LEYES DERIVADA

REGLAS DE DERIVACIÓNSe supone en las siguientes reglas que se tiene y como función de x.

1. Derivada de una constante c.

Si:

Esta regla dice que la derivada de una constante es igual a cero.

Ejemplo1.

2. Derivada de xn.

Si n es cualquier número real, entonces

d (xn) = n*xn-1

→ clave: “bajar” el exponente a multiplicar la base, y luego restar uno (1) al exponente.

Si hay radicales, se deben expresar como exponente fraccionario.

Ejemplo2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

3. Derivada de una suma de funciones

Sea . Entonces,

LEYES DERIVADA

Esta regla dice que la derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las derivadas de cada función.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Para este caso, hallamos la primera derivada; luego, derivamos la primera derivada (se obtiene entonces, la segunda derivada). Por último, derivamos la segunda derivada, es decir, se obtiene la tercera derivada.

Ejemplo3:

4. Derivada de un producto de dos funciones g*h

Sea y = g(x) * h(x). Entonces:

d(f * g) = g * h´ + h * g´

Que puede asociarse mnemotécnicamente con la siguiente expresión:

“La derivada de dos funciones f y g es igual a la primera función por la derivada de la segunda función, más la segunda por la derivada de la primera”

Ejemplo 1.

Sea y = (3x4 – 5x)(4x-3 + 6x2 -3x +5). Hallar y´.

y = (3x4 – 5x)(4x-3 + 6x2 -3x +5)

primera segunda

y´ = (3x4 – 5x)(-12x-4 + 12x -3) + (4x-3 + 6x2 -3x +5) (12x3 – 5)

primera segunda

derivada de derivada de lala segunda primera

LEYES DERIVADA

Ejemplo 2Si , donde , encuentre

5. Derivada de un cociente de dos funciones, g / h

Que puede enunciarse así:

“La derivada del cociente de dos funciones g y y es igual al (denominador * la derivada del numerador – el numerador * la derivada del denominador) sobre (denominador al cuadrado)”

Ejemplo.

Sea . Hallar y´.

Nota. Esta es la aplicación de la regla del cociente. Se deja como ejercicio el reducir la expresión.

Ejemplo. No siempre es necesario utilizar la regla del cociente, como se ilustra en los siguientes ejemplos:

Solución:

denominador numerador

derivada derivadanumerador denominador

denominador al cuadradro

LEYES DERIVADA

NOTA:

Si:

Ejemplos:

6. Regla de la cadena

Sea y = f(x) = un, donde u es una función polinómica (para simplificar). Entonces:

y´ = nun-1.

Otra forma de escribir lo mismo es:

Esta regla dice que si tenemos una expresión elevada a cualquier exponente, para derivar, “bajamos” el exponente a multiplicar la base; derivamos la base (derivada interna), y restamos uno (1) al exponente.

Ejemplo 1 (comparativo):

Ejemplo 2:

y = x7 y = (3x5+ 16x)7

Derivemos ambos casos:

La base es un monomio: La base es un polinomio:bajo el exponente 7 bajo el exponente 7escribo la base (que es sólo x), escribo la base (que

LEYES DERIVADA

Ejemplo 3:

Aca tenemos un producto de dos funciones, que a su vez son polinomios con exponentes (requiren regla de la cadena).

y´ = (2x+1)5 [4(x3-x+1)3(3x2-1)] + (x3-x+1)4 [5(2x+1)4(2)]

primera segunda

derivada de derivada de la segunda la primera (con derivada (con derivada

Interna) interna)