7 problemas mef

"Teoría y aplicación práctica del método de loselementos finitos y simulación" (AF-1)

(Master UNED/Ingeciber).

7 problemas del MEF (método elementosfinitos) resueltos completamente paso a pasomediante los programas Anesmef y Finterpo.

El programaAnesmef realiza cálculos numéricos y simbólicos de estructurasen 2D a nivel académico mediante el método de la rigidez, PASO A PASO unavez realizados todos los cálculos internamente. Abarca estructuras articuladas(barras con rótulas), estructuras reticuladas con cualquier tipo de vigas (biempo-tradas, apoyada-empotrada, empotrada-apoyada, articulada-empotrada, etc...),estructuras mixtas en las que existen vigas con apoyos no empotrados en cualquiercombinación con barras y también calcula emparrillados (además según tres sis-temas de referencia estos últimos). Realiza todos los cálculos parciales.

Puede obtenerse en las direcciones:

http://www.euskalnet.net/jmgomez/anesmef/anesmef1.htmlhttp://www.ticalc.org/archives/files/fileinfo/359/35956.htmlhttp://www.ticalc.org/archives/files/fileinfo/372/37265.html

El programa Finterpo realiza cálculos numéricos y simbólicos de elementosestructurales en 2D a nivel académico mediante el método de elementos fini-tos (MEF), PASO A PASO una vez realizados todos los cálculos internamente.Abarca elementos monodimensionales (dos, tres, cuatro nodos y definido porel usuario), triangulares (tres, cuatro, seis o diez nodos), rectangulares (cua-tro, cinco, seis, ocho, nueve, doce nodos o con dos subelementos triangulares),elementos placa plana, elementos de cuerpo axilsimétrico (triangular o rectan-gular). Realiza todos los cálculos parciales.

Puede obtenerse en las direcciones:

http://www.euskalnet.net/jmgomez/Proyectos_de_ingenieria_industrial_2.htmlhttp://www.ticalc.org/archives/files/fileinfo/420/42049.htmlhttp://www.ticalc.org/archives/files/fileinfo/420/42050.html

José Manuel Gómez Vega, ingeniero industrial enmecánica de máquinas.

Abril [email protected]

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1 Solución.

1.1 Matrices de rigidez globales y la matriz de rigidez dela estructura.

1.1.1 Resolución con mi programa Anesmef.

Hemos supuesto que existe una carga q en el nudo 3, dado que si no se poneninguna carga, el programa no puede hacer cálculos sin coacciones. Tambiénhemos puesto dos apoyos, lo cual hace que no se pueda extraer la matriz derigidez de la parte de las componentes de los nudos libres. Las expresiones secalculan con L1 en lugar de L por un problema de incompatiblidad de variablescuando calcula en forma simbólica como es el caso presente.

2

La matriz de rigidez es, teniendo en cuenta el acople de las matrices elemen-tales globales y de acuerdo a los grados de libertad en el orden 1,2,3,4,5,6, lasiguiente:

K = EAL1

1 0 −1 0 0 00 1 0 0 0 −1

−1 0 1 +√2

4−√2

4−√2

4

√2

4

0 0 −√2

4

√2

4

√2

4−√2

4

0 0 −√2

4

√2

4

√2

4−√2

4

0 −1√2

4−√2

4−√2

41 +

√2

4

1.1.2 1er método.

Para obtener la matriz K, se puede suponer que cada columna obtenida esgracias al trabajo virtual que genera una deformada elástica en cada una mul-tiplicada por todas. Por ejemplo, para la columna 1a, si suponemos un trabajovirtual unitario en el grado libertad 1, tendremos un esfuerzo axil de compre-sión, que dará un valor EA

Len el grado libertad 1, es decir habrá movimiento

en el eje positivo de accisas, mientras que aparecerá un valor opuesto en signoen el grado de libertad 3, por lo tanto, la 1a columna será el vector:

10−1000

4

1.1.3 2o método.

Otra forma de obtener la matriz de rigidez es tratando el encaje de cada elementoy sus nudos. Observando las matrices y los grados de libertad de cada una delas matrices locales generales, que son:

K1 → 1, 2, 3, 4K2 → 1, 2, 5, 6K3 → 5, 6, 3, 4

Al haber dado esos grados de libertad en ese orden para cada matriz, in-directamente estamos asignando unos nudos iniciales y finales a cada elementoque es lo primero que se hace al calcular una estructura. Por ejemplo, de lo dearriba se concluye que el nudo inicial para el elemento 1 es el 1 (grados 1,2),mientras que el final es el 2 (grados 3 y 4).

