Cotas exactas en análisis límite. Modelo M-C y SOCP Cap 5. Estado límite shakedown

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CCaappííttuulloo 55.. PPrriimmeerrooss ppaassooss ppaarraa

eell eessttaaddoo llíímmiittee sshhaakkeeddoowwnn.. 55..11 IInnttrroodduucccciióónn aall aannáálliissiiss llíímmiittee ppaarraa sshhaakkeeddoowwnn El concepto clave en el desarrollo para el análisis shakedown no es otro que el de variabilidad de cargas o de aplicación de cargas. Todas las estructuras ingenieriles (ya sean del material que sean: metal, hormigón, suelos…) están sujetas a cargas variables, es más, en cualquier problema ingenieril que pretendamos plantear con cierto acercamiento a la realidad aparecerán aplicaciones de carga que puedan modificarse o variar con el tiempo. Es precisamente esta variabilidad la que diferencia principalmente los dos análisis que aquí nos ocupan: el análisis límite y el de shakedown. Mientras el primero se basa en el estudio más clásico de análisis elasto-plástico y de sistema de colapso, en el segundo, el estado límite de shakedown, a diferencia del análisis límite se lleva a cabo un estudio en el que se tiene en consideración la citada variabilidad de aplicación de cargas. En numerosos casos la trayectoria de carga es desconocida o tiene un carácter cíclico pronunciado. Afortunadamente hoy sabemos que los límites de variación de las cargas se pueden predecir con cierta exactitud. Con todo esto, cabe plantear el problema que aquí nos ocupa, el análisis shakedown, dentro de su contexto. En un principio es necesario realizar un planteamiento base en el que se enfoque el análisis shakedown como una extensión del propio análisis límite. Es decir, el análisis de shakedown no es más que la incorporación del concepto de variabilidad de cargas al análisis límite más clásico. Esto nos ayudará indudablemente debido a que el análisis límite es un concepto ampliamente estudiado en comparación con el de shakedown. Con ello seremos capaces de darle utilidad a estudios no propiamente de análisis shakedown y que evidentemente pueden ser perfectamente válidos. A pesar de esto, más adelante, desarrollando paso a paso cada uno de los problemas llegaremos a otra perspectiva del propio análisis límite y lo acabaremos considerando como un caso particular del análisis de shakedown. Caso particular en el que restringimos nuestro dominio de carga a un punto o, lo que es lo mismo, aquel problema de análisis shakedown en el que no permitimos variar la distribución de carga aplicada. Como se ha comentado anteriormente, el análisis de shakedown ofrece la posibilidad de estimar la capacidad de carga de una estructura elastoplástica sujeta a cargas variables. Éste puede considerarse una evolución del análisis límite. De hecho, el análisis límite puede considerarse sin problemas un caso particular de análisis de shakedown en el que se restringe el dominio de carga a un único punto, o lo que es lo mismo, donde no se permite la variabilidad de cargas. Las bases de este análisis han sido formuladas principalmente por los trabajos de Melan [22], [23] y Koiter [24]. La aportación de ambos reside básicamente en la formulación de los teoremas de shakedown tanto estático (Melan) como cinemático (Koiter), gracias a los cuales podemos determinar los criterios para una estructura sujeta a cargas variables (dentro de un dominio de carga dado) de si esta fallará o no por shakedown. Estos teoremas a su vez nos dan fe de la

