7 btoq control chart

Seven Basic Tools of Quality: Control Charts Introduction (p chart).

G. Edgar Mata Ortiz

• ¿Qué es un gráfico de control?

• Es una de las 7 herramientas básicas para la calidad

• Está formado por las medias aritméticas, rangos, desviaciones estándar u otros estadísticos de un conjunto de muestras tomadas a intervalos regulares en el tiempo; cada hora, cada 4 horas, cada turno, o cualquier otra secuencia sistemática.

• Su característica más sobresaliente son los límites de control, tres líneas principales y cuatro secundarias que nos permiten identificar variaciones no aleatorias en un proceso.

• ¿Por qué son importantes las variaciones no aleatorias de un proceso?

• Cualquier proceso presenta variabilidad; los pequeños cambios que ocurren en los diferentes factores de la producción o el servicio no pueden ser evitados y afectan a la calidad.

• ¿Por qué son importantes las variaciones no aleatorias de un proceso?

• Cualquier proceso presenta variabilidad; los pequeños cambios que ocurren en los diferentes factores de la producción o el servicio no pueden ser evitados.

• Sin embargo, cuando estos cambios no son aleatorios, es posible determinar sus causas y eliminarlos para reducir la variabilidad y mejorar la calidad del producto o servicio.

• Por la forma en que están elaborados, los gráficos de control nos proporcionan una visión del comportamiento del proceso a lo largo del tiempo.

• Una vez trazado el gráfico y sus límites de control, es posible aplicar las Nelson Rules para facilitar su interpretación.

• Cada punto de la gráfica corresponde a un estadístico de una muestra tomada en un tiempo establecido, por ejemplo:• La media aritmética de la variable el lunes 28 a las 7:00 de la

mañana

• La desviación estándar de la variable el martes 29 a las 10:00 de la mañana

• Por las características de los datos se dispone de dos tipos de gráfico de control.

Variables

Atributos

•Gráficos de control para variables.

Los gráficos de control para variables se elaboran con estadísticos como la media aritmética, el rango y la desviación estándar.

Los más usuales son:

1. Gráfica de medias y rangos

2. Gráfica de medias y desviaciones estándar.

•Gráficos de control para atributos.

Los gráficos de control para atributos se construyen empleando proporciones, porcentajes, fracciones.

Los más usuales son:

1. Gráfica tipo p, np, 100p

2. Gráfico tipo c

3. Gráfico tipo u

En una fábrica de semiconductores el espesor de las obleas es una característica de calidad.

• Este espesor debe ser de 11 ± 1 milésimas de pulgada.

Con la finalidad de determinar la proporción de obleas que no cumplen con las especificaciones, se ha decidido tomar 40 muestras; una cada hora durante los próximos 5 turnos de 8 horas de operación.

pEl número de piezas defectuosas y muestreadas se encuentra en las siguientes tablas (parte 1 de 2).

Número de piezas

muestreadas 1190 1186 1214 1192 1204 1198 1200 1180

Número de piezas

defectuosas 9 6 10 5 4 5 3 8

Número de piezas

muestreadas 1198 1202 1196 1200 1194 1188 1190 1194

Número de piezas

defectuosas 4 5 5 6 4 5 3 4

Número de piezas

muestreadas 1198 1192 1214 1202 1188 1212 1202 1196

Número de piezas


El número de piezas defectuosas obtenidas y muestreadas se encuentra en las siguientes tablas (parte 2 de 2).

Número de piezas

muestreadas 1198 1180 1176 1194 1008 1210 1194 1210

Número de piezas


Número de piezas

muestreadas 1192 1194 1214 1192 1196 1202 1216 1194

Número de piezas

defectuosas 5 3 4 12 4 3 7 5

p

p

• La fracción defectuosa o proporción defectuosa se obtiene dividiendo, para cada muestra, el número de piezas defectuosas, entre el número de piezas muestreadas.

• Por ejemplo, para la muestra 1 tenemos:

𝒑 =Número de piezas defectuosas

Número de piezas muestreadas

𝒑 =𝟗

𝟏𝟏𝟗𝟎→ 𝒑 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟕𝟓𝟔

• Con esta fórmula se calculan las proporciones de defectos de todas la muestras.

