5to Secundaria razonamiento matemático

Alfonso RojosPuemop e

RAZONAM lEN T 0

matico,

EDUCACION SECUNDARIA

• Hense Roia5Puemape

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EDUCACION SECUNDARIA

© Derechos de autor reservados.Alfonso Rojas Puemape

© Derechos de edicion y artes graficas reservados.2012, Editorial Tercer Milenio S.A.7300 North Kendall Drive, Suite S21Miami, Florida 331S6·7840. USAetm@grupo·etm.com

Director Editorial:Antonio Sabogal

Editora General:Marife Vargas-Ccrbacho

Editor de Matematica:Alfonso Rojas Puemape

Especialistas del Area:Giovanna RojasJorge ChavezJohnny LegufaEddy ChirinosEdson Tacanga

Disello de portada: Delfin Blanco ComunicacionesComposici6n de interfores: Jorge Huamani, Ivan Tejada, Maria Isabel FloreslIustraciones: Jorge Huamani, Giulianno Delgado

Preprensa e impresi6n:QuadGraphicswww.QG.com

Impreso en Colombia- Printed in Colombia

Impreso en papel bond con certificaci6n FSCcon cadena de custodia "Bosques Controlados".

Reservados todos los derechos. No esta permitida la reproduccion total 0 parcial de esta obradldacttca, ni su tratamiento lnformattco, ni la transrnistcn de ninguna forma 0 por cualquiermedio, ya sea electr6nico, mecantco, por fotocopia, por registro u otros metodos, sin elpermiso previo por escrito de los titulares del copyright.

Desarrollar la inteligencia y aprender a pensar, para resolver dificultadesdecidiendo por las mejores alternativas de resoluci6n y con alta velocidadde procesamiento mental son tareas pendientes en todos las institucionesescolares.

Nuestra colecci6n para la Educaci6n Secundaria presenta una propuestade razonamiento logico - maternatico por medio de la cual se pone alalcance de estudiantes y docentes, cientos de ejercicios, problemas,juegos, rnaternatica recreativa y todo tipo de materiales relacionados consituaciones 16gicas, busqueda de regularidades y habilidad operativa,que permiten desarrollar las capacidades de observaci6n, abstracci6n,generalizaci6n, comprensi6n, analisis y sintesis.

Se aprende a pensar, pensando; se aprende a razonar, razonando, es decirafrontando muchas situaciones que permitan pasar del nivel literal a losniveles inferencial y/o critico, En esta edici6n se ha disefiado en la partefinal de cada unidad una secci6n denominada AUTOEVALUACION, queha sido dividida en cuatro niveles. De los cuales los tres primeros sonacumulativos parciales, cuya ternatica cubre aleatoriamente los tres temasde la unidad correspondiente, mientras que el nivellV es acumulativo total,cuya tematica es todo el contenido desarrollado en el texto hasta esaposici6n.

La colecci6n de RAZONAMIENTO MATEMATICO de ETM ofrece diversospersonajes y mufiecos. Entre los primeros aparecen Skanito y sus amigosMaite, Dalma y Luchfn, quienes realizan el papel de mediadores delaprendizaje. Entre los muriecos hemos dado vida a elementos tecnol6gicoscomo una laptop, un USB, un celular y una tableta, asl como a materiales quelos estudiantes emplean a diario en sus quehaceres escolares como unaregia, un block, un clip; adernas, los acompafia una ilustraci6n del planetaTierra que promueve transversalmente su cuidado y conservaci6n.

De estas ilustraciones, algunas hacen el papel de direccionadores y otrosde sintetizadores. Los primeros aparecen en tarnano pequerio e indicanque alguna idea del contenido se aclarara en un cuadradito de margen. Esaaclaraci6n se ve precedida por un sintetizador en tarnano mas grande.

Esperamos que este cuaderno de trabajo sea de mucha utilidad para lapractica del razonamiento 16gico-matematico ya que 10consideramos unexcelente material que permite un intense entrenamiento para exarnenesde admisi6n a cualquier centro superior de estudios.

Alfonso Rojas Puemape

• Nombre de unidad

• Problema motivador

• Contenido (temas)

Conjunto de situaciones hJdicasque permiten eI desarrollo

del pensamiento rnatematico.

NUMERO __ D~~LTEMAlDEL TEMA ,

Conjunto de tecnicas quenos gufan en la tesolucionde problemas diversos.

SINTETIZADOR

DlRECC10NADOREl

Im4gtlh. qJJe ttliadClnmeic:orrtmldO .. un tema c:onun siit..... dClr.

'-:,.

Ideas Queresumen.subrayan 0 recuer-dan conceptosQuenos ayudan aresolverun problema.

J~ --------

Conjunto de ejerciciesy problemas resueltos

eIIeenades para mostrarformas de resoiuci6n deuna gran diversidad desituaciales que exigen

razonamiento.

PISTA

Una Quia0 ayudaQuepermitedesarrollar elproblema.

Conjunto de 12 ejercicios 0problemas elaborados paraevaluar parcialmente en aulalos niveles de razonarnientodel tema tratado.

Claves de respuestas

• • • • •.9·g,li;l,,#:t.1) 9 7) 62) 12 8) 423) 10 9) 3

4) 40 10) 211) 712) 6

Procedimientos 0 artificios de calculo basados enpropiedades matematicas elementales que nospermiten desarrollar c81culos mentalmente .

.---Win; 'St'nBSu.t.I.

0"-, ."::-,; ,,- .. ,- ..~--........"'~o:~7~'D--rr:-r '"('.oj) .

!'!"~~'i'~':It;I~!IoP,1

RECREA"'~AEjercicios de Matematica ludica concebidospara desarrollar pensarniento creanvo.

Paginas con problemas variadosde los tres temas que conformanla unidad, de los cuales los tresprimeros son acumulativos par-ciales (nivel I, II Y III) Y eI ultimoes acumulativo total (nivellV).

1) Regia de tres Eficiencia y • WtiplicandoAplicamos • porcentaje rendimiento nUmerosde dos citasfracciones La granja de Beto

PRy PP* PRy PP* par 11Pag.8 • Ilviciendo nlimeros

Control 1 Control 2 multiplosde 3 par 15

~

Cardinal Numeraci6n • MultiplicandoRueda deIgualdades operacionesde un conjunto

PRy PP*parnueve

especiales PR y PP* • MultiplicandoControl 4 Control 5 par la cis1ributiva

Operaciones Falsa suposici6n yrnetodo de las

Cuatro Ordenando combinadas • Suma instantanea Idiferenciasoperaciones las cajas PRy PP*

PRy PP* • Suma instantanea IIpag.64 Control 7Control 8

Triangulos y Semejanza • CuadradosRazonamiento Descubre circunferencias de triangulos mentales Igeometrico I la figura PR y PP* PR Y PP* • Cuadrados

pag.92 Control 10 Control 11 mentales II

Perfmetros y areas Volumenes • Pon y quitaRazonamiento Completando PR y pp. PRy PP*geometrico II cuadrados • Dividiendo pCX'0,5Control 13 Control 14 (cinco d8cimos)

Orden Sucesionesy anaJogias • Cuadrado de unRazonamiento de informaci6n aJfanumencasy graficas nlimero de dos citas

analfticoCumple los deseos PR y pp* PRy pp. qui terminaen nueve

• Mlltiplicando nlimerosControl 16 Control 17 p.es par 25

• SumandoComparaciones Romp ecab ezas Comparaciones cuantitativas de 10 en 10

cuantitativas de operaciones Control 19 • Gruposconvenientes

• Multiplicando porSuficiencia Encontrando Suficiencia de datos cincode datos el camino Control 20 • Multiplicando

pCX'veinticinco

~ Q Problemas propuestos en concursos interescolares

pag.204 Q Pruebas de evaluaci6n

UNlOAD TITULO JUEGO TEMA 1 TEMA2

TEMA3

Problemascomerciales

PRy PP*Control 3

PlanteodeecuacionesPR y PP*Control 6

Retroalgoritmo yconjuntaPR y PP*Control 9

RelacionesmefricasPR y PP*Control 12

Coordenadascartesian as

PR y PP*Control 15

Analisis de figurasPR y PP*Control 18

MATEMAnCAAECAEAnVA

• Los primeros arios• Tomando decisiones• Un descuido costoso• Se nos va el tiempo

• Los chicos de mi cuadra• Haciendo malabares• Operadores rnaternaficos• Usemos las operaciones

elementales

• Reparto justo• Problemasy mas problemas• A formar filas• Una tarea dificil

• Un reparto extrario• Super ofertas• Una reuniOnfamiliar• Rumbo a 10 desconocido

• Una tarea en mi corrao• Construyendo puentes• Pesos y pesas• Un vecino muy extrario

• La geometrra de la hora• De regreso a casa• iA completar se ha dicho!• iCuestiOn de tamario!

• IY se hizo la luz!• Kakuro primo• Mas y mas conejos• Cuadro numerico

• BJoquesy mas bloques• Gran descubrimiento• Una mosca golosa• La aventura del rio

* PR: Problemas resueltosPP: Problemas propuestos

AUTOEVALUACION

ACUMULATIVO PAR:.:C.;;,IA.;:L:__~ __ A_C~U_M_U_LA_T1_V_O_T_O_T._'A_L__

Nivell (18 problemas)Nivelll (18 problemas)Nivel III (17 problemas)

Nivel I (20 problemas)Nivelll (19 problemas)Nivellll (18 problemas)

Nivell (18 problemas)Nivelll (18 problemas)Nivel III (18 problemas)


Nivell (17 problemas)Nivelll (16 problemas)Nivellll (17 problemas)

Nivel I (21problemas)Nivel II (19 problemas)Nivellll (17 problemas)



NivellV (17 problemasde unidad 1)

NivellV (19 problemasde unidad 1 y 2)

NivellV (19 problemasde unidad 1, 2 Y 3)

NivellV (15 problemasde unidad 1, 2, 3 Y 4)

NivellV (18 problemasde unidad 1, 2, 3, 4 Y 5)

Nivel IV (12 problemasde unidades 1, 2, 3, 4, 5 Y 6)

NivellV (13 problemasde unidades 1, 2, 3, 4, 5, 6 Y 7)

NivellV (16 problemasde unidades 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Y 8)

Oqe.Skanito esterecorrtdo siempre 10

~ago en ~ora y media.

~A~, sl? iPues eres muy lento!Yosoy el do17lede rapido que tu.

~Cuanto crees que tardare?

.... REGLA DE TRES - PORCENTAJE

.... EFICIENCIA Y RENDIMIENTO

.... PROBLEMAS COMERCIALES

La granja de Beto

Beto tiene ovejas y patos en su granja. Cada dia, el forma un grupomixto y diferente con estos animales para sacartos a pasear.

Coloca en los recuadros, segun la condici6n, el numsro deovejas y patos que tendra cada grupo, si siempre procurasacar a pasear el maximo nurnero de animales.

En cada grupo debe haber: N.O ovejas

• 50 patas en total.

• 9 cabezas y 24 patas en total.!'-- _)


• 16 cabezas y 48 patas en total.


N.O patos

ReGlI8nla '{118 siempl"edebes o!YLfol"

el mlIximo nUl!Iel"ode o NmoieS.

ALFONSO ROJAS PUEMAPE

AI comparar dosmagnitudes,estasseran DP cuandouna aumentey laotra tambien 0 cuan-do una disminuyayla otra lambien.Ejemplo:·N.·ObrerosDP Obra,COSloDPN.·Articulos

iATENCIONI

AI comparar dosmagnitudesestasseran IP cuandounaaumentey laotra disminuya 0

viceversa.Ejemplo:• VelocidadIP

liempo• N.· obreros IP

Rendimiento

REGLA DE TRES · PORCENTAJE I~------REGLA DE TRESEs el procedimiento practico que permite calcular una cantidad, conociendo tres cantidades corres-pondientes a dos magnitudes proporcionales. La regia de tres simple puede ser directa 0 inversa.

o REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA

Se aplica cuando las magnitudes que se com-paran son directamente proporcionales (DP).Dos magnitudes son directamente proporcio-nales cuando el cociente de sus cantidadescorrespondientes permanece constante.

magnitud A magnitud B

o REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA

Se aplica cuando las magnitudes que se com-paran son inversamente proporcionales (IP).Dos magnitudes son inversamente proporcio-nales, cuando el producto de sus cantidadescorrespondientes permanece con stante.

magnitud A magnitud B

D Rodrigo fue de compras y por 3 camisaspago S/.150. Si al hubiera comprado 7 ca-misas, zcuanto hubiera pagado?

Identifica las magnitudes y luego esta-blece s! son DP 0 IP.

D Seis amigos se fueron de campamento ylIevaron alimentos para 12 dias. Si aI cam-pamento asistieran 8 personas, zcuantosdias menos durarla dicho campamento?

o REGLA DE TRES COMPUESTA

Es aquella en la cual intervienen mas de dosmagnitudes proporcionales.Esquema general:

magnitud A magnitud B magnitud Ca1----b1----C1

a2 x c2

Luego de comparar la magnitud B con lasotras dos, se puede obtener los siguientescasos:

1) Si: A DP B a2 c2x=b1·_·_y C DPB a1 c1

2) Si: AIPB a1 c1x=b·-·-y CIPB 1 a2 c2

3) Si: A DP B a2 c1x=b ._._Y CIP B 1 a1 c2

Las magnitudes son N.· de articulos y costo.Ahora: "Si compra mas camisas, paqaramas".

=> Las magnitudes son DP, luego:

3 camisas St. 150 (7).(150)7 camisas X x =- x = 3

• Hubiera pagado I S/. 350 ,.

Las magnitudes son N.· de personas y tiem-po de duracion de los alimentos.'Si hay mayor cantidad de personas, los ali-mentos ourarsn menos tiernpo" .

=> Las magnitudes son IP:

6 personas ~ 12 dias (6). (12)= x=--=98 personas ~ x 8

Luego, duraria: 12 - 9 = I 3 dras menos I.

IJ Un grupo de 8 cocineros demoran 5 horasen preparar un banquete para 20 perso-nas. {'Cuanto tiempo tardaran 10 cocine-ros, igualmente habiles, para preparar elmismo banquete, pero para 50 personas?

o Estrategia 0

Identifica la cantidad de magnitudes, sihay 30 mas se trata de un problema deregia de tres compuesta.Compara las magnitudes y establece sisonDP 01P.

Las magnitudes son N.· de cocineros,tiempo de preparaci6n y N.· de porciones.

N.· Cocineros Tiempo N.· Porciones

8 5 20 i>

10 x 50

t 1\ tIP DP

Ahora: x = 5 . ~ . 50 = x = 1010 20

Luego, tardaran 110 horas I.

o TANTO POR CIENTO

EI tanto por ciento de una cantidad es unao varias de las cien partes iguales en que sedivide dicha cantldad.

Regia practice: a%deN=~xN100

o DESCUENTOS Y AUMENTOS SUCESIVOS

Descuentos sucesivos, esquema general:

Descuentos: a% b%

Queda: (100- a)%x (1OO-b)%

= (100-a)(100-b)%100

Octo. unico a 100% _ (100 - a)(100 - b) %(Du) 100

Aumentos sucesivos, esquema general:

Aumentos: a% b%

Resulta: (100 + a)% x ( 100 + b)%

= (100+ a)(100+b) %100

~umento = (100 + a)(100 + b) % _ 100%UniCO (Au) 100

o PROBLEMAS DE COMPRA Y VENTA

En un negocio de compra - venta se cum-plen las siguientes relaciones:

Pv = Pc + 9

Donde:Pc: precio de costaPv: precio de venta

Pv= Pc- P

~• '!II

g: gananciap: perdida

D Juan compr6 un pantal6n, el cual ofredancon un 10% de descuento; pero antes de pa-gar Ie ofrecieron un segundo descuento del20% por pagar con una tarjeta de credito. Sicancel6 con una tarjeta de crsdito, {,cuantofue el descuento que Ie efectuaron?

Observe que si se ofrece un primerdescuento y luego otro, estamosfrente a un problema de descuentossucesivos.

Aplicamos la relaci6n de descuento unico:

Octo. unico = 100% _ (100 - 10)(100 - 20)%100

= 100% _ 90 x 80 %100

Octo. unico - 100% - 72% = 128% I

iIMPORTANTE!L L

Podemos tomarcomo regia pracnca10siguiente:

• Si es IP, la raz6nse mantiene,

• Si es DP,la raz6nse invierte.

.............

A menos Que seindique otra cosa, laganancia y la perdi-da son respecto alprecio de coste.

JATENCII1N!


r-:: iOBSERVACIONI

Como el tiempo esel mismo, solo haydos magnitudes acomparar.

• No olvldes quelos descuenloso aumentossucesivos no sonacumulativos.

• Es decir el des-cuento Ilnico noes:10%+ 15%-25%

Una vaca atada a una cuerda de 6 mpuede comer todo el pasto a su alcanceen 4 horas. Si la cuerda fuera de 3 m,;'cuanto tiempo tardaria en comer todo elpasto a su alcance?

Resolvemos:EI pasto a su alcance es: f'f\Tiempo Area U

2 324h -- n.6 X 4..n .h>< 2= =-2-=X= I

X -- n.3 6 .Rt R3SD t

• Luego, tardara ,-,u-n-a-h-o-ra--'I.

D

IJ Un grupo de 10 campesinos puede sem-brar papa en un terreno rectangular de50m de largo y 30m de ancho en 8 horas.;'Cuantos campesinos mas, igualmentehaoiles, se necesltarsn para sembrar, enel mismo tiempo, otro terreno de 60m delargo y 40m de ancho?

Resolvemos:• Las magnitudes son N .. de campesinos

y area del terreno. ;;,N.·campesinos Area

10 - (50).(30) X = (10).(60).(40)X >< (60).(40) ~ (50).(30)t R3SD t X = 16

• Luego, se nscesitaran: 16 - 10 = 16 mas I

En un zooloqico se observe que 10monos pueden comer 20 platanos en 5minutos. <.Cuantos platenos corneran 15monos en 10 minutos?

Resolvemos:• Las magnitudes que intervienen son 3,

entonces estamos en el caso de regia detres simple compuesta.

N.·monos N.oplatanos N.onempo

10 20 5 min15 X 10 mint DP /\ DP t

X = 20 . ~ . ..:!.Q_ = X = I 60 platanos I10 5

Un rebano de 12 ovejas pueden comertodo el pasto de un terreno cuadrado de10m de lade en 5 horas. ;'Cuanto tiempo

demoraran 10 ovejas en comer todo elpasto de otro terreno cuadrado cuyo ladees el doble que el del terreno anterior?

Resolvemos:Intervienen Ires magnitudes:

N.Oovejas N"tiempo Area

12 5 102

10 X 202

t IP n DP t

X = 5. _g_. 20: = X = I 24 horas I10 10

Mario gana mensualmente Sf 2400. Si estemes el fue elegido como el Irabajador delmes y 10 premiaon con un incremento en susueldo del 30%, ;'cuanto redbira este mes?

Resolvemos:Calculamos cuanto mas recibira:

30%(2400) = 720• Luego, este mes recibira:

.----...,2400 + 720 = I Sf 3120 I

Ricardo gano un premio econornico, perosolo recibio Sf. 6800 ya que Ie hicieronlos descuentos correspondientes. Si Iedescontaron el15% del prernio.ca cuantoascendia el premio?

Resolvemos:Sea P el premio, si Ie descontaron el15%,entonces rscibira el 85% del premio.

85% P = 6800 = P = 8000Luego, el premio ascendia a I Sf 8000 ~

Sonia compro una blusa, que por estaren oferta, se la dieron con un 15% dedescuento. Si por pagar con la tarjetade credito de la tienda Ie hicieron un 2.'descuento del 10%, ;'·cuai es el descuentounico al que equivalen ambos descuentos?

Resolvemos:

1.. Descuento15%

2.. Descuento10%

Queda: 85% 90%Octo. unico = 100% _ 85 x 90 %

100= 100% - 76.5% = I 23.5% I

D Un grupo de 15 campesinos fueron contra-tados para sembrar un terreno cuadrado de20m de lado en 8 dias. Si antes de empezarel trabajo 3 campesinos renundaron, pormotivos de salud, icon cu&ntos elias de re-traso se terrninara la obra?

