Planificacion divisibilidad

Instituto Provincial de Enseñanza Superior

“Florentino Ameghino”

Profesorado de Matemática

Educación y Nuevas Tecnologías

USO DE LAS TICs EN EL AULA

Planificación para 1°año ESO

Docente: Gómez, Mónica

Alumna: Cardozo, Nadia

2016

1

Fundamentación

El siguiente plan de acción está destinado a alumnos de 1er Año de la ESO de la ciudad de

Ushuaia.

El tema que se propone trabajar es “Divisibilidad en N”, para abordar este contenido desde un

marco conocido por los alumnos se retomarán los conceptos de múltiplo y divisor, estudiados ya

durante la escuela primaria. Se identificarán los números primos dentro del campo de los

naturales y se diferenciarán los mismos de los números compuestos. Por último se analizarán y

construirán de manera conjunta con los estudiantes los criterios de divisibilidad, para luego

retomar éstos como una forma más económica para resolver problemas que involucran la

determinación de los divisores de un número y el resto de la división entera.

Los conceptos que forman parte de la divisibilidad se encuentran en diversas situaciones

problemáticas de la vida cotidiana de modo más o menos explícito. Por ejemplo, cuando

queremos hacer una distribución de los alumnos en el aula, tradicionalmente los colocamos en

filas y columnas, para lo que utilizamos el concepto de divisor; de igual manera actuamos cuando

hacemos la distribución de alumnos en equipos homogéneos, intentando que todos los grupos

tengan el mismo número de alumnos.

Para abordar los temas mencionados utilizaré

la modalidad de resolución de problemas con posterior puesta en común, teniendo en cuenta los

saberes previos que tienen los estudiantes, el trabajo grupal y su participación activa, fomentando

así “la disposición para defender sus propios puntos de vista, considerar ideas y opiniones de otros,

debatirlas y elaborar conclusiones, aceptando que los errores son propios del proceso de

aprendizaje.”1

Se emplearán recursos gráficos y material concreto como medio de visualización de los conceptos

tratados. Ya que el papel que juegan éstos es básicamente el de posibilitar la exploración de

regularidades, propiedades, relaciones, características, generar imágenes mentales, etc.; que

desencadenen procesos de resolución, generalización, entre otros. 2

Por último, la evaluación de este diseño se realizará clase por clase para comprobar si los objetivos

previstos como la metodología empleada son adecuados, y de ésta formar poder perfeccionar,

reforzar o modificar este plan, considerando que “esta función de la evaluación en la enseñanza es

la primera condición para garantizar la flexibilidad pretendida en el diseño, puesto que cualquier

desajuste o deficiencia en la práctica, puede ser corregido”.3

1 Núcleos de Aprendizajes Prioritarios. Matemática-3° Ciclo E.G.B/ Nivel Medio 7°, 8° y 9°- Ministerio de –

Educación, Ciencia y Tecnología, Bs. As., 2006. 2 Idem anterior 3 HERNÁNDEZ,P-“Diseñar y enseñar”-Narcea, Madrid,1988.

2

Objetivos

Revisar, profundizar y usar los saberes que poseen los alumnos como punto de partida

para acceder a conocimientos nuevos.

Recuperar los conceptos de múltiplo, divisor y la reversibilidad de los mismos.

Identificar los números primos dentro del campo de los números naturales y su

diferenciación con los números compuestos.

Proporcionar instancias de reflexión individual y/o grupal que impliquen el desarrollo de

capacidades propias del quehacer matemático.

Fomentar la capacidad para resolver problemas y avalar la validez de distintas soluciones

en respuesta a un mismo problema.

Contenidos

Contenidos Conceptuales

Divisores y múltiplos

Divisibilidad en N

Números primos y compuestos

Criterios de divisibilidad

Contenidos Procedimentales

Identificación y cálculo de los múltiplos y divisores de un número.

Resolver problemas que involucren las nociones de múltiplo y divisor de un número

natural.

Determinar los divisores de un número natural mediante su descomposición en

multiplicaciones.

Determinación de los números primos dentro del campo de los naturales y su

diferenciación con los números compuesto.

Análisis, interpretación y uso de los criterios de divisibilidad.

3

Contenidos Actitudinales

Valoración del trabajo grupal y del intercambio de ideas como fuente de aprendizaje

Disposición para defender los propios puntos de vista y considerar ideas de otros , debatirlas y elaborar conclusiones

Confianza en las propias posibilidades para resolver problemas y formularse interrogantes.

4

Duración: 80 minutos

Objetivos

Utilizar los saberes previos que poseen los alumnos para acceder a conocimientos nuevos.

Recuperar los conceptos de múltiplo y divisor y la reversibilidad de los mismos.

Fomentar el trabajo en grupo y la participación en clase


Divisibilidad en el campo de los números naturales

Múltiplos y Divisores


Identificar y calcular múltiplos y divisores de un número

Reconocer los divisores de un número mediante su descomposición en multiplicaciones.


