5. SISTEMAS DISCONTINUOS Y NO LINEALES....y amplificación en sistemas de control presenta frente a...

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 5 - pág. 5-1

5. SISTEMAS DISCONTINUOS Y NO LINEALES. 5.1. Empleo de elementos conmutantes en sistemas de control.

El empleo de conmutadores (relés, transistores, tiristores, etc.) como elementos de accionamiento y amplificación en sistemas de control presenta frente a sus contrapartes lineales, las ventajas de un menor costo, un mayor rendimiento y una menor complejidad en su implementación. La Fig. 5.1. muestra el principio de funcionamiento de un relé electromecánico, indicándose en la gráfica la tensión sobre la carga como función de la tensión de la bobina de control. Se observa que por medio de la apertura o cierre de su contacto el relé comanda una potencia

20 0 /

LP V R= .

Fig. 5.1. Relé electromecánico. Las tensiones de cierre (v11) y apertura (v12) del relé son diferentes entre sí, debido a la dependencia de la fuerza de atracción magnética con respecto de la posición del contacto, como asimismo por la existencia de fricción y juego entre los elementos mecánicos. La potencia de accionamiento p1 = i1⋅v11 define junto con P0 la amplificación de potencia, que normalmente se encuentra en las cercanías de 103, del relé concebido como amplificador electromecánico.

Se observa que el concepto de ganancia o amplificación diferencial 2

1

dvK

dv= comúnmente

aplicado a elementos lineales, carece en este caso de significado. En consecuencia no serán aplicables los métodos de al teoría de control lineal. Para sistemas no lineales no se posee una teoría cerrada de aplicación general –como ocurre para los sistemas lineales–, sino que cada caso deberá ser tratado (en mayor o menor medida) en forma aislada e individual. Sin embargo, son tantas las ventajas derivadas del empleo de elementos no lineales en sistemas de control, que resultan aceptables las mayores dificultades teóricas requeridas para su tratamiento. La Fig. 5.2 muestra las características de corriente de colector de un transistor y permite comparar su rendimiento operando como elemento de conmutación con el rendimiento obtenible del mismo operando como amplificador lineal (50% como máximo en régimen senoidal). La transición desde la condición de corte a la de saturación ha de ser lo suficientemente rápida a fin de evitar el sobrecalentamiento del transistor.

v12 v11


Fig. 5.2. Transistor en conmutación.

La sustitución del transistor por tiristores permite llevar la potencia conmutada al orden de los kilovatios y aún de los megavatios, de modo que también grandes motores, hornos de inducción, etc., pueden ser operados mediante conmutaciones periódicas de la fuente primaria de energía. El principio de la conmutación puede ser realizado empleando componentes mecánicos e hidráulicos (embragues, válvulas, etc.) con las consiguientes ventajas frente a sus contrapartes lineales. Una ventaja adicional de los elementos de conmutación es que son fácilmente combinables con sensores. Tal es el caso por ejemplo, de los elementos bimetálicos empleados en controladores térmicos, o la inclusión de contactos conmutadores en instrumentos de medición.

5.1.1. Linealización por accionamiento periódico.

Si se desea linealizar un actuador discontinuo, puede resultar interesante la idea de accionarlo en forma periódica de manera tal de posibilitar una variación continua del valor medio de su señal de salida:

2 2 2

1( )

t T

tv V v d

Tτ τ

+= = ∫ (5.1)

La Fig. 5.3 muestra una posible realización, en la que el contacto K es conmutado a la frecuencia f = 1/T entre las tensiones V01 y V02:

Fig. 5.3. Conmutación modulada por ancho de pulso.


Haciendo T = t1 + t2 resulta para el valor medio de la tensión de salida suponiendo un conmutador ideal (es decir con tiempo de conmutación nulo):

( )1 2 12 2 01 02 02 01 02

t t tv V V V V V V

T T T= = + = + − (5.2)

obteniéndose así una relación lineal de 2v con el ciclo de trabajo t1/T.

Fig. 5.4. Valor medio vs. ciclo de trabajo.

La conversión de una señal continua de comando y1(t) en el ciclo de trabajo variable t1/T, es realizada mediante un generador de pulsos, también llamado modulador de ancho de pulso, del que la Fig. 5.5 muestra el principio cualitativo de funcionamiento como asimismo una posible realización práctica.

Fig. 5.5. Modulador de ancho de pulso.

La señal de salida periódica del actuador (v2:=y2) contiene además del valor medio controlado 2v

fuertes componentes armónicas, dependientes del ciclo de trabajo (t1/T) y con frecuencias 1/T, 3/T, 5/T,... Al objeto de que estas armónicas originadas por el actuador no aparezcan amplificadas en la variable de salida del sistema controlado, la planta ha de poseer una respuesta en frecuencia de tipo pasa bajos; de esta manera solamente la componente media de la señal de actuación tendrá efectos sobre la variable controlada. El amortiguamiento de las componentes armónicas será suficiente si se cumple la siguiente relación entre la constante de tiempo dominante Td de la planta y el período de conmutación T:

5dT

T≥ (5.3)


dependiendo en cada caso el valor exacto, de la naturaleza de la planta controlada. Para actuadores eléctricos (semiconductores) que operan a frecuencias de conmutación de 50 ó 400 Hz, el requerimiento Td / T ≥ 5 puede satisfacerse sin dificultades; distinto es el caso para los conmutadores electromecánicos que, por razones de desgaste, admiten frecuencias de operación mucho menores. Bajo la premisa de una frecuencia de conmutación suficientemente elevada, el modulador y actuador conmutado pueden considerarse reducidos a un elemento proporcional y cuasi-continuo, tal como se indica en la Fig. 5.6.

Fig. 5.6. Linealización.

La función de transferencia 31

1

( )( )

( ) P

Y sK F s

Y s= ⋅ ,

es válida solamente en el dominio de baja frecuencia, debiendo siempre ser tenidas en cuenta las componentes alternas presentes en la señal y2(t). En conmutadores de alta potencia (rectificadores controlados), las tensiones V01 y V02 son tensiones alternas, resultando la tensión de salida v2(t) compuesta por tramos de tensión de línea desplazados entre sí. La figura siguiente muestra el caso más simple, dado por un puente de rectificadores alimentando el circuito de inducido de un motor de corriente continua. Aquí vale v01 = –v02 = vl (tensión de línea), siendo conmutados una vez por semiperíodo en forma simultánea dos rectificadores del puente diagonalmente opuestos.

El valor medio de la tensión de salida depende del ángulo de encendido α, a través de la expresión

Y1(s) Y2(s) Y3(s)

K FP(s)

Fig. 5.7. Motor de CC alimentado por puente de tiristores.


2

2ˆ cos( )

lv v α

π= . (5.4)

Ya que el controlador de encendido de los tiristores opera en sincronismo con la red, suele ser denominado modulador de fase de pulsos. Los rectificadores normalmente empleados en la industria son circuitos polifásicos: sin embargo este hecho no modifica sustancialmente su forma de operación. 5.1.2. Algunos circuitos conmutadores.

Hemos visto que, bajo el supuesto de trabajar a una frecuencia de conmutación suficientemente elevada, modulador y conmutador pueden considerarse como un elemento proporcional de ganancia constante. Con el agregado de un compensador previo, normalmente necesario para la consecución de las especificaciones impuestas al comportamiento de la variable controlada, se obtiene la estructura de lazo abierto que muestra la Fig. 5.8.

Fig. 5.8. Sistema discontinuo de lazo abierto.

Consideraciones de tipo práctico pueden a veces hacer conveniente la inclusión del modulador y conmutador en el lazo de realimentación del compensador (Fig. 5.9). Será entonces necesario que F1(s) posea característica de pasa bajos, lo que hará aparecer ceros en la función de transferencia del compensador, hecho que normalmente es deseado. De no ser éste el caso, siempre podrán conectarse redes de retraso a la entrada del compensador, que anulen el adelanto introducido por 1/ F1(s).

Fig. 5.9. Conmutador y compensador integrados.

F1(s)

Y1(s)

F1(s)

X2(s)

FC ≈≈≈≈ 1/ F1(s)


Aplicaremos el principio expuesto, analizando el funcionamiento de un circuito empleado muy frecuentemente:

Fig. 5.10. Características del modulador y formas de onda. Un amplificador en contrafase, cuya característica corriente de entrada vs. tensión de salida (v2,i0) se muestra en la Fig. 5.10, es realimentado positivamente a través de la red Rm, Cm. Como se puede deducir del diagrama de bloques adjunto, el circuito es inestable si se cumple que

0 1m

RK

R= > (5.5)

en cuyo caso, se generan oscilaciones cuyo período se puede calcular en base a:

1

2

/201 10

/20 11 10

(0)

( )

m

m

t TC

m

t TC

m

V vi e I

R

V v ti e I

R

−

−

−+ ⋅ =

+− ⋅ = −

(5.6)

El valor intermedio de la tensión sobre el condensador es:

( )1 1/ /1 20( ) (0) 1 ;m mt T t T

C Cv t v e e V

− −= ⋅ + − ⋅ (5.7)

además, debido a la periodicidad del proceso resulta

( )2 1/ /1 2 1 20( ) ( ) (0) ( ) 1 .m mt T t T

C C C Cv T v t t v v t e e V

− −= + = = ⋅ − − ⋅ (5.8)

Operando sobre las expresiones (5.6) a (5.8) y luego de algunos cálculos se obtiene,

1m

m m

sC

sC R+

200

10

V

IR = i1 + i0 v2

+ im


1 10 1 10

1 10 1 101 2 1 2

1 22

1 10

(2 / 1)(1 / )ln

(2 / 1)(1 / )

4 ( 1)ln 1

1 ( / )

K i I i I

K i I i It t t t

t t T K K

i I

− − + + − −− − = =

+ −+ −

(5.9)

21 10

1 1 1

4 ( 1)ln 1

1 ( / )m

fT T K K

i I

= = ⋅ −

+ −

(5.10)

Los gráficos correspondientes a las funciones (5.9) y (5.10) se muestran en la Fig. 5.11.

