Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera, 4e. Nagle

1. Vistenos en: www.pearsoneducacion.net Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera est diseado para cubrir las necesidades de un curso de uno o dos semestres de teora bsica, as como de aplicaciones de las ecuaciones diferenciales. Esta nueva edicin incluye captulos relativos a problemas de valores propios y ecuaciones de Sturm-Liouville. Es un texto flexible que proporciona al profesor un amplio panorama para disear un temario del curso haciendo nfasis en teora, metodologa, aplicaciones y mtodos numricos. CAMBIOS EN ESTA EDICIN El tema de ecuaciones lineales de segundo orden, se centra ahora en las ecuaciones con coeficientes constantes Nuevo tratamiento de los coeficientes indeterminados Aplicaciones tempranas a los circuitos elctricos Nuevos proyectos de grupo Introduccin a los sistemas y al anlisis del plano fase Ejercicios revisados El texto incluye un CD interactivo de ecuaciones diferenciales Cuarta edicin Cuartaedicin CourseCompass es una plataforma para administracin de cursos en lnea que combina los contenidos de Pearson Educacin con la tecnologa de punta de Blackboard . Este libro incluye un curso precargado en CourseCompass, el cual puede personalizar para que se adapte mejor a su programa de clases. Para mayor informacin, revise el prefacio de este libro.

2. CAPITULO RESPUESTAS 20-34 12/6/08 10:50 Pgina B-34 http://libreria-universitaria.blogspot.com 3. TABLA BREVE DE INTEGRALES* *Nota: Se debe aadir una constante arbitraria a cada frmula. FORROS NAGLE 9/5/08 13:58 Pgina B http://libreria-universitaria.blogspot.com 4. TABLA BREVE DE INTEGRALES* (continuacin) ALGUNAS EXPANSIONES DE SERIES DE POTENCIA *Nota: Se debe aadir una constante arbitraria a cada frmula. si n es un entero positivo. (series de Taylor) FORROS NAGLE 9/5/08 13:58 Pgina C http://libreria-universitaria.blogspot.com 5. ECUACIONES DIFERENCIALES Y PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA cuarta Edicin R. Kent Nagle University of South Florida Edward B. Saff Vanderbilt University Arthur David Snider University of South Florida TRADUCCIN: scar Alfredo Palmas Velazco Facultad de Ciencias Universidad Nacional Autonma de Mxico REVISIN TCNICA: Ernesto Filio Lpez Unidad Profesional Interdisciplinaria en Ingeniera y Tecnologas Avanzadas Instituto Politcnico Nacional Ma. Merced Arriaga Gutirrez Profesora del Departamento de Matemticas Universidad de Guadalajara Gerardo Tole Galvis Facultad de Ingeniera y Ciencias Bsicas Ponticia Universidad Javeriana, Bogot, Colombia Oswaldo Rodrguez Daz Universidad Autnoma de Occidente Cali, Colombia CAPITULO PRELIMINARES BUENAS 9/5/08 13:52 Pgina iii http://libreria-universitaria.blogspot.com 6. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS 9/5/08 13:52 Pgina vi 7. Authorized translation from the English language edition, entitled Fundamentals of differential equations & boundary value problems 4th ed., by R. R. Kent Nagle, Edward B. Saff and Arthur David Snider, published by Pearson Education, Inc., publishing as Addison Wesley, Copyright 2004. All rights reserved. ISBN 0-321-14571-2 Traduccin autorizada de la edicin en idioma ingls, titulada Fundamentals of differential equations & boundary value problems 4a ed., de R. R. Kent Nagle, Edward B. Saff y Arthur David Snider, publicada por Pearson Education, Inc., publicada como Addison Wesley, Copyright 2004. Todos los derechos reservados. Esta edicin en espaol es la nica autorizada. Edicin en espaol Editor: Enrique Quintanar Duarte e-mail: [email protected] Editor de desarrollo: Jorge Bonilla Talavera Supervisor de produccin: Jos D. Hernndez Garduo Edicin en ingls: Publisher: Greg Tobin Managing Editor: Karen Guardino Acquisitions Editor: William Hoffman Project Editor: Rachel S. Reeve Production Supervisor: Cindy Cody Marketing Manager: Pamela Laskey Marketing Coordinator: Heather Peck Media Producer: Lynne Blaszak Manufacturing Buyer: Evelyn Beaton Prepress Supervisor: Caroline Fell Media Buyer: Ginny Michaud Cover Designer: Barbara Atkinson Cover Illustration: George V. Kelvin Compositor: Nesbitt Graphics, Inc. CUARTA EDICIN, 2005 D.R. 2005 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V. Atlacomulco nm. 500 5 piso Col. Industrial Atoto 53519 Naucalpan de Jurez, Edo. de Mxico Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Nm. 1031 Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de re- cuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqumico, magntico o electroptico, por fo- tocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de sus representantes. ISBN 970-26-0592-X Impreso en Mxico. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 08 07 06 05 Datos de catalogacin bibliogrfica NAGLE, R. KENT Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera, 4a. ed. PEARSON EDUCACIN, Mxico, 2005 ISBN: 970-26-0592-X rea: Universitarios Formato: 20 25.5 cm Pginas: 816 CAPITULO PRELIMINARES BUENAS 9/5/08 13:52 Pgina iv 8. Dedicado a R. Kent Nagle l dej su huella no slo en estas pginas, sino en todos aquellos que lo conocieron. Era de esa rara clase de matemticos que podran comunicarse con eciencia a todos los niveles, impartiendo su amor por la materia con la misma facilidad a estudiantes de licenciatura, posgrado, bachillerato, maestros de escuelas pblicas y colegas en la Universidad del Sur de Florida. Kent vivi en paz, una paz emanada de la profundidad de su comprensin de la condicin humana y la fuerza de sus ideas acerca de las instituciones familiares, re- ligiosas y educativas. Fue investigador, autor destacado, maestro de escuela elemen- tal cada domingo, esposo y padre dedicado a su familia. Kent era tambin mi estimado amigo y compaero de ejercicio, se fue luchando por mantener el paso con sus altos ideales. E. B. Saff CAPITULO PRELIMINARES BUENAS 9/5/08 13:52 Pgina v 9. Prefacio vii NUESTRO OBJETIVO Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera est diseado para cubrir las necesidades de un curso de uno o dos semestres de teora bsica, as como de aplicaciones de las ecuaciones diferenciales. Con este n, aumentamos nuestro breve texto anterior, incluyendo captulos relativos a problemas de valores propios y ecuaciones de Sturm-Liou- ville. Hemos tratado de crear un texto exible que proporcione al instructor un amplio panorama para disear un temario del curso (en este prefacio damos ejemplos de tales temarios), para el nfasis del curso (teora, metodologa, aplicaciones y mtodos numricos) y para usar el software comercial. INNOVACIONES PARA ESTA EDICIN En respuesta a las solicitudes de usuarios y revisores, y en reconocimiento de los recientes desarrollos en enseanza y aprendizaje, ofrecemos lo siguiente: El captulo 4, Ecuaciones lineales de segundo orden, se centra ahora en las ecuaciones con coecientes constantes. Esta situacin predomina en las aplicaciones. Al restringir la primera exposicin al lector a una situacin en que las soluciones se pueden construir fcilmente, podemos exhibir de manera explcita casi todos los aspectos de la teora lineal. La visin general de esta teora, que aparece en el captulo 6 para quienes quieran aprenderla, es mucho ms fcil de comprender cuando el lector ha logrado dominar los clculos concretos en el caso de coecientes constantes. En el captulo 4 hemos mantenido una seccin cualitativa, la cual gua al lector para especular de manera inteligente sobre el comportamiento aproxima- do de tipos ms generales de ecuaciones (con coecientes variables y no lineales). Iniciacin guiada a las ecuaciones diferenciales CAPITULO PRELIMINARES BUENAS 9/5/08 13:52 Pgina vii 10. viii Prefacio Ahora se introduce el mtodo de coecientes indeterminados en la seccin 4.4 para no-ho- mogeneidades con un solo trmino, lo cual motiva mejor el mtodo y simplica el procedimiento. Los coecientes indeterminados se revisan en la seccin 4.5, donde se amplan a la suma de trminos no homogneos por medio del principio de superposicin. En la guarda posterior de este texto se reproduce un bosquejo simplicado del procedimiento. Las ecuaciones diferenciales que describen a circuitos RL y RC sencillos son de primer orden, de modo que esta aplicacin se introduce ahora en el captulo 3. El anlisis de circuitos RLC ms complejos permanece en el captulo 5. Un nuevo proyecto al nal del captulo 3 describe el amplicador operacional ideal y muestra cmo un pequeo razonamiento fsico permite a los ingenieros tratar un comportamiento no lineal sin dolor. Al nal de los captulos adecuados aparecen nuevos proyectos que modelan la oferta y la demanda, el crecimiento de tumores y los amplicadores operacionales (ya mencionados). Este captulo ha sido reorganizado para dotar rpidamente al lector de la capacidad para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales mediante el mtodo de eliminacin. Los mtodos numricos se introducen antes de las descripciones del plano fase y los sistemas dinmicos, lo que facilita la comprensin y anima a realizar experimentos computacionales relativos a estos temas. Para conveniencia de los profesores, algunos de los ejercicios bsicos para construir habili- dades han sido modicados (para cambiar las respuestas anteriores obsoletas) y se ha agregado una seleccin de ejercicios con un grado mayor de desafo. PRERREQUISITOS Aunque en algunas universidades el curso de lgebra lineal es un prerrequisito para el curso de ecuaciones diferenciales, muchas escuelas (en especial las de Ingeniera) slo usan el clculo. Con esto en mente, hemos diseado el texto de modo que slo el captulo 6 (Teora de ecuaciones diferenciales lineales de orden superior) y el captulo 9 (Mtodos matriciales para sistemas lineales) requieran algo ms que el lgebra lineal de bachillerato. Adems, el captulo 9 contiene secciones de repaso sobre matrices y vectores, as como referencias espe- ccas para los resultados ms profundos de la teora del lgebra lineal que se utilizan en esta obra. Tambin escribimos el captulo 5 para dar una introduccin a los sistemas de ecuaciones diferenciales, incluyendo los mtodos de solucin, anlisis de plano fase, aplicaciones, procedimientos numricos y transformaciones de Poincar, que no requieren fundamentos de lgebra lineal. EJEMPLOS DE TEMARIOS Como una gua en bruto para el diseo de un curso en dos semestres que est relacionado con este texto, damos dos ejemplos que pueden servir para una serie de dos cursos de 15 se- manas cada uno, con tres horas de clase por semana: el primero enfatiza las aplicaciones y los clculos junto con el anlisis del plano fase; el segundo est diseado para cursos que en- fatizan la teora. Como en el texto ms breve, los captulos 1, 2 y 4 son el ncleo del curso del primer semestre. El resto de los captulos es, en su mayor parte, independiente de lo de- ms. Para los estudiantes que tienen conocimientos de lgebra lineal, el instructor podra reemplazar el captulo 7 (Transformadas de Laplace) o el captulo 8 (Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series) por secciones del captulo 9 (Mtodos matriciales para sistemas lineales). Nuevo tratamiento de los coecientes indeterminados Aplicaciones tempranas a los circuitos elctricos Nuevos proyectos de grupo Introduccin a los