66298744-MATEM-BASICAS-C1

UNIVERSIDAD METROPOLITANA DE XALAPA. U.M.X. Clase nmero: _________ Fecha: ______________ Materia: MATEMTICAS BSICAS Nombre del alumno: _______________________________ Grupo o modalidad:_________

Diseo: Lic. Enrique Corona Alarcn. Unidad I Pgina 1

I.- Fundamentos de lgebra. ALGEBRA Parte de la matemtica que realiza operaciones con valores conocidos y desconocidos. Por lo que ocupa nmeros y literales.

Las primeras letras del abecedario a,b,c,d,etc. Se ocupan para valores conocidos o constantes

Las ltimas letras del abecedario x, y, z, etc. Se ocupan para valores desconocidos o variables. La unidad de expresin algebraica es el trmino. El trmino contiene:

a) Signo b) Coeficiente numrico c) Literal o literales d) Exponente o exponentes

Ejemplos, complete el cuadro: Trmino Signo Coeficiente Literal o literales Exponente o exponentes. 1. 3x2 + 3 x 2 2. 5 x2y3 - 5 x, y 2, 3 3. 8/4 ab + 8/4 a, b 1, 1 4. 1/3 mn-3

- 1/3 m, n 1, -3 5. a2b3c + 1 a, b, c 2, 3, 1 6. 3x1/3 + 3 x 1/3 7. 5mn6 + 5 m, n 1, 6

Ejercicios, observe bien y complete el cuadro: Trmino Signo Coeficiente Literal o literales Exponente o exponentes. 1. 4 mn2 2. 7 x3y4z5 3. 8/3 ab3c2

4. 4 a 5. 1/9ab 6. 8/5 mn2 7. z3 8. 16 9. 32x2y3 10. 72 a-3b2

11.piz3 12. 4 x2y



I.1.- Polinomios. CLASIFICACIN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Las expresiones algebraicas se clasifican segn el nmero de trminos. 1 trmino Monomio, 2 trminos Binomio, 3 trminos Trinomio, 2 o ms tambin se les llaman Polinomios. Ejemplos, escribe el nombre que recibe cada expresin segn el nmero de trminos: 1. 3 x2y Monomio 2. 2x2 + 3xy3 Binomio 3. 4x2 + 2xy y2 Trinomio Ejercicios, segn se clasifican anota el nombre: 1. x3 + 2x2y + 3xy2 + 5y3 2. 7/4 x3z2 3. 8/3 x + 2x2 + 8x3 4. 4x/6y2 5. a + b + c + d + e 6. 1024x2 1 7. 72x2 + 3x 12 8. x2 + x 1 9. (x-2)3 10. 3 + 2 - 5 11. 4x1/2 16 12. 125 a2

SUMA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS La suma de expresiones algebraicas se realiza por medio de sumar o restar los trminos semejantes. Los trminos semejantes son aquellos que tienen literales iguales y exponentes iguales.

Ejemplos: Sumar los trminos 1. 3x + (-7x) = 2. 6 a2b + 7 a2b = 3. (- 5 x2y3) + (10 x2y3) + (-7 x2y3) = 4. 3 ab + (-6 ab) + (7ac) = 5. (4x2 7xy + 10y2) + (3xy 9x2 + 10y2) =

Ejercicios, realice las sumas de expresiones algebraicas: 1. 3mn 7m2+8n2 +7m2 +3n2 12mn = 2. 4 a +2b 8 a 3b=

3. 3x2 +7x +8x2 9x = 4. 6xy +3xz +7xz 3yx =

5. 9 abc +3 bcd +7cdb +8bac = 6. 4 x2y +3xy +3x 2y +5x y2 3 xy =

7. 3ab +7bc 5ab 7cb = 8. 4cd +7am 3cd +4am =

9. (32 xy +3) + (8xy 11) = 10. (9 a +3x y) + (7ab 3yz) =

11. (3ya +3 ab) + (7ay 3 ba) = 12. (42 +36 a2) + (78 +9 a2) =

13. (7xyz+3y zx) + (8 z xy +9 yxz) = 14. 8ab 3 ca + 9 a z-3xy =

15. (72 + 96 xy) + (24 3xy) = 16. (3x2 +24x 15) + (x2 17x +35)



RESTA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS En la resta de expresiones Algebraicas las operaciones son iguales que en la suma, la diferencia ser que al sustraendo se le cambiar de signo por la multiplicacin del negativo por cada trmino del sustraendo. Ejemplo, resta de trminos: 1. 5x2y3 (- 4 x2y3) = 2. (3 a2 + 2 a - 2) (5 a + 2 a2 11) =

