6. Sistemas Cristalinos

Ley de los índices racionales 1/3

La posición de cualquier cara o plano del cristal en el espacio puede definirse por tres números enteros, si se usan las tres aristas del cristal como ejes coordenados y si los interceptos producidos en estos ejes por la cara unidad se usan como unidades de medida.

Si se usan las direcciones de las tres filas de una red que se cortan en un punto dado como los ejes coordenados o de referencia, I, II, III (o X, Y, Z), cualquier plano del cristal cortará uno, dos o todos los tres ejes.

I

II

III

Arreglo de ejes de referencia en el espacio adoptado en cristalografía: el eje I, o X, se dirige hacia el observador, el eje II, o Y, se extiende de izquierda a derecha, y el eje III, o Z, por lo general es un eje vertical

El plano a2b3c6, produce tres valores relacionados unos a otros como 2a: 3b: 6c = 2: 3: 6.


Las tres filas de la red OX, OY, y OZ servirán como ejes de referencia.

I(X)

c4

c3

c2

c1

c7

c6

c5

b1 b3 b2

a1

a2 a3

a4

II(Y)

III(Z)

o

La cara unidad a1b1c1, hace un intercepto en cada eje y produce tres valores relacionados unos a otros como 1a: 1b: 1C = 1: 1: 1

El plano a1kc3, produce tres valores relacionados unos a otros como 1a: 1.5b: 3c = 1: 1.5: 3.

Trasladando el plano a1kc3 paralelo a sí mismo encontramos la posición a2b3c6 en la que el plano pasa a través de nodos en los tres ejes.

En cada caso, los valores enteros de los interceptos de los planos con cada uno de los ejes corresponden a los parámetros de Weiss (p,q,r)


Estos seis valores determinan la forma del paralelepípedo de la red: sinaxia (a, b y c) y singonía (, y ).

La cara unidad es el plano diagonal de este paralelepípedo.

Los parámetros lineales interceptados por la cara unidad se denominan unidades axiales y tienen los símbolos: a en el eje I, b en el eje II, y c en el eje III.

Los ángulos entre las filas usadas como ejes de referencia se denominan ángulos interaxiales y se designan por las letras griegas: entre los ejes II y III, entre los ejes I y III, y entre los ejes I y II.

Sistemas Cristalinos 1/5

Los cristales se dividen en sistemas según la forma del paralelepípedo elemental.

Un sistema cristalino es un grupo de clases de simetría cristalinas cuyos cristales tienen similar paralelepípedo elemental de la red.

Existen tres categorías: Baja: Triclínico, Monoclínico, y Ortorrómbico. Intermedia: Trigonal, Tetragonal y Hexagonal Superior: cúbico.

Esta colección representa a los 7 (siete) sistemas cristalinos, brindando 2 ejemplos de cada sistemas. Los minerales que componen esta colección son: Rodicita, Pirita, Rutilo, Zircón, Berilo, Apatito, Turmalina, Cuarzo, Quiastolita, Celestina, Yeso, Epidoto, Cianita y Microclino.

Sistemas Cristalinos – Ejemplos 3/5

Sistemas Cristalinos 4/5 Nomenclatura y notación simbólica de las 32 clases de simetría

Sistema y constantes del paralelepípedo

elemental

Descripción de la clase del Instituto

Fedorov

Fórmula de Simetría

Notación

Schoenflies Hermann-Mauguin

Shubnikov

Triclínico

a b c;

90º

1. Primitiva

2. Central

L1

C

C1

Ci = S2

1

1

1

2

Monoclínico

a b c;

= = 90º; 90º

1. Axial

2. Planar

3. Planaxial

L2

P

L2PC

C2

C1h = C3

C2h

2

m

2/m

2

m

2:m

Ortorrómbico

a b c;

= = = 90º

1. Axial

2. Planar

3. Planaxial

3L2

L22P

3L23PC

D2 = V

C2v

D2h = Vh

222

mm

mmm

2:2

2.m

m.2:m

Tetragonal

a = b c;

