Gestion Inventarios Con Demanda Independiente

Administracin de Empresas y Organizacin de la Produccin ESCUELA INGENIERIAS INDUSTRIALES-Universidad de Valladolid-OECIM Curso 2011/2012 Rafael Sols Martnez

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TEMA 5

GESTION INVENTARIOS CON DEMANDA INDEPENDIENTE

0)INTRODUCCION 1)VENTAJAS E INCONVENIENTES DEL INVENTARIO 2)NATURALEZA DE LOS INVENTARIOS 3)MODELOS DE CANTIDAD FIJA DE PEDIDO 3-1)Modelo cantidad econmica pedido simple 3-2)Modelo cantidad econmica de pedido con suministro gradual 3-3)Modelo cantidad econmica de pedido con descuentos 3-4)Modelo cantidad econmica de pedido con posibilidad de ruptura 3-4-1)Demanda insatisfecha diferida 3-4-2)Demanda insatisfecha perdida 4)MODELO DE PERIODO ECONOMICO DE PEDIDO 5)CANTIDAD DE PEDIDO PARA ARTICULOS CON DEMANDA INDEPENDIENTE Y ALEATORIA


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0)INTRODUCCION El objetivo de este capitulo es analizar los distintos conceptos asociados a la gestin de inventarios. Para ello, se comienza con una descripcin de las principales razones que justifican la presencia de inventarios en las organizaciones, as como los problemas que puede ocasionar un excesivo nivel de inventario. A continuacin se realiza una clasificacin de los inventarios en funcin de la naturaleza de la demanda y del conocimiento o no del tiempo de suministro, distinguindose entre inventarios con demanda dependiente e independiente. El resto del capitulo se dedica a analizar los distintos modelos de clculo de la cantidad de pedido para casos de demanda independiente; los modelos con demanda dependiente se dejan para otro capitulo. Para finalizar el capitulo, se describe el modelo de cantidad econmica de pedido en condiciones de incertidumbre, es decir, cuando la demanda o el tiempo de suministro no son conocidos con certeza, sino que son considerados como variables aleatorias. En este caso aparecen los conceptos de nivel de servicio, riesgo de ruptura, y stock de seguridad. Las existencias suponen en torno al 20 % del total del activo de la empresas nacionales. Esta cifra es todava mas significativa si tenemos en cuenta que en el promedio se incluyen empresas del sector servicios, las cuales apenas tienen inventarios reflejados en sus balances. Por tanto, las existencias constituyen un activo circulante critico para la mayor parte de las empresas que debe ser cuidadosamente planificado y controlado por las repercusiones que puede tener para la rentabilidad, liquidez y fiscalidad de la empresa. La importancia de las decisiones relativas al inventario se deriva de la obligacin de coordinar las necesidades de produccin, marketing y finazas en lo que se refiere a la cantidad ptima de inventario. La dificultad de las mismas reside en que de forma habitual dichas necesidades son totalmente contrapuestas, lo que obliga a adoptar una solucin de equilibrio. Inventario es un conjunto de artculos acumulados o almacenados en espera de una posterior utilizacin, es decir, de una posterior demanda.


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La principal funcin del mismo es adecuar un flujo de produccin y un flujo de demanda de diferente frecuencia temporal. Segn su naturaleza podemos distinguir entre inventario de productos terminados ,de materias primas, de productos en curso de fabricacin o semiterminados, de material de envasado y embalaje. De acuerdo con su categora funcional podemos distinguir entre: a)Inventario de ciclo: En la mayora de la ocasiones no tiene sentido producir o comprar artculos a medida que van siendo demandados, sino que lo habitual es lanzar ordenes de pedido de un tamao superior a las necesidades del momento, dando as lugar a un inventario que es consumido a lo largo del tiempo. Este inventario recibe el nombre de inventario de ciclo, ya que se presenta peridicamente, dando lugar a un comportamiento cclico b)Stock de seguridad: Constituidos como proteccin frente a la incertidumbre de la demanda y del plazo de entrega del pedido, con ellos se trata de evitar la inexistencia de inventarios en un momento dado y la consiguiente parada del proceso productivo o insatisfaccin de la demanda del cliente. c)Inventarios estacionales: Su objeto es hacer frente a un aumento esperado de las ventas; por ejemplo, en un supermercado se observan incremento de la demanda de helados en verano o de turrones en Navidades d)Inventarios en transito: Se denomina as a los artculos que estn circulando entre las diferentes fases de produccin y de distribucin, como, por ejemplo, entre el almacn de productos terminados y un almacn regional de distribucin, o entre distintas fases del montaje. Evidentemente, en la mayora de las ocasiones un mismo artculo presentar situaciones de inventario que corresponden a varias de estas categoras funcionales, puesto que un inventario de ciclo , tambin puede serlo estacional y adems de seguridadetc


