86 - Edebe · 2012. 5. 14. · 2.3. Tipus de sistemes 2.4. Representació gràfica de sistemes...

86

ARITMÈTICA I ÀLGEBRA

4

Unitat 4

CONTINGUTS1. Equacions de primer grau

amb dues incògnites

2. Sistemes d’equacions

2.1. Resolució gràfica

2.2. Mètodes algèbrics

2.3. Tipus de sistemes

2.4. Representació gràfica de sistemes d’equacions amb ordinador

3. Aplicació a la resolució de problemes

Competència matemàtica

• Utilitzar equacions i sistemes d’equacions per a respondre a situacions de la vida quotidiana.

Tractament de la informació i competència digital

• Emprar recursos digitals per a la resolució gràfica de sistemes d’equacions.

Competència per a aprendre a aprendre

• Aplicar els coneixements adquirits a contextos nous per a incrementar la pròpia autonomia.

COMPETÈNCIES BÀSIQUES

Equacions amb dues incògnites. Sistemes

104200_MAT_CAT_2ES_UNIDAD_04_86_107.indd 86 27/03/12 8:38

87Equacions amb dues incògnites. Sistemes

PREPARACIÓ DE LA UNITAT• El sistema de coordenades cartesianes està format

per dues rectes perpendiculars graduades, anomenades eixos de coordenades.

• L’eix horitzontal s’anomena eix d’abscisses i es repre-senta per X.

• L’eix vertical s’anomena eix d’ordenades i es representa per Y.

• Els eixos de coordenades divideixen el pla en quatre regions anomenades quadrants.

• El punt en què es tallen els dos eixos és l’origen de coor-denades, que es representa per O.

• En el sistema de coordenades cartesianes, a cada punt del pla li correspon un parell de nombres, anomenats coordenades, i a l’inrevés.

Les entrades d’un parc d’atraccions costen 25 ∑ per als adults i 9 ∑ per als nens amb una estatura inferior als 120 cm. L’aforament del parc en un dia determinat ha estat de 2 700 persones i la recaptació de 53 100 ∑.

— Tradueix al llenguatge algèbric:

a) L’aforament del parc

b) La recaptació

— És possible expressar algèbricament la recaptació amb una sola incògnita?


1. Equacions de primer grau amb dues incògnites

En la unitat anterior hem estudiat les equacions de primer grau amb una incòg-nita. En aquesta, ampliarem l’estudi de les equacions: tractarem les de primer grau amb dues incògnites.

Observa la manera com procedim per a traduir la frase següent al llenguatge algèbric:

El triple d’un nombre més un altre nombre és igual a 5.

En l’equació obtinguda, 3x + y = 5, apareixen dues incògnites (x i y) amb expo-nent 1. És una equació de primer grau amb dues incògnites.

Vegem si l’equació anterior, 3x + y = 5, es compleix en donar diferents valors a x i y.

Observem que la igualtat només es verifica per a alguns parells de valors de x i y.

Una solució de l’equació és cada parell de valors numèrics de les incògnites que fan certa la igualtat.

Així, el parell de valors x = -1, y = 8 és una solució de l’equació anterior.

RECORDAUna equació és una igualtat entre dues expressions algèbriques.

Segons els valors de les incògnites, la igualtat es pot complir o pot no complir-se.

88

1. Redacta un enunciat que es pugui expressar algèbricament mitjançant una equació de primer grau amb dues incògnites.

— Escriu l’equació que correspon a l’enunciat.

Unitat 4

ACTI

VITA

TS

Triem les lletres amb les quals represen-tarem les incògnites.

x per al primer nombre

y per al segon nombre

Traduïm al llenguatge algèbric la prime-ra part de l’enunciat.

El triple del primer nombre:

3x

Traduïm al llenguatge algèbric la segona part de l’enunciat.

El segon nombre:

y

Escrivim l’equació corresponent a l’enun-ciat complet.

3x + y = 5

x yPrimer membre

(3x)Segon membre

(y)Es compleix la igualtat?

-1 8 -3 8 Sí

2 4 6 4 No

Una equació és de primer grau amb dues incògnites si, un cop realitzades les operacions i reduïts els termes semblants, apareixen dues incògnites el màxim exponent de les quals és 1.


ResolucióPer a trobar solucions d’una equació de primer grau amb dues incògnites pro-cedirem de la manera següent:

Observem que els parells de valors x = -2, y = 11; x = -1, y = 8; x = 0, y = 5; x = 1, y = 2; x = 2, y = -1 són solucions de l’equació.

Representació gràfica de les solucionsLes solucions d’una equació de primer grau amb dues incògnites es poden re-presentar gràficament en un sistema de coordenades cartesianes. Per a fer-ho, assignem a cada parell de valors x i y que siguin solució de l’equació el punt del pla que té aquests valors per coordenades: (x, y).

Si poguéssim obtenir totes les solucions de l’equació 3 x + y = 5 i les represen-téssim gràficament, obtindríem la recta de la figura de la dreta.

2. Tradueix al llenguatge algèbric l’enunciat següent.

«La suma del doble d’un nombre més un altre nombre és igual a 4.»

— Fes una taula amb cinc solucions de l’equació obtingu-da. A continuació, representa-les.

3. Representa gràficament les solucions d’aquestes equacions:

a) 2 y = 3 x + 4 b) 2(x + 1) = y + 3

4. Troba les solucions de l’equació següent 3 x - 2 (y - 3) = 5 per a aquests valors.

y y y= − = =112

2; ;

5. En la gràfica següent hem representat les solucions de l’equació 3 y = 2 x + 5.

–1–1–2–3–4–5–6–7–8

12345

–2–3–4

1 2 3 4 5 6 7 80

Y

X

Assenyala tres punts de la recta i comprova que les seves coordenades corresponen a solucions de l’equació.


ACTIVITATS

–1–2–3–4–5–6–7–8

1234567891011

–2–3–4–5–6

1 2 3 4 5 6 7 80

Y

X–1

La representació gràfica de les solucions d’una equació de primer grau amb dues incògnites és una recta.

PROCEDIMENT EXEMPLE

Aïllem una de les incògnites, per exem-ple la y.

