5 Sistemas de Ecuaciones Lineales SEL

7/31/2019 5 Sistemas de Ecuaciones Lineales SEL

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Solucion de un Sistema Lineal Metodos Directos Metodos Iterativos

Resolucion de Sistema de Ecuaciones Lineales

Hermes Pantoja Carhuavilca

Facultad de Ingeniera IndustrialUniversidad Nacional Mayor de San Marcos

Metodos Computacionales

Hermes Pantoja Carhuavilca Resolucion de Sistema de Ecuaciones Lineales
http://find/http://goback/


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Contenido

1

Solucion de un Sistema LinealIntroduccionNociones ElementalesSELTeorema de Rouche-Frobenius

Ejemplos2 Metodos Directos

Eliminacion GaussianaEliminacion Gaussiana con PivoteoCotas de Error

Factorizacion LU3 Metodos Iterativos

Metodo de JacobiMetodo de Gauss Seidel

ConvergenciaHermes Pantoja Carhuavilca Resolucion de Sistema de Ecuaciones Lineales


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Introduccion

Aplicaciones de los Sistemas Lineales

La solucion de sistemas lineales de ecuaciones lineales es un temaclasico de las matematicas, rico en ideas y conceptos y de granutilidad en diversas ramas del conocimiento como la biologa,

fsica, psicologa, economa, etc. La resolucion de sistemas de casicualquier numero de ecuaciones (10, 100, 1000, etc) es unarealidad hoy en dia gracias a las computadoras, lo cual proporcionaun atractivo especial a las tecnicas de solucion directa e iterativas.

Una red electrica.



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Introduccion




Una red electrica.

Una red de calles.


S l i d Si Li l M d Di M d I i


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Introduccion




Una red electrica.

Una red de calles.

La ecuacion del calor.


S l i d Si t Li l Mt d Di t Mt d It ti


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Nociones Elementales

Nociones Elementales de Matrices

a11 . . . a1n...

. . ....

am1 . . . amn

A = [aij] aij : i = i. . . m; j = 1 . . . nA es de orden m n; si m = n A se dice que es una matrizcuadrada. Para matrices cuadradas de orden n:

D = [dij] Matriz diagonal si dij = 0, para todo i= j




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a11 . . . a1n...

. . ....

am1 . . . amn



Ademas si dii = 1, se llama matriz identidad I.




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a11 . . . a1n...

. . ....

am1 . . . amn



Ademas si dii = 1, se llama matriz identidad I.U = [uij] es una matriz triangular superior cuando uij = 0,para todo i > j




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a11 . . . a1n...

. . ....

am1 . . . amn



Ademas si dii = 1, se llama matriz identidad I.U = [uij] es una matriz triangular superior cuando uij = 0,para todo i > j

L = [lij] es una matriz triangular inferior cuando lij = 0, paratodo i < j




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SEL

Solucion de un Sistema Lineal

Escribiremos un sistema lineal de m ecuaciones con nincognitas x1, x2, . . . , xn, en la forma

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1,a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2,...

...am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm,

Ax = b

A : Matriz de coeficientes;x = (x1, x2, . . . , xn)T; b = (b1, b2, . . . , nn)

T

Sistema Homogeneo (No Homogeneo): si b=0 (si b= 0)




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Solucion de un Sistema Lineal Metodos Directos Metodos Iterati os

Teorema de Rouche-Frobenius

Definicion (Teorema de Rouche-Frobenius)

Sistema Compatible

Compatible Determinado

Si rang(A)=rang(A|b)=nCompatible Indeterminado

rang(A)=rang(A|b)< nSistema Incompatible

No tiene Solucion

Si rang(A)

= rang(A

|b)




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Ejemplos


Un Ejemplo Incompatible




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Ejemplos


Un Ejemplo Compatible indeterminado




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Ejemplos


Un Ejemplo Compatible indeterminado

Un Ejemplo Compatible determinado




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Ejemplos

Sistema de ecuaciones mal condicionadas

Una pequena desviacion en las entradas de la matriz A, causa unagran desviacion en la solucion.

Ejemplo




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Generalidades sobre metodos directos

Encuentra una solucion en un numero finito de operaciones(enausencia de errores de redondeo) transformando el sistema enun sistema equivalente que sea mas facil de solucionar.




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Generalidades sobre metodos directos

Encuentra una solucion en un numero finito de operaciones(enausencia de errores de redondeo) transformando el sistema enun sistema equivalente que sea mas facil de solucionar.

Triangulares (Superior o Inferior), Diagonales, .




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Eliminacion Gaussiana


Usando Operaciones Elementales por Renglones (OER), lamatriz A es transformada en una matriz triangular superior(todos los elementos debajo de la diagonal son cero).




