6to Año

VARIABLES

Una variable es el símbolo que se emplea para denotar un elemento cualquiera para un conjunto dado.

Ejemplo:

D = v. t (distancia = Velocidad x tiempo)

A estos símbolos se les llaman variables.

Las variables se usan en el álgebra para representar las cantidades. (números y letras).

Los números se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas.

Las letras se consideran para representar toda clase de cantidades ya sean conocidas o desconocidas.

Las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d,….

Las cantidades desconocidas se representan por las últimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z.

Una misma letra puede representar distintos valores diferenciándolos por medio de comillas; por ejemplo: a´, a´´, a´´´, que se leen a prima, a segunda, a tercera o también por de subíndices; por ejemplo: a1, a2, a3,

que se leen a subuno, a subdos, a subtres.

Las variables pueden utilizarse para dar expresiones acerca de los números, como se indica a continuación:

EXPRESIÓNEXPRESIÓN MEDIANTE EL USO DE VARIABLE

La suma de dos números X + yUn número dividido por tres Z / 3El producto de dos números consecutivos

W . (w + 1)

El dominio de cada una de las variables indicadas anterior mente “x” , “y” y “z” es el conjunto de todos los números reales; sin embargo, el dominio de “w” es el conjunto de todos los enteros.

36

Ejemplos:1. Si unos cuadernos se venden a 2 soles cada uno. Entonces “2n” representa

el costo de “n” cuadernos. ¿Cuál es el dominio de la variable “n”?

2. Si la gasolina de alto octanaje se vende a 3 soles el galón, entonces “3x” es el costo de “x” galones de esa gasolina. ¿Cuál es el dominio de la variable “x”?

3. ¿Para qué dominio de la variable “n” será la expresión 3n / 5n igual a un número entero?

4. Utilizar variables para dar una expresión matemática a cada una de las frases siguientes:

a. Un número aumentado en nueve.b. La suma de tres números.c. El producto de dos números.d. Un tercio de un número.e. Un número disminuido en seis.f. Un número dividido por cinco.g. El entero que le sigue a N.h. El entero que precede a N.i. Cinco veces el número N.j. El cuádruplo de un número.

NÚMEROS NATURALES

Los primeros números que aparecieron históricamente fueron los números naturales, 1, 2, 3, 4,… que nos sirven para contar, los representamos en la recta numérica de de la siguiente manera:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

NÚMEROS ENTEROS

Cuándo hablamos de temperaturas, pérdidas y ganancias, profundidades etc.., necesitamos manejar cantidades negativas. Para ello necesitamos introducir el 0 y los números enteros negativos -1, -2, -3,… obteniendo el conjunto de números enteros.

…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…

Los números 1, 2, 3, 4,… se llaman también enteros positivos. Los números -1, -2, -3, -4,… Se llaman enteros negativos. El cero no es ni positivo ni negativo.

Ejemplos:

Escribir un número entero que represente cada situación.

La temperatura de una madrugada de invierno es de 7° C bajo cero: Una profundidad de 10 m. bajo el nivel del mar: Una deuda de $ 50:

37

6to Año

NÚMEROS REALES

Cuando hablamos de distancias, áreas, tiempo, etc .necesitamos subdividir la unidad para hacer mediciones mas precisas. Para esto es necesario introducir a los números reales. De esta manera a cada punto en la recta numérica le corresponde un número real. Los números:

52, 10.72, -25,16, , Son números reales

Algunos números reales se pueden expresar como fracciones de números enteros. A estos números se les llama NÚMEROS RACIONALES, por ejemplo los números:

Son números racionales

Para cada número real, hay otro número real que se encuentra a la misma distancia del cero del otro lado de él y se llama el opuesto de él.

Ejemplos:

El opuesto de 5 es -5 El opuesto de -8 es 8 El opuesto de 0 es 0 El opuesto de -3.7 es 3.7

El opuesto de

Hemos utilizado el signo “-“ para representar a los números negativos, también podemos utilizar el signo “ – “ para indicar el opuesto de un número, así - 6 significa “ menos 6 “ y también significa el “ opuesto de 6 “ .

Podemos utilizar esta notación para representar a los opuestos de los números negativos, por ejemplo, como el opuesto de – 8 es 8, escribimos – (- 8) = 8

38

Ejemplos:

Simplifica las expresiones siguientes:

- (- 7.5) el opuesto de – 7.5 es 7.5; - (- 7.5) = 7.5 - (8 + 5) el opuesto de la suma 8 + 5 = 13 es – 13; - (8 + 5) = -

13 - (9 - 7) el opuesto de la diferencia 9 – 7 = 2 es – 2; - (9 - 7) = - 2 - 0 el opuesto de 0 es 0; - 0 = 0

Ejercicios:

Escribe el número que representa cada situación:

1. Un submarino está sumergido a 93.8 metros.2. Está 6 metros sobre el nivel del mar.3. La temperatura es de 4° C.4. Tiene $ 35.5 en sus ahorros.5. La temperatura es de 15° C bajo cero.6. 36 metros bajo el nivel del mar.7. 18° C sobre el punto de congelación del agua.8. Debe $ 200.9. Se hundió un metro sobre el nivel del mar.10. 5° C bajo el punto de congelación.11. Debe a su hermana 14.5 soles.12. Tiene $ 845 en su alcancía.13. La cima de la montaña está a 1500 metros sobre el nivel del mar.14. La ciudad de M’exico está 2303 metros sobre el nivel del mar.15. El helicóptero se elevó 1650 metros sobre el nivel del mar.16. Un día de invierno la temperatura, contando el factor viento, llego a 32° C

bajo cero.

Encuentra el opuesto de cada número:

17. – 47 Su opuesto es………

18. – 0.13 Su opuesto es………

19. Su opuesto es………

20. Su opuesto es………

21. – 0 Su opuesto es………

22. – 3.28 Su opuesto es………23. 1.75 Su opuesto es………

24. Su opuesto es………

25. Su opuesto es………

39

6to Año

26. Su opuesto es………

27. Su opuesto es………

Simplifica las expresiones siguientes.

28. – (- 9)

29. – (- 1.24)

30. – (10 - 3)

31. – (- (- 7))

32. – (13 + 16)

33. – (- 7.1) + 1.7

34. 5 – (- 7)

35. – (6.34-4.98)

36. -

37. -

38.

39.

40

ORDEN Y VALOR ABSOLUTO

Podemos Compara a los números reales.

I. 7 canicas son más que 3 canicas.II. - $ 10.25 es menor que - $ 5.50, ya que se tiene menos dinero cuando se debe

10.25 que cuando se debe 5.50.III. - 4° C es menor que 2° C, ya que es más alta la temperatura a 2° C que a 4°

C.

Un número es mayor que otro cuando representa una cantidad mayor.

El símbolo < significa “menor que”: Ejemplo: 5 < 9El símbolo > significa “mayor que”. Ejemplo: 9 > 5

En los ejemplos anteriores tenemos:

7 > 3

- 10.25 < - 5.50

- 4 > 2

- 4 2

Ordena en la recta numérica

En la recta numérica, dados dos números reales, el mayor esta colocado a la derecha del menor.

La distancia de 5 a 0 es 5 unidades, la distancia de – 5 a 0 también es 5 unidades.

- 5 0 5

La distancia de un número a 0 se llama el valor absoluto del número y se representa encerrando al número entre dos rayas verticales, así:

El valor absoluto de 5 es 5:

El valor absoluto de – 5 es 5:

41

6to Año

Ejemplos:

1. Simplifica las expresiones siguientes:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

2. Compara reemplazando ٱ por <, > o =

a. ٱ 12 ٱ 12

12 = 12

b. ٱ 10 ٱ 8

8 < 10

c. ٱ 3.5 ٱ (3.8) -

- 3.8 < 3.5

42

EJERCICIOS

Utiliza <, > o = para que sea cierta cada información.

1. 3 ……… 5

2. 1 ……… - 1

3. – 5 …… - 6

4. - ……… -

5. ………ٱ

6. - ……… - 1

7. – 8 ……… - 8.5

8. – 13 ……… - 12

9. – 2.8 ……… – 2.6

10. ………

11. ………

12. ………

13. - ………-

14. ………

15. - ………

16. 7.9………9.7

17. 10.25……… 0.12

18. – 5.75………- 5.9

19. – 9.25 ………- 9.04

20. - ………

21. ………

En cada ejercicio escribe los números de menor a mayor.