Fig. 5.11. Valor medio y frecuencia normalizados para el controlador de la Fig. 5.10.

Para i1 = 0 se origina una forma de onda de tensión v2 aproximadamente rectangular y simétrica (t1/T = 0.5) de frecuencia máxima f0=1/Tm⋅ln[1+4K(K–1)]. Para i1 = ± I10 desaparece la oscilación pues el oscilador permanece saturado en una u otra dirección. El amplificador realimentado resulta así un modulador de ancho de pulso de frecuencia variable; como la red de realimentación no conduce componente continua alguna, el amplificador puede ser empleado para generar la función de transferencia del controlador que se desee por medio de una oportuna realimentación negativa. La figura 5.12 muestra una aplicación de lo que se acaba de exponer, donde el modulador excita dos transistores de potencia que cierran el circuito de alimentación del campo a doble bobinado de una excitatriz (generador) de corriente continua.

Fig. 5.12. Control de una excitatriz de CC.

[F1(s)]


La fuerza magnetomotriz media en el generador,

( ) 1 21 2e e

e

E t tF N i i N

R T

−= − = (5.11)

resulta una transformación lineal de la característica 1 21 vs

t ti

T

− de la Fig. 5.11. Las bobinas

de choque L1 y L2 desacoplan los bobinados de campo filtrando al mismo tiempo las corrientes; los diodos D1 y D2 impiden la aparición de picos de sobretensión sobre los transistores durante la conmutación de los mismos. La red de realimentación negativa F1(s) conduce a una función de transferencia tipo PID para el controlador. La constante de tiempo R1C1 ha de ser lo suficientemente elevada como para evitar que la realimentación negativa perturbe la frecuencia de oscilación del modulador. La siguiente figura, muestra la respuesta al escalón de un controlador PID con amplificador de potencia modulado por ancho de pulso. La frecuencia de conmutación de los transistores de potencia se encuentra normalmente en el orden del centenar de Hertz.

Fig. 5.13. Respuesta al escalón de un PID conmutado.

5.2. Controladores biestables.

Para un conjunto de componentes conmutados, tales como interruptores, motores de posicionamiento, quemadores de fuel-oil, etc., no se puede cumplir con el requisito de operar a una frecuencia de conmutación elevada respecto del retardo dominante de la planta, ya que el desgaste, las pérdidas de conmutación y las solicitaciones a las que se somete la planta pueden alcanzar magnitudes inacepables, pues los citados valores se incrementan con la frecuencia de operación. El requerimiento de una frecuencia de conmutación adaptada a las necesidades del sistema puede ser cumplido haciendo que la planta misma sea la que determine dicha frecuencia. El


resultado de la aplicación de esta idea es la aplicación de los denominados controladores biestables. Como ahora la frecuencia de conmutación es baja, no es posible emplear los conceptos de linealización del valor medio, por lo que el tratamiento matemático del problema se ve inevitablemente complicado. Sin embargo las principales propiedades de un sistema de control de este tipo, pueden ser deducidas a partir del análisis de un sistema idealizado. 5.2.1. Ejemplo de análisis.

La Fig. 5.14 muestra un sistema de control, cuyo compensador y actuador están constituidos por un conmutador de dos estados con histéresis y cuya planta se considera aproximada por una función de transferencia de tipo proporcional con tiempo muerto y retardo de primer orden,

( )1

mT s

e

eG s K

T s

−

=+

que como sabemos es una buena aproximación a muchas funciones de

transferencia de procesos. Supondremos constante la perturbación z(t).

Fig. 5.14. Lazo con controlador biestable.

El sistema es controlable para valores de la variable comando x1 pertenecientes al dominio 02 1 01K y z x K y zδ δ+ + < < + − ; (5.12)

para valores de x1 fuera de estos límites, el sistema permanece saturado en uno u otro sentido, es decir 2 2 max 01 2 2 min 02 o bien x x K y z x x K y z= = + = = + . (5.13)

Para x1 , z1 constantes la variable de salida describe una oscilación periódica, cuyos parámetros son calculables en base a la Fig. 5.15.

( )

( )

( )

( )

1

2

1 2 min 01 2 min

2 max 1 01 1

1 2 max 02 2 max

2 min 1 02 1

1

1

1

1

m

e

m

e

m

e

m

e

t T

T

T

T

t T

T

T

T

x x K y z x e

x x K y z x e

x x K y z x e

x x K y z x e

δ

δ δ

δ

δ δ

−−

−

−−

−

+ = + + − −

= + + + − − −

− = + + − −

= − + + − + −

(5.14)


Fig. 5.15. Oscilación de las variables.

Supondremos en lo que sigue que 01 02; y que m eK y K y T Tδ δ por lo que las

funciones exponenciales pueden ser reemplazadas por sus aproximaciones de primer orden

1m

e

T

T m

e

Te

T

−

≈ − (5.15)

Luego el valor medio de la variable controlada es

( ) 01 022 2 max 2 min 1

11

2 2m m m

e e e

T T y y Tx x x x K z

T T T

+= + ≈ − + +

; (5.16)

el error medio actuante resulta

01 021 2 1 2

m

e

T y yx x x K z

Tε + = − ≈ − −

(5.17)

anulándose para

01 0210 2

y yx K z

+= + ; (5.18)

para este valor x1 = x10, es t1 = t2 y x2(t) describe una oscilación simétrica. La ganancia efectiva de lazo cerrado, definida como

2

1

1 1m

e

x T

x T

∂= − <

∂ (5.19)

indica que el controlador biestable posee un efecto proporcional. Poniendo en forma equivalente a un sistema lineal


2

1 1A

A

x K

x K

′∂=

′∂ + (5.20)

resulta la ganancia de lazo abierto para el control biestable

1eA

m

TK

T′ = − , (5.21)

luego el sistema trabaja con tanta mayor precisión cuanto menor pueda hacerse la relación Tm/Te. Ésta es sin embargo una propiedad de la planta y no del controlador. El ancho 2δ de la histéresis del controlador no aparece en el precedente análisis simplificado. Se deduce para la amplitud de oscilación de x2(t)

( ) 01 022 2 max 2 min

11

2 2

m m

e e

T T

T Ty yx x x e K eδ

− − −∆ = − = + −

(5.22)

o bien, para m e

T T

01 022 1

2m m

e e

T y y Tx K

T Tδ −

∆ ≈ − +

(5.23)

∆x2 resulta independiente del punto de operación (x1) y de la perturbación (z). Los principales parámetros que la influencian son la amplitud de la histéresis y la capacidad de actuación K(y01–y02).

Si x2 es la variable de salida del sistema (o variable controlada final), ∆x2 deberá ser lo más pequeña posible. Si en cambio x2 es una variable intermedia, es tolerable una mayor amplitud de oscilación, ya que la misma será atenuada por los siguientes componentes de la planta, en el supuesto que éstos posean característica pasabajos de respuesta en frecuencia. Reemplazando las exponenciales por sus aproximaciones y suponiendo nula la perturbación (z=0), se obtienen las pendientes “medias”

2 01 11

2 02 12

0 en el intervalo

0 en el intervalo

e

e

dx Ky xt

dt T

dx Ky xt

dt T

−≈ >

−≈ <

(5.24)

en base a lo cual se deducen las formulaciones aproximadas de los tiempos de conmutación

2 21 2

01 1 1 02

2 2 y

e e

x xt T t T

Ky x x Ky

∆ ∆≈ ≈

− −, (5.25)

siendo la frecuencia de operación

( )( )

( )01 1 1 02

1 2 2 01 02

1 1 1

2e

Ky x x Kyf

T t t T x K y y

− −= = ≈

+ ∆ −. (5.26)

La frecuencia se anula cuando uno de los factores del numerador de (5.26) desaparece, es decir al producirse la saturación del controlador. La frecuencia es máxima para ∂f /∂x1 = 0, lo que se verifica para x1=K(y01+y02)/2, es decir en el centro del dominio de control. Dicho máximo vale:


( )( )01 02

18

4o

e m

m

fT T

TK y y

δ≈

−+

−

. (5.27)

Fig. 5.16. Variación de la frecuencia de oscilación.

Como puede observarse, el comportamiento dinámico de los lazos de control biestables es, en principio, fácil de calcular. Debido a la no-linealidad no es posible concebir una respuesta normalizada “al escalón unitario” tal como se acostumbra al tratar con sistemas lineales. La Fig. 5.16 muestra la respuesta transitoria de x2 ante diferentes variaciones en escalón de la variable de referencia x1. Como la variable manipulada posee solamente dos estados posibles, x2 sigue la misma función exponencial, hasta alcanzar el nuevo valor medio y reiniciarse el ciclo de conmutaciones periódicas. El reducido tiempo de respuesta es una característica particular de los controladores biestables ya que, contrariamente a lo que ocurre en los sistemas lineales, la variable manipulada aparece aplicada con su máximo valor aún para pequeñas perturbaciones o para pequeños cambios en el punto de ajuste. Interesa ahora responder a la pregunta de si en todos los casos –es decir para cualquier planta controlada– los sistemas biestables se comportan como en el ejemplo precedente o si, como de costumbre, pueden aparecer problemas de estabilidad. Con las herramientas de que disponemos hasta el momento no podemos dar una respuesta general a la pregunta y aplazaremos la respuesta hasta el tratamiento de las funciones descriptivas de elementos no lineales. Aquí solamente mencionaremos que pueden aparecer los siguientes casos críticos:

a) Tras un transitorio más o menos amortiguado se establece una oscilación del tipo descripto en la variable de salida, pero con una amplitud inadmisiblemente elevada;

b) Aparece una oscilación inestable, cuya amplitud tiende a crecer fuera todo límite.

En ambos casos el sistema de control deja de cumplir su finalidad y no puede ser utilizado. Sin embargo, puede ser demostrado que para plantas con respuesta estacionaria proporcional y función de transferencia con cualquier número de elementos de retardo, no puede darse el caso b), aunque no puede excluirse que aparezca el caso a). Tanto es así que constituye el caso normal, razón por la cual veremos a continuación algunos métodos para arribar a sistemas de control prácticamente utilizables.


