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Expresiones algebraicas

Una expresión algebraica es una combinación de letras y números relacionados entre sí por una o más operaciones. En una expresión algebraica los números se denominan coeficientes y las letras con sus exponentes forman la parte literal.

coeficiente 3x4 parte literal

Cuando la expresión algebraica está formada por un solo término, se denomina monomio; cuando está formada por dos términos, binomio.

En una expresión algebraica se denominan términos semejantes a los que tienen la misma parte literal.

–4x3 + x + 3 __ 2 x – 3

Son términos semejantes.

Valor numéricoEl valor numérico de una expresión algebraica se obtiene reemplazando todas las letras por

números; luego, se resuelven las operaciones.

Para s = 2, el valor numérico de 3s2 + s + 1 es 15 porque 3 . 22 + 2 + 1 = 15.

Las expresiones algebraicas 5 . (a + b) y 5a + 5b son equivalentes, ya que para cualquier par de números reales a y b, al reemplazarlos en cada una, se obtiene el mismo valor numérico. Se puede escribir entonces 5 . (a + b) = 5a + 5b.

Operaciones con expresiones algebraicas

Operación Ejemplo

Para sumar o restar monomios semejantes, se suman o se restan los coeficientes y se escribe a continuación la misma parte literal.

3a + 5a = 8a

5a + 3b – b = 5a + 2bPara multiplicar o dividir dos monomios, se multiplican o se dividen los coeficientes y las partes literales.

6a . 4a3 = 24a4

15a6 : 5a2 = 3a4

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. ¿Es cierto que x + x = x2? b. ¿Es verdadera la siguiente equivalencia? a5 + a2 = a7

c. ¿Cuál es el valor numérico de 3x2 para x = 2?d. Las expresiones 4x2b y 4xb2, ¿tienen el mismo coeficiente y parte literal?

test de comprensión

35

11 12 13 15 16149 108 17 18

infoactiva

Nombre: Curso: Fecha: / /

a. No, es igual a 2x. b. No, no se pueden sumar términos con distinta parte literal. c. El valor numérico es 12. d. Tienen el mismo coeficiente, pero no la misma parte literal.

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9 Expresiones algebraicasACTIVIDADES

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1. Unan con flechas con la expresión correspondiente.a. El doble de la suma entre un número y 7. • 3x – 1b. El doble de un número, aumentado en 7. • 2 . (x + 7)c. El anterior del triple de un número. • 3 . (x – 1)d. El triple del anterior de un número. • 4xe. El cuádruple de un número. • 2x + 7

2. Escriban en lenguaje simbólico.a. La diferencia entre el anterior de un número entero y la raíz cuadrada de sesenta y cuatro.

b. La suma entre el doble del siguiente de un número entero y el triple de ocho.

c. La quinta parte del siguiente de cuatro, más el anterior del triple de un número.

3. Escriban la expresión coloquial que corresponde en cada caso.a. (x + 1) . 3

b. 4n – 1

c. 1 __ 2 . (x + 1)2

d. 2x + (2x + 2)

4. Rodeen los monomios semejantes.

a. 9b2 9b –8b2 b . b 7c

b. 4b 5ab –7ab 9a ba

c. 5m2x 8x2m –3m2x mx (mx)2

5. Encuentren el valor numérico de cada expresión, siendo a = – 3 y b = 1 __ 2 .a. a – b = d. –a – 2 __ 3 b + 1 =

b. a + 2b = e. 1 __ 6 a + b2 + b =

c. 2 . (a + b) = f. –2a + 3b – (b – a) =

(x – 1) – √ ___ 64

El triple del siguiente de un número entero.

2 . (x + 1) + 3 . 8

El anterior del cuádruple de un número entero.

1 __ 5 . (4 + 1) + (3x – 1)

La mitad del cuadrado del siguiente de un número entero.

La suma de dos números pares consecutivos.

– 7 __ 2

–2

–5

11 __ 3

1 __ 4

4

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37

Nombre: Curso Fecha / /

6. Resuelvan las siguientes sumas y restas.a. 7a + a – 3a = f. 6a – (–a) + (–9a2) =

b. 2 __ 3 b + 5 __ 6 b – b = g. 1,2m4 + 3,2m2 – 0,8m4 =

c. 7m – 3m + 2 = h. 9 __ 2 a + b – 7 __ 3 a – 3 __ 5 b =

d. 2a + 3 __ 2 b – 4 __ 5 a = i. ab + 3ac – 5ab – 2ca – 1 =

e. 2x2 + 5x + 9x2= j. 2x – ( 2 __ 3 x2 – 1 __ 2 x ) + 1 __ 6 x2 =

7. Resuelvan las siguientes multiplicaciones y divisiones.a. 3x . 6x = f. 15x : 5x =

b. 3x . 6y = g. 27x8 : 9x3 =

c. 7x4 . x2 = h. 48x5 : 12x3 =

d. 3a . a5 . a2 = i. –36a2b4 : 6ab2 =

e. (–6x) . (–x2) . y3 = j. –120a7

______ –6a3 =

8. Resuelvan las siguientes operaciones combinadas.a. 5ab – 3a . 1 __ 2 b = d. 7t3 + t2 . (2t + 3t) =

b. (y + 5y – 3y) . 2 __ 3 y2 = e. ( 2 __ 9 x2 + 1 __ 3 x2 ) : ( 5 __ 6 x – 4 __ 3 x ) =

c. 24m6 : 4m2 + m . (–m3) = f. (–2,2a + 7,2a) . (a + 3,2a – 2a) =

5a

1 __ 2 b

4m + 2

6 __ 5 a + 3 __ 2 b

11x2 + 5x

18x2

18xy

7x6

3a8

6x3y3

7 __ 2 ab

2y3

5m4

7a – 9a2

0,4m4 + 3,2m2

13 ___ 6 a + 2 __ 5 b

–4ab + ac – 1

5 __ 2 x – 1 __ 2 x2

3

3x5

4x2

–6ab2

20a4

12t3

– 10 ___ 9 x

11a2

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38


38

9. Escriban las expresiones que representan el perímetro y el área de cada figura, en su forma más sencilla.

a. d.

2a

1— 3a

2a

5a

1— 2a

a

Perímetro = Perímetro =

Área = Área =

b. e.

3x

x 3 — 4

x

6p

2p


Área = Área =

c. f.

4c5c

3c

8b

4b


Área = Área =

10. Escriban las expresiones indicadas en cada caso, en su forma más sencilla.a. Rectángulo. b. Triángulo isósceles.La base supera en 4 cm a la altura (x). Cada lado igual mide 7 cm menos que el doble de la base (x).

Base = Lado =

Altura = Base =


Escriban la expresión más sencilla que corresponde al perímetro y al área de cada una de las caras de color rojo, verde y azul, la del área total y la del volumen del cuerpo. Tengan en cuenta que las caras opuestas son del mismo color.

menteACTIVA

3x

x2x

14 ___ 3 a

8x

12c

Área cara azul: 3x2; área cara verde: 2x2; área cara roja: 6x2; área total: 22x2; perímetro cara roja: 10x; perí-metro cara verde: 6x; perímetro cara azul: 8x; volumen: 6x3

9a

32p

24b

2 __ 3 a2

5 __ 2 x2

6c2

7 __ 4 a2

44p2

24b2

x + 4

x

4x + 8

2x – 7

x

5x – 14

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Propiedad distributiva


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9 12 13 14 161510 11 18 1917

La multiplicación es distributiva con respecto a la suma y a la diferencia.

Las siguientes expresiones representan el área pintada. (a + b) . c = a . c + b . c

c

ba c . (a + b) = c . a + c . b

(3b + 2) . 4b = 3b . 4b + 2 . 4b

(3b + 2) . (b + 1) = 3b . b + 3b . 1 + 2 . b + 2 . 1

La división es distributiva solo cuando la suma y la resta están en el lugar del dividendo.

(4a + 8) : 4 = 4a : 4 + 8 : 4 4 : (2a + 4) No se puede aplicar la propiedad distributiva.

Factor comúnLas siguientes sumas o restas se pueden expresar como una multiplicación.