Ejercicios, reste las siguientes expresiones algebraicas: 1. (2x2 + 5xy - 3y2) - (4xy - 7x2 - 12y2) = 2. (3ab - 8bc - 3cd) - (3cd + 4bc - 6ab) =

3. (7 a - 2b - 3c) - (4c - 2 a + 8b) = 4. (5x - 3y + 7z) - (4x - 2y + 8z) =

5. (6xy - 3x - 8xw) - (7xz + 8xy - 3xw) =

6. (7abc - 3abc - 8abc - 6abc) - (3abc - 8abc - 3abc)

7. (abc) - (8abc) = 8. (3x3 - 2x2 + 6x - 3) - (4x - 3x3 + 6x2 - 8) =

9. (7 a3-3 a2 -2 a - 1) - (4 a3 - 2 a2 8 a-16) = 10. (4xy - 3x2 + 6y2) - (12x2 - 3xy + 11y2) =

PRODUCTO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Monomio por polinomio.

Ejemplos, realice las siguientes operaciones: 1. 3x (4x2y 7x) = 2. 4xy (9x2 +2xy + 9y2) = 3. 3ab (5a2 +2b2 7) = 3. a3 ( a + b ) =

Ejercicios, aplicar el concepto anterior para obtener el resultado: 1. a2 x 3(3x 2 ) = 2. 6xy2 (3y 2x ) = 3. -4 am (8 m3 3 a3 +6 m2) = 4. -3x3 y2 ( 7x 3y ) = 5. a3 ( 3 a2 +2 a 9 ) = 6. z-2 ( 3z2 + 2 z 1 ) = 7. 4m5 ( 3m3 n 3m2 9n3 ) = 8. 4an (3 a4 +2n3 ) = 9. 6x / 3 ( 4x /5 3y / 7) = 10. 2x ( 3x +3xy 2y ) = 11. 32 abc ( 4 acd + 4 acb +2 abd ) = 12. 2 a (3 a2 + 2 a 5) =

12. 4xy3 (9x2 + 2xy 9y2) = 13. 3ab(5 a + 2b 7) =a 14. a(a + b) = 15. 9x (3x 2) = 16. 3xy(7x 3y)= 17. 4 a (3 a2 + 2 a - 9)= 18. z (3z2 +2z 1) = 19. 4m (3mn 3m2 9m2) = 20. 4cbd (5acd 4cbd + 7acb) = 21. 3x (x4 3x3 + 4x2 5x 12) = 22. a(a + b c) = 24. 45xy (-34xy 12x 20y) =



Multiplicacin polinomio por polinomio. Ejemplos, multiplique las siguientes expresiones: 1. (x 4) (x + 1) = 2. (16 a2 4ab +b2 ) (4 a + b) =

Ejercicios, aplique el concepto anterior y encuentre el resultado: 1. (x 3) (2x 1)= 2. (2x 4) (x - 7) =

3. (3x 5) (2x 10) = 4. (3x2 + 2x 5) (x 2) =

5. (x2 + x 1) (3x 4) = 6. (x2 + 2x 3) (6x + 3) =

7. ( 3x2 2x + x 1) ( x-2 ) = 8. (4x3 3x2 + 2x 3) (x +1) =

9. ( 9 x2 +6 xy + 4y2) (3x 2y ) = 10. (a2 ab + b2) (a + b) =

11. ( 4x2 14n x + 49) (x + 7) = 12. (m2 + m n n2) (m n) =

13. ( 3x2 + 6 x y 12 y2) (x y) = 14. (6 x2 + 4 x y 6y2) (2x 3y)=

DIVISION O COSIENTE DE EXPRECIONES ALGEBRAICAS. Polinomio entre monomio.

Ejemplos, divida las siguientes expresiones algebraicas: 1. a + b =

a

2. 3 x 2 + 3x = - x

3. 4x2 + 3x 5 = 2x

Ejercicios, encuentre el resultado de las siguientes divisiones: 1. 5x2 15 x + 20 =

-5x 2. 32 x2 + 16 x +8 =

4x 3. 7 a2 b c3 3 a3 b2 c 7 a b3 c2 =

-7 a b c 4. 32 m2 n + 4 m n 5 m n2 =

4 m n 5. 72 a2 b c 8 a b3 c =

4 a b c

6. 3 m n + 6 m n = 4mn

7. 36 x2 y3 z + 42 x y2 z3 = 5xyz

8. 46 x y2 z3 + 7 x3 y z2 = 4 x2 y z3

9. a b2 c5 + 3 a3 b c = a b c

10. 4mn 2xy + 6abc = 2abc m n x y



DIVISION DE POLINOMIOS ENTRE POLINOMIOS Ejemplos, divida los siguientes polinomios: 1. (x2 3x 28 ) / ( x 7) =