5.2.2. Aplicaciones.

Cuando la oscilación estacionaria a la salida de la planta resulta de amplitud elevada y no puede reducirse la capacidad de actuación K(y01–y02), deberá aumentarse la frecuencia de conmutación dentro de las posibilidades del actuador. Un método eficaz para ello, es el de realizar un control en cascada, realimentando para la generación de las oscilaciones, una variable intermedia de la planta tal como se muestra en la Fig. 5.17.

Fig. 5.17. Controlador biestable en cascada.

Como la frecuencia de conmutación es originada tan sólo por una parte de los retardos de la planta, su magnitud es más elevada que en el caso de realimentar la variable de salida x21. Además las oscilaciones de x22 son filtradas en amplitud por los retardos contenidos en FS1 (característica pasabajos), de modo que la amplitud de las oscilaciones presentes en x21 se ve considerablemente reducida. El diseño del controlador FC1 se ve grandemente simplificado si se considera el lazo de control interior reemplazado por un elemento de primer orden con ganancia unitaria y una constante de tiempo equivalente. La estructura mostrada en la figura precedente es perfectamente aplicable en una sistema de climatización (calefacción) en el que la caldera reciba energía térmica de un quemador de combustible operando en la modalidad de todo-nada (encendido o apagado). En este caso x22 estaría representando la temperatura del agua de la caldera, mientras que x21 es la temperatura del ambiente a calefaccionar. Otro ejemplo está dado por la regulación de tensión en pequeños generadores mediante un vibrador (regulador de Tirrill). El principio de funcionamiento se muestra en la Fig. 5.18 en la que el devanado de campo de un generador trifásico (G3φ) es alimentado por una excitatriz de corriente continua (E) autoexcitada. En el circuito de excitación hay una resistencia R que es periódicamente cortocircuitada por el par de contactos K1, K2. En estado de régimen se establece una tensión de excitación media ve perteneciente al intervalo vemin, vemax. Considerando en primer lugar que el contacto K1 se encuentra en una posición fija, se origina una frecuencia de conmutación por acción de la tensión de excitación ve a través de la bobina B2 sobre el contacto K2. La frecuencia de conmutación se encuentra en el orden de los 5 a 10 Hz, según el ajuste del sistema. La tensión de excitación se encuentra sometida a grandes variaciones, las que no se reflejan en la tensión de salida del generador (vG) debido a la constante de tiempo de su circuito de excitación. La tensión media de excitación y por lo tanto la tensión generada (vG) dependen de la posición x12 del contacto K1. Haciendo depender x12 de la tensión del generador, se materializa el


esquema de control de la Fig. 5.17. Si el desplazamiento del contacto K1 se realiza a través de un conjunto resorte-amortiguador, queda materializado un controlador proporcional-integrador.

Fig. 5.18. Regulador de Tirrill. El comparador (x12 – x22) a la entrada del lazo interno (Fig. 5.17) se implementa mediante la comparación de las posiciones de los contactos K1 y K2. En la figura se muestran en forma aproximada el andar de la tensiones vG y ve ante una variación de la corriente de carga iG del generador trifásico. En los ejemplos desarrollados se observa la presencia de un transductor adicional necesario para la medición y realimentación de la variable intermedia x22. Esto trae desde luego aparejadas mayores dificultades en la instalación y puesta a punto del sistema de control. Es por ello que, en muchos casos se prefiere el sistema de la Fig. 5.19 (denominado controlador biestable con realimentación) que no requiere transductor adicional. El elemento de retardo (Fy) representa un circuito de ganancia (Ky) y constante de tiempo (Ty) ajustables, incluido en el mismo controlador.


Fig. 5.19. Biestable realimentado.

El controlador biestable con realimentación puede considerarse como un caso especial (Tm=0) del sistema de la Fig. 5.14 y tiene la propiedad de operar como modulador proporcional de ancho de pulso. Para x3=cte, en condiciones de régimen vale:

( )

( )

1

2

4 max 3 3 01 3

4 min 3 3 02 3

1

1

y

y

t

T

y

t

T

y

x x x K y x e

x x x K y x e

δ δ δ

δ δ δ

−

−

= + = − + − + −

= − = + + − − −

(5.28)

con lo que se obtienen los tiempos de conmutación

01 3 02 31 2

01 3 02 3

ln ; lny y

y y y y

K y x K y xt t

T K y x T K y x

δ δδ δ

− + − −= =

− − − +. (5.29)

Para simetría de la variable manipulada es y02 = –y01 y vale

01 32

01 3

ln y

y y

K y xt

T K y x

δδ

+ +=

+ −. (5.30)

El valor medio de la variable manipulada es entonces

( )( )( )( )( )( )( )( )

01 3 01 3

01 3 01 31 201 01

1 2 01 3 01 3

01 3 01 3

ln

ln

y y

y y

y y

y y

K y x K y x

K y x K y xt ty y y

t t K y x K y x

K y x K y x

δ δ

δ δ

δ δ

δ δ

− + + −

− − + +−= ⋅ = ⋅

+ − + + +

− − + −

(5.31)

obteniéndose para la frecuencia de conmutación,

( )( )( )( )

1 2 01 3 01 3

01 3 01 3

1 1 1

lny y y

y y

ft t T K y x K y x

K y x K y x

δ δ

δ δ

= = ⋅+ − + + +

− − + −

. (5.32)


La frecuencia máxima se encuentra asimismo aquí en el centro del intervalo de controlabilidad [±(δ+Ky⋅y01)], lo que corresponde para x3 = 0 y vale

001

01

1

2 ln y

y

y

fK y

TK y

δδ

=+−

. (5.33)

Fig. 5.20. Valor medio y frecuencia para el controlador biestable realimentado. La ganancia media del controlador biestable puede obtenerse de la curva de y :

01

3 01

01

1m

ymedy

y yK

x K yK

y

δδ ∂

= = = ∂ + + ; (5.34)

para 01

1 resulta

y m

y

K y KK

δ ≈

lo que corresponde a la ganancia de un amplificador ideal realimentado. El comportamiento dinámico del controlador biestable realimentado puede juzgarse en base al andar de la variable realimentada x4. Tras una variación de x3 en forma de escalón, siguen la variable realimentada x4 y la variable manipulada y, el andar esquematizado en la Fig. 5.21. En la transición de un ciclo estacionario de conmutación a otro aparece un pulso más ancho, cuya duración depende de forma no lineal de x3, lo que conduce a caracterizar al controlador biestable con realimentación de primer orden, como un compensador PD no lineal.

Fig. 5.21. Variación del ancho de pulso para un escalón de x3 .


Este tipo de comportamiento no resulta sorprendente, pues de la misma forma como se definió la ganancia estática media Km del controlador biestable realimentado, podríamos, en forma aproximada, definir su característica dinámica como

11

( )( )

y

y y

T sF s

F s K

+= = (5.35)

que corresponde a un elemento ideal proporcional más derivador. Siguiendo esta línea de pensamiento, podemos llegar a la realización de un controlador PID no lineal, utilizando en la realimentación una función de transferencia de la forma

( )( )

( )1 1

Iy

I a

T sF s

T s T s=

+ + (5.36)

que es fácilmente implementable mediante elementos pasivos. 5.3. Conmutador triestable e integrador.

Para muchas aplicaciones, la operación periódica de un controlador biestable resulta inadmisible o indeseable, aún para frecuencias de conmutación reducidas. Algunas razones ya han sido mencionadas: desgaste y pérdidas de conmutación, especialmente en actuadores mecánicos. Para muchas plantas controladas resulta inaceptable, por razones operativas y sobre todo de seguridad, una variación abrupta de la variable manipulada (variable de control) desde su valor mínimo a su valor máximo. Frecuentemente y en especial en procesos químicos, las variables manipuladas deben variar suavemente o por pequeños incrementos, ya sea para no perturbar el proceso o para no producir solicitaciones exageradas sobre la planta.

Fig. 5.22. Conmutador, integrador y planta controlada.

Puede evitarse la conmutación periódica en estado de régimen, si la salida del actuador conmutante puede poseer, además de los valores extremos positivo y negativo, también el valor cero y está conectada con un integrador, tal como se muestra en la Fig. 5.22. Si la señal de error x3 se encuentra entre los umbrales de actuación ±δ es y1 = 0 y por lo tanto y2 = constante. Para x3 >δ la variable manipulada y2 crece y para x3 <δ decrece, con la velocidad constante

2 10

i

dy y

dt T= ± donde Ti es el tiempo necesario para provocar una variación de y2 tal que 2 10y y∆ =

(tiempo de repetición del integrador). El andar de y2(t) tiene la forma de una poligonal de tres

PLANTA


pendientes distintas; si en sustitución del conmutador se empleara un compensador lineal continuo, y2 tomaría la forma de una curva suave y continua en su derivada primera. En el caso de que la planta no posea de por sí un factor integrante, deberá intercalarse un integrador entre el conmutador y la planta. Frecuentemente resulta normal que en todas las plantas cuya variable manipulada sea de naturaleza mecánica, exista un motor que actúa sobre una válvula, una compuerta, un órgano de mezcla o sobre la toma variable de un transformador regulable, por ejemplo. Constatamos que se trata normalmente de plantas que reaccionan en forma comparativamente lenta y que no requieren o no admiten rápidas variaciones de la variable manipulada. 5.3.1. Linealización por actuación periódica.

Al igual que los biestables, los conmutadores triestables pueden ser linealizados por actuación periódica y modulación de ancho de pulsos. La actuación se realiza de tal manera que la variable y1 conmute entre dos estados sucesivos o permanezca en el valor cero.

Fig. 5.23. Variable conmutada y1 y variable manipulada y2.

