Fundamentos Matemáticos

Competencias a desarrollar

• Determinar si un sistema de ecuaciones es consistente, inconsistente o dependiente.

• Conocer los distintos métodos de solución de ecuaciones simultáneas.

• Identificar distintos tipos de matrices. • Conocer sus operaciones básicas y sus propiedades.• Aplicar los distintos métodos de solución de ecuaciones

simultáneas.

Método gráfico

La solución de un sistema de ecuaciones en dos variables es un par ordenado (x,y) que hace que ambas ecuaciones se satisfagan.

Si se traza la gráfica de un sistema de ecuaciones, el punto donde las gráficas se intersectan (se cruzan) será la solución de ambas ecuaciones.

Ejemplo 1:

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones por el método gráfico:

1

3

y x

y x

Trazamos la gráfica de cada ecuación en el mismo plano cartesiano. Cada ecuación hace referencia a una línea recta.

Solución de un sistema de ecuaciones por el Método gráfico

1 2 3 4 5 6 7 8 9-1-2-3-4-5-6-7-8-9

123456789

-1-2-3-4-5-6

-7-8-9

x

y

y – x = 1

y + x = 3Línea recta correspondiente a la ecuación: y – x = 1.

El punto común da la solución común.

Línea recta correspondiente a la ecuación y + x = 3.

(1, 2)

1.

Método gráfico• El punto de intersección tiene las

coordenadas que hacen que ambas ecuaciones sean verdaderas.

• La solución aparenta ser el punto (1, 2).• Resolviendo gráficamente puede dar

resultados aproximados.• Se recomienda trabajar el plano cartesiano

con una escala adecuada para el eje x y el eje y.

Método gráficoComprobación de una solución

1. Verificamos si el par (1, 2) es solución a ambas ecuaciones, como sigue:

2

1

1

1

1

1

y x

2

3

3

3

1

3

y x

Verdadero Verdadero

Por lo tanto la solución es el punto (1, 2).

Método gráficoEjemplo 2

• Cuando NO se tiene Solución: Algunas veces la ecuación en el sistema tienen gráficas que son líneas paralelas.

• Veamos el siguiente ejemplo: Resuelva gráficamente:

3 5

3 2

y x

y x

Método gráfico Ejemplo 2

Trazamos las gráficas:

y

x

Las gráficas tienen la misma pendiente, -3, y diferentes interceptos en el eje y; por lo tanto son paralelas.

No hay puntos en que se cruzan, entonces el sistema no tiene solución.

El conjunto de solución es un conjunto vacío, denotado por

Ø o { } .

y = -3x - 2 y = -3x + 5

Solución de un sistema de ecuaciones

• A un sistema de ecuaciones que tiene solución, se le llama Consistente.

• A un sistema de ecuaciones que no tiene solución, se le llama Inconsistente.

El sistema del ejemplo 1 es consistente.

El sistema del ejemplo 2 es Inconsistente.

Método gráficoEjemplo 3

• Existen infinitas soluciones: Algunas veces las dos ecuaciones en un sistema tienen la misma gráfica.

• Veamos el siguiente ejemplo: Resuelva gráficamente:

3 2 6

12 8 24

y x

y x

Método GráficoEjemplo 3

Trazamos la gráfica y vemos que son las mismas.

Cualquier solución de una de las ecuaciones es una solución de la otra.

Cada ecuación tiene un número infinito de soluciones, dos de las cuales enseñamos en la gráfica.

(0, 2)

(-6, -2)

3y – 2x = 6

-12y + 8x = -24

Resolviendo Sistemas de Ecuaciones Gráficamente

Verificamos una solución (0, 2), encontramos que es el intercepto en y de cada ecuación.

2 0

3 2 6

3 2 6

6 0 6

6 6

y x

2

12 8 24

12 8 24

24 0 24

24 24

0

y x

Cierto Cierto

Si (0, 2) y (-6, -2) son soluciones, entonces todos los puntos que contiene la línea son soluciones.

El sistema tiene infinitamente muchas soluciones.

Resolviendo Sistemas de Ecuaciones Gráficamente

• Un sistema de dos ecuaciones en dos variables que tiene infinitas soluciones, se le conoce como sistema dependiente.

• Un sistema de dos ecuaciones en dos variables que tiene una solución o ninguna solución, se le conoce como sistema independiente.

El sistema del ejemplo 3 es dependiente.

Los sistemas de los ejemplos 1 y 2 son independientes.