Rpta.: 2 dias

AI vender un producto se hace undescuento del 30% y luego, por a1gunmotivo, se hace un aumento del 30%.lCuaJ es el aumento 0 descuento unicoequivalente?

EJRpta.: Descuento 9 %

Si el lado de un cuadrado se incrementaen 20%, len cuanto varia su area?

Rpta.: Aumenta 44 %

Saul vendi6 su computadora ganando el10% del costo. Si vendi61a computadoraa Sf. 3300, lcuanto Ie cost6?

Rpta.: SI.3000

Veinte sobrevivientes de un naufragio tie-nen a1imentos para 15 dias. Si luego de 3dias se les unen 4 naufraqos mas, zcuan-tos dias menos curaran los alimentos?

Rpta.: 2 dias

Un grupo de 5 panaderos pueden pre-parar 500 panes en 8 horas. lCuantospanes podran preparar 3 panaderos,igualmente haoites, pero en el doble deltiempo? Rpta.:600

Con seis maquinas de coser se puedenconfecdonar 3000 polos en 18 dras, traba-jando 12 horas diarias. Para confecdonar5000 polos en 15 dras, trabajando 8 horasdiarias, lcuantas maqeinas de coser serannecesarias?

D

EJ

Rpta.: 18

Si el radio de un circulo se reduce a sumitad, len cuanto yarra su area?

Rpta.: Se reduce en 75 %

Tito vendi6 su auto ganando el 20% delpredo de costo y el 10% del predo deventa. Si el auto Ie cost6 $12 000, l.acuanto 10vendi6?

Rpta.: $ 16 000

Indica el descuento unico aI que equivalentres descuentos sucesivos de 10%, 12% Y

20%. Rpta.: 36,64 %

EI sueldo de Pedro fue sometido a un au-mento del 20% y luego a un descuentodel 20%. Rnalmente, lPedro gano 0 per-di6 en este proceso?

EDRpta.: Perdio 4 %

Si la arista de un cubo se incrementa enun 20%, len cuanto se incrementa su vo-lumen? Rpta.: 72,8 %

Seis a1bariiles pueden construir una casaen 50 dias. lCuantos a1bariiles mas habraque contratar para terminar la casa en 30dias? Rpta.: 4

Seis obreros pueden realizar una obra en20 dias. Si dos de los obreros duplican surendimiento, zcuanto tiempo antes terrni-naron la obra? Rpta.: 5 dias

Si la altura de un triangulo se reduce enun 30 % Y la base se incrementa en un30 %, zcomo varia el area de dicho trian-gulo? Rpta.: Se reduce en 9 %

Sonia vendi6 su refrigeradora perdien-do el 10%. Si vendi6 la refrigeradora enSf. 3600, lcuaJ fue el precio de costo dela refrigeradora? Rpta.: SI.4000

En una fabrica, 12 calderas tienen com-bustible para 8 dfas. Luego de 4 dfas detrabajo, 4 calderas se descomponen.lCuantos dlas mas de 10planeado durarael combustible?

Rpta.: 2 dias

InElsvsndio su automovil en $ 7000 luegode hacerle dos descuentos sucesivos del20% y 30%. l.Cuanto Ie coste el auto?

Rpta.: S 12500

• Una lavadora coste Sf 600. Si para suventa se Ie fija un predo de Sf 1000, lencuanto por dento se debe redudr el pre-cio fijado para ganar el 40% de su costo?

Rpta.: 16 %

•• PISTA 12 ••~------,Recuerda que elvolumen de un cuboesta dado por:

(fry{

v _ {3

II II II II II

Si 2 trabajadoresduplican surendimiento,trabajaran com 0

si fuesen 4trabajadores.


Si cinco albaliilesIrabajan con el dobledel rendimienlo, sepuede considerarcomo sl fuesen 10albaniles.

L -- ----~- - «

EI aumento deCarlos y el descuen-10 del vendedor seaplica a una mismacanndad, es decir, alprecio del producto.

Un grupo de 6 panaderos deben entregarun pedido de 1000 panes dentro de 5horas. Si a ultima hora les indican que elpedido debe entregarse 2 horas antes de10 acordado, zcuantos panaderos masse deben contratar para cumplir con elpedido?

Ie. Un grupo de 15 a1bafliles tiene progra-I-"'I' mado construir una casa en 80 dias. Si

aI empezar la obra 5 a1bafliles acordarontrabajar con el doble del rendimiento nor-mal durante toda la obra, .!.cuimto tiempoantes de 10 program ado se terminara laobra?

( Seis obreros pueden pintar toda la tacna-da de un edificio en 10 dias, trabajando 8horas diarias . .!.Cuantos obreros se nece-sitaran para pintar el mismo edificio, peroen 8 dias, trabajando 5 horas diarias?

~ Un taller de confecciones para cumplir_, con un pedido de 10 000 polos cuenta

con 8 rnaquinas que trabajan 14 horasdiarias durante 12 dias . .!.Cuantas rnaqui-nas se necesitaran comprar para cumplircon un pedido de 15 000 polos trabajan-do 7 horas diarias durante 9 dfas?

Si R es el 10% del 25% del 70% de...... 10000 Y Pes el 30% del 40% del 80%

de 20000, calcula el 25 % del cuadruplede R + P.

Carlos Ie propuso a un vendedor pagarle20% mas por un producto, pero con lacondici6n de que, aI momenta de pagar,el vendedor Ie haga un descuento del20% . .!.Quien se beneficia con esta pro-puesta?

AIod"lirir un nugvo concepto. proc.urorelociooorio con 10"ug !JO sabes.

EI precio de un producto surre dos des-.. cuentos sucesivos del 20% y 10%. Lue-

go sufre dos aumentos sucesivos del30% y 20%. iC6mo ha variado el precioinicial del producto?

Del problema anterior, si el precio finalt- (Pf) es SI. 22 464, icuaJ es el precio inidal

(Pi)?

Si la altura de una piramide se duplica,icuaJ es la variaci6n porcentual de su vo-lumen?

~' Si los lados verticales de un cuadradoI'-" aumentan en 30% y los lados horizonta-

les se reducen en 20%, l.en cuanto variael area?

lL. Aldo, por pintar un muro cuadrado de BmI'-" de lado, cobra S/. 140. l.Cuanto cobrara

por pintar otro muro cuyo lade mide 50%mas que el anterior?

Tres obreros pueden hacer un agujero ci-IIndrico en 100 horas. l.Cuantos obrerosmas se tendran que contratar para hacerotro agujero cilfndrico, en 36 horas, cuyoradio y altura son 20% mas y 25% me-nos, respectivamente?

• Qf\itI.

Volumen (V) de unapiramide:

V _ S.h3

Donde:s: Area de la base.h: Altura de la

pircimide.

u u u u u

Volumende uncilindro:

0·9 (U

sl£ls tu%~ eluawn'o'(Ol

e:>gdnpas (6

000 OZ"lS (S

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SSOZ (S

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selPOZ (ZsOJapeuedV (l

• • • • •


:~~,.-----------I~ ~_EFICIENCIA Y RENDIMIENTO

D Julio de mora 2 horas en hacer una tarea dematernaticas. Si Maria demora 6 h en hacerla misma tarea, ~cuanto tiempo dernoraran sihacen juntos dicha tarea?

Cada uno tarda:

Julio: 2h

En una hora:

~ de la tarea

~ de la tarea

j_ + .l, _1._ de la tarea2 6 3

• Analiza te cantidad de tarea que hacecede uno en una unidad de tiempo.

Determina cUBI es la parte de la tere«que hecen en esa misma unidad detiempo, si trabajan juntos.

Maria: 6h

Juntos:

Ahora:

1 h - _g_ de la tarea 33 = x = - h < > 1h 30 min

x - 1(toda la tarea) 2

Luego, juntos dernoraran 11 h 30 min ,.

Para calcular cual esla parte de la tareaque realizan juntosen una hora, solodebes sumar 10quecad a uno realiza enuna hora.

Fijate que aqu!se trabaj6 de unarnanera directa:- Si juntos hacen el

trabajo en x horas,en una hora naran{ del trabajo.

D A Y B son dos empresas constructor as. Unempresario solicit6 informes a dichas empre-sas para determinar el tiempo que tardarianen construir un edificio. Observ6 que A tar-daria 12 meses y que B es 1/3 mas eficienteque A. Si contrat6 ala empresa B, ~en cuan-to tiempo se construira el edificio?

Determina la eticiencia de una respectoala otra.

• Usa la regia de tres simple para deter-miner el tiempo que Ie tomaria hacer eltrabajo a la otra empresa.

IIAlfredo es chef y puede preparar un ban-quete para 10 personas en 9 horas. Si Juantarnbien es chef y es 1/2 mas eficiente queAlfredo, zcuanto tiempo tardaran en prepararel mismo banquete trabajando juntos?

Determinamos el tiempo queIe toma a cede uno hacer eltrabajo, teniendo en cuentalas eticiencias.

• Analiza cuanto hace cada unopor unidad de tiempo.

• Determinamos la eficiencia de cada uno:

A: Eficiencia

B: Eficiencia 1 + j_ = ±3 3

Ahora usamos una regia de tres para determi-nar el tiempo que Ie tom aria a B en hacer elmismo trabajo.

1 (eficiencia)

x --- t (eficiencia)

t IP

12 meses ----

x-~ = x-9(4/3)

Luego, B 10 consfruira en 1 9 meses ,.

Analizamos las eficiencias:

Alfredo: 1 19 h 1~ =x-6h

Juan: 1 +j__~ x --- 22 2 tL_..:.;IP,----,

• Juan tardara 6 horas trabajando solo.Ahora buscamos cuanto hace cada uno en unahora: En una hora

Alfredo: 9h 1.......... ~ -9

6h j_6

Juan:

Juntos: Xh····· .............• j_ - j_ +X 9

Finalmente: j_ - _§_ = x_..1§. h < > 3 ~ h)( 1A 1:; 1:;

Luego, juntos tardaran: 13h 36 min I. J

D Un albafiil A tarda 8 seman as en construiruna piscina; otro albafill B tarda 12 serna-nas en construir la misma piscina. Si el al-bafiil A comienza la obra y despues de 3seman as se Ie une B y juntos terminaronla piscina, i.en cuanto tiempo se construy6dicha piscina?

Nota que en este tipo de problemas la obrase ha realizado en 2 partes, por 10 tantoanalizamos cede parte como en los casosanteriores.

EI albanil A en una semana hace 1/8 de lapiscina y en las 3 primeras semanas (dondetrabaj6 solo) hizo:

3" ~ = ~ => falta hacer: ~ ....

A Y B trabajando juntos en una semanahacen:

1 1 5"8 + 12 = 24

B juntos hacen:

1 seman a 524

=> x = 3 semanas.§.8

Luego, A y

x

La piscina se construy6 en: 3+ 3-16 semanas~

Un tanque tiene dos tuberias. Se sabe queuna demora 8 horas en lIenarlo y la otra 12horas en vaciarlo. Si las dos tuberias se abrenal mismo tiempo cuando el tan que esta va-cio, len cuanto tiempo se llenara el tanque?

En este tipo de problemas, una tuberia es deIIenado y la otra de veciedo. De modo que10que quede en el tanque sera la diferenciaentre 10que agrega y quita cede tubetle, porunidad de tiempo.

EI tanque se lIena en 8 horas, entonces enuna hora se lIena: 1/8

• EI tanque se vacia en 12 horas, entonceS' •en una hora se vacia: 1/12 . 9

Luego, en una hora se lIena:

.1_ _1_ = _1_ tan que8 12 24

Ahora:

1 hora 1/24 tanque=>x= 24 horas

x 1 tanque

Luego, se llenara en rI2-4-"h-or-as'l.

iRECUERDAI

Toda la obra seconsidera como eltotal (1) y como yase hizo los 3/8, faltahacer:

1-i -i

)Se usa dos bombas (A y B) para extraer elagua de una piscina. La bomba, A tarda 18horas en vaciar la piscina, adernas la bombaB tiene un rendimiento 20% mayor que A. Sitrabajan juntas, zcuanto tiempo tardaran envaciar toda la piscina?

• fn este tipo de prol?lemastenemos que ap~Ulr todo10 que f1emos aprendidohasta el momento.

Tral?6jalo por partesdistinguiendo codo etapa.

iVamos ...tu puedesl

Del enundado:

Rendimiento A: 100% - 1Rendimiento B: 120% - 6/5

Usamos una regia de tres para determinarcuanto tardaria B trabajando solo.

18 horas --- Rendimiento: 1

--- Rendimiento: 6/5

=> x -15horas

La bomba B vaciara la piscina en 15 horas,trabajando sola.

x

• Si A Y B trabajan juntas, en una horavaciaran:

1 1 11 d I ..18 + 15 - 90 e a pisona.

• Toda la piscina se vaciara en:

1 hora---1190

x

En realidad en cadahora no se vacia1/12 del deposito,porque la salidadel agua no escon stante ya quedepende de la altura.Solo por razonespracncas se haceesa consideraci6n.

l'----------"l

,~~ ~ X_=_~_~__=_X_=_1_8_f_1_hm_a_s_I__ ~J


iATENCIII NI

Las partes deltrabajo querealizacada unose relacionande maneraindependiente,en la unidad detiempo que seeste usando.

La eficiencia esinversamenteproporcional (IP)al tiempo; es decir,si uno es maseficiente demeraramenos en hacer untrabajo.

D Juan es albaflil y puede construir un muroen 8 dias. Si Rodrigo puede construir elmismo muro en 6 dias, .!.cuanto tiempotardaran si construyen el muro juntos?

Resolvemos:• Determinamos cuanto construye cada

uno en una unidad de tiempo (un dial.Juan: 8 dias; en un dia: 1/8 ..

Rodrigo: 6 dfas; en un dfa: 1/6

Si trabajan juntos haran: i+ i : ;4

Ahora: 1 dia - ]_ del muro24

x - 1 muro.

24 33 d'=> x : - < > - las7 7

• Luego, si trabajan juntos tardaran:

13 ~ dias I.

D Dos grifos Aye pueden lIenar un cilin-dro en 12 minutos, trabajando juntos. Siel grifo A, trabajando solo, puede lIenar elcilindro en 30 minutos, .!.en cuanto tiem-po el grifo B, trabajando solo, poora lIe-nar el cilindro?

Resolvemos:• Analizamos cuanto lIenan juntos en una

unidad de tiempo (un minuto): 1/12• Aliena el cilindro en 30 minutos, en un

minuto lIena: 1/30• e lien a el cilindro en x minutos, en un mi-

nuto lIena: 1/X

Juntos: ...L + .1. :...L = x: 2030 x 12

Luego, e 10 lien a en 1 20 minutos I.

Ricardo hace un trabajo en 16 horas. Si aItrabajar con Felipe terminan el trabajo en12 horas, .!.cuanto tiempo tardaria Felipetrabajando solo?

Resolvemos:Felipe hace el trabajo en x horas.

En una hora

Ricardo: 16 horas 1/16Felipe: x horas 1/x

Juntos: 12 horas 1/12

Entonces:1 1 1- + - : - =;> x: 48 horas

16 x 12

Luego, si Felipe trabajara solo tardaria:

1 48 horas I.

Lucia tarda 40 minutos en limpiar la salade su casa. Si Sara, su hermana, es 60%mas eficiente, .!.cuanto tiempo tardarsn silimpian la sala juntas?

Resolvemos:Determinamos el tiempo que terdarasara,de acuerdo a su eficiencia, si limpia sola:

40 min - 100% (eficiencia)x - 160% (eficiencia) f~ ......

X : 25 minutos

Si trabajando juntas terminan la limpiezaen y minutos, en un minuto limpiaran:

...L + ...L : ...L = y : 15_§_min40 25 Y 13

• Luego, si limpian la sala juntas tarderan:

D

15 f3minutos

Fredy demora 4 horas en hacer un tra-bajo, pero debido a un resfriado baj6 surendimiento en 1/5 . .!.Cuanto tiempo tar-dara Fredy en hacer el trabajo estandoenfermo?

Resolvemos:Determinamos el tiempo que tarda Fredyen hacer el trabajo, estando enfermo.

4 horas - 1 (rendimiento)

x - (1 - ...L) (rendimiento)5

x: 5 horas

Anora, oetsrmmamos ra pane oel traoaJoque hace cada uno en una hora, • Luego, tardara I 5 horas I.

Maribel tarda 4 horas en hacer su tarea dematemancas. Si ella se juntara con Juanapara hacer dicha tarea, la terminarfan en 2horas. lCuanto tiempo tardara Juana enhacer sola la tarea?

Una piscina esta lIena y en la parte in-ferior tiene 2 tuberias A y B que la vacian,independientemente, en 6 y 9 horas, res-pectivamente. Si se abre la tuberia A solopor 3 horas y luego se abre la tuberla Bhasta que la piscina se termine de vaciar,len cuanto tiempo se terminera de vaciartoda la piscina?

Rpta.: 4 horas

Jairo es panadero y trabajando 10 horaspuede lograr la producci6n diaria estable-cida Si Dario es 25 % mas eficiente queJairo, lcuanto tiempo Ie tomara a Darioa1canzar dicha producci6n diana?

Rpta.: 8 horas

Una maquina puede podar todo el pastode un jardin en 60 minutos. zcuanto tiem-po tardara otra maquna 20% mas eficien-te que la anterior? ~

.' Rpta.: ~O minutos

Una piscina tiene dos tuberlas, una la lIenaen 12 horas y la otra la vada en 18 horas. Silas dos tuberias se abren aI mismo tiempocon la piscina vacfa, len cui¥1to tiempo selIenara dicha piscina?

Rpta.: 7 1/2 horas

Andres tarda 4 horas en hacer su tare ade rnatematicas. Si una tarde se enfer-m6 y su rendimiento se redujo en 1/3,zcuanto tiempo tard6 en hacer la tareaesa tarde?

Rpta.: 6 horas

I Se tienen 3 pintores: A, By C. Sabemosque A y B juntos pueden hacer un trabajoen 12 dlas: B y C juntos pueden hacer eltrabajo en 8 dias, A y C juntos puedenhacer el trabajo en 6 elias. lCuanto tiem-po tardaria C si hace el trabajo solo?

Rpta.: 9 3/5 dfas

Una piscina puede lIenarse con 2 tuberiasA y B en 4 4/5 h. Si la tuberia A tarda 4horas menos que la tuberia B en lIenar lapiscina, len cuanto tiempo la tuberia B,sola, lIenara la piscina?D

Rpta.: 36 horas

Juan puede pintar la fachada de unacasa en 4 dfas y Mario la puede pintar en6 dfas. Si Juan, durante 2 dlas, trabaj6solo y aI tercer dfa se Ie uni6 Mario, lencuanto tiempo se pint6 la fachada?

Rpta.: 3 1/5 dias

Un tractor A puede remover ciertacantidad de tierra en 8 horas y un tractorB puede remover la misma cantidad detierra en 4 horas. Si el tractor A, durante3 horas, trabaj6 solo y luego se Ie une eltractor B, zcuanto tiempo menos dur6 eltrabajo para A?

Un reservorio puede ser lIenado por 3 gri-fos de manera independiente en 3, 6 Y 9horas; tambien puede ser vaciado comple-tamente por dos conductos de manera in-dependiente en 12 y 36 horas. Si estandoel reservorio vade se abren los 3 grifos Ylos dos conductos, len cuanto tiempo selIenara?

Rpta.: 12 horas

Una cuadrilla de peones puede sembrarun terreno en 30 dfas. Si trabajan en elmismo terreno con otra cuadrilla quees 50% mas eficiente, len cusntos dlassembraran el terreno?

Rpta.: 12dlas

Rpta.: 3 1/3 horas

Un tan que tiene 2 tuberias, la primera 10lIena en 5 horas y la segunda 10 vacia en12 horas. Si se abre solo la primera tu-berra durante 2 horas y luego se abrela segunda tuberia, len cuanto tiempo seIlenara el tan que?