La matriz de rigidez de la estructura se calcula observando las matrices derigidez globales de cada elemento mediante el encaje de los grados de libertadcorrespondientes:

1, 2 (1) 3, 4 (2) 5, 6 (3) Grados Libertad (Nudos)K111 +K

211 K1

12 K312 1, 2 (1)

K121 K1

22 +K3112 K3

11 3, 4 (2)K221 K3

22 K321 +K

222 5, 6 (3)

que es la mejor manera de calcular la matriz de rigidez, aunque se han puestodos formas de hacerlo. La nomenclatura de cada elemento de la matriz viene adecir: Kn

ij = submatriz del elemento n correspondiente a la caja ij y la posiciónrelativa la da los nudos y su conexión tras observar las filas y columnas de cadamatriz.

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2 Solución.

Se trata de una estructura articulada pues en todos los nudos hay rótulas. Lamatriz de rigidez local de cada barra es igual que la que existe para la biapoyada.Además serán matrices 4x4, donde no habrá grados de libertad de giros por lasrótulas.

2.1 Cálculo matricial directo.

Resolveremos el cálculo primero de forma directa, sin realizar ninguna simplifi-cación. Usaremos el programa Anesmef. Se trata de una estructura con barrasarticuladas, por lo que los únicos esfuerzos son los axiles. Las barras las denomi-naremos con números, en el programa, quedando: a = 1, b = 2, c = 3, d = 4,e = 5, f = 6. Asimismo, los nudos serán: A = 1, B = 2, C = 3, D = 4 y E = 5.

Dibujo de la estructura con sus cargas.

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Menú matrices para calcular la matriz K global.Obsérvese que en la nomenclatura de la calculadora, K′ es una matriz local.

A continuación las matrices locales K′ y globales K de rigidez, calculadas.

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Ahora hallamos la matriz de rigidez por encaje matricial de las matricesglobales, de acuerdo a las subcajas de cada matriz. Para ello, numeramos losnudos y los grados de libertad, haciendo la composición. Anesmef calcula dichamatriz de rigidez simbólica, donde Kij[n] se refiere a la caja ij del elemento n.

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Ahora ya tenemos la matriz de rigidez K y lo que hacemos es calcularla y seobtienen sus elementos.

A continuación hallaremos la matriz de rigidez mediante la regla de Cramer.El programa Anesmef primero calcula los resultados pudiendo presentar,

paso a paso, todos los cálculos para hallar la K. Esto es una ventaja meramenteacadémica.

2.1.1 Regla de Cramer.

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2.1.2 Método de Gauss.

En la matriz ampliada de la de rigidez, se incluye el vector de cargas englobales. Se considera el paso 1, el de partida. Eso está escrito en la matricessegún se van calculando. Iremos mostrando solo los pasos de la matriz ampliada,pues nos interesa ver la evolución de la última columna que es la del vector decargas. No obstante, la calculadora presenta también la matriz de rigidez normaly de hecho los cambios de fila y columnas se refieren a la matriz de rigidez y noa la ampliada, aunque los cambios se traducen en aquella.

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Los resultados de los desplazamientos están en metros, dado que EA se dioen toneladas y la carga en el nudo también siendo las coordenadas de nudos en

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metros. Cada solución se determina con una letra en el alfabeto y un no de nudo.Anesmef siempre usa la nomenclatura para nudos y elementos en números; porejemplo, u2 se refiere a uB, siguiendo siempre un orden correlativo.

2.2 Cálculo matricial mediante aplicación de simetrías ysimplificaciones.

Analizaremos primeramente el planteamiento teórico para poder construir dosestados, uno simétrico y otro antimétrico, que dará como resultado sumando losdos estados los movimientos de los nudos.

2.2.1 Estructura plana con carga simétrica.

La estructura inicial no es simétrica respecto a un eje de ordenadas (coordenadaglobal Y), dado que la barra a hace que no lo sea. Sin embargo, observandoel eje de abcisas (coordenada global X), sí podremos establecer la simetría deforma.

Una estructura plana simétrica, sometida a un sistema de cargas simétricose deforma de manera simétrica, y las solicitaciones internas tienen asimismouna distribución simétrica. La figura 2.1 muestra las relaciones que cumplen lasdeformaciones y las solicitaciones internas.

Fig. 2.1. Estructura simétrica, carga simétrica (deformaciones y solicitaciones internas)

Esta relación entre las deformaciones se satisface para cualquier pareja depuntos de la estructura, y en particular también se tiene que satisfacer en lospuntos situados precisamente en el eje de simetría. Esto permite determinar lascondiciones de contorno que se aplicarán en el eje de simetría a la estructuramitad, a fin de respetar el estado de deformación simétrico. Al determinarestas condiciones de contorno en el eje de simetría pueden presentarse dos casosdiferentes:

1. Nudos contenidos en el eje de simetría.

2. Barras contenidas en el eje de simetría.

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Nudos contenidos en el eje de simetría. En un nudo situado en el eje

de simetría (que corresponde en este problema a los conectados por la barrad) las deformaciones deben satisfacer a la vez las condiciones de deformaciónsimétrica y de compatibilidad geométrica. Aplicando estas condiciones al ele-mento diferencial situado justo en el eje de simetría se obtiene el valor que debentener sus deformaciones para respetarlas.