22. 0, - 3, 4, - 1

23. 1, - 1, 2, - 2

24. – 5.4, - 0.5, - 6, - 1

25. 3, - 3.5, 7, - 7

26.

27.

28.

29. 2.01, 2.1, - 2,

30. - 2.1Simplifica los siguientes valores absolutos

31. =………….

32. - =………….

33. =………….

43

6to Año

34. =………….

35. =………….

36. =………….

37. =………….

38. =………….

39. =………….

40. - =………….

41. =………….

42. =………….

43. =………….

44. =………….

45. =………….

46. =………….

47. - =………….

48. =………….

49. =…………

50. - =………….

51. - =……

44

SUMA DE NÙMEROS ENTEROS

Sería poco práctico tener que utilizar la recta numérica para poder sumar enteros positivos y negativos, las siguientes reglas nos permiten hacerlo de manera sencilla.

REGLA PARA SUMAR:

Para sumar dos números enteros con el mismo signo:

I. Se suman sus valores absolutos.

II. Se determina el signo de la suma.

a. Si ambos son positivos la suma es positiva.b. Si ambos son negativos la suma es negativa.

Ejemplo:

Sumar - 3,5 + (-8,2).

Solución:

Sumamos los valores absolutos de los números:

La suma es negativa ya que ambos son negativos:

- 3,5 + (-8,2) = -11,7

Para sumar dos números enteros de signo contrario:

Se restan sus valores absolutos, el menor del mayor.

El signo de la suma es el signo del sumando que tenga el valor absoluto mayor.

Ejemplos

1. Sumar:

Solución:

El valor absoluto de es mayor que el de

Restamos los valores absolutos

45

6to Año

La suma es negativa porque

:

2. Sumar:

Solución:

El valor absoluto de 6,9 es mayor que el de – 2,7

Restamos los valores absolutos:

La suma es positiva porque

: - 2,7 + 6,9 = 4,2

46

EJERCICIOS

Efectúa las siguientes sumas.

(- 8) + 11=………….

(- 32) + (- 71) =………….

4,3 + (- 0,75) =………….

=………….

=………….

=………….

89,65 + (-70,09) =………….

(-5,03) + (- 7,9) =………….

(- 125) + (- 89,7) =………….

6 + (- 12) =………….

5,68 + (- 5,68) =………….

549 + (- 789) =………….

=………….

=………….

(- 0,75) + =………….

47

6to Año

RESTA DE NÚMEROS ENTEROS

Dados dos números enteros a y b, la diferencia a – b se define como

a – b = a + (- b)

Ejemplos

1. Simplificar 5 – 9.

Solución:

5 – 9 = 5 + (-9) = -4

2. Simplificar

Solución:

Resolvemos primero lo que está dentro del paréntesis

Y ahora efectuamos la resta

Así que =

3. La diferencia entre 76 y -11. menos 54.

Solución:

Traducimos el problema(76 – (- 11)) – 54.

Ahora resolvemos las operaciones indicadas(76 – (- 11)) – 54 = 87 – 54 = 33

EJERCICIOSEfectúa las siguientes operaciones:

1. 8 – (- 2) =………….

2. – 4 – 11=………….

3. 7 – (- 8) =………….

4. – 9 - (- 3) =………….

5. – 14 – (- 14) =………….

48

6. 12 – 5=………….

7. – 5,3 – 2,8=………….

8. – (- 37,89) – 57=………….

9. – 9,6 – (-4,9) =………….

10. 7,8-(-8,1) =………….

11. =………….

12. =………….

13. =………….

14. =………….

15. =………….

Problemas

Traduce al lenguaje algebraico y simplifica:

1. La resta de 92 menos – 13, menos – 25.2. – 62 sumado a la resta de 38 menos – 113. La suma de – 47 y 20, menos 154. Un día de invierno la temperatura en la madrugada era de 8º C. durante la mañana

subió 12º C, en la tarde descendió 5º C y en la noche bajo 3º C. ¿Qué temperatura había en la noche?

5. Un submarino se encuentra a 210 metros bajo el nivel del mar. Debido a las fuertes corrientes tiene que descender 74 metros. Más tarde decide subir 50 metros. ¿A qué profundidad se encuentra el submarino?

6. María tenía $897. Tuvo que pagar una cuenta de $78,65, una de $53 y otra de $8,50. Juan le pagó $110,80 que le debía. ¿Cuánto dinero tiene ahora María?

7. Una señora tenía en un recipiente 8 tazas de leche. Utilizo de tazas para

hacer un pastel y tazas para hacer un flan. ¿Cuántas tazas de leche le

quedaron?8. Un avión subió hasta una altura de 8825 metros. Debido al mal tiempo tuvo que

elevarse 1547 metros. Después descendió 1239 metros para continuar su viaje. ¿Qué altura llevaba?

9. Un elevador estaba en el piso 12 bajó 5 pisos, subió 13 y bajó 2. ¿En qué piso se encuentra ahora?

10. Luis Andrés tiene una tarjeta de crédito con un saldo a favor de $229 pagó con la tarjeta $296 $103 y $76. Como había gastado mucho depositó $130. ¿Qué saldo tiene ahora en la tarjeta de crédito?

49

6to Año

OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS

1. El resultado de 4 + 11 - 17 - 3 + 1 es:

A) 4 B) – 4 C) 3 D) – 3 E) – 5

2. Si de -14 resto - 15 obtengo:

A) 29 B) -29 C) 10

D) -1 E) 1

3. Al restar (13 - 5 - 11) de (-10 +16-8) se obtiene

A) -1 B) 5 C) 1

D) -5 E) N.A.

4. Si de (19 - 13 + 21 - 11) resto (- 19 + I5 - 12 + 1) obtengo:

A) 31 B) – 31 C) – 1

D) 1 E) N.A.

EJERCICIOS SUGERIDOS

Al efectuar se obtiene:

1. 12-11+9-8-7+13.

Solución

2. -7-6-13-11+24+ 12.

Solución

3. De 46 restar - 3 Solución

4. De -7 restar 11

Solución

5. Restar (11 + 8 - 3) de (4 - 7 – 11) Solución

6. De (- 6 - 3 + 2 + 9) Restar (3 – 8 – 11) Solución

EJERCICIO

1. 7 - 11 - 9 +8 + 3 - 13 es igual a:

A) -29 B) 15 C)– 15

D)– 51 E) 51

2. - 4-17+11 + 2 -3 + 21 es igual a:

50

A) 10 B) -10 C) 58 D) -58 E) 21

3. Si de -11 resto - 18 obtengo:

A) -7 B) -29 C) 29

D) 8 E) 7

4. Al restar 19 de - 18 se obtiene:

A) -37 B) 37 C) -1

D) 1 E) N.A.

5. Si de (- 4 + 11 - 3 - 9) resto (- 13 – 7 – 8)

Obtengo:

A) 33 B) - 33 C) 21D) 23 E) -23

6. Al restar (13-11-9- 12 + 3) de (4 – 19 - 2 + 13) se obtiene:

A) -12 B) 12 C) 20D) -20 E) N.A.

EJERCICIOS

1. El producto de (- 3) (- 2) (1) (- 4) es:

A) 24 B) 6 C) – 24 D) – 6 E) - 8

2. El producto de (46 - 37 - 18 + 12) (18 +12-33-2+7) es:

A) 6 B) – 6 C) 1 D) – 1 E) 5

3. (7+4-8-9-1) (2+3-7-11+ 13) (- 3) es igual a:

A) – 21 B) 10 C) – 10 D) O E) 21.

4. El producto de la suma de - 8 y - 13 con la diferencia de -1 y - 7, es:

A) 126 B) -105 C) 105 D) 15 E) -126

EJERCICIOS SUGERIDOS

Al efectuar se obtiene:

1. (-2) (- 2) (- 1) (- 4) (5)

Resolución

2. (-1) (- 3) (2) (3) (- 1) =

Resolución

3. (17 - 13 + 8 - 15 + 2) (- 9 - 6 + 11 - 1).

