5.1. DE LA LÓGICA CLÁSICA A LA LÓGICA SIMBÓLICA
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DE LA LÓGICA CLÁSICA A LA LÓGICA SIMBÓLICA
5.0 INTRODUCCIÓN: ¿QUÉ ES LA LÓGICA?
5.0.1. La Lógica
Es vieja aspiración del hombre poder razonar y argumentar sin
error y corrección. La aspiración de poseer un mecanismo tal que nos
permita comprender si lo que se nos dice es correcto, y sobre todo,
averiguar si el cómo se nos transmite algo, sigue reglas que nos
permitan confiar, al menos, en la coherencia interna de lo que se nos
comunica. Esa misma aspiración persigue también que podamos
expresarnos con esa corrección y coherencia a la que antes
aludíamos.
Esta aspiración tiene una tradición de veinticinco siglos. Se han
escrito muchas Historias de la lógica; el trabajo de aquellos hombres
que han perseguido lograr un marco certero y fiable mediante el cual
podernos expresar coherentemente y detectar las incorrecciones
argumentales de lo que se nos transmite.
El relativismo epistemológico, ético y político de los sofistas, en el
siglo V a.C. fue ya, directamente, una defensa de la lógica. La verdad,
para estos grandes maestros del saber, consistía en el argumento
más fuerte, entendiendo por fortaleza argumentativa la coherencia de
lo expuesto y la persuasión alcanzada. Comienza, pues, a bosquejarse
tímidamente una lógica que, al cargar más el acento en la persuasión
que en la coherencia, termina siendo retórica.
Es a partir de Aristóteles, primero, y de los estoicos después,
cuando la lógica consigue gran importancia en el saber filosófico,
manteniéndose durante toda la Edad Media con la misma estructura
que elabora el estagirita. La expresión “Lógica Aristotélico-tomista” es
bastante significativa a este respecto.
Pero la lógica matemática o lógica simbólica comienza a perfilarse
con Leibniz en el siglo XVIII. A Leibniz le corresponde el mérito de
haber aislado el verdadero armazón del “cálculo” y de haber
aprovechado por primera vez la oportunidad de reducir las reglas de
la deducción lógica a meras reglas de cálculo, es decir, a reglas cuya
aplicación puedo prescindir del contenido semántico de las
expresiones.
“Llamo hilo de raciocinio a cierto método fácil y seguro, siguiendo
el cual, sin fatiga de la mente, sin confines y sin motivo de error,
procede con no menos seguridad que quienes dispongan de un hilo
de Ariadna en un laberinto...” “Cuando surjan controversias, no
tendremos más necesidades de discutir, entre filósofos, que la que
hay entre dos calculadores. En efecto, bastará tomar la pluma en la
mano, sentarse en la mesa y decirse uno al otro ´calculemos´”
(Leibniz).
La lógica moderna comienza con hombres como Frege, Peano,
Hilbert, Russell, Wittgenstein, Carnap, Quine, y con los lógicos
polacos. Se trata ya de la confección de un verdadero cálculo que nos
permita, al igual que la matemática, deducir teoremas de axiomas
determinados, básicos, obtención de conclusiones formalmente
válidas, a partir de premisas dadas y mediante el cálculo inferencial,
es decir, constituir a la lógica como un «sistema formal axiomático».
Y para ello ha sido preciso simbolizar el lenguaje y relegar a un
segundo plano el contenido semántico del mismo.
5.0.2. ¿Qué es lógica?
De entre las varias definiciones que se han dado, hemos elegido la
siguiente: La lógica es la ciencia de los principios de la inferencia
formalmente válida.
lnferencia. Podría ser sinónimo de razonamiento o argumentación
(es el objeto material de la lógica); el razonamiento como resultado,
no como actividad del sujeto. El razo namiento es, pues, un tipo de
pensamiento cuyo rasgo característico es que en él se produce
siempre el peso de uno o más enunciados, que tomamos como punto
de partida; al enunciado que sigue al razonamiento se le denomina
conclusión.
Formalmente válida. Puesto que lo que constituye un razonamiento
es la relación que en él se da siempre entro unas premisas y una
conclusión, parece razonable dividir los razonamientos según la
índole de esa relación. Según ésta los razonamientos se dividen en
razonamientos validos y razonamientos no válidos.
Para el razonamiento formalmente válido, hay que distinguir entre
verdad y validez. La validez del razonamiento, es el hecho de que sus
premisas, su conclusión o ambas, sean verdaderas o que con unas
premisas falsas y una conclusión falsa sea válido.
De todas formas no hay razonamiento validado con premisas
verdaderas y conclusión falsa. Y ello precisamente porque se dice que
un razonamiento es válido cuando sus premisas son verdaderas y su
conclusión necesariamente también lo es.
La lógica se ocupa, por tanto de la validez de los razonamientos y
no de la verdad o falsedad de los enunciados que los componen. La
validez de un razonamiento lo es en función de su forma de esquema;
por eso la lógica es lógica formal.
Lo esencial en todo razonamiento formalmente válido es la relación
de necesidad que se establece entre premisas y conclusión. Después
de esto es fácil entender lo que se quiere decir con “principios”. La
lógica pretende realizar esa valoración de una manera estructurada,
codificando los principios, leyes o reglas que dirigen el análisis de la
validez formal de los razonamientos.
Así pues, la lógica es una ciencia formal deductiva. Sus enunciados
son enunciados verdaderos en virtud de su sola estructura. Cada uno
de ellos enunciará una forma váalida de razonar.
5.0.3. División de la lógica
Tradicionalmente se ha dividido la lógica en dos partes: material y
formal. La segunda estudia el raciocinio desde el punto de vista de su
forma, es decir, determina las leyes que se han de seguir para que
sea concluyente y válido. La primera estudia el raciocinio desde el
punto de vista de su “materia”, es decir, analiza las condiciones de
deben reunir las proposiciones de las que ha de partir el raciocinio.
La lógica tradicional o clásica aristotélica y escolástica considera
como fundamental el razonamiento, cuya forma verbal por excelencia
es el silogismo, y se halla en realidad polarizada en tomo a él. A partir
de Kant ha existido la tendencia a conceder esa supremacía al juicio,
en tanto que, entre las corrientes contemporáneas se concede la
importancia capital a la forma del razonamiento.
Por su parte, la lógica elemental, o lógica de primer orden, se
divide en lógica de enunciados y lógica de predicados, o lógica
cuantificacional, en la que sólo se cuantifican los predicados referidos
a variables de individuo u objeto. Por encima de ella hay la lógica de
orden superior o lógica de predicados de segundo orden, que se
caracterizan por introducir en la argumentación predicados de
predicados y por cuantificar también las variables de predicado. La
lógica de clases (predicados monádicos, o simples, o atómicos) y la
lógica de relaciones (predicados poliádicos o moleculares) son partes
de la lógica de predicados.
5.0.4. La Historia de la Lógica
Hoy la lógica es la misma en todo el mundo. En la antigüedad la
lógica de occidente y oriente evolucionan separadas sin ningún
contacto.
Si adoptamos los criterios de su carácter autoconsciente y
sintomático, es decir, que en primer lugar, la lógica no es
simplemente razonar bien, sino reflexionar bien, sobre el
razonamiento correcto y, que, en segundo lugar la lógica como
reflexión tiene que tener un mínimo carácter sistemático, entonces
podemos decir que la lógica nace en Grecia y los primeros lógicos son
Parnénides, Heráclito, Anaxágoras, Sócrates, etc.
En Grecia había dos cuerpos fundamentales de conocimiento a los
que se podía aplicar la lógica, la geometría y la argumentación; ésta
última podía ser política o jurídica.
La geometría está construida a base de enunciados generales y de
relaciones de inclusión, por ejemplo: todos los triángulos son
polígonos. Sin embargo, la argumentación se basa en enunciados
más concretos, reducciones al absurdo.
Hay dos grandes escuelas en el campo lógico, que parten de
Sócrates. Una, la de Aristóteles y la otra la de Euclides de Megara,
que había pasado por la escuela de Elea. Mientras que Platón y
Aristóteles siguen la línea de la geometría, la escuela Megaria sigue la
línea de la argumentación cotidiana.
En Platón podemos encontrar muchas reflexiones acerca de la
lógica, no de una manera sistemática, pero sí consciente, hasta tal
punto que ve la necesidad de una reflexión sobre la lógica y apunta
su carácter autorreflexivo.
Con Aristóteles, se da un gran desarrollo de la lógica. Los escritos
de Aristóteles sobre la lógica están contenidos en un grupo de
tratados que en tiempos posteriores, llegaron a ser conocidos como el
Organon:
- Las categorías.
- De interpretatione.
- Primeros analíticos.
- Segundos analíticos.
5.1. HISTORIA DE LA LÓGICA CLÁSICA
Los inicios de la ciencia de la lógica se encuentran en la antigua
Grecia. Las polémicas en tomo a la teoría de Parménides y las
célebres paradojas de Zenón de Elea, que negaban la realidad del
movimiento haciendo un uso indebido del principio de no-
contradicción, contribuyeron a la distinción de conceptos, a ver la
necesidad de argumentar con claridad mediante demostraciones
rigurosas, respondiendo a las objeciones del adversario. Después
veremos que en lógica clásica se formulan reglas por las que todos
los silogismos bien construidos se identifican como formas válidas o
no válidas de argumentación.
Las sutilezas de los sofistas, que reducían todo el saber a palabras,
llevaron a Sócrates a defender el valor de los conceptos y a intentar
definirlos con precisión. Así, la lógica como ciencia se va formando
poco a poco, desde Sócrates y Platón.
La lógica no siempre ha recibido el mismo nombre. Platón hablaba de la
“dialéctica” como la técnica de conocer las relaciones entre las ideas. Platón
pensaba que cualquier contenido de la mente existía tal cual en la realidad, en el
mundo de las Ideas separadas, el cosmos noetós. Contra estas ideas separadas
reaccionó Aristóteles, quien en su Oganon o colección de obras lógicas, emplea la
palabra “analítica” para referirse a la lógica. Para Aristóteles las ideas existen sólo
en la mente humana, pero se corresponden a la realidad; esto trajo consigo el
nacimiento de la lógica. Aristóteles distingue, así, entre la metafísica (ciencia de la
realidad o del ser y sus principios más profundos) y la lógica (ciencia de las ideas y
procesos de la mente), que Platón identificaba.
Por lógica clásica puede entenderse a veces la lógica simbólica moderna
estándar, esto es, cálculos como los de Principia Mathematica y sistemas afines,
que incluirían la lógica de enunciados, la lógica de predicados de primer orden
(incluida la lógica de relaciones) y la lógica de predicados de orden superior. Esto se
opondría a las lógicas no clásicas, esto es, aquellas que, o bien no comparten algún
presupuesto fundamental de la lógica clásica, o bien constituyen desarrollos
complementarios de la lógica clásica (como la lógica modal), o bien constituyen de
algún modo concepciones alternativas a la lógica clásica (como la lógica
intuicionista). Pero puede entenderse también y más frecuentemente por “lógica
clásica) la lógica aristotélica con sus complementos medievales que permaneció
con apenas alguna variación hasta Frege.
Parece que Alejandro de Afrodisia (comentarista de Aristóteles en Atenas, ca.
198) fue el primero que usó el nombre de “lógica”; otros afirman que el primero en
utilizarla fue Zenón de Elea, antes de Alejandro.
Aunque el contenido de la lógica queda fijado sustancialmente por Aristóteles, los
nombres: “dialéctica” y “lógica” perduran más o menos como sinónimos hasta la
Edad Media.
En la historia de la lógica hay que mencionar aquí a los estoicos y después a
Boecio quien, junto con Porfirio destacan en esta materia al final de la Edad
Antigua.
En la Edad Media, los escolásticos estudiaban la lógica formal (llamada
“dialéctica” hasta el siglo XII) como parte propedéutica de su preparación para
pasar a los estudios de las demás ciencias (filosofia, teología...).
Por su parte, Alcuino de York escribe una Dialéctica para su empleo durante los
estudios trivium. El lugar de la lógica en el plan de estudios de la Facultad de Artes
(que ahora sería Filosofia y Letras) viene asegurado por casi 1500 años de
experiencia académica continua.
Abelardo, en el siglo XII, se vio envuelto en la polémica sobre los universales.
Entre sus obras lógicas, incluye una Dialéctica, que es bastante completa, ya que
trata no sólo de la lógica formal sino también de las categorías, las definiciones, etc.
El gran teórico medieval de las artes liberales, Juan de Salisbury (+1180), escribe
su Metalogicon en 1115. Su compatriota Guillermo de Shyreswood (+ ca. 1266)
escribe su De Puritate Artis Logicae Tractatus Longior a principios del siglo XIII.
Santo Tomás de Aquino, San Alberto Magno y otros, siguen las líneas aristotélicas
en el siglo XIII, en el que destaca también Pedro Hispano.
Pedro Hispano era portugués, de Lisboa (ca. 1210-1277) fue importante no sólo
filosófica, sino también históricamente, ya que fue papa con el nombre de Juan XXI,
escribió las Summulae Logicales (1230). Hispano es conocido como instaurador y
renovador de la Logica Modernorum, que renueva los trabajos de los “dialécticos”
del siglo XII y abre una nueva era de atención a los temas lógicos, que culminará
con el movimiento occamista. Esta obra tuvo casi un centenar de ediciones; tuvo
una enorme aceptación durante siglos. La obra consta de siete tratados. En el
último, titulado “Propiedades de los términos” aparece una terminología que será
célebre: su posición, ampliación, apelación, restricción, distribución y exponibles. Y
en una célebre que anticipa básicamente las leyes de A. De Morgan, dice:
“copulativa et disiunctiva de partibus contradicentibus contradicunt” (“Una
conjunción y una disyunción se contradicen mutuamente si sus partes se
contradicen”). Es decir, establece lo mismo que De Morgan: que las contradictorias
de una conjunción y de una disyunción se consiguen cambiando en cada caso el
signo copulativo o el disyuntivo por su contrario, mientras se niegan cada uno de
sus miembros.
En el siglo XIV se produce con fuerza el movimiento nominalista, con personajes
como Guillermo de Occam y Juan Buridán. Por su parte, Pedro Ramus (+1572)
escribió una Dialéctica a mediados del siglo XVI, y el español Juan de Santo Tomás
destaca sobre todos los anteriores e incluso sobre la mayoría de los posteriores,
comparativamente, con un excelente Curso de Lógica (Árs Logica), publicado en
Alcalá de Henares entre 1631-1632, reeditado dentro de sus Cursus philosophicus
thomisticus (Alcalá, 1634-35), que ha tenido numerosas ediciones hasta hoy.
En el siglo XVII se destacan las obras de Francis Bacon, la Logica Hamburgensis
(1638) de Joachim Jungius (+ 1657) y, sobre todo, La Logique de Port Royal (1662)
de Arnauld y Nicole. Hay que mencionar después a Descartes, quien buscaba,
desde los días en que conoce a I. Beeckman, y superando a Lulio, una «ciencia
totalmente nueva, que permita resolver en principio todas las cuestiones», o un
lenguaje universal vinculado a la verdadera filosofía, que elimine la posibilidad de
equivocarse razonando. También hay que mencionar a Leibniz, Kant y Hegel. quien
fijó el término de “dialéctica” para aplicarlo a su método, donde se reconcilian la
afirmación, la negación y la negación de la negación (tesis, antítesis, síntesis).
En 1780 Étienne Bonnot de Condillac (+ 1780) publicó su obra La lógica o los
primeros desarrollos del arte de pensar, que había escrito en 1777. Aquí su objetivo
consiste en definir lo que es pensar bien o correctamente. No se trata de una teoría
de las proposiciones, sino el arte del análisis, que introduce el arte de los sistemas.
Pensar bien es hacerlo en conformidad con lo que la naturaleza nos enseña por la
vía del placer y del dolor, usando la más natural de las faculta des del espíritu, es
decir, el análisis, que nos permite pasar de lo conocido a lo desconocido.
5.2. HISTORIA DE LA LÓGICA SIMBÓLICA
5.2.1. La lógica simbólica
También llamada lógica matemática, o logística. A veces se denomina,
sencillamente, lógica moderna, o formal o cálculo lógico.
La lógica matemática o simbólica no es sustancialmente diferente de la lógica
formal. por ejemplo, de Aristóteles. En efecto, éste, para resaltar las relaciones y
prescindir de los contenidos concretos, materiales, usaba variables; en vez de
emplear una proposición del tipo “todo conejo es herbívoro”, utilizaba fórmulas
como “todo A es B”; describía las relaciones formales del silogismo con expresiones
corno “si B pertenece a A y C pertenece a B, entonces C pertenece a A”.
De este modo, la lógica matemática o formal pretende llevar más adelante el
método simbólico de Aristóteles. Así, no sólo simboliza sujetos y predicados, sino
también las cópulas o conectivas. Además, se dedica primordialmente a la lógica
proposicional, parte de la lógica prácticamente ausente en los manuales de lógica
tradicionales, exceptuando la presentación de los llamados “silogismos hipotéticos”.
La lógica matemática es, por tanto, la lógica simbólica o formal llevada a su
último refinamiento, tendiendo por objeto la pretensión -entre otras cosas- de hacer
resaltar lo puramente formal y de presentar en un solo golpe de vista grupos
enteros de frases. Su culminación es establecimiento de los sistemas lógicas o
sistemas deductivos.
5.2.2. La lógica simbólica en la historia
Se ha considerado al mallorquín Raimundo Lulio como el inventor de la lógica
matemática; en su lógica algebraica los términos son representados por letras; Lulio
se interesaba por la lógica para construir la teología. También se encuentran
valiosos elementos de lógica formal en Juan de Santo Tomás.
Por su parte Leibniz esbozó sistemas lógico-simbólicos, tanto intensivos como
extensivos. Leibniz, en su trabajo como diplomático, observó que la gente no se
ponía de acuerdo por la oscuridad de sus explicaciones, por el apasionamiento, etc.