50 + 10 = 10 . 5 + 10 . 1 50b2 – 10b = 10 . 5 . b . b – 10 . 1 . b = 10 . (5 + 1) = 10b . (5b – 1)

10 es el dcm entre 50 y 10. Para obtener el factor común de la parte literal se10 se denomina factor común. escribe la letra que aparece en todos los términos con su menor exponente.

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. ¿Es cierto que la suma es distributiva respecto de la resta?b. ¿Se puede distribuir la división respecto de una suma si esa suma está en el lugar del divisor?c. Si se aplica la propiedad distributiva para multiplicar un binomio por un trinomio, ¿cuántos términos tiene la expresión que se obtiene antes de operar entre términos semejantes?d. En la siguiente expresion, ¿se obtuvo correctamente el factor común? a2 + a = a . (a)


infoactiva

a. No, la suma no es distributiva con respecto a ninguna operación. b. No, solo se puede si está en el lugar del dividendo. c. La nueva expresión tiene seis términos. d. No, falta sumar 1 dentro del paréntesis.

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11. Apliquen la propiedad distributiva.a. 3x . (x + 2) = f. (2x2 – 4x) : 2x =

b. (4 – y2) . (–2y) = g. ( 3 __ 5 y6 + 10y3 ) : 1 __ 5 y2 =

c. 4x . (5x – 2x2 + 1) = h. ( –4a + 2 __ 3 a2 ) : (–2a) =

d. 3 __ 2 b2 . (4b + 1 __ 3 b3 – 2b2) = i. (2 – x) . (3x + 1) =

e. – 1 __ 4 y . (– 2 __ 3 + 16y2 – 4 __ 5 y) = j. (y2 + 2y) . (3y – 4) =

12. Obtengan el factor común.a. 4x2 + 2x – 10 = d. 18a3 – 6a5 =

b. x4 + x = e. 2 __ 5 b6 + 3 ___ 10 b4 =

c. 3y2 – 5y5 = f. √ __ 9 m3x – √

__ 9 ma2 =

13. Completen para que se verifique la igualdad.

a. (3x2 + 2x) . = –3x5 – 2x4 d. 2 __ 7 pr2 . ( – 9 __ 4 r6 ) = 18 ___ 7 p3r4 – 9 ___ 14 pr8

b. ( –x2 + ) . xy2 = –x3y2 + 3xy3 e. 1,5n2 – 4,5n5 = . (1 – 3n3)

c. 6x8y5z3 + 8x5y2z4 = . (3x3y3 + 4z) f. 3ab2 + = ab . ( + 2 ) 14. Expresen de dos formas diferentes el área total de las siguientes figuras.

a. b.

b

x

a

ba c

d

10 Propiedad distributivaACTIVIDADES

40

3x2 + 6x

–8y + 2y3

20x2 – 8x3 + 4x

6b3 + 1 __ 2 b5 – 3b4

1 __ 6 y – 4y3 + 1 __ 5 y2

2 . (2x2 + x – 5)

x . (x3 + 1)

y2 . (3 – 5y3)

x – 2

3y4 + 50y

2 – 1 __ 3 a

2 – 3x2 + 5x

3y3 + 2y2 – 8y

6a3 . (3 – a2)

1 __ 5 b4 . ( 2b2 + 3 __ 2 )

√ __ 9 m . (m2x – a2)

(a + b + c) . d

ad + bd + cd

x . (a + b)

xa + xb

–x3 9p2r2

3y 3 __ 2 n2

2x5y2z3 2ab 3b

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Cuadrado y cubo de un binomio


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10 13 14 15 171611 12 19 2018

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. ¿Es cierto que ( x + 2) 2 = x2 + 4?b. ¿Qué nombre recibe el polinomio que se obtiene al resolver un cuadrado de binomio?c. ¿Cuál es el desarrollo de (3x – 2) 3 ?d. ¿Es cierto que (x – 2) 2 = (x + 2) . (x – 2)?


infoactiva

(a + b) 2 = (a + b) . (a + b) (a + b) 2 = a . a + a . b + b . a + b . b (a + b) 2 = a 2 + 2 . a . b + b 2

a

b

ab

b

bb

a

aa

a . b2

b . a2 (a + b) 3 = b 3 + a 3 + 3 . a . b 2 + 3 . b . a 2

b3

a3

Diferencia de cuadradosUna diferencia de cuadrados se puede expresar como el producto de dos binomios.

a 2 – b 2 = (a + b) . (a – b)

a

I

IIb

III

a b

a – b

Si al cuadrado de área a2 se le quita el Las figuras I y II se pueden acomodarcuadrado de área b 2 , queda la figura para formar el rectángulo de base a + bpintada de naranja. y altura a – b.

a. No, la potenciación no es distributiva con respecto a la suma. b. Un trinomio. c. 27x3 – 54x2 + 36x – 8 d. No. (x – 2)2 = (x – 2) . (x – 2) = x2 – 4x + 4.

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42

11 Cuadrado y cubo de un binomioACTIVIDADES

42

15. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. Expliquen la respuesta.

a. (x + 5) 2 = x 2 + 25 c. (x + 1) . (x – 1) = x2 – 1

b. (x – 3) 3 = x 3 – 27 d. (2x – 1) 2 = 2x2 – 4x + 1

16. Desarrollen los siguientes cuadrados y cubos de un binomio.

a. (3x + 2) 2 = e. (x + 2) 3 =

b. (5 – 3a2) 2 = f. ( y + 3 __ 2 ) 3 =

c. ( 3 __ 4 b – 1 __ 3 b2 ) 2 = g. (–2 – b2) 3 =

d. ( √ __ 3 p – √

__ 2 ) 2 = h. (4c – 2) 3 =

17. Escriban el cuadrado o el cubo del binomio que corresponde a cada expresión.

a. 1 – 4y + 4y2 = e. 8x3 – 1 + 6x – 12x2 =

b. x4 + 16 + 8x2 = f. 1 – a3 – 3a + 3a2 =

c. m3 + m6 + 1 __ 4 = g. 3 __ 2 x – 1 – 3 __ 4 x2 + 1 __ 8 x3 =

d. x4 + 2x3 + x2 = h. 48y + y3 + 12y2 + 64 =

18. Escriban como producto las siguientes diferencias de cuadrados.

a. x2 – 25 =

b. 4a2 – 9 =

c. 1 ___ 49 – y2 =

d. 16x2 – 9 ___ 64 =

19. Completen la tabla escribiendo la expresión más sencilla.

. x – 2 x + 2 3x + 1

x + 2

x – 2

F V

F F

x 2 + 10x + 25

x3 – 9x2 + 27x – 27

9x2 + 12x + 4

(1 – 2y)2

x3 + 6x2 + 12x + 8

(2x – 1)3

25 – 30a2 + 9a4

(x2 + 4)2

y3 + 9 __ 2 y2 + 27 ___ 4 y + 27 ___ 8

(1 – a)3

9 ___ 16 b2 – 1 __ 2 b3 + 1 __ 9 b4

( 1 __ 2 + m3 ) 2

–8 – b6 – 6b4 – 12b2

( 1 __ 2 x – 1 ) 3

3p2 – 2 √ __ 6 p + 2

(x2 + x)2

(x – 5) . (x + 5)

(2a – 3) . (2a + 3)

( 1 __ 7 – y ) . ( 1 __ 7 + y ) ( 4x – 3 __ 8 ) . ( 4x + 3 __ 8 )

64c3 – 96c2 + 48c – 8

(y + 4)3

4x2 – 4x + 1

x2 – 4 x2 + 4x + 4 3x2 + 7x + 2

x2 – 4x + 4 x2 – 4 3x2 – 5x – 2

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43

20. Escriban en lenguaje simbólico.a. La suma entre la sexta parte de un núme-ro, aumentada en uno y la raíz cuadrada de veinticinco.b. La diferencia entre el triple de un número, dis-minuido en uno y las tres cuartas partes de doce.c. El cuadrado del anterior de un número entero, aumentado en el quíntuple de 8 __ 3 .d. La diferencia entre el cuadrado del siguiente de ocho y la mitad de un número.e. La suma entre la raíz cúbica del doble del siguiente de treinta y uno y el triple del cuadrado de un número entero.

