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1. Ecuaciones diferenciales y problemas con valores enla frontera est diseado para cubrir las necesidades de un curso de uno o dos semestres de teora bsica, as como de aplicaciones de las ecuaciones diferenciales. Esta nueva edicin incluye captulos relativosa problemas de valores propios y ecuaciones de Sturm-Liouville. Es un texto flexible que proporciona alprofesor un amplio panorama para disear un temariodel curso haciendo nfasis en teora, metodologa,aplicaciones y mtodos numricos. Cuarta edicinCAMBIOS EN ESTA EDICIN El tema de ecuaciones lineales de segundoNuevos proyectos de grupoorden, se centra ahora en las ecuaciones con coeficientes constantesIntroduccin a los sistemas y al anlisisdel plano faseNuevo tratamiento de los coeficientesindeterminadosEjercicios revisadosAplicaciones tempranas a los circuitosEl texto incluye un CD interactivo deelctricosecuaciones diferencialesCuarta edicinCourseCompass es una plataforma para administracin de cur-sos en lnea que combina los contenidos de Pearson Educacincon la tecnologa de punta de Blackboard. Este libro incluye uncurso precargado en CourseCompass, el cual puede personalizar para que se adapte mejor a suprograma de clases. Para mayor informacin, revise el prefacio de este libro. Vistenos en: www.pearsoneducacion.net

2. CAPITULO RESPUESTAS 20-34 12/6/08 10:50 Pgina B-34 3. FORROS NAGLE 9/5/08 13:58Pgina B TABLA BREVE DE INTEGRALES* * Nota: Se debe aadir una constante arbitraria a cada frmula. 4. FORROS NAGLE 9/5/08 13:58 Pgina C TABLA BREVE DE INTEGRALES* (continuacin) si n es un entero positivo. ALGUNAS EXPANSIONES DE SERIES DE POTENCIA (series de Taylor)*Nota: Se debe aadir una constante arbitraria a cada frmula. 5. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS 9/5/08 13:52Pgina iii ECUACIONES DIFERENCIALESY PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA cuarta Edicin R. Kent Nagle University of South Florida Edward B. Saff Vanderbilt University Arthur David Snider University of South Florida TRADUCCIN: scar Alfredo Palmas Velazco Facultad de Ciencias Universidad Nacional Autonma de Mxico REVISIN TCNICA: Ernesto Filio Lpez Unidad Profesional Interdisciplinaria en Ingeniera y Tecnologas Avanzadas Instituto Politcnico Nacional Ma. Merced Arriaga Gutirrez Profesora del Departamento de Matemticas Universidad de Guadalajara Gerardo Tole Galvis Facultad de Ingeniera y Ciencias Bsicas Ponticia Universidad Javeriana, Bogot, Colombia Oswaldo Rodrguez Daz Universidad Autnoma de Occidente Cali, Colombia 6. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS 9/5/08 13:52 Pgina vi 7. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS 9/5/08 13:52 Pgina iv Datos de catalogacin bibliogrficaNAGLE, R. KENTEcuaciones diferenciales y problemascon valores en la frontera, 4a. ed.PEARSON EDUCACIN, Mxico, 2005ISBN: 970-26-0592-Xrea: UniversitariosFormato: 20 25.5 cmPginas: 816Authorized translation from the English language edition, entitled Fundamentals of differential equations & boundary value problems 4th ed.,by R. R. Kent Nagle, Edward B. Saff and Arthur David Snider, published by Pearson Education, Inc., publishing as Addison Wesley, Copyright2004. All rights reserved.ISBN 0-321-14571-2Traduccin autorizada de la edicin en idioma ingls, titulada Fundamentals of differential equations & boundary value problems 4a ed., de R. R.Kent Nagle, Edward B. Saff y Arthur David Snider, publicada por Pearson Education, Inc., publicada como Addison Wesley, Copyright 2004.Todos los derechos reservados.Esta edicin en espaol es la nica autorizada.Edicin en espaolEditor: Enrique Quintanar Duartee-mail: [email protected] de desarrollo: Jorge Bonilla TalaveraSupervisor de produccin: Jos D. Hernndez GarduoEdicin en ingls:Publisher: Greg TobinManaging Editor: Karen GuardinoAcquisitions Editor: William HoffmanProject Editor: Rachel S. ReeveProduction Supervisor: Cindy CodyMarketing Manager: Pamela LaskeyMarketing Coordinator: Heather PeckMedia Producer: Lynne BlaszakManufacturing Buyer: Evelyn BeatonPrepress Supervisor: Caroline FellMedia Buyer: Ginny MichaudCover Designer: Barbara AtkinsonCover Illustration: George V. KelvinCompositor: Nesbitt Graphics, Inc.CUARTA EDICIN, 2005D.R. 2005 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V. Atlacomulco nm. 500 5 piso Col. Industrial Atoto 53519 Naucalpan de Jurez, Edo. de MxicoCmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Nm. 1031Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de re-cuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqumico, magntico o electroptico, por fo-tocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de sus representantes.ISBN 970-26-0592-X Impreso en Mxico. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 08 07 06 05 8. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS 9/5/08 13:52 Pgina v Dedicado a R. Kent Nagle l dej su huella no slo en estas pginas, sino en todos aquellos que lo conocieron. Era de esa rara clase de matemticos que podran comunicarse con eciencia a todos los niveles, impartiendo su amor por la materia con la misma facilidad a estudiantes de licenciatura, posgrado, bachillerato, maestros de escuelas pblicas y colegas en la Universidad del Sur de Florida.Kent vivi en paz, una paz emanada de la profundidad de su comprensin de la condicin humana y la fuerza de sus ideas acerca de las instituciones familiares, re- ligiosas y educativas. Fue investigador, autor destacado, maestro de escuela elemen- tal cada domingo, esposo y padre dedicado a su familia.Kent era tambin mi estimado amigo y compaero de ejercicio, se fue luchando por mantener el paso con sus altos ideales. E. B. Saff 9. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS 9/5/08 13:52Pgina vii Prefacio NUESTRO OBJETIVO Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera est diseado para cubrir las necesidades de un curso de uno o dos semestres de teora bsica, as como de aplicaciones de las ecuaciones diferenciales. Con este n, aumentamos nuestro breve texto anterior, incluyendo captulos relativos a problemas de valores propios y ecuaciones de Sturm-Liou- ville. Hemos tratado de crear un texto exible que proporcione al instructor un amplio panorama para disear un temario del curso (en este prefacio damos ejemplos de tales temarios), para el nfasis del curso (teora, metodologa, aplicaciones y mtodos numricos) y para usar el software comercial. INNOVACIONES PARA ESTA EDICIN En respuesta a las solicitudes de usuarios y revisores, y en reconocimiento de los recientes desarrollos en enseanza y aprendizaje, ofrecemos lo siguiente:Iniciacin El captulo 4, Ecuaciones lineales de segundo orden, se centra ahora en las ecuaciones conguiada a las coecientes constantes. Esta situacin predomina en las aplicaciones. Al restringir la prime- ecuacionesra exposicin al lector a una situacin en que las soluciones se pueden construir fcilmente, diferenciales podemos exhibir de manera explcita casi todos los aspectos de la teora lineal. La visin general de esta teora, que aparece en el captulo 6 para quienes quieran aprenderla, es mucho ms fcil de comprender cuando el lector ha logrado dominar los clculos concretos en el caso de coecientes constantes. En el captulo 4 hemos mantenido una seccin cualitativa, la cual gua al lector para especular de manera inteligente sobre el comportamiento aproxima- do de tipos ms generales de ecuaciones (con coecientes variables y no lineales).vii 10. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS 9/5/0813:52 Pgina viiiviiiPrefacio Nuevo trata-Ahora se introduce el mtodo de coecientes indeterminados en la seccin 4.4 para no-ho-miento de losmogeneidades con un solo trmino, lo cual motiva mejor el mtodo y simplica el procedi- coecientes in- miento. Los coecientes indeterminados se revisan en la seccin 4.5, donde se amplan a ladeterminados suma de trminos no homogneos por medio del principio de superposicin. En la guarda posterior de este texto se reproduce un bosquejo simplicado del procedimiento. AplicacionesLas ecuaciones diferenciales que describen a circuitos RL y RC sencillos son de primer or- tempranas a den, de modo que esta aplicacin se introduce ahora en el captulo 3. El anlisis de circuitoslos circuitosRLC ms complejos permanece en el captulo 5. Un nuevo proyecto al nal del captulo 3elctricos describe el amplicador operacional ideal y muestra cmo un pequeo razonamiento fsico permite a los ingenieros tratar un comportamiento no lineal sin dolor. Nuevos proyectosAl nal de los captulos adecuados aparecen nuevos proyectos que modelan la oferta y la de- de grupomanda, el crecimiento de tumores y los amplicadores operacionales (ya mencionados). Introduccin a losEste captulo ha sido reorganizado para dotar rpidamente al lector de la capacidad para re-sistemas y alsolver sistemas de ecuaciones diferenciales mediante el mtodo de eliminacin. Los mto-anlisis del dos numricos se introducen antes de las descripciones del plano fase y los sistemasplano fase:dinmicos, lo que facilita la comprensin y anima a realizar experimentos computacionales Captulo 5relativos a estos temas.Ejercicios Para conveniencia de los profesores, algunos de los ejercicios bsicos para construir habili-revisadosdades han sido modicados (para cambiar las respuestas anteriores obsoletas) y se ha agregado una seleccin de ejercicios con un grado mayor de desafo. PRERREQUISITOS Aunque en algunas universidades el curso de lgebra lineal es un prerrequisito para el curso de ecuaciones diferenciales, muchas escuelas (en especial las de Ingeniera) slo usan el clculo. Con esto en mente, hemos diseado el texto de modo que slo el captulo 6 (Teora de ecuaciones diferenciales lineales de orden superior) y el captulo 9 (Mtodos matriciales para sistemas lineales) requieran algo ms que el lgebra lineal de bachillerato. Adems, el captulo 9 contiene secciones de repaso sobre matrices y vectores, as como referencias espe- ccas para los resultados ms profundos de la teora del lgebra lineal que se utilizan en esta obra. Tambin escribimos el captulo 5 para dar una introduccin a los sistemas de ecuaciones diferenciales, incluyendo los mtodos de solucin, anlisis de plano fase, aplicaciones, procedimientos numricos y transformaciones de Poincar, que no requieren fundamentos de lgebra lineal. EJEMPLOS DE TEMARIOS Como una gua en bruto para el diseo de un curso en dos semestres que est relacionado con este texto, damos dos ejemplos que pueden servir para una serie de dos cursos de 15 se- manas cada uno, con tres horas de clase por semana: el primero enfatiza las aplicaciones y los clculos junto con el anlisis del plano fase; el segundo est diseado para cursos que en- fatizan la teora. Como en el texto ms breve, los captulos 1, 2 y 4 son el ncleo del curso del primer semestre. El resto de los captulos es, en su mayor parte, independiente de lo de- ms. Para los estudiantes que tienen conocimientos de lgebra lineal, el instructor podra reemplazar el captulo 7 (Transformadas de Laplace) o el captulo 8 (Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series) por secciones del captulo 9 (Mtodos matriciales para sistemas lineales). 11. