6. electro digital

Electrónica digital

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IES ASTURES

INTRODUCCIÓN A LA ELECTRÓNICA DIGITAL

1. INTRODUCCIÓN. SEÑALES ANALÓGI- CAS Y DIGITALES.

Podemos dividir la electrónica en dos grandes

campos: la electrónica analógica y la electrónica

digital, según el tipo de señales que utilice.

Llamamos señal, a la variación de una magnitud

que permite transmitir información. Las señales

pueden ser de dos tipos:

Señales analógicas: son las señales que varían

de forma continua en el tiempo entre dos valores

extremos, pudiendo adoptar cualesquiera de los

infinitos valores intermedios entre los anteriores.

Señales digitales: son las señales que pueden

adoptar sólo algunos valores concretos.

Ejemplo: Supongamos un circuito formado por

una LDR, como el de la figura. Consideramos

como señal de salida del circuito la tensión en el

punto S.

LDR

S 6 V

Vamos a exponer la LDR a dos situaciones dife-

rentes:

a) Colocamos la LDR al aire libre, expuesta a luz

natural. Esta luz irá variando a lo largo del

día, y tendrá variaciones debido, por ejemplo,

a la ocultación temporal del sol por el paso de

alguna nube. Si representamos en un gráfico

la variación de la tensión en el punto S (con

respecto a masa) a lo largo del tiempo, ob-

tendremos una curva similar a la de la figura:

VS

6 V

0 V t

Se observa que la tensión varía de forma con-

tinua y toma todos los valores intermedios en-

tre los valores máximo y mínimo. Se trata de

una señal analógica.

b) Colocamos la LDR en un habitáculo cerrado

(sin luz natural) junto a un foco luminoso. A

continuación encendemos y apagamos el foco

varias veces según nos parezca. La variación

de la tensión en el punto S adoptará ahora

una forma bien distinta:

VS

6 V

0 V t

Se observa que la tensión varía de forma dis-

continua, adoptando únicamente dos valores

concretos, un valor bajo cuando el foco está

apagado y un valor alto cuando el foco está

encendido. Se trata de una señal digital.

Hoy en día, con la creciente complejidad de los

procesos industriales y de los elementos necesa-

rios para su control, los grandes volúmenes de

información que es necesario tratar, la revolución

de las comunicaciones, etc, se hacen imprescin-

dibles métodos de control electrónico cada vez

más sofisticados. En este contexto, las señales

digitales presentan importantes ventajas fren-

te a las analógicas, como son su mayor inmu-

nidad a las interferencias, mayor simplicidad de

tratamiento, economía de circuitos, etc.

En electrónica digital se utilizan señales que

pueden adoptar únicamente dos valores bien

diferenciados. Por ello, estas señales se deno-

minan señales binarias.

Los circuitos digitales estarán compuestos por

dispositivos capaces de distinguir y de generar

señales binarias; como veremos, los dispositivos

electrónicos digitales más básicos, y a partir de

los cuales están constituidos todos los demás,

se denominan puertas lógicas.


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2. SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO.

El sistema de numeración de la vida cotidiana es

el sistema decimal, que utiliza diez signos (de 0

a 9). Codificando adecuadamente estos diez

signos podemos representar cualquier número,

realizar operaciones con ellos y, en definitiva,

representar y transmitir cualquier tipo de infor-

mación.

Los circuitos digitales utilizan para su trabajo el

sistema de numeración binario, que utiliza úni-

camente dos signos, el 0 y el 1. A cada uno de

estos símbolos se le denomina bit.

El sistema decimal es de base 10, es decir, un

número equivale a un polinomio o suma de tér-

minos formados por potencias de 10, multiplica-

das cada una de ellas por un factor, que es uno

de los signos del sistema de numeración. Por

ejemplo:

4508 = 4 · 103 + 5 · 102 + 0 · 101 + 8 · 100

El sistema binario es de base 2, es decir, un nú-

mero equivale a un polinomio o suma de térmi-

nos formados por potencias de 2, multiplicadas

cada una de ellas por un factor, que es uno de

los signos del sistema (0 ó 1). Por ejemplo:

110101 = 1·25 + 1·24 + 0·23 + 1·22 + 0 ·21 + 1·20

2.1. Paso de sistema binario a decimal y viceversa.

Para pasar un número en sistema binario a su

equivalente en sistema decimal se expresa el

número binario por su polinomio equivalente de

potencias de dos y se suman sus términos.

Ejemplo: Pasar 110101 a decimal

110101 = 1·25 + 1·24 + 0·23 + 1·22 + 0 ·21 + 0·20

= 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 53

Para pasar un número en sistema decimal a su

equivalente binario se realizan sucesivas divisio-

nes por dos hasta que el último cociente sea 1.

El número binario estará formado por un 1 se-

guido de los restos ordenados de las sucesivas

divisiones. El orden de colocación viene determi-

nado por la siguiente regla: “el resto de la prime-

ra división corresponde al bit menos significativo

(el situado más a la derecha)”.