Resolución

51

6to Año

4. (4-7+9 -13) (- 1 - 3 - 4 - 5) (-11 +5+6)

Resolución

5. (-1) (-2) (-4+7-2-3+5) (-1-4+3).Resolución

6. Hallar el producto de la suma de 4 y – 11 Con la diferencia de 7 y 13.Resolución

7. Hallar el producto de la diferencia de Y - 15 con la suma de - 3 y - 9.Resolución

EJERCICIO

Al efectuar se obtiene:

1. (-4) (-1) (-7) (-2)

A) 56 B) 14 C) 56 D) 14 E) -28

2. (13) (-2) (-1) (0)

A) 26 B) 16 C) -26 D) O E) 10

3. (-1) (11 +13-16-17 + 1 -8) (-2)

A) -32 B) 31 C) 30 D) -30 E) N.A.

4. (19 - 23 – 21) (-11 + 13 + 10) (- 9 +8-2)

A) -90 B) 900 C) 75 D)-75 E) NA

5. [8 + (- 3) + (-5)] (11 -13 – 19) (12- l1-5)

A) 84 B) -84 C) 1 D)-1 E) 0

6. (-11) [- 3 + (-9) + (- 5)] [16 - (- 11) – (-4)]

A) -5797 B) 5797 C) -527 D) 11 E) -11

7. La diferencia de 13 y -12 multiplicado por la

Diferencia de -8 y -7 es:

A) 25 B) 24 C) -376 D) 375 E) -25

8. La suma de -2 , -4 y -9 multiplicado por la suma de -7, -4 y 11 es:

A) – 15 B) 15 C) OD)-330 E) 330

EJERCICIOS

1. El cociente (+72): (- 18) es:

A) 4 B) - 4 C) 5 D) - 5 E) -3

2. (-8) (-3): (-4) es igual a:

A) – 4 B) 8 C) 6 D) – 6 E) -8

3. (26 - 13 + 19 + 3): (42 +18-64-3) es igual a:

A) 35 B) - 35 C) 5 D) - 7 E) – 5

4. Al cociente del producto de - 3 y 14 entre la suma de 43 y - 37 es:

A) - 42 B) - 6 C) 7 D) - 7 E) 6

52

EJERCICIOS SUGERIDOS

1. (-48): (-12)

Resolución

2. (120): (-10)

Resolución

3. (-18): (-9) (2)

Resolución

4. (51): (17) (-3)Resolución

5. (12) (-4): (-8) (-1)

Resolución

6. (-24): (- 1) (- 3) (- 2).

Resolución

7. (34 + 8 - 5 + 1): (12 + 23 - 16)

Resolución

9. Hallar el cociente de dividir la suma de - 15, - 16 y 1 entre el producto de - 3 y - 5.

Resolución

10. Hallar el cociente de dividir la diferencia 37 y - 13 entre la suma de -4, 28 y 1

Resolución

EJERCICIO PROPUESTO

Al efectuar se obtiene:

1. (-46 + 4): (- 10 +3)

A) -6 B) 6 C) 7 D)-7 E)8

2.

A) -3 B) -13 C) -4D) 3 E) 13

3.

A) 8 B) -8 C) 16D) -16 E) -38

4. (-11)(-8) : (-44)

A) 2 B) 88 C) -88D) 4 E) -2

5.

A) -1 B) 1 C) 225D) 0 E) 30

53

6to Año

6. [12-(-7)-(-3)-2]: [8+ (-5)+ (-1)]

A) 11 B) 12 C) 10 D) 9 E) l

7. (-128) :[(-2+11-1) (23-17+1-5)

A) 16 B) 8 C)-8 D)-16 E)-1

8. [(- 3 - 5 + 8 -12): (2 + 5-3)]: (20- 16-1)

A) 1 B) O C) 3 D) -3 E) 1

9. El cociente de dividir la suma de -13, -4Y -4 entre la suma de - 26, 13 y 6 es:

A) 3 B) 7 C) -7 D) -3 E) N.A.

10 El producto de la diferencia de – 14 y -25 con el Cociente de dividir -84 entre 7 es:

A) 121 B) – 121 C) – 132 D) 23 E) 132

54

EJERCICIOSSimplificar las siguientes expresiones:

1. 5 – (8 + 3 - 6)

2. 5 – 8 + (3 - 6)

3. 5 – (8 + 3) – 6

4. (5 – 8) + ( 3 - 6)

5. 35 : 7 + 12

6. 48 : (-4) (6)

7. 100 : (8 x 7)

8. 18 + 25 : (-5)

9.

10.

11.

12.

13. 36 : 4 x 5

14. 20 :

15. 32 – 17 + 8 x 9

16.

17.

18.

En la expresión 9 x 8 -12 : 3

Coloca los paréntesis de manera que su valor sea:

19. 68

20. 20

21. – 12

22. 36

En la expresión 7 x 2 + 10 – 4 : 2Coloca los paréntesis de manera que su valor sea:

23. 17

24. 10

25. 28

26. 22

27. – 48

28. 40

En la expresión 16 – 12 – 8 – 24 : 4 Coloca los paréntesis de manera que su valor sea:

29. 2

30. – 3

31. 8

32. 21

33. – 7

34. 9

35. -10

36. 5

37. 6

38. 18

EJERCICIOS

1. (- 3)3 es igual a:

A)9 B) – 9 C) 27 D) - 27 E) 81

2. (-2)3 + (-4)2es igual a:

A) - 14 B) - 2 C) 14 D) 8 E) -8

55

6to Año

3. (- 11 + 10 + 15-18)2es igual a:

A) 16 B) - 16 C) 4 D) - 4 E) N.A.

4. (16 + 15 - 25)2: (12 - 18 + 3)2 es igual a:

A) - 4 B) 2 C) 4 D) – 2 E) N.A.

EJERCICIOS SUGERIDOS

Al efectuar se obtiene:

1. (-5)3

Resolución

2. (2)4

Resolución

3. (- 2)4 + (3)2 - (- 4)2

Resolución

4. 33 - (- 2)3 + (- 4)-Resolución

5. (8 + 7 - 3 - 9 - 11 + 5)4

Resolución

6. (-16 -8 + 25 -4 + 3)5

Resolución

7. 43: (21 -19 - 7 + 1)2

Resolución

8. (12-7-6+13-14 + l)3(9+8-13-2)2

Resolución

EJERCICIO PROPUESTO

Al efectuar se obtiene:

1. (- 1)5 A) 1 B) – 1 C)

5 D) -5 E) O

2 (-2+7-8)4

A) 12 B) -12 C) 64 D) 81 E) -81

3. 24 - (- 4)2 + 1 A) 1 B) - 1 C) 0

D) 2 E) N.A.

4. (-3)2-(-2)3 + (-1)4

A)-4 B)4 C)8 D)-8 E) 18

5. (- 16 - 13 + 25 - 8 + 9)2 A) 6 B) -6 C) 9 D) -9 E) N.A.

6. [2+-(-3)-(-2)]5 A) O B) -1 C) 1 D) 2 E) -2

7. [7 - (- 8) - 14 + (- 1)]2 (- 7+ 11+3)A) 1 B) 0 C)-1 D) 2 E) N.A.

8. [(-4)-(-4)+5+ (-l1)]2: (16+8-9-3)A) 3 B)-3 C) 72 D) -72 E) N.A.

EJERCICIOS

1. 22 x (- 3) + 33: 9 - (- 3) (- 2) es igual a:

A) – 21 B) – 15 C) 15 D) – 18 E) -3

2. [(-2)3(-3)2 + (-10)(-7) + 1)]2es igual a :

A) – 1 B) 2 C) – 2

D) O E) 1

56

Dado: A = 4, B = - 10 y C = 28, el valor de,

3. A - B - C es:

A) - 10 B) 10 C) - 14 D) 14 E) 46

4. (A2- 4B): C es: A) O B) 1 C) 2 D) - 2 E) N.A.

