallada debe conducir a una reducción de las dificulta* des de aprendizaje basadas en el contexto, por sacar a la luz los problemas que se presentan.

3, Asegurarse de que diferentes aspectos de una idea son claramente diferenciados

Una de las mejores ilustraciones de su necesidad en el nivel escolar es el uso del signo negativo *—» en el contexto de los enteros. Están implicados tres aspectos diferentes:

i) Parte de la representación simbólica para los números negatitw, por ejemplo, —5; Aquí el signo «—* y el dígito 5 forman parte de un símbolo completo que representa e\ número entero negativo cinco.

¡i) La inversión de la suma: A este respecto podemos escribir —(+5) = —5 y —(—5) — +5. El signo negativo en —(+5) representa una operación sobre un entero que produce otro entero. Desde este punco de vista, omitir el signo «+* en +5 tiene por consecuencia dejar sin significado a —(+5) = —5.

iü) Sustracción: Por ejemplo, en (+6) — (—2), el signo negativo de la izquierda denoia una operación entre un par de enteros que produce un tercero, +8. La naturaleza de la confusión que se puede originar se aprecia considerando una expresión como 2x — 3y — x + 4y. La reordenación 2x — x — 3y + 4y sugiere que uno está tratando con cuatro entes 2x, —3y, —x, +4y y rescribiéndolos en un orden conveniente; esto es, los signos operacionales que conectan pares de términos son tratados como si estuvieran asociados a un término y se movieran con él. Para observar lo que realmente sucede es necesario escribir 2x — 3y — x + 4y como 2x + (—3y) + (—x) + 4y, para luego aplicar Us propiedades conmutativa y asociativa de la suma de enteros. En otras

ras, se debe reemplazar el «—* como una operación de sustracción entre pares de términos por el *—» como una operación inversa de la suma sobre un único término. De igual forma, pero implicando a los aspectos i) y ü), algunos alumnos piensan que —3x, por ejemplo, debe ser siempre un número negativo ya que tiene un signo *—* a la izquierda.

Se pueden encontrar otros ejemplos de confusión semántica en distintos temas de las matemáticas escolares. La fracción

1/4 puede significar el número especifico un cuarto o una L* ENSEÑANZA ot proporción de una pane sobre cuatro o la ra2Ón 1:4. Ya uuuáTBUnuí hemos discutido la variedad de interpretaciones semánticas de ia variable en álgebra (Capítulo 5, Sección 7).

En todo caso, tomarse con ligereza las distintas formas en que pueden ser interpretados una idea o un símbolo causará muchas dificultades de aprendizaje (ver el Capítulo 5, Sección 1).

Para conocer más sobre la naturaleza de estas dificultades, consideremos el siguiente desarrollo notacionaL escogido deliberadamente como uno que es improbable que el lector encuentre en la forma aquí presentada.

a) A cada número natural b le asociamos un nuevo número ->b. Supongamos que la suma y la multiplicación pueden ser sistemáticamente extendidas a estos nuevos números. El sistema de números que se forma así se llamará T.

b) La propiedad básica de -rb es que b X (H-b) = f-rb) X b = L

c) Existe una operación funcional + sobre T tal que, para cualquier t £ T, tenemos t X (-í-t) = (-í-t) X t — I.

d) Existe una operación 4 sobre pares de elementos de T, TU que, para todo t, yG T, t 4- y es el elemento z de T para el que y X x = t. Equivalentemente» t + y = t X ( - f 7 ) .

El lector debe observar que T contendrá números de la forma t dly y que no son números naturales ni de la forma ^b donde b es un número natural, cuando t, y sean números naturales. En efecto, debe ser obvio para el lector que ^-b no « otro q*w el recíproco 1/b, y que T es el sistema de números racionales positivos. Desarrollar este sistema como se señala de a) hasta d) es mucho más complejo, tanto notacional como semánticamente, que el método normal. Este es, sin embargo, el paralelo exacto del desarrollo notacional del sistema de enteros a partir de los naturales, con lo que se pueden llegar a aclarar las dificultades conceptuales implicadas.

4. No introducir notación formal o presentar ana idea o una técnica antes de poder ser asimiladas a las estructuras de conocimiento existentes

Al igual que la sección 2, este consejo requiere algún análisis, ya que mucha gente puede defender que la capacidad de hacer trente a la notación formal es el indicador de que

•

Pn£VENCk>*v una idea o, más a menudo, una técnica han sido asimiladas XExtoio en las estructuras de conocimiento existentes (ver el Capítulo

3, Sección 5). Esto es parecido, sin embargo» a (a opinión de que lo

mejor para que la gente aprenda a nadar es echarles al agua —jlo que tiene efectos desafortunados para los que no saben nadar!

Otros profesores defenderían que la notación formal supone una ayuda en ci proceso de asimilación; que, trabajando dentro de un marco formal, las ideas y las técnicas se vuelven más claras para el alumno y, consecuentemente, se entienden mejor (en el sentido relacional). En la práctica, donde esta postura tiene un éxito aparente, se pone de relieve que la notación ha reforzado o consolidado la asimilación que ya había tenido lugar.

La notación formal para los vectores, por ejemplo, y el marco formal para el cálculo de vectores, pueden venir precedidas por conexiones adecuadas relacionando la noción de vector con el desplazamiento, traslación y segmento dirigido. Esto no sucede demasiado a menudo. Si, en la mente infantil, la palabra vector se relaciona vagamente con la longitud y el ángulo, o con eí movimiento, la notación y el marco formal pueden ser confundidos, ya que requieren un entendimiento preciso de la conexión entre el concepto de vector y las nociones geométricas de desplazamiento, traslación y segmento dirigido.

De forma similar, la notación funcional puede ser mal utilizada ya que, muy frecuentemente, las ideas fundamentales de función no han sido nunca adectiadámente desarrolladas en las mentes infantiles más allá del dibujo de dos diagramas de Venn con flechas que van del uno al otro. La noción de que, en muchos casos prácticos, una función está determinada por una regla, y que la notación simboliza esta regla, queda implícita antes que explícita. Esto se hace penosamente evidente en un trabajo más avanzado donde, por ejemplo, dados

f(*, y) = (x + y, x — y) g(x, yj = (2x - y, x + 3y)

pocos estudiantes confian realmente en encontrar una fórmula para tlg(x, y)].

Como un tercer ejemplo, consideremos nuevamente los índices racionales tales como a J'\ a- 3 1 4 (ver Capítulo 5, Sección 5). La manipulación de tales expresiones es notoria-mente una de las partes peor conseguidas del álgebra elemental. (Por qué? Porque en muchos casos la idea que subyace a la notación no ha sido nunca explicada apropiadamente* Sí los

alumnos entienden que los significados asignados a 10" 1 , ENSEÑAN**\ DE cU\, son los que producen una mayor regularidad en el Lis &uuiATfCAS

cálculo, aparecerán pocas dificultades. Así, se cumple am X a° ^iniii pjf-j cualesquiera números racionales ni y n porque se

escoge así la definición, I.as explicaciones de a - 1 o a ü 2

IUVUIAS K\\ la continuación de un modelo o una secuencia son trucos para los niños. Esto no quiere decir que tales explicaciones no tengan valor; pero se deben ver corroborados por la evidencia razonable de las definiciones.

Es generalmente cierto que una de las prácticas más comunes en la enseñanza de matemáticas es la de ensenar algoritmos formales antes o al mismo tiempo, en que se establece la 'X>mprensión relaciona!. Como hemos discutido en el Capítulo 2 y a lo largo de este libro, esta perspectiva considera que el enfoque relaciona!, en e! que se ligan nuevas ideas y técnicas al conocimiento ya existente, consume bastante uempo, mientras que los métodos instrumentales son rápidos, requieren menos esfuerzo y organización por parte del profesor y conseguirán, al menos, bastante. Son por ello utilizados por profesores desilusionados o poco entregados. Han tratado de desarrollar la comprensión relaciona!» han fallado, esperan que sus alumnos tengan serias dificultades de aprendizaje en matemáticas y no creen que estas dificultades puedan disminuir {ver también el Capítulo 3, Sección 5).

5. Evitar una innecesaria complejidad notacional

Esta es un área de la que el movimiento de las matemáticas modernas de años recientes tiene mucho que responder (ver el Capítulo 3, Sección 4). Toda notación, como se ha visto, tiene un efecto de «olvido*; los alumnos olvidan por que surge la notación y a qué se aplican sus reglas operacionalcs. La notación innecesaria complica estas dificultades, incrementando el sentido de misterio y confusión en las ideas más simples. La notación se adquiere confundida con los procesos.

Tomemos un ejemplo, verdaderamente extremo, -Resolver la ecuación 3x + 1 = 10. donde xE Q, el

conjunto de racionales*. Tenemos

3x + 1 - 10 3x + l + ( - l ) = lÜ + ( - l )

» 3x = 9 *# 1/3 X 3 x = 1 / 3 X 9 » x = 3

El conjunto solución es 13).

PREVENCIÓN v Existen tres complejidades innecesarias: KF.MEMQ

i) El uso de » , ii) El uso de la suma de enteros.

iii) El uso de Í3} para denotar la solución.

Consideremos cada una por turno.

i) El uso de

¿Qué añade » a la solución y qué aporta al niño? El uso del signo de equivalencia indica que las etapas sucesivas en la solución son lógicamente equivalentes- De ahí que el conjunto de números para los que se cumple 3x + 1 = 10 es el mismo conjunto para el que se verifica x = 3, y esta ultima ecuación tiene, obviamente, a 3 como la única solución. El argumento unidireccional:

3x + 1 = 10 3x + 1 » 10 * 3x = 9 o, simplemente, 3x = 9

x = 3 x = 3

no muestra por sí misma que 3 sea la solución de la ecuación, sino sólo que si la ecuación tiene una solución, ésta debe ser 3. La diferencia entre la implicación unidireccional y la equivalencia es, desde el punto de vista utilizado, similar a la diferencia entre las técuicas de solución operacional y de equilibrio. Más aún, la fuerza intuitiva de la implicación hace que la introducción de los métodos de equivalencia no siempre sea fácil. Por ejemplo, se hace necesario justificar la reversibilidad de cada etapa, una complicación no relacionada con el proceso de solución.

La interpretación usual de por los alumnos es verla como una forma decorativa del signo de igualdad o como un adorno requerido por los profesores que no contribuye en nada a la solución. En ambos casos se incrementa la confusión.

ü) Uso de la suma de enteros

Tratar la sustracción como una suma de un número negativo añade también complejidad a la solución. El punto de vista de la matemática moderna de usar la suma en detrimento de la resta viene fomentado por la noción de inversión de la suma y de las ideas de grupo y está equivocado en dos aspectos: a) ia noción abstracta de grupo está más allá de los más capaces, y b) añade una preocupación

innecesaria al niño cuando traca de resolver ecuaciones. El L \ : • • principio del equilibrio trabaja igualmente bien para la suma LAS MATDÍATILW que para ta resta.

iii) Uso de L notación del conjunto solución

Para muchos niños, la respuesta es 3 o quizá x " 3; ciertamente, no lo es 13) . La insistencia sobre ( 3 1 conduce inevitablemente a x - 13). Esta notación tiene su utilidad en nutaciones matemáticas más complejas, inecuaciones por ejemplo, pero en ecuaciones simples se vuelve simplemente algo decorativo por no tener un propósito obvio.

6. No introducir técnicas formales demasiado pronto o sin una apropiada motivación

Este consejo se ha mencionado varias veces en las discusiones anteriores, incluyendo dos secciones previas de este capítulo. Es a menudo rechazado sobre la base de que gastar demasiado tiempo sobre métodos informales hace que el método formal sea más difícil de establecer o de motivar. Sin embargo, es instructivo considerar algunos ejemplos de técnicas formales que los profesores no deberían pensar en inrroducir al comienzo de la secundaria.

La ecuación ax + b = c riene la solución formal

x = 4 4 c - b ) - a * a

La ecuación ax + b = ex + d tiene la solución formal

A partir de estos resultados, las soluciones de las ecuaciones simples pueden ser escritas más abajo. Se pueden obtener fórmulas similares para la solución de ecuaciones simultáneas

ax + by = c 1 px + q y = r J

donde existen soluciones. Tales fórmulas no son utilizadas normalmente en los institutos. Una razón para ello es que los profesores consideran correctamente que son preferibles los procedimientos habituales para resolver ecuaciones simples O simultáneas, en los que ellos pueden ver claramente lo que

PREVENCIÓN Y están haciendo. Este admirable punto de vista no se extiende, REiüixo desafortunadamente, a otros contextos donde el pensamiento

anterior es igualmente válido. Como se discutió en el Capítulo 3, Sección 5. la sustracción puede ser introducida como complementaria de la suma; por ejemplo, 5 — (— 3) es interpretada como «¿Qué debe añadirse a — 3 para dar 5? Después de una práctica considerable, se puede introducir la regla a — b = a + (— b) o mejor si la deducen los mismos alumnos. Sin embargo» si la regla a — b — a + (— b) se introduce al principio, en la definición de sustracción de enteros, estará ausente la motivación y el proceso de cálculo queda a un nivel manipulative formal sin que presente una interpretación significativa.

La introducción de una técnica formal requiere el plantearse las siguientes cuestiones:

a) ¿Es necesaria en esta etapa? b) ¿Será significativa en esta etapa? c) ¿Se ha preparado su motivación? d) Se sigue con naturalidad de métodos más elementales

ya utilizados por los alumnos? e) ¿Cuál es el propósito matemático de la técnica? f) La introducción de esta técnica ¿facilita o dificulta el

j pensamiento matemático?

Al responder a estas preguntas, las metas de una enseñanza son, obviamente, importantes. Un objetivo de eornpeicneu como «El niño será capaz de dividir cualquier numero por un divisor de dos dígitos obteniendo cociente y resto sin ayuda*, para el cálculo*, favorece las técnicas formales, mientras que un objetivo de proceso como «El niño será capaz de demostrar su comprensión de la resta identificando este proceso corree* tarnenre en una variciíad de contextos», favorece un proceso de reconocimiento antes que una técnica formal. Para los alumnos lentos, el enfoque de pmce\o es probablemente más útil en término* de destrezas vitales. Para muchos alumnos capacitados debe tener un efecto benéfico sobre ¡su pensamiento, así como les permitirá fundamentar significativamente la eventual introducción de métodos formales. Donde los alumnos parezcan ser capaces de hacer frente, ínstrumciiul mente, a la manipulación algebraica, puede seguir siendo preferible retrasar su desarrollo. Es posible un nivel mil avanzado, aunque insatisfactorio, en la construcción de técnicas formales para el cálculo diferencial e integral, sin que exista la habilidad correspondiente de aplicar la técnica en el contexto. Retrasando los métodos técnicos hasta que se identifiquen los procesos en vario* contextos, se da una

mayor- I nulidad a la técnica formal y se consigue que sea más 1.A №SC$ANZADP ;1|>IUMMC. tAS MATEMÁTICAS

Como un ejemplo más, consideremos la siguiente pregunta: -Cuál «as mayor, 271 X 4369 o 537 X 2177*. Un niño que nina que W7 < 2 X 271 y que 2177 < 1/2 X 4369 y, por un to , que el primer producto es e! mayor, entiende mucho más que el niño que utiliza un algoritmo de multiplicación larga (o la calculadora) para calcular ambos productos.

La idea que subyacc al pensamiento del primer niño es la de la proporción inversa o el producto constante. La proporción inversa es, para muchos niños, un tema muy difícil de entender. Si se enfoca en el contexto de los productos constantes y no a través de reglas formales, su naturaleza real será percibida con mayor claridad.

Estrategias de remedio

Volvemos ahora al remedio —esto es, a las acciones que se toman para tratar la presencia de dificultades en el aprendizaje. Antes de comenzar se ha de decidir si un errar observado es debido a una falta de entendimiento o a una distracción, a una pérdida de atención o a un descuido momentáneo- Si> al indicar el profesor el error, un alumno lo reconoce inmediatamente y lo arregla, entonces se puede admitir con seguridad que no es necesaria ninguna acción de remedio. Un alumno, sin embargo, que incurre en tales distracciones frecuentemente, puede requerir una mayor atención porque exista un descuido constante. En lo que sigue, admitiremos que las dificultades son más serias que los errores casuales- Como en la sección precedente, los encabezamientos iormulan consejos específicos.

/, Tomar un ejemplo simple del problema

Muchos alumnos que parecen ser capaces de enfrentarse a un problema o a un cálculo dados cuando los números son pequeños o el contexto geométrico o algebraico es relativamente simple, pueden interrumpirse ante el mismo problema o cálculo cuando los números son más «difíciles», o el contexto geométrico o algebraico menos simple.

Por ejemplo, estos alumnos pueden encontrar dificultades si los números cuentan con dos decimales. Igualmente, un alumno capaz de resolver las ecuaciones simultáneas

2x + 5v = 19 )

PKfvtxciúN r puede estar menos seguro si se enfrenta a REMEDIO

2/3x — l/5y = 3/5 ) x + l/3y = 1/4 J

En tales dificultades, es necesario determinar si se entiende la técnica básica del problema y, para conseguirlo, se debe reemplazar el problema dado por uno que contenga tan pocas características extrañas como sea posible. Sin embargo, cuando se va desde un problema o cálculo particular a uno más simple, es importante no perder la esencia de las ideas presentes en el primero —uno debe asegurarse cuidadosamente de que las ideas básicas quedan intactas.

Tratando con las dificultades de las inecuaciones, por ejemplo, si nos referimos a un caso simple de ecuaciones, se pierde la esencia de la noción de inecuación y se hace que las inecuaciones se conviertan en más difíciles de entender. La solución del par de inecuaciones

2x + y > 10] x + y < 3J

tiene muy poco en común con la solución del correspondiente par de ecuaciones, sea en el proceso de solución o en la naturaleza de la solución obtenida.

SÍ el remedio por simplificación demuestra tener éxito, un profesor atento lo reflejad en su enfoque del tema. En particular, debe considerar si la complejidad técnica construida procede demasiado rápidamente y se presenta antes de Us ideas básicas que la integrarían apropiadamente en el conocimiento previo. En otras palabras, considerará medidas preventivas tales como las que han sido discutidas en la primera parte de este capítulo.

2. Considerar un ejemplo numérico

Esta estrategia, naturalmente, sólo será apropiada en contextos algebraicos; allí donde su aplicación se limite fundamentalmente a las situaciones de simplificación. Donde es apropiado puede no conseguir sus propósitos ya que no es lo mismo el entendimiento en un contexto numérico que en uno algebraico. El método es más conveniente cuando se cometen errores como

2( X + y) = 2x + y; (a + b)* = a* + h*; 2x + 3y = 5xy

* - 1 ; 1 . 1 ^ 1 x í 2 2 a b a + b

La dificultad de los ejemplos numéricos para constituir LA ENS¿ÑA>ZA cu un remedio es que, mientras que pueden convencer a un USMATLUVUOS alumno de que su método es msatisfactorio, no aumentan el conocimiento hacia la dirección conecta. Demostrar que (2 + 3>: I* V + Í2 no es eu sí ninguna ayuda para alcanzar el resultado correcto (a f b) J 83 a2 + + 2ab. Otro problema es que los ejemplos numéricos pueden eliminar b esencia de la dificultad. Esto puede ocurrir de dos formas.

