5.3 Modelos de demanda independiente5.3.1 Modelos de cantidad fija de pedidoEsta serie de modelos considera que la cantidad de pedido (Q) debe ser siempre la misma en los diferentes pedidos, alterndose, sin embargo, el momento en que se realiza cada pedido

Punto de pedido (Pp). Es la cantidad que hay en el almacn en el momento en que se realiza el pedido.Esta cantidad debe ser suficiente para servir la demanda esperada desde el momento de realizar el pedido hasta la recepcin del mismo por parte del proveedor o hasta la culminacin de su fabricacin. (En caso de que la fabricacin se realice en el interior de la empresa). Tiempo de suministro (Ts). Es el tiempo que transcurre entre la emisin del pedido y su recepcin. Tiempo o periodo de reaprovisionamiento (Tr) Tiempo que transcurre entre dos periodos consecutivos.

No existe un modelo vlido para cualquier circunstancia, sino que se hace necesario adaptarles a las circunstancias particulares de cada caso concreto.

5.3.1.1 Modelo de la cantidad econmica de pedido simple

Parte de una situacin como la representada en la figura anterior en la que se considera que tanto la demanda como los tiempos de suministro y los costes unitarios son conocidos con certeza. Se supone que no existen costes de ruptura y que el consumo de los artculos es uniforme, agotndose el inventario justo en el momento en que se recibe el siguiente pedido, no existiendo, por tanto, stock de seguridad.En la realidad estas caractersticas no suelen ser habitual. Sin embargo este modelo es bastante utilizado debido a su sencillez y el escaso error que se comete en ocasiones con estos supuestos restrictivos.En esta situacin el coste total de inventarios sera:

Ct = DP + E D/Q + (A + P i) Q/2

Para calcular la cantidad Q que minimiza el coste total de inventario o cantidad econmica de pedido, bastar con derivar la expresin anterior con respecto a la cantidad Q e igualar a cero:

Por tanto, la expresin final para calcular la cantidad econmica de pedido en este primer modelo sera:

Modelo 1

Ejemplo 1La empresa HG S.A. adquiere materias primas a un coste unitario de 0.25 Euros/Kg a un proveedor cercano. Necesita anualmente 140,000 Kg de dicha materia prima. Por cada pedido realizado, la empresa estima en concepto de gastos administrativos, transporte y descarga un coste de 100 euros, y el tiempo promedio en recibir el pedido desde que se efecta es de 15 das. Asimismo, con los datos de la contabilidad se calcula que cada Kg almacenado supone un coste anual de 0.02 Euros. Sabiendo que el coste de capital en la citada empresa es del 12%, se desea conocer:1) el volumen econmico de pedido2) cada cuanto tiempo se debe realizar un pedido3) cul es su punto de pedido

Solucin:1) Para calcular el volumen o cantidad econmica de pedido nos limitamos a aplicar la frmula deducida anteriormente, con lo que tenemos que:

2) Para calcular cada cunto tiempo se debe realizar un pedido nos interesa conocer en primer lugar, el nmero de pedidos que la empresa debe realizar al ao, para lo cual:

La empresa realizar 6 pedidos al ao (Redondeando). Ajustando tambin la cantidad de ptima de pedido:

Si suponemos que el ao tiene 300 das laborables, podremos calcular el tiempo entre dos pedidos consecutivos, o tiempo de reaprovisionamiento, sin ms que dividir en nmero de das laborables (z) por el nmero de pedidos (n):

Por tanto, se realizar un pedido de 23.333,33 Kg cada 50 das laborables.

3) Finalmente para calcular el punto de pedido bastar con multiplicar el consumo diario del inventario por el nmero de das que el proveedor tarda en suministrarnos el pedido.Para calcular el consumo diario dividiremos la demanda anual entre el nmero de das laborables anuales.