Per a fer-ho, transposem el primer terme.

y = 5 - 3x

Assignem valors qualssevol a l’altra in-cògnita, x, per a calcular, a continuació, els corresponents a la y.

D’aquesta manera, podem construir una taula de solucions.

x y x= −

− − ⋅ − =

− − ⋅ − =

− ⋅ =

−

5 3

2 5 3 2 11

1 5 3 1 8

0 5 3 0 5

1 5

( )

( )

33 1 2

2 5 3 2 1

⋅ =

− ⋅ = −

FIXA-T'HIPer a cada valor arbitrari de x podem obtenir un valor de y.

Com que x pot prendre qualsevol va-lor, una equació de primer grau amb dues incògnites té infinites solucions.


2. Sistemes d’equacionsEs pot donar el cas que dues equacions s’hagin de complir al mateix temps. Llegeix l’enunciat següent:

La suma de dos nombres és igual a 5. A més, en restar 4 al doble del primer nombre, n’obtenim el segon.

Ens fan falta dues equacions per a traduir-lo al llenguatge algèbric.

Aquestes dues equacions que s’han de complir alhora constitueixen un sistema d’equacions.

Un sistema d’equacions s’escriu agrupant les equacions que el formen amb una clau.

x y

x y

+ =

− =

5

2 4

Acabem de veure que una equació de primer grau amb dues incògnites té infi-nites solucions, però hem de determinar quants valors de les incògnites verifi-quen simultàniament les dues equacions.

Cada parell de valors x i y que verifica simultàniament totes les equacions d’un sistema és una solució del sistema.

De la mateixa manera que dues equacions són equivalents quan tenen les ma-teixes solucions, dos sistemes d’equacions són equivalents si tenen les matei-xes solucions.

Així, doncs, els sistemes d’equacions:

2 6

3 3 18

5 2 24

11 5 54

x y

x y

x y

x y

− =

+ =

+ =

+ =

són equivalents, ja que que tenen les mateixes solucions.

90

6. Expressa l’enunciat següent mitjançant un sistema d’equacions: «L’edat d’un fill és quatre vegades menor que la del seu pare i fa sis anys era set vegades menor».

7. Comprova si el parell de valors (-7, -5) és una solució del sistema d’equacions següent.

3 4 7

7 8 105

x y

x y

− =

+ = −

Unitat 4

ACTI

VITA

TS

La suma de dos nombres és igual a 5.

El doble del primer menys 4 és igual al segon.

x y

x y

+ =

− =

5

2 4

Un sistema d’equacions és un conjunt d’equacions que s’han de verificar simultàniament.


2.1. Resolució gràficaResoldre un sistema d’equacions consisteix a trobar els valors de les incògnites que verifiquin alhora totes les equacions.

La resolució gràfica d’un sistema d’equacions de primer grau amb dues incògni-tes consisteix a representar les rectes corresponents a les solucions de cadascu-na de les equacions del sistema. Els punts comuns a totes dues rectes ens pro-porcionaran les solucions del sistema.

Aprendrem ara la manera de resoldre gràficament el sistema plantejat en la pàgina anterior.

8. Representa gràficament les solucions de les equacions dels sistemes següents.

a b) )2 3 1

2 11

2 3 11

2

x y

x y

x y

x y

− =

+ =

+ =

− = 22

— Escriu la solució de cada sistema i comprova-les.

9. Resol gràficament aquests sistemes.

a b) )2 0

3 7

3 2 18

2 6 1

x y

x y

x y

x y

− =

+ =

+ =

− − = − 22

— Comprova les solucions.

— Es tracta de dos sistemes equivalents?

91

Si accedeixes a la pàgina http://youtu.be/fJ__PcO46Uw, podràs visualitzar un vídeo en què es resol gràficament un sistema d’equacions.

@


ACTIVITATS

Troba gràficament la solució del sistema següent.

x y

x y

+ =

− =

5

2 4

— En primer lloc, aïllem y en la primera equació. En la segona equació no cal fer-ho.

y x

y x

= −

= −

5

2 4

— Construïm una taula de solucions de cada equació assignant valors arbitraris a x i calculant els correspo-nents a la y.

xPrimera equació

y = 5 - xx

Segona ecuació y = 2 x - 4

-3 5 - (-3) = 8 -2 2 · (-2) - 4 = -8

-1 5 - (-1) = 6 0 2 · 0 - 4 = -4

1 5 - 1 = 4 1 2 · 1 - 4 = -2

3 5 - 3 = 2 4 2 · 4 - 4 = 4

— Representem gràficament les solucions de cadascuna de les equacions en un sistema de coordenades cartesianes.

–1–1–2–3–4–5–6–7–8–9–10

12345678

–2–3–4–5–6–7–8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

Y

X

— Les dues rectes es tallen en el punt (3, 2), per la qual cosa x = 3, y = 2 és la solució del sistema.

— Comprovem el resultat obtingut. Per a fer-ho, substi-tuïm els valors trobats en les dues equacions i verifi-quem que es compleixen.

Primera equació Segona ecuació

x + y = 5 2 x - 4 = y

3 + 2 = 5 2 · 3 - 4 = 2

5 = 5 2 = 2

EXEM

PLE

1

x


2.2. Mètodes algèbricsLa resolució gràfica de sistemes pot ser imprecisa en el cas que les solucions no siguin nombres enters.

Així, doncs, per a resoldre sistemes, s’utilitzen habitualment els anomenats mè-todes algèbrics: mètode de substitució, mètode d’igualació i mètode de reducció.

Mètode de substitucióPer a resoldre un sistema d’equacions pel mètode de substitució, en primer lloc aïllem una de les incògnites en una de les equacions i substituïm l’expressió obtinguda en l’altra equació.

Vegem el procés de resolució d’un sistema per aquest mètode.

92

10. Resol els següents sistemes pel mètode de substitució.

a b) )5 8 13

2 3 4

5 3

2 0

x y

x y

x y

x y

− = −− = −

− = −− + =

11. Resol el següent sistema pel mètode de substitució i pel mètode gràfic. Comprova que obtens la mateixa solució.

2 3 7

2 2

y x

y x

− =− =

Unitat 4

ACTI

VITA

TS

PROCEDIMENT Exemple :3 2 11

2 5 11

x y

x y

− = −

− = −

Aïllem x en la primera equació.x

y= − +11 23

Substituïm la x de la segona equació per l’expressió obtinguda. 2

11 23

5 11⋅ − +

− = −yy

Resolem l’equació resultant, que és una equació de primer grau amb una incòg-nita.