1 1190 9 0.007563

2 1186 6 0.005059

3 1214 10 0.008237

4 1192 5 0.004195

5 1204 4 0.00332235 1214 4 0.003295

36 1192 12 0.010067

37 1196 4 0.003344

38 1202 3 0.002496

39 1216 7 0.005757

40 1194 5 0.004188

…

p

Estos puntos se representan en un plano cartesiano de modo que en el eje x se encuentra el número de muestra y, en el eje y, la proporción defectuosa.

p

Este gráfico, sin ser todavía un gráfico de control, puede emplearse para analizar el comportamiento del proceso en términos muy generales:

La muestra 36 presenta una inusualmente alta proporción de defectos, mientras las muestras 25 y 32 presentan proporciones muy bajas de defectos.

p

Un gráfico de control, además de los puntos correspondientes a la fracción defectuosa, debe contener los límites de control que se emplearán para identificar variaciones no aleatorias en el proceso.

p

El primer límite de control que interesa es el CL (Central Limit) o Central Line.

Este límite central es la media aritmética de las 40 proporciones de defectos y se representa en la gráfica como una línea.

𝑝 = 𝑖=1𝑛 𝑝𝑖𝑛

p

El CL nos indica el punto medio del proceso.

p

Para calcular el valor de 𝒑 es necesario sumar las 40 proporciones defectuosas y dividir el resultado entre 40.

𝒑 =𝟎. 𝟏𝟔𝟐𝟎𝟓

𝟒𝟎El valor de n es el tamaño de muestra promedio, es necesario sumar todos los tamaños de muestra, dividir entre las 40 muestras y redondear.

𝒏 =𝟒𝟕𝟕𝟎𝟎

𝟒𝟎

p

En este ejemplo el valor de la proporción media de defectos es:

𝒑 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟎𝟓𝟏

El valor de n es el tamaño de muestra promedio:

𝒏 = 𝟏𝟏𝟗𝟑Estos valores se emplean para determinar la desviación estándar:

p

𝒔 = 𝒑(𝟏 − 𝒑)

𝒏

En este ejemplo el valor de la proporción media de defectos es:

𝒑 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟎𝟓𝟏

El valor de n es el tamaño de muestra promedio:

𝒏 = 𝟏𝟏𝟗𝟑

𝒔 = 𝒑(𝟏 − 𝒑)

𝒏𝒔 =

𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟎𝟓𝟏(𝟏 − 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟎𝟓𝟏)

𝟏𝟏𝟗𝟑

p

Sustituyendo: 𝒑 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟎𝟓𝟏𝒏 = 𝟏𝟏𝟗𝟑

𝒔 = 𝒑(𝟏 − 𝒑)

𝒏𝒔 =

𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟎𝟓𝟏(𝟏 − 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟎𝟓𝟏)

𝟏𝟏𝟗𝟑

p

La proporción media de defectos más el triple de la desviación estándar es el UCL (Upper Control Limit) o límite superior de control:

𝒑 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟎𝟓𝟏

𝒔 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟖𝟑𝟗

𝐔𝐂𝐋 = 𝒑 + 𝟑𝒔 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟎𝟓𝟏 + 𝟑(𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟖𝟑𝟗)

p

La proporción media de defectos más el triple de la desviación estándar es el UCL (Upper Control Limit) o límite superior de control:

𝐔𝐂𝐋 = 𝒑 + 𝟑𝒔 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟎𝟓𝟏 + 𝟑(𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟖𝟑𝟗)

𝐔𝐂𝐋 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟗𝟓𝟔𝟖

p

La proporción media de defectos menos el triple de la desviación estándar es el LCL (Lower Control Limit) o límite inferior de control:

p

𝒑 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟎𝟓𝟏

𝒔 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟖𝟑𝟗

𝐔𝐂𝐋 = 𝒑 − 𝟑𝒔 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟎𝟓𝟏 − 𝟑(𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟖𝟑𝟗)


𝐋𝐂𝐋 = 𝒑 − 𝟑𝒔 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟎𝟓𝟏 − 𝟑(𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟖𝟑𝟗)

𝐋𝐂𝐋 = −𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟒𝟔𝟔

p


𝐋𝐂𝐋 = 𝒑 − 𝟑𝒔 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟎𝟓𝟏 − 𝟑(𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟖𝟑𝟗)

𝐋𝐂𝐋 = −𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟒𝟔𝟔

Cuando el límite inferior de control es negativo se toma igual a cero:

𝐋𝐂𝐋 = 𝟎

p

El gráfico de control queda completo cuando se agregan las líneas correspondientes al UCL y LCL.

p

Los límites de control LCL y UCL deberían estar a la misma distancia del CL, pero debido a que el LCL fue negativo y se tomó como cero, se observa una distancia un poco menor hacia el LCL que hacia el UCL.

p

Con el gráfico de control ya completo podemos emplear las Nelson Rules para localizar, sobre la gráfica, comportamientos no aleatorios.

p

One point is more than three standard deviations from the mean.

p

Un punto de la gráfica se encuentra a más de tres desviaciones estándar de la media aritmética ( 𝑝).