Valoración del trabajo grupal como medio de aprendizaje.

Defender y argumentar los propios puntos de vista, así como escuchar ideas y opiniones

de otros, poder debatirlas y elaborar conclusiones.

Inicio

Comenzaré la clase presentándome antes los estudiantes, escribiré la fecha en el pizarrón y el

título “Divisibilidad”, luego les comentaré que en esta primera clase realizaremos un trabajo en

forma grupal (se podrán formar grupos de 3 o 4 integrantes), les diré que una vez f inalizada la

actividad, un integrante de cada grupo le comentará a los demás cómo pensaron la situación

problemática.

Luego, designaré a los grupos y entregaré a cada uno una fotocopia con las consignas que

detallaré a continuación y 20 fichas cuadradas para realizar la primera propuesta. Una vez

entregadas las fotocopias, les pediré que peguen la misma en sus carpetas.

Clase 1

5

Desarrollo

Primera Actividad (Tiempo estimado: 30 minutos)

1) Para realizar en grupos de 3 o 4 integrantes:

Completa la siguiente tabla teniendo en cuenta la cantidad de rectángulos diferentes que

se pueden formar utilizando TODAS las fichas que se indican a continuaci ón.

Cantidad de Fichas

¿Cuántos rectángulos

se forman?

Rectángulos encontrados

8 2 8.1, 4.2

10

2 10.1,5.2

11 1 11.1

18 3 18.1,6.3,9.2

19 1 19.1

20 3 20.1,10.2,5.4

Dejaré que los estudiantes en cada grupo debatan sobre esta situación problemática entre ellos y

puedan comprender lo que se solicita en la consigna. Si se generaran dudas con respecto a la

consigna, les mostraré en un afiche un ejemplo de cómo construir los rectángulos:

Si se tienen 8 fichas, se pueden formar dos rectángulos diferentes de la siguiente forma:

6

Luego, dejaré que los estudiantes se involucren con la resolución de la situación, proband o y

buscando distintas estrategias, pasaré en este momento por los bancos para atender las dudas

que se podrían generar y actuaré mediando, ejemplificando y repreguntando cuando lo considere

conveniente.

Puesta en común

Pegaré en el pizarrón un afiche que contenga la misma tabla entregada a los alumnos.

Pediré que un integrante de cada grupo pase al frente a completar en la tabla los resultados que

obtuvieron.

Podría suceder que los alumnos formen por ejemplo, rectángulos de 8.1, o 1.8 pensando en dos

rectángulos distintos. En este caso, diré que estos rectángulos están formados por ocho

rectángulos de largo y por uno de alto, y el otro por ocho de alto y uno de largo, o bien, uno es 8.1

y el otro 1.8, y esta multiplicación: ¿Nos da el mismo resultado? ¿Cómo se llama esta propiedad de

la multiplicación? Retomando de este modo las propiedades de la multiplicación, estudiadas

anteriormente.

Por lo tanto podemos decir, que se trata del mismo rectángulo.

Seguramente, algunos alumnos resolverán mediante una multiplicación entre el número de

cuadraditos a lo largo y a lo ancho que conforma el rectángulo. Otros, resolverán describiendo con

palabras o gráficos cómo son los rectángulos hallados.

Si se presentan resoluciones diferentes, preguntaré: ¿Son correctas todas estas formas de

resolver? ¿Significan lo mismo?

Las resoluciones escritas con palabras o con dibujos, ¿Cómo puedo escribirlas con números?

Podemos observar entonces, que hay casos donde podemos construir sólo 1 rectán gulo, y en

otros dos, o tres rectángulos. Pero hay un tipo de rectángulo, que vamos a poder formar teniendo

cualquier cantidad de fichas, ¿Cuál es este rectángulo?

Mi intención en este momento es que los alumnos distingan que siempre podré construir un

rectángulo utilizando todas las fichas a lo largo.

7

Luego preguntaré:

¿Podrían haber completado la tabla si no hubiesen tenido las fichas? ¿Cómo lo podría haber

pensado?

Los estudiantes podrían responder que sí es posible, y que podemos pensar en multiplicaciones

que me den esa cantidad de fichas o dividiendo la cantidad de fichas en números para los cuales

pueda tener como resto cero.

¿Cuántos rectángulos puedo formar con 30 fichas?

Posiblemente responderán que con 30 fichas, puedo formar los siguientes rectángulos:

6.5, 10.3, 30.1

Es posible que los estudiantes manifiesten que pueden construir sólo dos tipos de rectángulos,

uno de 6.5 y otro de 10.3. En este caso preguntaré: ¿Recuerdan que en todos los casos había un

rectángulo que podíamos construir con todas las fichas a lo largo? ¿Cómo podemos escribir a este

rectángulo?