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS9/5/08 13:52 Pgina ix Prefacioix Mtodos, Primerclculos Teora de Segundo Ambossemestrey aplicacionesmtodos semestrecursos Semana Secciones Secciones Semana Secciones11.1,1.2,1.3 1.1,1.2,1.31 1.1, 1.2, 1.321.4, 2.21.4, 2.2, 2.32 1.4, 2.232.3, 2.4, 3.2 2.4, 2.5 3 2.3, 2.443.4, 3.5, 3.6 2.6, 3.2, 3.44 3.2, 3.453.7, 4.14.2, 4.3 5 4.2, 4.364.2, 4.34.4, 4.5, 4.66 4.4, 4.5, 4.674.4, 4.5, 4.6 4.7, 5.1, 5.27 4.7, 5.1, 5.284.7, 4.8, 4.9 5.3, 5.4 8 7.1, 7.2, 7.395.1, 5.2, 5.3 5.5, 6.1 9 7.4, 7.5 105.4, 5.5, 5.6 6.2, 6.3, 6.4 10 7.6, 7.7 116.1, 6.27.2, 7.3, 7.4 11 7.8, 8.2 126.3, 7.2, 7.3 7.5, 7.612 8.3, 8.5, 8.6 137.4, 7.5, 7.6 7.7, 8.113 10.2, 10.3 147.7, 8.1, 8.2 8.2, 8.3, 8.4 14 10.4, 10.5 158.3, 8.48.5, 8.615 10.6, 10.7CARACTERSTICAS NICAS DE ESTA OBRAOrganizacinLa mayor parte del material tiene una naturaleza modular que permite diversas conguracio- exiblenes y nfasis en el curso (teora, aplicaciones, tcnicas o conceptos). Uso opcional La disponibilidad de paquetes de cmputo como MATHCAD, MATHEMATICA, MAT-de software LAB y MAPLE proporciona una oportunidad para que el estudiante realice experimentosnumricos y enfrente aplicaciones realistas que proporcionen una mejor idea de la materia. Enconsecuencia, hemos insertado varios ejercicios y proyectos en todo el texto, diseados paraque el estudiante utilice el software disponible en el anlisis del plano fase, el clculo de valo-res propios y las soluciones numricas de varias ecuaciones.Eleccin de Debido a las restricciones de tiempo, es posible que en ciertos cursos no se aborden las sec- aplicaciones ciones que tratan casi exclusivamente de aplicaciones (como las de los captulos 3 y 5). Portanto, hemos logrado que las secciones de estos captulos sean casi completamente indepen-dientes entre s. Para que el profesor tenga ms exibilidad, hemos incorporado varias aplicacio-nes en los ejercicios de las secciones tericas. Adems, hemos incluido muchos proyectosque trabajan con tales aplicaciones.Proyectos Al nal de cada captulo aparecen los proyectos de grupo que estn relacionados con el ma-de grupoterial del captulo. Un proyecto puede implicar una aplicacin ms desaante, profundizar enla teora, o presentar temas ms avanzados de ecuaciones diferenciales. Aunque estos pro-yectos pueden ser enfrentados por los estudiantes en forma individual, su utilizacin en el sa-ln de clase ha mostrado que el trabajo en grupo le otorga una mayor dimensin a laexperiencia de aprendizaje. De hecho, simula la interaccin que tendr lugar en el terrenoprofesional. 12. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS9/5/08 13:52Pgina xxPrefacioEjercicios de La habilidad de comunicacin es, por supuesto, un aspecto esencial de las actividades profe-escritura tcnica sionales. An as, pocos textos proporcionan la oportunidad para que el lector desarrolle talhabilidad. Es por ello que hemos agregado al nal de la mayor parte de los captulos un con-junto de ejercicios de escritura tcnica, claramente identicados, que invitan al estudiante acrear respuestas documentadas a preguntas que estn relacionadas con los conceptos del ca-ptulo. Al hacer esto, se pide a los estudiantes que comparen varios mtodos y presenten ejem-plos que apoyen su anlisis. NotasEn todo el texto aparecen notas histricas que se identican con dagas (). Estas notas al pie histricas proporcionan por lo general el nombre de la persona que desarroll la tcnica, la fecha y el con-texto de la investigacin original. ProblemasLa mayor parte de los captulos inicia con el anlisis de un problema de la fsica o la ingenie-de motivacin ra que motiva al tema que se presenta, se incluye adems la metodologa. Resumen delTodos los captulos principales contienen un conjunto de problemas de repaso, junto con uncaptulo yresumen de los principales conceptos que se presentan. problemasde repaso Grcos porLa mayor parte de las guras del texto fueron generadas mediante una computadora. Loscomputadora grcos por computadora no slo garantizan una mayor precisin en las ilustraciones, sinoque demuestran el uso de la experimentacin numrica en el estudio del comportamiento delas soluciones.DemostracionesAunque los estudiantes ms pragmticos podran eludir las demostraciones, la mayora de losprofesores consideran a estas justicaciones como un ingrediente esencial en un libro de textode ecuaciones diferenciales. Como en cualquier otro texto de este nivel, hay que omitir algu-nos detalles de las demostraciones. Cuando esto ocurre, sealamos el hecho y hacemos referen-cia a un problema en los ejercicios o a otro texto. Por conveniencia, el nal de una demostracinse seala mediante el smbolo .Teora lineal Hemos desarrollado la teora de ecuaciones diferenciales lineales en forma gradual. En el ca-ptulo 4 (Ecuaciones lineales de segundo orden) presentamos la teora bsica para las ecuacio-nes lineales de segundo orden y analizamos varias tcnicas para resolver tales ecuaciones. Lasecuaciones de orden superior se mencionan brevemente en este captulo. En el captulo 6(Teora de ecuaciones diferenciales lineales de orden superior) se da un anlisis ms detalladode las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior. Para un primer curso que enfaticelos mtodos de solucin, basta la presentacin del captulo 4 y se puede omitir el captulo 6. Algoritmos Se presentan varios mtodos numricos para aproximar las soluciones de ecuaciones dife-numricos renciales, junto con bosquejos de programas que se pueden ejecutar con facilidad en unacomputadora. Estos mtodos se presentan de manera temprana en el texto, de modo que losmaestros y los estudiantes puedan usarlos para la experimentacin numrica y para enfrentaraplicaciones complejas. La mayor parte de los algoritmos analizados se implantan en el sitioen Internet para este texto. Ejercicios Los ejercicios son abundantes, con diferentes grados de dicultad, desde los problemas ruti-narios ms directos, hasta los ms desaantes. Algunas preguntas tericas ms profundas,junto con aplicaciones aparecen por lo general en la parte nal de los conjuntos de ejercicios.En todo el texto hemos incluido problemas y proyectos que requieren una calculadora o unacomputadora. Estos ejercicios se indican mediante el smbolo !. El software del sitio en 13. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS9/5/0813:52Pgina xiPrefacio xiInternet especialmente diseado para su uso con este texto facilita la solucin de estos pro-blemas numricos.Secciones Estas secciones se pueden omitir sin afectar el desarrollo lgico del material. Estn seala- opcionales das con un asterisco en la tabla de contenido. Como hemos dicho, las secciones de los cap-tulos 3 y 5 son completamente independientes entre s. TransformadasProporcionamos un captulo detallado sobre transformadas de Laplace (captulo 7), pues s- de Laplace te es un tema recurrente para los ingenieros. Nuestro tratamiento enfatiza los trminos de for-zamiento discontinuo e incluye una seccin sobre la funcin delta de Dirac.Series de Las soluciones en serie de potencias son un tema que en ciertas ocasiones causa ansiedad apotencias los estudiantes. Es probable que esto se deba a una preparacin inadecuada en el clculo,donde el sutil tema de las series convergentes se estudia (con frecuencia) rpidamente. Nues-tra solucin consiste en proporcionar una introduccin suave y atractiva a la teora de solu-ciones en serie de potencias, con una exposicin de las aproximaciones a las solucionesmediante polinomios de Taylor, posponiendo los aspectos sosticados de la convergencia pa-ra secciones posteriores. A diferencia de muchos textos, el nuestro proporciona una ampliaseccin sobre el mtodo de Frobenius (Seccin 8.6), as como una seccin sobre la determi-nacin de una solucin linealmente independiente. Aunque hemos dedicado un espacio considerable a las soluciones mediante series depotencias, tambin hemos tenido cuidado en adecuarnos al profesor que slo desea dar unaintroduccin bsica del tema. Puede lograrse una introduccin al tema de solucin de ecua-ciones diferenciales mediante series de potencias y el mtodo de Frobenius abarcado los ma-teriales de las secciones 8.1, 8.2, 8.3 y 8.6. Ecuaciones Se proporciona una introduccin a este tema en el captulo 10, abarcando el mtodo de sepa- diferencialesracin de variables, series de Fourier, la ecuacin del calor, la ecuacin de onda y la ecuacin parcialesde Laplace. Se incluyen ejemplos en dos y tres dimensiones. Plano fase El captulo 5 describe la forma en que puede obtenerse informacin cualitativa para las solu-ciones a sistemas de dos dimensiones con ecuaciones autnomas intratables, observando suscampos de direcciones y los puntos crticos en el plano fase. Con la ayuda del software ade-cuado, este punto de vista proporciona una alternativa refrescante, casi recreativa, a la meto-dologa tradicional analtica al analizar las aplicaciones a la mecnica no lineal, lasecuaciones no lineales y la epidemiologa.Vibraciones Se proporciona una motivacin para el captulo 4, sobre ecuaciones diferenciales lineales,mediante una seccin introductoria que describe el oscilador masa-resorte. Aprovechamos lafamiliaridad del lector con los movimientos vibratorios comunes para anticipar la exposicinde los aspectos tericos y analticos de las ecuaciones lineales. Este modelo no slo propor-ciona una base para el discurso sobre las ecuaciones con coecientes constantes, sino quetambin una interpretacin libre de sus caractersticas nos permite predecir el comporta-miento cualitativo de las ecuaciones con coecientes variables o no lineales.Repaso de las El captulo sobre mtodos matriciales para los sistemas lineales (captulo 9) comienza con ecuaciones dos secciones introductorias (opcionales) que repasan la teora de los sistemas algebraicos li- algebraicasneales y el lgebra matricial. lineales y lasmatrices 14. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS9/5/0813:52 Pgina xiixiiPrefacioSUPLEMENTOS Gua de recursos Contiene respuestas cortas de todos los ejercicios y proyectos de grupo adicionales. para el instructor ISBN 0-321-17318-X(para la edicinen ingls de esta obra) CD-ROM Por Beverly West (Universidad de Cornell), Steven Strogatz (Universidad de Cornell), Jean interactivo de Marie McDill (California State Polytechnic University-San Luis Obispo), John Cantwell (Uni-ecuacionesversidad de San Luis) y Hubert Hohn (Massachussetts College of Art). Versin revisada de undiferenciales popular software directamente ligado al texto. Se centra en la ayuda a los estudiantes para vi- (para esta edicin sualizar conceptos. Se extraen aplicaciones de ingeniera, fsica, qumica y biologa. Se puede en espaol)utilizar en ambientes Windows o Macintosh y se incluye gratuitamente en cada ejemplar. Gua del Por Kenneth Pothoven (Universidad del Sur de Florida). Una coleccin de hojas de trabajo instructor basaday proyectos de MAPLE para ayudar a los profesores a integrar MAPLE a sus cursos. Tam-en MAPLE (para la bin disponible mediante nuestro sitio en Internet. ISBN 0-321-17320-1edicin en inglsde esta obra)CourseCompass CourseCompass es una plataforma para administracin de cursos en lnea que combina loscontenidos de Pearson Educacin con la tecnologa de punta de Blackboard (R). CourseCom-pass proporciona a los estudiantes y los profesores un punto central de acceso a los recursosmultimedia disponibles para el libro de texto. Ecuaciones diferenciales y problemas con va-lores en la frontera incluye un curso precargado en CourseCompass, el cual usted puede per-sonalizar para que se adapte mejor a su programa de clases. Para mayor informacin, visitenuestro sitio Web en www.coursecompass.com o contacte a su representante de ventas dePearson Educacin 15. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS 9/5/08 13:52 Pgina xiiiPrefacio xiii AGRADECIMIENTOSLa aparicin en escena de este libro implic una actividad considerable tras bambalinas. Pri- mero queremos agradecer a las personas que contribuyeron con nuevos proyectos (crecimiento de tumores) y ejercicios (entrega del Tecnecio) para la nueva edicin: Glenn Webb (Universidad Vanderbilt) y Wilfredo Coln (Moftt Cancer Center, Universidad del Sur de Florida). Damos una nota especial de gratitud a Alar Toomre (Massachusetts Institute of Technology), quien no slo proporcion dos proyectos de grupo y una amplia gama de nuevos problemas desaantes, sino que tambin gener el grco que aparece en la pgina 278. Queremos agradecer a Frank Glaser (California State Polytechnic University, Pomona) por muchas de las notas histricas. Tambin estamos en deuda con Herbert E. Rauch (Lockheed Research Laboratory) por su ayuda en la seccin 3.3 sobre calentamiento y enfriamiento de edicios, el proyecto A del captulo 3 sobre acuacultura y otros problemas de aplicacin. Nuestro agradecimiento a Richard H. Elderkin (Pomona Collage), Jerrold Marsden (Univer- sidad de California, Berkeley), T. G. Proctor (Universidad de Clemson) y Philip W. Schaefer (Universidad de Tennessee), quienes leyeron y volvieron a leer el manuscrito del texto original, haciendo numerosas sugerencias que mejoraron en gran medida este libro.Tambin estamos en deuda con todas las personas que revisaron el manuscrito de esta nueva edicin: Amin Boumenir, Universidad del Oeste de Georgia Karen Clark, Colegio de Nueva Jersey Patrick Dowling, Universidad de Miami Sanford Geraci, Northern Virginia Community Collage Scott Gordon, Universidad Estatal del Oeste de Georgia Bonita Lawrence, Universidad Marshall Richard Rubin, Universidad Internacional de Florida Shu-Yi Tu, Universidad de Michigan, Flint E. B. Saff, A. D. SniderE. B. Saff, A. D. Snider 16. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS 9/5/08 13:52 Pgina xiv 17. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS 9/5/08 13:52Pgina xv Contenido Captulo 1INTRODUCCIN1 1.1 Fundamentos 1 1.2 Soluciones y problemas con valores iniciales6 1.3 Campos de direcciones16 1.4 El mtodo de aproximacin de Euler 24 Resumen del captulo 30 Ejercicios de escritura tcnica30 Proyectos de grupo para el captulo 131 A. Mtodo de series de Taylor31 B. Mtodo de Picard32 C. Dipolo magntico33 D. La recta fase 34 Captulo 2ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN37 2.1 Introduccin: movimiento de un cuerpo en cada 37 2.2 Ecuaciones separables40 *Denota secciones opcionales que pueden omitirse sin comprometer el ujo lgico.xv 18. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS 9/5/08 13:52Pgina xvixviContenido 2.3 Ecuaciones lineales 49 2.4 Ecuaciones exactas58*2.5 Factores integrantes especiales 68*2.6 Sustituciones y transformaciones 72 Resumen del captulo81 Problemas de repaso 82 Ejercicios de escritura tcnica 82 Proyectos de grupo para el captulo 2 83A. Ley de Torricelli para el ujo de uidos 84B. El problema de la barredora de nieve84C. Dos barredoras de nieve 84D. Ecuaciones de Clairaut y soluciones singulares85E. Comportamiento asinttico de soluciones de ecuaciones lineales86Captulo 3 MODELOS MATEMTICOS Y MTODOS NUMRICOS QUE IMPLICAN ECUACIONES DE PRIMER ORDEN 87 3.1 Modelacin matemtica 87 3.2 Anlisis por compartimentos89 3.3 Calentamiento y enfriamiento de edicios 101 3.4 Mecnica de Newton 108 3.5 Circuitos elctricos 118 3.6 Mtodo de Euler mejorado 122 3.7 Mtodos numricos de orden superior: Taylor y Runge-Kutta 133 Proyectos de grupo para el captulo 3143A. Acuacultura143B. Curva de persecucin 144C. Control de una aeronave en un viento cruzado 145 19. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS 9/5/08 13:52 Pgina xviiContenidoxviiD. Retroalimentacin y el amplicador operacional146E. Controles bang-bang 147F. Precio, oferta y demanda148G. Estabilidad de mtodos numricos149H. Duplicacin de periodo y caos 150 Captulo 4ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN152 4.1 Introduccin: El oscilador masa-resorte 152 4.2 Ecuaciones lineales homogneas: La solucin general 158 4.3 Ecuaciones auxiliares con races complejas167 4.4 Ecuaciones no homogneas: El mtodo de coecientes indeterminados177 4.5 El principio de superposicin y revisin de los coecientes indeterminados184 4.6 Variacin de parmetros 192 4.7 Consideraciones cualitativas para ecuaciones con coecientes variables y ecuaciones no lineales196 4.8 Una mirada de cerca a las vibraciones mecnicas libres208 4.9 Una mirada de cerca a las vibraciones mecnicas forzadas218 Resumen del captulo226 Problemas de repaso 228 Ejercicios de escritura tcnica 229 Proyectos de grupo para el captulo 4 230A. Coecientes indeterminados y aritmtica compleja230B. Una alternativa al mtodo de coecientes indeterminados 231C. Mtodo de convolucin 232D. Linealizacin de problemas no lineales233 20. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS9/5/08 13:52 Pgina xviiixviii ContenidoE. Ecuaciones no lineales que pueden resolverse mediante tcnicas de primer orden234F. Reingreso del Apolo 235G. Pndulo simple236H. Comportamiento asinttico de las soluciones 237Captulo 5 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS Y EL ANLISIS DEL PLANO FASE239 5.1 Tanques interconectados 239 5.2 Mtodo de eliminacin para sistemas con coecientes constantes241 5.3 mtodos numricos para sistemas y ecuaciones de orden superior 251 5.4 Introduccin al plano fase262 5.5 Sistemas acoplados masa-resorte 277 5.6 Circuitos elctricos284 5.7 Sistemas dinmicos, transformaciones de Poincar y caos290 Resumen del captulo301 Problemas de repaso 302 Proyectos de grupo para el captulo 5 304A. El crecimiento de un tumor304B. Diseo de un sistema de aterrizaje para un viaje interplanetario 306C. Objetos que otan 307D. Soluciones peridicas de los sistemas de Volterra-Lotka 309E. Sistemas hamiltonianos310F. Comportamiento extrao de especies en competencia. Parte I 312G. Limpieza de los Grandes Lagos 313 21. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS 9/5/08 13:52 Pgina xix Contenidoxix Captulo 6TEORA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR 316 6.1 Teora bsica de las ecuaciones diferenciales lineales 316 6.2 Ecuaciones lineales homogneas con coecientes constantes 325 6.3 Coecientes indeterminados y el mtodo del anulador332 6.4 Mtodo de variacin de parmetros338 Resumen del captulo 342 Problemas de repaso344 Ejercicios de escritura tcnica344 Proyectos de grupo para el captulo 6345A. Justicacin del mtodo de coecientes indeterminados345B. Vibraciones transversales de una viga345 Captulo 7TRANSFORMADAS DE LAPLACE 347 7.1 Introduccin: un problema de mezclas 347 7.2 Denicin de la transformada de Laplace351 7.3 Propiedades de la transformada de Laplace360 7.4 Transformadas inversas de Laplace366 7.5 Solucin de problemas con valores iniciales376 7.6 Transformadas de funciones discontinuas y peridicas 384*7.7 Convolucin398*7.8 Impulsos y la funcin delta de Dirac 407*7.9 Solucin de sistemas lineales mediante transformadas de Laplace 414 Resumen del captulo 417 Problemas de repaso418 Ejercicios de escritura tcnica419 22. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS 9/5/08 13:52Pgina xxxx Contenido Proyectos de grupo para el captulo 7421A. Frmulas de Duhamel421B. Modelacin mediante la respuesta de frecuencia 422C. Determinacin de los parmetros del sistema424 Captulo 8SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES425 8.1 Introduccin: la aproximacin polinomial de Taylor 425 8.2 Series de potencias y funciones analticas 431 8.3 Soluciones de ecuaciones diferenciales lineales mediante series de potencias 440 8.4 Ecuaciones con coecientes analticos451*8.5 Revisin de las ecuaciones de Cauchy-Euler (equidimensionales)457 8.6 Mtodo de Frobenius461 8.7 Determinacin de una segunda solucin linealmente independiente473 8.8 Funciones especiales 483 Resumen del captulo 496 Problemas de repaso497 Ejercicios de escritura tcnica498 Proyectos de grupo para el captulo 8499A. Soluciones con simetra esfrica de la ecuacin de Schrdinger para el tomo de hidrgeno499B. Ecuacin de Airy 500C. Flexin de una torre 500D. Resortes vencidos y funciones de Bessel501 23. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS 9/5/08 13:52 Pgina xxi Contenidoxxi Captulo 9MTODOS MATRICIALES PARA SISTEMAS LINEALES 503 9.1 Introduccin 503 9.2 Repaso 1: ecuaciones algebraicas lineales508 9.3 Repaso 2: matrices y vectores512 9.4 Sistemas lineales en forma normal524 9.5 Sistemas lineales homogneos con coecientes constantes 533 9.6 Valores propios complejos545 9.7 Sistemas lineales no homogneos551 9.8 La funcin exponencial matricial 558 Resumen del captulo 567 Problemas de repaso570 Ejercicios de escritura tcnica571 Proyectos de grupo para el captulo 9572A. Sistemas normales desacoplados 572B. Mtodo de la transformada de Laplace matricial 572C. Sistemas de segundo orden no amortiguados574D. Comportamiento extrao de especies en competencia. Parte II 575 Captulo 10 ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES 576 10.1 Introduccin: un modelo para el ujo de calor 576 10.2 Mtodo de separacin de variables 579 10.3 Series de Fourier 589 24. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS9/5/08 13:52 Pgina xxiixxiiContenido 10.4 Series de senos y cosenos de Fourier607 10.5 La ecuacin del calor 612 10.6 La ecuacin de onda 625 10.7 Ecuacin de Laplace 638 Resumen del captulo 651 Ejercicios de escritura tcnica653 Proyectos de grupo para el captulo 10 654A. Distribucin estacionaria de temperatura en un cilindro circular654B. Una solucin de la ecuacin de onda mediante transformada de Laplace655C. Funcin de Green 656D. Mtodo numrico para u f en un rectngulo 658 Captulo 11 PROBLEMAS DE VALORES PROPIOS Y ECUACIONES DE STURM-LIOUVILLE661 11.1 Introduccin: ujo de calor en un alambre no uniforme 661 11.2 Valores propios y funciones propias 663 11.3 Problemas regulares de Sturm-Liouville convalores en la frontera672 11.4 Problemas no homogneos con valores en la fronteray la alternativa de Fredholm784 11.5 Solucin mediante un desarrollo con funciones propias 693 11.6 Funciones de Green699 11.7 Problemas singulares de Sturm-Liouvillecon valores en la frontera708 11.8 Oscilacin y teora de comparacin717 Resumen del captulo 726 Problemas de repaso729 25. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS 9/5/08 13:52 Pgina xxiiiContenido xxiii Ejercicios de escritura tcnica730 Proyectos de grupo para el captulo 11 731A. Polinomios de Hermite y el oscilador armnico731B. Espectros continuos y mixtos 731C. Teorema de comparacin de Picone 732D. Mtodo de tiro 733E. Mtodo de diferencias nitas para problemas con valores en la frontera 734 APNDICESA-1 A. Mtodo de NewtonA-1 B. Regla de SimpsonA-3 C. Regla de Cramer A-5 D. Mtodo de mnimos cuadrados A-6 E. Procedimiento de Runge-Kutta para n ecuacionesA-9 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS IMPARES B-1 NDICEI-1 26. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS 9/5/08 13:52 Pgina xxiv 27. CAPTULO 1 Introduccin1.1 FUNDAMENTOS En las ciencias y la ingeniera se desarrollan modelos matemticos para comprender mejor los fenmenos fsicos. Con frecuencia, estos modelos producen una ecuacin que contiene algunas derivadas de una funcin incgnita. Esta ecuacin es una ecuacin diferencial. Dos ejemplos de modelos que se desarrollan en clculo son la cada libre de un cuerpo y el decaimiento de una sustancia radiactiva.En el caso de la cada libre, un objeto se libera desde una altura determinada (por en- cima del nivel del suelo) y cae bajo la fuerza de la gravedad. Podemos aplicar al objeto que cae la segunda ley de Newton, la cual establece que la masa de un objeto por su aceleracin es igual a la fuerza total que acta sobre l. Esto lleva a la ecuacin (vase la gura 1.1) donde m es la masa del objeto, h es la altura sobre el suelo, d2h dt2 es su aceleracin, g es la / aceleracin gravitacional (constante) y mg es la fuerza debida a la gravedad. sta es una 2 ecuacin diferencial que contiene la segunda derivada de la altura desconocida h como funcin del tiempo. Figura 1.1 Manzana en cada libre En este caso suponemos que la gravedad es la nica fuerza que acta sobre el objeto, y que esta fuerza es constante. Otros modelos ms generales considerarn otras fuerzas, como la resistencia del aire. 1 28. 2 Captulo 1 IntroduccinPor fortuna, es fcil resolver la ecuacin anterior en trminos de h. Basta dividir entre m e integrar dos veces con respecto de t. Es decir, de modo que y Veremos que las constantes de integracin c1 y c2 quedan determinadas si conocemos la altura inicial y la velocidad inicial del objeto. As, tenemos una frmula para la altura del objeto en el instante t.En el caso del decaimiento radiactivo (gura 1.2), partimos de la siguiente premisa: la razn de decaimiento es proporcional a la cantidad de sustancia radiactiva presente. Esto conduce a la ecuacin donde A ( 0) es la cantidad desconocida de sustancia radiactiva que est presente en el. instante t y k es la constante de proporcionalidad. Para resolver esta ecuacin diferencial, la escribimos en la forma e integramos para obtener Al despejar A obtenemosFigura 1.2 Decaimiento radiactivo 29. Seccin 1.1Fundamentos3donde C es la combinacin de constantes de integracin eC2 C1. El valor de C, como vere- 2mos ms adelante, queda determinado si se tiene la cantidad inicial de sustancia radiactiva.Entonces tenemos una frmula para la cantidad de sustancia radiactiva en cualquier instantefuturo t. Aunque los ejemplos anteriores se resolvieron fcilmente mediante mtodos del clcu-lo, nos dan poca idea del estudio de las ecuaciones diferenciales en general. En primer lugar,obsrvese que la solucin de una ecuacin diferencial es una funcin, como h(t) o A(t), noslo un nmero. En segundo lugar, la integracin es una herramienta importante para resol-ver ecuaciones diferenciales (lo cual no es sorprendente!). En tercer lugar, no podemosesperar obtener una nica solucin a una ecuacin diferencial pues hay unas constantes deintegracin arbitrarias. La segunda derivada d2h dt2 en la ecuacin de cada libre da lugar/a dos constantes, c1 y c2 y la primera derivada en la ecuacin de decaimiento da lugar, en l-tima instancia, a una constante C. Siempre que un modelo matemtico implique la razn de cambio de una variable conrespecto de otra, es probable que aparezca una ecuacin diferencial. Por desgracia, en contrastecon los ejemplos de la cada libre y el decaimiento radiactivo, la ecuacin diferencial puede sermuy compleja y difcil de analizar. Las ecuaciones diferenciales surgen en una amplia gama de reas, no slo en las cienciasfsicas, sino tambin en campos tan diversos como la economa, la medicina, la psicologa yla investigacin de operaciones. Ahora enumeraremos unos cuantos ejemplos especcos.1. Una aplicacin clsica de las ecuaciones diferenciales aparece en el estudio de un circuito elctrico formado por un resistor, un inductor y un capacitor que son exci- tados por una fuerza electromotriz (vase la gura 1.3). En este caso, al aplicar las leyes de Kirchhoff obtenemos la ecuacin(1)donde L es la inductancia, R es la resistencia, C es la capacitancia, E(t) es la fuerzaelectromotriz, q(t) es la carga en el capacitor y t es el tiempo. Figura 1.3 Diagrama de un circuito RLC en serie2. En el estudio del equilibrio gravitacional de una estrella, una aplicacin de la ley de gravitacin de Newton y la ley de Stefan-Boltzmann para los gases conduce a la ecuacin de equilibrio(2)donde P es la suma de la presin cintica del gas y la presin por radiacin, r es laAnalizaremos las leyes de Kirchhoff en la seccin 3.5. 30. 4 Captulo 1 Introduccindistancia desde el centro de la estrella, es la densidad de la materia y G es la cons-tante de gravitacin.3. En psicologa, un modelo del aprendizaje de una tarea implica la ecuacin (3)En este caso, la variable y representa el nivel de habilidad del estudiante como fun-cin del tiempo t. Las constantes p y n dependen del individuo y la naturaleza de latarea.4. En el estudio de las cuerdas vibrantes y la propagacin de ondas, encontramos la ecuacin diferencial parcial (4)donde t representa el tiempo, x la posicin a lo largo de la cuerda, c la rapidez dela onda y u el desplazamiento de la cuerda, que es una funcin del tiempo y laposicin. Para comenzar nuestro estudio de las ecuaciones diferenciales necesitamos cierta terminologa comn. Si una ecuacin implica la derivada de una variable con respecto de otra, entonces la primera se llama una variable dependiente y la segunda una variable independiente. As, en la ecuacin t es la variable independiente y x es la variable dependiente. Nos referimos a a y k como coecientes en la ecuacin (5). En la ecuacin x y y son variables independientes y u es una variable dependiente.Una ecuacin diferencial que slo implica derivadas ordinarias con respecto de una sola variable independiente es una ecuacin diferencial ordinaria. Una ecuacin diferencial que implica derivadas parciales con respecto de ms de una variable independiente es una ecuacin diferencial parcial. La ecuacin (5) es una ecuacin diferencial ordinaria y la ecuacin (6) es una ecuacin diferencial parcial.El orden de una ecuacin diferencial es el orden de las derivadas de orden mximo que aparecen en la ecuacin. La ecuacin (5) es una ecuacin de segundo orden, pues d2x dt2 es/ la derivada de mximo orden que aparece en la ecuacin. La ecuacin (6) es una ecuacin de primer orden, pues slo contiene derivadas parciales de primer orden.Ser til clasicar las ecuaciones diferenciales ordinarias como lineales y no lineales. Recuerde que las rectas (en dos dimensiones) y los planos (en tres dimensiones) son parti- cularmente fciles de visualizar, en comparacin con objetos no lineales como las curvas cbicas o las supercies cudricas. Por ejemplo, podemos determinar todos los puntos de una recta si slo conocemos dos de ellos. En correspondencia, las ecuaciones diferenciales li- Nota histrica: Jean le Rond dAlembert (1717-1783) descubri por primera vez esta ecuacin diferencial parcial en 1747. 31. Seccin 1.1Fundamentos5 neales son ms susceptibles de resolverse que las no lineales. Las ecuaciones para las rectas ax by c y los planos ax by cz d tienen la caracterstica de que las variables apa- 5 1 5 1 1 recen slo en combinaciones aditivas de sus primeras potencias. Por analoga, una ecuacin diferencial lineal es aquella en que la variable dependiente y y sus derivadas slo aparecen en combinaciones aditivas de sus primeras potencias. Una ecuacin diferencial es lineal si tiene el siguiente formato (7) donde an(x), an 1(x), . . . , a0(x) y F(x) dependen slo de la variable independiente x. Las com-2 binaciones aditivas pueden tener multiplicadores (coecientes) que dependen de x, sin que haya restricciones sobre la naturaleza de esta dependencia de x. Si una ecuacin diferencial ordinaria no es lineal, entonces se conoce con el nombre de no lineal. Por ejemplo, es una ecuacin diferencial ordinaria de segundo orden no lineal, debido a la presencia del trmino y3, mientras que es lineal (a pesar del trmino x3). La ecuacin es no lineal debido al trmino y dy dx. / Aunque la mayor parte de las ecuaciones que probablemente aparezcan en la prctica estn en la categora no lineal, un primer paso importante consiste en trabajar con las ecuaciones lineales, ms sencillas (as como las rectas tangentes ayudan en la comprensin de curvas complicadas al proporcionar aproximaciones locales). EJ ER C I CI O S1.1En los problemas 1 a 12, damos una ecuacin diferencialjunto con el campo o rea donde surge. Clasifquelas 2.como una ecuacin diferencial ordinaria (EDO) o unaecuacin diferencial parcial (EDP), proporcione el or-(ecuacin de Hermite, mecnica cuntica, osciladorden e indique las variables independientes y dependien- armnico).tes. Si la ecuacin es una ecuacin diferencial ordinaria,indique si la ecuacin es lineal o no lineal.3.(competencia entre dos especies, ecologa). 4.(vibraciones mecnicas, circuitos elctricos, sismolo-(ecuacin de Laplace, teora de potencial, electrici-ga). dad, calor, aerodinmica). 32. 6 Captulo 1 Introduccindp 5.5 kp(P 2 p) , donde k y P son constantes12.dt(curva logstica, epidemiologa, economa).(ecuacin de van der Pol, vlvula triodo).dx 6. (4 x)(1 x) 2 52dt En los problemas 13 a 16, escriba una ecuacin diferen-(velocidad de reaccin qumica). cial que se ajuste a la descripcin fsica. 13. La razn de cambio de la poblacin p de bacterias en 7.donde C es una constante el instante t es proporcional a la poblacin en el ins-tante t.(problema de la braquistocrona, clculo de variaciones).14. La velocidad en el instante t de una partcula que semueve a lo largo de una lnea recta es proporcional a 8. la cuarta potencia de su posicin x. 15. La razn de cambio en la temperatura T del caf en(ecuacin de Kidder, ujo de un gas a travs de un me-el instante t es proporcional a la diferencia entre ladio poroso).temperatura M del aire en el instante t y la tempera-tura del caf en el instante t. 9. 16. La razn de cambio de la masa A de sal en el instantet es proporcional al cuadrado de la masa de sal pre-(aerodinmica, anlisis de tensin mecnica).sente en el instante t.10.17. Carrera de autos. Dos pilotos, Alison y Kevin,participan en una carrera de arrancones. Parten(deexin de vigas).desde el reposo y luego aceleran a una razn cons-tante. Kevin cubre la ltima cuarta parte de la dis-11. donde k es una constantetancia en 3 segundos, mientras que Alison cubre laltima tercera parte de la distancia en 4 segundos.(sin nuclear).Quin gana y por cunto tiempo?1.2SOLUCIONES Y PROBLEMAS CON VALORES INICIALESUna ecuacin diferencial ordinaria de orden n es una igualdad que relaciona la variable inde-pendiente con la n-sima derivada de la variable dependiente (y usualmente tambin derivadasde orden menor). Algunos ejemplos son(segundo orden, x independiente, y dependiente)(segundo orden, t independiente, y dependiente)(cuarto orden, t independiente, x dependiente). Nota histrica: En 1630, Galileo formul el problema de la braquistocrona ( ms corto, tiem- 5 5po), es decir, determinar una trayectoria hacia abajo, por la cual debe caer una partcula desde un punto dado hasta otro enel menor tiempo posible. Fue propuesto de nuevo por John Bernoulli en 1696 y resuelto por ste al ao siguiente. 