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evolución paralela y de las similitudes existentes entre el análisis límite y el de shakedown. Durante los últimos 30 años, teorías, extensiones y aplicaciones del análisis límite y de shakedown han sido intensamente estudiadas a partir de las bases sentadas por Melan y Koiter. Tanto el problema del análisis límite como el de shakedown nos conducen a un problema de optimización no lineal (que se introducirá a continuación con sus distintas variantes), en el que la evolución del hardware, el método de los elementos finitos y las técnicas de programación han influido directamente en su desarrollo. En estos últimos años, la teoría de shakedown se ha extendido con la intención de abarcar distintos problemas y aspectos ingenieriles. Concretamente, existen trabajos acerca del estudio del endurecimiento de estructuras (Maier [25],[26]), problemas bajo geometrías no lineales (Weichert [27],[28]), empleando materiales compuestos (también Weichert [29]), análisis de daño y rotura de estructuras ([30],[31]) e incluso sobre “poroplasticidad” [32] o también influencia de la temperatura sobre la superficie de fluencia [33,34]. En este capítulo se pretende iniciar un largo camino, dando los primeros pasos para llevar a cabo el mismo estudio y análisis que se ha llevado a cabo en análisis límite con el modelo de Mohr-Coulomb. Únicamente se quiere proponer unos primeros pasos para la implementación del problema de análisis límite shakedown. Nos centraremos en el planteamiento global del problema para a continuación presentar más en detalle el problema de la cota inferior y establecer las directrices generales para su implementación. 55..22 PPllaanntteeaammiieennttoo ddeell pprroobblleemmaa De entrada en ambos problemas, tanto el de análisis límite como el de shakedown, existen principalmente dos pasos dentro del planteamiento global de los mismos. En primer lugar será necesario llevar a cabo un trabajo de discretización del medio continuo de estudio. Evidentemente la principal baza a la hora de abordar este punto con el que nos encontramos dentro del problema es la del método de los elementos finitos, a partir del cual llevaremos a cabo dicha discretización. En segundo lugar nos toparemos con el punto central de la resolución del estudio, que no es otro que el problema de optimización no lineal. En resumen, a partir de una adecuada discretización del medio continuo mediante MEF, deberemos seguidamente tratar el problema de optimización no lineal. Si nos centramos en la evolución del análisis límite hacia el shakedown nos encontramos en una situación similar a la del primero pero lógicamente con dificultades añadidas. Al igual que antes llevaremos a cabo una adecuada discretización del problema continuo a partir de elementos finitos para posteriormente abordar el problema de optimización no lineal. Éste último debe ser tratado con técnicas de programación matemática adecuadas para nuestro caso y además será necesario un nuevo paso. Dentro de la resolución de nuestro problema de optimización deberemos afrontar una segunda y no menos importante discretización. En este caso dicha discretización concierne al dominio de carga ya que, como se ha citado con anterioridad, para el caso de shakedown se asume variabilidad de aplicación de cargas. Habitualmente se asume que el dominio de carga responde a un poliedro convexo y, aunque está hipótesis no esté incluida en los teoremas básicos de Melan y Koiter, sí

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supone que el problema de optimización no derive en uno de mayor dificultad como puede ser uno de programación semi-infinita [35]. Aún considerando el caso más simple en el que el medio responda según el modelo de Von Misses, se establezcan unas condiciones de contorno clásicas (Dirichlet, Neumann) y se excluyan los efectos de una no-linealidad geométrica (que a la postre serán las premisas del trabajo aquí desarrollado), el análisis computacional de shakedown no es una tarea ni mucho menos trivial. El hecho de que la condición de rotura responda a un comportamiento no lineal (como es efectivamente el caso que será tratado líneas abajo en la aproximación para una cota inferior basada en el teorema estático de Melan) nos lleva a un problema resultante de programación convexa no lineal. Éste problema tendrá un gran número de variables y restricciones no lineales y, como consecuencia, será necesario el uso de una implementación y unos algoritmos efectivos, y esto es lo que nos lleva a tratar nuestro problema como un problema de programación cónica de segundo orden (SOCP), para el cual existen dichos requisitos. Esta efectividad se extrae de varios trabajos como son [4] dentro del ámbito del análisis límite y [36] para el caso del análisis de shakedown. 55..33 PPrroobblleemmaa ddee llaa ccoottaa iinnffeerriioorr ppaarraa eell aannáálliissiiss llíímmiittee ddee sshhaakkeeddoowwnn Dentro del estudio y análisis del estado límite para shakedown cabe destacar, como ya se ha citado con anterioridad, la implicación y problemática directa que tiene la introducción de las cargas variables en el tiempo con respecto al problema. El tiempo lo llamaremos t, mientras que las tensiones serán σ ; éstas últimas las descompondremos en tensiones elásticas ficticias σ E y tensiones residuales ρ de la siguiente forma:

σ = σ E + ρ (5.1)

las primeras corresponderían a las tensiones que aparecerían en un material elástico, mientras que las segundas serían resultado de las deformaciones plásticas. Éstas tensiones residuales satisfacen el equilibrio estático y las condiciones de contorno:

0=ρdiv en V 0=⋅ nρ en pV∂ (5.2)

Es necesario destacar que para un conjunto de cargas dadas P(t)=(f,p) dentro de un dominio de carga L, tanto las deformaciones plásticas como las tensiones residuales se tornan estacionarias, es decir:

,0),(lim =∞→

txP

tε&

.,0),(lim Vxtxt

∈∀=∞→ρ& (5.3)

Dentro de cada uno de los modelos de rotura que podamos considerar, existirá al menos un punto x en la estructura, donde estas condiciones anteriormente nombradas no se cumplirán. Por lo tanto, tendremos como mínimo un punto x para el que la densidad de disipación de energía plástica pω por unidad de volumen crecerá infinitamente en el tiempo:

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∫=t

Pp dxxtx

0

),(:),(),( ττετσω & (5.4)

Al mismo tiempo, para evitar el fallo plástico, la disipación de energía plástica máxima será acotada superiormente por todos los puntos Vx∈ :

)(),(lim)( xctxxW ptp ≤=∞→ω (5.5)

Con todo esto podemos deducir que el sistema tiende asintóticamente a un estado elástico límite independientemente de la historia de carga. Finalmente, el Teorema estático de shakedown de Melan sostiene lo siguiente (para más detalles sobre el teorema extendido dirigirse a [22] y [37]):

Si existe un factor 1>λ y un campo de tensiones residuales )(xρ independientes del tiempo con ρρ :: E

V∫ ∞<dV , tal que para todas las

cargas LtP ∈)( se satisface que, [ ] 2)(),( y

E xtxF σρλσ ≤+ Vx∈∀ (5.6) entonces la estructura fallará elásticamente por shakedown bajo el dominio de cargas L.

Llamaremos factor de shakedown al máximo valor del factor λ que satisfaga el teorema anterior (este factor representaría el paralelismo con el multiplicador de colapso del análisis límite). Por tanto, debido a que el teorema estático de shakedown está formulado en términos de carga, este nos proporciona una cota inferior de carga para ese factor máximo que denotaremos por SDλ . Todo esto nos lleva al siguiente problema de optimización: máx λ

sujeto a [ ] 2)(),( yE xtxF σρλσ ≤+ Vx∈∀ (5.7)

0)( =xdivρ Vx∈∀ 0)( =⋅ nxρ pVx ∂∈∀ 55..44 IInnddiiccaacciioonneess ppaarraa llaa iimmpplleemmeennttaacciióónn ddee llaa ccoottaa iinnffeerriioorr

Evidentemente uno de los primeros obstáculos con los que nos topamos es la introducción de la variable tiempo dentro del problema a consecuencia de la consideración ya comentada en distintas ocasiones de la variabilidad de carga (en contraposición con lo que ocurre a la hora de abordar el problema en el ámbito del análisis límite). Dentro del primer capítulo del presente trabajo ya hablábamos de que una vez inmersos en la resolución del problema de optimización deberíamos llevar a cabo una segunda discretización con respecto al dominio de carga del programa. Pues bien, dicha discretización puede justificarse a partir de la aparición de la nueva variable

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del tiempo. Discretizando el dominio de carga en el problema, conseguiremos eliminar la dependencia con respecto al tiempo, lo cual nos facilitará el trabajo de implementación de una forma significativa. 55..44..11 DDiissccrreettiizzaacciióónn ddeell ddoommiinniioo ddee ccaarrggaa Tomemos un dominio de carga L dentro del cual tenemos cualquier carga que actúe sobre la estructura V. Para el caso que nos pertoca del análisis de shakedown, tendríamos que para cualquier carga LtP ∈)( esta se correspondería con un t variable. Mientras dentro del ámbito del análisis límite tenemos una carga monótona y un dominio de carga representado por una carga singular, para el caso de un ciclo de carga variable el dominio contendrá infinitas cargas. Normalmente las cargas cíclicas pueden describirse por un número finito de casos de carga P(k) donde k representa el índice contador desde 1 a NC (número de casos de carga). Estos casos de carga vendrán acotados por unos límites de carga dados P(k)- y P(k)+ (ver ejemplos como el de la presión en [38]). Nos restringiremos a aquellos problemas donde el contorno pV∂ sigue siendo constante. A partir de esto, definiendo los casos de carga P(1),…,P(NC), con sus correspondiente límites de carga en cada caso, cualquier carga LtP ∈)( viene dada por una combinación convexa única de P(j) sujeta a:

∑=

=NC

jj jPtP

1)()( β , ∑

=

=NC

jj

11β , y ,0≥jβ j=1,…,NC (5.8)

Tendremos que el dominio de carga L es un poliedro convexo y los distintos casos de carga conforman el conjunto de vértices del mismo y, consecuentemente les llamaremos vértices de carga. Retomando en este punto el teorema estático de Melan, podemos llegar a discretizar fácilmente según [39] para un número finito de elementos con sus correspondientes puntos de Gauss (i=1,…,NG): [ ] 2

,)( iyiEi tF σρλσ ≤+ (5.9)

y, basándonos en el principio de superposición para las tensiones elásticas, podemos llegar a la combinación convexa de tensiones según

∑=

=NC

j

Eij

Ei jt

1)()( σβσ (5.10)

Gracias a la convexidad de F en todo i concluimos que para todo P(j)

[ ]iEi tF ρλσ +)( = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+∑

=

NC

ji

Eij jF

1

)( ρσβλ = ≤⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+∑

=

NC

ji

Eij jF

1

))(( ρλσβ

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[ ]≤+≤ ∑=

iEi

NC

jj jF ρλσβ )(

1 2

,1

iy

NC

jjσβ∑

=

= 2,iyσ (5.11)

Nos quedará finalmente el siguiente problema máx λ (5.12)

sujeto a [ ] 2,)( iyi

Ei jF σρλσ ≤+ i=1,…,NG, j=1,…,NC

donde puede observarse como las incógnitas son independientes del tiempo (principal objetivo de la discretización del dominio de carga), de las tensiones residuales y del factor de carga λ . 55..44..22 IImmpplleemmeennttaacciióónn ppaarraa llaa ccoottaa iinnffeerriioorr Gracias a esta discretización del dominio de carga, el problema nos quedará según puede observarse a continuación: máx λ

sujeto a [ ] 2,)( iyi

Ei jF σρλσ ≤+ i=1,…,NG, j=1,…,NC (5.13)

0)( =xdivρ Vx∈∀ 0)( =⋅ nxρ pVx ∂∈∀ Para llegar a obtener una cota inferior se han descrito previamente unos elementos finitos CI

hCIh YX × . A continuación, dentro de este apartado, describiremos los

principales y más significativos pasos que se han seguido para la implementación de nuestro problema de optimización no lineal. También daremos las indicaciones más importantes de las reformulaciones introducidas con el objetivo de dar al problema la forma canónica de un programa de cono de segundo orden (ver el capítulo 3º). A partir de aquí, como se ha comentado con anterioridad, empleando una herramienta Matlab para resolver dicho programa (como SeDuMi o SDPT3) podremos obtener la definitiva cota inferior que denominaremos CI

hλ . Pasemos ahora a implementar cada una de las restricciones del problema. En primer lugar nos encontraremos con el equilibrio de cada elemento, considerando en este caso tensiones elásticas y residuales. En segundo lugar deberemos verificar el equilibrio inter-elemento y a continuación el equilibrio en el contorno, es decir, entre la superficie y la carga externa. Como penúltimo paso, el trabajo consistirá en formular dentro del problema nuestra condición de fluencia según un cono de segundo orden. Finalmente será necesario ensamblar cada una de las partes previas resultando la estructura matricial definitiva del problema a resolver. Antes de desarrollar cada uno de estos puntos veamos como nos quedaría el global del problema y sus restricciones: máx λ