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1)VENTAJAS E INCONVENIENTES DEL INVENTARIO Entre las diferentes razones que justifican la presencia de inventarios en las organizaciones podemos sealar las siguientes: A)Reduccin de los tiempos de entrega. Los inventarios de productos terminados permiten prestar un mejor servicio al cliente , al reducir el tiempo que este debe esperar para recibir su pedido. Habitualmente el mejor servicio al cliente requiere adoptar medidas como grandes niveles de stock o numerosos almacenes que acerquen nuestra oferta de productos a los mercados. B)Incremento de la flexibilidad. La presencia de inventarios de productos en curso de fabricacin evita que se detenga el proceso productivo ante la avera de una mquina y permite adaptarse de forma rpida a las oscilaciones de la demanda C)Reduccin de los costes de pedido. Cada vez que realizamos un pedido a nuestros proveedores, incurrimos en una serie de costes relativos a la emisin de la orden de compra, su expedicin, contabilizacin y recepcin del pedido en almacn. Del mismo modo al emitir una orden de fabricacin se incurre en una serie de costes derivados de modificar la maquinaria para producir el nuevo lote. Por ello, cuanto mayor sea la cantidad que pedimos cada vez, es decir mayor sea nuestro inventario, menor numero de pedidos realizaremos al ao, lo que reducir este tipo de costes. D)Reduccin de los costes de ruptura de stocks: Si el cliente realiza un pedido y no podemos entregar por no tener productos almacenados, incurrimos en una serie de costes que van desde la prdida de imagen a la posible prdida del cliente. Del mismo modo, si se nos agota el inventario de materias primas o de productos en curso, habr que detener el proceso productivo lo que adems del coste de inactividad, puede terminar acarreando la prdida de ventas y la insatisfaccin del cliente.


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E)Reduccin de los costes de adquisicin y produccin. El coste de adquisicin de las materias primas puede reducirse si realizamos pedidos en grandes lotes, dado que los proveedores suelen conceder descuentos por volumen de compras (rappels). De forma similar la produccin en grandes lotes puede reducir de modo notable el coste unitario de produccin, al reducirse el tiempo empleado en realizar modificaciones de las mquinas para adaptarlas a la produccin de los lotes de diferentes productos. F)Mejora de calidad. La produccin de lotes de mayor tamao reduce los defectos que suelen producirse al inicio de la produccin de cada lote, debido a los ajustes necesarios en las mquinas y al proceso de adaptacin de los trabajadores al nuevo producto. Sin embargo, contar con un elevado nivel de inventarios tambin lleva asociados una serie de inconvenientes entre los que podemos sealar los siguientes: A)Incremento del coste de almacenamiento. Mayores niveles de inventario implica incurrir en mayores costes de alquiler de almacenamiento, seguridad, calefaccin, manejo de materiales, seguros, personal de mantenimiento,etc B)Incremento del coste financiero. Los inventarios suponen una inmovilizacin de unos recursos financieros que la empresa podra utilizar en inversiones alternativas obteniendo una rentabilidad adicional. Por tanto, un gran inventario supone un coste financiero implcito o de oportunidad que debe ser tenido en cuenta. C)Posible obsolescencia de lo almacenado. Mantener grandes inventarios de productos terminados puede provocar que, ante un repentino cambio de la demanda, la empresa deba deshacerse de los productos almacenados que ya no satisfacen los nuevos requerimientos del mercado, y por tanto, quedan obsoletos. D)Ocultacin de problemas. Los inventarios suelen ocultar los problemas reales del proceso productivo(averas, mala calidad de materias primas, etc)


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dado que, al no detenerse la produccin, el problema se resuelve parcialmente sin pararse a analizar la verdadera causa del mismo, para evitar que el problema vuelva a repetirse actuando sobre ella. E)Riesgos derivados de situaciones imprevistas. Incendios, robos, etc 2)NATURALEZA DE LOS INVENTARIOS Las dos cuestiones bsicas a las que debe responder la gestin de inventarios son:

-Cuanto pedir de cada material y/o producto?

-Cuando realizar dicho pedido? Para responder a estas cuestiones se deben tener en cuenta una serie de factores entre los que podemos sealar: -La Naturaleza de la Demanda -El tiempo de suministro -Costes asociados al inventario A) LA NATURALEZA DE LA DEMANDA En primer lugar habr que tener en cuenta si la demanda puede ser conocida con certeza o si debe considerarse como una variable aleatoria, sujeta a una determinada distribucin de probabilidad. En realidad , la demanda solo puede considerarse como cierta en empresas que trabajen exclusivamente bajo pedido .Sin embargo, veremos cmo en algunas ocasiones se supone que la demanda es conocida con objeto de simplificar el proceso de decisin.


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En segundo lugar, habr que diferenciar entre artculos de demanda independiente, cuya demanda no depende del resto de artculos que forman parte del inventario de la empresa y artculos de demanda dependiente, en los cuales dicha dependencia si existe. As por ejemplo, si una empresa se dedica a la fabricacin de bicicletas, resulta evidente que la demanda de ruedas depender de la demanda de bicicletas y la demanda de radios depender de la demanda de ruedas. En este tema nos centraremos en las decisiones relativas a artculos con demanda independiente, dejando las decisiones de demanda dependiente para otro capitulo. B) TIEMPO DE SUMINISTRO Se define como el tiempo que transcurre desde que se realiza el pedido a proveedores o desde que se emite la orden de fabricacin, hasta que se recibe le pedido. Dicho tiempo puede tambin ser conocido con certeza o ser considerado como aleatorio C) COSTE DE INVENTARIOS Como ya hemos indicado , la existencia de inventarios en la empresa implica una serie de costes entre los que podemos sealar: Costes de adquisicin, costes de almacenamiento, costes de ruptura y costes de emisin. C-1) Coste de adquisicin. (Ca) Se refiere al coste en que se incurre al adquirir los artculos a nuestro proveedor o el coste de fabricar dichos artculos en el caso de que la fabricacin de los mismos se realice en el interior de la empresa.

D = Demanda anual del artculo P = Precio unitario

Ca = DP


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C-2)Coste de Emisin o renovacin (Ce) Se trata del conjunto de costes necesarios para realizar cada pedido a nuestro proveedor o para emitir la correspondiente orden de fabricacin. El coste total de emisin sera igual al coste unitario de emitir un pedido por el numero de pedidos realizados.