No olvidemos que el limite superior de control (UCL) se encuentra a tres desviaciones estándar de la media, y el punto 36 está más allá de dicho límite superior.

One point is more than three standard deviations from the mean.

p

Aprovechando los límites de control superior (UCL) e inferior (LCL) es posible localizar algunas irregularidades, sin embargo, algunos otros puntos que también muestran un comportamiento, aparentemente, no aleatorio, pueden resultar difíciles de identificar.

p

Para facilitar la interpretación del gráfico, es conveniente agregar cuatro líneas más a la gráfica: la media más una y dos desviaciones estándar y la media menos una y dos desviaciones estándar.

p

Se observa nuevamente que el límite inferior está demasiado cerca de la media aritmética (y mucho más cerca de la media menos dos desviaciones estándar), recordemos que se debe a que el valor del LCL fue negativo y se tomó como cero.

p

Incluso puede ser conveniente suprimir el resto de las líneas horizontales.

p

Ahora resulta evidente que estos dos puntos no cumplen con la Nelson Rule 5:

Two or three out of three points in a row are more tan two standard deviations from the mean in the same direction.

p

Ahora resulta evidente que estos dos puntos no cumplen con la Nelson Rule 5:

Two or three out of three points in a row are more tan two standard deviations from the mean in the same direction.

En un primer momento parecía que los dos puntos se encontraban a más de dos desviaciones estándar de la media, pero no es así, el punto uno queda dentro de dichas dos desviaciones estándar.

p

En esta sección de la gráfica si parece haber un comportamiento no aleatorio; la parte media de la gráfica, desde el punto 9 hasta el punto 31 no muestran la variabilidad esperada.

p

Ya con las líneas en: 𝒑 + 𝟏𝒔, 𝒑 + 𝟐𝒔, 𝒑 − 𝟏𝒔, 𝒑 − 𝟐𝒔 es posible identificar la Nelson rule que se aplica.

p

Son 16 puntos que se mantienen dentro de las dos líneas:

𝒑 + 𝟏𝒔 𝒚 𝒑 − 𝟏𝒔

p

Son 16 puntos (sólo 15 son requeridos) que se mantienen dentro de las dos líneas:

𝒑 + 𝟏𝒔 𝒚 𝒑 − 𝟏𝒔

Fifteen points in a row are all within one standard deviation of the mean on either side of the mean.

p

El resultado final del problema consiste en señalar las dos Nelson Rules encontradas en la gráfica.

p


A continuación, el responsable del proceso debe realizar un análisis para determinar las causas de la variabilidad no aleatoria y corregirla para mejorar la calidad del producto o servicio.

p


Las restantes herramientas pueden ser útiles para el análisis de causas: Diagrama de Ishikawa, Diagrama de Pareto o alguna otra metodología dirigida a la solución de problemas.

p

A continuación, el responsable del proceso debe realizar un análisis para determinar las causas de la variabilidad no aleatoria y corregirla para mejorar la calidad del producto o servicio.

p

El gráfico que se ha tomado como ejemplo es un

gráfico tipo p, de fracción defectuosa o de proporción defectuosa.

Si se desea facilitar la comprensión y la interpretación, pueden multiplicarse todos los valores por 100, obteniéndose así porcentaje de piezas defectuosas.

En tal caso el gráfico recibe el nombre de:

Gráfico tipo 100p

100p

Si se desea facilitar la comprensión y la interpretación, puede multiplicarse la escala del eje y por 100, obteniéndose así porcentaje de piezas defectuosas.

En tal caso el gráfico recibe el nombre de:

Gráfico tipo 100pEn este ejemplo, si empleamos un gráfico 100p, la tasa media de defectos sería:

Y podemos expresar, en forma más intuitiva que la tasa de defectos es del 0.4051%

𝒑 = 𝟏𝟎𝟎 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟎𝟓𝟏 = 𝟎. 𝟒𝟎𝟓𝟏

1000p

Si la multiplicación por cien sigue arrojando valores muy pequeños y se desea hacerlos más intuitivos, podemos multiplicar por mil. En tal caso podemos nombrar el gráfico como:

Gráfico tipo 1000pEn este ejemplo, si empleamos un gráfico al que llamamos 1000p, la tasa media de defectos sería:

Y podemos expresar, en forma más intuitiva, que la tasa de defectos es de 4.051 defectos por cada mil piezas producidas.

𝒑 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟎𝟓𝟏 = 𝟒. 𝟎𝟓𝟏

• Referencias:

http://www.scoop.it/t/mathematics-learning

https://sites.google.com/site/mataspc/home

http://licmata-math.blogspot.com/

http://www.slideshare.net/licmata/

http://www.facebook.com/licemata

[email protected]

Twitter: @licemata

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