En primer lugar, por ejemplo, demostrar en un caso numérico que 2x + 3y i* 5xy no llega a convencer al chico de que, en un contexto algebraico, 2x + 3y no puede escribirse de forma mis simple (es decir, que la suma no puede ser realizada). En segundo lugar, un caso numérico puede trivializar la idea. Por ejemplo, la noción de equilibrio en la solución de ecuaciones se vuelve inútil cuando se reduce a una afirmación como «Si 2 = 2, entonces 2 + 3 = 2 + 3»-

Adcmás, muchos problemas algebraicos no conducen por sí mismos a ejemplos numéricos —tai es el caso de las ecuaciones y tas fórmulas. Es difícil considerar el proceso de solución de 2x + 3 = 5x — 6 en un contexto numérico. Igualmente, los procesos algebraicos de cambio de la fórmula V = AB/C para encontrar C se pierden si se dan valores numéricos a VT A, B y C-

De aquí que reducir un problema algebraico a términos numéricos requiere una consideración cuidadosa; puede no ser posible, puede triviali7ar la idea, o no indicar al alumno la naturaleza de la equivocación, puede no relacionarse con el contexto algebraico. No obstante, dentro de estas restricciones es un enfoque que no debe ser ignorado.

3. Demostrar que existe un defecto en el método del alumno

Esta es una generalización del enfoque del caso numérico v, al igual que en aquél, mientras se indica que existe un error, se puede no indicar qué es lo que realmente debe hacerse.

Por ejemplo, a un alumno que parte de

2x + l = 5

para llegar a

2x = 6

se le puede indicar que al miembro de la izquierda se le ha hecho menor en una unidad mientras que al de la derecha se

•

PREVENCIÓN* le ha hecho mayor en una unidad por lo que la ecuación UV7DC0 ahora no estará equilibrada. Se le puede indicar además que

la solución de la segunda ecuación, a saber 3, no es la solución de 2x + 1 = 5. Estos hechos en sí mismos no dejan claro lo que se rienc que hacer. De igual modo, un alumno que piense que el área de un paraMogramo es el producto de las longitudes de los lados adyacentes puede, por medio de un modelo de bisagras, observar que al quedar el paralelogranio plano su área será menor, mientras que por su método el área no debería cambiar. Pero esto es de poca ayuda para entender lo que debe hacer para calcular el área de un paralelogramo.

Por otro lado, la demostración de que existe un defecto en el método del alumno puede ser útil en situaciones donde conozca un procedimiento correcto pero prefiera su alternativa ya sea porque es suya, o porque la vea más fícil, o por alguna otra razón. En tales casos, puede que sea necesario demostrar la defectuosa naturaleza del método del alumno antes de que adopte un método correcto (ver el Capítulo 3, Sección 3).

El enfoque de los defectos conduce también a que varíen con la situación los principios generales que fundamentan un proceso (4, a continuación}. Por ejemplo, al explicar el defecto en 2(x + y) = 2x + yf se puede hacer referencia a que x representa un número de manzanas e y un número de naranjas. Al doblar el número total de piezas de fruta se duplicarán el número de manzanas y el número de naranjas. De esta forma, se aplica la ley distributiva y el principio general presente en la expresión 2(x + y). Venios así que la demostración de la existencia de defectos puede incluir una discusión sobre principios generales, aunque no necesariamente tenga que ser así.

4. Volver a explicar el principio general que subyace a una técnica

Este es un consejo conveniente cuando el fundamento de un error reside en la falta de entendimiento de un principio general. Se gasta infructuosamente mucho tiempo en la explicación de principios generales ctiando la fuente real del error es superficial o está en una zona periférica. Se cometen muchos errores en (a solución de ecuaciones, no porque no se entienda el procedimiento de solución general sino por problemas con el cálculo de enteros. De ahí que el enfoque 1) sea un preliminar útil para las explicaciones generales —considerar un problema más simple que implique el mismo principio. Sin embargo, existen muchas situaciones en las

que e! método más efectivo es la re-explicación del principio LA ENSEÑANZA DE general, LAS MATEMÁTICAS

Como ejemplo de ello, consideremos el error —2x < 10 •* x < —5. Una forma de tratarlo es referirse a ejemplos cales como

2 < 5 pero —2 > —5 ó -5 < -2 —3 < 2 pero 3 > —2 ó —2 < 3

que ilustran el principio general de que el cambio de signo en ambos miembros de una desigualdad invierte dicha desigualdad. La referencia al principio general sera efectiva sólo si el alumno se ha convencido primero, considerando valores numéricos convenientes de x> que —2x < 10 no implica x < —5,

De igual manera, un alumno que piense que eos x° = — 1/2 => x = —60, necesitará convencerse de que está equivocado» antes de discutir los principios que le couduzcan a que x = 120 ó 240, para que esto *ea realmente significativo. En este caso, la consideración del gráfico de la función coseno puede conseguir ambos fines más o menos simultáneamente.

5, Usar métodos alternativos de explicación

Esta es una técnica que puede ser muy efectiva, Repetir al alumno algo que no ha entendido la primera vez que lo ha oído puede no tener un éxito mayor en el segundo o tercer intento. En la presentación inicial el profesor puede haber admitido que el alumno ha asimilado un aprendizaje previo relevante y aplicarlo a una situación nueva en una forma particular, pero la naturaleza del aprendizaje previo del alumno hará que le resulte difícil dar, al nuevo material, el sentido que espera el profesor. En tales circunstancias, será necesario un método diferente de explicación, posiblemente una técnica distinta para resolver el problema o llevar a cabo el cálculo. i i Un alumno para el que significa poco el enfoque del producto de enteros por medio de modelos de secuencias y ia ley conmutativa, puede aceptar un enfoque basado en la idea de que el signo menos denota la inversión* Por ejemplo, —3 denota la inversa de sumar 3, y —(—3) denota la inversa de — 3 , asi que 3 + (—3) = 0 y —{—3) = 3. De igual forma, —3 X —2 denota la inversa de 3 X (—2), dando —3 X —2 — 6. Este enfoque de la inversión, aunque no tenga una base lógica más fuerte que el modelo de continuación, será más convincente para el alumno.

PUVGNÜÜNY La geometría es un área de estudio donde las explicaciones RLMUMU alternativas tienen un papel importante. Como una ilustración

de ello, consideremos la regla del seno:

a _ b c sen A sen B sen C

(En la notación usual para los lados y ángulos de un triángulo, a representa el lado opuesto al vértice A y así sucesivamente).

Una demostración de esta regla, tal como se puede ver en muchos libros de texto, procede como sigue.

En el triángulo ABC que se muestra» tenemos que AD = c sen B y AD = b sen C, de forma que c sen B — b sen C y de aquí

b _ c sen B sen C

De forma similar

_ b

sen A seo &

y de aquí se sigue el resultado para los triángulos acutángulos. Otras consideraciones sobre un triángulo obtusángulo demuestran que el resultado es cierto para todos los triángulos. Aunque la demostración es correcta, falta algo. No existe una explicación rea! de por qué las tres razones son ¡guales. Esta igualdad sugiere (para el pensamiento matemático sobre la proporción) que existe alguna cantidad relacionada con el triángulo globalmeme, para la que cada razón es igual. La demostración anterior no indica qué cantidad puede ser.

La siguiente demostración alternativa, aunque precisa un mayor conocimiento de los fundamentos, clarifica la cuestión arriba mencionada de una manera simple y elegante. 167

O es el circuncencro LA ENSEÑANZA u del triángulo ABC us MATFMÁTICAS De ahí que el ángulo A sea igual al D y el ángulo BCD sea igual a 90°. Si llamamos R a! circumradio, se sigue que a/2R = sen D = 2R, dando el resultado inmediata* mente para triángulos acutángulos.

El caso del obtusángulo se sigue de las propiedades de los cuadriláteros cíclicos.

ün alumno que quedara confundido por ¡a primera demostración puede ver el resultado mucho más claramente a través de la segunda. Esta última tiene una serie de interesantes consecuencias que no es posible extraer directamente de la primera. Por ejemplo, la fórmula del área A = 1/2 ab sen C puede ser reescriu en las formas simétricas abcMR y 2R 2 sen A sen B sen C que, naturalmente, no son adecuadas para el cálculo numérico puesto que el valor de R no es habituaimente conocido, pero sí presentan una cualidad escérica por sí misma.

Una parte valiosa de la educación de los alumnos consiste en animarles a que descubran una variedad de demostraciones de resultados conocidos —teoremas de concurrencia, por ejemplo. Los alumnos menos capacitados pueden también beneficiarse ai ver que no existe una sola explicación ^corree-ta».

El mensaje general de esta sección es que, donde una explicación puede fallar, otra puede tener éxito. Ya que conocemos raramente los procesos de pensamiento infantiles, es necesario tener un almacén de explicaciones alternativas, ya que es improbable que una sola sea entendida por todos.

6,* Mostrar corno revisar ¡a corrección de una respuesta

Este es un aspecto olvidado a menudo por la enseñanza. El desarrollo de la práctica en revisiones exactas debe ser una parte normal del trabajo de clase, no sólo como conclusión de un cálculo o un problema, sino como un punto intermedio conveniente. Tales revisiones no deben implicar el rehacer todo el trabajo sobre un problema sino utilizar un procedimiento alternativo para determinar si la respuesta es correcta. Por ejemplo, cuando se revisa la exactitud de la solución de

PREVENCIÓN Y una ecuación, los alumnos trabajarán laboriosamente sobre HEMEDÍO todas las etapas de su solución para ver si han cometida

algún error (olvidando probablemente en el proceso alguno de estos errores), antes que sustituir su solución en la ecuación original.

Revisar las inversiones —sustracción/adición, división/multiplicación— ayudará a entender estas relaciones. A un nivel más alto, la revisión íunción/función inversa o diferenciación/integración ayuda a clarificar el pensamiento. En el caso de la función, si f(x) = 3x — 1, entonces M ( x ) = (x + l) /3; la revisión es f~* (f{x)) = x, es decir,

i3x - 1» + 1 _ i>L - v 3 3 x

o f(f~ l(x)) — x, es decir,

3 (* + 1) _ i = s + t _ i = x , 3

De una forma tan variada como ésta, los procesos de revisión de las respuestas pueden tener una utilidad positiva en términos del entendimiento infantil,

Demasiado énfasis sobre las revisiones puede causar frus* tración entre los alumnos, impacientes por completar un conjunto de ejercicios; revisar cada respuesta pronto se vuelve tedioso. Se necesita alguna forma de selección; los alumnos pueden revisar cada cuatro cálculos.

Al igual que la revisión de la exactitud, l:is colimaciones antes de iniciar un cálculo pueden ayudar a prevenir unas respuestas numéricas equivocadas. Es improbable que la altura de un edificio sea de 4265 metros pero sí puede ser de 42 ;65 metros. Si se usa una calculadora, tales revisiones son casi indispensables. Diremos más sobre ello en los Capítulos 6 y 13.

Llevar a cabo revisiones exactas tí estimativas proporciona un elemento para que el alumno se corrija a sí mismo de forma tan valiosa como en el aspecto de prevención de errores- Los alumnos acostumbrados a practicar y usar tales revisiones será menos probable que cometan errores al principio y más probable que corrijan su propio tral üijo si ocurren dichos errores. De ahí se obtiene un doble beneficio para el proceso de aprendizaje-

Existe un aspecto final que se debe resaltar ciiaudí * tratamos del remedio —es posible ser demasiado entusiasta. L.os intentos de forzar al alumno a aprender con demandas excesivas sobre su intelecto pueden causar tantos transtomos psicológicos como el método de enseñanza <\t matemáticas

niiis insensible, Para muchos alumnos, en un lema dado, LA KNSISANEA DE rxisiirá un punto en que el profesor debe aceptar que el LAS V:AH MÍTICAS límiu- lu sido rebasado y que cualquier intento de progresar

.iH.i wri a»nt ra producen te, no sólo en término* del tema iHitiTtiii mw para el aprendizaje matemático en general. II114 Vuelta -i CttU tema después de varias semana* puede iKfuultr un «•>mirir/.n más fresco. Así, un aspecto del remedio que mi debe olvidarte es el cambio completo de teína (ver el Capítulo 5, Sección >}.

C a p i t u l o 1 0

Diseño del curso y construcción del programa

En el diseño de un curso es necesario que, en su comienzo, se consideren ios principios generales y los criterios que determinarán el modelo global o estilo. La construcción de! programa (que forma la segunda parte de este capítulo) se refiere a la producción de un programa de enseñanza dentro de este modelo. £1 diseño del curso y la construcción del programa son las primeras dos etapas de las cuatro que •integran un proceso de planificación. La tercera etapa —uso de recursos— es el tema del Capítulo II y la cuarta —unidades escritas de trabajo— es tratada en el Capítulo 12.

En el diseño existen dos amplios principios de planificación que se aplican en casi todos los cursos, llabitualmente son denominados los Principios de Arriba-hacia-abajo y de Abajo-hacia-arriba. Un factor determinante en el estilo de un curso es eí equilibrio que se obtenga entre los dos.

El principio de Arriba-hacia-abajo

Este principio establece que los objetivos conseguibles al final del curso deben determinarse por adelantado; esto es, para cada curso se ha de especificar lo que los alumnos deben conocer y ser capaces de hacer al final. Tales objetivos pueden ser propuestos en términos generales o especificados con detalle. Ejemplos de esta última postura se pueden encontrar, por ejemplo, en el Informe Ocasional 6, Atathe-NMOCf CoMrses in Sí and 52, (I981)1, publicado por el Scotttsch Curriculum Development Service o en los programas de disuntos tribunales de examen.

Si, como es el caso más frecuente, se escriben taks objetivos con un detalle considerable, tendremos que asegu-

1 Scottish Curriculum Development Scrncc 1981: Occasionil Paper 6. Matb-tmatki CO*TW m Si and Sil Scotiisli Curriculum Dwlopmenc Setvktf, Dundee College of educación.

romos de que no predominan lo logros a pequeña escala, de manera que se pudiera perder ía visión global del desarrollo y el pensamiento matemático de los alumnos. Una prescripción demasiado detallada de los objetivos puede conducir a un énfasis casi exclusivo sobre objetivos de conocimiento o c o m p e t c n c i a l e 5 a expensas de los objerivos de proceso o de experiencia (ver el Capítulo 1). Como consecuencia, se podría dar poca importancia durante e] curso a los propios alumnos y a su participación en el proceso de aprendizaje.

Para evitar, o al menos disminuir, estas consecuencias desafortunadas de una aplicación estrecha del principio de arriba hacía-abajo, se recurre al segundo principio.

El principio de Ahajo-hacia-arriba

Este principio defiende que el progreso en el aprendizaje depende de que el programa se diseñe respetando la situación del conocimiento y la receptividad general del alumno. Así, no puede predeterminarse qué es lo que hará un alumno dado o cuánto le costará llegar a un determinado punto dentro de un tema temático concreto. Este aspecto del aprendizaje ha sido discutido ampliamente en el Capítulo 3.

Los inconvenientes de una excesiva confianza en este principio son evidentes. Si la habilidad y el progreso de cada alumno es el principal factor a la hora de determinar los objetivos finales, existiría una ausencia de dirección y de propósito. Ello implicaría seguir un ritmo lento que, er. otras circunstancias, podría ser el apropiado. Si el trabajo inicial se hace realmente significativo sólo en un contexto que ha de desarrollarse más tarde, los alumnos menos capacitados pueden no llegar nunca a este contexto y encontrar, por unto, irreíevante el trabajo. Quizá la única circunstancia en la que el principio de abajo-hacia-arriba puede ser aplicado sin restricciones es en la educación de los alumnos muy lentos.

En la prácuca, naturalmente, los dos principios de trabajo se asocian entre sí. Se consideran los objetivos globales pero el camino hacia ellos se determina tomando en cuenta Jas habilidades y actitudes de los alumnos. Es el equilibrio del peso concedido a cada principio lo que constituye e! factor fundamental en el estilo global del curso.

Por sí mismos, estos dos principios no determinan un diseño del curso específico. Para ello « deben establecer vinos criterios generales para dicho curso y relacionar el programa con ellos.

Las siguientes preguntas y sus respuestas pueden proporcionar estos criterios:

°* DiSííW wi cüMü a) ¿El curso debe ser diseñado para un rango ancho o « TCOKSTWKXIÓN estrecho de habilidades?

ou ttooiLUiA b) Al comienzo del curso ;se ha de admitir una homoge neidad razonable de los contenidos a aprenden

c) ¿Existen exámenes externos? d) ¿Cuál es el balance entre procesos y contenidos? e) ¿Qué importancia se concede at pensamiento indepen

diente de los alumnos? f) ¿Qué grado de prioridad se da a fomentar el interés y

el gusto por !as matemáticas? g) cEn qué forma debe incrementarse el entendimiento

infantil de las matemáticas como resultado del curso?

Con propósitos ilustrativos, damos cuatro posibles conjuntos de respuestas- Diferentes respuestas a las mismas preguntas conducen, naturalmente, a distintos diseños de curso.

1. Respuestas:

a) Un rango estrecho de habilidad. b) Razonable homogeneidad del contenido al comienzo

del curso. c) Examen externo. d) Un programa basado en el contenido, confiando prin

cipalmente en los algoritmos standard. e), S) El pensamiento independíeme o el (ptfttt p*ir tw

matemáticas no son las metas principales {aunque, naturalmente, no se rechazan),

g) Aumentar principalmente la comprensión instrumental del alumno.

Diseño: El diseño tendería a ser de arriba-hacia-abajo y con unas características específicas

desarrollo lineal, ninguna diferenciación por la habilidad, progreso uniforme de los alumnos, enseñanza didáctica a la clase entera, utilización del libro de texto, sobre todo pira ejercicios, los alumnos trabajarían separadamente, evaluación de la competencia standard en las téeuuxs.

Tal descripción podría acomodarse al nivel tradicional de ta enseñanza de bl etapas media y superior del instituto asi como a muchos cursos de matemáticas técnicas en Facultades de la enseñanza superior. 173

A Respuestas*:

a) Rango estrecho de habilidad. b) Ka/omblc homogeneidad del contenido al comienzo. c) Algunos requerimientos de exámenes externos. d) Un programa basado en las aplicaciones con un conte

nido restringido. c) El pensamiento independiente es importante ya que el

análisis de las situaciones prácticas es el núcleo del curso.

f) El interés/gusto por las matemáticas debe ser animado pero no es una meta principal.

e) Se exigirá una comprensión del alumno a un nivel conceptual/relacional con algunas técnicas instrumentales, principalmente usando la calculadora.