Nudo en eje de simetría

Deformación X: no es posible → ∆X = 0Deformación Y: sí es posible → ∆Y = 0

Giro Z: no es posible→ θZ = 0

Fig. 2.2. Deformaciones por simetría (nudos en eje)

Así pues un punto situado en el eje de simetría sólo puede tener desplaza-miento según Y, siendo nulos el desplazamiento X y el giro Z. La condiciónde contorno a aplicar en este punto es por lo tanto, como caso general, la deempotramiento (θZ = 0) deslizante según Y (∆X = 0 ,∆Y = 0), como semuestra en la figura 2.3.

Fig. 2.3. Empotramiento deslizante según Y.

No obstante, dado que tenemos una rótula y Mz = 0, en este problemabastaría poner un apoyo de rodillo deslizante según Y, en lugar del em-potramiento deslizante de la fig. 2.3, que se corresponde al caso de estructurasextensibles (es decir, sin rótulas o con Mz = 0).

Al mismo resultado se llega si se efectúa el razonamiento con las fuerzas,aplicando las condiciones de equilibrio del nudo, como se muestra en la fig. 2.4.

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Nudo en eje de simetría

Fuerza X: sí es posible → FX = 0Fuerza Y: no es posible → FY = 0Momento Z: sí es posible →MZ = 0

Fig. 2.4. Simetría en nudos (Fuerzas)

Por lo tanto, cualquier nudo sobre dicho eje de simetría debe ser para esteproblema un apoyo deslizante según Y para poder absorber este sistema defuerzas, como ya se había deducido.

Barras contenidas en el eje de simetría. Cuando una barra está contenidaen el eje de simetría se debe separar en dos semibarras, situadas cada una deellas en una de las dos mitades de la estructura. Esta separación debe hacersecon la condición de que la energía acumulada en cada semibarra US sea la mitadde la energía acumulada en la barra completa U . Además, las deformaciones dela barra original y de las dos semibarras deben ser iguales y se denominan δ.

La expresión de la energía acumulada en la barra completa es:

U = 1

2δTKLδ

La energía acumulada en cada semibarra es:

US =1

2δTKS

Lδ

donde KSL es la matriz de rigidez de la semibarra. Igualando US = U/2, se

deduce que:

KSL =

1

2KL

es decir que la semibarra tiene que tener la mitad de rigidez que la barraoriginal. Para ello basta con dar a la semibarra unos valores EA/2 y EI/2 (fig.2.5).

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Fig. 2.5. Barra mitad simétrica

Con este método se garantiza que se obtienen las deformaciones reales en elplano de simetría. Las solicitaciones obtenidas en la semibarra, con su matrizde rigidez KS

L , son la mitad de las solicitaciones en la barra completa.

Al ser la deformación simétrica, en los nudos extremos de la barra sólohay deformación Y , sin giros Z ni deformaciones X. Por ello la barra no estásometida a flexión ni cortante y únicamente tiene deformación y esfuerzo axiales.Por lo tanto la propiedad EI/2 no influye en el comportamiento de la barra.

Por lo tanto, para el caso general de estructura extensible, el nudo debeser un empotramiento deslizante según Y para poder absorber este sistema defuerzas, como ya se había deducido, y para el caso particular de estructuraarticulada (con rótulas), debe ser un apoyo articulado deslizante, según Y.

Nota: algunos autores ponen un empotramiento articulado deslizanteque es exactamente lo mismo que un apoyo articulado deslizante.

2.2.2 Estructura plana con carga antisimétrica (antimétrica).

Una estructura plana simétrica, sometida a un sistema de cargas antisimétricose deforma de manera antisimétrica. Las solicitaciones internas tienen asimismouna distribución antisimétrica, como se indica en la fig. 2.6.

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Fig. 2.6. Estructura simétrica, carga antimétrica (deformaciones y solicitaciones internas)

Esta relación entre las deformaciones se satisface para cualquier pareja depuntos de la estructura, y en particular se tiene que satisfacer también en lospuntos situados precisamente en el eje de antisimetría. Esta consideración per-mite determinar las condiciones de contorno que se deben aplicar a la estructuramitad en el eje de antisimetría a fin de respetar el estado de deformación anti-simétrico. Al determinar estas condiciones de contorno pueden presentarse doscasos diferentes:

1. Nudos contenidos en el eje de antisimetría.

2. Barras contenidas en el eje de antisimetría.

Nudos contenidos en el eje de antimetría. En un nudo situado en el eje

de antisimetría las deformaciones deben satisfacer a la vez las condiciones dedeformaciónb antisimétrica y de compatibilidad geométrica. Aplicando estascondiciones al elemento diferencial situado justo en el eje de antisimetría (figura2.7) se obtienen los valores que deben tener sus deformaciones para respetar ala vez ambos criterios.