Por eso concibió la idea de crear un lenguaje artificial al que se podría traducir
nuestra ciencia. Con símbolos artificiales y, por tanto, neutros -supuestamente al
menos-, se calcularía de modo mecánico y perfectamente seguro. Leibniz escribió
diversos opúsculos lógicos que cayeron en el olvido; su meta diplomática era
demasiado simplista, ya que suponía que nuestras posiciones políticas, ideológicas,
etc. podrían reducirse a elementos atómicos lógicos o que podrían solucionarse
simplemente con entendernos; la condición de posibilidad no es una condición
suficiente.
En el siglo XIX hubo un renacimiento de la lógica formal después de unos tres
siglos en que se tiende a mezclar la lógica con la psicología.
A mediados del siglo XIX, los matemáticos británicos George Boole (1815-1864) y
Augustus De Morgan. Ch.S. Peirce (1839-1914), que llama a su sistema Algebra
General de la Lógica, es uno de los autores que amplían la obra empezada por
Boole, elaborando algebraicamente la lógica de las relaciones; ahí surge la idea de
que la lógica de enunciados es la base de la lógica en general. Boole tuvo la
intuición de que las leyes del pensamiento son algebraicas y, por tanto,
absolutamente formales. Ambos abren un nuevo campo a la lógica, hoy conocido
como lógica simbólica o moderna, que más tarde fue desarrollada por el
matemático Gottlob Frege (1848-1925) y de un modo especial por Bertrand Russell
y Alfred North Whitehead en Principia Mathematica (3 vols., 1910-1913), quienes
intentaran deducir la matemática exclusivamente a partir de la lógica. Esta obra
marcó, ya en 1910, el apogeo del desarrollo puramente formal de la lógica
matemática.
Posteriormente Ludwig Wittgenstein (1889-1951) introdujo el análisis de
proposiciones mediante las tablas veritativas.
Jan Lukasiewicz (1878-1956) formaliza una lógica formal en la que la ley del
tercero excluso no rige, al menos no de la manera tradicional, ya que se supone
que las proposiciones pueden ser verdaderas, falsas, o, además, indeterminadas.
Alfred Tarski (1902-1983) y otros, inician el estudio riguroso de la semántica o
condiciones de significación y de verdad.
También son de primera importancia los teoremas lógicas que tratan no ya de
principios concretos sino de sistemas enteros de lógica. Kurt Gödel (1906-1978)
demostró en 1931 que no hay posible método de decidibilidad para la matemática,
es decir, que no hay ni habrá nunca un mecanismo de determinar la validez de las
proposiciones matemáticas. Puesto que semejante método o técnica de decisión
existe para la lógica, la prueba de Gödel rompe definitivamente el sueño de Russell
y de Frege de identificar lógica y filosofia (lo que se llama logicismo).
A partir de la II Guerra Mundial se ha puesto mucho énfasis en la historia de la
lógica, sobre todo por parte de la escuela polaca de lógica fundada por I.M.
Bochenski (nacido en 1902), que incluye a A. Menne, G. Kung, I. Thomas, etc. Esta
escuela ha intentado señalar las semejanzas entre las teorías antiguas, medievales
y contemporáneas. Han trabajado en este sentido los filósofos ingleses William y
Martha Knelae.
Tanto la lógica simbólica como la clásica asumen en sus formas más corrientes
que cualquier proposición bien elaborada puede ser o verdadera o falsa. En años
recientes se han desarrollado sistemas de la llamada lógica combinatoria: una
afirmación puede tener un valor distinto a verdadero o falso. En algunos supuestos
es sólo un tercer valor neutro, en otros es un valor de probabilidad expresado como
una fracción que oscila entre O y 1 o entre -l y +1. También se han llevado a cabo
serios trabajos por desarrollar sistemas de lógica modal, con el objeto de
representar las relaciones lógicas entre las afirmaciones de posibilidad e
imposibilidad, de necesidad y contingencia. Otra vía es la que supone lógica
deóntica: la investigación de las relaciones lógicas entre órdenes o entre
afirmaciones de obligación.
5.3. LA LÓGICA DE ARISTÓTELES
5.3.1. El proyecto de Aristóteles
La opinión de que la lógica comienza con Aristóteles se debe a varias razones.
Una es que fue el primero en formalizar las expresiones, esto es, en emplear
variables para los términos, para poder analizar mejor las inferencias entre
enunciados. Fue también el primero en concebir la lógica como el estudio de la
inferencia formalmente válida, y quien construyó el primer sistema de lógica de
términos. Pero, además de la lógica sensu estricto, en las obras de Aristóteles
aparecen los siguientes temas: estudios acerca del uso de los términos en el
lenguaje ordinario; estudios sobre el arte de la argumentación y de la retórica;
estudios de metodología de la ciencia, incluida su concepción del método inductivo;
el estudio de la organización de los sistemas deductivos; y finalmente la teoría del
razonamiento deductivo o silogístico.
La organización del saber en un sistema de ciencias comienza en Aristóteles
planteándose el problema de la forma general de la ciencia. Y así, Aristóteles
distinguía las ciencias en tres grandes grupos:
a) Ciencias teoréticas, física, matemática y filosofía que tienen como objeto el ser
en algunos de sus aspectos especiales o el ser en general
b) Ciencias prácticas o normativas, de las cuales la principal es la política, teniendo
por objeto la acción.
c) Ciencias poiéticas, que regulan la producción de los objetos.
Estas tres especies de ciencia, en cuanto son todas igualmente ciencias, poseen
en común la forma, esto es, la naturaleza de su proceder. Considerando aparte tal
forma mediante la abstracción de que cada ciencia se sirve para aislar y determinar
su objeto, se obtiene una disciplina que describe el procedimiento común de todas
las ciencias en cuanto tales; y tal disciplina es la lógica, que Aristóteles fue el
primero en concebir y fundar como ciencia independiente, utilizando y
sistematizando las observaciones y los resultados de sus predecesores y
especialmente de Platón. Pero evidentemente el valor de una lógica así entendida
depende de la legitimidad de distinguir la forma general de las ciencias de su
contenido, esto es, del objeto particular de cada una: depende, es decir, de la
legitimidad de la abstracción por cuyo medio cada ciencia singular, incluida la
filosofía, logra determinar su objeto. A su vez, la legitimidad de la abstracción se
funda en la teoría de la sustancia.
Considerar la forma por separado de cualquier contenido particular, es
procedimiento legítimo solamente cuando la forma sea, al mismo tiempo, la
sustancia, esto es, la esencia necesaria de lo que se considera. Si la forma no
tuviese la validez absoluta que le confiere el ser y no fuese ella sola la sustancia de
aquello de que es forma, considerarla aparte mediante la abstracción sería una
falsificación injustificable. La abstracción se justifica, por tanto, solamente como
consideración de la esencia necesaria de una cosa separada de sus particularidades
contingentes. La lógica, como procedimiento analítico, esto es, resolutivo de la
forma del pensamiento como tal, se funda, pues, en la metafísica como teoría de la
sustancia, y se sostiene o cae con ella.
En la concepción aristotélica de la lógica hay una vacilación entre dos ideas. Por
un lado, la lógica es concebida, en tanto que órgano, como prolegómeno de toda
investigación científica, filosófica o simplemente perteneciente al lenguaje
ordinario. Por eso la lógica no es una parte de la filosofía; es, a lo sumo, el pórtico
que permite pasar a cualquiera de sus partes (la teórica, la práctica y la poética o
productiva). Por otro lado, la lógica aparece como el análisis de los principios según
los cuales se halla articulada la realidad. Así como el primado de la definición y de
la dialéctica en Platón podía ser considerado como la consecuencia del interés de
este autor por el “qué” de las cosas, el primado del razonamiento (sobre todo
silogístico) en Aristóteles podría ser considerado como la consecuencia del interés
de este pensador por el “porqué” de las cosas. La lógica de Aristóteles parece
seguir el tratado de una ontología general. Esto se manifiesta en una serie de
proposiciones que pueden resumirse del siguiente modo: a) la lógica es un
instrumento para el pensar y supone un pensamiento; b) el pensamiento supone
una realidad pensada, pues el pensar carece de espontaneidad y es sólo relativo, c)
es necesario, en vista de ello, desarrollar una teoría del concepto como expresivo
del ser “constitutivo” de lo real, d) la lógica puede de este modo convertirse en
ciencia de los principios de lo que es.
5.3.2. La lógica como técnica del pensamiento
En un pasaje de la Metafísica en que parece que Aristóteles considera la lógica
como técnica indispensable para la investigación, tiene buen cuidado de añadir que
la consideración de los principios silogísticos corresponde al filósofo y a quien
especula sobre la naturaleza de cualquier sustancia. Así, él mismo reconduce la
lógica a su supuesto indispensable: la teoría de la sustancia.
Por otra parte, esta teoría es el fundamento de la verdad de todo conocimiento
intelectual. La forma es a la vez ratio essendi y ratio cognoscendi del ser: en tanto
que ratio essendi es sustancia, en tanto que ratio cognoscendi es concepto. La
forma, pues, garantiza la correspondencia entre el concepto y la sustancia y, por
tanto, la verdad del conocimiento y la racionalidad del ser. Por esto Aristóteles
puede decir que el ser y la verdad se hallan en relación recíproca: que, por ejemplo,
si el hombre existe, la afirmación de que el hombre exista, es verdadera; y
recíprocamente si es verdadera la afirmación de que el hombre exista, el hombre
existe. Pero Aristóteles añade que en esta relación el fundamento es la realidad y
que la realidad no es tal porque la afirmación que la concierne sea verdadera, sino
que la afirmación es verdadera porque la realidad es tal como ella la expresa . En
otros términos, la verdad del concepto se funda en la sustancialidad de la forma y
no viceversa: la metafísica precede y fundamenta la lógica.
5.3.3. La lógica como propedéutica para el estudio del ser
No puede, pues, afirmarse que Aristóteles haya querido fundar la lógica como
ciencia formal en el sentido moderno del término, o sea, de ciencia sin objeto o sin
contenido, constituida únicamente por proposiciones tautológicas. Según
Aristóteles, la lógica tiene un objeto y este objeto es la estructura de la ciencia en
general que luego es la misma estructura del ser que es objeto de la ciencia.
Precisamente sobre esta base, Aristóteles afirma que la lógica debe analizar el
lenguaje apofántico o declarativo, que es el propio de las ciencias teoréticas, en el
cual tienen lugar las determinaciones de verdadero y falso según que la unión o la
separación de los signos (en que consiste una proposición) reproduzca o no la unión
o la separación de las cosas.
5.3.4. El lenguaje apofántico
Y en efecto, la poética y la retórica que se ocupan de lenguajes no apofánticos,
los trata Aristóteles aparte y subordinados a la analítica. El lenguaje apofántico no
tiene nada de convencional. Según Aristóteles, las palabras del lenguaje son
convencionales: tanto es así que de una lengua a otra son distintas. Pero las
palabras se refieren a “afectos del alma que son los mismos para todos y
constituyen imágenes de objetos que son los mismos para todos” .
Por tanto, se puede decir que, para Aristóteles, el lenguaje es convencional en su
diccionario, no en su sintaxis: en consecuencia, la lógica ha de mirar a esta sintaxis
para analizar la estructura fundamental del conocimiento científico y del ser.
5.3.5. La estructura de la proposición
Las partes del Órganon aristotélico, en el orden en que han llegado a nosotros,
tratan de objetos que van de lo simple a lo complejo, comenzando por los más
sencillos, por los elementos. Estos elementos se consideran y se clasifican en las
Categorías. “Categorías” significa “predicados” o géneros supremos del ser.
En el libro Sobre la interpretación, Aristóteles examina aquellas combinaciones
de términos que se llaman enunciados declarativos o proposiciones, es decir, las
frases que constituyen asertos pero no plegarias, órdenes, exhortaciones, etc. El
aserto puede ser afirmativo o negativo según que “atribuya algo a algo” o que
“separe algo de algo”. Además, puede ser universal o singular: es universal cuando
el sujeto es universal (entendiéndose por universal “lo que por naturaleza se
predica de varias cosas”), por ej., hombre; es singular cuando el sujeto es un ente
solo, por ej., Kalias. Pero un mismo término universal puede emplearse en una
proposición tanto en su universalidad, como cuando se dice “todo hombre es
blanco”, como en su particularidad, como cuando se dice “algún hombre es blanco”.
Aristóteles se preocupa de establecer la relación entre la proposición universal y la
proposición particular, cada una de las cuales a su vez puede ser afirmativa o
negativa.
5.3.6. Los tipos de enunciados: clasificación
Aristóteles considera que todos los enunciados (simples) tienen la forma “S es P”
donde S es el sujeto, y P el predicado que se atribuye a S. El predicado P siempre es
un concepto o entidad abstracta, pero el sujeto S puede ser tanto un individuo o
entidad concreta como un concepto o entidad abstracta. Si ocurre lo primero,
tenemos un enunciado singular, mientras que en el segundo caso nos las habemos
con un enunciado conceptual o general.
En los Analíticos Anteriores sólo se consideran los enunciados conceptuales o
generales, que a su vez se dividen en universales, particulares e indefinidos.
El enunciado es una oración que afirma o niega algo de algo, y es universal,
particular o indefinido. “Llamo universal al pertenecer a todo o a ninguno;
particular, al pertenecer a alguno o no a todo; indefinido, al pertenecer o no
pertenecer, sin indicar universalidad o particularidad” .
El enunciado universal (afirmativo) contiene un cuantificador universal, es decir,
una expresión lingüística como “cada”, “todos”, o “para todo”, y atribuye el
predicado universalmente al sujeto, es decir, afirma que el concepto-predicado es
aplicable a todas las cosas a las que se aplica el concepto sujeto.
El enunciado particular (afirmativo) contiene un cuantificador particular, es decir,
una expresión lingüística como “algún” o “hay” o “para algún”, y atribuye el
predicado particularmente al sujeto, es decir, sólo afirma que el concepto-predicado
es aplicable a algunas cosas a las que también se aplica el concepto-sujeto.
El enunciado indefinido es un enunciado conceptual o general que carece de
cuantificadores, por lo que no está claro si el predicado se atribuye universal o
particularmente al sujeto.
Una de las invenciones más notables de Aristóteles consistió en la introducción
de variables o letras esquemáticas en la lógica. No llegó a introducir variables para
individuos, pero sí para conceptos o entidades abstractas. Utilizaba letras
mayúsculas para referirse indistintamente a conceptos cualesquiera.
División aristotélica de los enunciados simples en ocho tipos, según su
cuantificación y su carácter afirmativo o negativo:
Afirmativo Negativo
S es P S no es P
Enunciado Universal Todo S es P Ningún S es P
Particular Algún S es P Algún S no es P
Indefinido S es P S no es P
En su exposición definitiva, la lógica aristotélica no conoce mas que cuatro tipos
de enunciados (simples), los tipos que los lógicos medievales designaron mediante
las letras A, E, I, O, correspondientes a los enunciados universales afirmativos (A),
universales negativos (E), particulares afirmativos (I) y particulares negativos (O).
A afirmativo Todo S es P
P pertenece a todo S
Universal
E negativo Ningún S es P
P no pertenece a
ningún S
I afirmativo Algún S es P
P pertenece a algún S
Particular
O negativo Algún S no es P
P no pertenece a algún
S
5.3.7. Oposición entre enunciados. El cuadro lógico
Aristóteles inició su estudio sistemático de las relaciones lógicas entre
enunciados con la consideración de la oposición. La oposición entre enunciados
puede ser de dos tipos: oposición contradictoria y oposición contraria.
La oposición contradictoria o contradicción se da entre dos enunciados de los
cuales uno es la negación del otro. Por el principio del tercio excluso, al menos uno
de ellos ha de ser verdadero y, por el principio de contradicción, el otro ha de ser
falso. La contradicción se da entre dos enunciados singulares del tipo “s es P” y “s
no es P”. Pero estos enunciados no juegan ningún papel en la lógica de Aristóteles.
La contradicción se da también – y esto sí juega un papel importante en su lógica –
entre un enunciado universal afirmativo y el correspondiente enunciado particular
negativo, es decir, entre dos enunciados de los tipos “todo S es P” y “algún S no es
P”. Igualmente se oponen contradictoriamente un enunciado universal negativo y el
correspondiente particular afirmativo, es decir, dos enunciados de los tipos “ningún
S es P” y “algún S es P”.
“Todo A es B” es el contradictorio de “algún A no es B”
“Ningún A es B” es el contradictorio de “algún A es B”
“Algún A es B” es el contradictorio de “ningún A es B”
“Algún A no es B” es el contradictorio de “todo A es B”
Cada enunciado es equivalente a la negación de su contradictorio. Por tanto, si
negamos un enunciado, hemos de afirmar su contradictorio. Si afirmamos un
enunciado hemos de negar su contradictorio.
La oposición contraria o contrariedad se da entre dos enunciados que no pueden
ser ambos verdaderos, sino que al menos uno de ellos ha de ser falso. También los
dos pueden ser falsos. Si el uno es verdadero, el otro es falso. Pero si el uno es
falso, el otro puede ser tanto verdadero como falso. La contrariedad se da entre un
enunciado universal afirmativo y el correspondiente enunciado universal negativo,
es decir, entre dos enunciados de los tipos “todo S es P” y “ningún S es P”.
“Todo A es B” es el contrario de “ningún A es B”
“Ningún A es B” es el contrario de "todo A es B”
Leyes de la oposición contradictoria:
Si no (todo A es B), entonces (algún A no es B) Si no (ningún A es B), entonces (algún A es B)
Si no (algún A es B), entonces (ningún A es B)
Si no (algún A no es B), entonces (todo A es B)
Leyes de la oposición contraria:
Si (todo A es B), entonces no (ningún A es B) Si (ningún A es B), entonces no (todo A es B).
Estas dos leyes son inválidas desde el punto de vista de la lógica actual.