Si la frecuencia de conmutación es suficientemente elevada y2(t) describe aproximadamente una curva continua y suave con la pendiente media

2 1 10 10 10 2 2 100 o bien 0i i i i

dy t y y y dy t y

dt T T T T dt T T≤ = ≤ − ≤ = − ≤ . (5.37)

Se observa que el conmutador triestable presenta las ventajas, respecto del biestable, que por lo menos en estado de régimen, no hay conmutación, y que la variable manipulada y2 varía en forma continua. La velocidad de respuesta es limitada, como ocurre con todos los compensadores de tipo integrador y la utilización de un controlador triestable más integrador estará justificada en aquellos casos en que la planta no se encuentre sometida a perturbaciones de gran amplitud o de efecto muy rápido sobre la variable controlada.


Fig. 5.24. Triestable con histéresis y realimentación.

La actuación periódica puede ser lograda realimentando un conmutador triestable, al que se ha agregado un pequeño grado de histéresis, a través de una función de transferencia del tipo

( )1

y

y

y

KF s

sT=

+ (5.38)

que es fácilmente realizable con elementos pasivos. Como en estado de régimen es y1 ≡0, la precisión del sistema de control no es afectada por la presencia de la realimentación Fy(s). Cuando la variable x3 supera uno de los umbrales x3>δ2, y1 oscilará entre 0 e y10 o bien entre 0 y –y10 . El controlador triestable con realimentación puede pensarse formado por dos conmutadores biestables realimentados, que operan en diferentes dominios de la variable de entrada.

Fig. 5.25. Triestable realimentado: valor medio de la salida y frecuencia de conmutación.

La pendiente media de la característica de transferencia de la variable linealizada 1y como

función de x3 es:

12 10

3

10

1 1 para

m

yy

dyK y

dx KK

y

δδ= = ≈+

. (5.39)

Si la frecuencia de operación es suficientemente elevada se tendrá la situación de la figura siguiente,


mK

1

iT s

1

iT s′

≡≡≡≡ x3 y1 y2 x3 y2

con i y iT K T′=

Fig. 5.26. Linealización: diagramas en bloque equivalentes.

En la figura 5.27 se muestra el andar de y1(t) e y2(t) para un escalón en la variable de excitación x3. Al igual que en el caso de un controlador biestable puede interpretarse el alargamiento del primer pulso como un efecto de adelanto, de modo que en conjunto se obtiene el comportamiento de un compensador PI, cuyos parámetros dependen de la magnitud de la excitación x3(t). Empleando una Fy(s) con dos retardos de tiempo en la realimentación, se obtiene un comportamiento similar al de un compensador PID.

Fig. 5.27. Respuesta al escalón.

El efecto de linealización que acabamos de describir, tiene lugar cuando la frecuencia de conmutación es suficientemente alta, con relación a la banda pasante de la planta controlada. El empleo de una frecuencia de conmutación elevada, tiene por efecto que una variación determinada ∆y2 queda subdividida en muchos “pasos” pequeños, lo que implica múltiples conmutaciones en cada transitorio del proceso de control. Resulta entonces aconsejable seleccionar una frecuencia de conmutación no muy elevada, adaptando el retardo de la red de realimentación Fy(s) a la función de transferencia de la planta controlada. 5.3.2. Controlador triestable con frecuencia de conmutación mínima.

La idea perseguida es evitar las excesivas conmutaciones del motor de actuación (integrador) de modo que, por efecto de un escalón de excitación, se lleve la variable y2 “de un solo tirón” a su nuevo valor final, reduciendo así drásticamente la cantidad de conmutaciones del motor. Un tipo de operación de este tipo, óptimo respecto del número de conmutaciones, exige un conocimiento preciso de la planta y de las perturbaciones incidentes sobre la misma, lo que en general no resulta factible. Aunque normalmente el caso general no es realizable, puede ser tomado como modelo de referencia y, en este sentido, la solución presenta un interés no despreciable. La figura 5.28 muestra un lazo de control compuesto por un conmutador triestable, un integrador (motor de actuación) y la planta controlada (representada por un retardo de orden superior). Se considera incluido en la función de transferencia de la planta el retardo (constante de tiempo de


arranque) del motor. El retardo de conmutación del controlador se indica bajo la forma de un tiempo muerto a la salida del conmutador.

Fig. 5.28. Lazo cerrado con controlador triestable realimentado.

La función de transferencia de la planta es

2

2 1

1( )

1P n

n

F sa s a s a s

=+ + + +

(5.40)

en la que una oportuna normalización ha conducido a obtener una ganancia unitaria. Como es sabido, el coeficiente a1 tiene el significado de la constante de tiempo equivalente de la planta. 5.3.2.1. Conmutador sin realimentación.

Supondremos por el momento que Fy(s) = 0. Consideraremos una variación en escalón de x1 para deducir la condición necesaria para lograr un comportamento aperiódico del lazo de control. Si en t=0 ocurre el escalón x1(t) = x10, el controlador conmutará a +y10 una vez transcurrido el retardo puro Tm; y2 crecerá linealmente con lo que x2(t) corresponderá a la respuesta de la planta ante una excitación en rampa. Estas relaciones se muestran en la Fig. 5.29.

Fig. 5.29. Respuesta al escalón para Fy

= 0.

mT se

− 1i

T s ( )P

F s

( )y

F s


Para t = t1 la variable controlada alcanza el nivel de conmutación 2 1 10 1( )x t x δ= − (5.41)

y luego de transcurrido Tm el motor se detiene. En el intervalo siguiente y2(t) se mantiene constante 2 2 1 1( ) ( ) ;

m my t y t T t t T= + > + (5.42)

con lo que x2 tiende a este valor final. En caso de que este valor, como en la Fig. 5.29 se encuentre por encima del límite que marca el umbral x10+δ2 el controlador conmuta en sentido inverso y el motor gira también a la inversa, con lo que vuelve a repetirse el proceso. Aparece entonces un fenómeno transitorio probablemente muy poco amortiguado. Para lograr que el motor se detenga a la primera deconmutación dentro del límite del umbral, deberá ser:

12 1 10 10 2( )

m

i

ty t T y x

Tδ+ = < + (5.43)

donde t1 queda determinado por la Ec. (5.41). Llamando εr(t) al error de la respuesta de la planta ante la excitación en rampa, es

12 1 2 1 1 10 1 10 1( ) ( ) ( ) ( )m

r m r m

i

t Tx t y t t T y t T x

Tε ε δ−

= − − = − − = − (5.44)

De (5.43) y (5.44) se deduce:

10 1 1 2( )mr m

i

Ty t T

Tε δ δ− − < + (5.45)

El error εr(t) puede ser calculado fácilmente a partir de la función de la transferencia de la planta

[ ]1 102

11 2 1 10

22 1

( ) 1 ( )

( )1

r P

i

n

nr n

n i

yt F s

T s

a s a s a yt

a s a s a s T s

ε

ε

−

−−

= − ⋅

+ + += ⋅

+ + + +

L

L

(5.46)

A fin de llevar a cabo un cálculo aproximado, supongamos que el error εr haya alcanzado para t = t1 su valor estacionario

1 101( ) ( )

r m r

i

a yt T

Tε ε− ≈ ∞ = . (5.47)

De las expresiones (5.45) y (5.47) se deduce la condición

1 101 2

( )m

i

a T y

Tδ δ+

< + (5.48)

o bien

2 10 1 2

1i m

dy y

dt T a T

δ δ+= <

+. (5.49)

Como en interés de una buena precisión han de ser δ1 y δ2 suficientemente pequeños, y como a su vez a1 puede tomar valores elevados en el caso de procesos químicos e industriales, la condición (5.49) conduce a velocidades de actuación muy bajas en la mayoría de los casos


prácticos. Por ello, suele adoptarse una velocidad de actuación 2 ó 3 veces más elevada que la indicada por (5.49), aceptándose un pequeño sobrepasamiento y algunas oscilaciones previas al establecimiento del valor de régimen de la variable controlada. 5.3.2.2. Conmutador con realimentación complementaria.

Si elegimos Fy(s) de modo que a la salida del bloque de realimentación aparezca justamente el error a la rampa εr(t): 4 1( ) ( )

r mx t t Tε= − (5.50)

es entonces 2 4 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )

r mx t x t x t t T y tε+ = + − = (5.51)

vemos así que la realimentación a través de Fy(s) elimina el error dinámico originado en los retardos de la planta. De la (5.51) se obtiene la condición

( ) 1

( )Py

i i

F sF s

T s T s+ = (5.52)

o sea

1 ( )

( ) Py

i

F sF s

T s

−= (5.53)

con lo que resulta

1 2

1 1 12

2 1

1

( )1

nn

y n

i n

a as s

a a aF s

T a s a s a s

− + + += ⋅

+ + + +

(5.54)

es decir,

1(0)y y

i

aK F

T= = . (5.55)

Si el sistema de control se encuentra en estado de régimen es y1 ≡ 0 y x4 tiende a cero. Vemos por lo tanto que la realimentación complementaria no influye de ninguna manera sobre la precisión estática del sistema.

Fig. 5.30. Respuesta al escalón para realimentación complementaria.