Ejemplo: Pasar 26 a binario

División

26 : 2

Cociente

13

Resto

0

13 : 2 6 1

6 : 2 3 0

3 : 2 1 1

1 1 0 1 0

2.2. Otros códigos binarios.

El código que hemos visto se denomina código

binario natural, pero existen otros códigos bina-

rios.

Uno de los más utilizados es el código BCD

(Decimal Codificado en Binario). Para represen-

tar un número decimal en BCD, se representa

por separado cada una de sus cifras en código

binario natural. El número de bits necesarios

para representar cada cifra es de cuatro.

Decimal

BCD

0 0000

1 0001

2 0010

3 0011

4 0100

5 0101

6 0110

7 0111

8 1000

9 1001

Ejemplo: Representar 348 en BCD

348 = 0011 0100 1000

El código BCD que hemos descrito se denomina

BCD natural, existen otros códigos BCD pero

que no veremos. 3. EL ÁLGEBRA DE BOOLE.

Como hemos dicho, los circuitos digitales operan

con señales binarias, de forma que sólo distin-

guen entre dos valores de tensión: nivel alto y

nivel bajo. Los niveles de tensión dependerán de

la tecnología utilizada. Por ejemplo, con los dis-

positivos de tecnología TTL, el nivel alto es 5 V y


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el nivel bajo 0 V. Para la codificación binaria de

las señales, al nivel alto se le asigna el 1 y al

nivel alto el 0 (aunque puede ser al contrario).

Ahora bien, los circuitos digitales deben realizar

a menudo operaciones de gran complejidad, de

forma que el diseño del circuito no es simple. Es

necesaria una herramienta matemática útil para

abordar el diseño de estos circuitos. Dicha

herramienta es el álgebra de Boole.

El álgebra de Boole es aplicable a variables que

sólo admiten dos valores posibles, que se desig-

nan por 0 y 1. Estos símbolos no representan

números, sino dos estados diferentes de un dis-

positivo. Por ejemplo, una lámpara puede estar

encendida (1) o apagada (0), un interruptor o un

pulsador pueden estar cerrados (1) o abiertos

(0).

3.1. Función lógica y tabla de verdad.

Llamamos función lógica a toda variable binaria

cuyo valor depende de una expresión matemáti-

ca formada por otras variables binarias relacio-

nadas entre sí por las operaciones + (más) y ·

(por). A la función lógica se le denomina variable

dependiente y a las variables que forman la ex-

presión matemática se les denomina variables

independientes.

Ejemplo: la función S = a + b·c

Esta expresión se interpreta como “la variable S

vale 1 cuando la variable a vale 1 o las variables

b y c valen 1”. S es la variable dependiente y a,

b y c son las variables independientes.

Podemos verlo más fácilmente con una analogía

eléctrica. Supongamos el siguiente circuito:

a

S

b c

Definimos la función S como el estado de la lám-

para: encendido (1) o apagado (0). La variable

“a” es el estado del interruptor “a”: abierto (0) o

cerrado (1). Las variables “b” y “c” se definen

igual que la “a”.

En efecto, podemos observar que la lámpara

estará encendida (S = 1) cuando “a” esté cerrado

(a = 1) o bien “b” y “c” estén cerrados simultá-

neamente (b = 1 y c = 1).

Las funciones lógicas se representan mediante

las llamadas tablas de verdad, en las cuales se

indican los valores que adopta la función lógica

ante todas y cada una de las combinaciones de

valores de las variables independientes. Si te-

nemos n variables independientes, tendremos 2n

combinaciones posibles.

La tabla de verdad de la función S = a + b·c es:

a b c S

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

La tabla tiene dos partes, las columnas de la

izquierda corresponden a las variables indepen-

dientes o variables de entrada. La columna de la

derecha corresponde a la variable dependiente o

variable de salida.

Cada fila de la tabla representa una combinación

posible de las variables de entrada, y el corres-

pondiente valor que adopta la variable de salida.

Con “n” variables de entrada pueden darse 2n

combinaciones diferentes. 3.2. Las operaciones básicas del álge- bra de Boole.

Se definen tres operaciones básicas: la suma

lógica, el producto lógico y la complementación

(o negación). SUMA LÓGICA

Se representa por el signo +. Si tenemos dos

variables de entrada a y b, su suma lógica se

representa por:

S = a + b


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a S

0 1

1 0

a b S

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

“la suma lógica vale 1 cuando alguna de las va-

riables de entrada vale 1”.

Para dos variables, su tabla de verdad es:

a b S

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

El circuito eléctrico equivalente es:

a


a b S

Los circuitos electrónicos que realizan esta ope-

ración lógica se denominan puertas lógicas

AND. El símbolo que se emplea depende de la

norma empleada:

S a Norma ASA

b b

S = a · b

a Norma IEC

b

S = a · b &

Los circuitos electrónicos que realizan esta ope-

ración lógica se denominan puertas lógicas OR.

El símbolo que se emplea puede ser de dos tipos

dependiendo de las normas que se empleen.

COMPLEMENTACIÓN O NEGACIÓN

Se aplica a una sola variable de entrada. Se re-

presenta colocando un guión encima del nombre

de la variable. Si ésta es “a” por ejemplo, su

a Norma ASA

b

a

Norma IEC b

S = a + b

S = a + b 1

complementación se representa por “ a ” (se lee

a negada).

