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Análisis de Señales en Geofísica 6° Clase Discretización de una Señal Analógica Facultad de Ciencias Astronómicas y Geofísicas, Universidad Nacional de La Plata, Argentina
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Análisis de Señales en Geofísica
6° Clase
Discretización de una
Señal Analógica
Facultad de Ciencias Astronómicas y Geofísicas,
Universidad Nacional de La Plata, Argentina
Discretización de una
Señal Analógica
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Transformada Integral de Fourier
Recordemos que una función ( ), definida en un dominio continuo ( , ), se
puede representar como una combinación lineal de exponenciales complejas:
1 ( ) (
2
f t
f t F
) Síntesis o Transformada Inversa
Donde el espectro de frecuencia ( ) está dado por la siguiente expresión:
( ) ( ) Análi
i t
i t
e d
F
F f t e dt
sis o Transformada Directa
Indicaremos de la siguiente manera que ( ) es la transformada integral de Fourier de
la función ( ) :
( ) ( )
F
f t
f t F
Discretización de una
Señal Analógica
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Muestreo de una Señal Analógica
Consideremos una señal analógica ( ) cuya transformada integral de Fourier está
dada por: ( ) ( )
Su transformada inversa de Fourier es:
a
i t
a a
x t
X x t e dt
1 ( ) ( )
2
La señal discretizada se puede expresar de la siguiente manera:
1 ( ) ( )
2
Por convenienc
i t
a a
n
i n t
n a a
x t X e d
x
x x n t X e d
(2 1)
(2 1)
ia expresamos esta integral como una sumatoria de integrales:
1 ( )
2
rt
i n t
n a
rr
t
x X e d
Discretización de una
Señal Analógica
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Muestreo de una Señal Analógica
(2 1)
´ 2
(2 1)
2Hacemos el siguiente cambio de variables ´ :
1 1 2 ( ) ´
2 2
rt t
i n t i n t i rn
n a a
r rr
t t
rt
x X e d X r e et
´
Simplificando la exponencial compleja e intercambiando el orden de la sumatoria y de
la integral, obtenemos:
1 2
2
Ah
ti n t
n a
r
t
d
x X r e dt
ora hacemos el siguiente cambio de variables , y obtenemos:
1 1 2
2
Dejemos por un momento esta ecuación.
i n
n a
r
t
x X r e dt t t
Discretización de una
Señal Analógica
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Series de Fourier
Recordemos que una función ( ) que está definida en un dominio continuo, y que
además es periódica, de período , se la puede desarrollar en series de Fourier de la
siguiente forma:
f t
T
2
2
2
2
( )
Donde los coeficientes de Fourier están dados por:
1 ( )
T
T
i ntT
n
n
n
i ntT
n
f t a e
a
a f t e dtT
Discretización de una
Señal Analógica
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Series de Fourier
Una función periódica, de período , tendrá un espectro de frecuencias o transformada
integral de Fourier dado por líneas espectrales de amplitud 2 , ubicadas en múltiplos
de la frecuencia fundament
k
T
a
0
0
2al: , es decir:
( ) 2 ( )
La síntesis de la señal en tiempo está dada por:
1 1 ( ) ( )
2 2
k
k
k
i t
k kT
F a k
f t F e dt
2
0
0
0
2
( )
( ) ( )
( )
i t
k
k
i kti t
k k
k k
i ntT
n
n
a k e dt
f t a k e dt a e
f t a e
Discretización de una
Señal Analógica
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Muestreo de una Señal Analógica
La respuesta en frecuencia o transformada de Fourier de una señal discreta está dada
por: ( )
Teniendo en cuenta que ( ) es una función
i n
n
n
X x e
X
continua y periódica de la frecuencia,
podemos intercambiar los roles de tiempo y frecuencia, y utilizar series de Fourier
para escribir: 1 ( )
2
i
nx X e
Ahora comparando con la expresión que obtuvimos anteriormente:
1 1 2
2
Podemos ver que la relación entre la transformada
n
i n
n a
r
d
x X r e dt t t
de Fourier de la señal discretizada
y la transformada de Fourier de la señal analógica es:
1 2 ( ) a
r
X X rt t t
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Muestreo de una Señal Analógica
1 2( ) a
r
X X rt t t
maxmax
max max t max
( )aX
( )X 1 t
1 t
( )X
max max t max
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Aliasing en Frecuencia
Teorema del Muestreo Podemos ver que si el intervalo de muestreo es muy grande las repeticiones del
espectro de frecuencia se solaparán, en ese caso las frecuencias más altas del espectro
se mezclarán con las más bajas.