La Fig. 5.31 muestra el transitorio correspondiente a una variación en escalón de la variable de entrada. La condición de conmutación del controlador triestable es ahora:


12 1 1 2 1 10 10 1( ) ( ) ( ) m

r m

i

t Tx t t T y t y x

Tε δ

′ −′ ′ ′+ − = = = − (5.56)

Para 1 2

mt t T y′= + deberá encontrarse por debajo del nivel de conmutación

12 1 10 10 2( )

m

i

ty t T y x

Tδ

′′ + = < + (5.57)

sustrayendo las dos expresiones precedentes se deduce

10 1 2m

i

Ty

Tδ δ< + (5.58)

con lo que la condición para la velocidad de actuación es ahora

2 10 1 2

i m

dy y

dt T T

δ δ+= < . (5.59)

Debido a la realimentación complementaria, la velocidad de actuación resulta independiente de los parámetros de la planta. Empleando un conmutador electrónico es Tm ≈ 0 de modo que el tiempo de integración podría tomar teóricamente cualquier valor. Un límite práctico lo da el hecho que la planta (FP) es en la mayor parte de los casos variable y conocida sólo en forma aproximada, de modo que la realimentación complementaria (Fy) puede realizarse sólo de manera imperfecta. Cuanto más elevada se elija la velocidad de actuación dy2/dt = y10/Ti tanto mayor será el error εr de la planta, lo que a su vez conduce a un aumento de la ganancia de realimentación Ky. La pequeñez del dominio de tolerancia (δ1,2 << y10) hará que, una ligera desadaptación de la realimentación respecto de la planta, conduzca a oscilaciones poco amortiguadas. Será entonces necesario limitar la velocidad de actuación de modo de obtener una respuesta transitoria aceptable. Mediante un ejemplo simplificado veremos el cálculo de la realimentación para un controlador triestable con respuesta aperiódica. Sea una planta de segundo orden

1 2

1( )

(1 )(1 )PF s

sT sT=

+ + (5.60)

y con 1 ( )

( ) Py

i

F sF s

T s

−= se obtiene

1 2

1 2 31 23 1 2

1 2 1 2

11

( ) ; ,(1 )(1 ) (1 )(1 )y y

i

T Ts

T T T sT TF s K T T T

T sT sT sT sT

++ ++

= ⋅ = <+ + + +

(5.61)

En la Fig. 5.31 se muestra un ejemplo de realización de un controlador eléctrico triestable con motor de actuación (integrador mecánico). Por amplificación de la señal x0 (= x3–x4) y tras superar el umbral impuesto por los diodos, acciona una de las bobinas de los relés S1 o S2 provocando la rotación del motor M en uno u otro sentido. Mediante los contactos auxiliares S’1 o S’2 se aplica una tensión continua ±V0 a la


red de realimentación (R0, R1, R2; C0, C2); la tensión resultante x4 se realimenta negativamente a la entrada del amplificador. Bajo el supuesto de cumplirse R0 << R1 y de contarse con un amplificador de alta impedancia de entrada se tendrá

[ ]

4 2 2

1 0 0 2 1 2

( ) 1( )

( ) (1 ) 1 ( )y

X s sC RF s

Y s sC R sC R R

+= ≈

+ + +, (5.62)

y eligiendo convenientemente los valores de los componentes, se reproducirá la expresión (5.61).

Fig. 5.31. Realización de un controlador triestable con realimentación complementaria.

La Fig. 5.32 muestra la respuesta de lazo cerrado en condiciones de adaptación perfecta (ganancia normalizada Ky = 1) y de desadaptación para Ky = 1.5 y Ky = 0.67 observándose cómo afecta la desadaptación al tiempo de respuesta del sistema.

Fig. 5.32. Efecto de la desadaptación en la respuesta de lazo cerrado.

x10+δ2

x10+δ2

x10+δ2 x10

x10

x10

x10-δ2

x10-δ2

x10-δ2

Ky = 1.5

Ky = 0.67

Ky = 1


Por otra parte, como se puede verificar con facilidad, la función de transferencia Fy(s) puede ser calculada en base a una aproximación de primer orden de la planta, es decir en base a la constante de tiempo equivalente. Para nuestro ejemplo vale:

1 21 2

1 1( ) ; =

(1 )(1 ) 1P e

e

F s T T TsT sT T s

= ≈ ++ + +

(5.63)

resultando

1 ( ) 1 1

( )1 1

P ey y

i i e e

F s TF s K

T s T sT sT

−= ≈ ⋅ = ⋅

+ + (5.64)

Dado el limitado ancho de banda de la respuesta deseada, los resultados alcanzados con la aproximación de primer orden y la formulación ‘exacta’ son prácticamente idénticos. 5.4. Funciones Descriptivas.

Las funciones descriptivas tienen por objeto comprobar aproximadamente la estabilidad de un sistema realimentado no lineal. Por tratarse de un método aproximado, deberán ser verificadas en cada caso individual las condiciones que posibilitan su aplicación, aunque podemos adelantar que los resultados obtenidos son asombrosamente precisos en muchos casos prácticos. Aunque en un lazo de control pueden encontrarse presentes diversos componentes que exhiban una característica de transferencia no lineal, es casi siempre posible identificar una única no

linealidad principal: como ejemplo podemos considerar un controlador discontinuo no linealizable por accionamiento periódico, tal como alguno de los biestables analizados en 5.2. Se puede entonces considerar el lazo de control subdividido en dos partes: una parte lineal dependiente de la frecuencia y una parte no lineal e independiente de la frecuencia1. La Fig. 5.33(a) muestra un ejemplo, donde la no linealidad está representada por un controlador triestable. El diagrama de bloques puede llevarse a la forma de la Fig. 5.33(b) desplazando y reordenando los componentes.

F1(s) F2(s)

F3(s)

F1(s) F2(s) F1F3(s)

F(s)

P

Fig. 5.33. Diagrama en bloques de un lazo no lineal. En el proceso de modificación del diagrama de bloques habrá de prestarse particular atención a las señales de entrada y salida de la no linealidad, las que deberán permanecer inalteradas.

1 Lo cual equivale a decir que la respuesta del elemento no lineal es instantánea.


Obsérvese que una modificación de la secuencia de componentes lineales y no lineales puede alterar la forma de dichas señales y resultar por lo tanto inadmisible. Con referencia a la Fig. 5.33(b) y partiendo del supuesto que la función de transferencia F1(s) sea de por sí estable, la estabilidad del sistema estará definida por el comportamiento del lazo realimentado que incluye la no linealidad. Para llevar a cabo este análisis imaginaremos abierto el lazo en el punto P y excitado por una señal periódica senoidal de amplitud A

1( ) cos Re j ty t A t A e ωω= = . (5.65)

Suponiendo que el elemento no lineal posee una característica de transferencia simétrica respecto del origen, la variable de salida puede expresarse como una serie de Fourier sin componente continua

( ) ( ) 2 2 21 1

ˆ ˆ( ) cos Re nj n t

n n n

n n

y t y n t y eω αω α

∞ ∞+

= =

= + =∑ ∑ (5.66)

donde las amplitudes y ángulos de fase de las oscilaciones componentes son funciones de la amplitud de la excitación, 2ˆ ( ); ( )

n ny g A h Aα= = . (5.67)

Con estas consideraciones, también la variable de salida x6 del sistema lineal puede se escrita como una serie de Fourier,

6 21

ˆ( ) Re ( )nj jn t

n

n

x t y e L jn eα ωω

∞

=

=∑ , (5.68)

siendo L(jnω) la respuesta en frecuencia de la parte lineal, ( ) ( ) nj

L jn L jn eϕω ω= . (5.69)

Si L(jω) representa una función pasa bajos, cuyo módulo sea monótonamente decreciente con la frecuencia, entonces las armónicas presentes en x6 resultan despreciablemente pequeñas, con lo que tan sólo quedaría presente la componente fundamental

16 21ˆ( ) Re ( )j j tx t y e L j e

α ωω≈ . (5.70)

N(A) F(s)

Fig. 5.34. Diagrama en bloques cuasi lineal.

Si, siguiendo lo acostumbrado en sistemas lineales, escribimos

1 12121

ˆˆ ( ), es decir ( )j jyy e A N A N A e

A

α α= ⋅ = (5.71)


entonces vale

6 ( ) Re ( ) ( ) j tx t N A L j A e ωω= . (5.72)

N(A) representa la relación de amplitudes de entrada-salida en régimen senoidal del elemento no lineal. La relación N(A) es independiente de la frecuencia y solamente depende de la amplitud de la excitación, recibiendo el nombre de función descriptiva

2 del elemento no lineal. Con las precedentes suposiciones puede representarse el lazo cerrado de la Fig. 5.33(b) como un diagrama en bloques cuasi lineal. Esta representación es solamente válida para la excitación senoidal supuesta, es decir para s = jω. La respuesta en frecuencia de lazo cerrado es

6

5

( ) ( ) ( ) ( )1( ) 1 ( ) ( ) ( )( )

X j N A L j L j

X j N A L jL j

N A

ω ω ωω ω ω

⋅= =

+ ⋅ +. (5.73)

La oscilación y1(t) que hemos introducido para deducir la función descriptiva, aparece de por sí y sin necesidad de una excitación externa, cuando el sistema realimentado se encuentra en el límite de estabilidad. La condición pertinente se deduce de (5.73)

1 1

( ) 0 o bien ( )( ) ( )

L j L jN A N A

ω ω+ = = − (5.74)

jIm

Re

L(jω)

–1/N(A) A

ω

oscilación estable

oscilación inestable

Fig. 5.35. Aplicación de la Ec. (5.74).

2 La designación función descriptiva es una simple traducción de la expresión anglosajona describing function, la que en realidad no describe con precisión el comportamiento considerado. Es más, existe una multiplicidad de funciones descriptivas: además de la que acabamos de presentar y que podríamos más precisamente definir como función descriptiva para entrada sinusoidal, existen funciones descriptivas para diferentes clases de entradas y entre éstas poseen particular interés las funciones descriptivas para entradas aleatorias, que varían de acuerdo a la distribución probabilística considerada. Los interesados en el tema pueden consultar el artículo Describing

Functions de James A. Taylor en la Electrical Engineering Encyclopedia, John Wiley & Sons, New York, 1999; el artículo también se encuentra disponible gratuitamente en la web.


Obsérvese que para N(A) = 1 aparece como caso particular de (5.74) el límite de estabilidad de un sistema lineal (criterio de Nyquist). Así en general el análisis de estabilidad no se realiza con respecto del “punto crítico” L

= –1 sino respecto de –1/N(A), que corresponde a una curva compleja parametrizada en valores de amplitud A; el “punto crítico” resulta entonces dependiente de la amplitud de la oscilación. En la figura 5.35 se ejemplifica gráficamente lo que se acaba de expresar. Reiteraremos una vez más los supuestos en que se basa el análisis por función descriptiva (también denominada aproximación de primera armónica), cuya validez deberá ser verificada en cada caso particular a fin de no extraer conclusiones erróneas:

I. La característica de transferencia del elemento no lineal posee simetría impar (o simetría respecto del origen).

II. La parte lineal del sistema posee respuesta pasa bajos (respuesta en frecuencia monótonamente decreciente). Este supuesto se verifica con seguridad si el grado del denominador de L(s) es por lo menos mayor en dos unidades al grado de su numerador.