Cuando trazamos la gráfica de un sistema de dos ecuaciones, una de las siguientes tres condiciones pueden pasar:

Una solución

Gráficas se intersecan.

Ecuaciones son consistentes e independientes.

Ninguna solución

Gráficas son paralelas.

Ecuaciones son inconsistentes e independientes.

Infinitamente muchas soluciones

Las ecuaciones tienen la misma gráfica.

Ecuaciones son consistentes e dependientes.

y = 3x + 2

11

2y x

yyy

xxx

y = 3x + 2y = 3x - 1

2y = 6x + 4

y = 3x + 2

• Las matrices Identidad e Inversa, pueden usarse para resolver ecuaciones matriciales mediante el mismo número de variables y ecuaciones.

• Si el sistema tiene menos variables que ecuaciones o viceversa, entonces se deberá resolver por el método de eliminación de Gauss-Jordan.

Otros métodos

Método de Matriz InversaDada una matriz A, n x n y las matrices columna B, X, n x 1, se deberá:Despejar X, de A X = B es decir, encontrar la matriz columna X que satisfaga la ecuación matricial. Se obtiene:

Xi = A-1∙Bi

Matriz Inversa

• Ejemplo:

Resolviendo el sistema anterior tenemos:

• Dado el resultado anterior, se demuestra:

Propiedades de la Inversa de una Matriz:

La matriz inversa, si existe, es única A-1·A = A·A-1= I (A·B)-1 = B-1·A-1

(A-1)-1 = A (kA)-1 = (1/k) · A-1 (At) –1 = (A-1) t

Ejemplos:1.Use el método de la matriz inversa para resolver los siguientes sistemas:

Respuesta:

• La regla de Cramer es un teorema en álgebra lineal, que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes.

• Sin embargo, para sistemas de ecuaciones lineales de más de tres ecuaciones su aplicación para la resolución del mismo resulta excesivamente costosa.

Regla de Cramer

Regla de Cramer para DOS ecuaciones y DOS variables

•Dado el sistema:

•Entonces:

Ejemplo:

Regla de Cramer para TRES ecuaciones y TRES variables

•Dado el sistema:

Entonces:

Ejemplo:

1) Dada la matriz a invertir por ejemplo de 3x3, reescribirla con la matriz aumentada (identidad).

2) Lograr un valor 1 en la posición a1,1.

3) Realizar operaciones renglón con el objetivo de hacer CEROS todos los elementos bajo a1,1.

4) Lograr un valor 1 en la posición a2,2.

Método de Gauss-Jordan

5) Realizar operaciones renglón con el objetivo de hacer CEROS todos los elementos sobre y bajo a2,2.

6) Lograr un valor 1 en la posición a3,3.7) Realizar operaciones renglón con el objetivo de

hacer CEROS todos los elementos sobre a3,3.8) Es decir, si inicialmente tenemos [M|I] [M|I] luego

de realizar las operaciones anteriores obtendremos: [I|M[I|M-1-1]]

Método de Gauss-Jordan

• Ejemplo 1: Encuentre la matriz inversa dada:

• Ejemplo 1: Encuentre la matriz inversa dada:

Ejemplo 2: Resuelva el sistema de ecuaciones usando el método de Gauss-Jordan:

723

52

332

yx

yx

yx

Ejemplo 2: Solución:• La matriz aumentada del sistema es:

• Se procede a conseguir el 1 principal en la primera fila y en las siguientes mediante operaciones elementales de fila y/o de columna.

723

52-1

33 2

Ejemplo 2: Por último:

Por lo tanto la solución es:x = 3y = -1

Ejemplo 3: Resuelva el sistema de ecuaciones usando el método de Gauss-Jordan para:

Solución:Matriz aumentada:

1635

6223

532

zyx

zyx

zyx

16

6

5

1-3-5

22-3

3-1 2

Ejemplo 3:• Para resolver el sistema por el método de

Gauss Jordan, debe llevarse la matriz a la forma escalonada reducida haciendo operaciones entre filas o columnas.

• Al observar la matriz se determina que el mejor paso para obtener el 1 en la primera fila es: , obteniendo:11 2

1FF

Ejemplo 3: Continuando con este procedimiento:

En este punto de la resolución se ha obtenido los 1 principales de cada fila, que tienen a su izquierda y debajo ceros. Comenzando con la última fila no nula, avanzar hacia arriba: para cada fila obtener un 1 e introducir ceros arriba de éste, aplicando las operaciones necesarias para conseguirlo.

La solución del ejemplo 3 es:x = 18/13y = -5/2z = -41/26

Ejercicios

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