9 Control Avanzado

Mdulo:

Control avanzado

Coordinador: D. Francisco Cifuentes Ochoa

Instrumentacin y control

Mayo 2007

Mdulo: 9 Control avanzado

Fechas imparticin: del 7 al 11 de mayo de 2007 Duracin: 40 horas

Coordinador: Francisco Cifuentes Ochoa

Tcnico de Control Avanzado en la Subdireccin de Control Avanzado en Repsol YPF. Licenciado en Ciencias Qumicas (Especialidad Qumica-Fsica) por la Universidad Complutense de Madrid. Desarrolla su carrera profesional en Repsol Petrleo, en la refinera de Puertollano (1987 a 1991) como tcnico de procesos y tcnico de produccin en las Unidades de Lubricantes. En 1991 pasa a la Subdireccin de Control Avanzado trabajando desde

entonces en el diseo, desarrollo e implantacin de estrategias de Control Avanzado en las distintas refineras del Grupo. Imparte clases de Control de Procesos en diversos masters en la Escuela de Organizacin Industrial y en el Instituto Superior de la Energa. Profesores: Rafael Gonzlez Martn

Tcnico de Control Avanzado en la Refinera de Somorrostro de Petronor. Ingeniero (Automtica y Electrnica Industrial) por la U. de Mondragn, Msc. in Control Engineering (UMIST, U.K.) y doctorando en el Dpto. de Automtica (F. de Ciencias-UNED). 16 aos de experiencia profesional: 4 en proyectos de control para el Grupo Cooperativo Mondragn y 12 aos en Aplicaciones de Control Avanzado en la refinera de PETRONOR. Imparte clases de Control de Procesos en la U. de Mondragn, y cursos y seminarios relacionados con Control Avanzado.

Objetivos:

Aqu se trata el control de alto nivel, siempre sobre la base de lo visto en los captulos anteriores. Se ven todos los aspectos tcnicos del Control Multivariable Predictivo, utilizando un algoritmo real y haciendo prcticas con clculos reales.

Se ve como se construye el modelo dinmico de un proceso, la ley de control, la programacin lineal y las restricciones y un resumen de los parmetros de ajuste.

As mismo se estudia toda la metodologa de desarrollo de un proyecto de Control Multivariable y el mantenimiento y seguimiento de este tipo de aplicaciones. Descripcin:

9A 1 Control multivariable Niveles de automatizacin Procesos multivariables Modelo dinmico de un proceso Ley del control Programacin lineal y restricciones Funcionamiento de un controlador multivariable Operacin de un controlador multivariable Resumen de parmetros de ajuste Metodologa de un proyecto de controlador multivariable

9A 2 Metodologa de desarrollo de un proyecto Diseo preliminar Pre-test Pruebas en planta (step-test) Identificacin de modelos Programacin lineal Simulacin y ajuste Instalacin Comisionado Formacin Documentacin del proyecto Mantenimiento y seguimiento

9C Prcticas de implementacin de control avanzado

9A

1

CONTROL MULTIVARIABLE

FICHA IDENTIFICATIVA DEL DOCUMENTO: Master ISA de instrumentacin y control Mdulo: 9 Control Basado en Modelos Tema: 9-1 Control Multivariable Predictivo Autor: Rafael Gonzlez Martn, Francisco Cifuentes Ochoa

"Se debe hacer todo tan sencillo como sea posible, pero no ms sencillo" Albert Einstein

INTRODUCCION El Control Multivariable Predictivo constituye el estado del arte en el campo de Control de Procesos. Se desarroll originalmente para resolver problemas especficos de control de las plantas nucleares y de las refineras. La tecnologa de Control Multivariable se utiliza hoy en da en plantas qumicas, sector alimentario, automvil, metalurgia, industria papelera y otros entornos industriales. Se han hecho distintos estudios comparativos de los distintos algoritmos, la mayora de los cuales quedan obsoletos incluso antes de publicarse porque el campo del Control Predictivo se encuentra en plena expansin y las tcnicas se mejoran continuamente. Existe un parecido notable entre todos los algoritmos de Control Multivariable Predictivo. Este Mdulo presenta de forma genrica este tipo de algoritmos, no obstante, cuando se trata de aspectos concretos y a la hora de realizar las prcticas, se hace referencia al Controlador DMCPlus.