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sujeto a 0, =+⋅∇ eEeh fλσ , en h

e e τ∈∀Ω , (5.14) 0=⋅∇ e

hρ , en he e τ∈∀Ω ,

0)('' =⋅−

eene

heh

ξσσ , ϑεξ ∈∀ 'ee , e

hEe

heh ρσσ += ,

Ne

Ne gnEe

hξξ λσ =⋅, , NN

e εξ ∈∀

0=⋅Nene

hξρ , NN

e εξ ∈∀ h

eh B∈σ , en h

e e τ∈∀Ω , , eh

Eeh

eh ρσσ += ,

Pero este planteamiento carece aún de la consideración del número de situaciones de carga (ver discretización del dominio de carga) para establecer el problema de análisis de shakedown correctamente. En nuestro caso para un número de situaciones de carga NC deberemos verificar las sujeciones 1ª, 3ª, 4ª y 6ª del problema global (5.14) para cada situación de carga independientemente. Como veremos más adelante y debido a esta consideración de NC, el problema que nos ocupa se ve incrementado en su estructura matricial final con respecto al correspondiente a uno de análisis límite en [3 x (NC- 1) + 2] filas de bloques. 5.4.2.1 Equilibrio para cada elemento Esta restricción queda descrita en las dos primeras sujeciones del global anteriormente descrito, es decir,

0, =+⋅∇ eEeh fλσ , en h

e e τ∈∀Ω , 0=⋅∇ e

hρ , en he e τ∈∀Ω , (5.15)

Surgen dos expresiones debido a la diferenciación que se establece entre tensiones elásticas y residuales. Tomando como notación 123222111 ,, σσσσσσ === y, hablando para tensiones elásticas en todo momento, para la primera ecuación tenemos que

+∂

∂

1

1 )(x

xeσ+

∂∂

2

3 )(x

xeσ01 =efλ

+∂

∂

1

3 )(x

xeσ+

∂∂

2

2 )(x

xeσ 02 =efλ (5.16)

Empleando aquí la interpolación lineal utilizada dentro de la anterior descripción de los elementos finitos y simplificando con la notación e

iaN ,i

ea

not

xxN

∂∂

=)( , donde a representa el

nodo local dentro del elemento e e i marca las componentes 1, 2, llegamos a obtener lo siguiente,

( )∑=

⋅+⋅3

12,

,31,

,1

a

ea

eaea

ea NN σσ + 01 =efλ

( )∑=

⋅+⋅3

12,

,21,

,3

a

ea

eaea

ea NN σσ + 02 =efλ (5.17)

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Se aprecia directamente la estructura matricial que surge de ambas expresiones, llegando a una visual equivalencia con la siguiente ecuación para un elemento e: 0,1, =+ eeq

hEe

he FB λσ (5.18)

Extendiendo esta ecuación a toda la malla de elementos finitos tendremos: 011 =+ eq

hEh

eq FA λσ (5.19) donde la matriz 1eqA tendrá una dimensión de 2xE filas (para E elementos lógicamente) y 9xE columnas y resultará una matriz diagonal por bloques (cada uno de los bloques diagonales será la correspondiente matriz eB formada por e

iaN , y ceros). Por su parte

hσ representa el vector de tensiones nodales por componentes y 1eqhF el vector global

de fuerzas de volumen. El primero tendrá una dimensión de 9xE y el segundo de 2xE. En este punto debemos introducir la variable de situaciones de carga. Nos resultarán tantas expresiones como situaciones de carga. Para el caso NC = 2 tendremos: 01.111.1 =+ eq

hEh

eq FA λσ

02.122.1 =+ eqh

Eh

eq FA λσ (5.20) donde ni las matrices 1eqA (ya que depende de la geometría únicamente y está formada

directamente por las funciones de forma eiaN , ) ni los vectores 1eq

hF (que corresponden a las fuerzas de volumen) dependerán de la situación de carga y por tanto simplificaremos a: 0111 =+ eq

hEh

eq FA λσ

0121 =+ eqh

Eh

eq FA λσ (5.21) Para la segunda sujeción de equilibrio para cada elemento,

0=⋅∇ ehρ , en h

e e τ∈∀Ω , (5.22) llegaremos análogamente a la siguiente expresión: 0'1 =

heqA ρ (5.23)

que no se incrementará según NC, ya que a partir del teorema de Melan extraemos que las tensiones residuales deben ser estacionarias y que únicamente las tensiones elásticas vienen influenciadas por el factor de shakedown y, por tanto, de las situaciones de carga existentes. Por otra parte, de nuevo puede llegarse a la conclusión de que 1eqA = '1eqA .