t
max
Este fenómeno en el cual las frecuencias más altas
toman la identidad de las más bajas es conocido como . Es claro que si la
frecuencia máxima presente en la señal es menor que la mitad d
aliasing
e la frecuencia
de muestreo no se producirá solapamiento entre repeticiones. Como ya hemos visto
a la mitad de la frecuencia de muestreo se la llama frecuencia de Nyquist:
1N S2
max N
La condición para evitar aliasing es:
Esto es conocido como Teorema del Muestreo.
t
t
Discretización de una
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Aliasing en Tiempo
Análogamente cuando discretizamos en frecuencia producimos periodicidad en tiempo
2de período :
2
2
maxt t
max
max
2 Veamos a qué es igual Para que no se produzca aliasing
en tiempo se debe cumplir que:
2
1
1
t
t N t M t
N M
N M
:
2
2
t
t
tM
M t
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Interpolación Seno Cardinal
Si cumplimos con la condición del teorema de Nyquist, podemos recuperar la señal
analógica a partir de la señal discreta. Veamos como hacerlo:
1 ( ) (aX t X
t
) si
Utilizando la transformada integral de Fourier, teniendo en cuenta que la señal es de
banda limitada, y que cumple con Nyquist, podemos escribir:
1 ( )a
t t
x t
t t1
( ) ( )2 2
Como: ( ) ( )
Entonces:
1 ( ) ( )
2
t t
i t i t
a
i tn
a
n
i tn i t
a a
n
X e d t X t e d
X t x n t e
x t t x n t e e d
t
t
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Interpolación Seno Cardinal
t t
Intercambiando el orden de la sumatoria y de la integral, obtenemos:
1 ( ) ( )
2 2
Resolviendo la integral:
t
i t n ti tn i t
a a n
n n
t
tx t t x n t e e d x e d
( )2
2
sin
( )
Esta expresión no
i t n t i t n ti t n t t t t
a n n
n n
t
a n
n
t e e ex t x x
i t n ti t n t
t
t n tt
x t x
t n tt
max
s permite recuperar la señal analógica de banda limitada a partir de las
muestras tomadas con un intervalo de muestreo y es conocida como
interpolación seno cardinal ( ).
t
Sinc interpolation
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Interpolación Seno Cardinal
𝑥𝑎 𝑡 = 𝑥𝑛
∞
𝑛=−∞
𝑠𝑖𝑛𝜋∆𝑡 𝑡 − 𝑛∆𝑡
𝜋∆𝑡 𝑡 − 𝑛∆𝑡
= 𝑥𝑛 ∗𝑠𝑖𝑛𝜋∆𝑡 𝑡
𝜋∆𝑡 𝑡
= 𝑥𝑛 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝑐𝜋
∆𝑡𝑡
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Transformada de Fourier
de la Función Cajón
Definimos a la función cajón como:
1 si ( )
0 si
El cálculo de su transformada de Fourier es inmediato:
( ) ( ) i t
T t Tf t
T t T
F f t e dt
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sin ( ) 2
TT i t i T i T i T i Ti t
T t T
e e e e ee dt T
i i i T
TF T
T
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Transformada de Fourier
de la Función Cajón
La longitud de la función cajón en tiempo es 2 . Definimos al ancho de banda
2del seno cardinal como la distancia entre sus dos primeros cruces por cero = .
T
El producto de las longitudes en uno
T
y otro dominio será constante:
2 2 4
Por lo tanto, una función cajón larga en tiempo tendrá una respuesta angosta en
frecuencia y vicevers
TT
a. En el límite cuando la longitud de la función cajón en tiempo
tienda a infinito el seno cardinal en frecuencia tenderá a una delta de Dirac.
