50741205 Teoria de Colas

5/17/2018 50741205 Teoria de Colas - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/50741205-teoria-de-colas 1/20

La teoría de colas es el estudio matemático

del comportamiento de líneas de espera.Esta se presenta, cuando los “clientes”llegan a un “lugar” demandando un servicioa un “servidor”, el cual tiene una ciertacapacidad de atención. Si el servidor no estádisponible inmediatamente y el clientedecide esperar, entonces se forma la líneade espera.

La teoría de colas estudia modelosmatemáticos que describen sistemas delínea de espera con diferentescaracterísticas. Los modelos nos ayudan aencontrar un equilibrio entre los costos delsistema y los tiempos promedio de la líneade espera para un sistema dado.

lgunos estudio han llegado a la conclusiónque, por término medio, un ciudadano

promedio pasa cinco años de su vidaesperando en distintas colas, y de estoscinco años casi seis meses esperando quecambie la luz en los semáforos (claroaquellos que respetan los semaforos).

INVESTIGACION DE OPERACIONES:INVESTIGACION DE OPERACIONES:

MODELO DE LINEAS DE ESPERA



LGO DE HISTORIA:

El origen de la Teoría de Colas, según elenfoque actual, lo encontramos en lostrabajos de Agner Kraup Erlang (Dinamarca1878 - 1929) en 1909 para analizar el tráficotelefónico o la congestión de llamadas, con

el objetivo de cumplir la demanda inciertade servicios en el sistema telefónico deCopenhague. Sus investigaciones acabaronen una nueva teoría denominada teoría decolas o de líneas de espera. Esta teoría pasoa ser una herramienta muy importante en

simulación y ayudó a soluciónar muchosproblemas prácticos que tenían comocaracterística llegadas y salidas.





DEFINICIONES BÁSICAS:

PROCESO DE COLAS: Los clientes querequieren un servicio se forman en una fasede entrada. Estos clientes entran al sistema y se unen a una cola. Llegado el momento seselecciona un cliente de la cola, para recibir

la prestación del servicio, que se hace segúnalguna regla conocida como disciplina deservicio. Luego, se realiza el serviciorequerido por el cliente en un servidor omecanismo prestador del correspondienteservicio, finalmente el cliente sale del

sistema de colas.FUENTE DE ENTRADA LLEGADA OPOBLACIÓN POTENCIAL: Unacaracterística de la fuente de entrada es sutamaño. El tamaño es el número total declientes que pueden requerir servicio endeterminado momento. Puede suponerseque el tamaño es infinito o finito.





CLIENTE: Es todo individuo, entidad o

elemento de la población potencial quesolicita servicio, por ejemplo llamadastelefónicas que esperan ser atendidas, vehículos que esperan cargar gasolina,pacientes que esperan atenciónhospitalaria, etc.

CAPACIDAD DE LA COLA: Es el máximonúmero de clientes que pueden estarhaciendo cola (antes de comenzar a serservidos). Puede suponerse finita o infinita.

INSTALACIÓN O MECANISMO DESERVICIO: La instalación de servicioconsiste en uno o más canales paralelos deservicio, llamados servidores.

REDES DE COLAS. Sistema donde existen varias colas y los trabajos fluyen de una aotra. Por ejemplo: las redes decomunicaciones o los sistemas operativosmultitarea.





DISCIPLINA DE SERVICIO: La disciplina deservicio se refiere al orden en el que se seleccionanlos clientes de la cola para recibir el servicio. Porejemplo, puede ser:PEPS (Primero en Entrar Primero en Salir,también conocida como FIFO: first in first out)primero en entrar, primero en salir, según la cualse atiende primero al cliente que haya llegado deprimero.UEPS (Ultimo en Entrar Primero en Salir, tambiénconocida como LIFO: last in first out) también seconoce como pila, consiste en atender primero alcliente que ha llegado de último.SOA (Servicio en Orden Aleatorio, también seconoce como SIRO o RSS: random selection oservice) que selecciona los clientes de maneraaleatoria, de acuerdo a algún procedimiento deprioridad o a algún otro orden.PRIORIDAD en el servicio: Los clientes se atiendende primero de acuerdo a alguna prioridadespecificada. Si se forma alguna cola con prioridad,seguirá alguna disciplina de servicio.Procesamiento equilibrado o igualitario, también

llamado Processor Sharing: Sirve a todos losclientes por igual. La capacidad del sistema secomparte entre los clientes y todos experimentan elmismo retraso.





COLA: Es otra denominación de las lineas deespera, también se llaman filas. Una cola secaracteriza por el número máximo de clientes quepuede admitir. Las colas pueden ser finitas oinfinitas.

CANALES MÚLTIPLES: Instalación de servicio condos o más servidores en paralelo.

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL: Se utiliza enalgunos modelos de cola para describir el patrón delos tiempos de servicios.

DISTRIBUCIÓN POISSON: Se utiliza para describirel proceso aleatorio de llegadas en algunos modelosde linea de espera.

