APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

DESCOMPOSICION, CRECIMIENTO Y REACCIONES QUIMICAS:

Si observamos cierta cantidad inicial de sustancia o material radioactivo, al paso del

tiempo se puede verificar un cambio en la cantidad de dicho material; la cantidad M del

material es una función del tiempo t, esto es M = M(t).

Aún más, dadas las características de los materiales radioactivos, al paso del tiempo

ocurre una desintegración o decaimiento del material. Esto no quiere decir que el material

desaparezca, sino que la configuración interna de sus átomos cambia y dejan de ser

radioactivos.

Experimentalmente se ha llegado al conocimiento de que, en cualquier tiempo t > 0, la

rapidez de cambio de la cantidad M(t) de material radioactivo es directamente

proporcional a la cantidad de material presente. Simbólicamente esto se expresa así:

Dónde:

= Es la rapidez de cambio de M(t).

∞ = Denota la proporcionalidad existente entre la cantidad presente

M(t) del material radioactivo y su rapidez de cambio.

Se afirma entonces que:

k = Factor de proporcionalidad.

𝑑

𝑑𝑡𝑀(𝑡)

=

Según la ley de descomposición y de crecimiento esta expresado por:

Esta ecuación diferencial representa el modelo matemático por resolver y es de variables

separables.

Integrando se tiene:

Entonces la solución general es:

Es común conocer la cantidad de material existente y el t = 0, lo que se expresa por

M(o) = Mo. Con esto podemos calcular la constante C.

Entonces se tiene:

𝑑𝑀

𝑑𝑡= 𝑘𝑀 (Para el crecimiento).

𝑑𝑀

𝑑𝑡= −𝑘𝑀 (Para la descomposición).

OBSERVACIONES:

Para hallar la vida media del material radioactivo.

EJEMPLOS:

1. Un material radioactivo se desintegra 1/3 en 1000 años. Determinar su vida

media.

M = Cantidad de material radioactivo.

M M(o) 1/3 M(o) M(o)/2

T 0 1000 t

Aplicamos

Hallamos C

M(O) = C . ( )

𝑀(𝑡) =𝑀𝑜

2

𝑑𝑀

𝑑𝑡= −𝑘𝑀 (Para la descomposición).

M(O) = C

Hallamos k

M = C

= M(o) ( )

=

=

= 3 Ln = Ln (3)

1000k = Ln (3)

K = ( )

Hallamos la Vida media:

= Mo (

( )

) =

=

Ln (

) = -

Ln3

-t = (

)

t = 630 años

2. Se sabe que un material radioactivo se desintegra con una rapidez

proporcional a la cantidad presente en cualquier instante. Si inicialmente

hay 100 mg de material y, después de 2 años, se observa que el 5% de la

masa original se desintegró, determinar:

a) Una expresión para el momento “t”.

b) El tiempo para que se desintegre el 10 % de la masa original.

M = Cantidad de material radioactivo.

M 100M(o) 95 M(o) 90M(o)

T 0 2 t

=

a) Una expresión para el momento “t”.

Determinamos C.

La expresión para el momento “t” es.

00𝑀(𝑜) = 𝐶𝑒 𝑘(𝑜)

00𝑀(𝑜) = 𝐶

95𝑀(𝑜) = 00𝑀(𝑜)𝑒 𝑘( )

95 = 00

𝑒 𝑘

95𝑒 𝑘 = 00

𝐿𝑛𝑒 𝑘 = 𝐿𝑛 00

95

𝑘 =

2𝐿𝑛

00

95

𝑘 = 0.02564

Determinamos k.

𝑀(𝑡) = 00𝑒 . 564𝑡

90𝑀(𝑜) = 00𝑀(𝑜)𝑒 . 564(𝑡)

90 = 00

𝑒 . 564(𝑡)

90𝑒 . 564(𝑡) = 00

𝐿𝑛𝑒 . 564(𝑡) = 𝐿𝑛 00

90

0.02564𝑡 = 𝐿𝑛 00

90

𝑡 =

0.02564 𝐿𝑛

00

90

𝑡 = 4, 076 𝑎ñ𝑜𝑠

b) El tiempo para que se desintegre el 10 %

de la masa original.

3. Se sabe que un cierto material radiactivo decae a una velocidad

proporcional a su cantidad de material presente. Un bloque de ese material

tiene originalmente una masa de 100 gr. Y cuando se le observa después de

20 años. Su masa ha disminuido a 80 gr. Encuentre una expresión para la

masa de ese material como función del tiempo.

Encuentre también la vida media del material.

M = Cantidad de material radioactivo.

M(t) 100M(o) 80M(o) M(o)/2

t 0 20 t

=

a) Una expresión para el momento “t”.

Determinamos C.

a) La expresión para el momento “t” es.

00𝑀(𝑜) = 𝐶𝑒 𝑘(𝑜)

00𝑀(𝑜) = 𝐶

𝑀(𝑡) = 00𝑒 . 6𝑡

𝑀(𝑜)

2= 00𝑀(𝑜)𝑒 . 6(𝑡)

2= 00

𝑒 . 6(𝑡)

𝑒 . 6(𝑡) = 200

𝐿𝑛𝑒 . 6(𝑡) = 𝐿𝑛(200)

0.0 6𝑡 = 𝐿𝑛(200)

𝑡 =

0.0 6 𝐿𝑛(200)

𝑡 = 474.76 𝑎ñ𝑜𝑠

b) Encontramos la vida media del material.

