5.5 Diseños en Cuadrados Grecolatinos

5.5 DISEÑO EN CUADRADOS

GRECOLATINOSUnidad V

INTRODUCCIÓN

• En los arreglos por bloques, se pueden analizar 4 factores, introduciendo un cuarto factor o bloque en un diseño cuadrado latino, siguiendo las mismas reglas utilizadas para introducir un tercer factor en un diseño cuadrado de dos factores.• A este cuarto factor o bloque se le denomina componente

griego, ya que se utilizan letras griegas para identificar sus niveles.• A la adición de un diseño cuadrado latino y un cuarto

factor, se le llama Diseño Cuadrado Grecolatino.

INTRODUCCIÓN

• Un cuadrado grecolatino es una extensión del cuadrado latino en el que se incluye una tercera variable de control o variable de bloque.• Todos los factores deben tener el mismo número de

niveles K y el número de observaciones necesarias sigue siendo K2.• Este diseño es, por tanto, una fracción del diseño completo

en bloques aleatorizados con un factor principal y 3 factores secundarios que requeriría K4 observaciones.

DEFINICIÓN

Diseño con cuatro factores

a k niveles.

Se asume que no hay

interacciones.Requiere k=2 observaciones

El diseño factorial completo

requiere k=4

Cada nivel de un factor

aparece una vez con cada nivel

de los otros factores

Superposición de dos

cuadrados latinos

ORIGEN

Nacen de una investigación llevada a cabo por el matemático y físico Leonhard Paul Euler, quien fuera muy distinguido durante el siglo XVIII por sus estudios realizados.Entre sus muchos estudios se interesó en los cuadrados mágicos y realizó un trabajo algebraico más que numérico con estos para ello introdujo las letras latinas en vez de números, a estos les llamó «Cuadrados latinos»

ORIGEN

• Un cuadrado grecolatino es el resultado de la superposición de dos cuadrados latinos, el cuadrado resultante no tiene ninguna de las letras o signo repetido en fila o columna, ello es posible si ambos cuadrados latinos son ortogonales entre sí.

Cuadrado grecolatino

• No para todos los ordenes se puede realizar un cuadro greco-latino, con el paso de los años se ha llegado a la conclusión de no ser posible para los ordenes de 2 y 6, para cualquier otro orden si es posible

Cuadro 6x6 al que no puede ser grecolatino• “El problema de los

treinta y seis oficiales”. La pregunta es si es posible colocar a treinta y seis oficiales de seis regimientos diferentes y de cada uno de los seis grados (en cada regimiento)

Planteamiento del modelo

• Si se aumenta el número de factores-bloque, la extensión del cuadrado latino es el grecolatino, que permite con p2 observaciones estudiar cuatro factores de p niveles sin interacciones (un factor-tratamiento y tres factores bloque), si se utilizase el diseño completo es necesario utilizar p4 observaciones.


• Consideremos un cuadrado latino p x p al que se le sobrepone un segundo cuadrado latino cuyos tratamientos se designan por letras griegas. Se dice que los dos cuadrados son ortogonales si al sobreponerse poseen la propiedad de que cada letra griega aparece solamente una vez con cada letra latina.

PLANTEAMIENTO DEL MODELO

Cuadro

Columna

1 2 3 41 Aα Bβ Cγ Dδ2 Bδ Aγ Dβ Cα3 Cβ Dα Aδ Bγ4 Dγ Cδ Bα Aβ

α Alfaβ Betaγ Gammaδ Delta


• En el diseño en cuadrado grecolatino se superponen dos cuadrados latinos, resultando el siguiente modelo matemático:

𝒚 𝒊𝒋 (𝒌𝒍 )=𝝁+𝜶𝒊+𝜷 𝒋+𝜸𝒌+𝜹𝒍+𝜺𝒊𝒋 (𝒌𝒍 )

La notación indica que los niveles determinan los niveles para un cuadrado grecolatino especificado. Es decir, los subíndices l toman valores que dependen de la celdilla .