Así pues, un silogismo es una proposición hecha de una de estas cuatro
afirmaciones posibles. He aquí el famoso cuadro lógico:
A “Todo A es B” (universal afirmativo) <------CONTRARIAS----- > E “Ningún A es B”
(universal negativo)
(Todo hombre es honrado) (Ningún hombre es
honrado)
SUBALTERNAS
SUBALTERNAS
CONTRADICTORIAS
I “Algún A es B” (particular afirmativo) <-----CONTRARIAS--- > O “Algún A no es B”
(particular negativo)
(Algún hombre es honrado) (Algún hombre no es
honrado)
En este cuadro se observan las diversas relaciones de oposición que admite un
mismo enunciado, según su cualidad y su cantidad.
a) Contradictorias (A-O; I-E). Una es la simple negación de la otra, y por eso no
admiten grados intermedios. Si una es verdadera, la otra es falsa, y viceversa.
b) Contrarias: (A-E): No pueden ser a la vez verdaderas, pero como admiten
grados intermedios, pueden ser a la vez falsas (como ocurre en el ejemplo
propuesto).
e) Subcontrarias (1-O): No pueden ser falsas a la vez, pero sí pueden ser
simultáneamente verdaderas.
d) Subalternas (A-I; E-O). Si la universal es verdadera, también lo es la particular;
pero no viceversa. Y si la particular es falsa, también lo es la universal, pero no al
revés.
Aquí las letras sustituyen a palabras comunes como “hombre”, “animal racional”,
o “cosa viviente”, llamadas términos del silogismo. Un silogismo bien formulado
consta de dos premisas y una conclusión, debiendo tener cada premisa un término
en común con la conclusión y un segundo término relacionado con la otra premisa.
El esquema fue construido en esta forma (que refleja exactamente la doctrina
aristotélica) por los lógicos medievales que lo llamaron “cuadrado de los opuestos”
y que indicaron las varias especies de proposición con las letras mayúsculas que
figuran en el mismo. Aristóteles llamó contraria a la oposición entre la proposición
universal afirmativa y la negativa y contradictoria a la oposición entre la universal
afirmativa y la particular negativa, y la particular afirmativa y la universal negativa.
La relación entre la particular afirmativa y la particular negativa la llamaron los
lógicos medievales oposición sub-contraria. Se trata de una oposición para la cual,
según Aristóteles, no vale el principio de contradicción. En efecto, de las dos
proposiciones “algún hombre es blanco”, “algún hombre no es blanco”, ambas
pueden ser verdaderas. En cambio para las proposiciones que se hallan entre sí en
oposición contraria y contradictoria, el principio de contradicción es rigurosamente
válido. Una de las dos tiene que ser falsa y la otra tiene que ser verdadera. Esta
segunda exigencia (esto es, que una de las dos tiene que ser verdadera es la
expresada por el principio que mucho después se llamó de “tercero excluso” y que
Aristóteles aunque sin distinguirlo del principio de no-contradicción, expresó y
defendió repetidamente afirmando que “entre los opuestos contradictorios no hay
medio” .
5.3.8. Conversión de enunciados
Una de las razones por las que Aristóteles prescinde de los enunciados singulares
en su lógica madura estriba en su deseo de poder permutar sujeto y predicado en
cualquier enunciado. Ahora bien, si el sujeto es un individuo o entidad concreta, es
imposible que haga de predicado y, por tanto, la permutación es imposible. Pero si
tanto el sujeto como el predicado son conceptos o entidades abstractas, entonces la
permutación es siempre posible. Por eso Aristóteles limita su consideración a los
enunciados conceptuales o generales.
La conversión de un enunciado consiste en la permutación de su sujeto y su
predicado. El enunciado conserva los mismos conceptos, pero el concepto que hacía
de predicado pasa a hacer de sujeto, y a la inversa. Naturalmente, no siempre la
verdad de un enunciado garantiza la verdad del enunciado que resulta de la
permutación de sus conceptos.
Los enunciados universales negativos y los particulares afirmativos pueden
convertirse siempre; los enunciados particulares negativos no pueden convertirse
nunca; los enunciados universales afirmativos pueden convertirse sólo a condición
de transformar su cuantificación de universal en particular. Aristóteles obtiene las
siguientes leyes lógicas de la conversión:
Si (ningún A es B), entonces (ningún B es A) Si (algún A es B), entonces (algún B es A)
Si (todo A es B), entonces (algún B es A)
5.3.9. El razonamiento y el silogismo en Aristóteles
Los Primeros analíticos contienen la teoría aristotélica del razonamiento. Según
Aristóteles el razonamiento típico es el deductivo o silogismo: definido como “un
discurso en el que planteadas algunas cosas, se siguen otras por necesidad” .
Aristóteles define el silogismo del siguiente modo: El silogismo es un discurso en
el cual, puestas ciertas cosas, algo distinto de las cosas puestas se sigue
necesariamente de ellas, como consecuencia suya, y sin que sea preciso introducir
ningún otro término para justificar la necesidad de la conclusión.
Esta definición vale para cualquier deducción. Sin embargo, Aristóteles usa la
palabra “silogismo” para referirse no a cualquier deducción, sino a un tipo muy
especial de ella, la formada por tres enunciados (dos premisas y una conclusión),
cada uno de los cuales es de uno de los cuatro tipos “todo S es P”, “ningún S es P”,
“algún S es P”, o “algún S no es P”, donde S y P son términos generales (o
conceptos) cualesquiera, y tales que en los tres enunciados juntos aparecen
exactamente tres términos o conceptos, no más ni menos.
Las características fundamentales del silogismo aristotélico son:
a) Su carácter mediato
b) Su necesidad
El carácter mediato del silogismo depende del hecho que el silogismo es la
contraparte lógico-lingüística del concepto de sustancia. En virtud de ello, la
relación entre dos determinaciones de una cosa se puede establecer sólo sobre la
base de lo que la cosa es necesariamente, o sea, de su sustancia: por ejemplo, si se
quiere decidir si el hombre es mortal, no se puede más que mirar a la sustancia del
hombre (a lo que el hombre no puede no ser) y razonar así: todo animal es mortal,
todo hombre es animal, luego todo hombre es mortal. La determinación “animal”,
necesariamente incluida en la sustancia “hombre”, permite concluir en la
mortalidad del propio hombre. En este sentido se dice que la noción “animal” hace
de término medio del silogismo: éste representa en el silogismo la sustancia, o la
causa o la razón, que sólo hace posible la conclusión: el hombre es mortal porque, y
sólo porque, es animal. Por tanto, el silogismo tiene tres términos:
a) El sujeto
b) El predicado de la conclusión
c) El término medio. La función del término medio es la que determina las
figuras del silogismo.
5.3.10. Las cuatro figuras
Según el análisis que hace Aristóteles, para que las premisas impliquen la
conclusión, es preciso que en ellas aparezcan los dos conceptos de la conclusión (a
los que llamaremos extremos), uno en cada premisa y, además, un concepto nuevo,
que no aparece en la conclusión, pero que aparece en ambas premisas (al que
llamaremos medio). ¿Cómo clasificar estas combinaciones? En primer lugar, en
figuras.
Las figuras (skhémata) son las formas que reviste el silogismo según la posición
que el término medio ocupe en las premisas. Caben, según Aristóteles, cuatro
figuras.
Así, en la primera figura, el término medio hace de sujeto en la primera premisa y
de predicado en la segunda. En la segunda figura, el término medio hace de
predicado en ambas premisas (por ej.; “Ninguna piedra es animal, todo hombre es
animal, luego ningún hombre es piedra”). En esta figura, una de las premisas y la
conclusión son negativas. En la tercera figura, el término que hace de sujeto en
ambas premisas (por ej.: “Todo hombre es sustancia, todo hombre es animal, luego
algún animal es sustancia”). En esta figura, la conclusión es siempre particular.
Cada una de las tres figuras se divide luego en una variedad de modos, según sean
las premisas universales o particulares, afirmativas o negativas. Algunos añaden
también una cuarta figura. Helas aquí:
Primera Figura Segunda Figura Tercera Figura Cuarta Figura
M es P P es M M es P P es M
S es M S es M M es S M es S
S es P S es P S es P S es P
La primera figura se da cuando el sujeto de la conclusión es sujeto de una
premisa, el predicado de la conclusión es predicado de otra premisa y el concepto
medio es predicado de una premisa y sujeto de otra. La formulación aristotélica
original de la ley de este ejemplo es la siguiente: Si A se predica de todo B y B se
predica de todo C, entonces necesariamente A se predica de todo C .
La segunda figura se da cuando el sujeto de la conclusión es sujeto de una
premisa, el predicado de la conclusión es sujeto de la otra premisa y el concepto
medio es predicado de ambas premisas.
La tercera figura se da cuando el sujeto de la conclusión es predicado de una
premisa, el predicado de la conclusión es predicado de la otra premisa y el
concepto medio es el sujeto de ambas.
5.3.11. Los modos silogísticos y sus figuras
Modos son las configuraciones de cada figura, según que las premisas sean A, E,
I, 0. Las combinaciones posibles de estas cuatro proposiciones en una figura de 3
proposiciones (43) son 64, que para las 4 figuras da un total de 256 posibilidades.
Sin embargo, según las reglas de la deducción, sólo 19 casos son lícitos. Los lógicos
medievales los denominaban con reglas mnemotécnicas: cada caso legítimo recibe
un nombre cuyas tres vocales indican el tipo de proposiciones de la premisa mayor,
la menor y la conclusión.
Cuatro son las combinaciones de la primera figura que Aristóteles reconoce
explícitamente como implicaciones, como silogismos, y éstas son sus
correspondientes leyes lógicas:
a) BARBARA: Si todo A es B y todo B es C, entonces todo A es C
b) CELARENT: Si todo A es B y ningún B es C, entonces ningún A es C
c) DARII: Si algún A es B y todo B es C, entonces algún A es C
d) FERIO: Si algún A es B y ningún B es C, entonces algún A no es C
En la segunda figura reconoce Aristóteles cuatro combinaciones como dando
lugar a la implicación de la conclusión por las premisas, como silogismos.
a) CESARE: Si todo A es B y ningún C es B, entonces ningún A es C
b) CAMESTRES: Si ningún A es B y todo C es B, entonces ningún A es C
c) FESTINO: Si algún A es B y ningún C es B, entonces algún A no es C
d) BAROCO: Si algún A no es B y todo C es B, entonces algún A no es C
En la tercera figura reconoce Aristóteles seis combinaciones en las cuales las
premisas implican la conclusión, seis silogismos:
a) DARAPTI: Si todo B es A y algún B es C, entonces algún a es C
b) FELAPTON: Si todo B es A y algún B no es C, entonces algún A no es C
c) DISAMIS: Si algún B es A y todo B es C, entonces algún A es C
d) DATISI: Si algún B es A y ningún B es C, entonces algún A no es C
e) BOCARDO: Si todo B es A y todo B es C, entonces algún A es C
f) FERISON: Si todo B es A y ningún B es C, entonces algún A no es C
Para la cuarta figura los medievales encontraron lo siguiente:
a) BAMALIP: Si todo C es B y todo B es A, entonces algún A es B
b) CAMENES: Si todo C es B y ningún B es A, entonces ningún A es C
c) DIMATIS: Si algún C es B, y todo B es A, entonces algún A es C
d) FESAPO: Si ningún C es B y todo B es A, entonces algún A no es C
e) FRESISON: Si ningún C es B y algún B es A, entonces algún A no es C
PRIMERA FIGURA
BARBARA CELARENT DARII FERIO
MAP MEP MAP MEP
SAM SAM SIM SIM
SAP SEP SIP SOP
SEGUNDA FIGURA
CESARE CAMESTRES FESTINO BAROCO
PEM PAM PEM PAM
SAM SEM SIM SOM
SEP SEP SOP SOP
TERCERA FIGURA
DARAPTI FELAPTON DISAMIS DATISI BOCARDO FERISON
MAP MEP MIP MAP MOP MEP
MAS MAS MAS MIS MAS MIS
SIP SOP SIP SIP SOP SOP
CUARTA FIGURA
BAMALIP CAMENES DIMATIS FESAPO FRESISON
PAM PAM PIM PEM PEM
MAS MES MAS MAS MIS
SIP SEP SIP SOP SOP
Aristóteles desarrolló esta casuística de los modos silogísticos que luego, en la
lógica medieval encontraría su complemento incluso en relación con los desarrollos
que la lógica misma experimentó en la antigüedad por obra de los aristotélicos y de
los estoicos. El silogismo es por definición una deducción necesaria: por eso su
forma primaria y privilegiada es el silogismo necesario que Aristóteles llama
también demostrativo o científico. De los silogismos necesarios, la primera y mejor
especie es la de los silogismos ostensivos que Aristóteles contrapone a los que
parten de una hipótesis. Estos últimos no son los que luego se llamarán “hipotéticos
(en los que la premisa mayor está constituida por una condicional), sino aquellos
cuya premisa mayor no es la conclusión de otro silogismo ni es evidente de por sí,
sino que se emplea por vía de hipótesis. Uno de estos silogismos es el que opera la
reducción al absurdo. Entre los silogismos ostensivos, los más perfectos son los
silogismos universales de la primera figura, a los cuales se pueden reducir todas las
otras formas del silogismo. Por último, del silogismo deductivo se distingue el
silogismo inductivo o inducción, que es otra de las dos vías fundamentales por las
cuales el hombre alcanza las propias creencias.
“Llamo silogismo perfecto al que no necesita nada fuera de lo puesto en las
premisas para hacer evidente la necesidad de la conclusión. Llamo silogismo
imperfecto al que [para hacer evidente la necesidad de la conclusión] necesita de
una o varias cosas que no aparecen explícitamente en las premisas, aunque se
siguen necesariamente de ellas” .
Un silogismo perfecto es evidentemente válido. Un silogismo imperfecto es
igualmente válido, pero su validez no es evidente, sino que ha de ser mostrada con
ayuda de un silogismo perfecto. Aristóteles elige como axiomas de la silogística a
los silogismos de la primera figura, por ser éstos los únicos perfectos y evidentes.
¿Por qué son evidentes los silogismos de la primera figura? Porque en esta figura
y sólo en ella: 1) la primera premisa acaba con el mismo concepto con que empieza
la segunda, lo que facilita la intelección; 2) el concepto medio ocupa efectivamente
el puesto medio, lo que evidencia su papel mediador; 3) el primer y último
conceptos del antecedente (o unión de las dos premisas) son el primer y último
conceptos del consiguiente (o conclusión). Además, en el primer silogismo de la
primera figura, que es el más evidente de todos, el concepto sujeto de la conclusión
o concepto menor tiene una extensión menor que el concepto medio, que tiene una
extensión intermedia entre los otros dos y, por tanto, menor que la del concepto
predicado de la conclusión o concepto mayor.
Los silogismos de las figuras segunda y tercera son válidos, pero su validez no es
evidente, sino que sólo se patentiza reduciéndolos a los de la primera figura.
5.3.12. La inducción y la deducción
La inducción, según Aristóteles, es una deducción que, en lugar de deducir un
extremo de otro mediante el término medio (por ej., la mortalidad del hombre
mediante el concepto de animal), como hace el silogismo verdadera y propiamente
tal, deduce el término medio de un extremo, valiéndose del otro extremo. Por
ejemplo, después de haber constado que el hombre, el caballo y el mulo (primer
término) son animales sin bilis (término medio) y que el hombre, el caballo y el
mulo son longevos (segundo término), deduce que todos los animales sin bilis son
longevos: en cuya conclusión aparece el término medio y un extremo. El “ser sin
bilis” es, en este caso, el término medio porque es la razón o la causa, por la que el
hombre, el caballo y el mulo son longevos. La inducción es válida sólo si se agotan
todos los casos posibles; si, en el ejemplo propuesto, el hombre, el caballo y el mulo
son todos los animales sin bilis. De ahí que la inducción sea de uso limitado y no
pueda suplantar al silogismo deductivo, aunque para el hombre es un
procedimiento más fácil y claro. Por eso afirma Aristóteles que la inducción puede
usarse, no en la ciencia, sino en la dialéctica y en la oratoria, es decir, como
instrumento de ejercicio o de persuasión.
5.3.13. Silogismos: premisas y validez
En los Segundos Analíticos Aristóteles examina las premisas del silogismo y el
fundamento de su validez. Aristóteles parte del principio que “toda doctrina o
disciplina deriva de un conocimiento preexistente” . Para que el silogismo concluya
necesariamente, las premisas de donde deriva deben también ser necesarias. Y
para ser tales, han de ser, en sí mismas, principios verdaderos, absolutamente
primeros e inmediatos; y respecto a la conclusión, más cognoscibles, anteriores a la
conclusión y causas de ella. “Inmediatos” quiere decir que son indemostrables,
como evidentes por sí mismos, ya que si no fueran tales, serían principios de los
principios y así sucesivamente hasta el infinito. Algunos de estos principios son
comunes a todas las ciencias, otros son principios de cada ciencia. Común es, por
ejemplo, el principio: si de dos objetos iguales se sustraen objetos iguales, los
restos son iguales. En cambio, son propios los siguientes principios de geometría:
línea tiene una naturaleza de esta manera; la línea recta tiene una naturaleza de
esta manera, etc. Pero los principios, sobre todo los principios propios, según
Aristóteles, no son sino definiciones y las definiciones son posibles sólo de la
sustancia o de la esencia necesaria. La validez de los principios en que se funda la
ciencia, consiste, pues, en ser ellos expresión de la sustancia, o mejor aún, del
género de sustancias sobre las que versa una ciencia particular; y como la sustancia
es causa de todas sus propiedades y determinaciones como los principios son causa
de las conclusiones que el silogismo deriva de ellos, todo el conocimiento es
conocimiento de causas.
5.3.14. La dialéctica
Por otra parte, mientras en los Primeros Analíticos y en los Segundos Analíticos
Aristóteles se aplica al objeto de la ciencia, los Tópicos se aplica a la dialéctica. Esta
se distingue de la ciencia por la naturaleza de sus principios: los de la ciencia son
necesarios, absolutamente verdaderos; los de la dialéctica son sólo probables, esto
es, “parecen aceptables a todos o a los más o a los sabios y, entre estos, o a todos
o a los más o a los más ilustres”. Así, la ciencia que para Platón era la primera, la
Dialéctica queda relegada en Aristóteles a una zona marginal de la ciencia, inferior
a ella.
Finalmente, en los Electos sofísticos o Refutaciones sofísticas Aristóteles examina
los razonamientos erísticos o refutadores de los sofistas. Entiende los
razonamientos erísticos aquellos cuyas premisas no son ni necesarias (como las
premisas para las ciencias) ni probables (corno las de la dialéctica), sino son sólo
aparentemente probables. Los argumentos erísticos son denominados “sofismas”
por Aristóteles.