PERÍODO DE ESTADO ESTABLE: Es el período quesigue al inicio o transición, durante este período elmodelo se comporta de acuerdo a lascaracterísticas operacionales del modelo. Losestadísticos o características se calculan para elestado estable.

PERÍODO DE TRANSICIÓN: Ocurre al comenzar afuncionar un sistema de linea de espera y antes dealcanzar un comportamiento normal. Durante esteperíodo las características operacionales oestadísticos del modelo no son validos.





TASA PROMEDIO DE LLEGADAS: Númeropromedio de clientes que llegan en un intervalo detiempo determinado.

TASA PROMEDIO DE SERVICIO: Númeropromedio de clientes que pueden recibir servicioen un servidor durante un período de tiempodeterminado.

FUENTE O POBLACIÓN DE LLAMADA FINITA: Esel supuesto de que la fuente o población de dondeprovienen los clientes para solicitar un servicio, esfinita.

FUENTE O POBLACIÓN DE LLAMADA INFINITA:Es el supuesto de que la fuente o población dedonde provienen los clientes para solicitar unservicio, es infinita o no tiene un limite superiorespecificado.

BLOQUEO: Condición que no permite agregar másclientes a la linea de espera, debido a que el sistemaestá lleno, esto puede suceder cuando las colas

tienen capacidad finita.





David G. Kendall introdujo una notación para losmodelos de lineas de espera: A/B/C en 1953. Estanotación de Kendall para describir las colas y suscaracterísticas se puede encontrarse en Tijms,H.C,Algorithmic Analysis of Queues, Capítulo 9 en

First Course in Stochastic Models, Wiley,Chichester, 2003. Ha sido desde entoncesextendida a (A/B/C/):(D/E/F) donde las letraspueden significar:

: Un parámetro que describe el proceso dellegada. Algunos utilizados son:

M para par Markoviano (la tasa de llegadas sigueuna distribución Poisson), lo que significa unadistribución exponencial para los tiempos entrellegadas. Las distribuciones Markovianas, en honor

al matemático A.A. Markov quien identifico loseventos "sin memoria", se utiliza para describirprocesos aleatorios, es decir, aquellos de los quepuede decirse que carecen de memoria acerca delos eventos pasados.

D para unos tiempos entre llegadas"deterministas". Una distribución determinista es

aquella en que los sucesos ocurren en formaconstante y sin cambio.

G para una "distribución general" de los tiemposentre llegadas. La distribución general seríacualquier otra distribución de probabilidad.


NOTACIÓN DE KENDALL



B: Describe el tiempo que dura el servicio, se usanparámetros similares a los utilizados para lasllegadas. Es posible describir el patrón de llegadaspor medio de una distribución de probabilidad y elpatrón de servicio a través de otra.

C: Representa el número de servidores.

D: Representa la capacidad del sistema, o elnúmero máximo de clientes permitidos en elsistema incluyendo los que reciben servicio.Cuando el número está al máximo, las llegadassiguientes son rechazadas.

E: Disciplina en el servicio.

F: Especifica el tamaño de la población de los queprovienen los elementos que ingresan al sistema delíneas de espera, también se denomina fuente de

llamada.


NOTACIÓN DE KENDALL




LINEAS DE ESPERA CON COLAINFINITA Y COLA LIMITADA, UN

SOLO SERVIDOR

Infinitos Clientes en la Cola

ClienteRecibiendo

Servicio

S e r v i d o r

Cliente Abandonando

el Sistemadespués derecibir elServicio

Sistema de Linea de Espera

Cliente Abandonando

el Sistemaantes derecibir elServicio

Clienteque

llegan alSistema

n Clientes en la Cola

ClienteRecibiendo

Servicio

S e r v i d o r

Cliente Abandonando

el Sistemadespués derecibir elServicio





LINEAS DE ESPERA CON CSERVIDORES EN PARALELO

Clientes en la Cola

ClientesRecibiendo

Servicio

S e r v i d o r 1

C l

i e n t e q u e

A b a

n d o n a n e l

S i s t e m

a d e s p u é s d e

r e c i b i r e l S e r v i c i o


S e r v i d o r c

S e r v i d o r 2

Instalaciónde Servicioen Paralelo

Clienteque

llegan alSistema




LINEAS DE ESPERA CON CSERVIDORES EN SERIE

Clientes en la ColaServidor 1

ClienteRecibiendo

Servicio

S e r v i d o r 1

C l i e n t e A b a n d o n a n d o

e l S i s t e m a d e s p u é s d e

r e c i b i r e l S e r v i c i o


S e r v i d o r c

S e r v i d o r 2

Instalaciónde Servicioen Serie o

Red

Clientes en la ColaServidor c

Clientes en la ColaServidor 2

Clienteque

llegan alSistema



Cuando suponemos que la disciplina en el servicio esprimero que llega es el primero en recibir servicio

tanto el tamaño máximo de la cola como la poblaciónde donde provienen los clientes son suficientementegrandes para considerarse infinitos, entonce sesimplifica la notación a M/M/C. Un caso particulares el modelo M/M/1, en este modelo tenemos:

M: Distribución de llegadas Markovianas (Poisson)

M: Distribución del tiempo de servicio Markoviana(Exponencial)

1: Un solo servidor.