Diseño: En este caso se requiere una mayor organi*¿ación tal como los alumnos trabajando en grupos cooperativos mejor que la enseñanza a la clase entera,

un enfoque de invesrigación/proyecto usando variedad de recursos, antes que los ejercicios del libro de texto únicamente,

evaluación de los procesos/conceptos.

Esta descripción tiende a aplicarse a las clases donde se trabaja con alumnos menos capacitados como el CSE Mode 111 o el Scottish Standard Grade Foundation Level.

3. Respuestas:

a) Ancho rango de habilidad. b) Variados contenidos de fundamento. c) Ningún examen externo. d) Importantes tanto el contenido como los procesos. c) Algún pensamiento independiente es importante pero

hay mucho material standard que debe cubrirse, f). Busca activamente el interés/gusto. g) Desarrollo de la comprensión infantil, sobre todo a

nivel relaciona!.

Diseño: Aquí será necesaria alguna estructuración de los recursos materiales —será central la generalización y la revisión/rcforzamiento (ver el Capítulo 11). La comprensión relacional se fomentará en todo momento. La intención debe ser la de estimular el interés en todas las etapas. Los alumnos han de trabajar individualmente o en grupos cuando sea apropiado, con alguna enseñanza a la clase entera al comienzo

DiSFÑoiiu.CURSO del tema. Las técnicas desarrolladas a partir de fichas de rcONíntucxuóN trabajo se consolidarían a través de los ejercicios del libro de

DEL PROGRAMA texto. Se animaría la autoevaluación del alumno, que podria ampliarse con las discusiones profesor/alumno y exámenes al final de los temas.

El que hemos descrito es un diseño típico para el primer o segundo año de secundaria en clases de habilidad mixta, Es posible una organización más elaborada —por ejemplo, diferentes grupos de alumnos en la misma clase trabajando sobre remas separados— aunque ello puede ser contraproducente.

4 . Respuestas:

a), b) Ancho rango de habilidades y contenido al comienzo. c) Ningún examen externo. d) El enfoque de los procesos como central. e) Pensamiento independiente de la mayor importancia. f) El interés/gusto por las matemáticas como una meta

principal* g) El desarrollo de una comprensión relacional en el

alumno.

Diseño: Las respuestas sugieren que el curso estaría destinado a desarrollar entre los alumnos un interés personal por las matemáticas. Un curso basado en el interés es relativamente extraño en ios institutos, principalmente porque las matemáticas se conciben en función de su contenido y utilidad; también* naturalmente, la evaluación puede presentar problemas. Donde existen tales cursos se considera, por lo general, que no tienen ningún objetivo concreto ni propósitos obvios, por lo que no conducen a ningún lado. En otras palabras, que no existe un diseño global. En un curso talT

por tanto, resulta esencial tener una idea clara de lo que uno trata de conseguir.

En determinados casos se puede desarrollar la resolución de problemas a través de una secuencia graduada de investigaciones; en otros, interesar a los alumnos en rompecabezas y paradojas; una tercera posibilidad es animarles a una investigación de final abierto que no tenga aparentemente una única solución. Debe ser importante el trabajo cooperativo incluyendo el ensayo y error, técnicas iterativas* casos especiales, la formación de hipótesis, la generalización de tos problemas. La evaluación puede tomar vo puede presentar problemas. Donde existen tales cursos se considera, por lo general, que no tienen ningún objetivo concreto ni propósitos obvios, por lo que no conducen a ningún lado. En otras palabras, que no existe un diseño global. En un curso tal.

por unto» resulta esencial tener una idea clara de lo que uno LA KNSFÍÑ.AN2A DE trata de conseguir. us MATEMÁTICAS

En determinados casos se puede desarrollar la resolución de problemas a través de una secuencia graduada de investigaciones; en otros, interesar a los alumnos en rompecabezas y paradojas; una tercera posibilidad es animarles a una investigación de final abierto que no tenga aparentemente una única solución- Debe ser importante el trabajo cooperativo incluyendo el ensayo y error, técnicas iterativas, casos especiales, la formación de hipótesis, la generalización de los problemas. La evaluación puede tomar varias formas —a través de carpetas de trabajo, construcción de problemas, explicaciones escritas, orales y así sucesivamente. La discusión es, claramente, una característica importante del trabajo. Sin enfatizar demasiado el papel de la evaluación, los alumnos pueden ganar en interés hacia sus actividades matemáticas. Desde la perspectiva de las dificultades de aprendizaje, el diseño 4 sería el opuesto al diseño 1, pero la diíerencia no reside sino en la naturaleza de las dificultades.

En 1, la organización formal es muy inflexible, los alumnos discurren por un camino fijado a una velocidad uniforme. Deben ser razonablemente eficientes técnicamente en situaciones standard. En 4, los estudiantes deben ser capaces de hablar de su propio trabajo, explicar lo que han hecho, demostrar intuición ante situaciones no familiares. Las dificultades surgirán probablemente en l por la ausencia de comprensión relaciona!; en 4 por una posible ausencia de dominio técnico.

El diseno de curso se refiere a los propósitos y estrategias globales. No importa qué forma adopte el diseño, seguirán estando presentes varias fuentes de dificultad de aprendizaje. Dentro de un diseño particular, es el proceso real de construcción del programa lo que se dedica más directamente a minimizar estas dificultades- Lo que es importante es que se entiendan con claridad las implicaciones del diseño global en la naturaleza de las dificultades de aprendizaje.

Construcción del programa

Como se afirmaba al comienzo del capítulo, la construcción del programa se refiere a la producción de un programa de enseñanza dentro de un diseño global del curso. Este proceso cieñe dos niveles:

1. Analizar los principales remas que vayan a incluirse y determinar cundo y dónde han de aparecer en el curso.

OBESO DEL CURSO 2. Producir programas semana-por-setnana para clases, rcoHíraucctó* grupos o alumnos individuales.

OEfc №0<¡ftAMA El nivel 2 implica muchos factores específicos para un

instituto o grupo de alumnos determinados que sólo pueden abordarse en general, aunque se comente más en los Capítulos l y 12.

Ilustraremos algunos aspectos del nivel 1 considerando tres temas comunes en los programas del comienzo de secundaria: fórmulas, proporcionalidad directa y áreas.

1. Fórmulas

Este tema implica

i) construcción de fórmulas, ii) evaluación de fórmulas»

iii) reordenamiento de fórmulas.

Antes de proceder a la planificación del programa para un tema, se deben considerar las siguientes cuestiones:

a) ¿Qué motivación existe en los alumnos para construir fórmulas?

b) Una fórmula ¿es una receta en forma algebraica para calcular el valor de alguna cantidad o es una ecuación?

c) ¿Qué lugar tienen las unidades físicas en las fórmulas? ¿Cuál es la posición de los símbolos algebraicos implicados en las fórmulas?

d) La evaluación de las fórmulas ¿debe realizarse antes o después de su construcción?

e) ¿Cómo se relacionará la evaluación de la fórmula con la de cualquier expresión algebraica?

f) ¿Cómo se motivará el reordenamiento de la fórmula? g) ¿Cómo se relaciona el reordenamiento de una fórmula

con la resolución de ecuaciones?

En muchos casos (incluyendo la escuela primaria), las fórmulas son introducidas y utilizadas» en detrimento del concepto, en situaciones en las que el cálculo directo resulta igualmente sencillo. Un ejemplo de ello es la fórmula P = 4L para el perímetro de un cuadrado en términos de la longitud de! lado de un cuadrado.

Igualmente, los alumnos más capacitados se pueden encontrar en dificultades ante una cuestión como la siguiente:

-Un camión vacío pesa p toneladas; es cargado con q toneladas de arena. Si la carga total es de W toneladas, encontrar la fórmula para W en términos de p y q.»

Existen dos puntos dignos de ser destacados en esta i u e M i ó n .

i) Kl peso total del camión es de (p + q) toneladas. ¿ D ó n d e hace falta W? Si conocemos que la respuesta es de (p H q) toneladas ¿por qué molestarse con una tercera letra

ii) 1.a aplicación de la fórmula es trivial. En cualquier situación práctica» simplemente se sumarán el peso sin carga con el peso de la carga para encontrar el peso total-

Kl p r o p ó s i r u de una fórmula tal desconcierta a muchos niños.

¿Qué tipos de fórmulas son más significativas? Existen quizá tres (ver también la discusión al final de la Sección 5 del Capítulo 5):

a) Fórmulas donde el cálculo directo es más simple pero más largo.

I») Fórmulas donde el cálculo directo no se comprende fácilmente,

c) Fórmulas que son de uso común y/o tienen algún valor mnemotéenico.

Respecto de a) podemos referirnos a fórmulas como las del n-ésimo número impar» la suma de los n primeros números naturales, la suma de los n primeros números impares. Sobre (b) encontraríamos fórmulas como las del perímetro y el área de una circunferencia en términos del radi o el diámetro.

En cuanto a c) citaríamos A - bh, d = vt, etc. En todos estos casos la fórmula simplifica el cálculo y/o

luce más fáciles de recordar las etapas del cálculo. Asimismo, el reordenamiento de la fórmula puede surgir

naturalmente. Consideremos los ejemplos siguientes:

i) El n*éstmo número impar es 2n — l (empezando en el 1). ¿Cuál es el lugar del 103 en la secuencia de números impares? Tenemos la ecuación 103 = 2n — 1 de la que resulta n = 52. Para un cálculo único la resolución de la ecuación es satisfactoria. Si se precisa una cantidad de tales cálculos podemos desear un procedimiento standard. Esto motivará las etapas N = 2n — 1 * 2n = N -M # n = !/2 (N + 1). Así,

la regla es: Para encontrar la posición» sumar I al número impar y dividir entonces por 2.

ii) Distancia • velocidad X tiempo o d = vt, Para cálculos de la velocidad o el tiempo, es preferible claramente tener la fórmula en la forma v - d/l o t = d/v. El «ordenamiento de la fórmula surge a partir del requerimiento del cálculo.

Un enfoque significativo de las fórmulas basado en el contexto es, en general, preferible a realizar ejercicios estériles con presencia de fórmulas que no tienen significado alguno para los alumnos o no todo el que debiera. Ejercicios tales como:

i) S¡ L« M+ JL calcular L cuando M = I, N = 8, P = X i 1

ü) Cambiar la fórmula P = 1/3 (2Q + R) para obtener R.

El ejercicio i) es una evaluación de una expresión algebraica, y ii) es» esencialmente, la resolución de tina ecuación. Mientras que ules ejercicios identifican ta naturaleza matemática de ¡os procesos implicados, no existe una interpretación de los símbolos algebraicos y las fórmulas carecen así de significados. El Capítulo 7 presenta una nueva discusión sobre estos puntos.

El enfoque de contexto toma en cuenta, naturalmente, el uso de unidades físicas. Esta es un área donde el profesor debe teuer la vista clara y ser consistente.

En la fórmula d — vt de la distancia-velocidad-tiempo, por ejemplo, los símbolos algebraicos d, v, t ¿se refieren a números o a cantidades físicas? A partir de un punto de vista estrictamente matemático, la interpretación numérica es co rrecta, pero en la práctica y en las aplicaciones, resulta conveniente asociarles unidades físicas.

Así, en un ejercicio sobre la utilización de ta fórmula, si un problema cita una velocidad de 25 míh y un tiempo de 3 horas, dos formas correctas de calcular la distancia serían:

i) distancia = (25 X 3) millas = 75 millas. ü ) d = v X t = 2 5 X 3 = 75. La distancia recorrida es

de 75 millas.

En la práctica, sin embargo, es más frecuente y natural escribir

UKSAO OH. CURSO YCONSÍKUCUdN

Da 1'KÚtiJUMA

distancia = 25 m/h X 3 horas = 75 millas 179

o bien

¿ =s v X t = 25 m/h X 3 horas = 75 millas

LA IMESANZA

LAS KHMfncia

La primera es preferible a la segunda. Los profesores pueden decidir sobre el grado de precisión que se exija a los alumnos en relación con su habilidad- Sin embargo, ya que muchas fórmulas son puramente numéricas» poner aparte las unidades de las fórmulas evita distinciones innecesarias entre las propias fórmulas.

La siguiente cita de la dirección presidencial de Sir Harry Pitt al Instituto de Matemáticas y sus aplicaciones en 1984% resume el problema de las unidades físicas en la fórmula:

«La Royal Sodety riene un Comité de Educación conjunto en matemáticas con este Instimto y en física con el Instituto de Física, y se ha preguntado a los dos comités sobre ciertos problemas de enseñanza y. ea particular, respecto de la notación Para mi sorpresa, y creo que para la suya, han tropezado con una roca en forma de nuestro viejo amigo F = mi, fuerza igual a masa por aceleración. I os matemáticos la han conducido apropiadamente, considerando garantizado que F, m, a, correspondían a números que podrían tratarse con las leyes de U aritmérica, de forma que la masa de la partícula era de m kilogramos- Los físicos» por otro bdo, consideraban que m era un símbolo para una masa física real, no intimidados por el argumento de que ello aumenta las cuestiones difíciles acerca de cómo puede interpretarse el símbolo ma si no es por la multiplicación. Encuentro particularmente inapelable la solución de inventar unas nuevas matemáticas llamadas álgebra de cantidades. Resultaría sim pático sentar alrededor de la misma mesa como amigos a ambos comités pero no puedo. Cualquier cosa que diga aquí y en cualquier parte me coloca más firmemente coa los matemático* —¡m es justamente un número!

Es digna de leerse la comunicación completa. Se siguen de todo ello tres posibles métodos de trata

miento del tema de las fórmulas en la construcción del programa, principalmente para un nivel elemental de secundaría.

i) No tratar las fórmulas aisladamente. Surgen más apropiadamente a partir de cierto contexto.

ii) Tratar espiralmence las fórmulas, empezando con situaciones simples y volviendo de vez en cuando a incrementar su complejidad.

7 Piít, H . 1935: Pr«idraaaÍ Addr**. IMA Builetin, 21, 61-65-

Ditf>joüiicXR*o ii¡) Usar las fórmulas como un método de a) introducir el TtOKmuccKto álgebra y la notación algebraica» y b) motivar la

D U M O M A Í U manipulación algebraica y la resolución de ecuaciones (Capítulo 5, Sección 5. y Sección 7, Contexto viü)).

Las observaciones que se han hecho sugieren que una combinación de i) e ¡ii) es preferible a ii). Si se adopta el enfoque ii), estas observaciones señalan los peligros que se deben evitar. En cualquier enfoque que se considere es importante observar el tema de las fórmulas dentro del álgebra; para ello, el profesor y los alumnos deben entender claramente la relación entre las fórmulas y las unidades de medida. Es necesario también determinar qué fórmulas so encuentran los alumnos en la clase de matemáticas y cuáles puede encontrar en otras asignaturas, no parezcan ser diferentes unas de otras. Para conseguirlo, es más recomendable el enfoque i).

2* Razón y proporcionalidad directa

Este tema está presente en diferentes temas —fracciones, semejanza, probabilidad, gráficos, ecuación de una recta, interpolación lineal y estimación. El trabajo sobre fracciones precederá a la proporcionalidad directa; la semejanza, la probabilidad y la interpolación serán posteriores.

La proporcionalidad directa es sólo un ejemplo dr mu relación matemática pero tiene tales aplicacitmo g-mciult» que, habitualmente, $c le da un tratamiento MRPAMLTI Y

detallado dentro del curriculum de matemáticas P M lado, su diferenciación puede dar a la proporcionalidad directa una importancia injustificada en el pensamiento de los alumnos, hasta el punto de que lleguen i considerar todas las relaciones en términos proporcionales. El libro Raiio, de Hirt' contiene una evidencia cimsidcnble sobre ello» extraída directamente de la clase.

Consideremos el típico ejemplo siguu*nu\ *Si 100 hojas de papel cuestan Vi |vuu|ins, ;cuánto

costarán 250 hojas?» La pregunta sólo puede ser respondida uipoiunidn que

existe una razón fija o -coste unitario», aún no oíalilrt idn. Puede ser apropiado suponerlo, pero muchos nino\ etultbtvtl el mismo supuesto er situaciones corraleramente inju*tit¡t.td.r<-Supontendo pues la cuestión del coste unitario, el

1 Uirt, K 1984: Ratay NL-ER-NEHON. 181

COSlC coste por hoja (fijo) X número de hojas LUNSHÍANZADF , * t-Ai MATEMÁTICAS

= ( m x 2 5 Q ) p = 9 ° p -

Este es el método unitario para b proporcionalidad directa. (Los alumnos, naturalmente, realizarán los cálculos con más detalle.) Hace explícita ta razón fija pero puede introducir lo que parecen valores poco realistas —en este caso, un coste de 0,36 p. por hoja. El método unitario también hace más fácil de introducir la forma algebraica de la relación de proporcionalidad directa, es decir, y = kx, donde k es la razón fija. En el ejemplo anterior sería de C = 0,36 X S, donde C es el coste total en peniques y S el número de hojas compradas-

Por otra parte, probablemente sea un procedimiento mas natural mar el método proporcional, calculando el coste total como 36 X 250 / 100 p (2 1/2 veces más papel costará 2 1/2 veces más). Muchos libros comienzan con este método, pero tiene la deventaja de que tiende a abandonar la idea esencial de la razón fija implícita y puede animar al niño a usar proporciones donde no existe una razón fija —por ejemplo, pueden admitir que duplicando la longitud del lado ele un cuadrado también se duplica el área.

Así puede ser preferible empezar con el método unitario (es decir, cou la razón), desarrollando el aspecto de proporcionalidad a partir de él. (Ya que la proporción es ampliamente utilizada en las aplicaciones de las matemáticas a otras asignaturas, los alumnos deben familiarizarse con ambos.) Una forma de conseguirlo aparece ilustrada en el siguiente ejemplo.

«Si todos los lápices cuestan lo mismo y 12 cuestan % p-, ¿cuál es el coste de 8, 18 y 9 lápices?»

Aquí los lápices cuestan 96/12 p. cada uno, así que 8 costarán 8 X 96/12 p- o 8/12 X 96 p., 18 costarán de igual manera 18 X 96/12 p. o 18/12 X 96 p.

El principio de proporción general puede desarrollarse de esta manera, como una forma alternativa de conseguir calcular la razón fija- Este enfoque debe reforzarse a través do cohsideraciones más intuitivas como las mencionadas antes —por ejemplo, el doble de lápices costarán el doble. Una vez que se establece el principio de proporcionalidad para cálculos de razón fija, ta forma de la proporción puede proceder sin referirse a la razón fija.

