1

Derivadas Complejas

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Derivada de una función compleja

Teorema del valor medio para funciones reales Si f(x) es continua en a < x < b y f '(x) existe para a < x < b, entonces hay al menos un punto c (a < c < b) tal que: f '(c) = [ f(b) f(a) ] / [ b a ].

-1 10

Además los dos caminos tienen longitudes diferentes.

Ninguno de los dos teoremas aplican a las funciones complejas. Por ejemplo: el teorema del valor intermedio, nos dice que si f(a) = -1 y f(b) = 1 entonces necesariamente existe al menos un valor a b, tal quef(. En compleja, podemos empezar en -1 y acabar en +1 sin haber pasado por (0+0i).

Teorema del valor intermedio para funciones realesSea f(x) continua para a < x < b y f(a)f(b)entonces f toma todos los valores entre f(a)yf(b) en el intervalo a b

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Derivada de una función real

x

y

0x

x

xfxxfxf

x

)()(lim:)( 00

00

xx 0

x

)( 0xf

)( 0 xxf

Si no existe el límite, no existe la derivada en x0. Decimos entonces que f(x) no es derivable o no es diferenciable en x0.Podemos hacer el límite por la derecha y por la izquierda, y ambos deben coincidir.

4x

y

0z

z

zfzzfzf

z

)()(lim:)( 0

00

z

u

v)( 0 zzf

)( 0zf

)()( 00 zfzzf zz 0

Derivada de una función compleja

Observemos que ahora el límite se puede hacer no solamente por la derecha o por la izquierda, sino por infinitos caminos. Para que la derivada esté definida el límite debe existir y ser el mismo independientemente del camino.

5

Mostrar que f(z) = zn es diferenciable para todo z y que f/(z) = nzn-1.

Ejemplo:

10

10

10

01

0

000

0

00

00

)(lim

)(

lim

)(

lim)(

lim:)(

niinn

iz

iinn

i

z

niinn

i

z

nn

z

nzzzi

n

z

zzi

nz

zzzi

n

z

zzzzf

Observa que el resultado es independiente de la trayectoria con que se aproxima a cero. Como z0 es arbitrario, el resultado es válido para todo z y f´(z) = nzn-1.

z

6

La reglas de derivabilidad son las mismas que en cálculo de funciones reales de variable real:

(c f)/ = c f/

(f+g)/ = f/ + g/

(f g)/ = f/ g + f g/

(f/g)/ = (f/ g - f g/)/g2

La regla de la cadena rige de la misma forma.

Ejercicio: Demostrar las reglas a partir de la definición de derivada.

7

8

9

Regla de L'Hôpital:

Si f(z0) = 0 y g(z0) = 0 y las funciones son diferenciables en z0 con g'(z0) diferente de 0, entonces:

)(')('

lim)()(

lim00 zg

zfzgzf

zzzz

Extensión: Si f(z0) = f'(z0) = ... = f(n-1)(z0) = 0 y g(z0) = g'(z0) = ... = g(n-1)(z0) = 0 y las funciones y las 2n funciones derivadas son diferenciables en z0 (y con g(n)(z0) diferente de cero), entonces:

)(

)(lim

)(

)(lim

)(

)(

00 zg

zf

zg

zfn

n

zzzz

10

Diferenciales

Si w = f(z) es continua y tiene primera derivada continua en una región R, entonces:

z

w

dz

dwzfdzzfdw

z

dzdzzfzzzfw

z

0lim)(')('

.0cuando0donde

)(')('

Diferencial de w

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Algunas funciones reales no poseen derivada (en ciertos puntos)...

Por ejemplo:

De forma similar, algunas funciones complejas no poseen derivada… ¡en ningún punto del plano complejo! Demostrado por Cauchy en 1820

x

y

x

y

xxf

1)(

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Curva de WeierstrassLa curva de Weierstrass es, históricamente hablando, el primer fractal conocido. Fue creado o descubierto (según las preferencias filosóficas del lector) por el matemático Karl Weierstrass en 1861. Lo notable en este caso, respecto a la curva de Koch, es que disponemos de la ecuación, como serie infinita, de la curva:

0

)cos()(n

nn xbaxW

Para que la función carezca de tangente única en cada uno de sus puntos, es necesario que:   0 < a < 1, b sea un entero impar  y a b > 2/31

13

Algunas funciones complejas no poseen derivada en ningún punto

Ejemplo zzf )(

yix

yix

yix

yix

z

z

z

zzz

z

zfzzfzf

zz

zz

z

00

00

0

limlim

limlim

)()(lim)(

Sigamos dos caminos distintos:x

y

zz

z

x

y 12

1 21lim0

z

1lim0

z

El límite no es único, por lo tanto no existe límite. Como z es arbitrario, no existe derivada en ningún punto.

(función continua en todo el plano complejo porque sus componentes u y v lo son)

14

Ejemplo 2||)( zzf

z

zzzz

z

zzzzzz

z

zzz

z

zfzzfzf

z

z

z

z

0

0

22

0

0

lim

))((lim

||||lim

)()(lim)(

Sigamos de nuevo los doscaminos distintos anteriores:

(función continua en todo el plano complejo porque sus componentes u y v lo son)

1

2

zzzzz

0

lim;

Como el límite debe ser único:

zzzzz

0

lim;

0 zzzzz La derivada existe solo en z = 0 y vale 0.Este ejemplo muestra como una función puede ser diferenciable en un punto sin serlo en ningún otro de su entorno.

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Obtener los puntos del plano complejo donde la función

es diferenciable. Calcular su derivada.)Re()( zzzf

yix

yxyxxyixxx

yix

xiyxxxyyixxz

zzzzzz

z

zfzzf

z

z

zz

2lim

lim

ReRelimlim

2

0

0

00

0)0(

0RelimRe

lim00

lim

:0z Si

000

f

zz

zz

z

fzfzzz

16

0;

0;

0

22

limlimlim

:0

22lim

2limlim

:0

:0z Si

000

0

2

00

y

x

y

xxxiyx

xxy

yxi

z

zfzzf

yiz

iyxiyxxx

xiyxxx

z

zfzzf

ixz

yyz

x

xz

z=0

0z puntos losen blediferencia es no f(z)

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La existencia de derivada en un punto implica la continuidad de la función en ese punto. Supongamos que existe f’(z):

)()(lim00)('

)(lim)()(

lim

)()(lim

00

00

0

0

00

0

zfzfzf

zzzz

zfzf

zfzf

zz

zzzz

zz