Mdulo: 9. CONTROL BASADO EN MODELOS Tema: Control Multivariable Predictivo

Master ISA de Instrumentacin y Control Pgina 2

Control Multivariable Predictivo

ndice

1. INTRODUCCIN 4 1.1. Conocimientos previos 6

2. NIVELES DE AUTOMATIZACIN 7 3. TERMINOLOGA 8 3.1. Variables Controladas 8

3.2. Variables manipuladas 8

3.3. Variables de perturbacin o feedforward 9

3.4. Grados de libertad 9

4. PROCESOS MULTIVARIABLES 17 5. MODELO DINMICO DE UN PROCESO 21 5.1. Modelo de respuesta impulsional (FIR) 23

5.2. Modelo de respuesta a salto 24

5.3. Modelo Recursivo de Funcin de Transferencia 25

5.4. Definicin del Modelo Matricial 26

5.5. Uso del Modelo Matricial 29 5.5.1. Principio de Linealidad y Superposicin 29 5.5.2. Extensin del Modelo Matricial a un Proceso Multivariable 35 5.5.3. Formas de Utilizacin del Modelo Matricial 36

5.6. Proceso de Obtencin del Modelo Matricial Dinmico 38

6. CLCULO DE LA LEY DE CONTROL 42 6.1. Move Suppression Factors 45

6.2. Equal Concern Errors 49

6.3. Equal Concern Dinmicos 50

7. PROGRAMACION LINEAL Y RESTRICCIONES 51 7.1. Restricciones en las Variables Manipuladas 52

7.2. Restricciones en las Variables Controladas 54

7.3. Optimizacin 58



7.4. Estrategia cuando no existe solucin factible 60 7.4.1. CV Rank 60 7.4.2. LP Equal Concern Error 61

7.5. Imposicin de la solucin de la programacin lineal 61

8. FUNCIONAMIENTO DE UN CONTROLADOR MULTIVARIABLE 62 9. OPERACIN DE UN CONTROLADOR MULTIVARIABLE 66 10. RESUMEN DE PARMETROS DE AJUSTE 69 10.1. En el mdulo de Programacin Lineal: 69

10.2. En el mdulo de Control Dinmico 70

11. CRITERIOS DE IMPLANTACION 70 12. BIBLIOGRAFA 71



1. INTRODUCCIN

En mdulos anteriores (5 y 6) se ha estudiado el control bsico o control regulatorio que utiliza de forma intensiva los controladores PI o PID. Se han visto tambin las llamadas tcnicas de control avanzado (feedforward, ratio, selectores, etc) que amplan el concepto del lazo regulatorio bsico y que constituyen lo que tradicionalmente se llama control regulatorio avanzado o, directamente, control avanzado. Sin embargo, en la literatura tcnica actual, el trmino APC (Advanced Process Control) hace referencia a aplicaciones que manipulan los puntos de consigna de controladores regulatorios y que son bastante ms complejas que los familiares PI o PID y las aplicaciones de control avanzado convencional por las siguientes razones:

Normalmente manipulan y controlan varias variables al mismo tiempo y de ah la designacin alternativa de controladores multivariables

Estos controladores calculan sus movimientos (outputs) basndose en las predicciones futuras de las variables controladas, que a su vez se calculan a partir de un modelo dinmico embebido en el controlador. Por esta razn a estos controladores se les denomina tambin genricamente controladores predictivos basados en modelos

Estos controladores pueden controlar variables dentro de lmites, en vez de controlarlas a puntos de consigna y pueden manipular las variables considerando objetivos econmicos mltiples.

A finales de la dcada de los 70 y comienzos de los 80, desarrollos independientes llevados a cabo en Europa por Adersa (Richalet y col.,1978) y en los Estados Unidos por Shell Oil Co. (Cutler y Ramaker, 1980; Prett y Gilelette, 1979) permitieron la introduccin de nuevas tcnicas de control basadas en el concepto de prediccin mediante modelos : IDCOM (Identification and Command) y DMC (Dynamic Matrix Control). Simultaneamente, algunos grupos de investigacin en el campo del control adaptativo comenzaron a experimentar con predictores multipaso (adaptativos) para sustituir a los predictores de k-pasos hacia adelante que constituan el fundamento de los reguladores autosintonizados basados en el principio de mnima varianza generalizada.