2. ( x2 2x 35 ) / ( x 7) =

3. ( x2 3 x + 2 ) / ( x 1 ) =

Ejercicios, encuentre el resultado de las divisiones siguientes: 1. (x2 6x + 8 ) / ( x 2) =

2. ( x 2 + 5 x + 6 ) / ( x +3)=

3. ( x2 + 6x 3 ) / ( x 1) =

4. ( x2 + 5x 4 ) / ( x + 2 ) =

5. ( x 2 + 6x 4 ) / ( x 3 ) =

Ejemplos, dividir los siguientes polinomios:

1. (x2 6x + 7) / (x +3) =

2. ( 4x2 + 4x + 1 ) / ( 2x + 1 ) =

Ejercicios: 1. ( x2 8 x 16) / (x 4) =

2. ( x2 + 4x + 4) / (x + 2 ) =

3. ( x2 + 6x + 9) / (x+3 ) =

4. ( x 2 8x + 16) / (x 4) =

5. ( 25 x2 20 x + 4) / (5 x 2 ) =



I.2.- Factorizacin. FORMULAS DE FACTORIZACIN.

1. ab + ac = a (b + c) Factor comn 2. Diferencia de cuadrados a2 b2 = (a + b) (a b) Binomios conjugados 3. Trinomio cuadrado x2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b) Binomio trmino comn 4. Trinomio cuadrado acx2 +(ad + bc)x + bd = (ax + b) (cx + d) Binomio variable comn 5. Trinomio cuadrado perfecto a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 Binomio al cuadrado 6. Trinomio cuadrado perfecto a2 2ab + b2 = (a b)2 Binomio al cuadrado 7. Polinomio cbico a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3 = (a + b)3 Binomio al cubo 8. Polinomio cbico a3 3 a2b + 3 ab2 b3 = (a b)3 Binomio al cubo 9. Suma de cubos a3 + b3 = (a + b) (a2 ab + b2) 10.Resta de cubos a3 b3 = (a b) (a2 + ab + b2)

Que es factorizar? Es la descomposicin en factores de una expresin.

Ejemplos factorizar los siguientes nmeros: 1. 100= 2x50 2. 30= 7x10 3. 70= 7x10 4. 25= 5x5 o por factores primos: 100 2 30 2 70 2 25 5 50 2 15 3 35 5 5 5 25 5 5 5 7 7 1 5 5 1 1 1

Factorizacin I: ab+ac=a(b+c) Factorizar las siguientes expresiones

1. 3x2- 12x = 2. 12x3- 24x2- 4x = 3. 6m3n- 9m2n2- 21mn3 =

4. 18a3b2 - 30a2b3- 12a4b4 = 5. 3/6x2y 7/35xy2 =

Ejercicios, factorizar las expresiones siguientes: 1. 12x2+6y=

2. 21a2-14ab=

3. 3a2+9a=

4. 12x2+4xy=

5. 21a2+4xy=

6. -32x-24x=

7. 42x2+21xy=

8. 112a4+114a2=

9. 294ab-126a2=

10. 36x2-24xy-12x=

11. 12x3-24x7-48x=

12. 7x4-14x3+7x2=

13. 15ab-10a2b=

14. 9/2a3-6/8a2b-1/10ab2=

15. 9/14x3y2-15/8x3y3=



Factorizacin II: a2 b2= (a + b)(a b) Factorizar las siguientes expresiones

1. a2 49 = 2. 16x2 4= 3. 36 25x2=

4. 64 9x2= 5. 9a2b2 4=

Ejercicios, factorizar los siguientes binomios:

1. 64m2 9n2= 2. 9x4 36= 3. 16a2 4b6= 4. 1/25x2 9y6= 5. 9/16m2 4/25n2=

6. 1/4x2 9= 7. a2 49= 8. x4 64= 9. x4y2 144= 10. 81x2 1=

11. a2b2 4= 12. x10 9y6= 13. 9/b2 1= 14. 4/x2 100= 15. m4/n2 4=

Factorizacin III x2 + (a+b) x + ab = (x + a)(x + b) Factorizar las siguientes expresiones:

1. x2 + 3x + 2= 2. x2 + 2x 8 =

3. x2 2x 35= 4. x2 2x + 1=

Ejercicios, factorizar los siguientes trinomios cuadrados:

1. x2 + 3x + 2 =

2. x2 + 7x + 12 =

3. x2 + 5x + 4 =

4. x2 10x + 24 =

5. x2 x 12 =

6. x2 3x 40 =

7. x2 6x 8 =

8. x2 3x + 2 =

9. x2 5x + 6 =

10. x2 + 6x + 8 =

11. x2 3x 54 =

12. y2 + 2y 35 =

13. a2 7 a 44 =

14. z2 + 7z 30 =

15. a2 a 56 =

20. x2 18x + 45 =

21. x2 9x 90 =

Factorizacin IV.- acx2 +(ad + bc)x + bd =(ax + b) (cx + d) Factorizar las siguientes expresiones