EJERCICIOS SUGERIDOSHallar el valor de:

1. A=(-5)3 : 52 – (-3) [-5-(-7)-(-4) ]

Resolución

2. B = - 23 - (- 4)2 + (- 6)2Resolución

3. C = 11 x 22 - 8: (-2)3 - 2(- 4)2:Resolución

4. D = [13 - 2(- 4) - (- 1) (- 2)2 - 23]2

Resolución

En los siguientes ejercicios usar los resultados de los ejercicios 1, 2, 3, y 4, para hallar:

5. 3A - 5B - C - 2DResolución

6.

Resolución

7.

Resolución

8. [A - B + D + 2]2

CResolución

EJERCICIO PROPUESTO

Dado,

A = 17(- 3) + 72 -(-2)2

B = [(- 1) (- 3)2 + 5(4)-23]2

C = 22 x 3 + 33(- 1) – 5D = - 3 - (- 2) - (- 2)2 + 7,

El valor de:

1. A es:

A) – 104 B) 104 C) 2 D) – 6 E) 6

2. B es:

A) – 9 B) 9 C) 10D) -10 E) N.A.

3. C es:

A) 12 B) 32 C) – 20 D) 20 E) -32

57

6to Año

4. D es:

A) O B) – 1 C) l D) – 2 E) 2

5. AD + C es:

A) 16 B) 56 C) – 8 D) 28 E) -28

6. es:

A) - 2 B) 2 C) 4 D) -4 E) 1

7. es:

A) -18 B) 4 C)-l D) 58 E) N.A.

8. es:

A) 16 B) – 16 C) -14 D) 12 E) -12

58

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Al combinar variables con operaciones obtenemos expresiones algebraicas.Evaluar una expresión algebraica significa reemplazar cada variable por un número para obtener un valor numérico.

Ejemplos

1. Evaluar ab cuando a = 3 y b = 4.

Solución:

Sustituimos la letra a por el número 3 y la letra b por el número 4:

Ab = 3 x 4 = 12

2. Evaluar la misma expresión ab cuando a = - y b =

Solución:

Sustituimos ahora la letra a por el número - y la letra b por el número

Ab = - x

= -

En los ejemplos anteriores vemos que una misma expresión algebraica puede tomar distintos valores numéricos que se les dé a las variables.

59

6to Año

LENGUAJE ALGEBRAICO

Para resolver problemas utilizando el álgebra, lo primero que debemos hacer es traducir del lenguaje cotidiano al lenguaje algebraico.

Ejemplos:

1. La suma de 10 y X 10 + X

2. La mitad de un número

EJERCICIOS

1. Toño es 5 años mayor que Roberto

2. El área de un triángulo es la mitad del producto de la base por la altura.

3. El producto de dos números enteros consecutivos es 56

4. El perímetro de un rectángulo cuyos lados miden a y b es:Perímetro = 2a + 2b

Calcula el perímetro de los siguientes rectángulos

a) a = 5, b = 8

b) a = 4,62 b = 2,74

c) a = , b =

d) a = , b =

5. La segunda ley del movimiento de Newton establece que la fuerza es igual a la masa por la aceleración,

F = m . a

En cada caso encuentra la fuerza correspondiente.

a) a = 9,8 m/seg2, m = 3 Km.b) a = 980 cm. /seg2 m = 98 gr.c) a = 7,2 cm. /seg2 m = 20 gr.

d) a = m/seg2 m = 12 Kg.

6. Escribe una expresión algebraica en cada problema.

x más 32 Un número disminuido en 16. Ana tiene dos años más que Juan. Un tercio de w.

El cociente de 25 entre un número.

60

Cinco tercios más la unidad de x.

Ramón es cuatro años mayor que Irma. uno entre el doble de t. El doble de la suma de b y 1.

Un número menos

PARÉNTESIS Y FACTORES NEGATIVOS

Sabemos que los paréntesis sirven para modificar el orden en el que se deben efectuar las operaciones. Otro uso importante de los paréntesis es cuando se quiere tomar el inverso aditivo de una suma o de más cantidades.

Ejemplo:- (a + b) = - a – b.

Para encontrar el opuesto de una suma o resta, cambiamos el signo de cada término en la suma o la resta.

Ejemplos:1. Simplificar: - (a - 2)

Solución:- (a - 2) = - a + 2.

2. Simplificar: x – (- y + 3)Solución:

x – (- y + 3) = x + y – 3.

3. Simplificar:

Solución:

= 6a – (4b - 1) + (3c - 9) = 6a – 4b + 1 + 3c – 9 = 6a – 4b + 3c – 8.

EJERCICIOS

Simplificar las siguientes expresiones:

1. – (y + 10)

2. – (a – b + 7)

3. t – (2s - 11)

4.

5. (w + 5) – (x - 8)

61

6to Año

6. (x - 3) – (y - 7)

7. (9 - x) – (4 - y) – (-z)

8. (a - 2) -

9.

10.

11.

12. – s – (1 – (4 - t))

13.

14.

15.

62

OPERACIONES COMBINADAS

ORDEN DE LAS OPERACIONES

1. Efectuar primero las operaciones dentro de los signos de agrupación, empezando de adentro hacia fuera.

2. desarrollar las potencias.3. Multiplicar y dividir de izquierda a derecha.4. Sumar y restar de izquierda a derecha.

Ejemplos.

1. Simplificar 42 + 33.

Solución: 42 + 33 0 16 + 27 0 43

2. Simplificar (5 + 32)2.

Solución: (5 + 32)2 = (5 + 9)2 = 142 = 196

3. Simplificar

Solución: =

Ejercicios

Escribe las siguientes expresiones utilizando exponentes.

1. (-2) (-2) (-2) (-2) (-2) (-2) (-2)

2. (- 4,2) (- 4,2) (- 4,2) (- 4,2) (- 4,2)

3. 5,8 x 5,8 x 5,8 x 5,8 x 5,8 x 5,8

4. 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3

5.

63

6to Año

Utiliza exponentes para escribir las siguientes expresiones.

6. Diez a la quinta

7. Veinticinco a la octava.

8. Ochenta y uno al cubo.

9. Quince al cubo.

10. Siete a la doceava.

11. Noventa y cinco a la sexta.

12. Cien al cuadrado.

13. Treinta y dos a la séptima.

14. Sesenta y dos al cuadrado.

Simplifica las siguientes expresiones

15. 63

16. 105

17. (-3)4

18.

19.

20.

21. (0,12)2

22. (-2) (- 9)2

23. 72 - 32

24.

25.

EVALUACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Ejemplos:

1. Hallar la expresión (3x - 2) + 2 (7 - x) cuando x = - 3Solución:

(3(-3)-2) + 2 (7 – (- 3)) = (- 9 - 2) +2 (7 + 3) = 9

64

2. Hallar la expresión x2 + 3xy – y2 + 5 Cuando x = 4 y Y = - 1Solución:

42 + 3 (4) (- 1) – (- 1)2 + 5 = 16 – 12 – 1 + 5 = 8

3. Desarrollar 4x + 3y cuando x = y Y = Solución:

4x + 3y =

=

=

4. Desarrollar Cuando w = - 4,2 y z = 3,6 Solución:

=

=

= = - 10,6

5. La distancia en metros recorrida por un objeto en caída libre está dada por la expresión

Donde g = 9,8 m/seg2 es la aceleración producida por la gravedad y t es el tiempo transcurrido des de que empezó a caer el objeto medido en segundos. ¿Cuántos metros ha recorrido un objeto después de 8 segundos?

Solución:

EJERCICIOS

Desarrollar las siguientes expresiones algebraicas si a = 2, b = 4, c = -3 Y t = - 2.

6. 8b

7. ab + 10

8. 4a + t

9. 2b – 2t

10. 5a – b

11.

12.

13.

65

6to Año

11 – 5b

14. 9c – 5

15. 0,8b (c + t)

16. ac – b

17.

18.

19.

20.

21. 5abc + t

22. t2 + ac

23. 3ab – 6ct

24. 4 (bt – 5c)

La distancia recorrida por un móvil está dada por el producto de la velocidad por el tiempo, es decir, d = vt.

En cada caso encuentra la distancia recorrida si:

v = 90 Km. /h. t = 1,15 h.

v = 60 m/seg. t = 38 seg.

v = 75 Km. /h. t = .

v = 15,4 Km. /h t = .