− + − = −

⋅ − + −

= ⋅ −

−

22 43

5 11

322 4

35 3 11

22

yy

yy ( )

++ − = −

− = − +

− = −

=

4 15 33

4 15 33 22

11 11

1

y y

y y

y

y

Substituïm el valor de y trobat en l’ex-pressió on apareix aïllada x. x

y= − + = − + ⋅ =

= − + = − = −

11 23

11 2 13

11 23

93

3

Escrivim la solució del sistema. x = -3, y = 1


Mètode d’igualacióAquest mètode consisteix a aïllar la mateixa incògnita en les dues equacions i igualar les expressions obtingudes.

Observa el procediment que seguim per a resoldre un sistema pel mètode d’igualació.

12. Resol els següents sistemes pel mètode d’igualació.

a b) )y x

y x

y x

y

− =

+ =

− =3

2 3 16

2 3 6

++ =

x 8

13. Resol aquest sistema gràficament i pel mètode d’igualació. Comprova que obtens el mateix resultat.

2 3 1

2 11

x y

x y

− =

+ =

14. Resol el següent sistema pel mètode d’igualació i pel mètode de substitució.

2 2 8

3 2 11

x y

x y

+ =

+ =


ACTIVITATS


2 5 11

x y

x y

− = −

− = −

Aïllem x en les dues equacions.3 2 11

11 23

2 5 1111 5

2

x y xy

x y xy

− = − ⇒ = − +

− = − ⇒ = − +

Igualem les expressions obtingudes. − + = − +11 23

11 52

y y

Resolem l’equació resultant, que és una equació de primer grau amb una incòg-nita.

611 2

36

11 52

2 11 2 3 1

⋅ − +

= ⋅ − +

⋅ − + = ⋅ −

y y

y( ) ( 11 5

22 4 33 15

4 15 33 22

11 11

1

+

− + = − +

− = − +

− = −

=

y

y y

y y

y

y

)

Substituïm el valor de y trobat en qualse-vol de les dues expressions en què apa-reix aïllada x.

xy= − + = − + ⋅ =

= − + = − = −

11 23

11 2 13

11 23

93

3



Mètode de reduccióPer a resoldre un sistema d’equacions pel mètode de reducció, multiplicarem cada equació pel nombre adequat i, d’aquesta manera, en sumar les dues equa-cions resultants, obtindrem una equació amb una sola incògnita.

Fixa’t en el procés de resolució d’un sistema pel mètode de reducció.

94

Si accedeixes a la pàgina http://www.vadenumeros.es/tercero/sistemas-de-ecuaciones.htm, trobaràs exem-ples d’aplicació dels diferents mètodes algèbrics de resolució d’equacions, així com una aplicació per a comprovar les solucions d’un sistema.

@

15. Resol els següents sistemes pel mètode de reducció.

a b) )x y

x y

x y+ =

+ =

− =4

2 4 10

4 2

2 5 7x y− =

16. Resol el següent sistema gràficament i pel mètode de reducció. Comprova que obtens el mateix resultat.

2 2 6

3 4 12

x y

x y

+ =

+ =

Unitat 4

ACTI

VITA

TS


2 5 11

x y

x y

− = −

− = −

Multipliquem la primera equació per 2 i la segona equació per -3. D’aquesta ma-nera, els coeficients de la x en les dues equacions seran nombres oposats.

3 2 11 6 4 22

2 5 11 6

2

3

x y x y

x y

− = − → − = −

− = − → −

⋅

⋅ −( ) xx y+ =15 33

Sumem membre per membre les dues equacions i aïllem la y.

6 4 22

6 15 33

11 11 1

x y

x y

y y

− = −

− + =

= ⇒ =

Per a trobar el valor de x, podem substi-tuir en qualsevol de les equacions inici-als el valor de y trobat i, a continuació, aïllar x.

També podem trobar el valor de x utilit-zant de nou el mateix mètode per tal d’eliminar les y. Per a fer-ho, multipli-quem la primera equació per 5 i la sego-na per -2.

3 2 11 15 10 55

2 5 11

5

2

x y x y

x y

− = − → − = −

− = − −

·

·( )→→ − + =4 10 22x y

Sumem membre per membre les dues equacions i aïllem la x.

15 10 55

4 10 22

11 33 3

x y

x y

x x

− = −

− + =

= − ⇒ = −



17. Resol els sistemes següents pels tres mètodes descrits. Quin resulta més apropiat en cada cas?

a b) )x y

x y

x y+ =

− = −

+ = −

−

4 7

3

14

2 7

3312

14x y+ = −


ACTIVITATS

Resol el següent sistema pel mètode d’igualació:

— En primer lloc, aïllem la x en les dues equacions.

— Igualem les expressions obtingudes.

— Resolem l’equació resultant, de primer grau amb una incògnita.

— Substituïm el valor de y en una de les expressions en què apareix aïllada la x.

— La solució del sistema és:

— Comprovem el resultat substituïnt els valors ob-tinguts en una de les equacions.

EXEM

PLE

2

x y

y x

− + =− − =

2 3 0

4 2

x y

xy

= −

= − −2 3

2

4

4 2 3 2

8 12 2

8 2 12

9 1010

9

⋅ − = − −

− = − −

+ = − +

= → =

( )y y

y y

y y

y y

x = ⋅ − = − = −210

93

20

9

27

9

7

9

− − =

− − ⋅ −

= =

y x4 2

10

94

7

9

18

92

x y= − =7

9

10

9,

2 32

4y

y− = − −

Resol el sistema següent pel mètode de reducció:

— En primer lloc, multipliquem la segona equació per -3.

2x - y = 1 → -6x + 3y = -3

Així, hem obtingut un sistema en el qual els coefi-cients de la y en les dues equacions són nombres oposats.

— Sumem, membre a membre, les dues equacions.

— Substituïm el valor de x en una de les equacions inicials i aïllem la y.

2 · 1 - y = 1 y = 2 · 1 - 1 = 1

— La solució del sistema és:

x = 1, y = 1

— Comprovem el resultat sustituïnt els valors ob-tinguts en una de les equacions.