1.- 3x2-2x-8=

2.- 6x2-16x+8=

3.- 15x2+17x-110=

4. 35x2 + 43x 36 =

5. 32x2 + 8x +2 =

6. 42x2 52x + 16 =



Ejercicios, factorizar los siguientes binomios cuadrados:

1. 10x2-33x+27=

2. 42x2+54x+18=

3. 6x2-x-15=

4. 10w2+28w-56=

5. 14x2+14x-3=

6. 21x2-29x-10=

7. 6x2+5x-1=

8. 28x2+31x-10=

9. 14x2-9x+8=

10. 132x2+31x-10=

11. 2x2-23x+63=

12. 4x2+16x-65=

13. 14x2+23x+30=

14. 15x2-82x+99=

15. 12x2-26x+12=

16. 3x2+13x-56=

17. 6x2+19x+10=

18. 12x2+2x-30=

19. 12x2-35x+8=

20. 24x2-4x-8=

21. 5x2-6x-8=

22. 3x2+10x+8=

23. 30x2-8x-6=

24. 42x2+45x+12=

25. 28x2-31x-5=

26. 2x2-6x-36=

27. 3x2-37x+44=

28. 13x2-37x-6=

29. 10x2-35x-15=

30. 3/4x2-7x+8=

31. x2-56/3x+12=

32. 1/4x2+37/120x-1/10=

33. 49/15x2-427/186x-3/4=

Factorizacin V a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 Factorizar las siguientes expresiones

1. x2 + 8x + 16=

2. 9x2 + 30x + 25=

3. 14x2 + 6/8x +9/16=

Ejercicios, factorizar los siguientes trinomios cuadrados perfectos:

1. x2+12x+36=

2. x2+14x+49

3. x2+16x+64=

4. x2+18x+81=

5. x2+20x+100=

6. 4x2+12x+9=

7. 16x2+24x+9=

8. 81x2+18x+1=

9. 49x2+56x+16=

10. 16x2+88x+121=

11. 16/25x2+56/5x+49/9=

12. 1/25x2+11/15x+1/36=

13. 9/25x2+6/40x+1/64=

14. 49/16x2+42/8x+9/4=



Factorizacin VI a2 2ab + b2 = (a b)2 Factorizar las siguientes expresiones

1. x2 - 18x + 81=

2. 9x2 - 24x + 16=

3. 14x2 - 35/2x +25/16=

Ejercicios, factorizar los siguientes trinomios cuadrados perfectos:

1. x2-16x+64=

2. x2-4x+4

3. x2-10x+25=

4. x2-6x+9=

5. x2-22x+121=

6. 4x2-20x+25=

7. 16x2-24x+9=

8. 81x2-36x+4=

9. 49x2-56x+16=

10. 16x2-88x+121=

11. 16/25x2-56/5x+49/9=

12. 1/25x2-11/15x+1/36=

13. 9/25x2-6/40x+1/64=

14. 49/16x2-42/8x+9/4=

15. 9/x2 6y/x +y2 =

Factorizacin VII.- a3+3ab+3ab2+b3=(a+b)3 Factorizar las siguientes expresiones

1.- x3+12x2+48x+64=

2.- 8x3+12x2+6x+1=

3.- 27x3+54x2y+36xy2+8y3=

Ejercicios, factorizar los siguientes polinomios:

1. 27x3+54x2y+36xy2+8y3=

2. x3+21x2+147x+343=

3. x3+33x2+363x+1331=

4. 8x3+36x2+54x+27=

5. 27x3+27x2+9x+1=

6. 8b3+12b2c+6bc2+b3=

7. 8x3+84x2+294x+343=

8. 27b3+54b2c+36bc2+8c3=

9. 64x3+48x2y+12xy2+3y3=

10. 8x3+16xy2+486xy2+429y3=

Factorizacin VIII.- a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3

Factorizar las siguientes expresiones 1.- x3-15x2+75x-125=

2.- 27x3-54x2+36x-8=

3.- 64x3-144x2y+108xy2-27y3=



Ejercicios, factorizar los siguientes polinomios: 1.- x3-6x2+12x-8= 2.- x3-74x2+192x-512= 3.- x3-30x2+300x-1000= 4.- 8x3-48x2+96x-64= 5.- 27x3-162x2+314x-316=