= = = 90º

1. Primitiva

2. Axial

3. Central

4. Planar

5. Planaxial

6. Giroido-primitiva

7. Giroido-planar

L4

L44L2

L4PC

L44P

L44L25PC

L24

L242L22P

C4

D4

C4h

C4v

D4h

S4

D2d = Vd

4

422

4/m

4mm

4/mmm

4

42m

4

4:2

4:m

4.m

m.4:m

4

4.m

Sistemas Cristalinos 5/5 Nomenclatura y notación simbólica de las 32 clases de simetría

Sistema y constantes del paralelepípedo

elemental

Descripción de la clase del Instituto

Fedorov

Fórmula de Simetría

Notación

Schoenflies Hermann-Mauguin

Shubnikov

Trigonal

a = b c;

= = 90º;

= 120º

a = b = c;

= = 90º

1. Primitiva

2. Axial

3. Planar

4. Central

5. Planaxial

L3

L33L2

L33P

L36C

L363L23PC

C3

D3

C3v

C3i = S6

D3d

3

32

3m

3

3m

3

3:2

3.m

6

6.m

Hexagonal

a = b c;

= = 90º;

= 120º

1. Giroido-primitiva

2. Giroido-planar

3. Primitiva

4. Axial

5. Central

6. Planar

7. Planaxial

L3P

L33L24P

L6

L66L2

L6PC

L66P

L66L27PC

C3h

D3h

C6

D6

C6h

C6v

D6h

6

62m

6

62

6/m

6mm

6mmm

3:m

m.3:m

6

6:2

6:m

6.m

m.6:m

Cúbico

a = b = c;

= = = 90º

1. Primitiva

2. Central

3. Planar

4. Axial

5. Planaxial

3L24L3

3L24L363PC

3L244L36P

3L44L36L2

3L44L366L29PC

T

Th

Td

O

Oh

23

m3

43m

43

m3m

3/2

6/2

3/4

3/4

6/4

Notación Schoenflies

Ejemplos

Cn: eje de simetría orden n. C3 = L3

h, v: adición de un plano de simetría normal o paralelo a un eje.

C3h = L3P

C3v = L33P

Sn: ejes de roto-reflexión de orden n (Spiegelaxe, eje especular). 2

44 LS

i o S2: centro de inversión.

Cnh: adición de un plano de simetría perpendicular al eje de simetría

Cnv: adición de un plano de simetría vertical al eje de simetría

Dn: Eje de simetría Cn con n ejes C2 perpendiculares a Cn. D3 = L33L2

Dnh: Eje de simetría Cn con n ejes C2 y plano de simetría perpendiculares a Cn.

D3h = L33L24P

T: elementos de simetría 4C3+3C2 del grupo de simetría tetraédrica del sistema cúbico.

T = 4L33L2

O: elementos de simetría 4C3+3C4 del grupo de simetría octaédrica del sistema cúbico.

O = 4L33L46L2

Notación Hermann-Mauguin

x = 1, 2, 3, 4, 6: ejes de simetría.

244 L

m = plano de simetría.

x/m: eje de simetría con un plano de simetría perpendicular a él.

4/m = L4PC

4/mm = L44P

: ejes de simetría de roto-reflexión.

3 = L3

x/mm: eje simetría con planos de simetría, uno perpendicular y otro contenido en el eje.

3 263m L 3L 3PC

x

xm: eje de simetría con un plano de simetría contenido en él.

3m = L33P

xm : eje de simetría de roto-reflexión con un plano de simetría contenido en él.

Ejemplos

: eje de simetría de roto-inversión con un plano de simetría contenido en él.

x.m: eje de simetría con un plano de simetría contenido en él.

Notación Shubnikov

x = 1, 2, 3, 4, 6: ejes de simetría.

244 L

m = plano de simetría.

x:m: eje de simetría con un plano de simetría perpendicular a él.

4:m = L4PC

3/2 = 3L24L3

: ejes de simetría de roto-reflexión.

3 = L3

x/x: ejes de simetría que no se cortan en ángulo recto

2 244.m L 2L 2P

x

x.m

3.m = L33P

Ejemplos

1 = centro de inversión.