III. La frecuencia de oscilación de ciclo límite (si éste existe) se encuentra en las cercanías o es mayor que la frecuencia de corte de la respuesta en frecuencia de los elementos lineales del lazo de control. Esta suposición tiene por objeto asegurar que las armónicas de orden superior presentes a la salida del elemento no lineal sean suficientemente filtradas por los elementos lineales. Lamentablemente este supuesto no puede verificarse a priori sino que sólo puede constatarse su cumplimiento una vez calculada la frecuencia de las oscilaciones automantenidas.

db

( )L jω

CLωCL3ω

ω

Cumple con III

db

( )L jω

CLω CL3ωω

No cumple con III

Fig. 5.36. Visualización del supuesto III.

IV. Se cumple que

( )

( ) con 0( )

mT s

m

P sL s e T

Q s

−= ≥

encontrándose todas las raíces de Q(s) a la izquierda del eje jω en el plano s a menos de una única raíz que puede encontrarse sobre el origen de dicho plano (es decir que todos los polos son estables).

Mediante algunos ejemplos veremos el cálculo de funciones descriptivas y su aplicación práctica.

5.4.1. Característica de transferencia con saturación y zona muerta.

Sea un elemento no lineal cuya característica de transferencia se muestra en la Fig. 5.37(a). Consta de una zona muerta de amplitud 2ε y una característica lineal que alcanza la saturación (y20) para una entrada de amplitud A =

y10.


Si ε = y10

= 0 la no linealidad corresponde a un elemento biestable ideal, mientras que si en cambio es ε =

y10, estaríamos en presencia de un conmutador triestable ideal. Por último si fuera simplemente ε = 0, la no linealidad correspondería a un elemento proporcional con saturación. La Fig. 5.37(b) muestra la salida y2(t) para una excitación senoidal. Debido a la zona muerta, si la entrada posee pequeña amplitud, la salida aparecerá con la forma de ‘colinas’ separadas. Para amplitudes crecientes de la excitación, el andar de y2(t) tenderá a una oscilación rectangular. La ganancia de primera armónica será entonces baja tanto para pequeñas como para grandes amplitudes de la entrada senoidal.

A

A A

conmutador biestable ideal

Fig. 5.37. Zona muerta y saturación.

Por razones de simetría de la característica de transferencia, la salida y2(t) responderá tan solo con componentes senoidales a una entrada senoidal. Consecuentemente no existirá desfasaje entre la entrada y la primera armónica de la salida, por lo que la función descriptiva correspondiente asumirá únicamente valores reales. Para evaluar la función descriptiva, partimos de la formulación de Fourier para la primera armónica de la salida, la que deberá calcularse por tramos. Abreviando ωt

= τ y suponiendo A > y10 se tiene

2

1 2

2 220 20

2100

4 1 4 4( ) ( ) sin( ) sin( ) sin( ) sin( )

y yN A y d d d

A y A A

π πτ

τ τ

ετ τ τ τ τ τ τ τπ π ε π

= = − + − ∫ ∫ ∫ (5.75)

valiendo

101 2arcsin ; arcsin

2

y

A A

ε πτ τ = = ≤

. (5.76)

Los resultados de (5.75) se muestran en la Fig. 5.37(c) para diversos valores de ε. La función descriptiva es real y positiva, de modo que –1/N(A) se ubica sobre el eje real negativo en el


plano de Nyquist. Como la curva N(A) exhibe un máximo, el eje real muestra una doble parametrización en valores de la amplitud A.

inestable

ωCL

A

–1/N(A)

A1

A2

Fig. 5.38. Estudio de ciclo límite. En la Fig. 5.38 se analizan las condiciones de ciclo límite para un sistema lineal de segundo orden más integrador

( )( ) 1 2 3

1 2 3

1( ) ; , , reales

1 1L s T T T

T s T s T s=

+ +. (5.77)

Por cierto, como es muy fácil de calcular, si el punto de corte de L(jω) con el eje real ocurre para la frecuencia

( )

2 3

1 2 32 3

1 y vale ( )

T TL j

T T TT Tπ πω ω= = −

+ (5.78)

para asegurar la existencia de una oscilación de ciclo límite deberá ser

2 3max 1

max 2 3

1( ) lo que equivale a

T TL j N T

N T Tπω +

− > < . (5.79)

Cumpliéndose la condición (5.79), la amplitud de oscilación corresponderá al valor A2 indicado en la Fig. 5.38, ya que las amplitudes comprendidas entre A1 y A2 pertenecen al dominio de inestabilidad de L(jω). 5.4.2. Conmutadores.

Sea la característica de transferencia triestable con histéresis de la Fig. 5.39.

a)

b)

y1

y2 y2(τ)

y1(τ)=A sinτ

Fig. 5.39. Triestable con histéresis.


Si es 1( ) sin( ) sin para y t A t A tω τ τ ω= = resultará la función descriptiva

( ) 0 para N A A a= ≤ . (5.80) Si en cambio la amplitud A de la excitación supera el umbral de actuación a, resulta 1 1( ) ( ) ( )N A R A jI A= + . (5.81)

R1(A) puede ser calculada teniendo en cuenta la simetría de la onda de salida y2(t) respecto de π:

( )1 2

0

2 2 2( ) sin( ) sin( ) cos cos

bR A y d b d

A A A

βπ

α

τ τ τ τ α βπ π π

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = −∫ ∫ ; (5.82)

α y β pueden calcularse a partir de las condiciones

2

2

sin arcsin , siendo cos 1

sin , con lo que cos 1 por ser > .2

a aA a

A A

qaA qa

A

α α α

πβ β β

= → = = −

= = − −

(5.83)

En consecuencia

2 2

1

2( ) 1 1

b a qaR A

A A Aπ

= − + −

. (5.84)

El cálculo de la parte imaginaria I1(A) puede realizarse aplicando la expresión

1

2( ) cos( )I A b d

A

β

α

τ τπ

= ⋅ ⋅∫ , (5.85)

sin embargo, nosotros seguiremos otro camino, que nos conducirá a un resultado idéntico, pero que posibilitará extraer una conclusión general respecto de la incidencia de la histéresis sobre la función descriptiva de una no linealidad cualquiera. En general, la componente imaginaria de la función descriptiva tiene por expresión:

2

1 2

0

1( ) ( ) cos( )I A y d

A

π

τ τ τπ

= ⋅ ⋅∫ (5.86)

siendo a su vez 1 1sin( ); cos( )y A dy A dτ τ τ= = , (5.87)

es decir que 1cos( ) puede ser reemplazado por / .d dy Aτ τ⋅ Observemos que esta substitución

en la integral (5.86) implica tomar como variable integración ya no a τ sino a y1, por lo que los límites integración habrán de ser cambiados convenientemente. Consideremos para ello, de acuerdo con la Fig. 5.40, a la característica de transferencia del conmutador triestable, subdividida en dos funciones unívocas de y1: la función “inferior” Fi que es recorrida para


valores crecientes de y1 (dy1/dτ >0) y la función “superior” Fs, que corresponde a valores de y1 para los cuales sea dy1/dτ <0. Con el cambio de variable de integración propuesto se tendrá:

y1(τ) = A sinτ

y2

y1

y1

Fig. 5.40. Excitación y caminos de integración.

( )

2 0

1 1 1 1 120 0

1 12

1 1( ) ( ) cos( )

1( )

A A

A A

A

A

i s i

s i

I A y d dy dy dyA A

I A dyA

π

τ τ τπ π

π

+ −

+ −

+

−

= ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅

−= − ⋅

∫ ∫ ∫ ∫

∫

F F F

F F

(5.88)

La integral entre corchetes no es otra cosa que el área de la superficie limitada por el ciclo de histéresis:

( ) 1 hist 2 (1 )A

A

s i dy S ab q

+

−

− ⋅ = = −∫ F F . (5.89)

Esta última consideración nos conduce a la importante conclusión de que solamente aquellas características de transferencia que presenten histéresis, poseerán una función descriptiva con componente imaginaria no nula. Para la no linealidad propuesta se tiene entonces:

2 2

2

2 2 (1 )( ) 1 1

b a qa ab qN A j

A A A Aπ π

− = − + − −

. (5.90)

Obsérvese que si es q=1, se obtiene la característica de transferencia de un conmutador triestable ideal (Fig. 5.41(a)), cuya función descriptiva es


2

4( ) 1

b aN A

A Aπ = −

(5.91)

con componente imaginaria nula ya que carece de histéresis.

–a y1

y2

a

–b

b

a)

–a y1

y2

a

–b

b

b)

y1

y2

–b

b

c)

Fig. 5.41. Conmutadores. Si q = –1, la característica de transferencia corresponde a un conmutador biestable con histéresis (Fig. 5.41(b)), correspondiéndole la función descriptiva

2

2

4 4( ) 1

b a abN A j

A A Aπ π = − −

(5.92)

Finalmente, si es a

= 0 se obtiene la característica de un conmutador biestable ideal (Fig. 5.41(c)), para el cual vale

4

( )b

N AAπ

= . (5.93)

5.4.3. Ejemplo de aplicación.

Sea calcular la amplitud y frecuencia de la oscilación de ciclo límite que aparece en el siguiente sistema de lazo cerrado.

Fig. 5.42. Controlador biestable con planta integradora retardada. Los parámetros del ciclo límite quedan determinados por la intersección del diagrama de Nyquist de L(jω) con la función –1/N(A) de la no linealidad. Partiendo entonces de (5.92)

2 2

2

4 4 1( ) 1 se obtiene: 1

( ) 4

b a ab A a aN A j j

A A A N A b A A

ππ π

= − − − = − − +

(5.94)


4

aj

b

π−

Fig. 5.43. Intersección de los lugares geométricos.

