UNIDAD EDUCATIVA PRIVADA“COLEGIO COLON”

MARACAIBO – ESTADO ZULIA

APUNTES DE MATEMATICA PARA EL ESTUDIO DE

POLINOMIOS Y DIVISIBILIDAD

Alumno: _______________________________________

2º de Ciencias. Sección “___ “

Prof.: Pedro Nava

1

POLINOMIOS

1.- DEFINICIÓN DE POLINOMIO.

Un polinomio P en la variable x es un objeto matemático de la forma:

P ( x )=an xn+an−1 x

n−1+an−2 xn−2+⋯+a2 x

2+a1 x1+a0 x

0

Donde n es un entero positivo

El polinomio se puede escribir abreviadamente usando sumatorias como:

P ( x )=∑i=0

n

a i xi

A cada uno de los sumandos se les llama término. A las constantes a0 , a1 ,⋯ an se les llama

los coeficientes del polinomio. El coeficiente a0 se conoce como el término independiente y a

an, el coeficiente principal. La mayor potencia de la variable x, es decir n, es el grado del

polinomio.

2.- CLASIFICACIÓN DE LOS POLINOMIOS SEGÚN EL NÚMERO DE TÉRMINOS

1. Monomio: Es un polinomio que consta de un sólo término.

P ( x )=2x2

2. Binomio: Es un polinomio que consta de dos términos.

P ( x )=2x2+3 x

3. Trinomio: Es un polinomio que consta de tres términos.

P ( x )=2x2+3 x+4

Cuando tienen más de tres términos se les llama polinomios en general.

3.- IGUALDAD DE POLINOMIOS

Dos polinomios son iguales si tienen el mismo grado y sus coeficientes de igual grado, son

iguales.

4.- POLINOMIO OPUESTO

Dos polinomios se dicen que son opuestos si sus coeficientes, de igual grado, son

opuestos. Para indicar que es el polinomio opuesto se ubica un "-" delante del polinomio.

P ( x )=5 x3−2x2+3 x−4⇒−P ( x )=−5 x3+2 x2−3x+4

2

5.- VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO

El valor numérico de un polinomio es el número que se obtiene al sustituir la variable x por

un valor dado.

Ejemplo: Sea P ( x )=5 x3−2x2+3 x−4, hallar los valores numéricos para los valores

indicados de la variable:

a) P (1 )=5 (1 )3−2 (1 )2+3 (1 )−4⇒ P (1 )=2

b) P (−2 )=5 (−2 )3−2 (−2 )2+3 (−2 )−4⇒P (−2 )=−58

6.- POLINOMIO ORDENADO

Se dice que un polinomio esta ordenado cuando los exponentes de sus variables están

ordenados. Si los exponentes se ordenan de menor a mayor se dice que el polinomio esta

ordenado en forma creciente, y en forma decreciente si lo están de mayor a menor.

Ejemplo: Ordenar el siguiente polinomio en forma creciente y decreciente.

P ( x )=2x+4 x3+3−5 x2

Forma decreciente:

P ( x )=4 x3−5x2+2 x+3

Forma creciente:

P ( x )=3+2 x−5 x2+4 x3

7.- POLINOMIO COMPLETO

Se dice que un polinomio está completo cuando aparecen todos los términos de los

diferentes grados de las variables desde el exponente 0 hasta el exponente n. Si un polinomio

esta incompleto podemos completarlo colocando los términos faltantes con coeficiente cero.

Ejemplo:

Polinomio incompleto: P ( x )=5 x4−3 x2+3

Polinomio completo: P ( x )=5 x4+0 x3−3 x2+0 x+3

8.- TÉRMINOS SEMEJANTES.

Dos términos se dice que son semejantes cuando tienen la misma variable y el mismo

grado.

Ejemplos:

a) 5 x4 y −2 x4 b) 7 x y 9 x c) −3 x2 y 10 x2

3

9.- SUMA O ADICIÓN DE POLINOMIOS

Para sumar dos o más polinomios basta sumar algebraicamente sus términos

semejantes. Recuerda que al sumar los términos semejantes solo se suman los

coeficientes sin alterar el grado de las variables.

10.- RESTA O DIFERENCIA DE POLINOMIOS

Para restar dos polinomios sumamos al minuendo el opuesto del polinomio

sustraendo.