Rpta.: 2 horas

Un sastre puede confeccionar un temoen 12 horas y su ayudante es 40% menoseficiente. Si trabajan juntos, len cuantotiarnpo confeccionaran el terno?

iRECUERDA! LL

La eficiencia sepuedeoperar com0tanto por ciento,o expresarcomofracci6n:

120% = 120 _ ~100 5

Averiguacual es laparte del trabajo quehacen loskesjun-los, en una unidadde tiempo.

J

Rpta.: 7 1/7 horas Rpta.: 7,5 horas


PISTA 2 lZ:I

Si es mas eficiente,tardara menostiempo.

EI tanqae:

L,8:Nota que cuandoel nivel del aguabaja a la mitaddel tanque, solofuncionara latllht"rf!a R

Carla demora 3 horas en hacer su tarea.Sandra demora 2 horas en hacer la mis-ma tarea. Si se juntan para hacer la tare a,len cuanto tiempo terminaran?

~ Una empresa A puede construir un edifi·I- cio de 10 pisos en 12 meses. Si otra em-

presa B es 20% mas eficiente, len cuan-to tiempo construira el edificio?

Maria es costurera y puede confeccionar20 polos en 6h. Si Sandra es 50% maseficiente, len cuanto tiempo podra con-feccionar la misma cantidad de polos?

~L Una piscina es abastecida por 2 tuberias_, A Y B. A puede lIenar la piscina en 6h y

la tuberfa B la puede lIenar en 9 h. Si lasdos tuberias se abren aI mismo tiempo,len cuanto tiempo se llenara la mitad dela piscina?

Un tanque tiene dos tuberias. Una 10 lie·na en 10h y la otra 10 vada en 15h. Si seabren las dos tuberias aI mismo tiempo,estando el tanque vaclo, lcuat es la partedel tanque que llenaran juntas luego de15 horas?

Un tanque tiene 2 tuberias de desaque:A y B. A esta ubicada exactamente a lamitad del tanque y puede vaciar esta par-te en 8 horas. Si el desague B, que estaen el fondo, puede vaciar todo el conts-nido del tanque en 12 horas, len cuantotiempo se vaciara todo el tanque con losdos desaques abiertos?

- -J l.__ _....J l...._ J

!:.entirse bien luego de resolverun problema nos motiva a seguir

aprendiendo.

E De tres empresas: A, Bye, dedicadas- al mismo rubro, se observe que A puede

producir un lote de productos en 20 dias,B 10 puede hacer en 10 dfas y C en 16dias. Si las tres empresas deciden trabajarjuntas, len cuanto tiempo termineran lamisma proouccion?

F- Andres y Beto hacen, juntos, un trabajo... en 15 horas, Beto y Carlos 10 hacen en 12

horas, y Andres y Carlos 10 hacen en 20horas. Si finalmente decidieron trabajarjuntos, len cuanto tiempo terminaron eltrabajo?

Tres tuberias: A, Bye, abastecen a unapiscina. Adsmas sabemos que A y B lapueden lIenar en 8 horas, Bye en 16horas, yAy C en 10 horas. Si se abresolo la tuberia A, zcuanto tardara enlIenar la piscina?

I Rodrigo tarda 12 horas en pintar la facha-da de una casa. Si Diego es 50% mas efi-ciente, lcuanto tiempo tardaran si pintandicha fachada juntos?

IIL!!_ Un tractor puede remover cierta cantidad~ de tierra en 6 horas. lCuanto tiempo tar-

dara otro tractor 40% menos eficiente enhacer 1/3 de dicho trabajo?

Una vaca, sujeta a una estaca medianteuna cuerda, puede comer todo el pastoque esta a su alcance en 12 horas. Si alamisma estaca y con la misma longitud decuerda se sujeta a otra vaca, el doble devoraz que la anterior, len cuanto tiempoterminaran de comer todo el pasto a sudisposicion?

u u u u uPISTA 8

Determina cuales la parte deltrabajo Que hacecada par deamigos en unaunidad de tiempo .

• Phi6If.

Por: ...• el doblede voraz .. .",

se debe entenderQue demora lamitad del tiempoen comer lamisma canndad,

SeJ04 ~ (U

U!WOZ4£ tuU!WS~4~ (Ol

4 £l Gl (S~

SeJo40l (SLlse!PlTV (L

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U!WS~ 4l (~SeJ04 ~ (£

S3S3W or (ZU!WII 4l (l

l _....J l...___ _....J V83nHdWO:l• • • • •


Si la suma de lascifras es un ruirn erode una cifra, esta secoloca al centro y seacabo la operaci6n.

NOTITA

Esteartificio es soloparanllmeros de 2cifras; sin embargo,un metodo altema-tivo para multiplicarnilmeros de 3 cifraspor 11 consiste enmultiplicar el numeropor 10 Y luegosumane el mismonumero.Ejemplo:

240 x 11- 240(10) + 240- 2400 + 240- 2640

Efectua:

• 36 x 11• 47 x 11• 73 x 11• 11 x 96• 59 x 11

MULTIPLICANOO NUMEROS DE DOS CIFRAS POR 11

1. En un centro comercial se venden coci-nas a S/.780 cada una. Si cierto dfa sevendieron 11, i.cuanto dinero se obtuvopor la venta?

Un rnecanico debe visitar 11 departamen-tos para realizar algunas reparaciones. Sien cada viaje gasta $ 96, zcuanto gastaraen total?

A un paseo asisten 89 estudiantes. Sicada uno debe invertir SI. 110, i.cuaJ serala inversi6n total?

En una florerfa, por la compra de un pa-quete de 10 rosas, regalan una. Si un co-merciante compra 48 paquetes de rosas,i.cuantas rosas se uevara en total?

Resolvemos:Solamente multiplicamos 780 x 11 menta/-mente.

Procedamos: 780 x 11 = 10 x ~

Escribimos el factor 78, dejando un espa-cio entre los dfgitos 0 cifras.

10x(7_8)

Sumamos sus cifras: 7 + 8 = 15

Colocamos el 5 a! centro y el 1 10 suma-mos a la cifra de adelante.

Asi : r--7+1 >

10x (8.§8) = 8580

Respondemos:

Se obtuvo por la venta I SI. 8580 I.

Nueve amigos se reunen en un restauran-te, pero a mitad de la cena se les unendos mas. Si cada uno paga S/. 54, i.cuaJfue el gasto total?

EI sueldo de un operario de maquinariapesada es de S/. 3400. l.CuaJ es el monteque se debe pagar en total a 11 de estosoperarios?

Un generador de energfa eh~ctrica consu-me 110m 3 de gas a! mes, i.cuanto consu-mira en 2 anos?

• '10 x I I

• 11 x 68

EI cerebro eSla conformado por 100 000 millonesde netronas qlR delJenestar en actividad S/EMPRE.

EI catclio rapido permite lambien tal aclividad.

DIVIDIENDO NUMEROS MULTIPLOS DE 3 POR 15

8. Se reparten, en partes iguales, 840 bolsasde cemento en 15 distribuidoras. ('Cuan-tas bolsas recibe cada distribuidora?

Resolvemos:

Dividimos por el nurnero de distribuidoras:

840:15

• 0 tambierr 84.0x ~ ,,'" t

2= (81+3)x3

(27 + 1) x 2

Respondemos:

Cada una recibe 1r-56-b-o-'s-a-s-'l.

Se distribuyen 7800 galones de combus-tible en 15 tabricas. Si todas reciben lamisma cantidad de combustible, (.cuan-tos galones Ie corresponden a cadauna?

Un envase grande de pintura puede con-tener, como maximo, 15 litros. Si hoy sehan producido 2700 litros de pintura,zcuantos de estos envases seran nece-sarios para envasar la pintura?

Un operario puede elaborar una pieza demetal en 15 minutos. Si el trabaja diaria-mente 480 minutos, Zcuantas de estaspiezas podra elaborar en 5 dfas?

En una bolsa se pueden colocar 15 cho-colates. Para embolsar 930 chocolates,(.cuantas bolsas saran necesarias?

Una revista de curiosidades matematicascuesta Sf. 15. Si el duefto de una libreriarecaudo, por la venta de estas revistasSf 1440, zcuantas revistas vendi6?

Pararealizar un paseo, 16 personas acuer-dan pagar en partes iguales el gasto total,que es de Sf. 3200. Si aI cancelar, uno deellos da solamente Sf 125, (.cuanto ten-

N:15 es 10 mismo que:N Nx2150 15x2

N x2 0 N 230 x30

donde N - 3

Efectlia:660:15690: 15930:15810: 15720: 15870: 15570: 15540: 15

ora que oar caoa uno oe lOS restsntesr


:~~.......--...-------I~ ~~ROBLEMAS COMERCIALES

Para operar de ma-nera rapida precede-mos asta%xb%=axb%

100

ilMPORTANTEI

En algunos casosla ganancia puedeestar com puestapor un porcentajedel costo y otro delprecio de venta.

En la pracfica comercial diaria hay relaciones entre los elementos que intervienen en una transac-ci6n, que se verifican de manera practice.Por ejemplo:

• Si una calculadora cuesta Sf. so, i.cuantose paqara por 4 calculadoras?

Es evidente que se pagara:

4 x 50 = I Sf. 200 I

Luego, podemos generalizar:

donde:C: costa totalN: cantidad de unidadesP: precio de cada unidad

Rodrigo compr6 una computadora a Sf. 3500.Si luego la vendi6 y gan6 Sf. 300 en la venta,l.a cuanto la vendi6?

Se entiende y es evidente que la vendi6 a:

3500 + 300 = I Sf. 3800 1

En general:

D Un comerciante decidi6 impulsar la ventade sus productos, para 10 cual decidi6 ba-jar el precio de cada producto en 20%. Deesta manera el numero de productos ven-didos aument6 en 50%. i.CuaJ es el por-centaje que aument6 de sus ingresos?

Consideramos las cantidades inicialescomo un 100% y luego obsetvemoslas variaciones.

donde:Pv: precio de ventaPc: precio de costa

g: ganancia

Sabemos que el ingreso (costo total) esta dadopor:

fJ Carlos vendi6 un auto ganando el 20% delcosta y el 10% del precio de venta. Si Car-los recibe por el auto $ 20 000, i.cuaJ es elcosta de dicho auto?

En problemas donde imetvieren pre-

C=N.P

Inicialmente:

N= 100%, P= 100% Y C= 100%

Luego de la rebaja:

P = 80% Y N = 150%" ~Los ingresos: C = 150% x 80%

C = 120%

Luego, sus ingresos aumentaron en 120% I.

Del enunciando:

9 = 20%Pc + 10%Pv

Adernas sabemos que:

Pv= Pc + 9'= Pv= Pc « (20% Pc + 10%Pv)

90%Pv = 120%Pc

Pero: Pv m 20 000

\.-------) CIO ae vema, ganancla y preclo aecosto, usamos: Pv = Pc + 9

=- 00% (::!U UUUJ - 1::!U%t"'C

Pc -I $ 15 000 1

Mario se compr6 una computadora aSf. 4300. Si Mario tuvo que hacer un viajeurgente y para ello vendi6 su computadoraperdiendo Sf. 900, (.a cuanto la vendi6?

Notamos que:

4300 - 900 - 3400

Luego, pod emos generalizar:

lPv - Pc - Pdonde:

Pv: precio de ventaPc: precio de costop: perdida

Una tienda de electrodomesncos exhibeun televisor 3D con un precio fijado enSf. 9000. Si luego vendi6 el televisor ha-ciendo un descuento de Sf. 550, (.en cuan-to 10 vendi6?

Si hacemos un anallsis sencillo notaremosque:

9000 - 550 - 8450

Luego, generalizamos:

Pv- PF- d

donde: '"Pv: precio de ventaPF: precio fijadod: descuento

II Una tienda ofrece un reproductor MP3,pero como este es un modele antiguo, 10vendera con una perdida del 10% de laventa. Si el precio de costo del MP3 esSf. 1100, (.a cuanto se vsndera?

• Identifica los elementos que inteNie-nen en el enunciado.

• Usamos la teleckm correspondientea tales elementos.

D Rodrigo observ6 unauto cerokil6metros conun precio de lista de $ 24 000. Si luego deuna Iarga conversaci6n con el representantede ventas logr6 un descuento del 20% dela venta, (.cua! es el porcentaje del preciode lista que representa el descuento?

• Identificamos en que caso nos en-contramos.

• iueao cotnoeremos el descuento

Segun el enunciado: p - 10% Pv

Ahora sabemos que:

Pv~ Pc - P= Pv~ 11OO-10%Pv

110%Pve 1100 "'" Pv - 1000

• Luego, el MP3 se vendera a: Ist. 10001.

Nos encontramos en el ultimo caso, ya queintervienen: Pv, PF y d.

Del enunciado:

PF_ S24000d - 10%Pv

Ahora sabemos que:

Pv - PF- d =- Pv - 24 000 - 20%Pv=- 120%Pv - 24000

Pv~S20ooo =- d-S4ooo

• Rnalmente: "

24000 --100% 0 x -16,66%4000 -- x

ilMPORTANTEI

AI precio fijado (PF)tam bien se Ie llamaprecio de tista (Pl).

iOBSERVACION!

Una vez determi-nado el descuenlo,usamos una R3Spara com parartocon el PF. j

L

l y el precio de lista. • Luego, el descuento equivale a 16,7%(aprox.) del precio de lista.j


..................... -",'_ifif"'''' •• :''' ••

iRECUERDAI

Cuando no se espe-cifica respecto a Quees el descuento, sedebe entender Quees respecto al preciofijado 0 precio delista.

iOBSERVACION I

Com0 el precio delas entradas baj6 en10%, tenemos:100% -10% - 90%

Y como el publicose increm ent6 en

Juana com pro una cartera en Sf. 320,pero luego dscidio venderla y ganar el20% del precio de venta. iA cuanto ven-dio la cartera?

Resolvemos:

Del enunciado, observamos que los ele-mentos que intervienen son:

Pc, Pv y g; donde: 9 = 20%Pv

Ahora relacionamos:Pv = 320 + 20%Pv80%Pv = 320 "'" Pv = 400

Luego, venoio la cartera a 1S/.400 I.Aldo com pro una bicicleta en Sf. 750 Y laqui ere vender ganando el 20%. iA cuan-to la vsndera?

Resolvemos:

Cuando no se indica respecto a que can-tidad es la ganancia, se debe considerarque es respecto aI costo.

• Con ello: Pv = 750 + 20%(750)Pv = 750 + 150Pv = 900

• Luego, la venders a '-1S-/.-9-00-'1.

II iA cusnto se debe ofrecer un productoque coste Sf. 3600, para que aI hacer undescuento del 10%, aon se gane eI10%?

Resolvemos:

Establecemos la relacion: PF = Pv + dPv = Pc + 9

- PF = 3600 + 10%(3600) + 10%PF90%PF = 3960 "'" PF = 4400

• Se debe ofrecer a I S/.4400 I.Una empresa dedicada a la venta de au-tos adquirlo uno a $ 80 000. lA cuantodebe venderse dicho auto para obteneruna ganancia del 20% del costa mas25% de la venta?

Pv = Pc + (20% Pc + 25%Pv)75%Pv = 120%Pc "'" Pv = 128000

Luego, debe venderse a 1$ 128 000 I.La gerencia de una cadena de cines de-cidio reducir los precios en un 20% y conesto logro un aumento de 30% en la asis-tencia de publico. iCuaJ es el porcentajede aumento de los ingresos?

Resolvemos:

• Identificamos el caso en el cual nos en-contramos: C = N. PEntonces: CI = (130%)(80%)

CI = 104%

• Luego, aumentaron en ~

Si el precio de un articulo aumenta 25%y debido a eso, las ventas disminuyen20%, ien cuanto varian los ingresos?

Resolvemos:

• Analizamos con la rslacion: C = NPCI

= (80%)(125%) "'" CI = 100%

Luego, observamos que I no varian ~

Con la finalidad de prom over la asistenciaaI estadio, los dirigentes bajaron el preciode las entradas en 10%, 10 cual originoun aumento en el publico del 20%. iCuaJes la variacion de los ingresos del club?

Resolvemos:

Veamos el nuevo ingreso:CI = (120%)(90%) "'" CI = 108%

Luego, aumentaron en 18% I.Marla vendio un producto con un des-cuento del 50%, por 10 cual perdio el20%. iCuaJ es la relacion entre el preciosde costa y el precio fijado?

Resolvemos:

Sabemos que: PF = Pv + d0" _ 0" r'\

UII l.VIO ICIICIIIV~.

Sabemos que:PF ; Pc - 20%Pc + 5O%PF

Pc [E5O%PF; 8O%Pc = - - -PF 8

I "I - I "" - t'Resolvemos:

• Se quiere ganar: g; 20%Pc + 25%PvPc; 80 000

Usamos la relaci6n: Pv; Pc + 9

100%+ 20%-120%

D Rodrigo vendi6 su laptop a $1100. Si enesta transacci6n gan6 el 10% del costomas el 20% de la venta.zcuanto Ie cost6la laptop a Rodrigo?

Jose compr6 un producto con un des-cuento del 20% para luego venderlo aSI. 1200, ganando as! el 25% de la venta.Determina el precio fijado del producto.

Rpta.: Sf. 112~Rpta.: $ 800

Maria vendi6 su lavadora a S/. 1200, ga-nando con esto el 6O%.l.Cuanto Ie cost6?

• Diego compr6 un terreno y para vender-10 fij6 un precio de S/. 24 000. AI vender-10 hizo un descuento del 20% y aun as!gan6 el 20% de la venta l,Cuanto Ie cos-t6 a Diego dicho terreno?

Rpta.: Sf. 1~ 360

EI precio de un auto se fij6 en $ 32 000,pero se hicieron dos descuentos sucesi-vos de 5% y luego de 10%. Si luego dela venta aun gan6 el 20% de dicha venta,l.cual es el precio de costo del auto?

Rpta.: $ 21 888

lKt tenista que ha disputado 300 juegosde los cuales ha ganado 282, decide re-tirarse cuando tenga el 95% de triunfos ensu carrera. l,Cuantos juegos mas, comominimo, debera disputar para retirarse?

Rpta.: 60 Juegos

Rpta.: Sf. 750

Una empresa importadora vende algu-nas refrigeradoras, que se golpearon enel viaje, con una peroida del 10% de laventa. Si las vende a SI. 2500, l.cual es elprecio de costo de cada refrigeradora?

Rpta.: SI.2750

Juan compr6 una PC hace 5 alios, la mis-rna que aver vendi6 con una psrdida del20% de 10 que Ie cost6. Si la vendi6 aSI. 2400, zcuanto pag6 por ella?

Rpta.: SI.3000

Sandra compr6 una cocina con un des-cuento del 30% del precio de venta. Si elprecio de lista de la cocina era de S/. 3900,zcuanto shorro con el descuento?

Rpta.: Sf. 900

Mario com pro un auto y esta muy conten-to ya que obtuvo un descuento del 10%de la venta mas el 30% del precio fijado.Si el auto estaba fijado en S 22 000, l,acuanto 10 compr6?

Una empresa produce aI mes 8000 cami-sas en dos talleres. EI taller A produce el45% de las camisas. Si el 6% de la pro-duccion del taller A y el 4% del taller Bes defectuosa, l,cuantas camisas en totalresultaron con defectos?

Rpta.: 392 camfsas

En una tienda se ofrecen pantalones conun 20% de descuento, pero si se paga conla tarjeta MASvlSA se hace un descuentoadicional del 10%. Si por 3 pantalones sepagaron S/.162 con tarjeta, l,cual es elprecio de lista de cada pc:¥1ta16n?

Rpta.: Sf.75

EI precio de costo de un TV3D es deS/.6ooo. Para ganar el 25% del precio

Rpta.: $14 000

Con la finalidad de disminuir el consumode cigarros, la municipalidad de un dis-trito elevo los precios en un 40%. Si losingresos por la venta de este producto seredujeron en un 16%,l.cual es el porcen-taje de reducci6n del consumo?

Rpta.: 40 %

Una empresa dedicada a la venta de za-patos baj6 los precios en 25%, 10 cualtraio un aurnanto An la cantidad vendida

PISTA 2

Cuando no seindica respectoa Que precio esla ganancia, sedebe asumirQue es respecloaI precio decosto.

•• PISTA 5 ••

No olvides Que:Pv-PF-dPv- Pc + g

de 40%. {'En que porcentaje varia la can-tidad recaudada por este producto?