Fig. 2.7. Deformaciones por antimetría (nudos en eje)

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Nudo en eje de antimetría

Deformación X: sí es posible → ∆X = 0Deformación Y: no es posible → ∆Y = 0

Giro Z: sí es posible→ θZ = 0

Así pues un punto situado en el eje de antisimetría puede tener desplaza-miento según X y giro según Z, pero el desplazamiento vertical Y debe ser nulo.Nótese que estas deformaciones son las complementarias a las permitidas en elcaso simétrico (fig. 2.2). La condición de contorno a aplicar en este punto es porlo tanto la de articulación (θZ = 0) deslizante según X (∆X = 0 , ∆Y = 0),como se muestra en la fig. 2.8.

Fig. 2.8. Articulación deslizante según X

Se puede también efectuar el razonamiento con las fuerzas, aplicando lascondiciones de equilibrio en cada dirección, bajo la acción de una pareja defuerzas antisimétricas (fig. 2.9):

Nudo en eje de antimetría

Fuerza X: no es posible → FX = 0Fuerza Y: sí es posible → FY = 0Momento Z: no es posible →MZ = 0

Para poder absorber este sistema de fuerzas el nudo debe ser una articu-lación deslizante según X , fig. 2.9:

Fig. 2.9. Antimetría en nudos (Fuerzas)

Barras contenidas en el eje de antimetría. Cuando una barra está con-tenida en el eje de antisimetría se debe separar en dos semibarras, situadas cadauna de ellas en una de las dos mitades de la estructura, con la condición de quela energía acumulada en cada semibarra US sea la mitad de la energía acumu-lada en la barra completa U . Además las deformaciones δ de la barra original y

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de las dos semibarras deben ser iguales. La expresión de la energía acumuladaen la barra completa es:

U = 1

2δTKLδ

La energía acumulada en cada semibarra es:

US =1

2δTKS

Lδ

Igualando US = U/2 se deduce que:

KSL =

1

2KL

Es decir que la semibarra tiene que tener la mitad de rigidez que la barraoriginal. Para ello basta con dar a la semibarra unos valores EA/2 y EI/2 (fig.2.10). Con este método se garantiza que se obtienen las deformaciones realesen el plano de antisimetría. Las solicitaciones obtenidas en la semibarra con lamatriz de rigidez KS

L son la mitad de las solicitaciones en la barra completa.

Al ser la deformación antisimétrica, en los nudos extremos de la barra hay de-splazamiento X y giro Z, pero no hay desplazamiento Y . Por lo tanto los nudosextremos de la barra se mueven en dos líneas paralelas, y como consecuencia labarra no está sometida a esfuerzo axial. Únicamente tiene esfuerzos de flexióny cortante, producidos por la deformación X y el giro Z. En consecuencia, lapropiedad EA/2 no influye en el comportamiento de la barra.

Fig. 2.10. Barra mitad antimétrica

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2.2.3 Construción de estructura como suma de un estado simétricoy otro antimétrico.

Primeramente deberemos poner la estructura simétrica de forma. En la fig. 2.11se han puesto las reacciones existentes. Si quisierámos por la estática conocerlas reacciones de la estructura nos sería imposible dado que la estructura eshiperestática de grado 1:

GH = b+ r − 2n = 6 + 5− 2 · 5 = 1

Podríamos recurrir a métodos clásicos para obtener los movimientos en losnudos aplicando el Th. de Castigilano y cargas nodales auxiliares, pero estetratamiento para conocer todos los movimientos sería bastante más arduo. Estose podría hacer por mi programa Anesclas no publicado. Por lo tanto, resolver-emos la estructura mediante el método matricial descomponiendo la estructuraen dos estados (simétrico y antimétrico) siguiendo las directrices teóricas de losapartados anteriores.

Observando la fig. 2.11, vemos que existe simetría respecto al eje X horizon-tal de accisas.

Fig. 2.11. Estructura inicial con reacciones

De acuerdo a esa simetría, en la fig. 2.12 cortamos las barras b y f, dejandola mitad de la barra d y poniendo un empotramiento articulado deslizante en X(coordenadas globales). En el caso presente y dado que existe una rótula, en lafigura podría aparecer un apoyo articulado deslizante en X en el nudo C puesa todos los efectos tendría la misma consideración. Hemos construido el Estado(S) Simétrico.

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Fig. 2.12. Estado Simétrico (S)

Como se puede apreciar en la fig. 2.12, la barra a está sobre el eje de simetríade corte, por lo que su valor es EA/2 = 750 t, manteniendo el resto de barrascomo al principio, EA = 1500 t, incluida la barra d/2 de longitud mitad.

A continuación formamos el Estado antimétrico (A), poniendo en el nudoD′, un empotramiento con rótula en X, coordenadas globales y estableciendouna carga nodal del mismo valor (2,5 t), pero de signo negativo, dejando el nodoC sin coacciones. Este estado dará lugar a esfuerzos y a desplazamientos.

