Mecnica Computacional Vol. XXII M. B. Rosales, V. H. Cortnez y D. V. Bambill (Editores)

Baha Blanca, Argentina, Noviembre 2003.

UNA GENERALIZACIN DE LA ECUACIN DE REYNOLDS PARA EL ANLISIS DE PROBLEMAS DE LUBRICACIN EN COJINETES

Pablo G. Girn y Vctor H. Cortnez

Grupo Anlisis de Sistemas Mecnicos Facultad Regional Baha Blanca, Universidad Tecnolgica Nacional

11 de abril 461, B8000LMI Baha Blanca, Argentina. TE: 54-0291-4555220 FAX: 0291 4555311 e-mail: vcortine@frbb.utn.edu.ar, web page: http://www.frbb.utn.edu.ar/gasm

Palabras clave: Lubricacin. Cojinetes. Elementos Finitos

Resumen. En el presente artculo se presenta una expresin generalizada de la ecuacin de Reynolds que gobierna el problema de lubricacin en cojinetes, tanto para el caso hidrodinmico (cojinetes absolutamente rgidos) como elasto-hidrodinmico (considerando la flexibilidad del cojinete). La generalizacin consiste en incluir trminos de penalizacin para corregir la ecuacin de Reynolds en las zonas donde se produce cavitacin. Dicha formulacin se implementa en forma computacional mediante el mtodo de elementos finitos, a travs del software Flex PDE.

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1 INTRODUCCIN La Teora de Lubricacin ha permitido el tratamiento de numerosos problemas tecnolgicos relacionados con la Mecnica de los Fluidos (lubricacin de cojinetes, procesamiento de polmeros, etc.). Dicha teora se expresa mediante la ecuacin bidimensional de Reynolds, que modeliza el comportamiento de una delgada pelcula de fluido, teniendo en cuenta una direccin preferencial de desplazamiento. De esta manera, el problema se reduce a la determinacin del campo de presiones en el fluido[1]. Este modelo ha sido aplicado profusamente en la solucin de diversos problemas de lubricacin en cojinetes, tanto para modelos ideales absolutamente rgidos, como asimismo teniendo en cuenta la elasticidad del material, lo que conduce a considerar las deformaciones producidas sobre el metal por efecto de la sobrepresin que se genera dentro del cojinete. Este tipo de fenmeno es importante en el caso de rodamientos o cojinetes de bolas, donde las cargas imperantes sobre las bolillas en la zona de contacto generan altas sobrepresiones que tienden a deformarlas. Tambin puede darse el fenmeno en cojinetes altamente cargados[2]. Las soluciones matemticas a la ecuacin de Reynolds predicen en muchos casos la existencia de una zona en la cual la presin es menor que la de saturacin del fluido (aproximadamente igual a la presin atmosfrica). No obstante es un hecho conocido que presiones ms bajas que la de saturacin originan la presencia de burbujas de aire. Este fenmeno se conoce como cavitacin. La cavitacin lleva a la ruptura de la pelcula de fluido, razn por la cual la ecuacin de Reynolds deja de ser vlida en dicha zona (esto es porque dicha ecuacin asume la continuidad de la pelcula fluida). La delimitacin de la zona cavitada es desconocida a priori, debiendo obtenerse en el mismo proceso de solucin. Matemticamente esto lleva a la generacin de un problema de borde libre[3]. Teniendo en cuenta la existencia de la zona de cavitacin, Gumbel[4] propuso despreciar las presiones negativas en la solucin de la ecuacin de Reynolds. De todas maneras no es as posible localizar en forma precisa la frontera entre la zona activa (presiones positivas) y la zona cavitada. Bsicamente, la inconsistencia radica en que se est utilizando la distribucin de presiones que surge de la ecuacin de Reynolds aplicada an en la zona de cavitacin. Uno de los modelos ms utilizados en la modelizacin del fenmeno de cavitacin, se denomina modelo de cavitacin de Reynolds y considera la continuidad del flujo a travs de la frontera libre que separa la zona activa de la zona cavitada. Este modelo introduce para la frontera libre las condiciones de localizacin: p = p/n = 0. Otros modelos de cavitacin, como el de Elrod-Adams[5] introducen la hiptesis de que en la zona de cavitacin existe una mezcla de fluido y aire definiendo una nueva variable ( x,y) que representa la concentracin de lubricante en el entorno del punto (x,y), es decir una funcin de saturacin que vale 1 en la zona activa y toma valores entre 0 y 1 en la zona cavitada. En este trabajo se presenta una solucin computacional del problema de lubricacin con cavitacin mediante una modificacin del modelo de Reynolds. El enfoque aludido ha sido implementado computacionalmente en el software Flex PDE[6,7]. Dicho software permite resolver, por medio de la aplicacin del Mtodo de Elementos Finitos (MEF), problemas de