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Transformada de Fourier
de la Función Cajón
Utilizando la propiedad de simetría de la transformada de Fourier:
1 si ( ) ( ) entonces ( ) ( )
2
Podemos demostrar que la transformada de Fourier de una función
f t F F t f
0 0
0 0
seno cardinal es una
función cajón:1 si
F( )0 si
El cálculo de la transformada inversa de Fourier es inmediato:
0 000
0 0
sin sin1 ( ) 2
2
t tf t
t t
Discretización de una
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Transformada de Fourier
de la Función Cajón
0
Discretización de una
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Cuando observamos una señal que se extiende desde hasta lo
hacemos desde un instante inicial hasta un instante final, es decir que al
observar la señal la estamos multiplicando en tiempo por una función
cajón, lo cual es equivalente a convolucionar su espectro de frecuencia por
una función seno cardinal. El efecto de esta convolución es el de
distorsionar el espectro de frecuencias suavizándolo, por lo tanto estamos
perdiendo resolución en el espectro de frecuencia. Esta pérdida de
resolución debida a la longitud finita de los datos observados es inevitable
y solo podemos mejorar la resolución observando la señal durante un
tiempo más prolongado. Si la función cajón es muy larga la función seno
cardinal será muy angosta, en el límite para una longitud de observación
que tienda a infinito el seno cardinal tenderá a una delta de Dirac. Por el
contrario si el tiempo de observación es muy corto, la función cajón será
muy corta y el seno cardinal será muy ancho, lo que provocará una pérdida
severa de resolución en frecuencia.
Resolución en Frecuencias
Discretización de una
Señal Analógica
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Otra forma de ver la interpolación
seno cardinal: Vimos que la relación entre la transformada de Fourier de una señal analógica y la
transformada de Fourier de la misma señal pero discretizada está dada por:
( )X t
-1
1( )
Si multiplicamos a esta expresión por y por la siguiente función cajón:
sin1 si 1 t
( ) TF ( ) ( )
0 si
a S
r
X rt
t
tt t
F F f tt
t t
t
Obtenemos una expresión para recuperar la transformada de Fourier de la señal
analógica a partir de la transformada de Fourier de la señal discretizada, siempre
que hayamos cumplido con el crite
t
rio de Nyquist:
( ) ( ) ( )aX t F X t
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Otra forma de ver la interpolación
seno cardinal:
La operación equivalente en el dominio del tiempo será:
( ) ( ) * ( ) ( ) ( )
Esta es otra forma de llegar a la fórmula de interpolación seno cardinal:
( )
a n a
a
x t t f t x X t F X t
x t
sin sin1
( ) * *
Esta expresión puede interpretarse como una sumatoria de senos cardinales escalados
y retardados.
n n n
n
t t n tt t
t f t x t x xt
t t n tt t
Discretización de una
Señal Analógica
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¿Tiempo Limitado-Banda Limitada?
En la práctica siempre que apliquemos la transformada discreta de
Fourier, la señal tendrá que ser de banda limitada en frecuencia, para
poder discretizarla en tiempo, y de longitud limitada en tiempo, para
poder discretizarla en frecuencia y así implementar la transformada
discreta de Fourier con un número finito de términos.
Sin embargo, el teorema de tiempo limitado-banda limitada nos dice
que ninguna señal puede ser simultáneamente de tiempo limitado y de
banda limitada, excepto el caso trivial cuando la señal es constante e
igual a cero.
En la práctica veremos que las señales pueden tender asintóticamente
a cero hasta alcanzar valores tan pequeños que están por debajo del
valor más pequeño que podemos observar y podremos por lo tanto, a
los fines prácticos, considerarlas nulas. El ejemplo típico es el seno
cardinal el cual está definido con valores distintos a cero entre menos
infinito e infinito, sin embargo a partir de cierto tiempo el valor de la
función será tan pequeño que podremos considerarlo nulo.
Discretización de una
Señal Analógica
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Bibliografía:
Karl, John H. (1989), An introduction to Digital Signal
Processing, Academic Press, Chapter Six.
Oppenheim, Alan V. and Schafer, Roland W. (1975),
Digital Signal Processing, Prentice-Hall, Inc.