¿Qué operación están realizando para darse cuenta cuántos rectángulos puedo formar con 30

fichas?

Seguramente, responderán que están pensando en multiplicaciones que les den como resu ltado la

cantidad de fichas. O bien, podrían pensar en qué divisiones de 30 puedo hacer de manera tal que

el resto sea cero.

Luego preguntaré: ¿Recuerdan que significa que un número sea divisor de otro?

Escucharé las opiniones de los estudiantes, podrían recordar que en la cuenta de dividir, tenemos

al dividendo, al divisor, al cociente y al resto. O podrían recordar que el divisor de un número es

aquel número por cual dividimos a otro número y obtenemos como resto cero.

Si surgen alguno de estos conceptos diré que son correctos, y diré que cuando buscamos aquellos

números que multiplicados me den otro, lo que estamos realizando es buscando los divisores de

ese número (como en el caso de los rectángulos), estamos buscando divisiones de ese número en

las que el resto sea cero.

Luego escribiré en el pizarrón las partes de la división:

Dividendo Divisor Cociente Resto

8

Diremos que el divisor de un número es aquel número por el cual obtenemos en la división como

resto cero.

Luego detallaré en el pizarrón que: 6, 5, 10, 3, 1,30 son divisores de 30 (Ya que si divido 30 por

cada uno de estos números, el resto va a ser 0)

De la misma manera, así como 6, 5, 10, 3,1 y 30 son divisores de 30, decimos que 30 es múltiplo

de cada uno de estos números. ¿Recuerdan que significa que un número sea múltiplo de otro?

Si no lo recuerdan escribiré en el pizarrón: “Múltiplos del 8” y diré “tomemos como ejemplo los

múltiplos de 8, obtendremos los mismos multiplicando al 8 por los números naturales”

Y escribiré:

8 . 1 = 8

8 . 2 = 16

8 . 3 = 24 MÚLTIPLOS DEL 8

8. 4 = 32

8. 5 = 40

……………..

¿Hasta qué número tendría que multiplicar al 8 para obtener todos sus múltiplos?

Si los estudiantes responden por ejemplo que debo multipl icar hasta el 10 o hasta el 100,

preguntaré qué sucede si multiplico al 8 por 11 o por 101, ¿Obtendría más múltiplos del 8?

¿Entonces hasta qué número podría multiplicar?

Seguramente, surgirá que podrían multiplicar por todos los números naturales.

Entonces diré: Como tengo que multiplicar por todos los números naturales, puedo decir que un

número tiene infinitos múltiplos.

Luego diré: Dijimos que 6 es divisor de 30 (señalando los divisores de 30 que hallamos) ¿Podemos

decir que 30 es múltiplo de estos divisores? ¿Por qué?

Escribiré en el pizarrón:

es divisor

6 30 30 es divisible por 6

9

es múltiplo

Decimos entonces que si por ejemplo, 6 es divisor de 30, entonces 30 es múltiplo de 6, y por lo

tanto también podemos decir que 30 es divisible por 6, ya que el resto de esta división es cero.

Luego, pegaré otro afiche el cual completaré junto con los estudiantes y la ayuda de la tabla anterior:

Número

Divisores

8 1,2,4,8

10 1,2,5,10

11 1,11

18 1,2,3,6,9

19 1,19

20 1,2,4,5,10,20

Preguntaré: ¿Cuáles son entonces los divisores de 8 teniendo en cuenta la tabla de los rectángulos?

Los alumnos responderán posiblemente que estos divisores son: 1, 2,4 y 8.

Luego diré: Puedo asegurar entonces, que 8 es divisible por cada uno de estos números, es decir,

que si divido 8 por alguno de estos números ¿Qué sucede con el resto?

Luego preguntaré: ¿Hay algún divisor que se repita para todos los números?

Los alumnos posiblemente distingan que el 1 es divisor de todos estos números.

Luego diré: Observen también que cada número es divisor de sí mismo. Podemos ver que el 8 es

divisor de 8, el 10 es divisor de 10, y así con los demás.

Entonces podemos decir que “Todo número es divisible por uno y por sí mismo”

Luego diré: Observando la tabla, ¿Cuál es el mayor divisor que puede tener un número?

Luego, para concluir con la actividad diré:

10

Vimos entonces que con una determinada cantidad de fichas cuadradas, podíamos formar

distintos rectángulos a los cuales los representamos con una multiplicación, entonces podíamos

decir que si tenemos por ejemplo 10 fichas, podemos representar rectángulos de 10x1 y 5x2. Así

pudimos ver cómo a un número lo podemos descomponer en distintas multiplicaciones y de esta

forma obtener sus divisores.

Luego les pediré a los estudiantes que realicen la actividad número dos que se encuentra en la

fotocopia, la podrán hacer junto a su compañero de banco.