Durante los ltimos aos se ha puesto de manifiesto que todos estos mtodos y otros muchos que fueron propuestos desde entonces tenan muchos elementos en comn y esencialmente eran variaciones de un mismo tema central. Hoy en da los elementos claves del Control Predictivo Basado en Modelos (CPBM) estn suficientemente establecidos y dan lugar a una familia de mtodos de control que presentan algunas ventajas importantes cuando se les compara con otros procedimientos alternativos. Entre estas mejoras pueden mencionarse las siguientes :

a) Permite resolver problemas de control con conductas dinmicas no usuales (Sistemas inestables en lazo abierto de fase no mnima).



b) Resulta particularmente atractivo al personal tcnico de planta que posee una formacin limitada en problemas de control, ya que los conceptos pueden comprenderse en un perodo corto de tiempo.

c) Puede manejar de una forma bastante directa problemas de control interactivos de tipo multivariable.

d) Posee una compensacin inherente de los retardos puros del sistema.

e) Introduce de una manera natural la accin de control feedforward para compensar perturbaciones medibles.

f) Es conceptualmente simple extender la estrategia de CPBM a problemas de control con restricciones (p.e. restricciones sobre las variables manipuladas, variables controladas e incluso sobre la velocidad de variacin de estas variables).

g) Los parmetros de diseo son parmetros de especificacin en lugar de parmetros de sintona, es decir, estn relacionados directamente con el comportamiento del sistema.

h) Es una metodologa totalmente abierta que se basa en algunos principios bsicos pero que permite aadir al campo posibles extensiones futuras.

i) Posee una caracterstica interesante de mirar hacia adelante que resulta extraordinariamente til cuando se puede planificar la evolucin del punto de consigna (como el control de procesos tipo batch o de robots).

Como la mayora de estas caractersticas son de gran importancia en problemas de control de naturaleza prctica, no resulta sorprendente que hayan aparecido numerosas aplicaciones del CPBM. Por supuesto que el CPBM tambin posee algunas desventajas. Fundamentalmente es computacionalmente complejo. Aunque con la potencia de clculo disponible hoy en da no representa un problema en el caso de aplicaciones en el campo del control de procesos donde las plantas suelen ser generalmente lentas. Sin embargo pueden llegar a plantear complicaciones cuando se trata de sistemas de tipo mecnico, servo-control y aplicaciones en robtica (no obstante el CPBM resulta adecuado para efectuar clculos en paralelo con sistemas multiprocesadores).

Una desventaja fundamental del CPBM es la necesidad de disponer de un modelo conveniente del proceso. Esto explica por qu un gran nmero de mtodos han surgido del campo del control adaptativo. En cualquier caso, algn tipo de modelizacin o identificacin del sistema ser necesario y esto supone un precio a pagar. Una vez que se dispone de un modelo, el CPBM es en si mismo un procedimiento relativamente directo. Conviene no obstante sealar que esta desventaja se suaviza algo con el argumento de que tambin los mtodos de control clsicos ( incluso el simple regulador PID) necesitan de un modelo del proceso cuando tienen que sintonizarse para operar satisfactoriamente cuando el proceso tiene una dinmica difcil de controlar.

Este captulo presenta de forma genrica este tipo de algoritmos, no obstante cuando se trata de aspectos concretos se hace referencia al Controlador DMCPlus desarrollado por la empresa Aspen Technology Inc.



1.1. Conocimientos previos A pesar de su complejidad matematica, en este captulo se ha intentado introducir los conceptos de forma intuitiva y mediante el uso de ejemplos. Sin embargo, es del todo imposible poder prescindir del uso de ciertas herramientas matemticas para poder explicar esta tecnologa con un cierto detalle. El nivel de conocimientos exigido al lector es realmente mnimo, solo se necesitan nociones bsicas sobre el manejo de matrices y producto vectorial, as como entender los conceptos fundamentales de la regresin lineal. Respecto al conocimiento de procesos, se han utilizado casos prcticos presentes en cualquier planta industrial. Por lo tanto, resulta conveniente que el lector conozca, al menos, los principios de funcionamiento de una columna de destilacin binaria. Por supuesto, esta tecnologa es tambin aplicable a otros tipos de procesos multivariables.