Rpta.: Aument6 5 %

de venta, luego de hacerle un descuen-to del 36%, {,cual debe ser el precio delista?

Rpta.: Sf. 12500


PISTA2 =Busca una relacionentre el precio deventa y el precio decoste.Recuerda que:

s: ~ = §.. b 7

=> a=6k y b=7k

uPISTA 6

Recuerda que eldescuento se aplicasobre el precio delista.Ademas:

PL - Pv + dPL: precio de usta

R6mulo vendi6 su bicicleta perdiendoSf. 150. Si dicha perdida equivale al15%del costo, {,a cuanto la vendi6?

Saul vendi6 su moto ganando el10% dela venta mas el 15% del costo. Si la dife-rencia entre el precio de venta y el preciode costo es Sf. 1000, {,a cusnto vendi6 lamoto?

Julio vendi6 su auto con una psrdida del5% de la venta mas eli 0% del costo. Si elprecio de venta y el costo suman $ 39 000,{,a cuanto vendi6 su auto?

Sonia vendi6 su lavadora, ganando el...... 12 % del costo y el12 % de la venta. {'CuaJ

es la relaci6n entre el preci6 de venta y elprecio de costo?

~ Ricardo cornpro un auto con un des-IiGr cuento del 20% para luego venderlo a

$ 24 000, ganando as! el16% de la venta.{'CuaJ fue el precio fijado del auto inicial-mente?

Una casa comercial tiene en su mostradorun televisor 3D con un precio de lista deSf. 10000. Si a Roberto Ie hicieron dos des-cuentos sucesivos de 5% y 10%, zcuantopag6 Roberto por dicho televisor?

Pv: precio de ventad: descuento. l.____J

Tumemoria se fortoleu 01 utifzorhallitoolmen-re 10aprenado.

Karina quiere vender su casa ganandoel 20%. pero como no la puede vender.flnalmente hace un descuento del 20% ylogra venderla. En la venta, i..Karinaganoo perdi6? <..Cuanto?

Una casa comercial vende dos televisoresI- a S/.3910 cada uno. Si en la venta de uno

gana e115%y en la del otro pierde eI15%.luego de estas ventas, i..gana 0 pierde?{'Cuanto?

Luis piensa vender su caJculadora aSI. 240 ganando el 10% de la venta. i..Acuanto debe venderla para ganar el 20%de la venta?

~ Rocio pag6 Sf. 648 por una refrigeradorat-- luego de ser beneficiada con dos des-

cuentos sucesivos de 10% cada uno.{'Cua! fue el precio fijado de la refrigera-dora iniciaJmente?

Para prom over el consumo de un pro-~ ducto. la gerencia decidi6 hacer dos

descuentos sucesivos aJ precio de esteproducto: el 1.· del 10% Y el 2.· del 20%.Si finaJmente esta medida trajo un incre-mento del 8% en los ingresos de la em-presa, {,cua! es el porcentaje en el queaument6 el consumo?

EIdueno de una discoteca redujo el preciode las entradas en un 30% pensando quecon esta medida duplicarfa el numsro deasistentes.Si el publico solo aument6 en 50% y conesto solo recaud6 Sf. 1050. {,cuanto teniaplaneado recaudar iniciaJmente?

Oetermina losprecios de costode cada uno de losarticulos y luegocom para con susrespeclivos preciosde venta.

•• PISTA 12 ••

No olvides quelos porcentajessiempre estanaplicados a unacantidad.

OOrllS (Zl'%OS u3 tu0081S COlOLlIS (6

'O~H·/S 3pJ3!d (S%r 139!PJ3d (L

OSSS'/S (9OOZ SZ$ (S

HTI" (vnnnOI (!' 1('

VUV O"'.;J U,

00911lS (Zosss (l


1. LOS PRIMEROS ANOS

Despues de mucho tiem-po, Rodrigo se encuentracon su amigo Alfredo.

fs Valeria. !IV tijama~. pero adem6s

tengo trilfzas.

p>oiYias deter!IVnar lasedades de coda una delas tijas de Alfredo?

Justamente en el Gamino venia pensando en ello !:I me a Guentade que el producto de sus edades aGtuales es 48.

2. TOMANDO DECISIONES

Carlos tiene una rnaquina que procesa nurneros.

AI presionar el boton :, se borrara el ultimo dl-

gito y al presionar 0, se duplicara el numero.

Si ingresa el nurnero 254, i-de cuantas maneras

se puede obtener 10, dsspues de realizar cuatroprocesos seguidos?

3. UN DESCUIDO COSTOSO

Maite borro el nurnero de celular de su primapar error y ahara necesita comunicarse urgente-mente can ella.

Si solo recuerda los nurneros que aparecen enla pantalla de su celular, ecuantas veces tendraque marcar, como minima, para saber con cer-teza el nurnero de su prima?

4. SE NOS VA EL TIEMPO

... Erase un viernes de verano del aria 2012, dosbuenos amigos se reencuentran.

)JCI:::r=::-n GiCarlos. pero que biense te ve. por ti no han

pasodo los anos.LLis.wonlos

Adivioo mi edad. 51tengo tantosanos como incican las dos ultimas

L dfras del ano en que nad.'------'


1I~6t1I_ Acumulativo parcial

D i..A cuanto debe vender 10 que mecost6 5/.75 para ganar el 30% delprecio de costo, mas e125% del pre-cio de venta, mas 5/. 15?

a) 5/.140d) 5/.160

b) 5/.148e) 5/.165

c) S/.150

Un grupo de 12 hombres tienen vi-veres para 40 dias. AI cabo del deci-mo sexto dia de trabajo se integran4 hombres. i..Cuantos dias menosduraran los vlveres?

a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 10

IIEn un dep6sito de forma cubica de2 m de arista se almacenan 5600 kgde trigo. Si se cuenta con otro dep6-sito de forma cublca de 3 m de arista,i..cuantos kilogramos de trigo se po-dran almacenar?

a) 18000 kgc) 21 OOOkge) 35700 kg

b) 18900kgd) 28 OOOkg

D i..Cuill es el precio que se debe fijara un articulo que cost6 5/.450 paraque, aun descontando ell 0%, se ganeel40%?

a) S/. 600 b) 5/.640 c) S/.690d) 5/. 700 e) 5/. 720

EI precio de un cuba compacta de ma-dera de 20 em de arista cuesta S 56.i..Cuanto costara otro cuba de la mis-ma madera pero de 30 em de arista?

a) 5140d) S 189

b) $ 147e) 5210

c) S 161

D La construcci6n de un tramo decarretera demora 54 dias. Si se haavanzado hasta los 5/9, i.cuantosdias faltan para concluir la obra?

a) 20 b) 22 c) 24 d) 28 e) 30

D Marla compra una cocina y luego dehaber side beneficiada con dos des-cuentos sucesivos del 10% v ..130%

a) S/.360d) S/.420

b) S/.390e) S/.450

c) 5/.400

Un tanque de 481itros de capacidadoontiene solo 18 litros. La fracci6ndel total que faHa para lIenar el tan-que es:

a) 3/8d) 5/12

b) 5/8e) 7/12

c) 5/6

D Un temo de casimir se ha vendido aS/.500, ganando el 30% del preciode venta. i.A cuanto se debe ven-der para ganar eI 30% del precio decosto?

a) 5/.455d) S/.650

b) S/.435e) S/.468

c) S/.520

Un tanque vacio cuenta con una tu-beria que 10lIena en 9 horas. Iambiencuenta oon un desague que 10 vaciaen 12 h. Si estando vacio el tanquese abren la tuberia y el desague, i.encuanto tiempo se lIenara el tanque?

a) 24 hd) 36 h

b) 28he) 40h

c) 30h

II Una oUa arrocera se vendi6 a Sf. 600ganando el 20% del precio de venta,i.a ctianto se debe vender para ganarel 25% del precio de costa?

a) S/.600 b) Sf. 560 c) Sf. 750d) S/. 720 e) Sf. 800

If.) Para oonstruir una pared de 24 m delargo y 3 m de alto, 6 obreros tardan12 dlas. i.Cuanto tiempo necesita-ran estos obreros para construir otrapared de 30 m de largo y 6 m de an-cho?

a) 28 dlasc) 32 dlase) 40 dias

b) 30 diasd) 36 dias

Un tanque cuenta con 2 tuberfas:A y B, que pueden lIenar independien-temente un tanque en 8h y 12h, res-nRr.tiv:unente. Tambien cuenta con un

se cierra para abrir la tuberia B, tam-bien durante una hora. Finalmente seabren las dos tuberias y el desaguehasta lIenar el tanque. Indique eltiempo total en el cual se lIenara eltanque.

a) 3 1~ h b) 4 1~ h c) 51~ h

i.A cuanto debe vender 10 que mecast6 S/.170 para ganar eI 15% delprecio de venta?

a) S/.I89d) 5/.180

b) S/.195e) 5/.200

c) S/.I90

Nueve hombres han pavimentado160m2 deuna explanada, en 10 dias,trabajando 8 horas diarias. i.Cuantosdias necesitaran 15 hombres parapavimentar 120m2, trabajando 2horas diarias menos cada dia?

a) 6 b) 8 c) 10 d) 1 e) 15

Un obrero puede realizar una obraen 9 dias, mientras otro obrero pue-de realizar la misma obra en 18 dias.Si trabajan juntos, i.en cuantos diasterrninaran la obra?

a) 1 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8

Una obra puede ser reaJizada per 8obreros en 24 dias. Si se contrata, an-tes de empezar la obra, 4 obreros mas,i.en cuantos dias terrninaran la obra?

a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20

A y B pueden realizar juntos una obraen 12 dias; Aye pueden realizar ;.10-tos la misma obra en 18 dias; Byepueden haoer la misma obra, trabajan-do juntos, en 15 dias. Si los 3 trabajanjuntos, i.en cuantos dias entregaran laobra?

al g27 bl Q29

paga por ella S/. 252. ('Cual es el pre-cio de la cocina sin la aplicacion delos descu entos?

desagiie que 10 puede vaciar, estandolIeno el tanque, en 18 h. Primero seabre la tuberia A y luego de una hora

37

d) 93337

37

e) 93537

37

D ('CuaJ es el porcentaje en el que sedebe incrementar eI costo de un ar-ticulo para que, aun descontando el20%, se gane eI20%?

a) 40%d) 48%

b) 42%e) 50%

c) 46%

II Un cario lIena un recipiente en Hhoras y un desaque 10 vacia en H/2horas. Si el recipiente esta lIeno has-ta su tercera parte y se abren simul-taneamsnte el cafio y el desagiie,i.en cuantas horas se vaciara dichorecipiente?

Ha)-3

d) _g_H5

b) !i.5

e)~H4

2c)-H3

II Un deposito tiene 2 tuberias dedesague que 10 vacian en 8 y 10horas, respectivamente. Comienzanlas 2 juntas a vaciar el depositolIeno y luego de 4 horas se cierra laprimera. i.En cuanto tiempo terminade vaciar el deposito, la segundatuberia?

b) 1 h

e) 2,5 h

c) 1,5 h

D Si incremento en 40% el costo de40% de los articulos que ten go, ga-nare S/. 192. i.Cuanto ganare si incre-mento en 60% el COstO del 60% delos articulos que ten go?

a) S/.430d) S/.340

b) S/.435e) S/.432

c) S/.433

En un deposito esferico de 2 m deradio se almacenan 1600kg de maizamarillo. i.Cuantos kilogramos de maizamarillo se podran almacenar en 011'0deposito esferico, pero de 3 m de ra-dio?

a) 1800d) 5400

b) 2000e) 7200

c) 2800

II Un negocio pertenece a 2 socios. Laparte de uno equivale a los 5/13 yesta valorizada en S/. 15 300. Halla el

Acumulativo parcial

D Una persona pregunta en una tiendapor el descuento que pueden hacerlepor un articulo y Ie responden 20%;en o1ra tienda Ie hacen un descuen-to de 25% y compra ahi el articulo,ahorrandose S/. 35. i.Cuanto costabael articulo?

a) S/.680d) S/.720

b) S/.510e) S/.700

c) S/.600

II EI precio de un diamante es propor-clonal al cuadrado de su peso. AI di-vidir el diamante en 4 partes iguales,i.en cuanto por ciento disminuye elprecio de venta?

a) 50%d) 75%

b) 60%e) 90%

c) 70%

Un tanque de pelr6leo se lIena en 4horas abriendo la valvula A y se des-carga en 5 horas abriendo la valvulaB. i.En euantas horas se llenara eltanque si se abren las 2 valvulas si-multaneamente?

a) 9d) 28

b) 24e) 20

c) 21

Un vigilante gana S/. 11 por hora y re-cibe 20% mas cuando trabaja lue-go de las 6 p.m. i.Cuanto recibirasi trabaja desde las 4 p.m hasta las8:20p.m?

a) S/.47,60c) S/.52,80e) S/.48,40

b) S/.27,10d) S/.42,60

ID Una fabrica tiene gastos fijos deS/.l0 000 Y adsrnas hace un gastoadicional de S/.4 por cada articulofabricado, que se vende a S/.5,95cada uno. i.Cuantos articulos sedeben vender, como minimo, paraobtener una ganancia aproximadadel 10% del total de sus gastos?

a) 7100 b) 6100 cJ 7097d) 7200 e) 5024

m Benito demora 6 dias mas que Ansel-mo en efectuar un lrabajo. i.Cuantodemora Benito en hacer el solo el tra-

d) 9 dias e) 16 dias

Para pintar una esfera de 10cm deradio se gastaron Sf. 24 . i.Cuantose gastara en pintar otra esfera de15 cm de radio?

a) S/.48d) S/.62

b) S/.56e) S/.69

c) S/.54

II Diez jardineros de una munlcipali-dad, demoran 15 dias en sembrar50m2 de plantas ornamentales, tra-bajando 7 horas diarias. i.Cuantodemoraran 15 jardineros en sem-brar 80 m2 de 011'0 jardin, si los obre-ros son doblemente habiles respectoa los primeros y adsmas trabajan 8horas diarias?

a) 4diasd) 7 dias

b) 10 dias c) 11 diase) 9 dias

i.CuaJ es el porcentaje en el que seincrementa el area de un rectangulo,si su largo aumenta en 60% y el an-cho disminuye en 40%?

a) Aumenta 10%b) Aumenta 12%c) Disminuye 4%

d) Disminuye 8%e) Disminuye 6%

Se sabe que 35 obreros pueden ter-minar una obra en 27 elias. AI cabode 6 dias de trabajo, se les une ciertonumero de obreros de tal man era queen 15 dias terminan la obra. (,Cuantosobreros se incorporaron?

a) 10 b) 16 c) 14 d) 20 e) 18

m i.CuaJ es el precio que debe fijarsea un vestido que coste S/.400 paraque aI hacer un descuento del 20%,aun se gane el 20% del costo?

a) S/.540d) S/.420

c) S/.650b} S/.600

e) S/.705

SaUl puede hacer un trabajo en 20 elias;Martin puede haoer eI mismo lrabajoen 60 elias. Despues de trabajar juntos5 dias, se retira Saul. i.En cuanto tiempo+-_: _ l ~ I "",,,-I)

valor de la parte del otro socio.

a) 5/.26400c) 5/.24840')~rlO

~ ;~~

b) 5/.24480d) 5/.22460

bajo, si cuando 10 realiza con Ansel-mo, demoran 4 dlas en terminarlo?

a) 12 dias b) 14 dias c) 15 dias

a) 60 diasc) 42 diase) 45 dias

b) 30 diasd) 40 dias


D Un pintor demora 12 horas en pintaruna fachada, otro pintor que es 1/3mas eficiente que el anterior demoracierto tiempo en pintar la mismafachada. i.Cuanto demoraran juntosen pintar dos fachadas similares?

222a)5'lh b)l0'lh c)115h

d) 11 -¥ h e) 5 ~ h

D Un deposito con agua contiene 1/6de 10 que no contiene. Se retira unvolumen equivalente a 1/10 de 10que falta por lIenar y luego se agrega1/4 de 10 que queda. Si finalmentehay en el deposito 250 ml, calcula laquinta parte de 10 que con tenia in i-cialmente el deposito.

a) 25mld) 250ml

b) 50mle) 500ml

c) 100ml

D Juan vende una cocina al contado.Con los 2/5 de la venta se comprauna cafetera y con los 4/9 del resto,una plancha. Ademas, el costo totalde estos dos artefactos fue 5/.800.Si luego se compra una tostadoraque cuesta 5/. 350, i.cuilnto dinero Iequeda al final?

a) 5/.50d) 5/.70

b) 5/. 60 c) 5/. 65e) 5/.100

D Andres y Beto pueden hacer unazanja en 40 dias; Beto y Claudio pue-den hacer la misma zanja en 30 dias;Andres y Claudio la pueden hacer en24 dias. i.En cuantos dias haran lazanja los tres juntos?

a) 12d) 20

b) 15e) 25

c) 18

IJ Un atleta da 15 vueltas en 12 minutosalrededor de una pista circular mien-tras que otro atleta da 13 vueltas en10 minutos. Si ambos atletas partenjuntos del mismo lugar, i.en euantashoras el atleta mas veloz sacara unaventaja de 9 vueltas?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Acumulativo parciallentes y hombres que usan lentes es275; ademas la diferencia entre hom-bres que no usan lentes y mujeresque usan lentes es 430. i.Cuantoshabitantes tiene dicha poblaci6n?

a) 4000d) 7050

b) 5450e) 8050

c) 6750

D Dos recipientes contienen alcohol al80% y 60%, Y sus volurnenes estanen la relacion de 1 a 2, respectiva-mente. Se agrega igual numero de li-tros de agua y resulta que ahora am-bos tienen la misma concentraci6n.i.Cual es la nueva concentraci6n?

a) 40%d) 52,5%

b) 45%e) 55%

c) 50%

D Alex y Bruno pueden hacer una obraen 12 dias. Despues de 9 dias de em-pezada la obra se retira Alex, y conti-nua Bruno hasta terminar la obra en 9dias mas. i.En cuantos dias terminariaAlex toda la obra trabajando solo?

a) 14 b) 15 c) 18 d) 20 e) 21

II EI precio de costo de un articulo es5/.3000. Para fijar su precio de ven-ta al publico se Ie hacen 2 aumen-tos sucesivos del 25% y 30%, peroal momento de venderlo, se ofrecendos descuentos sucesivos del 15% y20%. i.Cual es la fracci6n del preciofijado que representa la ganancia?

a) 51/325 b) 41/327 c) 39/425

d) 21/325 e) 23/227

Cada 3 horas, un reloj se atrasa 12minutos. Si el reloj empezo a atrasar-se a las 9 a.m., i.que hora marcara alas 8p.m.?

a) 6:16p.m.c) 7:10p.m.e) 8:44p.m.

b) 6:44p.m.d) 7:16p.m.

m Dos carios A y B lIenan juntos untanque en 60 min. Si B fuese des-ague, se tardarian 2 horas en lIenarel tanque. i.En cuanto tiempo lIe-nara el cario B el tanaue. estando

II Una caja de metal en forma de para-lelepipedo cuesta 5/.2000. Si ellargodisminuye en 20%, el aneho en 10%y el alto aumenta en 30%, i.cuantocostara la nueva caja?

a) 5/.1670 b) 5/.1772 c) Sf. 1827d) 5/. 1872 e) 5/. 1927

i.En cuanto por ciento se debe au-mentar aI precio de costo de un ar-ticulo para fijar eI precio de lista, demodo que luego de hacer tres des-cuentos sucesivos del 10%, 20% Y50%, se gane el 44 % del costo?

a} 50% b) 100% c) 200%d) 250% e) 300%

m Un contratista debe terminar unaobra en 30 dlas. La inicia con 10obreros trabajando 6 horas diarias.Transcurridos 20 dias han realizadosolo el 50% de la obra, por ello decideaumentar la jomada a 8 horas diariasy contratar mas obreros. i.Cuantosobreros adicionales contrato?

a) 1 b ) 2 c) 3 d) 4 e) 5

II Dos cirios de igual altura se encien-den simultaneamente; eI primero seconsume en 5 horas y el segundo en3 horas. i.Cuantas horas despues dehaberlos encendido, la altura del pri-mere sera el triple de la del segundo?

a) 2d) 2,8

b) 2,4e) 2,9

c) 2,5

Pep a es una comerciante que vendiola mitad de su mercaderla ganando el20%,la cuarta parte ganando ell0%y el resto perdiendo el 20%. Si al finalobtuvo una ganancia de 5/. 75, i.cualfue el costo de su mercaderia?

a) 5/. 1000 b) 5/. 1200 c) 51. 1500d) 51. 2000 e) 51. 2500

m Un tanque puede ser lien ado porun cario en 25 minutos y puedeser vaciado por un desague en 50minutos. Estando vacio el tanque, seabre el cario y 5 minutos mas tarde01 rfA~~,.,tjlD i_Fn ,....:'n+n«: minlltn«: «:0

II En una poblacion, el 60% son hom-bres y el 45% usan lentes. La diferen-cia entre las mujeres que no usan

este vacio?

a) 2h 30mind) 3h 15min

b) 4h c) 3he) 4h 30 min

_. ----;::,-_. -_ .. --_ .._- _-- --llenara totalmente el tanque?

a) 30 mind) 45 min

b) 35 mine) 50 min

c) 40 min

D Un contratista se compromete a rea-lizar una obra que cornenzara el 1de marzo y terminara el 4 de mayo,trabajando todos los dias. Empiezana trabajar 9 obreros, a razon de 8 ho-ras diarias. AI terminar la jomada deldia 15 de marzo, el propietario Ie diceque necesita la obra terminada parael dia 8 de abril. Entonces, a partir del16 de marzo se contratan mas obre-ros y todos trabajan ahora a razOn de10 horas diarias. i.Cuantos obrerosmas se contrataron?

a) 2 b) 4 c) 6 d) 7 e) 8

D Un grupo de obreros pueden construiruna carretera en 60 dias. Si trabajancon otro grupo igual de obreros quees un 50% mas eficiente, i.en cuantosdias construiran tal carretera?

a) 18 b) 21 c) 24 d) 27 e) 30

D Un grifo lIena un reservorio en 8 horasy un desaque 10 vacia en 12 horas.Ambos se abren durante 5 horas,luego se cierra solo el desaguedurante 4 horas y finalmente se vu elvea abrir hasta lIenar el reservorio. i.Encuantas horas se lleno el reservorio?

a) 7 b) 8 c) 10 d) 12 e) 16

D Estando vacia una cisterna, un gri-fo demoraria 6 horas en lIenarla,mientras que otro grifo demoraria 9horas. Cierta mariana, estando vaciala cisterna, se abre el primer grifo alas 8:00 a.m. y una hora despues seabre el otro grifo. i.A qua hora se lie-no la cisterna?

a) 11 :00 a.m.

c) 12:00m.

e) 1 :00 p.m.

b) 11 :30 a.m.

d) 12:30 p.m.