S = a

Si a = 0 entonces S = 1, si a = 1 entonces S = 0.

Su tabla de verdad es:

PRODUCTO LÓGICO

Se representa por el signo ·. Si tenemos dos

variables de entrada a y b, su producto lógico se

representa por:

S = a · b

“el producto lógico vale 1 cuando todas las va-

riables de entrada valen 1”.

Para dos variables, su tabla de verdad es:


a S

a

El contacto “ a ” es complementario del “a” de

forma que cuando éste último está abierto el

primero está cerrado y viceversa.


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a b S

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

El circuito electrónico que realiza la operación

lógica de complementación se denomina inver-

sor o puerta NOT. Los símbolos empleados son:

Norma ASA a S = a

a S = a Norma IEC 1

3.3. Propiedades del álgebra de Boole.

Estas propiedades y teoremas son muy impor-

tantes para simplificar las funciones lógicas.

3.4. Otras puertas lógicas. Aparte de las puertas anteriores, que realizan las

operaciones básicas del álgebra de Boole, exis-

ten otras puertas que realizan funciones lógi-

cas especiales porque resultan de la combina-

ción de dos o más funciones simples. Estas

puertas son las siguientes: Puerta NOR

Realiza la suma lógica negada (Función NO OR,

o abreviadamente función NOR).

La expresión matemática para dos variables es:

S a b

La tabla de verdad de la función NOR es:

a 1 1

a 0 a

a a a

a a 1

a a

a ·1 a

a · 0 0

a·a a

a · a 0

a b S

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

Su símbolo, como antes, depende de la norma:

Propiedad conmutativa:

a + b = b + a a · b = b · a

Propiedad asociativa:

(a+b)+c = a+(b+c) (a·b)·c = a·(b·c)

Propiedad distributiva:

a · (b + c) = a · b + a · c

a + (b · c) = (a + b) · (a + c)

a

Norma ASA b

a

Norma IEC b

Puerta NAND

S = a + b

S = a + b 1

Teoremas de absorción

a + (a · b) = a

a · (a + b) = a

a a · b a b

a · (a b) a · b

Realiza el producto lógico negado (Función NO

AND, o abreviadamente función NAND).

La expresión matemática para dos variables es:

S a · b

La tabla de verdad de la función NAND es:

Teoremas de Morgan

a b ... z a · b ·.....· z

a · b·....· z a b ..... z


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a b S

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Función C. integrados Nº puertas Nº entradas

OR 74LS32 4 2

AND

74LS08 4 2

74LS11 3 3

74LS21 2 4

NOT 74LS04 6 1

NOR

74LS02 4 2

74LS27 3 3

74LS260 2 4

NAND

74LS00 4 2

74LS10 3 3

74LS20 2 4

74LS30 1 8

EXOR 74LS86 4 2

EXNOR 74LS266 4 2

Su símbolo, como antes, depende de la norma: La tabla de verdad de la función EXNOR es:

a Norma ASA

b

S = a · b

a Norma IEC

b

S = a · b &

Sus símbolos son:

a

S = a b

Puerta OR EXCLUSIVA

También llamada puerta EXOR. Sólo existe para

dos entradas. Presenta a su salida el valor lógico

1 cuando las variables de entrada presentan

valores diferentes, y presenta el valor lógico 0

cuando losl valores de las variables de entrada

Norma ASA Norma IEC

b

a

b = 1

S = a b

coinciden. Se representa por:

S = a b

y equivale a: S = a · b a · b

La tabla de verdad de la función EXOR es:

a b S

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Sus símbolos son:

3.5. Circuitos integrados comerciales con puertas lógicas de tecnología TTL.

Los circuitos integrados de puertas lógicas más

populares son los de la serie 74LSXX, fabricados

con tecnología TTL. Son circuitos de 14 patillas

que se alimentan a + 5 V. La patilla 7 es la que

se conecta a masa (0 V) y la patilla 14 la que se

conecta a 5 V. Las restantes patillas son las en-

tradas y salidas de las puertas.

Para algunas funciones lógicas existen puertas

de más de dos entradas (3, 4 e incluso 8 entra-

das).

a Norma ASA

b

S = a b

a Norma IEC

b

S = a b = 1

Puerta NOR EXCLUSIVA

También llamada puerta EXNOR. Sólo existe

para dos variables. Presenta a su salida el valor

lógico 1 cuando los valores de las dos variables

de entrada coinciden, y presenta el valor lógico 0

cuando los valores de las variables de entrada

son diferentes. Se representa por:

S = a b

y equivale a: S = a · b a · b

Existen también circuitos de puertas lógicas de

tecnología CMOS, que son de menor consumo

que los de tecnología TTL y se pueden alimentar

a una tensión de entre 3 y 18 V.


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4. DISEÑO DE CIRCUITOS DE PUERTAS LÓGICAS.

El método más simple, cuando el número de

variables de entrada no es grande, consiste en

obtener la tabla de verdad de la función lógica a

partir de las condiciones físicas de funcionamien-

to del circuito que quiero diseñar.