Fig. 2.13. Estado Antimétrico (S)

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Queda claro que al sumar (A) + (S) nos da la estructura inicial de partida,pues como se puede apreciar se tienen 5 t en el nudo C, y el nudo D′ tienemovimiento tanto vertical como horizontal, pero no nos interesa, pues no sepuede calcular con la estructura normal, por lo que es indiferente.

Tenemos los dos estados y los calcularemos mediante el programa Anesmef.

Estado Simétrico (S). Tras calcular por Anesmef el Estado S, llegamos a losresultados de desplazamientos en metros. Hallamos que solo hay desplazamientoen el nodo 3.

Estado Antimétrico (A).

Si procedemos a sumar los resultados de los desplazamientos de (S) + (A)vemos que nos da para los nudos 1, 2 y 3 el mismo resultado que cuando calcu-lamos la estructura de la forma normal.

¿Qué ocurre si nos equivocamos al entrar en el programa Anesmef coaccionessobrantes? Anesmef las detecta. Por ejemplo, supongamos que la estructurahubiera sido tal que así:

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Al hacer los cálculos, Anesmef detecta incongruencias en la matriz de rigidez(reconoce que es singular). Podemos variar las coacciones de una estructurainestable (o con alguna rigidez nula), es decir, retornar a cambiar apoyos o dejarque el sistema actúe, llegado a ese punto, dado que el programa lo advierte. Eneste caso dejamos que Anesmef trabaje automáticamente.

Es decir, Anesmef detecta que el grado libertad u4 no puede ser. En efecto,fijándonos en el apoyo 4 si fuera articulado deslizante con rodillo y dado quehay una rótula en el apoyo opuesto del elemento daría rigidez nula, lo cual nopuede ser por lógica.

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El resultado del cálculo al final sería el mismo que el mostrado originalmentepara el estado antimétrico, es decir, Anesmef ha quitado el grado de libertaden x en el apoyo 4 (es decir, u4) dejando un empotramiento con rótula, con loque Anesmef es robusto frente a coacciones no bien puestas por el usuario, conlo cual es una ventaja añadida, dado que no solo indica el error sino que puedeautomáticamente corregirlo, como se ha comprobado.

La comprobación con Ansys de este problema la adjunto con pantallazos delprograma:

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3 Solución.

Solucionaremos el problema con el programa Anesmef.

3.1 Datos para obtener desplazamientos en cm.

Primeramente vamos a cambiar los datos para que los resultados de los movimien-tos den en cm, mediante factores de conversión:

Para las barras a y b:

I = 3, 125 · 10−3m4 · 100.000.000 cm4

1 m4 = 312.500 cm4

A = 0, 15m2 · 10.000 cm2

1 m2 = 1.500 cm2

E = 2 · 106 tm2 ·

1 m2

10.000 cm2 = 200t

cm2

Para las barras c y d:E = 2 · 107 t

m2 ·1 m2

10.000 cm2 = 2.000t

cm2

A = 20 m2

3.2 Características de la estructura.

Aunque en la gráfica del problema no se reflejen las rótulas de las barras c y d, elprograma internamente sí las tiene en cuenta. Ello es debido a que el apartado

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gráfico de Anesmef no está totalmente terminado. Por ejemplo, tampoco serecogen las cargas térmicas de este problema, estando en memoria.

La estructura es mixta: tiene barras empotradas extensibles con barras arti-culadas. Anesmef nos muestra los grados de libertad y el grado de hiperestatici-dad. Obsérvese que Anesmef detecta en la estructura que es de tipo mecanismoo inestable. No lo es realmente, pero lo que sí se da en esta estructura es quees mixta. Es por ello que GH-GE da negativo.

El hecho de que Anesmef detecte la estructura como un mecanismo puedeser una paradoja. A priori son 5 las reacciones que existen. Sin embargo,Anemef calcula al final solo 3 reacciones, siendo nulas HA y HD . Además HDse ve claramente que es nula, dado que el esfuerzo creado por el incremento detemperatura en la barra d es vertical, por lo que no hay reacción vertical.

Por lo tanto, el resultado final después de saber que existen reacciones nulasy que se desconoce a priori es el siguiente:

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GH = 4 + 3− 2 · 4 = −1GE = 3− 3 = 0GI = −1

Anesmef considera que existen las reacciones, independientemente de quesean nulas y es por ello que da los resultados que aparecen en las pantallas dearriba.

3.3 Cálculo de la matriz simbólica de la estructura.

Observando los nudos donde no existen coacciones, la matriz de rigidez es:

donde los términos kij [n], hacen referencia a:kij = una de las 4 cajas de la matriz de rigidez global del elemento

n = elemento

Nótese que el programa cambia siempre la nomenclatura de elementos conletra a números naturales incrementales, por lo que:

a=1b=2...

3.4 Matrices locales y globales de rigidez de elementos ymatrices de cambio necesarias para el cálculo de lamatriz de rigidez.

3.4.1 Elemento a=1.

• K22

Para este primer componente expresaremos todas las pantallas de Anesmefnecesarias para establecerlo paso a paso.

