7.2.3. Muro de carga con abertura

El objetivo de este ejercico consiste en optimizar topologicamente estructurascon algun grado de irregularidad. El siguiente ejercicio tomado de la referencia [50]corresponde a un muro de carga de forma irregular y con una abertura. Se com-parara el resultado de la optimizacion topologica con el propuesto en la refernciaindicada.

El dominio adoptado para este sistema corresponde a un rectangulo de dimen-siones L x H donde L = 2.08H. A partir de este rectangulo se generara un nuevodomino en forma de ele y finalmente sobre el dominio en forma de ele se confor-mara un domino con una abertura interior, tal como se indica en la Figura (7.37)(a), (b) y (c). La solicitacion corresponde a una carga puntual aplicada en el centrode la fibra superior. El sistema esta simplemente apoyado.

Figura 7.37: Equema de los modelos para un muro de carga simplemente apoyado,solicitado por carga puntual en la fibra superior a.) Forma rectangular o inicial, b.)forma irregular y c.) forma irregualr con abertura interior

La discretizacion utilizada para el dominio de la Figura anterior corresponde aun sistema de 1.200 elementos para el dominio rectangular, 1.182 elementos parael dominio en forma de ele y 1.054 para el dominio irregular con abertura Figura(7.38) (a), (b) y (c). El tipo de elemento finito es rectangular.

El parametro de optimizacion considerado fue una fraccion de volumen de 30%para los tres modelos. Los demas parametros se indicaron al inıcio del Capıtulo.

Al igual que el caso anterior se procedio gradualmente para ir identificando elcomportamiento del muro y detectando posibles concentraciones de material quecon el progreso de las iteraciones pudieran desaparecer.

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Figura 7.38: Discretizacion para el modelo del muro de forma irregular con aberturainterior a.) Forma rectangular 1200 elementos, b.) forma irregular 984 elementos yc.) forma irregualr con abertura interior 856 elementos

El primer modelo en analizarse fue el rectangulo, su resultado se presenta enla Figura (7.40). El comportamiento se puede deducir a partir de la analogıa de lacercha. Se identifican dos sistemas de concentracion del material en forma de dia-gonales, las cuales tienen como funcion absorver los esfuerzos de compresion. Enla parte inferior se presento una concentracion de material la cual tiene como fun-cion absorver los esfuerzos de tension y ası equilibrar internamente la estructura. Elmaterial de la diagonal derecha de mayor lontitud tiende a ramificarse tal como sepuede deducir de la Figura (7.40) (n) al (r).

El siguiente modelo en analizarse fue el modelo en forma de ele. El resultado seindica en la Figura (7.41). En esta optimizacion se aprecia que la modificacion alsistema anterior es mınima, debido a que la forma irregular no afecta sustancial-mente la trayectoria de esfuerzos y por ello la distribucion del material. En terminosgenerales se puede afirmar que el comportamiento es igual al del rectangulo. Sinembargo el angulo recto que genera la irregularidad al cambiar la altura hace quese presente una concentracion de material en el vertice generado por el cambio dealtura.

El indicador de la energıa U se incrementa representativamente, puesto que laforma irregular hace mas flexible el sistema.

El tercer modelo en analizarse fue el muro irregular con abertura. Los resulta-dos de la optimizacion se presentan en la Figura (7.42). Se aprecia que la aberturainterior afecta notablemente el comportamiento de la distribucion de material. Seidentifican dos concentraciones principales de material en forma de diagonales, queparten del punto de aplicacion de la carga hacia los apoyos. Confinando la aberturaaparecen otras dos diagonales de concentracion de material. estas diagonales partenaproximadamente del centro de la fibra inferior y llegan hacia la mitad de las dia-gonales principales. Como en todos los casos, paralelo a la fibra inferior existe una

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zona de concentracion de material para absorver los esfuerzos a tension y equilibrarinternamente el sistema.

En todos los sistemas se puede ver la tendencia del material de la diagonalderecha de material a bifurcarse, concepto que tambien aparece en casi todas lassoluciones propuestas.