E= Coste de emisin de cada pedido Q= Cantidad de pedido (Nmero de unidades de cada pedido)

Ce= E D / Q

C-3)Coste de posesin o almacenamiento(Cp). Incluye en primer lugar el coste de almacenamiento fsico o el coste en que se incurre por mantener los artculos en el almacn: Costes de alquiler, mantenimiento, seguros,etc Tambin incluye el coste de almacenamiento financiero: Coste de los recursos financieros inmovilizados en el inventario. Denominaremos:

A= Coste anual de almacenamiento de cada artculo i= Rentabilidad media empresa o tipo de inters del mercado.

Suponemos que la cantidad almacenada por trmino medio en el almacn o stock medio es Q/2.

Tendremos que Cp = A Q/2 + i P Q/2 = (A + iP) Q/2

C-4)Costes de ruptura(Cr) Se refiere a los costes en que la empresa incurre cuando no dispone de artculos suficientes para satisfacer su demanda: Costes de inactividad, prdida de ventas, prdida de imagen,etc. Ms adelante estableceremos la expresin matemtica que nos permitir su clculo. De acuerdo con lo anterior, podemos distinguir dos tipos de costes: Los que aumentan al incrementar la cantidad de pedido (Q), como el coste de almacenamiento, y los que diminuyen al aumentar la cantidad de pedido, como el coste de emisin y ruptura. Si representamos grficamente estos costes (figura 1) observamos como existe una cantidad Q que minimiza los costes totales asociados al


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inventario. A esta cantidad la denominaremos cantidad econmica de pedido (EOP=CEP) Coste anual Coste total (Ca, Cp)

(Ce, Cr) Q En los siguientes apartados trataremos de dar respuesta a las cuestiones de cunto y cuando pedir en el caso de artculos con demanda independiente y conocida con certeza, distinguiendo entre modelos de cantidad fija de pedido y modelos de periodo fijo 3)MODELOS DE CANTIDAD FIJA DE PEDIDO Esta serie de modelos considera que la cantidad de pedido (Q) debe ser siempre la misma en los diferentes pedidos, alterndose, sin embargo, el momento en que se realiza cada pedido.


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Punto de Pedido (Pp) Es la cantidad que hay en el almacn en el momento en que se realiza el pedido. Esta cantidad debe ser suficiente para servir la demanda esperada desde el momento de realizar el pedido hasta la recepcin del mismo por parte del proveedor o hasta la culminacin de su fabricacin.(En caso de que la fabricacin se realice en el interior de la empresa) Tiempo de suministro (Ts) Es el tiempo que transcurre entre la emisin del pedido y su recepcin. Tiempo o periodo de reaprovisionamiento (Tr) Tiempo que transcurre entre dos periodos consecutivos Stock Pp Ts tiempo Tr No existe un modelo vlido para cualquier circunstancia, sino que se hace necesario adaptarles a las circunstancias particulares de cada caso concreto. 3-1)MODELO DE LA CANTIDAD ECONOMICA DE PEDIDO SIMPLE Parte de una situacin como la representada en al figura anterior (Figura 2), en la que se considera que tanto la demanda como los tiempos de suministro y los costes unitarios son conocidos con certeza. Se supone que no existen costes de ruptura y que el consumo de los artculos es uniforme, agotndose


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el inventario justo en el momento en que se recibe el siguiente pedido, no existiendo, por tanto, stock de seguridad. En la realidad estas caractersticas no suelen ser habitual. Sin embargo este modelo es bastante utilizado debido a su sencillez y el escaso error que se comete en ocasiones con estos supuestos restrictivos. En esta situacin el coste total de inventarios sera:

Ct = DP + E D/Q + (A + P i) Q/2 Para calcular la cantidad Q que minimiza el coste total de inventario o cantidad econmica de pedido, bastar con derivar la expresin anterior con respecto a la cantidad Q e igualar a cero:

dCt/dQ = - E D/Q2 + (A + Pi)/2 = 0

(A + Pi)/2 = ED/Q2

Por tanto, la expresin final para calcular la cantidad econmica de pedido en este primer modelo sera:

Modelo 1

Q= 2ED/(A + P i)


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EJEMPLO 1 La empresa HG S.A. adquiere materias primas a un coste unitario de 0,25 Euros/Kg a un proveedor cercano. Necesita anualmente 140.000 Kg de dicha materia prima. Por cada pedido realizado, la empresa estima en concepto de gastos administrativos, transporte y descarga un coste de 100 euros, y el tiempo promedio en recibir el pedido desde que se efecta es de 15 das. Asimismo, con los datos de la contabilidad se calcula que cada Kg almacenado supone un coste anual de 0,02 Euros. Sabiendo que el coste de capital en la citada empresa es del 12 %, se desea conocer 1) el volumen econmico de pedido 2) cada cuanto tiempo se debe realizar un pedido 3) cul es su punto de pedido Solucin: a)Para calcular el volumen o cantidad econmica de pedido nos limitamos a aplicar la frmula deducida anteriormente, con lo que tenemos que: Q= 2ED/(A + Pi) = 2 x 100x 140000/(0,02 + 0,25 x 0,12) = 23.664,32 Kg 2)Para calcular cada cunto tiempo se debe realizar un pedido nos interesa conocer en primer lugar, el numero de pedidos que la empresa debe realizar al ao, para lo cul:

n = D/Q = 140.000 /23.664,32 = 5,91 ~ 6

La empresa realizar 6 pedidos al ao (Redondeando). Ajustando tambin la cantidad de optima de pedido 140.000 / 6 =23.333,33 kg