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contorno formulados mediante ecuaciones diferenciales de segundo orden a derivadas parciales. El enfoque utilizado para modelizar el fenmeno de cavitacin, consiste en incorporar a la ecuacin de Reynolds un trmino de penalizacin que permite obtener en forma automtica la zona de cavitacin, consiguindose, de esta manera, resultados concordantes con los existentes en la literatura. La ecuacin de Reynolds as generalizada se torna no lineal. Este enfoque se extiende luego a otros problemas ms complejos que consideran la elasticidad del cojinete. El modelo computacional propuesto permite resolver con simplicidad problemas de alto inters tecnolgico ya que hace posible modelizar problemas reales en cojinetes para determinar su comportamiento fluidomecnico. Adems, debido a la facilidad de operacin del programa y a su excelente salida grfica, se constituye en una poderosa herramienta didctica para aplicaciones en los cursos de Mecnica de los Fluidos.

2 MODELO DE CAVITACIN DE REYNOLDS El modelo de cavitacin de Reynolds para flujo isotrmico incompresible en cojinetes rgidos con alimentacin axial (en x = 0), se expresa matemticamente, para el dominio que se muestra en la figura 1, mediante las siguientes ecuaciones (1):

( )hx

uyph

yxph

x

=

+

633

(1 a)

+> 0 enp (1 b)

0en 0 =p (1 c)

== en 0npp (1 d)

= en 0p (1 e) Donde: ( ) cos 1 += Ch (2) Con la siguiente notacin: x: coordenada circunferencial medida desde el punto de mximo espesor de pelcula y: coordenada axial p: presin : densidad del lubricante u: velocidad tangencial del eje : viscosidad del lubricante h: espesor de la pelcula

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C: huelgo radial : excentricidad radial Debe observarse que la ecuacin (1) es vlida solamente en la zona activa (+) mientras que en la zona cavitada (0) se impone que la presin sea nula. Sobre el contorno de la zona activa, la ecuacin est asociada a una condicin de contorno excepto en la interfase con la zona cavitada donde aparecen dos condiciones de borde. La condicin adicional es la que permite localizar dicha interfase. El problema as planteado est gobernado por una ecuacin lineal sobre un dominio desconocido a priori cuya localizacin exacta depende de las condiciones de presin.

Figura 1: Representacin grfica del dominio desarrollado del problema.

3 MODIFICACIN DEL MODELO DE REYNOLDS

3.1 Lubricacin con cavitacin en cojinetes rgidos

El modelo previamente descripto se formula a continuacin en forma diferente. La modificacin apunta a obtener una ecuacin que sea vlida tanto en la zona activa como en la zona cavitada. Para ello se incorpora en la ecuacin (1) un trmino de presin multiplicado por una constante extremadamente alta, llegando a la siguiente expresin:

( )hx

upNyph

yxph

x K =

+

633

(3)

Siendo:

La ecuacin (3) est asociada a la siguiente condicin de borde:

= en 0p (4)

