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Capitulo 5. Funciones deTransferencia

5.1 Transformada de Laplace de laecuacin de estado

5.2 Conversin de funcin detransferencia a espacio de estados

5.3 Estabilidad en trminos de polos5.4 espuesta temporal de sistemas de

primer orden

5.5 espuesta temporal de sistemas de

se!undo orden

1

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2

5.1 Funcin deTransferencia

#istemas $in%micos

2

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Funcin de Transferencia

Se defne como la relacin entre la transormada deLaplace de la variable de salida y la transormadade Laplace de la variable de entrada, suponiendoque todas las condiciones iniciales se hacen iguales

a cero.

3

G(s)U(s) Y(s)

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4

Considere el sistema,

La transormada de Laplace con

condiciones iniciales iguales a cero es,

Agrupando trminos,

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5

!or lo tanto,

"eempla#ando $%s& en la ecuacin de

salida,

La uncin de transerencia es'

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E&emplo

Considere el siguiente sistema,

La (.) esta dada por,

!or lo tanto,

"

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'

Se determina,

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(

La (.) resultante es,

*otar que,

Los valores propios de A son los polos de launcin de transerencia del sistema.

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E&emplo

Considere el siguiente sistema,

Su matri# de controlabilidad,

Se verifca que el determinante de es cero y por lotanto el sistema no es controlable.

)

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1*

Se verifca que su (.) es,

+l sistema posee autovalores en s- ys !resenta cancelacin del polo en s-.En sistemas no controlables o noobservables+ se producen cancelacionespolo,cero.

-or lo tanto+ los polos de la funcin detransferencia son un subcon&unto de los

valores propios de la matri /.

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E&ercicio

Convierta el siguiente modelo en +spaciode +stado a (uncin de )ranserencia.

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5.2 Conversin deFuncin de Transferencia

a espacio de estados

#istemas $in%micos

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(uncin de transerencia con slo polos

(uncin de transerencia con ceros ypolos(uncin de transerencia con retardo detiempo

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Caso 0 Funcin de transferencia conpolos

Considere la siguiente uncin detranserencia,

+ntonces,

)ransormada inversa de Laplace,

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14

"etomando,

!ara obtener la representacin enespacio de estados se seleccionan lossiguientes estados,

Se derivan las anteriores ecuaciones,

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15

A partir de,

/btenemos la siguiente representacinen +.+

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Caso 00 Funcin de transferencia conceros polos

1"

Considere el siguiente sistema,

+ntonces,

Aplicando transormada inversa de Laplace,

*o se puede aplicar el procedimiento descrito por

que se tendr0a derivada de la se1al de entrada.

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1'

"etomando la uncin de transerencia,

2%s& se descompone as0,

Aplicando transormada inversa de Laplace a lasanteriores ecuaciones,

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1(

Se seleccionan los siguientes estados,

Se derivan las anteriores ecuaciones,

3espe4ando,

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1)

A partir de,

/btenemos la siguiente representacinen +.+

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Caso 000 Funcin de transferencia conetardo de tiempo

2*

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Considere la siguiente uncin de

transerencia,

Aplicando transormada inversa de

Laplace,

Se seleccionan los siguientes estados,

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Se obtiene,

Con,

/btenemos la siguiente representacin en+.+

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5.3 Estabilidad en trminos depolos

Si todos los polos est5n en el semiplano i#quierdo,entonces la respuesta ser5 estable con entrada ysalida limitadas.

!or lo tanto, basta probar que todos los polos de la

uncin de transerencia estn en el semiplanoi#quierdo para afrmar que el sistema es estable.

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Estable 0nestable

6m78

"e78

ar!inalmenteestable

Semi-planoizquierdo

Semi-planoderecho

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elacin con estabilidadinterna

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Cuando se estudia la estabilidad en trmino delos valores propios se dice que si todos ellostienen parte real negativa, el sistema tieneestabilidad interna %todas sus variables de estado

son estables&.

La estabilidad interna es m5s amplia que laestabilidad entrada salida. !ara que un sistema

sea estable, debe tener estabilidad interna.

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elacin con estabilidadinterna

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+l siguiente sistema en espacio de estados esestable entrada9salida %un polo en s9-&, peropresenta inestabilidad interna.

n sistema con estabilidad internatambin ser% estable entrada,salida. nsistema estable entrada,salida no

siempre pose estabilidad interna

( 2) 1( )

( 2)( 1) ( 1)

sG s

s s s

= =

+ +

[ ]

0 1 0

; ; 2 12 1 1A B C

= = =