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Sustitucion hacia atras es usada para resolver un sistema

triangular superior




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Sustitucion hacia atras es usada para resolver un sistema

triangular superior




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Primer Paso de Eliminacion




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Segundo Paso de Eliminacion




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Sustitucion Regresiva




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Algoritmo




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Ejemplo

Ejemplo

Utilizando Eliminacion Gaussiana resolver:3x1 + 2x2 + 4x3 = 1

x1 + x2 + 2x3 = 24x1 + 3x2 2x3 = 3




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Ejemplo




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Eliminacion Gaussiana con Pivoteo


Computadoras usan precision aritmetica finita.




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Pequenos errores son introducidos en cada operacionaritmetica, propagacion de errores



Eli i i G i Pi


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Cuando los elementos pivotales son muy pequenos, losmultiplicadores podran ser muy grandes.



Eli i i G i Pi t


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La adicion de numeros de magnitud diferente puede conducira la perdida de significacion.





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La adicion de numeros de magnitud diferente puede conducira la perdida de significacion.

Para reducir el error, se realiza intercambio de filas paramaximizar la magnitud del elemento pivotal.





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Pivoteo

Ejemplo (Sin Pivoteo)





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Pivoteo

Ejemplo (Con Pivoteo)





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Procedimiento con Pivoteo





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Pivoteo por Filas

Mas comunmente llamado procedimiento de pivoteo parcial.





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Pivoteo por Filas


Busque la columna pivotal.





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Pivoteo por Filas



Encuentre el mas grande elemento en magnitud.





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Pivoteo por Filas



Encuentre el mas grande elemento en magnitud.

Luego intercambie esta fila con la fila pivotal.





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Pivoteo por Filas





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Ejemplo de Pivoteo por Filas





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Pivoteo Completo





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Ejemplo de Pivoteo Completo



Cotas de Error


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Norma Vectorial

Una norma vectorial en Rn es una funcion ||.||, de Rn en R con lassiguientes propiedades:

||x

|| 0 para todo x

Rn.



Cotas de Error


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Norma Vectorial


||x

|| 0 para todo x

Rn.

||x|| = 0 si y solo si x = (0, 0, ..., 0)t.



Cotas de Error


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Norma Vectorial


||x

|| 0 para todo x

Rn.

||x|| = 0 si y solo si x = (0, 0, ..., 0)t.||ax|| = |a|||x|| para todo a R y x Rn.



Cotas de Error


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Norma Vectorial


||x

|| 0 para todo x

Rn.

||x|| = 0 si y solo si x = (0, 0, ..., 0)t.||ax|| = |a|||x|| para todo a R y x Rn.||x + y| | | |x|| + ||y|| para todo x, y Rn.

Para nuestro proposito solo necesitaremos dos normas especficasde Rn



Cotas de Error

V Rn


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Vector en Rn

El vector

x =

x1

x2...xn

Se denotara por: x = (x1, x2, . . . , xn)

t



Cotas de Error

D fi i i


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Definiciones



Cotas de Error

Ej l


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Ejemplo

Ejemplo

El vector x = (1, 1,2)t en R3 tiene normas||x||2 =

(1)2 + (1)2 + (2)2 = 6

||x|| = max{| 1|, |1|, | 2|} = 2



Cotas de Error

D fi i i


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Definiciones

Si x = (x1, x2, . . . , xn)t y y = (y1, y2, . . . , yn)

t son vectores en Rn

las distancias l2 y l entre x e y estan definidas por

||x y||2 =

ni=1

|xi yi|21

2

||x

y|| = max1in

|xi

yi|



Cotas de Error

N M t i i l


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Norma Matricial

Una norma matricial en Rnn es una funcion

||.

||, de Rnn en R

con las siguientes propiedades:

||A|| 0 para todo A Rnn.



Cotas de Error

Norma Matricial


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Norma Matricial


||.

||, de Rnn en R


||A|| 0 para todo A Rnn.||A|| = 0 si y solo si A es 0.



Cotas de Error

Norma Matricial


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Norma Matricial


||.

||, de Rnn en R



||A

||=

|

|||A

||para todo

R y A

Rnn.



Cotas de Error

Norma Matricial


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Norma Matricial


||.

||, de Rnn en R



||A

||=

|

|||A

||para todo

R y A

Rnn.

||A + B| | | |A|| + ||B|| para todo A, B Rnn.