P ( x )−Q (x )=P ( x )+[−Q ( x ) ]11.- MULTIPLICACIÓN O PRODUCTO DE POLINOMIOS

Para realizar el producto de polinomios bastará aplicar la propiedad distributiva de

la multiplicación con respecto a la suma, multiplicando cada uno de los términos del

primer polinomio por cada uno de los términos del segundo, y al final se agrupan los

términos semejantes.

Ejemplos:

Dados los polinomios:

P ( x )=5 x4+3 x3−3x2−2x+3, Q ( x )=2 x4−6 x2−8 x−5, R ( x )=3 x2−2x+2

Hallar: a) P ( x )+Q ( x ) b) P ( x )−Q (x ) c)R ( x ) . P ( x )

a) P ( x )+Q ( x )=(5 x4+3 x3−3 x2−2 x+3 )+(2 x4−6 x2−8x−5 )

P ( x )+Q ( x )=7 x4+3 x3−9x2−10 x−2

b) P ( x )−Q (x )=P ( x )+[−Q ( x ) ]

P ( x )−Q (x )=(5 x4+3 x3−3x2−2x+3 )+(−2x4+6x2+8 x+5 )

P ( x )−Q (x )=3x 4+3x3+3 x2+6 x+8

c) R ( x ) . P ( x )=(3 x2−2x+2 ) . (5 x4+3 x3−3 x2−2x+3 )

R ( x ) . P ( x )=15 x6+9x5−9x 4−6 x3+9 x2−10 x5−6 x4+6 x3+4 x2−6 x

+10 x4+6 x3−6 x2−4 x+6

R ( x ) . P ( x )=15 x6−x5−5 x4+6 x3+7x2−10 x+6

12.- DIVISIÓN DE POLINOMIOS

4

Dividir un polinomio D ( x ), que llamaremos dividendo, entre un polinomio d ( x ) que

llamaremos divisor, es encontrar un polinomio C ( x ) que llamamos cociente y otro R ( x )

que llamamos residuo tal que:

D ( x )=d ( x ) .C ( x )+R ( x )

Los grados de los polinomios involucrados en la división deben cumplir que:

° D ( x )≥° d ( x ) , °C ( x )=°D ( x )−° d ( x )° R ( x )<° d (x )

Para dividir polinomios nos basamos en el algoritmo de la división, cuyo

procedimiento lo veremos en el siguiente ejemplo.

Sean D ( x )=4 x4−8 x3+6 x2+10 x−3 y d ( x )=2 x2+4 x−3, hallemos C ( x ) y R ( x ).

4 x4−8 x3+6 x2+10x−32 x2+4 x−3

−4 x4−8 x3+6 x2 2 x2−8 x+22

−16 x3+12x2+10 x

16 x3+32x2−24 x

44 x2−14 x−3

−44 x2−88 x+66

−102 x+63

C ( x )=2 x2−8 x+22R ( x )=−102x+63

1° Paso: Completamos y ordenamos los polinomios en forma decreciente.

2° Paso: Dividimos el primer término del dividendo entre el primer término del divisor:

4 x4

2 x2=2 x2

Este será el primer término del cociente.

3° Paso: Multiplicamos el resultado por el divisor y el resultado se lo restamos al dividendo, es

decir sumamos su opuesto.

2 x2 (2 x2+4 x−3 )=4 x4+8 x3−6 x2

4° Paso: Al resultado de la suma agregamos el término que sigue en el dividendo:

−16 x3+12x2+10 x

5° Paso: Repetimos el procedimiento hasta el residuo tenga grado menor que el divisor.

EJERCICIOS PROPUESTOS

5

1.- Señala cuales de las siguientes expresiones son polinomios y cuáles no. Indica porque.

a) P ( x )=2x5−3x2+√5b) Q ( x )=2 x5+3 x−2−3 x2+1

c) R ( x )=5 x3−3 x2+√x

d) T ( x )=4 x−3 x23+1

2.- Señala si los siguientes polinomios están completos y ordenados. Si no lo están

complétalos y ordénalos, e indica: grado, numero de términos, término independiente

y coeficiente principal.

a) P ( x )=4 x−3x 4−3+x3−2 x2

b) P ( x )=5 x−3 x3+7−2 x5

c) P ( x )=2x 4−3 x+3−5 x2

3.- Dados los siguientes polinomios:

P ( x )=6 x4+3 x3−16 x2−9 x+2 Q ( x )=−6 x4+5 x3+20x2−10 x+12

R ( x )=2 x4−7 x3+5 x2+8 x−9 S ( x )=−3 x2−2x+4

T ( x )=5 x2+3 x−2 V ( x )=2 x2+3 x−1

Determina:

a) P (−2 )

b) Q (3 )

c) R( 32 )d) P ( x )+R (x)

e) Q ( x )−P(x )

f) Q ( x )+P ( x )−R (x)

g) S ( x ) . T ( x )

h) T ( x ) .V ( x )

i) P ( x )÷V ( x )

j) Q ( x )÷S ( x )

DIVISIBILIDAD.

6

1.- DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS.

Un polinomio P(x) es divisible entre otro polinomio Q(x) si el resto de la división de

P(x) entre Q(x) es cero. En ese caso diremos que P(x) es múltiplo de Q(x) o que Q(x) es

divisor de P(x). Si el cociente de la división de P(x) entre Q(x) es C(x), se cumple que C(x)

es también divisor de P(x).

2.- TEOREMA DEL RESTO

El resto de la división de un polinomio P(x ), entre un polinomio de la forma ( x−a )

es el valor numérico de dicho polinomio para el valor x=a.

Por el algoritmo de la división tenemos que:

D ( x )=d ( x ) .C ( x )+R ( x )⇒P ( x )=( x−a ) .Q ( x )+R

Si hallamos el valor numérico de P(a) en la expresión anterior nos queda:

P ( x )=( x−a ) .Q ( x )+R⇒P (a )=(a−a ) .Q (a )+R⇒P (a )=R

El teorema del resto nos permite averiguar si un polinomio es divisible entre otro de

la forma ( x−a ) sin necesidad de realizar la división.

De la misma forma podemos demostrar que el resto que resulta de dividir un

polinomio P(x ), entre un polinomio de la forma (ax−b ) es el valor numérico de dicho

polinomio para el valor x=ba

.

Ejemplos.

1. Determine el resto que resulta al dividir P ( x )=4 x 4−8 x3+6 x2+10 x−3 entre ( x−2 ).

Indique si el polinomio P ( x ) es divisible entre ( x−2 ).

R=P (2 )=4 (2 )4−8 (2 )3+6 (2 )2+10 (2 )−3⇒R=41

Como R≠0 concluimos que P ( x ) no es divisible entre ( x−2 ).

2. Determine si el polinomio P ( x )=2x3−5x2+2 x+21 es divisible entre (2 x+3 ).

Calculemos el resto por el teorema del resto:

R=P (−32 )=2(−32 )3

−5(−32 )2

+2 (−32 )+21⇒ R=0

7

Como R=0 concluimos que P ( x ) es divisible entre (2 x+3 ).

3. Determine el valor de m para que el polinomio P ( x )=2mx3−6 x2−3mx+5 deje

residuo 4 al ser dividido por (3 x−1 ).

El resto de la división es 4, así que según el teorema del resto:

R=P ( 13 )=4⇒2m( 13 )3

−6 ( 13 )2

−3m( 13 )+5=429m−2

3−m+5=4⇒ 2

9m−m=4+ 2

3−5⇒−7

9m=−1

3

79m=1

3⇒m= 9

21⇒m=3

7

3.- DIVISIÓN SINTÉTICA O REGLA DE RUFFINI

Paolo Ruffini (1765, 1822) fue un matemático italiano, que estableció un método

más breve para realizar la división de polinomios, cuando el divisor es un binomio de la

forma ( x−b ), aunque el método puede extenderse para divisores de la forma (ax−b ). El

método de Ruffini nos permite determinar el cociente y el residuo de la división solo

manipulando los coeficientes de los polinomios.

Para realizar la división sintética debemos seguir el siguiente procedimiento.