Figura 7.39: Posibles modelos para identificar el flujo de esfuerzos, en un muroirregular con abertura interior. Tomado de la referencia [50]

En las iteraciones (5) a (9) de la Figura (7.42) se aprecia un sistema concentra-cion del material en forma de diagonales sobre la abertura que luego desaparece.Lo cual sugiere que con una malla mas fina, probablemente se puede obtener masdetalle en esta zona.

Comparando la energıa U, esta es significativamente mayor en todas las itera-ciones a la de los dos casos anteriores. Con lo cual se ratifica que esta estructura es

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mucho mas flexible y por lo tanto genera mas energıa interna de deformacion, quelas anteriores.

Comparando el resultado de la optimizacion topologica con los sugeridos en lareferencia [50], se aprecia que en principio la optimizacion reproduce los concep-tos de solucion propuestos como se deduce de la Figura (7.39) . En los dos casosaparecen concentracion de material en forma de diagonales principales y una zonade material paralela a la fibra inferior. El confinamiento de la abertura se logra enla optimizacion mediante diagonales, mientras que el modelo ”Strut-Tie-Model ”sugiere algunas componentes horizontales alrededeor de la abertura. La formacionde un sistema de diagonales sobre la abertura en el modelo ”Strut-Tie-Model” escomparable con la que se obtuvo en las iteraciones (g) a (i) de la Figura (7.42).

Se puede concluir, que si bien la optimizacion topologica no reproduce fielmentela solucion propuesta por el metodo ”Strut-Tie-Model”, si permite deducir con mayorprecision las componentes horizontales. La optimizacion se constituye de esta formaen un complemento del diseno.

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(a) i= 1, U = 569J (b) i= 2, U = 212J (c) i= 3, U = 127J

(d) i= 4, U = 88J (e) i= 5, U = 64J (f) i= 6, U = 50J

(g) i= 7, U = 41J (h) i= 8, U = 36J (i) i= 9, U = 32J

(j) i= 10, U = 30J (k) i= 11, U = 28J (l) i= 12, U = 27J

(m) i= 13, U = 26J (n) i= 14, U = 25J (o) i= 15, U = 24J

(p) i= 16, U = 24J (q) i= 17, U = 24J (r) i= 18, U = 23J

Figura 7.40: Optimizacion topologica de un muro de carga de forma rectangularsimplemente apoyado y solicitado por una carga puntual en la fibra superior. Mallade 1200 elementos. = 30%

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(a) i= 1, U = 938J (b) i= 2, U = 325J (c) i= 3, U = 182J

(d) i= 4, U = 110J (e) i= 5, U = 74J (f) i= 6, U = 55J

(g) i= 7, U = 45J (h) i= 8, U = 40J (i) i= 9, U = 38J

(j) i= 10, U = 37J (k) i= 11, U = 36J (l) i= 12, U = 36J

(m) i= 13, U = 36J (n) i= 14, U = 35J (o) i= 15, U = 35J

(p) i= 16, U = 35J (q) i= 17, U = 34J (r) i= 18, U = 34J

Figura 7.41: Optimizacion topologica de un muro de carga de forma irregular sim-plemente apoyado y solicitado por una carga puntual en la fibra superior. Malla de984 elementos. = 30%

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(a) i= 1, U = 1,125J (b) i= 2, U = 425J (c) i= 3, U = 254J

(d) i= 4, U = 185J (e) i= 5, U = 139J (f) i= 6, U = 113J

(g) i= 7, U = 95J (h) i= 8, U = 85J (i) i= 9, U = 79J

(j) i= 10, U = 76J (k) i= 11, U = 73J (l) i= 12, U = 72J

(m) i= 13, U = 70J (n) i= 14, U = 69J (o) i= 15, U = 69J

(p) i= 16, U = 68J (q) i= 17, U = 67J (r) i= 18, U = 67J

Figura 7.42: Optimizacion topologica de un muro de carga de forma irregular yabertura interior simplemente apoyado y solicitado por una carga puntual en lafibra superior. Malla de 856 elementos. = 30%

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7.3. Comportamiento con elementos triangulares

El segundo tipo de elemento finito elegido para la optimizacion de problemasbidimensionales, corresponde al elemento finito triangular lineal, cuyas propiedadesse dedujeron anteriormente.