El punto P de intersección de los lugares geométricos define un ciclo límite (oscilación automantenida) estable, cuya amplitud y frecuencia pasamos a calcular

( ) ( )2 2

( )( )

1 1

K K T jL j

j j T T

ωωω ω ω ω

− += =

+ + (5.95)

Igualando las partes imaginarias de (5.94) y (5.95) podemos determinar la frecuencia de oscilación.

( )3 2

2 2

4 0

41

K a bKT

b aT

π ω ωπω ω

−= − → + − =

+ (5.96)

La frecuencia del punto de intersección ωP está dada por la solución real positiva de (5.96), mientras que la amplitud AP correspondiente surge de igualar las partes reales de (5.94) y (5.95):

( )

( )( )

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

1

41 1

1 4 1

cos( ) 4 y llamando sin( ) ;

sin( ) 1

1es tan y en definitiva

4

P P

P

P

P P

KT A a A a bKT

T b A a A a T

a bKT

A a T

a T aA

bKT

πω π ω

λλλ π ω

π ωλ −

− = − − → − = + +

= → =+

+ = =

.sin ( )

Pλ

(5.97)

Para analizar la bondad de la aproximación por función descriptiva resolveremos (5.96) y (5.97) para el ejemplo numérico:

a = 0.2 b = 5 T = 1 seg K = 0.2

resultando ωP = 1.674 rad/seg; λP = 0.5384; AP = 0.39; valores que pasamos a comparar con los obtenidos mediante la simulación del sistema que se grafican en la Fig. 5.44 .


Fig. 5.44. Simulación del ciclo límite para el sistema de la Fig. 5.42

Se constata que los valores calculados mediante la función descriptiva, difieren en menos del 2% de los valores medidos en la simulación, lo que ratifica la bondad del método. Para concluir el ejemplo, resulta conveniente verificar el cumplimiento de las suposiciones básicas listadas en página 5-29:

• Sup. I: se cumple que la característica de transferencia del elemento no lineal posee simetría impar.

• Sup. II: se cumple que la parte lineal del sistema posee respuesta pasa bajos, ya que el grado del denominador de L(jω) es 2 mientras que el grado de su numerador es nulo.

• Sup. III: se cumple que la frecuencia de oscilación automantenida se encuentra en las cercanías o es mayor que la frecuencia de corte de la respuesta en frecuencia del elemento lineal. Como es fácil de verificar, la frecuencia de corte vale ωc = 0.1963 rad/seg, siendo ωP = 1.674 rad/seg >ωc, lo que nos permite extraer la conclusión de que la forma de onda a la salida del elemento lineal poseerá un bajo contenido armónico (hecho reafirmado por la forma de onda de la Fig. 5.44).

• Sup. IV: se cumple ya que L(s) posee un polo en el origen y un polo en el semiplano izquierdo.

5.5. Criterios Generalizados de Estabilidad.

En el punto 5.4 hemos introducido las funciones descriptivas como una metodología aproximada para comprobar la estabilidad del funcionamiento de un sistema realimentado no lineal. La aplicación del método de la función descriptiva queda supeditada, como vimos, al cumplimiento de un conjunto de condicionamientos referidos tanto a la parte lineal como a la


parte no lineal. En el presente apartado presentaremos algunos criterios que permiten juzgar de manera más generalizada la estabilidad de los sistemas dinámicos. Para ello debemos primeramente introducir alguna nociones elementales que serán de mucha ayuda en nuestros análisis.

5.5.1. Normas de señales y de sistemas. Teorema de la ganancia pequeña.

Sea una señal u(t) supuesta continua por partes para todo t. Introduciremos diferentes normas para la señal considerada. En primer lugar recordemos que una norma debe poseer las siguientes cuatro propiedades

(i) 0

(ii) 0 ( ) 0,

(iii) ,

(iv) (desigualdad del triángulo).

u

u u t t

au a u a

u v u v

≥

= ⇔ = ∀

= ⋅ ∀ ∈

+ ≤ +

R

Norma-1 La norma-1 de una señal u(t) es la integral de su valor absoluto:

1: ( )u u t dt

∞

−∞= ∫ . (5.98)

Norma-2 La norma-2 de u(t) es

[ ]2

2: ( )u u t dt

∞

−∞= ∫ . (5.99)

Supongamos por ejemplo que u(t) es la corriente que circula a través de un resistor de 1Ω. La potencia instantánea es igual a [u(t)]2 y la energía total es igual a la integral de esta última

expresión, es decir 2

2u . Generalizaremos esta interpretación y definiremos la potencia

instantánea de una señal u(t) como [u(t)]2 y su energía se define como el cuadrado de su

norma-2. Norma- ∝∝∝∝ La norma-∝ de una señal es la mínima cota superior de su valor absoluto: : sup ( )

tu u t

∞= . (5.100)

Por ejemplo la norma-∝ de ( )1 1( )te t−− ⋅ es igual a 1. Aquí 1(t) denota la función escalón

unitario3. Normas de sistemas: dado un sistema caracterizado por su función de transferencia G(s), introduciremos dos normas para el mismo

2

2

1norma-2 de ( ) : ( )

2G s G G j dω ω

π∞

−∞= ∫ (5.101)

3 Por cierto ( ) ( )1 1( ) 1t t

e t e− −

∞ ∞− ⋅ ≠ − ¿podemos decir porqué?


2

norma- de ( ) : sup ( )G s G G jω

ω∞

∞ = (5.102)

La norma-∝ de G es igual a la distancia medida desde el origen del plano complejo al punto más alejado del diagrama de Nyquist de G. También aparece como el valor pico en el diagrama de Bode de magnitudes de G(jω), cumpliéndose además que GH G H

∞ ∞ ∞≤ . (5.103)

Teorema de la Ganancia Pequeña: El concepto más sencillo sobre estabilidad es la estabilidad BIBO (o estabilidad de entrada-salida) ya introducido al analizar sistemas de muestreados. Un sistema posee estabilidad BIBO si a entradas acotadas corresponden salidas también acotadas, es decir que la ganancia del sistema sea siempre finita.

G(s)

H(s)

r + e y

+

Fig. 5.45 Sistema realimentado.

Si consideramos el sistema de la Fig. 5.45, donde G(s) y H(s) pueden ser lineales o no, el error e es e =

r +H(s)

y = r

+ H(s) G(s) e. La norma del error viene dada por la expresión

1 ( ) ( ) 1 ( ) ( )

r re

G s H s G s H s= ≤

− − ⋅ (5.104)

para cualquier norma que tomemos. Si ( ) ( ) 1G s H s⋅ < la ganancia del sistema es finita y por

lo tanto el sistema es BIBO-estable. El enunciado del teorema de la ganancia pequeña es entonces el siguiente: una condición suficiente para que el sistema considerado posea estabilidad de entrada-salida o estabilidad BIBO es que ( ) ( ) 1G s H s⋅ < . (5.105)

En el caso de que todos los componentes del sistema sean lineales, basta con el cumplimiento de una condición menos restrictiva: ( ) ( ) 1G s H s < .

5.5.2. El criterio de Popov.

Al igual que hiciéramos para introducir la función descriptiva, consideraremos también aquí un sistema compuesto por una no linealidad principal independiente de la frecuencia y una parte lineal. Supongamos que la estructura del sistema es la que muestra la Fig. 5.46, siendo f(y) la característica de transferencia del elemento no lineal4.

4 El hecho de considerar la no linealidad en la rama de realimentación no implica ninguna pérdida de generalidad ya que el diagrama de bloques puede ser reducido a cualquier otra forma que resultare conveniente, por ejemplo a la forma de la Fig. 5.34.


G(s)

f(y)

r(t)=0 + e y

–

Fig. 5.46 Sistema con no-linealidad.

Por lo que respecta a la no linealidad, consideraremos que f(y) es una función unívoca y continua por tramos, perteneciente al sector [K1, K2] es decir que se cumple

1 2 1 2

( )( ) o bien 0

f yK y f y K y K K y

y≤ ≤ ≤ ≤ ∀ ≠ (5.106)

siendo además f(0)=0, tal como muestra la Fig. 5.47.

Fig. 5.47 Condición del sector para f(y).

Ya en 1946 M. A. Aizerman planteó la conjetura de que si el sistema asociado de la Fig. 5.48 resultaba estable para k =

K1 y para k = K2, entonces el sistema no lineal de la Fig. 5.46 debería

resultar estable para cualquier f(y) perteneciente al sector [K1, K2].

G(s)

k

r(t)=0 + e y

–

ky

Fig. 5.48 Sistema asociado de Aizerman.

Desgraciadamente5 la conjetura de Aizerman probó ser falsa, como fué demostrado con varios contraejemplos, pero sirvió como punto de partida para otros investigadores. En particular, el rumano V. M. Popov formuló en 1961 un criterio en el dominio de la frecuencia que recuerda al criterio de Nyquist.

5 Decimos desgraciadamente pues si Aizerman hubiera estado en lo cierto, bastaría con investigar el lugar de Evans de la ecuación característica 1+kG(s)=0 y determinar si no aparecen raíces en el semiplano derecho para la condición k∈[K1, K2], para juzgar la estabilidad del sistema no lineal.