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Ensamblando toda la estructura matricial nos quedaría, para esta restricción, un esquema como el que sigue (tanto la última columna de la matriz como el vector csox se presentarán con detalle en el apartado 5.4.2.3):

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

0000000000

1

11

11

eq

eqh

eq

eqh

eq

AFAFA

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

cso

h

Eh

Eh

xλρσσ

2

1

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

000

(5.24)

Cabe hacer mención de cómo el vector incógnita de tensiones hσ queda descompuesto finalmente, para el caso de 2 situaciones de carga diferenciadas, en las tensiones elásticas 1E

hσ y 2Ehσ (ambos con una dimensión de 9xE) y las tensiones residuales

hρ

(también de 9xE). La estructura de la matriz por bloques correspondiente a esta restricción quedará como en la siguiente figura (se muestra a continuación una figura en la que se aprecian los elementos no nulos de la matriz):

Figura 5-1. Ejemplo de la estructura de un ensamblaje matricial correspondiente a la restricción de equilibrio elemental para NC = 2 y despreciando fuerzas de volumen (Feq1=0).

5.4.2.2 Equilibrio entre elementos y en el contorno Esta restricción queda descrita en las sujeciones 3ª, 4ª y 5ª del problema global líneas arriba descrito, es decir,

0)(

'' =⋅−eene

heh

ξσσ , ϑεξ ∈∀ 'ee , e

hEe

heh ρσσ += ,

Ne

Ne gnEe

hξξ λσ =⋅, , NN

e εξ ∈∀ (5.25)

0=⋅Nene

hξρ , NN

e εξ ∈∀ Análogamente a la interpolación lineal empleada en la descripción de los elementos finitos, podemos llegar a la siguiente expresión para cada eje ξ :

∑=

=2

1),()(

α

ξα

ασσ sNs ii i=1,…,3 (5.26)

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Insertando esta misma en cada una de las restricciones consideradas y reagrupando los términos correspondientes (para más detalle ver [4]) se obtienen las siguientes expresiones para cada una de ellas (4 igualdades por restricción): · Aristas Interiores (tensiones elásticas y residuales) ξσσ 1

',11

,11 )( nee − + 0)( 2

',13

,13 =− ξσσ nee

ξσσ 1',2

1,2

1 )( nee − + 0)( 2',2

3,2

3 =− ξσσ nee ξσσ 1

',13

,13 )( nee − + 0)( 2

',12

,12 =− ξσσ nee (5.27)

ξσσ 1',2

3,2

3 )( nee − + 0)( 2',2

2,2

2 =− ξσσ nee · Aristas de contorno (tensiones elásticas) ξσ 1

,,11 nEe ⋅ + ξξ λσ 12

,,13 gnEe =

ξσ 1,,2

1 nEe ⋅ + ξξ λσ 12,,2

3 gnEe = ξσ 1

,,13 nEe ⋅ + ξξ λσ 22

,,12 gnEe = (5.28)

ξσ 1,,2

3 nEe ⋅ + ξξ λσ 22,,2

2 gnEe = · Aristas de contorno (tensiones residuales) ξρ 1

,11 ne ⋅ + 02

,13 =ξρ ne

ξρ 1,2

1 ne ⋅ + 02,2

3 =ξρ ne ξρ 1

,13 ne ⋅ + 02

,12 =ξρ ne (5.29)

ξρ 1,2

3 ne ⋅ + 02,2

2 =ξρ ne Puede apreciarse como estos sistemas de ecuaciones son lineales con respecto a las incógnitas del problema que nos ocupa. El número total de ecuaciones sería de 4 x ( Nεε ϑ 2+ ). Podemos establecer las siguientes expresiones matriciales:

· En las expresiones correspondientes a aristas interiores debemos considerar la descomposición de tensiones en elásticas y residuales. Nos quedaría: 0)(

'' =⋅−eene

heh

ξσσ → '

)( ,', eenEe

hEe

hξσσ ⋅− +

'

)( ' eene

heh

ξρρ ⋅− = 0, (5.30) que unido a las igualdades para las aristas de contorno en tensiones elásticas tendríamos: +E

heqA σ2 02'2 =+ eq

hh

eq FA λρ (5.31) donde 2eqA y '2eqA se diferencian únicamente en que, para la segunda, los elementos matriciales que correspondan a las fuerzas de superficie serán nulos. Ambas tendrán unas dimensiones de 4 x ( Nεε ϑ + ) filas y

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9xE columnas. Será necesario calcular 2eqhF , 2eqA y '2eqA para cada uno

de los casos de situación de carga considerados. · Por el contrario, en la expresión correspondiente a aristas de contorno en tensiones residuales resultará la siguiente igualdad matricial: 03 =

heqA ρ (5.32)

donde 3eqA tendrá una dimensión de 4 x Nε filas y 9xE columnas. Al igual que en el equilibrio elemental, la expresión referida únicamente a las tensiones residuales no deberá modificarse con la introducción de más de una situación de carga.

De nuevo al introducir en el problema la variable de diversas situaciones de carga NC, tanto las ecuaciones para las aristas interiores como para las aristas de contorno tendrán tantas expresiones como situaciones de carga. Veamos de nuevo como quedarán los 3 conjuntos de expresiones en forma matricial para el caso de 2 situaciones de carga diferenciadas: +11.2 E

heqA σ 01.21'.2 =+ eq

hh

eq FA λρ

+22.2 Eh

eqA σ 02.22'.2 =+ eqhh

eq FA λρ (5.33)

03 =h

eqA ρ Para las dos primeras expresiones tendremos un esquema como el siguiente:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

0000

2.22'.22.2

1.21'.21.2

eqh

eqeq

eqh

eqeq

FAAFAA

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

cso

h

Eh

Eh

xλρσσ

2

1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

00

(5.34)

Veamos a continuación como queda el ensamblaje final de la primera fila de este esquema matricial por bloques (nuevamente se muestran en azul los elementos no nulos, dejándose en blanco todo el espacio de valor cero):

Figura 5-2. Ejemplo de la estructura de un ensamblaje matricial correspondiente a la restricción de equilibrio entre elementos y de contorno para NC = 2 y despreciando fuerzas de volumen (Feq2=0).

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Por otro lado la estructura de la matriz correspondiente al mismo esquema (de nuevo mostrándose los elementos no nulos), pero para la segunda fila, quedará como en la siguiente figura:

Figura 5-3. Ejemplo de la estructura de un ensamblaje matricial correspondiente a la restricción de equilibrio entre elementos y de contorno para NC = 2 y despreciando fuerzas de volumen (Feq2=0).

Para la última expresión nos quedará:

0000 3eqA

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

cso

h

Eh

Eh

xλρσσ

2

1

[ ]0= (5.35)

y, una estructura de elementos no nulos como puede observarse en la siguiente figura:

Figura 5-4. Ejemplo de la estructura de un ensamblaje matricial correspondiente a la restricción de equilibrio de contorno para las tensiones residuales para NC = 2 y despreciando fuerzas de volumen (Feq1=0).

5.4.2.3 Reformulación de la condición de rotura para un cono de segundo orden Nos toca ahora desarrollar la sujeción 6ª de nuestro problema global:

heh B∈σ , en h

e e τ∈∀Ω , , eh

Eeh

eh ρσσ += , (5.36)

Como ya se ha citado anteriormente, para nuestro caso hemos adoptado como modelo de rotura el de Von Mises y se ha aceptado como válida la hipótesis de tensión plana, con lo que se ha llegado a un medio continuo restringido según: 22,

3,

22,

12,

2,

1 2)(6)()()( yeaeaeaeaeaXB σσσσσσσ ≤+++−∈= (5.37)