5.3.15. Reglas de la validez de los silogismos
Para que un silogismo sea válido debe cumplir algunas condiciones:
a) Al menos una premisa debe de ser afirmativa
b) Si una premisa es negativa, la conclusión debe ser negativa.
c) Si una premisa es particular, la conclusión también será particular.
c) El término medio ha de ser universal al menos una vez.
d) Si un término es universal en la conclusión, también lo debe ser en su
premisa correspondiente.
5.4. LA LÓGICA DE LOS ESTOICOS
5.4.1. La Lógica de los estoicos: introducción
Mediante el término lógica, adoptado por primera vez por Zenón, los estoicos
expresaban la doctrina que tiene por objeto los lógoi, o discursos. Como ciencia de
los discursos continuos, la lógica es retórica; como ciencia de los discursos divididos
en preguntas y respuestas, la lógica es dialéctica.
La dialéctica se define como “la ciencia de lo que es verdadero y de lo que es
falso y de lo que no es ni verdadero ni falso” . Con la expresión “lo que no es ni
verdadero ni falso” los estoicos probablemente entendían los sofismas o las
paradojas, sobre cuya verdad o falsedad no se puede decidir, siguiendo los estoicos
las huellas de los megáricos. A su vez, la dialéctica estoica se divide en dos partes,
según trate de las palabras o de las cosas que significan las palabras: la que trata
de las palabras es la gramática; la que trata de las cosas significadas es la lógica en
sentido propio: por lo tanto, ésta tiene por objeto las representaciones, las
proposiciones, los razonamientos y los sofismas .
Los megáricos y los estoicos fueron los primeros en estudiar la lógica de
enunciados, esto es, las relaciones entre enunciados unidos por partículas como ‘y’,
‘o’, ‘si … entonces’, etc. Los megárico-estoicos se interesaron por los razonamientos
que tienen la forma de argumento y no de una implicación, esto es, de series de
premisas distintas afirmadas y una conclusión derivada de ellas, en vez de
enunciados-premisas condicionales que implican un enunciado-conclusión. Pero lo
más fundamental es que esta lógica investigaba la lógica de las partículas
conectivas entre los enunciados. Los estoicos establecieron algunas leyes lógicas,
como el Modus Ponens (si p entonces q, y p, por tanto q), el Modus Tollens (si p
entonces q, y no q, por tanto no p) el silogismo disyuntivo (p o q, y no p, por tanto
q), etc., aunque ellos los entendieron como reglas de inferencia.
5.4.2. El criterio de verdad
El problema fundamental de la lógica estoica es el del criterio de la verdad. Este
es el problema más urgente para toda la filosofía postaristotélica, que considera el
pensamiento únicamente como guía de la conducta; ya que si el pensamiento no
posee él mismo un criterio de verdad y procede con incertidumbre y a ciegas, no
puede servir de guía a la acción.
Según todos los estoicos, el criterio de la verdad es la representación cataléptica
o conceptual. Dos interpretaciones son posibles del significado de esta expresión.
En primer lugar, la fantasía (kataleptiké) puede consistir en la acción del intelecto
que se apodera y comprende el objeto. En segundo lugar, puede ser la
representación impresa en el entendimiento por el objeto, esto es, la acción del
objeto sobre el entendimiento. Para Sexto Empírico la representación cataléptica es
la que viene del objeto real y es impresa y marcada por él en conformidad consigo
mismo, de modo que no podría nacer de un objeto diverso. Zenón, sin embargo,
ponía el significado de la representación cataléptica en su capacidad de alcanzar y
comprender el objeto. Él comparaba la mano abierta y los dedos extendidos a la
representación pura y simple; la mano contraída que hace acto de coger, al
asentimiento; la mano cerrada en puño, a la comprensión cataléptica. En fin, las
dos manos apretadas una sobre otra, con gran fuerza, eran el símbolo de la ciencia,
la cual proporciona la verdadera y completa posesión del objeto.
5.4.3. El asentimiento y la epoché
La representación cataléptica es, pues, relacionada con el asentimiento por parte
del sujeto cognoscente, asentimiento que los estoicos creían voluntario y libre. Si el
recibir una representación determinada, por ejemplo, ver el color blanco, sentir lo
dulce, no está en el poder del que lo recibe, porque depende del objeto del cual se
origina la sensación, el asentir a tal representación es, en cambio, un acto libre.
El asentimiento constituye el juicio; el cual se define precisamente o bien como
asentimiento o como disconformidad o como suspensión, esto es, renuncia
provisional al asentimiento de la representación recibida o a disentir de la misma.
Según Sexto Empírico, los estoicos posteriores pusieron el criterio de la verdad, no
en la simple representación cataléptica, sino en la representación cataléptica “que
no tenga nada contra sí”; porque puede darse el caso de representaciones
catalépticas que no sean dignas de asentimiento por las circunstancias en que son
recibidas. Sólo cuando no tiene nada en contra suya, la representación cataléptica
se impone con fuerza a las representaciones divergentes y obliga al sujeto
cognoscente a prestar su asentimiento. De esto se deriva claramente que la
representación cataléptica es la que está dotada de evidencia no contradicha, tal
que solicite con gran fuerza al hombre a prestar su asentimiento, el cual, con todo,
es libre. Consecuentemente, definían ciencia como una representación cataléptica o
un hábito inmutable para aceptar tales representaciones, acompañadas de
razonamiento y afirmaban que no hay ciencia sin dialéctica, siendo propio de la
dialéctica presidir los razonamientos.
Por lo que se refiere al problema del origen del conocimiento, el estoicismo es
empirismo. Todo el conocimiento humano procede de la experiencia, y la
experiencia es pasividad, porque depende de la acción que las cosas externas
ejercen sobre el alma, considerada como un papel (tabula rasa,) sobre el cual se
registran las representaciones.
Toda representación, después de su desaparición, determina el recuerdo; un
conjunto de recuerdos de la misma especie constituye la experiencia. De la
experiencia nace, por un procedimiento natural, el concepto común o anticipación;
pero cuando se llega al universal por medio de un procedimiento técnico, se tiene el
concepto. La anticipación es el concepto natural del universal. Los conceptos son,
en cambio, producidos por la instrucción o el razonamiento, y constituyen la ciencia.
Es la razón, por tanto, la que procede a la formación de las nociones universales
que son el fundamento de la ciencia. Pero la razón actúa, según los estoicos, sobre
el material facilitado por la sensibilidad.
5.4.4. El nominalismo estoico
Los conceptos no tienen para los estoicos ninguna realidad objetiva: lo real es
siempre individual y el universal subsiste solamente en las anticipaciones o en los
conceptos. El estoicismo es, pues, un nominalismo, según la expresión empleada en
la escolástica para designar la doctrina que niega la realidad al universal. Los
conceptos más generales, las categorías, son reducidos por los estoicos a cuatro:
a) El sustrato o sustancia
b) La cualidad
c) El modo de ser
d) El modo relativo
Estas cuatro categorías están entre sí en una relación tal que la siguiente
encierra la precedente y la determina. De hecho, nada puede tener un carácter
relativo, si no tiene un modo de ser; no puede tener un modo de ser, si no tiene una
cualidad fundamental que lo diferencia de los demás; y no puede tener esta
cualidad si no subsiste por sí, y es sustancia.
El concepto más alto y más amplio, o, como decían, el género sumo, es el
concepto de ser; por cuanto todo en cierto modo es, y no hay, por tanto, un
concepto más extenso que éste. El concepto más determinado, en cambio, es el de
especie, que no tiene otra especie debajo de sí, esto es, el individuo, por ejemplo,
de Sócrates. Otros estoicos, queriendo hallar un concepto aún más extenso que el
del ser, recurrieron al de algo (quid), que puede comprender también a las cosas
incorpóreas y a las inexistentes.
5.4.5. La proposición y el razonamiento
La parte de la lógica estoica que ha ejercido mayor influencia en el desarrollo de
la lógica medieval y moderna es la que concierne a la proposición y al
razonamiento. Como fundamento de esta parte de su doctrina, los estoicos pusieron
la teoría del significado que ha conservado su importancia fundamental en la lógica
y en la teoría del lenguaje. Tres son los elementos que se coligan: el significado, lo
que significa y lo que es. Lo que significa es la voz, por ej., “Sócrates”. El significado
es la cosa señalada por la voz y a la que nosotros unimos pensando en la cosa
correspondiente. Lo que es, es el sujeto externo, por ejemplo, el mismo Sócrates .
De estos tres elementos conexos, dos son corpóreos, la voz y lo que es; uno es
incorpóreo, el significado mismo.
En otros términos, el significado es aquella función o representación o concepto
que nos viene a la mente cuando oímos una palabra y que nos permite referir la
palabra a una cosa determinada. Así, por ejemplo, si con la voz “hombre”
entendemos un “animal racional” podemos designar con esta voz a todos los
animales racionales, es decir, a todos los hombres. El concepto “animal racional” es
el significado que permite la referencia de las palabras al objeto existente. Este
concepto sirve de camino entre la palabra (y en general, la expresión verbal) y la
cosa real o corpórea, orientada de esta manera la referencia al objeto de las
expresiones lingüísticas que de otra manera serian puros sonidos, incapaces de
toda conexión con las cosas. Por lo tanto, la referencia a la cosa es parte integrante
del significado o, por lo menos, es un aspecto íntimamente unido a ella, pues la
información en que consiste el significado no tiene más función que la de hacer
posible y orientar tal referencia.
En la lógica medieval y moderna, lo que los estoicos llamaban significado ha sido
expresado con otros nombres como connotación, intención, comprensión,
interpretante, sentido, mientras que la referencia a la cosa ha sido llamada
suposición, denotación, extensión, significado. Pero esta diversidad de terminología
no ha cambiado el concepto de significado en los tres elementos fundamentales en
que los estoicos lo habían analizado.
Según los estoicos, el razonamiento consiste en una conexión entre
proposiciones simples del tipo siguiente: “si es noche, hay tinieblas; pero es noche,
luego hay tinieblas”. Como se ve, este tipo de razonamiento no tiene nada de
común con el silogismo aristotélico, pues le faltan sus caracteres fundamentales: es
inmediato (no tiene término medio) y no es necesario. La falta de estos caracteres
permite a los estoicos distinguir la conclusión de un razonamiento de su verdad. El
razonamiento antes expuesto es verdadero sólo si es de noche, pero es falso si es
de día. Sin embargo, es concluyente en todo caso, porque la conexión de las
premisas con la conclusión es correcta.
5.4.6. Tipos de razonamientos
Los tipos de razonamientos concluyentes los llamaban los estoicos apodícticos o
razonamientos no demostrativos. No son demostrativos por ser evidentes por sí
mismos y son los siguientes:
1. Si es de día hay luz. Pero es de día. Luego hay luz.
2. Si es de día hay luz. Pero no hay luz. Luego no es de día.
3. Si no es de día, es de noche. Pero es de día. Luego no es de noche.
4. 0 es de día o es de noche. Pero es de día. Luego no es de noche.
5. 0 es de día o es de noche. Pero no es de noche. Luego es de día.
Estos esquemas de razonamientos son siempre válidos, pero no siempre son
verdaderos ya que son verdaderos solamente cuando la premisa es verdadera, es
decir, cuando corresponde a la situación de hecho. Sobre ellos se modelan los
razonamientos demostrativos, que no sólo son concluyentes, sino que además
manifiestan algo que antes era “oscuro”, es decir, algo que no es inmediatamente
manifiesto a la representación cataléptica que se ve siempre limitada al aquí y
ahora. Un ejemplo que los estoicos aducían es: “Si una mujer tiene leche en el
pecho, ha parido; pero esta mujer tiene leche en el pecho; luego ha parido”. El
razonamiento demostrativo en este sentido lo llaman los estoicos un signo
indicativo por cuanto permite poner en claro lo que antes era oscuro. En cambio,
son signos rememorativos aquellos que, en cuanto se presentan, hacen evidente el
recuerdo de la cosa que primero ha sido observada en conexión con ellos y ahora
no es manifiesta como lo es, por ejemplo, el humo con respecto al fuego.
Evidentemente, los estoicos confiaban la construcción de su doctrina al
razonamiento demostrativo; por ejemplo, la demostración de la existencia del alma
o del alma del mundo (que es Dios) a partir de los movimientos o de los hechos que
son dados inmediatamente a la representación cataléptica, es un signo indicativo
en el sentido ahora explicado.
5.4.7. La lógica de los condicionales
Uno de los temas más debatidos fue la lógica de los condicionales. Dos fueron las
interpretaciones principales que se dieron acerca de las condiciones de verdad de
los condicionales. Según Filón de Megara, los enunciados del tipo “si … entonces”
sólo son falsos cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso; en
todos los demás casos es verdadero. Este condicional fue denominado por Russell
implicación material, y es el usado normalmente en lógica desde Frege.
Por contra, según Diodoro de Cronos, para que un enunciado condicional sea
verdadero es menester, no meramente que no sea –en ese instante– el antecedente
verdadero y el consecuente falso, sino que nunca sea el antecedente verdadero y el
consecuente falso. De este modo, “si es de día entonces es de noche” es siempre
falso, independientemente de cuando se emita. Como para Diodoro la verdad del
condicional sólo se da si constituye una implicación material siempre verdadera,
podemos llamarlo implicación material permanente. Hubo incluso quienes pensaban
que sólo tiene sentido considerar a un condicional verdadero cuando se da algún
tipo de relación entre el contenido del antecedente y el del consecuente, de modo
que no sea posible que siendo el antecedente verdadero el consecuente sea falso.
Esto es lo que en este siglo C.I. Lewis ha denominado implicación estricta. Este es el
tipo de implicación que se da para Aristóteles entre las premisas y la conclusión de
un razonamiento, de modo que el que las premisas de un razonamiento sean falsas
no basta para justificar la validez del razonamiento, sino que es menester que si las
premisas fueran verdaderas, la conclusión necesariamente lo sería. En suma, sólo
en la implicación estricta el consecuente es deducible del antecedente.
5.4.8. La Escuela Megárica
La escuela megárica fue fundada por Euclides (no el geómetra), un seguidor de
Sócrates. Entre sus discípulos se encuentra Epimónides, a quien se ha adscrito la
antinomia o paradoja del mentiroso. También hay que mencionar a Zenón de Citio
(fundador del estoicismo) y a sus sucesores Cleantes y Crisipo.
Crisipo, junto con Aristóteles, fue el lógico más productivo de la antigüedad.
Presenta la lógica en forma de reglas y no en forma de leyes como Aristóteles.
Sobre la interdefinición de conectivas, podemos decir que gran atención le
dedicaron estoicos y megáricos al sentido de las conectivas «si...entonces», «y»,
«o».
Se advirtió que si nos atenemos a los sentidos correspondientes a la teoría de
funciones de verdad, la conectiva «si...entonces» puede ser definida en términos de
«no» y de «y», que «o» puede ser definida en términos de «si...entonces» y de
«no». De hecho Crisipo recomendaba que, a efectos de claridad, el condicional
material se expusiese como una conjunción negada.
Un argumento, según los estoicos, “es”, un sistema compuesto de unas premisas
y una conclusión. El ejemplo típico era una instancia de Modus Ponens:
1. Aquél que presenta una proposición condicional seguida de la condición. «si
es de día, hay luz; ahora bien, es de día, luego hay luz».
Nótese que corresponde al modo Ponendo pones, pero corresponde más aún
cuando comprobamos que los estoicos utilizaban variables de enunciado, no con
letras minúsculas, como normalmente se hace en la lógica simbólica, sino con
números, y así pudieron presentar este primer esquema de inferencia de la
siguiente forma:
Si lo primero, entonces lo segundo, es así que lo primero, luego lo segundo.
Nótese también que aquí «lo primero» y lo «segundo» son auténticas variables
de enunciado y realizan la misma función que las letras p y q.
2. Aquél que presenta la proposición condicional y o contrario de su conclusión:
Si lo primero, entonces lo segundo, no es así que lo segundo, luego no lo primero.
3. Aquél que presenta la negación de una conjunción y uno de los miembros de
esa conjunción:
No a lo primero y lo segundo, es así que lo primero, luego no lo segundo.
4. Aquél que presenta una disyunción (exclusiva en su caso) y la afirmación de
uno de los miembros:
O lo primero o lo segundo, es así que lo primero, luego no lo segundo.
5. Aquél que presenta una disyunción (Inclusiva en este caso) y la negación de
uno de sus miembros:
Lo primero o lo segundo, no es así que lo primero luego lo segundo.
Estos tipos de inferencia son los que actualmente conocemos y utilizamos en la
lógica simbólica. Bochenski, en su Historia de la lógica formal, no es partidario de
hablar de una lógica estoica sin más, pues defiende la tesis de que los estoicos lo
único que hicieron fue propagar la lógica megárica en numerosos y excelentes
manuales. Por eso es partidario de hablar da una lógica megárico-estoica,
insistiendo hay que denominar megárica a las ideas fundamentales y estoica a la
elaboración técnica.
El propio Bochenski reconoce que si fue Peirce el primero en observar que la
lógica estoica es una lógica sentencial, fue mérito imperecedero de Lukasiewicz
haber ofrecido su interpretación correcta.
«...Con megáricos y estoicos surgió una lógica sentencial, la segunda gran
creación de los griegos en el terreno de la lógica, justamente lo que faltaba casi por
completo en la lógica aristotélica. Al mismo tiempo llevaron la consideración formal
hasta una concepción formalista de la lógica, apoyados en una sintaxis y en una
semántica pormenorizada. Esta lógica, incomprendida durante siglos, merece
también que se la reconozca como grandiosa creación en el orden del espíritu».
5.5. LA LÓGICA MEDIEVAL
5.5.1. Introducción a la Lógica Medieval
La lógica medieval, –entendiendo por tal la que se desarrolla en el occidente
cristiano durante la Edad Media, del s. XI al XV-, es heredera de la lógica griega y,
en especial, de la silogística aristotélica. A.N. Prior destaca cuatro aportaciones
nuevas y fundamentales de la Escolástica: (1) una teoría general de la referencia
(suppositio terminorum), (2) una teoría general de la implicación (consequentia), (3)
un desarrollo de la lógica de las modalidades, y (4) el tratamiento de paradojas y
problemas lógicos del lenguaje.