3x - 3y = 0 → 3 · 1 - 3 · 1 = 0

EXEM

PLE

33 3 0

6 3 3

3 33

31

x y

x y

x x

− =

− + = −

− = − → = −−

=

3 3 0

2 1

x y

x y

− =− =

3 3 0

6 3 3

x y

x y

− =

− + = −


2.3. Tipus de sistemesJa hem vist que les solucions d’un sistema d’equacions de primer grau amb dues incògnites estan determinades pels punts que tinguin en comú les rectes obtingudes en representar gràficament les solucions de cada equació.

Segons les solucions, els sistemes es classifiquen en: compatibles determinats, compatibles indeterminats i incompatibles.

Sistema compatible determinat

Observa la representació gràfica del sistema següent:

3 6

2 4

x y

x y

+ =− =

Les dues rectes són secants: tenen un únic punt en comú.

Les dues rectes es tallen en el punt (2, 0): el sistema té una única solució, el parell de valors format per x = 2 i y = 0.

Sistema compatible indeterminatFixa’t ara en la representació gràfica d’aquest altre sistema:

2 3

2 3

x y

x y

− =− + = −

Les dues rectes són coincidents: tenen tots els punts comuns. Totes les solucions d’una equació ho són també de l’altra.

El sistema té infinites solucions.

96

Si accedeixes a la pàgina http://www.xtec.cat/~voliu/sistemes_equacions/resoluci_grfica.html, trobaràs una aplicació per a representar gràficament i classificar sistemes d’equacions de pri-mer grau amb dues incògnites.

@

Unitat 4

–1–1–2–3–4–5–6–7

1234567

–2–3–4–5–6–7

1 2 3 4 5 6 7 80

Y

X

–1–1–2–3–4–5–6–7

1234567

–2–3–4–5–6–7

1 2 3 4 5 6 7 80

Y

X

Un sistema compatible determinat és aquell que té una única solució i la representació gràfica del qual correspon a dues rectes secants.

Un sistema compatible indeterminat és aquell sistema que té infinites solucions i la representació gràfica del qual correspon a dues rectes coin-cidents.


Sistema incompatible Finalment, vegem la representació gràfica d’aquest sistema:

y x

y x

− =− = −

5 2

2 10 6

Les dues rectes són paral·leles: no tenen cap punt en comú.

El sistema no té solució.

18. Resol, pel mètode que prefereixis, els sistemes de l'apartat 2.3. Comprova que la solució algèbrica coincideix amb la solució gràfica.

19. Resol algèbricament aquests sistemes i classifica’ls en compatibles determinats, compatibles indeterminats o incompatibles.

a b c) ) )2 2

3 8

2 3

3

2

3

x y

x y

x y

x y

x y− =

+ =

+ = −

− = −

+ =

xx y

x y

x y+ = −

+ =

+ = −

3 6

2 6

2 2

d)


ACTIVITATS

–1–1–2–3–4–5–6–7

1234567

–2–3–4–5–6–7

1 2 3 4 5 6 7 80

Y

X

Resol i classifica el següent sistema d’equacions. Comprova que la solució algèbrica i la gràfica coincideixen.

— Resolem el sistema pel mètode de reducció: multipliquem la segona equació per 2 per obtenir coeficients oposats de les y.

— Substituïm el valor de x en una de les equacions inicials i aïllem y.

3 - y = 3 → y = 3 - 3 = 0

La solució del sistema és x = 3, y = 0. El sistema té una única solució: es tracta d’un sistema compatible. La seva representació gràfica correspon a dues rectes secants que es tallen en el punt (3, 0).

EXEM

PLE

4

3 2 9

3

x y

x y

+ =− =

3 2 9

2 2 6

5 1515

53

x y

x y

x x

+ =− =

= → = =

Y

X12

3

45

6

7

8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11�1 0�2�3�4

�1�2

�3

�4�5�6�7

Un sistema incompatible és aquell que no té solució i la representació gràfica del qual correspon a dues rectes paral·leles.


2.4. Representació gràfica de sistemes d’equacions amb ordinador

Podem representar gràficament sistemes d’equacions amb el programa Geo-gebra. La representació ens permetrà classificar-los segons les solucions.

Vegem com representar aquest sistema:

2 6

2 10

x y

x y

− =+ =

— A la finestra inferior d’entrada d’expressions algèbriques de Geogebra escrivim la primera equació del sistema, 2 x - y = 6. En prémer «Intro», obtenim la recta corresponent a la representació gràfica de les seves solucions.

— A continuació, introduïm a la finestra algèbrica la segona equació del sistema, 2 x + y = 10 i premem «Intro» per obtenir la recta que representa les solucions d’aquesta equació.

— Un cop representat el sistema d’equacions, el podem classificar observant les posicions relatives de les dues rectes obtingudes. En l’exemple anterior, tenim dues rec-tes. Es tracta, doncs, d’un sistema compatible determinat.

Seguint el procediment descrit ante-riorment, representem gràficament aquest altre sistema:

2 5

2 4

x y

x y

+ =

+ =

A l’esquerra podem veure la representació gràfica de les dues equacions del sistema. Atès que les rectes obtingudes són paral·leles, aquest sistema és in-compatible.

98

20. Utilitza un programa informàtic de representació gràfica per a comparar els resultats obtinguts a l’activitat 19.

21. Resol, pel mètode que prefereixis, els sistemes d’equacions següents i representa’ls gràficament amb un programa infor- màtic:

a b c) ) )3 3 6

3

3 6

2 3

2x y

x y

x y

x y

x+ =

+ =

+ =

+ =

+ 55 12

5 2 10

y

y x

=

+ =

— Es pot inferir alguna relació entre la representació gràfica d’un sistema d’equacions i les seves solucions?

Unitat 4

ACTI

VITA

TS


3. Aplicació a la resolució de problemes

En la unitat anterior hem vist el procediment que hem de seguir per a resoldre problemes mitjançant una equació de primer grau amb una incògnita.

El procediment per a resoldre problemes mitjançant un sistema d’equacions de primer grau amb dues incògnites és molt semblant. Fixa’t en l’exemple següent.