La fórmula

Se utiliza para calcular la presión en libras por pulgadas cuadradas de una llanta de automóvil. W es el peso del automóvil en libras y A es el área del contacto con el piso de la llanta en pulgadas cuadradas. En cada caso encuentra la presión de la llanta.

W = 936 lb. A = 9 pulg2

W = 4660 lb. A =29 pulg2

W = 2198 lb. A = 78,5 pulg2

W = 1376 lb. A = 11,5 pulg2

El volumen de un cilindro esta dado por la fórmula Donde r es el radio de la base y h es la altura del cilindro. En cada caso encuentra el volumen del cilindro si:

r = , h =

r = 1,13 h = 3,5

66

r = 6 h = 2

r = h =

El área de un trapecio se define como

Donde h es la altura del trapecio, B es la base mayor y b es la base menor. En cada caso encuentra el área del trapecio si:

h = 10 B = 25 b = 15

h = 9 B = 14 b = 4

h = 6 B = 12,5 b = 7,25

h = 5,4 B = 12,6 b = 7,8

TERMINOS SEMEJANTES

En una expresión algebraica cada sumando se llama término, así

3x2y – 7y + 2(4x - z)

Tiene tras términos que son 3x2y, – 7y Y 2(4x - z).Cuándo dos o más términos contienen las mismas variables elevadas a los mismos exponentes, se dice que son términos semejantes.

Ejemplo:

8x2y , - 7x2y Son semejantes.

4,5 a3bc, + a3bc Son semejantes.

Cuando una expresión algebraica tiene dos o más términos semejantes, podemos utilizar la propiedad distributiva de la multiplicación para simplificarla.

Decimos que una expresión algebraica está simplificada cuando no tiene términos semejantes.

Ejemplos:Simplificar 2x + 3x.

Solución:2x + 3x = (2 + 3) x = 5x.

Simplificar 8,5 a2b – 4,9 a2b + 13,2 a2b.Solución:

8,5 a2b – 4,9 a2b + 13,2 a2b =( 8,5 – 4,9 + 13,2 ) a2b = 16,8 a2b

Simplificar

67

6to Año

Solución: Recuerda que solo podemos agrupar los términos semejantes

=

Simplificar 3x – 4 (5x + 9z4 - 1) - 7z4 + 8.

Solución:

3x – 4 (5x + 9z4 - 1) - 7z4 + 8 = 3x – 20x - 36z4 +4 – 7z4 + 8= (3 - 20) x + (-36 - 7) z4 + 4 + 8= - 17 x -43 z4 + 12

68

EJERCICIOS

1. 6x – 10x

2. – 5ab – 7ab + 2,5

3. 4,9y +5,3 y – 2,8 y

4. -

5. 4 a – 2 a + 5 a

6. x – 5 – 10x + 5

7. 4(z + 5) + 8 z

8. 9 y + 3 + 11 y + 4

9. 3x2 + 2 x – 3 x2 + 9

10.

11.

12.

13.

14.

15.

69

6to Año

TERMINOS SEMEJANTES

1. Reducir:

5a + 7a + a

a) 9a b) 12a c) 13ad) 7a e) 14a

2. Reducir:

-5x + 2x - 4x

a) -7x b) 8x c) 7xd) 11x e) -11x

3. Resolver:

x.x + 3x²

a) 5x² b) 4x² c) 2xd) 4x e) 2x + 3x²

4. Resolver:

x + x + 3(x+2) - 5x

a) 9x b) 10x + 6 c) 10x - 6d) 6 e) -6

5. Resolver:

3xy2 + 7x2y - 3y2x

a) 7xy2 b) 7x2y c) 3x2 - 4x2y3

d) 0 e) NA6. Reducir:

-(-3x + 4) - (3x - 8)

a)4 b) -6x-12 c) 6x-4d) -4 e) 6x+4

7. Reducir:

(-5)(-2)(-3) + (-3)(5)(-4)

a) 30 b) -30 c) 15d) 60 e) -90

8. Reducir:

x.x.x + x2x + 7x3

a) 3x + 8x2 b) 3x + 2x2 + 7x3

c) 9x d) 9x3

e) 9x2

9. Restar: 4xy de 8xy + 4

a) -8xy - 4 b) -4xy - 4 c) 4xy + 4d) 4xy - 4 e) -4xy + 4

10. De 5xy + 8 restar 4xy + 8

a) -xy b) 10 c) -16d) -9 e) xy

70

11. Reducir:

5x - 18x + 9x + 4

a) -4x b) 4x + 4 c) 4d) 4 - 4x e) 0

12. Reducir:

7x + 8x + 9(-3x + 2) + 12x

a) 18 b) -18 c) 54xd) -54x e) -8x + 18

13. Resolver:

x²(x³ + 1) - x(x - 3x4)

a) 2x² b) 4x5 c) 0

d) -3x5 e) 6x4

14. Resolver:

-(-(-4)) + (4x - (-4))

a) 8 + 4x b) -8 + 4x c) 4xd) 0 e) -8-4x

15. Reducir:

5x + 7(x - 8) - 3(4x + 1)

a) -x + 5y b) x - 5y c) -53d) 56 e) -59

16. Multiplicar:

3x(x+y) + 2y(x-2) + 4y - 5xy

a)3x2 b) 2xy c) x2 + 7y2

d) 8xy + 9x2 e) 4

17. Resolver:

x y (x2 + 5xy) - x3y - 4x (x y2)

a) 0 b) x²y² c) x²yd) -x²y² e) -xy

18. Restar:

2x + 3y de 8x + 7y

a) -6x + 4y b) 10x - 10y c)6x + 4yd) 6x - 4y e) -10x - 10y

19. Restar:

5x - 3y + 7 de 5x - 3y - 7

a) 14 b) -14 c) 0d) 10x e) 6y

20. De 5ab - 7bc + 8ac restar -4ab + 6bc + 8ca

a) 9a -13bc b) ab+bc c) -bc+ac

d) ab-bc e) ab-bc-16ac

71

23

2

245x

x

x

63

2

4

3x

x x

6to Año

OPERACIONES COMBINADAS DE TÉRMINOS SEMEJANTES

1. Resolver:

2x - (3x+5) + x + 7

a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) x + 1

2. Resolver:

- (-x + 1) - (x - 3)

a) 1 b) 3 c) -2d) 2 e) -1

3. Calcular:

x + 2x(3) - 7(x - 1)

a) 6 b) 5 c) 4d) 7 e) 9

4. Resolver:

a) 2x/5 b) 3x c) 5x/6d) 19x/6 e) 2x

5. Resolver:

-3(x - 2) - (-(-x+5))

a) 4x-9 b) 11-4x c) 5x-11d) 4x-11 e) 11-5x

6. Resolver:

2x - (5 + 2x) + 13/2

a) 21/2 b) 0 c) 3/2d) -3/2 e) 23/2

7. Resolver:

a) 13/2 b) 2/3 c) 2x/13d) 13x/2 e) 37x/6

8. Resolver:

2x + 3x - 5(x+2) + 15a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

9. Calcular:

a) 24x b) 79 c) 74d) 89 e) 19x

10. Resolver:

a) 12x/30 b) 13x/30 c) 13x/15d) 27x/6 e) 17x/30

11. Efectuar:

4x + (3x - 4) - (5x + 3)

a) 2x - 9 b) 2x + 7 c) x - 9d) 9x - 2 e) 9x + 7

12. Efectuar:

4x + 3 + (-4 + 2x) - {-5x + 3}

a) 7x - 5 b) 8x - 7 c) 11x - 4d) 10x + 5 e) 7x + 3

13. Resolver:

9x - [-3 + 4x] - (5x + 3) - (-4)

a) 9x-2 b) 4x c) 5xd) 3 e) 4

14. Efectuar:

3x + 2 - {2x + 4 + (5 - 8x)}

a) -3x + 11 b) -3x + 7 c)9x - 7d) 9x + 11 e) 9x - 11

15. Efectuar:

3 - 5a + [-2 + 4a - {7a - 2} + (2a - 5)]

a)-2 - 6a b) -4a + 2 c) -2 - 4ad) 2 - 6a e) 8 - 6ª

72

ECUACIONES DE UNA SOLA VARIALE

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas. Las ecuaciones de cada lado de la igualdad se llaman miembros de la ecuación.