Para diseñar una secuencia de enseñanza para la proporcionalidad directa uno debe tener en cuenta:

i) las bases de la proporcionalidad directa - la razón

DíStÜO LUI CURSO

DLI PROCLAMA

ii) el método de proporcionalidad para el cálculo, iii) la forma algebraica subyacente y = kx,

iv) las aplicaciones de la proporcionalidad directa-

Una secuencia tal sería como sigue:

a) Identificar las situaciones con razón fija y sin ella. b) Introducir y desarrollar el método unitario. c) Desarrollar el método de proporcionalidad como se

indicó antes. d) Desarrollar la fórmula de la forma y = kx asociada con

los problemas de razón fija. e) Relacionar (d) con la ecuación de una recta que pasa

por el origen. f) Aplicar las ideas de la proporcionalidad directa a la

ampliación y contracción - escalas y mapas. g) Desarrollar los aspectos de proporcionalidad en la

semejanza geométrica. h) Introducir la idea de interpolación lineal en la estima

ción. i) Aplicar la proporcionalidad a la probabilidad.

Mientras a) - d) son secuenciales, e) - i) pueden introducirse en distinto orden, dependiendo de las decisiones que se comen en otras partes del programa y de las necesidades de otras asignaturas.

3. Area

El estudio del área no es sólo una parte esencial de la geometría elemental sino que proporciona un contexto para la aplicación de las fórmulas y la proporcionalidad. Se pueden obtener hechos geométricos importantes e interesantes por medio del cálculo de áreas. As!, este tema juega un papel importante en el trabajo matemático del comienzo de la secundaria. Más tarde, los alumnos más capacitados se introducirán en el cálculo integral, cuyos fundamentos geométricos residen en el contexto del área.

Para una comprensión adecuada del concepto de área, los alumnos deben darse cuenta de que todo su cálculo se basa en el conteo de cuadrados. Para asegurar esta comprensión, el tratamiento del área debe, al menos en las primeras etapas (final de primaria/comienzo de la secundaria), orientarse hacia los procesos —aunque conduzca a fórmulas standard. El conreo de cuadrados, naturalmente, lleva directamente al área del rectángulo; dividiendo el rectángulo en dos partes iguales a través de una diagonal se llega al triángulo rectángulo. 183

En este punto es conveniente que los alumnos practiquen el LA t'WE&tór/A De cálculo de varias áreas poligonales dibujadas sobre un cuadrado LAS MATEMÁTICAS grande cuadriculado» coincidiendo los vértices con intersecciones.

Consideremos, por ejemplo, el problema de encontrar el área exacta de un triángulo dibujado sobre un cuadriculado tal, de manera que ninguno de sus lados coincida con las líneas divisorias (ver diagrama).

\

(Este cálculo» que implica encerrar el triángulo en un rectángulo, revela las limitaciones de confiar en la fórmula 1/2 X base X altura.)

El teorema de Pitágoras puede desarrollarse ahora a partir del problema de calcular el área de un cuadrado dibujado oblicuamente sobre otro cuadrado. La técnica de encerrar el cuadrado en otro más grande conduce al diagrama general;

184

A partir de este punto, se sigue que

c 2 = (a + by — 4 X 1/2 ab - (a + b)1 — 2ab.

Los alumnos pueden llevar a cabo este proceso etapa por etapa para varios valores numéricos de a y b viendo adecuadamente por sí mismos que, en cada caso, c1 = a2 + b 2 .

A partir del triángulo rectángulo se puede obtener la fórmula general 1/2 X base X altura para el ¿rea de un triángulo cualquiera encerrando un triángulo arbitrario en un rectángulo y dibujando una altura, como en el diagrama siguiente:

Área de ABC = 1/2 X área del rectángulo = 1/2 ah

Las fórmulas como ésta para el área de un triángulo se pueden demostrar por proporcionalidad directa. Si. a o h permanecen constantes, entonces A está en proporción directa (o varía directamente con) la otra. Esto tiene algunas interesantes consecuencias, que pueden ser desarrolladas por los alumnos más capacitados- Por ejemplo, en el diagrama se muestra que la razón de las áreas del triángulo ABD y ADC es BD/DC, ya que existe una altura común a partir de A, y también es AB/AC } ya que existen alturas iguales desde D hasta AB y AC. De ahí que

BD = AB

í.íC ~,\c A

Q D C

Una aplicación más elaborada de estas ideas de !a proporcionalidad combinadas con las de semejanza, conveniente para los alumnos más capacitados, lleva el teorema de Ceva como ilustra el siguiente diagrama:

A

BD = área AKB CE _ área BKC AF = área AKC LA kís^Ü I>£ DC área AKC EA área A.KB FB área BKC u s SATOtÍTiCtó

así que - - JíSLfc 1 que es el teorema de Ceva. D C KA FB

Muchos resultados de concurrencia —por ejemplo, el de las medianas, bisectrices internas, alturas— son simples consecuencias de este teorema-

La aproximación por rectángulos a las áreas de limites curvos, que es la base el cálculo integral, debe también formar parte de un tratamiento elemental del área. La estimación directa de las áreas de los círculos es un ejercicio revelador a pesar de su aparente trivialidad matemática, ya que aclara los problemas de la estimación de áreas no poligonales.

Una aproximación más sofisticada consiste en dividir el círculo en un gran número de sectores y reordenarlos de *cabo a rabo* en la forma que se muestra más abajo.

Las líneas rectas son todas radios del círculo y la longitud total de la curva es la circunferencia. Cuando el número de sectores aumenta, la figura muestra una aproximación mayor al rectángulo con un lado igual a la longitud del radio y el otro a la mitad de la circunferencia. De ahí que el área se aproxime más y más al radio X 1/2 circunferencia, dando la fórmula

-

A = tM 1/2 (2l~Ir) = n r 2

Naturalmente, la fórmula 21"! r para la circunferencia ha de ser conocida anteriormente.

El tratamiento general del área es así bastante análogo al sugerido para las fórmulas. Este es un tema que puede ser utilizado para desarrollar y obtener una variedad de resultados geométricos, así como servir de vehículo para el uso de las fórmulas y la proporcionalidad.

DTTKJTO DR. CURSO

RCONSVKOCAÓN ML r&OGMMA

Los tres temas que han sido analizados en algún detalle como ejemplos de construcción de! programa son amplios y están interconectados. Un desarrollo temático tal de un programa tiene vanas ventajas. Por ejemplo,

i) ayuda a evitar la fragmentación del curso, ii) implica activamente a los alumnos en el proceso de

aprendizaje, iü) es adaptable a un ancho rango de diseños de curso,

de habilidades del alumno, y a los requerimientos de otras asignaturas,

(iv) facilita un ámbito a la iniciativa de los alumnos capacitados.

Desde una perspectiva matemática, esto disminuye la probabilidad de que la técnica aparezca divorciada del contexro o la aplicación, mientras que. al tiempo, facilita la práctica allí donde es necesaria. Utiliza el anáfisis de tareas y el trabajo de Case y toma en cuenta las dificultades de aprendizaje reales y potenciales.

Este desarrollo de la comprensión matemática a través de un amplio tratamiento de los temas no debe limitarse por un excesivo énfasis en la técnica algorítmica aritmética, particularmente con los alumnos menos capacitados. La principa! consideración es la comprensión de las ideas implicadas. Si éstas son apropiadamente entendidas, entonces el proceso de cálculo decrecerá en su importancia y podrá ser llevado a cabo con la calculadora, para una aritmética que no sea simple.

C A P Í T U L O 1 1

Planificación de recursos

Se han publicado recientemente muchas propuestas de matemáticas que proporcionan una prescripción más o menos detallada de su organización, metodología, contenido, secuencia lización y evaluación. Algunos de los utilizados con mayor amplitud son (sin seguir un orden concreto);

1. The Scfx>ois Mathematks Proje<t (varias versiones) íSMP) (CUP).

2. Modular Mathetnatics (MM) (Heinemann). 3. Modern Mathematics for Scbooh (SMG) (Blackte/Cha-

mbers), 4. Kent Mathematics Project (KMP) (Ward Lock). 5. Integrated Mathematics Scheme (IMS) (Kaner) (Bell e

Hyutan).

No es sorprendente que muchos profesores de matemáticas sientan que, una vez elegida una de estas propuestas, no es necesaria ninguna planificación por su parte —simplemente, deben controlar el plan e ir registrando los logros de los alumnos. Tampoco es sorprendente que alguno de estos profesores se desilusione con el plan, insatisfecho con el nivel de interés de los alumnos y con la comprensión conseguida en ellos.

Asimismo, algunos profesores pueden incluir una serie de la BBC o de ITV como parte de su programa de enseñanza sólo para encontrar que el tiempo invertido no se refleja en el desarrollo matemático de sus alumnos.

La conclusión que se- puede extraer de todo ello es que los recursos, aunque estén bien concebidos, organizados y estructurados, no sustituyen a la profundizaron, iniciativa y planificación por pane de! profesor Lejos de aligerar las responsabilidades del profesor, tales recursos tienden J añadir más. Las propuestas incluidas en un plan altamente estructurado pueden plantear considerables problemas si un profesor desea alterar cualquiera de las variables implicadas —por ejemplo, elección de un tema, secuencia de temas, diferenciación de la habilidad. De igual manera, la incorporación de una serie de televisión al programa de matemáticas puede significar un trabajo intenso en la planificación del programa si se quiere integrar giobalmente el material de televisión en el curso.

At considerar la utilización de recursos es conveniente LA FNSEÑANZA ÜF. dividirlos en tres categorías: 1 Libros de texto, 2 planes de LAS MATEMÁTICAS fichas de trabajo integradas, 3 series de televisión. £1 uso de microordenadores seri considerado separadamente en el Capítulo 14 y la calculadora en el Capítulo 13.

Libros de texto

Los libros de texto presentan pocos problemas en la utilización de recursos dado que su relativa ausencia de estructura permite una fácil adaptación. En la enseñanza tradicional de las matemáticas, el libro de texto era usado a menudo sólo para realizar ejercicios, preparando el profesor tanto la introducción como el desarrollo posterior. La existencia de tales recursos carentes de estructuración es algo raro hoy en día, como se puede apreciar en libros de texto como los 1, 3 y 5 antenores. {SMP contiene, en sus distintas versiones, tanto fichas de trabajo como folletos, además de libros de texto),

Al utilizar tales series los profesores deben estar preparados para adaptarlos a las necesidades de sus clases y a los propósitos del programa. Esto puede suponer la alteración del orden en que son secueneializados los temas, omitir o extender alguno de ellos, adoptar un enfoque diferente en un tema, suministrar ejemplos ilustrativos alternativos o simplificar el lenguaje utilizado. Hay poco material en un libro de texto que no precise al menos una ampliación ilustrativa por parte del profesor.

Aun cuando un libro de texto est¿ pensado para responder al nivel general apropiado a una clase, haciendo posible algún aprendizaje independiente, los alumnos seguirán necesitando recibir una guía sobre cómo hacer un uso efectivo del libro. SÍ se desea que una clase o un grupo lea una ¡¿acción del texto para entender cómo proceder en alguna actividad matemática, puede ser necesario dirigir su atención hacia los puntos clave de la exposición y averiguar por medio de preguntas o de discusión si han sido entendidos o no. Una lectura no dirigida puede ser una actividad que malgaste notablemente el1 tiempo. Es importante, sin embargo, que los alumnos se acostumbren a obtener información y comprensión a partir de los libros de texto (ver el Capítulo 6 sobre el lenguaje).

Planes integrados

La intención de los planes más integrados es ser completos, n suministrar todos los ingredientes necesarios para que tenga

IJ\) lugar el deseado aprendizaje del alumno. Estos ingredientes

estarán basados normalmente en fichas y hojas de trabajo* las primeras para dirigir la actividad y las segundas para la práctica y consolidación. Cuando existan dificultades de lectura e interpretación, pueden proporcionarse casetes con instrucciones o exposiciones verbales —KMP, por ejemplo, lo hace así. Los planes de fichas de trabajo integradas son superiores respecto a la exposición tradicional del profe* sor/libro de texto de tres maneras fundamentales:

L atienden explícitamente a la diferenciación por habilidad, 2, fomentan el estudio independiente, 3, permiten seguir el ritmo de las necesidades individuales

de los alumnos.

Consideraremos cada una de ellas por turno.

L Diferenciación de habilidad

Esto se consigue normalmente al proporcionar material en distintos niveles. Un procedimiento común es el de suministrat:

a) material básico, b) material de revisión, c) material de ampliación y posiblemente d) material para avanzar.

Todos los alumnos cubren a); ¡os mis capacitados llegan a c) y d), los menos capacitados hasta b). La decisión de ir desde a) hasta b) o c), o desde c) hasta d) queda normalmente a cargo del profesor pero, en teoría, puede igualmente correr a cargo del alumno sobre la base de un trabajo de autoeva-luación al concluir a), (o de c), aunque la autoevaluación del alumno sea supervisada. Desde la perspectiva de ¡a dificultad del aprendizaje, este enfoque aparentemente flexible tiene varias debilidades:

i) Ya que todos los alumnos han hecho frente a a), esto debe llevar al nivel apropiado a ios alumnos menos capacitados, con la consecuencia de que puede no ser el nivel adecuado para los más capacitados,

ü) Los menos capacitados, en muchos casos, no podrán ni esperarán llegar a c) y, en consecuencia pueden quedar confinados en una secuencia poco interesante de actividades básicas.

iii) Gran parte del trabajo en el nivel c) {más que el LA ENSEÑANZA D£ trabajo en el nivel d)) nunca será apropiadamente u\s UATTMATICAS consolidado por cada profesor o alumno.

2. Estudio independiente

La dificultad con cualquier material escrito (o cásete), como medio de aprendizaje para el estudio independiente, es que, para tener éxito, debe contener las respuestas a todas fas preguntas que puedan surgir. Para los recopiladores del material esto presenta dos problemas principales. El primero es el de la comprensividad — intentar incluir respuestas a todas las preguntas posibles desordenará la exposición en un grado en que se interfiera seriamente con el proceso de aprendizaje. El segundo problema es la omnisciencia —¿quién sabe cuál es el abanico de preguntas que pueden hacer los que aprenden? No existe uoa solución enteramente satisfactoria a estos problemas; la posición obvia y más razonable que se adopta normalmente es tratar estos aspectos según sugiere la experiencia del escritor. El trabajo de Case indica que esta postura sólo tendrá un éxito parcial. Muchos planes integrados, sin embargo, contienen afirmaciones de «salida», tales como "Si no lo entiendes, pregunta a tu profesor».

El verdadero estudio independiente requiere una considerable madurez de pensamiento, propósito y organización —de pensamiento porque es necesario ver cómo surge la idea o el principio general a partir de ejemplos concretos, de propósito porque uno debe tener la determinación de aprender, y de organización porque se ha de ser capaz de proporcionar la estructuración necesaria al material en sí mismo y en relación con el material ya conocido- Así, por bueno que sea el material t es probable que el estudio independiente sea posible sólo para una pequeña minoría de alumnos capacitados- Por ello, los profesores que aceptan el estudio independiente tal como se presenta en los planes integrados, pueden desilusionarse rápidamente.

3. Un ritmo relacionado con el del alumno individual

Este es, a menudo, el principal reclamo publicitario de los editores de planes integrados —los alumnos pueden ¡levar su propio ritmo- Esto no debe interpretarse en el sentido <ie que el alumno pueda escoger de vez en cuando su propio ritmo de trabajo* El que se adopta es el ritmo que el profesor piensa que es apropiado para el alumno, teniendo en

L7¿ cuenta su aprendizaje previo. Podría ser el ritmo al que

S

PiANincACK)iVDE podría llegar el alumno si actuara con todo el interés y RECURSOS habilidad de que fuera capaz. Toda esta problemática mani

fiesta claramente que existen dificultades para poner en practica esta noción.

Un plan integrado de matemáticas que está diseñado específicamente para proporcionar un ritmo individua! es el Kent Mathematics Project, que afirma ser *un banco de materiales que proporciona tantos cursos de matemáticas como alumnos haya*. Su organización básica es la siguiente:

a) Está diseñado para ser utilizado por alumnos de S a 16 años.

b) Cada tarea matemática está clasificada de acuerdo con su nivel matemático, desde el 1 hasta el 8. Cada tarea responde también a uno de cuatro grados de aprendizaje —F-rápido, M-medio, S-lento, L-para alumnos muy lentos.

c) Basándose en su conocimiento del alumno, el profesor selecciona un conjunto de, por ejemplo, diez tarcas. Este conjunto se denomina Matriz.

d) Algunas de las tareas tienen un test asociado. Los tests para todas las tareas se reúnen para formar el test de la Matriz.

e) Para alcanzar una nueva matriz, se le requiere al alumno una puntuación del 100% incluyendo la posibilidad de un repaso, si es necesario. El progreso de cada alumno es registrado en un Perfil

Aunque el Kent Project se extiende considerablemente para adaptarse a alumnos concretos, el problema del ritmo permanece- ¿Cuánto tiempo se le debe dar a un alumno para completar una tarea dada o una matriz determinada? ¿Cómo se debe tratar la incapacidad para completar una matriz? ¿Qué determina la elección de un nivel matemático y un gradiente de aprendizaje? (Debe señalarse que el KMP tiene una guía del profesor donde se discuten estas cuestiones).

Quiza se deba aceptar que el ritmo individual es demasiado subjetivo para tener una utilidad real con la que determinar las experiencias matemáticas de los alumnos y que el juicio profesional del profesor sobre lo que es apropiado debe ser el principal factor determinante. Vistos a esta luz, los planes altamente complejos como el de KMP no consiguen sustan-cialraente más en términos de aprendizaje del alumno, de lo que consiguen aquellos que presentan una organización mis simple.

¿Significa esto que los planes integrados, normalmente caros, no valen lo que uno se gasta en ellos? Realmente, no existe una evidencia concluyente de que su implantación en 19J

los institutos haya aumentado la capacidad matemática de los U VNSESANZA Dt alumnos o mejorado sus acritudes hacia las matemáticas, L« MAmtiT iCAS

Además, adaptar un plan integrado complejo puede llevar más tiempo que construir lid programa propio. A pesar de los (HIMUH anteriores, no obstante, los planes integrados pueden iilreciT muchas ventajas a los profesores:

i) no creyendo todas las pretcnsiones defendidas por los editores de los planes,

ii) usándolos en el contexto de un programa global acorde con los principios discutidos en otros capítulos de este libro.

Para adaptar el libro de texto se deben seguir las siguientes estrategias:

a) Donde el enfoque de fichas/hojas de trabajo sea adecuado a los objetivo:* del programa, usar el plan.

b) Donde una parte del plan no se ajuste a los objetivos del programa ignorar esta sección o reemplazarla con un material más conveniente.

i") Donde sólo sean convenientes el contenido o el enfoque, corregir el material como resulte apropiado.