22. Tres llibres i dos retoladors costen 25 ∑. Dos retoladors i un llibre costen 9 ∑. Calcula el preu d’un llibre i el d’un reto- lador.

23. Determina les mesures dels costats d’un triangle isòsceles de 50 cm de perímetre, si sabem que el costat desigual mesura 5 cm més que cadascun dels costats iguals.


ACTIVITATS

Un nombre consta de dues xifres que sumen 9. Aquest nombre supera en 9 uni-tats el que resulta d’invertir l’ordre de les seves xifres. De quin nombre es tracta?

• Lectura atenta de l’enunciat. Llegeix de nou el problema i expressa l’enunciat amb paraules teves.

• Elecció de les incògnites. Representem per x la primera xifra i per y la segona.

• Plantejament del sistema. Traduïm al llenguatge algèbric cadascuna de les condicions.

— Les dues xifres sumen 9.x + y = 9

— El nombre és igual al que resulta d’invertir l’ordre de les seves xifres més 9.

Com que x és la xifra de les desenes i y la de les unitats, el nombre serà 10 x + y.

I el que resulta d’invertir l’ordre de les seves xifres serà 10 y + x. Per tant, la segona condició es tradueix en:

10 x + y = 10 y + x + 99 x - 9 y = 9

x - y = 1 — L’enunciat del problema es tradueix en el sistema:

x y

x y

+ =− =

9

1

• Resolució del sistema. Resolem el sistema pel mètode de reducció.x y

x y

x x

x y y x

+ =− =

= → =+ = → = − = − =

9

1

2 10 5

9 9 9 5 4

• Resposta. El nombre que ens demanen és el 54.

• Comprovació. La suma de les dues xifres és 9 i es compleix 54 = 45 + 9.

EXEM

PLE

5


RESOLUCIÓ DE PROBLEMES

ESTRATÈGIA: Elecció correcta de la incògnitaQuan, en el plantejament d’un problema, tenim més d’una possibilitat per a decidir quina o quines seran les incògnites, l’elecció apropiada d’aquestes incògnites pot simplificar en gran mesura la resolució.

100

El triple de l’edat actual d’un nen més sis anys és igual a la meitat de l’edat actual del seu pare. D’aquí a 4 anys l’edat del pare serà el quíntuple de l’edat del nen. Quina edat tindran tots dos d’aquí a 6 anys?

Comprensió de l'enunciat— Llegeix de nou l’enunciat.

— Apunta què és el que busques i les dades de què disposes.

Planificació de la resolucióPer calcular les dues edats, hem de plantejar un sistema de dues equacions de primer grau amb dues incògnites.

— Si escollim com a incògnites les edats dins de 6 anys, obtenim el sistema següent.

x = edat del nen dins de 6 anys

y = edat del pare dins de 6 anys

3 6 66

2

5 2 2

⋅ − + = −

⋅ − = −

( )

( )

xy

x y

— I, si escollim com a incògnites les edats actuals, obtenim aquest altre sistema d’equacions.

x = edat actual del nen

y = edat actual del pare

3 62

5 4 4

xy

x y

+ =

⋅ + = +

( )

— És evident que la resolució del segon sistema resultarà més senzilla que la del primer.

Execució del pla de resolució— Resolem el segon sistema d’equacions pel mètode de re-

ducció.

6 12

5 16

6 12

5 16

6 1

x y

x y

x y

x y

x y

+ =

+ =

− = −

− = −

− + = 22

5 16

4

x y

x

− = −

− = −

x = 4 y = 5 x + 16 = 5 · 4 + 16 = 36

Actualment, el nen té 4 anys i d’aquí a sis anys tindrà 4 + 6 = = 10 anys.

Actualment, el pare té 36 anys i d’aquí a sis anys tindrà 36 + 6 = = 42 anys.

Revisió del resultat i procés seguitPer comprovar que la solució obtinguda és correcta, substituïrem els valors obtinguts de les incògnites en cadascuna de les equa-cions del sistema inicial i verificarem que es compleixen.

3 62

5 4 4

3 4 6362

5 4 4 36 4

xy

x y

+ =

⋅ + = +

⋅ + =

⋅ + = +

( ) ( )

Unitat 4


101

24. Aplica l’estratègia descrita per tal de resoldre el problema següent.

L’edat d’un fill és quatre vegades menor que la del seu pare i fa sis anys era set vegades menor. Quina edat tindran tots dos d'aquí a 3 anys?

SÍNTESI

1 Una equació de primer grau amb dues incògnites és una equació en la qual apareixen dues incògnites amb exponent 1.

Una solució de l’equació és cada parell de valors numè-rics de les incògnites que fan certa la igualtat.

Una equació de primer grau amb dues incògnites té infinites solucions i la representació gràfica de les seves solucions és una recta.

2 Un sistema d’equacions és un conjunt d’equacions que s’han de verificar simultàniament.

Cada parell de valors x i y que verifica simultàniament totes les equacions d’un sistema és una solució del sis-tema.

3 Segons el nombre de solucions, els sistemes es classifi-quen en:

• Sistema compatible determinat. Té una única solu-ció.

• Sistema compatible indeterminat. Té infinites so-lucions.

• Sistema incompatible. No té solució.

4 La resolució algèbrica d’un sistema de dues equacions de primer grau amb dues incògnites es basa en obtenir una equació de primer grau amb una incògnita a partir del sistema d’equacions. S’utilitzen tres mètodes:

• Mètode de substitució

• Mètode d’igualació

• Mètode de reducció


ACTIVITATS

Resolució gràfica

Resolució algèbrica

• Compatible determinat• Compatible indeterminat• Incompatible

• Substitució• Igualació• Reducció

es classifiquen en

n’obtenim les solucions mitjançant

pels mètodes de

si s’han de verificar simultàniament

EQUACIONS DE PRIMER GRAU AMB DUES INCÒGNITES

SISTEMES D’EQUACIONS

1

2

3

4


102

AC

TIV

ITAT

S Equacions de primer grau amb dues incògnites

25. Expressa mitjançant una equació de primer grau amb dues incògnites cadascuna de les frases següents.

a) Hem comprat una llibreta i un bolígraf, i hem pagat 8 ∑.

b) Per comprar 6 ampolles d’aigua i 5 panets ens han cobrat 7 ∑.

c) El perímetre d’un rectangle és 60 cm.

d) L’edat d’un pare és superior en 27 anys a la del fill.