Cuando el plano corta la dirección negativa de un eje, sobre el índice correspondiente se coloca el signo menos.

La orientación de los cristales

123

La orientación de un cristal es la selección de la dirección de tres filas como ejes I, II y III y de uno de los planos como cara unidad.

I

II

III

La ley de los índices racionales permite usar notaciones muy simples y cómodas para designar la posición de cada plano del cristal en el espacio: Weiss y Miller.

El método de Miller es más conveniente, ya que no son los parámetros numéricos de Weiss (p, q, r) los que deben tomarse, sino sus recíprocos (h=1/p, k=1/q, l=1/r) que se transforman a números enteros.

Ejemplo: Si el plano produce la proporción 2:3:6; se transforma a: 1/2 : 1/3 :1/6 = 6/2 : 6/3 : 6/6 = 3:2:1, así los índices de dicho plano se denotará como (321).

p

q

r

(hkl)

Si el plano es paralelo a uno de los ejes, los parámetros de los ejes son infinitamente grandes según Weiss; como 1/ = 0, en la notación de Miller el 0 indica paralelismo de la cara con el eje correspondiente.

Examinemos las seis caras del cubo. Las direcciones de tres de sus aristas perpendiculares entre si se tomarán como ejes I, II, III; por lo tanto: ===90°.

La cara unidad debe coincidir con el plano diagonal perpendicular al eje ternario. Por lo tanto la proporción axial será: a = b = c.

Si el origen de coordenadas está en el centro del cubo, obtenemos los siguientes índices para sus caras:

La orientación de los cristales

posterior (100)

III

II

I

anterior (100)

derecha (010) izquierda (010)

superior (001) inferior (001)

Orientación de los cristales en los sistemas

Reglas para definir una única orientación:

1. Las direcciones de los ejes de referencia deben estar relacionadas con la simetría del cristal: ejes de simetría y normales a los planos de simetría

2. Los ejes se orientan de manera que , y sean igual o se aproximen a 90°.

3. La cara unidad se elige de manera que a, b y c tengan valores aproximados aunque no iguales.

4. Si ninguna de las caras del cristal intercepta a todos los ejes cristalográficos, se toman dos caras que intercepten a dos ejes cada una: I(X) y II(Y) o II(Y) y III(Z). La primera da la relación a:b y la segunda la relación b:c. Las caras tienen los índices (110) y (011) y se denominan caras de dos unidades.

Los índices de las caras y de los planos dependen de la orientación elegida. Si tomamos otros ejes y otra cara unidad que intercepte a los tres ejes, obtendremos índices diferentes para las caras y los planos del cristal. Por lo tanto, la elección de los ejes y de la cara unidad deben sujetarse a determinadas reglas y debe ser única para los cristales de una sustancia dada.

Orientación de los cristales según Bravais para los diferentes sistemas

Sistema cúbico

La cara unidad debe interceptar a los tres ejes en segmentos iguales.

Clases: 3L24L3; 3L24L363PC; 3L2

44L36P; 3L44L36L2 y 3L44L366L29PC

Todas las clases cristalinas en este sistema tienen tres ejes mutuamente perpendiculares: 3L4 o 3L2. Estos ejes se usan como ejes I, II y III, sin importar cual esté orientado verticalmente.

I

II

III

En este sistema: a = b = c y = = = 90.

Sistema Tetragonal

Si no hay ejes binarios se sustituyen por las normales a dos planos perpendiculares entre si que se intercepten a lo largo del eje III.

L44L25PC

Clases: L4; L44L2; L4PC; L44P; L44L25PC; L24 y L2

42L22P

Todas las clases de este sistema tienen un eje de simetría L4 o L2

4.

El eje de simetría de más alto orden toma como eje III y los ejes L2 como ejes I y II.

Cuando no existen tales planos (clases L4, L4PC, y L2

4 ), como ejes I y II se toman las direcciones de dos aristas perpendiculares entre sí y al eje cuaternario, observando la regla que a = b c y ===90.

.

La proyección de la cara unidad debe ubicarse en la bisectriz del ángulo formado por los ejes I y II.

