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Ejercicios. Estadística Unidimensional .

1. Los médicos de guardia de un centro de salud atendieron en 30 noches las siguientes urgencias.

2 2 0 6 7 3 2 5 1 0

2 3 1 6 3 1 4 0 1 1

0 1 0 4 0 2 3 1 4 0

a) Haz una tabla de frecuencias y porcentajes, simple y acumulada. Dibuja el correspondiente diagrama de barras.

RESPUESTA. a) Lo primero que debemos hacer es organizar los datos de mayor a menor y ver cuantas

veces re repiten. 𝑓!

0 0 0 0 0 0 0 1 1 1

1 1 1 1 2 2 2 2 2 3

3 3 3 4 4 4 5 6 6 7

• Hacemos la tabla de frecuencias.

𝑓! → 𝐸𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑟 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑖𝑡𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑎𝑡𝑜. 𝐹 → 𝐸𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎, 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑟 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠.

% 𝑓! =𝑓! ∙ 100

𝑓!→ % 𝑓! 0 =

7 ∙ 10030

= 23,33, 𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑠𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑓!

Urgencias 𝒇𝒊 𝑭 % 𝒇𝒊 % 𝑭

0 7 7 23,33 23,33


2

1 7 14 23,33 46,66

2 5 19 16,66 63,62

3 4 23 13,33 76,65

4 3 26 10 86,65

5 1 27 3,33 89,98

6 2 29 6,66 96,64

7 1 30 3,33 100

∑ 30 100

2. En la siguiente tabla se dan los datos correspondientes a las notas de Matemática de 60 alumnos de 1ro Bachillerato.

IN SF BI NT SB

Notas. 1 − 5) 5 − 6) 6 − 7) 7 − 9) 9 − 10)

N.º de alumnos 20 13 12 10 5

a) Haz una tabla de frecuencias y porcentajes, simple y acumulada. b) Dibuja el correspondiente histograma. c) Represente los datos mediante un diagrama de sectores y mediante una poligonal

acumulativa.

RESPUESTA.

a) Haz una tabla de frecuencias y porcentajes, simple y acumulada.

• Aquí tenemos que calcular la marca de clase. 𝑋! Marca de clase para datos agrupados.

𝑋! =𝐿!" + 𝐿!"

2=1 + 52

= 3


3

Notas. 𝑿𝒊 𝒇𝒊 𝑭 % 𝒇𝒊 % 𝑭

1 − 5) 3 20 20 33,33 33,33

5 − 6) 5,5 13 33 21,66 54,99

6 − 7) 6,5 12 45 20 74,99

7 − 9) 8 10 55 16,66 91,65

9 − 10) 9,5 5 60 8,33 100

∑ 60 100

b) Dibuja el correspondiente histograma.

c) Represente los datos mediante un diagrama de sectores y mediante una poligonal

acumulativa.

3. Los perímetro de 35 pinos de un parque, medidos a un metro del suelo, fueron los siguientes (en cm):

46 54 65 47 75 48 54 65 49 73

50 57 70 49 58 63 71 61 73 72

59 62 66 60 67 71 60 57 61 67

49 52 55 62

a) Agrupa estos datos en intervalos de amplitud 5, indicando marcas de clase y frecuencias. b) Representa el histograma asociado.

4. Organiza los datos anteriores mediante un diagrama de tallo y hojas, y representa el gráfico

de cajas y bigotes correspondiente.

5. El número de turismos matriculados en España, para el periodo 1996-‐2005, se da en la siguiente tabla:


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Año. 1996 1997 1998 1999 2000

2005Miles Turismos.

911 1016 1193 1406 1381

Año. 2001 2002 2003 2004 2005

2005Miles Turismos.

1426 1332 1382 1517 1529

a) Tomando como base 100 en número de turismos matriculados, expresa en

números índices la variación de la serie. b) Representa los datos mediante una poligonal simple.

6. Se pregunta en un grupo de estudiantes por el numero de libros que han leído en el último mes, obteniendo las siguientes respuestas.

N. Libros 0 1 2 3 4 5

No. Estudiantes 1 15 38 16 7 3

a) Hallar la media. (Hacemos la tabla de frecuencia).

𝒙𝒊 𝒇𝒊 𝑭 𝒇𝒊𝒙𝒊 𝒙𝒊𝟐 𝒇𝒊𝒙𝒊𝟐

0 1 1 0 0 0

1 15 16 15 1 15

2 38 54 76 4 152

3 16 70 48 9 144

4 7 77 28 16 64

5 3 80 15 25 125

∑ 80 182 55 500


5

𝑥 =𝑓!𝑥!𝑛!

=18280

= 2,275

a) Hallar la desviación típica

𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎: 𝑠! = !!!!!

!!− 𝑥! = !""

!"− 2,275! = 1,074

𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑇í𝑝𝑖𝑐𝑎: 𝜎 = !!!!!

!!− 𝑥! = !""