Puede apreciarse que en la zona activa KN = 0, por lo que la ecuacin de Reynolds retoma su forma original. En cambio en la zona cavitada, el trmino agregado forzar a que la presin se anule. Es fcil entender esto si se divide la ecuacin (3) por la constante KN y se considera que esta tiende a infinito. Teniendo en cuenta que la presin y sus derivadas deben tomar valores finitos, los trminos originales de la ecuacin tendern a cero, quedando solo el trmino adicional que indicar p = 0. Desde el punto de vista numrico solo es necesario asumir un valor muy grande para KN lo que asegurar que la presin toma un valor despreciable en la zona cavitada. El signo - del trmino agregado responde a una cuestin de estabilidad numrica. Es interesante notar que las condiciones de borde se plantean en el dominio completo del problema haciendo caso omiso de la zona cavitada. De todas maneras teniendo en cuenta el hecho de que la presin debe anularse por la forma de la ecuacin en la dicha zona, y considerando que no se ha impuesto ninguna discontinuidad para la presin, la condicin de borde de cavitacin (1 d) se cumplir de manera automtica. Una forma interesante de razonar este enfoque es mediante una analoga con el caso de una membrana sobre una fundacin elstica unidireccional. Finalmente desde el punto de vista de la formulacin variacional del problema, el trmino agregado se denomina de penalizacin. En consecuencia, en esta formulacin, debe resolverse un problema diferencial sobre un dominio fijo. La localizacin de la zona cavitada se ha trasladado a la ecuacin diferencial. El precio que debe pagarse por considerar un dominio fijo es tratar con una ecuacin de Reynolds no lineal. De todas maneras, la ecuacin as generalizada es conveniente para la aplicacin de eficientes mtodos numricos que se basan en la formulacin diferencial, tales como el mtodo de cuadratura diferencial[8]. En el presente trabajo esta ecuacin se ha desarrollado para ser resuelta mediante el programa Flex-PDE, que es un poderoso solver de ecuaciones diferenciales a derivadas parciales. Internamente este solver transforma de manera simblica, el problema diferencial en uno variacional mediante el mtodo de Galerkin, y finalmente procede a la solucin numrica del problema utilizando el mtodo de los elementos finitos.

3.2 Lubricacin elastohidrodinmica con cavitacin

En algunos casos industriales, la presin del lubricante puede producir deformaciones elsticas apreciables en el cojinete. Dicha deformacin modifica el espesor de la pelcula lubricante y, en consecuencia, la distribucin de presiones.

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Luego, para determinar en forma precisa la distribucin de presiones debe abordarse el problema acoplado de la hidrodinmica del cojinete y la deformacin elstica del mismo, conocido como lubricacin elastohidrodinmica. Una aproximacin razonable para describir el comportamiento elstico de un cojinete muy delgado es modelizarlo como una placa elstica simplemente apoyada en los bordes laterales [9]. Teniendo en cuenta lo dicho anteriormente, el huelgo entre cojinete y eje toma la forma:

),()()( yxwxhxht += (5) donde w(x,y) representa el desplazamiento transversal que se produce en el cojinete debido a la accin de la presin. Haciendo uso de la ecuacin generalizada de Reynolds, descripta en el apartado anterior el problema elastohidrodinmico se expresa matemticamente en la forma:

( )hx

upppyp

yxp

x KKKhh

FCN =

+

6

33 (6 a)

02

2

2

2

=++

p

yx (6 b)

02

2

2

2

=+

+

yxww

(6 c)

Donde:

( ) wxCh ++= cos 1 (7 a)

ecuaciones diferenciales (Modelo de Marcus) Las ecuaciones (6) estn asociadas a las siguientes condiciones de borde:

0)1x,(,0)x ( )1x,(,0)x ( )1x,(,0)x ( ====== wwpp (8 a) ),(2z)0, ( zpp = (8 b) ),(2z)0, ( zww = (8 c) ),(2z)0, ( z = (8 d)

z),2 (z)0, ( xp

xp

=

(8 e)

z),2 (z)0, ( xw

xw

=

(8 f)

z),2 (z)0, ( xx

= (8 g)