Segunda Actividad: Tiempo estimado: 15 minutos

Decidí, en cada caso, si es correcta o no la frase que se propone, sin hacer cuentas.

a) Como 96 = 12 . 8, entonces 96 es múltiplo de 8 y de 12

b) 96 es divisible por 12

c) El resto de hacer 96 : 8 es 12.

d) Como 96 = 12 . 8, y 8 = 2 . 4, entonces, 96 es múltiplo de 4.

Dejaré que los estudiantes resuelvan la situación y pasaré por los bancos para atender las dudas

que se podrían generar, en este caso les recordaré los conceptos estudiados en la actividad

anterior, para que puedan enfrentar estas nuevas situaciones.

Puesta en común

Esta instancia se realizará con la participación de los estudiantes desde los bancos, llamaré a

algunos de ellos para que cuenten a los demás cómo lo resolvieron.

Para el inciso a) los estudiantes posiblemente determinen que como 12 y 8 son divisores de 96,

entonces resulta que 96 es múltiplo de estos números, o también podrían pensar que al 96 lo

pueden hallar en la tabla del 12 y del 8 ya que 96 es divisible por 12 y por 8 (pero para este caso

ellos habrán resuelto la cuenta), si sucede esto les preguntaré de qué otra forma lo podrían haber

resuelto sin realizar ninguna cuenta.

Recordaré en este momento a los estudiantes esta relación de reversibilidad, entre los divisores y

los múltiplos de un número. Diré: Recuerden que si por ejemplo si sabemos que el 8 es divisor del

11

16, entonces podemos asegurar también que el 16 es múltiplo del 8, es decir, que al 16 lo

hallaremos en la tabla del 8.

Para el inciso b) pediré a otro de los estudiantes que explique cómo pensó este punto.

Posiblemente responda que sí es divisible, ya que en el punto anterior dijimos que 96 = 12 . 8

Luego preguntaré a los otros estudiantes si piensan que esto es correcto.

Para el inciso c) posiblemente los estudiantes digan que esto no es cierto, pediré que expliquen el

por qué.

Luego, les pediré que realicen la actividad número tres dispuesta en la misma fotocopia. La podrán

realizar también junto a su compañero de banco.

Tercera Actividad: Tiempo estimado: 20 minutos

a) Intenta escribir el número 48 como resultado de multiplicar 3 números, pero que ninguno

de ellos sea el 1.

b) Escribe los divisores de 48.

Dejaré que los estudiantes se involucren con la resolución de la situación, probando y buscando

distintas estrategias, pasaré en este momento por los bancos para atender las dudas que se

podrían generar.

Puesta en común

Pediré a un estudiante que pase al frente a resolver el inciso a)

Para este inciso los alumnos podrían primero comenzar afirmando que 48 = 6 x 8, pero como

necesitan un divisor más, podrían descomponer al 6 o al 8 para obtener este tercer número:

Entonces al 48 lo podrían escribir como: 3x2x8 o como 6x4x2

O podrían pensar al 48 como:

48= 16.3 (y de aquí descomponer al 16 como 4.4)

48=12 . 4 (de aquí descomponer al 12 o al 4)

48=24 .2 (de aquí descomponer al 24 como 6.4 o 8.3)

Es decir que este ejercicio podría presentar diversas soluciones.

Luego que el estudiante resuelva en el pizarrón, preguntaré a los demás quién resolvió de otra

forma y pediré que también pase a mostrarles a los demás.

12

Luego preguntaré: ¿Todas estas soluciones son correctas? ¿Por qué?

Entonces, descomponiendo primero al 48 en la primera multiplicación, todos obtuvieron en

primera instancia dos números (es decir, dos divisores de 48) Luego, para encontrar el tercer

número volvieron a descomponer alguno de estos divisores. Hallando por este mecanismo tres

divisores de 48.

Luego diré: Podemos observar nuevamente que como en el caso de los rectángulos

descomponiendo en otras multiplicaciones los números podemos encontrar los divisores de ese

número.

¿Cuál son entonces todos los divisores de 48 que encontramos?

Dependiendo de los procedimientos utilizados por los alumnos, podríamos encontrar como

divisores los siguientes números:

2, 3, 4, 6, 8, 12,16 y 24.

Luego diré: ¿Recuerdan que cuando construimos los rectángulos dijimos que había un rectángulo

que siempre podíamos formar? ¿Cuál era este rectángulo?

Por lo tanto dijimos que siempre tendríamos como divisores al total de fichas y al 1.

Entonces en este caso si tuviera 48 fichas, podrían formar un rectángulo de 48 fichas a lo largo por

una de alto. Entonces ¿Qué divisores nos faltan?

Anotaré luego en el pizarrón los divisores de 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16,24 y 48

Luego diré: “Sabemos que al 48 es divisible por 2, ya que hallamos que 2 es un divisor de 48.