sistemas y al anlisis del plano fase: Captulo 5 Ejercicios revisados CAPITULO PRELIMINARES BUENAS 9/5/08 13:52 Pgina viii 11. Mtodos, Primer clculos Teora de Segundo Ambos semestre y aplicaciones mtodos semestre cursos Semana Secciones Secciones Semana Secciones 1 1.1,1.2,1.3 1.1,1.2,1.3 1 1.1, 1.2, 1.3 2 1.4, 2.2 1.4, 2.2, 2.3 2 1.4, 2.2 3 2.3, 2.4, 3.2 2.4, 2.5 3 2.3, 2.4 4 3.4, 3.5, 3.6 2.6, 3.2, 3.4 4 3.2, 3.4 5 3.7, 4.1 4.2, 4.3 5 4.2, 4.3 6 4.2, 4.3 4.4, 4.5, 4.6 6 4.4, 4.5, 4.6 7 4.4, 4.5, 4.6 4.7, 5.1, 5.2 7 4.7, 5.1, 5.2 8 4.7, 4.8, 4.9 5.3, 5.4 8 7.1, 7.2, 7.3 9 5.1, 5.2, 5.3 5.5, 6.1 9 7.4, 7.5 10 5.4, 5.5, 5.6 6.2, 6.3, 6.4 10 7.6, 7.7 11 6.1, 6.2 7.2, 7.3, 7.4 11 7.8, 8.2 12 6.3, 7.2, 7.3 7.5, 7.6 12 8.3, 8.5, 8.6 13 7.4, 7.5, 7.6 7.7, 8.1 13 10.2, 10.3 14 7.7, 8.1, 8.2 8.2, 8.3, 8.4 14 10.4, 10.5 15 8.3, 8.4 8.5, 8.6 15 10.6, 10.7 Prefacio ix CARACTERSTICAS NICAS DE ESTA OBRA La mayor parte del material tiene una naturaleza modular que permite diversas conguracio- nes y nfasis en el curso (teora, aplicaciones, tcnicas o conceptos). La disponibilidad de paquetes de cmputo como MATHCAD , MATHEMATICA , MAT- LAB y MAPLE proporciona una oportunidad para que el estudiante realice experimentos numricos y enfrente aplicaciones realistas que proporcionen una mejor idea de la materia. En consecuencia, hemos insertado varios ejercicios y proyectos en todo el texto, diseados para que el estudiante utilice el software disponible en el anlisis del plano fase, el clculo de valores propios y las soluciones numricas de varias ecuaciones. Debido a las restricciones de tiempo, es posible que en ciertos cursos no se aborden las secciones que tratan casi exclusivamente de aplicaciones (como las de los captulos 3 y 5). Por tanto, hemos logrado que las secciones de estos captulos sean casi completamente independientes entre s. Para que el profesor tenga ms exibilidad, hemos incorporado varias aplicaciones en los ejercicios de las secciones tericas. Adems, hemos incluido muchos proyectos que trabajan con tales aplicaciones. Al nal de cada captulo aparecen los proyectos de grupo que estn relacionados con el material del captulo. Un proyecto puede implicar una aplicacin ms desaante, profundizar en la teora, o presentar temas ms avanzados de ecuaciones diferenciales. Aunque estos proyectos pueden ser enfrentados por los estudiantes en forma individual, su utilizacin en el sa- ln de clase ha mostrado que el trabajo en grupo le otorga una mayor dimensin a la experiencia de aprendizaje. De hecho, simula la interaccin que tendr lugar en el terreno profesional. Organizacin exible Uso opcional de software Eleccin de aplicaciones Proyectos de grupo CAPITULO PRELIMINARES BUENAS 9/5/08 13:52 Pgina ix 12. La habilidad de comunicacin es, por supuesto, un aspecto esencial de las actividades profe- sionales. An as, pocos textos proporcionan la oportunidad para que el lector desarrolle tal habilidad. Es por ello que hemos agregado al nal de la mayor parte de los captulos un conjunto de ejercicios de escritura tcnica, claramente identicados, que invitan al estudiante a crear respuestas documentadas a preguntas que estn relacionadas con los conceptos del captulo. Al hacer esto, se pide a los estudiantes que comparen varios mtodos y presenten ejemplos que apoyen su anlisis. En todo el texto aparecen notas histricas que se identican con dagas (). Estas notas al pie proporcionan por lo general el nombre de la persona que desarroll la tcnica, la fecha y el con- texto de la investigacin original. La mayor parte de los captulos inicia con el anlisis de un problema de la fsica o la ingeniera que motiva al tema que se presenta, se incluye adems la metodologa. Todos los captulos principales contienen un conjunto de problemas de repaso, junto con un resumen de los principales conceptos que se presentan. La mayor parte de las guras del texto fueron generadas mediante una computadora. Los grcos por computadora no slo garantizan una mayor precisin en las ilustraciones, sino que demuestran el uso de la experimentacin numrica en el estudio del comportamiento de las soluciones. Aunque los estudiantes ms pragmticos podran eludir las demostraciones, la mayora de los profesores consideran a estas justicaciones como un ingrediente esencial en un libro de texto de ecuaciones diferenciales. Como en cualquier otro texto de este nivel, hay que omitir algunos detalles de las demostraciones. Cuando esto ocurre, sealamos el hecho y hacemos referen- cia a un problema en los ejercicios o a otro texto. Por conveniencia, el nal de una demostracin se seala mediante el smbolo . Hemos desarrollado la teora de ecuaciones diferenciales lineales en forma gradual. En el captulo 4 (Ecuaciones lineales de segundo orden) presentamos la teora bsica para las ecuaciones lineales de segundo orden y analizamos varias tcnicas para resolver tales ecuaciones. Las ecuaciones de orden superior se mencionan brevemente en este captulo. En el captulo 6 (Teora de ecuaciones diferenciales lineales de orden superior) se da un anlisis ms detallado de las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior. Para un primer curso que enfatice los mtodos de solucin, basta la presentacin del captulo 4 y se puede omitir el captulo 6. Se presentan varios mtodos numricos para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales, junto con bosquejos de programas que se pueden ejecutar con facilidad en una computadora. Estos mtodos se presentan de manera temprana en el texto, de modo que los maestros y los estudiantes puedan usarlos para la experimentacin numrica y para enfrentar aplicaciones complejas. La mayor parte de los algoritmos analizados se implantan en el sitio en Internet para este texto. Los ejercicios son abundantes, con diferentes grados de dicultad, desde los problemas ruti- narios ms directos, hasta los ms desaantes. Algunas preguntas tericas ms profundas, junto con aplicaciones aparecen por lo general en la parte nal de los conjuntos de ejercicios. En todo el texto hemos incluido problemas y proyectos que requieren una calculadora o una computadora. Estos ejercicios se indican mediante el smbolo !. El software del sitio en x Prefacio Ejercicios de escritura tcnica Notas histricas Problemas de motivacin Resumen del captulo y problemas de repaso Grcos por computadora Demostraciones Teora lineal Algoritmos numricos Ejercicios CAPITULO PRELIMINARES BUENAS 9/5/08 13:52 Pgina x 13. Prefacio xi Internet especialmente diseado para su uso con este texto facilita la solucin de estos problemas numricos. Estas secciones se pueden omitir sin afectar el desarrollo lgico del material. Estn seala- das con un asterisco en la tabla de contenido. Como hemos dicho, las secciones de los captulos 3 y 5 son completamente independientes entre s. Proporcionamos un captulo detallado sobre transformadas de Laplace (captulo 7), pues s- te es un tema recurrente para los ingenieros. Nuestro tratamiento enfatiza los trminos de for- zamiento discontinuo e incluye una seccin sobre la funcin delta de Dirac. Las soluciones en serie de potencias son un tema que en ciertas ocasiones causa ansiedad a los estudiantes. Es probable que esto se deba a una preparacin inadecuada en el clculo, donde el sutil tema de las series convergentes se estudia (con frecuencia) rpidamente. Nues- tra solucin consiste en proporcionar una introduccin suave y atractiva a la teora de soluciones en serie de potencias, con una exposicin de las aproximaciones a las soluciones mediante polinomios de Taylor, posponiendo los aspectos sosticados de la convergencia para secciones posteriores. A diferencia de muchos textos, el nuestro proporciona una amplia seccin sobre el mtodo de Frobenius (Seccin 8.6), as como una seccin sobre la determinacin de una solucin linealmente independiente. Aunque hemos dedicado un espacio considerable a las soluciones mediante series de potencias, tambin hemos tenido cuidado en adecuarnos al profesor que slo desea dar una introduccin bsica del tema. Puede lograrse una introduccin al tema de solucin de ecuaciones diferenciales mediante series de potencias y el mtodo de Frobenius abarcado los ma- teriales de las secciones 8.1, 8.2, 8.3 y 8.6. Se proporciona una introduccin a este tema en el captulo 10, abarcando el mtodo de separacin de variables, series de Fourier, la ecuacin del calor, la ecuacin de onda y la ecuacin de Laplace. Se incluyen ejemplos en dos y tres dimensiones. El captulo 5 describe la forma en que puede obtenerse informacin cualitativa para las soluciones a sistemas de dos dimensiones con ecuaciones autnomas intratables, observando sus campos de direcciones y los puntos crticos en el plano fase. Con la ayuda del software ade- cuado, este punto de vista proporciona una alternativa refrescante, casi recreativa, a la metodologa tradicional analtica al analizar las aplicaciones a la mecnica no lineal, las ecuaciones no lineales y la epidemiologa. Se proporciona una motivacin para el captulo 4, sobre ecuaciones diferenciales lineales, mediante una seccin introductoria que describe el oscilador masa-resorte. Aprovechamos la familiaridad del lector con los movimientos vibratorios comunes para anticipar la exposicin de los aspectos tericos y analticos de las ecuaciones lineales. Este modelo no slo proporciona una base para el discurso sobre las ecuaciones con coecientes constantes, sino que tambin una interpretacin libre de sus caractersticas nos permite predecir el comportamiento cualitativo de las ecuaciones con coecientes variables o no lineales. El captulo sobre mtodos matriciales para los sistemas lineales (captulo 9) comienza con dos secciones introductorias (opcionales) que repasan la teora de los sistemas algebraicos lineales y el lgebra matricial. Secciones opcionales Transformadas de Laplace Series de potencias Ecuaciones diferenciales parciales Plano fase Vibraciones Repaso de las ecuaciones algebraicas lineales y las matrices CAPITULO PRELIMINARES BUENAS 9/5/08 13:52 Pgina xi 14. xii Prefacio CourseCompass CD-ROM interactivo de ecuaciones diferenciales (para esta edicin en espaol) SUPLEMENTOS Contiene respuestas cortas de todos los ejercicios y proyectos de grupo adicionales. ISBN 0-321-17318-X Por Beverly West (Universidad de Cornell), Steven Strogatz (Universidad de Cornell), Jean Marie McDill (California State Polytechnic University-San Luis Obispo), John Cantwell (Uni- versidad de San Luis) y Hubert Hohn (Massachussetts College of Art). Versin revisada de un popular software directamente ligado al texto. Se centra en la ayuda a los estudiantes para visualizar conceptos. Se extraen aplicaciones de ingeniera, fsica, qumica y biologa. Se puede utilizar en ambientes Windows o Macintosh y se incluye gratuitamente en cada ejemplar. Por Kenneth Pothoven (Universidad del Sur de Florida). Una coleccin de hojas de trabajo y proyectos de MAPLE para ayudar a los profesores a integrar MAPLE a sus cursos. Tam- bin disponible mediante nuestro sitio en Internet. ISBN 0-321-17320-1 CourseCompass es una plataforma para administracin de cursos en lnea que combina los contenidos de Pearson Educacin con la tecnologa de punta de Blackboard (R). CourseCom- pass proporciona a los estudiantes y los profesores un punto central de acceso a los recursos multimedia disponibles para el libro de texto. Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera incluye un curso precargado en CourseCompass, el cual usted puede personalizar para que se adapte mejor a su programa de clases. Para mayor informacin, visite nuestro sitio Web en www.coursecompass.com o contacte a su representante de ventas de Pearson Educacin Gua de recursos para el instructor (para la edicin en ingls de esta obra) Gua del instructor basada en MAPLE (para la edicin en ingls de esta obra) CAPITULO PRELIMINARES BUENAS 9/5/08 13:52 Pgina xii 15. AGRADECIMIENTOS La aparicin en escena de este libro implic una actividad considerable tras bambalinas. Pri- mero queremos agradecer a las personas que contribuyeron con nuevos proyectos (crecimiento de tumores) y ejercicios (entrega del Tecnecio) para la nueva edicin: Glenn Webb (Universidad Vanderbilt) y Wilfredo Coln (Moftt Cancer Center, Universidad del Sur de Florida). Damos una nota especial de gratitud a Alar Toomre (Massachusetts Institute of Technology), quien no slo proporcion dos proyectos de grupo y una amplia gama de nuevos problemas desaantes, sino que tambin gener el grco que aparece en la pgina 278. Queremos agradecer a Frank Glaser (California State Polytechnic University, Pomona) por muchas de las notas histricas. Tambin estamos en deuda con Herbert E. Rauch (Lockheed Research Laboratory) por su ayuda en la seccin 3.3 sobre calentamiento y enfriamiento de edicios, el proyecto A del captulo 3 sobre acuacultura y otros problemas de aplicacin. Nuestro agradecimiento a Richard H. Elderkin (Pomona Collage), Jerrold Marsden (Univer- sidad de California, Berkeley), T. G. Proctor (Universidad de Clemson) y Philip W. Schaefer (Universidad de Tennessee), quienes leyeron y volvieron a leer el manuscrito del texto original, haciendo numerosas sugerencias que mejoraron en gran medida este libro. Tambin estamos en deuda con todas las personas que revisaron el manuscrito de esta nueva edicin: Amin Boumenir, Universidad del Oeste de Georgia Karen Clark, Colegio de Nueva Jersey Patrick Dowling, Universidad de Miami Sanford Geraci, Northern Virginia Community Collage Scott Gordon, Universidad Estatal del Oeste de Georgia Bonita Lawrence, Universidad Marshall Richard Rubin, Universidad Internacional de Florida Shu-Yi Tu, Universidad de Michigan, Flint E. B. Saff, A. D. Snider E. B. Saff, A. D. Snider Prefacio xiii CAPITULO PRELIMINARES BUENAS 9/5/08 13:52 Pgina xiii 16. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS 9/5/08 13:52 Pgina xiv 17. Contenido xv Captulo 1 INTRODUCCIN 1 1.1 Fundamentos 1 1.2 Soluciones y problemas con valores iniciales 6 1.3 Campos de direcciones 16 1.4 El mtodo de aproximacin de Euler 24 Resumen del captulo 30 Ejercicios de escritura tcnica 30 Proyectos de grupo para el captulo 1 31 A. Mtodo de series de Taylor 31 B. Mtodo de Picard 32 C. Dipolo magntico 33 D. La recta fase 34 Captulo 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 37 2.1 Introduccin: movimiento de un cuerpo en cada 37 2.2 Ecuaciones separables 40 *Denota secciones opcionales que pueden omitirse sin comprometer el ujo lgico. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS 9/5/08 13:52 Pgina xv 18. 2.3 Ecuaciones lineales 49 2.4 Ecuaciones exactas 58 *2.5 Factores integrantes especiales 68 *2.6 Sustituciones y transformaciones 72 Resumen del captulo 81 Problemas de repaso 82 Ejercicios de escritura tcnica 82 Proyectos de grupo para el captulo 2 83 A. Ley de Torricelli para el ujo de uidos 84 B. El problema de la barredora de nieve 84 C. Dos barredoras de nieve 84 D. Ecuaciones de Clairaut y soluciones singulares 85 E. Comportamiento asinttico de soluciones de ecuaciones lineales 86 Captulo 3 MODELOS MATEMTICOS Y MTODOS NUMRICOS QUE IMPLICAN ECUACIONES DE PRIMER ORDEN 87 3.1 Modelacin matemtica 87 3.2 Anlisis por compartimentos 89 3.3 Calentamiento y enfriamiento de edicios 101 3.4 Mecnica de Newton 108 3.5 Circuitos elctricos 118 3.6 Mtodo de Euler mejorado 122 3.7 Mtodos numricos de orden superior: Taylor y Runge-Kutta 133 Proyectos de grupo para el captulo 3 143 A. Acuacultura 143 B. Curva de persecucin 144 C. Control de una aeronave en un viento cruzado 145 xvi Contenido CAPITULO PRELIMINARES BUENAS 9/5/08 13:52 Pgina xvi 19. D. Retroalimentacin y el amplicador operacional 146 E. Controles bang-bang 147 F. Precio, oferta y demanda 148 G. Estabilidad de mtodos numricos 149 H. Duplicacin de periodo y caos 150 Captulo 4 ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN 152 4.1 Introduccin: El oscilador masa-resorte 152 4.2 Ecuaciones lineales homogneas: La solucin general 158 4.3 Ecuaciones auxiliares con races complejas 167 4.4 Ecuaciones no homogneas: El mtodo de coecientes indeterminados 177 4.5 El principio de superposicin y revisin de los coecientes indeterminados 184 4.6 Variacin de parmetros 192 4.7 Consideraciones cualitativas para ecuaciones con coecientes variables y ecuaciones no lineales 196 4.8 Una mirada de cerca a las vibraciones mecnicas libres 208 4.9 Una mirada de cerca a las vibraciones mecnicas forzadas 218 Resumen del captulo 226 Problemas de repaso 228 Ejercicios de escritura tcnica 229 Proyectos de grupo para el captulo 4 230 A. Coecientes indeterminados y aritmtica compleja 230 B. Una alternativa al mtodo de coecientes indeterminados 231 C. Mtodo de convolucin 232 D. Linealizacin de problemas no lineales 233 Contenido xvii CAPITULO PRELIMINARES BUENAS 9/5/08 13:52 Pgina xvii 20. E. Ecuaciones no lineales que pueden resolverse mediante tcnicas de primer orden 234 F. Reingreso del Apolo 235 G. Pndulo simple 236 H. Comportamiento asinttico de las soluciones 237 Captulo 5 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS Y EL ANLISIS DEL PLANO FASE 239 5.1 Tanques interconectados 239 5.2 Mtodo de eliminacin para sistemas con coecientes constantes 241 5.3 mtodos numricos para sistemas y ecuaciones de orden superior 251 5.4 Introduccin al plano fase 262 5.5 Sistemas acoplados masa-resorte 277 5.6 Circuitos elctricos 284 5.7 Sistemas dinmicos, transformaciones de Poincar y caos 290 Resumen del captulo 301 Problemas de repaso 302 Proyectos de grupo para el captulo 5 304 A. El crecimiento de un tumor 304 B. Diseo de un sistema de aterrizaje para un viaje interplanetario 306 C. Objetos que otan 307 D. Soluciones peridicas de los sistemas de Volterra-Lotka 309 E. Sistemas hamiltonianos 310 F. Comportamiento extrao de especies en competencia. Parte I 312 G. Limpieza de los Grandes Lagos 313 xviii Contenido CAPITULO PRELIMINARES BUENAS 9/5/08 13:52 Pgina xviii http://libreria-universitaria.blogspot.com 21. Captulo 6 TEORA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR 316 6.1 Teora bsica de las ecuaciones diferenciales lineales 316 6.2 Ecuaciones lineales homogneas con coecientes constantes 325 6.3 Coecientes indeterminados y el mtodo del anulador 332 6.4 Mtodo de variacin de parmetros 338 Resumen del captulo 342 Problemas de repaso 344 Ejercicios de escritura tcnica 344 Proyectos de grupo para el captulo 6 345 A. Justicacin del mtodo de coecientes indeterminados 345 B. Vibraciones transversales de una viga 345 Captulo 7 TRANSFORMADAS DE LAPLACE 347 7.1 Introduccin: un problema de mezclas 347 7.2 Denicin de la transformada de Laplace 351 7.3 Propiedades de la transformada de Laplace 360 7.4 Transformadas inversas de Laplace 366 7.5 Solucin de problemas con valores iniciales 376 7.6 Transformadas de funciones discontinuas y peridicas 384 *7.7 Convolucin 398 *7.8 Impulsos y la funcin delta de Dirac 407 *7.9 Solucin de sistemas lineales mediante transformadas de Laplace 414 Resumen del captulo 417 Problemas de repaso 418 Ejercicios de escritura tcnica 419 Contenido xix CAPITULO PRELIMINARES BUENAS 9/5/08 13:52 Pgina xix 22. Proyectos de grupo para el captulo 7 421 A. Frmulas de Duhamel 421 B. Modelacin mediante la respuesta de frecuencia 422 C. Determinacin de los parmetros del sistema 424 Captulo 8 SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES 425 8.1 Introduccin: la aproximacin polinomial de Taylor 425 8.2 Series de potencias y funciones analticas 431 8.3 Soluciones de ecuaciones diferenciales lineales mediante series de potencias 440 8.4 Ecuaciones con coecientes analticos 451 *8.5 Revisin de las ecuaciones de Cauchy-Euler (equidimensionales) 457 8.6 Mtodo de Frobenius 461 8.7 Determinacin de una segunda solucin linealmente independiente 473 8.8 Funciones especiales 483 Resumen del captulo 496 Problemas de repaso 497 Ejercicios de escritura tcnica 498 Proyectos de grupo para el captulo 8 499 A. Soluciones con simetra esfrica de la ecuacin de Schrdinger para el tomo de hidrgeno 499 B. Ecuacin de Airy 500 C. Flexin de una torre 500 D. Resortes vencidos y funciones de Bessel 501 xx Contenido CAPITULO PRELIMINARES BUENAS 9/5/08 13:52 Pgina xx 23. Captulo 9 MTODOS MATRICIALES PARA SISTEMAS LINEALES 503 9.1 Introduccin 503 9.2 Repaso 1: ecuaciones algebraicas lineales 508 9.3 Repaso 2: matrices y vectores 512 9.4 Sistemas lineales en forma normal 524 9.5 Sistemas lineales homogneos con coecientes constantes 533 9.6 Valores propios complejos 545 9.7 Sistemas lineales no homogneos 551 9.8 La funcin exponencial matricial 558 Resumen del captulo 567 Problemas de repaso 570 Ejercicios de escritura tcnica 571 Proyectos de grupo para el captulo 9 572 A. Sistemas normales desacoplados 572 B. Mtodo de la transformada de Laplace matricial 572 C. Sistemas de segundo orden no amortiguados 574 D. Comportamiento extrao de especies en competencia. Parte II 575 Captulo 10 ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES 576 10.1 Introduccin: un modelo para el ujo de calor 576 10.2 Mtodo de separacin de variables 579 10.3 Series de Fourier 589 Contenido xxi CAPITULO PRELIMINARES BUENAS 9/5/08 13:52 Pgina xxi 24. 10.4 Series de senos y cosenos de Fourier 607 10.5 La ecuacin del calor 612 10.6 La ecuacin de onda 625 10.7 Ecuacin de Laplace 638 Resumen del captulo 651 Ejercicios de escritura tcnica 653 Proyectos de grupo para el captulo 10 654 A. Distribucin estacionaria de temperatura en un cilindro circular 654 B. Una solucin de la ecuacin de onda mediante transformada de Laplace 655 C. Funcin de Green 656 D. Mtodo numrico para u f en un rectngulo 658 Captulo 11 PROBLEMAS DE VALORES PROPIOS Y ECUACIONES DE STURM-LIOUVILLE 661 11.1 Introduccin: ujo de calor en un alambre no uniforme 661 11.2 Valores propios y funciones propias 663 11.3 Problemas regulares de Sturm-Liouville con valores en la frontera 672 11.4 Problemas no homogneos con valores en la frontera y la alternativa de Fredholm 784 11.5 Solucin mediante un desarrollo con funciones propias 693 11.6 Funciones de Green 699 11.7 Problemas singulares de Sturm-Liouville con valores en la frontera 708 11.8 Oscilacin y teora de comparacin 717 Resumen del captulo 726 Problemas de repaso 729 xxii Contenido CAPITULO PRELIMINARES BUENAS 9/5/08 13:52 Pgina xxii 25. Ejercicios de escritura tcnica 730 Proyectos de grupo para el captulo 11 731 A. Polinomios de Hermite y el oscilador armnico 731 B. Espectros continuos y mixtos 731 C. Teorema de comparacin de Picone 732 D. Mtodo de tiro 733 E. Mtodo de diferencias nitas para problemas con valores en la frontera 734 APNDICES A-1 A. Mtodo de Newton A-1 B. Regla de Simpson A-3 C. Regla de Cramer A-5 D. Mtodo de mnimos cuadrados A-6 E. Procedimiento de Runge-Kutta para n ecuaciones A-9 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS IMPARES B-1 NDICE I-1 Contenido xxiii CAPITULO PRELIMINARES BUENAS 9/5/08 13:52 Pgina xxiii 26. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS 9/5/08 13:52 Pgina xxiv 27. CAPTULO 1 Introduccin 1 En las ciencias y la ingeniera se desarrollan modelos matemticos para comprender mejor los fenmenos fsicos. Con frecuencia, estos modelos producen una ecuacin que contiene algunas derivadas de una funcin incgnita. Esta ecuacin es una ecuacin diferencial. Dos ejemplos de modelos que se desarrollan en clculo son la cada libre de un cuerpo y el decaimiento de una sustancia radiactiva. En el caso de la cada libre, un objeto se libera desde una altura determinada (por en- cima del nivel del suelo) y cae bajo la fuerza de la gravedad. Podemos aplicar al objeto que cae la segunda ley de Newton, la cual establece que la masa de un objeto por su aceleracin es igual a la fuerza total que acta sobre l. Esto lleva a la ecuacin (vase la gura 1.1) donde m es la masa del objeto, h es la altura sobre el suelo, d2 h/dt2 es su aceleracin, g es la aceleracin gravitacional (constante) y 2mg es la fuerza debida a la gravedad. sta es una ecuacin diferencial que contiene la segunda derivada de la altura desconocida h como funcin del tiempo. En este caso suponemos que la gravedad es la nica fuerza que acta sobre el objeto, y que esta fuerza es constante. Otros modelos ms generales considerarn otras fuerzas, como la resistencia del aire. Figura 1.1 Manzana en cada libre 1.1 FUNDAMENTOS 28. 2 Captulo 1 Introduccin Por fortuna, es fcil resolver la ecuacin anterior en trminos de h. Basta dividir entre m e integrar dos veces con respecto de t. Es decir, de modo que y Veremos que las constantes de integracin c1 y c2 quedan determinadas si conocemos la altura inicial y la velocidad inicial del objeto. As, tenemos una frmula para la altura del objeto en el instante t. En el caso del decaimiento radiactivo (gura 1.2), partimos de la siguiente premisa: la razn de decaimiento es proporcional a la cantidad de sustancia radiactiva presente. Esto conduce a la ecuacin donde A (.0) es la cantidad desconocida de sustancia radiactiva que est presente en el instante t y k es la constante de proporcionalidad. Para resolver esta ecuacin diferencial, la escribimos en la forma e integramos para obtener Al despejar A obtenemos Figura 1.2 Decaimiento radiactivo 29. Seccin 1.1 Fundamentos 3 donde C es la combinacin de constantes de integracin eC22C1. El valor de C, como veremos ms adelante, queda determinado si se tiene la cantidad inicial de sustancia radiactiva. Entonces tenemos una frmula para la cantidad de sustancia radiactiva en cualquier instante futuro t. Aunque los ejemplos anteriores se resolvieron fcilmente mediante mtodos del clculo, nos dan poca idea del estudio de las ecuaciones diferenciales en general. En primer lugar, obsrvese que la solucin de una ecuacin diferencial es una funcin, como h(t) o A(t), no slo un nmero. En segundo lugar, la integracin es una herramienta importante para resolver ecuaciones diferenciales (lo cual no es sorprendente!). En tercer lugar, no podemos esperar obtener una nica solucin a una ecuacin diferencial pues hay unas constantes de integracin arbitrarias. La segunda derivada d2 h/dt2 en la ecuacin de cada libre da lugar a dos constantes, c1 y c2 y la primera derivada en la ecuacin de decaimiento da lugar, en l- tima instancia, a una constante C. Siempre que un modelo matemtico implique la razn de cambio de una variable con respecto de otra, es probable que aparezca una ecuacin diferencial. Por desgracia, en contraste con los ejemplos de la cada libre y el decaimiento radiactivo, la ecuacin diferencial puede ser muy compleja y difcil de analizar. Las ecuaciones diferenciales surgen en una amplia gama de reas, no slo en las ciencias fsicas, sino tambin en campos tan diversos como la economa, la medicina, la psicologa y la investigacin de operaciones. Ahora enumeraremos unos cuantos ejemplos especcos. 1. Una aplicacin clsica de las ecuaciones diferenciales aparece en el estudio de un circuito elctrico formado por un resistor, un inductor y un capacitor que son exci- tados por una fuerza electromotriz (vase la gura 1.3). En este caso, al aplicar las leyes de Kirchhoff obtenemos la ecuacin (1) donde L es la inductancia, R es la resistencia, C es la capacitancia, E(t) es la fuerza electromotriz, q(t) es la carga en el capacitor y t es el tiempo. Analizaremos las leyes de Kirchhoff en la seccin 3.5. Figura 1.3 Diagrama de un circuito RLC en serie 2. En el estudio del equilibrio gravitacional de una estrella, una aplicacin de la ley de gravitacin de Newton y la ley de Stefan-Boltzmann para los gases conduce a la ecuacin de equilibrio (2) donde P es la suma de la presin cintica del gas y la presin por radiacin, r es la 30. distancia desde el centro de la estrella, es la densidad de la materia y G es la constante de gravitacin. 3. En psicologa, un modelo del aprendizaje de una tarea implica la ecuacin (3) En este caso, la variable y representa el nivel de habilidad del estudiante como funcin del tiempo t. Las constantes p y n dependen del individuo y la naturaleza de la tarea. 4. En el estudio de las cuerdas vibrantes y la propagacin de ondas, encontramos la ecuacin diferencial parcial (4) donde t representa el tiempo, x la posicin a lo largo de la cuerda, c la rapidez de la onda y u el desplazamiento de la cuerda, que es una funcin del tiempo y la posicin. Para comenzar nuestro estudio de las ecuaciones diferenciales necesitamos cierta terminologa comn. Si una ecuacin implica la derivada de una variable con respecto de otra, entonces la primera se llama una variable dependiente y la segunda una variable independiente. As, en la ecuacin t es la variable independiente y x es la variable dependiente. Nos referimos a a y k como coecientes en la ecuacin (5). En la ecuacin x y y son variables independientes y u es una variable dependiente. Una ecuacin diferencial que slo implica derivadas ordinarias con respecto de una sola variable independiente es una ecuacin diferencial ordinaria. Una ecuacin diferencial que implica derivadas parciales con respecto de ms de una variable independiente es una ecuacin diferencial parcial. La ecuacin (5) es una ecuacin diferencial ordinaria y la ecuacin (6) es una ecuacin diferencial parcial. El orden de una ecuacin diferencial es el orden de las derivadas de orden mximo que aparecen en la ecuacin. La ecuacin (5) es una ecuacin de segundo orden, pues d2 x/dt2 es la derivada de mximo orden que aparece en la ecuacin. La ecuacin (6) es una ecuacin de primer orden, pues slo contiene derivadas parciales de primer orden. Ser til clasicar las ecuaciones diferenciales ordinarias como lineales y no lineales. Recuerde que las rectas (en dos dimensiones) y los planos (en tres dimensiones) son parti- cularmente fciles de visualizar, en comparacin con objetos no lineales como las curvas cbicas o las supercies cudricas. Por ejemplo, podemos determinar todos los puntos de una recta si slo conocemos dos de ellos. En correspondencia, las ecuaciones diferenciales li- 4 Captulo 1 Introduccin Nota histrica: Jean le Rond dAlembert (1717-1783) descubri por primera vez esta ecuacin diferencial parcial en 1747. http://libreria-universitaria.blogspot.com 31. Seccin 1.1 Fundamentos 5 neales son ms susceptibles de resolverse que las no lineales. Las ecuaciones para las rectas ax 1 by 5 c y los planos ax 1 by 1 cz 5 d tienen la caracterstica de que las variables aparecen slo en combinaciones aditivas de sus primeras potencias. Por analoga, una ecuacin diferencial lineal es aquella en que la variable dependiente y y sus derivadas slo aparecen en combinaciones aditivas de sus primeras potencias. Una ecuacin diferencial es lineal si tiene el siguiente formato (7) donde an(x), an21(x), . . . , a0(x) y F(x) dependen slo de la variable independiente x. Las combinaciones aditivas pueden tener multiplicadores (coecientes) que dependen de x, sin que haya restricciones sobre la naturaleza de esta dependencia de x. Si una ecuacin diferencial ordinaria no es lineal, entonces se conoce con el nombre de no lineal. Por ejemplo, es una ecuacin diferencial ordinaria de segundo orden no lineal, debido a la presencia del trmino y3 , mientras que es lineal (a pesar del trmino x3 ). La ecuacin es no lineal debido al trmino y dy/dx. Aunque la mayor parte de las ecuaciones que probablemente aparezcan en la prctica estn en la categora no lineal, un primer paso importante consiste en trabajar con las ecuaciones lineales, ms sencillas (as como las rectas tangentes ayudan en la comprensin de curvas complicadas al proporcionar aproximaciones locales). En los problemas 1 a 12, damos una ecuacin diferencial junto con el campo o rea donde surge. Clasifquelas como una ecuacin diferencial ordinaria (EDO) o una ecuacin diferencial parcial (EDP), proporcione el orden e indique las variables independientes y dependien- tes. Si la ecuacin es una ecuacin diferencial ordinaria, indique si la ecuacin es lineal o no lineal. (vibraciones mecnicas, circuitos elctricos, sismolo- ga). 2. (ecuacin de Hermite, mecnica cuntica, oscilador armnico). 3. (competencia entre dos especies, ecologa). 4. (ecuacin de Laplace, teora de potencial, electrici- dad, calor, aerodinmica). EJERCICIOS 1.1 32. 6 Captulo 1 Introduccin 5. dp dt 5 kp(P 2 p) , donde k y P son constantes (curva logstica, epidemiologa, economa). 6. dx dt 5 (4 2 x)(1 2 x) (velocidad de reaccin qumica). 7. donde C es una constante (problema de la braquistocrona, clculo de variaciones). 8. (ecuacin de Kidder, ujo de un gas a travs de un medio poroso). 9. (aerodinmica, anlisis de tensin mecnica). 10. (deexin de vigas). 11. donde k es una constante (sin nuclear). 12. (ecuacin de van der Pol, vlvula triodo). En los problemas 13 a 16, escriba una ecuacin diferencial que se ajuste a la descripcin fsica. 13. La razn de cambio de la poblacin p de bacterias en el instante t es proporcional a la poblacin en el instante t. 14. La velocidad en el instante t de una partcula que se mueve a lo largo de una lnea recta es proporcional a la cuarta potencia de su posicin x. 15. La razn de cambio en la temperatura T del caf en el instante t es proporcional a la diferencia entre la temperatura M del aire en el instante t y la temperatura del caf en el instante t. 16. La razn de cambio de la masa A de sal en el instante t es proporcional al cuadrado de la masa de sal presente en el instante t. 17. Carrera de autos. Dos pilotos, Alison y Kevin, participan en una carrera de arrancones. Parten desde el reposo y luego aceleran a una razn constante. Kevin cubre la ltima cuarta parte de la distancia en 3 segundos, mientras que Alison cubre la ltima tercera parte de la distancia en 4 segundos. Quin gana y por cunto tiempo? Nota histrica: En 1630, Galileo formul el problema de la braquistocrona ( 5ms corto, 5tiem- po), es decir, determinar una trayectoria hacia abajo, por la cual debe caer una partcula desde un punto dado hasta otro en el menor tiempo posible. Fue propuesto de nuevo por John Bernoulli en 1696 y resuelto por ste al ao siguiente. Una ecuacin diferencial ordinaria de orden n es una igualdad que relaciona la variable independiente con la n-sima derivada de la variable dependiente (y usualmente tambin derivadas de orden menor). Algunos ejemplos son (segundo orden, x independiente, y dependiente) (segundo orden, t independiente, y dependiente) (cuarto orden, t independiente, x dependiente). 