5. Vibraciones en Máquinas -...

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- 81 DISEÑO DE MÁQUINAS I

5. Vibraciones en Máquinas

Una vibración es una pequeña oscilación alrededor de la posición de equilibrio.

Los movimientos vibratorios en máquinas se presentan cuando sobre las piezas elásticas actúan

fuerzas variables. Generalmente, estos movimientos son indeseables, aún cuando en algunos casos

(transportadores vibratorios, p.e) se diseñan deliberadamente en la máquina.

El análisis de las vibraciones requiere el siguiente procedimiento general:

� Evaluar las masas y la elasticidad de las piezas a estudio

� Calcular la cantidad de rozamiento actuante

� Idealizar el implemento mecánico real, reemplazándolo por un sistema aproximadamente

equivalente de masas, resortes y amortiguadores

� Escribir la ecuación diferencial de movimiento del sistema idealizado

� Resolver la ecuación e interpretar los resultados

El sistema ideal más sencillo consiste de una masa única, un resorte único y un amortiguador,

como muestra la siguiente figura. Este sistema se define como un sistema de un grado de libertad.

Figura 1

La ecuación diferencial de movimiento para este sistema es:

)t(Fkxxcxm =++ &&& (1)

22000044 VV.. BBAADDIIOOLLAA

DISEÑO DE MÁQUINAS I - 82 -

Donde:

� m: masa

� k: constante del resorte (fuerza por unidad de deformación)

� c: constante de amortiguamiento (fuerza por unidad de velocidad). Se supone que el

amortiguamiento es viscoso, es decir, que la fuerza resistente es proporcional a la velocidad.

� F(t): fuerza externa, función del tiempo

� x: desplazamiento de la masa desde la posición de equilibrio estático

� x,x &&& : derivadas primera y segunda respectivamente de x con respecto a t.

Cualquier sistema de un solo grado de libertad puede describirse por medio de la misma forma

de ecuación diferencial escrita anteriormente, si la fuerza del resorte es proporcional al desplazamiento

y la fuerza de rozamiento es proporcional a la velocidad. Para el sistema general de un solo grado de

libertad podemos escribir:

)t(Fxkxcxm eee =++ &&& (2)

Donde me,ce,ke son la masa equivalente, la constante de amortiguamiento equivalente y la

constante del resorte equivalente, respectivamente. El desplazamiento x puede ser lineal o angular.

Ejemplo:

5.1. VIBRACIONES LIBRES

Se presenten cuando después de una perturbación inicial, no existe ninguna fuerza externa de

excitación, esto es, F(t)=0. La ecuación diferencial es:

0xkxcxm eee =++ &&& (3)

Se buscan soluciones de la forma: tseCx ⋅⋅=

Así, la solución de esta ecuación puede escribirse: tsts 21 eBeAx ⋅⋅ ⋅+⋅=

Donde:

e

e

2

e

e

e

e1 m

k

m2

c

m2

cs −

+−= y

e

e

2

e

e

e

e2 m

k

m2

c

m2

cs −

−−= (4) y (5)



y A1 y A2 son constantes determinadas por las condiciones iniciales.

Al valor ee mk2 ⋅ se denomina amortiguamiento crítico cc.

Se define el amortiguamiento relativo como el cociente entre el amortiguamiento real y el

amortiguamiento crítico.

c

e

c

c=ξ (6)

Se pueden distinguir tres casos:

CASO 1: AMOTIGUAMIENTO SUPERCRÍTICO eeee

e

2

e

e mk2cm

k

m2

c⋅>→>

Las raíces de la ecuación son dos soluciones distintas, reales y negativas:

tsts 21 eBeAx ⋅⋅ ⋅+⋅= (7)

La solución no es del tipo ondulatorio sino que es del tipo exponencial decreciente, y tiende

antes a cero conforme mayor es el amortiguamiento ce:

x=xo

x

t

Figura 2

CASO 2: AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO eeee

e

2

e

e mk2cm

k

m2

c⋅=→=

Las raíces de la ecuación son dos soluciones iguales, reales y negativas:

( )t

m2

c

e

e

eBAx⋅−

⋅+= (8)

Si el amortiguamiento es igual o mayor que el crítico, entonces la solución de la ecuación para

vibraciones libres no contiene términos periódicos. La masa, después de la perturbación inicial, regresa

a la posición de equilibrio pero no oscila. Es decir, en este caso, al igual que en el caso 1, la solución

no es del tipo ondulatorio sino del tipo exponencial decreciente.