Entonces, podríamos calcular el resultado de esta división que es 24 y podríamos asegurar que

este número es otro divisor de 48, y si calculo los divisores de 24, ¿Puedo asegurar que estos

divisores serán también divisores del 48? ¿Por qué?

Seguramente los estudiantes responderán que sí, ya que lo que estos haciendo es

descomponiendo en multiplicaciones al 48.

Luego diré: Entonces, de esta forma puedo seguir calculando más divisores del 48.

Luego, pediré que resuelvan de forma individual la actividad número 4, dependiendo del tiempo

disponible para su realización, los estudiantes podrán realizarla en clase o en sus casas.

Cuarta Actividad (Tiempo estimado: 15 minutos)

Sabiendo que 23 . 16 = 368. ¿Podrías hallar 6 divisores de 368?

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Puesta en común

Posiblemente los estudiantes analicen esta situación problemática de la siguiente forma:

Como 23 y 6 son divisores de 368, entonces al 23 no lo puedo descomponer, pero al 16 lo podrán

escribir como 4.4 (obteniendo el tercer divisor) y luego descomponiendo nuevamente el 4

obtengo como divisor al 2, o podrían pensar también al 16 como 8.2 (obteniendo al 8 como

divisor).

Luego obtendrán posiblemente como divisores: 1, 2, 4, 6, 8, 16, 23,368.

Luego preguntaré: ¿De qué otra forma podría encontrar más divisores del 368?

Si no recuerdan cómo hacer, les diré que tengan en cuenta que 368 es divisible por 2, por 4, por 6,

etc. Según lo que hallamos anteriormente, y entonces puedo realizar la cuenta dividir y así hallar

los demás divisores.

Cierre

Terminaré esta clase diciendo a los estudiantes que retomaremos esta última actividad durante la

clase siguiente.


Objetivos


Identificar los números primos dentro del campo de los números naturales y su

diferenciación con los números compuestos.

Fomentar la participación en clase


Números primos y compuestos


Clase 2

14

Determinación de los números primos dentro del campo de los naturales y su

diferenciación con los números compuestos

Identificación de la posible multiplicidad de divisores para un número compuesto y de la

única forma de descomposición de los números primos.




Inicio

Comenzaré esta clase saludando a los estudiantes, y escribiendo la fecha en el pizarrón. Luego les

comentaré que comenzaremos esta clase retomando la actividad número cuatro que realizaron la

clase anterior (o que se llevaron de tarea).

Desarrollo

Tiempo estimado para la introducción al tema: 15 minutos

Preguntaré: ¿Qué procedimientos utilizamos para encontrar los divisores de la actividad número

cuatro?

Posiblemente, los estudiantes respondan que los primeros cuatro divisores ya los tenían en la

actividad (el 23, el 16, el 1 y el 368) y luego para encontrar los restantes tuvieron que

descomponer en multiplicaciones el 16.

Luego preguntaré: ¿Qué sucedió con el 23? ¿Lo pudieron descomponer en otras multiplicaciones?

Luego diré: Podemos observar que el 23 no lo podía descomponer en ninguna multiplicación, es

decir, si hubiera tenido 23 fichas, ¿Qué hubiese pasado? ¿Cuántos rectángulos podría formar?

Posiblemente los estudiantes responderán que sólo es posible formar un tipo de rectángulo, el de

23. 1

Observemos también que cuando descomponemos números siempre llegamos al 2 y el 3 ya que

después no puedo seguir descomponiendo.

Luego, les pediré que retomen la tabla realizada con los di stintos rectángulos posibles y

preguntaré:

¿Con qué cantidades de fichas pudieron armar más de un rectángulo?

¿Y con qué cantidades pudieron armar sólo un tipo de rectángulo?

Responderán que con el 11 y 19 sólo pudieron armar un rectángulo.

15

Luego diré estos números como el 11, el 19 y el 23 con los que sólo puedo formar un tipo de

rectángulo y que por lo tanto sólo tienen como divisores al 1 y al mismo número, los llamamos

números primos.

Es decir, los números primos son aquellos números que tienen como divisor solamente al 1 y al

mismo número. Son números con los cuales no puedo expresarlos con otra multiplicación que no

sea la del mismo número por uno, es decir que con estos números sólo puedo formar un tipo de

rectángulo.

Luego diré: A los números con los que puedo representarlos con más de un rectángulo, o bien,

puedo descomponerlo en más de una multiplicación, los llamaremos números compuestos.

¿Cuáles serán entonces los números compuestos en nuestra tabla?

Observando la tabla dirán que los números compuestos en este caso son: 8, 10,18 y 20.

Luego les repartiré una fotocopia con la actividad siguiente para que realicen en forma individual.

Primera Actividad Tiempo estimado: 15 minutos

Decide si los siguientes números son primos o compuestos. Justifica tu respuesta.

a) 21

b) 36

c) 49

d) 29

e) 51

f) 5

Puesta en común

Esta instancia se realizará con la participación de los estudiantes desde los bancos.