Teorema de Popov: Dado el sistema de la Fig. 5.46, el punto y = 0 es globalmente6 estable si

• El sistema lineal es estable, • La función no lineal satisface

( )

0 0f y

K yy

< < ∀ ≠ (5.107)

• Existe una constante TP que verifica

1

Re (1 ) ( ) 0, 0Pj T G jK

ω ω ω + ⋅ + > ∀ ≥

. (5.108)

Gráficamente se puede interpretar el criterio de Popov de la siguiente manera7. Escribamos a G(jω) explicitando su parte real G1(ω) y su parte imaginaria G2(ω): 1 2( ) ( ) ( )G j G jGω ω ω= + (5.109)

Teniendo en cuenta (5.109), la condición de Popov (5.108) se rescribe como:

[ ]

1 2 1 1 2 2

1 2

(1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Re (1 ) ( ) ( ) ( )

P P P

P P

j T G jG G j T G T G jG

j T G j G T G

ω ω ω ω ω ω ω ω ω

ω ω ω ω ω

+ ⋅ + = + − +

+ ⋅ = −

1 2

1( ) ( ) 0

PG T G

Kω ω ω− + ≥ . (5.110)

Formamos ahora una función auxiliar denominada GP(jω) de acuerdo a la expresión8 1 2( ) ( ) ( )

PG j G j Gω ω ω ω= + (5.111)

Si ponemos ( )

PG j x jyω = + , (5.112)

la condición (5.110) se transforma en

1

0P

x T yK

− + ≥ (5.113)

lo que significa que, para que el sistema sea estable, la gráfica de GP(jω) (es decir la curva de Popov) debe encontrarse a la derecha de la línea definida por:

1

Px T y

K− = − . (5.114)

6 La estabilidad global significa que, en condiciones de excitación nula r(t)=0, si una perturbación arranca al sistema de su punto de reposo, el mismo retornará finalmente a la condición y=0. 7 La demostración formal del criterio de Popov requiere el empleo de análisis funcional y excede los alcances de estas notas. 8 Naturalmente los subíndices “P” se refieren a Popov... ¿a quién más?


GP

G(jω)

recta

tangente

1 K−

jIm

Re

β

Fig. 5.49 Interpretación geométrica del criterio de Popov.

La recta (5.114) está girada respecto del eje imaginario el ángulo β = –arctan(TP) y pasa por el punto –1/K+j0. El valor de TP debe entonces ser elegido de manera tal, que K tome el valor máximo posible: ello significa la máxima apertura del sector [0,K] para la no linealidad f(y). Como resulta obvio de la Fig. 5.49, el máximo valor de K se logra cuando la recta (5.114) es tangente a la curva de Popov GP(jω). Algunos ejemplos terminarán de aclarar el panorama. 5.5.2.1. Aplicación a una planta lineal de segundo orden.

Si en la Fig. 5.46 la parte lineal G(s) es de la forma

20

2 20 0

( )2

G ss s

ωζω ω

=+ +

, (5.115)

nos planteamos la inquietud de conocer cuál es la máxima apertura del sector c que garantiza un funcionamiento estable para cualquier no linealidad f(y) contenida en el sector. Sustituyendo s=jω en (5.115) obtenemos la curva de respuesta en frecuencia G(jω), en base a la cual calculamos la curva de Popov GP(jω) correspondiente.

20

2 20 0

( )2

G sj

ωω ω ζω ω

=− +

(5.116)

( )

( )

2 2 2 3 20 0 0

22 2 2 2 20 0

2( )

4P

jG j

ω ω ω ζω ωω

ω ω ζ ω ω

− −=

− + (5.117)

De (5.117) se deduce que cuando ω tiende a infinito, GP(jω) tiende al origen, con un ángulo igual a arctan(2ζω0). En consecuencia GP se encuentra en su totalidad a la derecha de la tangente al origen cuya pendiente es 2ζω0. Por lo tanto si elegimos una recta de Popov con pendiente 2ζω0, el punto –1/K puede ubicarse en cualquier lugar perteneciente al intervalo


(–∝,0) del eje real. Ello significa que el sistema realimentado no lineal será absolutamente estable para cualquier característica de transferencia f(y) contenida en el primero y tercer cuadrantes.

jIm

Re

Fig. 5.50 Criterio de Popov para un sistema de segundo orden con ω0=1.

5.5.2.2. Aplicación a una planta lineal de tercer orden.

Sea ahora la parte lineal del sistema de la forma

( )( )

1( )

1 2 1G s

Ts Ts Ts=

+ + (5.118)

a la que corresponde la respuesta en frecuencia (normalizada):

( )( )

1( ) ,

1 2 1G j T

j j jωΩ = Ω =

Ω Ω + Ω + (5.119)

cuya función de Popov es

2

2 2

3 (1 2 )( ) Re ( ) Im ( )

(1 )(1 4 )P

jG j G j j G j

+ − ΩΩ = Ω + Ω Ω = −

+ Ω + Ω. (5.120)

La curva de Popov arranca desde el punto –3–j para Ω=0 terminando en el origen para Ω→∝ con dirección paralela al eje imaginario y se encuentra representada en la Fig. 5.51. Dada la convexidad de la curva de Popov, resulta gráficamente evidente que la recta de Popov habrá de ser tangente a GP(jΩ) en el punto donde ésta cruza el eje real negativo: para dicho punto –1/K adquiere el valor más cercano posible al origen, con lo que K alcanza su máximo y define el mayor sector [0,K] para el que puede asegurarse la estabilidad del sistema realimentado.

De (5.120) se determina que GP(jΩ) cruza el eje real para la frecuencia normalizada 1/ 2Ω = para la cual vale

1 2 1

32P

G jK

= − = −

(5.121)

en definitiva, el sistema resulta estable para funciones f(y) contenidas en el sector [0, 1.5].


TP

G(jΩ)

GP(jΩ)

Fig. 5.51 Criterio de Popov para el sistema de tercer orden de la Ec. (5.118).

Si bien observando la Fig. 5.51 se deduce inmediatamente que la constante TP que define la pendiente de la recta de Popov es no nula, su valor puede ser calculado analíticamente de manera bastante sencilla. 1/ TP es la pendiente de la tangente a la curva de Popov GP(jΩ) para el valor de Ω considerado, es decir:

0.707 0.707

Im Im1 1

Re Re 3P P

P P P

d G d G d

T d G d G dΩ= Ω=

Ω= = =

Ω. (5.122)

5.5.3. Criterio del Círculo (Tsypkin).

En 1963 Ya. Z. Tsypkin presentó una extensión del criterio de Popov, para no linealidades f(y) confinadas en un sector limitado [K1, K2] tal como se muestra en la Fig. 5.47, valiendo la condición (5.106) que repetimos a continuación

1 2

( )(0) 0; , 0

f yf K K y

y= ≤ ≤ ∀ ≠ .

Considerando K como la media entre las pendientes K1 y K2

1 2

2

K KK

+= (5.123)

se tiene que ( ) ( )1 2( )K K y f y Ky K K y− ≤ − ≤ − . (5.124)

Llamando ( ) ( )f y f y Ky= − nos queda

1 2 1 21 2

1 2 2 1

( )2 2

( )2 2

K K K KK y f y K y

K K K Ky f y y

+ + − ≤ ≤ −

− −≤ ≤

(5.125)


es decir:

2 1 2 1( ) ( ); y llamando se tiene

2 2r r

f y K K K K f yK K

y y

− −≤ = ≤

. (5.126)

Fig. 5.52 Descomposición de la función f(y).

Tal como se observa en la Fig. 5.52, la no linealidad puede considerarse descompuesta en una

parte lineal K y en otra no lineal ( )f y centrada sobre el eje y. En estas condiciones, el sistema de la Fig. 5.46 resulta equivalente al de la Fig. 5.53 valiendo

( ) ( )e r f y r Ky f y= − = − − (5.127) En la Fig. 5.53(b) se tiene para el sistema lineal simplificado

1

GG

KG=

+ ; (5.128)

aplicando ahora el teorema de la ganancia pequeña (ver 5.5.1), la condición suficiente para que el sistema sea estable en el sentido BIBO es que

( ) ( ) 1G s f y⋅ < ; (5.129)


Fig. 5.53 Sistema modificado y simplificado con realimentación no lineal.

por lo tanto, pasando a expresiones en frecuencia

1

( ) 1, es decir ( )r rK G j K

G jω

ω< >

(5.130)

y sustituyendo G por su valor se tiene

1

( ) rK K

G jω+ > (5.131)

De acuerdo a (5.131) se deduce que la curva de 1/G(jω) no debe cortar el círculo de radio Kr

centrado en –K, tal como se observa en la Fig. 5.54

Fig. 5.54 Condición de estabilidad para 1/G(jω).

a)

b)


Teniendo en cuenta ahora las definiciones de K y Kr pueden formularse las condiciones de estabilidad para G(jω), que se grafican en la Fig. 5.55.

1

1

22

1 1 ;

1 1 .

r

r

r

r

K K KK K K

K K KK K K

− + = − ⇒ = −− +

− − = − ⇒ = −− −

(5.132)

Fig. 5.55 Criterio del círculo para G(jω).

En definitiva, dada una no linealidad f(y) contenida en un sector [K1, K2] y siendo G(s) una función de transferencia sin polos en el semiplano derecho, puede asegurarse la estabilidad del sistema realimentado si la curva de Nyquist G(jω) no corta ni rodea al círculo que intersecta al eje real en –1/K1 y –1/K2. Nótese que el criterio del círculo involucra directamente a G(jω), mientras que el criterio de Popov requiere el trazado de la curva modificada GP(jω). A modo de ejemplo, apliquemos el criterio del círculo al sistema lineal con retardo

( )( )

0.5( )

1 2s

G ss s s

e−=+ +

(5.133)

cuyo diagrama de Nyquist se muestra en la Fig. 5.56. Constatamos que el diagrama de G(jω) se encuentra siempre a la derecha de la recta que pasa por –0.625 (asíntota vertical). Dicha recta puede considerarse como un círculo de radio infinito que corta al eje real en –1/K1 = –∝ y en –1/K2 = –0.625 resultando K1 = 0 y K2 = 1.6 los límites del sector de estabilidad. Esto garantiza que si la no linealidad es una zona muerta o una saturación, cuya pendiente en la parte lineal no supere 1.6 entonces el sistema será estable.


Fig. 5.56 Curva de G(jω) y algunos círculos que satisfacen el criterio de Tsypkin.

Resulta evidente que el sistema realimentado será estable para todo otro círculo de radio finito ubicado a la izquierda de la asíntota –0.625, tal como el que se ha trazado en la Fig. 5.56 (la distorsión del círculo se debe a la desigualdad de las escalas horizontal y vertical de la figura).

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5. SISTEMAS DISCONTINUOS Y NO LINEALES....y amplificación en sistemas de control presenta frente a...

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