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Si suponemos que el ao tiene 300 das laborables, podremos calcular el tiempo entre dos pedidos consecutivos, o tiempo de reaprovisionamiento, sin mas que dividir en numero de das laborables ( z) por el numero de pedidos ( n) Tr = z/n = 300/6 = 50 das Por tanto, se realizar un pedido de 23.333,33 Kg cada 50 dias laborabes 3) Finalmente para calcular el punto de pedido bastar con multiplicar el consumo diario del inventario por el nmero de das que el proveedor tarda en suministrarnos el pedido. Para calcular el consumo diario dividiremos la demanda anual entre el nmero de das laborables anuales. Pp = cTs = (D/z)Ts = (140.000/300)15 = 7.000 Kg Por lo que procederemos a emitir un pedido cada vez que la cantidad de artculos existentes en nuestro almacn sea igual a 7.000 Kg

3-2)MODELO DE CANTIDAD ECONOMICA DE PEDIDO CON SUMINISTRO GRADUAL

Este modelo se utiliza para determinar la cantidad y el momento de pedido cuando el articulo se fabrica en el interior de la empresa, o bien cuando el proveedor nos sirve el producto de forma gradual. Se parte de una situacin como la representada en la figura 3, en la que se considera que tanto la demanda como los costes unitarios son conocidos con certeza. Se supone que no existen costes de ruptura y que el consumo de artculos es uniforme (d) e inferior al ritmo de suministro de los mismos (p, tambin uniforme), agotndose el inventario justo en el momento en que


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comienza a recibirse el siguiente pedido, no existiendo por tanto stock de seguridad Nivel de Stock Q S

t1 t2

tiempo TR Observamos que existe un periodo de tiempo (t1) durante el cual se producen consumo y produccin simultneamente, siendo el ritmo de produccin (p) superior al ritmo de consumo o demanda (d), con lo qu el nivel de inventario aumenta hasta alcanzar el nivel S. En el almacn nunca llega a estar la cantidad total de pedido (Q) ya que al ser el consumo gradual, a la vez que van llegando artculos se van consumiendo, por lo que el inventario crece a una tasa de (p-d).A partir de este momento finaliza la produccin del lote solicitado (Q) y durante el periodo t2 el inventario se reduce al ritmo constante (d).El inventario se agota justo en el momento programado para comenzar la recepcin del siguiente lote de pedido, de forma que no se produzca ruptura de stock.


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El coste total de inventario( Suponiendo que A1=A + Pi) A= Coste anual de almacenamiento de cada artculo i= Rentabilidad media de la empresa S/2 = Cantidad almacenada por trmino medio en el almacn P= Coste unitario.

CT=DP + ED/Q + A1 S/2

Adems sabemos que la cantidad mxima de inventario S es el resultado de producir a un ritmo p y consumir a un ritmo d durante un periodo t1. Por otra parte, si durante ese periodo t1 no existiera mas que produccin p, obtendramos la cantidad de pedido Q, por tanto:

S=(p-d)t1

Q=pt1

S = (p-d)Q/p

Por lo que el coste total de inventario ser:

CT = DP + ED/Q + A1 (p-d)Q / 2p

Para calcular la cantidad econmica de pedido bastar con derivar dicha funcin con respecto a Q e igualar a cero

dCT/dQ = -ED/Q2 + A1(p-d)/2p = 0 ; Q2 = 2pED/A1(p-d) Por tanto, la expresin final para calcular la cantidad econmica de pedido en este segundo modelo sera:


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Modelo 2 Q = 2pED/A1(p-d) Veamos el siguiente ejemplo EJEMPLO 2 La seccin de montaje de una empresa electrnica consume diariamente 40 unidades de un determinado circuito (Z-212), que se fabrica en las propias instalaciones de la empresa a razn de 100 unidades diarias durante el tiempo necesario para satisfacer el pedido que realice la seccin de montaje. Las unidades de dicho pedido se suministran a medida que van siendo producidas, de forma que durante el tiempo t1 , la fabricacin y el consumo son simultneos. Cada vez que hace falta un pedido es necesario emitir la orden, parar y poner apunto las mquinas en que se fabrican los circuitos,etc, transcurriendo un tiempo ts de 7 das desde el momento de emisin hasta la recepcin de las primeras unidades. Los costes de emisin derivados de lo anterior ascienden a 500 euros por lote. En cuanto a los costes de posesin se han estimado en 0,5 euros por unidad y mes. Sabiendo que se emplea un modelo de cantidad fija de pedido sin posibilidades de ruptura de stocks, que el periodo de gestin ser de 10 meses (durante los que se consumirn 9.720 unidades del circuito) y que se suponen condiciones de certeza, se desea conocer: a) El lote econmico, Q b) El tiempo empleado en su fabricacin , t1 y en su consumo , TR c) El punto de pedido para un tiempo de suministro de 7 das


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d) El punto de pedido si el tiempo de suministro fuera de 30 y 50 das Solucin: a) Para calcular el volumen o cantidad econmica de pedido nos limitaremos a aplicar la frmula deducida anteriormente, teniendo en cuenta que todas las variables deben estar referidas al ao, por lo que previamente transformamos el coste de almacenamiento mensual en anual, por lo que tenemos que: 2pED/A1(p-d) = 2 x 100 x 500 x 9.720 = 1.800 ud Q= 0,5 x 10(100- 40) Por tanto, cada pedido que se realice ser de 1.800 unidades b) Para calcular el tiempo empleado en la fabricacin de cada lote econmico, bastar con dividir dicho lote entre la produccin diaria, es decir

t1 = Q/p = 1.800/100 = 18 das El periodo de reaprovisionamiento (TR) podemos obtenerlo dividiendo el lote econmico entre la demanda diaria

TR= Q/d = 1.800/40 = 45 dias

La empresa fabricar el lote de 1.800 unidades durante los primeros 18 das, y durante estos 18 das y los restantes 27 se ir consumiendo gradualmente la cantidad almacenada hasta agotar el inventario, comenzando la produccin del siguiente lote justo en ese momento.