D Pepe vendiolos 3/8 de su mercaderiacon un beneficio del 40%, la quintaparte del resto con un beneficio del20% y 10 que aun Ie quedaba conun tanto por ciento de perdida quesolo Ie permitio obtener, en todo el... ,.. ......... ;,.. 0."", ......... ,...,;,..i ... ""... 1 C;:0l

Acumulativo totala) 16%d) 74%IIPara fijar el precio de un articulo se

aumente su costo en 50%, pero aImomento de realizar la venta se hizoun descuento del 20%. Si se hubieseaumentado el costo en 60%, se ha-bria ganado 5/.728 mas.

i.Cual fue el precio de venta del ar-ticulo?

a) 5/.13650c) 5/.14560e) 5/.9100

b) 5/.10920d) 5/.11 648

D Si a = 150%b, i.cual es el porcentajede b que representa 2a?

a) 75%d) 200%

b) 90%e) 300%

c) 120%

iii Un cario IIena un pozo en ciertotiempo y un desague 10 vacia en latercera parte de dicho tiempo. Si elpozo estuviera IIeno hasta sus 2/5 yse abriera simultaneamente el carioy el desague, se vaciaria en 6 horas.i.En cuanto tiempo se IIenaria elpozo, si funcionara solo el cario?

a) 10hd) 30h

b) 15he) 35h

c) 20h

IIMiguel adquirio un artefacto luego deque Ie hicieron 3 descuentos sucesi-vos del 20%, 50% Y 20%. Si al pago5/. 640 por el artefacto, i.a cuanto seofrecia dicho artefacto?

a) 5/. 1280 b) 5/.2000 c) 5/.3600d) 5/. 2400 e) 5/. 1920

Los buses de Lima a Arequipa yviceversa salen cada hora y tardan 12horas en hacer tal recorrido. EI primerbus, desde Lima, sale a las 7 a.m. yel primer bus, desde Arequipa, salea las 9 a.m. i.Con cuantos buses sehan cruzado este tras recorrer los 3/4de su camino?

a) 2 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

II Un recipiente contiene agua. Si sacoel 40% de 10 que no saco y de 10 quesaque devuelvo el 60% de 10 que nortpv"plvn mp n"prt" 41';0r I "pno pi

b) 45%e) 80%

c) 55%

IIAlex puede cavarunazanja en 9horasmientras que Renzo puede cavarlaen 15 horas. Si empiezan a cavar lamisma zanja simultaneamente desdeextremos opuestos, aI encontrarse,i.cuill es la fracci6n de la zanja quehabra cavado Renzo?

a} 8/9d) 5/8

b) 1/12e) 2/9

c) 3/8

II

EI producto de dos numeros es m n.Si el valor de m se incrementa en50% y el de n se reduce en 50%,i.en cuanto varia dicho producto?

a) No variab) Se reduce en 25%c) Aumenta en 25%d) Se reduce en 15%e) Aumenta en 15%

En una reunion el 60% del numerode damas que asistieron equivale at40% de los varones. i.Cuill es el por-centaje de los asistentes que son da-mas?

a) 60%d) 40%

b) 54%e) 36%

c) 45%

Un frasco contiene un litro de acidosuifUrico al 80%. Se retiran los 2/5de su contenido y se reemplazan poragua. i.Cuantos centimetros cUbicosde agua hay ahora en el frasco?

a} 480 cm3 b) 600 cm3 c) 320 cm3

d) 480 cm3 e) 520 cm3

Clara gasta el 20% del dinero quetiene. Si luego recibiera el 15% de10 que aun Ie queda, tendria 5/.32menos de 10 que tenia inicialmente.i.Cuanto tenia aI inicio?

a) 5/.500c) 5/.480e) 5/.360

b) 5/.450d) 5/.400

II Si la medida de los lados de untriangulo equilatero se incrementa en

Hole, ~te ccuerdos de mi?So~ Bet~, fuimos dewando tu tenias 5 anos

~ ~o 9 anos.

Determina el porcentaje de perdida.

a) 52% b) 20% c) 48%d) 25% e) 75%

40%, i.en euanto se incrementara suarea?

agua que no devolvi la vacie en unrecipiente que contiene 25 ( de alco-hol aJ 80%, (.cua! sera el porcentajede pureza de esta mezcla?

a) 16% b) 32% c) 40%d) 72% e) 96%

iAn, sH Anor-a quenuestms edcdes suman34 anos, entonces tu !:Ja

debes tener ...

~ CARDINAL DE UN CONJUNTO

~ NUMERACION

~ PlANTEO DE ECUACIONES

Rueda de operaciones

En las intersecciones de las circunferencias coloca los signos de las operaciones (+; -; x ; :) detal manera que se cumpla la igualdad. Debes colocar dichos signos de manera secuencial, por ejemplo:+ ; -; x ; :; +; -; x ; : 0 -; x ; +; :; -; x: +; :, etc., efectuando las operaciones una a conti-nuaci6n de la otra, segun la flecha.

iNc> es cifid~ITIi puedes!

,


iATENCIONI

srancam ente:

©A

on(A)=5o

o tambien:O~)-5

L i1MPORTANTEI

En el diagramaobservamos:I A B

,

CARDINAL DE UN CONJUNTO I~------CARDINAL DE UN CONJUNTO (n)La cantidad 0 numero de elementos di-ferentes que posee un conjunto recibe elnombre de cardinal 0 numeral de un con-junto.

Ejemplos: ,Sean los conjuntos: ...';

A = {a; e; i; 0; u} =- n(A) = 5B={0;1;2; ... ;9} = n(B) =10

o Cuando se relacionan dos conjuntos

D De 40 personas que van al mercado, sabe-mos que 30 compran arroz y 28 compranmenestras. Si todos compran al menosuno de estos productos, zcuantas com-pran ambos productos?

• Identificamos dos conjuntos :compran arroz ~ A compran menestras ~ M

Graficamos y colocamos datos:

"c:E:Sn(AUM) -40

Calculamos n(A - M):n(A - M) = n(AUM) - n(M)n(A - M) = 40 - 28 = 12

Ahara calculamos n(AnM):n(AnM) = n(A) - n(A - M)n(AnM) = 30-12 = 18

Luego, compran 118 personas I.

L

• Se identifican los con juntos queinteNienen y luego graficamos di-chos conjuntos.

• cotocemos en el grafico los da-tos indicados.

• Analizamos el gratico y determi-namos la opeteaion a efectuar.

D A Lima liegan 90 turistas, de los cuales 50visitan Puno y 56 Cuzco. Si 8 de los turistasno visitaran estas ciudades, zcuantos visi-taran ambas ciudades?

• Se identifican conjuntos y se qrafican.

Identificamos dos conjuntos:Puno -+ P Cuzco -+ C

Graficamos:

Observamos que para graficar el ultimo datose requiere del conjunto universal (U).

nIp) - 50 n(e) - 56

~8 n(U)_ 90

C?:S:::\UBj'

'\_yJ U

• Oosetvemos si es neeesario grafieare! eonjunto universal (U).

• Colocamos eOl'Tlfenientemente losdatos en el gratieo.

• A partir del grafieo, determinamos lasoperaeiones que se deben efeetuar.

CaJculamos n(P - C):

n(P - C) - n(lJ) - n(PUC)1 - n(C)n(P - C) - 90 - 8 - 56 ; 26

CaJculamos n(pnC):

n(pnC) - n(P) - n(P - C)n(pnC) .. 50 - 26; 24

Luego, 124 turistas Ivisitarim ambas ciudades.

don de:n(AnB) -n(A)+n(B)-n(AUB)

o Cuando se relacionan tres conjuntos

II En un bus que sufri6 un accidente, viaja-ban 70 personas, de las cuaJes 30 tienenheridas en los brazos, 33 en las piemas, 27en la cabeza, 11 en los brazos y piernas, 9en las piernas y cabeza, 10 en la cabeza ybrazos y 3 resultaron ilesos. i.Cuimtas per-sonas sufrieron heridas en la cabeza, bra-zos y piernas?

• Identifieamos cuemos con juntos estanpresentes en el problema y grafieamos.

• ObseNamos si los datos se pueden in-diear direetamente en el grafieo.

• Indieamos una letra (incognita) en unlugar donde se re/aeionen varios datos.

• Formamos una ecuecion y resolve mos.

Identificamos tres conjuntos:

brazos .....B; piernas .....P y cabeza -+ C

Graficamos:

Como muchos datos no se pueden •ubicar directamente, indicamos una - .letra.

3

n(U) -70

Ahora con los vaJores indicados apartir de x, formamos una ecuaci6n:

30 + (13 + x) + (9 - x) + (8 + x) + 3 _ 70=> x .. 7

Luego, I 7 personas I sufrieron heridas.

D Hoy asistieron 104 socios a un club. Deell os, los que practican fUtbol son el triplede los que practican solo basquet y nata-ci6n. Los que practican solo nataci6n sonel doble de los que practican solo basquety estos a su vez son el doble de los que nopractican estos tres deportes. Si 32 prac-tican solamente nataci6n, i.cuimtos practi-can fUtbol?

Identificamos tres conjuntos.

• Graficamos, indicando la inc6gnita y su re-laci6n con otros datos:

n(F) - 3x n(B)

'[email protected] relacionamos los datos:

En el grafico:

~

~I

)

Del grafteo:

II~BII

• Identificamos y graficamos los con-juntos que se re/acionan.

• Analizamos los datos para determi-nar cusl debe ser la incognita.

In(U)-1~ 0 I

• Form am os una ecuacion:


lRe/acionamos los datos entre elloe y 3x + 16 + X + 32 + 8 ; 104formamos la ecuaciOn.) =:> X ; 12

. Luego, 136 socios I practican fUtbol. J,~ ~ ~ J

a+b+c+m+o+p+q+x=U

___ .... A: _......... ..,~~~:.:;,

IATENCIIIN!

EIvalor desconocidoes aquel que serelaciona con otrode manera directa,ast"Los que gustan dela salsa son el triplede los que gustansolo del rock".

Los que guslansolo del rock - xLos que guslan 3xde la salsa =

En el siguientediagrama:

D De 90 estudiantes encuestados, sabemosque ala mitad les gusta el rock y los quegustan de la salsa son el triple de los quegustan solo del rock. Si 18 no gustan dela salsa y ni del rock, zcuantos de los en-cuestados gustan solamente de la salsa?

Resolvemos:Graficamos y asignamos una letra aI va-lor desconocido:

n(R) - 45 nISI - 3xGEY1BIn(U) =90

• Del grafico: x + 3x +18 c 90= x~ 18

• Luego, los que gustan solo de la salsason:

4x - 45 = 72 - 45 = 127 estudiantes IEn un deposito vehicular hay 120 autos,de los cuales a 361es fallan los frenos y a481as luces. Si los que no presentan fallasson el cuadruple de los que presentanambas fallas, c.a cuantos autos les fallansolo los frenos?


"ElJi""I n(U) -120

Del grafico: 36 - x + 48 + 4x = 120= x~ 12

estas revistas. Si 18 compraron COSASy VEA, 15 VEA Y SOMOS, Y 12 SOMOSY COSAS, c.cuantos no compraron estasrevistas?

Resolvemos:• Grafi cam os, ubicamos datos y asigna-

mos una letra aI valor desconocido:

n(V) - 39

x + 15

nISI - 51 n(U) - 120

• Del grafico:

48+ (6+X) + (15-X) + (24+ x) + (X+ 15) ~ 1202x~12=x~6

Luego, los que no compraron estas revis-tas son:

x + 15 ~ 6 + 15 ~ 121 personas IA una reunion asistieron 120 personas,de las cuales 62 hablan castellano, 60ingles y 53 frances, ademas 20 hablancastellano y frances, 28 frances e ingles,y 22 castellano e ingles. Si las que hablansolo frances son el triple de los que nohablan estos idiomas, zcuantas hablanlos tres idiomas?


5.x-3-

n(Fl- 53 nllll _ l?O

I~I~

Luego, a los que les tall an solo lOStrenosson: Del grafico:

62+ (10+x) + (28-x) + (5+x) +(5; X) = 120

-= .i(5 + x) _ 20 =- x - 103

Luego, las que hablan los tres idiomasson 110 personas I.

36 - x m 36 - 12 = 124 autos IA un puesto de revistas acuden 120personas, de ellos 48 compraron larevista COSAS, 39 VEA Y 51 SOMOS;los que compraron las tres revistas son15 menos de los que no compraron

se cumpie que:

Im+n+p+r-n(U)1

Una persona va todas las mananas delmes de junio a la panaderia. Si cornpropan durante 26 mananas, tostadas duran-te 16 mananas y siempre cornpro algunosde estos productos, zcuantes mananascom pro ambos productos?

76 personas viajaran a Europa. Sabemosadsmas que 24 visitaran Francia, 42 In-glaterra, 31 Espana, 15 Francia e Ingla-terra, 17 Inglaterra y Espana, y 9 Espanay Francia. Si los que no viajaran a estostres paises son el triple de los que via-jaran a los tres paises, i.cuantos viajaransolamente a Espana?

Rpta.: 12

En una entrevista de trabajo a 50 [ovenes,se observ6 que 36 usaban saco y 33 cor-batao Si 2 de los entrevistados no usabancorbata ni saco, zcuaotos usaban sola-mente corbata?

Rpta.: 10

A un paseo asisten 150 estudiantes. Sa-bemos que 60 compraron churros, 80helados y 50 gaseosas, adem as los quecompraron churros y helados, helados ygaseosas, gaseosas y churros, y los queno compraron estos productos son elcuaoruple, triple, doble y cuadrupla res-pectivamente de los que compraron lostres productos. i.Cuantos de los asisten-tes no compraron estos productos?

Rpta.: 40

I A un centro deportivo asisten 180personas. EI nurnero de personas quepractican solo v6ley, solo nataci6n y solorutbol es respectivamente el triple, dobley cuadrupls del numero de personas quepractica los tres deportes. Adernas 72practican v61ey, 54 nataci6n y 90 rutbol.Si 18 practican v61ey y nataci6n, y 24no practican estos deportes, i.cuantospractican nataci6n y rutbol?

Rpta.: 12

Los alumnos del 4.· grado de secundariason 90, de ellos 41 saben jugar ajedrez.48 saben jugar domin6 y 16 ambos jus-gos, i.cuantos de los alumnos no sabanjugar estos juegos?

Rpta.: 17

En un avi6n viajan 130 personas. Sabian-do que en clsrto momento 60 no coman,50 no beben y 8 duermen placidamente,i.cuantas personas comen y beben?

Rpta.: 28

De las 85 personas que viajan en un bus,los que tienen solo gorro son el doble delos que tienen solo zapatillas. Si los queno tienen estos artfculos son 5 menosde los que tienen ambos artfculos y 55tienen gorro, i.cuantas tienan solamantazapatillas?

Rpta.: 24

En una casa de empleos estan regstradas66 empleadas, de elias 32 saben planchar,16 cocinar y lavar, 141avar y planchar, y 18plancharycocinar. Si las que sabencocinary lavar son respectivamente el qufntuple ytriple de las que no saben realizar estastres actividades y ademas 10 empleadasrealizan estas tres actividades, i.cuantasempleadas solamente saben cocinar?

On'" . I)

Rpta.: 20

Entre 75 personas se determin6 que a 25les gustan las pelfculas de terror y a 35 lasc6micas. Si los que no gustan de estostipos de pelfculas son el triple de los quegustan solo las de terror, i.cuantas personasgustan de ambos tipos de pelfculas?

Rpta.: 15

u u u u uP1STA 4

En el gra1ico:

Uno de los datosque resulta intere-sante en problem asde tres conjuntoses la intersecci6nde ellos. va aile se

Cuarenta personas visitan una joyerfa, deelias 15 compraron sortijas, 14 cadenasy 18 esclavas, adernas 5 compraron sor-tijas y cadenas, 7 cadenas y esclavas, y4 esclavas y sortijas. Si 6 no compraronalgunas de estas joyas, i.cuantas perso-nas compraron las tres joyas?

D relaciona con losdemas datos.De 200 personas que gustan de al me-

nos dos pasatiempos sabemos que a 75les gustan los paseos y conciertos, a 90los conciertos y exposiciones, y a 85 lasexposiciones y paseos. i.A cuantas per-sonas les gustan los tres pasatiempos?

Rpta.: 25

Una empleada dornestica trabaj6 en unacasa durante 40 dlas consecutivos. Si 28dlas trabajo por la manana y 30 dlas porla tarde, zcuantos dlas trabajo manana ytarde?

Rpta.: 3


PISTA 3

Si uenen al menosuno de los servicios,esto significaque existen cerodepartamentos queno tienen estosservicios.

l - -

Relaciona solo dosconjuntos, ya que

~ Clara rue al supermercado todos los diasI-- durante el mes de enero. Adernas duran-

te 16 dias compro frutas y 25 dlas comptepan. Si 4 dlas no compro ninguno de estosproductos, i.cuantos dias compro solamen-te fruta?

En un edificio hay 40 departamentos, deellos 28 tienen cable y 30 internet. Si to-dos tienen al menos uno de estos servi-cios, i.cuantos departamentos tienen solointernet?

K:;_ De 100 estudiantes sabemos que 66 se_. comunican via facebook, 62 via twitter y 4

solamente por hotrnail. lCuantos estudian-tes emplean las redes sociaJes facebook ytwitter?