Después obtendremos la función lógica a partir

de dicha tabla de verdad y por último se simplifi-

ca esta función lógica.

Ejemplo 1: Disponemos de tres finales de carre-

ra, “a” “b” y “c” para el gobierno de tres motores,

M1, M2 y M3, según las siguientes condiciones:

– No estando accionado ningún final de carrera,

permanecerán parados los tres motores.

– Estando pulsado sólo “a” debe girar M1.

– Estando pulsado sólo “b” debe girar M2.

– Estando pulsado sólo “c” debe girar M3.

– Accionando dos finales de carrera cualesquie-

ra, girarán los tres motores.

– Mientras se encuentren accionados los tres

finales de carrera, no deberá girar ningún mo-

tor.

La tabla de verdad del circuito de control del sis-

tema es:

a b c M1 M2 M3

0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 1

0 1 0 0 1 0

0 1 1 1 1 1

1 0 0 1 0 0

1 0 1 1 1 1

1 1 0 1 1 1

1 1 1 0 0 0

Términos de indiferencia

Hasta ahora hemos supuesto que cada combi-

nación de entradas a un circuito lógico ha de dar

una salida o bien 0 o bien 1. Sin embargo, a ve-

ces sucede que algunas de dichas combinacio-

nes de entrada no podrán darse físicamente de-

bido a las características del sistema que se pre-

tende controlar con el circuito lógico.

Pensemos, por ejemplo, en el circuito para con-

trolar el movimiento de un ascensor, y que algu-

nas de las variables de entrada son finales de

carrera que detectan la planta el edificio en la

que se encuentra el ascensor. Resulta evidente

que no podrán estar activados al mismo tiempo

el final de carrera de la 1ª planta y el de la 3ª.

A estos términos se les llama términos de indi-

ferencia, y da lo mismo que la salida del circuito

lógico sea 0 ó 1, ya que de hecho no se va a dar

este caso (evidentemente salvo averías). Estos

términos se representan mediante una “x” o un

guión “-“ en la tabla de verdad, y, como veremos

luego, pueden ser bastante interesantes de cara

a simplificar el circuito lógico.

Ejemplo 2: Sea un sencillo montacargas que se

mueve entre dos plantas, que llamaremos “baja”

y “alta”. Dispone de dos interruptores, “s” y “b”

para ordenarle que suba o baje respectivamente,

que ofrecen un nivel lógico 1 cuando se accio-

nan. Además dispone de dos finales de carrera,

uno en la planta baja, “FCb” y otro en la planta

alta “Fca” que se activan, dando lugar a un nivel

lógico 1, cuando el montacargas se posiciona

justamente en su planta respectiva. El circuito

ofrecerá dos salidas, una, llamada “Ms”que al

activarse con un valor lógico 1 hará que se pon-

ga en marcha un motor que hará que el monta-

cargas suba, y otra, llamada “Mb” que al activar-

se con un valor lógico 1 hará que el motor gire

en sentido contrario y el montacargas baje.

Las condiciones de funcionamiento son:

– Si se activa el interruptor “s” y el montacargas

no está en la planta alta, el montacargas

sube.

– Si se activa el interruptor “b” y el montacargas

no está en la planta baja, el montacargas ba-

ja.

– El montacargas estará parado tanto si no es-

tán activos ni “s” ni “b” como si lo están am-

bos simultáneamente.

Tenemos un sistema con cuatro variables de

entrada (“s”, “b”, “FCb”, “Fca”) y dos variables de

salida (“Ms” y “Mb”), cada una de las cuales ten-

drá su función lógica.

Con cuatro variables de entrada pueden darse 24

= 16 combinaciones diferentes, pero tendremos

en cuenta que, salvo averías, las señales “FCb”

y “Fca” no pueden estar activas simultáneamen-


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te, por lo que la salida en estos casos es indife-

rente. La tabla de verdad será:

FCb FCa s b Ms Mb

0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 1

0 0 1 0 1 0

0 0 1 1 0 0

0 1 0 0 0 0

0 1 0 1 0 1

0 1 1 0 0 0

0 1 1 1 0 0

1 0 0 0 0 0

1 0 0 1 0 0

1 0 1 0 1 0

1 0 1 1 0 0

1 1 0 0 x x

1 1 0 1 x x

1 1 1 0 x x

1 1 1 1 x x

4.1. Obtención de la función lógica a partir de la tabla de verdad.

Para obtener la función lógica se suman todos

los productos lógicos correspondientes a las

combinaciones que dan salida 1, asignando al

valor 1 la variable en estado normal y al valor 0

la variable en estado complementada.

menos espacio y aumentar la fiabilidad del circui-

to.

Normalmente, lo que se hace es intentar obtener

una función lógica equivalente a la anterior, con

el menor número de términos posible y cada

término con el menor número de variables posi-

ble.

Existen diversos métodos. Veamos dos de ellos: Simplificación por el método algebraico

Consiste en utilizar las propiedades y teoremas

del álgebra de Boole que hemos visto para agru-

par y simplificar los términos de la función lógica.

No es un método sistemático y no resulta muy

útil cuando la función es compleja. Además,

tampoco tenemos garantía de que el resultado

obtenido sea la expresión mínima.