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c) Para calcular el punto de pedido, para un tiempo de suministro de 7 das, es conveniente representarlo grficamente: Stock S

Pp tiempo Ts=7 t1=18 t2 = 27 TR = 45 El punto de pedido ser aquella cantidad que la empresa consume al ritmo d en 7 das, por lo que:

Pp = d Ts = (40 ud/dia) x 7 dias = 280 ud. Habra que realizar el pedido cuando el almacn se encontrase en fase decreciente y quedasen 280 unidades. d)El punto de pedido si el tiempo de suministro fuese 30 y 50 das


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Para Ts= 30 das stock S Pp

tiempo x Ts= 30 t1=18 t2 = 27

tR = 45 En este caso, el punto de pedido puede calcularse como la cantidad que se produce a un ritmo (p d) durante un tiempo x, que puede calcularse por diferencia entre TR y Ts

Pp = ( p d) (TR Ts) = 60 (45-30) = 900 ud

Habra, por tanto que realizar el pedido cuando la cantidad almacenada fuese 900 ud y el almacn se encintrase en fase creciente.


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Para Ts = 50 dias Stock S S Pp tiempo

x Ts=50 t1=18 t2=27 TR=45 En este caso el tiempo de suministro supera al tiempo de reaprovisionamiento, por lo que el pedido se debe de anticipar a un ciclo de inventario, de forma que el punto de pedido puede calcularse como la cantidad que la empresa consumira al ritmo d durante un tiempo x, que puede calcularse como la diferencia entre Ts y TR .

Pp = d (Ts TR ) = 40 (50 - 45) = 200 ud Habra por tanto, que realizar el pedido cuando la cantidad almacenada fuese de 200 unidades y el almacn se encontrase en fase decreciente 3-3)MODELO DE LA CANTIDAD ECONOMICA DE PEDIDO CON DESCUENTOS


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Suele ser habitual que el proveedor ofrezca descuentos por volumen de compras, dado que el coste de la produccin y transporte de grandes lotes es menor. Este modelo parte de las formulas deducidas para el modelo 1 y para el modelo 2 en funcin de que el suministro sea instantneo (Modelo 1) o gradual (Modelo 2). Sin embargo las frmulas anteriores pueden no conducir a una solucin ptima dado que, al existir distintos precios, la funcin de costes deja de ser continua y se convierte en una funcin por tramos, lo que hace que las propiedades de la derivada dejen de ser validas en los puntos de discontinuidad de dicha funcin .Ver Figura 4 Coste Anual CT1 CT2 CT3 Q1 Q2 Cantidad Para solucionar este problema el procedimiento a seguir es el siguiente: 1) Calcular la cantidad econmica de pedido (Q) para el precio ms favorable, es decir para el precio inferior. 2) Comprobar que la cantidad calculada es factible segn condiciones de precio establecidas es decir, si para esta cantidad el precio sera el que hemos utilizado en el clculo. Si dicha cantidad es factible, esa sera la cantidad ptima de pedido y el problema estar resuelto. En caso contrario ir al paso 3.


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3) Repetir el clculo de la cantidad econmica de pedido para el siguiente nivel de precios. 4) Comprobar que la cantidad calculada en 3 es factible segn las condiciones de precio establecidas. 5)Si dicha cantidad es factible, calcular el coste total de inventario asociado a esa cantidad y compararlo con el coste de pedir las cantidades que marcan cada uno de los puntos de discontinuidad (tramos) de la funcin d coste. La cantidad econmica de pedido (Q) ser aquella que presente el mnimo coste. 6)Si dicha cantidad no es factible, volver al paso 3 EJEMPLO 3 Un proveedor ofrece a los H.G. (Problema del Ejemplo 1) distintos descuentos en la materia prima en funcin del volumen de cantidades pedidas. As, los nuevos precios sern: -Pedidos superiores a 30.000 Kgs: Precio 0,20 euros -Pedidos entre 20.000 y 30.000 Kgs: Precio 0,23 euros -Pedidos inferiores a 20.000 Kgs : Precio 0,25 euros Calcular la cantidad econmica de pedido teniendo en cuenta los descuentos. Solucin: Siguiendo el procedimiento anteriormente descrito, comenzamos calculando la cantidad econmica de pedido para el menor precio: Qp =0,20 = 2ED/(A + Pi) = 2 x 100 x 140.000/(0,02 + 0,2 x 0,12)

Qp=0,20=25.226 Kg


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Dicha cantidad no es factible con las condiciones establecidas por el proveedor para el precio utilizado, dado que tan solo nos vende a 0,2 euros si pedimos ms de 30.000 unidades. Por tanto, dicha solucin no es valida y tendremos que probar con el precio inmediatamente superior. Qp=0,23 = 2ED/(A + Pi) = 2 x 100 x 140.000/(0,02 + 0,23 x 0,12)

Qp=0,23=24.253 Kg

Esta cantidad s cumple con las condiciones establecidas por el proveedor para ofrecernos un precio de 0,23 euros, por lo que s puede ser una solucin vlida. Sin embargo, antes de afirmar que dicha solucin es la que optimiza el coste, ser necesario comparar el coste de esta opcin con el coste de pedir la mnima cantidad necesaria para pasar al precio inmediatamente inferior es decir:

Ct = DP + E D/Q + (A + P i) Q/2

CTQ=24.253 = 140.000 x 0,23 +100 x 140.000/24.253 + 0,05 x 24.253/2= 33.386 euros CTQ=30.001 = 140.000 x 0,20 +100 x 140.000/30.001 + 0,04 x 30.001/2= 29.066 euros Por tanto, la cantidad econmica de pedido ser en este caso de 30.001 Kg a un precio unitario de 0,20 euros la unidad, lo que supondr para la empresa un coste total de inventario de 29.066 euros 3-4)MODELO DE LA CANTIDAD ECONOMICA DE PEDIDO CON POSIBILIDAD DE RUPTURA Se parte de una situacin como la representada en la figura 5, en la que se considera, al igual que en el modelo 1, que tanto la demanda como los tiempos de suministros y los costes unitarios son conocidos con certeza, y que el consumo de artculos es uniforme. Sin embargo, en este caso se admite posibilidad de ruptura de stock.