1.2 SOLUCIONES Y PROBLEMAS CON VALORES INICIALES 33. Seccin 1.2 Soluciones y problemas con valores iniciales 7 SOLUCIN EXPLCITA Denicin 1. Una funcin f(x) tal que al sustituirla en vez de y en la ecuacin (1) [o (2)] satisface la ecuacin para toda x en el intervalo I es una solucin explcita de la ecuacin en I. Mostrar que f(x) 5 x2 2 x21 es una solucin explcita de la ecuacin lineal (3) Las funciones f(x) 5 x2 2 x21 , f9(x) 5 2x 1 x22 y f0(x) 5 2 2 2x23 estn denidas para toda x 0. Al sustituir f(x) en vez de y en la ecuacin (3) se tiene Como esto es vlido para cualquier x 0, la funcin f(x) 5x2 2x21 es una solucin explcita de (3) en (2q, 0) y tambin en (0, q). Mostrar que para cualquier eleccin de las constantes c1 y c2, la funcin es una solucin explcita de la ecuacin lineal (4) Calculamos f9(x) 5 2c1e2x 1 2c2e2x y f0(x) 5 c1e2x 1 4c2e2x . Al sustituir f, f9 y f0 en vez de y, y9 y y0 en la ecuacin (4) se tiene Como la igualdad es vlida para toda x en (2q, q), entonces f(x) 5 c1e2x 1 c2e2x es una solucin explcita de (4) en el intervalo (2q, q) para cualquier eleccin de las constantes c1 y c2. EJEMPL0 1 SOLUCIN EJEMPLO 2 SOLUCIN As, una forma general para una ecuacin de orden n con x independiente, y dependiente, se puede expresar como (1) donde F es una funcin que depende de x, y, y de las derivadas de y hasta de orden n; es decir, depende de x, y, . . . , dn y/dxn . Suponemos que la ecuacin es vlida para toda x en un intervalo abierto I (a ,x ,b, donde a o b pueden ser innitos). En muchos casos, podemos despejar el trmino de orden mximo dn y/dxn y escribir la ecuacin (1) como (2) que con frecuencia se preere sobre (1) por razones tericas y de clculo. 34. Como veremos en el captulo 2, los mtodos para resolver las ecuaciones diferenciales no siempre proporcionan una solucin explcita de la ecuacin. A veces tendremos que plan- tear una solucin denida en forma implcita. Consideremos el siguiente ejemplo. Mostrar que la relacin (5) dene de manera implcita una solucin de la ecuacin no lineal (6) en el intervalo (2, q). Al despejar y en (5), obtenemos y 56x3 28. Veamos si f(x) 5x3 28 es una solucin explcita. Como dfydx 5 3x2 y(2x3 2 8 ), tanto f como dfydx estn denidas en (2, q). Al sustituirlas en (6) se tiene que es vlida para toda x en (2, q). [Usted puede vericar que c(x) 5 2x3 2 8 tambin es una solucin explcita de (6)]. 8 Captulo 1 Introduccin SOLUCIN IMPLCITA Denicin 2. Se dice que una relacin G(x, y) 5 0 es una solucin implcita de la ecuacin (1) en el intervalo I si dene una o ms soluciones explcitas en I. EJEMPLO 3 EJEMPLO 4 SOLUCIN Mostrar que (7) es una solucin implcita de la ecuacin no lineal (8) Primero observamos que no podemos despejar a y en (7) en trminos de x. Sin embargo, para que se cumpla (7), observamos que cualquier cambio en x requiere un cambio en y, de modo que esperamos que la relacin dena de manera implcita al menos una funcin y(x). Esto es difcil de mostrar directamente, pero puede vericarse con rigor mediante el teorema de la funcin implcita del clculo avanzado, el cual garantiza la existencia de tal funcin y(x) y que adems es diferenciable (vase el problema 30). SOLUCIN Vase Vector calculus, J. E. Marsden y A. J. Tromba, quinta edicin (San Francisco: Freeman, 2004). 35. Seccin 1.2 Soluciones y problemas con valores iniciales 9 Una vez que sabemos que y es una funcin diferenciable de x, podemos usar la tcnica de derivacin implcita. De hecho, si en (7) derivamos con respecto de x y aplicamos las reglas del producto y de la cadena, o que es idntica a la ecuacin diferencial (8). As, la relacin (7) es una solucin implcita en algn intervalo garantizado por el teorema de la funcin implcita. Vericar que para cada constante C la relacin 4x2 2 y2 5 C es una solucin implcita de (9) Gracar las curvas solucin para C 50, 61, 64. (Llamamos a la coleccin de tales soluciones una familia a un parmetro de soluciones). Al derivar de manera implcita la ecuacin 4x2 2 y2 5 C con respecto de x, tenemos que es equivalente a (9). En la gura 1.4 bosquejamos las soluciones implcitas para C 5 0, 61, 64. Las curvas son hiprbolas con asntotas comunes y 5 62x. Observe que las curvas solucin implcitas (con C arbitrario) cubren todo el plano y no se cortan para C 0. Para C 5 0, la solucin implcita produce las dos soluciones explcitas y 5 2x y y 5 22x, ambas pasan por el origen. EJEMPLO 5 SOLUCIN Figura 1.4 Soluciones implcitas de 4x2 2 y2 5 C 36. Para abreviar, a partir de este momento usaremos el trmino solucin para indicar una solucin explcita o implcita. Al inicio de la seccin 1.1 vimos que la solucin de la ecuacin de cada libre de segundo orden implicaba dos constantes arbitrarias de integracin c1, c2: mientras que la solucin de la ecuacin de decaimiento radiactivo de primer orden contena una sola constante C: Es claro que al integrar la sencilla ecuacin de cuarto orden se producen cuatro constantes indeterminadas: . Ms adelante mostraremos que, en general, los mtodos para resolver ecuaciones diferenciales de orden n necesitan n constantes arbitrarias. En la mayor parte de los casos, podremos evaluar estas constantes si conocemos n valores iniciales y(x0), y9(x0), . . . , y(n21) (x0). 10 Captulo 1 Introduccin PROBLEMAS CON VALORES INICIALES Denicin 3. Por un problema con valores iniciales para una ecuacin diferencial de orden n se debe entender: Hallar una solucin de la ecuacin diferencial en un intervalo I que satisfaga en x0 las n condiciones iniciales donde x0 I y y0, y1, . . . , yn21 son constantes dadas. En el caso de una ecuacin de primer orden, las condiciones iniciales se reducen a un nico requisito y(x0) 5 y0 , 37. Seccin 1.2 Soluciones y problemas con valores iniciales 11 y en el caso de una ecuacin de segundo orden, las condiciones iniciales tienen la forma La terminologa condiciones iniciales proviene de la mecnica, donde la variable independiente x representa el tiempo y se indica como t. Si t0 es el instante inicial, y(t0) 5 y0 representa la posicin inicial de un objeto y y9(t0)ydt proporciona su velocidad inicial. Mostrar que f(x) 5 sen x 2 cos x es una solucin del problema con valores iniciales (10) Observe que f(x) 5sen x 2cos x, dfydx 5cos x 1sen x, y d2 fydx2 52sen x 1cos x estn denidas en (2q, q). Al sustituir esto en la ecuacin diferencial tenemos que es vlida para toda x [(2q, q). Por tanto, f(x) es una solucin de la ecuacin diferencial (10) en (2q, q). Al vericar las condiciones iniciales, tenemos lo que cumple los requisitos de (10). Por tanto, f(x) es una solucin del problema con valores iniciales dado. Como se mostr en el ejemplo 2, la funcin f(x) 5 c1e2x 1 c2e2x es una solucin de para cualquier eleccin de las constantes c1 y c2. Determinar c1 y c2 de modo que se cumplan las condiciones iniciales para satisfacer. Para determinar las constantes c1 y c2, calculamos primero dfydx para obtener dfydx 5 2c1e2x 1 2c2e2x . Al sustituir en nuestras condiciones iniciales, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones: Al sumar las dos ltimas ecuaciones tenemos que 3c2 5 21, de modo que c2 5 21y3. Como c1 1c2 52, tenemos que c1 57y3. Por lo tanto, la solucin del problema con valores iniciales es f(x) 5 (7y3)e2x 2 (1y3)e2x . EJEMPLO 6 SOLUCIN EJEMPLO 7 SOLUCIN 38. Ahora enunciaremos un teorema de existencia y unicidad para problemas de primer orden con valores iniciales. Suponemos que la ecuacin diferencial tiene ya el formato Por supuesto, el lado derecho f(x, y) debe estar bien denido en el punto inicial x0 con respecto de x y en el valor inicial dado y0 5 y(x0) con respecto de y. Adems, las hiptesis del teorema piden la continuidad de f y fyy para x en cierto intervalo a , x , b que contenga a x0, y para y en cierto intervalo c , y , d que contenga a y0. Observe que el conjunto de puntos en el plano xy que satisfacen a , x , b y c , y , d forman un rectngulo. La gura 1.5 muestre este rectngulo de continuidad con el punto inicial (x0, y0) en su interior y un bosquejo de la parte de la curva solucin contenida en l. 12 Captulo 1 Introduccin EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LA SOLUCIN Teorema 1. Dado el problema con valor inicial supngase que f y fyy son funciones continuas en un rectngulo que contiene al punto (x0, y0). Entonces el problema con valor inicial tiene una nica solucin f(x) en algn intervalo x0 2 d , x , x0 1 d, donde d es un n- mero positivo. Figura 1.5 Diagrama para el teorema de existencia y unicidad 39. Seccin 1.2 Soluciones y problemas con valores iniciales 13 El teorema anterior nos dice dos cosas. La primera es que cuando una ecuacin satisface las hiptesis del teorema 1, tenemos la seguridad de que existe una solucin al problema con valor inicial. Naturalmente, es bueno saber si la ecuacin que tratamos de resolver realmente tiene una solucin, antes de perder mucho tiempo tratando de resolverla. La segunda es que, cuando se satisfacen las hiptesis, existe una nica solucin del problema con valor inicial. Esta unicidad nos dice que si podemos determinar una solucin, entonces sta es la nica solucin para el problema con valor inicial. Grcamente, el teorema dice que slo hay una curva solucin que pasa por el punto (x0, y0). En otras palabras, para esta ecuacin de primer orden, no puede ocurrir que se crucen dos soluciones en algn punto del rectngulo. Observe que la existencia y unicidad de la solucin slo es vlida en alguna vecindad (x0 2d, x0 1d). Por desgracia, el teorema no nos indica el rango (2d) de esta vecindad (slo que es distinto de cero). El problema 18 abunda sobre este aspecto. El problema 19 proporciona un ejemplo de una ecuacin sin solucin. El problema 29 exhibe un problema con valores iniciales para el que la solucin no es nica. Por supuesto, en estos casos no se satisfacen las hiptesis del teorema 1. Al utilizar problemas con valores iniciales para modelar fenmenos fsicos, muchas personas presuponen que las conclusiones del teorema 1 son vlidas. De hecho, para que el problema con valores iniciales sea un modelo razonable, ciertamente esperamos que tenga una solucin, pues desde el punto de vista fsico algo ocurre realmente. Adems, la solucin debe ser nica en aquellos casos en que la repeticin del experimento bajo condiciones idn- ticas proporciona los mismos resultados. La demostracin del teorema 1 implica la conversin del problema con valores iniciales en una ecuacin integral y el uso del mtodo de Picard para generar una sucesin de aproximaciones sucesivas que convergen a la solucin. La conversin a una ecuacin integral y el mtodo de Picard se analizan en el proyecto B al nal de este captulo. Para el problema con valor inicial (11) implica el teorema 1 la existencia de una solucin nica? En este caso, f(x, y) 5 x2 2 xy3 y fyy 5 23xy2 . Ambas funciones son continuas en cualquier rectngulo que contenga al punto (1, 6), de modo que se cumplen las hiptesis del teorema 1. Como consecuencia de este teorema, el problema con valor inicial (11) tiene una nica solucin en un intervalo con centro en x 51 de la forma (1 2d, 1 1d), donde d es un nmero positivo. Para el problema con valor inicial (12) implica el teorema 1 la existencia de una solucin nica? EJEMPLO 8 SOLUCIN EJEMPLO 9 Al menos esto sucede cuando consideramos un modelo determinista, en contraste con un modelo probabilstico. Todas las referencias al captulo 11 corresponden al texto Fundamentals of Differential Equations and Boundary Value Problems, cuarta edicin. 