Ejemplo 1: Vamos a simplificar la función lógica

correspondiente al motor M1 del ejemplo ante-

rior:

M1 = a · b · c a · b · c a · b · c a · b · c

Utilizo la propiedad a = a + a para repetir el tér-

mino:

a · b · c

O sea, no altero nada porque yo añada un térmi-

no que ya exista de cara a usarlo en dos simplifi-

caciones. Queda:

Ejemplo 1: veamos la función lógica correspon-

diente a cada uno de los motores del ejemplo 1

anterior:

M1 = a · b · c a · b · c

Utilizo que:

a · b · c a · b · c a · b · c

M1 = a · b · c a · b · c a · b · c a · b · c

M2 = a · b · c a · b · c a · b · c a · b · c

M3 = a · b · c a · b · c a · b · c a · b · c

a · b · c a · b · c

Igualmente:

a · b · c a · b · c

a · b · ( c c) a · b ·1 a · b

a · c · ( b b) a · c ·1 a · c

Ejemplo 2: veamos ahora las funciones lógicas

correspondientes a las salidas Ms y Mb del

Me queda por tanto:

M1 = a · b · c a · b

a · c

ejemplo 2 anterior: Nota: haciendo lo mismo para M2 y M3 sale:

Ms = FCb · FCa · s · b FCb · FCa · s · b

Mb = FCb · FCa · s · b FCb · FCa · s · b

M2 = a · b · c a · b

M3 = a · b · c a · c

b · c

b · c

4.2. Simplificación de funciones lógi- cas.

El diseñador debe intentar simplificar lo más po-

sible la función lógica obtenida a partir de la tabla

de verdad, con objeto de reducir el coste, ocupar

Ejemplo 2: Vamos a simplificar la función lógica

correspondiente a Ms del ejemplo 2 anterior:

Ms = FCb · FCa · s · b FCb · FCa · s · b

Observamos que las variables:

FCa · s · b


9

IES ASTURES

c d

son comunes a los dos términos, por lo que po-

demos sacar factor común; nos queda:

a b 00 01 11 10

Ms = FCa · s · b · (FCb FCb) 00

Ahora aplico la propiedad de que una

sumada con su complementaria es igual

variable

a 1.

01

(FCb FCb) 1

Luego me queda, definitivamente:

Ms = FCa · s · b ·1 FCa · s · b

Método gráfico de Karnaugh

A diferencia del método anterior, el método de

Karnaugh asegura obtener la expresión irreduci-

ble mínima de una función lógica.

Antes de exponer el método, recordemos la pro-

piedad distributiva aplicada a términos que sean

adyacentes, entendiendo por términos adya-

centes aquellos que sólo difieren en el estado de

una de sus variables, como, por ejemplo:

11

10 Es importante establecer correctamente el orden

de numeración de las casillas. Obsérvese que

están numeradas de forma que dos casillas con-

tiguas corresponden a términos adyacentes, es

decir, entre dos casillas contiguas, sólo una de

las variables cambia de valor.

Las relaciones de adyacencia en las tablas de

Karnaugh son las siguientes:

– En la tabla de dos variables son adyacentes

a · b · c · d y a · b · c · d o bien las casillas contiguas (un lado común).

a · b · c

y a · b · c

– En la tabla de tres variables son adyacentes

Por aplicación de dicha propiedad, observamos

que la suma de dos términos adyacentes queda

reducida a un único término al que le falta la va-

riable cuyo estado difería en ambos términos

originales. Así, en los ejemplos anteriores:

tanto las casillas contiguas como las casillas

de la primera y última columna (es como si la

tabla fuera el desarrollo de un cilindro).

– En la tabla de cuatro variables son adyacen-

tes, además de las anteriores, las de la fila

a · b · c · d

a · b · c · d a · b · (c c) · d a · b · d superior con las de la fila inferior (siendo de la

misma columna). a · b · c a · b · c a · b · (c c) a · b

Veamos el procedimiento del método de Kar- El fundamento del método de Karnaugh consiste

en reducir a un solo término grupos de 2, 4, 8,

....términos adyacentes.

Para aplicar el método, a partir de la tabla de

verdad se construye otra tabla llamada tabla de

karnaugh, cuyo número de casillas es el mismo

que tiene la tabla de verdad, que como sabemos

depende del número de variables de entrada que

tenga la función que se quiere simplificar. Así,

para n variables tendrá 2n casillas.

La forma de las tablas para 2, 3 y 4 variables es:

naugh:

1.- Desde la tabla de verdad, se trasladan a la

tabla de Karnaugh los valores que adopta la va-

riable de salida cuya función lógica se quiere

simplificar.

2.- Agrupamientos de “1”. Para que la función

lógica quede lo más reducida posible nos con-

viene realizar el mínimo de agrupamientos de “1”

y con el mayor número de casillas posible. Pro-

cedemos de la siguiente forma:

– Se toman todos los “1” que no se pueden

a 0 1 b

0

1

a b 00 01 11 10

c

0

1

agrupar con ningún otro.

– Se forman los grupos de dos “1” que no pue-

den formar un grupo de cuatro.