33. Seccin 1.2 Soluciones y problemas con valores iniciales7 As, una forma general para una ecuacin de orden n con x independiente, y dependiente, se puede expresar como (1) donde F es una funcin que depende de x, y, y de las derivadas de y hasta de orden n; es decir, depende de x, y, . . . , d ny dx n. Suponemos que la ecuacin es vlida para toda x en un / intervalo abierto I (a x b, donde a o b pueden ser innitos). En muchos casos, podemos , , despejar el trmino de orden mximo d ny dx n y escribir la ecuacin (1) como/ (2) que con frecuencia se preere sobre (1) por razones tericas y de clculo.SOLUCIN EXPLCITA Denicin 1. Una funcin f(x) tal que al sustituirla en vez de y en la ecuacin (1) [o (2)] satisface la ecuacin para toda x en el intervalo I es una solucin explcita de la ecuacin en I.E JE M P L 0 1 Mostrar que f(x) x22 5 x2 1 es una solucin explcita de la ecuacin lineal (3)SO LU CIN Las funciones f(x) x2 x 1, f (x) 2x x 2 y f (x) 2 2x2 52 1 5 922 5 023 estn denidas para toda x 0. Al sustituir f(x) en vez de y en la ecuacin (3) se tiene Como esto es vlido para cualquier x 0, la funcin f(x) x2 2 5x 21 es una solucin explcita de (3) en ( q, 0) y tambin en (0, q). 2E JE M P L O 2 Mostrar que para cualquier eleccin de las constantes c1 y c2, la funcin es una solucin explcita de la ecuacin lineal (4)SO LU CIN Calculamos f (x)25 9c1e x 2c2e2x y f (x) 2 15 02c 1e x 1 4c2e2x. Al sustituir f, f y f en 90 vez de y, y y y en la ecuacin (4) se tiene 0 9 Como la igualdad es vlida para toda x en ( q, q), entonces f(x) c1e x c2e2x es una2 52 1 solucin explcita de (4) en el intervalo ( q, q) para cualquier eleccin de las constantes2 c1 y c2. 34. 8Captulo 1Introduccin Como veremos en el captulo 2, los mtodos para resolver las ecuaciones diferencialesno siempre proporcionan una solucin explcita de la ecuacin. A veces tendremos que plan-tear una solucin denida en forma implcita. Consideremos el siguiente ejemplo.E J E MP L O 3Mostrar que la relacin(5)dene de manera implcita una solucin de la ecuacin no lineal(6)en el intervalo (2, q).SOL UCIN Al despejar y en (5), obtenemos y 6 5x3 8. Veamos si f(x)2 x3 8 es una solucin 52explcita. Como df dx 3x2 (2 x3 2 y 5 y 8 ), tanto f como df dx estn denidas en (2, q). yAl sustituirlas en (6) se tieneque es vlida para toda x en (2, q). [Usted puede vericar que c(x)2 5 x3 28 tambines una solucin explcita de (6)]. SOLUCIN IMPLCITA Denicin 2. Se dice que una relacin G(x, y) 0 es una solucin implcita de la5 ecuacin (1) en el intervalo I si dene una o ms soluciones explcitas en I.E JE MPL O 4Mostrar que(7)es una solucin implcita de la ecuacin no lineal(8)SOL UCIN Primero observamos que no podemos despejar a y en (7) en trminos de x. Sin embargo,para que se cumpla (7), observamos que cualquier cambio en x requiere un cambio en y, demodo que esperamos que la relacin dena de manera implcita al menos una funcin y(x).Esto es difcil de mostrar directamente, pero puede vericarse con rigor mediante el teore-ma de la funcin implcita del clculo avanzado, el cual garantiza la existencia de tal fun-cin y(x) y que adems es diferenciable (vase el problema 30).Vase Vector calculus, J. E. Marsden y A. J. Tromba, quinta edicin (San Francisco: Freeman, 2004). 35. Seccin 1.2 Soluciones y problemas con valores iniciales9Una vez que sabemos que y es una funcin diferenciable de x, podemos usar la tcnica de derivacin implcita. De hecho, si en (7) derivamos con respecto de x y aplicamos las reglas del producto y de la cadena, o que es idntica a la ecuacin diferencial (8). As, la relacin (7) es una solucin implcita en algn intervalo garantizado por el teorema de la funcin implcita. E J E MP L O 5 Vericar que para cada constante C la relacin 4x25 2y2 C es una solucin implcita de (9) Gracar las curvas solucin para C 0, 1, 4. (Llamamos a la coleccin de tales solucio-6 6 5 nes una familia a un parmetro de soluciones).SOLU CINAl derivar de manera implcita la ecuacin 4x2 5 2y2 C con respecto de x, tenemos que es equivalente a (9). En la gura 1.4 bosquejamos las soluciones implcitas para C 0, 5 1, 4. Las curvas son hiprbolas con asntotas comunes y 6 62x. Observe que las curvas65 solucin implcitas (con C arbitrario) cubren todo el plano y no se cortan para C 0. Para C 0, la solucin implcita produce las dos soluciones explcitas y 2x y y5 52x, ambas 25 pasan por el origen. Figura 1.4 Soluciones implcitas de 4x2 y2 5 2C 36. 10 Captulo 1IntroduccinPara abreviar, a partir de este momento usaremos el trmino solucin para indicar unasolucin explcita o implcita.Al inicio de la seccin 1.1 vimos que la solucin de la ecuacin de cada libre de se-gundo orden implicaba dos constantes arbitrarias de integracin c1, c2:mientras que la solucin de la ecuacin de decaimiento radiactivo de primer orden contenauna sola constante C:Es claro que al integrar la sencilla ecuacin de cuarto ordense producen cuatro constantes indeterminadas:.Ms adelante mostraremos que, en general, los mtodos para resolver ecuaciones diferencia-les de orden n necesitan n constantes arbitrarias. En la mayor parte de los casos, podremosevaluar estas constantes si conocemos n valores iniciales y(x0), y (x0), . . . , y(n 1)(x0).9 2 PROBLEMAS CON VALORES INICIALESDenicin 3. Por un problema con valores iniciales para una ecuacin diferen-cial de orden nse debe entender: Hallar una solucin de la ecuacin diferencial en un intervalo Ique satisfaga en x0 las n condiciones inicialesdonde x0 I y y0, y1, . . . , yn21 son constantes dadas.En el caso de una ecuacin de primer orden, las condiciones iniciales se reducen a un nicorequisito y(x0) 5 y0 , 37. Seccin 1.2 Soluciones y problemas con valores iniciales 11 y en el caso de una ecuacin de segundo orden, las condiciones iniciales tienen la forma La terminologa condiciones iniciales proviene de la mecnica, donde la variable independiente x representa el tiempo y se indica como t. Si t0 es el instante inicial, y(t0) y0 re-5 presenta la posicin inicial de un objeto y y (t0) dt proporciona su velocidad inicial.9 yE J E MP L O 6 Mostrar que f(x) 5 sen x 2 cos x es una solucin del problema con valores iniciales (10)SO LU CIN Observe que f(x) sen x cos x, df dx cos x sen x, y d2f dx25 2 y 5 1 sen x y25 1 cos x estn denidas en ( q, q). Al sustituir esto en la ecuacin diferencial tenemos2 que es vlida para toda x ( q, q). Por tanto, f(x) es una solucin de la ecuacin diferen-2[ cial (10) en ( q, q). Al vericar las condiciones iniciales, tenemos2 lo que cumple los requisitos de (10). Por tanto, f(x) es una solucin del problema con valores iniciales dado. xE J E MP L O 7 Como se mostr en el ejemplo 2, la funcin f(x)5 2c1e 1 c2e2x es una solucin de para cualquier eleccin de las constantes c1 y c2. Determinar c1 y c2 de modo que se cumplan las condiciones iniciales para satisfacer.SO LU CIN Para determinar las constantes c1 y c2, calculamos primero df dx para obtener df dx y y 5 2 c1e x 2c2e2x. Al sustituir en nuestras condiciones iniciales, obtenemos el siguiente sis-2 1 tema de ecuaciones: Al sumar las dos ltimas ecuaciones tenemos que 3c21, de modo que c225 1 3. 25 y Como c1 c2 2, tenemos que c1 7 3. Por lo tanto, la solucin del problema con valores5 1 5 y iniciales es f(x) (7 3)e x (1 3)e2x. 5 y 2 2 y 38. 12 Captulo 1IntroduccinAhora enunciaremos un teorema de existencia y unicidad para problemas de primer or-den con valores iniciales. Suponemos que la ecuacin diferencial tiene ya el formatoPor supuesto, el lado derecho f (x, y) debe estar bien denido en el punto inicial x0 con res-pecto de x y en el valor inicial dado y0 y(x0) con respecto de y. Adems, las hiptesis del5teorema piden la continuidad de f y f y para x en cierto intervalo a x b que contengay, ,a x0, y para y en cierto intervalo c y d que contenga a y0. Observe que el conjunto de , ,puntos en el plano xy que satisfacen a x b y c y d forman un rectngulo. La gura, , , ,1.5 muestre este rectngulo de continuidad con el punto inicial (x0, y0) en su interior y unbosquejo de la parte de la curva solucin contenida en l. EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LA SOLUCINTeorema 1.Dado el problema con valor inicialsupngase que f y f y son funciones continuas en un rectnguloyque contiene al punto (x0, y0). Entonces el problema con valor inicial tiene unanica solucin f(x) en algn intervalo x0 d x x0 d, donde d es un n-1 , , 2mero positivo. Figura 1.5 Diagrama para el teorema de existencia y unicidad 39. Seccin 1.2Soluciones y problemas con valores iniciales 13El teorema anterior nos dice dos cosas. La primera es que cuando una ecuacin satisface las hiptesis del teorema 1, tenemos la seguridad de que existe una solucin al problema con valor inicial. Naturalmente, es bueno saber si la ecuacin que tratamos de resolver realmente tiene una solucin, antes de perder mucho tiempo tratando de resolverla. La segunda es que, cuando se satisfacen las hiptesis, existe una nica solucin del problema con valor inicial. Esta unicidad nos dice que si podemos determinar una solucin, entonces sta es la nica solucin para el problema con valor inicial. Grcamente, el teorema dice que slo hay una curva solucin que pasa por el punto (x0, y0). En otras palabras, para esta ecuacin de primer orden, no puede ocurrir que se crucen dos soluciones en algn punto del rectngulo. Observe que la existencia y unicidad de la solucin slo es vlida en alguna vecindad (x0 d, x0 d). 2 1 Por desgracia, el teorema no nos indica el rango (2d) de esta vecindad (slo que es distinto de cero). El problema 18 abunda sobre este aspecto.El problema 19 proporciona un ejemplo de una ecuacin sin solucin. El problema 29 exhibe un problema con valores iniciales para el que la solucin no es nica. Por supuesto, en estos casos no se satisfacen las hiptesis del teorema 1.Al utilizar problemas con valores iniciales para modelar fenmenos fsicos, muchas personas presuponen que las conclusiones del teorema 1 son vlidas. De hecho, para que el problema con valores iniciales sea un modelo razonable, ciertamente esperamos que tenga una solucin, pues desde el punto de vista fsico algo ocurre realmente. Adems, la solucin debe ser nica en aquellos casos en que la repeticin del experimento bajo condiciones idn- ticas proporciona los mismos resultados.La demostracin del teorema 1 implica la conversin del problema con valores iniciales en una ecuacin integral y el uso del mtodo de Picard para generar una sucesin de aproximaciones sucesivas que convergen a la solucin. La conversin a una ecuacin integral y el mtodo de Picard se analizan en el proyecto B al nal de este captulo.E JE M P L O 8 Para el problema con valor inicial (11) implica el teorema 1 la existencia de una solucin nica?SO LU CIN En este caso, f (x, y) x2 xy3 y f y 2 5 3xy2. Ambas funciones son continuas en cual- y 25 quier rectngulo que contenga al punto (1, 6), de modo que se cumplen las hiptesis del teorema 1. Como consecuencia de este teorema, el problema con valor inicial (11) tiene una nica solucin en un intervalo con centro en x 1 de la forma (1 d, 1 d), donde d es un 52 1 nmero positivo. E J E MP L O 9 Para el problema con valor inicial (12) implica el teorema 1 la existencia de una solucin nica? Al menos esto sucede cuando consideramos un modelo determinista, en contraste con un modelo probabilstico. Todas las referencias al captulo 11 corresponden al texto Fundamentals of Differential Equations and Boundary Value Problems, cuarta edicin. 