Esta, por tanto, es nuestra condición de fluencia para el problema y no será violada en ningún punto del dominio y quedará satisfecha en cada nodo a de cada elemento e. De acuerdo con lo visto en el anterior capítulo 3º una buena forma de formular la

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desigualdad de Von Mises según un cono de segundo orden es imponer que el siguiente vector pertenezca al cono de Lorentz nL : ),6,,,2( ,

2,

1,

3,

2,

1eaeaeaeaea

y σσσσσσ − 5L∈ (5.38) Finalmente, introduciendo un vector adicional de variables xa,e , se puede establecer para nuestro caso el siguiente sistema de ecuaciones: y

eax σ2,1 =

0,2

,1 =+− eaea xσ

0,3

,2 =+− eaea xσ (5.39)

06 ,4

,3 =+− eaea xσ

0,5

,2

,1 =++− eaeaea xσσ

Esta imposición supone que requerimos 15xE ecuaciones (5 ecuaciones para cada nodo y 3 nodos por elemento triangular) para toda nuestra malla de elementos finitos. La expresión matricial resultante quedará como sigue: csocso

hcso bxIA =+σ (5.40)

Tendremos que csoA será una matriz diagonal por bloques con matrices M (la resultante del sistema creado al introducir el vector x) como elementos diagonales y tendrá una dimensión de 15xE filas y 9xE columnas; csob será la unión “en vertical” de todos los vectores ba,e de términos independientes del anterior sistema de ecuaciones resultando un vector de 15xE componentes y, por último, csox será lógicamente el vector incógnita del sistema, formado por la unión de los vectores independientes xa,e y con una dimensión de 15xE.

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−

=

011600

010001000

M ;

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

00002

,

y

eab

σ

;

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

ea

ea

ea

ea

ea

ea

xxxxx

x

,5

,4

,3

,2

,1

, (5.41)

De nuevo se incrementará el número de igualdades tantas veces como casos situaciones de carga queramos considerar. Al igual que en anteriores ocasiones, deberemos descomponer el vector de tensiones según tensiones elásticas y residuales. Con eso y considerando el caso que hemos ido representando de NC = 2 tendremos las siguientes expresiones: csocso

hcsoE

hcso bxIAA =++ ρσ 111

csocso

h

csoEh

cso bxIAA =++ ρσ 222 (5.42)

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Como ocurría en el caso de 1eqA , para csoA no será necesario distinguir entre casos de situación de carga ya que dicha matriz es independiente de los mismos. Finalmente, para este penúltimo paso tendremos un esquema matricial que quedará como puede observarse a continuación:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

IAAIAA

csocso

csocso

0000

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

cso

h

Eh

Eh

xλρσσ

2

1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= cso

cso

bb (5.43)

La estructura de la matriz por bloques correspondiente a este esquema, mostrándose los elementos no nulos de la misma, quedará como en la siguiente figura:

Figura 5-5. Ejemplo de estructura de un ensamblaje matricial correspondiente a la reformulación de la condición de rotura para un cono de segundo orden para NC = 2.

5.4.2.4 Estructura final del problema global para la cota inferior A partir de todos los pasos previos que se han ido desarrollando, podemos ahora realizar un ensamblaje general de lo que sería el problema global para la cota inferior. La estructura matricial (con sus correspondientes dimensiones) nos quedará tal y como sigue:

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4444444 84444444 76 xExExExE

csocso

csocso

Teq

eqh

eqeq

eqh

qeeq

eq

eqh

eq

eqh

eq

IAAIAA

AFAAFAA

AFAFA

151999

3

2.22'.22.2.

1.21'.21.2

1

11

11

0000

000000000000000000

++++

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

cso

h

Eh

Eh

xλρσσ

2

1

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

cso

cso

bb000000

Podemos apreciar en la siguiente figura el esquema y la distribución de elementos no nulos de la matriz global del problema completamente ensamblada:

Figura 5-6. Ejemplo de estructura del ensamblaje matricial correspondiente al problema global para la cota interior para NC = 2.

xExE

xxx

xExExE

N

N

N

15154

)(4)(4

222

εεεεε

ϑ

ϑ

+

+(5.44)