A un concierto asisten 130 personas. Seobserva que 90 usan lentes y 60 gorros. Silos que usan ambos articulos son el triplede los que no usan ninguno de estos articu-los, lcuantas personas usan solo lentes?

En un concurso se prernio a 70 estudiantes,de ellos los que recibieron trofeos y los querecibieron medaJlas son el triple y euadru-pie, respectivamente, de los que recibieronsolo diploma. Si 10 recibieron trofeos ymedallas, lcuantos estudiantes recibieron

IU~ que I~\;IU~II ~UIU

diplom a form an unconjunto disjunloal de los trofeos ymedallas.

solo rnedallas?

Relaciona los procesosde solucion que presenta n

dos 0 mas problemas.

Los finalistas de una olimpiada fueron 300.Sabiendo que 31 obtuvieron medallas deoro, 45 de plata, 68 de bronce, 12 de oro yplata,14 de plata y bronce, y 11 de broncey oro. Si 188 de los finalistas no obtuvieronmedallas, (,cuantos obtuvieron los tres tiposde medalla?

Se sortearon juguetes entre 80 nifios, Sa-t- biendo que 42 obtuvieron carritos, 38 ro-

bots, 30 pelotas, 12 carritos y robots, 18robots y pelotas, 14 pelotas y carritos, ylos que obtuvieron solo carritos son el cua-druple de los que no recibieron juguetes,(,cuantos recibieron solo robots?

Una distribuidora de golosinas atiende a 150clientes, de los cuales 81 cornpran carame-los, 51 galletas, y 72 mentitas, 27 caramel osy galletas, y 33 galletas y mentitas. Si losque cornpran solo caramel os y mentitas sonel doble de los aue cameran sola aalletas

l.i I A una feria acuden 100 personas de lasI""-" cuales las que cornen anticuchos, picaro-

nes y churros son el sextuple, quintuple ycuadruple respectivamente de las que co-men los tres productos. Si 30 personas co-men anticuchos y picarones, 20 picaronesy churros, 20 churros y anticuchos, y 10 nocornen estos productos, ('cuantos comensolo anticuchos?

Un pueblo tiene 200 casas, de elias a 90 lesfalta el servicio de electricidad, a 120 aguay a 80 telefono. Sabemos que a los que lesfaltan solo agua son el quintuple de los queles faltan solo electricidad y teletono, y es-tos a su vez son la mitad de aquellos a losque les faltan solo electricidad y agua. Sia 20 les faltan los tres servicios y 10 casastienen todos estos servicios, (,a cuantas ca-sas les falta agua y telefono?

De 150 socios de un club sabemos que 45tienen moto, 39 lancha y 54 auto, 15 motoy auto, 21 lancha y auto, los que tienen soloauto y moto, y los que lienen solo moto ylancha suman 12. Si los que no lienen es-tos vehfculos son el doble de los aue lienen

Procura que en elgrafico la incognitaeste ubicada detal manera que serelacione con elmayor numero dedatos posible.

• - 1_. ...... I ....

. . -y caramel os, adernas los que compran lostres productos son la mitad de los que nocompran estos productos, (,cuantos com-pran solamente gaJletasy mentitas?

solo auto, (,cuantos de los socios solo tie-nen moto?


V<. I('~ ut- I;:'

OS (U 09 (Soz (O~ l£ (v

S~ (6 U (£

9~ (S z (l

S (L S~ (~

• • • • •

o SISTEMA DE NUMERACION

Ifl~ N_U_M_E_R_A_C_16_N ....1~,(:;l~

~~

t HhW·!;J@ilW

Nlimero: Es la ideade cantidad.Numeral: Es larepresentacion deesa idea.

Ejemplo:·5762

numeralde cuatrocifras diferentes.

Conjunto de principios, reglas y simbolos con los cuales se da nombre y representan todos 10 nomeros.Los simbolos que se utilizan para representar los rumeros reciben el nombre de cifras.

o BASE DE UN SISTEMA DE NUMERACION

Es el nurnero que indica la cantidad de uni-dades necesarias para formar una unidadde orden inmediato superior.

En nuestro sistema de numeraci6n (sistemadecimal) se tiene que:

10 unidades forman una decena.

10 decenas forman una centena.

• 10 centenas forman un millar y as! sucesi-vamente.

La base de un sistema de numeraci6n es unnurnero entero positivo mayor que uno, queadsrnas indica la cantidad de cifras diferentesque se pueden emplear en dicho sistema.

• -1I~let,• ~"'I I~"",~". :f"I'1~

BASE CIFRAS DISPONIBLES NOMBRE

2 0; 1 BINARIO

3 0; 1;2 TERNARIO

4 0; 1; 2;3 CUATERNARIO

5 0; 1;2;3;4 QUINARIO

6 0; 1; 2; 3; 4; 5 SENARIO

7 0; 1;2;3;4;5;6 HEPTANAR.IO

8 0; 1;2;3; 4;5;6;7 OCTANARIO

U OCTAL

9 0; 1;2;3;4:5;~ 7;8 NONARIO

10 0; 1;2;3;4;5; 6;7;8; 9 DECIMAL

o REPRESENTACION DE UN NUMERO EN UN SISTEMA DE NUMERACION

3a(n): nurnero de dos cifras en base n.

5m3(b): nurnero de tres cifras en base b.

3ab21 (7): nurnero de 5 cifras en base 7.

3a8b: nurnero de 4 cifras en base 10 ( labase no se indica)

Ejemplo:

Si los numerales a35(6) y 42(<0estan correcta-mente escritos, halla el valor de a.

• Determinamos una re/aci6n entre la base y

denomina capicila,cuando al invertir elorden de sus cifras,no varia su valor,ast ,.._

595 _. 595'-.JI

2n2: nurnero caplcua de 3 cifras en ~el sistema decimal ( base 10) ,

m33m: numero capicUa de 4 cifras enbase 10.

las cifras de cada numeral.

• Unimos ambas re/aciones y determinamosel valor que buscamos.

3773 -+ 3773Debemos tener presente que en todo siste-ma de nurneracion, la base es siempre ma-yor que cualquiera de sus cifras.

De a35(6) - a < 6 oDe 42(1!Ij = a> 4

luego, el valor de a es [IJ.

o DESCOMPOSICI6N POLlN6MICA DE UN NUMERO

Consiste en expresar un numsro en terminos de potencias de su base ..j J 2 1 0---- 432abcde(n) = a.n + b.n + c.n + d.n + e

Ejemplo:• 342(6) - 3 x 62 + 4 x 6 + 2

• 2131(4)- 2x43+1 x42+3x4+1

• 7356(8) = 7 x 83 + 3 x 82 + 5 )(8 + 6

• 2343\5) = 2)( 54 + 3 )(53 + 4 )(52 + 3 x 5 + 1

o CAMBIO DE BASE

CASO IConvierte un numero del sistema de base10 aI sistema de base n (n ~ 10).

Ejemplo: Convierte 782 aI sistema de base9 (0 simplemente a base 9).

Para tal conversi6n procedemos a efectuardivislones suceslvas por 9, considerandoa los cocien1es como dividendos hasta quesean menores que 9, asl;

782 ts..62 86 lJ!_®®9lJ!_

"--'\._@ CD .- 1< 9"--'

EI numsro equivalente se forma con el ul-timo cociente seguido de los demas resi-duos tom ados de derecha a izquierda.

= 782 -11058(9) I

CASO IIConvierte un numsro de una base diferentede 10 al sistema de base 10.

Ejemplo: Convierte 4532(6) a base 10.

Esta conversion se puede realizer de dosformas, veamos:

II . 1 Por descomposlci6n polinomica:Se descompone el nomero y se efecrua:

4532(6) - 4 )(63 + 5 x 62 + 3 x 6 + 2

4532(6) - 864 + 180 + 18 + 2 -1064

11.2 Por el metoda de Ruffini:Se procede de la siguiente manera:

• CASO IIIConvierte un numero de una base diferentede 10 a otra base tambisn diferente de 10.

Ejemplo: Convierte 356(7) a base 5.

5 3 2

1062

Convierte 356(7) a base 10:

73l

5 621 182

3 26 188

NOlITA

Se sumankls numerosen una columna, elresultado se multipli-ca por el numero Querepresenta la base yel producto se co-loca en la siguientecolumna.

l J

iOBSERVAClllNI

AI comparar dos

numerales en basesdiferentes, a mayorbase, menor numeraly a menor base ma-yor numeral.

Convirtiendo 188 a base 5:Para realizar estas conversiones proce-demos en dos partes:

1.0 Convertimos el numeto inicial a base10 (por descompoeicion polin6micao por el metodo de Ruffini).

2.0 EI numero ya expresado en base 1010 convertimos a la base requerida(por divisiones sucesivas).


D i.Cuantos nurneros de la formaa(a + 1)(a - 1)(8) existen?

Resolvemos:Analizamos y determinamos los posiblesval ores para a:a(a + 1)(a - 1)(8)l l l1 2 0 ./

Existen 6 nurneros:2 3 ./3 4 2 ./ 120(8) ; 23\8) ;4 5 3 ./ o 342(8) ; 453(8) ;5 6 4 ./6 7 5 ./ 564(8) Y 675(8)7 8 6 )C

IRECUERDAIL L

En a3(b} se cumpleque:·3<b'a<b Convierte el numeral (4a)(a + 6)(a)(8) al

sistema de base 6 y da como respuestala citra de mayor orden.

Resolvemos:• No se puede convertir directamente, de-

bido a que no se sabe el valor de a.

• Calculamos el valor de a analizando el

fJ

numeral:

Para a « 1:Para a = 2:

(4a)(a + 6)(a)(8)

~ ~ t4 7 1 ./8 8 2 )C

Descom posicionpolinomlca de un

Entonces: (4a)(a + 6)(a)(8) = 47\8) = 313

Ahora convertimos el numero a la base 6(divisiones sucesivas)

313 lL13 52 l.§_CD @ 8 l.§_ = CD24\6J.....__,\__@ CD l cifra de mayor

.....__, orden

Si los numerales: 3b41"1; a52'Cl y 3c5171

D Si se cumple que: 234(n _2) = 105(n + 1) ,

hall a el valor de n.

Resolvemos:Descomponemos polin6micamenteambos miembros de la igualdad y _...~ j

resolvemos: "

2(n - 2)2 + 3(n - 2) + 4 = (n + 1)2 + 5n(n - 7) = 0

=>nz[I]

Calcula el valor de n, si:

34(n} + 52(n)= 130(n)

Resolvemos:Descomponemos polin6micamente y re-solvemos:

(3n + 4) + (511 + 2) = n2 + 3n0= n2_ 511 - 6

nX-6n +1

o = (n - 6)(n + 1)

Entonces: n - 6 & 0 => n a [I]Un obrero dispone de un juego de reglasespeciales de 1; 5; 25; 125; ... centime-tros cada una. Para medir una longitudde 2 metros, i.cuantas de estas reglasnecesltara?

Resolvemos:Observamos que las longitudes de cadaregia estan representadas por potenciasde 5.

• Las potencias de un numero se indicansiempre en una descomposici6n polin6-mica.

• Expresamos la longitud a medir en el sis-

sstan correctamente escntos,' halla 'e1valor de a + C,

IIUIII~I dl U~ Id IUlllid

abc(n):an2 + bn + C

Resolvemos:Analizando cada numeral:

3b4(a) =* b < a y 4 < a 4<a<c<7a52(C) = a < c y 5 < C 03C5(7) = c < 7

Entonces: a + C = 5 + 6 = @]

5 6

tema de base 5 (divisores sucesivas)

2 m < > 200 cm = 200 l2_@40l2_\_@8L2._

\_®CD"--"

• Entonces: 2(X): 1300(5)

Descomponiendo: 1300(5): 1 x 53 + 3 x s2

• Luego, se us6: 1 + 3 = 14 reglas I

D Indica la cantidad de numeros de la forma

~(a + 4)(2a)(12) que existen.Rpta.: 2

B Determina la cantidad de nurneros de la

forma a(a + 3)(a - 4)( ~ )(16)que existen.

Rpta.: 3

Convierte al sistema de base 9 el numerala(2a)(3a)( a + 2) (4) Y da como respuestala cifra de menor orden.

IJ

DRpta.: 3

Convierte el numeral a(a + 3)( a + 2) (5) aIsistema de base 7, luego determina la sumade las cifras de mayor y menor ordsn.

Rpta.: 12

Sabiendo que los siguientes numeralesestan escritos de forma correcta:

25c (b); a16(8); 42b(a); halla el valor de a + b.

Rpta.: 13

Si los numerales: 76b(9); 536'\b) Y m65n(a)estan correctamente escritos, halla el valorde a + b. Rpta.: 15

D Si se cumple que: 48(n + 1)= 62( n _ 1) ,

calcula el valor de n.Rpta.: 8

Si: 140(a _ 2) = 85(a), determina el valorde a,

Rpta.: 9

D Sabiendo que: 215(n) + 327(n) - 544(n) ,calcula el valor de n.

Rpta.: 8

• Calcula el valor de a que verifica la si-

Para pesar joyas se tiene un conjunto depesas de 1; 3; 9; 27; 81; ... gramos. Sise pes6 una joya de 500 gramos de oro,t.cuantas de estas pesas se emplearon?

Rpta.: 6 pesas

Indica la base del sistema de numeraci6nen el cual el mayor nurnero de tres cifras yel menor numero de 3 cifras, convertidosaI sistema decimal, suman 1451.

Rpta.: 11

Determina la base del sistema de numera-ci6n en el cualla suma del mayor numerode 3 cifras diferentes y el menor nurnerode 3 cifras suman, en el sistema decimal,798. Rpta.: 9

Si: aaa(8) = 1ooa(6) ;

halla el valor de ~.Rpta_: 2

Si se cumple que: aaa(9) = 1ao~6):

calcula el valor de -ha + 1.Rpta.: 3

Si: mnn(8) = 1&n(9);

determina el valor de m + n.Rpta.: 5

Sabiendo que: aabb (5)= (a + 4)ba(7):

halla el valor de b - a.Rpta.: 2

Halla el valor de n, si:

410(n) - 243(n) = 134(n)'Rpta.: 7

Compara cadacitra del numeralcon la baseindicada.

Debes descomponernnlinnnir.~mp.nlp.

guiente igualdad:

43(a+ 1) + 54(a+ 1) - 117 (a+ 1)Rpta.: 7

En un laboratorio aI vender alcohol seemplean envases de 1; 2; 4; 8; 16; ...litros. Si un comerciante compra 100 litrosde alcohol, lcuantos envases empleanpara envasar tal cantidad de alcohol?

Rpta.: 3envases

mil Calcula el valor de a, si se cumple:

a(2a)(38) - (a + 1)( a + 2)(7),

r _ _.._-

cada numeral de laigualdad.

Rpta.: 3 . J

Indica, en el sistema decimal, el nomerode la forma:

Rpta.: 547


Recuerda que en elsistem a de base 10(sistema decimal) labase no se coloca,esta sobreentendicia.

37 - 37(10)

.Whitt.

1-

Determina la cantidad de nurneros de la

forma (a - 3)(a + 2)(~)(a)(I2) que existen.

i.Cuimtos numeros de la forma(n - 3)(n - 2)n(n - 2)(n - 3) existen?

Convierte al sistema de base 7 el numeralde la forma: (a + 5)(3a)(a)(a - 2)(9)

Y da como respuesta la suma de las ci-

Si los numerales:

1mm( ....; mn(6) y 2123(m)

estan escritos de forma correcta, icuantosuman myn?

Los numerales:

abba(CI; 7cc(9); a 142(b) y 325(1)

estan adecuadamente escritos. Determi-na el valor de a + b + c.

t-

Sabiendo que: 342(,.. - 14\n+3)' calculael valor de n.

IVII p,VVVln.v '1"'V ,~

mayor de las cifrasque conform an unnum eral siempre esmenor que la basedel sistem a en elque esta escrilo.

lIi:I::i ue iuayor y nreuor oruen.

Recuerda kI teorla apropiada !Itram de emplearla en Ia solution

de nuevos protllemas.

Si: mnm(9) - (2n)(2n)m(8)' halla el valorde m - n.

Calcula el mayor valor que puede tomarn, si:

(n)(n + 1)(n+2I - (n - 1)(n)(9)

Detarmina al sistema de numeraci6n enal cual sa cumpla la siguiente opsracion:

24+34+41-143

i.En que sistema de numeraci6n el mayory menor nomero de tres cifras suman. enel sistema decimal. 575?

I~

Sabiando que:

(n - 1)(n - 2)n(8) - nnn(7)'

calcula el valor de n.

Si se cum pie que:

(2b)(a + b)(a - b)(6) - 6'baii(4)'

Recuerda que amenor numeralaparente, la base esmayor. Ejemplo:

2318 - 421.

Como: 231 < 421

Asum e una letrapara indicar la basey luego efecllia unadescompeslcenpolinomica de todoslos numerus.

determina el valor de a2 - b2.

S (ll S (9

stu IZ (S8 aseq (01 6 (~

9 (6 Z (£

S (8 SO.laW~U9 (Z

Z (l sOlaw~u £ (I

. • . . •


EI artificio provienede efectuar laoperaci6n:64 x 9 = 64 (10 - 1)

= 576

iCUIOAOOI

MULTIPLICANDO POR NUEVE

1. Para preparar una torta se requieren 640gramos de harina. Si se prepararan 9 tor-tas, i.cuimtos gramos de harina se nece-sitaran?

Resolvemos:Multiplicamos la cantidad de harina quese requiere para preparar una torta por elnumero de tortas; ... ihazlo menta/mente!

Multiplicando 64 por 10:

64x10=640

A esta cantidad Ie restamos el nurneromultiplicado:

640- 64= 576 :;

Respondemos:Se necesitaran r-15-7-6-0-g-ram-o-s--.t

Un autobus recorre 85 kil6metros en unahora. i.Cuantos kil6metros recorrera en 9horas?

Nueve amigos van a realizar un viaje yacuerdan aportar S/. 320 cada uno. i.Acuanto asciende el monte aportado?

En una empresa, cada una de las nue-ve recepcionistas recibe un sueldo deSf. 840. i.Cuanto dinero se emplea en elpago de las recepcionistas?

Un sobre de mermelada pesa 125 gra-mos. i.Cuanto pesaran 9 de estos so-bres?

CII,;CIU UC O'fU IU

escribimos alladodel resultado demultiplicar 64 x 9.

Sabemos que para preparar una hambur-guesa se emplean 144 gramos de carne.Para preparar 9 hamburguesas, zcuantosgramos de carne se necesitaran?

Una carretilla puede lIevar en un solo viajeun maximo de 9 cajas de medicina. Sicada caja pesa 4,50 kg. ;"cua! es el pesoque transporta como maximo por viaje?

AI hacer caIctio rapido 10hacemos mentaimenteempleando tecnicas basac1asen propiedac1es marem:ilicas.

MULTIPLICANDO POR LA DISTRIBUTIVA

8. Una costurera puede confeccionar unvestido en 42 minutos. ;"Cuanto tiempodemerara en confeccionar 56 vestidos?

Resolvemos:Multiplicamos el nernero de vestidos porel tiempo de conteccion de cada uno ...imentalmente!

42 x 56

Descomponemos 42 y efectuarnos:

(40 + 2)56.

40x56+2x562240 + 112

2352

Respondemos:Demerara 2352 minutos 0 39 horas 12 mi-nutos.

EI jefe de compras de una empresa re-quiere 72 sillas giratorias. Si cada unacuesta Sf. 120. ;"cuanto dinero necesitapara realizar la compra?

Un atleta recorrio diariamente 32 kilorne-tros. Si tal atleta como durante 27 dias,zcuantos kilometres recorrio?

EI costa para ver una pelfcula. en el cine.es Sf. 25. Si hoy asisten 240 personas.(..cuanto se ha recaudado?

Se han envasado 35 bidones con disol-vente. cuyo contenido es de 521itros cadauno. ("Cuantos litros de disolvente se hanenvasado?

EI factor a descom-poner como unasuma 0 diferencia,debe ser el massimple. sin importarsu valor.Ejemplo:

51 x 36(5Q.;:1) x 36

33x25~(30 + 3) x 25

• 35 x 2735(30:3)

Efeclua:

• 45 x 12• 21 x 38

Sabiendo que un estante pesa 24 kilogra-mos y un carnion transporta 32 de estos,zcuantos kilogramos de carga transportael camlon?