26. Representa en uns eixos de coordenades les solucions de l’equació 3 x + y = 1.

27. Troba tres solucions a l’equació següent i comprova- les.

3 x - 2 (y - 3) = 5

Sistemes d’equacions 28. Indica si són certes o falses les afirmacions següents.

a) x = 3, y = 2 és solució de l’equació 2 x + y = 4.

b) x = 10, y = 2 és solució de l’equació x + 3 y = 10.

c) x = 0, y = 3 no és solució del sistema x y

x y

+ =− =

3

2 5

d) x = 5, y = 1 és solució del sistema x y

x y

− =+ =

4

2 11

29. El sistema d’equacions a x y

x b y

+ =− =

4 14

5 9 té per solució

x = 3, y = 2.

Troba el valor de a i el valor de b

30. Representa gràficament els següents sistemes d’equacions i classifica’ls en compatibles determinats, compatibles indeter-minats i incompatibles.

a) c

b

x y

x y

x y

x y

x y

x

+ =− =

+ =+ =

+ =+

8

2

5

2 2 10

8

2

)

)

22 8

5

3 2 12y

x y

x y=

+ =+ =

d)

31. Completa el sistema

x y+ == }3

... ... ...

escollint entre una d’aquestes equacions:

2 x + 2 y = 6 x + y = 5 x - y = 1

de manera que el sistema format sigui:

a) compatible determinat

b) compatible indeterminat

c) incompatible

32. Resol gràficament:

a) c)

b

x y

x y

x y

x y

x y

x

+ =− =

− =− =

− = −

0

2

2 5

2

2 8 2

2

)

++ =

+ =− =

y

x y

x y16

2 4

2 3 1

d)

33. Resol aquests sistemes d’equacions, representa’ls gràfica- ment i indica quins són indeterminats i quins són incompatibles.

a) c)

b)

3 2 26

3 2 26

3 12

3 14

x y

x y

x y

x y

− =− = −

− =+ =

22 2 8

3 3 12

2 5

3 5 1

x y

x y

x y

x y

+ =+ =

+ =− =

d)

34. Resol els següents sistemes pel mètode de substitució:

a c)

b

)

)

3 2 5

2 3 15

7 8 23

5 3 1

x y

x y

x y

x y

− =− =

+ = −− =

xx y

x y

x y

x y

− =− =

− = −− + =

4 2

2 5 7

4 3 11

5

d)

35. Resol els següents sistemes pel mètode d’igualació:

a c

b

) )

)

2 7 14

2 4

3 4 24

1

2

x y

x y

x y

x y

x

+ =− =

+ =− + = −

−− =− + = −

+ =− = −

3 1

5 2 19

4 5 24

2 2 6

y

x y

x y

x y

d)

R

R

4

Unitat 4


103

36. Resol aquests sistemes d’equacions i representa’ls gràfica-ment:

ac

))

x y

x y

x y

y x

+ − =− + =

− = −

= −

1 0

2 4 2 0

4 2

32

6 1

− − + =+ =

− == −

b d) )x y

x y

x y

x y

3 5 0

2

5 2

8 6

37. Resol els següents sistemes pel mètode de reducció:

a c) )3 2 12

2 1

2 4 2

2 8 22

x y

x y

x y

x y

+ =− =

− + =− = −

bb d) ) ( )2 10

2 3 6

3 5 11x y

x y

x y− =+ = −

⋅ − + = −3 2 26x y− = −

38. Resol els sistemes d’equacions següents i classifica’ls en com-patibles determinats, compatibles indeterminats o incompa-tibles.

a c) )2 3 1 0

5152

3 0

3 5 3

185

1

x y

x y

x y

x

+ − =

= − + =

− =

− 885

6

4 16

212

2 8

5

=

− + =

=

− =

= −

y

y x

x

x y

x

b d) )

2212

⋅ −

y

39. Resol el següent sistema d’equacions pels mètodes d’igualació, substitució i reducció. Quin mètode és el més adequat per a resoldre aquest sistema?

4 3 5

12

3

x y

x y

− =

+ =

40. Resol els sistemes d’equacions següents pel mètode de subs-titució, substitueix primer la x i després la y. Justifica en cada cas quina de les dues incògnites és millor substituir.

a b) )3

12

22

43

45

1

2

x x y

xy

x y= − +

− = −

− + = +

223

34

72

x y+ =

41. Resol els següents sistemes d’equacions pel mètode d' igua-lació. Quina de les incògnites resulta més fàcil d’igualar en cadascun d’aquests dos casos?

a b) )12

45

14

12

13

0

2 53

x y

x y

x− =

− + − =

− = 33

13

14

7 0

y

x y− − =

42. Relaciona aquestes gràfiques amb els sistemes d’equacions corresponents:

Y4,5

4

3,5

2,5

1,5

0,5

1

2

3

0,5 1,5 2,5 3,5 4321 X0

Y

X0,4

0,8

1,2

1,6

0,4 0,8 1,2 1,6–0,4–0,8–1,2–1,6–0,4

–0,8

–1,2

–1,6

0

Y6,9

5,6

4,9

3,5

2,1

0,7

1,4

2,8

4,2

0,7 2,1 3,5 4,9 5,64,22,81,4X

0

Y

X0,4

0,8

1,2

1,6

0,4 0,8 1,2 1,6–0,4–0,8–1,2–1,6–0,4

–0,8

–1,2

–1,6

0

1

3 4

2

a c) )13

212

112

16

4

213

= −

− = −

+ =

= +

y x

x y

y x

y x

+ = − + −

= − +

− =b

d)

)13

223

2 2 2

2 1

3

y x y

y x

y x

y −− =

13

x

43. Donada l’equació següent, planteja altres tres equacions de manera que la solució del sistema que formen amb l’equacio donada sigui x = 1 i y = -1:

-2 x + 3y = -5

44. Troba les solucions dels tres sistemes formats per l’equació 2 x + y - 3 = 0 i les equacions y - x = 0 , y - x = 1 i y - x = 2 . Representa gràficament cadascun dels sistemes i descriu les diferències entre les rectes obtingudes.