6.- b2-6b2c+27bc2-27c3= 7.- 64y3-48x2y+12xy2-y3= 8.- 8x3-84x2y+294xy2-343= 9.- 27x3-54x2y+36xy2-8y3= 10.- 8x3-12x2+6x-1=

Factorizacin IX.- a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) Factorizar las siguientes expresiones

1.- x3+8=

2.- 27x3+125=

3.- a3+125b3=

Ejercicios, factorizar las sumas de cubos: 1.- x3+1= 2.- x3+343= 3.- x3+125= 4.- x3+1000= 5.- x3+216=

6.- 8x3+1= 7.- 64x3+125= 8.- 8x3+345= 9.- 27x3+789= 10.- a3b3+1=

Factorizacin X a3 - b3=(a - b)(a2 + ab + b2) Factorizar las siguientes expresiones:

1.- x3-512=

2.- x3y6-8=

3.- 27b9-8/125=

Ejercicios, factorizar las diferencias de cubos:

1.- x3-64=

2.- 27x3-125=

3.- 343-a12=

4.- x12y15-1331=

5.- a3/8-b6/27=

6.- x3/64-y3/27=

7.- 2177w3-3375=

8.- 1000-8b6c9=

9.- 1/1000-27b3/64c9=

10.- 343 A6 125B9



I.3.- Exponentes y radicales. LEYES DE LOS EXPONENTES

Potenciacin: es elevar a un exponente un nmero o valor.

an significa a multiplicada n veces = a a a a a a a a a ene veces

donde a la letra a se le llama base y a n se le llama exponente.

I. an am = an + m . Ejemplos: 1. x3 x7 =

2. a1 a-5 =

3. b5 b-16 =

II. an / am = an m Ejemplos: 1. a3 / a5 =

2. x4 / x-7 =

3. m12 / m9 =

III. (ab)n = an bn Ejemplos: 1. (x y)9 =

2. (m n)7 =

IV.(a / b)n =an / bn Ejemplos 1. (z / y)-5 =

2. (m / n)3 =

V. (an)m = anm Ejemplos 1. (x2)5 =

2. (a8)-3 =

Ejercicios, aplicar las propiedades anteriores: 1. a3 a-2 =

2. x7 x12 =

3. m9 m 13 =

4. a12 / a15 =

5. x-3 / x5 =

6. m12 / m9 =

7. (x y)9 =

8. (m n)3 =

9. (a b c)4 =

10. (m n o)-5 =

11. (x / y)2 =

12. (z / yx)-3 =

13. ( abc / z)5 =

14. (x3)-2 =

15. (m2)3 =

16. (z3 y)4 =

17. (2m)5 =

18. (x3 / y2)4 =

19. (m n2 / z5)3 =

20. (x3 y5 / z2)-1 =



1. 52 54 =

2. (-23)(25)(-24)(23) =

3. 76 172 7-3 17-1 =

4. x3 x7 =

5. z10 z-11 =

6. y8 y9 =

7. a2 b3 a5 b8 =

8. a3 c2 c5 a2 =

9. (a + b)3 (a + b)2 =

10. a2 b2 a3 b3 =

11. 34 27 / 23 32 =

12. 74 39 43 / 73 42 =

13. x3y2z3w6 / z4 y7 w5 =

14. a3 b2 c / a b2 c3 =

15. 3-1 24 / 3-1 2-4 =

16. (x + y)2 (x y)2 / (x y)(x + y)3 =

17. 36 x3 z3 / 6 x4 z3 =

18. 43 y6 z4 / 42 y3 z =

19. 32 x3 y2 z / 25 x y2 z =

20. (abc)3(cde)6 / (bcd)4(ced)7 =

21. (62)3 =

22. (-23)2 =

23. (43)5 =

24. (78)10 =

24. (78)10 =

25. (a3)2 =

26. (a5)3 =

27. (z3)2 =

28. (43)2 =

29. (61/2)1/3 =

30. (9-1/3)1/6 =

31. (m n)3 =

32. (z b)3 =

33. (12 z)4 =

34. (4 a)2 =

35. (a b c2)3 =

36. (3 x y z)2 =

37. (4 m2n)5 =

38. (z a b)3 =

39. (6 x y2 z)3 =

40. (5 a4 b3 c2 d)7 =

41. (7 / 5)3 =

42. (a / b)5 =

43. (z / y)3 =

44. (w / z)2 =

45. (4 x2 y / z)3 =

46. (3 x / y)3 =

47. (a / b)4 =



RADICALIZACIN

na = a 1/n esta es una forma de convertir de radical a exponente fraccionario donde n es el ndice del radical y a es la base. Ejemplos, simplifique las races siguientes tomando en cuenta su propiedad: 1. 9 =