Ecuación para hallar la matriz global K partiendo de la local K’ de cadaelemento, a través de las matrices de cambio L.

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Valores del elemento, introducidos como datos. El programa pone 90o de girodado que el sentido de conexión es del nudo D al C, tal y como se introdujo, es

decir, siempre respecto a la horizontal, semieje de abcisas positivo.

K′

22 [1] en locales.

Matriz cambio Ld [1] genérica 3x3, subcomponente de L 6x6.

Matriz cambio LTd [1] genérica 3x3.

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Matriz cambio Ld [1] calculada.

Matriz cambio LTd [1] calculada.

K′

22 [1] local calculada.

K22 [1] global genérica. Nótese que cθ = cos θ y sθ = sin θ

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K22 [1] global calculada.

3.4.2 Elemento b=2.

Necesitamos todas las submatrices para acoplar en K (matriz de rigidez).

• K11

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Obsérvese que la matriz de cambio Ld es la de identidad por lo que la matrizdel elemento en globlales es igual a la de locales. Es fácil de verlo dado que elángulo de giro de unas coordenadas respecto a otras es de 0o.

• K12

• K21

Por simetría sabemos que K12 = K21. No obstante, lo calculamos.

• K22

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3.4.3 Elemento c=3.

• K22

Es una barra biarticulada, luego la submatriz 3x3 solo tendrá una compo-nente no nula en la 1a fila, 1a columna, dado que solo tiene esfuerzos axiles.

3.4.4 Elemento d=4.

Otra barra biarticulada.

• K22

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3.5 Matriz de rigidez de la estructura.

Una vez obtenidas todas las submatrices y observando como van encajadasde acuerdo al apartado anterior, podemos obtener la matriz de rigidez K de laestructura. Anesmef nos brinda la oportunidad de examinar la matriz de rigidezcomponente a componente simbólica, donde Kn [i, j], se refiere a la componentede la matriz global del elemento n y su componente de fila iesima y columnajesima. De esta forma, si queremos sumar las componentes y hacer el cálculomanualmente no hay forma de equivocarse.

Finalmente la matriz de rigidez K es:

3.6 Cargas.

Hallemos el axil de carga térmica que existe en los elementos c y d.

E = σε=

N

A

ε=⇒ ε = ∆L

L= N

EA=⇒ N = EA

L∆L, siendo ∆L = αL∆T

Luego: N = EAα∆T

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3.6.1 Calculemos N3 y N4 .

N3 = 2.000t

cm2 · 20 cm2 · 10−5 oC−1 · 40 oC = 16 tN4 = N3 = 16 t

3.6.2 Cálculo del vector de cargas.

Descomponemos la estructura en 2 estados:

• Estado 0: impedimos los movimientos de la estructura. Solo da esfuerzos.

• Estado 1: se dejan libres los nudos impedidos. Da esfuerzos y movimientos.

Como el problema solo pide movimientos, solo se calcula el estado 1.

Para poder incorporar al vector de cargas la correspondiente al nudo C, debe-mos descomponer N3 en las componentes horizontal y vertical correspondientea coordenadas globales.

N3 (V ) = N3 sin θ3 = 16 · sin (36, 8699) = 16 · 0, 6 = 9, 6 tN3 (H) = N3 cos θ3 = 16 · cos (36, 8699) = 16 · 0, 8 = 12, 8 t

Por lo tanto:

PC(H) = N3 (H) = 12, 8 tPC(V ) = N4 +N3 (V ) = 16 + 9, 6 = 25, 6 t

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3.7 Cálculo de desplazamientos.

La ecuación matricial es:

P = [K] u =⇒

PBPC

=

00012, 825, 60

= [K]

u2v2θ2u3v3θ3

Anesmef puede calcular los desplazamientos partiendo de la matriz de rigidez,bien por la regla de Cramer o por el método de Gauss, aunque una vez se calculala estructura da el resultado directo.

La solución es (en cm):

• con 6 cifras decimales, modo FLOAT, APPROX:

• con 12 cifras decimales, modo FIX, APPROX:

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4 Solución.

Resolveremos el problema mediante el programa Finterpo, creado por mí. Elprograma es autosuficiente para razonar secuencialmente la construcción de lasfunciones de forma.

4.1 Introducción del problema en Finterpo.

Tras varias pantallas del programa, llegamos a la opción del menú "GeneradorNi triángulos"

42

4.2 Explicación del método de cálculo del programa Fin-

terpo.

Elegimos el triángulo cúbico de 10 nodos.

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4.3 Obtención de funciones de forma.

Lo único que necesitamos en Finterpo es proporcionar el no de nudo para obtenerlas funciones de forma. El programa lo ofrece en función de:

• ζ1, ζ2, ζ3

• ζ, n

Como el problema nos pide todas las funciones de forma de todos los nudos,a continuación se muestran calculadas por Finterpo.

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5 Solución.