Posiblemente en el inciso a) respondan que 21 es compuesto ya que lo podemos escribir como 7 .

3, para 36 dirán que es compuesto ya que lo pueden escribir como 6.6, el número 49 también

dirán que es compuesto ya que lo pueden expresar como 7.7, los núme ros 29, 51 y 5, dirán que

son primos ya no es posible escribirlos como producto de otros números.

Una vez realizada la puesta en común, pediré a los estudiantes que resuelvan la actividad número

dos dispuesta en la misma fotocopia anterior.

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Segunda Actividad Tiempo estimado: 15 minutos

Marca en la siguiente tabla todos los números primos.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Ayuda:

Los números 2, 3, 5 y 7 son números primos, por lo tanto sus múltiplos no lo son.

Puesta en común

Pegaré un afiche en el pizarrón con la misma tabla de números entregada a los alumnos, y pediré a

alguno de ellos que la complete con los números primos que halló.

Luego realizaré las siguientes preguntas: ¿Todos hallaron los mismos números?

¿Todos los números primos que hallaron son impares? ¿Todos los números impares son números

primos?

Luego diré que el cuadro que obtuvimos se llama “Criba de Eratóstenes” y es un forma de

determinar los números primos. Si queremos saber los números primos hasta el 100, lo que

debemos hacer es escribir los números hasta el 100 y proceder de la misma forma, es decir,

sabiendo que 2,3,5 y 7 son primos, sus múltiplos no lo serán.

17

Resolución de la actividad:

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Cierre

Terminaré esta clase diciendo a los estudiantes que en la próxima clase estudiaremos otra forma

de calcular los divisores de un número sin realizar la cuenta de dividir.


Objetivos






Clase 3

18





Inicio

Tiempo estimado para la introducción al tema: 10 minutos

Iniciaré esta clase saludando a los estudiantes, pondré la fecha en el pizarrón y les comentaré que

comenzaremos realizando un repaso de todo lo que vimos sobre divisibilidad.

Preguntaré: ¿Recuerdan qué significa que un número sea divisible por otro?

¿Cómo hacíamos para encontrar los divisores de un número? ¿Por ejemplo del 54?

Posiblemente respondan que encontrarán sus divisores descomponiendo en multiplicaciones a

este número.

Luego diré: ¿Cómo puedo escribir el 54? Posiblemente los estudiantes mencionen alguna

multiplicación que de cómo resultado 54. Por ejemplo 6.9, entonces diré: Puedo decir entonces,

que el 6 es un divisor del 54, así como también 54 y el 1, ya que todo número tiene como divisor al

mismo número y al 1, ¿Recuerdan? ¿Y ahora cómo puedo hallar más divisores?

Tal vez respondan que podemos seguir descomponiendo el 9 y el 6, obteniendo como divisores al

3 y al 2.

Entonces remarcaré en el pizarrón que 1, 2, 3,6, 9 y 54 son divisores de 54. Y diré: Es decir, que 54

es divisible por todos estos números. Y también 54 es múltiplo de todos estos números, es decir,

podemos hallar al 54 en la tabla de todos estos números.

Luego diré: Entonces lo que hicimos fue, determinar los números por los cuales es divisible otro

número (como en este caso el 54, o como hicimos antes con el 48) sin necesidad de hacer la

cuenta de dividir. Luego, con el 368 ustedes hallaron divisores, teniendo en cuenta que 368 lo

podíamos escribir cómo 23 . 16. Si no les hubiese dado este dato , ¿Podrían haber hallado sus

divisores sin realizar divisiones?

O si me dan un número, aún más grande cómo el 203948, ¿Cómo puedo saber sin hacer la división

qué números son divisibles por este número?

Luego diré: Para poder saber esto, necesitamos de lo que llamamos “Criterios de divisibilidad” lo

que me va a permitir, evitar realizar divisiones con números muy grandes para saber por cuales

19

números es divisible. Ahora les daré una actividad, para que entre todos construyamos cuáles son

estos criterios.

Luego, repartiré a cada estudiante una fotocopia con la siguiente actividad: Primera Actividad: Tiempo estimado: 20 minutos

Agrupa en la columna que creas correspondiente los siguientes números

42—45--66--72--93—105--108–330—416--520—600--700

Divisible por 2

Divisible por 3

Divisible por 4

Divisible por 5

Divisible por 6

42

66

416

45

66

66

93

520

330

108

72

105

600

520

330

108

108

700

105

600

330

330

700

416

600

520

600

700

Dejaré a los estudiantes resolver esta actividad junto a su compañero de banco, y luego se

realizará la correspondiente puesta en común.

Puesta en común

20

Para esta instancia pegaré un afiche en el pizarrón con un cuadro similar al entregado a los

estudiantes y llamaré a algunos de ellos para completarlo.