21. Escriban en lenguaje coloquial.a. 1 __ 4 . (x + x + 1)b. x2 – 1 + 4 . 3 __ 5

c. 3x + 2 . √ ______ 35 + 1

d. 3 . ( x + 2 . √ ______ 35 + 1 )

22. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. Expliquen la respuesta.

a. 4x . x = 5x

b. 6x + x = 7x

c. 3a2 + 3a2 = 6a4

d. 3x . 6y = 18xy

e. b . b . b = 3b

f. 4m2 + 2m2 = 6m2

g. 9a2 . (–2a) = –18a3

h. 6x . 5x = 11x2

23. Encuentren el valor numérico de cada expresión, sabiendo que a = –2 y b = 3.

a. 1 __ 2 a – b =b. (a – b) 2 =c. 2b . (–a + 1) =d. (b + a) . (–a – b) =e. –3a2 + 5b =f. 2a + 3 __ 2 b =

g. 2 __ 5 a + 4 __ 3 b2 + a2 =

h. √ ______ a + 2b =

24. Resuelvan las siguientes sumas y restas.

a. 3x + 5x – 9 __ 2 x =

b. 2x + 3y + 3 __ 4 x – y =

c. 4mp + 2m2 – 6mp + m2=

d. –0,2z + 3,4y2z + 1,3z – 1,2y2z =

e. 1 __ 4 a5 – 3 __ 2 a2 – 1 __ 2 a5 + a3 =

f. 3ab – b + 0,8ab + 0,2b =

g. – 1 __ 5 x3 + 3 __ 7 x + x3 + 2x2 =

h. 5a – ( 2 __ 3 a – 1 __ 2 a) =i. – 2 __ 5 b – ( – 1 __ 5 b) + b =

j. 7 __ 2 a – 4 __ 3 b – ( 1 __ 4 a – 2b) =

25. Resuelvan las siguientes multiplicaciones y divisiones.

a. a . a3 . a =

b. 2xy . x2 y5 =

c. – 3 __ 4 b4 . ( – 2 __ 5 ab) . 5b =

d. 9mp . (–2m) . p3 =

e. 3,2ab3 . (–1,5a2) =

f. –16a4 : (–4a) =

g. 24x3y5 : (–8xy2) =

h. 8a3y . (–y) _________ 2ay2 =

i. 2,5xy4 . 1,3 (x3) 2

______________ 0,25x4y =

j. 9m5 . (–mp) 2 . 2

______________ 6m3p =

26. Resuelvan.

a. 2 __ 9 xy + 1 __ 6 y . 2x =

b. (6x – 2x + 5x) . x3 =

c. 3ab – 3a . 1 __ 2 b – a . 2b =

d. 2,2y + 12y5 : (–4y4) – 1,6y =

e. (–7m + 4m) . m2 + 2m3 =

f. 9m4 + 2m3 . ( m + 1 __ 2 m) – 3 __ 2 m4 =

g. ( 3 __ 8 y2 – 1 __ 6 y2) . ( 5 ___ 12 y + 0,25y + 1 __ 3 y ) =h. (–0,8x3 + 1,5x3 – 0,1x3) : (0,6x . 0,2x) =

i. –5a2b . (–3a2b4) + 8b3a . (–a3b2) =

j. 4pq3 . (–p2) + 2 __ 3 p2q3 . (p + 2p) + 2pq3 =

43

Integracióncapítulo

29.10.11COnTEnIDOS


Solución a cargo del alumno.

7 __ 2 x

11 __ 4 x + 2y

–2mp + 3m2

1,1z + 2,2y2z

– 1 __ 4 a5 – 3 __ 2 a2 + a3

3,8ab – 0,8b

4 __ 5 x 3 + 3 __ 7 x + 2x2

29 ___ 6 a

4 __ 5 b

13 ___ 4 a + 2 __ 3 b

a5

2x3y6

3 __ 2 b6a

–18m2p4

–4,8a3b3

4a3

–3x2y3

–4a2

13x3y3

3m4p

Solución a cargo del alumno.

F 4x2

V

F 6a2

V

F b3

V

V

F 30x2

–4

25

18

–1

3

1 __ 2

76 ___ 5

2

5 __ 9 xy

9x4

– 1 __ 2 ab

–2,4y

–m3

21 ___ 2 m4

5 ___ 24 y3

5x2

7a4b5

–2p3q3 + 2pq3

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4444

27. Resuelvan aplicando la propiedad distributiva.

a. 3 . (2x + 5) =

b. ( 3 __ 5 a – 7 ___ 10 ) . (–5) =

c. 2 . ( 1 __ 4 x – 4 ) =d. ( – 1 __ 3 y ) . (6 + 3y) =

e. ( √ __ 3 + 2a) . √

__ 2 =

f. (25x6 – 15) : 5 =

g. ( – 14 ___ 3 x5 + 1 __ 9 x7 – 4x2 ) : ( – 2 __ 9 x ) =h. (–21p8 + 27p3) : (–3p2) =

i. ( 9 __ 5 m2 – 2 ) . (5 + m) =

j. (2x2 – 5x + 4) . (x + 2) =

28. Obtengan el factor común.a. x2 + 8x5 – 4x3 =b. 6x2 + 9y =c. 12y3 – 6y2 + 4y4 =d. – 2 __ 3 a5 + 7 __ 6 a6 + a8 =e. √

__ 2 x4 – 7x =

f. 0,8b4 – 1,6b9 – 1,2b2 =g. 6 __ 5 xy4 + 4 __ 5 x3y6 – 6 ___ 25 y2z =h. √

__ 5 y4 + √

__ 5 y2 =

i. 22ab3 + 55a2b5 – 121a3b4 =j. –56ab4c3 – 49ab3y + 63a3b2z2 =

29. Desarrollen los siguientes cuadrados y cubos del binomio.

a. (x + 4) 2 = f. (a + 5) 3 =

b. (2x – 3) 2 = g. (–x + 2) 3 =

c. (–y + 9) 2 = h. (3b2 – 2) 3 =

d. ( a + 1 __ 6 ) 2

= i. (2x – 4) 3 =

e. ( 2 __ 3 x – x2 ) 2 = j. ( 1 __ 2 y + 1 ) 3 =

30. Completen.

a. ( + ) 2

= 4x2 + 4x + 1

b. ( x + ) 2

= x2 + 6x +

c. ( 1 __ 2 a – ) 2

= 1 __ 4 a2 – + 25

d. ( + y ) 2

= + 4yx2 +

31. Expresen el área sombreada de dos formas diferentes.

a.

x

y

x y b.

y

x

x

y

c.

y

x

x

y

32. Resuelvan las operaciones y expresen el resultado de la forma más sencilla.

a. (x – 1) . (x + 2) =b. (2x + 3) . (2x – 3) + (2x + 3) 2 =c. 5 – 3y2 + (y – 3) . (2y + 1) =d. (3t – 1) 2 – (3t + 1) 2 =e. (4p – 3) . (2p + 5) + p . (p – 2) =f. (3c – 2) . (–1) – 2 . (–4c + 1) =g. (x + 1) . (x – 3) – 3x2 + x =h. –2a . (–3a + 1) + (a + 1) 2 =i. ( √

__ 2 – x) 2 + ( √

__ 2 + x) 2 =

j. 4a2 – (a – 1) 2 – 6a2 + (2a2 – 1) 2 =

33. Escriban las expresiones más sencillas que representan el perímetro y el área de las figu-ras sombreadas.

a.

x + 1

2x + 3

3x – 2x

b.