Cotas de Error

Norma Matricial


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Norma Matricial


||.

||, de Rnn en R



||A

||=

|

|||A

||para todo

R y A

Rnn.

||A + B| | | |A|| + ||B|| para todo A, B Rnn.||AB| | | |A||||B||

Teorema (Norma Matricial)

Si A = (aij) es una matriz de n n, entonces

||A|| = max1inn

j=1

|aij|



Cotas de Error


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Teorema

Si A es una matriz real de n n entonces[(A

t

.A)]1

2 = ||A||2(A) ||A|| para cualquier norma ||.||



Cotas de Error

Criterios de Parada


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Criterios de Parada

Una vez fijada una toleracia , para cuando se cumpla uno o variosde los siguientes criterios:

||x(k+1) x(k)|| < ||x(k+1) x(k)||

||x(k+1)|| <

||Ax(k) b|| <



Cotas de Error

Condicionamiento de un sistema lineal


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Sabemos que el condicionamiento influye en la calidad de la

solucion de un problema cualquiera. En particular, en el problemade hallar la solucion de un sistema lineal nos encontramos con queal comparar el valor exacto del termino independiente de unsistema con el calculado puede haber discrepancias. En concreto,definiendo el vector residual r en la forma

r = b ben donde b es el valor calculado.

Teorema

Si A es una matriz invertible, se verifica1 ||x x| | | |r||||A1||2||x x|||x|| ||A|||A

1||| ||r||||b||Hermes Pantoja Carhuavilca Resolucion de Sistema de Ecuaciones Lineales


Cotas de Error



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Definicion

Se denomina numero de condicionamiento de una matriz al numero

k(A) = ||A||||A1||

Si k(A) es pequeno, se dice que la matriz A esta biencondicionada, si es grande que A esta mal condicionada.



Cotas de Error

Ejemplo


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Ejemplo



Factorizacion LU

Algoritmo de la factorizacion LU


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Descomposicion de una matriz como producto de dos triangulares

Supongamos que la matriz de un sistema Ax = b se puededescomponer como A = LU, con L triangular inferior y Utriangular superior.

LUx = b, Ly = b, Ux = y



Factorizacion LU



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g




Teorema

Una matriz cuadrada A es factorizable LU si y solo si en el

algoritmo de Gauss para encontrar una matriz escalonada por filasque sea equivalente por filas a la matriz A no es necesario aplicaroperaciones elementales ( de filas).



Factorizacion LU



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g




Teorema

Una matriz cuadrada A es factorizable LU si y solo si en el

algoritmo de Gauss para encontrar una matriz escalonada por filasque sea equivalente por filas a la matriz A no es necesario aplicaroperaciones elementales ( de filas).



Factorizacion LU

Diferentes Formas de Factorizacion


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Factorizacion LU

Forma de Doolitle(Algoritmo)


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( g )



Factorizacion LU

Forma de Crout


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Calculo de la primera columna de L li1 = ai1

Calculo de la primera fila de U u1j =a1jl11

Calculo alternado de las columnas de L y filas de U

lij = aijj1k=1

likukj j i, i = 1, 2, . . . , n

uij =aij

i1

k=1 likukj

liii j, j = 2, 3, . . . , n



Factorizacion LU


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Factorizacion LU

Descomposicion de Cholesky


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Descomposicion de Cholesky. Sea A una matriz simetica ydefinida positiva, existe una unica matriz triangular inferior L conlii > 0 tal que

A = LLT

Esto es

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n..

.

..

.

. . ...

.an1 an2 . . . ann

=

l11 0 0 0l21 l22 . . . 0..

.

..

.

. . ...

.ln1 ln2 . . . lnn

l11 l12 . . . l1n0 l22 . . . l2n..

.

..

.

. . ...

.0 0 . . . lnn



Factorizacion LU



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Note que

a11 = l211

l11 =

a11

l11 es un numero real positivo ya que a11 > 0 por que A esdefinida positiva.

ai1 = li1l11

li1 =

ai1

l11



Factorizacion LU



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Como

aij = li1lj1 + li2lj2 + . . . + lijljj; j = 1, 2, . . . , i 1

luego

lij =

aijj1k=1

likljk

ljj; j = 1, 2, . . . , i

1



Factorizacion LU



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Ademasaii = l

2i1 + . . . + l

2ii

lo que implica

lii =

aii

i1k=1

l2ik

12



Factorizacion LU

Descomposicion de Cholesky-MatLab


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Factorizacion LU

Ejemplo:


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EjemploDada la matriz A

A =

6 15 5515 55 225

55 225 979

Factorizar utilizando descomposicion de Cholesky.

Solucion:

A es simetrica y definida positiva, en efecto:det(6) > 0;

det

6 1515 55

= 105 > 0

det(A) = 3920 > 0



Factorizacion LU


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Metodos Iterativos


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La ventaja frente a los metodos directos es que son menos

sensibles a los errores de redondeo y esto se aprecia en sistemas deorden elevado donde los errores de redondeo de los metodosdirectos son considerables.



Definicion de Metodo Iterativo

( )


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Un metodo iterativo construye una sucesion de vectores x(k) tal

que lmk

x(k) = x

siendo x la solucion del sistema Ax = b.