3x + 2 = 2x - 9 Primer miembro segundo miembro

Al sustituir las variables de una ecuación por valores numéricos puede resultar que la igualdad sea cierta o falsa.

Resolver una ecuación es encontrar los valores numéricos que al sustituirlos en el lugar de las variables hacen cierta la igualdad. Para ello debemos dejar a la variable sola de un lado de la ecuación. A esto se le llama despejar a la variable.

Ejemplos

1. Cristina tiene una hermana que es 27 centímetros más alta que ella si la hermana mide 1,45 metros. ¿Qué estatura tiene Cristina?

Solución:

Representamos por x la estatura de Cristina entonces

X + 0,27 = 1,45

Para encontrar la estatura de Cristina, debemos despejar a la x, para ello sumamos el opuesto de 0,27 de ambos lados de la ecuación y simplificamos la expresión

X + 0,27 – 0,27 = 1,45 – 0,27 X = 1,18

Cristina tiene una estatura de 1,18 metros.

Nota: Al resolver una ecuación, siempre hay que verificar que la solución obtenida satisface la ecuación original, esto nos sirve para detectar posibles errores cometidos.

Comprobación:

Si x = 1,18 entoncesX + 0,27 = 1,18 + 0,27 = 1,45

73

6to Año

2. Resolver

Solución:

Sumamos (el opuesto de - ) de cada lado de la ecuación

Comprobación:

Si entonces

3. Resolver 6 – w = 10

Solución:6 – w = 10

6 – w – 6 = 10 – 6 - w = 4

w = - 4

En el último paso se utilizó el hecho de que para encontrar el opuesto de un número, se le cambia el signo.

Comprobación:

Si w = - 4 entonces6 – w = 6 – (- 4) = 6 + 4 = 10

4. resolver

Solución:

74

x = 12 ó x = - 12

Comprobación:

Si x = 12 entonces

Si x = - 12 entonces

5. Simplificar

Solución:

Comprobación:

75

6to Año

6. Simplificar a + 4,5 = 9,8

Solución:a + 4,5 = 9,8

a = 9,8 – 4,5 a = 5,3

Comprobación:

Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba el resultado.

7. x + 2 = 7

8. t – 8 = 0

9. 12 – w = - 5

10. z – 3,9 = - 1,4

11. – 6 + a = 15,1

12. b + 23 = 51

13.

14.

15.

16. n + 9,75 = 9,75

17. 25 – x = 18,6

18. – 10 = t + 7,35

19. – c – 6,2 = - 17,6

20. a + 0,8 = 1,5

21. – 12 + y = - 12

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28. – 6,6 = y – 8,8

29. – a + 9,5 = 13

30. – 6 – (4 – b) = 30

Problemas

31. Si restamos 9,4 de un número, el resultado es 7,8. ¿Cuál es el número?

32. Si restamos – 21 de un número, el resultado es – 18. ¿Cuál es el número?

33. Si sumamos 12 a un número, el resultado es 55. ¿Cuál es el número?

76

34. Si sumamos – 32 a un número, el resultado es 68. ¿Cuál es el número?

35. María tiene el doble de años de Pedro más 3. Si la edad de María menos la edad de Pedro es igual a 10, ¿Cuántos años tienen cada uno?

36. Si sumamos a un número, el resultado es - , ¿Cuál es el número?

37. La suma de dos números es 90, el doble del menor es 50. Encuentra la diferencia del mayor menos el menor.

38. Tres hermanos reciben una herencia repartida de la siguiente manera: El menor recibe cierta cantidad, el segundo recibe $ 6746 más que el primero, el mayor recibe $ 5200 más que el segundo. Si el monto total de la herencia fue de $ 431000 y se entregaron $ 123000 a un asilo, ¿Cuánto recibió el hijo menor?

39. Una vendedora de mangos vende camino al mercado de su mercadería, ya

en el mercado vende de lo que le quedaba, al regresar a casa lleva 12

mangos, ¿Con cuántos mangos salio de la casa?

40. La suma de dos números es 250 y el menor es 104. Encuentra el producto del mayor por el menor.

41. Si el perímetro de un triángulo mide 48 metros y la suma de dos de sus lados mide 27 metros, ¿Cuánto mide el tercer lado?

42. En un triángulo rectángulo uno de sus ángulos mide 63º. ¿cuánto miden los otros dos ángulos?

43. Si el perímetro de un triángulo isósceles mide 225 metros y la longitud de cada uno de sus lados iguales es de 90 metros, ¿Cuánto mide la base?

44. La suma de dos números es – 156 y el mayor de ellos es 27. Encuentra el cociente del menor entre el mayor.

45. Si uno de los ángulos de un triángulo mide 25º y el otro mide el doble de éste, ¿Cuánto mide el tercer ángulo?

46. La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360º. Si uno de sus ángulos mide 128º, otro mide la cuarta parte de este último, el tercero mide 93º, ¿Cuánto mide el ángulo faltante?

77

6to Año

ECUACIONES Y MULTIPLICACIONES

Un automóvil recorrió 80 Kilómetros a una velocidad de 60 Kilómetros por hora, ¿Cuánto tiempo tardo?

Solución:

Sabemos que la distancia recorrida es igual a la velocidad multiplicada por el tiempo transcurrido.

D = v. t

Sustituimos d = 80, v = 60 obteniendo80 = 60. t

Para despejar la t, multiplicamos por el recíproco de 60 de ambos lados de la ecuación

80 = 60. t

Así que el tiempo transcurrido fue t = horas = 1 hora 20 minutos

Comprobación:

Si t = entonces

Ejemplos:

1. Resolver

Solución:

Multiplicamos por el recíproco de , es decir por

Comprobación:

Si entonces

78

2. Resolver

Solución:

a = - 28Comprobación:Si a = - 28 entonces

En general, si un término distinto de cero está multiplicando de un lado de la ecuación

ab = c,

Entonces al multiplicar por su recíproco de ambos lados de la ecuación y simplificar,

Ab = c

Por lo tanto tenemos que el término paso al otro lado de la ecuación dividiendo.

Si entonces

Similarmente, si un término esta dividiendo en un lado de la ecuación

Al multiplicar por él ambos lados de la ecuación se obtiene

a = c b,

el término paso al otro lado de la ecuación multiplicando. Así que:

Si entonces a = c b.

Ejemplos:

1. Resolver

Solución:

79

6to Año

Comprobación:

Si x = - entonces

2. Resolver 6,4 b = 13,44

Solución:6,4 b = 13,44

b = 2,1

Comprobación:

Si b = 2,1 entonces

6,4b = 6,4(2,1) = 13,44

3. Resolver

Solución:12 z = 96 ó - 12z = 96

Ahora resolvemos cada ecuación por separado, obteniendo:

ó

Comprobación:

Si z = 8 entonces

Si z = 8 entonces

4. Resolver

Solución:

80

Observa que x se manipula de la misma manera que los números,

9x = 30

Comprobación:

Si entonces

81

6to Año

EJERCICIOSResuelve las siguientes ecuaciones.

1. 8x = 80

2. 4y = - 14

3. – 5z = - 75

4. 48 = - 6a

5. 2a = - 27

6. 2,5x = 125

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19. 0,2y = 6

20. 0,15t = 0,54

21. 2x + 6 = 8

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

Problemas:

1. El triple de un número es – 45. Encuentra el número.

2. Una bomba puede vaciar una cisterna en horas, otra la vacía en 4 horas. ¿En

cuánto tiempo vaciarán la cisterna las dos bombas trabajando juntas?

82

3. Cuatro por el recíproco de cierto número es 14. Encuentra dicho número.

4. Cinco tercios de un número, aumentado en siete tercios es 5. Encuentra el número.

5. Ana tiene el triple de edad de Juan. Roberto tiene 10 años menos que Juan. La suma de las edades de los tres es 70. ¿Qué edad tiene cada uno?

6. Un grupo de 60 alumnos está separado en dos grupos. El grupo que toma clases de artes plásticas es 4 veces el tamaño del que toma clase de música. ¿Cuántos alumnos hay en cada grupo?

7. Pilar tiene de la edad de Lupe. Si la suma de sus edades es 30. ¿Qué edad

tiene cada una?