Dividamos por ( x−b ) el polinomio:

P ( x )=an xn+an−1 x

n−1+an−2 xn−2+⋯+a2 x

2+a1 x1+a0 x

0

Paso N° 1: Copiamos los coeficientes del polinomio dividendo completo y ordenado

en forma decreciente, y trazamos dos líneas como se indica a continuación, colocando

en la esquina superior izquierda el valor de b, y debajo de la línea horizontal cn−1=an

anan−1an−2⋯ a2a1a0

b

cn−1

8

Paso N° 2: Multiplicamos b por cn−1 y colocamos el resultado debajo del segundo

coeficiente y efectuamos la suma obteniendo cn−1:

cn−2=an−1+b . cn−1

anan−1an−2⋯ a2a1a0

b b . cn−1

cn−1 cn−2

Paso N° 3: Multiplicamos b por cn−2 y colocamos el resultado debajo del tercer

coeficiente y efectuamos la suma obteniendo cn−3:

cn−3=an−2+b . cn−2

anan−1an−2⋯ a2a1a0

b b . cn−1 b . cn−2 ⋯

cn−1 cn−2 cn−3 ⋯

Paso N° 4: Repetimos la operación anterior hasta llegar al último coeficiente:

anan−1an−2⋯ a2a1a0

b b . cn−1 b . cn−2 ⋯ b . c2 b . c1 b . c0

cn−1 cn−2 cn−3 ⋯ c1 c0 r

c0, c1, ⋯ , cn−1 Son los coeficientes del cociente que será un grado menor que el

polinomio dividendo.

El último valor r es el resto o residuo de la división.

C ( x )=cn−1 xn−1+cn−2 x

n−2+⋯+c2 x2+c1 x

1+c0 x0

R=r

Ejemplo: Determinar el cociente y el residuo de la siguiente división utilizando el

método de Ruffini:

(4 x4−6 x2+10 x−3 )÷ ( x+2 )

9

Colocamos los coeficientes completos y ordenados en forma decreciente antes de

comenzar a operar:

4 0−610−3

−2 −816−2020

4−810−1017

Cociente: 4 x3−8 x2+10 x−10 Residuo: R=17

Cuando el divisor es de la forma (ax−b ), procedemos a dividir tanto el polinomio

dividendo como el polinomio divisor por a, efectuando la división de los polinomios

resultantes. El cociente será el mismo para la división original, pero el residuo quedará

dividido por a, por lo que habrá que multiplicarlo por esa cantidad para obtener el

residuo de la división original.

Ejemplo: Determine el cociente y el residuo de la siguiente división utilizando el

método de Ruffini:

(4 x5−5 x3+3 x+4 )÷ (2x−3 )

Dividimos ambos polinomios por 2:

( 42 x5−52 x3+32 x+ 42 )÷( 22 x−32 )⇒(2 x5−52 x3+ 32 x+2)÷ (x−32 )

20−520322

32

3923929

2323611

Cociente: C ( x )=2 x4+3 x3+2x2+3 x+11

Residuo: R=11 .2=22

4.- RAÍCES O CEROS DE UN POLINOMIO. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES ALGEBRAICAS.

FACTORIZACIÓN.

Se llama raíz o cero de un polinomio P ( x ), a todos los valores de la variable x, que

anulan el polinomio. Simbólicamente:

10

x es raíz de P ( x )⇔P ( x )=0

Hallar las raíces de un polinomio P ( x ), es resolver la ecuación algebraica P ( x )=0.

El número de raíces de un polinomio es igual al grado del polinomio, y estas pueden

ser reales o imaginarias. Las raíces reales pueden ser racionales (enteras o fraccionarias)

e irracionales. Aquí trataremos cómo determinar las raíces racionales de un polinomio

es decir enteras y fraccionarias, aplicando el método de Ruffini.

Una vez determinadas las raíces x i, escribimos los factores de la forma (x−x i ) por

los que el polinomio es divisible y por lo tanto en los que podemos descomponer el

polinomio factorizándolo de la forma:

P ( x )=(x−x1 ) . (x−x2 ) . (x−x3 )⋯ (x−xn )

4.1.- RAÍCES ENTERAS DE UN POLINOMIO

Si un polinomio P ( x ) tiene raíces enteras, estas deben ser divisores del término

independiente del polinomio. Para determinar las raíces enteras identificamos el

termino independiente del polinomio y sus divisores (positivos y negativos) que

llamaremos p, y luego aplicando la regla de Ruffini sucesivamente tanteamos con los

diferentes valores de p, y determinamos cuales de estos anulan el polinomio, es decir

cuales dejan residuo cero.