2. 3 64 =

3. 5 32 a15 =

4. 3 24 a5 b6 =

Ejercicios, utilizando las propiedades simplifique: 1. 16 =

2. 81 =

3. 27 =

4. 3 8 =

5. 3 27 =

6. 4 32 =

7. 5 192 =

8. 4 a2 b4 =

9. 16 a6 y4 =

10. 3 8 m6 b9 =

11. 4x16 y12 z9 =

12. 5 32 m7n9 =

13. 4x16y12z9 =

14. 3a3b6z9 =

15. a7b9z10 =

RADICALIZACIN NUMERICA. Ejemplos, simplifique y realice operaciones: 1. 12 - 48 = 2. 45 - 80 - 20 =

Ejercicios, simplifique y realice operaciones: 1. 75 + 48 =

2. 175 - 28 =

3. 18 + 50 =

4. 243 - 75 =

5. 20 - 45 - 20 =

6. 200 - 72 - 128 =

7. 75 - 108 - 141 =

8. 448 - 252 + 112 =

9. 32 + 200 - 20 =

10. 1008 - 1183 - 20 =



I.4.- Matrices hasta de 5 variables, operaciones con matrices y matriz inversa. CONCEPTO DE MATRIZ

Llamaremos matriz de orden (nxm) sobre el cuerpo de los nmeros reales a un conjunto de nmeros reales dispuestos en n filas y m columnas de la siguiente forma:

Consideraciones 1. Las matrices se designan con una letra mayscula, como A, B, C , D , etc. Ejemplo:

2. La dimensin u orden de una matriz, est dado por la cantidad de filas (n) y la cantidad de columnas (m) que esta tenga y se denota por (nxm). Ejemplo:

3. Cada elemento de la matriz corresponde a un nmero real representado de la forma (aij) donde i corresponde a la posicin de fila y j corresponde a la posicin de la columna dentro de la matriz.



Ejemplo:

Donde:

4. La cantidad de elementos de la matriz se determina multiplicando la cantidad de filas por la cantidad de columnas. Ejemplo:

De ahora en adelante, denotaremos por A(nxm) o simplemente A, a una matriz cualquiera de orden (nxm) con elementos pertenecientes a los nmeros reales.

MATRICES IGUALES Diremos que dos matrices son iguales, si tienen el mismo orden o dimensin y los elementos que se encuentran en la misma posicin, son iguales. Esto es:

La idea es que dos matrices son diferentes si difieren en al menos un elemento.



Ejemplo:

Luego, A = B. ESCALAR En los captulos siguientes, muchas veces nos referiremos al trmino "escalar". Llamaremos escalar a cualquier constante numrica perteneciente a los nmeros reales. MATRICES ESPECIALES Como te podrs ir dando cuenta, existen infinitas matrices de distinto orden con elementos pertenecientes a los nmeros Reales. Tenemos un grupo de matrices que, debido a los elementos que las componen y a la forma en que estn ubicados, cumplen con propiedades especiales. Lo que facilita mucho las cosas cuando se trata de resolver algn problema prctico (que vers ms adelante). Sea A(nxm) una matriz con elementos pertenecientes a los nmeros reales. 1. A ser llamada matriz fila si n=1. Ejemplo:

2. A ser llamada matriz columna si m=1. Ejemplo:

3. A ser llamada matriz nula si aij =0 i 1



7. A ser llamada matriz triangular superior si: a) n = m b) aij = 0 si i >= j Ejemplo:

8. A ser llamada matriz triangular inferior si: a) n = m b) aij = 0 si i



Ejemplo:

SUMA DE MATRICES Vamos a comenzar esta unidad resolviendo un problema prctico. La siguiente informacin, corresponde a la produccin en granos en miles de toneladas, en dos aos consecutivos:

Cul es la produccin de granos en miles de toneladas durante los dos aos consecutivos? Para resolver este problema, debemos sumar la produccin del primer ao, con la produccin del segundo ao. Esto equivale a sumar los elementos de la primera matriz con los elementos correspondientes de la segunda matriz:

Lo que respondera nuestra pregunta.



Supongamos ahora que existen muchos incentivos para incrementar la produccin, condiciones climticas favorables, etc. De tal forma que se estima que la produccin para el tercer ao ser el triple de la produccin del primero Cul ser entonces, la produccin estimada de este ltimo ao? En este caso, debemos multiplicar la produccin del primer ao por tres (recuerda que es el triple).

Luego tenemos:

Para solucionar los problemas anteriores, acabamos de utilizar dos operaciones muy importantes con matrices: la suma y la multiplicacin por un escalar (un nmero Real). La suma de dos matrices, sean A =(aij) y B = (bij), solo es posible cuando ambas matrices tienen la misma dimensin u orden. Esto es, sean A = (aij) y B = (bij) matrices de orden (nxm) con elementos pertenecientes a los nmeros reales.