El primer tratado medieval de lógica es la Dialéctica, de Alcuino, obra escrita en
forma de diálogo para ser utilizada en el trivium, base de la enseñanza elemental
medieval, que Alcuino restaura a iniciativa del emperador Carlomagno. Durante un
largo período de tiempo, la lógica queda relegada a estas nociones elementales de
las artes liberales. La aparición de los «dialécticos» del s. XI y las primeras
discusiones sobre la naturaleza de los universales renuevan el interés por la lógica y
su relación con la gramática.
El primer lógico medieval importante es Pedro Abelardo. Sus obras de mayor
interés son la Dialéctica, en la que reelabora la herencia lógica dejada por
Boecio, y Sic et Non, en la que introduce uno de los procedimientos más
característicos del estudio de las cuestiones en la Escolástica.
A partir de la segunda mitad del s. XII, se conocen ya en occidente el resto de
obras lógicas de Aristóteles; la lógica basada en estas nuevas obras se conoció con
el nombre de ars nova, o «nueva lógica», la usada ya en las universidades del s.
XIII. La doble dirección en el estudio de la lógica que existió en éstas –por un lado,
el estudio más formal de la lógica desarrollado con cierta libertad e independencia
por las facultades de artes, basado en las primeras obras conocidas del Organon
aristotélico, más Analíticos primeros, Tópicos y Elencos sofísticos, y por otra, un
estudio de la lógica en consonancia con la metafísica aristotélica y Analíticos
segundos, llevado a cabo por las facultades de teología, más fieles al pensamiento
aristotélico- dio origen a la lógica antigua, de las facultades teológicas, y a la lógica
moderna, de las facultades de artes.
El autor más representativo de esta lógica moderna es Pedro Hispano; sus obras
de lógica, Summulae Logicales, fueron los manuales usuales durante los siglos XIV y
XV, con más de 150 ediciones. A finales del s. XIII, la lógica moderna se instala en
Oxford, donde consigue sus momentos más álgidos con Roberto Kilwarby, Juan
Duns Escoto (aunque los tratados lógicos se atribuyen a un Pseudo-Escoto) y, sobre
todo, Guillermo de Occam. La doctrina sobre las consecuencias, desarrollada de un
modo especial durante esta época, representa una de las influencias de la lógica
estoica sobre la medieval. «Consecuencia» es, para los medievales, un condicional
o un argumento con la partícula «ergo» uniendo enunciados. Se discute
intensamente cuáles son las condiciones de verdad tanto de los condicionales como
de estos argumentos y se escriben al respecto tratados titulados De Consequentiis.
Tales tratados, aunque no eran independientes de la lógica aristotélica, recogen
algunas de las leyes fundamentales de la lógica de enunciados. Se añade la teoría
de la suppositio, o de la significación de un mismo término según el lugar que ocupa
en un enunciado. Estas teorías guardan relación con la teoría moderna de la
cuantificación.
5.5.2. Aportaciones de los medievales a la lógica
Los autores medievales conocieron más a los autores postaristotélicos que al
propio Aristóteles. Alguno de éstos es bastante importante, como Galeno y Porfirio
(cuya Isagoge suscitó en la edad media el problema de los universales a Alejandro
de Afrodisia).
La mayor parte de sus contribuciones fueron examinadas por Boecio. Los
comentarios de éste a Porfirio, a las Categorías, a los Analíticos y Tópicos de
Aristóteles, sus libros sobre la definición y la división, sus tratados sobre los
silogismos categóricos e hipotéticos, constituyeron la base para la mayor parte de
los estudios de lógica en la Edad Media, y su influencia persistió, inclusive, después
del siglo XIII, en que se conoció por entero en Occidente el Organon. Pero, desde
Boecio hasta el siglo XII, la actividad en la lógica no fue sobresaliente. En cambio, a
partir del siglo XIV hubo un nuevo florecimiento de la lógica.
A partir de Abelardo se manifestaron signos de creciente interés por esta
disciplina, pero el grueso del trabajo lógico en la Edad Media se inició sólo desde
Alberto el Magno, prosiguiendo, a través de Santo Tomás de Aquino y otros
filósofos, hasta quienes con más empeño cultivaron los estudios lógicos: Pedro
Hispano, Guillermo de Occam, J. Duns Escoto, Alberto de Sajonia y Juan Buridán.
El inventario de las contribuciones de la Edad Media a la lógica está todavía en
formación, pero ahora, a través de las investigaciones de autores como A. Cromvie,
J. Lukasiewicz, I.M. Bochenski se está avanzando mucho en este terreno.
Los trabajos más importantes son los de Pedro Hispano, que presentó sistemas
de lógica muy completos y con un elevado grado de formalismo.
Estos autores mezclaron los trabajos lógicos con las especulaciones de índole
metafísica y ontológica. A ello deben unirse los numerosos estudios de filosofía del
lenguaje, especialmente a través de la gramática especulativa.
En la Edad Media, el uso de la disputatio como ejercicio escolar produjo un
desarrollo del arte de discutir, es decir, de la dialéctica propiamente dicha, y un
estudio más intenso de la sofística; de ahí se derivaron análisis más detallados
sobre las relaciones entre proposiciones y sobre el sentido de los términos. Por eso
los lógicos componen tratados que dan las reglas a seguir en las disputationes, pero
cuyo sentido en la historia de la lógica es sin duda más importante.
Junto a los tratados sobre las disputationes, se encuentran los tratados “sobre las
controversias”, que estudian las inferencias entre proposiciones simples y
compuestas y los sophismata. Un sophisma no es un sofisma, o por lo menos no lo
es necesariamente (como la fallacia); es una proposición que contiene alguna
dificultad, debido a una falta o a una ambigüedad de construcción, o a cualquier
otra razón; esa proposición es estudiada por sí misma, y en la práctica escolar sirve
de ocasión, en muchos casos, para que el maestro desarrolle un punto particular de
la disciplina que enseña. Casos particulares de sophismatason: los “insolubles”, o
proposiciones que, tomadas al pie de la letra, se contradicen (como “yo digo
mentira”); los “imposibles”, en los que la contradicción no se solventa por una
simple distinción lógica, como ocurre en el caso de los “insolubles”.
Además de la teoría de las consecuencias, los lógicos se ocuparon también de los
términos y de sus relaciones en la proposición. Enumeraron y analizaron palabras
tales como cada, todo, y, o, no...; su característica común es que no significan por sí
mismas, sino que tienen que unirse a términos dotados de una significación propia
o “categorema”; de ahí proviene su nombre, que es “sincategoremas”.
Otro concepto importante es el de “suposición”; se llama así a la acepción en que
es tomado un nombre. Por ejemplo, en la frase “el hombre es animal”, la palabra
hombre “supone por” una especie; en el “hombre corre”, por un individuo; en el
“hombre es sustantivo”, por una palabra. Con la suposición hay que relacionar la
“copulación”, que afecta del mismo modo al predicado. Queda aún la
“amplificación”, caso en que un nombre es empleado para designar no sólo los
objetos presentes, sino también los pasados, futuros y posibles: esto afecta
necesariamente al sentido de la proposición en que se encuentra.
Lo que los lógicos medievales pretendían, en realidad, era estudiar el único
instrumento de razonamiento de que se disponía: la lengua latina. Los lógicos
construyeron un álgebra del lenguaje y se esforzaron mucho por disipar sus
ambigüedades y extraer las reglas de su uso exacto.
Muy común es, entre los escolásticos, distinguir entre una lógica menor o lógica
formal y una lógica mayor o lógica material. Esta última suele abarcar sobre todo
tratados neoescolásticos, que han adoptado esta división para muchas cuestiones
de carácter metodológico y critico y para algunos problemas metafísicos y
ontológicos.
5.5.3. Boecio y el “cuadrado lógico de la oposición” de las proposiciones
categóricas
En De philosophia rationali Apuleyo se interesa por las relaciones entre las cuatro
proposiciones clásicas, que se dividen en universales, particulares, singulares e
indefinidas. Una proposición es universal cuando el predicado es atribuido o negado
con respecto a todos los entes abarcados por el sujeto: “todos los hombres (o:
ningún hombre) son filósofos”. Tenemos una proposición singular cuando el
predicado se afirma o se niega de un solo individuo: “Juan es filósofo”. Una
proposición particular es aquella en la que el predicado se atribuye o se niega sólo
de algunos de los entes abarcados por el sujeto: “algunos hombres son filósofos”.
En la proposición indefinida el predicado se atribuye o se niega de un sujeto, pero
sin precisas a cuántos individuos se hace referencia: “el tren corre”. Apuleyo, al
tratar y analizar todas estas proposiciones, afirma que es conveniente presentarlas
en quadrata formula, y las dispone de esta manera. En su cuadro aparecen las
contradictorias (alterutrae), las contrarias (incongruae) y las subcontrarias
(suppares). Faltan las subalternas.
Boecio vuelve a tomar el cuadrado lógico de Apuleyo, pero lo completa con la
subalternación. Habla de proposiciones contradictoriae, contrariae, subcontrariae y
subalternae. Introduce asimismo términos como “sujeto”, “predicado” y
“contingente”.
Más tarde los medievales indicarán mediante letras las cuatro proposiciones
clásicas (véase Pedro Hispano). Colocando de manera oportuna las formas normales
de las proposiciones categóricas, se obtiene el clásico cuadrado de la oposición. En
él, A y E son una verdadera y la otra falsa, no pueden ser ambas verdaderas, pero
pueden ser ambas falsas; A, O y E, I siempre son una verdadera y otra falsa, y no
pueden ser ambas verdaderas ni ambas falsas; I y O resultan implicadas,
respectivamente, por A yE.
Este cuadrado no fue concebido como un juego elegante, sino que se consideró
que las relaciones lógicas ilustradas mediante el presente diagrama proporcionaban
una base lógica que garantizaba la validez de ciertas formas elementales de
razonamiento. Éstas eran las que concernían a las inferencias inmediatas, esto es,
aquellas inferencias en las que la conclusión surge inmediatamente de la premisa,
sin mediación de una segunda premisa. Así, un silogismo es una inferencia mediata,
mientras que la inferencia: “todos los hombres son justos y, por eso, algún hombre
es justo” es inmediata. El cuadrado tradicional nos ofrece la base lógica para un
número considerable de inferencias inmediatas de este tipo, que pueden
enumerarse así:
Si A es verdadera: E es falsa, I es verdadera, O es falsa Si E es verdadera: A es falsa, I es falsa, O es verdadera
Si I es verdadera: E es falsa, A y O son indeterminadas
Si O es verdadera: A es falsa, E e I son indeterminadas
Si A es falsa: O es verdadera, E e I son indeterminadas
Si E es falsa: I es verdadera, A y O son indeterminadas
Si I es falsa: A es falsa, E es verdadera, O es verdadera
Si O es falsa: A es verdadera, E es falsa, I es verdadera
Otros tipos de inferencias son aquellos que se obtienen por conversión, por
obversión y por contraposición. La conversión se realiza mediante el intercambio de
las respectivas proposiciones de los términos del sujeto y del predicado de una
proposición. En este caso, se trata de la conversio simplex y se aplica a E y a I; O no
tiene proposición conversa, y A la tiene per accidens: además de cambiar la
posición de los términos, es preciso cambiar también la cantidad de la proposición,
de universal a particular. Por ejemplo: la conversa de “todos los perros son
animales” es “algunos animales no son perros”. Se produce obversión cuando el
término-sujeto permanece incambiado, y también permanece incambiada la
cantidad de la proposición que se desea obvertir, pero se cambia la cualidad,
sustituyendo el término-predicado por su complemento.
La obversión se aplica a los cuatro tipos de proposiciones categóricas. Estamos
ante una contraposición cuando en una proposición categórica se sustituye su
término-sujeto por el complemento de su término predicado y, al mismo tiempo, su
término-predicado se sustituye por el complemento de su término-sujeto. La
contraposición se aplica a A y a O; I no tiene proposición contrapuesta, y E sólo la
tiene per accidens. Pueden resumirse así estos tipos de inferencias inmediatas:
CONVERSIÓN
Convertenda
A: Todo S es P
E: Ningún S es P
I: Algún S es P
O: Algún S no es P
Conversa
Algún P es S (per accidens)
E: Ningún P es S
I: Algún P es S
No existe conversa
OBVERSIÓN
Obvertencia
A: Todo S es P
E: Ningún S es P
I: Algún S es P
O: Algún S no es P
Obversa
E: Ningún S es no-P
A: Todo S es no-P
O: Algún S no es no-P
I: Algún S es no-p
CONTRAPOSICIÓN
Premisa
A: Todo S es P
E: Ningún S es P
I: Algún S es P
O: Algún S no es P
Contrapuesta
A: Todo no-P es no-S
O: Algún no-P no es no-S
(por limitación)
No existe contrapuesta
O: Algún no-P no es no-S
Para Boecio las proposiciones hipotéticas son más generales que las categóricas:
es posible expresar una proposición categórica a través de una proposición
hipotética, pero no es posible llevar a cabo la operación inversa. Distingue entre dos
tipos de proposiciones hipotéticas: el primer tipo se da cuando el consecuente está
vinculado al antecedente de una manera accidental; en el segundo tipo, el
consecuente es una consecuencia natural del antecedente. Por ejemplo, al decir “si
el fuego es cálido, el cielo es redondo”, no pretendemos afirmar que el cielo es
redondo porque el fuego sea cálido, sino sencillamente que al mismo tiempo que el
fuego es cálido, el cielo es redondo.
5.5.4. Pedro Hispano
En las Summulae logicales aparecen por primera vez las vocales, palabras y
versos mnemotécnicos que luego se emplearon corrientemente en la enseñanza de
la lógica. Así, por ejemplo, se indica con la A la proposición universal afirmativa, con
la E la universal negativa, con la I la particular afirmativa y con la O la particular
negativa, con arreglo a los siguientes versos:
A adfirmat, negat E, sed universaliter ambae,
I firmat, negat O, sed particulariter ambae.
Para indicar las figuras y los modos del silogismo emplea las palabras
mnemónicas Barbara, Celarent, Darii, Ferio, etc., cuyas vocales indican la cantidad
y la cualidad de las proposiciones que constituyen las premisas y conclusiones del
silogismo.
En el libro 7 de esta obra incluye la lógica terminalista. Las propiedades de los
términos son la suposición, la ampliación, la restricción, la apelación, la distribución.
Pero la más importante de todas ellas es la suposición. La suposición se distingue
de la significación en que, a diferencia de ésta, es propia no del término aislado sino
del término en cuanto se repite en las proposiciones y constituye su dimensión
semántica.
La suposición y la significación difieren en que la significación es la imposición de
una voz a la cosa significada mientras que la suposición es la acepción del mismo
término ya significante para cualquier otra cosa; por ejemplo, cuando se dice “el
hombre corre” este término “hombre” alude a Sócrates, a Platón, o cualquier otro.
La significación es antes que la suposición, pero no son idénticas ya que el significar
es propio de la voz y el suponer lo es del término ya compuesto de voz y
significación .
Distingue entre suposición simple y suposición personal. Existe suposición simple
cuando el término común se emplea para la cosa universal que el mismo
representa, como cuando se dice “el hombre es una especie”: en cuya proposición
el término “hombre” está en lugar del hombre en general y no por un individuo
humano determinado. En cambio, hay suposición personal cuando el término
común está en lugar de los individuos comprendidos por el mismo, como en la
proposición “el hombre corre”, donde el término hombre está en lugar de los
individuos humanos, o sea, en lugar de Sócrates, de Platón y de otros.
5.5.5. El Ars Magna de Raimundo Lulio
Entre los lógicos medievales destaca Ramón Llull. Llull piensa que el ser de las
criaturas es como una imitación de Dios, y la naturaleza es como un libro en el que
pueden leerse los designios de la divinidad. Pero para captar el orden divino deben
establecerse unos principios generales. Dichos principios generales –que son los
que estaban en la base de su Ars–, eran elementos simples a los que se reducen
todas las proposiciones y, debidamente combinados, debían hacer posible una
presentación unitaria, rigurosa y encadenada de todo el saber.
El Ars Magna es una grandiosa realización filosófica y que ha dado lugar al
llamado lulismo´. Este método lógico ha ejercido un influjo grande en Cusa, Bruno,
Descartes, Leibniz y la lógica moderna. Lulio pretendía proporcionar a la
apologética católica una técnica rigurosamente racional que permita, con la ayuda
del silogismo, convencer a los infieles, demostrando las verdades del cristianismo.
Se percibe aquí la influencia formal del Organon de Aristóteles, que fue
sistematizada por Pedro Hispano.
Obsesionado por la idea de unidad, Lulio quiso reducir todos los conocimientos a
un pequeño número de principios, a fin de expresar todas las relaciones posibles de
los conceptos, mediante las combinaciones múltiples, traducida en figuras tipos.
Así, ingeniosos procedimientos mnemotécnicos -rimados- harán posible, cree Lulio,
a todos los hombres los conceptos más abstractos. La técnica consiste en formar
silogismos impecables, cuya combinación se encamina a la edificación de la ciencia.
Las dos operaciones esenciales son:
a) Dado un sujeto, encontrar todos los predicados posibles. Lulio representa
cada término (sujeto o predicado) con una letra del alfabeto.
b) Combina después estas letras por dos, tres, cuatro, etc., de todas las
maneras posibles, estableciendo de este modo las relaciones necesarias entre los
términos de un juicio o entre los de diversos juicios.
Encuentra siete figuras, designadas con las letras A (que representa a Dios y los
atributos divinos), S (el alma racional y sus potencias), T (los principios y los
significados), V (las virtudes y los vicios), X (los opuestos o la predestinación), Y (la
verdad) y Z (la falsedad).
Cada grupo lógico de estas letras se denomina una “cámara”; se trata de “hacer
cámaras” correcta y fecundamente. Conforme a reglas formales e inalterables, el
lógico, situado ante los términos de una cuestión cualquiera que sea, encontrará
indefectiblemente, con la ayuda de las razones necesarias, la solución adecuada.