Si, después de haber llevado a cabo a), b) y c), queda menos de la mitad del material del plan integrado, entonces uno ha gastado probablemente el dinero en vano. Si a), b) y c) dejan una parte amplia del plan integrado sin tocar convjrtiéndolo en el principal recurso del curso, entonces se deben aplicar las siguientes consideraciones:

d) Para los alumnos más capacitados, considerar un ritmo acelerado a través del material básico omitiendo selectivamente algunos de los temas expuestos (SMP, por ejemplo, hace esta labor para los 11-16 años),

e) Disponer que todos los alumnos procedan de la misma forma para ampliar el material.

f) Asegurarse de que el trabajo de todos los alumnos es supervisado —pretensión olvidada en gran medida en lo que respecta al estudio independiente.

g) Adoptar un ritmo que el profesor considere apropiado para los alumnos concretos, recordando que el materia] del plan integrado o individualizado puede conducirse a un ritmo tan lento como sea necesario o deseable.

h) Asegurarse de que se consolida el trabajo avanzado o ampliado de los alumnos más capacitados.

Pi ANÍHCACIÓN DE Será necesario proporcionar una práctica adicional o RECURSOS ejercicios de consolidación en varios puntos; pocos planes

son satisfactorios a este respecto.

Televisión

Los programas de televisión plantean problemas muy diferentes en su naturaleza a los propios de los libros de texto o de los planes individualizados o integrados. Esto por varias razones:

1* Una serie de televisión no dará una compleca experiencia de aprendizaje. Servirá para estar preparado para un progreso y reforzamicnto posteriores.

2. Le falta la calidad de soporte del material escrito y la respuesta interactiva de la palabra hablada.

3. Si implica algún presentador, su personalidad y enfoque puede interferir con la eficacia del profesor en clase.

4. Requiere una cantidad considerable de actividad por parte del alumno si se quiere conseguir un grado de aprendizaje comparable .il tiempo dedicado a la televisión misma y a la preparación auxiliar requerida por el profesor.

5. La mayoría de las series de televisión aspiran a presentar experiencias enriquecedoras e interesantes. Es importante que no se de la impresión a los alumnos de que las series de televisión tratan de la parte más interesante e imaginativa de las matemáticas, mientras que los profesores se dedican sólo a los elementos de la práctica más rutinaria.

6. La enseñanza directa por televisión de las matemáticas habituales, quizá inevitablemente, tiende a experimentarse mecánicamente, siendo aceptable sólo como preparación de un examen.

Respecto a 4 y 5, algunas series aspiran a dar una motivación y puntos de partida que el profesor puede desarrollar posteriormente. Cuando la retransmisión no da lugar a un aprendizaje activo y el profesor la detiene para proporcionar recursos que lleven a los alumnos a ciertas actividades matemáticas, ello servirá para motivar y despertar el interés en el programa de televisión.

Observando las estrategias para incorporar emisiones de televisión a los programas, lo mejor es comenzar preguntándose por qué los profesores quieren usarlos. La única respuesta realmente satisfactoria es que las series pueden ayudar algo al proceso de enseñanza y aprendizaje en algo que va más allá

Je lo que la habilidad del profesor puede crear en dase; si un LiENSEfoMZaDt programa no consigue más de lo que el profesor puede iasuatcmátiCas

alcanzar de orro modo, se habrá malgastado el tiempo. Cuando un programa vaya más allá de lo que puede razonablemente conseguirse de otro modo, entonces debemos preguntarnos cómo la experiencia adicional ayuda a la motivación, interés y comprensión o realizaciones matemáticas de los alumnos.

La visión del programa ¿debe hacerse al comienzo de un tema, en un punto intermedio o al final? Supongamos que se puede disponer de las facilidades dadas por el registro de vídeo, de modo que el programa pueda ser mostrado en el momento en que lo decida el profesor, ver programas en un momento fijo cada semana será probablemente desastroso —por ejemplo, podría no prepararse adecuadamente o que la organización escolar y diversas circunstancias impidan verlo. Otra razón para registrar en video es que posibilita la repe lición. Esta facilidad permite at profesor controlar la experiencia de aprendizaje ofrecida por el programa. Puede parar la cinta» preguntar cuestiones» revisar una secuencia particular y preguntar otras cuestiones hasta que se hayan entendido adecuadamente los puntos principales del programa. Reco mentíamos que éste sea el método habitual al usar televisión.

Las decisiones sobre el lugar que deba adoptar un progra-ma de televisión en el desarrollo de un tema en particular dependerán» obviamente, de la naturaleza del programa* Sin embargo» como regla general, es mejor que se haga algún trabajo preliminar con el profesor para motivar y estimular el interés. Es improbable que se cumplan los efectos deseados entre los alumnos que vean un programa si el profesor nu ha preparado este visionado con cuidado y no ha visto previamente el programa (si es posible, dos veces). En general, los programas de televisión encajan mejor a) final de un tema, cuando las ideas principales se han introducido, asimilado y practicado. Ver e¡ programa puede consolidar el trabajo» o situarlo en el contexto, o mostrar aplicaciones, o indicar desarrollos posteriores. En algunas circunstancias, un programa puede verse tempranamente sin esperar a que los alumnos aprendan mucho pero al objeto de traer a escena el tema y mostrarlo nuevamente al final, para que el contenido sea más significativo con el tiempo.

La televisión puede añadir mucho al proceso de aprendizaje pero sólo cuando es controlada por el profesor en el contexto de un programa general. Un programa dirigido por la televi sión es improbable que haga un buen uso del tiempo disponible.

En general, como ya se ha dicho» el uso eficaz de los recursos escritos o visuales en el programa de matemáticas

PL4KHG&cxto ot precisa una reflexión y un esfuerzo considerables por parte hecumos del profesor. Existe un aspecto más que no se ha mencionado

todavía explícitamente —la actitud de los alumnos. Los profesores que utilizan un libro de texto o series de

fichas de trabajo sin adaptarlas o pesonalizarlas, esperando que el material producido coineraalmente haga su enseñanza por él, crearán probablemente apatía y aburrimiento en sus alumnos, junto a un sentimiento de irrelevancia del profesor y una ausencia de interés en clase.

Los alumnos deben ver al profesor controlando los recursos, usándolos pan crear un ambiente de aprendizaje satisfactorio en clase, no siendo controlado por ellos. Se dice algunas veces que el profesor moderno es esencialmente un controlador de recursos, que puede dar la impresión de que no está implicado directamente en el proceso de aprendizaje, que siempre actúa a través del material producido por otros. El atributo esencial de un buen profesor ha sido siempre y seguirá siendo la habilidad para motivar y estimular i sus alumnos hacia el aprendizaje y crear programas de aprendizaje efectivos para ellos. Para conseguirlo, el aspecto de planificación de recursos es un preliminar esencial.

197

C A P Í T U L O 12

Construcción de unidades de trabajo

El Capítulo anterior se ha referido al uso de recursos externos. Consideraremos ahora la redacción de material preparado en el propio instituto* Normalmente, esto significa la construcción de fichas y hojas de trabajo, por lo que gran parte del capítulo se referirá a estos aspectos.

Antes de ver efl detalle la preparación de una ficha de trabajo es importante reflexionar sobre aspectos generales de la construcción de unidades de trabajo, comprendiendo cada una de ellas una secuencia de fichas y hojas de acompañamiento. Tal unidad de trabajo puede reemplazar o añadirse a una sección de un libro de texto o de un plan integrado o puede ser una de las series de unidades escritas dentro de un instituto concreto, para cubrir la mayoría del trabajo de clase. En cualquier caso, se aplicarán las mismas considerado* nes.

L ¿Qué tiempo se prevee para la unidad? 2. ¿Cuáles son los objetivos de cada unidad? 3. ¿Qué consecución de estos objetivos debe ser evaluada? 4. ¿Cuánto debe presentarse y desarrollarse de una forma

centrada en el profesor y cuánto por medio de fichas? 5. Si se utiliza el enfoque de las fichas, ¿cuántas de estas

últimas se precisarán a) para la presentación básica, b) para el desarrollo, c) para la revisión, d) para la evaluación?

6. ¿Las fichas son sensibles a un nivel de habilidad, es decir, hay fichas de progreso acelerado para los mejores alumnos?

7. ¿En qué puntos deben mantenerse de forma que se requiera la decisión del profesor para ir más allá?

La exposición del profesor y las fichas de trabajo persiguen fines opuestos dentro de! abanico metodológico pero las combinaciones entre ellas pueden causar un gran electo. Por ejemplo, una exposición inicial del tema por el profesor o un

desarrollo entre el profesor y los alumnos puede ir seguido LA FNSEÑANZA DE de la distribución de fichas explicatorias que contengan el LAS MATEMÁTICAS material expuesto/desarrollado incluyendo ejemplos ilustrativos de los conceptos y las técnicas. Los alumnos pueden entonces trabajar otras fichas conteniendo instrucciones y ejercicios posteriores.

De cualquier forma que se utilicen las fichas, existen unos factores claramente diferenctables en su construcción que contribuyen sustancialmente a su calidad y eficacia en clase y que hacen la tarea de redactarlas menos desalentadora y más breve de lo que serta de otro modo.

Por conveniencia, estos factores se agrupan bajo seis encabezamientos:

1. ¿Quién escribe ei material? 2- ¿Cómo se utilizan las fichas? 3. La presentación del material en las fichas. 4. Explicación, secuencialización, discusión, materiales y

juegos. 5. La guía del profesor. 6. La lectura de las fichas.

Los siete temas generales surgidos al comienzo del capítulo forman un fundamento general para la discusión, como se hacía en la sección del lenguaje del Capítulo 6. La evaluación no está tratada explícitamente por haber sido ya cubierta en detalle en el Capítulo 8.

I. ¿Quién escribe el material?

Es preferible que codos los profesores que vayan a utilizar el material estén implicados de alguna forma en su producción. Los profesores tienden a confiar más en las fichas que ellos mismos han construido para sus propios alumnos que en las proporcionadas por sus companeros; por añadidura, se precisa un equipo si se quiere que lo escrito se haga a una escala extensa. Idealmente» se debe implicar, en las primeras etapas, a todos los que potencialmente vayan a usar el material en la planificación detallada de los objetivos, estilo, tiempo y evaluación. Una vez que se han tomado decisiones sobre estas materias, se puede delegar en los profesores individualmente la confección de grupos de fichas sobre temas concretos» discutiéndose más tarde y revisándose por el grupo entero.

Los nuevos profesores que llegan al instituto después de que las fichas de trabajo hayan sido completadas y se estén

JUV utilizando, obviamente no pueden implicarse en su prepara-

Corm^ucciONDE ción. Por ello» es necesaria también una guía del sisrema de UMDAMsnr fichas (Sección 5).

TRABAJO

2. ¿Cómo se utilizan las fichas?

Todos los que las redacten deben tener claro cómo son utilizadas las fichas.

Por ejemplo» pueden ser:

a} utilizadas por una clase entera al mismo tiempo, sin variaciones individuales, o

b) usadas individualmente por los alumnos después de que se ha completado con éxito algún trabajo previo y aunque los más lentos aún estén ocupados con un trabajo anterior» o

c) indicadas para grupos específicos dentro de la clase de forma que deben ser escritas para niveles tliferentes de habilidad, o

d) utilizadas para el aprendizaje individual, de manera que dos alumnos en diferentes etapas utilizarán fichas distintas.

La respuesta a tales cuestiones dictarán muchos aspectos de la construcción de las fichas e impondrán distintas restricciones a los redactores.

Dos factores que pueden parecer evidentes merecen considerarse.

i) Nivel de habilidad

Las fichas deben tener un nivel apropiado a los alumnos que las trabajan. Esto, naturalmente, debe cumplirse para todo recurso material, pero será fácil conseguirlo con fichas que son e scr i tas por los profesores directamente responsables de su uso, aunque decidir sobre los distintos niveles de habilidad dentro de la clase no será una tarea fácil para algunos profesores. Una utilización obvia de las fichas c o m i s t e

en proporcionar a los alumnos lentos un material más simplificado o detallado; otra es la de preveer la existencia de dificultades de aprendizaje específicas en los alumnos más destacados.

Los mejores alumnos de la clase o del grupo llegarán a molestar y a no cooperar si se les da trabajo que pueden hacer con demasiada facilidad. Las fichas se pueden usar con ellos para estimularles y demandarles más actividades» en vez de proporcionarles una repetición de actividades ya realizadas. 201

ii) Ritmo

Uno de los problemas que plantean los recursos publicados comercialmente, tales como las series de libros de texto o los planes integrados (ver el Capítulo 11), es que el ritmo de desarrollo puede ser inconveniente en determinados puntos, sea para la clase globalmente o para ciertos grupos dentro de la clase. En estas circunstancias, se puede utilizar con éxito las fichas producidas en el propio instituto haciendo las adaptaciones precisas para mantener el ritmo. Tales fichas revisarían las ideas básicas del tema o darían un énfasis adicional allí donde el recurso comercial parece insuficiente.

Por otro lado, es posible economizar tiempo al reemplazar el material comercial muy explicado por un tratamiento más sucinto con fichas.

3. La presentación del material en las fichas

Es la parte más importante de la construcción de fichas. Nos referimos aquí, no tanto a los detalles matemáticos como a la apariencia de las fichas. Bxjsten dos aspectos fundamentales sobre esto: i) el lenguaje y ii) la disposición. Cada una de ellas es subdividida en varias consideraciones específicas.

i) Lenguaje

Habilidad lectora

TIENE poco sentido producir fichas que, de otro modo serían un material excelente, si los alumnos a los que van dirigidas tienen dificultades al leerlas. Hay disponibles muchas medidas de la habilidad lectora —el índice Fog y el gráfico de legibilidad de Fry son dos de los más conocidos (ver el Capítulo 6, reL 1)—, pero su valor y exactitud están abiertos a debate; en cualquier caso, corresponde más a la responsabilidad xle los especialistas en dificultades de aprendizaje que deberán disponer una recuperación especial. Las consideraciones del Capítulo 6 y algunos conocimientos generales de los niveles lectores de la clase serán normalmente suficientes para el profesor de matemáticas.

Existen datos para afirmar que, sobre todo para los alumnos menos capacitados, las matemáticas deben ser presentadas en un lenguaje correspondiente al nivel lector de un año anterior al de la verdadera edad lectora del alumno. Es descable tener en cuenta este consejo aunque el amplio rango

LAEKSFSA«ADF.

US UAT£M ÁTICAS

CútfSTKUCdóvuF de los niveles lectores entre los alumnos más lentos hace de UNIDADES Dt' éste un objetivo ideal antes que práctico. Se puede obtener

m u j o información sobre los niveles lectores, en particular para los más lentos, a partir de los especialistas que haya en el instituto sobre dificultades y remedios del aprendizaje, y debe considerarse su consejo cuando se prepare el material para los menos capacitados.

Vocabulario

Nada causa más dificultad y sensación de misterio que el uso de un vocabulario que el alumno no entiende. Cuando se introduce una idea o un concepto matemático nuevo, se debe tomar una decisión sobre la terminología a través de la que se va a presentar.

En el comienzo de la secundaria, será más apropiado con los menos capacitados utilizar palabras y frases que les sean familiares y a través de las cuales pueda alcanzarse más claramente la naturaleza de la idea (ver los Capítulos 4 y h). El vocabulario técnico esencial puede ser introducido más tarde.

Es conveniente repetir aquí algunos de los puntos ya comentados en los Capítulos 4 y 6:

a) Muchas palabras vuelven difíciles ideas sencillas —por ejemplo, numerador, denominador, coeficiente, hipóte» nusa.

b) A menudo las palabras y las frases en matemáticas son confusas en su significado —los ángulos opuestos vertical mente, por ejemplo, no tienen nada que ver con la perpendicularidad.

c) El vocabulario técnico puede oscurecer más que ayudar a clarificar la presentación. Esto se puede comprobar en la siguiente instrucción tomada de un texto publicado para alumnos de 13 anos:

«Para obtener primero ecuaciones o inecuaciones equivalentes sin fracciones, encontrar los conjuntos solución siguientes; las variables están tn el conjunto de los números racionales.»

Queda para el lector decidir cómo expresar esta instrucción de una forma más simple.

Tal simplificación puede precisar el uso de algunas frases coloquiales. Por ejemplo, una instrucción como «Expresar cada uno de los siguientes productos de factores como sumas o diferencias de términos» puede ser reemplazado por «Muí*

aplicar* o -Quitar los paréntesis-*. Eo el material escrito para LA FNSEKAN?* Dt

uso interno del instituto es normalmente preferible decir las LAS MATDIÁT.CAS

cosas tan simplemente como sea posible. La introducción de un vocabulario técnico debe ser tratada como una cuestión separada del desarrollo general de las ideas matemáticas.

Sin embargo, si se decide que resulta esencial el conocimiento del vocabulario matemático asociado a una nueva idea, es conveniente que esto se haga en la construcción de las fichas, sea:

a) incluyendo una explicación en la ficha, o b) sugiriendo al alumno que pida una explicación del

profesor, o c) deteniendo el trabajo hasta que el profesor haya des

arrollado la nueva terminología sea en la clase entera o en un subgrupo dentro de la clase.

Sintaxis

Esto está relacionado con la habilidad lectora. Para todos los alumnos, pero particularmente para los menos capacitados, se debe adoptar uc estilo directo, utilizando el presente activo y evitando cláusulas subordinadas complicadas. Por ejemplo, los alumnos estarán más familiarizados con -Compro los siguientes artículos* que con -Los siguientes artículos son adquiridos». Para los menos capacitados, es preferible evitar completamente las cláusulas subordinadas y usar sólo sentencias simples, dedicando una línea por sentencia.

Con la comprensión se puede desarrollar también la sofisticación en la escritura.

El uso de la conjunción -si* en las matemáticas escritas tiende a conducir a sentencias complejas, que son difíciles de leer. Por ejemplo, «Si A ABC tiene un ángulo recto en A, si los puntos medios de BC, CA y AB son Df E y F respectivamente, y si G es el punto de intersección de AD y BE, demostrar que...» debe ser reemplazado por

-A ABC tiene un ángulo recto en A. D, E y F son los puntos medios de los lados BC» CA y

AB,.respcctivamente. AD y BE se intersectan en G. Demostrar que,..»

Interpretación de información

En la sección anterior, hemos acentuado la presentación directa, simple, de las ideas e instrucciones cuando se construyen fichas de trabajo. Los profesores también necesitan

CoKSTactCHfrDt considerar como una destreza importante para los alumnos la UNÍDAMSIX extracción de información matemática relevante a partir de

TRAÍA jo un contexto dado. Esta es la destreza que se discute en la Sección 6, Lectura de las fichas.

ii) Disposición

Uso de dibujos y diagramas

Las palabras no son el único medio de comunicar información, también se pueden usar dibujos, símbolos y diagramas. Esto es particularmente apropiado para los alumno* menos capacitados y, posiblemente, más realista. Para tales alumnos, en vez de presentarles una cuenta de la tienda en un trozo de prosa continua, se les puede proporcionar el dibujo de una ventana de la tienda donde aparezcan los precios de cada producto con claridad. Estos dibujos pueden proporcionar un mayor realismo a las mismas destrezas aritméticas.