– Se forman los grupos de cuatro “1” que no

pueden formar un grupo de ocho.


10

IES ASTURES

a b c M1 M2 M3

0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 1

0 1 0 0 1 0

0 1 1 1 1 1

1 0 0 1 0 0

1 0 1 1 1 1

1 1 0 1 1 1

1 1 1 0 0 0

a b c S

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 x

1 1 1 x

c

0 0 1 1 0

1

0

1

0

1

Al hacer los agrupamientos no hay ningún pro- sin embargo, b no coincide. Esto indica que b es

blema en que una casilla pertenezca a más de la variable que se puede eliminar. Queda: a · c

un agrupamiento simultáneamente.

Los agrupamientos conseguidos y los “1” aisla-

dos serán los términos que expresarán la función

lógica en forma irreducible.

Las casillas del agrupamiento de dos “1” de la

última columna tienen en común que a = 1 y b =

0; ahora es c la que no coincide, lo que indica

que se elimina. Queda: a · b

Podemos observar que agrupando 2n “1” adya- En definitiva: M1 = a · b · c a · b a · c

centes, eliminamos n variables en el término que

representa al agrupamiento. En los “1” aislados

no se elimina ninguna variable.

La simplificación de la función del motor M2 es:

a b

La mejor forma de entender el método es aplicar-

lo sobre algunos ejemplos.

Ejemplo 1: Sea el caso ya visto en un ejemplo

anterior de los tres motores gobernados por tres

finales de carrera, cuya tabla de verdad era:

00 01 11 10

a·b

b·c

a·b·c

Queda: M2 = a · b · c a · b

Para el motor M3 tenemos:

b · c

a b 00 01 11 10

c

0 0 0 1 0

Como tenemos tres variables de entrada, usa-

mos la tabla de Karnaugh de tres variables.

1 1 1 0 1

Empezamos con el motor M1:

a·c

a·b·c b·c

a b 00 01 11 10

c

Queda: M3 = a · b · c a · c

b · c

0 0 0 1 1 Ejemplo 2: Sea un sistema cuya tabla de verdad

es la siguiente:

1 0 1 0 1

a·b·c a·c

a·b

El “1” aislado no permite reducir variables. Se

observa que corresponde a los valores a = 0, b =

1 y c = 1. Para expresar este término de forma

algebraica se asigna estado normal a las varia-

bles que valen 1 y estado complem entario a las

Obsérvese que hay dos combinaciones de en-

variables que valen 0. Por ello es: a · b · c tradas cuya salida es indiferente. Esto es debido

Las casillas del agrupamiento de dos “1” de la

fila superior tienen en común que a = 1 y c = 0;

a que, por las características físicas del sistema

que se quiere controlar, las variables a y b no


11

IES ASTURES

a b c d S

0 0 0 0 1

0 0 0 1 0

0 0 1 0 0

0 0 1 1 0

0 1 0 0 1

0 1 0 1 1

0 1 1 0 1

0 1 1 1 0

1 0 0 0 0

1 0 0 1 0

1 0 1 0 0

1 0 1 1 0

1 1 0 0 x

1 1 0 1 x

1 1 1 0 x

1 1 1 1 x

00 01 11 10

1 1 x 0

pueden estar activas simultáneamente (recordar a b

el ejemplo del montacargas que no puede estar c d

en dos plantas al mismo tiempo).

Vamos a simplificar la función lógica por el mé-

todo de Karnaugh.

a b 00 01 11 10

00

01 0 1 x 0 a·c·d

11 0 0 x 0

b·c

c

0 1 1 x 0

1 0 1 x 0

10 0

1 x 0

b·d

a·c b

4.3. Realización del esquema del circuito a partir de su función lógica.

Hemos tomado las dos casillas de términos indi-

ferentes como “1” ya que de esta forma puedo

formar un agrupamiento de cuatro casillas, que

es más conveniente que uno de dos casillas.

Me queda, por tanto: S = a · c b

Ejemplo 3: Sea el sistema cuya tabla de verdad

se da a continuación:

Una vez que tenemos la función lógica ya simpli-

ficada, procedemos a implementarla con puertas

lógicas. Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo: S = a · c b (del ejemplo 2 anterior)

a

1

b

c

1

S 1

&

Sin embargo, podemos tener en cuenta que se-

gún uno de los teoremas de Morgan

a · c a c

con lo que queda mucho más simple usando una

puerta NOR.

a

b

c

Vamos a simplificar por el método de Karnaugh:

Tras realizar los agrupamientos que se indican

en la tabla de karnaugh siguiente, nos queda:

S = (a c) b

S 1

S = a · c · d b · c

b · d 1


12

IES ASTURES

1 1

1

Ejemplo: (función del ejemplo 3 anterior) 5. LA CONEXIÓN DE LA SALIDA DEL CIRCUITO LÓGICO A OTROS CIRCUITOS.