8. Eduardo trabajó 9 horas más que Diego. Si entre los dos trabajaron 35 horas. ¿Cuántas horas trabajó cada uno?

9. El mayor de dos números es 6 veces menor. La resta del mayor menos el menor es 312,5. Encuentra los números.

10. La suma de un número mas un séptimo de él es 19. Encuentra dicho número.

83

6to Año

ECUACIONES DE UNA SOLA VARIABLE PERO EN AMBOS LADOS

Un tanque contiene 560 litros de agua y se está llenando a razón de 45 litros por minuto con agua de otro tanque que contiene 1 100 litros. ¿En cuanto tiempo tendrán a misma cantidad de agua ambos tanques?

Solución:

En el minuto x el primer tanque tiene 560 + 45x litros, mientras que el segundo tanque tiene 1 100 – 45x, debemos igualar ambas expresiones y encontrar la x que haga cierta dicha igualdad.

560 + 45x = 1 100 – 45x.

Pasamos los términos que contienen a x a un miembro de la ecuación y a los otros al otro miembro.

560 + 45x = 1 100 – 45x560 + 45x + 45x = 1100

90x = 1 100 – 56090x = 540

x =

x = 6

Así que los tanques tardan 6 minutos en igualarse.

Comprobación:560 + 45(6) = 830 = 1 100 – 45(6)

EJERCICIOS DE REFUERZO

1. Resolver: x + 8 = - 7 – 2x

2. Resolver.

3. Resolver:

4. Resolver.

EJERCICIOS

Resuelve las siguientes ecuaciones:

1. 13b + 22 = 2b

2. – 5a - 24 = 3a

3. 4y – 35 = - 3y

4. 12 – 6x = 8x – 5

84

5. 3c = 64 – 5c

6. 5t – 1 = 1 – 5t

7. s – 1,25 = 0,15s – 6,35

8. 6a + 17 = 2a - 3

9. 0,3z + 1,15 = 2,4z – 4,1

10.

11.

12.

13.

14. 0,8b = 2,24b + 74,88

15. 11x – 7 = 26 – 9x

16.

17.

18.

19. 7c – 4 = 2 + 3(5c + 2)

20. 5(3y - 1) + 2 = - 3y + 6

21.

22.

23.

24.

25. 6d = 4(5d - 2) + 20

26. 2(a + 15) + 3a = 180 + 2a

27.

28.

29.

30.

85

6to Año

PROBLEMAS

31. Cinco veces un número más 21 es igual a tres veces ese número menos 11.

32. El largo de un rectángulo es 3 veces su ancho. El perímetro tiene 68 Cm. Más que el largo. Encuentra las dimensiones del rectángulo.

33. Encuentra un número tal que si le sumas 18 es igual al triple de él mismo

34. Alicia leyó de las páginas de un libro. Le faltan por leer 25 páginas. ¿Cuántas

páginas tiene el libro?

35. La edad actual de Ricardo es el doble que la de su hijo. Hace 15 años la edad de Ricardo era el triple de la edad de su hijo. Encuentra la edad de Ricardo y la de su hijo.

36. Cinco veces un número debe ser igual a 48 más el número. Encuentra el número.

37. Seis veces la edad de Lucrecia más 9 años es igual a 7 veces la edad de Ramón menos 3 años. Si Ramón y Lucrecia son gemelos. ¿Qué edad tienen?

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Para desarrollar un problema podemos seguir el siguiente esquema de razonamiento.

Paso 1 Leer el problema e identificar las incógnitas que debemos encontrar.Paso 2 Encontrar las relaciones entre esta incógnita y los otros datos del

problema.Paso 3 Plantear ecuaciones que representen las relaciones anteriores.Paso 4 Resolver las ecuaciones para encontrar el valor de las incógnitas. Paso 5 Comprobar los resultados. Ver si la respuesta es razonable.

EJERCICIOS:1. Ricardo y su papá pesan 85 Kilos en total. El papá pesa 5 Kilos más que el triple

del peso de Ricardo. ¿Cuánto pesa Ricardo?

2. La longitud de las bases de un rectángulo es La longitud de la altura. El

perímetro es 50 Cm. ¿Cuánto mide la altura del rectángulo?

3. La edad de Nicolás es de la edad de Juan. Si la suma de las edades de ambos

es 32, ¿Qué edad tiene cada una?

86

4. En un triángulo isósceles, cada uno de los lados iguales mide 6 Cm. Más que la base. El perímetro del triángulo mide 48 Centímetros. Encuentra la longitud de cada lado del triángulo.

5. El largo de un rectángulo es 5 veces su ancho. Si el perímetro mide 90 metros, ¿Cuánto mide cada lado?

PROBLEMAS CON NUMEROS ENTEROS

6. Los lados de un triángulo miden tres enteros consecutivos, si su perímetro mide 24 metros, ¿Cuánto mide cada lado?

7. Encontrar dos números impares consecutivos cuya suma sea – 40.

8. Encontrar dos números pares consecutivos cuya suma sea 16.

9. La suma de dos números enteros consecutivos es 13. Encuentra los números.

10. La suma de dos números enteros consecutivos es -17. Encuentra los números.

11. La suma de dos números enteros pares consecutivos es 34. Encuentra los números.

12. La suma de dos números enteros impares consecutivos es 16. Encuentra los números.

13. Encuentra tres números enteros consecutivos cuya suma sea – 45

14. Encuentra dos números enteros consecutivos cuya suma sea 307

15. La suma de tres números enteros consecutivos es 101. Encuentra los números.

16. La suma de dos números enteros pares consecutivos es 26 encuentra los números.

17. La suma de dos números enteros consecutivos es – 15, ¿Cuáles son dichos números?

18. La suma de tres números enteros consecutivos -102, ¿Cuáles son dichos números?

19. Se – 3 es el menor de cinco números enteros consecutivos, ¿Cuáles son los otros cuatro números?

20. La suma de cuatro números enteros consecutivos es 206. Encuentra los números.

21. La suma de dos números enteros pares consecutivos es 254. Encuentra dichos números.

87

6to Año

22. La suma de cuatro números enteros consecutivos es – 10. Encuentra dichos números.

23. La suma de tres números enteros impares consecutivos es 111. Encuentra dichos números.

24. La suma de tres números enteros pares consecutivos – 90. Encuentra dichos números.

25. El mayor de dos números enteros consecutivos pares es dos veces el menor de ellos menos 4. Encuentra dichos números.

26. El menor de dos números enteros consecutivos pares es la mitad del mayor de ellos más 9.

27. El mayor de dos números enteros consecutivos impares es igual a 14 menos un tercio del menor de ellos. Encuentra dichos números.

28. Tres hermanos nacieron a intervalos de dos años. Si la suma de sus edades es 54. ¿Qué edad tiene cada uno?

29. La suma de tres números enteros pares consecutivos es – 98 más el mayor de ellos. Encuentra dichos números.

30. La suma de cuatro números enteros consecutivos es el menor mas 219. Encuentra dichos números.

88

xb

a

a R xb

a

0; b

ECUACIONES DE 1er GRADO CON UNA INCOGNITA

ECUACIÓN.- Es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocida llamadas "INCOGNITAS" y que solo se verifica o es verdadera para determinados valores de las incognitas.

Las incognitas se representan por las últimas letras del alfabeto: x, y, z, u, v .......

Así: x + 7 = 10 ; se observa que la igualdad se verifica sola para x=3; en efecto si sustituimos la "x" por "3" tenemos: (3) + 7 = 10; osea: 10 = 10

A una ecuación de 1er Grado también se le llama 'ECUACIÓN LINEAL" cuya forma general de representarla es: ax + b = 0

donde:

x: es la incognitaa y b son los coeficientes

Su solución viene dada por:

DISCUSIÓN DE LA RAÍZ O SOLUCIÓN

* Si: es una ecuación compatible determinada

* Si: a = 0; b = 0 x

0

0 ; "x" admite cualquier valor por lo tanto la ecuación es

"COMPATIBLE Ó INDETERMINADA"

Sí: a=0; b=0

x

b

0, "x" no admite ningún valor, por lo tanto la ecuación no tiene

solución entonces es una ecuación "INCOMPATIBLE O ABSURDA"

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

Se siguen los siguientes criterios

1. Si a los miembros de una ecuación se le suma ó se les resta una cantidad determinada, la igualdad se mantiene.

2. Se puede suprimir dos términos identicos que figuren al mismo tiempo en los dos miembros de una ecuación.

3. Se puede trasladar un término de un miembro a otro con tal que se cambie el signo, y la igualdad se mantiene

4.Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por una cantidad determinada la igualdad se mantiene.