Ejemplo: Determine las raíces enteras del siguiente polinomio y escriba su

factorización:

P ( x )=x4+5 x3+5 x2−5 x−6

Como el polinomio es de grado cuatro entonces debe tener cuatro raíces.

Busquemos las enteras.

Identificamos el término independiente y sus divisores:

a0=−6⇒ p=±1 , ±2 ,±3 , ±6

Aplicamos sucesivamente Ruffini hasta hallar las cuatro raíces si todas son enteras.

155−5−6

−1 −1−4−16

141−60

1 156

1560

−2 −2−6

11

130

−3 −3

10

Las raíces enteras del polinomio son:

x1=−1 x1=1x1=−2 x1=−3

La factorización del polinomio es:

P ( x )=x4+5 x3+5 x2−5 x−6=( x+1 ) (x−1 ) ( x+2 ) ( x+3 )

4.2.- RAÍCES FRACCIONARIAS DE UN POLINOMIO

Si un polinomio P ( x )=an xn+an−1 x

n−1+an−2 xn−2+⋯+a2 x

2+a1 x1+a0 tiene raíces

fraccionarias de la forma pq

, el numerador p debe ser un divisor del término

independiente a0 y q un divisor del coeficiente principal an.

Para determinar las raíces fraccionarias identificamos el término independiente del

polinomio y sus divisores (positivos y negativos) que llamaremos p, y el coeficiente

principal q y sus divisores. Con p y q determinados, formamos todas las fracciones

diferentes pq

. Luego aplicando la regla de Ruffini sucesivamente tanteamos con los

diferentes valores de pq

, y determinamos cuales de estos anulan el polinomio, es decir

cuales dejan residuo cero. Es conveniente averiguar primero cuales son las raíces enteras

y luego buscar las fraccionarias. Se puede observar que para que un polinomio tenga

posibles raíces fraccionarias an debe ser diferente de uno.

Ejemplo: Determine las raíces enteras y fraccionarias del siguiente polinomio y

escriba su factorización:

P ( x )=6 x4−5 x3−39 x2−4 x+12

Identificamos el término independiente y el coeficiente principal y escribimos sus

divisores:

a0=12⇒ p=±1 ,±2 , ±3 , ±4 ,±6 , ±12

an=6⇒q=±1 ,±2 , ±3 , ±6

Escribimos las posibles raíces fraccionarias pq

:

pq=± 1

2, ±13, ±16,±23, ±32, ±43

12

Aplicamos Ruffini, primero tanteando con las enteras y luego con las fraccionarias:

6−5−39−4 12

−2 −123410−12

6−17−560

3 183−6

61−20

12

32

6 40

−23

−4

60

Las raíces racionales del polinomio son:

x1=−2 x1=3x1=12x1=

−23

La factorización del polinomio es:

P ( x )=6 x4−5 x3−39 x2−4 x+12=6. ( x+2 ) ( x−3 )( x−12 )(x+ 23 )P ( x )=6 x4−5 x3−39 x2−4 x+12=( x+2 ) ( x−3 ) (2 x−1 ) (3 x+2 )

5.- MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS

El método de los coeficientes indeterminados para la división de polinomios se basa

en el principio de la igualdad de polinomios.

Dado que en la división conocemos el dividendo y el divisor, y la forma que deben

tener tanto el cociente como el residuo, podemos escribir estos con coeficientes

desconocidos a determinar; y luego podemos establecer mediante el algoritmo de la

división una relación entre los coeficientes, y por medio del principio de igualdad

establecer las ecuaciones necesarias para la determinación de estos.

Recordemos que: Dividir un polinomio D ( x ), que llamaremos dividendo, entre un

polinomio d ( x ) que llamaremos divisor, es encontrar un polinomio C ( x ) que llamamos

cociente y otro R ( x ) que llamamos residuo tal que:

D ( x )=d ( x ) .C ( x )+R ( x )

Los grados de los polinomios involucrados en la división deben cumplir que:

° D ( x )≥° d ( x ) , °C ( x )=°D ( x )−° d ( x )° R ( x )=° d ( x )−1

13

Ejemplo: Resolver por el método de los coeficientes indeterminados la siguiente

división:

(6 x5−5 x3−8 x2+4 x+9 )÷ (2 x2−3 x+4 )

Identifiquemos cada uno de los polinomios involucrados y sus respectivos grados:

Dividendo: D ( x )=6 x5−5 x3−8 x2+4 x+9 ⇒ ° D ( x )=5

Divisor: d ( x )=2 x2−3x+4 ⇒ ° d ( x )=2

Cociente: ° C ( x )=°D ( x )−° d ( x )=5−2=3 ⇒C (x )=A x3+B x2+Cx+D

Residuo: ° R (x )=°d ( x )−1=2−1=1 ⇒ R ( x )=Ex+F

Aplicando el algoritmo de la división:

D ( x )=d ( x ) .C ( x )+R ( x )

(6 x5−4 x3−8 x2+4 x+9 )=(2 x2−3 x+4 ) ( A x3+Bx2+Cx+D )+(Ex+F )

6 x5−4 x3−8 x2+4 x+9=2 Ax5−3 A x 4+4 A x3+2Bx4−3B x3+4 B x2+2Cx3−3C x2

+4Cx+2Dx2−3Dx+4D+Ex+F

Agrupamos términos semejantes:

6 x5−4 x3−8 x2+4 x+9=2 Ax5+ (−3 A+2B ) x4+(4 A−3 B+2C ) x3

+(4B−3C+2D ) x2+ (4C−3D+E ) x+(4D+F )

Aplicando el principio de igualdad de polinomios obtenemos las ecuaciones:

x5→2 A=6⇒ A=62⇒ A=2

x4→−3 A+2 B=0⇒−3 (2 )+2B=0⇒−6+2 B=0⇒2 B=6

⇒B=62⇒B=3

x3→4 A−3 B+2C=−4⇒ 4 (2 )−3 (3 )+2C=−4⇒8−9+2C=−4

⇒2C=−4−8+9⇒2C=−3⇒C=−32

x2→4 B−3C+2D=−8⇒ 4 (3 )−3(−32 )+2D=4⇒12+ 92+2D=4

⇒2D=4−12−92⇒ 2D=−25

2⇒D=−25

4

x→4C−3D+E=4⇒ 4(−32 )−3(−254 )+E=4⇒−6+ 754

+E=4

14

E=4+6−754⇒ E=−35

4

x0→4 D+F=9⇒4 (−254 )+F=9⇒−25+F=9⇒F=9+25⇒F=36

Cociente:

C ( x )=A x3+Bx2+Cx+D⇒C ( x )=2x3+3 x2−32x+−25

4

Residuo:

R ( x )=Ex+F⇒R ( x )=−354x+36

EJERCICIOS PROPUESTOS

I PARTE. Resuelve aplicando el Teorema del Resto.

1) Determine sin realizar la división el resto que resulta en las siguientes divisiones. Indica si

los polinomios son divisibles entre los binomios dados.

a) (3 x3−5 x2+6x−9 )÷ ( x+2 )

b) (5 x3+3x2−2x+5 )÷ ( x−3 )

c) (x3−4 x2+2x+1 )÷ (2x−1 )

d) (2 x3−2 x2+3 x−6 )÷ (3 x+2 )

2) Determine el valor de n para que el polinomio 2nx3−2 x2+3 x−6 n sea divisible entre el

binomio (2 x−1 ).

3) Determine el valor de m para que al dividir el polinomio 3 x3−4mx2+5mx−3 entre el

binomio (2 x+3 ) el resto de la división sea 7.

II PARTE. Resuelve aplicando Ruffini.

1) Determina el cociente y el residuo en las siguientes divisiones.

a) (3 x3−5 x2+6x−9 )÷ ( x+2 )

b) (5 x3+3x2−2x+5 )÷ ( x−3 )

c) (x3−4 x2+2x+1 )÷ (2x−1 )

d) (2 x3−2 x2+3 x−6 )÷ (3 x+2 )

15

2) Determina las raíces enteras y fraccionarias de los siguientes polinomios y factorizarlos.

a) 6 x4−15x3−27x2−28x+12

b) 6 x4+7 x3−4 x2−7 x−2

c) 12 x4−52 x3−43 x2−13 x+10

III PARTE. Resuelve aplicando el método de los coeficientes indeterminados.

1) (6 x3−5 x2+6 x−9 )÷ (3 x+2 )

2) (6 x4−6 x3+3x−2 )÷ (3 x2+2x−4 )

3) (10 x5−6 x3+4 x−4 )÷ (2 x2+3x−3 )