• µ es un efecto constante, común a todas las unidades.• es el efecto producido por el i-ésimo nivel del factor fila. Dichos efectos están

sujetos a la restricción • es el efecto producido por el j-ésimo nivel del factor columna. Dichos efectos

están sujetos a la restricción • es el efecto producido por el h-ésimo nivel del factor letra latina. Dichos

efectos están sujetos a la restricción • es el efecto producido por el p-ésimo nivel del factor letra griega. Dichos

efectos están sujetos a la restricción • son variables aleatorias independientes con distribución N (0, σ).

𝒚 𝒊𝒋 (𝒌𝒍 )=𝝁+𝜶𝒊+𝜷 𝒋+𝜸𝒌+𝜹𝒍+𝜺𝒊𝒋 (𝒌𝒍 )

Descomposición de la variabilidad

• Simbólicamente se puede escribir:

SCT = SCF + SCC + SCL + SCG + SCR

• SCT suma total de cuadrados.• SCF suma de cuadrados debida al efecto fila.• SCC suma de cuadrados debida al efecto columna.• SCL suma de cuadrados debida a las letras latinas.• SCG suma de cuadrados debida a las letras griegas.• SCR suma de cuadrados del error.

Análisis de varianza

• El análisis de variancia es muy similar al de un cuadrado latino. El factor representado por las letras griegas es ortogonal a los renglones, las columnas y los tratamientos de las letras latinas porque cada letra griega ocurre una sola vez en cada renglón, en cada columna y para cada letra latina.

Análisis de varianza

• Por lo tanto, la suma de cuadrados debida al factor letra griega puede calcularse usando los totales de la letra griega. El error experimental se reduce en esta cantidad. • Las hipótesis nulas de igualdad entre los renglones, entre las

columnas, entre los tratamientos de la letra latina y entre los tratamientos de la letra griega pueden probarse dividiendo la media de cuadrados correspondiente entre la media de cuadrados del error. • La región de rechazo es el extremo superior de la distribución

F p – 1, (p – 3) (p – 1).

Análisis de varianzaFuente de Variación

Suma de Cuadrados Grados de Libertad

Tratamiento de Letra Latina

p – 1

Tratamiento de Letra Griega

p – 1

Renglones p – 1

Columnas p – 1

Error (p – 3)(p – 1) Total p2 – 1

Ejemplo 1

• En la obtención de un determinado producto químico se está interesado en comparar 4 procedimientos. • Se supone que en dicha obtención también puede influir la

temperatura, presión y tipo de catalizador empleado, decidiéndose realizar un experimento en cuadrado greco-latino.• Para ello, se consideran 4 niveles de cada uno de estos

factores. La tabla adjunta muestra el cuadrado greco-latino que resulta elegido y las cantidades de producto obtenidas.

Ejemplo 1

En dicha tabla:• Las filas representan el factor principal, procedimientos.• Las columnas representan el factor temperatura.• Las letras latinas(A, B, C, D) representan el factor presión.• Las letras griegas(α, β, γ, δ) representan el factor tipo de

catalizador.

Ejemplo 1

Procedimientos

Temperaturas

T1 T2 T3 T4P1 Cβ 5 Bα 12 Aδ 13 Dy 13P2 By 6 Cδ 10 Dα 15 Aβ 11P3 Dδ 7 Ay 5 Bβ 5 Cα 7P4 Aα 11 Dβ 10 Cy 8 Bδ 9