Una caiierfa averiada desperdicia 180 li-tros de agua mensualmente. iCuantos li-tros de agua se desperdician en 2 aiios?

·42 x 34• 55 x 45• 64 x 25

Luchin . ,isoves quepuedo deteY'minaY' elnumeY'o que piensas?

~~-~.....~-------I:: ~_ PLANTEO DE ECUACIONES I

iRECUERDAI

Para plantear laecuacion debemosestablecer com 0se relacionan losdatos con el valorasumido(x).

ICUIDADOI 0

Plantear una scuacion significa traducir un enunciado expresado en lenguaje habitual 0 cotidianoallenguaje sirnbolico 0 rnatematico.

1. Piensa un numero de una cifra: x

2. Sumale 6: x « 6

3. Multiplica la suma por 2: 2x + 12

4. Resta al producto el numeropensado: x+12

5. Despues ala diferencia, restele 12: x

Ahora dime tu respuesta ... , entonces el numeroque pensaste es ese.

Cada vez que un estudiante presenta sutarea, el profesor 10 bonifica con 5 puntosy cuando no la presenta Ie resta 3 puntos.Si el profesor propone 18 tare as en el mesy un estudiante obtiene una bonincacionde 42 puntos, zcuantas tare as presento?

• Lee el enunciado procurando identi-ficar el valor que se desconoce.

• Asignamos una letra (x) a dicho valory planteamos la ecuecion. ~.

• Resolvemos la ecuecion. Jt,

Ana tiene ahorrado el doble de dinero aue

I. PLANTEO DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Ya que nos piden determinar el nurnero detareas que presento, entonces

N: de tareas que presento ~ x

Como sabemos el total de tare as (18), tene-mos:

N: de tare as que no prssento ~ 18 - x

• Relacionando datos:

D

5(x) - 3(18 - x) ~ 42

Efectuando y resolviendo:

8x - 54 - 42 =- x s 12

Luego, el estudiante presentol12 tare as ,.

• Asumimos aue la incoonita (x) es 10 aue tiene

Betty y Carmen tiene Sf. 100 mas que eldoble de 10que tiene Ana. Si entre las trestienen ahorrado Sf. 1500, zcuanto tieneahorrado Carmen?

Como la incognitano coincide con elvalor que se pide,aSignamas parincognita al valorque se relaciona conmas datos. • Identificamos la inc6gnita (x).

• Relacionamos la inc6gnita con losdatos y formamos fa ecuscion.

• Reso/vemos la ecuecion.

Betty:Betty: X

Relacionamos con los dernas datos:

Ana: 2x

Carmen = 2(2x) + 100

Planteando y resolviendo:

x + 2x + (4x + 100) : 1500 = x: 200

Luego, Carmen tiene:

4(200) + 100 : I Sf. 900 I

II. PLANTEO DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 0 DE PRIMER GRADO

Como los precios de cada articulo no se co-nocen, entonces: cuademo : x; lapicero , yPlanteando las ecuaciones:

ax + 3y: 19 CD } SISTEMA5x + 2y : 31 ® DE DOS ECUACIONES

Resolvemos:

(-2) CD: -4x - 6y = -38 !(+) ,_.(3) ®: 15x + 6y = 93

11x: 55"", x:5y=3

• Luego: 3(5) + 4 (3) = ISf. 271

IIMaria gast6 Sf. 19 al comprar 2 cuademos y31apiceros y Luisa gast6 Sf. 31 al comprar 5cuadernos y 2 lapiceros. Si Juana compr63 cuadernos y 41apiceros, zcuanto pag6?

o Estrategia 0

• Identificamos los va/ores inc6gnitas.

• Refacionamos las incOgnitas con losdatos para formar ecuaciones.

• Reso/vemos el sistema de ecuacionesdeterminado.

D Si a los dos terminos de una fracci6n Iesum amos 4 unidades, resulta la fracci6n3/4 y si a los dos terminos Ie restamos 2unidades, resulta la fracci6n 1/2. {'Cuimtosuman los terminos de dicha fracci6n?

Los terminos de unafroc,e;on son sl numerodor

~ el denominador.

III. PLANTEO DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Sabiendo que las medidas de los lados deun rectanquto estan representadas por dosnumsros pares consecutivos y su area es48 cm2, zcuanto mide el largo del rectan-gulo?

Siteecuecionque se formaes de segundogrado, esta se resue/ve factorizando poraspa simple.

Sea la fracci6n (~); del enunciado tenemos:

~:!= % =;> 4a - 3b = - 4 CD

a - 2 = 1. "'" 2a - b = 2 ®b - 2 2

• Resolvemos:

CD+(-3)®: 2a=10 =:> a=5b=8

• Luego: a + b = @]

• Sean las medidas:ancho = x largo = x + 2

• Planteamos y resolvemos:

x(x + 2) = 48 =:> x2 + 2x - 48 = 0

xX+8x -6

(x + 8)(x - 6) : 0 =:> X = 6

Luego, ellargo mide: x +2 = 18 cm I

METODO DEREDUCCION

Se multiplica cadaecuacion por unmlmero tal que loscoeficientes de unamisma variable seanulen al sumarsela ecuaciones.

l J

NonTA

Un desaque demora tres horas mas envaclar una cisterna completamente lIe-na que un grlfo en lien aria. Si estando lacisterna vacla se abre simultaneernenteel grifo y el desague, esta se lIena en 18horas. i.Cuanto tiempo demora el grifo enlIenar la cisterna?

1. Sean los tiempos que emplean:grifo: xh desague: (x + 3) h

2. En una hora:grifo: 1.x

3. Planteamos1 1 1X-X+3-TBx2 + 3x- 54 = 0xX+9x -6(x + 9)(X - 6) .. 0

= x-6

1desaqde: - x + 3 0. t . 1jun os: 18

4. Luego. la cistemademora 16 horas I.

Para verificar latactonzacion:x2+ 2x- 48 - 0x ~+8=+8xx ~-6=-6x

~


Cuando seaplica el m etodcde recuccionpara resolverun sistem a deecuaciones,la variable areducir debe serla que presentacoeficientesnumertcosopuestos.

Si al cuadruplo de la longitud de un puen-te Ie aumentamos 150 metros. se obtie-ne un equivalente a 7 veces su longitud,disminuida en 210 metros. i.CUanto midedicho puente?

ResoIvemos:• Sea x la longitud del puente.

Planteamos: 4x + 150 = 7x - 210Resolviendo: 3x = 360 = x = 120Luego, el puente mide 1120 metros I.Una persona visita los negocios cercanosa su casa.AI euenc de la bodega Ie propone: ·Pres-tame tanto dinero como el que tengo a-hora en mi billetera y gastare en tu negocioSf. 200'; Ie ace pta y despues va a la farma-cia y luego a la ferreteria con la misma pro-puesta. Si al lIegar a casa no tiene dinero,i.cuanto tenia alliegar a la bodega?

ResoIvemos:Sea el dinero que tiene inicialmente x

• Planteamos:Bodega: (x + x) - 200 = zx - 200Farmacia: 2(2x - 200) - 200 = 4x - 600Ferreterfa: 2(4X - 600) - 200 = ax - 1400Aillegar a casa: 8x - 1400 = 0

• Resolviendo: x = 175• Luego, alliegar a la bodega tenia ISf. 175 ~

Entre Antonio y Cesar tienen S/.288. SiAntonio Ie diese Sf. 40 a Cesar, este ten-drfa el doble de 10 que Ie quedaria a An-tonio. i.Cuanto dinero tiene Antonio?

Rasa/vamos:

de faldas. Antes de realizar el acuerdo detrabajo hace un descuento de Sf. 5 porfalda y ahora su ganancia se reduce enSf. 60. i.Cuanto invirti6 en materiales?

ResoIvemos:

• Sea: nurneros de faldas - n ycosta de materiales - m

• Planteamos: 25n - m = 270 CD2Dn-m-210 ®

ResolViendo (restando ambas ecuaciones):25n - m - 270 ( - )2Qi-m-210

5n _ 60 = n = 12; m = 30

Luego, en materiales invirti61 Sf. 30 I.Si al cuadrado de un numero positivo seIe disminuye 13 veces el mismo nornero.el resultado es 30 unidades. i.CuaJ es elvalor de la tercera parte del nurnero?

ResoIvemos:Sea x el nurnero.Planteamos: x2 - 13x .. 30

• Resolvemos:

x2 - 13x - 30 _ 0 = (x - 15}(x + 2) = 0

Xx -15x +2

Luego, la tercera parte del numero es~.

x-1S v x=-2

Juan compr6 cierto numero de sacos dearroz por Sf.720. Si cada saco hubiesecostado Sf.12 menos. hubiera comprado3 sacos mas. i.Cuantos sacos compr6?

ResoIvemos:

• Asumimos: Antonio %a y Cesar %cPlanteamos: a + C %288 CD2(a - 40) • c + 40 - 2a - c %120 ®

• Resolviendo (sumando ambas ecuaciones):a +15 % 288 ! (+)

2a - t % 120 ;-3a~408 = a% 136

Luego, Antonio tiene 1 Sf. 1361.

• Sea: N.· de sacos inicial a X

N.· de sacos final %x + 3

Planteamos: 720 _ 12 % 720x x « 3

Etectuamos y reducimos:

720 (-1. - _1 -) _ 12 = 180 ~ x(x + 3)x x+3

Resolvemos:x2+3x-180_0 = (X+15)(x-12);0

iATENCIONI 1Si: (x-15)(x+ 2) - 0Entonces:x-15-0=x-15

ox+2-0=x--2 Una costurera cobra Sf. 25 por coser una

talda, incluyendo materiales. Se sabe quepiensa ganar Sf. 270 por cierto numero

XX+15x -12

• Luego, compr6112 sacos I.

Determina la longitud de un tUnel, sabien-do que el qulntuplo de su longitud dismi-nuido en 180 metros equivale aI doble desu longitud aumentado en 60 metros.

Rpta.: BOm

Juan tiene cierta cantidad de dinero en subilletera. Su jete Ie promete dar por cadadla de trabajo, tanto como la cantidad dedinero que lIeva ese dia. Sabiendo quedespuss que Ie pagan, cancela Sf. 30 engastos y que luego de 3 dias consecuti-vos aun Ie quedan Sf. 110, l.cuanto teniainicialmente?

Sabemos que una lampara cuesta Sf. 30Y una lintema Sf. 18. Si un minorista com-pr6 30 de estos articulos por un montede Sf. 648, l.cuantas lamparas compr6?

Rpta.: 9 /amparas

Tres amigos reunen 10 que tienen paracomprar una impresora. Si Beto aportaSf. 40 mas que Angel, Carlos aporta tantocomo Angel y Beto y la impresora cost6Sf. 440, l.cuanto aport6 Beto?

Rpta.: Sf. 130

Se tiene una fracci6n propia Si aI numera-dor Ie aumentamos 5 unidades y aI deno-minador Ie disminuimos 2, la fracci6n queresulta es 5/6; en cambio, si aI numeradorIe disminuimos 2 unidades y aI denomina-dor Ie aumentamos 1, la fracci6n que re-sulta es 1/5. l.Cuat es dicha fracci6n?

Rpta.: 5/14

Si a los dos terminos de una fracci6npropia Ie aumentamos 3 unidades, lafracci6n que ahora resulta es 5/6, perosi Ie disminuimos 5 unidades, la fracci6nresultante es 1/2. l.Cuat es la fracci6n?

Rpta.: 7/9

EI area de un rectangulo es 675 cm2. Si ellargo excede aI ancho en 2 ern, l.cuantomide el ancho del rectangulo?

Rpta.: 25 em

La longitud de los lados de un rsctan-gulo ssta determinada por dos nurnsroscuya diferencia es 6. Si su diagonal mide3Ocm, l.cuanto mide ellargo?

Rpta.: Sf. 40

Maria y Ada han logrado coleccionar untotal de 156 pulseras. Si Maria Ie da a Ada32 de sus pulseras, ahora Ada tendra eltriple de 10 que Ie queda a Maria. l.Cuan-tas pulseras tenia Ada inicialmente?

Rpta.: 85 pu/seras

Por soldar los tubos de un andamio, unsoldador cobra Sf. 8 por punto, incluyen-do la soldadura y piensa ganar Sf. 100por todo el trabajo. AI momento de cerrarel trato hace un descuento de Sf. 2 porpunto, resultando que ahora gana Sf. 70.l.Cuanto invirti6 en soldadura?

Rpta.: Sf. 20

Si aI sumar el cuadrado de un numsropositivo con 15 veces dicho nurnero seobtiene 216, l.cuat sera el valor del triplede dicho numero?

Rpta.: 27I In menil"" tr","'",i.. on I,n", I"lIn;I"'" I': h"r",,,

Oarletanto com0 10que lIevaequivalea queahora tengael doble de 10 quetenia.

-, ••• ,-_._- U ..............J ........... _., ..... _ ••••• _ .......... ,.., ......... "PI".. <I!" r.;m

Si la tercera parte del cuadrado de la edadque tidia tenia hace 10 anos es igual alaedad que tendra dentro de 8 anos, lcuales la edad de udia?

diarias. Cierto dfa decide atender 3 minu-tos menos a cada paciente y as! poderatender a 4 pacientes mas. iA cuantospacientes atiende normalmente?

Rpta.: 20 pacientes

La senora Luda compro 8 platos y 5 ta-zas por Sf. 49 Y la senora Martha com pro5 platos y 2 tazas por Sf. 25. Si la senoraRuth compro un plato y una taza, icuan-to pago?

fracci6n propiar: numerador~; (a<b)

[ denominadorRpta.: 19 a;;os.

Un cano tarda 3 horas mas que otro enlIenar un tanque vado. Si estando vadoel tanque se abren los dos canos, estese lIena en 2 horas, ien cuanto tiempo 10llensrta el ceno que vierte mas agua?

Rpta.: 3 horasRpta.: Sf. 8


II II II U II

Los mimeros paresconsecutivos sediferencian siempreen dos unidades.10; 12; 14; 16; ...'-"'-"'-"+2 +2 +2

( Se tienen tres numsros pares consecuti- ')vos, tales que si el mayor se divide por 5,el intermedio por 7 y el menor por 2, lasuma de los cocientes resulta 23. Deter-mina el numero mayor.

Cuatro hermanos acuerdan dar unacolaboracion para el regalo de mama.Antonio da la rnltad de 10 que da Bruno,Bruno da Sf. 20 mas de 10 que da Carmeny Carmen da el cuadruplo de 10 que daDoris. Si entre todos logran juntar Sf. 360,icuanto eporto Antonio?

Si a cada termino de una fraccion propiase Ie aumentan 5 unidades, se obtiene lafraccion 4/5, pero si a cada termino seIe disminuyen 4 unidades, se obtiene lafracci6n 1/2. Determina la diferencia detales terminos.

Las longitudes de los tres lados de unt- triangulo rectangulo estan representadas

por tres nurneros pares consecutivos.Halla la medida dellado menor.

Una heladeria vende solo helados de__ ,_._ ...... _,_-1 __ -1 11 _

En un lriangulo rec- Itanqulo se curnple elleorem a de Pila-goras.

~ c

IIIClIIIQ Y uu:, uc ~u~ ."CIIVI C~ IIIJd:t, yc:t:..ta en pasajes Sf. 520, en cambio cuandoviaja con su hermana mayor y sus tresmenores hijas gasta Sf. 480. Si las me-nores pagan menos, zcuanto se pagapor cada una de elias?

tJan:HClY 'ICIClUVO) Utf \..'.Cilia. UIIQ tJC1~UIICl

pens6 comprar 4 helados de paleta y 3de crema y asf pagar S/. 17, pero compr65 de pal eta y 2 de crema, pagando S/. 16.i.Cuanto cuestan dos helados de paleta?

Relaciona tus ronocimientosodquir-idos. para determinar-

nuevo5 sstru 1'8905 de solution.

Hace dos arios la edad de Nelly fue el tri-r- pie de la edad de Juana y dentro de 2

anos la edad de Nelly sera el doble de laedad de Juana. Indica la edad actual deJuana.

Dos hermanos ganaron, en cierto nego-cio, Sf. 79 050. Si los 3/4 de 10 que gan6el mayor equivale a los 4/5 de 10 quegan6 el menor, i.cuanto gan6 el menor?

c. Un obrero realiza un trabajo en la cuarta

Un arquitecto ofrece realizar un proyectoen 18 dias. pero tarda 6 elias mas, por tra-bajar 2 horas menos cada dia i.Cuantashoras trabaj6 diariamente?

La altura de un triangulo mide la terceraparte de 10 que mide su base. Si el areade dicho triangulo es 216 cm2, i.cuantomide su base?

r-

Una cuadrilla de obreros pueden cons- I

Para relacionarel trabajo,determinamosemil es la parte delmismo que realeaeada uno y tambienen forma eonjunta,en un dia.

sew O£ (UUJ39£ tu

parte del tiempo que emplea su ayudan-teo Si trabajando juntos hacen el trabajoen 4 dras, ien cuantos dias hace dichotrabajo el ayudante, si trabaja solo?

truir una pared perimetrica de un cam-po deportivo en cierto nurnero de dias,mientras que otra cuadrilla demoraria 30dfas menos. Si ambas cuadrillas trabaja-ran juntas. dicha pared se construiria en20 dias. iCuantos dfas demora la cuadri-lIa mas eficiente?

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O£ (L


1. LOS CHICOS DE MI CUADRA

En mi cuadra, los Azurra tienen 4 hijos mas quelos Reyes, los Alvarez 4 menos que los Velarde,los Velarde 3 mas que los Reyes y los Nieto 2menos que los Velarde. Cuando IIegaron a vivira la cuadra los Bautista. notaron que la cantidadde hijos en nuestras familias, incluidos ellos,eran nurneros consecutivos. 6Cuantos hijos tie-nen los Bautista en relacion a los Alvarez?

2. HACIENDO MALABARES

Dos equilibristas han colocado 5 trozosde madera en posicion vertical; adernas lalongitud de cada uno de estos es 7; 10;8,5; 12 y 9 centimetres. respectivamente.Si en cierto momento durante la funcion,

uno de los trozos de los extremos cae,(,cual es el trozo de madera que no tocaraa los dsmas, si la distancia entre trozo ytrozo es 8 cm?

3. OPERADOREs MATE MATICOS

Coloca operadores maternaticos entre losnurneros, de tal manera que se cumpla laigualdad.

Vl>iquen operadolresentre los numeros para

que se ,umplo 10iguoldod.

4. UsEMOs LAS OPERACIONEsELEMENTALEs

En los espacios en blanco, horizontales y vertica-les, coloca "+, -, x 0 :" de tal manera queobtengas 0, 1, 2, ... Y 9, tal como se indica.

2 2 2 2 2 -1

2 2 2 2 2 -2

2 2 2 2 2 -3

2 2 2 2 2 -4

-9 -8 -7 _6 _5


_~tllli Acumulativo parcialD Un protesor de literatura deja como

trabajo domiciliario, a sus 45 alum-nos, la lectura de tres obras (LI, ~ yL3). AI tomar los respectivos exame-nes observa que:

- 15 han leido LI - 25 han Ie/doL2- 35 han leido L3 - 10han Ie/doL I Y L2-20hanleidoL2yL3-10hanleldoL1 y L3- 9 han leldo L,. L. Y L.

l.Cuantos alumnos no han leido nin-guna de las tres obras?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Halla b, si se cumple la siguienteigualdad:

1213 - 22(9)I.