45. Determina els valors de a i b perquè aquest sistema d’equacions sigui compatible determinat, compatible indeterminat i in-compatible.

y ax

y x b

+ − =− + − =

1 0

2 0



104

AC

TIV

ITAT

S 46. Relaciona cada una d’aquestes gràfiques de sistemes d’equacions amb la classificació corresponent:

Y

X1

2

3

4

1 2 3 4–1–2–3–4–1

–2

–3

–4

0

Y

X1

2

3

4

1 2 3 4–1–2–3–4–1

–2

–3

–4

0

Y

X1

2

3

4

1 2 3 4�1�1–2–3–4–1

–2

–3

–4

0

Y

X1

2

3

4

1 2 3 4–1–2–3–4–1

–2

–3

–4

0

1

3

2

4

a) Un sistema incompatible i dos sistemes compatibles deter-minats.

b) Tres sistemes compatibles determinats.

c) Tres sistemes incompatibles.

d) Tres sistemes compatibles: un d’indeterminat i dos de determinats.

Problemes 47. El preu de les entrades d’un circ és de 8 ∑ per als adults i 5 ∑

per als nens. Si al circ hi ha 600 persones i han recaptat 4500 ∑, quants adults i quants nens hi ha?

48. En un alberg hi ha dos tipus d’habitacions: de 6 llits i de 8 llits. Si el nombre total d’habitacions de l’alberg és 12 i el de llits és 86, troba quantes habitacions de cada classe hi ha a l’alberg.

49. En la preparació d’un joc, hem de col·locar unes boles a dins d’unes capses. Si col·loquem 5 boles en cada capsa, ens sobren 2 boles; però, si decidim col·locar 6 boles en cada capsa, ob-servem que ens falta 1 bola. Quantes boles i quantes capses tenim?

50. Troba un nombre de tres xifres que compleixi totes les condicions següents:

— Està comprès entre 300 i 350.

— La suma de la xifra de les unitats amb la de les desenes és 8.

— La xifra de les unitats és el triple de la xifra de les desenes.

51. Al final d’un joc, un dels participants ha obtingut el doble de punts que l’altre participant. Si el participant que ha obtingut més punts donés 3 punts a l’altre, els dos tindrien la mateixa quantitat de punts. Quants punts ha obtingut cada participant?

52. En un concurs de televisió es reparteix una certa quantitat de diners a parts iguals entre els finalistes. Si cada finalista rebés 250 ∑, sobrarien 50 ∑ i, si cadascun rebés 270 ∑, falta-rien 10 ∑. Quina és la quantitat de diners que es dóna i quin és el nombre de finalistes?

53. En Joan compra 35 camises a 30 ∑ cadascuna i l’Oriol compra 40 camises al mateix preu. En vendre-les, el preu de les camises d’en Joan és superior en 5 ∑ al preu al qual les ven l’Oriol. Troba el preu de venda establert per cadascú si després de vendre totes les camises han obtingut el mateix benefici.

54. Donada l’equació següent: 2 x + 3 y = 4.

Calcula els valors de y corresponents als següents valors de x: -4, -1, 2 y 5.

A continuació, entra a la pàgina web: http://recurso stic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Re solucion_grafica_sistemas_ecuaciones/Resolu cion_gra fica_sistemas.htm, resol aquesta activitat gràficament i com-prova que els resultats coincideixen amb els que has obtingut en la resolució algèbrica.

55. Troba un parell de nombres que la suma de la meitat del pri-mer i un quart del segon sigui igual al segon incrementat en una unitat, i que el segon sigui el primer incrementat en una unitat.

a) Planteja-ho i resol el problema com un sistema de dues equacions i dues incògnites.

b) Planteja-ho i resol el problema com un sistema d’una equa-ció i una incògnita.

56. La Marta té tres anys més que el seu amic Pere. La suma de l’edat de la Marta i la del seu pare és de 61 anys. Si dins de 4 anys en Pere tindrà la meitat de l’edat del pare de la Marta, quina edat tenen la Marta, el seu pare i en Pere?

4

Unitat 4

@


105

Més a fons A

57. Troba el valor de a en cadascun d’aquests sistemes de ma-nera que siguin compatibles indeterminats.

a c) )x y

x a y

x y

a x y

+ =

+ =

+ =

+

5

2 10

2 3 10

2 15 ==

+ =

+ =

50

3 6 12

2

b) x y

x y a

58. El valor de x d’una de les solucions del sistema

x y

x y

+ =+ =

9

2 2 18 és el doble del valor de y. De quina solució

es tracta?

59. En Joan ha participat en tres proves de natació i sabem que:

— En la tercera prova ha obtingut 2 punts més que en la pri-mera.

— La mitjana aritmètica de les puntuacions obtingudes en la primera i en la segona prova és de 50.

— La mitjana aritmètica de les puntuacions obtingudes en les tres proves és 49.

Troba la puntuació que ha obtingut en cadascuna de les pro-ves.

60. La suma dels radis de les circumferències que limiten una corona circular és 15 cm. Troba’n les longituds si aquestes difereixen en 10 p.

61. Determina el valor de a en cadascun dels sistemes d’equacions següents perquè siguin compatibles determinats.

a c) )2 10

3 5 03

1 0

4 3 3

y ax

y x

ay x

y x

= +− + + =

+ − =

− + − = 00

2 3

5 2 15

= −− =

b) y ax

x y

62. Determina els valors de a i b perquè aquest sistema d’equacions sigui compatible indeterminat.

ay x x by

y ax bx

− + = + +− − + = − +

1 2 3 10

2 5 2

63. Determina el valor de a perquè aquests dos sistemes d’equacions tinguin la mateixa solució i troba el valor d’aquesta:

6 3 6

2 3

1

2 3

x y

ax ay

x y

x y

− =+ =

+ = −− =

64. Donada l’equació -a x + y = 2:

a) Per a tres valors diferents de a, representa gràficament les rectes resultants en una sola gràfica. Observa i descriu com canvia la recta en funció dels valors de a.

b) Troba els valors de a perquè la recta es talli amb la recta y = 10.

c) Quins han de ser els valors de a perquè es talli amb la recta y = 10 en el punt x = 1, y = 10? Representa gràficament les dues rectes i comprova que es tallen en aquest punt.