Las condiciones (8a) en los bordes laterales del cojinete expresan que la placa est simplemente apoyada y que los valores de p son iguales a cero (presin atmosfrica). Las ecuaciones (8b) a (8g) expresan condiciones cclicas que garantizan la continuidad en x = 0. La alimentacin de lubricante a presin atmosfrica se ha impuesto con el agregado de los trminos de penalizacin KC y KF en la ecuacin diferencial, en forma similar al apartado anterior para la zona cavitada.

4 RESULTADOS NUMRICOS

Para los ejemplos numricos se ha considerado = 0.9 y C = 1 en la definicin del espesor de pelcula h(x). En primer lugar se resolvi el problema de lubricacin en un cojinete rgido de longitud infinita (modelo unidimensional). En la figura 2.a se muestra la distribucin de presiones obtenida mediante el modelo de Gumbel. Esto es, se resolvi la ecuacin sin considerar cavitacin, y luego se anul la presin donde la solucin arroj valores negativos. En la figura 2.b se muestra la distribucin de presiones determinada mediante el presente modelo de Reynolds modificado. De la comparacin entre ambas soluciones se desprende que la presin en el modelo con cavitacin alcanza valores mayores que en el modelo de Gumbel. Por otra parte, la extensin de la zona activa es mayor en el modelo con cavitacin. Estas diferencias pueden acentuarse en otros casos lo que implicara un mayor efecto de la cavitacin en el clculo de la carga que soporta el cojinete as como de su direccin. Cabe aclarar que los presentes resultados son coincidentes con soluciones analticas disponibles en la literatura. La figura 3 muestra resultados anlogos determinados para un cojinete finito de longitud L =

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1. Los comentarios generales realizados para la solucin unidimensional son vlidos tambin en este caso. Por otra parte comparando la solucin bidimensional con la unidimensional se aprecia que la primera arroja valores de presiones pico ms bajos que los correspondientes al caso unidimensional. Adems la distribucin de presiones es notablemente diferente debido a la disminucin de las presiones hasta valores nulos en los extremos. Esto puede apreciarse en la figura 4. Se han calculado tambin resultados para el problema elastohidrodinmico con cavitacin considerando cuatro diferentes grados de rigidez del cojinete ( = 0.05, = 0.1, = 0.5 y >> 0). La longitud axial de los cojinetes es de L = 2. Los resultados se muestran en la figura 5. En el caso del cojinete con gran rigidez flexional ( = 10000) se observa que la distribucin de presiones reproduce los valores obtenidos para el cojinete infinitamente rgido. Se observa tambin que los valores mximos de presin disminuyen a medida que aumenta la flexibilidad del cojinete.

La figura 6 muestra la distribucin de la deformacin elstica del cojinete para una rigidez de = 0.5. Finalmente la figura 7 muestra el espesor de pelcula considerando la deformacin del cojinete.

X

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0

Presion

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

a1 2

X0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0

Presion

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

a

1 2

Figura 2.a: Modelo Unidimensional eliminando la zona

cavitada (cojinete rgido) Figura 2.b: Modelo Unidimensional con el presente

enfoque (cojinete rgido)

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X

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0

Presion

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

a1 2

X0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0

Presion

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

a1 2

Figura 3.a: Modelo Bidimensional eliminando la zona

cavitada (cojinete rgido) Figura 3.b: Modelo Bidimensional con el presente

enfoque (cojinete rgido)

FlexPDE 2.14cpre(-4.43,-17.3, 30.0)

5.40 5.10 4.80 4.50 4.20 3.90 3.60 3.30 3.00 2.70 2.40 2.10 1.80 1.50 1.20 0.90 0.60 0.30 0.00-0.30

Figura 4: Diagrama Tridimensional de Presiones en un cojinete rgido utilizando el presente enfoque