!"− 2,275! = 1,074 = 1,0363

b) Cuantos libros suelen leer por término medio. (Nos fijamos en el valor de la media). Suelen leer 2 libros.

c) Es el grupo homogéneo o heterogéneo.. La varianza mide la dispersión alrededor de la media pero está en unidades cuadradas, y por eso es que se saca la desviación típica que es la raíz cuadrada de la varianza. Una desviación típica pequeña indica datos homogéneos. El problema es que no hay una mediad para comparar es decir no podemos decir de aquí para allá es pequeña y de aquí para acá es grande. Entonces lo que uno hace es mirar en que orden están las medidas originales, y en base a eso decir si la desviación típica es grande o pequeña. Ex: Si las medidas originales están en el orden de los 100 000, 500 000 etc, una desviación típica de 50 ó 100 puede resultar pequeña. Pero si los datos fueran del orden de 100, una desviación típica de 50 se puede considerar grande, y viceversa. Aquí en este ejercicio se dice que el grupo es homogéneo porque la la desviación es pequeña.

7. El consumo de combustibles en litros de una empresa viene dada en la siguiente tabla. Autobuses 8 12 10 14 20 16 Consumo [0 − 10) [10 − 20) [20 − 30) [30 − 40) [40 − 50) [50 − 60)

a) Hallar la mediana de los datos agrupados. (Me) . Hacemos la tabla de frecuencias.


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Consumo 𝑿𝒊 𝒇𝒊 𝑭 𝒇𝒊𝒙𝒊 𝒙𝒊𝟐 𝒇𝒊𝒙𝒊𝟐 0 − 10) 5 8 8 40 25 200 10 − 20) 15 12 20 180 225 2700 20 − 30) 25 10 30 250 625 6250 30 − 40) 35 14 44 490 1225 17150 40 − 50) 45 20 64 900 2025 40500 50 − 60) 55 16 80 880 3025 48400

∑ 80 2740 7150 115200

C á l c u l o d e l a m e d i a n a p a r a d a t o s a g r u p a d o s

La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas.

Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre !!.

1. Buscamos el intervalo correspondiente mediante la expresión !

!

802= 40

2. Identificamos la clase que contenga al resultado de !

! , es importante recordar como se

obtiene este intervalo. 1ro Con el valor de N/2 =40, nos vamos a la columna de las frecuencias absolutas. (F). 2do Buscamos el valor de las F que contenga al 40 y dos damos cuentas que puedes estar entre dos valores F=30 ó F=44. 3ro Como 𝑁/2 > 𝐹 30 , es decir 40 > 30, descartamos este resultado, y pasamos a comprobar F(44), en este caso 𝑁 2 < 𝐹(44), es decir 40 < 44, entonces hemos dado con el I.C.

𝐼.𝐶 = 30 − 40)

3. Sustituimos todos los valores en la fórmula y operamos.


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𝑁2 = 30 − 40) 𝐿! = 30

𝐹!!! = 30 𝐶! = 10 𝑓! = 14

𝑀! = 30 +40 − 3014

∙ 10 = 37,14

b) Hallar le Q3 de los datos agrupados. (Cuartil tercero).

1. Buscamos el cuartil correspondiente mediante la expresión !∙!

!

𝐾! =3 ∙ 804

= 60

2. Identificamos la clase que contenga al resultado de !∙!

!

𝐾! = 40 − 50)

3. Sustituimos todos los valores en la fórmula y operamos.

𝐾! = 40 − 50) 𝐿! = 40 𝐹!!! = 44 𝐶! = 10 𝑓! = 20

𝑄! = 40 +60 − 4420

∙ 10 = 48

8. Una empresa de publicidad hace una encuesta entre los lectores de una revista para saber su edad aproximada y estudiar si deben anunciarse en la revista. Las respuestas obtenidas son las siguientes.


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Edad [10 − 13) [13 − 16) [16 − 19) [19 − 22) [22 − 25) [25 − 28)

No de Lectores 110 248 115 20 4 3

a.) Calcular la media. (Hacemos la tabla de frecuencias).

Consumo 𝑿𝒊 𝒇𝒊 𝑭 𝒇𝒊𝒙𝒊 𝒙𝒊𝟐 𝒇𝒊𝒙𝒊𝟐 10 − 13) 11,5 110 110 1265 132,25 14547,5 13 − 16 14,5 248 358 3596 210,25 52142 16 − 19) 17,5 115 473 2012,5 306,25 35218,75 19 − 22) 20,5 20 493 410 420,25 8405 22 − 25) 23,5 4 497 94 552,25 2209 25 − 28) 26,5 3 500 79,5 702,25 2106,75

∑ 500 7457 2323,5 114629

b.) Calcular la desviación típica.

𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎: 𝑥 =𝑓!𝑥!𝑛!

=7457500

= 14,914

𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎: 𝑠! = !!!!!

!!− 𝑥! = !!"#$%

!""− 14,914! = 6,83

𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑇í𝑝𝑖𝑐𝑎: 𝜎 = !!!!!

!!− 𝑥! = !""

!"− 2,275! = 1,074 = 2,61

c.) ¿Es un grupo homogéneo o disperso en cuanto a la edad?

El grupo teniendo en cuenta la edad como variable es homogéneo.

d.) Si la empresa anuncia productos para adolecentes. ¿Les conviene poner anuncio en esa revista?

Si a la empresa si le conviene pues siendo la 𝒙 = 𝟏𝟒,𝟗𝟕 y la 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑇í𝑝𝑖𝑐𝑎: 𝜎 = 2,61, si le convendría pues los datos están bastantes agrupados en torno a los 15 años.


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