Igualmente, como alternativa a la descripción en palabra* de un diagrama geométrico, se puede dibujar el propio diagrama en la ficha marcando sus características esenciales y con el suplemento de una breve descripción escrita. Tal uso de diagramas entra en conflicto con las destrezas interpreta-tivas mencionadas antes en -Interpretación de la información» ya que, como se mencionó, la interpretación requiere una planificación separada y no se debe exigir en todas partes y a cualquiera.

Apariencia visual de la ficha

Las fichas deben invitar a verse y ser fáciles de entender. Por ello, se deben evitar largos pasajes de prosa continua. La atención se debe dedicar a los márgenes, separación de líneas y numeración. En el último caso, es recomendable un sistema como 12(1), 12(2)... El sistema utilizado con frecuencia 12.1» 12,1— invita a la confusión con los decimales. Con un sistema alfabético como 12a, 12b, 12c. v., existe la posibilidad de confusión con la notación algebraica y tampoco resulta fácil determinar de un vistazo la posición de una determinada ficha en una secuencia larga de ellas si, por ejemplo, se escribe I2r.

Donde aparecen diagramas deben ser bastante grandes para ser observados con Facilidad, ser claramente relacionados con el material escrito asociado y no resultar oscurecidos por una presencia demasiado detallada de letras. Jffl

Claves visuales y otras ayudas U ENSEÑANZA DE LAS MATMATKÁS

Las fichas son parte del proceso de aprendizaje. Para ayudar a este proceso se pueden proporcional' claves visuales que dirijan la atención de los alumnos a tas ideas o instrucciones fundamentales. Una forma simple de conseguirlo es el subrayado.

Ejemplos:

L Compro un coche por 1.500 libras y lo vendo por 1.675- Calcular mi beneficio como un porcentaje del precio de compra.

2. Ocho personas ganan 12.250 libras en las quinielas. ¿Cuánto debe recibir cada uno si el dinero se reparte igualmente entre todos?

3. Escribir debajo una expresión para el área de la superficie de un cubo con un lado de longitud b cm.

Una segunda ayuda en la presentación visual es dar información sobre lo que se pide. Esto es apropiado en la introducción de un nuevo tema donde se estudia un nuevo método o tipo de problema, al objeto de minimizar las dificultades de interpretación. Como último punto, debe proporcionarse práctica en las destrezas de interpretación.

De igual forma, para ayudar al proceso de aprendizaje en las etapas iniciales de un nuevo tema, se pueden dar sugerencias sobre un procedimiento por medio de cuestiones ínter-medias.

El siguiente ejemplo ilustra el uso de tales cuestiones auxiliares y el enfoque directo.

Ejemplo:

Se venden butacas y palcos para un concierto escolar. Se venden 350 butacas a 75 p. cada una.

' ¿Cuánto dinero se consigue por la venta de tales entradas? Las ganancias totales por el concierto son de 499,50

libras. ¿Cuánto dinero se ha conseguido por la venta de palcos? Las entradas de palco cuestan 1,50 libras cada una. -Cuántas de tales entrada* se han vendido?

La misma cuestión se puede presentar de un modo que requiera una mayor interpretación, como:

Q o í + O w r u n C o b o

S o n n e c e s a r i o s s . ' e t e Cobos paro. ^Ormaf tfStC. S o l i d o . S i s e ^ o i ' t a . « \

CuWo Sombreado,

e l s o l i d o r e s f a n f e este*, ^-xjrmojio por S c ' s

Y <y edo. a s i*

¿ C u a o 4 o 3 cobos h a y ©n cada, tro o d e e s 4 o s ?

E S c O M ' "tve q^i+ftr el cobo Sombrtarfü en

c a d a uno vj <itbu^M* te o y e c^oe^e. .

f i c h a s Formas LA ENSFÑAIS7A Dt

Necesitas papel de puntos equidistantes y siete cubos

Añadir a los cubos Se ha pegado un cubo sobre los cubos de la Figura 1 de forma que la parte sornbroada queda cubierta. Esto se muestra en ia Ngura 2. Copiar los dos bocetos sobre el papel de puntos

. FIGURA 2 .

Volver la FICHA

En la Figura 1 más abajo se pega un cubo para cubrir tas panes sombreadas. Hacer un boceto sobre papel de puntos de lo que debe verse al final.

En las figuras ? y 3, dos cubos se pegan sobre ¡as partes sombreadas. Hacer bocetos de lo que debe verse al final.

CowraucooN Dt -Las entradas de un concierto escolar cuestan 75 p. y 1,50 UNIDAttsDt libras y el total de ganancias asciende a 499,50 libras. Si se

nuviAfo venden 350 entradas de las más baratas, ¿cuántas se habrán vendido de las más caras?*

En general, la disposición de la ficha debe presentar las l matemáticas correspondientes de una forma atractiva e inví-

tadora. Una buena disposición estimulará y motivará a los alumnos. Una disposición pobre puede estropear el propósito del material.

Como ilustración de algunos de los aspectos anteriores sobre la presentación de la ficha de trabajo» consideremos los siguientes ejemplos adaptados de unas fichas producidas comeresalmente y que tratan esencialmente del mismo tema matemático. El primero es tomado del material DIME3

publicado por Oliver y Boyd, y el segundo (que ocupa ambas caras de una ficha en su original) de Modular Mathematics-publicado por Lieinemann,

Estas fichas consideran tareas de secundaria que pueden llegar a ser complicadas y las presentan de una forma efectiva y razonablemente sencilla» pero con algunas imperfecciones. El lector puede fijarse para decidir si las fichas cumplen los criterios presentados en esta sección, y en qué aspectos pueden ser mejorables.

Un trabajo considerable sobre diseño del texto ha sido llevado a cabo por Hartley en la Universidad de Keele, Su libro Desigrtmg Instructional Text*\ sin ser específicamente matemático» contiene consejos y guías de gran interés sobre la producción de fichas eficaces de trabajo (ver también el Capítulo 6, reí, 1).

4* Explicaciones» secucnciaÜzación, discusión, materiales y juegos

Explicaciones

Una cuestión importante en la preparación de fichas de trabajo es cómo considerar la explicación. Un plan publicado comercialmente necesariamente debe ser completo, pero el material preparado en el propio instituto no necesita aspirar a tanto. Aunque pueden incluirse algunas explicaciones, sólo a efectos de recuerdo y revisión, es conveniente que el desarrollo inicial de un tema lo lleve a cabo directamente el

1 GiWs. Q , 1979: DIME U M W Aids Olrrrr iná Boj*! 1 MoJmUr Matberndtks, 1971. Htineminn Edutiüonal Bcok. * Hartley, J. 1985: Devigning InstmrtionAl Ttxt. Kogin Page (7 . 1 cdj.

profesor. No sólo es probable que tarde menos sino que. LAIWFAANZAW

además, tenga un éxito mayor en la comprensión del altan- lASMvraiATKAS no. Después de esto, los alumnos pueden comenzar a traba* jar sobre las Üchas ayudados por breves explicaciones escritas.

Secuencializacián

Como se ha discutido en el Capítulo 5. Sección 4, gastar demasiado tiempo en desarrollar un único tema puede conducir a los alumnos a la apatía y el aburrimiento. Incluso un proyecto de trabajo bien planeado puede ser rechazado si se hace demasiado largo. Así es importante, en la planificación ile una secuencia de fichas, moverse entre varias áreas del programa aritmética, geometría, trabajo gráfico, álgebra, estadística, etc.— o entre diferentes temas matemáticos.

De igual iorma. c* necesario producir un abanico de ureas dentro de un tema concreto- Se les puede pedir a los alumnos que hagan diagramas y tablas, que registren datos por sí mismos a partir de los recursos disponibles; pueden hacerse cargo de tarcas de investigación; se puede incluir un trabajo práctico sobre la medida y las construcciones geométricas .

Discusión

Es importante que un enfoque de fichas no lleve a los alumnos a trabajar por sí mismos, en sus propios materiales y en un ambiente aislado. Se debe animar decididamente la discusión, ciertamente entre profesor y alumno o alumnos y, en ocasiones apropiadas, entre los mismos alumnos. Esta última actividad puede ser estimulada proporcionando tareas que requieran La cooperación de un grupo de alumnos. La interacción verbal ha sido discutida en detalle en el Capítulo 6.

CoMTTtuccHta DE Juegos UNIDADES Efl

IMMfO El enfoque de las fichas, además de permitir el desarrollo matemático, puede ser utilizado también para incorporar aspectos recreativos de las matemáticas, incluyendo juegos matemáticos. Tales actividades, que hacen mucho para motivar a lo alumnos, pueden ser planificadas como una parte integral del programa de aprendizaje, antes que como un añadido extra a] que se recurra cuando los libros de texto resultan ser el único recurso.

Los juegos en particular pueden ser muy efectivos, tanto en la consolidación de destrezas como en el desarrollo del entendimiento. Los que los utilizan deben ser capaces de completarlos en un tiempo relativamente corto, deben utilizar pocas reglas, expuestas simplemente y sin ambigüedad. El libro Maihemattcal Adivines, de Bolr* contiene muchos ejemplos adecuados de juegos.

5- La guía del profesor

Lo ideal es que todos los profesores que vayan a utilizar las fichas de trabajo participen en la planificación inicial y en la redacción de las mismas. Cuando esta tarea se ha completado, particularmente si su longitud les permite cubrir temas diferentes, no será fácil recordar todos los detalles de la planificación, la secueneializaeión, el ritmo, el sistema de evaluación, etc. Además, pueden llegar nuevos profesores al instituto que no hayan tomado parte en la planificación y redacción.

Por ambas razones, aunque suponga un mayor tiempo de trabajo, debe construirse una guía que contenga todos los fundamentos necesarios que el nuevo profesor vaya a necesitar para ser capaz de utilizarlas adecuadamente con sus alumnos. Las siete cuestiones relacionadas al principio del capítulo y repetidas de forma corregida más abajo, pueden constituir un modelo general para tal guía.

M ateríales

Cuando una tarea en una ficha requiera el uso de materiales o equipamiento, debe hacerse una lista de lo que realmente se necesita para que el alumno sepa dónde obtenerlo a continuación. Aquí pueden surgir considerables problemas organizativos en una clase de, por ejemplo, 25 alumnos implicados en diferentes tareas y los profesores deben estar preparados para ello.

L ¿Qué tiempo se dedica a cada unidad? 2. ¿Cuáles son los objetivos de cada unidad? 3. ¿Cuál es la consecución de objetivos que es evaluada? 4. ¿Dónde requiere el curso un desarrollo centrado en el

profesor, y dónde se debe hacer a través de fichas de trabajo?

5- Para un tema dado, ¿cómo se dividen las fichas en

* Bolt, B. 1982: Muthtmatkdl Acuvittcs. CUP- [En castellano. -Activi ¿i<Sc% matemáticas*, ['•••. EUrteloru. 1983-1

a) presentación básica, LA ENSEÑANZA DE

b) desarrollo, i^S MATEÍUTICAS

c) revisión, d) evaluación?

6« ¿Hasta qué punto son sensibles las fichas al nivel de habilidad? ¿Qué provisión se hace para el progreso acelerado de fichas para los mejores alumnos? ¿Qué repaso está disponible para los alumnos lentos?

7. ¿Hasta donde llegan» de manera que el progreso subsiguiente requiere la decisión del profesor?

Además de otros usos, la redacción de ral guía forzará a los redactores a considerar el plan de fichas como algo global y estructurado, pudiendo alertarles sobre las dificultades reales o potenciales a que puede conducir su utilización.

6. Lectura de fichas

Este tema ha sido ya discutido en términos generales en el Capitulo 6» as! como en el comienzo de este capítulo. Existen» sin embargo, algunas características específicas de este tipo de lectura que tanto los redactores como aquellos que las utilicen deben tener en mente,

1. Aunque puedan existir ventajas en la separación de explicaciones y en los ejemplos ilustrativos dentro del trabajo que el alumno lleva a cabo, por medio de fichas separadas, éste sería un procedimiento artificial que podría interferir con el proceso de aprendizaje. Puede ser más apropiado» por ejemplo» adoptar un procedimiento basado en la alternancia entre la explicación y el trabajo del alumno dentro de la misma ficha. Así, un alumno que lea una ficha debe ser capaz de distinguir entre el momento en que está siendo informado, cuándo se le muestra una ilustración de una idea o cómo hacer algo y cuándo se le pide que lleve a cabo alguna actividad. Forma parte del desarrollo

;- general del lenguaje el que los alumnos sean capaces de hacer estas distinciones, pero al redactar las fichas se debe tener cuidado en aclarar qué es qué. Ya que es improbable el poder utilizar un código de colores para los alumnos menos capaces, se puede considerar alguna forma de ideograma —por ejemplo, dibujar un profesor junto a una explicación, un alumno trabajando junto a sus actividades.

2, Como se ha dicho antes, en una etapa inicial y para los ¿l¿ menos capacitados, es deseable presentar información

CONSTRUCCIÓN DE sobre aquello que se le pide, asi como insertar cuestio-UNiDADtSLtf nes intermedias. Los alumnos» sin embargo, deben

TRABAJO tener también experiencia en tratar información presenta* da en una forma menos digerida.

Un plan muy usado para la mejora de las destrezas de lectura general utiliza la secuencia «Mirar, Preguntar, Leer, Revisar» Recitar*. Una secuencia correspondiente para la lectura de los problemas de matemáticas es «Mirar, Preguntar, Resolver, Valorar*, con la siguiente interpretación.

Mirar; Leer el problema entero para encender el contenido. Preguntar: a) ¿Cuáles son los datos?

b) ¿Qué información se da? c) ¿Cómo se puede intentar la tarea?

Resolver; Emprender la tarea requerida —por ejemplo» cálculo, construcción, presentación gráfica.

Valorar: ¿Es razonable el resultado? ¿Se adecúa a la información dada y al contenido general del problema?

(Si se adopta tal procedimiento, el profesor deberá explicar con cuidado las ideas implicadas simplificando el lenguaje. Para evitar depender de la memoria^ se les pueden dar tarjetas que contengan las etapas de la secuencia con una explicación simplificada.)

Como una ilustración del procedimiento, consideremos el siguiente problema:

Una caja abierta tiene 20 cm. de larga, 15 cm.. de ancha y 10 cm. de profundidad. La parce de dentro, incluido el fondo, está cubierta con una hoja de aluminio. ¿Qué área debe tener esta hoja?

La estrategia MPRV sugiere la siguiente secuencia: Mirar; *Leer cuidadosamente todo el problema». Preguntar; a) «¿Qué se me pide hacer*. Normalmente

esto aparece en la última secuencia. b) *¿Qué información se da?* La respuesta en

este caso incluye la consideración de ios datos en una forma útil. Para algunos alumnos ello puede implicar dibujar un boceto de este paralelepípedo o dibujar cinco rectángulos que muestran las dimen* siones para cada uno. Para otros alumnos puede significar la visualización de los cinco rectángulos Sabiendo que las dimensiones son dadas uniformemente en centímetros.

c) *;Qué método debo usar para obtener la respuesta?* Esto debe incluir ia aplicación de A = 1 X b, y la suma, teniendo que prestar atención al orden del cálculo. ^

Resolver: Llevar a cabo el cálculo requerido. ¿i 3

Valorar: ¿Es la respuesta razonable? ¿Es probable que una LA FNSEIÍANZA DE

caja de estas dimensiones tenga el área de la superficie que ha I.A$ MATEMÁTICAS

sido calculada?

La forma en que los niños leen las fichas recibe ahora más atención y se están avanzando diversos estudios de investigación sobre el particular (ver la ref. 3 y, en el Capítulo 6, la reí. 1). Sin embargo, la experiencia práctica del profesor en clase es, probablemente, la mejor guía para las dificultades lectoras con las fichas. Se debe llevar un registro de las fichas comprendidas y de aquéllas que plantean dificultades: se debe anotar, siempre que >ea posible, las características de cada una. A partir de esto, surgirán criterios prácticos a partir de los cuales se podrá seguir una mejora en la presentación.

i * O

CAPITULO 13

La calculadora como un recurso de aprendizaje

En los capítulos anteriores (en particular, en el Capítulo 6 sobre Numeración) nos hemos referido en varias ocasiones a la utilización de la Calculadora y a las dificultades y ventajas que supone. Sin embargo» no se ha discutido sistemáticamente su posición dentro de ta enseñanza y el aprendifcaje de las matemáticas.

Hablando en general, las calculadoras pueden ser utilizadas en las matemáticas escolares con dos propósitos:

1. Reducir la dependencia respecto de los algoritmos numéricos de cálculo.

2. Estimular y facilitar el pensamiento matemático.

Existe también un propósito subyacente de reducir las dificultades en el aprendizaje.

1. Reducción de la dependencia respecto de los algoritmos numéricos

Este es el uso más sencillo de una calculadora. Si se desea calcular 3465,26 f 56,7, la secuencia de la calculadora

3465,26 56,7

producirá inmediatamente la respuesta con una exactitud de, al menos, 6 cifras significativas. A$í> el uso de la calculadora permite a los alumnos menos capacitados realizar cálculos «realistas*» antes que otros que contribuyen artificialmente a hacer simple la aritmética. Por ejemplo, los ejercicios pueden implicar a un trabajador a quien se le paga 2,89 libras por hora durante 38 1/2 horas por semana, mejor que 2,90 libras por hora en 40 horas semanales; los coches pueden viajar a 57 km/h durante 37 minutos antes que a 60 km/h durante 40 minutos. De igual forma, el área de un círculo se puede

calcular para un radio de 4 3 , 6 cm., con JT igual a 3 , 1 4 2 , mejor LAENSESANZA Dique un radio de 3 1 / 2 cm., con TT igual a 2 2 / 7 . LAS M.\TtK*ncAS

Esta reducción de la dependencia respecto de los algoritmos de cálculo hace posible que tales algoritmos escritos se olviden por no ser utilizados. Si ésra es una cuestión imporwnw o no, depende del punto de vista que se tenga sobre la educación matemática, un punto sobre el que volveremos más tarde. Aquellos que contemplen el problema con seriedad se tranquilizarán con la siguiente afirmación del Informe Cockcroft1:

«A partir de todos los estudios, existe un sólido peso de U evidencia de que el uso de las calculadoras no ha producido ningún efecto adverso sobre la capacidad básica de cálculo*.

(Mucha gente, sin embargo, considera que un énfasis menor en las destrezas aritméticas escritas conducirá a una menor capacidad en su utilización).

Si se usa apropiadamente, la calculadora puede también reforzar los métodos escritos de cálculo proporcionando, por ejemplo, revisiones del cálculo escrito o, para los menos capacitados, la demostración y consolidación de los principios esenciales de los algoritmos habituales de la aritmética —por ejemplo, la multiplicación y división por potencias de diez, las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva, o las del 0 y el 1. De este modo, la utilización de la calculadora puede reducir las dificultades de aprendizaje.