III

I

II

En este sistema: a = b c y = = = 90.

Las clases 3L23PC y 3L2 presentan 3 ejes binarios perpendiculares entre si, los cuales se toman como ejes I, II y III.

Sistema Ortorrómbico

Como cara unidad se toma la cara oblicua cuya proyección se ubique lo más cerca posible al centro del triangulo esférico formado en la proyección por los tres ejes coordenados.

Clases: 3L2; L22P y 3L23PC

3L2

En la clase L22P el eje binario se toma como eje vertical III y las normales a 2P como los ejes I y II.

L22P

En este sistema: a b c y = = = 90.

II III

I <90

Sistema Monoclínico

En este sistema existe sólo un eje L2 o un plano de simetría P.

El eje L2 o la normal a P se toma como eje II.

Los otros ejes toman las direcciones de las aristas de dos zonas. Se eligen tal que = = 90 y 90.

Clases: L2; P y L2PC

II L2

I

III

En una S.P., el eje III siempre es vertical y su extremo positivo se encuentra en el centro. El eje I deberá estar en el diámetro vertical del circulo máximo en un punto distanciado del centro en un ángulo 90, pero lo más próximo a éste.

- I

180 -

Cuando 90, el eje I se encuentra en la parte inferior de la esfera, en la parte superior se encuentra el extremo negativo formando un ángulo 180 - .

Como cara unidad se elige la que tiene el polo más cerca al centro del triangulo esférico formado por los ejes.

En este sistema: a b c y = = 90°, 90.

Sistema Triclínico

En una S.P., el eje III se proyecta en el centro.

Si , y son menores que 90 los ejes I y II salen, respectivamente, por la parte inferior y derecha del círculo máximo.

Si , y son mayores a 90 se usan las salidas diametralmente opuestas de los extremos negativos de los correspondientes ejes.

Clases: L1 y C

Los ejes de referencia toman las direcciones de las aristas de tres zonas tal que: , y se aproximen a 90.

En este sistema existe sólo un eje L1 o un centro de simetría C.

I II

III

III

II I

En este sistema: a b c y 90.

Sistema Trigonal y Hexagonal 1/2

El eje vertical se designa con la cifra romana IV o la letra Z y corresponde al único eje de más alto orden de cada clase de simetría. Los tres ejes restantes se designan con las cifras romanas I, II y III, o las letras X, Y y U y corresponden a tres ejes L2. Si no los hay, se toman las normales a los planos verticales de simetría o las direcciones correspondientes de tres aristas. El eje II siempre se coloca orientado de izquierda a derecha. Los ejes I y III van dirigidos hacia el observador: el eje I a la izquierda y el eje III a la derecha. Las direcciones positivas y negativas se alternan de manera que la salida de los ejes vecinos, según el circulo máximo, tengan diferentes signos.

Como ejes de coordenadas se toman cuatro direcciones.

Clases: L3; L33L2; L33P; L36C y L3

63L23PC

Clases: L3P; L33L24P; L6; L66L2; L6PC; L66P; L66L27PC

En estos sistemas a = b c y = = 90 y = 120. IV

III

II

I

En (2) la cara fundamental será

Los segmentos cortados pueden ser iguales:

Sistema Trigonal y Hexagonal 2/2

La cara fundamental no puede cortar a los tres ejes horizontales a la misma distancia del origen de coordenadas.

IV(Z)

I(X)

II(Y)

III(U)

Al orientar el cristal según los cuatro ejes, la cara fundamental tiene índices diferentes a los corrientes.

IV

I

II

III

(1121)

(1011)

(1121)

(2) en dos ejes alternos: I y II.