Por lo que procederemos a emitir un pedido cada vez que la cantidad de artculos existentes en nuestro almacn sea igual a 7,000 Kg5.3.1.2 Modelo de cantidad econmica de pedido con suministro gradual

Este modelo se utiliza para determinar la cantidad y el momento de pedido cuando el artculo se fabrica en el interior de la empresa, o bien cuando el proveedor nos sirve el producto de forma gradual.Se parte de una situacin como la representada en la siguiente, en la que se considera que tanto la demanda como los costes unitarios son conocidos con certeza. Se supone que no existen costes de ruptura y que el consumo de artculos es uniforme (d) e inferior al ritmo de suministro de los mismos (p, tambin uniforme), agotndose el inventario justo en el momento en que comienza a recibirse el siguiente pedido, no existiendo por tanto stock de seguridad.

Observamos que existe un periodo de tiempo (t1) durante el cual se producen consumo y produccin simultneamente, siendo el ritmo de produccin (p) superior al ritmo de consumo o demanda (d), con lo que el nivel de inventario aumenta hasta alcanzar el nivel S. En el almacn nunca llega a estar la cantidad total de pedido (Q) ya que al ser el consumo gradual, a la vez que van llegando artculos se van consumiendo, por lo que el inventario crece a una tasa de (p-d).A partir de este momento finaliza la produccin del lote solicitado (Q) y durante el periodo t2 el inventario se reduce al ritmo constante (d).El inventario se agota justo en el momento programado para comenzar la recepcin del siguiente lote de pedido, de forma que no se produzca ruptura de stock.

El coste total de inventario ()

Adems sabemos que la cantidad mxima de inventario S es el resultado de producir a un ritmo p y consumir a un ritmo d durante un periodo t1.Por otra parte, si durante ese periodo t1 no existiera ms que produccin p, obtendramos la cantidad de pedido Q, por tanto:

Por lo que el coste total de inventario ser:

Para calcular la cantidad econmica de pedido bastar con derivar dicha funcin con respecto a Q e igualar a cero:

Por tanto, la expresin final para calcular la cantidad econmica de pedido en este segundo modelo sera:Modelo 2

Veamos el siguiente ejemploEJEMPLO 2La seccin de montaje de una empresa electrnica consume diariamente 40 unidades de un determinado circuito (Z-212), que se fabrica en las propias instalaciones de la empresa a razn de 100 unidades diarias durante el tiempo necesario para satisfacer el pedido que realice la seccin de montaje.Las unidades de dicho pedido se suministran a medida que van siendo producidas, de forma que durante el tiempo t1 , la fabricacin y el consumo son simultneos.

Cada vez que hace falta un pedido es necesario emitir la orden, parar y poner apunto las mquinas en que se fabrican los circuitos, etc, transcurriendo un tiempo ts de 7 das desde el momento de emisin hasta la recepcin de las primeras unidades. Los costes de emisin derivados de lo anterior ascienden a 500 euros por lote. En cuanto a los costes de posesin se han estimado en 0,5 euros por unidad y mes. Sabiendo que se emplea un modelo de cantidad fija de pedido sin posibilidades de ruptura de stocks, que el periodo de gestin ser de 10 meses (durante los que se consumirn 9.720 unidades del circuito) y que se suponen condiciones de certeza, se desea conocer:1) El lote econmico, Q2) El tiempo empleado en su fabricacin , t1 y en su consumo , TR3) El punto de pedido para un tiempo de suministro de 7 da4) El punto de pedido si el tiempo de suministro fuera de 30 y 50 das

Solucin:1) Para calcular el volumen o cantidad econmica de pedido nos limitaremos a aplicar la frmula deducida anteriormente, teniendo en cuenta que todas las variables deben estar referidas al ao, por lo que previamente transformamos el coste de almacenamiento mensual en anual, por lo que tenemos que:

Por tanto, cada pedido que se realice ser de 1.800 unidades.