2. NIVELES DE AUTOMATIZACIN

En los mdulos anteriores hemos hablado de los esquemas de control bsico y control avanzado. Hemos visto que la diferencia entre ambos es la dimensin del sistema que se quiere controlar. En el caso del control bsico nos ceimos a un lazo que nicamente tiene una variable que controlar y una variable que manipular. En el caso del control avanzado se amplia el sistema que se quiere controlar y hablamos del control de la cabeza de una columna o de la calidad del producto de fondo. En la estrategia de control avanzado se incluye ms de un lazo de control simple.

Si podemos identificar el control bsico con lazos regulatorios PID, el control avanzado estara compuesto por varios lazos regulatorios PID relacionados de alguna manera (cascada, ratio, control con restricciones). La estructura del control es jerrquica, en el sentido de que para que funcionen adecuadamente las aplicaciones de control avanzado, previamente han de funcionar bien los lazos de control bsico. Esto quiere decir que la importancia del buen funcionamiento del control bsico no slo no disminuye al implantar aplicaciones de control avanzado, sino que aumenta puesto que stas son cascadas de lazos de control regulatorio.

Podemos distinguir cuatro niveles de automatizacin: control bsico, control avanzado, control multivariable y optimizacin en lnea. Segn pasamos de un nivel de automatizacin al siguiente la planta trabaja ms cerca de su verdadero ptimo econmico.

El control bsico es el conjunto de lazos regulatorios que proporcionan una operacin estable y segura para los equipos de proceso. El nivel siguiente lo constituye el control avanzado. Si en el control bsico todo gira en torno al lazo simple de control (PID) con una entrada y una salida, el control avanzado expande el concepto y construye esquemas de control donde los lazos simples se unen en estructuras jerrquicas que denominamos cascadas. En control avanzado un controlador primario, en vez de manipular una vlvula, determina el punto de consigna del controlador secundario. Las cascadas pueden estar compuestas de ms de dos controladores. Adems mientras que el control bsico slo utiliza la retroalimentacin (feedback) el control avanzado incluye el adelanto (feedforward) entre sus posibilidades. Esto permite adelantarse en las acciones de control cuando se producen perturbaciones medibles.

Otras tcnicas de control avanzado son la utilizacin de variables calculadas (aporte de calor, reflujo interno), el control por restricciones mediante selectores (maximizaciones, minimizaciones, etc). Normalmente al ascender en los niveles de automatizacin las necesidades de instrumentacin y analizadores son mayores.

El paso siguiente, ser considerar un sistema de control compacto para controlar toda una columna de destilacin o toda una unidad de proceso tal como una Unidad de Crudo o una Unidad de FCC. A este tipo de control es al que vamos a llamar Control Multivariable. El control multivariable responde a la necesidad de controlar procesos en los que existen varias variables a controlar, varias vlvulas que deben ser manipuladas simultneamente y donde la



manipulacin de una vlvula afecta a varias variables controladas. Este tipo de procesos es el ms normal en la industria del refino. En este caso, el controlador ve todas las variables de la unidad como un conjunto, como un sistema nico y considera los efectos de todas la variables manipuladas en todas las variables controladas.

3. TERMINOLOGA Volvemos a hacer hincapi en los trminos que estamos utilizando, aunque muchos de ellos ya se definieron en los captulos anteriores.

3.1. Variables Controladas Las variables de proceso que deben mantenerse en un valor determinado (Punto de consigna o especificacin), o dentro de un rango prefijado, se denominan variables controladas (CVs). Estas variables tambin se llaman variables dependientes puesto que constituyen la respuesta del proceso a variaciones de las variables realizadas por un operador o el controlador.

Las especificaciones de calidad, ya estn medidas con un analizador en lnea, obtenidas mediante algn clculo inferencial, o controladas a travs de medidas secundarias como temperaturas de plato, etc, son variables controladas y dependiendo de lo rigurosa que la especificacin, tendrn un punto de consigna o un pequeo rango dentro del cual su valor se considera aceptable.