40. 14Captulo 1 Introduccin SOL UCINEn este caso, f (x, y) 3y2 3 y f y 2y 1 3. Por desgracia, f y no es continua, ni si- 5 yy5 2 y yquiera est cuando y0. En consecuencia, no hay un rectngulo que contenga a (2, 0) 5donde f y f y sean continuas. Como no se cumplen las hiptesis del teorema 1, no pode-ymos usarlo para determinar si el problema con valor inicial tiene o no una solucin nica.Se puede ver que este problema con valor inicial no tiene una solucin nica. Los detallesaparecen en el problema 29. En el ejemplo 9, suponga que la condicin inicial se cambia por y(2) 1. Entonces, co- 5mo f y f y son continuas en cualquier rectngulo que contiene al punto (2, 1) pero no cortayel eje x, digamos R {(x, y): 0 x 10, 0 y 5}, el teorema 1 implica que este nuevo5 , , , ,problema con valor inicial tiene una nica solucin en algn intervalo en torno de x 2.5 EJ ER C I C I O S 1.2 1. (a) Muestre que f(x) 5 2x3 es una solucin expl-cita de7. 8.en el intervalo ( q, q).2 En los problemas 9 a 13, determine si la relacin dada(b) Muestre que f(x) ex x es una solucin expl- 2 5es una solucin implcita de la ecuacin diferencial co-cita de rrespondiente. Suponga que la relacin realmente denea y de manera implcita como funcin de x, y utilice laderivacin implcita.en el intervalo ( q, q). 2(c) Muestre que f(x)x2 2 5x 1 es una solucin29.2 22explcita de x d y dx5 y 2y en el intervalo(0, q).10. 2. (a) Muestre que y2x5 2 130 es una solucinimplcita de dy dx1 (2y) en el intervalo y 25 y( q, 3).2 11.(b) Muestre que xy3 xy3 sen x 1 es una solucin 52implcita de12.13. en el intervalo (0, p 2). yEn los problemas 3 a 8, determine si la funcin dada esuna solucin de la ecuacin diferencial correspondiente.14. Muestre que f(x) c1 sen x c2 cos x es una so-51lucin de d2y dx25 1 / y0 para cualquier eleccin 3. de las constantes c1 y c2. As, c1 sen x 1 c2 cos x 4. es una familia a dos parmetros de soluciones de laecuacin diferencial. 5. 15. Muestre que f(x)5Ce3x1 es una solucin de 1dy dx 3y 25 2 /3 para cualquier eleccin de la cons- 6. tante C. As, Ce3x 1 es una familia a un parmetro 1de soluciones de la ecuacin diferencial. Graque 41. Seccin 1.2 Soluciones y problemas con valores iniciales 15varias de las curvas solucin usando los mismos ejes 22. Verique que la funcin f(x)5 c1ex 1 2c2e 2x es unade coordenadas.solucin de16. Verique que x2 cy2 1, donde c es una constante 1 5arbitraria distinta de cero, es una familia a un par-metro de soluciones implcitas de para cualquier eleccin de las constantes c1 y c2. De- termine c1 y c2 de modo que se satisfagan las siguientes condiciones iniciales.y graque varias de las curvas solucin usando los (a)mismos ejes de coordenadas.(b)17. Verique que f(x)52 (1 y 2 ce x), donde c es unaconstante arbitraria, es una familia a un parmetroEn los problemas 23 a 28, determine si el teorema 1 im-de soluciones de plica que el problema con valor inicial dado tiene una solucin nica. 23.Graque las curvas solucin correspondientes a c 50, 1, 2 usando los mismos ejes de coordenadas. 6 6 24.18. Si c 0 entonces demuestre que la funcin f(x).5(c2 x2) 1 es una solucin del problema con valor 2 2 25.inicial dy dx5 5 y2xy2, y(0)1 c2 en el intervaloy c x c. Observe que esta solucin no es acotada, , 226.conforme x tiende a c. As, la solucin existe en el6intervalo ( d, d) con d c, pero no para una d ma-5 227.yor. Esto ilustra el hecho de que en el teorema 1, elintervalo de existencia puede ser demasiado pequeo 28.(si c es pequeo) o bastante grande (si c es grande).Observe adems que la propia ecuacin dy dxy 52xy2 o su valor inicial no nos dan indicios de que la29. (a) Para el problema con valor inicial (12) del ejem-solucin explota en x65 c. plo 9, muestre que f1(x) 0 y f2(x) (x 2)3 2 519. Muestre que la ecuacin (dy dx)2 y2 3 0 no y5 1 1son soluciones. Por lo tanto, el problema con va-tiene solucin (con valores reales). lor inicial no tiene una solucin nica.20. Determine los valores de m para los que la funcin (b) Para el problema con valor inicial y3y2 3,59y 27f(x) emx es una solucin de la ecuacin dada.5y(0) 10 , existe una nica solucin en una5 vecindad de x 0? 5(a)30. Teorema de la funcin implcita. Sea G(x, y) una funcin con primeras derivadas parciales continuas en el rectngulo R {(x, y): a x b, c y d}5, ,, ,(b)que contiene al punto (x0, y0). Si G(x0, y0) 0 y la5 derivada parcial Gy(x0, y0) 0, entonces existe una 21. Determine los valores de m para los que la funcin funcin diferenciable y f(x), denida en cierto inter- 5f(x) xm es una solucin de la ecuacin dada.5valo I (x0 d, x0 d) que satisface G(x, f(x)) 0 2 5 1 5 para toda x I. [(a) El teorema de la funcin implcita proporciona condiciones bajo las cuales la relacin G(x, y)05 dene a y como funcin de x de manera implcita.(b)Use el teorema de la funcin implcita para mostrar que la relacin x y e xy 0, que se presenta en el 5 1 1 42. 16Captulo 1 Introduccinejemplo 4, dene de manera implcita a y como fun-(b) Muestre que cuando x0 0, la ecuacin (13) nocin de x cerca del punto (0, 1). 2podra tener una solucin en una vecindad de31. Considere la ecuacin del ejemplo 5,x x0 que satisfaga y(x0) 0.5 5(c) Muestre que hay dos soluciones distintas de (13) (13) que satisfacen y(0) 0 (vase la gura 1.4 de la5pgina 9). (a) Implica el teorema 1 la existencia de una solucin nica a (13) que satisfaga y(x0) 0? 51.3 CAMPOS DE DIRECCIONES Es claro que el teorema de existencia y unicidad que se analiz en la seccin 1.2 tiene gran valor, pero se queda corto al no decirnos algo acerca de la naturaleza de la solucin de una ecuacin diferencial. Por razones prcticas, necesitamos saber el valor de la solucin en un cierto punto, o los intervalos donde la solucin sea creciente, o los puntos donde la solucin alcanza un valor mximo. Ciertamente, contar con una representacin explcita (una frmula) para la solucin sera de gran ayuda para responder a estas preguntas. Sin embargo, para muchas de las ecuaciones diferenciales que probablemente hallar el lector en aplicaciones del mundo real, ser imposible hallar tal frmula. Adems, aunque tuvisemos la suerte de obtener una solucin implcita, sera difcil usar esta relacin para determinar una forma explcita. As, de- bemos basarnos en otros mtodos para analizar o aproximar la solucin. Una tcnica til para visualizar (gracar) las soluciones de una ecuacin diferencial de primer orden consiste en bosquejar el campo de direcciones de la ecuacin. Para describir este mtodo, necesitamos una observacin general: una ecuacin de primer orden especica una pendiente en cada punto del plano xy donde f est denida. En otras palabras, proporciona la direccin que debe tener una solucin de la ecuacin en cada punto. Conside- remos, por ejemplo, la ecuacin (1) La grca de la solucin de (1) que pasa por el punto ( 2, 1) debe tener pendiente ( 2)2 2 2 5 21 3 en ese punto, y una solucin que pase por ( 1, 1) debe tener pendiente cero en ese punto.2Un bosquejo con pequeos segmentos de recta trazados en diversos puntos del plano xy para mostrar la pendiente de la curva solucin en el punto correspondiente es un campo de direcciones de la ecuacin diferencial. Como el campo de direcciones indica el ujo de las soluciones, facilita el trazo de cualquier solucin particular (como la solucin de un problema con valor inicial). En la gura 1.6(a) bosquejamos el campo de direcciones de la ecuacin (1) y en la gura 1.6(b) trazamos varias curvas solucin con lneas grises.En la gura 1.7 aparecen otros patrones interesantes de campos de direcciones. En la gura 1.7(a) est el patrn de la ecuacin de decaimiento radiactivo dy dx y 25 2y (recuerde que en la seccin 1.1 analizamos esta ecuacin bajo la forma dA dt y 25 kA). Los patrones del ujo muestran que todas las soluciones tienden en forma asinttica al semieje positivo de las x conforme x crece. En otras palabras, cualquier material que decaiga de acuerdo con esta ley se reduce a prcticamente nada. Esto es consistente con la frmula solucin que se dedujo con anterioridad, 43. Seccin 1.3 Campos de direcciones17Figura 1.6 (a) Campo de direcciones de dy dx yx2 2 5 y (b) Soluciones de dy dxy2 5x2yFigura 1.7 (a) Campo de direcciones de dy dxy252y(b) Campo de direcciones de dy dxy25 y/xDel campo de direcciones de la gura 1.7(b) podemos anticipar que todas las solucionesde dy dx/y x tambin tienden al eje x cuando x tiende a innito (ms o menos innito, de/ 25hecho). Pero es ms interesante la observacin de que ninguna solucin puede cruzar el ejey; y(x) explota cuando x tiende a cero por cualquier direccin. Excepcin: al analizarms de cerca, parece que la funcin y(x) 0 podra pasar por su barrera. De hecho, en el pro-blema 19 le pedimos al lector que muestre que las soluciones de esta ecuacin diferencialestn dadas por y C x, con C una constante arbitraria. As, divergen en x 0, a menos que/ 5 5C 0.5 44. 18 Captulo 1IntroduccinInterpretemos el teorema de existencia y unicidad de la seccin 1.2 para estos camposde direcciones. Para la gura 1.7(a), donde dy dx/ f (x, y) 5 2y, elegimos un punto de25partida x0 y un valor inicial y(x0)y0, como en la gura 1.8(a). Como el lado derecho 5f (x, y)25 2y es continuamente derivable para toda x y y, podemos encerrar cualquier puntoinicial (x0, y0) en un rectngulo de continuidad. Concluimos que la ecuacin tiene unanica curva solucin que pasa por (x0, y0), como se muestra en la gura.Para la ecuacinel lado derecho f (x, y) / 25y x no cumple las condiciones de continuidad cuando x 0 (es5decir, para los puntos del eje y). Sin embargo, para cualquier punto de partida x0 distinto decero y cualquier valor inicial y(x0) y0, podemos encerrar a (x0, y0) en un rectngulo de con-5tinuidad que excluya al eje y, como en la gura 1.8(b). As, podemos garantizar que unanica curva solucin pasa por tal punto. El campo de direcciones para la ecuacines intrigante, pues el ejemplo 9 de la seccin 1.2 mostr que no se cumplen las hiptesisdel teorema 1 en cualquier rectngulo que contenga al punto inicial x0 2, y0 0. De he- 55cho, el problema 29 de esa seccin demostr que se viola la unicidad, exhibiendo dos solu-ciones, y(x) 0 y y(x) (x 2)3, que pasan por (2, 0). La gura 1.9(a) muestra este campo2 5de direcciones, y la gura 1.9(b) demuestra la forma en que ambas curvas solucin puedennegociar con xito este patrn de ujo. Figura 1.8 (a) Una solucin para dy dx y252y (b) Una solucin para dy dxy25y xy 45. Seccin 1.3 Campos de direcciones19 Figura 1.9 (a) Campo de direcciones de dy dxy 5 3y2/3 (b) Soluciones para dy dx y5 3y2/3Es claro que un bosquejo del campo de direcciones de una ecuacin diferencial de primer orden puede ser til para visualizar las soluciones. Sin embargo, este bosquejo no basta para trazar, sin ambigedad, la curva solucin que pasa por un punto inicial dado (x0, y0). Por ejemplo, si tratamos de trazar una de las curvas solucin de la gura 1.6(b) de la pgina 17, podramos resbalar hacia una curva adyacente. Para las situaciones sin unicidad, como en la gura 1.9(b), al negociar el ujo a lo largo de la curva y (x 2)3 y 2 5 llegar al punto de inexin, uno no puede decidir si dar la vuelta o (literalmente) salirse por la tangente (y 0). 