40. 14 Captulo 1 Introduccin SOLUCIN 1. (a) Muestre que f(x) 5 2x3 es una solucin explcita de en el intervalo (2q, q). (b) Muestre que f(x) 5ex 2x es una solucin explcita de en el intervalo (2q, q). (c) Muestre que f(x) 5 x2 2 x21 es una solucin explcita de x2 d2 yydx2 5 2y en el intervalo (0, q). 2. (a) Muestre que y2 1 x 2 3 5 0 es una solucin implcita de dyydx 5 21y(2y) en el intervalo (2q, 3). (b) Muestre que xy3 2xy3 sen x 51 es una solucin implcita de en el intervalo (0, py2). En los problemas 3 a 8, determine si la funcin dada es una solucin de la ecuacin diferencial correspondiente. 3. 4. 5. 6. 7. 8. En los problemas 9 a 13, determine si la relacin dada es una solucin implcita de la ecuacin diferencial correspondiente. Suponga que la relacin realmente dene a y de manera implcita como funcin de x, y utilice la derivacin implcita. 9. 10. 11. 12. 13. 14. Muestre que f(x) 5 c1 sen x 1 c2 cos x es una solucin de d2 y/dx2 1 y 5 0 para cualquier eleccin de las constantes c1 y c2. As, c1 sen x 1 c2 cos x es una familia a dos parmetros de soluciones de la ecuacin diferencial. 15. Muestre que f(x) 5 Ce3x 1 1 es una solucin de dy/dx 23y 523 para cualquier eleccin de la constante C. As, Ce3x 1 1 es una familia a un parmetro de soluciones de la ecuacin diferencial. Graque EJERCICIOS 1.2 En este caso, f(x, y) 5 3y2y3 y fyy 5 2y21y3 . Por desgracia, fyy no es continua, ni si- quiera est cuando y 5 0. En consecuencia, no hay un rectngulo que contenga a (2, 0) donde f y fyy sean continuas. Como no se cumplen las hiptesis del teorema 1, no podemos usarlo para determinar si el problema con valor inicial tiene o no una solucin nica. Se puede ver que este problema con valor inicial no tiene una solucin nica. Los detalles aparecen en el problema 29. En el ejemplo 9, suponga que la condicin inicial se cambia por y(2) 51. Entonces, como f y fyy son continuas en cualquier rectngulo que contiene al punto (2, 1) pero no corta el eje x, digamos R 5 {(x, y): 0 , x , 10, 0 , y , 5}, el teorema 1 implica que este nuevo problema con valor inicial tiene una nica solucin en algn intervalo en torno de x 5 2. http://libreria-universitaria.blogspot.com 41. Seccin 1.2 Soluciones y problemas con valores iniciales 15 varias de las curvas solucin usando los mismos ejes de coordenadas. 16. Verique que x2 1cy2 51, donde c es una constante arbitraria distinta de cero, es una familia a un parmetro de soluciones implcitas de y graque varias de las curvas solucin usando los mismos ejes de coordenadas. 17. Verique que f(x) 5 2y(1 2 ce x ), donde c es una constante arbitraria, es una familia a un parmetro de soluciones de Graque las curvas solucin correspondientes a c 5 0, 61, 62 usando los mismos ejes de coordenadas. 18. Si c . 0 entonces demuestre que la funcin f(x) 5 (c2 2 x2 )21 es una solucin del problema con valor inicial dyydx 5 2xy2 , y(0) 5 1yc2 en el intervalo 2c ,x ,c. Observe que esta solucin no es acotada conforme x tiende a 6c. As, la solucin existe en el intervalo (2d, d) con d 5 c, pero no para una d mayor. Esto ilustra el hecho de que en el teorema 1, el intervalo de existencia puede ser demasiado pequeo (si c es pequeo) o bastante grande (si c es grande). Observe adems que la propia ecuacin dyydx 5 2xy2 o su valor inicial no nos dan indicios de que la solucin explota en x 5 6c. 19. Muestre que la ecuacin (dyydx)2 1 y2 1 3 5 0 no tiene solucin (con valores reales). 20. Determine los valores de m para los que la funcin f(x) 5 emx es una solucin de la ecuacin dada. (a) (b) 21. Determine los valores de m para los que la funcin f(x) 5 xm es una solucin de la ecuacin dada. (a) (b) 22. Verique que la funcin f(x) 5c1ex 1c2e22x es una solucin de para cualquier eleccin de las constantes c1 y c2. De- termine c1 y c2 de modo que se satisfagan las siguientes condiciones iniciales. (a) (b) En los problemas 23 a 28, determine si el teorema 1 implica que el problema con valor inicial dado tiene una solucin nica. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. (a) Para el problema con valor inicial (12) del ejemplo 9, muestre que f1(x) 0 y f2(x) 5 (x 2 2)3 son soluciones. Por lo tanto, el problema con valor inicial no tiene una solucin nica. (b) Para el problema con valor inicial y9 5 3y2y3 , y(0) 5 1027 , existe una nica solucin en una vecindad de x 5 0? 30. Teorema de la funcin implcita. Sea G(x, y) una funcin con primeras derivadas parciales continuas en el rectngulo R 5 {(x, y): a , x , b, c , y , d} que contiene al punto (x0, y0). Si G(x0, y0) 5 0 y la derivada parcial Gy(x0, y0) 0, entonces existe una funcin diferenciable y 5f(x), denida en cierto intervalo I 5(x0 2d, x0 1d) que satisface G(x, f(x)) 50 para toda x [ I. El teorema de la funcin implcita proporciona condiciones bajo las cuales la relacin G(x, y) 5 0 dene a y como funcin de x de manera implcita. Use el teorema de la funcin implcita para mostrar que la relacin x 1y 1exy 50, que se presenta en el 42. 16 Captulo 1 Introduccin ejemplo 4, dene de manera implcita a y como funcin de x cerca del punto (0, 21). 31. Considere la ecuacin del ejemplo 5, (13) (a) Implica el teorema 1 la existencia de una solucin nica a (13) que satisfaga y(x0) 5 0? (b) Muestre que cuando x0 0, la ecuacin (13) no podra tener una solucin en una vecindad de x 5 x0 que satisfaga y(x0) 5 0. (c) Muestre que hay dos soluciones distintas de (13) que satisfacen y(0) 5 0 (vase la gura 1.4 de la pgina 9). Es claro que el teorema de existencia y unicidad que se analiz en la seccin 1.2 tiene gran valor, pero se queda corto al no decirnos algo acerca de la naturaleza de la solucin de una ecuacin diferencial. Por razones prcticas, necesitamos saber el valor de la solucin en un cierto punto, o los intervalos donde la solucin sea creciente, o los puntos donde la solucin alcanza un valor mximo. Ciertamente, contar con una representacin explcita (una frmula) para la solucin sera de gran ayuda para responder a estas preguntas. Sin embargo, para muchas de las ecuaciones diferenciales que probablemente hallar el lector en aplicaciones del mundo real, ser imposible hallar tal frmula. Adems, aunque tuvisemos la suerte de obtener una solucin implcita, sera difcil usar esta relacin para determinar una forma explcita. As, de- bemos basarnos en otros mtodos para analizar o aproximar la solucin. Una tcnica til para visualizar (gracar) las soluciones de una ecuacin diferencial de primer orden consiste en bosquejar el campo de direcciones de la ecuacin. Para describir este mtodo, necesitamos una observacin general: una ecuacin de primer orden especica una pendiente en cada punto del plano xy donde f est denida. En otras palabras, proporciona la direccin que debe tener una solucin de la ecuacin en cada punto. Conside- remos, por ejemplo, la ecuacin (1) La grca de la solucin de (1) que pasa por el punto (22, 1) debe tener pendiente (22)2 21 53 en ese punto, y una solucin que pase por (21, 1) debe tener pendiente cero en ese punto. Un bosquejo con pequeos segmentos de recta trazados en diversos puntos del plano xy para mostrar la pendiente de la curva solucin en el punto correspondiente es un campo de direcciones de la ecuacin diferencial. Como el campo de direcciones indica el ujo de las soluciones, facilita el trazo de cualquier solucin particular (como la solucin de un problema con valor inicial). En la gura 1.6(a) bosquejamos el campo de direcciones de la ecuacin (1) y en la gura 1.6(b) trazamos varias curvas solucin con lneas grises. En la gura 1.7 aparecen otros patrones interesantes de campos de direcciones. En la gura 1.7(a) est el patrn de la ecuacin de decaimiento radiactivo dyydx 5 22y (recuerde que en la seccin 1.1 analizamos esta ecuacin bajo la forma dAydt 5 2kA). Los patrones del ujo muestran que todas las soluciones tienden en forma asinttica al semieje positivo de las x conforme x crece. En otras palabras, cualquier material que decaiga de acuerdo con esta ley se reduce a prcticamente nada. Esto es consistente con la frmula solucin que se dedujo con anterioridad, 1.3 CAMPOS DE DIRECCIONES 43. Seccin 1.3 Campos de direcciones 17 Del campo de direcciones de la gura 1.7(b) podemos anticipar que todas las soluciones de dy/dx 52y/x tambin tienden al eje x cuando x tiende a innito (ms o menos innito, de hecho). Pero es ms interesante la observacin de que ninguna solucin puede cruzar el eje y; y(x) explota cuando x tiende a cero por cualquier direccin. Excepcin: al analizar ms de cerca, parece que la funcin y(x) 0 podra pasar por su barrera. De hecho, en el problema 19 le pedimos al lector que muestre que las soluciones de esta ecuacin diferencial estn dadas por y 5C/x, con C una constante arbitraria. As, divergen en x 50, a menos que C 5 0. Figura 1.6 (a) Campo de direcciones de dyydx 5 x2 2 y (b) Soluciones de dyydx 5 x2 2 y Figura 1.7 (a) Campo de direcciones de dyydx 5 22y (b) Campo de direcciones de dyydx 5 2y/x 44. Interpretemos el teorema de existencia y unicidad de la seccin 1.2 para estos campos de direcciones. Para la gura 1.7(a), donde dy/dx 5 f (x, y) 5 22y, elegimos un punto de partida x0 y un valor inicial y(x0) 5 y0, como en la gura 1.8(a). Como el lado derecho f (x, y) 522y es continuamente derivable para toda x y y, podemos encerrar cualquier punto inicial (x0, y0) en un rectngulo de continuidad. Concluimos que la ecuacin tiene una nica curva solucin que pasa por (x0, y0), como se muestra en la gura. Para la ecuacin el lado derecho f (x, y) 5 2y/x no cumple las condiciones de continuidad cuando x 5 0 (es decir, para los puntos del eje y). Sin embargo, para cualquier punto de partida x0 distinto de cero y cualquier valor inicial y(x0) 5y0, podemos encerrar a (x0, y0) en un rectngulo de continuidad que excluya al eje y, como en la gura 1.8(b). As, podemos garantizar que una nica curva solucin pasa por tal punto. El campo de direcciones para la ecuacin es intrigante, pues el ejemplo 9 de la seccin 1.2 mostr que no se cumplen las hiptesis del teorema 1 en cualquier rectngulo que contenga al punto inicial x0 5 2, y0 5 0. De hecho, el problema 29 de esa seccin demostr que se viola la unicidad, exhibiendo dos soluciones, y(x) 0 y y(x) 5 (x 2 2)3 , que pasan por (2, 0). La gura 1.9(a) muestra este campo de direcciones, y la gura 1.9(b) demuestra la forma en que ambas curvas solucin pueden negociar con xito este patrn de ujo. 18 Captulo 1 Introduccin Figura 1.8 (a) Una solucin para dyydx 5 22y (b) Una solucin para dyydx 5 2yyx 45. Seccin 1.3 Campos de direcciones 19 EJEMPLO 1 SOLUCIN Es claro que un bosquejo del campo de direcciones de una ecuacin diferencial de primer orden puede ser til para visualizar las soluciones. Sin embargo, este bosquejo no basta para trazar, sin ambigedad, la curva solucin que pasa por un punto inicial dado (x0, y0). Por ejemplo, si tratamos de trazar una de las curvas solucin de la gura 1.6(b) de la pgina 17, podramos resbalar hacia una curva adyacente. Para las situaciones sin unicidad, como en la gura 1.9(b), al negociar el ujo a lo largo de la curva y 5 (x 2 2)3 y llegar al punto de inexin, uno no puede decidir si dar la vuelta o (literalmente) salirse por la tangente (y 5 0). La ecuacin logstica para la poblacin p (en miles) de cierta especie en el instante t est dada por (2) (Por supuesto, p es no negativa. La interpretacin de los trminos en la ecuacin logstica se analiza en la seccin 3.2). Del campo de direcciones bosquejado en la gura 1.10 de la p- gina 20, responder lo siguiente. (a) Si la poblacin inicial es 3000 (es decir, p(0) 5 3), qu se puede decir acerca de la poblacin lmite lmt1q p(t)? (b) Puede una poblacin de 1000 declinar hasta 500? (c) Puede una poblacin de 1000 crecer hasta 3000? (a) El campo de direcciones indica que todas las curvas solucin [distintas de p(t) 0] tender a la recta horizontal p 52 cuando t 1q; es decir, esta recta es una asn- tota para todas las soluciones positivas. As, lmt1q p(t) 5 2. Figura 1.9 (a) Campo de direcciones de dyydx 5 3y2/3 (b) Soluciones para dyydx 5 3y2/3 46. 