2x – 1

x + 4

2x + 3

3x – 2

44

6x + 15

–3a + 7 __ 2

1 __ 2 x – 8

–2y – y2

√ __ 6 + 2a √

__ 2

5x6 – 3

21x4 – 1 __ 2 x6 + 18x

7p6 – 9p

9 __ 5 m3 + 9m2 – 2m – 10

2x3 – x2 – 6x + 8

(x + y) 2 x2 + 2xy + y2

(x – y) 2 x2 – 2xy + y2

(x + y) . (x – y) x . (x – y) + y . (x – y) x2 – y2

P = 14x + 4 Á = 5x2 + 4x – 6

P = 8v + 4 Á = 3x2 + 11 __ 2 x – 7 –– 2

x2 . (1 + 8x3 – 4x)

3 . (2x2 + 3y)

2y2 . (6y – 3 + 2y2)

a5 . ( – 2 __ 3 + 7 __ 6 a + a3 ) x . ( √

__ 2 x3 – 7)

0,4b2 . (2b2 – 4b7 – 3)

2 __ 5 y2 . (3xy2 + 2x3y4 – 3 __ 5 z)

√ __ 5 y2 . (y2 + 1)

11ab3 . (2 + 5ab2 – 11a2b)

7ab2 . (–8b2c3 – 7by + 9a2z2)

x2 + 8x + 16 a3 + 15a2 + 75a + 125

4x2 – 12x + 9 –x3 + 6x2 – 12x + 8

y2 – 18y + 81 27b6 – 54b4 + 36b2 – 8

a2 + 1 __ 3 a + 1 ___ 36 8x3 – 48x2 + 96x – 64

4 __ 9 x2 – 4 __ 3 x3 + x4 1 __ 8 y3 + 3 __ 4 y2 + 3 __ 2 y + 1

2x 1

3

5 5a

4x42x2 y2

9

x2 + x – 2

8x2 + 12x

–y2 – 5y + 2

–12t

9p2 + 12 p – 15

5c

–2x2 – x – 3

7a2 + 1

2x2 + 4

4a4 – 7a2 + 2a

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Ecuaciones I


45

11 14 15 16 181712 13

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. ¿Es cierto que –2x = 3 es equivalente a x = 3 + 2?b. ¿Es cierto que 2 – (x – 4) = 5 es equivalente a –x + 4 = 5 – 2?c. ¿Cuál es el valor de x en la ecuación 2x + 3 = x + 3?d. ¿Cuál es el valor de x en la ecuación |x| = 0?


infoactiva

2019 21

Se denomina ecuación a toda igualdad en donde aparece por lo menos un valor desconocido llamado incógnita.

Resolver una ecuación significa encontrar el o los valores que hacen verdadera la igualdad. El valor o los valores encontrados forman el conjunto solución de la ecuación.

Para resolver una ecuación se deben tener en cuenta las siguientes propiedades.

• Si en una ecuación se suma o se resta un mismo número a ambos miembros, se obtiene una ecua-ción equivalente a la dada.

• Si en una ecuación se multiplica o se divide por un mismo número (distinto de cero) a ambos miembros, se obtiene una ecuación equivalente a la dada.

Ecuación con una solución Ecuación con infinitas soluciones Ecuación sin solución

2x – 3 = 52x – 3 + 3 = 5 + 3

2x = 82x : 2 = 8 : 2

x = 4

3x + x + 3 = 4x + 34x + 3 = 4x + 3

4x – 4x = 3 – 30x = 0

2x – 6 = 2x – 10x = 5

0 = 5

Verificar una ecuación consiste en reemplazar el o los valores encontrados en ella para comprobar si la igualdad se cumple.

Ecuaciones con móduloPara resolver este tipo de ecuaciones, se usa el concepto de módulo, que es la distancia de un

número al cero.|x + 1| = 5, entonces x + 1 = 5 o x + 1 = –5.

x + 1 = 5 x + 1 = –5 x = 5 – 1 x = –5 – 1 x = 4 x = –6 40–6

a. No, es equivalente a x = 3 : (–2). b. Sí. c. La solución es x = 0. d. 0.

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46

34. Unan con una flecha las ecuaciones que tienen el mismo conjunto solución.a. 3x – 2 = –5 • 7 = 3x – 5 b. (1 – x) . 5 = 5 • 4 . (x + 2) = 8c. 6x – 9 = 2x + 3 • 7 __ 9 + 2x = 3x + 1d. x : 2 + 4 = 6 • 8 – 2x = 10e. 2 __ 9 + 3 = 2 – (x – 1) • x + 4 = 21 : 3

35. Marquen con una X la solución de cada ecuación.

a. 6x – (3 – x) + 2 = 7 – x

4 __ 3 1 __ 3 1

b. x : (–2) – 3 __ 2 = 1 __ 4

15 ___ 4 – 7 __ 2 – 7 __ 8

c. x . ( 1 – 2 __ 3 ) = 2 __ 3 x + 2

–2 6 –6

d. 5x – 3 ______ 2 = 2 – 3 __ 2 x

7 __ 8 1 ___ 23 1

36. Resuelvan cada ecuación y verifiquen el conjunto solución.

a. 7 __ 2 x – 3 = 1 – 3 __ 2 e. 1 __ 2 x + 2 __ 9 + x = 2 . ( 1 __ 3 ) 2 + 3 __ 2 x

b. 2 __ 5 – 3 __ 4 . 2 __ 5 = 3 ___ 10 + 1 __ 3 x f. 6 – 2 __ 3 x + 3 = 3 + 1 __ 3 x – 1

c. 5x – 5 __ 2 = 5 __ 4 . (–2) + 5x g. 5x + 3 __ 2 = 3x – (–2) 2

d. 9x – ( 1 __ 2 ) –1 = 9x + 6 h. 2x – (4x – 9) = ( 1 __ 6 ) –1 – x

12 Ecuaciones IACTIVIDADES

46

X

X

X

X

7 __ 2 x = 1 – 3 __ 2 + 3 1 __ 2 x + x – 3 __ 2 x = – 2 __ 9 + 2 __ 9

7 __ 2 x = 5 __ 2 0 = 0

x = 5 __ 7 Infinitas soluciones

2 __ 5 – 3 ___ 10 – 3 ___ 10 = 1 __ 3 x 6 + 3 – 3 + 1 = 1 __ 3 x + 2 __ 3 x

– 1 __ 5 : 1 __ 3 = x 7 = x

x = – 3 __ 5

5 x – 5 __ 2 = – 5 __ 2 + 5x 5x – 3x = –4 – 3 __ 2

0 = 0 2x = – 11 __ 2

Infinitas soluciones x = – 11 __ 4

9x – 2 = 9x +6 2x – 4x + x = 6 – 9

–2 = 6 –x = –3

No tiene solución. x = 3

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37. Respondan planteando la ecuación correspondiente.a. ¿Cuál es el número cuya quinta parte disminuida en seis es igual al opuesto de 3?

b. El doble de la suma entre el opuesto de cinco y el triple de un número es – 25 ___ 2 . ¿Cuál es el número?

c. La sexta parte del triple de un número aumentado en seis unidades es igual a 6 __ 5 . ¿De qué número se trata?

d. La diferencia entre el doble de cuatro tercios y la tercera parte de un número disminuido en una unidad es igual al triple de cinco sextos. ¿Cuál es el número?

e. La suma entre la mitad de 14 ___ 3 y los 3 __ 5 de la diferencia entre un número y 2 __ 9 es igual a 1. ¿De qué número se trata?

f. La mitad de la diferencia entre un número y el cuádruple de la raíz cuadrada de 25 ___ 64 es igual al opuesto de once quintos. ¿De qué número se trata?

g. La suma entre los tres quintos del cuadrado de cinco y el triple de un número es igual al cuadrado de 7 aumentado en 2. ¿Cuál es el número?