5E J E MP L O 1 La ecuacin logstica para la poblacin p (en miles) de cierta especie en el instante t est dada por (2) (Por supuesto, p es no negativa. La interpretacin de los trminos en la ecuacin logstica se analiza en la seccin 3.2). Del campo de direcciones bosquejado en la gura 1.10 de la p- gina 20, responder lo siguiente. (a) Si la poblacin inicial es 3000 (es decir, p(0) 5 3), qu se puede decir acerca de la poblacin lmite lmt q p(t)? 1 (b) Puede una poblacin de 1000 declinar hasta 500? (c) Puede una poblacin de 1000 crecer hasta 3000?SO LU CIN (a) El campo de direcciones indica que todas las curvas solucin [distintas de p(t) 0] tender a la recta horizontal p 2 cuando t q; es decir, esta recta es una asn- 51 tota para todas las soluciones positivas. As, lmt q p(t) 2.15 46. 20 Captulo 1 IntroduccinFigura 1.10 Campo de direcciones para la ecuacin logstica(b) El campo de direcciones muestra adems que las poblaciones mayores de 2000decrecern poco a poco, mientras que aquellas menores de 2000 aumentarn. Enparticular, una poblacin de 1000 nunca puede disminuir hasta 500.(c) Como se mencion en la parte (b), una poblacin de 1000 aumentar con eltiempo. Pero el campo de direcciones indica que nunca puede llegar a 2000 o aalgn valor mayor; es decir, la curva solucin nunca puede cruzar la recta p 2.5De hecho, la funcin constante p(t) 2 es una solucin de la ecuacin (2), y laparte de unicidad del teorema 1, pgina 12, prohbe las intersecciones entre lascurvas solucin. Observe que el campo de direcciones en la gura 1.10 tiene la agradable caractersticade que las pendientes no dependen de t; es decir, el patrn de pendientes es el mismo a lolargo de cada recta vertical. Lo mismo es cierto para las guras 1.8(a) y 1.9. sta es la propie-dad fundamental de las llamadas ecuaciones autnomas yf (y), donde el lado derecho es59una funcin slo de la variable dependiente. En el Proyecto D analizaremos estas ecuacionescon mayor detalle.El bosquejo a mano del campo de direcciones para una ecuacin diferencial es con frecuen-cia una tarea tediosa. Por fortuna, se dispone de varios programas para esta tarea. Sin embargo,si tal bosquejo es necesario, el mtodo de isclinas puede ser til para reducir el trabajo.El mtodo de isclinasUna isclina para la ecuacin diferenciales un conjunto de puntos en el plano xy donde todas las soluciones tienen la misma pendientedy dx; as, es una curva de nivel de la funcin f (x, y). Por ejemplo, si/(3)las isclinas son simplemente las curvas (lneas rectas) x y c o y5 1x c. En este1 25caso, c es una constante arbitraria. Pero c se puede interpretar como el valor numrico de lapendiente dy dx de cada curva solucin al cruzar la isclina. (Observe que c no es la pen- ydiente de la propia isclina; esta pendiente es, claramente, 1). La gura 1.11(a) muestra las2isclinas de la ecuacin (3). 47. Seccin 1.3Campos de direcciones21Figura 1.11 (a) Isclinas para y 1 59x y (b) Campo de direcciones de y 1 59x y (c) Soluciones de y 1 59x y Para implantar el mtodo de isclinas y bosquejar los campos de direcciones, trazamospequeos segmentos con pendiente c a lo largo de la isclina f (x, y) c para unos cuantos 5valores de c. Si borramos las curvas isclinas subyacentes, los segmentos constituyen unaparte del campo de direcciones para la ecuacin diferencial. La gura 1.11(b) muestra esteproceso para las isclinas de la gura 1.11(a), y la gura 1.11(c) despliega algunas curvassolucin.Observacin. Las propias isclinas no siempre son lneas rectas. Para la ecuacin (1) alprincipio de esta seccin (pgina 16), son parbolas x2 y c. Cuando las curvas isclinas5 2son complejas, este mtodo no es prctico. 48. 22Captulo 1 Introduccin EJ ER C I C I O S 1.31. El campo de direcciones de dy dxy5 4x y aparecey en la gura 1.12. (a) Verique las lneas rectas y652x son curvas solucin, siempre que x 0. (b) Bosqueje la curva solucin con condicin inicial y(0) 2.5 (c) Bosqueje la curva solucin con condicin inicial y(2) 1.5 (d) Qu puede decir acerca del comportamiento de las soluciones anteriores cuando x q? Y 1 cuando x q?2 Figura 1.13 Campo de direcciones de dy dx y2x 1 5 ydad en un medio viscoso est dado por la ecuacin dy y 12 5 . dt 8A partir del campo de direcciones de la gura 1.14,bosqueje las soluciones con las condiciones inicialesy(0) 5, 8 y 15. Por qu el valor y 8 se conoce55como la velocidad terminal? Figura 1.12 Campo de direcciones de dy dx y5 4x yy2. El campo de direcciones de dy dxy2x 1 5y aparece en la gura 1.13. (a) Bosqueje la curva solucin que pasa por (0, 2). 2 A partir de este bosquejo, escriba la ecuacin para la solucin. (b) Bosqueje la curva solucin que pasa por ( 1, 2 3). (c) Qu puede decir acerca de la solucin en la parte (b) cuando x q? Y cuando x q? 1 23. Un modelo para la velocidad y en el instante t dedy yFigura 1.14 Campo de direcciones de 12 5 cierto objeto que cae bajo la inuencia de la grave-dt8 49. Seccin 1.3 Campos de direcciones234. Si la fuerza viscosa del problema 3 no es lineal, un(b) Si la poblacin inicial es 3000 [es decir, p(0) 5 posible modelo sera dado mediante la ecuacin di-3], qu puede decir acerca de la poblacin l- ferencial mite lmt q p(t)?1 (c) Si p(0) 1.5, cul es el valor de lmt q p(t)?51 (d) Si p(0) 0.5, cul es el valor de lmt q p(t)?51 (e) Puede una poblacin de 900 crecer hasta 1100?8. El movimiento de un conjunto de partculas que se Trace de nuevo el campo de direcciones de la gura mueve a lo largo del eje x est determinado por la 1.14 para incorporar esta dependencia con respecto ecuacin diferencial de y3. Bosqueje las soluciones con condiciones iniciales y(0) 0, 1, 2, 3. Cul es la velocidad termi-5 nal en este caso? donde x(t) denota la posicin de la partcula en el ins-5. La ecuacin logstica para la poblacin de cierta es- tante t. pecie (en miles) est dada por (a) Si una partcula reside en x 5 1 cuando t 5 2, cul es su velocidad en ese instante? (b) Muestre que la aceleracin de una partcula est dada por (a) Bosqueje el campo de direcciones usando un paquete de cmputo o el mtodo de isclinas. (b) Si la poblacin inicial es 2000 [es decir, p(0)5(c) Si una partcula est en x 2 cuando t 52.5, 5 2], qu puede decir acerca de la poblacin l- puede llegar a la posicin x 1 en algn ins- 5 mite lmt q p(t)?1tante posterior? (c) Si p(0) 0.5, cul es el valor de lmt q p(t)?51 [Sugerencia: t3 x32 5 2 (t x)(t2xt 1 1 x2)]. (d) Podra una poblacin de 3000 disminuir hasta 500? 9. Sea f(x) la solucin del problema con valor inicial6. Considere la ecuacin diferencial (a) Muestre que f (x) 1 f (x) 1 x f(x).1 2 5 9 5 0 (b) Justique que la grca de f es decreciente para (a) Una curva solucin pasa por el punto (1, p 2).y x cercano a cero y que cuando x crece desde Cul es su pendiente en ese punto?cero, f(x) decrece hasta que cruza la recta y x, 5 (b) Justique que cada curva solucin es creciente donde su derivada es cero. para x 1. . (c) Sea x* la abscisa del punto donde la curva solu- (c) Muestre que la segunda derivada de cada solu-cin y f(x) cruza la recta y x. Considere el55 cin satisface signo de f (x*) y justique que f tiene un m-0nimo relativo en x*..(d) Qu puede decir acerca de la grca de y 5f(x) para x x*?. (e) Verique que y x 1 es una solucin de dy dx2 55 / (d) Una curva solucin pasa por (0, 0). Demuestrex y y explique por qu la grca de f(x) siem- 2 que la curva tiene un mnimo relativo en (0, 0). pre est por arriba de la recta y x 1.2 57. Considere la ecuacin diferencial (f ) Bosqueje el campo de direcciones para dy dx/ 2 5 x y usando el mtodo de isclinas o un pa-quete de cmputo. (g) Bosqueje la solucin y f(x) usando el campo5 para la poblacin p (en miles) de cierta especie en el de direcciones de la parte (f). instante t.!10. Use un paquete de cmputo para bosquejar el campo (a) Bosqueje el campo de direcciones usando un pa-de direcciones de las siguientes ecuaciones diferen-quete de cmputo o el mtodo de isclinas. ciales. Bosqueje algunas de las curvas solucin. 50. 24 Captulo 1Introduccin(a) dy dx y5sen x .17. A partir de un bosquejo del campo de direcciones,(b) dy dx y5sen y .qu se puede decir acerca del comportamiento cuando(c) dy dx y5sen x sen y .x q de una solucin a lo siguiente? 1(d) dy dx y1 5 x2 2y2 .(e) dy dx y2 5 x2 2y2 .18. A partir de un bosquejo del campo de direcciones,En los problemas 11 a 16, trace las isclinas con sus mar-qu se puede decir acerca del comportamiento cuandocadores de direccin y bosqueje varias curvas solucin, x q de una solucin a lo siguiente? 1incluyendo la curva que satisface las condiciones inicia-les dadas.11. dyy dx 2x ,5y(0) 25 1 .19. Escriba la ecuacin diferencial dy dx y25 y x en la y12. dyy dx y ,5y(0)1 5 .forma13. dyy dxy 25 x y , y(0)4 5 .14. dyy dx x y ,y 5y(0) 25 1 .15. dyy dx 2 5 2x2 y , y(0)0 5 .e integre ambos lados para obtener la solucin y 516. dyy dx1 5x 2y ,y(0)1 5 .C x para una constante arbitraria C. y1.4EL MTODO DE APROXIMACIN DE EULEREl mtodo de Euler (o mtodo de la recta tangente) es un procedimiento que permite construiraproximaciones a las soluciones de un problema con valor inicial, para una ecuacin diferen-cial ordinaria de primer orden(1)Se podra describir como una implantacin mecnica o computarizada del procedimientoinformal para bosquejar a mano la curva solucin a partir de una imagen del campo de direc-ciones. Como tal, permanece sujeto al error cuando se pasa una curva solucin a otra. Sinembargo, bajo condiciones bastante generales, las iteraciones del procedimiento convergen asoluciones reales. El mtodo se ilustra en la gura 1.15 de la pgina 25. Partiendo del punto inicial (x0, y0),seguimos la lnea recta con pendiente f (x0, y0), la recta tangente, por una cierta distancia hastael punto (x1, y1). Luego cambiamos la pendiente por el valor f (x1, y1) y seguimos esta rectahasta (x2, y2). De esta forma, construimos aproximaciones poligonales (lneas quebradas) de lasolucin. Al tomar espacios cada vez menores entre los puntos (con lo cual utilizamos mspuntos), es de esperar que lleguemos a la solucin real. Para ser ms precisos, supongamos que el problema con valor inicial (1) tiene una nicasolucin f(x) en cierto intervalo con centro en x0. Sea h un nmero positivo jo (llamado eltamao del paso) y considerando los puntos equidistantesLa construccin de los valores yn que aproximan los valores de la solucin f(xn) procede de lamanera siguiente. En el punto (x0, y0), la pendiente de la solucin de (1) est dada por dy dx y 5f (x0, y0). Por lo tanto, la recta tangente a la curva solucin en el punto inicial (x0, y0) esEl smbolo : 5signica se dene como. 51. Seccin 1.4El mtodo de aproximacin de Euler25Figura 1.15 Aproximacin mediante poligonales dada por el mtodo de Euler Usamos esta recta tangente para aproximar f(x) y vemos que para el punto x11 5x0h Ahora partimos del punto (x1, y1) para construir la recta con pendiente dada por el campo de direcciones en el punto (x1, y1); es decir, con pendiente igual a f (x1, y1). Si seguimos esta recta [a saber, y y1 (x x1) f (x1, y1)] al pasar de x1 a x2 x1 h, obtenemos la aproximacin 2 1 5 1 5 Al repetir el proceso (como se ilustra en la gura 1.15), obtenemosetc. Este sencillo procedimiento es el mtodo de Euler y se puede resumir mediante la frmula recursiva (2) (3)E J E MP L O 1 Utilice el mtodo de Euler con tamao del paso h5 0.1 para aproximar la solucin del problema con valor inicial (4) en los puntos x5 1.1, 1.2, 1.3, 1.4 y 1.5.SO LU CIN En este caso, x0 5 1, y0 5 4, h 5 0.1 y f (x, y) 5As, la frmula recursiva (3) para yn es Como y1 es una aproximacin de f(x1), no se puede garantizar que esta recta sea tangente a la curva solucin y f(x). 