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Nivel Stock

S Q* Pp T2 Tiempo Q-S T1 TR Como ya vimos anteriormente, se denomina coste de ruptura, al coste en el que se incurre cuando no se puede atender a la demanda debido a que, cuando esta se presenta, no hay existencias en el almacn. Se distinguen dos casos de demanda insatisfecha: a)Demanda insatisfecha diferida: Que se produce cuando los pedidos de los clientes llegados en el momento en que no hay existencias son retrasados, para ser atendidos en el primer momento en que haya existencias en el almacn; el coste asociado a esta demanda es lo que denominaremos coste de ruptura.


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La cuantificacin econmica de este coste es muy compleja, ya que algunos de los conceptos de coste implicados son muy difciles de medir. As, el coste asociado al mal servicio a los clientes no es cuantificable fcilmente, tampoco es fcil de medir el coste de prdida de imagen, ni el correspondiente al trabajo administrativo extra originado por una orden retrasada. b)Demanda insatisfecha perdida : Que se produce cuando se pierden definitivamente los pedidos de clientes llegados en un momento en el que no hay existencias. Una vez analizados los dos casos anteriores, suponemos que no existe demanda insatisfecha perdida, sino que toda la demanda insatisfecha es diferida, es decir, se satisface en cuanto haya existencias en almacn, tal y como se refleja en la figura 5. Cuando se recibe el lote Q* al comienzo del periodo se satisface la demanda insatisfecha del periodo anterior (Q S), por lo que al principio del periodo la cantidad almacenada no ser Q, sino S. Por ello, habr que determinar, adems del valor del lote econmico de pedido (Q*), el valor de ruptura ptima. Que vendr dado por la diferencia entre el lote ptimo (Q*) y la cantidad almacenada ptima (S*). Denominando : Z = Periodo de gestin o nmero de das laborables al ao. T1= Periodo de tiempo durante el cul la demanda es satisfecha con los productos almacenados sin retraso. T2= Tiempo durante el cual se produce ruptura de stock Es decir, existe una demanda insatisfecha diferida hasta la llegada del prximo pedido. Podramos expresar los costes asociados al inventario de la siguiente forma: CA= DP CE= E D/Q CP=(a1 S/2)(T1 z/TR) CR=(cR(Q-S)/2)T2 z/TR))


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Expresaremos todos los costes en funcin de Q y S. Eliminamos la variable T1 y T2 Recurrimos a la teora de semejanza de tringulos. S/Q = T1/TR T1= (S/Q) TR (Q/Q-S) = TR/T2 T2=((Q-S)/Q))TR Sustituyendo y sumando tendremos: CT = DP + ED/Q + a 1S2z/2Q + cR(Q-S)2z/2Q Derivando respecto a Q y S e igualando a cero, se obtienen las expresiones correspondientes a este modelo Q*= 2ED (a1 + cR) Q*= 2ED (a1+cR) A1 cR z a1 cR

S* = Q* cR/(cR + a1) Q* = Lote econmico (Unidades) E = Coste de emisin (Euros /pedido) D = Demanda total en el periodo de gestin (unidades /ao) D/z = Demanda por da (Unidades /da) a1 = Coste de posesin por unidad y da (Euros /unidad y da) =A1 /z cR = Coste de ruptura por unidad y da (Euros /unidad y da) A1 = A + Pi =Cote total de inventario por unidad y anual. Periodo de gestin = tiempo total de clculo = Por ejemplo 1 ao.


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Veamos el siguiente ejemplo: EJEMPLO 4 Una empresa tiene una demanda constante y conocida de un producto que fabrica y comercializa a 350 unidades/ da. El citado articulo requiere de un componente (Una unidad de componente por cada articulo) que le es suministrado por una entidad auxiliar en la siguientes condiciones: -El precio por unidad de componente es de 200 euros -El coste de emisin de un pedido es de 6000 euros /lote -El coste anual de posesin por unidad es del 10 % del coste de adquisicin Si la empresa sufre una ruptura de stock, deber reponer la demanda insatisfecha de forma urgente en el momento que reciba el lote correspondiente al siguiente periodo, lo cul ocasionar unos costes de 0,5 euros /unidad y da de retraso. Sabiendo que el modelo utilizado en la gestin de stock es el modelo de cantidad fija de pedido, que se admite la posibilidad de ruptura de stock y que el periodo de gestin es de 360 das. Calcular: a)La demanda insatisfecha ptima, ajustando el lote de pedido ptimo al nmero de pedidos a realizar. b)El intervalo de tiempo durante el cual la demanda se satisface sin retraso, es decir no hay ruptura de stock. c)El periodo de tiempo en el que existe ruptura de stock. d)El punto de pedido para un tiempo de suministro igual a 8 das e)El punto de pedido para un tiempo de suministro igual a 27 das.