Corregiremos entre todos los datos que obtuvieron y luego preguntaré: ¿Qué encuentran en

común entre todos los números que son divisibles por 2?

Posiblemente los estudiantes identifiquen que los números que son divisibles por 2, son aquellos

que terminan en un número par o en cero. Si no lo identifican, se los haré notar.

¿Qué sucede con los números que son divisibles por 3?

Este criterio no será tan fácil de ver a si que diré: ¿Qué sucede si sumo las cifras de estos números?

Los alumnos posiblemente notarán que si sumo las cifras de estos números, obtendré un número

que es múltiplo de 3.

Observemos ahora, los números que son divisibles por 4, ¿Qué encuentran en común entre ellos?

Posiblemente distingan que algunos de estos números terminan con dos ceros, preguntaré: ¿Qué

sucede con los otros números? Observen sus dos últimas cifras.

Les pediré que observen ahora los múltiplos de 5, ¿Qué encuentran en común? Posiblemente los

estudiantes distingan que estos números terminan en 0 y en 5. Si no lo distinguen les pediré que

observen la última cifra de estos números.

¿Y que pueden observar de los números que son divisibles por 6? Si no distinguen que los números

que están allí agrupados son divisibles también por 2 y 3, les pediré que observen estos números y

los que son divisibles por 6.

Luego, le entregaré a cada estudiante una fotocopia en la cual se resumen los criterios de

divisibilidad hasta el 6 y dos actividades de aplicación. Les comentaré que en esta fotocopia

formalizaremos estos criterios.

Información contenida en la fotocopia:

Un número es divisible por…

Cuando…

Por ejemplo

2 …la cifra que ocupa el lugar de las unidades es par o cero.

58 pues la cifra de la u=8 34 pues la cifra de la u=4

3

…la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

231 pues 2 + 3 + 1 = 6 Y 6 es múltiplo de 3.

4

…cuando sus dos últimas cifras son ceros o son múltiplos de 4.

500 sus dos últimas cifras son 0. 416 sus dos últimas cifras son múltiplos de 4.

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5

…la cifra que ocupa el lugar de las unidades es 0 o 5

245 pues la cifra de la u=5 350 pues la cifra de la u=0

6

…cuando es divisible por 2 y 3 a la vez.

180 es divisible por 2 y por 3, por lo tanto también es divisible por 6.

Pediré a un estudiante que lea en voz alta estos criterios. Y luego, utilizando los mismos pediré

que resuelvan las siguientes actividades:

Primera Actividad: (Tiempo estimado: 10 minutos)

Sin hacer cuentas, encierra con un círculo los números que, al dividirse por 3, dan como resto 0.

215 402 333 1056 88011

Puesta en común

La realizaremos con la participación de los estudiantes desde los bancos. Utilizando el criterio de

divisibilidad del 3, posiblemente llegarán a que 402,333,1056 y 880011 son divisibles por 3 ya que

la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

Cierre

Para finalizar con esta clase, les diré a los estudiantes que la clase siguiente seguiremos trabajando

con los criterios de divisibilidad y que veremos otros casos donde los podremos utilizar. Y que

resuelvan para la próxima clase la actividad número tres que se encuentra en la fotocopia


Objetivos


Clase 4

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Reconocimiento del uso de los criterios de divisibilidad como medio para economizar la

búsqueda de divisores de un número natural.




Inicio

Comenzaré esta clase saludando a los estudiantes y escribiendo la fecha del día en el pizarrón,

luego les diré que en esta clase vamos a comenzar realizando la puesta en común de la actividad

que les dejé de tarea y que luego veremos otras aplicaciones de los criterios de divisibilidad.

Tercera Actividad: Tiempo estimado: 15 minutos

Coloca SÍ o NO, según corresponda.

Es divisible por Número 2 3 4 5 6

4.059 No Si No No No

270 Si Si No Si Si 880 Si No No Si No

600 Si Si Si Si Si

2.104 Si No No No No

Puesta en común

Para esta instancia haré un esquema del cuadro de esta actividad en el pizarrón para que los

estudiantes pasen al frente para completarlo, llamaré a algunos de ellos que aún no hayan

participado.

23

Luego, corregiremos entre todos los resultados que escribieron y les pediré que fundamenten en

cada caso estos resultados en forma oral.

Luego, les entregaré una fotocopia con la siguiente actividad, podrán realizar la misma de a dos o

tres estudiantes.

Primera Actividad Tiempo estimado: 25 minutos

Encuentra 4 divisores de 6018. Aplica los criterios de divisibilidad.

Dejaré que los estudiantes se involucren con la resolución de la situación, probando y buscando

distintas estrategias, pasaré en este momento por los bancos para atender a los momentos de

bloqueos y dudas que se podrían generar.

Puesta en común

Posiblemente los estudiantes primero observen cuales son los números divisibles por el 6018.

Cómo sumando sus cifras 6 + 0 + 1 + 8 = 15 y 15 es múltiplo de 3.