Lulio enumera, de este modo, en un cuadro enorme de nueve columnas,
simbolizadas por las letras de la B a la K, nueve predicados absolutos, que son los
atributos divinos, correspondiendo a cada uno un adjetivo, una virtud, un vicio, etc,
opuesto a estos atributos. Esas letras se articulan en esquemas triangulares o
circulares (cuatro figuras), fijos o móviles, de forma que la mera colocación inicial o
deducida nos dará como resultado una definición estricta. Haciendo girar los
círculos concéntricos darán como resultado 84 combinaciones ternarias, y cada
columna se compone a su vez de 20 cámaras o combinaciones, lo que arroja para la
tabla un conjunto de 1680 cámaras.
La lógica en la que se basaba era, fundamentalmente, la silogística de
Aristóteles, que supone unos principios ciertos (que incluso los infieles han de
aceptar), y consideraba que había la posibilidad de encontrar todos los términos
medios posibles que unan cualquier sujeto con el predicado que le conviene. De
esta manera, se podrían enumerar todos los predicados posibles de un sujeto y
determinar de acuerdo con las reglas lógicas, cuáles le pertenecían. Pensaba que
así incluso se podría demostrar lógicamente el misterio de la Trinidad. De esta
manera, aunque basándose en la lógica demostrativa de Aristóteles, Ramón Llull la
concebía como una lógica capaz de ser inventiva, que no se limita a resolver las
verdades conocidas, sino que es capaz de descubrir las nuevas. Además de este
cálculo general, que influyó decisivamente en Leibniz (y que, por intermedio de
éste, se puede considerar un precedente de la lógica moderna), Llull defendió
también una metafísica ejemplarista y un realismo neoplatónico, muy influido por el
agustinismo que imperaba entre los franciscanos a los que Llull estaba próximo.
No obstante, en Llull se trata de poco más que de una idea visionaria. Fue
Descartes quien concibió la idea de un lenguaje general como una suerte de
aritmética, como parte del método de una filosofía verdadera, si bien se cuidó de
tratar él mismo de constituir tal lenguaje y lo planteó como un proyecto para la
posteridad.
5.5.6. La lógica de Occam
La lógica de Occam ha adquirido en nuestro tiempo una relevancia singular, por
su incidencia de temas con la lógica contemporánea, pero con frecuencia no han
advertido los historiadores la importancia de la lógica de Occam (y la de sus
seguidores) en la formación de la ciencia moderna. De su lógica destacamos los
aspectos más interesantes. El nominalismo o terminismo condujo a excesos
extravagantes. Se concedió mucha importancia a la significación de los términos,
sin hacer caso de la materia a la que designaban, y las palabras por sí solas
constituyen el objeto de discusiones académicas. El occamismo tuvo que sc portar a
lo largo del siglo XIV diversas condenas por la defensa de proposiciones más o
menos heréticas. Pero el desprecio con el que es mirada a partir del siglo XV, y
descalificada ya con el apelativo de “escolástica”, se debe a la inmoderada atención
a las palabras, al uso de las mismas, a la formación de neologismos sin referente
concreto (contraviniendo la propia “navaja de Occam”). Esto explica el desprecio
que algunos renacentistas sentían hacia el occamismo (como Erasmo, Luis Vives,
etc.).
El nominalismo tendía a considerar corno ciertas las proposiciones analíticas, es
decir, la verdad de una proposición se alcanza al advertir que el enunciado opuesto
es contradictorio. Pero este tipo de verdad no puede aplicarse a los enunciados
experimentales. Por tanto, los conocimientos físicos y cosmológicos, por ejemplo,
no pasan de ser probables. Y la probabilidad de una proposición sugiere que
también podemos formular otra u otras proposiciones distintas (exceptuando las
verdades de la fe revelada), con las que también se podría buscar explicar el mismo
fenómeno. El camino para buscar nuevas hipótesis quedaba completamente
abierto.
En el siglo XIV la metodología académica no había superado el método “sic et
non” de Pedro Abelardo, la llamada “quaestio” . Esto condujo frecuentemente a una
espiral infantil de búsqueda estéril de sutilezas, buscándose la defensa de los
argumentos más disparatados (v.g. el sexo de los ángeles) con el fin de sobresalir.
Pero si esta deformación del método condujo a una palabrería inútil y sin sentido,
también posibilitó el probabilismo, en cuanto los argumentos acumulados en favor
de una proposición, falsa por el momento, son tantos y tan razonables que inclinan
en su favor la inteligencia. O en todo caso, la aceptación de que hay tantas pruebas
a favor como en contra, reforzando ese probabilismo. Así sucede con los
argumentos en pro o en contra del movimiento de la Tierra, como vemos en
Oresmes.
La apertura intelectual propiciada por Occam y el nominalismo, transporta
muchos elementos sobre los que se construirá la ciencia moderna.
5.5.7. Los “calculatores” de la Escuela de Oxford
Bajo el influjo de Occam, en la llamada Escuela de Oxford se presentan unos
rasgos peculiares que sirven para caracterizarla, además de su hincapié en las
formulaciones algebraicas. Estos rasgos están constituidos por la exagerada
importancia sobre la intensio et remissio qualitatum seu formarum. Ambos aspectos
tienen su proyección también en la Escuela de París.
Los sophismata, al igual que los insolubilia, y otras colecciones semejantes
constituían series de proposiciones falsas o de razonamientos capciosos en los que
se debía descubrir fallos de deducción, los falsos presupuestos o principios
utilizados, etc. Constituían una especie de libros de problemas lógicos. Si bien estos
ejercicios indican la alta estima otorgada a la lógica, el prestigio en el ámbito
escolar de quienes dominaban las sutilezas de este método conduce a una
palabrería vacía. Cuando se han rebatido todas las proposiciones en contra, se cree
que se ha demostrado una afirmación, no cuando se ha examinado el hecho o el
concepto mismo.
El uso de la aritmética y de una incipiente álgebra conlleva también un
significado ambivalente. Por una parte, como hemos visto en el caso de
Bradwardine, conduce a la concepción de escalas numerables en las que se
establece la relación entre diversas variables. También a la introducción de
conceptos y términos de posterior relevancia en la formación de la ciencia
moderna, como formae uniformes, formae uniformiter difformes, etc.
5.6. LA LÓGICA MODERNA
5.6.1. La lógica de la Edad Moderna: introducción
La época moderna se suele considerar como un período particularmente
decadente hasta la aparición de Boole. Aunque para otros autores, esta opinión es
excesiva.
Ni Descartes, ni los otros grandes filósofos modernos (con la excepción de
Leibniz) se distinguieron como lógicos formales su contribución a la historia de esta
disciplina no es completamente nula, cuando menos de una forma indirecta en el
terreno metodológico en Descartes y en la esfera de la semiótica en Hobbes. Lo que
sucedió es que muchos filósofos de dicha época se interesaron menos por la lógica
formal que por el estudio de los métodos de la ciencia natural.
La crítica en cuestión puede, pues, aplicarse mejor al Renacimiento que a la
época moderna propiamente dicha. Los autores renacentistas, en efecto, con sólo
algunas excepciones, como la de Pedro Ramus, se limitaron a criticar el uso y abuso
de la silogística y de las sutilezas semióticas en los autores escolásticos,
confundiendo con frecuencia dentro de un sólo grupo a los lógicos y semióticos
verdaderamente creadores y rigurosos, y aquellos que no hicieron sino introducir
inútiles o falsos razonamientos.
Podemos mencionar también la Lógica de Port Royal, inspirada en el
cartesianismo, que hizo intentos para desarrollar la lógica como un cálculo.
Pero la figura capital de la edad moderna es sin duda Leibniz, que durante un
tiempo fue considerado como el “fundador de la logística”. Pero otros nombres
deben añadirse al suyo: Jacobo y Juan Bernoulli, J. H. Lambert. Todos ellos
estuvieron dominados por el deseo en el que había abundado ya LlulI, tan apreciado
por Leibniz a causa de su Ars Magna, de constituir una característica universalis y
un calculus ratiocinator que les sirviera de instrumento.
Debemos advertir que las ideas formuladas al respecto no eran siempre muy
claras; a veces se trataba de una ciencia universal análoga a una metodología
universal; en ocasiones se insistía más bien en una pasigrafía, gramática artificial,
álgebra general del lenguaje. Estas últimas tendencias, que se extendieron
especialmente durante los siglos XVII y XVIII, han sido consideradas por algunos
como una continuación de la gramática especulativa.
Observemos que en lo tocante a la semiótica, la época moderna contiene
posiblemente elementos más ricos de lo que se ha venido sospechando; aparte de
los intentos mencionados, los trabajos al respecto de autores como Locke, sobre
todo Condillac (y su escuela) merecen una investigación cuidadosa.
Común a Leibniz y a los autores citados inmediatamente después del mismo, es
el haber basado sus cálculos lógicos en la intención. Los cálculos en cuestión son,
pues, casi siempre cálculos de conceptos. Los trabajos lógicos de los autores
citados no se limitan empero a ello. Leibniz, en particular, tocó muchos de los
puntos desarrollados por la posterior lógica simbólica, por ejemplo, el enlace del
álgebra con los números, pero su fragmentarismo y en parte sus finalidades
filosóficas generales le impidieron llevar a cabo una labor completa en ninguna de
las muchas vías iniciadas.
Por lo demás, la idea de la formalización leibniziana de la lógica estaba
estrechamente vinculada a la idea de que los principios lógicos son “invariantes
para todos los mundos posibles”. De ahí que las proposiciones lógicas
fundamentales para Leibniz sean a la vez proposiciones ontológicas.
Otro caso muy distinto es Kant. Hay dos características con respecto a su
posición frente a la lógica. Tiene una clara visión de la lógica formal y a la vez una
actitud poco inteligente de la historia de la lógica. Para Kant, la lógica no es un
Organon, sino un Canon, criterio y procedimiento para detectar falacias, criterio
purificador. La distingue de lo que él llama la lógica trascendental, un estudio de las
implicaciones filosóficas de la lógica formal.
Lo que resulta paradójico es que para Kant, la lógica salió de Aristóteles, y es una
lógica entera, conclusa y perfecta. Este error de Kant además es doble, puesto que
lo que consideró lógica de Aristóteles es una lógica empobrecida, la de los
manuales escolásticos de la Baja Edad Media.
5.6.2. El preludio de la lógica matemática: Leibniz y su proyecto de
“Scientia Universalis”
a) La lógica de Leibniz
Para Leibniz el saber conceptual se reducirá en último término a descubrir todas
las combinaciones posibles de los primeros elementos primitivos y sus conexiones
en este reino de las verdades esenciales. Ya a sus veinte años había escrito sobre
un género de arte combinatoria, que tendría por cometido “hallar una especie de
alfabeto de los conocimientos humanos, que permitiera, mediante la combinación
de sus letras y el análisis de las palabras compuestas de aquéllas, descubrir y
juzgar todo lo demás”.
Leibniz era un gran admirador de la silogística aristotélica, aunque no creía que
todos los argumentos pudiesen ponerse en forma de silogismo; por ejemplo, los
argumentos por inversión de la relación, como “Tito es más alto que Cayo. Por
tanto, Cayo es más bajo que Tito”. Sin embargo, no llegó a crear una lógica de
relaciones debido a que pensaba que éstas podían reducirse a conjunciones o
concatenaciones de predicados monádicos. Sostuvo también que las figuras de los
silogismos no son tres, sino cuatro, obteniéndose entonces veinticuatro, y no
catorce, formas de silogismo válidos.
Leibniz se entregó al estudio de la lógica desde joven. A los dieciocho años ya
concibió el proyecto de Alphabetum cogitatiunun humanarum, que expuso en su
obrita De Arte combinatoria; aunque después siguió otro camino, no desdeñó nunca
este proyecto. Se trata de aplicar el método matemático a la ciencia en general,
aspirando a construir una ciencia a priori independientemente de la experiencia.
Consistiría en un catálogo reducido de nociones fundamentales, simples y
evidentes, expresadas por símbolos, de las cuales, combinándolas entre sí, podrían
deducirse todas las demás ideas y todas las ciencias. La lógica sería, pues, una
especie de álgebra del pensamiento, un arte de invención y de combinación, cuya
función consistiría en lograr un “catalogus eorum quae per se concipiuntur; et cuius
combinatione caeterea ideae nostrae exurgunt”.
Su fundamento sería el siguiente:
1. Todos los conceptos son simples o compuestos, y éstos pueden
descomponerse en conceptos simples (idea precursora del “atomismo lógico” de
Russell).
2. El número de conceptos simples es muy reducido.
3. Los conceptos simples pueden representarse con un símbolo, o con una
palabra, de lo cual resultaría el Alphabetum cogitationum humanarum.
4. Una vez obtenidos los conceptos simples, por análisis o descomposición de
los compuestos, comprobada su verdad, pueden obtenerse nuevos conceptos
compuestos, combinándolos según las reglas de la aritmética.
5. Este procedimiento permitiría la unificación de todas las ramas del saber en
una ciencia universal.
b) El proyecto de una characteristica universalis
En De arte combinatoria pensó en la creación de una característica universalis o
lenguaje simbólico universal que fuese un instrumento de cálculo del pensamiento.
Su ideal era que las disputas y diferencias de opinión se pudiesen resolver mediante
el cálculo. De acuerdo con eso, los disputantes se sentarían, tomarían sus plumas y
dirían: “Calculemus”. Quería además crear una lógica del descubrimiento o lógica
inventiva.
La “característica universal” (characteristica universalis) es una expresión con la
que Leibniz se refiere a un lenguaje universal, basado sobre todo en el simbolismo y
reglas combinatorias, que representaría el “verdadero alfabeto del pensamiento
humano”-basado en las ideas innatas-, y con el que sería factible razonar y mostrar
todas las posibles relaciones de los conceptos entre sí. La utilidad de este lenguaje,
además de su universalidad, radicaría en la posibilidad de eliminar las controversias
en ciencia, filosofía y religión, pues “razonar no sería más que calcular” . El
proyecto de su Enciclopedia no era más que un medio para realizar el Alphabetum
cogitationum humanarum, esto es, para llegar a un conjunto reducido de símbolos
representativos de unas cuantas ideas simples, a base de las cuales pudieran
reconstruirse todas las ciencias mediante el “arte combinatoria”. Los signos
deberían representar los objetos, a la manera de jeroglíficos egipcios, y serían muy
sencillos y rápidos de aprender; también se parecen a los signos de los
“alquimistas”. El modelo debería ser el álgebra, ya que permite realizar todas las
operaciones con un número reducido de símbolos. Leibniz proyectaba aplicarla a
todas las ciencias, con lo que esperaba conseguir que todas tuvieran el mismo rigor
deductivo y el mismo grado de certeza que las matemáticas, excluyendo finalmente
todo error en virtud de un método deductivo riguroso.
Para conseguir esto era necesario un método o una lógica que Leibniz divide en
dos ramas:
1. Lógica demostrationis: o “método de la certeza”, consistente en los Elementa
veritatis aeternae, y que serviría para comprobar las verdades descubiertas hasta
llegar a la certeza de su verdad.
2. Logica inventionis: su objeto es facilitar la investigación y realizar nuevos
descubrimientos con un método deductivo seguro, riguroso y sistemático
c) La lógica como philosophia perennis
Con los procedimientos descritos se llegaría a convertir todas las ciencias en
ramas de la Matemática, y esa matemática “universal” sería la Philosophia
perennis. Leibniz esperaba los mayores resultados de la aplicación de su método.
La verdad se descubriría con facilidad y de modo infalible; con ello desaparecerían
los avances y retrocesos del conocimiento, así como las disputas entre los filósofos
y las escuelas. Las ciencias progresarían, se lograría la paz religiosa entre las
distintas iglesias, y en todo el inundo se iniciaría una era de paz, felicidad y
bienestar. Pero sus proyectos fracasaron. En primer lugar, porque para llegar a la
Characteristica era necesario previamente realizar la Enciclopaedia, y ésta no pudo
llevarse a cabo por no haber conseguido la colaboración necesaria. Y además,
porque tanto una como otra dependían de la posesión de la verdadera filosofía; y a
esta “verdadera filosofía” perenne, Leibniz no llegó, según su parecer, hasta 1685
(pues un año antes descubrió el “cálculo infinitesimal”).
d) Cálculos y desarrollos lógicos
Leibniz ensayó varios cálculos lógicos: 1) trató de simbolizar los conceptos
mediante números enteros, “aritmetizando” la lógica, 2) utilizó letras en lugar de
números, 3) elaboró un cálculo de la inclusión, o sea, una lógica intencional, y 4)
esbozó un cálculo con el concepto de sustracción (diferente del de negación) de las
comprensiones de los términos.
De acuerdo con su tesis de que el concepto de predicado está incluido en el
concepto de sujeto, intentó elaborar una lógica en que lo importante fuese la
relación conceptual entre el predicado y el sujeto, independientemente de la
existencia o no existencia del objeto designado por el sujeto. «En las escuelas [i.e.,
en la escolástica] hablan de otra manera, no considerando las nociones, sino
ejemplos sujetos a nociones universales... En verdad, preferí considerar las
nociones universales o las ideas y sus compuestos, porque no dependen de la
existencia de los individuos». A la lógica basada en esta idea se le ha llamado lógica
intensional.
En Algunas dificultades de la lógica, Leibniz propone dos lecturas de las
proposiciones categóricas. Son las siguientes:
Todo A es B AB = A A no B es no-ente
Algún A no es B AB ¹ A A no B es ente
Ningún A es B AB ¹ AB ente AB es no ente
Algún A es B AB = AB ente AB es ente
En la versión de la segunda columna puede observarse que, dada la tesis de la
contención o inclusión del predicado en el sujeto, tanto A como el predicado B están
incluidos en el sujeto A, es decir, AB Ì A; pero también podemos ver que A Ì AB, y
esto se debe a que para Leibniz todo enunciado o proposición, tanto de razón como
de hecho, afirma en el fondo una identidad (o su negación). Si la identidad es una
verdad de razón, ésta se demuestra en un número finito de pasos; si es una verdad
de hecho, se necesita, para su demostración por parte de nosotros (no de Dios), un
“análisis infinito”, es decir, una aproximación continua e interminable a una
identidad que sólo es vista por la mente divina. La versión de la tercera columna
muestra que todas las oraciones de sujeto-predicado, unidas por la cópula
(llamadas oraciones de tercer adyacente) son equivalentes a oraciones en que el
sujeto es la unión del sujeto y predicado, del cual se predica la entidad o la no
entidad (oraciones de segundo adyacente).