El Caso 1 corresponde con 1>ξ y el Caso 2 con 1=ξ .



Figura 3

CASO 3: AMORTIGUAMIENTO SUBCRÍTICO ceeee

e

2

e

e cmk2cm

k

m2

c=⋅<→<

Este caso corresponde con 1<ξ .

Las raíces de la ecuación son dos soluciones distintas y complejas.

BeeAxt

m2

c

m

kj

tm2

c2

e

e

e

e

e

e

+⋅⋅−=

⋅

−⋅

⋅−

(9)

( )γ+⋅⋅= ⋅α− twsineXx dt

(10)

donde las constantes γ,X se determinan de las condiciones iniciales.

e

e

m2

c=α (11)

2

e

e

e

ed m2

c

m

kw

−= (12)

wd es la frecuencia amortiguada del sistema. Si el amortiguamiento fuera cero, la frecuencia

sería e

en m

kw = , la cual se llama frecuencia natural.

Figura 4



Caso particular: amortiguamiento nulo (ejes)

En este caso, ( )γ+⋅= twsinXx d . El sistema tras la perturbación inicial se queda oscilando de

forma indefinida ya que no ha rozamiento. La frecuencia de oscilación es

ne

ed w

m

kw == (13)

Figura 5

5.2. VIBRACIONES FORZADAS

En este caso, se considera que actúa la fuerza armónica ( )wtsinF)t(F o=

( )wtsinF)t(Fxkxcxm oeee ==++ &&& (14)

La solución de la ecuación diferencial es la dada anteriormente para vibraciones libres,

adicionada de una integral particular. La solución puede escribirse en la forma:

( ) ( )φ−⋅+γ+⋅⋅= ⋅α− wtsinYtwsineXx dt

(15)

La primera parte de la expresión anterior representa la vibración transitoria, la cual desaparece

con el tiempo. La segunda parte se llama vibración en estado estacionario y es la parte que

generalmente presenta más interés, ya que superado el periodo transitorio, el sistema permanecerá

oscilando con una amplitud Y y una frecuencia w.

Figura 6



Conclusiones:

Para un sistema determinado (definido k,m,c), la amplitud Y depende de la frecuencia w:

( ) 2

e2

ee

o

wcwmk

FY

+−= (16)

La función Y=Y(w) tiene un máximo, que se produce en la frecuencia crítica wc.

2

cncmax,Ymax c

c21wwwY

−==→ (17)

Cuando la frecuencia de la excitación coincide con wc, la deformación que se produce es

máxima. Si 0c ≈ , entonces nc ww = .

No se debe trabajar en un eje en las proximidades de la velocidad crítica, ya que se producirán

amplitudes máximas. Cuando un sistema trabaja a frecuencias cercanas a la velocidad crítica, se dice

que se produce la resonancia. La frecuencia de operación (velocidad de giro del eje) se limita por ello a

co w65.0w ⋅≤

5.3. VELOCIDAD CRÍTICA EN EJES

Todos los ejes, aun sin la presencia de cargas externas, se deforman durante la rotación. La

magnitud de la deformación depende de la rigidez del eje y de sus soportes, de la masa total del eje, y

de las piezas que se le añaden, del desequilibrio de la masa con respecto al eje de rotación y del

amortiguamiento presente en el sistema.

La deformación, considerada como una función de la velocidad de giro del eje, presenta sus

valores máximos en las llamadas velocidades críticas. Un sistema de 1 masa, será un sistema de 1

gdl, y tendrá 1 velocidad crítica. Para sistemas de n masas, esto es n gdl, habrán n velocidades

críticas.

Normalmente, sólo la velocidad crítica más baja (primera) y ocasionalmente la segunda tienen

relevancia. Las otras son generalmente tan altas que están muy alejadas de la s velocidades de

operación.

En la primera velocidad crítica, la flexión del eje sigue la forma más sencilla posible. En la

segunda, la flexión sigue la segunda forma más sencilla, etc. Por ejemplo, un eje soportado en sus

extremos y con dos masas relativamente grandes (en comparación con la del eje), se deforma según

la configuración mostrada en las figuras siguientes, cuando rota en la primera y la segunda velocidad

crítica respectivamente.