20 Captulo 1 Introduccin Figura 1.10 Campo de direcciones para la ecuacin logstica (b) El campo de direcciones muestra adems que las poblaciones mayores de 2000 decrecern poco a poco, mientras que aquellas menores de 2000 aumentarn. En particular, una poblacin de 1000 nunca puede disminuir hasta 500. (c) Como se mencion en la parte (b), una poblacin de 1000 aumentar con el tiempo. Pero el campo de direcciones indica que nunca puede llegar a 2000 o a algn valor mayor; es decir, la curva solucin nunca puede cruzar la recta p 5 2. De hecho, la funcin constante p(t) 2 es una solucin de la ecuacin (2), y la parte de unicidad del teorema 1, pgina 12, prohbe las intersecciones entre las curvas solucin. Observe que el campo de direcciones en la gura 1.10 tiene la agradable caracterstica de que las pendientes no dependen de t; es decir, el patrn de pendientes es el mismo a lo largo de cada recta vertical. Lo mismo es cierto para las guras 1.8(a) y 1.9. sta es la propie- dad fundamental de las llamadas ecuaciones autnomas y95f (y), donde el lado derecho es una funcin slo de la variable dependiente. En el Proyecto D analizaremos estas ecuaciones con mayor detalle. El bosquejo a mano del campo de direcciones para una ecuacin diferencial es con frecuencia una tarea tediosa. Por fortuna, se dispone de varios programas para esta tarea. Sin embargo, si tal bosquejo es necesario, el mtodo de isclinas puede ser til para reducir el trabajo. El mtodo de isclinas Una isclina para la ecuacin diferencial es un conjunto de puntos en el plano xy donde todas las soluciones tienen la misma pendiente dy/dx; as, es una curva de nivel de la funcin f (x, y). Por ejemplo, si (3) las isclinas son simplemente las curvas (lneas rectas) x 1 y 5 c o y 5 2x 1 c. En este caso, c es una constante arbitraria. Pero c se puede interpretar como el valor numrico de la pendiente dyydx de cada curva solucin al cruzar la isclina. (Observe que c no es la pendiente de la propia isclina; esta pendiente es, claramente, 21). La gura 1.11(a) muestra las isclinas de la ecuacin (3). 47. Seccin 1.3 Campos de direcciones 21 Para implantar el mtodo de isclinas y bosquejar los campos de direcciones, trazamos pequeos segmentos con pendiente c a lo largo de la isclina f (x, y) 5 c para unos cuantos valores de c. Si borramos las curvas isclinas subyacentes, los segmentos constituyen una parte del campo de direcciones para la ecuacin diferencial. La gura 1.11(b) muestra este proceso para las isclinas de la gura 1.11(a), y la gura 1.11(c) despliega algunas curvas solucin. Observacin. Las propias isclinas no siempre son lneas rectas. Para la ecuacin (1) al principio de esta seccin (pgina 16), son parbolas x2 2 y 5 c. Cuando las curvas isclinas son complejas, este mtodo no es prctico. Figura 1.11 (a) Isclinas para y95x 1y (b) Campo de direcciones de y95x 1y (c) Soluciones de y95x 1y 48. 22 Captulo 1 Introduccin 1. El campo de direcciones de dyydx 5 4xyy aparece en la gura 1.12. (a) Verique las lneas rectas y 5 62x son curvas solucin, siempre que x 0. (b) Bosqueje la curva solucin con condicin inicial y(0) 5 2. (c) Bosqueje la curva solucin con condicin inicial y(2) 5 1. (d) Qu puede decir acerca del comportamiento de las soluciones anteriores cuando x 1q? Y cuando x 2q? dad en un medio viscoso est dado por la ecuacin A partir del campo de direcciones de la gura 1.14, bosqueje las soluciones con las condiciones iniciales y(0) 5 5, 8 y 15. Por qu el valor y 5 8 se conoce como la velocidad terminal? EJERCICIOS Figura 1.12 Campo de direcciones de dyydx 5 4xyy Figura 1.13 Campo de direcciones de dyydx 5 2x 1 y 2. El campo de direcciones de dyydx 5 2x 1 y aparece en la gura 1.13. (a) Bosqueje la curva solucin que pasa por (0, 22). A partir de este bosquejo, escriba la ecuacin para la solucin. (b) Bosqueje la curva solucin que pasa por (21, 3). (c) Qu puede decir acerca de la solucin en la parte (b) cuando x 1q? Y cuando x 2q? 3. Un modelo para la velocidad y en el instante t de cierto objeto que cae bajo la inuencia de la grave- Figura 1.14 Campo de direcciones de dy dt 5 1 2 y 8 dy dt 5 1 2 y 8 . 1.3 49. Seccin 1.3 Campos de direcciones 23 4. Si la fuerza viscosa del problema 3 no es lineal, un posible modelo sera dado mediante la ecuacin diferencial Trace de nuevo el campo de direcciones de la gura 1.14 para incorporar esta dependencia con respecto de y3 . Bosqueje las soluciones con condiciones iniciales y(0) 5 0, 1, 2, 3. Cul es la velocidad terminal en este caso? 5. La ecuacin logstica para la poblacin de cierta especie (en miles) est dada por (a) Bosqueje el campo de direcciones usando un paquete de cmputo o el mtodo de isclinas. (b) Si la poblacin inicial es 2000 [es decir, p(0) 5 2], qu puede decir acerca de la poblacin l- mite lmt1q p(t)? (c) Si p(0) 5 0.5, cul es el valor de lmt1qp(t)? (d) Podra una poblacin de 3000 disminuir hasta 500? 6. Considere la ecuacin diferencial (a) Una curva solucin pasa por el punto (1, py2). Cul es su pendiente en ese punto? (b) Justique que cada curva solucin es creciente para x . 1. (c) Muestre que la segunda derivada de cada solucin satisface . (d) Una curva solucin pasa por (0, 0). Demuestre que la curva tiene un mnimo relativo en (0, 0). 7. Considere la ecuacin diferencial para la poblacin p (en miles) de cierta especie en el instante t. (a) Bosqueje el campo de direcciones usando un paquete de cmputo o el mtodo de isclinas. (b) Si la poblacin inicial es 3000 [es decir, p(0) 5 3], qu puede decir acerca de la poblacin l- mite lmt1q p(t)? (c) Si p(0) 5 1.5, cul es el valor de lmt1q p(t)? (d) Si p(0) 5 0.5, cul es el valor de lmt1q p(t)? (e) Puede una poblacin de 900 crecer hasta 1100? 8. El movimiento de un conjunto de partculas que se mueve a lo largo del eje x est determinado por la ecuacin diferencial donde x(t) denota la posicin de la partcula en el instante t. (a) Si una partcula reside en x 5 1 cuando t 5 2, cul es su velocidad en ese instante? (b) Muestre que la aceleracin de una partcula est dada por (c) Si una partcula est en x 5 2 cuando t 5 2.5, puede llegar a la posicin x 5 1 en algn instante posterior? [Sugerencia: t3 2 x3 5 (t 2 x)(t2 1 xt 1 x2 )]. 9. Sea f(x) la solucin del problema con valor inicial (a) Muestre que f0(x) 51 f9(x) 51 2x 1f(x). (b) Justique que la grca de f es decreciente para x cercano a cero y que cuando x crece desde cero, f(x) decrece hasta que cruza la recta y 5x, donde su derivada es cero. (c) Sea x* la abscisa del punto donde la curva solucin y 5 f(x) cruza la recta y 5 x. Considere el signo de f0(x*) y justique que f tiene un m- nimo relativo en x*. (d) Qu puede decir acerca de la grca de y 5 f(x) para x . x*? (e) Verique que y 5x 21 es una solucin de dy/dx 5 x 2y y explique por qu la grca de f(x) siempre est por arriba de la recta y 5 x 2 1. (f) Bosqueje el campo de direcciones para dy/dx 5 x 2 y usando el mtodo de isclinas o un paquete de cmputo. (g) Bosqueje la solucin y 5 f(x) usando el campo de direcciones de la parte (f). 10. Use un paquete de cmputo para bosquejar el campo de direcciones de las siguientes ecuaciones diferenciales. Bosqueje algunas de las curvas solucin. ! 50. El mtodo de Euler (o mtodo de la recta tangente) es un procedimiento que permite construir aproximaciones a las soluciones de un problema con valor inicial, para una ecuacin diferencial ordinaria de primer orden (1) Se podra describir como una implantacin mecnica o computarizada del procedimiento informal para bosquejar a mano la curva solucin a partir de una imagen del campo de direcciones. Como tal, permanece sujeto al error cuando se pasa una curva solucin a otra. Sin embargo, bajo condiciones bastante generales, las iteraciones del procedimiento convergen a soluciones reales. El mtodo se ilustra en la gura 1.15 de la pgina 25. Partiendo del punto inicial (x0, y0), seguimos la lnea recta con pendiente f (x0, y0), la recta tangente, por una cierta distancia hasta el punto (x1, y1). Luego cambiamos la pendiente por el valor f (x1, y1) y seguimos esta recta hasta (x2, y2). De esta forma, construimos aproximaciones poligonales (lneas quebradas) de la solucin. Al tomar espacios cada vez menores entre los puntos (con lo cual utilizamos ms puntos), es de esperar que lleguemos a la solucin real. Para ser ms precisos, supongamos que el problema con valor inicial (1) tiene una nica solucin f(x) en cierto intervalo con centro en x0. Sea h un nmero positivo jo (llamado el tamao del paso) y considerando los puntos equidistantes La construccin de los valores yn que aproximan los valores de la solucin f(xn) procede de la manera siguiente. En el punto (x0, y0), la pendiente de la solucin de (1) est dada por dyydx 5 f(x0, y0). Por lo tanto, la recta tangente a la curva solucin en el punto inicial (x0, y0) es 1.4 EL MTODO DE APROXIMACIN DE EULER 24 Captulo 1 Introduccin (a) dyydx 5 sen x . (b) dyydx 5 sen y . (c) dyydx 5 sen x sen y . (d) dyydx 5 x2 1 2y2 . (e) dyydx 5 x2 2 2y2 . En los problemas 11 a 16, trace las isclinas con sus mar- cadores de direccin y bosqueje varias curvas solucin, incluyendo la curva que satisface las condiciones iniciales dadas. 11. dyydx 5 2x , y(0) 5 21 . 12. dyydx 5 y , y(0) 5 1 . 13. dyydx 5 2xyy , y(0) 5 4 . 14. dyydx 5 xyy , y(0) 5 21 . 15. dyydx 5 2x2 2 y , y(0) 5 0 . 16. dyydx 5 x 1 2y , y(0) 5 1 . 17. A partir de un bosquejo del campo de direcciones, qu se puede decir acerca del comportamiento cuando x 1q de una solucin a lo siguiente? 18. A partir de un bosquejo del campo de direcciones, qu se puede decir acerca del comportamiento cuando x 1q de una solucin a lo siguiente? 