80𝑀(𝑜) = 00𝑀(𝑜)𝑒 𝑘( )

80 = 00

𝑒 𝑘

80𝑒 𝑘 = 00

𝐿𝑛𝑒 𝑘 = 𝐿𝑛 00

80

20𝑘 = 𝐿𝑛 00

80

𝑘 =

20𝐿𝑛(

00

80)

𝑘 = 0.0 6

Determinamos k.

4. Una cierta sustancia radiactiva tiene una vida media de 38 horas. Encontrar

que tanto tiempo toma el 90 % de la radiactividad para disiparse.

M = Cantidad de material radioactivo.

M M(o) M(o)/2 9M(o)/10

t 0 38 t

=

b) Que tiempo tarda el 90% de la radioactividad para dispersarse”.

Determinamos C.

𝑀(𝑜) = 𝐶𝑒 𝑘(𝑜)

𝑀(𝑜) = 𝐶

9𝑀(𝑜)

0= 𝑀(𝑜)𝑒 (

𝐿𝑛( ) 8

)𝑡

9

0= 2

𝑡 8

𝐿𝑛 9

0 = −

𝑡

8𝐿𝑛(2)

−𝑡 = 8 𝐿𝑛

9 0

𝐿𝑛(2)

Encontramos el tiempo.

𝑡 = 5.77 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

𝑀(𝑜)

2= 𝑀(𝑜)𝑒 𝑘( 8)

2=

𝑒 8𝑘

𝑒 8𝑘 = 2

𝐿𝑛𝑒 8𝑘 = 𝐿𝑛(2)

8𝑘 = 𝐿𝑛(2)

𝑘 =𝐿𝑛2

8

Determinamos k.

5. Una población bacteriana B se sabe que tiene una tasa de crecimiento

proporcional a B misma. Si entre el medio día a las 2p.m la población se

triplica. A qué tiempo, si no se efectúa ningún control, B será 100 veces

mayor que el medio día.

M = Cantidad de bacterias B.

M M(o) M(o) 100M(o)

t 0 2 t

=

Determinamos C.

𝑀(𝑜) = 𝐶𝑒𝑘(𝑜)

𝑀(𝑜) = 𝐶

00𝑀(𝑜) = 𝑀(𝑜)𝑒 𝐿𝑛( )

𝑡

00 = 𝑡

𝐿𝑛( 00) =𝑡

2𝐿𝑛( )

2𝐿𝑛( 00)

𝐿𝑛( )= 𝑡

Encontramos el tiempo.

𝑡 = 8. 8 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

𝑀(𝑜) = 𝑀(𝑜)𝑒𝑘( )

= 𝑒 𝑘

𝐿𝑛( ) = 𝐿𝑛𝑒 𝑘

𝐿𝑛( ) = 2𝑘

𝑘 =𝐿𝑛( )

2

Determinamos k.

6. Se encontraron huesos fósiles de un animal. Se analizaron y se detectó que

cada hueso contenía una centésima parte del 14 C radioactiva. Determinar la

antigüedad aproximada de los huesos encontrados.

Supongamos que M (t) es la cantidad presente de 14 C en cada hueso al cabo de un año y

que M0

Es la cantidad original (inicial) de dicha sustancia radioactiva en cada hueso. M (t) está

determinada por la solución del PVI:

Por lo tanto la antigüedad (edad) aproximada de los huesos es:

t = 37206 años

PROBLEMAS PROPUESTOS grupo N°6

1. Un material radioactivo se desintegra 1/3 en 1000 años. Determinar su vida

media.

M = Cantidad de material radioactivo.

2. Se sabe que un material radioactivo se desintegra con una rapidez

proporcional a la cantidad presente en cualquier instante. Si inicialmente

hay 100 mg de material y, después de 2 años, se observa que el 5% de la

masa original se desintegró, determinar:

c) Una expresión para el momento “t”.

d) El tiempo para que se desintegre el 10 % de la masa original.

3. Se sabe que un cierto material radiactivo decae a una velocidad

proporcional a su cantidad de material presente. Un bloque de ese material

tiene originalmente una masa de 100 gr. Y cuando se le observa después de

20 años. Su masa ha disminuido a 80 gr. Encuentre una expresión para la

masa de ese material como función del tiempo.

Encuentre también la vida media del material.

4. Una cierta sustancia radiactiva tiene una vida media de 38 horas. Encontrar

que tanto tiempo toma el 90 % de la radiactividad para disiparse.

5. Una población bacteriana B se sabe que tiene una tasa de crecimiento

proporcional a B misma. Si entre el medio día a las 2p.m la población se

triplica. A qué tiempo, si no se efectúa ningún control, B será 100 veces

mayor que el medio día.

6. Se encontraron huesos fósiles de un animal. Se analizaron y se detectó que

cada hueso contenía una centésima parte del 14 C radioactiva. Determinar la

antigüedad aproximada de los huesos encontrados.