Las limitaciones fsicas de la Unidad tambin son variables controladas, aunque en este caso no se trata de que las variables se encuentren en un punto determinado de operacin, sino de que no sobrepasen determinados valores que afectan a la seguridad y controlabilidad del proceso. A este tipo de variables controladas se les denomina restricciones. La temperatura de skin de tubos de un horno, las aperturas de vlvulas, el procentaje de inundacin de una columna de destilacin podran encuadrarse en este tipo de variables controladas.

3.2. Variables manipuladas

Para mantener a las CVs en los valores deseados, el controlador ajusta los valores de las variables manipuladas (MVs). Estas variables tambin se llaman variables independientes. Variables manipuladas son todas aquellas sobre las que acta el operador, bien fijando un punto de consigna cuando el controlador est en modo AUTO o bien fijando el % de salida a vlvula si el lazo est en MAN. En un controlador multivariable son manipuladas todas aquellas variables a las que el controlador les fija un punto de consigna o directamente la salida a vlvula.

En un controlador bsico PID hay slo una CV y una MV. (En el controlador de temperatura de salida de un horno la CV sera la temperatura de salida medida y la MV sera el caudal de combustible al horno). En un controlador multivariable existen mltiples CVs y mltiples



MVs. El controlador ve todas las variables conjuntamente como un solo sistema y considera el efecto simultneo de todas las MVs en las CVs. Normalmente el nmero de variables controladas y el nmero de variables manipuladas no es igual; puede haber ms o menos MVs que CVs.

TERMINOLOGA BSICA

DV1

MV1

MV2

PROCESO

CV1

CV2

CV3

VARIABLES INDEPENDIENTES MANIPULADAS (MVs)PERTURBACION (DVs)

VARIABLES DEPENDIENTES CONTROLADAS (CVs)

(Calidades, Restricciones)

Figura 3-1 Terminologa Bsica

3.3. Variables de perturbacin o feedforward

Existen variables de perturbacin (DVs) que tambin son variables independientes y son aquellas que provocan variaciones en las variables controladas, pero no pueden ser manipuladas por el controlador. Tambin se llaman variables de adelanto o feedforward. El caudal de carga a una columna si proviene de otra columna aguas arriba, la temperatura ambiente, etc., son variables de perturbacin.

3.4. Grados de libertad



El estado de un proceso puede describirse mediante el valor que toman sus variables principales. El estado se define cuando se especifica cada uno de los grados de libertad del sistema. Los grados de libertad de un proceso representan el nmero mximo de controladores independientes, que pueden colocarse en el proceso.

En el contexto del control de procesos, los grados de libertad son el nmero de variables que pueden manipularse independientemente. Es muy importante tener claro cul es este nmero para cualquier proceso, de modo que no se intente sobrecontrolar o subcontrolar el proceso.

El enfoque matemtico para encontrar los grados de libertad de cualquier proceso es sumar el numero mnimo de variables que definen exactamente el punto de operacin de un proceso y restarle el nmero de ecuaciones independientes

gl = v - r

gl = grados de libertad del sistema

v = nmero de variables que describen el sistema

r = nmero de relaciones independientes que se pueden establecer entre las variables.

Para ilustrar el concepto consideremos la ecuacin de los grados de libertad aplicada a tres ejemplos comunes: el movimiento de un avin, de un barco y de un tren. Para cada vehculo las variables que representan su posicin son las mismas: latitud, longitud y altura , por tanto en los tres casos v = 3. El nmero de ecuaciones independientes que relacionan las tres coordenadas espaciales es distinto en cada caso.

Para el avin no existe una relacin fija entre altitud (altura sobre el horizonte), longitud y latitud, por tanto los grados de libertad para el avin son:

gl = v - r = 3 - 0 = 3 La respuesta es intuitivamente correcta, puesto que un avin puede volar libremente en cualquier direccin en el espacio tridimensional.

El barco tiene las mismas variables de navegacin que el avin, pero suponiendo que el agua est en calma, la altura es fija. Por tanto existe una ecuacin que establece:

altitud del barco = nivel del mar y por tanto, los grados de libertad del barco son:

gl = v - r = 3 - 1 = 2



El barco puede moverse en dos direcciones, pero siempre estar en contacto con la superficie del agua.