Si no observan esto, les recomendaré comenzar analizando los criterios para este número. Luego

preguntaré: ¿De qué me sirve saber que este número es divisible por tres?

Los estudiantes seguramente responderán que podemos afirmar que 3 es un divisor de 6018, y

además como este número termina en un cifra par, también podemos asegurar que es divisible

por 2, y por último como es divisible por 2 y por 3, también es divisible por 6. Por lo tanto tenemos

los cinco divisores para el 6018: el 1, 2, 3,6 y 6018.

Luego diré, entonces para obtener otros divisores de 6018, lo que debemos hacer es dividir al

6018 por estos números que obtuvimos, y aplicar nuevamente los criterios de divisibilidad o

descomponer en multiplicaciones estos otros números.

Si queda tiempo en esta última clase, les daré a los estudiantes una última actividad, en la cual

deberán hallar el resto de una división sin hacer la cuenta, solamente utilizando los criterios de

divisibilidad.

Primera Actividad: Tiempo estimado 15 minutos

Determina, sin hacer las cuentas y usando los criterios de divisibilidad, cuál será el resto de estas

divisiones.

a) 605 : 3 Resto: ________

24

b) 20.202 : 2 Resto: ________

c) 13.64 : 5 Resto: ________

d) 804 : 4 Resto: ________

Puesta en común

Con respecto al punto a) ¿Cómo lo pensarían? ¿Recuerdan que decía el criterio de divisibilidad del

tres?

Dejaré que los estudiantes analicen esta división y retomen la fotocopia con los criterios de

divisibilidad. Y preguntaré: ¿Cuándo un número es divisible por 3?

Responderán retomando la fotocopia que un número es divisible por tres cuando la suma de sus

cifras es múltiplo de 3.

¿Qué sucede con la suma de las cifras de este número? ¿La suma es múltiplo de 3?

Los estudiantes observarán que si sumo sus cifras me dará: 6 + 5 = 11, y este número no es

múltiplo de 3.

¿Qué tendríamos que hacer para que este número sea múltiplo de 3?

Los alumnos podrán responder que para que sea múltiplo de 3, debería sumar 4 al 11, o bien

restarle 2 al 11. Pero como lo que estamos haciendo es una división y queremos calcular cuánto

nos sobra, lo que debemos hacer es restar aquel número para que esta cifra sea divisible por 3.

Entonces, si restamos dos al número 605 obtenemos, al 603 y este número será di visible por 3. Es

decir, que su resto va a ser cero. Por lo tanto, ¿Cuánto es lo que sobra en la división entre el 605 y

el 3? ¿Cuál será este resto?

Pediré a los estudiantes que comprueben que esto es cierto realizando la cuenta de dividir.

Dejaré a los estudiantes resolver los ejercicios restantes y luego pediré a algunos de ellos que

pases al frente a resolverlos. Luego analizaremos cada una de las soluciones de formar similar al

inciso a)

Cierre

Para finalizar clase diré: Vimos entonces que los criterios de divisibilidad para economizar nuestros

procedimientos y para determinar cuándo un número es divisible por otro, tan solo observando

sus cifras, también vimos cómo para números grandes nos resulta difícil determinar sus divisores,

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por lo que aplicando estos criterios también podemos descomponerlo en multiplicaciones

dependiendo si este número es divisible por 2, 3, 4,5 o 6. Y para finalizar pudimos observar otra

aplicación de estos criterios para hallar el resto de una división sin necesidad de hacer l a cuenta.

Bibliografía

Sugerida para el alumno:

ANDRÉS, M y otros: “Matemática I, Actividades Clave”, Editorial Santillana, Buenos Aires, 2012

SALPETER,C: “ Pitágoras 7, Matemática”, Editorial SM, 2005 LIMONGELLI, S: “Viaje por el mundo de las matemáticas”, Bs As.

Consultada:

Diseño Curricular Ciclo Básico Educación Secundaria- Ministerio de Educación, Tierra del

Fuego, 2008.

HERNÁNDEZ, P: “Diseñar y enseñar”, Editorial Narcea, Madrid, 1988.

Material para docentes de Sexto grado, Educación Primaria: Matemática – Dirección

General de Cultura y Educación, Buenos Aires, 2011.

Núcleos de Aprendizajes Prioritarios. Matemática-3° Ciclo E.G.B/ Nivel Medio 7°, 8° y 9°-

Ministerio de –Educación, Ciencia y Tecnología, Bs. As., 2006.

SIERRA, M y otros: “Divisibilidad 7”- Colección: “Matemática, Cultura y aprendizaje”,

Editorial Síntesis, Madrid, 1997.

Web: http://didactica-y-matematica.idoneos.com/la_divisibilidad/

http://didactica-y-matematica.idoneos.com/la_divisibilidad/

Planificacion divisibilidad

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