N=16n=4

EJEMPLO 1

Procedimientos

Temperaturas

T1 T2 T3 T4

P1 Cβ 5 Bα 12 Aδ 13 Dy 13 43 1849

P2 By 6 Cδ 10 Dα 15 Aβ 11 42 1764

P3 Dδ 7 Ay 5 Bβ 5 Cα 7 24 576 P4 Aα 11 Dβ 10 Cy 8 Bδ 9 38 1444

29 37 41 40

841 1369 1681 1600 5491

Ejemplo 1

Procedimientos

Temperaturas

T1 T2 T3 T4

P1 Cβ 5 Bα 12 Aδ 13 Dy 13

P2 By 6 Cδ 10 Dα 15 Aβ 11

P3 Dδ 7 Ay 5 Bβ 5 Cα 7

P4 Aα 11 Dβ 10 Cy 8 Bδ 9

PARA LATINOA= 11+5+13+11 40 1600B= 6+12+5+9 32 1024C= 5+10+8+7 30 900D= 7+10+15+13 45 2025SUMAS 147 5549

∑ ∑2

Ejemplo 1

Procedimientos

Temperaturas

T1 T2 T3 T4

P1 Cβ 5 Bα 12 Aδ 13 Dy 13

P2 By 6 Cδ 10 Dα 15 Aβ 11

P3 Dδ 7 Ay 5 Bβ 5 Cα 7

P4 Aα 11 Dβ 10 Cy 8 Bδ 9

PARA GRECOLATINO

α= 11+12+15+7 45 2025

β= 5+10+5+11 31 961

γ= 6+5+8+13 32 1024

δ= 7+10+13+9 39 1521

SUMAS 147 5531

∑ ∑2

Ejemplo 1

Datos al cuadrado1 2 3 4 ∑

Cβ 5 25 Bα 12 144 Aδ 13 169 Dy 13 169 507By 6 36 Cδ 10 100 Dα 15 225 Aβ 11 121 482Dδ 7 49 Ay 5 25 Bβ 5 25 Cα 7 49 148

Aα 11 121 Dβ 10 100 Cy 8 64 Bδ 9 81 366

231 369 483 420 1503∑

Ejemplo 1

𝑆𝑆 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠=∑𝑖=1

𝑛

𝑦 𝑖2

𝑛 − 𝑦2𝑁=5633

4−

(147 )2

16=57.6875

43 184942 176424 57638 1444

Ejemplo 1

Ejemplo 1

PARA LATINOA= 11+5+13+11 40 1600B= 6+12+5+9 32 1024C= 5+10+8+7 30 900D= 7+10+15+13 45 2025SUMAS 147 5549

∑ ∑2

Ejemplo 1

PARA GRECOLATINO

α= 11+12+15+7 45 2025

β= 5+10+5+11 31 961

γ= 6+5+8+13 32 1024

δ= 7+10+13+9 39 1521

SUMAS 147 5531

∑ ∑2

Ejemplo 1

• ERROR =• ERROR

Ejemplo 2Coeficiente de

variaciónGrados de

libertad (Y)Suma de

cuadradosCuadrados

mediosF Calculada

Filas(procedimiento

)

n-1 4-1=3 57.6875 CMF=57.6875/3

=19.2291

Columnas (temperatura)

n-14-1=3

22.1875 CMC=22.1875/3

=7.3958

Tratamiento latino

n-14-1=3

36.6875

CML=36.6875/3

=12.2291

Tratamiento greco

n-14-1=3

32.1875

CMG=32.1875/3

=10.7291

ERROR(n-3)(n-1) (4-3)(4-1) (1)(3)=3

3.6875 CME=3.6875/3

=1.2291

TOTALn2-142-1

16-1=15152.4375

Ejemplo 1

F de tablas

v1 ; v2 con

Hipótesis a probar:

Ejemplo 1

• Para procedimientos (filas)

• Para temperatura (columnas)

15.644 > 9.28 6.0172 < 9.28

Ejemplo 1

• Para tratamiento latino (presión)

• Para tratamiento greco (catalizador)

9.9496 > 9.28 8.7292 < 9.28

Ejemplo 1

CONCLUSIÓN:

Se concluye que se aceptan las hipótesis de igualdad de efectos de columnas y de letra griega y se rechazan las hipótesis de igualdad de efecto de filas y de letra latina. Es decir, son significativos los efectos de los procedimientos y presión, pero no lo son los efectos de la temperatura y catalizador.

Ejemplo 2

• Un experimentador opina que las líneas de ensamblaje son fuentes de variación al momento de reproducir la fórmula para la elaboración de dinamita. Para comprobarlo diseña un arreglo de cuadrado Grecolatino.

• Supóngase que en el experimento para comparar las fórmulas para la dinamita, tiene importancia el factor adicional línea de montaje. Considérese que existen cinco líneas de montaje representadas por las letras griegas α, β, γ, δ y ε.

Ejemplo 2

• El diseño de cuadrado grecolatino 5 x 5 que resulta se muestra en la Tabla.