Si sumamos A + B obtendremos una matriz C = (cij) con elementos tambin pertenecientes a los nmeros reales y del mismo orden:

Donde los elementos de la matriz C son de la forma:

Veamos un ejemplo:



Tenemos que A + B = B + A Ser conmutativa la suma de matrices? Por supuesto que es conmutativa, Ahora si que podemos afirmar que la suma de matrices es conmutativa. O sea:

Consideremos lo siguiente:

Tenemos que A+ ( B + C ) = ( A + B ) + C Como en el caso anterior, veamos si la suma de matrices es asociativa. COMPROBAR De acuerdo a la demostracin, podemos afirmar que la suma de matrices es asociativa:

Veamos si la matriz nula es un elemento neutro en la suma de matrices: COMPROBAR Luego, cualquier matriz sumada a la matriz nula, da como resultado la misma matriz. O sea, la matriz nula es un elemento neutro en la suma de matrices.

Listo, ahora ya sabemos sumar matrices. Pero an nos falta analizar la multiplicacin de una matriz por un escalar. Como nos pudimos dar cuenta en el problema planteado al comienzo de este captulo, para multiplicar una matriz por un nmero escalar, basta multiplicar cada uno de los elementos de la matriz por este nmero. Esto es, sea A una matriz de orden (nxm) con elementos pertenecientes a los nmeros reales. Y sea k un nmero real (el escalar).



Veamos dos ejemplos:

Sean

Matrices de orden (nxm) con elementos pertenecientes a los nmeros reales. Y sea k un escalar real. Como lo vimos anteriormente, trata de demostrar que:

MULTIPLICACIN DE MATRICES La siguiente informacin corresponde a la cantidad de vitaminas A, B y C contenidas en cada unidad de los alimentos I y II.

Si ingerimos cinco unidades del alimento I y dos unidades del alimento II Cunto consumiremos de cada tipo de vitamina? Para resolver este problema, representemos el consumo de los alimentos I y II (en este orden) en la siguiente matriz:

La operacin que nos va a permitir obtener la cantidad ingerida de cada vitamina es la siguiente:

Esto quiere decir que sern ingeridas 30 unidades de vitamina A, 15 unidades de vitamina B y 2 unidades de vitamina C. Lo que respondera nuestra interrogante. Supongamos ahora que el costo de los alimentos depende solamente de su contenido vitamnico y sabemos que los precios por unidad de vitamina A, B y C son respectivamente $5, $3 y $5. Entonces Cunto pagaremos por la porcin de alimentos indicada anteriormente?



Esto lo podemos resolver de la siguiente forma:

Esto quiere decir que pagaramos $205. Las dos operaciones que acabamos de realizar las llamaremos producto o multiplicacin de matrices. La matriz resultado o matriz producto es obtenida a partir de una fila de la primera matriz y una columna de la segunda. Vemoslo para un caso genrico:

Para poder multiplicar dos matrices, es necesario que la cantidad de columnas de la primera matriz, sea igual a la cantidad de filas de la segunda. Luego, si A es una matriz de orden (n x m) y B es una matriz de orden (m x p), entonces la matriz resultado ser una matriz de orden (n x p). Veamos un ejemplo:



Aqu sucede algo muy importante, fjate que AB es distinto de BA, esto quiere decir que el producto de matrices no es conmutativo.

DETERMINANTE Consideremos el sistema

La solucin a este sistema es:

Asociemos el denominador a la matriz A = (aij)

En un sistema de dos ecuaciones:

La solucin es:

Nuevamente asociemos el denominador a la matriz:

En un sistema de tres ecuaciones:

Si resolvemos este sistema, llegaremos a que los denominadores de x1, x2, x3 son iguales a:

Que tambin podemos asociar a la matriz

A estos nmeros que aparecen en los denominadores y que asociamos a la matriz cuadrada A de orden (nxn) con elementos pertenecientes a los nmeros reales, los llamaremos el determinante de la matriz A y lo denotaremos como:

As,



Y as sucesivamente.... Como te puedes dar cuenta, el clculo del determinante de una matriz puede ser muy engorroso. Sobre todo si se trata de matrices de orden superior a 3. A continuacin estudiaremos un mtodo que nos facilitar en gran manera el clculo de los determinantes. Este mtodo es conocido como:

MTODO DE LAPLACE Si seguimos desarrollando el determinante de la matriz de orden (3x3) anterior, tenemos:



Donde Aij es una submatriz de la matriz A en donde se quitan la i-esima fila y la j-esima columna.