Realizaremos el problema mediante mi programa Finterpo. Se trata de un pro-grama para calcular la 2a parte de la asignatura AF-1, válido para estructurasen 2D para análisis de problemas de tensión y deformación plana con elementosmonodimensionales, triangulares y rectangulares, placa plana y cuerpo axil-simétrico mediante el MEF.

5.1 Matriz B para el elemento bidimensional triangular

en tensión plana.

Introducimos los datos.

49

Realizando cálculos.

52

Pantalla principal de cálculos (interpolación MEF).

Nota: durante la resolución de estos problemas he mejorado el programa ala versión Finterpo 2.1 Build 36:

53

Matriz B. Para calcular la matriz B podemos optar por 2 caminos medianteFinterpo.

• Cálculo de B, mediante camino 1.

Comenzamos por saber las funciones de forma genéricas Ni para el elementotrriangular de 3 nodos. Esto es algo que sabemos teóricamente.

A continuación lo que hacemos es introducir en las funciones de forma losdatos de los puntos introducidos para los nodos.

54

Una vez conocidas las funciones de forma, hallamos sus derivadas. Primeroconocemos la naturaleza de las derivadas parciales de cada Ni

No obstante, vemos que, en este caso, cada derivada deN en x e y, es directa.por lo tanto, calculamos dichas derivadas.

Nos fijamos en el menú de Finterpo y observamos que al intentar calcular,por ejemplo, los siguientes items:

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el programa no devuelve ningún cálculo. Ello es debido a que internamenteFinterpo "sabe" que esos cálculos no se aplican para este problema, como asíes.

Podemos estudiar la deformación ε, por su relación directa con la matriz B,según el menú F1-Interp.1. Como siempre, Finterpo establece primero las ecs.genéricas para luego calcularlas, siendo un programa académico muy didáctico.En este caso no ofrece el cálculo, dado que lo da en F2-Interp.2, opción B.

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Ahora pasamos al menú F2-Interp.2 y calculamos B con los datos anterioresde las funciones de forma calculadas. Obsérvese como Finterpo ofrece en formatonatural la matriz B, y lo hace de todas las formas teóricas posibles.

Finterpo es capaz de dar soluciones intermedias, para ayudar al estudiante aobservar el proceso de cálculo. En la siguiente pantalla del programa se muestrala matriz con la variable Ω, mostrando de donde sale.

Finalmente la matriz B es la siguiente:

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• Cálculo de B, mediante camino 2.

Podemos calcular B de otra forma, tal y como se nos enseña en la teoría ge-neral del MEF. No se dan comentarios sobre los cálculos pues son autoexplícitos.

58

A partir de aquí se daría el mismo resultado que antes.

60

Podemos calcular las matrices N y B en el menú F3 Matrices. En estaocasión la matriz B está totalmente desarrollada, pues antes estaban calculadaslas componentes en formato potencial.

61

5.1.1 Tensiones en el elemento, con el sistema de cargas nodales yel aumento de 50 o C.

Primero calculamos la matriz C necesaria para hallar las tensiones.

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Ahora hallamos las deformaciones, dado que ya tenemos la matriz B y elvector dado de desplazamientos nodales.

A continuación ya sí que podemos calcular las tensiones en el elemento.

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Con la resolución de este problema se demuestra la potencia de cálculo deFinterpo para resolver problemas del MEF.

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6 Solución.

Usaremos Finterpo para resolver el problema.Observando este problema vemos que la rotación de nudos en ambos elemen-

tos triangulares debe ser antihoraria. Entonces, hagamos los gráficos de ambostriángulos y su composición como rectángulo.

Fig. 6.1. Numeración de nodos según rotación antihoraria

Tras observar la fig. 6.1, nos percatamos que el triángulo 1 lleva invertidoslos nodos 2 y 3 con la rotación antihoraria, mientras que el triángulo 2, lleva elorden antihorario, pero sumando un no natural a cada nodo, es decir, el 1 es el2, el 2 el 3, etc. Finalmente el orden antihorario del rectángulo solo coincide enel nodo 1.

6.0.2 Triángulo 1.

Nodos en triángulo suelto: sentido antihorario 1, 2, 3 .Nodos en triángulo inscrito en rectángulo: sentido antihorario: 1, 3, 2

66

Introduciendo los datos y calculando elemento triángulo 1.

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Cálculo de matriz B1. Para calcular la matriz B1, primero calculamos lasfunciones de forma N1

i y sus derivadas que van acopladas en B1.

Ahora solo debemos poner los puntos del triángulo 1 y sustituir.

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Hallamos las derivadas en función de x, y para cada N1i .

Ahora podremos calcular la matriz N1, aunque con los datos anteriores yateníamos las funciones de forma aunque no estaban dispuestas matricialmente.

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Ahora ya podemos obtener B1, observando que nos da la matriz semidespe-jada primero en función de Ω (área) y luego totalmente resuelta.