Lotes Materia Prima

Operadores

1 2 3 4 5

1 Aα 24 By 20 Cε 19 Dβ 24 Eδ 242 Bβ 17 Cδ 24 Dα 30 Ey 27 Aε 363 Cy 18 Dε 38 Eβ 26 Aδ 27 Bα 214 Dδ 26 Eα 31 Ay 26 Bε 23 Cβ 225 Eε 22 Aβ 30 Bδ 20 Cα 29 Dy 31

N=25 n=5

Ejemplo 2

Lotes Materia Prima

Operadores

1 2 3 4 5

1 Aα 24 By 20 Cε 19 Dβ 24 Eδ 24 111 12 321

2 Bβ 17 Cδ 24 Dα 30 Ey 27 Aε 36 134 17 956

3 Cy 18 Dε 38 Eβ 26 Aδ 27 Bα 21 130 16 900 4 Dδ 26 Eα 31 Ay 26 Bε 23 Cβ 22 128 16 384

5 Eε 22 Aβ 30 Bδ 20 Cα 29 Dy 31 132 17 424

107 143 121 130 134 80985

11449 20449 14641 16900 1795

681 395

Ejemplo 2

PARA LATINOA= 24+30+26+27+3

6143 20 449

B= 17+20+20+23+21

101 10 201

C= 18+24+19+29+22

112 122 544

D= 26+38+30+24+31

149 22 201

E= 22+31+26+27+24

130 16 900

SUMAS 635 82295

Lotes Materi

a Prima

Operadores

1 2 3 4 5


∑ ∑2

Ejemplo 2

PARA GRECOLATINO

α= 24+31+30+29+21

135 18225

β= 17+30+26+24+22

119 14161

γ= 18+20+26+27+31

122 14884

δ= 26+24+20+27+24

121 14641

ε= 22+38+19+23+36

138 19044

SUMAS 635 80955

Lotes Materi

a Prima

Operadores

1 2 3 4 5


∑ ∑2

Ejemplo 2

1 2 3 4 5 ∑Aα 24 576 By 20 400 Cε 19 361 Dβ 24 576 Eδ 24 576 2,489Bβ 17 289 Cδ 24 556 Dα 30 900 Ey 27 729 Aε 36 1296 3,790

Cy 18 324 Dε 38 1444 Eβ 26 676 Aδ 27 729 Bα 21 441 3,614

Dδ 26 676 Eα 31 961 Ay 26 676 Bε 23 529 Cβ 22 484 3,326Eε 22 484 Aβ 30 900 Bδ 20 400 Cα 29 841 Dy 31 961 3,856

2,349 4,281 3,013 3,404 3,758 16,805

Datos al cuadrado

∑

Ejemplo 2

𝑆𝑆 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠=∑𝑖=1

𝑛

𝑦 𝑖2

𝑛 − 𝑦2𝑁=80985

5−

(635 )2

25=68

Ejemplo 2

Ejemplo 2

PARA LATINOA= 24+30+26+27+3

6143 20 449

B= 17+20+20+23+21

101 10 201

C= 18+24+19+29+22

112 122 544

D= 26+38+30+24+31

149 22 201

E= 22+31+26+27+24

130 16 900

SUMAS 635 82295

∑ ∑2

Ejemplo 2

PARA GRECOLATINO

α= 24+31+30+29+21 135 18225

β= 17+30+26+24+22 119 14161

γ= 18+20+26+27+31 122 14884

δ= 26+24+20+27+24 121 14641

ε= 22+38+19+23+36 138 19044

SUMAS 635 80955

∑ ∑2

Ejemplo 2

Coeficiente de variación

Grados de libertad (Y)

Suma de cuadrados

Cuadrados medios

F Calculada

Filas (lotes)n-1 5-1=4

68 CMF=68/4=17

Columnas (operador)

n-15-1=4

150 CMC=150/4=37.5

Tratamiento latino

n-15-1=4

330

CML=330/4=82.5

Tratamiento greco

n-15-1=4

62

CMG=62/4=15.5

ERROR(n-3)(n-1) (5-3)(5-1) (2)(4)=8

66 CME=66/8=8.25

TOTALn2-152-1

25-1=24676 160.75

Ejemplo 2

F de tablas

v1 ; v2 con

Hipótesis a probar:

Ejemplo 2

• Para lote (filas)

• Para operador (columnas)

2.06 < 3.84 4.54 > 3.84

Ejemplo 2

• Para tratamiento latino

• Para tratamiento greco

10 > 3.84 1.87 < 3.84

Ejemplo 2

CONCLUSIÓN:

Al parecer hay varianza en los Lotes de materia prima y a un más en los operadores lo que significa que hay una gran fuente de variación para los tratamientos.

