Capítulo 8

Ecuación de la circunferencia

8.1 Distancia entre dos puntos

Establecido un sistema cartesiano en el plano (coordenadas x; y), el teorema de Pitágoras nos permitehallar la distancia entre dos puntos P1 de coordenadas (x1; y1) y P2 de coordenadas (x2; y2), (figura 8.1) con la fórmula:

d(P1; P2) =p

(x2 � x1)2 + (y2 � y1)2

La distancia entre dos puntos

Figura 8.1

Definición: Una circunferencia de centro C (x0; y0) y de radio r, donder es un número real positivo, es el lugar geométrico de los puntos P , queestán a distancia r de C.

Entonces, las coordenadas (x; y) de P (figura 8.1 ) deben satisfacer la ecuaciónd(P;C) =

p(x� x0)2 + (y � y0)2 = r, y al elevar al cuadrado ambos miembros obtenemos la

ecuación

(x� x0)2 + (y � y0)

2 = r2(8.1)

Por otro lado todo punto de coordenadas (x; y) que satisface la ecuación anterior, tambien está a dir-tancia r del punto central C(x0; y0), así que 8.1 es la ecuación de la circunferencia buscada.

102 Ecuación de la circunferencia

Un punto P en la circunfurencia

Figura 8.2

Observación importante: la circunferencia anterior no puede ser el gráfico de una fun-ción ya que a cada valor x del dominio debería corresponder dos valores de f(x), lo que nopermite definir la función. Pero si tomamos sólo media circunferencia, entonces la funciónf estará definida en el intervalo [x0 � r; x0 + r] por la fórmula

f(x) = y0 +pr2 � (x� x0)2

(si tomamos el valor positivo de la raíz) y f tiene como gráfica la media circunferenciasuperior en la figura 8.3 .

Media circunferencia superior de centro (x0; y0)

Figura 8.3

Por otro lado la función

g(x) = y0 �pr2 � (x� x0)2

tiene como gráfica la semicircunferencia inferior. Igualmente es posible construir otras fun-ciones cuya gráfica este compuesta por arcos tomados de las semicircunferencias superior einferior, por ejemplo definidas por trozos. Escriba y dibuje usted un ejemplo de esto último.

La circunferencia es un lugar geométrico; el lugar geométrico de los puntos P que equidistan deotro punto C. Hemos visto que, analíticamente, ese lugar se describe con una ecuación dada por unpolinomio de segundo grado en las variables x e y:

(x� x0)2 + (y � y0)

2 � r2 = 0

Efectuando operaciones y ordenando el polinomio obtendremos:

x2 + y

2 � 2x0x� 2y0y + x2

0 + y2

0 � r2 = 0

8.2 Ejercicios: circunferencias y rectas 103

El polinomio de segundo grado más general en dos variables es el siguiente:

Ax2 +By

2 + Cxy +Dx+Ey + F

donde A; B; C D; E; F son números reales. Si A 6= 0 podemos asumir A = 1, dividiendo por Atodos los coeficientes del polinomio.

Miremos un polinomio de segundo grado en x y y como el anterior pero con A = 1. Para que estepolinomio represente una circunferencia, debemos tener que A = B = 1; C = 0 y

�F + (E

2)2 + (

D

2)2 � 0

En efecto, en este caso el polinomio es x2 + y2 + Dx + Ey + F . Hacemos �2x0 = D; �2y0 =

E; x2

0 + y2

0 � r2 = F y obtenemos:

x0 = �D2; y0 = �E

2y r2 = �F + (

D

2)2 + (

E

2)2

Con esta notación el polinomio es (x� x0)2 + (y � y0)

2 � r2 y la ecuación

(x� x0)2 + (y � y0)

2 � r2 = 0

representa la circunferencia de centro (x0; y0) y radio r � 0.

Ejemplo: Sea P (x; y) = Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F un polinomio de segundo grado

tal que A = B = 1; C = 0 y �F + (E

2)2 + (

D

2)2 < 0, entonces la ecuación P (x; y) = 0 no

representa ningún lugar geométrico porque, haciendo x0 = �D2

y y0 = �E2; P (x; y) = 0

es equivalente a la ecuación (x� x0)2 + (y � y0)

2 = �F + x2

0 + y2

0 < 0. No existe ningúnpar (x; y) que verifique esta ecuación (sería una circunferencia de «radio imaginario»).

8.2 Ejercicios: circunferencias y rectas1. Encontrar la ecuación de la circunferencia de centro (1;�2) y radio 3.

2. Lugares geométricos:

(a) Sean los puntos A(1; 0) y B(4; 0). Halle la ecuación del lugar geométrico de los puntosP (x; y) del plano tales que,

d(P;B)

d(P;A)= 2

Ayuda: Considere

d(P;B)

d(P;A)=

p(x� 4)2 + y2p(x� 1)2 + y2

= 2

Asi, (x� 4)2 + y2 = 4((x� 1)2 + y

2) es una circunferencia de centro (0; 0) y radio 2.(b) Dados dos puntos fijos cualesquiera,A; B, demuestre que el lugar geométrico de los puntos

P del plano tales que,d(P;B)

d(P;A)= k constante

es una circunferencia. Halle esa circunferencia.(c) Dados dos puntos fijos cualesquiera, A; B. Halle la ecuación del lugar geométrico de los

puntos P del plano tales que,d(P;A)2 � d(P;B)2 = k constante

Demuestre que es una recta perpendicular a la recta que pasa por A y B.

3. Hallar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia (x � 1)2 + (y + 3)2 = 25 en el punto(4; 1).

104 Ecuación de la circunferencia

4. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene centro en el punto donde la recta 2x�3y+5 = 0

corta al eje X y que pasa por el punto donde la recta 5x� y + 2 = 0 corta al eje Y .

5. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por (2; 3) y (�1; 1) y cuyo centro está en la rectax� 3y � 11 = 0.

6. Considere dos puntos fijos A(a1; a2) y B(b1; b2) en el plano.

(a) Encuentre la ecuación del lugar geométrico de los puntos P (x; y) que equidistan de A y deB.

(b) Pruebe que es una recta perpendicular a AB. Pruebe que es la mediatriz del segmento AB.

7. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene como centro C(�1; 2) y que pasa por el puntoA(2; 6).

8. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(3; 1) yB(�1; 3) y su centro estásituado en la recta 3x� y � 2 = 0.

9. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la circunferencia x2 + 14x + y2 + 18y = 39, que la

toca en el punto del segundo cuadrante donde x = �2.

10. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A(7;�5) y cuyo centro es el puntode intersección de las rectas 7x� 9y � 10 = 0 y 2x� 5y + 2 = 0.

11. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(�3; 3) y B(1; 4) y su centro estásobre la recta 3x� 2y � 23 = 0.

Si se tienen dos lugares geométricos, representados por ecuaciones f(x; y) = 0 y g(x; y) = 0,hallar los puntos de intersección de los dos lugares geométricos equivale a resolver el sistema deecuaciones en x y y.�

f(x; y) = 0g(x; y) = 0

12. Encuentre los puntos de corte de la recta x+ y = 1 y la circunferencia x2 + y2 = 4.

13. Sea P (�3; 1) y la recta 4x� 3y + 1 = 0, encuentre la distancia de P a la recta. Esto es la mínimadistancia d(P (�3; 1); Q(x; y)) donde Q(x; y) es un punto de la recta.