Una segunda área en la que la calculadora puede reforzar las ideas numéricas es la de la relación entre las fracciones vulgares, las fracciones decimales y los porcentajes. Por ejemplo, un alumno puede ver, usando su calculadora, que 3 / 8 de 1 0 3 libras, 3 7 , 5 % de ICO libras, 0 , 3 7 5 X ICO libras y 3 7 5 / 1 0 0 0

X 1 0 0 libras tienen el mismo valor ( 3 / 8 de 1 0 0 libras se realiza como (3 X 1 0 0 Ib) 7 8 ó como (3 + 8) X 1 0 0 Ib).

Respecto de los porcentajes, se debe notar que algunas calculadoras tienen una lógica extraña asociada a la tecla %. La secuencia

2 + 3

por ejemplo, puede producir el sorprendente resultado de 2 , 0 6 1 8 5 5 6 , ya que

i — T ~ * + b

es tratada como

216 i Cockcroft.

LA CALCULADORA a

COMO UN fUCU&SO

D£ APRENDIZAJE

Una materia en la que el uso de la calculadora resulta importante es la estimación. Muchos alumnos creen que una respuesta producida por la calculadora debe ser correcta. No se tiene la misma certeza cuando las respuestas se obtienen a través de métodos escritos. Usando una calculadora, sin embargo, se pueden introducir incorrectamente los números, o darle equivocadamente a la tecla de operación, o seguir una secuencia incorrecta de pulsaciones. Ai contrario que en el trabajo escrito, no existe un registro duradero de lo que se está haciendo. Es importante, por tanto, que los alumnos puedan:

1. formarse una idea aproximada del tamaño probable de la respuesta,

2- juzgar si la respuesta obtenida es razonable con respecto al tamaño y número de las cifras significativas, en la circunstancias pertinentes.

Ambas habilidades implican la presencia de sentido numérico, tal como se discutió en la sección de Numeración del Capítulo 6. Como ejemplo de la primera, un alumno debe saber que ( 2 8 , 3 5 X 8 , 2 ) 7 4 1 , 6 es cercano a ( 3 0 X 8 ) / 4 0 (de modo que una respuesta como 5 5 8 , 8 2 2 1 1 está ciertamente equivocada)- Como ejemplos de la segunda habilidad, los alumnos deben darse cuenta de que los ciclistas no pueden viajar a 3 6 2 4 km/h, y que la altura de un árbol no puede medirse con una exactitud de 0 , 1 mm.

Es cierto en general que este uso eficaz de una calculadora en ios cálculos rutinarios requiere, al menos, tanto sentido numérico como la realización de los correspondientes cálculos escritos. Antes que disminuir el pensamiento numérico, el uso de la calculadora, convenientemente integrado en el programa de matemáticas, puede hacer mucho para aumentarlo-Las series Integrated Mathematics Sdicrne, de P. Kaner J, son notables por su explícita atención a las destrezas con la calculadora, intentando incluir su uso en el material de! profesorado.

Es necesario también interpretar las respuestas obtenidas con una calculadora. Igual que la estimación, esta necesidad también está presente en el cálculo escrito pero, como los alumnos pueden creer que las respuestas obtenidas con la

: Kaner« P. 1 9 3 5 : Integrated Mathematics Schemes. Bell í£ Hymm.

calculadora son correctas» su importancia en este tipo de LA UJSFÑANM DÉ trabajo es considerable- Por ejemplo» el número de autobuses, us XATUIATICAS

cada uno llevando 47 personas» que son necesarios para transportar a 716 personas no puede ser de 15,234042 ¡aunque la calculadora lo diga! Uno debe saber cuándo una calculadora no ayuda a resolver un problema. El problema de colocar paquetes en un rectángulo» discutido en el Capítulo 6, es un ejemplo. El tener una calculadora puede tentar a los alumnos a realizar una división obvia» desafortunadamente sin significado en este contexto.

2. Estimulación del pensamiento matemático

El valor de la calculadora, en cuanto a la ayuda que puede prestar al pensamiento matemático» es el de permitir realizar una gran cantidad de cálculos rápidamente y sin esfuerzo, de manera que las energías puedan orientarse hacia las matemáticas implicadas antes que disiparse en llevar a cabo un extenso trabajo escrito rutinario. La calculadora es muy conveniente para investigar secuencias y modelos en el trabajo numérico. A un nivel simple, cálculos de productos como 9 X II, 19 X 21, 29 X 31, 39 X 41, ... sugerirán con rapidez el modelo y una regla general Se puede extender entonces a 8 X 12, 18 X 22, 28 X 32T 38 X 42, ...» llegando a una segunda regla general. Si lo desea el profesor, se pueden investigar las razones de tales reglas para alcanzar» posiblemente» la de a2 — b2 - (a — b) (a + b),

A un nivel algo más avanzado, los alumnos pueden usar la calculadora para investigar fórmulas iterativas y velocidad de convergencia^Ta! sería el caso, por ejemplo, de evaluar l, \ ' l + 1> yjl""+"75T\/1 + \/í + V2, y considerar los valores límites. Para los alumnos capaces esto puede llevar a una fórmula de recurrencia como xirj-i = Vi + xn y a una exacta expresión del límite.

Con las calculadoras, los alumnos más lentos pueden conseguir resultados valiosos. Como ejemplo de ello, uno de nosotros (J. A. C.), trabajando con un grupo de niños de 15 aíjps de un retraso mental ligero» planteó el problema de sumar los primeros cien números naturales usando la calcula* dora. Dos de los grupos escribieron los números en filas de diez y sumaron cada fila. Después de llegar a las respuestas 55, 155, 255 para las primeras tres filas, fueron capaces de escribir debajo los sub-totales para Jas restantes filas sin más cálculo. Aunque no podían explicar por qué los sub-totales aumentaban 100 en cada fila» reconocieron lo que sucedía. Estaban envueltos en una auténtica percepción matemática hecha posible gracias al uso de la calculadora.

LA CAÍCULADÚKA Puede ser también utilizada conjuntamente con juegos COMO LÍN RECURSO matemáticos, algunos de los cuales están diseñados «pecffi-

DP APRENDIZAJE camente para el uso de calculadora. Algunas ideas interesantes» incluyendo la interpretación de los números expuestos como letras del alfabeto» se pueden encontrar en el libro M alhema-tical Aamit'Wy de B. Bolt*.

Cuando se considera el uso de la calculadora como un recurso en la clase de matemáticas, es necesario responder a Varias preguntas:

\i £1 uso de la calculadora ¿debe ser un método normal de realizar cálculos numéricos rutinarios para todos los alumnos a partir de los 11 años?

2, Sx la respuesta a 1 ha sido no, ¿para que alumnos» en qué etapas y para qué tipos de trabajo numérico debe ser utilizada?

3. Si la respuesta a l ha sido sí, ¿en qué posición queda el cálculo escrito o mental?

4. ¿Se debe permitir a cualquier alumno realizar cálculos triviales con la calculadora —por ejemplo, 16 * 2, 13 + 21, 46 X 10?

5, ¿Cómo deben pensar los alumnos para utilizar la calculadora con eficacia y sensibilidad?

Aunque muchos profesores de matemáticas son renuentes» actualmente, a responder afirmativamente a la primera pregunta» tal respuesta tiene dos mériros sustanciales aparentes —a) es más simple» y b) parece práctica, ya que se evitan reglas detalladas de en qué circunstancias los alumnos podrán o no usar la calculadora y se reconocen tanto la propiedad de la calculadora como su uso por parte de los alumnos. Esto significa, sin embargo, que la habilidad en el cálculo mental y escrito se separa del trabajo matemático en general Así, un profesor que toma una posición afirmativa en la primera cuestión tiene que preparar separadamente el cálculo mental y escrito.

Tal profesor puede decidir que estas últimas formas de cálculo son una reliquia de una era pre-calculadora y que no tienen lugar en el mundo moderno, pero en la práctica encontrará que tal posición es insostenible por dos razones: i) una total dependencia de la calculadora sin contar con un método de reserva deja al usuario en una posición muy insegura, y iij las presiones social y educativa requieren, y es probable que continúen requiriendo, que los alumnos que

* Boíl, B 1982: MaAtmatical Acáuum. CUP. 219

dejan el instituto tengan una c i e r t a facilidad en la aritmética LA ENSEÑANZA DF,

mental y escrita. LAS MATEMÁTICAS

Por otra parte, aquellos profesores que respondan negativamente a la primera cuestión, se encuentran inmediatamente con decisiones que deben romar según la segunda pregunta, incluyendo inevitablemente el determinar cuándo, para quién y en qué etapas, debe permitirse el uso de la calculadora. Algunos institutos pueden decidir que en los dos primeros años de secundaria no se debe usar ¡a calculadora, pero que es permisible para los alumnos mayores; otros institutos pueden adoptar una decisión según los temas —en algunos se permite la calculadora, en otros no. Para los alumnos que posean o tengan acceso a una calculadora raí decisión puede parecer autoritaria, arbitraria y artificial. Los profesores del departamento de matemáticas que adopten esta postura negativa a la primera cuestión, deben entonces desarrollar procedimientos en el uso de la calculadora que sean matemáticamente sólidos y, lo que es más importante, razonables para los alumnos. Como una posición extrema, un procedimiento posible es el de permitir su uso para el cálculo rutinario, sólo después de que hayan demostrado que pueden realizar un cálculo sin calculadora. Este puede ser llamado el método de la recompensa, diseñado para animar a los alumnos a realizar un eficiente trabajo mental y escrito. No es probable que muchos profesores adopten este procedimiento en estado puro por a) la contradicción inherente de que se premie la habilidad en realizar un cálculo escrito o mental con la utilización de un recurso que prescinde de tal habilidad, y b) el probable efecto de frustración y mantenimiento de las dificultades de aprendizaje en los alumnos lentos» ya que pueden no llegar nunca a la calculadora.

En el otro extremo, la decisión sería la de permitir el uso de la calculadora a tos alumnos más débiles en los métodos mentales y escritos y no a los demás, tal como los bloques de Dienes se permiten en primaria a los menos capacitados y no a los demás. De esta forma, la calculadora sería vista como una ayuda para los menos capacitados en llevar a cabo el trabajo mental y escrito. Esto significa, sin embargo, impedir el uso de la calculadora a los alumnos inteligentes*

En la práctica n i n g ú n extremo es preferible. Un camino intermedio es el de usar la calculadora para cálculos largos y complejos que envuelvan más de dos cifras significativas y no permitir su uso pura cálculos que pueden ser llevados a cabo mentalmente o con una mezcla de trabajo y escrito simple. Por ejemplo, evaluar correctamente 463/489 * 31,62 con tres cifras significativas implicaría el LISO de la calculadora, mientras que 7 X 46, o 87 T 7 en forma de cociente y resto t sería

¿¿V hecho mentalmente o por escrito. La puesta en práctica de

LA CALCULADORA

:/. -ML- UN RECURSO

n& APftENDIZAJE

tal procedimiento precisa una vigilancia considerable por parte del profesor. Se debe establecer también, naturalmente, una línea divisoria entre un cálculo simple y complejo, lo que es altamente subjetivo y puede variar entre los distintos alumnos.

En resumen, si la pregunta I es respondida afirmativamente, se ha de desarrollar un programa separado de trabajo sobre las destrezas de cálculo mental y escrito; si la pregunta se responde negativamente, se debe aconsejar un criterio consistente y coherente para decidir las circunstancias en que se puede usar la calculadora, un criterio que ha de ser entendido con claridad por los niños, no sólo en su naturaleza sino por las razones de su introducción.

En la discusión anterior nos hemos concentrado sobre el aspecto del cálculo rutinario en el uso de la calculadora y han sido más o menos ignoradas la resolución de problemas y ía investigación. En estas áreas, la decisión sobre el uso de calculadora es simple —debe utilizarse si ayuda a realizar la tarea. Es más dudoso, por ejemplo, si el uso de la calculadora hace más fáciles que el cálculo escrito ia conversión entre dos representaciones de números, uoa en base decimal y otra en base tres — ciertamente, no hace los procesos más fáciles de entender. Por otro lado, la utilización de la calculadora para evaluar razones de términos consecutivos como, digamos, los de la serie de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... donde cada término es la suma de los dos anteriores, debe convencer a los alumnos de que existe un valor límite para la razón. Aquí de nuevo, naturalmente, resulta importante la destreza del profesor; debe ser capaz de determinar cuándo es probable que la calculadora ayude y cuándo no.

Este capítulo ha tenido como tema subyacente el de la sensibilidad y efectividad en el uso de la calculadora, También se debe considerar cómo guiar a los alumnos y prepararles para su uso.

Para aquellos que estén interesados en detalles sobre este uso existe una variedad amplia de publicaciones disponibles, desde la simple Al Home with Your Calcutator4 hasta la más elaborada The Calcutator Reoolution*.

Debe practicarse específicamente la tecla de operaciones y las secuencias de teclas. Por añadidura, debe considerarse;

i) el tipo de calculadora utilizado, u) el uso de las teclas de memoria,

iii) los errores de redondeo.

4 Rothery, A. 1980: At ¡l<mw mitt? Yottr Caícnlazor. Harrap. > Wyld, B. A. y BelL 11. X V)77: The CakuUtor Rnvlutsón. Whice

I ¡un Publíshcn. 221 •

i) El tipo de calculadora LA EHSESAHZA CE

LAS MATEMÁTICAS

Muchos niños cieñen ahora calculadoras muy sofi&ticadas, capaces de llevar a cabo cálculos complejos más allá de su propio encendimiento. Resulta conveniente disponer en el instituto de máquinas simples de cuatro funciones, (+ , —, X, -r) con quizá las teclas \J y %. Como se ha comentado antes, esta última tecla posee características extrañas y no es realmente necesaria. La tecla \/» por otra parte, es muy útil para tratar varias situaciones —cálculos del teorema de Pitágoras, por ejemplo.

Actualmente existen muchos libros disponibles que proporcionan conjuntos de ejercicios de destrezas simples con teclas, que los alumnos del comienzo de secundaria deben practicar hasta que demuestren que tienen ya las destrezas imprescindibles-

ii) Teclas de memoria

Estas son unas teclas muy útiles. La destreza en su uso requiere una enseñanza cuidadosa, ya que ocurren errores debidos a un uso incorrecto que pueden ser difíciles de encontrar y proporcionan una considerable frustración. Es útil que el profesor disponga sobre un papel del cálculo en desalíe, indicando qué debe entrar y ser recuperado de la memoria en cada etapa y pedir a los alumnos que hagan lo m i s m o .

ii¡) Errores de redondeo

Es importante que ios alumnos que usen calculadoras conozcan el redondeo de la misma. Ya que muchas dan S cifras significativas, este problema no es frecuente* pero cilculos ules como (46 + 7) X 7 ilustran este punto. Es también adecuado demostrar que. por ejemplo, (34,265 X 3 ,190 -* 0,013 y (34,265 * 0,013) X 3,196 pueden conducir a respuestas diferentes en la calculadora.

La calculadora es ahora un recurso habitual en la enseñanza de matemáticas. Utilizada eficazmente, en una forma organi zada, puede contribuir sustancialmente a la comprensión matemática y a la reducción de las dificultades de aprendizaje; utilizada de una forma casual y sin pensar es muy probable que incremente las dificultades. Es responsabilidad de! profesorado asegurarse de que la primera utilización, y no la segunda» sea la que prevalezca.

LA CALCULADORA Los lectores que estén interesados en leer más acerca de COMO UN RECURSO los argumentos sobre la posición de la calculadora en la

DKAPRENDIZAJE enseñanza secundaria pueden consultar el Ruüetin of the instante of Mathematics and its Applications, volumen 16 número 8/9, 1980.

Incluye artículos presentados al simposio sobre «Calculadoras y la enseñanza de las matemáticas'* en la universidad del London Institute of Education en 1979, Los artículos son interesantes y autorizados pudiendo servir su lectura como resumen de este tema.

CAPÍTULO 14

El microordenador

El microordenador es un recurso de sofisticaron sin paralelo» que combina la presentación visual de un texto o ficha de trabajo con una potencia organizativa y de cálculo imposiblr de conseguir por otros medios. A causa de ello, puede ser utilizado en la clase de matemáticas de varias maneras.

1. Como un recurso de cálculo muy poderoso. 2. Como un recurso de demostración/exposición* 3. Como un recurso para reforzar el aprendizaje. 4. Como un recurso para ramificar la enseñanza. 5. Como un recurso de aprendizaje investigativo. 6. Como un tutor individual «amigable»-

Estos seis modos de operar están dispuestos en un orden de progresiva complejidad organizativa, finalizando con el modo de sustitución del profesor. Aunque los desarrollos en esta última área discurren con rapidez y las nuevas generaciones de ordenadores han incrementado mucho su aspecto humano, no se debe olvidar que, pese a que posean aparentemente un pensamiento consciente, los ordenadores son objetos inanimados. Algunos alumnos invierten una gran cantidad de tiempo «hablando» con el microordenador y recibiendo sus respuestas y ello puede tener efectos nocivos sobre su desarrollo emocional y social La noción de que los ordenadores pueden reemplazar a las personas t2nto en el dominio afectivo como en el cognitivo está todavía en el campo de la ciencia ficción — Marvin, el robot depresivo de The lliuh-Hickers Guide to tbe Galaxy^ es divertido por lo absurdo de la idea de una computadora emocional. A este respecto, se pone a veces por delante, como una ventaja, que los ordenadores, en su modo de respuesta interactiva, son tranquilos, pacientes, parsimoniosos, nunca pierden el buen humor y no son sarcásticos (aunque, naturalmente, se puede programar fácilmente un programa con algunos comentarios

1 Adamt, D. 1979: TU Hitchbikxr'* G*¡¿* to tbe G*Uxy. Pan Booki«

sareásticos para las respuestas equivocadas)- Sin embargo, un UENSFÑANZADF

niño crece en una familia cuyos miembros siempre poseen U S MATEMÁTICAS

tales cualidades, por io que pueden sufrir una privación emocional y no desenvolverse bien en la sociedad adulta normal. Aunque pocas escuelas estén cercanas a poner en practica a gran escala el sistema de aprendizaje computerizado —en matemáticas o en otras cuestiones—, mucha gente lo ve como una meta deseable. Los autores de este libro no están entre ellos.