(1) en dos ejes consecutivos: I y III

(1011) En (1) la cara fundamental será

Sistemas y constantes geométricas

Fórmula de simetría

Orientación

Regular

a=b=c, ===90

3L44L366L29PC

3L44L36L2

X, Y y Z – 3L4

3L244L36P X, Y y Z – 3L2

4

3L24L363PC

3L24L3

X, Y y Z – 3L2

Tetragonal

a=bc, ===90

L44L25PC

L44L2

Z - L4, X e Y - 2L2

L44P Z - L4, X e Y son perpendiculares a 2P

L4PC

L4

Z - L4, X e Y son las direcciones de dos aristas perpendiculares a L4

L242L22P Z - L2

4 , X e Y - 2L2

L24 Z - L2

4, X e Y son las direcciones de dos aristas perpendiculares a L2

4



Orientación

Rómbico

a bc, ===90

3L23PC

3L2

X, Y y Z - 3L2

L22P Z - L2, X e Y son perpendiculares a 2P

Monoclínico

a bc, ==90

90

L2PC

L2

Y - L2, X e Y son las direcciones de dos aristas perpendiculares a L2

P Y es perpendicular a P, X y Z son las direcciones de dos aristas perpendiculares a Y



Orientación

Triclínico

a bc, 90

C

L

X, Y y Z son las direcciones de las aristas de tres zonas

Hexagonal

a=bc, ==90, =120

L66L27PC

L66L2

Z - L6, X, Y y U - 3L2

L66P Z - L6, X, Y y U son perpendiculares a 3P

L6PC

L6

Z - L6, X, Y y U son las direcciones de tres aristas perpendiculares a L6

L33L24P Z - L3, X, Y y U - 3L2

L3P Z - L3, X, Y y U son las direcciones de tres aristas perpendiculares a L3



Orientación

Trigonal

a=bc, ==90, =120

L363L23PC

L33L2

Z - L36 X, Y y U - 3L2

Z - L3

L33P

Z - L3, X, Y y U son perpendiculares a los 3P, o paralelos a los 3P y perpendiculares a L3

L36C

L3

Z -+

L36 o L3, X, Y y U son las

direcciones de tres aristas perpendiculares a L3

6 o a L3

Ejercicio 1

Escribir la fórmula de simetría de la clase que en notación Shubnikov se escribe m.4:m y representar en un dibujo la disposición espacial de sus elementos de simetía.

Solución.-

Según Shubnikov, los ejes de simetría se denotan por números enteros según su orden. Un plano de simetría se denota por la letra m. La perpendicularidad de un plano de simetría con el eje de simetría se indica por dos puntos y su paralelismo se indica por un punto

Entonces la clase m.4:m, representa un eje de simetría cuaternario L4 al que se le adiciona un plano de simetría paralelo al eje y otro en dirección perpendicular.

La acción de L4 sobre el plano paralelo origina 3 planos paralelos más, todos ellos se cortan a lo largo de L4 formando ángulos de 90° entre sí.

El plano perpendicular a L4 origina 4 ejes L2 cuando intercepta a los planos verticales y un centro de simetría.

Luego, se tiene la clase de simetría L44L25PC, que se muestra en la Figura.

L4

L2

L2 L2 L2

P P

P P

P

Usando un sistema convencional de ejes cristalográficos, determinar los índices de Weiss y de Miller de los cinco planos mostrados en la figura.

Ejercicio 2

1

2

3

4

5

(332)

(111)

(111)

(211)

(332)

Plano Índices de

Weiss Índices de

Miller

1

2

3

4

5

Solución.-

El arreglo de ejes cristalográficos adoptado en cristalografía: el eje I, se dirige hacia el observador, el eje II, se extiende de izquierda a derecha, y el eje III, por lo general es un eje vertical.

-2,2,3

-1,1,1

1,-1,-1

1,-2,-2

2,-2-3

I

II

III

El piritoedro de la Figura es una forma cristalina del sistema cúbico limitado por caras pentagonales cada una de las cuales cortan en la unidad a un eje cristalográfico, a un segundo eje en la mitad y es paralela a un tercer eje. Orientar la forma para asignar los índices de las caras mostradas.

)021(

Ejercicio 3

L2

Solución L2

L2

I

II

III Todas las clases cristalinas en este sistema tienen 3 ejes mutuamente perpendiculares: 3L4 o 3L2, que se usan como ejes I, II y III.

)210(

(

)102(

6. Sistemas Cristalinos

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