5.6.3. La lógica de Port Royal
El Centro del jansenismo fue el antiguo monasterio femenino Cisterciense de
Port-Royal, situado cerca de Versalles, que a comienzos de siglo había sido
reformado por una joven abadesa, Jaequeline Arnauld (llamada madre Angélica). En
las proximidades del monasterio se retira a vivir un grupo de laicos, impulsados por
el deseo de la perfección cristiana. Al principio, fue Saint Cyran quien actuó como
guía espiritual de este grupo de laicos, y a su muerte, le sucede Louis Le Maétre de
Saci.
Además de la doctrina jansenista, la mayor aportación filosófica de Port-Royal fue
su lógica, la llamada Lógica de Port-Royal o arte de pensar. Se basa en la obra,
escrita por Antoine Arnauld (1612-1694) y Pierre Nicole (1625-1695), titulada La
lógica o arte de pensar, que apareció anónima. Este libro gozó de una enorme
fortuna. Durante dos siglos las “personas de bien” estudiaron la lógica en él,
especialmente -pero no de modo exclusivo- en Francia. Durante estos dos siglos se
realizaron más de cincuenta ediciones francesas, bastantes traducciones inglesas y
una docena de traducciones latinas.
Como indica el título de la obra, la lógica no era una ciencia sino un arte: el arte
que enseña no a combinar palabras y fórmulas, sino a pensar correctamente.
1. Así, la lógica tiene que convertirse en un instrumento adecuado para servir a
las demás ciencias. Por consiguiente, en primer lugar, es inútil perder el tiempo -
como ocurre en la enseñanza de la lógica escolástica- con silogismos elaborados
mediante ejemplos artificiosos. Si la enseñanza quiere ser no sólo entretenida sino
también conseguir resultados válidos y útiles, debe basarse en ejemplos de
razonamientos que se utilicen de modo efectivo en los diversos ámbitos del saber,
la literatura y la vida.
2. En segundo lugar, la lógica escolástica se propone ofrecernos las reglas de
los razonamientos correctos, y su utilidad consiste, sin duda, en tales reglas. Sin
embargo, según Arnauld y Nicole, no debemos creer siquiera que tal utilidad vaya
muy lejos, ya que la mayor parte de los errores humanos no consiste en verse
engañados por consecuencias erróneas, sino en caer en juicios falsos, de los que se
extraen consecuencia erróneas. Los hombres, en suma, razonan en general de un
modo correcto, es decir, no se engañan al extraer determinadas consecuencias de
las premisas; lo que ocurre es que a menudo juzgan equivocadamente, es decir, no
saben establecer las premisas.
3. En resumen: no es cuestión de corrección, sino que es problema de la
verdad, por lo cual el arte de razonar (esto es, deducir consecuencias basándose en
premisas) debe estar precedido por el arte de pensar (el arte que enseñe a
establecer premisas válidas), por un arte que enseñe a juzgar adecuadamente.
No se trata de que haya que rechazar las reglas escolásticas, sino de
encuadrarlas en realidad en un proyecto de tipo diferente: La aversión a todo lo que
amenace el estado de alerta del pensamiento, el continuo apelar a ideas claras y
distintas, a las luces naturales de la razón, al “sentido común”, muestran sin
ninguna duda que esta lógica es de espíritu cartesiano. El influjo de Descartes sobre
Arnauld y Nicole se combina con el que Pascal ejerce sobre éstos: las reglas de
Descartes y Pascal son reglas metodológicas.
Mientras las tres primeras partes del citado libro versan respectivamente sobre
las ideas, los juicios y los razonamientos, la cuarta parte está dedicada al método:
la substancia de esta parte de la Lógica o arte de pensar fue extraída de las
Regulae y del Discurso del método de Descartes y del fragmento Sobre el espíritu
geométrico de Pascal. Si el método fue discutido en la cuarta parte, la segunda está
dedicada a análisis lingüísticos que se proponen esclarecer las formas lógicas
estructurales o fundamentales, que en ocasiones se esconden bajo las más variadas
formas lingüísticas. El pensamiento asume la forma de lenguaje, pero el lenguaje no
debe enclaustrar o distorsionar el pensamiento. La forma lingüística no debe torcer
o viciar las operaciones lógicas.
La función de la lógica, arte de pensar, consiste en poner en claro el auténtico
pensamiento que se halla debajo de las apariencias de la forma verbal,
ayudándonos a remontarnos desde la forma hasta el significado. Este es el que
debe permitir una interpretación de la forma, por lo que no es la forma la que
impone el significado. En efecto, dos años antes que la Lógica, se publicó una
Gramática general y razonada, escrita por Arnauld y Lancelot. La intención
específica que manifiesta dicha Gramática general es precisamente el llegar a
aquellas estructuras fundamentales que rigen la mente humana en general, y que
puede constatarse en el interior de las diferencias existentes entre las lenguas
históricas. En otros términos, Arnauld y Lancelot trataron de convertir en lógico
aquel hecho histórico que es el lenguaje. Trataron de demostrar que el substantivo
define la substancia y el adjetivo sólo puede denotar el accidente. De este modo, la
teoría del verbo lleva a condenar la retórica de Aristóteles en nombre de su lógica.
Para los lógicos de Port-Royal, el verbo posee la función principal de significar la
afirmación lógica pura y simple, es decir, señalar que el discurso en el que se utiliza
aquella palabra es el discurso de un hombre que no sólo concibe las cosas, sino que
las juzga y las afirma. En resumen, la proposición gramatical y la proposición lógica
-la lengua y la razón- deben coincidir. De Saussure dirá que el programa de Port-
Royal es un programa estrictamente sincrónico. Y Noam Chomsky ha afirmado que
la gramática de Port-Royal es un precedente de su gramática transformacional.
5.6.4. Kant: lógica formal y lógica trascendental
Según Kant, además de la sensibilidad, el hombre posee una segunda fuente de
conocimientos: el intelecto. Mediante aquélla, los objetos nos son dados, y a través
de la segunda son pensados. Para Kant la intuición y los conceptos constituyen los
elementos de todos nuestros conocimientos, de manera que ni los conceptos, sin
que les corresponda de algún modo una intuición, ni la intuición, sin los conceptos,
pueden darnos un conocimiento. Más aún, ninguna de estas dos facultades debe
anteponerse a la otra. Sin sensibilidad no se nos daría ningún objeto y sin intelecto
no podría pensarse ninguno. Los pensamientos sin contenido están vacíos; las
intuiciones sin conceptos son ciegas... Estas dos facultades o capacidades no
pueden intercambiar sus funciones. El intelecto no puede intuir nada y los
sentimientos nada pueden pensar. El conocimiento sólo puede surgir de su unión.
Pero no por esto hay que confundir sus partes: por el contrario, es muy razonable
separarlas adecuadamente y mantenerlas divididas.
Por ello, Kant distingue entre la ciencia de las leyes de la sensibilidad en general -
la estética- y la ciencia del intelecto en general- la lógica.
La lógica es la ciencia del intelecto en general y se divide en:
a) Lógica general
b) Lógica trascendental
La primera prescinde de los contenidos y se limita a estudiar las leyes y los
principios en general del pensamiento, sin los cuales no existiría una utilización del
intelecto. Esta es la célebre lógica formal descubierta por Aristóteles, y según Kant,
nació casi perfecta, hasta el punto de que «no tuvo que dar ningún paso atrás» y se
ha limitado a sufrir correcciones sólo de detalle.
A Kant, en la Crítica de la Razón Pura no le interesa la lógica formal sino la
trascendental, que no prescinde del contenido. ¿Cuál será el contenido que la lógica
trascendental tiene por objeto, además de las formas mismas del pensamiento?
Kant distingue entre conceptos empíricos y conceptos puros; los empíricos son
aquellos conceptos que contienen elementos sensibles; puros, en cambio, son
aquellos que no están mezclados con ninguna sensación.
En la Estética Trascendental nos encontramos con una distinción análoga,
cuando Kant habla de intuiciones puras e intuiciones empíricas: intuiciones puras
son las formas del espacio y del tiempo; intuiciones empíricas son aquellas en las
que las sensaciones se mezclan con el espacio y el tiempo. Ahora bien,
prescindiendo de todo contenido empírico, el intelecto puede tener como contenido
las intuiciones puras de espacio y de tiempo. Precisamente en esto consiste la
lógica trascendental, que hace abstracción de los contenidos empíricos, pero no de
los vínculos con las intuiciones puras, esto es, de los vínculos que mantiene con el
espacio y el tiempo.
Además, la lógica formal no considera el origen de los conceptos, sino que se
limita a estudiar las leyes que regulan los nexos que hay entre ellos. En cambio, la
lógica trascendental estudia el origen de los conceptos y se ocupa específicamente
de aquellos conceptos que no provienen de los objetos, sino que provienen a priori
del intelecto, y que sin embargo se refieren a priori a los objetos mismos.
5.6.5. La lógica del siglo XIX
Entre 1825 y 1900 el álgebra y la geometría experimentaron grandes cambios,
que hacia 1900 dieron lugar a una nueva concepción de la filosofía de la
matemática. Una ecuación es un enunciado que establece que dos grupos de
números o de signos representativos de ellos son iguales. Hasta 1825 el álgebra no
era sino la teoría de las ecuaciones. El fin de la teoría era obtener un conocimiento
del modo en que tales ecuaciones podían ser manipuladas para asignarles valores
numéricos que las hiciesen verdaderas, como también obtener un conocimiento de
las condiciones que controlan la existencia entre esos valores numéricos. Las cuatro
operaciones básicas se efectuaban siguiendo un criterio más o menos intuitivo,
según los pasos que parecían más “naturales”. Las reglas que las apoyaban
continuaban en la oscuridad. No se pensaba que fuese necesario el establecimiento
de tales reglas.
Peacock adelantó la idea de que el álgebra es una ciencia deductiva como la
geometría. Defendía, primero, que todos los procesos del álgebra habrán de estar
basados en un establecimiento completo del cuerpo de leyes que conciernen a las
operaciones utilizadas en esos procesos, no pudiéndose usar ninguna propiedad de
una operación si no ha sido puesto de manifiesto que tal propiedad pertenece a esa
operación, y no se ha establecido como una ley verdadera desde el comienzo o no
ha sido obtenida por deducción a partir de las leyes iniciales. En segundo lugar, que
los signos de las operaciones no tienen, a efectos deductivos, otros sentidos que
aquellos que les han sido asignados por leyes.
5.6.6. La lógica inductiva de John Stuart Mill
Para Mill la lógica es una elaboración posterior de nuestras intuiciones sensibles.
Pero no todo es percepción inmediata; éstas son ciertas y contra ellas no hay
apelación. Sin embargo, la mayor parte de nuestro saber lo obtenemos por
deducciones (inferences). Después de las observaciones particulares siempre
queremos establecer leyes generales y conceptos. Y estas leyes implican siempre
una conexión y dependencia entre un A y un B, C, etc. Mill se propone mostrar los
pasos seguros en las deducciones. En su obra A System of Logic, Rationative and
Inductive (Londres, 1843), establece algunas reglas:
Método de concordancia: si dos o más casos, en los que tiene lugar un fenómeno, tienen una única circunstancia común, ésta es causa o efecto de aquel fenómeno.
Método de diferencia: si dos casos contienen un fenómeno W siempre que se da la circunstancia A, y no la contienen si A falta, W depende de A.
Método combinado de concordancia y diferencia: si varios casos, en que está presente A, contienen un fenómeno W, y otros casos, en que no está presente A, no contiene W, A es condición de W.
Método de los residuos: si W depende de A = A1, A2, A3, mediante la comprobación de las dependencias de A1 y A2, queda también comprobado en qué grado depende W de A3.
Método de las variaciones concomitantes: si un fenómeno W cambia siempre que cambia otro (fenómeno U), de modo que todo aumento o disminución de U va acompañadio de un aumento o disminución de W, W depende de U.
De este modo una importante contribución a la lógica inductiva la hallamos en su
Sistema de lógica, donde Mill estructuró los métodos de prueba que, según su
interpretación, iban a caracterizar la ciencia empírica. Este estudio ha
desembocado, en el siglo XX, en el campo conocido como filosofía de la ciencia.
Muy relacionada con ésta se encuentra la rama de las matemáticas llamada teoría
de la probabilidad.
Así, Mill supera a Hume en cuanto a la táctica, pero no en cuanto a los principios
empiristas; el psicologismo de Hume es continuado por el empirismo lógico de
Stuart Mill.
5.7. LÓGICA SIMBÓLICA.
5.7.1. La lógica matemática o simbólica contemporánea: Introducción
El desarrollo de la forma matemática de la lógica no ha concluido todavía,
existiendo hasta hoy, discusiones sobre su contenido peculiar, e incluso sobre su
mismo nombre. Se la denomina «lógica matemática», «lógica simbólica»,
«logística».
Características específicas de la lógica simbólica:
1. En primer lugar, esta forma de la lógica se trata siempre de un cálculo, es
decir, de un método formalístico, que consiste fundamentalmente en que las reglas
de las operaciones se refieren a la forma de los signos y no a su sentido,
exactamente igual que en matemáticas. Es verdad que el formalismo se ha
empleado de vez en cuando en otras formas de la lógica, sobre todo en la
escolástica, pero ahora se ha convertido en un principio universal de método lógico.
2. Íntimamente relacionado con esto, hay una novedad profundamente
revolucionaria. Todas las demás formas conocidas de la lógica se sirven de un
método abstractivo: las proposiciones lógicas se obtienen del lenguaje natural
mediante abstracción. Los lógicos matemáticos proceden de una forma inversa:
primero construyen un sistema puramente formal, y sólo después le buscan una
interpretación en el lenguaje ordinario. Es verdad que este procedimiento no
aparece siempre en toda su pureza, e incluso no es imposible encontrarle ciertas
correspondencias en otras formas de lógica, pero, a partir de Boole, este principio
se ha asentado de una manera clara.
3. Las leyes se formulan en lenguaje artificial, que consiste en símbolos
semejantes a los matemáticos (en el sentido estricto de la palabra). La verdad es
que también las constantes se expresan por medio de signos artificiales; éstos se
empleaban para las variables ya desde Aristóteles.
5.7.2. La lógica simbólica: cronología de los pensadores
En general todos los autores suelen señalar a Leibniz como el fundador de la
lógica matemática, aunque el fundador de una escuela y el punto de partida del
ininterrumpido desarrollo de la lógica matemática sea George Boole, cuyo primer
escrito, innovador y revolucionario, The Mathematical Analysis of Logic apareció en
1847. El mismo año Augustus de Mergan publicó su Formal Logic.
La idea de Boole han sido desarrolladas en diversas direcciones por: R. Lellis
(1863), R. Grassemann (1872), W.S. Jevons (1864), J. Venn (1880), y sobre todo por
E. Schröder (1877).
Contemporáneos de los últimos autores citados, son los trabajos de una escuela
de lógicos matemáticos, cuyos principales representantes son, C.S. Pierce (1870),
Gottlob Frege (1879) y G. Peano (1880). De estos pensadores sólo Peano, creó una
escuela más numerosa; Pierce y Frege pasaron prácticamente desapercibidos.
El descubrimiento del pensamiento de Frege es un mérito de Russell (1903), que
junto con Whitehead, elaboraron su gran obra Principio Mathematica (1910-1913);
en ella se utiliza el simbolismo de Peano, combinándolo con sus propios
conocimientos.
Y antes de la aparición de los principios, habían entrado en actividad Hilbert
(1907), Brouwer (1907), el primer trabajo de Lukasiewicz (1910), Tarski (1921) y
Carnap (1930).
5.7.3. Boole
Probablemente puede considerarse el análisis matemático de la lógica de Boole
como el nacimiento de la lógica matemática. Boole esta influido, además de por las
ideas de la lógica clásica, por las de Hamilton y De Morgan, relativas a la teoría que
se basaba en el cambio de las cuatro formas de enunciado categórico (A, I, E y O)
en un número mayor en las cuales se toma en consideración la cuantificación del
predicado. Por ejemplo, Hamilton advirtió dos tipos de enunciados universales:
“Todo S es todo P” y “Todo S es algún P”. Si se tiene en cuenta también la
cuantificación de predicados, entonces todo enunciado de la forma sujeto-predicado
puede transformarse en una ecuación o en la enunciación de que esa ecuación es
falsa, aproximando de este modo la lógica al álgebra.
En la teoría de Hamilton y De Morgan, S y P se convierten en signos de las cosas
mismas que poseen las cualidades (y no como signos de cualidades, tal como
ocurría en Aristóteles). Este es el cambio de “todo S es P” a “todos los S son P”
(p.e., de “toda hoja es verde” a “todas las hojas son verdes”). Este cambio de un
enfoque intensional (en términos de cualidades de las cosas) por uno extensional
(en términos de clases de objetos) permitió una estricta matematización de la
lógica, y así un avance más rápido, pues los conceptos extensionales siempre
poseen unos criterios de aplicación más claros.
El nombre que se emplea en lógica y matemáticas para designar un grupo
formado por todas las cosas que poseen una cierta propiedad es el de clase o
conjunto, y de las cosas que poseen esa propiedad se dice que son elementos de la
clase o del conjunto. Las ideas de clase y elemento son básicas en la matemática
actual. El resultado de la teoría de Hamilton y De Morgan fue posibilitar una
concepción de la lógica como un álgebra de clases. Y Boole fue el primero en tener
claramente esta concepción.
Boole da cuenta de la antigua lógica como un álgebra, mostrando cómo los
enunciados A, I, E y O pueden traducirse en forma de ecuaciones simples; cómo las
consecuencias necesarias de cualquiera de estos enunciados pueden obtenerse
algebraicamente partiendo de su ecuación correspondiente; cómo la validez de un
silogismo puede comprobarse convirtiendo el grupo de enunciados que lo integran
en un sistema de ecuaciones simples y viendo si la ecuación correspondiente a la
conclusión puede ser obtenida algebraicamente a partir de las ecuaciones
correspondientes a las premisas; y cómo si se dan ciertos enunciados como
premisas de un silogismo, pero sin especificar conclusión alguna, es posible obtener
algebraicamente de ellos una conclusión necesaria partiendo de sus
correspondientes ecuaciones.