S = a · c · d b · c

a b c d

b · d

&

&

&

Por los circuitos constituidos por componentes

electrónicos digitales circulan intensidades de

corriente muy pequeñas. De hecho, aunque de-

pende del tipo de tecnología, la salida de una

puerta lógica no puede dar más de allá de unos

pocos mA de corriente. Concretamente, con la

tecnología LS TTL, que es una de las más habi-

tuales, la corriente de salida es de 8 mA, y en

S tecnología CMOS, también bastante utilizada, es 1 aún menor, de unos 2 mA.

Todo lo anterior nos indica que nosotros, en nin-

gún caso podemos conectar a la salida de un

circuito lógico sin más, el receptor que queramos

controlar, como puede ser un motor, una lámpa-

ra o un relé, ya que todos estos elementos con-

4.4. Implementación de puertas lógi- cas con puertas NAND y NOR.

De cara a la realización física del circuito elec-

trónico con puertas lógicas, puede resultar inte-

resante tener en cuenta que cualquier puerta

lógica se puede construir con puertas NAND o

con puertas NOR. Por ello a estas puertas, se

les llama puertas universales.

Esto es interesante, primero porque el coste de

los circuitos con puertas NAND es más bajo que

con otras puertas, y segundo, porque si necesi-

tamos para completar el diseño una sola puerta

de cualquier tipo, no merece la pena colocar un

sumen una corriente muy superior a la que el

circuito lógico puede dar.

La forma más sencilla de resolver este problema

es que la salida del circuito lógico se conecte a

la base de un transistor o de un par Darlington,

interponiendo una resistencia adecuada para

limitar la salida de corriente. Para la conexión del

receptor que queramos controlar tenemos dos

posibilidades:

a) Si el receptor re- Vcc

quiere una pequeña

tensión continua y su

consumo de corriente

nuevo circuito integrado, desperdiciando el resto

de puertas que contenga, cuando puede que nos

sobren puertas NAND o NOR en otro integrado.

En la tabla se muestra la forma de realizar las

funciones básicas con puertas NAND y NOR.

es bajo, se puede

conectar directamen-

te al colector del tran-

sistor (por ejemplo,

un led o un zumbador).

Circuito

lógico

5K6

Función Con puertas NAND Con puertas NOR

b) Si el receptor requiere una tensión elevada o

tiene mayor consumo, como pueden ser lámpa-

ras de incandescencia, motores, etc, es conve-

1 &

& & &

1 niente conectar la bobina de excitación de un

relé al colector del transistor y que sean los con-

tactos del relé los que activen el receptor.

1 Vcc V

1

1 &

&

1 1

Circuito

lógico

5K6


13

IES ASTURES

ACTIVIDADES

A.1. Transformar los siguientes números dados

en código binario natural a sistema decimal.

a) 1100110 b) 010001 c) 1101 d) 1001101

A.2. Transformar los siguientes números decima-

les a código binario natural.

a) 125 b) 121 c) 88 d) 33 e) 63 f) 65 g) 110

A.3. Expresar los siguientes números decimales

en código BCD.

a) 312 b) 401 c) 290 d) 1029 e) 17 f) 82

A.4. Expresar los siguientes números en código

BCD en sistema decimal.

a) 1000 0110 0001 b) 0011 1001 c) 0110 0101

B. Elaborar la tabla de verdad y la función lógica

de los siguientes circuitos.

B.1. a b

L

c

B.2. a b

L

B.4. a b

L

c d B.5. a b

L1

a

a

L2

b

C. Elaborar la tabla de verdad correspondiente a

las siguientes funciones lógicas.

C.1 S1 = a b

C.2 S2 = a · b c

C.3 S3 = a b·c · c

a b C.4 S4 = (a ·b c) · ( d c)

C.5 S5 = [(a 1) · b ] c

B.3. a b

c L

d

D. Elaborar un esquema eléctrico a base de pul-

sadores y lámparas que se corresponda con

cada una de las funciones lógicas siguientes

D.1 L1 = (a b) · c

D.2 L2 = a · b c

D.3 L3 = [(a 1) · b ] c

D.4 L4 = (a ·b c) · (d c)

E.1. Elaborar la tabla de verdad del sistema de

control de un motor controlado por tres pulsado-


14

IES ASTURES

a b c S1

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

a b c S2

0 0 0 1

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 0

a b c S3

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

a b c d S4

0 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0 0 1 0 0

0 0 1 1 1

0 1 0 0 0

0 1 0 1 1

0 1 1 0 1

0 1 1 1 1

1 0 0 0 0

1 0 0 1 1

1 0 1 0 1

1 0 1 1 1

1 1 0 0 1

1 1 0 1 1

1 1 1 0 1

1 1 1 1 1

res a, b y c que cumpla las siguientes condicio-

nes de funcionamiento:

– Si se pulsan los tres pulsadores el motor se

activa.

– Si se pulsan dos pulsadores cualesquiera, el

motor se activa pero además se enciende una

lámpara indicadora de peligro.

– Si sólo se pulsa un pulsador cualquiera, el

motor no se activa, pero sí se enciende la

lámpara indicadora de peligro.

– Si no se pulsa ningún pulsador, ni el motor ni

la lámpara se activan.

E.2. Elaborar la tabla de verdad de un circuito

constituido por tres pulsadores, a, b y c, y una

lámpara L que se encienda bien cuando se pul-

san los tres pulsadores a la vez, o bien cuando

se pulse uno solo de ellos.