38. Resuelvan las ecuaciones y verifiquen el conjunto solución.

a. 7 __ 2 . ( 4 __ 5 x + 3 __ 7 ) + 2 = 5 __ 2 – 2 __ 5 d. 3x + 4 _____ 9 = 2 __ 9 x – 3

b. 1 __ 4 . ( 6x – 1,3 ) – ( 1,25 – √ ____

( 1 __ 4 ) –1 ) = ( 3 __ 2 ) 9 : ( 3 __ 2 ) 7 e. (9x – 4) : 6 = 1 __ 4 . (7x + 2) – 7 __ 6

c. 2 __ 5 x – 2 = 2 . ( 1 __ 5 x – 4 ) f. ( 2x + 5 __ 2 ) : 0,25 – 2x – 7,2 0 = 8 + x


4747


14 ___ 5 x + 3 __ 2 + 2 = 21 ___ 10 3x + 4 = 2x – 27

14 ___ 5 x = – 7 __ 5 3x – 2x = –27 – 4

x = – 1 __ 2 x = –31

3 __ 2 x – 1 __ 3 – 5 __ 4 + 2 = 9 __ 4 3 __ 2 x – 2 __ 3 = 7 __ 4 x + 1 __ 2 – 7 __ 6

3 __ 2 x = 11 __ 6 – 1 __ 4 x = 0

x = 11 __ 9 x = 0

2 __ 5 x – 2 = 2 __ 5 x – 8 8x + 10 – 2x – 1 = 8 + x

–2 = 8 5x = –1

No tiene solución. x = – 1 __ 5

1 __ 5 x – 6 = –3; x = 15

2 . (–5 + 3x) = – 25 ___ 2 ; x = – 5 ___ 12

1 __ 6 . (3x + 6) = 6 __ 5 ; x = 2 __ 5

2 . 4 __ 3 – 1 __ 3 . (x – 1) = 3 . 5 __ 6 ; x = 3 __ 2

14 ___ 3 : 2 + 3 __ 5 . ( x – 2 __ 9 ) = 1; x = –2

1 __ 2 . ( x – 4 . √ ___

25 ___ 64 ) = – 11 __ 5 ; x = – 19 ___ 10

3 __ 5 . 5 2 + 3x = 7 2 + 2; x = 12

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39. Resuelvan las siguientes ecuaciones y verifiquen el conjunto solución.

a. 0,2 – ( –3x + 0,3 ) = 1,2x – 0,01 d. 0,8 – 1 = 3x – 7 ______ 9 – (x – 4) : 3

b. 3,2x – 0,2 . (x – 3) = 3 . ( x + 1 __ 5 ) e. 10 – 2x _______ 5 + √ ____ 1,96 = 2 . (x – 0,1) + ( 3 __ 5 ) 31

: ( 3 __ 5 ) 30

c. 5x + 4 _____ 10 + 0,5 . (x + 3) = 2 . ( x – 2 __ 5 ) f. 0,3 . 6x + 3 __ 2 + √

___ 1,7 = 0,6x + 4 __ 3

40. Resuelvan las siguientes ecuaciones con módulo. Luego, verifiquen el conjunto solución.a. 3 . |x| – 18 = 6 + 2 . 9 e. –7 . |6 – x| = –24 + 2 . 5

b. |2x| + 3 = 5 . 6 – 15 : 3 f. |7x| : 3 __ 4 = 2 – 3 . (–4)

c. |x – 3| = 2 – 16 ___ 3 g. 5 . |x – 4| _________ 2 = 7 + 2 . √ __

9 __ 4

d. 3 __ 5 . |x + 1| = 4 __ 5 h. ( 2 __ 3 ) –2 – 19 ___ 4 = |x + 6| : (–3) __________ 2


48

3 . |x| = 24 + 18 |6 – x| = 2

|x| = 42 : 3 6 – x = –2 6 – x = 2

|x| = 14; x = –14, x = 14 x = 8 x = 4

|2x| = 22 |7x| = 56 ___ 3

2x = –22 2x = 22 7x = – 56 ___ 3 7x = 56 ___ 3

x = –11 x = 11 x = – 8 __ 3 x = 8 __ 3

|x – 3| = – 10 ___ 3 |x – 4| = 4

No tiene solución. x – 4 = –4 x – 4 = 4

x = 0 x = 8

|x + 1| = 4 __ 3 15 = |x + 6|

x + 1 = 4 __ 3 x + 1 = – 4 __ 3 x + 6 = –15 x + 6 = 15

x = 1 __ 3 x = – 7 __ 3 x = –21 x = 9

2 __ 9 + 3x – 3 __ 9 = 6 __ 5 x – 1 ___ 90 8 __ 9 – 1 = 1 __ 3 x – 7 __ 9 – 1 __ 3 x + 4 __ 3

9 __ 5 x = 1 ___ 10 – 2 __ 3 = 0

x = 1 ___ 18 No tiene solución

3,2x – 0,2x + 0,6 = 3x + 3 __ 5 2 – 2 __ 5 x + 7 __ 5 = 2x – 1 __ 5 + 3 __ 5

3x + 0,6 = 3x + 3 __ 5 12 ___ 5 x = 3

0 = 0 Infinitas soluciones. x = 5 __ 4

1 __ 2 x + 2 __ 5 + 1 __ 2 x + 3 __ 2 = 2x – 4 __ 5 2x + 3 __ 2 + 4 __ 3 = 2 __ 3 x + 4 __ 3

4 __ 5 + 2 __ 5 + 3 __ 2 = 2x – x 4 __ 3 x = – 3 __ 2

27 ___ 10 = x x = – 9 __ 8

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Ecuaciones II


49

12 15 16 17 191813 14 21 2220

Propiedad fundamental de las proporcionesCuatro números a, b, c y d (con b y d distintos de cero) forman una proporción cuando la razón

entre los dos primeros es igual a la razón entre los dos segundos.En toda proporción a __ b = c __ d , se cumple que a . d = b . c.Hay ecuaciones que se pueden resolver usando la propiedad fundamental de las proporciones.

2x + 3 ______ x = 3 ___ –2

(2x + 3) . (–2) = x . 3 1. Se aplica la propiedad fundamental de las proporciones.

–4x – 6 = 3x 2. Se aplica la propiedad distributiva.

–4x – 3x = 6 3. Se agrupan en un mismo miembro los términos semejantes.

–7x = 6 4. Se opera en cada miembro.

x = – 6 __ 7

5. Se despeja la incógnita.

Ecuaciones con potenciación

x2 + 1 __ 4 = 10 ___ 4 1. Se separa en términos.

x2 = 10 ___ 4 – 1 __ 4 2. Se agrupan en un mismo miembro los términos semejantes.

x2 = 9 __ 4 3. Se opera en cada miembro.

√ __ x2 = √

__

9 __ 4 4. Se aplica la raíz cuadrada a ambos miembros de la igualdad.

|x| = 3 __ 2 5. Tengan en cuenta que √ __ x2 = |x|.

x = – 3 __ 2 o x = 3 __ 2

Ecuaciones con radicación

√ __ x – 1 __ 3 = 1 __ 2 1. Se separa en términos.

√ __ x = 1 __ 2 + 1 __ 3 2. Se agrupan en un mismo miembro los términos semejantes.

√ __ x = 5 __ 6 3. Se opera en cada miembro.

( √ __ x ) 2 = ( 5 __ 6 ) 2 4. Se aplica la potencia correspondiente a ambos miembros.

x = 25 ___ 36 5. Se resuelve para hallar el valor de la incógnita.

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. ¿Cómo se resuelve la siguiente ecuación? x + 1 _____ x + 5 = 6 __ 5

b. ¿Es cierto que 3 es el único número que elevado al cuadrado da por resultado 9?c. La ecuación 4x2 = 64, ¿es equivalente a 4x = √

___ 64 ?


infoactiva

a. Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones, queda 5 . (x + 1) = 6 . (x + 5). b. No, (–3)2 = 9 c. No, es equivalente a x2 = 64 : 4.