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SOLUCION a)Calculamos el coste de posesin anual por unidad (A) como el 10 % del coste de adquisicin es decir: 0,1 x 200 euros, lo qu supone un coste de 20 euros /unidad y ao; y la demanda anual (D) multiplicando la demanda diaria por el periodo de gestin, es decir 350 x 360 = 126.000 unidades /ao. Y aplicando las expresiones del modelo 4 tendremos que:

Q* = 2ED (a 1 + cR) z cR a 1

Q*= 2 x 126000 x 6000 (20/360 + 0,5) 360 0,5 x 20/360 Q*= 9165,15 ud A partir del lote econmico (Q*) podemos calcular el nmero de

pedidos anuales, dividiendo la demanda anual (D) entre el lote econmico, es decir :


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D/Q* = 126000 ud/9165 ud = 13,74 = 14 pedidos al ao Y ajustando el lote econmico a ese nmero de pedidos, tendramos

que:

Q* = 126000/14 = 9000 ud Una vez ajustado el lote econmico podramos calcular la demanda

insatisfecha ptima aplicando la expresin correspondiente. S*= 9000 x 0,5/(0,5 +20/360) = 8.100 Q* - S* = 9000 9000 (180/(180 + 20)) = 900 ud S*= Q*-900 = 8100 ud

b)El intervalo de tiempo durante el que no existe rotura de stock es T1 y para su clculo habr que calcular previamente el tiempo de reaprovisionamiento (TR), que podemos calcular dividiendo el periodo de gestin entre el nmero de pedidos al ao, es decir: TR = 360 / 14 = 25,71 = 26 das Y empleando la teora de semejanza de tringulos: Q/TR = S/T1 T1= (TR/Q)S = (26/9000) 8100 = 23 dias c)El periodo de tiempo durante el que existe rotura de stock (T2) lo calcularemos como diferencia entre TR y T1 : T2 = TR T1 = 26-23 = 3 das d)Para calcular el punto de pedido realizamos la representacin grafica


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Stock Q* Ts= 8 das S

Pp T2=3dias X Q-S Tiempo T1=23 dias TR =26 dias El punto de pedido ser aquella cantidad que la empresa consume durante el periodo de tiempo x Es decir: Pp = dx = d(Ts T2) = 350 ud/dia (8 3)dias = 1750 unidades Por tanto, tenemos que realizar un pedido cuando en el almacn queden 1.750 unidades. e)Si el tiempo de suministro es de 27 das, la nueva situacin sera la que refleja la figura siguiente:


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stock T2= 3 dias Q* S x

tiempo Ts=27 dias Q-S T1=23 dias Pp TR=26 dias Hay que tener en cuenta que en este caso el punto de pedido se sita en la zona en que no existe ninguna cantidad almacenada, es decir existe demanda insatisfecha. En este caso el punto de pedido sera: Pp = dx = d(T2 + TR Ts ) = = 350 ud/dia(3 + 26 - 27) = 700 unidades Por tanto, deberemos realizar un pedido cuando la demanda insatisfecha alcance las 700 unidades, es decir, cuando hayamos recibido pedidos por esa cantidad sin que hayamos podido servirlos por falta de stock.


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4)MODELO DE PERIODO ECONOMICO DE PEDIDO Es un sistema en el cual los pedidos se emiten regularmente, correspondiendo la periodicidad de las emisiones a los distintos momentos en que se realiza el recuento fsico o inventario sobre las existencias de las principales materias primas. Las hiptesis de partida de este modelo son similares a las del modelo de cantidad econmica de pedido: La demanda, el tiempo de suministro y el coste son conocidos con certeza, no se utiliza stock de seguridad, el suministro es instantneo y no se admite la posibilidad de ruptura de stock. Fijada de antemano una cantidad de cobertura o reposicin, S, se controlan los inventarios en las fechas preestablecidas para emitir un pedido de tal magnitud que, llegado a almacn, el nivel de stock coincida con S. La cantidad de pedido se calcula restando al nivel mximo del inventario (S) el nivel de inventario existente y aadiendo la cantidad necesaria para satisfacer la demanda durante el tiempo de suministro. Pedir=S-a +b S b a T Este sistema de periodo fijo es habitual en inventarios donde resulta recomendable realizar recuentos fsicos peridicos de los artculos almacenados, como es el caso de los comercios minoristas o las grandes


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superficies. Si revisamos los artculos con demasiada frecuencia , los costes anuales de emisin sern excesivos, mientras que si los revisamos con poca frecuencia, las cantidades de pedido harn que los costes se disparen. La expresin del coste total de inventarios en funcin del tiempo entre periodos o tiempo de reaprovisionamiento ser:

CT = DP + E D/Q + (A + P i) Q/2

Donde D/Q = Nmero de pedidos en un periodo = 1/T Donde D/Q = 1/T ; Q = DT ;

CT = DP + E/T + A1 DT/2

Por lo que para calcular el periodo (T) que minimiza el coste total de inventario o periodo econmico de pedido bastar con derivar la expresin anterior ,con respecto a T e igualar a cero. dCT/dT = - E/T2 + A1D/2 = 0 A1D/2 = E/T2 T2 = 2E/A1D Por tanto, la expresin para calcular el periodo econmico de pedido en este modelo ser: T* = 2E/A1D Veamos el siguiente ejemplo referido a la gestin de inventarios de una empresa detallista de venta de muebles.