7.3.1. Voladizo con malla triangular estructurada

Con un ligero cambio, al programa desarrollado para elementos rectangulares, sepresenta una version para elementos triangulares, bien sea para una malla estructu-rada o no estructurada

Figura 7.43: Esquema para el modelo de voladizo, a.) carga en la fibra superior, b.)carga en la fibra media y c. carga en la fibra inferior del costado derecho. d.) Discre-tizacion del modelo mediante una malla triangular estructurada de 400 elementos.

El esquema del modelo corresponde al segundo caso de verficacion y validaciondenominado Viga aperaltada en voladizo.

En este caso el dominio se discretiza medienta una malla estructurada de formatriangular de 400 elementos, tal como se indica en la Figura (7.43) (d).

Los parametros de optimizacion, ademas de los indicados al inıcio del Capıtulocorresponden a una fraccion de volumen de 50%.

En principio la malla triangular reproduce, en esencia, el comportamiento ob-tenido a partir de la malla rectangular. Como se deduce de comparar las Figuras7.44, 7.45 y 7.46 con las Figuras 7.9, 7.10 y 7.11 respectivamente. La topologıa seconserva pero los detalles en la forma de la concentracion del material son diferentes.

Observando con detenimiento los resultados se aprecia que la direccion de lamalla tiene una influencia en los resultados. Mientras que para el caso de los ele-

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mentos rectangulares la topologia de la optimizacion, para el voladizo solicitado porcarga en la fibra superior Figura (7.9) e inferior Figura (7.11) era identica. Parael caso de la malla triangular hay diferencias principalmente en la configuracion dela concentracion de material en forma de diagonal, lo cual resulta de comparar laFigura (7.44) con la Figura (7.46). En estos dos casos se aprecia, en especial, comola concentracion de material sobre la diagonal, en un caso tiene forma casi regularmientras que en el otro se presenta como una serıe de ”corbatines” encadenados.

Comparando la energıa de deformacion U se observa que la malla de elementostriangulares presenta valores mayores a los de la malla rectangular. Esto debibo aque en la malla triangular hay mas elementos.

.

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(a) i=1, U = 669J (b) i=2, U = 360J (c) i=3, U = 243J

(d) i=4, U = 174J (e) i=5, U = 127J (f) i=6, U = 100J

(g) i=7, U = 83J (h) i=8, U = 73J (i) i=9, U = 67J

(j) i=26, U = 50J (k) i=27, U = 49J (l) i=28, U = 49J

Figura 7.44: Optimizacion topologica de una viga aperaltada en voladizo, solicita-da por una carga puntual en la fibra superior del costado lateral derecho. Mallatriangular estructurada 20 x 20. = 30%

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(a) i=1, U = 480J (b) i=2, U = 313J (c) i=3, U = 209J

(d) i=4, U = 148J (e) i=5, U = 106J (f) i=6, U = 81J

(g) i=7, U = 67J (h) i=8, U = 57J (i) i=9, U = 52J

(j) i=14, U = 43J (k) i=15, U = 42J (l) i=20, U = 42J

Figura 7.45: Optimizacion topologica de una viga aperaltada en voladizo, solicitadapor una carga puntual en la fibra media del costado lateral derecho. Malla triangularestructurada 20 x 20. = 30%

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(a) i=1, U = 692J (b) i=2, U = 370J (c) i=3, U = 250J

(d) i=4, U = 182J (e) i=5, U = 136J (f) i=6, U = 110J

(g) i=7, U = 93J (h) i=8, U = 81J (i) i=9, U = 72J

(j) i=26, U = 55J (k) i=27, U = 55J (l) i=28, U = 55J

Figura 7.46: Optimizacion topologica de una viga aperaltada en voladizo, solicitadapor una carga puntual en la fibra inferior del costado lateral derecho. Malla triangularestructurada 20 x 20. = 30%

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