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13 Ecuaciones IIACTIVIDADES

50

41. Resuelvan las siguientes ecuaciones y luego, verifiquen.

a. 3x – 2 ______ x – 1 = 2 – 6 _____ (–2) 2

h. 3 . ( 1 __ 5 x2 – 1 __ 2 ) = – ( 1 __ 4 + 1 __ 2 ) 2

b. 2x – 2 ______ 4x – 1 = x – 1 ______ 2x + 2 i. x3

__ 2 – ( 0,4 – 2 . 3 __ 5 ) –2 = ( 3 __ 8 ) 0 – √ ___

25 ___ 4

c. x – 0,8 ________ 5x + 2,3

= 1 __ 6 j. 2,5 . (x2 – 2) = 5 __ 2 . (x + 1) 2

d. 2x + 0,3 _________ 2 __ 5 =

0,5x + 0,6 __________

√ __ 9 k. √

_____

x + 5 __ 4 – 1 = 1 __ 2 – 3 __ 4

e. 2x2 + 7 __ 3 = 2 + 0,5 l. 2 __ 7 √ __ x – 3 __ 8 = (0,5) 3

f. –(–1)2 + x2 – ( 4 __ 3 ) –1 = ( 1 – 5 __ 2 ) 2 m. √ ______

1 __ 4 x + 4 + 1 __ 3 . 7 = 5 – 17 __ 12

g. ( x2 – 5 __ 9 ) : 4 – √ ___

25 ___ 81 = 3 – 7 . 1 __ 3 n. √ __ x __ 2 + 2 __ 5 . ( 4 + 1 __ 3 ) = 4 + 5 __ 3 . ( 2 __ 5 + 1 ) 2 + 7 ___ 15

(3x – 2) . (–2)2 = (x – 1) . (2 – 6) 3 __ 5 x2 – 3 __ 2 = – 9 ___ 16

16x = 12 |x| = √ ______

15 ___ 16 : 3 __ 5

x = 3 __ 4 x = – 5 __ 4 x = 5 __ 4

4x2 – 4 = (4x – 1) . (x – 1) x3 __ 2 = 1 – 5 __ 2 + 25 ___ 16

4x2 – 4 = 4x2 – 5x + 1 x3 = 1 __ 8

x = 1 x = 1 __ 2

6 . (x – 8 __ 9 ) = 1 . (5x – 7 __ 3 ) 5 __ 2 x2 – 5 = 5 __ 2 x2 + 5x + 5 __ 2

6x – 5x = – 7 __ 3 + 16 ___ 3 –5 – 5 __ 2 = 5x

x = 3 x = – 3 __ 2

3 . (2x + 1 __ 3 ) = 2 __ 5 . ( 1 __ 2 x + 2 __ 3 ) √ _____

x + 5 __ 4 = 3 __ 4

6x + 1 = 1 __ 5 x + 4 ___ 15 x + 5 __ 4 = 9 ___ 16

x = – 11 ___ 87 x = – 11 ___ 16

2x2 = 2 + 5 __ 9 – 7 __ 3 2 __ 7 √ __ x = 1 __ 8 + 3 __ 8

|x| = √ __

1 __ 9 √ __ x = 7 __ 4

x = – 1 __ 3 x = 1 __ 3 x = 49 ___ 16

x2 = 9 __ 4 + 3 __ 4 + 1 √ _______

1 __ 4 x + 4 = 5 __ 4

|x| = 4 1 __ 4 x = 25 ___ 16 – 4

x = –4 x = 4 x = – 39 ___ 4

x2 – 5 __ 9 = ( 2 __ 3 + 5 __ 9 ) . 4 √ __

x __ 2 + 8 __ 5 + 2 ___ 15 = 4 + 49 ___ 15 + 7 ___ 15

|x| = √ ___

49 ___ 9 x __ 2 = 62

x = – 7 __ 3 x = 7 __ 3 x = 72

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Problemas con ecuaciones


51

13 16 17 18 201914 15 21

Para resolver un problema a través de una ecuación, hay que determinar cuál es la incógnita y establecer relaciones para obtener la solución.

Mariana, Rodrigo y Agustín organizaron una compra de 18 productos de la siguiente forma: Agustín compró una cierta cantidad de productos; Mariana, la tercera parte de lo que compró Agustín y Rodrigo, el doble de lo que compró Mariana. ¿Cuántos productos compró cada uno?

x: cantidad de productos que compró Agustín. x + 1 __ 3 x + 2 . 1 __ 3 x = 18

1 __ 3 x: cantidad de productos que compró Mariana. 6 __ 3 x = 18

2 . 1 __ 3 x: cantidad de productos que compró Rodrigo. x = 9

Agustín compró 9 productos, Mariana 3 y Rodrigo 6.

En algunos problemas, hay que verificar si todos los valores del conjunto solución son respues-tas al problema.

¿Cuánto miden los lados del rectángulo si el área es igual a 100 cm2?

x . 4x = 100 cm2

4x2 = 100 cm2

x2 = 100 cm2 : 4 √

__ x2 = √

_______ 25 cm2

|x| = 5 cm 4x

x

x = 5 o x = –5

Los lados del rectángulo miden 5 cm y 20 cm.

Se descarta la solución negativa porque hace que las medidas de los lados sean números negativos.

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. ¿Es cierto que el doble de un número, aumentado en cinco unidades, es igual a la suma entre el doble de un número y cinco?b. ¿Cómo se escribe en lenguaje simbólico “la mitad de un número aumentada en 5 unidades”?c. ¿Es cierto que la expresión coloquial de 2x + 1 __ 3 . 2x es “la suma entre el doble de un número y su tercera parte?


infoactiva

22 23

a. Sí. b. 1 __ 2 x + 5. c. No, la expresión correcta es “la suma entre el doble de un número y la tercera parte de su doble”.

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42. Planteen la ecuación y resuelvan.a. La cuarta parte de la diferencia entre un número y 8 __ 3 es igual a la tercera parte de diez, dis-minuida en 1,25. ¿De qué número se trata?

b. La suma entre la mitad de un número aumentado en uno y los tres quintos del mismo es igual a 19 ___ 5 . ¿Cuál es el número?

c. El doble de la diferencia entre un número y 0,3 es igual a la suma entre el triple del número y la mitad del mismo aumentado en 4 unidades. ¿Cuál es el número?

43. Resuelvan las situaciones planteando una ecuación.a. Entre Santino, Thiago y Nahuel juntaron 140 figuritas. Santino juntó el doble de figuritas que Nahuel

y Thiago juntó las 5 __ 3 partes de lo que juntó Nahuel. ¿Cuántas figuritas juntó cada uno?

b. Las edades de Iván, Teo y Sofía suman 126 años. Se sabe que Iván tiene 14 años más que Teo y la edad que tiene Sofía es la mitad de la que tienen Teo e Iván juntos. ¿Cuántos años tiene cada uno?

c. Jazmín compró una bicicleta y entregó de seña la cuarta parte del total. Al retirarla, pagó en efectivo las dos quintas partes del resto y los $540 restantes los pagará en cuotas. ¿Cuál es el precio de la bicicleta?

d. En un trapecio isósceles, la base mayor mide 6 cm más que los 7 __ 4 de cada lado igual y la base menor mide la mitad de la base mayor. Calculen la medida de los lados del trapecio sabi-endo que su perímetro mide 46 cm.

14 Problemas con ecuacionesACTIVIDADES

52

1 __ 4 . ( x – 8 __ 3 ) = 1 __ 3 . 10 – 1,25

El número es 11.

1 __ 2 . (x + 1) + 3 __ 5 x = 19 ___ 5

El número es 3.

2 . (x – 0,3 ) = 3x + 1 __ 2 . (x + 4)

El número es – 16 ___ 9 .

N + 2N + 5 __ 3 N = 140; Santino juntó 60 figuritas, Thiago 50 y Nahuel 30.

T + T + 14 + 1 __ 2 . (T + T + 14) = 126; Teo tiene 35 años, Iván 49 años y Sofía 42 años.

1 __ 4 x + 2 __ 5 . 3 __ 4 x + 540 = x; la bicicleta cuesta $1 200.

x + x + 7 __ 4 x + 6 + 1 __ 2 . ( 7 __ 4 x + 6 ) = 46; la base mayor mide 20 cm; la menor, 10 cm y cada lado igual, 8 cm.

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Inecuaciones


53

14 17 18 19 2015 16

Las siguientes desigualdades se denominan inecuaciones.x < 6 5x > 10

Una inecuación es una desigualdad donde hay por lo menos un dato desconocido. En los núme-ros reales, el conjunto de todos los valores que verifican una inecuación se denomina conjunto solución y se lo representa mediante un intervalo real.

Para resolver una inecuación se deben tener en cuenta las siguientes propiedades que permiten obtener inecuaciones equivalentes, es decir, con el mismo conjunto solución.

• Si en una inecuación se suma o se resta un mismo número a ambos miembros, se obtiene una inecuación equivalente a la dada.

• Si en una inecuación se multiplica o divide por un mismo número positivo a ambos miembros, se obtiene una inecuación equivalente formada por una desigualdad que tiene el mismo sentido que la dada.