Antes de tratar con cada una de los seis modos con mayor detalle, diremos algo acerca de la programación y almacenaje de programas. Aunque es deseable —para la educación general tanto como para las matemáticas— que todos los alumnos sean capaces de escribir y ejecutar programas simples en un lenguaje de alto nivel como el Basic, el Pascal o el Fortran, esto no es esencial para usar el microordenador con efectividad dentro de la clase de matemáticas. Es hasta cierto punto deseable que los profesores puedan escribir algún software para que no dependan enteramente de los programas producidos por otros; ésta es una postura que tiene asociadas las mismas dificultades que la de una sobreva-loración de cualquier recurso producido comercialmente. E! software hecho por el propio profesor no necesita ser desarrollado en un grado alto de sofisticación técnica si luego va a ser utilizado bajo la guía del profesor que lo ha escrito y para propósitos específicos dentro del programa de matemáticas. Los intentos de emular las formas comerciales pueden conducir fácilmente al derrotismo* En la discusión siguiente admitiremos que el profesor domina los rudimentos de ía programación, aunque para gran parte del capítulo no es necesario un conocimiento específico de esta labor. No hacemos referencia a los paquetes de software comercial ya que este campo se desarrolla tan rápidamente que no podemos escribir casi nada que esté al día.

Los seis modos

I. El-microordenador como un recuno de cálculo

Aunque una calculadora es adecuada para muchos de los cálculos presentes en el instituto, este recurso puede consumir un tiempo considerable en llevar a cabo ciertos procesos aritméticos. (Este último punto puede no ser cierto para las calculadoras programables, pero éstas se verán como microordenadores de capacidad limitada).

Además, se puede desear demostrar cómo el resultado de un cálculo varía cuando se cambian ciertos valores iniciales.

EL El uso del microordenador para tales propósitos, (donde una MICROOIÍDENADOK calculadora requeriría un tiempo considerable), normalmente

precisará con antelación programas almacenados, ya que de otro modo supondría una ganancia escasa. Esta posibilidad de almacenamiento de programas es la que coloca al microordenador como una forma diferente de lenguaje respecto de la calculadora.

Como ejemplo de un procedo aritmético donde el microordenador con programa almacenado es claramente prefe* rible a la calculadora, consideremos el siguiente proceso iterativo habitual para calcular raíces cuadradas.

Supongamos que x es una aproximación a >/a, donde a > 0. Ahora x X a/x = a, de modo que el valor de \ /a se puede situar entre x y a/x. Como una aproximación mejor, tomemos el valor medio 1/2 (x + a/x). Este procedimiento puede repetirse tantas veces como se quiera ai objeto de alcanzar ta exactitud precisa. £1 proceso tiene dos valores iniciales —el valor de a y el valor de !a aproximación inicial x Q J a V*- Para un a dado, podemos desear estudiar cuántas interacciones son necesarias, para varios valores de Xo, con el propósito de alcanzar el grado requerido de exactitud. Esto se puede hacer para diferentes valores de a. El programa fundamental debe, por tanto, tener a x0 y a como datos y no como constantes del programa.

Una segunda situación en ¡a que el ordenador es claramente superior a la calculadora es en la suma de series. Calcular la suma de los primeros mil términos de la serie 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 4- „. llevaría un tiempo considerable con la calculadora. Nuevamente, el microordenador no presentará ninguna ventaja si cada término de la serie se introduce manualmente a través de! teclado. Lo que se requiere es un programa corto en que las situaciones clave serían {en Basic)

b'OR K = I T O N S = S + 1/K NEXT K

donde N es el número de elementos que puede cambiarse si se desea. Existe también un amplio abanico de problemas que pueden denominarse cálculo o, más generalmente, procesamiento de datos, para los que la calculadora es manifiestamente inconveniente. Tales problemas incluyen

¡) seleccionar el mayor número de un gran conjunto de números,

ii) ordenar un conjunto de números en forma ascenden-te/descendente, ¿¿I

iii) ordenar un conjunto de palabras en orden alfabético, LA ENSEAMÍZA DE

iv) calcular la longitud en palabras de una porción de IA> MATEMÁTICAS

texto,

Estos problemas requieren considerables tomas de decisiones. Por ejemplo, si todos los números son positivos, i) se puede intentar como sigue. Consideremos los números A | t

Azi»-, A n , Sea N = 0- Si Ai > N, sea N = Ai- Se repite la última instrucción para A^,-.^ Af,.

Los cálculos de fechas forman otro tipo de problema donde se requiere tomar decisiones en varios momentos debido a las longitudes de los meses y a los cambios de aflos.

Eí uso de! microordenador para tales problemas debe fomentar el pensamiento sistemático. Los ejemplos anteriores indican que los cálculos para los que un ordenador es más apropiado que una calculadora son los demasiado largos, o que requieren una decisión en puntos intermedios, o ambas cosas a la vez. Sin embargo, para cálculos más rutinarios, la potencia de un ordenador no es necesaria.

Ix>s restantes cinco usos de los ordenadores en clase sirven a distintos propósitos aunque también habrá a menudo cálculos auxiliares (frecuentemente sustanciales),

2, Demostración/exposición

Con un monitor en color, el microordenador puede utilizarse para exponer gráficos y demostrar hechos geométricos y de otro tipo en una forma que no se consigue fácilmente en un retroproyector o en la pizarra* Tales exposiciones y demostraciones pueden resultar lo convincentes que no podrían ser de otro modo. Por ejemplo, el efecto de cambiar los coeficientes a, b, c en la ecuación cúbica y s x3

I* a + bx + c serían vistos inmediatamente en la curva correspondiente. De igual manera, los gráficos trigonométricos de la forma y = a eos px + b sen qx pueden ser expuestos y, si se desea, sobreimpresionados. Todo esto es posible sólo si existe un programa de software conveniente, escrito por el profesor o grupo de profesores o producido comerciaimente. Dado el aumento en la disponibilidad de tal software, el microordenador puede colaborar considerablemente a la comprensión del alumno.

Los gráficos estadísticos son otro campo fructífero para la demos troció n/exposición- Por ejemplo, la distribución bi-noinial sobre n pruebas con una probabilidad p de éxito en cada prueba, puede exponerse fijando n y variando p, o fijando p y variando n. De manera similar, se puede demostrar

Et la aproximación en el límite de !a distribución binomial a la MICROORDENADOR normal.

El área de las transformaciones en geometría con sus vectores y matrices asociados gana un realismo considerable cuando se enfoca dinámicamente a través del monitor. Tales programas, frecuentes en el mercado, pueden llegar a una sofísticación tal que las ideas matemáticas implicadas se tornen siempre obvias.

Volveremos a esto más avanzado el capítulo, cuando discutamos cómo planificar el microordenador dentro del programa de matemáticas-

Los usos l y 2 se pueden introducir en clase con pocos cambios en la organización existente, metodología o programa. Los cuatro restantes requieren algo más de planificación previa.

.3, Refuerzo del aprendizaje

Los procesos de consolidación y revisión son elementos importantes en el aprendizaje de matemáticas. El ordenador puede ser utilizado simplemente para revisar las ideas centrales de un tema y proporcionar ejercicios prácticos. £n este sentido reemplazaría al libro de texto. El énfasis se coloca, no en el desarrollo inicial, sino en el resumen y en la exposición conjunta del material ya cubierto. Cuando los ejercicios prácticos no se realizan bien (en la pizarra), se puede llevar a cabo una repetición del material que esta siendo valorado o proporcionar instrucciones de ayuda. La práctica rutinaria de las destrezas puede también tratarse por este camino.

Para tener éxito con tales programas se necesita proceder en pequeñas etapas, resultando más convenientes al tratar temas que contengan una única idea. Pueden también ser utilizados para poner al corriente a alumnos que, por ausencia, han perdido una parte del trabajo en clase. En este ultimo modo de utilización, el profesor debe proporcionar una introducción básica antes de que el alumno comience con el programa.

Para propósitos más generales en la enseñanza es normalmente necesario el siguiente uso —Ramificación de la en* señan za.

4, Ramificación de la enseñanza

Se puede construir una variedad de estrategias dentro de un programa. El usuario que no cometa errores seguirá el

núcleo central del desarrollo. Cuando se den respuestas LA ENSEÑABA T>E

incorrectas, sin embargo, el programa puede volver a un LASM^HMÁTÍCAS

punto anterior y repetir una paite del desarrollo o tratar la dificultad presentada saltando a un eníoque diferente. Después de una secuencia de respuestas correctas, el programa se puede acelerar omitiendo parte de las etapas individuales. Se le pitcdt. preguntar al usuario si quiere ir a un ritmo más rápido o más lento. Un microordenador utilizado de esta forma estimula at profesor en clase al comprobar que la efectividad depende de la destreza de los redactores del programa.

Los tres últimos usos que vamos a considerar tienen un aspecto en común. El ordenador, a través de sus programas almacenados, controla el proceso de aprendizaje del mismo mudo que el profesor en clase. Donde el microordenador tiene una potencia única entre los recursos de aprendizaje « en eí campo del aprendizaje centrado en el alumno, donde el alumno controla OÍ proceso de aprendizaje. Los dos usos finales que consideremos tratan de esto último.

5. Aprendizaje investigativo

Para el aprendizaje investigativo, la característica esencial du los programas de ordenador es que no existe una enseñanza directa. Depende del usuario el decidir cómo desea proceder.

Un ejemplo muy utilizado es el Logo, un lenguaje procedimental del ordenador desarrollado por Seymour Papert {ver Mindstorms2) que anima al niño a desarrollar la intuición geométrica. Sería demasiado largo explicar aquí en detalle cómo se estructura este lenguaje pero en su puesta en práctica más simple tiene tres características geométricas:

i) .El usuario puede dibujar una linea de longitud dada (sobre el monitor).

ii) El usuario puede cambiar, mediante un ángulo dado, la dirección que desea que siga la línea dibujada.

iii) Las combinaciones de i) y ii) pueden ser definidas por ,él usuario como funciones o sub-rutinas siendo entonces utilizadas en funciones o sub-ruunas posteriores.

Es iii) lo que le da su potencia al sistema. Por este medio, se pueden construir procedimientos notablemente complejos cuyos efectos no son fáciles de predecir. El programa no impone una secuencia de aprendizaje y no da instrucciones. Informa al usuario si éste es incapaz de ejecutar una instruc-

3 Paperr, S. 19S0: Minthtormy Harvcstcr Press.

EL ción por una ausencia de información, pero de otro modo es MÍCRÚÚ&lJFX.WOl paSlVO.

Logo es un sistema sofisticado y uno aprende según lo que haCC.

Sin embargo, las investigaciones pueden ser igualmente efectivas utilizando técnicas más simples, igual de simples que el modo de cálculo. Como ejemplo, consideremos el problema de localizar un punto o puntos P dentro de un exágono convexo ABCDEF, tal que la suma de las distancias desde P a los seis vértices sea mínima. Utilizando el ordenador para calcular la distancia total para varias posiciones de P en una variedad de exágonos, la naturaleza de la solución puede surgir por sí misma. Se daría entonces, si se desea, una explicación general. Tal enfoque investigativo con el uso del ordenador puede aumentar considerablemente el poder de razonamiento de los alumnos. Revistas tales como Micro Math* contienen ideas para trabajo de este tipo, incluyendo paquetes de software.

6. Et ordenador como tutor personal

Para muchos institutos esta posibilidad se encuentra en el futuro, pero existen ya muchos programas que indican que la distancia no es tan larga. Tales programas preguntan al alumno su nombre, su dirección, le permiten opinar sobre el tema que se está desarrollando y, en general, le permiten ejercer una influencia considerable sobre el procedimiento que sigue el programa. Cuando los tests se realizan bien, aparecen unas palabras apropiadas de felicitación o de ánimo, de forma escrita o, cada vez más frecuentemente, hablada. No está lejos el que tales sistemas sean un lugar común en los institutos. Con la llegada del habla se alcanzará el profesor sintético, lo que nos puede llevar a cuestionar las notas expuestas al comienzo de este capítulo.

El resto de este capítulo se dedica a los aspectos metodológicos y de planificación del programa en lo que se refiere al uso de! microordenador y en relación a las dificultades de aprendizaje.

El microordenador es un recurso de aprendizaje y, en muchos aspectos, se le aplican las mismas consideraciones que a cualquier otro recurso.

Gran parte de la discusión anterior supone la disponibilidad de estos aparatos en clase. Cuando esto no ocurra o su tiempo de utilización esté restringido a momentos específicos de la semana, sólo pueden ser posibles ciertos modos de uso; la demostración/exposición, por ejemplo, sólo necesita un microordenador y una pantalla de televisión. De igual forma.

la ausencia de un software conveniente puede impedir el desarrollo de algunos temas por esta vía.

Al considerar la utilización del microordenador en la cíase de matemáticas, surgen dos cuestiones inmediatamente:

a) ¿Cómo se decide cuándo usar el enfoque del ordenador? b) ;¿Cómo evaluar el software, en particular el producido

comercialmente?

a) A no ser que uno crea que cualquier terna matemático puede ser presentado mejor por medio del ordenador que por cualquier o t ro método, será necesario tomar decisiones respecto de lo apropiado que sean los temas para la presentación por ordenador. {Esto puede de* pender de la disponibilidad de un buen software, pero dejaremos este aspecto para b)). Una exposición didáctica correcta a través del monitor de televisión no es probable que mejore el mismo enfoque dado por el profesor en clase. La exposición de ecuaciones o fórmulas sobre un monitor no será más efectiva que sobre un retroproyector o una pizarra. Por otra parte, dondtí no se puedan conseguir de otro modo los efectos deseados —por ejemplo, en relación con las transformaciones geométricas—, el ordenador habrá de jugar un papel importante.

El uso del ordenador no disminuye por sí mismo las dificultades de aprendizaje a menos que la apreciación de tales dificultades venga contemplada en el software. Los microordenadores tienen demasiadas dificultades de manejo —¡existen más cosas que interrumpen que las presentes en un recurso escrito como el libro de texto! A no ser que los alumnos impriman su propio trabajo en el microordenador, no les quedará nada cuando termine la sesión. Su trabajo puede ser almacenado en disco o cinta pero no tiene un acceso fácil. Los ordenadores pueden también fomentar ei individualismo cuando se utilizan sobre la base de un único alumno. Esto se puede evitar agrupando a varios alumnos en torno a una máquina para animar la discusión y la actividad del grupo.

Aunque no se pueden fijar reglas definitivas para determinar cuándo un profesor debe adoptar un enfoque basado en el ordenador, sobre todo por la rapidez con que se desarrolla el software, es conveniente plantearse tas preguntas siguientes a este respecto:

i) ¿Qué puede conseguir el enfoque del ordenador que no se puede conseguir con otros medios más simples?

LA ENStfiWZA ÚY.

lASMATÉMÁ HCAS EL

ÍV£ICK00.UI*NAI>0R

ü) ¿Puede su tecnología interferir con el deseado aprendizaje matemático? —por ejemplo, las líneas del monitor pueden sugerir una sucesión de pequeñas etapas.

iii) Si se usa el modo de exposición/demostración, ¿es la resolución de la pantalla bastante buena? El modo de exposición ¿es más efectivo que otras ayudas visuales?

iv) Si se utiliza un modo interactivo con el alumno ¿cómo se puede asegurar el aprendizaje apropiado?

v) Admitiendo que también se utilizaran otros recursos escritos, ¿cómo se puede combinar el enfoque basado en el ordenador con el libro de texto o las fichas de trabajo?

b) La evaluación del software es bastante subjetiva para algunos, pero las preguntas siguientes proporcionan una base objetiva en las que basarse:

i) El programa ¿sobrevivirá a golpes arbitrarios en las teclas?

ii) ¿Qué desea conseguir? iii) ¿Consigue las metas establecidas? iv) ¿Es matemáticamente exacto? v) ¿Tiene extraños efectos colaterales —por ejemplo,

debidos a errores de redondeo o a la división por cero?

vi) ¿Cómo trata las principales dificultades de aprendizaje? viii) El programa ¿merece la pena?

Si todas estas preguntas son respondidas sausLutuiianicnte, queda considerar el estilo global del programa y cónm si* adecúa a otros trabajos matemáticos. Si un programa es excepcionalmente valioso puede valer la pena adaptarlo a otros aspectos de la enseñanza. Se dispone de muchas publicaciones de ayuda a los profesores respecto al uso de microordenadores tío ta dase de matemáticas — por ejemplo, Micro Math>.

No hay duda de que los ordenadores jugarán un papel cada vez más importante en !a enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Pese a que tienen ilmclio que nlrecer, uno debe conocer sus limitaciones y su efecto sobre la con q*visión infantil de las matemáticas.

Algunas de estas limitaciones han sido ya discutidas, pero existen ocras dos que merecen atención —los errores de redondeo y la comprobación.

? MkroMath - A Jc^mal oftke Afsociaticrt ofTeachen of Maúxmaúa. Blackwcil.

Los errorn* de redondeo son también un problema con las calculadoras, pero en los ordenadores pueden surgir resultados más sorprendentes que no son siempre fáciles de explicar. Como un ejemplo simple, consideremos a/(b<) donde b = 1,2377 y c = 1,2347. La diferencia b-c t* 0,003, pero redondeando b y c a 3 cifras significativas se produce una diferencia de 0,01, tres veces más grande. En un programa complejo donde los valores de b y c no son conocidos previamente, se puede obtener un resultado sin sentido s: no se tiene cuidado en la construcción del programa.

El tema de la demostración versus la comprobación por ordenador es una cuestión arraigada en los fundamentos. Aunque un cálculo por ordenador compruebe que un resultado se cumple para todos los números naturales hasta el el 10*, digamos, esto no es garantía de que el resultado sea cierto para todos los números naturales. Lo que es más, el análisis por odenador no da ninguna indicación de cómo se puede construir la demostración. Existen casos en que el análisis por ordenador lo proporciona pero tales casos son aquellos en que la demostración implica un chequeo muy largo pero finito de casos individuales. La demostración del famoso teorema de los cuatro colores es un ejemplo de ello, en el que está demostrado que el mapa i colorear puede ser reducido a un número finito de mapas básicos. Comprobando por ordenador este número finito» el teorema se establece para cualquier mapa.

Otra notable demostración de la diferencia entre el chequeo por ordenador y la demostración es la de Euclides, que afirma que existe un número infinito de números primos.

Supongamos que p es un número primo. Consideremos el número p! + 1 = 1.2.3... (p — l).p + lO bien, i) p! + 1 es primo, en cuyo caso es un número mayor que p, o it) es compuesto, en cuyo caso tiene un factor primo. Este factor no es 2,3 p ya que ninguno de ellos puede ser un factor de p! + I, por serlo todos de p!. Entonces el factor primo debe ser mayor que p, en cuyo caso también existirá un número primo mayor que p.

El* cálculo por ordenador sugerirá también que los números primos son más escasos a medida que se avanza en la secuencia numérica. La consideración de n! + m para m — 2,3,..., n demuestra que la diferencia entre primos consecutivos puede hacerse tan grande como se desee, un hecho no abierto a la verificación del ordenador.

Exponer las limitaciones de un enfoque basado en el ordenador no es arrojar un jarro de agua fría sobre sus utilidades en los procesos de aprendizaje, sino ayudar a planificar este versátil recurso en el programa de aprendizaje

El globaL Esperar que el programa de ordenador no* sustituya WCTOO* DfN A non en la enseñanza es —como con todos los recursos en

general— un camino seguro para la desilusión.