Con esto tenemos

Si generalizamos esto para matrices cuadradas de orden (nxn) con elementos pertenecientes a los nmeros reales, tenemos

Aclaremos un poco ms.



Veamos algunos ejemplos: 1. Vamos a resolverlo fijando la fila 1:

2. Ahora lo vamos a resolver fijando la fila 2:



3. Ahora lo vamos a resolver fijando la fila 3:

Como puedes ver, fijando la fila 1, 2 o 3 obtuvimos el mismo resultado. Ahora est en t que te fijes cul de las filas es la que te conviene tomar para resolver el ejercicio. Veamos que pasa si lo resolvemos fijando las columnas. 4. Ahora lo vamos a resolver fijando la columna 1:



5. Resolvamos fijando la columna 2:

6. Finalmente lo vamos a resolver fijando la columna 3:

Al igual que en las filas, fijando la columna 1, 2 o 3 obtuvimos el mismo resultado. O sea, fijando cualquier fila o cualquier columna, obtendremos el mismo resultado. Pero usa tu ingenio para saber cual es ms conveniente elegir. Otro ejemplo:



Resolvamos fijando la columna 4:

Ahora entiendes por qu es necesario saber elegir?

I.5.- Determinantes hasta de 5to. orden.

APLICACIONES: 1. (Costos de transporte) Una compaa tiene plantas en tres localidades, X, Y y Z, y cuatro bodegas en los lugares A, D, e y D. El costo (en dlares) de transportar cada unidad de su producto de una planta a una bodega est dado por la matriz siguiente.

a. Si los costos de transportacin se incrementan uniformemente en $1 por unidad, cul es la nueva matriz? b. Si los costos de transportacin se elevan en un 20%, escrbalos nuevos costos en forma matricial.

2. (Costos de suministros) Un contratista calcula que los costos (en dlares) de adquirir y transportar unidades determinadas de concreto, madera y acero desde tres diferentes localidades estn dados por las matrices siguientes (una matriz por cada localidad).



Escriba la matriz que representa los costos totales de material y de transportacin por unidades de concreto, madera y acero desde cada una de las tres localidades.

3. (Comercio internacional) El comercio entre tres pases I, II Y III durante 1986 (en millones de dlares estadounidenses) est dado por la matriz A = [a

ij], en donde a ij

representa las exportaciones del pas i al pas j.

El comercio entre estos tres pases durante el ao de 1987 (en millones de dlares estadounidenses) est dado por la matriz B.

a. Escriba una matriz que represente el comercio total entre los tres pases en el periodo de 2 aos, 1986 y 1987. b. Si en1986 y 1987, 1 dlar estadounidense equivala a 5 dlares de Hong Kong, escriba la matriz que representa el comercio total durante los 2 aos en dlares de Hong Kong.

4. (Matrices de produccin) Una empresa produce tres tamaos de cintas magnetofnicas en dos calidades diferentes. La produccin (en miles) en su planta de Baja California est dada por la matriz siguiente.



La produccin (en miles) en su planta de Monterrey est dada por la matriz siguiente:

a. Escriba una matriz que represente la produccin total de cintas en ambas plantas. b. El dueo de la empresa planea abrir una tercera planta en Chihuahua, la cual tendra una vez y media la capacidad de la planta en Baja California. Escriba la matriz que representa la produccin en la planta de Chihuahua. c. Cul sera la produccin total de las tres plantas?

5. (Matrices de produccin) Un fabricante de zapatos los produce en color negro, blanco y caf para nios, damas y caballeros. La capacidad de produccin (en miles de pares) en la planta de Sonora est dada por la matriz siguiente.

La produccin en la planta de Durango est dada por

a. Determine la representacin matricial de la produccin total de cada tipo de zapato en ambas plantas. b. Si la produccin en Sonora se incrementa en un 50% y la de Durango en un 25%, encuentre la matriz que representa la nueva produccin total de cada tipo de calzado.

6. (Ecologa) En un ecosistema, ciertas especies proveen de comida a otras. El elemento C

ij de la matriz de consumo es igual al nmero de unidades de la especie j consumidas diariamente por un individuo de la especie i. Construya la matriz (C

ij) para el siguiente ecosistema simple que consiste de tres especies. a. Cada especie consume en promedio I unidad de cada una de las otras especies. b. La especie I consume una unidad de la especie 2; la especie 2 consume l unidad de 2 cada una de las especies I y 3; la especie 3 consume 2 unidades de la especie 1. c. La especie I consume 2 unidades de la especie 3; la especie 2 consume 1 unidad de la especie 1; la especie 3 no consume de ninguna de las otras especies

66298744-MATEM-BASICAS-C1

Documents

Transcript of 66298744-MATEM-BASICAS-C1