2) Para calcular el tiempo empleado en la fabricacin de cada lote econmico, bastar con dividir dicho lote entre la produccin diaria, es decir:

El periodo de reaprovisionamiento (TR) podemos obtenerlo dividiendo el lote econmico entre la demanda diaria:

La empresa fabricar el lote de 1.800 unidades durante los primeros 18 das, y durante estos 18 das y los restantes 27 se ir consumiendo gradualmente la cantidad almacenada hasta agotar el inventario, comenzando la produccin del siguiente lote justo en ese momento.

3) Para calcular el punto de pedido, para un tiempo de suministro de 7 das, es conveniente representarlo grficamente:

El punto de pedido ser aquella cantidad que la empresa consume al ritmo d en 7 das, por lo que:

Habra que realizar el pedido cuando el almacn se encontrase en fase decreciente y quedasen 280 unidades.

4) El punto de pedido si el tiempo de suministro fuese 30 y 50 dasPara

En este caso, el punto de pedido puede calcularse como la cantidad que se produce a un ritmo (p d) durante un tiempo x, que puede calcularse por diferencia entre TR y Ts

Habra, por tanto que realizar el pedido cuando la cantidad almacenada fuese 900 unidades y el almacn se encontrase en fase creciente.

Para

En este caso el tiempo de suministro supera al tiempo de reaprovisionamiento, por lo que el pedido se debe de anticipar a un ciclo de inventario, de forma que el punto de pedido puede calcularse como la cantidad que la empresa consumira al ritmo d durante un tiempo x, que puede calcularse como la diferencia entre Ts y TR

Habra por tanto, que realizar el pedido cuando la cantidad almacenada fuese de 200 unidades y el almacn se encontrase en fase decreciente.

5.3.1.3 Modelo de la cantidad econmica de pedido con descuentosSuele ser habitual que el proveedor ofrezca descuentos por volumen de compras, dado que el coste de la produccin y transporte de grandes lotes es menor.Este modelo parte de las formulas deducidas para el modelo 1 y para el modelo 2 en funcin de que el suministro sea instantneo (Modelo 1) o gradual (Modelo 2).

Sin embargo las frmulas anteriores pueden no conducir a una solucin ptima dado que, al existir distintos precios, la funcin de costes deja de ser continua y se convierte en una funcin por tramos, lo que hace que las propiedades de la derivada dejen de ser vlidas en los puntos de discontinuidad de dicha funcin. Ver la siguiente figura:

Para solucionar este problema el procedimiento a seguir es el siguiente:

1) Calcular la cantidad econmica de pedido (Q) para el precio ms favorable, es decir para el precio inferior.2) Comprobar que la cantidad calculada es factible segn condiciones de precio establecidas es decir, si para esta cantidad el precio sera el que hemos utilizado en el clculo. Si dicha cantidad es factible, esa sera la cantidad ptima de pedido y el problema estar resuelto. En caso contrario ir al paso 3.3) Repetir el clculo de la cantidad econmica de pedido para el siguiente nivel de precios.4) Comprobar que la cantidad calculada en 3 es factible segn las condiciones de precio establecidas.5) Si dicha cantidad es factible, calcular el coste total de inventario asociado a esa cantidad y compararlo con el coste de pedir las cantidades que marcan cada uno de los puntos de discontinuidad (tramos) de la funcin d coste. La cantidad econmica de pedido (Q) ser aquella que presente el mnimo coste.6) Si dicha cantidad no es factible, volver al paso 3.

EJEMPLO 3Un proveedor ofrece a los H.G. (Problema del Ejemplo 1) distintos descuentos en la materia prima en funcin del volumen de cantidades pedidas. As, los nuevos precios sern: Pedidos superiores a 30.000 Kgs: Precio 0,20 euros Pedidos entre 20.000 y 30.000 Kgs: Precio 0,23 euros Pedidos inferiores a 20.000 Kgs : Precio 0,25 euros

Calcular la cantidad econmica de pedido teniendo en cuenta los descuentos.