19. Escriba la ecuacin diferencial dyydx 5 2yyx en la forma e integre ambos lados para obtener la solucin y 5 Cyx para una constante arbitraria C. El smbolo :5 signica se dene como. http://libreria-universitaria.blogspot.com 51. Seccin 1.4 El mtodo de aproximacin de Euler 25 Usamos esta recta tangente para aproximar f(x) y vemos que para el punto x1 5 x0 1 h Ahora partimos del punto (x1, y1) para construir la recta con pendiente dada por el campo de direcciones en el punto (x1, y1); es decir, con pendiente igual a f (x1, y1). Si seguimos esta recta [a saber, y 5y1 1(x 2x1) f (x1, y1)] al pasar de x1 a x2 5x1 1h, obtenemos la aproximacin Al repetir el proceso (como se ilustra en la gura 1.15), obtenemos etc. Este sencillo procedimiento es el mtodo de Euler y se puede resumir mediante la frmula recursiva (2) (3) Utilice el mtodo de Euler con tamao del paso h 5 0.1 para aproximar la solucin del problema con valor inicial (4) en los puntos x 5 1.1, 1.2, 1.3, 1.4 y 1.5. En este caso, x0 51, y0 54, h 50.1 y f(x, y) 5 As, la frmula recursiva (3) para yn es Como y1 es una aproximacin de f(x1), no se puede garantizar que esta recta sea tangente a la curva solucin y 5 f(x). Figura 1.15 Aproximacin mediante poligonales dada por el mtodo de Euler EJEMPLO 1 SOLUCIN 52. 26 Captulo 1 Introduccin Al sustituir n 5 0, obtenemos Al hacer n 5 1 se tiene Si continuamos de esta forma, obtenemos los resultados de la tabla 1.1. Como comparacin, hemos incluido el valor exacto (hasta cinco cifras decimales) de la solucin f(x) 5 (x2 1 7)2 y16 de (4), la que puede obtenerse mediante separacin de variables (vase la seccin 2.2). Como era de esperar, la aproximacin se deteriora cuando x se aleja de 1. Dado el problema con valor inicial (1) y un punto especco x, cmo utilizar el mtodo de Euler para aproximar f(x)? Partiendo de x0, podemos dar un paso gigante que llegue hasta x, o podemos considerar varios pasos pequeos para llegar hasta l. Si quisiramos dar N pasos, entonces hacemos h 5 (x 2 x0)yN, de modo que el tamao del paso h y el nmero de pasos N estn relacionados de una manera especca. Por ejemplo, si x0 5 1.5 y queremos aproximar f(2) usando 10 pasos, entonces h 5(2 21.5)y10 50.05. Es de esperar que mientras ms pasos consideremos, mejor ser la aproximacin. (Pero recuerde que ms pasos signican ms clculos y con ello un mayor error por redondeo). Utilice el mtodo de Euler para aproximar la solucin del problema con valor inicial (5) en x 5 1, considerando 1, 2, 4, 8 y 16 pasos. Observacin. Note que la solucin de (5) es simplemente f(x) 5ex , de modo que el m- todo de Euler generar aproximaciones algebraicas del nmero trascendente e 52.71828 . TABLA 1.1 CLCULOS PARA y = xy , y(1) = 4 Mtodo de n xn Euler Valor exacto 0 1 4 4 1 1.1 4.2 4.21276 2 1.2 4.42543 4.45210 3 1.3 4.67787 4.71976 4 1.4 4.95904 5.01760 5 1.5 5.27081 5.34766 EJEMPLO 2 53. Seccin 1.4 El mtodo de aproximacin de Euler 27 SOLUCIN En este caso, f(x, y) 5 y, x0 5 0 y y0 5 1. La frmula recursiva del mtodo de Euler es Para obtener aproximaciones en x 5 1 con N pasos, consideramos el tamao del paso h 5 1yN. Para N 5 1, tenemos Para N 5 2, f(x2) 5 f(1) y2. En este caso, obtenemos Para N 5 4, f(x4) 5 f(1) y4, donde . (En los clculos anteriores redondeamos a cinco cifras decimales). De manera anloga, al considerar N 5 8 y 16 obtenemos estimaciones cada vez mejores de f(1). Estas aproximaciones aparecen en la tabla 1.2. Como comparacin, la gura 1.16 de la pgina 28 muestra las aproximaciones poligonales de ex usando el mtodo de Euler con h 5 1y4 (N 5 4) y h 5 1y8 (N 5 8). Observe que el menor tamao del paso proporciona la mejor aproximacin. Qu tan bueno (o malo) es el mtodo de Euler? Al juzgar un esquema numrico, debe- mos partir de dos preguntas fundamentales. Converge tal mtodo? Y, en tal caso, cul es la razn de convergencia? Estos importantes aspectos se analizan en la seccin 3.6, donde se presentan algunas mejoras al mtodo de Euler (vanse tambin los problemas 12 y 13). TABLA 1.2 MTODO DE EULER PARA y = y, y(0) = 1 Aproximacin N h de f(1) 5 e 1 1.0 2.0 2 0.5 2.25 4 0.25 2.44141 8 0.125 2.56578 16 0.0625 2.63793 54. 28 Captulo 1 Introduccin Figura 1.16 Aproximaciones de ex usando el mtodo de Euler con h 5 1y4 y 1y8 En muchos de los problemas siguientes ser til una calculadora o computadora. Tambin ser conveniente que el lector escriba un programa para resolver problemas con valores iniciales mediante el mtodo de Euler. (Re- cuerde que todos los clculos trigonomtricos se hacen en radianes). En los problemas 1 a 4, utilice el mtodo de Euler para aproximar la solucin del problema con valor inicial dado, en los puntos x 50.1, 0.2, 0.3, 0.4 y 0.5 usando un tamao del paso 0.1 (h 5 0.1). 1. dyydx 5 xyy , y(0) 5 21 . 2. dyydx 5 2xyy , y(0) 5 4 . 3. dyydx 5 y(2 2 y) , y(0) 5 3 . 4. dyydx 5 x 1 y , y(0) 5 1 . 5. Utilice el mtodo de Euler con tamao del paso h 5 0.2 para aproximar la solucin del problema con valor inicial en los puntos x 5 1.2, 1.4, 1.6 y 1.8. 6. Utilice el mtodo de Euler con tamao del paso h 5 0.1 para aproximar la solucin del problema con valor inicial y9 5 x 2 y2 , y(1) 5 0 en los puntos x 5 1.1, 1.2, 1.3, 1.4 y 1.5. 7. Utilice el mtodo de Euler para aproximar la solucin del problema con valor inicial en t 5 1, usando 1, 2, 4 y 8 pasos. 8. Utilice el mtodo de Euler para aproximar la solucin del problema con valor inicial y9 5 1 2sen y , y(0) 5 0 en x 5 p, usando 1, 2, 4 y 8 pasos. 9. Utilice el mtodo de Euler con h 5 0.1 para aproximar la solucin del problema con valor inicial en el intervalo 1 # x # 2. Compare estas aproximaciones con la solucin real y 5 21yx (verique!) EJERCICIOS 1.4 ! 55. Seccin 1.4 El mtodo de aproximacin de Euler 29 gracando la aproximacin poligonal y la solucin real en el mismo sistema de coordenadas. 10. Utilice el mtodo de Euler con h 5 0.1 para aproximar la solucin del problema con valor inicial en el intervalo 0 # x # 1. Compare estas aproximaciones con la solucin real y 5 e2x 1 x 2 1 (verique!) gracando la aproximacin poligonal y la solucin real en el mismo sistema de coordenadas. 11. Utilice el mtodo de Euler con 20 pasos para aproximar la solucin del problema con valor inicial en t 5 1. Compare la aproximacin con la solucin real x 5 tan t (verique!) evaluada en t 5 1. 12. En el ejemplo 2 se aproxima el nmero trascendente e usando el mtodo de Euler para resolver el problema con valor inicial Muestre que la aproximacin de Euler yn obtenemos mediante el tamao del paso 1yn est dada por la frmula Recuerde de sus cursos de clculo que por lo que el mtodo de Euler converge (terica- mente) al valor correcto. 13. Demuestre que la razn de convergencia del m- todo de Euler en el problema 12 es comparable con 1yn, mostrando que [Sugerencia: Use la regla de lHpital y el desarrollo de Maclaurin para ln(1 1 t)]. 14. Use el mtodo de Euler con h 50.5, 0.1, 0.05 y 0.01 para aproximar la solucin del problema con valor inicial en el intervalo 0 # x # 2. (La explicacin del err- tico resultado aparece en el problema 18 de los ejercicios 1.2). Intercambio de calor. En esencia, hay dos meca- nismos mediante los que un cuerpo fsico intercam- bia calor con su ambiente. La transferencia de calor por contacto a travs de la supercie del cuerpo es controlada por la diferencia entre las temperaturas del cuerpo y del ambiente; esto se conoce como la ley de enfriamiento de Newton. Sin embargo, la transferencia de calor tambin se debe a la radiacin trmica, que de acuerdo con la ley de radiacin de Stefan es controlada por la diferencia entre las cuartas potencias de estas temperaturas. En la mayor parte de los casos, uno de estos modos domina al otro. Los problemas 15 y 16 invitan al lector a si- mular cada modo de manera numrica para un conjunto dado de condiciones iniciales. 15. Ley de enfriamiento de Newton. La ley de enfriamiento de Newton establece que la razn de cambio en la temperatura T(t) de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del medio M(t) y la temperatura del cuerpo. Es decir, donde K es una constante. Sea K 5 1 (minutos)21 y consideremos constante a la temperatura del medio, M(t) 70F. Si el cuerpo tiene una temperatura inicial de 100F, utilice el mtodo de Euler con h 50.1 para aproximar la temperatura del cuerpo despus de (a) 1 minuto. (b) 2 minutos. 16. Ley de radiacin de Stefan. La ley de radiacin de Stefan establece que la razn de cambio en la temperatura de un cuerpo a T(t) grados en un medio a M(t) grados es proporcional a M 4 2 T 4 ; es decir, donde K es una constante. Sea K 5 (40)24 y supongamos que la temperatura del medio es constante, M(t) 70F. Si T(0) 5 100F, utilice el mtodo de Euler con h 5 0.1 para aproximar T(1) y T(2). 56. 30 Captulo 1 Introduccin En este captulo presentamos cierta terminologa bsica de las ecuaciones diferenciales. El orden de una ecuacin diferencial es el mximo orden de derivacin presente en ella. El tema de este texto son las ecuaciones diferenciales ordinarias, que implican derivadas con respecto de una sola variable independiente. Tales ecuaciones se clasican como lineales o no lineales. Una solucin explcita de una ecuacin diferencial es una funcin de la variable independiente que satisface la ecuacin en algn intervalo. Una solucin implcita es una relacin entre las variables dependiente e independiente que dene de manera implcita una funcin que es una solucin explcita. Por lo general, una ecuacin diferencial tiene una innidad de soluciones. En contraste, existen teoremas que nos garantizan la existencia de una solucin nica para ciertos problemas con valores iniciales en donde uno debe hallar una solucin de la ecuacin diferencial que adems satisfaga ciertas condiciones iniciales dadas. Para una ecuacin de orden n, estas condiciones se reeren a los valores de la solucin y de sus primeras n 2 1 derivadas en algn punto. Aunque uno no pueda determinar soluciones explcitas de una ecuacin diferencial, se pueden usar varias tcnicas como ayuda para analizar las soluciones. Uno de estos mtodos para ecuaciones de primer orden ve a la ecuacin diferencial dyydx 5 f (x, y) como algo que especica direcciones (pendientes) en los puntos del plano. El conglomerado de tales pendientes es el campo de direcciones para la ecuacin. El hecho de conocer el ujo de soluciones es til para bosquejar la solucin de un problema con valor inicial. Adems, al llevar a cabo este mtodo en forma algebraica obtenemos aproximaciones numricas de la solucin deseada. Este proceso numrico se llama mtodo de Euler. RESUMEN DEL CAPTULO EJERCICIOS DE ESCRITURA TCNICA 1. Elija cuatro campos (por ejemplo, astronoma, geologa, biologa y economa) y para cada campo analice una situacin donde se apliquen ecuaciones diferenciales para resolver un problema. Elija ejemplos diferentes a los de la seccin 1.1. 2. Compare las distintas clases de soluciones que se analizaron en este captulo (explcitas, implcitas, grcas y numricas). Cules son las ventajas y las desventajas de cada uno? 57. Proyectos de grupo para el captulo 1 31 PROYECTOS DE GRUPO PARA EL CAPTULO 1 Mtodo de series de Taylor El mtodo de Euler se basa en que la recta tangente proporciona una buena aproximacin local de la funcin. Pero por qu restringi

Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera, 4e. Nagle

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