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X

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0

Presion

E-2

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

25.0

30.0

35.0

a1 2

X0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0

Presion

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

a

1 2

Figura 5.a: Presiones mximas en un cojinete Elstico con

= 0.05, de acuerdo con el presente enfoque Figura 5.b: Presiones mximas en un cojinete Elstico con

= 0.1, de acuerdo con el presente enfoque

X

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0

Presion

0.0

0.3

0.6

0.9

1.2

a1 2

X0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0

Presion

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

a1 2

Figura 5.c: Presiones mximas en un cojinete Elstico con

= 0.5, de acuerdo con el presente enfoque. Figura 5.d: Presiones mximas en un cojinete Elstico con

>> 0, de acuerdo con el presente enfoque

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w(-4.43,-17.3, 30.0)

0.21 0.20 0.19 0.18 0.17 0.16 0.15 0.14 0.13 0.12 0.11 0.10 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00

0.00

Figura 6: Deformacin w en un cojinete elstico con = 0.5 segn el presente enfoque

h+w(-4.43,-17.3, 30.0)

2.00 1.90 1.80 1.70 1.60 1.50 1.40 1.30 1.20 1.10 1.00 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10

Figura 7: h + w en un cojinete elstico con = 0.5 segn el presente enfoque

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5 CONCLUSIONES

Se ha presentado una nueva formulacin del modelo de cavitacin de Reynolds. En el mismo se utiliza una ecuacin de Reynolds generalizada no lineal que es vlida en todo el dominio. La zona cavitada se obtiene automticamente al resolver dicha ecuacin. El modelo se implement en el solver de elementos finitos FlexPDE . Se presentaron algunos ejemplos de lubricacin con cavitacin en cojinetes rgidos y flexibles. Es importante hacer notar que esta tcnica puede aplicarse a problemas de mayor generalidad (viscosidad variable con la presin, problemas no isotrmicos, geometras de mayor complejidad, etc.) que tienen lugar en el mbito industrial. Por otra parte el modelo propuesto puede ser tambin de utilidad en combinacin con otras tcnicas numricas basadas en la formulacin diferencial.

6 REFERENCIAS

[1] O. Pinkus and B. Sternlicht - 1961 - Theory of Hydrodynamic Lubrication. McGraw Hill Book Company.

[2] D. Dowson and G.R. Higginson - 1977 - Elasto-Hydrodynamic Lubrication. Pergamon Press.

[3] J. Durany, G. Garca and C. Vzquez - 1996 - Applied Mathematical Modelling. 20. Numerical computacional of free boundary problems in elastohydrodynamic lubrication.

[4] L. Gumbel and E. Everling. - 1925 - Reibung und Schmierung im Maschinenbau. M. Krayn, Berln.

[5] N. Calvo, J. Durany and C. Vzquez - 1996 - Mtodos Numricos para Clculo y Diseo en Ingeniera 13,2, 185 - 209. Comparacin de Algoritmos Numricos en Problemas de Lubricacin Hidrodinmica con Cavitacin en Dimensin Uno.

[6] Flex PDE User Guide - 2000 - PDE Solutions Inc. (www.pdesolutions.com)

[7] V.H.Cortnez y S.P.Machado.Fluid-Structure Interaction Analysis by means of Flex-PDE APPLIED MECHANICS IN THE AMERICAS, Vol. 9, 301-304, 2002.

[8] V.H. Cortnez, M.T. Piovan y S. Machado. Differential Quadrature Method for Vibration Analysis of Composite Thin Walled Curved Beams JOURNAL OF SOUND AND VIBRATION , Vol. 246, 551-555, 2001.

[9] J. Durany, G. Garca and C. Vzquez - 1997 - Mathematical Modelling and Numerical Analysis 31, 495 - 516. An Elastohydrodynamic Coupled Problem between a Piezoviscous Reynolds Equation and a Hinged Plate Model.

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