Pero Boole expuso, además, una teoría de la lógica de enunciados considerada
como un álgebra. Como su teoría de la lógica de enunciados fue, en cuanto a la
forma, la misma que la del álgebra de clases, fue el primero en ofrecer una teoría
unificada de la lógica. De este modo, el álgebra de Boole es como una teoría con
dos interpretaciones. Así, en álgebra de clases “1” significa “todo”, esto es, la clase
de todos los elementos posibles, “0” es “nada”, o sea, la clase que no tiene por
elemento nada que sea elemento de “todo”, “x + y” es la clase cuyos elementos
son las cosas de “todo” que son elementos de x o y de y, pero no de ambos; “x ( y”
es la clase de elementos comunes a x e y. Pero esas cuatro fórmulas significan
respectivamente en lógica de enunciados: “lo verdadero”, “lo falso”, que x es
verdadero o y es verdadero, pero no ambos, y finalmente que x es verdadero e y es
verdadero.
5.7.4. La teoría de las relaciones de Pierce
Pierce hizo una completa exposición de su teoría de las relaciones en su artículo
The Logic of Relative. Su teoría está basada en el álgebra de Boole y en la lógica
formal y otros ensayos de De Morgan.
Una lógica de relaciones es necesaria para una lógica de la matemática, porque
existe una gran cantidad de relaciones que juegan un importante papel en
matemáticas. Además, Pierce ideó un «procedimiento de decisión» para evaluar si
un complejo de signos en un sistema de juntores es o no representativo de una ley
verdadera de lógica. Se dice que un procedimiento es un procedimiento de decisión
si es completamente automático, capaz de ser realizado por una máquina, y
suministra una comprobación de que, lo que formulas en un sistema, son leyes del
mismo, siendo una fórmula, una ley si sólo se cumple una cierta propiedad «p».
Pierce tenía la intención de construir una teoría de la lógica de juntores como un
sistema basado en axiomas.
5.7.5. El álgebra de la lógica de Schröder
Las principales obras de Ernot Schröder sobre lógica matemática fueron «El
campo de Operaciones de Cálculo lógico» y «Lecciones sobre el álgebra de la
lógica».
Gran parte de lo que hizo Schröder era nuevo, aunque a menudo basado en
material más antiguo. Entre sus teoremas más valiosos figura el de dualidad, según
el cual todas las leyes del álgebra de la lógica pueden ser agrupadas por parejas,
siendo posible pasar del conocimiento de uno de los dos componentes de la pareja,
al conocimiento del otro, por medio de una sencilla regla de mutación.
5.7.6. Frege y la fundación de la lógica formal
Muchos consideran que la lógica simbólica moderna nace con la publicación, por
G. Frege, de su obra Conceptografía (1879), breve ensayo que pasó inadvertido
hasta que la obra de Russell, Principia Mathematica (1903), llamó la atención sobre
su contenido. La Conceptografía representa la primera formalización de la lógica
elemental o de primer orden, y muestra que la aritmética se identifica con la lógica,
o que es una parte de la lógica, en aparente contraposición con la postura de Boole.
Según Jesús Mosterín , la obra de Frege puede dividirse en cuatro períodos:
1. Construcción de un formalismo lógico (Ideografía o Conceptografía).
2. Fundamentación de la Aritmética (Los fundamentos de la Aritmética).
3. Elaboración de su Semántica. Intento de reducción de la Aritmética a la lógica.
4, Disputas con Hilbert. Investigaciones Lógicas.
En sus Fundamentos de la aritmética (1884), tras una crítica de las doctrinas que
hacían del número una propiedad de las cosas del mundo, una realidad subjetiva o
una colección, Frege se aplica a presentar su teorías: un número es enunciar alguna
cosa de un concepto. De esta forma, desarrolla una teoría de la reducción de la
aritmética a la lógica, de influencia platónica en cuanto a su concepción de la
matemática.
Los Grundgesetze (constitución o ley fundamental) de Frege (2 vols. 1893 y
1903) debían desarrollar lo apuntado en sus Fundamentos de la aritmética y
proseguir el gran proyecto de la Begriffsschirft (Conceptografía) de 1879. La
acogida de la obra fue escasa; y también el segundo volumen tuvo igual suerte, por
lo que Frege abandonó el proyecto (pese a que haría de él el fundador de la lógica
formal y matemática contemporánea). Renunció a elaborar un tercer volumen
desanimado por las críticas de Russell .
El propósito de Frece en los Grundgesetze es claramente logicista. Pretende
deducir las leyes básicas de la aritmética y la matemática partiendo exclusivamente
de la lógica. Las leyes de la aritmética no son las reglas formales de un juego, sino
que las matemáticas son una ciencia real, cuyo fin es la verdad. Esta obra está
escrita en simbolismo (quizás lo más perdurable), son tan complicados que ha
impedido que tenga una buena acogida. Russell reconoció esta importancia
simbólica; pero, pese a ello, se acogerá a la simbología de G. Peano.
La teoría de los cuantificadores ha sido considerada como la novedad de mayor
relieve introducida por Frege y una de las aportaciones lógicas de mayor
importancia del s. XIX; aplicada a los enunciados categóricos representa un punto
claro de unión entre la lógica aristotélica de términos y la lógica de enunciados
iniciada por los estoicos.
Pero el punto capital de la Aritmética de Frege es su definición de número
cardinal, cuya más sencilla ejemplificación son los elementos de la serie 0,1,2,3,...
Para Frege, un número cardinal es una propiedad de una clase. Así, por ejemplo, a
la pregunta: ¿Cuál es el número de hombres en el ejército ruso en la actualidad?, se
responderá correctamente indicando un número cardinal, cuyo número vendría a
ser, según Frege, una propiedad de la clase «hombre en el ejército ruso en la
actualidad». Ahora bien, conviene advertir que lo que Frege, a diferencia de Russell,
tiene aquí en mente por «clase» es la idea-clase, es decir, la clase considerada
como una idea, y no número cardinal, sería una propiedad de la idea-clase; Así
pues, número cardinal sería una propiedad de la idea-clase, y en nuestro ejemplo,
una propiedad de la idea-clase «hombre en el ejército ruso actualmente».
La definición que da Frege del número cardinal de una clase x se formula
rigurosamente diciendo que ese número es la clase de todas las clases y tal que x e
y tienen entre sí una relación de uno- a-otro.
En definitiva, Frege, con su Fundamentos de la aritmética quiso relacionar la
aritmética con la lógica, reduciendo el concepto de número natural a una
combinación de conceptos meramente lógicos. Trató de convertir en verosímil el
hecho de que la aritmética sea una rama de lógica y no tenga necesidad de solicitar
en préstamo el fundamento de sus demostraciones a la experiencia o a la intuición.
Por eso, Frege se propuso realizar la obtención de las leyes más simples de
enumerar a través de medios puramente lógicos.
De este modo, con Frege se pasó de la aritmetización del análisis a la logización
de la aritmética y se inició la tendencia logicista con respecto a la fundamentación
de la matemática, tendencia que Bertrand Russell asumirá y desarrollará a
continuación.
5.7.7. Peano y la Lógica matemática
Giuseppe Peano (1858-1932) era un matemático italiano que creó un sistema
descriptivo que permitía enunciar cualquier proposición de lógica o de matemáticas
sin recurrir al lenguaje. Propuso en sus escritos la denominada “aritmética de
Peano”, que es una exposición axiomática y deductiva de la aritmética de los
enteros naturales. En 1890 creó la ‘curva de Peano’, el primer ejemplo de fractal .
En 1903 sus trabajos de búsqueda de una lengua internacional llevaron al ‘latín sin
flexiones’, también llamada “interlingua”, cuyo vocabulario comprende las palabras
latinas comunes al francés, al inglés y al alemán. Como se ve, se trataba de que los
hombre pudiéramos entendernos. De aquí su importancia en la lógica.
Quizá sea él el fundador de la metamatemática (y la metalógica), entendida
como ciencia que trata de las propiedades formales de un sistema deductivo. El
recurrió a la lógica para que le sirviera de instrumento a las matemáticas. Pensaba
que cualquier enunciado matemático es en realidad un condicional, o una
implicación, con la forma “p → q”.
A G. Peano debemos el nombre de “lógica matemática”, para referirse a la
moderna lógica simbólica, que él quiso diseñar para su aplicación a las
matemáticas. El creó el sistema de signos o notación simbólica que después
utilizarán Russell y Whitehead en su obra Principia Mathematica.
Russell llamará a Peano el “gran maestro del arte del razonamiento formal”.
Russell conoció a Peano en 1900, en el Congreso Internacional de Filosofía de París.
Allí descubrió Russell la importancia que tenía una reforma lógica en la filosofía de
la matemática; Peano era siempre más preciso en sus argumentaciones que todos
sus contrincantes en ese Congreso. Los libros de Peano fueron los que empujaron a
Russell a realizar sus trabajos sobre los principios de la matemática.
5.8.8. Russell: lógica matemática
a) Principia Mathematica
En su libro Los principios de la matemática (1903) Russell se propuso demostrar:
a) Que toda la matemática procede de la lógica simbólica
b) Descubrir en la medida de lo posible cuáles son los principios de la misma
lógica simbólica
Russell ilustró el primer objetivo a través del citado libro de 1903; y quiso
desarrollar el segundo propósito con su obra Principia Mathematica (tres gruesos
tomos, redactados con su maestro A.N. Whitehead), publicados en 1910, 1912 y
1913.
Russell considera, junto con Frege, que la matemática puede reducirse a una
rama de la lógica. La matemática pura es la clase de todas las proposiciones que
toman la forma “p → q” (como también afirmaba Peano). No existen conceptos
típicos o propios de la matemática que no puedan verse reducidos a conceptos
lógicos (de la lógica de clases). Y, con mayor motivo todavía, no existen dentro de
la matemática procedimientos de cálculo o de derivación que no se puedan
transformar en derivaciones de carácter puramente formal.
En los Principia Mathematica Russell afirma que matemáticamente un número no
es más que una clase de clases equipotentes. Estaba convencido de que la
matemática y la lógica son idénticas, y de que toda la matemática pura trata
exclusivamente de conceptos definibles en términos de un número pequeñísimo de
conceptos lógicos fundamentales. Inspirándose en la técnica lógica y terminológica
de Peano, elaboró este libro empeñándose en construir toda la matemática a partir
de la lógica, llevando a cabo el proyecto de Frege. Pero entre 1901-1902 Russell
puso en crisis la lógica de clases, con lo que hirió de muerte la fundamentación de
la aritmética de Frege, que se basaba precisamente en la lógica de clases.
b) La paradoja de Russell
La “paradoja de Russell” muestra que la aritmética de Frege es
autocontradictoria. En efecto, pensemos en un conjunto que no se contenga en sí
mismo como elemento (el conjunto de los libros de mi biblioteca; el conjunto de
estos libros no es él mismo un libro) y llamemos “normal” a este libro. No puede
excluirse que exista algún conjunto no normal. Por ejemplo, el conjunto de todos los
conjuntos es él mismo un conjunto y, por tanto, no es normal, o es no normal. Y
ahora formemos el conjunto X de todos los conjuntos normales; y preguntémonos si
es normal. Supongamos que X se contenga a sí mismo como elemento: en ese caso,
es conjunto normal (porque los elementos de X es un conjunto normal), y en cuanto
tal conjunto normal, no puede contenerse a sí mismo como elemento. En ese caso,
por definición, es normal; pero como todos los conjuntos normales, tiene que ser
elemento de X, y, por tanto, debe contenerse en sí mismo. En ambas hipótesis se
incurre en contradicción.
d) La teoría de los tipos
Cuando Russell comunicó a Frege esta paradoja, éste se vino abajo y abandonó
su proyecto. Por su parte, Russell se propuso superar esta antinomia, en el
Apéndice de su Principia Mathematica exponiendo la teoría de los tipos. Aquí
Russell propone la regla siguiente: Se puede atribuir un predicado de tipo “n” sólo a
un sujeto de tipo “n -1”. Es decir, un concepto nunca puede ser necesario como
predicado en una proposición cuyo sujeto sea de un tipo igual o mayor al concepto
mismo. Las clases no son “cosas” sino únicamente expresiones, que pueden
utilizarse correcta o incorrectamente.
Así describe Russell su descubrimiento:
“Comuniqué la desgracia a Whitehead, que no pudo consolarme [...]. Llegué a
esta contradicción al considerar la prueba de Cantor de que no existe un número
cardinal mayor que todos. Yo pensaba, en mi inocencia, que el número de todas las
cosas que existen en el universo debe ser el número más grande posible, y apliqué
su prueba a este número para ver qué ocurría. Esta operación me llevó a considerar
una clase muy peculiar. Pensando dentro de la línea que hasta entonces había
parecido adecuada, me parecía que una clase es a veces, y a veces no es, miembro
de sí misma. La clase de las cucharillas, por ejemplo, no es otra cucharilla, pero la
clase de las cosas que no son cucharillas sí que es una de las cosas que no son
cucharillas. Parecía haber ejemplos que no eran negativos: por ejemplo, la clase de
todas las clases es una clase. La aplicación del argumento de Cantor me llevó a
considerar las clases que no son miembros de sí mismas; y éstas, al parecer, deben
formar una clase. Me pregunté si esta clase es un miembro de sí misma o no. Si es
un miembro de sí misma, debe poseer la propiedad definitoria de la clase, que es no
ser miembro de sí misma. Si no es miembro de sí misma, no debe poseer la
propiedad definitoria de la clase y por tanto debe ser miembro de sí misma. Así,
cada alternativa conduce a la contraria, y hay una contradicción.
Al principio pensé que debía de haber algún error trivial en mi razonamiento.
Examiné cada paso bajo un microscopio lógico, pero no pude descubrir nada
incorrecto. Escribí a Frege acerca de ello, y me replicó que la aritmética se
tambaleaba que ahora veía que su ley V era falsa. Frege quedó tan desasosegado
por esta contradicción que dio de lado el intento de deducir la aritmética de la
lógica, al cual, hasta entonces, había dedicado principalmente su vida. Como los
pitagóricos cuando tropezaron con los inconmensurables, buscó refugio en la
geometría y al parecer consideró que el trabajo de su vida hasta aquel momento
había estado mal orientado. Por mi parte, me di cuenta de que la dificultad residía
en la lógica más que en las matemáticas, y era la lógica lo que había de
reformarse” .
e) Recapitulación
En definitiva, el sistema lógico de Russell y Whitehead cubre un espectro mayor
de posibles argumentaciones que las que se pueden encontrar en la lógica
silogística. Introduce símbolos para frases enteras y para las conjunciones que las
unen, como “o”, “y”, “si ... entonces...”. Cuenta con símbolos diferentes para el
sujeto lógico y el predicado lógico de una frase y adjudica símbolos para distinguir
las clases, para los miembros de las clases y para las relaciones de la pertenencia a
una clase y la inclusión en una clase. También se aleja de la lógica clásica en sus
suposiciones de la existencia respecto a las cosas aludidas en sus afirmaciones
universales. La afirmación “Todo A es B” significa en lógica moderna que “Si algo es
A, entonces es B “; lo que, a diferencia de la lógica tradicional, no significa que todo
A existe.
Tanto la rama clásica como la moderna implican métodos de lógica deductiva. En
cierto sentido, las premisas de una proposición válida contienen la conclusión, y la
verdad de la conclusión se deriva de la verdad de las premisas. También se han
hecho esfuerzos para desarrollar métodos de lógica inductiva como las que
sostienen que las premisas conllevan una evidencia para la conclusión, pero la
verdad de la conclusión se deduce, sólo con un margen relativo de probabilidad, de
la verdad de la evidencia.
5.8.9. La lógica como tautología: Wittgenstein
Para Wittgenstein, el que propuso las tablas de verdad las “proposiciones de la
lógica son tautologías” . “Por consiguiente, las proposiciones de la lógica no dicen
nada; son proposiciones analíticas” . Aquí se refleja la doctrina kantiana de los
juicios analíticos. Pero Wittgenstein radicaliza a Kant; aquél, siguiendo la tradición
de Frege y Russell, sitúa la base de la lógica en el cálculo proposicional, y traslada
al plano de este cálculo su noción de tautología. Las proposiciones de la lógica no
dicen nada que pertenezca al mundo, son proposiciones “carentes de sentido”
(sinnlos), pues ni afirman ni niegan nada ni son figuras de la realidad. Pero esto no
significa que sean “sinsentidos” (unsinnig), esto es, algo absurdo. Pertenecen, en
realidad, al simbolismo, en donde ocupan un lugar límite, a la manera del cero en la
serie de los números naturales. “La señal característica de las proposiciones lógicas
está en que pueda reconocer sólo en el símbolo que son verdaderas o falsas; y este
hecho contiene en sí toda la filosofía de la lógica” . Pero la lógica es un a priori,
pues no se puede pensar ilógicamente, por ello, “en lógica jamás puede haber
sorpresas” .
De este modo, las soluciones de los problemas lógicos representa, para
Wittgenstein, el canon de la simplicidad por la simetría de sus respuestas aprióricas.
Por ello, la prueba en lógica es un mero expediente mecánico (de ahí sus tablas de
verdad) que aclara la estructura de la ontología cuando ésta es complicada. “La
lógica no es una doctrina, sino un reflejo del mundo. La lógica es trascendental” . La
lógica no es una doctrina, una teoría que diga algo concreto sobre los hechos del
mundo; pero sí es un reflejo del mundo, ya que sus proposiciones, al ser vacías y
tautológicas, descubren la invisible estructura formal del lenguaje y, con ello, la
trama del mundo.
He aquí, finalmente, lo que Wittgenstein denomina su “pensamiento
fundamental”: “Mi pensamiento fundamental es que las ‘constantes lógicas’ no
representan. Que la lógica de los hechos no puede ser representada” . De este
modo, en opinión de M. Garrido, para el autor del Tractatus, la teoría de las
funciones veritativas convierte en castillos de naipes los vistosos edificios
axiomáticos de Frege y Russell.