65. Comprova si la resolució del següent sistema d’equacions està ben desevolupada i, en cas contrari, localitza els errors i resol-lo correctament.

x yy

x

x yx

− + = − −

⋅ − = − +− +( )

⇒

⇒

2 11 3

2

12

3 13

2( )

xx y y x

x y x

x

− + = − −

− = − − +

⇒

⇒

2 112

32

12

32

112

32

++ − + + + =

+ − =

⇒

⇒

−

x y y

x x y

x

232

112

0

12

12

32

12

2112

32

0

32

12

0

212

32

y

x y

x y+ =

− + =

⇒

− + = 00

2 3 1 0

52

12

0 5

2

− + − =

⇒

⇒ − + = ⇒ =

−

x y

y y

x ++ ⋅ − = ⇒ =3 5 1 0 7x



COMPETÈNCIES BÀSIQUESA

CTI

VIT

ATS

106

1. En un parc zoològic, el cuidador de dues cries de linx, la Lina i en Linbe, ha descobert que els cadells s’han menjat els 100 g de pinso que contenia la capsa. Per determinar quin dels dos cadells ha menjat més pinso els pesa: la Lina pesa 4,8 kg i en Linbe, 3,9 kg.

Precisament els havia pesat just abans que es mengessin el pinso i recorda que el pes de la Lina era quatre cinquens del d’en Linbe.

a) Per a unificar les unitats, expressa la massa del pinso en unitats de l'SI.

b) Indica les incògnites del problema i planteja el sistema d’equacions.

c) Quina de les dues cries ha menjat més pinso?

d) Quant pesaven la Lina i en Linbe abans de buidar la capsa?

2. L’àvia de la Paula va a comprar 5 terrines de gelat i 10 brics de suc, que li costen 27,50 €. La mare de la Paula va a la mateixa botiga i compra 2 terrines de gelat i 5 brics de suc; paga amb un bitllet de 20 € i li tornen 7,50 €.

a) Planteja un sistema d’equacions i calcula quant costen una terrina de gelat i un bric de suc.

b) Entra a la pàgina http://www.quickmath.com/webMathematica3/quickmath/graphs/equations/advanced.jsp, efectua la representació gràfica de les equacions i comprova que la solució del sistema correspon al punt de tall de les dues rectes representades.

3. INVESTIGA

L’any 2010, la Conferència Internacional de Supercomputació (ISC’10) va celebrar el seu vint-i-cinquè aniversari i també el centenari del naixement de Konrad Zuse, creador de la primera computadora electrònica programable, la Z3. Aquesta con-ferència es va celebrar a Hamburg amb una assistència de més de 140 expositors i més de 45 països, i s’hi van presentar les millors solucions sobre computació d’alt rendiment, xarxes i emmagatzematge, moltes de les quals funcionen amb GNU/Linux.

El projecte TOP500 és un rànquing de les 500 supercomputadores més poderoses del món i cada any publica una nova llista a la Conferència Internacional de Supercomputació.

Amb l’ajuda dels enllaços següents, respon les preguntes plantejades:

http://planetared.com/2010/06/cuales-son-los-ordenadores-mas-potentes-del-mundo/

http://es.wikipedia.org/wiki/Operaciones_de_punto_flotante_por_segundo

http://ca.wikipedia.org/wiki/Supercomputador

http://ca.wikipedia.org/wiki/Konrad_Zuse

http://www.top500.org/lists/2010/06

a) Què és una supercomputadora o un superordinador? Quan van aparèixer les primeres? Quina companyia les va dissenyar?

b) Quines característiques tenia la Z3?

c) Quines són les operacions de coma flotant per segon, FLOPS? Escriu-ne els múltiples.

d) Escriu quins són els cinc primers equips del rànquing de supercomputació. Indica on es troben i quines empreses els fabriquen.

e) En quin lloc del rànquing està situada Espanya? Quin és el superordinador més potent d’Espanya? On està ubicat?

@

@

Unitat 4



Demostra el teu enginy

L’ampolleta d’aigua de colònia

En una botiga hi ha cinc ampolletes hermètiques de vidre. Se sap que cadascuna conté un líquid diferent. Amb l’única infor-mació dels rètols, sabries deduir quina ampolleta conté l’aigua de colònia?

Rombe numèric

En aquest rombe, els nombres dels cercles més grans corresponen a la suma numèrica dels cercles més petits adjacents. Quins valors poden prendre x, y, z i t?

1 Troba tres solucions a l’equació següent i comprova- les.

3 x - 2 (y - 3) = 5

2 Escriu tres equacions que tinguin com a solució x = -2, y = 3. Comprova-ho.

3 Resol gràficament els s istemes d’equacions se - güents:

a) b)2 5

4 2 6

2

3 6

x y

x y

x y

x y

+ =− =

− =− = −

4 Resol algèbricament aquests sistemes d’equacions i representa’ls gràficament.

a b) )2 5 20

10

1

1

x y

x y

x y

y x

+ =− =

+ =− = − 33

5 En un joc hi ha unes fitxes retolades amb lletres de valor desconegut i unes altres retolades amb nombres. Troba el valor de la fitxa retolada amb la lletra x i el de la fitxa reto-lada amb la lletra y si es verifiquen les relacions següents:

x x x y y+ + = +

y x 2– =

6 La diferència entre les àrees de dos rectangles de bases 5 m i 3 m és 24 m 2 i la diferència entre les seves altures és 4 m. Troba les altures d’aquests rectangles.

7 La suma de dos nombres és 70. Si al més gran li restem el doble del més petit, obtenim 10. Troba aquests dos nombres.

AVALU

ACIÓ

6 2

5 1

z y

x

t

CONTÉAIGUA O

ALCOHOL

CONTÉALCOHOL O

AIGUA

CONTÉAIGUA OCOLÒNIA

CONTÉAMONÍAC O

ACETONA

CONTÉACETONA O

COLÒNIA


86 - Edebe · 2012. 5. 14. · 2.3. Tipus de sistemes 2.4. Representació gràfica de sistemes...

Documents

Transcript of 86 - Edebe · 2012. 5. 14. · 2.3. Tipus de sistemes 2.4. Representació gràfica de sistemes...