5 52. 26Captulo 1 Introduccin Al sustituir n 5 0, obtenemos Al hacer n 5 1 se tiene Si continuamos de esta forma, obtenemos los resultados de la tabla 1.1. Como comparacin, hemos incluido el valor exacto (hasta cinco cifras decimales) de la solucin f(x) (x25 1 7)2 16 de (4), la que puede obtenerse mediante separacin de variables (vase la seccin 2.2). y Como era de esperar, la aproximacin se deteriora cuando x se aleja de 1. TABLA 1.1CLCULOS PARA y = x y , y(1) = 4Mtodo denxnEuler Valor exacto014411.14.24.2127621.24.425434.4521031.34.677874.7197641.44.959045.0176051.55.270815.34766Dado el problema con valor inicial (1) y un punto especco x, cmo utilizar el mtodo de Euler para aproximar f(x)? Partiendo de x0, podemos dar un paso gigante que llegue hasta x, o podemos considerar varios pasos pequeos para llegar hasta l. Si quisiramos dar N pasos, entonces hacemos h (x x0) N, de modo que el tamao del paso h y el nmero de 2 5y pasos N estn relacionados de una manera especca. Por ejemplo, si x0 1.5 y queremos 5 aproximar f(2) usando 10 pasos, entonces h (2 1.5) 10 0.05. Es de esperar que mien-2 5y 5 tras ms pasos consideremos, mejor ser la aproximacin. (Pero recuerde que ms pasos signican ms clculos y con ello un mayor error por redondeo). E JE MPL O 2Utilice el mtodo de Euler para aproximar la solucin del problema con valor inicial (5) en x5 1, considerando 1, 2, 4, 8 y 16 pasos. Observacin. Note que la solucin de (5) es simplemente f(x) ex, de modo que el m- 5 todo de Euler generar aproximaciones algebraicas del nmero trascendente e 2.71828 . 5 53. Seccin 1.4 El mtodo de aproximacin de Euler27SO LU CIN En este caso, f (x, y) 5y, x0 5 0 y y0 5 1. La frmula recursiva del mtodo de Euler es Para obtener aproximaciones en x51 con N pasos, consideramos el tamao del paso h 5 1 N. Para N 1, tenemosy5 Para N5 2, f(x2) 5 f(1) y2. En este caso, obtenemos Para N5 4, f(x4) 5 f(1) y4, donde. (En los clculos anteriores redondeamos a cinco cifras decimales). De manera anloga, al considerar N 8 y 16 obtenemos estimaciones cada vez mejores de f(1). Estas aproxima-5 ciones aparecen en la tabla 1.2. Como comparacin, la gura 1.16 de la pgina 28 muestra las aproximaciones poligonales de ex usando el mtodo de Euler con h 1 4 (N 4) y5 y5 h 1 8 (N 8). Observe que el menor tamao del paso proporciona la mejor aproxima- 5 y 5 cin. TABLA 1.2 MTODO DE EULER PARA y = y, y(0) = 1Aproximacin N h de f(1) e51 1.0 2.02 0.5 2.254 0.252.441418 0.125 2.56578 16 0.06252.63793Qu tan bueno (o malo) es el mtodo de Euler? Al juzgar un esquema numrico, debe- mos partir de dos preguntas fundamentales. Converge tal mtodo? Y, en tal caso, cul es la razn de convergencia? Estos importantes aspectos se analizan en la seccin 3.6, donde se presentan algunas mejoras al mtodo de Euler (vanse tambin los problemas 12 y 13). 54. 28Captulo 1 Introduccin Figura 1.16 Aproximaciones de ex usando el mtodo de Euler con h 5 1 4y1 8y y EJ ER C ICI O S 1.4! En muchos de los problemas siguientes ser til una cal- 6. Utilice el mtodo de Euler con tamao del paso h5 culadora o computadora. Tambin ser conveniente que 0.1 para aproximar la solucin del problema con va- el lector escriba un programa para resolver problemaslor inicial con valores iniciales mediante el mtodo de Euler. (Re- y 2 59x y2 ,y(1) 0 5 cuerde que todos los clculos trigonomtricos se hacen en los puntos x 1.1, 1.2, 1.3, 1.4 y 1.5.5 en radianes). 7. Utilice el mtodo de Euler para aproximar la solu-cin del problema con valor inicial En los problemas 1 a 4, utilice el mtodo de Euler para aproximar la solucin del problema con valor inicial dado, en los puntos x 0.1, 0.2, 0.3, 0.4 y 0.5 usando un 5 tamao del paso 0.1 (h 0.1).5 en t 1, usando 1, 2, 4 y 8 pasos.51. dy dx x y ,y5y y(0) 1.25 8. Utilice el mtodo de Euler para aproximar la solu-2. dy dxy 25 x y,y y(0) 4 . 5cin del problema con valor inicial3. dy dx y(2 y) ,y 2 5 y(0) 3 . 5y 2 591 sen y ,y(0) 0 54. dy dx x y ,y1 5y(0) 1 . 5en x p, usando 1, 2, 4 y 8 pasos. 55. Utilice el mtodo de Euler con tamao del paso h5 9. Utilice el mtodo de Euler con h 0.1 para aproxi-5 0.2 para aproximar la solucin del problema con va-mar la solucin del problema con valor inicial lor inicial en el intervalo 1 x 2. Compare estas aproxima-# #en los puntos x 5 1.2, 1.4, 1.6 y 1.8. ciones con la solucin real y 1 x (verique!)25y 55. Seccin 1.4 El mtodo de aproximacin de Euler29gracando la aproximacin poligonal y la solucin en el intervalo 0 x 2. (La explicacin del err-# #real en el mismo sistema de coordenadas.tico resultado aparece en el problema 18 de los ejerci-10. Utilice el mtodo de Euler con h 0.1 para aproxi-5 cios 1.2).mar la solucin del problema con valor inicial Intercambio de calor. En esencia, hay dos meca- nismos mediante los que un cuerpo fsico intercam- bia calor con su ambiente. La transferencia de caloren el intervalo 0 x 1. Compare estas aproxima- # # por contacto a travs de la supercie del cuerpo esciones con la solucin real y e x x 1 (veri-5 2 2 1controlada por la diferencia entre las temperaturasque!) gracando la aproximacin poligonal y la so-del cuerpo y del ambiente; esto se conoce como lalucin real en el mismo sistema de coordenadas.ley de enfriamiento de Newton. Sin embargo, la trans-11. Utilice el mtodo de Euler con 20 pasos para aproxi- ferencia de calor tambin se debe a la radiacinmar la solucin del problema con valor inicial trmica, que de acuerdo con la ley de radiacin de Stefan es controlada por la diferencia entre las cuartas potencias de estas temperaturas. En la mayor parte de los casos, uno de estos modos dominaen t 1. Compare la aproximacin con la solucin5al otro. Los problemas 15 y 16 invitan al lector a si-real x tan t (verique!) evaluada en t 1. 5 5 mular cada modo de manera numrica para un con-12. En el ejemplo 2 se aproxima el nmero trascendente junto dado de condiciones iniciales.e usando el mtodo de Euler para resolver el pro-15. Ley de enfriamiento de Newton. La ley de enfria-blema con valor inicialmiento de Newton establece que la razn de cambio en la temperatura T(t) de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del medio M(t) y laMuestre que la aproximacin de Euler yn obtenemostemperatura del cuerpo. Es decir,mediante el tamao del paso 1 n est dada por la fr-ymula donde K es una constante. Sea K 1 (minutos) 1 y 52 consideremos constante a la temperatura del medio,Recuerde de sus cursos de clculo queM(t) 70F. Si el cuerpo tiene una temperatura inicial de 100F, utilice el mtodo de Euler con h 0.15 para aproximar la temperatura del cuerpo despus de (a) 1 minuto.por lo que el mtodo de Euler converge (terica- (b) 2 minutos.mente) al valor correcto.16. Ley de radiacin de Stefan. La ley de radiacin13. Demuestre que la razn de convergencia del m- de Stefan establece que la razn de cambio en la tem-todo de Euler en el problema 12 es comparable conperatura de un cuerpo a T(t) grados en un medio a1 n, mostrando que y M(t) grados es proporcional a M 4 T 4; es decir, 2[Sugerencia: Use la regla de lHpital y el desarrollode Maclaurin para ln(1 t)].1 donde K es una constante. Sea K (40) 4 y supon- 52gamos que la temperatura del medio es constante,14. Use el mtodo de Euler con h 0.5, 0.1, 0.05 y 0.015 M(t) 70F. Si T(0)5100F, utilice el mtodo depara aproximar la solucin del problema con valorEuler con h 0.1 para aproximar T(1) y T(2).5inicial 56. 30 Captulo 1IntroduccinRESUMEN DEL CAPTULOEn este captulo presentamos cierta terminologa bsica de las ecuaciones diferenciales. Elorden de una ecuacin diferencial es el mximo orden de derivacin presente en ella. El te-ma de este texto son las ecuaciones diferenciales ordinarias, que implican derivadas conrespecto de una sola variable independiente. Tales ecuaciones se clasican como lineales ono lineales. Una solucin explcita de una ecuacin diferencial es una funcin de la variable indepen-diente que satisface la ecuacin en algn intervalo. Una solucin implcita es una relacin entrelas variables dependiente e independiente que dene de manera implcita una funcin que es unasolucin explcita. Por lo general, una ecuacin diferencial tiene una innidad de soluciones. Encontraste, existen teoremas que nos garantizan la existencia de una solucin nica para ciertosproblemas con valores iniciales en donde uno debe hallar una solucin de la ecuacin diferen-cial que adems satisfaga ciertas condiciones iniciales dadas. Para una ecuacin de orden n,estas condiciones se reeren a los valores de la solucin y de sus primeras n 1 derivadas en 2algn punto. Aunque uno no pueda determinar soluciones explcitas de una ecuacin diferencial, sepueden usar varias tcnicas como ayuda para analizar las soluciones. Uno de estos mtodospara ecuaciones de primer orden ve a la ecuacin diferencial dy dx f (x, y) como algo que y5especica direcciones (pendientes) en los puntos del plano. El conglomerado de tales pen-dientes es el campo de direcciones para la ecuacin. El hecho de conocer el ujo de solu-ciones es til para bosquejar la solucin de un problema con valor inicial. Adems, al llevara cabo este mtodo en forma algebraica obtenemos aproximaciones numricas de la solucindeseada. Este proceso numrico se llama mtodo de Euler. EJ ER C I C I O S DE E SCR I TURA TCNICA1. Elija cuatro campos (por ejemplo, astronoma, geologa, biologa y economa) y para cada campo analice una situacin donde se apliquen ecuaciones diferenciales para resolver un problema. Elija ejemplos diferentes a los de la seccin 1.1.2. Compare las distintas clases de soluciones que se analizaron en este captulo (explcitas, implcitas, grcas y numricas). Cules son las ventajas y las desventajas de cada uno? 57. Proyectos de grupo para el captulo 1 31P R OY E C T O S D E G R U P O PA R A E L C A P T U L O1A.Mtodo de series de Taylor ! El mtodo de Euler se basa en que la recta tangente proporciona una buena aproximacin localde la funcin. Pero por qu restringirnos a aproximaciones lineales cuando disponemos deaproximaciones mediante polinomios de orden superior? Por ejemplo, podemos usar el polino-mio de Taylor de grado n en torno de x x0, denido por5Este polinomio es la n-sima suma parcial de la representacin en serie de Taylor Para determinar la serie de Taylor de la solucin f(x) del problema con valor inicialslo necesitamos determinar los valores de la derivada de f (suponiendo que existen) en x0; esdecir, f(x0), f (x0), . . . . La condicin inicial proporciona el primer valor f(x0) y0. Usamos 9 5la ecuacin y59f (x, y) para hallar f (x0) f (x0, y0). Para determinar f (x0) derivamos la ecua-95 0cin y59f (x, y) de manera implcita con respecto de x para obtenercon lo que podemos calcular f (x0).0 (a) Calcule los polinomios de Taylor de grado 4 para las soluciones de los problemas con valores iniciales dados. Use estos polinomios de Taylor para aproximar la solucin en x 1. 5 (b) Compare el uso del mtodo de Euler con el de las series de Taylor para aproximar la solucin f(x) del problema con valor inicial Para esto, complete la tabla 1.3 de la pgina 32. D las aproximaciones para f(1) y f(3) redondeando a milsimos. Verique que f(x) sen x e x y use esta frmula51 2 y una calculadora o tablas para determinar los valores exactos de f(x) redondeados a milsim

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