70

Cálculo de K1. Vamos a calcular la matriz K1, que será de acuerdo a la fig.6.1, para el triángulo 1 con giro antihorario, la siguiente:

K1 =

k111 k112 k113k121 k122 k123k131 k132 k133

71

De acuerdo al elemento triangular integrado en el rectángulo, se tiene en elsentido antihorario 1, 3, 2:

K′1 =

k111 k113 k112k131 k132 k133k121 k122 k123

Por ello, deberemos introducir ese orden de nodos en el sentido rotativo, depreferencia antihorario, dado que si no, la matriz saldrá con todos los elementoscon signo contrario.

Finterpo cambiará las filas/columnas pertinentes a la matriz. En esta ocasión,como se ve, se cambian las terceras por las segundas.

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Lo que se ha hecho es orlar de ceros la nueva matriz K′1 del triángulo 1rellenando las filas y columnas 7 y 8 correspondientes al nudo 4.

Triángulo 2. Nodos en triángulo suelto: sentido antihorario 1, 2, 3Nodos en triángulo inscrito en rectángulo: sentido antihorario: 2, 3, 4Se observa que la numeración de nodos en el sentido antihorario es conse-

cutiva.

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Introduciendo los datos y calculando elemento triángulo 2. A contin-uación el programa nos invita a que calculemos el otro elemento suelto (triángulo2) para componer la matriz correspondiente al rectángulo.

Cálculo de matriz B2. Se calculaB2 sin más preámbulos, siguiendo el mismoprocedimiento que para B1.

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Cálculo de K2. Vamos a calcular la matriz K2, que será de acuerdo a la fig.6.1, para el triángulo 2 con giro antihorario, la siguiente:

K2 =

k211 k212 k213k221 k222 k223k231 k232 k233

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La matriz K correspondiente al ensamble de las 2 matrices, suma de K1 yK2 8x8 ampliadas , sería la siguiente (se ha hecho aparte con el orden de nodosen ambas matrices 1, 2, 3 , para que se vea simplemente cuál sería):

De acuerdo a:

76

K1 =

k111 k112 k113 0k121 k122 k123 0k131 k132 k133 00 0 0 0

K2 =

0 0 0 00 k211 k212 k2130 k221 k222 k2230 k231 k232 k233

Entonces resultaría:

K = K1 +K2 =

k111 k112 k113 0k121 k122 k123 0k131 k132 k133 00 0 0 0

+

0 0 0 00 k211 k212 k2130 k221 k222 k2230 k231 k232 k233

=

K =

k111 k112 k113 0k121 k122 + k

211 k123 + k

212 k213

k131 k132 + k221 k133 + k

222 k223

0 k231 k232 k233

que correspondería al orden de nudos antihorario 1, 2, 3, 4 . Sin embargo,esto no es así, dado que el verdadero orden del rectángulo original es 1, 3, 4, 2 ,por lo que la matriz resultante anterior no es la adecuada, o bien habría quepermutarse los elementos de tal forma que finalmente quedase, de acuerdo a losórdenes antihorarios de los triángulos, tal y como se ha realizado por Finterpo,como sigue:

K = K1 +K2 =

k111 k113 k112 0k131 k133 k132 0k121 k123 k122 00 0 0 0

+

0 0 0 00 k211 k212 k2130 k221 k222 k2230 k231 k232 k233

=

K =

k111 k113 k112 0k131 k133 + k

211 k132 + k

212 k213

k121 k123 + k221 k122 + k

222 k223

0 k231 k232 k233

77

________________________________________

7 Solución.

Realizaremos este problema también por Finterpo.

78

7.1 Introducción de datos.

79

7.2 Funciones de forma en coordenadas naturales.

80

7.3 Fórmula de las deformaciones.

81

7.4 Matriz B.

82

7.5 Deformaciones teóricas según las funciones de forma.

7.6 Matriz jacobiana y determinante jacobiano.

83

7.7 Coordenadas x e y, en función de ξ y η.

84

7.8 Coordenadas ξ y η, en función de x e y .

7.9 Inversa de la matriz jacobiana.

85

7.10 Derivadas de las funciones de forma simbólicas.

7.11 Derivadas de las funciones de forma en x e y.

86

7.12 Derivadas de las funciones de forma en ξ e η.

7.13 Vector de fuerzas nodales Po

Vemos claramente que en la ec. siguiente, la 1a integral es nula dado que no sehan definido las deformaciones ε0 iniciales.

También observamos como al resultado le afectará un signo menos que es elque existe antes de la 2a integral.

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Podríamos intentar calcular la integral numéricamente, de la siguiente forma.El resultado es el mismo. No siempre es así, pero en este caso sí.

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Obsérvese que el resultado incorpora el signo cambiado a todos los elementospor el signo menos antes de la 2a integral de P0 .

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Como se ve, Anesmef y Finterpo son dos potentes programas que he creadopara calcular estructuras por el MEF, programas, entiendo, interesantes desdeel punto de vista didáctico y académico.

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7 problemas mef

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