Construccion de un metodo iterativo

Se parte de una aproximacion inicial x(0) y luego se calcula

x(k+1) = F(x(k)) k = 0, 1, . . . ,

donde F se toma de forma lineal: F(x) = Tx + c.

x(k+1) = Tx(k) + c k = 0, 1, . . . ,

La matriz T se denomina matriz de iteracion.



Diferentes Metodos Iterativos


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Metodo de JacobiMetodo de Gauss-Seidel



Metodo de Jacobi

Metodo de Jacobi


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El metodo Jacobi es el metodo iterativo para resolver sistemas de

ecuaciones lineales mas simple y se aplica solo a sistemascuadrados, es decir a sistemas con tantas incognitas comoecuaciones.



Metodo de Jacobi

Metodo de Jacobi


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Metodo de Jacobi

Forma Matricial


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Sea el sistema Ax = b, donde

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

......

. . ....

an1 an2 . . . ann

trabajamos sobre la siguiente particion de A:

D =

a11 0 . . . 0

0 a22. .

.

..

.......

. . . 00 . . . 0 ann

, L =

0 0 . . . 0

a21 0 . . . 0... ... . . . ...an1 an2 . . . 0



Metodo de Jacobi


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U =

0

a12

...

a1n

0 0 . . . a2n...

.... . .

...0 0 . . . 0

De tal forma que:

A = D L U

x(k+1) = D1(L + U)x(k) + D1b

Tj = D1(L + U), Matriz de Iteracion de Jacobi

c = D1b



Metodo de Jacobi

Ejemplo


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Ejemplo

Sea el sistema

7 68 9

x1x2

=

34

Aproximar la solucion utilizando el metodo de Jacobi. x01 = 0 yx02 = 0

Hermes Pantoja Carhuavilca Resolucion de Sistema de Ecuaciones Lineales Solucion de un Sistema Lineal Metodos Directos Metodos Iterativos

Metodo de Gauss Seidel


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El metodo de Gauss-Seidel es muy semejante al metodo de Jacobi.Mientras que en el de Jacobi se utiliza el valor de las incognitaspara determinar una nueva aproximacion, en el de Gauss-Seidel se

va utilizando los valores de las incognitas recien calculados en lamisma iteracion, y no en la siguiente.





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Ejemplo


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Ejemplo

Sea el sistema

7 68 9

x1x2

=

34

Aproximar la solucion utilizando el metodo de Gauss Seidel. x01 = 0y x02 = 0



Forma Matricial


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A = D L U

x(k+1) = (D L)1Ux(k) + (D L)1bTgs = (D L)1U, Matriz de Iteracion de Gauss Seidelc = (D

L)1b


Convergencia

Convergencia


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Definicion

A es de diagonal estrictamente dominante si para cada fila i secumple:

|aii| >n

j=1;j=i|aij|

Una matriz se dice matriz diagonalmente dominante, si en cadauno de los renglones, el valor absoluto del elemento de la diagonalprincipal es mayor que la suma de los valores absolutos de loselementos restantes del mismo renglon. A veces la matriz de unsistema de ecuaciones no es diagonalmente dominante pero cuandose cambian el orden de las ecuaciones y las incognitas el nuevosistema puede tener matriz de coeficientes diagonalmentedominante.


Convergencia

Teorema


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Si A es una matriz diagonalmente estrictamente dominante,entonces la iteracion de Jacobi y de Gauss Seidel converge paracualquier valor inicial

En ciertas ocasiones al aplicar Jacobi o Gauss Seidel la matriz noes diagonalmente dominante y por tanto no existira garanta deconvergencia. Sin embargo, en algunos casos sera posible reordenarlas incognitas en otra manera de forma que la nueva matriz decoeficientes sea diagonalmente dominante. Esto se puede detectarrevisando todos los posibles ordenamientos de las incognitas y ver

como es la matriz resultante. Claro que esto conlleva un buenonumero de pruebas pues el numero posible de ordenamientos en nvariables es (n 1)! pero cuando n es reducido es sencillo.


Convergencia


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Definicion (Polinomio Caracterstico)P() = det(A I)


Convergencia


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Definicion (Espectro)

Se llama espectro de la matriz A al conjunto de soluciones dela ecuacion P() = 0


Convergencia


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Definicion (Espectro)

Se llama espectro de la matriz A al conjunto de soluciones dela ecuacion P() = 0

Definicion (Radio Espectral)

Radio espectral de la matriz A: (A) = Max{|

|},


Convergencia


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TeoremaLa sucesion x(k+1) = Tx(k) + c, para k 0 converge a la solucionunica x = Tx + c si y solo si (T) < 1.

EjemploAnalizar la convergencia del siguiente sistema lineal

x1 + x2 = 3x1 3x2 = 3


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