• Si en una inecuación se multiplica o divide por un mismo número negativo a ambos miembros, se obtiene una inecuación equivalente formada por una desigualdad que tiene distinto sentido que la dada.

8x + 6 > 4 –9x – 3 ≤ 15 8x > –2 –9x ≤ 18 x > –2 : 8 –9x : (–9) ≥ 18 : (–9) x > – 1 __ 4 x ≥ –2

10–1– 1—

4

(

210–1–2[

S = ( – 1 __ 4 ;+∞ ) S = [–2; +∞ )

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. El número 1 __ 5 , ¿pertenece al intervalo ( 1 __ 5 ;+∞ ) ? b. ¿Es cierto que si se suma o se resta el mismo número a ambos miembros de una inecuación, se mantiene la desigualdad?c. La inecuación 2x < 5 es equivalente a x > 5 : 2?

infoactiva

2221 23 24


a. No. b. Sí. c. No.

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15 InecuacionesACTIVIDADES

54

44. Completen la tabla.

Lenguaje coloquial Lenguaje simbólico Intervalo real

Los números reales menores o iguales que 28.

(43;+∞)

Los números reales mayores que –2.

Los números reales mayores que 6 y menores que 17.

x ≥ –5 y x < 7

Los números reales mayores que –16 y menores o iguales que –7.

45. Resuelvan cada inecuación y representen en la recta numérica el conjunto solución.

a. 3 __ 4 x + 2 ≤ – 2 __ 5 f. – 7 __ 4 x + 4 ≤ 9 __ 2

b. 3x + 2 __ 5 x > 7 __ 2 . 2 __ 5 g. 9 . (x – 5) < 7x + ( 1 __ 3 ) –1

c. 5 __ 4 + 2 __ 7 x ≤ 9 __ 4 – 6 __ 5 h. 4 – (x – 3) ≥ 5 – 3 . (x – 2)

d. 5x – 6 < 3x + (–4) 2 i. 7x – 5 ______ 2 ≤ 2x + 1 ______ 3

e. –6x + 7 > 2x – (–9) j. 3 __ 5 . ( x + 7 __ 6 ) – 5 __ 2 > 1 __ 3 x – 3 __ 2

3 __ 4 x ≤ – 12 ___ 5 – 7 __ 4 x ≤ 9 __ 2 – 4

x ≤ – 16 ___ 5 x ≥ – 4 ___ 14

17 ___ 5 x > 7 __ 5 2x < 48

x > 7 ___ 17 x < 24

2 __ 7 x ≤ – 1 __ 5 2x ≥ 4

x ≤ – 7 ___ 10 x ≥ 2

2x < 22 21x – 15 ≤ 4x + 2

x < 11 x ≤ 1

–8x > 2 3 __ 5 x + 7 ___ 10 – 5 __ 2 > 1 __ 3 x – 3 __ 2

x < – 1 __ 4 x > 9 __ 8

x ≤ 28 (–∞;28]

Los números reales mayores que 43. x > 43

x > –2 (–2;+∞)

x > 6 y x < 17 (6;17)

Los números reales mayores o iguales que –5 y menores que 7. [–5;7)

x > –16 y x ≤ –7 (–16;–7]

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46. Rodeen el valor de la incógnita en cada caso.

a. – ( – 2 __ 5 ) – (1 – x) = 5 –1

– 4 __ 5 – 22 ___ 5 4 __ 5

b. √ ________

x – ( – 3 __ 2 ) 0 ________ 2 = ( 4 __ 3 )

2

+ 11 __ 9

19 17 39 ___ 2

c. 3 . ( 1 __ 6 – 2 __ 3 x ) = 2 __ 7 . ( 7 __ 8 – 7x ) + 5 __ 6

7 ___ 12 0 no tiene solución.

d. 3x –2 _____ 4 = 5x + 3 ______ 2

1 __ 4 – 8 ___ 13 – 8 __ 7

47. Resuelvan las siguientes ecuaciones y veri-fiquen el conjunto solución.

a. 3 __ 7 x + 1 __ 5 . 15 ___ 7 = 9 ___ 14

b. 3 – 1 __ 2 x – ( – 2 __ 5 ) –1 = 5 . 2 __ 5

c. 6 __ 5 x + 1 __ 9 = 7 __ 3 + 2 __ 3 x

d. 3 __ 8 x – ( – 2 __ 5 ) = 7 __ 4 – 19 ___ 8 : 5

48. Traduzcan al lenguaje simbólico y resuelvan.a. El doble de cinco octavos disminuido en la cuarta parte de siete tercios.b. El doble de siete cuartos disminuido en el triple de dos quintos.c. El cuadrado de la diferencia entre la sexta parte de nueve y un tercio.d. La raíz cúbica de la suma entre el doble de tres medios y tres octavos.e. La suma entre el triple del opuesto de cuatro aumentado en uno y los dos tercios de 18.f. La diferencia entre la mitad de –3 y las tres octavas partes de la suma entre un sexto y un medio.g. La suma entre el doble de la diferencia entre tres cuartos y un tercio, y la raíz cuadrada de un treintaiseisavos.h. El valor absoluto de la suma entre los dos ter-cios del opuesto de ocho y los cinco cuartos de la raíz cuadrada del inverso de un dieciseisavos.

49. Marquen con una X la ecuación que tra-duce cada problema y luego resuélvanla.

a. La mitad de un número, aumentado en 1 __ 4 es igual a la diferencia entre el triple de 5 __ 6 y 3 __ 4 . ¿Cuál es el número?

1 __ 2 . ( x + 1 __ 4 ) = 3 . 5 __ 6 – 3 __ 4

1 __ 2 x + 1 __ 4 = 3 . ( 5 __ 6 – 3 __ 4 )

1 __ 2 x + 1 __ 4 = 3 . 5 __ 6 – 3 __ 4

b. Lara viajó a Mendoza, San Juan y La Rioja. Los días que estuvo en San Juan representan las 5 __ 4 partes de los días que estuvo en Mendoza y los días que estuvo en La Rioja representan la tercera parte de los días que estuvo en San Juan. Si el viaje duró 32 días, ¿cuántos días estuvo en cada ciudad?

d + 5 __ 4 d + 1 __ 3 d = 32

d + 5 __ 4 d + 5 __ 4 . 1 __ 3 d = 32

d + 5 __ 4 d + 5 __ 4 . 3d = 32

c. En una panadería elaboraron cierta canti-dad de masas secas. La octava parte de esa cantidad salió mal y no pudieron usarla para la venta. Si vendieron las tres cuartas partes del total y aún le quedan 24 masas, ¿cuántas masas secas se elaboraron?

1 __ 8 m + 3 __ 4 . 7 __ 8 m + 24 = m

1 __ 8 m + 3 __ 4 m + 24 = m

1 __ 8 + 3 __ 4 + 24 = m

50. Resuelvan aplicando propiedad distributiva. Luego, verifiquen el conjunto solución.

a. 2 . ( x – 3 ___ 10 ) + 0,3 = – (–9) 0

b. 6 . ( x + 5 __ 2 ) + ( – 1 __ 5 ) –2 – (–6) = 8x + 6

c. 3 . ( 0,4x – 5 __ 6 ) + 21 ___ 4 = 2x – 5 __ 6 : 2 __ 5

d. ( x – 3 __ 2 ) : ( – 1 __ 2 ) = 0,3 . (3,9 – 5x) – 9 __ 5

e. 7 __ 2 – ( 3 ___ 10 – x ) = √ ___

9 ___ 25 + 3 __ 4 . ( 2x + 8 __ 5 ) f. 3 . ( 1 – x ) + 2x = 2 __ 5 . ( –2x + 0,4 )

55

Integracióncapítulo

212.13.14.15COnTEnIDOS


x = 1 __ 2

x = 7

x = 25 ___ 6

x = 7 __ 3

x = – 11 ___ 30

x = 20

x = 29 ___ 4

x = 36 ___ 5

x = 14 ___ 5

x = 71 ___ 5

2 __ 3

23 ___ 10

49 ___ 36

3 __ 2

3

– 7 __ 4

1

1 __ 3

X

X

X

x = 3

En Mendoza estu-vo 12 días, en San Juan 15 días y en La Rioja 5 días.