89

2 9

3

3 4

2

x x

x

1

22

x x

1

2

2 1

3

2 3

31

xx

xx

2

3

4

1

4

6to Año

I. Calcular el valor de la Incógnita tal que verifique las siguientes igualdades

1. 4x + 1 = 21

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

2. x - 5 = 3x - 25

a) 5 b) 10 c) 15d) 4 e) 8

3. 5x = 8x - 15

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

4. 9x + 11 = -10 + 12x

a) -5 b) 1 c) 3d) 7 e) 9

5. 21 - 6x = 27 - 8x

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

6. 8x - 4 + 3x = 7x + x + 14

a) 6 b) 8 c) 5d) 3 e) 5

7. x - (2x + 1) = 8 - (3x + 3)

a) 1 b) 3 c) 6d) 5 e) 2

8. 3x - 2 = 7

a) 3 b) 2 c) 1d) 0 e) -1

9. x + 3(x - 4) = 4

a) 2 b) 4 c) 6d) -3 e) 2/3

10. 4x - 3 = 5 - 2x

a) 3/4 b) 1/2 c) 4/3d) 2/3 e) 3

11. 7x + (3x - 5) = 15

a) 3 b) 1 c) 0d) 2 e) 4

12. 5x + (-3x + 5) = 13

a) -3 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

13. 2x - (-2x + 2) = 22

a) 6 b) 5 c) 4d) 3 e) 2

14. x + 1 - 3(x - 1) = 1 - x

a) 3 b) 1/4 c) 2d) -1 e) 7

15. 2x + 7 - 2(x - 1) = 3(x + 3)

a) 4 b) 0 c) 1d) -4 e) 1/9

16.

a) -2 b) -3 c) 4d) -6 e) 3

17.

a) 0 b) 3 c) -1d) 1 e) 3/7

18.

a) 3/2 b) 5/3 c) 4/9d) 5 e) 7

19.

a) 0 b) -1 c) 2/3d) 4/3 e) 5/7

20.

a) 1 b) 0 c) -1d) 4 e) 7

PLANTEO DE ECUACIONES

1. La suma de dos números es 106 y el mayor excede al menor en 8; hallar los números.

2. La suma de las edades de A y B es 84 años y B tiene 8 años menos que A; Hallar ambas edades.

3. Pagué $87 por un libro, un traje y un sombrero. El sombrero costó $5 más que el libro y $20 menos que el traje. ¿Cuánto pagué por cada cosa?

90

x x

3

2

2 4

5

x

x

1

4

5

4. La suma de tres números enteros consecutivos es 156.Hallar los números.

5. La suma de dos números es 540 y su diferencia 32. Hallar los números.

6. Entre A y B tienen 1154 dólares y "B" tiene 506 menos que "A" ¿cuánto tiene cada uno?

7. Dividir el número 106 en dos partes tales que la mayor excede a la menor en 24.

8. "A" tiene 14 años menos que "B" y ambas edades suman 56 años ¿qué edad tiene cada uno?

9. Repartir 1080 soles entre "A" y "B" de modo que A reciba 1014 más que B.

10. Hallar dos números enteros consecutivos cuya suma sea 103.

11. Tres números consecutivos enteros suman 204. Hallar los números.

12. Hallar dos números enteros pares consecutivos cuya suma sea 194.

13. Hallar tres números enteros consecutivos cuya suma sea 186.

14. Pagué $325 por un caballo; un coche; y sus arreos. El caballo costo $80 más que el coche y los arreos $25 menos que el coche.Hallar los precios respectivos.

15. La suma de 3 números es 200. El mayor excede al del medio en "32" y al menor en 65. ¿Hallar los números"

16. Tres cestos contienen 575 manzanas.El primer cesto tiene 10 manzanas más que el segundo y 15 más que el tercero . ¿Cuántas manzanas hay en cada cesto?

17. Dividir: 454 en tres partes; sabiendo que la "menor" es 15 unidades menor que la del "medio" y 70 unidades menor que la "mayor".

ECUACIONES FRACCIONARIAS

I. Resolver las siguientes ecuaciones para "x"

1. x - 3 - 2(6 - 2x) = 2(2x - 5)

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) N.A.

2. 2(x + 3) = 5(x - 1) - 7(x - 3)

a) 5 b) 52 c) 2

d) 25 e) 3

2

3. (x + 3)2 = (x - 2)2 - 5

a) -1 b) 0 c) 1d) 2 e) 7

4. (x + 2)2 = 32 + (x - 2)2

a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 8

5.

a) 9 b) 11 c) 15d) 17 e) 23

6.

91

3 1

7

2 1

3

x xx

x x x

4

3

7

4 2

3 1

4

4 1

3 60

x x x

x x

3

1

6 4

1

2

x x

1

3 42

x x

2

4

4

22

( )

2 3

31 0

x

x x

3

5

1

32

13

3 2

x x

45

23

14

34

25

17

29

45

75

12

27

14

23

15

73

14

131

27

6to Año

a) -4 b) 5 c) 1d) 10 e) 3

7.

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

8.

a) 3 b) 2 c) 1d) 0 e) -1

9.

a) 1 b) 27 c)d) e) 3

10.

a) b) c) 8

d) 4 e) N.A.

11.

a) 2 b) -1 c)

d) e) 4

12.

a) b) 2 c)

d) e)

13.

a) b) c) -3

d) -4 e)

14.

a) 8 b) -4 c)d) e)

15.

a) 1 b) 0 c)d) e) 6

POLINOMIOS

MONOMIOS.Antes de poder resolver ecuaciones más complicadas, debemos aprender más

acerca del lenguaje algebraico, lo siguiente que estudiaremos son los polinomios.

Los polinomios más sencillos son los monomios que consisten en una constante, una variable o el producto de una constante por una o más variables. Las siguientes expresiones son monomios:

5, x, -0,98w4z5, -3xy2 y

En un monomio, distinguimos dos partes, la parte numérica que se llama coeficiente y las variables.

Monomio

Coeficiente

Variable

23,75x2

y

-18w4y8z

3

92

Z5

- 8

PRODUCTO DE POTENCIAS

Ejemplo:

Para multiplicar x4 por x5, escribimos

X5 x4 = (x x x) (x x x x x) = x4+5 = x9

REGLA PARA LOS EXPONENTES PARA EL PRODUCTO DE POTENCIAS

Para cualquier número real b y cualesquiera números enteros positivos m y n:

bm bn = b m + n

Para multiplicar dos potencias que tienen la misma base, se suma los exponentes.

Ejemplos:

1. 52 x 53 = 25 x 125 = 3125

Sumando los exponentes obtenemos

52 x 53 = 55 = 3125

2. Simplificar a3 a8

3. Simplificar ( 4c3d) (- 5c2d7)

4. Simplificar

5. Simplificar

EJERCICIOS

Completa la siguiente tabla.

Monomio Coeficiente

variable

Monomio Coeficiente

Variable

1. - 6x2y3z 2.

3. 0,75rs7t 4.

93

6to Año

5. C9 6. 20,7

7. -3,9b 8. 8r6st4w3

9. 10.

11.

-24,55a6c8e9

12.

39x4y12w3

13.

14.

a6b11cd5

15.

16.

17.

0,15de 18.

-f3g8h

EFECTÚA LOS SIGUIENTES PRODUCTOS.

1. – (44)

2. (- 4)4

3. (- 2)2 (- 2)5

4.

5.

6.

7. 3x4x5

8. (y - 8)12 (y - 8)6

9. 8w7 (2w2) w

10. c3 c8 c4

11. (4,8 a4bc5) (5,6 a17b5)

12. (- 2z + 5)10 (- 2z + 5)11

13.

14.

94

15.

95