Figura 7



Para un eje que lleva una sola masa, y asumiendo que su masa es pequeña en comparación

con la masa que lleva unida:

Figura 8

Donde:

• x: deformación del eje durante la rotación, en el punto de localización de la masa

• e: excentricidad

• ndeformació

fuerzak =

( )2

22

mwk

emwxkxexmw

−=→=+ (18)

De la ecuación anterior se deduce que si la excentricidad e es nula, la deformación x del eje

también será nula, salvo que se cumpla que mk

wmwk 2 =→= . Entonces, 0

0mwx

2 ⋅= ,

indeterminación.

Por lo tanto, si la excentricidad es nula, el único valor de velocidad en el cual se puede producir

deformación del eje se denomina frecuencia natural de oscilación wn, y viene dada por la expresión

siguiente:

mk

wn = (19)

Sea W el peso de la masa mgW = y δ la deformación estática (deformación producida por

una fuerza mgW = , en el punto de localización de la masa, esto es, deformación debida a su propio

peso), y g es la constante de gravitación.



δ=

δ==→

δ=

=g

gWW

mk

wW

k

gW

m

n . Este valor es la primera velocidad crítica del eje.

Puesto que hemos considerado un sistema de 1 gdl, será la única velocidad crítica.

Para un eje de masa despreciable con varias masas concentradas unidas a él (n grados de

libertad) existen distintos métodos de cálculo de las n velocidades críticas:

� Método de Rayleigh: proporciona una aproximación para la primera velocidad crítica de un

sistema de masas múltiples (sobrestimación)

� Método de ecuación de frecuencias: proporciona valores exactos de las n velocidades, pero

resulta un método complejo para n>3

� Método de Dunkerley: proporciona otra aproximación para la primera velocidad crítica de un

sistema de masas múltiples (subestimación)

Obsérvese que las ecuaciones de Rayleigh y Dunkerley son aproximaciones a la primera

frecuencia natural de vibración, la cual se supone igual a la velocidad crítica de rotación (caso para

c=0). En general, la ecuación de Rayleigh sobrestima la frecuencia natural, mientras que la de

Dunkerley la subestima.

5.3.1. MÉTODO DE RAYLEIGH

Consideremos un eje con n masas, y asumamos rozamiento nulo. Designemos por y la

deformación del eje durante la rotación, en el punto de localización de la masa. Sean δ las

deformaciones debidas a los pesos.

Figura 9

La energía cinética del sistema es:

( ) ( ) ( ) ∑ ⋅⋅=⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅=2

nn

22

nn

2

22

2

11c ym2

wywm

2

1...ywm

2

1ywm

2

1E (20)

La energía cinética adquirida es igual al trabajo de deformación necesario para llevar las masas

a las posiciones n21 yyy ,...,, . Este trabajo de deformación es:

∑ ⋅=⋅++⋅+⋅=⋅++⋅+⋅=2

nn

2

nn

2

22

2

11nn2211d yk2

1yk

2

1...yk

2

1yk

2

1yF

2

1...yF

2

1yF

2

1W I

gualando las expresiones, se obtiene:

∑∑

⋅

⋅=

2

nn

2

nn2

ym

ykw (21)



La aproximación de Rayleigh consiste en considerar que las deformaciones o amplitudes Y son

proporcionales a las deformaciones debidas a los pesos δ :

ii Cy δ⋅= (22)

Y como:

g

Wm i

i = y i

ii

Wk

δ= (23)

sustituyendo,

∑∑

δ⋅

δ⋅⋅=

2nn

nn2

W

Wgw (24)

de donde se obtiene la primera velocidad crítica:

∑∑

δ⋅

δ⋅⋅=

2nn

nn1c

W

Wgw (25)

La misma ecuación puede usarse para calcular la primera velocidad crítica de un eje que tiene

una masa distribuida.

Figura 10

Se divide la masa distribuida en un número de partes, m1,m2, etc. Se considera la masa de cada

parte como si estuviera concentrada en su propio centro de gravedad. La experiencia da el número de

subdivisiones que debe usarse, pero puede verse que con una partición no muy refinada se obtiene

una buena precisión.

