Transformadas de Laplace

Introduccin a funcin de transferencia

Transformadas de Laplace

Transformadas de Laplace

Qu es la transformada?

La transformada de Laplace es una herramienta matemtica que nos permite pasar del dominio temporal al de la frecuencia

Se emplea para resolver ecuaciones diferenciales lineales, transformando las mismas en ecuaciones algebraicas de variable compleja s

Nmero complejo

Tiene una parte real y una parte imaginaria, ambas son constantes

Variable compleja

Tiene una parte real y una imaginaria, pero una de ellas no es constante

S=+jw

Notacin en T.L:

Funcin compleja

F(s) = Fx + Fy

Transformada de Laplace

Por definicin la transformada de Laplace viene dada por:

Existencia de la Transformada de Laplace

La T.L de una funcin f(t) existe, la integral converger si f(t) es continua en cada intervalo finito en el rango de t>0 y sea de orden exponencial, por lo que s debe ser real positiva, para que cuando t tienda a infinito, la funcin tienda a cero.

Ejemplo:

Dada una funcin f(t) exponencial que tiende a cero si s>-a

Manipulacin algebraica

Propiedades

Transformadas tpicas

Ejemplo:

f(t) = 3e-4t + cos 5t + t3 + 8

L {f(t)}= L { 3e-4t + cos 5t + t3 + 8}

L {f(t)}= L { 3e-4t } + L{ cos 5t} + L{ t3 }+ L {8}

L{f(t)}=F(s)=3*(1/s+4)+1/2*s/(s2+25)+3/4*3!/s4 +8/s

F(s)=3/s + 4+ s/2*(s2+25) + 9/2*s-4 + 8/s

Antitransformada de Laplace

La antitransformada de Laplace es una herramienta matemtica que nos permite pasar del dominio de la frecuencia al temporal.

Expansin en fracciones parciales

Cuando no encontramos una expresin en tablas que nos permita llevar una funcin al dominio temporal, se emplean las fracciones parciales

En general las funciones en el plano s se definen como productoras de ceros y polos

Y esta a su vez puede ser expandida en fracciones parciales, para luego obtener la inversa de cada fraccin.

Ejemplo de uso de antitransformada

Aplicacin de la transformada para ecuaciones diferenciales ordinarias

La aplicacin ms til es la conversin de una ecuacin Diferencial Ordinaria en una productora de polos y ceros.

Para ello se utilizara la Transformada de una derivada que planteamos anteriormente

Veremos el siguiente ejemplo

Ejemplo de aplicacin de transformada a ecuacin diferencial

La funcin de transferencia G(S) nos permite describir la relacinentre las transformadas de Laplace de la salida Y(S) y la entrada X(S) de un sistema, suponiendo que las condiciones iniciales se hacen cero. La FT representa la relacin que describe la dinmica del sistema bajo consideracin.

FUNCION DE TRANSFERENCIA

Enla siguiente figura se muestra un sistema con una funcin de transferencia G(s).

La relacin entre la entrada y la salida es:

Y (s) = G(s)X(s)

Si lo que queremos es la respuesta temporal, entonces:

y(t) = -1 { Y(s) }

FUNCION DE TRANSFERENCIA

Sistemas de control en lazo abierto

Los sistemas en los cuales la salida no afecta la accin de control se denominan sistemas de control en lazo abierto.

Sistemas de control en lazo cerrado

Los sistemas de control realimentados se denominan tambin sistemas de control en lazo cerrado. En este caso se alimenta al controlador la seal de error de actuacin.

LO QUE NOS INTERESA SON LOS SISTEMAS DE CONTROL CERRADOS

Para qu realimentamos un sistema?

Mejorar la estabilidad

Conseguir un sistema estable a partir de uno inestable

Mejorar la estabilidad

Precisin en rgimen permanente

Seguimiento de una seal de referencia sin error en rgimen permanente

Eliminar el efecto de perturbacin sobre la salida del sistema

Respuesta transitoria adecuada

Transitorio suficientemente rpido

Amortiguamiento adecuado

CONCEPTO DE Estabilidad

Un sistema estable se define como aquel que tiene una respuesta limitada, es decir el sistema es estable si estando sujeto a una entrada o perturbacin limitada , su respuesta es de magnitud limitada.

POLOS Y CEROS DE G(S)

Definiremos como Ceros de G(s) a los valores de s que hacen cero a la funcin de transferencia.

Definiremos Polos a los valores de s que hacen cero al denominador de la funcin de transferencia, es decir los valores de s que hacen infinita la funcin de transferencia.

El orden de la funcin de transferencia viene determinado por el grado del su denominador.

Para n m

LA LOCALIZACION DE LOS POLOS DE UN SISTEMA EN EL PLANO S INDICA LA RESPUESTA TRANSITORIA RESULTANTE

Cuando los polos caen en el semiplano izquierdo, el sistema estable.

Si por lo menos uno de los polos no est en el semiplano izquierdo: sistema inestable

Polos simples sobre el eje jw y ninguna en el semiplano derecho: sistema en el lmite de estabilidad (marginalmente estable).

Si por lo menos un polo mltiple est en el eje imaginario: sistema inestable.

Plano S

El denominador de la FDT global del sistema se le denomina polinomio caracterstico. Las races del polinomio caracterstico van a definir el comportamiento de la respuesta transitoria

CONCLUSIN:

Estudio del efecto de los polos y ceros del sistema en la respuesta dinmica ante seales externas.

SEALES DE PRUEBA TIPICAS

Respuesta y(t) en funcin de la seal de entrada

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REPRESENTACION DE LOS POLOS Y CEROS EN EL PLANO S

REPRESENTACION GRAFICA DE Y(t)

CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH-HURWITZ

Aplicado a un sistema de control, se puede obtener directamente informacin acerca de la estabilidad a partir de los coeficientes de la ecuacin caracterstica, sin necesidad de determinar los polos del sistema en lazo cerrado.

CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH-HURWITZ

Establece que el numero de races de q(s) con parte real positiva es igual al numero de cambios de signo de la primera columna de arreglo.

Para un sistema estable, este criterio de R-H establece q no haya cambios de signos de la primera columna de arreglo. Este criterio es necesario y suficiente.

Procedimiento:

Ordenamos los coeficientes de la ec. caracteristica:

2.Armamos una lista como la q sigue:

3.Obtenemos los valores segn la ecuacin que sigue:

Existen 3 casos que deben analizarse.

1-Que ningn elemento de la fila sea cero

2-Hay un cero en la primera columna y los otros elementos de la fila que contienen al cero de la primera columna no son iguales al cero.

3-caso contrario al item-2

La cantidad de races de la ecuacin con partes reales positivas es igual al nmero de cambios de signo de los coeficientes en la primera columna de la tabla.

Condicin necesaria y suficiente para que todas las races de la ecuacin queden en el semiplano izquierdo:

Todos los coeficientes ai de la ecuacin sean positivos

Todos los trminos en la primera columna de la tabla tengan signo positivo. El polinomio tiene tantas races con parte real positiva como cambios de signo que se producen en la primera columna de la tabla.

Otra manera de analizar la estabilidad de los sistemas es por medio del lugar geomtrico de las races

Definicin: En teora de control, el lugar de races es el lugar geomtrico de los polos y ceros de una funcin de transferencia a medida que se vara la ganancia del sistema K en un determinado intervalo. El mtodo del lugar de races permite determinar la posicin de los polos de la funcin de transferencia a lazo cerrado para un determinado valor de ganancia K a partir de la funcin de transferencia a lazo abierto.

GRACIAS POR SU ATENCIN

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