EJEMPLO 3

• En el caso de ejemplo 3.1, donde se comparan cuatro métodos de ensamble y se tiene el factor de bloque operador, se podrían tener dos factores de bloque adicionales: orden en el que se hace el ensamble y lugar donde se hace. De acuerdo con esto, el diseño en cuadro grecolatino se observa en la tabla

EJEMPLO 3

Ejercicio 1

• Se compara el rendimiento de tres procesos de fabricación (A, B y C) en tres condiciones experimentales (α, β y γ) tres días distintos con tres procedimientos de medición. El diseño y los resultados obtenidos se indican en el cuadro.

Día 1 Día 2 Día 3Método 1 Aα 10 Bβ 13 Cγ 11

Método 2 Cβ 8 Aγ 8 Bα 10

Método 3 Bγ 9 Cα 11 Aβ 10

Ejercicio 2

• Una compañía distribuidora ubicada en los suburbios está interesada en estudiar la diferencia en costos (tiempo y gasolina) entre las cuatro rutas (A, B, C, D) que llegan a la zona comercial, más importante para ellos, en el otro extremo de la ciudad. Deciden correr un experimento en cuadro grecolatino controlando los factores de bloque chofer, marca de vehículo (α, β, γ, δ) y día de la semana. El experimento se repite en dos semanas diferentes, en las cuales no hay días festivos ni quincenas. Los costos observados en pesos se muestran en la siguiente tabla:

NOTA: se puede realizar un promedio para las dos semanas

Ejercicio 2

a) Haga el análisis de varianza de este experimento b) Realice las pruebas de comparaciones múltiples para los factores significativos

Día de la semanaChoferRutas(A, B, C, D)Marca de vehículo(α, β, γ, δ)

Ejercicio 3

• El rendimiento de un proceso químico se midió utilizando: cinco lotes de materia prima, cinco concentraciones del ácido, cinco tiempos de procesamiento (A, B, C, D y E) y cinco concentraciones del catalizador (α, β, γ, δ, ε).

• Se usó el cuadrado grecolatino siguiente. Analizar los datos de este experimento (utilizar = 0,05) y sacar conclusiones.

Ejercicio 3

Referencias bibliográficas

• Universidad nacional del santa Facultad de ingeniería E.A.P. Ingenieria agroindustrial(Noviembre 2013), Diseño de cuadrado latino y grecolatino, pp. 21-31, Fecha de consulta 11 de noviembre de 2015 Disponible desde http://bit.ly/1PUvf9P • Reyes Moreno, K. A.(28 de julio de 2015) DISEÑOS EN

CUADRADOS GRECO-LATINOS(presentación de PowerPoint) Fecha de consulta 11 de noviembre de 2015 URL: http://bit.ly/1I5h6Wc • Gutiérrez Pulido, M. De la Vara Salazar, R.. (2008). Análisis y

diseño de experimentos. México: McGraw-Hill.

http://bit.ly/1PUvf9P



http://bit.ly/1I5h6Wc



Referencias bibliográficas

• Universidad de Castilla~La mancha; López Fidalgo, J(2009), Modelos lineales 3° Diplomatura de Estadística Ejercicios; pp. 4-5; Fecha de consulta: 22 de noviembre de 2015; URL: http://bit.ly/1PITI3D• Jiménez González, R. (Agosto de 2012) Estadística

Inferencial II p. 107. Fecha de consulta 10 de noviembre de 2015; URL http://bit.ly/1PUww0F

http://bit.ly/1PITI3D

http://bit.ly/1PITI3D

http://bit.ly/1PUww0F

http://bit.ly/1PUww0F

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