IS(b)

D

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

D Dos nurneros son tales que su sumaes (-4) y su diferencia (-2). Calculala suma de sus inversas.

a) 4/3d) - 3/4

b) 3/4e) - 4/3

c) 1

De un grupo de personas, 56 hanviajado alguna vez al sur, 43 han via-jado aI norte y 31 han viajado a am-bos lugares. Si adem as el numero depersonas que no ha viajado a ningunlugar es igual al numero de personasque solo ha viajado al norte, caleulael total de personas.

a) 70d) 90

b) 80e) 50

c) 60

l.Cufil es el sistema de numerar.i6n

D EI triple de un nurnero excede a otroen 10; mientras que el triple del otroexcede aI primero en 26. Da comorespuesta eI nurnero menor.

a) 5 b) 7 c) 9 d) 11 e) 13

D La suma de los cuadrados de dosnumeres reales es igual a 2, y lasuma de los mismos es igual a -2. EIproducto de ellos es:

a) 1 b) -1 c) 3 d)-3 e) 2

AI primer dia de dases de un coIegio deeducaci6n primaria asistieron 25 estu-diantes (entre nilios y nilias). De ellos:- 12 eran nilias- 18 asistieron con uniforme- 4 ninas asistieron sin uniformel.CuaJ fue la cantidad de nilios queasistieron sin uniforme?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Si la siguiente igualdad es correcta,calcula eI valor de a.

aaa(8) - (~)(2a + 1)( ~)a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

Si aI dividir 368 por un numero en-tero positivo, el cociente excede endos unidades al duplo del divisor yel resto es 4, halla el producto de losdigitos del numero.

a) 6 b) 2 c) 3 d) 5 e) 4

A una reuniOn familiar asistieron 80personas en total, de las cualas, 30

Dos nurneros se diferencian en 4; yla mitad del menor, mas eI triple delmayor es 5. Da como respuesta eInumero mayor.

a) 2 b) -2 c) 1 d) -1 e) 7

Entre dos Omnibus tienen 120 pasa-jeros. Si del Omnibus con mas pasa-jeros se trasladan los 2/5 de ellos aIotro Omnibus, ambos tendrian igualnumero de pasajeros. i.Cuilntos pa-sajeros tiene cada Omnibus?

a)110yl0 b)90y30 c)100y20d) 70y 50 e) 80y 40

Si se cumple la siguiente igualdad:420(b)- 110l2b)'i.cuaJ es eI valor de b?

a) 5 b) 6 c) 7d) Cualquier valor entero y positivoe) Cualquier valor entero mayor que 4

Si se cumple que: XXXX(4) - 2010(5)'halla eI valor de x.a)1d)253

b) 2 c) 3e) Falta informaciOn

La suma y la diferencia de dos canti-dades son, respectivamente, eI cubay eI cuadrado de 2. Indica la suma decuadrados de dichos nurneros.

a) 40 b) 30 c) 36 d) 64 e) 48

De un total de 120 estudiantes deingenieria electrOnica, se sabe que60 aprobaron Matematica I; 35aprobaron Flsica I; 45 el curso deQulmical; 15 aprobaron Fisica I y

en el que el maximo numero de trescifras diferentes se representa, en elsistema decimal, como 501?

a) Quinario b) Senario c) Heptanariod) Octanario e) Notario

Se conlrata un empleado por un ario,acordando pagarle 5/.7000, mas untelevisor; pero al cumplir 7 meses seIe despide paqandole 5/. 2500, mas eltelevisor. EI precio del televisor es:

a) 4200d) 3500

b) 3600e) 3800

c) 4000

ttl dll IIIU Jt:1t:::>.

Si 60 de los asistentes bailaron y 10mu jeres no bailaron, indica el numero

de hombres que no bailaron.

a)13 b)14 c)10 d)12 e)15

AI sumar el mayor numero de lres ci-fras, no todas iguales, con el menornumero de tres cifras de un mismosistema de numeraciOn se obtiene390. Halla el nurnero que representa labase de este sistema de numeraciOn.

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

Quimica I; 20 Fisica I y Matematica I;10 Quimica I y Matematica I, y solo 5del total aprobaron los lres cursos.

('Cuantos alurnnos no aprobaronningun curso?

a) 24 b) 25 c) 21 d) 20 e) 19

Se han escrito la serie de los nu-meros naturales desde el 1 hasta el2001. ('Cuantas veces ha sido utiliza-da la cifra 2?

a) 600d) 603

b) 601e) 604

c) 602

D Para el aniversario de un colegio, ladirecci6n acuerda realizar 3 concur-sos: Matematicas, Fisica y Quimica.AI final de las 165 inscripciones seobserv6 que:- 87 se inscribieron en Matematicas.- 91 se inseribieron en Fisica.- 75 se inseribieron en Quimica.- 35 se inseribieron en M atemaficas

y Fisica.- 17 se inscribieron en Quimica y

Matematicas.Los que se inscribieron en Matemati-cas y Quimica pero no en Fisica sonla tercera parte de los que se inscri-bieron en Fisica y Quimica pero noen Matematicas.i.Cuantos se inscribieron en los trescursos?

a) 20 b) 12 c) 5 d) 9 e) 42

D Si se cumple la siguiente igualdad:

10a3(7) - abb(ll)'

halla: b - a.

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

II Se pag6 una deuda de 5/.900 conbilletes de S/. 50 Y de 5/.20. i.Cuan-tos billetes de 5/. 20 se han uti lizado,si se sabe que hay 3 billetes mas de5/.20 que de 5/. 50?

a) 18 b) 15 c) 25 d) 20 e) 30

D En una encuesta efectuada a 100 es-tudiantes, se obtuvieron los siguien-tes resultados:- 60 practicaban rutbol.- 50 practicaban basquet.- 30 practicaban ajedrez._ ?n "I"~,-..ti,..~h~n ""lthl"\l H h~cl1l1at

Acumulativo parcial

D Carlos Ie dice a Juan: "Ten go dosveces la edad que tenias, cuando yotenia la edad que tienes, y cuandotengas la edad que tengo, la sumade nuestras edades sera 72 aries".('Cual es la edad actual de Carlos?

a) 25 b) 15 c) 12 d) 30 e) 32

D De un total de 46 personas que acos-tumbran viajar al interior del pais, seobserva que 26 conocen Cusco, 31conocen Trujillo, 28 conocen Ica y12 conocen los 3 lugares. ('Cuantaspersonas conocen aI menos 2 de lostres lugares?

a) 15 b) 18 c) 21 d) 27 e) 41

Dada la igualdad: abba(7) = 914(12)

halla: a. b.

a) 10 b) 12 c) 15 d) 8 e) 18

ID Calcula dos numsros de modo que5 veces el mayor excede en 44 a 1/7del menor, y el doble del menor exce-de en 11 a 1/3 del mayor.

a) 9 y 7d) 7 Y 13

b) 7 y 5e) 9 y 17

c) 11 Y 9

En un conocido instituto de idiomas,se han matrieulado 55 personas, delas cuales 25 desean estudiar portu-gues, 32 espaiiol, 33 italiano y 5 lostres idiomas. i.Cuantas desean estu-diar solo 2 idiomas?

a) 30 b) 14 c) 12 d) 23 e) 25

ID EI numeral de la forma:

(a - 2)(a + 1)a(5)' aI representarlo en

base 7, se obtiene 011'0 numeral cuya

de un libro y son 3817. Indica elnumero de la ultima pagina.

a) 1230

d) 1233

b) 1231

e) 1234

c) 1232

II En un salOn de clase, unos conver-san, otros estudian y la quinta partedel total jreqan. Si 9 alurnnos dejanel estudio por el ~ego, entoncesahora jreqan tantos como conversany estudian juntos. i.Cuantos alumnoshay en el salOn de clase?

a) 18 b) 25 c) 32 d) 30 e) 40

Se han escrito la serie de los numerosnaturales desde el 1 hasta N y se hanutilizado en total 5169 cifras. Halla Ny da como respuesta la suma de suscifras.

a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24

Calcula el jornal que se Ie paga a unobrero, si el dueiio de la tab rica pagapor dia 5/. 1140 correspondientes a25 jornales de obreros y a 40 jomalesde ayudantes, sabiendo que con elmismo gasto podria aumentar a 45 elnamero de obreros y reducir a 15 elnumero de ayudantes.

a) 20 b) 18 c) 16 d) 22 e) 24

Ii Para escribir los 23 ultimos numerosde una serie que empieza en el nu-mero 1, se han utilizado 75 cifras.

i.CuaJ es la suma de las cifras del ul-timo numeral?

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

Un motociclista recorre un trayectode 100 km con velocidad uniforme.

-- f".------ ..._-_.,-_._,---- 10 practicaban rutbol y ajedrez.Los que practicaban basquet y aje-drez pero no rutbol son el doble delos que practicaban rutbol y ajedrezpero no basquet. i.Cu€lntos practica-ban los 3 deportes ala vez?

a) 15 b) 10 c) 5 d) 30 e) 22

suma ae C11Tases:

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

II En una funci6n de teatro se observan410 parejas; al finalizar la misma, senota que 210 de elias se van a ce-nar y 260 se van a caminar. i.Cuantaspersonas salen solo a cenar?

ra.la IIC~Cl.I "Ilia IIUlQ cun.c;:t ut:: IV

previsto, aumenta en 5 km/h dichavelocidad. i.En que tiempo recorreriadicho trayecto, si disminuyese suvelocidad en 10 km/h?

a) 5hd) 13h

b) 7he) 16h

c) 10h

EI i.Cuantos numeros existen en el sis-tema decimal que tienen la siguiente

forma: (a - 2)b(8 - a) ?

a) 60 b) 90 c) 120 d) 150 e) 180

b) 200

e) 350

c) 250 Si: aaaa(5) - (a + 2) (a - 2)a ,

halla: (a+ 2)/(a - 2)

a) 2 b) 1,5 c) 2,5d) 1,5 e) 3

a) 150d) 300

Se han contado las cifras que se hanutilizado para enumerar las paginas


D En los 360 primeros numeros natu-rales, determina la cantidad de nu-meros que son mulfiplos de 2 perono de 4 ni de 9.

a) 50 b) 60 c) 70 d) 80 e) 90

D Sea el nurnero de la forma:

(t)(~)(b + 1)(a + 1)(a + b - 3)(15)

i.cuantos numeros de esta formaexisten?

a)8 b)9 c) 11 d)12 e)16

D Se forma un conjunto empleando lasletras de la palabra RAZONAMIEN-TO. i.Cutli es la cantidad de subcon-juntos que contienen a 10 mas 7 ele-mentos?

a) 280 b) 128 c) 500 d) 256 e) 502

D De un grupo de 95 personas, 40 lIe-van lentes. La cantidad de varonescon lentes es tanto como las damassin lentes y la cantidad de damascon lentes es la mitad de los varonessin lentes. i.Cual es la cantidad devarones de dicho grupo?

a) 40 b) 45 c) 50 d) 55 e) 60

II Se cumple: aba(C) - d1c(9)

eOe - 1211 0ce}, adsmas d > 5

calcula el valor de: a + b + c + d + e.

a) 21 b) 25 c) 27 d) 29 e) 31

Juan comi6 una manzana y/o man-

Acumulativo parcialhacian era n. i.Cual fue el numero deasistentes, si fue el mayor posible?

a) 8272d) 9724

b) 8250e) 9250

c) 9272

D Un nurnero de tres cifras significativasy diferentes en base 10, aI convertirlo abase 7, se sscribatambien con 3 cifras,pero cada una de elias es eI doble dela cifra que Ie corresponde en base 10.Halla el nurnero en base 8 y da comorespuesta la suma de sus cifras.

a) 9 b) 11 c) 13 d) 14 e) 15

A Luis Ie cobraran 51. 29 por eI trasla-do de 5 docenas de frutas y a Juan5/.35 por 8 docenas, pero como cjulIeva una misma cantidad extra de do-cenas de frutas, ahora les cobraran ac/u una misma cantidad adicional. Siel numero de docenas extras que lIe-va cju es igual al cobro adicional quepaqara cju y al final ambos paqaranel mismo precio por docena, i.cuantopagara Juan al final?

a) S/.40d) 5/.54

b) 5/.46e) 5/.57

c) 5/.50

Calcula la cantidad de cifras que sehan utilizado para escribir los numerosconsecutivos desde 85 hasta 2834.

a) 10066d) 10061

b) 10068 c} 10067e} 10070

II EI M etropolitano parti6 de la estaci6ncentral hacia Matellini, lIegando aesta con 54 pasajeros. Solo viajaronadultos quienes pagaron S/.1 ,5 cadauno, recaudandose 51. 108. Si en cadaparadero baj6 un pasajero y subierondos, i.cuantos pasajeros partieron de

Halla el valor de p, sabiendo que:2 - - -p . mn(p) + nm(p) -7(D)(p~'

n=m+2 y D=13

a) 2 b} 3 c) 4d) 5 e) 6

II Halla el valor de n - m, si:

336 = mmO(n)

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

En una clase de 65 alumnos, 9 apro-baron solo fisica, 12 solo quimica, 8solo trigonometria y 5 aprobaron los3 cursos; de los que aprobaron fisica,23 aprobaron quimica 0 trigonome-tria; de los que aprobaron quimica,18 aprobaron fisica 0 trigonometriay de los que aprobaron trigonome-tria, 13 aprobaron fisica 0 quimica.i.Cuantos no aprobaron estos cur-sos?

a)1d)4

b) 2e) 5

c) 3

Si se cumple que:

[a4(12)]2 - 2bab(12)'

calcula el valor de a + b

a) 3d) 7

b) 4e) 9

c) 5

m Empleando solo dos cifras se formandos nurneros capicuas de 4 cifras, enel sistema de base 8, cuya suma ter-min a en 4.

Indica la maxima suma de dichas ci-fras.

I

~~~~~~~~~~~~~~~~~~

ano 2008. Si 20 mananas comi6manzanas y 18 mananas mandari-nas, l.cuantos dlas comi6 solo man-zan as?

a) 7 b) 9 c) 11 d)15 e)20

la estaci6n cenlral?

a) 12d) 48

b) 64e) 72

c) 36a) 12d)6

D A un evento asistieron menos de10000 personas. En cierto momentose observ6 que el nurnero de rnu-jeres que bailaban era m:3 y el nu-mero de las que no 10hacian era m;el numero de hombres que bailabanera n2 y el nurnero de los que no 10

De una encuesta realizada a 280 in-genieros, se supo que 82 son de sis-temas, 91 son de eleclr6nica y 107son de mecanica. Si 130 ingenierostienen solo una carrera y 6 tienen lasIres carreras, l.cuantos ingenierostienen solo dos carreras?

a) 48d) 66

b) 55e) 70

c) 62

b) 10e) 4

c) 8

Sean A Y B dos conjuntos diferentesdel vacio. Si el numero de subconjun-tos propios del conjunto potencia deA es 15 y eI numero de elementos deB es una unidad mas que eI numerode elementos de A,l.cuantos subcon-juntos propios, diferentes del vacio,tieneB?

a) 2d)8

b) 4e) 10

c) 6

D Javier compr6 cierta cantidad de CD'spara venderlos. Pero al lIegar a sutienda se da cuenta de que el 40% delos CD's que compr6 se rompieron.Luego, cuando Ie faltaba vender laquinta parte de 10que vendi6, decidesubir el precio. Si en la primera ventagan6 el 70%, l.cual es el tanto porciento en que deb era incrementar eIcosto original de los CD's restantespara ganar en total eI2%?

a) 40%d) 75%

b) 60%e) 85%

c) 70%

• Si se cumple que:

a(a + l)(a + 2)(C) - bab(4) ,

calcula el valor de (a + c) b.

a) 36 b) 7 c) 32 d) 25 e) 243

De 48 nines que gustan de loscaramelos, a 24 Ie gustan los delim6n, a 23 los de fresa, a 5 los delim6n y fresa, pero no los de naranja,a 4 los de naranja y lim6n pero no losde fresa, a 13 solo los de naran ja ya 8 solo los de fresa. Si solo gustande estos Ires sabores, i.a cuantos lesgustan los Ires sabores?

a) 5 b) 7 c) 4 d) 6 e) 8

D Un ingeniero conlrata 3 albaniles,8 ayudantes y 4 aprendices parauna obra, invirtiendo semanalmente5/.5070, ademas el pago diario de 4albafiiles equivale al de 5 ayudan-tes y el de 7 ayudantes al de 12aprendices. Si no trabajan los do-mingos, l.cuanto gana diariamenteun albariil?

Acumulativo totala) 25 b) 30 c) 24 d) 18 e) 12halla la suma de los nurneros de 3

cifras que se puede formar con m,n y p.

a) 1776d) 2767

b) 1767e) 2876

c) 1877

D VIViana vendio 3 mochilas mas quecarteras, recaudando 10 mismo enambas ventas. Si cada cartera la ven-di6 a S/.57 mas que cada mochila y10 recaudado fue 5/.1520 en total,i.cuantos articulos vendi6?

a) 8 b) 9 cJ 11 d} 12 e) 13

Para vender una lavadora se recar-go el precio de costo en 40%. AImomento de venderla, se hizo unarebaja del 45% y se perdio 5/.276.i.CuaJ es el precio aI que se vendi61alavadora?

a) S/.700 b) 5/.756 c) 5/.924d) 5/. 1200 e) 5/.1680

II Tres cistern as, funcionando juntas,pueden lIenar la tercera parte de unreservorio en 6 horas. Si funcionaransolo la 1: y la 2: cisterna lIenariantodo el reservorio en 24 horas y sifuncionaran la 2: y la 3:, 10 llenarianen 48 horas. i.En cuanto tiempo lIe-naria la tercera parte del reservoriosolo la 2: cisterna?

a} 2 diasd) 5 dias

b) 3 diase) 6 dias

c) 4 dias

Si: lmnpq(4) -1030(1<) y k - nm(z),

calcula el valor de z.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

En una urna hay 24 canicas blancas

De 116 jOvenes, se sabe que 62 usanrei oj, 57 usan collar y 56 usan lentes.Adernas, 8 usan los tres articulos yel dable de ellos no usan articulo a1-guno. Deterrnina la diferencia entrela cantidad de j6venes que usan solodos articulos y solo un articulo.

a) 22 b) 26 c) 28 d) 30 e) 33

II Si: (m - l)m(m + l)(n) - ppm(S),

l.en cuantos sistemas de numera-ci6n de base impar se expresara elnumeral nmp con tres cifras?

a) 9 b) 11 c) 15 d) 17 e) 18

Antonio ha comprado cierta cantidadde melros de tela por S/.l44. Si eImelro hubiese costado S/.S menos,con la misma suma de dinero hubieracomprado 2 metros mas, i.cuantosmetros de tela compr6?

a) 4 b) S c) 8 d) 10 e) 12

Tengo el 70% de 10 que tenia aver,que era Sf. so mas. Si hoy perdiese5/.24 mas que eI 40% de 10 que ten-go, i.cual es el % de 10que tuve averrepresenta 10 que tendria mariana?

a) 5%d) 30%

b) 10%e) 3S%

c) 18%

IISi el valor de a aumenta en un 10%y eI valor de b disminuye en un20%, i.en cuanto varia la expresion

3a2b?

a) Aumenta en 10%b) Disminuye en 10%"'\ Art.".. ................. ., ')O!

a) S/.65d) S/.78

b) S/.72e) S/.80

c) S/.75 Y 36 canicas negras. l.Guimtas ca-nicas negras se deberan aumentarpara que el porcentaje de las blancasdisminuya en 8%?

a) 12 b) 15 c) 18 d} 20 e) 24

Si 30 hombres 0 50 mujeres puedenconfeccionar 400 casacas de do-ble dificultad, trabajando 25 dias araz6n de 8 horas diarias, l.cuantasmujeres deben reforzar a 30 hom-bres para poder confeccionar 400casacas de triple dificultad en 20dias trabajando 10 horas diarias?

VI f ~........... _ .... f v,_ IV

d) Disminuye en 3,2%e) Disminuye en 5%

Indica la cantidad de sistemas denumeraci6n donde el numero 325 sepuede escribir con 3 cifras.

a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16

lID Halla la suma de las cifras del numeroque en el sistema de base 5 y 7 seescribe con dos cifras iguales, peroen diferente orden.

De 110 personas que compran fru-tas, sabemos que 40 compran fresasy manzanas, 55 manzanas y plata-nos, y 45 platanos y fresas. Si talespersonas compran aI menos dos deestas frutas, l.cuantas compraron lastres clases de fruta?

a) 14 b) 10 c) 13 d) 15 e) 12

Si: 4m53(p) - 2n44(8) , a) 9 b) 7 c) 10 d) 6 e) 8

5to Secundaria razonamiento matemático

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