Para un eje sin masas adicionales, se deduce que:

max

cg

45

wδ

⋅= (26)

δmax

Figura 11



5.3.2. MÉTODO DE ECUACIÓN DE FRECUENCIAS

Este método permite el cálculo exacto de las n velocidades críticas de un eje.

Se plantea el análisis para un sistema de dos masas, y luego se extrapolará para el caso

general de n masas.

La ecuación que se plantea es la ecuación de frecuencias, e incluye unos factores que se

denominan coeficientes de influencia y que se definen a continuación.

� a11: deformación obtenida en el punto 1 debido a una carga unitaria aplicada en el punto 1




Debido al teorema de reciprocidad de Maxwell, se cumple que a12=a21

Figura 12

Demostración del método

2

222c

12

11c

ywmF

ywmF

=

= (27)

Las deformaciones son:

2c221c212

2c121c111

FaFay

FaFay

⋅+⋅=

⋅+⋅= (28)

Luego, sustituyendo las expresiones (27) en (28),

2

22221

21212

22

21212

1111

ywmaywmay

ywmaywmay

⋅+⋅=

⋅+⋅= (29)

Dividiendo ambas expresiones por w2 y transformando el sistema anterior en uno homogéneo:



( )

( ) 0yw

1mayma

0ymayw

1ma

222221121

221212111

=

−⋅+⋅

=⋅+

−⋅

(30)

Para que exista una solución distinta de la trivial nula, el determinante del sistema homogéneo

anterior debe ser nulo:

( )

( )0

w

1mama

maw

1ma

2222121

2122111

=

−⋅⋅

⋅

−⋅

(31)

Desarrollando este determinante:

( ) ( ) 0mamaw

1ma

w

1ma 21212122222111 =⋅⋅⋅−

−⋅⋅

−⋅

( ) ( ) 0mmaaaaw

1mama

w

1212112221122221114

=−+⋅+−

( ) ( ) 0mmaaaaxmamax 21211222112221112 =−+⋅+−

( ) ( ) ( )

2

mmaaaa4mamamamax 2121122211

2222111222111

2,1

−−+±+= (32)

Se obtienen así dos soluciones positivas y dos soluciones negativas. Las soluciones negativas

no tienen sentido físico, ya que no existen frecuencias negativas. Las soluciones positivas son las

velocidades críticas 1cw y 2cw , tal que: 1c2c ww >

Para sistemas con más de dos masas, el cálculo del determinante se vuelve complejo, e

interesará más obtener la solución aproximada por otro método (Rayleigh, p.e)

Las unidades de los coeficientes aij son

=

Nm

FL



5.3.3. MÉTODO DE DUNKERLEY

De la ecuación de frecuencias se deduce una ecuación aproximada llamada de Dunkerley, para

el cálculo de la primera velocidad crítica.

22211122c

21c

mamaw

1

w

1+=

+

, ya que bxx 21 −=+ (33)

Se puede despreciar el término en wc22, ya que

>>

2

2c2

1c w

1

w

1, con lo que:

ggg

Wa

gW

amamaw

1 2211222

1112221112

1c

δ+

δ=⋅+⋅=+=

(34)

Ya que 11111 Wa ⋅=δ y 22222 Wa ⋅=δ .

Y como δ

=→δ

=g

wg

w 2 , sustituyendo en la expresión anterior,

2

22

12

1c w

1

w

1

w

1+=

(35)

w1: frecuencia natural o crítica del eje si sólo tuviera la masa 1.

w2: frecuencia natural o crítica del eje si sólo tuviera la masa 2.

Así, en general

111

1

11111

1

111

1

1

11

11111

Wa

gwg

m

gm

m

W

m

kw

Wa

⋅=→

δ=

δ=

δ==

⋅=δ

…

nnn

n

nnnnn

n

nnn

n

n

nn

nnnn

Wa

gwg

m

gm

m

W

m

kw

Wa

⋅=→

δ=

δ=

δ==

⋅=δ

2n

22

21

21c w

1...

w

1

w

1

w

1+++= (36)

Es muy importante distinguir entre δ e y. Recordemos que y designa la deformación del eje

durante la rotación a la frecuencia crítica. Debido al fenómeno de resonancia, esta deformación es

superior a la correspondiente a la deformación correspondiente a los pesos δ .

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