E.3. Elaborar la tabla de verdad de un circuito

constituido por cuatro pulsadores, a, b, c y d, y

dos lámparas L1 y L2, que cumpla las siguientes

condiciones de funcionamiento:

– L1 se encenderá si se pulsan tres pulsadores

cualesquiera.

– L2 se encenderá si se pulsan los cuatro

pulsadores.

– Si se pulsa un solo pulsador, sea el que sea,

se encenderán tanto L1 como L2

E.4. Elaborar la tabla de verdad de un sistema

de alarma está constituido por cuatro detectores

denominados a, b, c y d. el sistema debe activar-

se cuando se activen tres o cuatro detectores. Si

sólo se activan dos detectores, es indiferente

que la alarma se active o no: Por último, la alar-

ma nunca debe activarse si se dispara uno o

ningún detector. Por razones de seguridad, el

sistema debe activarse si a = 0, b = 0, c = 0 y d

= 1.

F. Para cada una de las siguientes tablas de

verdad, se pide:

a) Hallar una función lógica que se corres-

ponda con ella.

b) Simplificar la función utilizando el método

algebraico.

c) Simplificar la función utilizando el método

de Karnaugh.

F.1

F.2

F.3

F.4


15

IES ASTURES

a b c S3

0 0 0 1

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 x

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 x

1 1 1 1

a b c d S4

0 0 0 0 0

0 0 0 1 1

0 0 1 0 0

0 0 1 1 x

0 1 0 0 0

0 1 0 1 x

0 1 1 0 x

0 1 1 1 1

1 0 0 0 0

1 0 0 1 x

1 0 1 0 x

1 0 1 1 1

1 1 0 0 x

1 1 0 1 1

1 1 1 0 1

1 1 1 1 1

F.5 H.2 a

b 1 &

S2 c

1 1

F.6

G. Representar circuitos con puertas lógicas pa-

ra cada una de las funciones lógicas siguientes:

G.1 S1 = a b

G.2 S2 = a · b c

G.3 S3 = a b·c · c

H.3 a

b &

S3

c & 1

1 &

I.1. Una habitación con dos puertas está protegi-

da por un sistema de alarma que recibe tres se-

ñales, una de cada puerta que se activan cuando

éstas se abren, que llamaremos “b” y “c” y una

señal, que llamaremos “a”, que se activa cuando

ponemos la alarma en estado de alerta. Elaborar

la tabla de verdad, diseñar la función lógica e

implementar el circuito con puertas lógicas.

I.2. El motor M del limpiaparabrisas de un coche

se pone en marcha cuando está cerrada la llave

de contacto C y se cierra el interruptor del lim-

piaparabrisas L. Sin embargo, al abrir el interrup-

tor L, el motor del limpiaparabrisas sigue funcio-

nando hasta que la escobilla llega a su punto de

reposo (para que no se quede en mitad del pa-

rabrisas), lo que es detectado por el acciona-

miento de un final de carrera, F. Determinar la

tabla de verdad y la función lógica del sistema.

Dibujar un circuito con elementos de maniobra

convencionales y otro con puertas lógicas.

G.4 S4 = (a ·b c) · ( d c) I.3. Se quiere un circuito que controle el monta-

G.5 S5 = [(a 1) · b ] c

H. Determinar la función lógica de los siguientes

circuitos y simplifícala cuanto puedas.

H.1

a

b &

1

c S1

1 d

cargas de la figura y que accione el dispositivo

de descarga. El orden de funcionamiento es:

Cuando se introduce la carga por la entrada (lo

cual es detectado por el sensor A, que está colo-

cado sobre la plataforma), el montacargas co-

mienza a subir (se activa un relé Ms que conecta

un motor que hace que el montacargas suba)

hasta que se acciona el final de carrera C; a con-

tinuación se acciona el descargador (se activa

un relé Di que hace desplazarse el descargador

hacia la izquierda) y la carga sale por la salida.

Seguidamente, el émbolo se retira hacia la dere-


16

IES ASTURES

cha y el montacargas empieza a bajar (se activa

un relé Mb que conecta un motor que hace que

el montacargas baje) hasta accionar el final de

carrera B.

Vamos a resolver el problema en dos versiones

diferentes:

a) Consideramos que el descargador es una

especie de émbolo que se desplaza hacia la

izquierda al ser activado el relé Di y que retro-

cede solo al ser desactivado Di, por efecto de

un resorte. En esta versión sólo se usan los

sensores A, B y C

b) Consideramos que el descargador es movido

por un motor en ambos sentidos. El motor

desplaza el émbolo hacia la izquierda cuando

se activa el relé Di y desplaza el émbolo hacia

la derecha cuando se activa el relé Dd.

Nota: Considerar que los sensores A, B, C y D

dan un valor lógico 1 cuando detectan presencia

bien de carga (en el caso del A), bien de la plata-

forma del montacargas (caso de B y C) o bien de

la pala del descargador (caso de D).

Sensor D

Descargador

SALIDA

Sensor C

ENTRADA

Sensor A

Sensor B

Montacargas

6. electro digital

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