LLEGADAS:

Las llegadas se suponen que siguen una distribuciónPoisson, con dos características muy importantes:

1)Completa independencia en las llegadas, entre sicon respecto al estado general del sistema.

2)Las llegadas no dependen de cuando ocurre elperíodo, sino de la longitud de este. Esto significaque no existe memoria, por lo cual estos procesostambién se llaman de nacimiento puro.


MODELO DE COLA: M/M/1

P [n llegadas en el tiempo T ] =e

−T T n

n !



SALIDAS:

Las salidas se suponen que siguen una distribuciónexponencial, con iguales características que ladistribución Poisson, el proceso de salida tambiénrecibe el nombre de muerte pura.


MODELO DE COLA: M/M/1

f t = e−T

P [el servicio se tarda más que T ] = P t T

P t T = 1 − e−T

P t T = e−T

P t T = 1 − P t T



Tasa promedio de llegadas:

Tasa promedio de servicio (número promedio deservicios por período):

Probabilidad que un cliente tenga que esperar:

Probabilidad de que no haya clientes en el sistema:

Número Promedio de clientes en la Cola:


CARACTERÍSTICAS MODELO M/M/1.

P 0

= 1 −

=

Lq =2

−

Lq = W q



Probabilidad de n clientes en el sistema:

Numero promedio de clientes en el Sistema:

Tiempo Promedio que pasa un cliente en el Sistema:

Tiempo Promedio que pasa un cliente en la Cola:

Número Promedio de clientes en la Cola:


CARACTERÍSTICAS MODELO M/M/1.

W q =

−

P n = n1 −

L s =

−

W s

=1

−

Lq =2

−

L s = W s

Lq = W q

W s = W q 1

P n

=

n

P 0



SIMULACIÓN DE SISTEMAS:

Mediante la simulación se trata de obtener unascaracterísticas del sistema, que de otra manerasería imposible o demasiado complejo paraobtenerlas medianta una modelaciónmatemática. La simulación no ofrece solucionesóptimas, pero si permite tener una

aproximación razonable sobre elcomportamiento del sistema, de tal manera quese pueda tomar una decisión ajustada a losobjetivos propuestos.En la actualidad la simulación es posible graciasa la existencia de la herramienta computacionalque dan los ordenadores o computadores.

CONCEPTOS BÁSICOS:

NÚMERO SEUDOALEATORIO: Son númerosgenerados en el computador mediante unprograma que utiliza funciones o expresiones

matemática complejas, estos número tienen lasmismas propiedades de los números aleatorios.


SIMULACIÓN.



CONCEPTOS BÁSICOS:

SIMULACIÓN DE MONTECARLO: Este tipo desimulación utiliza números aleatorios oseudoaleatorios para generar los valores de las

variables aleatorias con la finalidad de calcularlas características o estadísticos del sistema quese está simulando.

SIMULADOR: Programa de computadorutilizado para realizar las simulaciones.

CONECTIVO LÓGICO “SI ENTONCES”:Modificaciones que se hacen en los parámetrosdel modelo para observar los resultados oefectos sobre las características o estadísticosdel sistema simulado.

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA: Es elordenamiento tabular de los datos por clasesconjuntamente con las frecuencias o ocurrencia

de clases.


SIMULACIÓN.




SIMULACIÓN.

Proceso de Simulación:Para simular un sistema se definen los siguienteselementos:

1)Distribución para las llegadas.2)Distribución para el tiempo de servicio.3)Tiempo total de simulación.4)Tamaño máximo de la cola.5)Intervalo de tiempo para generar un valor para la

variable.

6)Parámetros de costo, ganancia, precio, etc.

El valor de las llegadas y salidas se generan mediantesimulación de Monte Carlo, después de cada período desimulación se actualizan los estadísticos y se vuelve asimular, hasta que se cumple el tiempo total desimulación.

Número

1 C1 – C2 x1 f1 f1/N

2 C2 – C3 x2 f2 f2/N

3 C3 – C4 x3 f3 f3/N

4 C4 – C5 x4 f4 f4/N

n Cn-1 – Cn xn fn fn/N

Σfi = N Σ = 1

Intervalo de Clase

(C' –C'')

Marca de Clase

Xi

Frecuencia Absoluta

fi

Frecuencia Relativa

hi




SIMULACIÓN.

Infinitos Clientes en la Cola

Cliente

RecibiendoServicio

S

e r v i d o r

Cliente Abandonando

el Sistema

después derecibir elServicio

Simulación

Clientes

quellegan alSistema

Tiempofi

Distribución para elTiempo de Servicio

Si se realiza el servicio, seactualizan los estadísticos(Ls, Wq, Ws, Wq, etc.). Sihay clientes en cola, uno

pasa al servidor. Seactualiza el tiempo de

simulación

Clientes

fi

Distribución para elNúmero de llegadas

50741205 Teoria de Colas

Documents

Transcript of 50741205 Teoria de Colas