Solucin:Siguiendo el procedimiento anteriormente descrito, comenzamos calculando la cantidad econmica de pedido para el menor precio:

Dicha cantidad no es factible con las condiciones establecidas por el proveedor para el precio utilizado, dado que tan solo nos vende a 0.2 euros si pedimos ms de 30,000 unidades. Por tanto, dicha solucin no es vlida y tendremos que probar con el precio inmediatamente superior.

Esta cantidad s cumple con las condiciones establecidas por el proveedor para ofrecernos un precio de 0,23 euros, por lo que s puede ser una solucin vlida.

Sin embargo, antes de afirmar que dicha solucin es la que optimiza el coste, ser necesario comparar el coste de esta opcin con el coste de pedir la mnima cantidad necesaria para pasar al precio inmediatamente inferior es decir:

Por tanto, la cantidad econmica de pedido ser en este caso de 30.001 Kg a un precio unitario de 0.20 euros la unidad, lo que supondr para la empresa un coste total de inventario de 29,066 euros.

5.3.1.4 Modelo de la cantidad econmica de pedido con posibilidad de rupturaSe parte de una situacin como la representada en la siguiente, en la que seconsidera, al igual que en el modelo 1, que tanto la demanda como los tiempos de suministros y los costes unitarios son conocidos con certeza, y que el consumo de artculos es uniforme. Sin embargo, en este caso se admite posibilidad de ruptura de stock.

Como ya vimos anteriormente, se denomina coste de ruptura, al coste en el que se incurre cuando no se puede atender a la demanda debido a que, cuando esta se presenta, no hay existencias en el almacn.

Se distinguen dos casos de demanda insatisfecha:5.3.1.4.1 Demanda insatisfecha diferidaQue se produce cuando los pedidos de los clientes llegados en el momento en que no hay existencias son retrasados, para ser atendidos en el primer momento en que haya existencias en el almacn; el coste asociado a esta demanda es lo que denominaremos coste de ruptura.La cuantificacin econmica de este coste es muy compleja, ya que algunos de los conceptos de coste implicados son muy difciles de medir. As, el costo asociado al mal servicio a los clientes no es cuantificable fcilmente, tampoco es fcil de medir el coste de prdida de imagen, ni el correspondiente al trabajo administrativo extra originado por una orden retrasada.

5.3.1.4.2 Demanda insatisfecha perdidaQue se produce cuando se pierden definitivamente los pedidos de clientes llegados en un momento en el que no hay existencias.Una vez analizados los dos casos anteriores, suponemos que no existe demanda insatisfecha perdida, sino que toda la demanda insatisfecha es diferida, es decir, se satisface en cuanto haya existencias en almacn.

Cuando se recibe el lote Q* al comienzo del periodo se satisface la demanda insatisfecha del periodo anterior (Q S), por lo que al principio del periodo la cantidad almacenada no ser Q, sino S. Por ello, habr que determinar, adems del valor del lote econmico de pedido (Q*), el valor de ruptura ptima. Que vendr dado por la diferencia entre el lote ptimo (Q*) y la cantidad almacenada ptima (S*).Denominando:Z = Periodo de gestin o nmero de das laborables al ao.T1= Periodo de tiempo durante el cual la demanda es satisfecha con los productos almacenados sin retraso.T2= Tiempo durante el cual se produce ruptura de stock

Es decir, existe una demanda insatisfecha diferida hasta la llegada del prximo pedido.Podramos expresar los costes asociados al inventario de la siguiente forma:

Expresaremos todos los costes en funcin de Q y S. Eliminamos la variableT1 y T2Recurrimos a la teora de semejanza de tringulos.

Sustituyendo y sumando tendremos:

Bibliografa http://merkado.unex.es/operaciones/descargas/EE%20%28LE%29/Cap%C3%ADlo%2010.pdf Francisco Javier Miranda Gonzlez