Se elaboraron 192 masas secas.

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51. Resuelvan las siguientes ecuaciones con módulo. Luego, verifiquen el conjunto solución.

a. |x| = 2 __ 3 + 2 __ 9 . 5 __ 4

b. 7 __ 6 . | x + 2 __ 5 | = 3 __ 5 – 0,4

c. 7 __ 3 – | 1 __ 3 x | = 30

__ 6 . 5

d. – 1 __ 4 . |2x + 1| : 0,5 = 1 __ 3 . ( – 4 __ 3 ) –1 e. 0,3 . ( x 2 – 3 ) = 3 . √

_______

2 – 1,5

52. Resuelvan y verifiquen el conjunto solución.

a. 5x – 4 ______ 4 = 2 __ 3 . ( 1 __ 4 x – 1 __ 2 ) + 5 __ 6

b. 3 + x _____ 2 = 2 . ( 2 – x ) + 1 __ 4 x – 3 √ ____ –27

c. 2 __ 5 + x2 + 23 ___ 5 = 3 __ 5 . ( 7 ___ 20 + 1 __ 4 ) + 5

d. (2 x 2 – 1 __ 2 ) . 2 __ 9 – 1 = √ ________

2 – 0,2 + 1 __ 3

e. √ _____

x + 1 __ 6 = (–1) –2 + 0,5 . ( 3 – √ ___ 16 )

f. ( 3 √ _____

2x + 2 __ 3 ) . 1 __ 3 = – 0,7 + 5 . 0,2

53. Resuelvan.a. Calculen los lados y el perímetro del rectán-gulo sabiendo que el área es de 70 cm2.

2x + 2

x – 1

b. El siguiente rectángulo está formado por tres cuadrados iguales. Si el área del rectán-gulo es de 192 cm2, ¿cuál es la medida de los lados del rectángulo?

2x

c. La base del rectángulo mide 5 cm más que las 5 __ 4 partes de la altura. Si el perímetro de la figura formada por el rectángulo y el triángulo mide 186 cm, ¿cuál es la medida de los lados del triángulo?

54. Planteen la ecuación que corresponde a cada problema y luego resuélvanla.

a. El triple de la edad de Julieta es igual la edad que tendrá dentro de 8 años. ¿Cuántos años tiene?b. Entre el viernes, el sábado y el domingo, Rocío gastó $217. Si cada día gastó la mitad de lo del día anterior, ¿cuánto gastó cada día?c. Ignacio ahorró $690 entre octubre, noviem-bre y diciembre. En octubre ahorró la mitad que en noviembre y en diciembre, la tercera parte de lo que había ahorrado en octubre. ¿Cuánto ahorró cada mes?d. Javier tiene cinco años menos que la ter-cera parte de la edad que tiene su abuelo. Si las edades de ambos suman 75 años, ¿cuán-tos años tiene Javier? ¿Y su abuelo?

55. Resuelvan cada inecuación, escriban el inter-valo y representen en la recta el conjunto solución.

a. (3 – x) . 1 __ 9 + 2 ≥ ( – 3 __ 7 ) 0 + 1 __ 8

b. 1 __ 6 x + 7 __ 6 ≤ 5 ___ 12 . √ ________

3 + 3 : 1 __ 2

c. 8 __ 3 – 5 __ 3 x + √ _______

4 __ 3 + ( 2 __ 3 ) 2 < 5 __ 3 + 8 __ 9 : 1 __ 2

d. x – 1 __ 5 . (3x – 4) < 1,25 + 2 0 __ 5

e. 2 . 0,2 : ( 1 __ 2 ) –1 > 4 __ 5 + 3 . ( 1 __ 5 x – 5 __ 6 ) f. 2 . ( 2 – 5 __ 4 x ) ≥ 6 – 2 . ( – 15 ___ 2 x – 1 __ 4 ) g. 2x + 5 ______ 3 > x – 8 _____ 6

56. Planteen una inecuación en cada caso y resuélvanla. Escriban el intervalo y representen el conjunto solución en la recta numérica.

a. La suma entre la cuarta parte de un núme-ro aumentado en uno y su triple no supera al doble del opuesto de –5. b. La décima parte de la suma entre el doble de un número y tres es mayor que la tercera parte del mismo, disminuida en un décimo.c. El siguiente de la mitad de un número supera las tres cuartas partes de la suma entre su doble y 0,3 .

56

x = – 17 ___ 18 , x = 17 ___ 18

x = – 4 ___ 15 , x = – 8 ___ 15

x = – 9 __ 2 , x = 9 __ 2

x = – 3 __ 4 , x = – 1 __ 4

x = –3, x = 3

x = 18 ___ 13

x = 22 ___ 9

x = – 3 __ 5 , x = 3 __ 5

x = – 5 __ 2 , x = 5 __ 2

x = 1 ___ 12

x = – 5 ___ 27

x ≤ 87 ___ 8

x ≤ 1 __ 2 ;

x > 1 __ 3

x < 13 ___ 8

x < 19 ___ 6

x ≤ – 1 __ 7

x > –6

x < 3

x < 3

x < 3 __ 4

a. b = 14 cm y h = 5 cm. P = 38 cm; b. b = 24 cm y h = 8 cm; c. 32 cm

a. 4 b. $124; $62; $31 c. $207; $414; $69 d. 15; 60

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Autoevaluación 2

57

capítulo

57. Resuelvan las siguientes operaciones.

a. 5 __ 4 m – ( 3 __ 8 m – 1 __ 7 x ) + 5 ___ 14 x =

b. 2,5 x3 + 5x . (2x2 – 0,7x2) – 3x . x2 =

c. 4b5y2 . (–2by3) – 6b3y . (–3y4b3) =

58. Escriban las expresiones más sencillas que representen el perímetro y el área de la figura.

2x

7x + 3

59. Desarrollen el cuadrado y el cubo del binomio.

a. (2x2 – 5) 2 =

b. (3a – b2) 3 =

60. Obtengan el factor común.

4 __ 3 a2b4 – 10 __ 9 a5b2 + 2 __ 6 a3b =

61. Resuelvan las ecuaciones y verifiquen el conjunto solución.

a. 2 . (x + 0,3 ) – 3x = 1 __ 2 x + 5 __ 6 + 2 . 3 __ 4 b. 1 __ 7 . ( 3 __ 5 x2 – 1 __ 2 ) = ( 6 __ 5 ) –1 – 4 __ 3 . √ __

1 __ 4

62. Planteen la ecuación correspondiente a cada problema y luego resuélvanla.Alejo, Felipe y Gustavo fueron a cenar. Felipe gastó $20 más que la mitad de lo que debió pagar Alejo, y Gustavo las dos quintas partes de lo que gastaron entre Felipe y Alejo juntos. Si entre los tres gastaron $154, ¿cuánto dinero pagó cada uno?

63. Resuelvan la inecuación y representen el conjunto solución en una recta numérica. 3 __ 8 + 3 __ 2 . (1 – x) > 1,75 – (x – 2)

7 __ 8 m + 1 __ 2 x

6x3

10b6y5

Perímetro: 22x + 6; área: 20x2 + 12x

1 __ 3 a2b . (4b3 – 10 ___ 3 a3b + a)

4x4 – 20x2 + 25

27a3 – 27a2b2 + 9a2b4 – b6

2x + 2 __ 3 – 3x = 1 __ 2 x + 5 __ 6 + 3 __ 2 3 ___ 35 x2 = 5 __ 6 – 2 __ 3 + 1 ___ 14

– 3 __ 2 x = 5 __ 3 |x| = 5 __ 3

x = – 10 ___ 9 x = – 5 __ 3 , x = 5 __ 3

3 __ 8 + 3 __ 2 – 3 __ 2 x > 7 __ 4 – x + 2

– 15 ___ 4 > x

a + 1 __ 2 a + 20 + 2 __ 5 . (a + 1 __ 2 a + 20) = 154

Alejo gastó $60, Felipe $50 y Gustavo $44.

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