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EJEMPLO 5 PROMADEREX SA, realiza una revisin quincenal de sus almacenes de madera de importacin. El producto de mayor demanda (10.000 unidades al ao) son las sillas de madera tropical, que tienen un coste de almacenamiento anual equivalente a un 10 % de su coste de adquisicin, que se eleva a 120 euros / unidad. El nivel mximo de inventario (S) se calcula en 1.500 unidades y el tiempo de suministro de cada periodo se estima en 10 das. Sabiendo que el coste de emisin de cada pedido se estima en 75 euros, se pide: a)Es la revisin quincenal la ms adecuada para este artculo? b)Cul ser la cantidad de pedido, si tras la primera revisin el nivel de inventario es de 800 unidades? SOLUCION: a)Para responder a esta pregunta calculamos el periodo ptimo o econmico de pedido aplicando la expresin deducida con anterioridad, con lo que tendramos que: T* = 2 x 75/10000 x 12 = 0,035 aos = 12,9 das =13 das Por lo que la periodicidad de revisin ptima para este artculo no ser 15 das sino 13 das. b)La cantidad de pedido se calcula restando al nivel mximo del inventario (S) el nivel de inventario existente y aadiendo la cantidad necesaria para satisfacer la demanda durante el tiempo de suministro. En este caso:


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Q* = 1.500 - 800 + (10000/360) 10 = 977,77 ~ 978 ud 5)CANTIDAD DE PEDIDO PARA ARTICULOS CON DEMANDA INDEPENDIENTE Y ALEATORIA Cuando la demanda o el tiempo de suministro no son deterministicos , es decir, no son conocidos con certeza, sino que se consideran variables aleatorias, nos encontramos ante un problema de gestin de almacenes en condiciones de riesgo. En este caso, se recurre a valores representativos de dichas variables aleatorias, como su media , su mediana o su moda. Nosotros vamos a recurrir a la media aritmtica, lo que provocar una determinada probabilidad de error, que puede originar un nivel de servicio inferior al esperado. En estos problemas se denomina: NIVEL DE SERVICIO: Porcentaje de veces que la demanda es satisfecha en el momento en que se produce, es decir el cociente entre el nmero de ciclos sin ruptura de stock y el nmero total de ciclos de inventario. RIESGO DE RUPTURA: El complementario al nivel de servicio, es decir el cociente entre el nmero de ciclos con ruptura y el nmero total de ciclos, de forma que se tiene que cumplir que:

Nivel de servicio

Riesgo de ruptura


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Nivel de servicio (%) + Riesgo de ruptura (%) = 100 Para aumentar el nivel de servicio (o reducir el riesgo de ruptura) recurrimos al stock de seguridad, que actuar como amortiguador cuando los valores reales de la demanda y tiempo de suministro sean superiores a sus valores representativos (media aritmtica). El nivel deseado de stock de seguridad lo calculamos como diferencia entre el valor de la demanda que se est dispuesto a satisfacer durante el tiempo de suministro menos el valor del consumo medio durante dicho periodo. Resumiendo, el procedimiento que emplearemos para resolver este tipo de problemas ser el siguiente: 1)Elegir un valor representativo de las variables aleatorias a considerar (Demanda y/0 Tiempo de suministro) 2)Resolver el problema utilizando dichos valores representativos cmo si estuviramos en condiciones de certeza. 3)Calcular el riesgo de ruptura o nivel de servicio que se consigue con dichos valores. 4)Si el riesgo de ruptura fuese superior al deseado, se calcular un stock de seguridad suficiente para alcanzar el nivel de servicio deseado EJEMPLO 6 Supongamos que la empresa PROMADEREX SA, tras un anlisis histrico de los tiempos de suministro de su proveedor de sillas de madera tropical, estima que no se puede considerar dicho tiempo como constante, sino que lo ms correcto es considerarlo como una variable aleatoria que responde a una ley normal de media 10 das y desviacin tpica de 2 das. El resto de datos son los indicados en el ejemplo anterior. Es decir: Demanda anual : 100.000 unidades Coste de almacenamiento: 12 euros/unidad y ao


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Coste de emisin: 75 euros En este caso, la empresa opta por emplear un modelo de cantidad fija de pedido sin posibilidades de ruptura con suministro instantneo y desea conocer: a)Lote econmico b)Riesgo de ruptura si no se mantiene stock de seguridad c)El punto de pedido y el stock de seguridad si se desea un nivel de servicio del 90 % SOLUCION a)Aplicando la expresin del modelo 1,tendremos: Q* = 2 x 75 x 10.000/12 = 353,55 = 354 ud b)Si no se mantiene stock de seguridad y dado que la variable aleatoria de tiempo de suministro sigue una distribucin normal, tendramos que el riesgo de ruptura es la probabilidad de que el tiempo de suministro real sea superior al tiempo de suministro esperado que viene determinado por la media aritmtica, es decir:

RR =P (Tsr > o igual Tse ) = P (Tsr > o igual que 10) = 50 %

Dado que la distribucin normal es una distribucin simtrica por definicin y, por tanto, deja a ambos lados de la media la misma probabilidad. c)Si deseamos que el nivel de servicio sea del 90 % tendramos que: NS = P (Tsr menor o igual Tse ) = 0,9


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Tipificando la variable aleatoria para poder emplear las tablas de la distribucin normal (El valor de 1,28 es el que deja a la izquierda un 90 % de probabilidad segn las tablas de la normal) tendramos que: P(z menor o igual (Ts 10)/2) = 0,9 (T-10)/2 = 1,28 T= 10 + 2x1,28 = 12,56 das Llegados a este punto podemos calcular el stock de seguridad necesario para alcanzar dicho nivel de servicio: SS=Ts d T*s d = (12,56 x 10.000/365) (10 x 10.000/365) = 70,13 = 70 ud Por tanto , para lograr un nivel de servicio del 90 % ser necesario contar con un stock de seguridad de 70 unidades.

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