Por ltimo, el tren tiene tambin tres variables de navegacin, pero est confinado a unos rales que tienen una posicin fija que puede describirse mediante dos ecuaciones:

altitud de los rales = contorno geolgico

latitud de los rales = funcin especfica de la longitud

La primera ecuacin fija la altitud igual a la elevacin de la superficie del terreno por donde discurren los rales. La segunda ecuacin describe la trayectoria de los rales en trminos de latitud y longitud (el trazado de la va). Por tanto, los grados de libertad del tren son:

gl = v - r = 3 - 2 = 1 El tren slo tiene un grado de libertad puesto que slo puede moverse a lo largo del trazado de la va.

En el siguiente ejemplo se estudian los grados de libertad de un proceso mas cercano al control de procesos. Se trata de un sencillo sistema de mezclas en el que se mezclan dos corrientes de agua, una fra y otra caliente. Es posible modificar el caudal de agua fra y caliente mediante la apertura de dos vlvulas de control situadas en cada lnea. Las variables de inters son el caudal y temperatura de la mezcla. Este proceso se muestra el la Figura 3-2.

qf(t), Tf(t)

FT1

TT1

qc(t), Tc(t)

q(t), T(t)

Variables del sistema :

qf, qc, Tf, Tc, q, t

Ecuaciones

Tf = cte.

Tc = cte.

q = qf + qc

T = 1/q (qf * Tf + qc * Tc)

qf(t), Tf(t)

FT1

FT1

TT1

TT1

qc(t), Tc(t)

q(t), T(t)



Ecuaciones

Tf = cte.

Tc = cte.

q = qf + qc

T = 1/q (qf * Tf + qc * Tc)

Figura 3-2 Grados de libertad (2 grados )

Si consideramos que las vlvulas son lineales, para cada porcentaje de apertura corresponder un caudal determinado qf y qc para el agua fra y caliente respectivamente, siendo seis el nmero de variables que definen cualquier punto de operacin del sistema.



Considerando que las temperaturas de agua fra y caliente son constantes, se pueden establecer cuatro ecuaciones independientes, dando lugar a 6-4= 2 grados de libertad. Fsicamente esto quiere decir que de las seis variables del sistema, podemos elegir dos de ellas y el resto vendrn fijadas automticamente . Por ejemplo, si elegimos un caudal y una temperatura de la mezcla (q, t), las vlvulas automticamente se tienen que posicionar en unas aperturas concretas y slo en esas. Si por el contrario, elegimos posiciones para las aperturas de las vlvulas, entoces q y t pasan a ser dependientes y adoptaran el valor que corresponda.

Veamos qu sucede si incluimos un controlador en el sistema. Pasamos a controlar el caudal total manipulando la vlvula de agua fra, Figura 3-3. En este caso hay que aadir una ecuacin adicional qc = F(q) ya que el caudal de agua fra pasa a ser funcin del punto de consigna del controlador FC-1. En esta nueva situacin hemos reducido un grado de libertad, por lo que solo queda uno disponible, o bien escogemos el punto de consigna del FC-1, o la apertura de la vlvula de agua caliente.

Finalmente, la Figura 3-4 nos muestra el caso completo en el que adems hemos aadido un control de temperatura, TC-1, manipulando el caudal de agua caliente. Agregamos una ecuacin ms y por tanto hacemos que los grados de libertad sean cero, es decir, una vez fijados los puntos de consiga del TC-1 y del FC-1 el resto de variables quedan totalmente fijadas. Podemos extraer una conclusin interesante, por cada controlador que incluimos en el proceso se pierde un grado de libertad.



Ecuaciones

Tf = cte.

Tc = cte.

q = qf + qc

T = 1/q (qf * Tf + qc * Tc)

qc = F(q)

qf(t), Tf(t)

FT1

FC1

TT1

SP

qc(t), Tc(t)

q(t), T(t)



Ecuaciones

Tf = cte.

Tc = cte.

q = qf + qc

T = 1/q (qf * Tf + qc * Tc)

qc = F(q)

qf(t), Tf(t)

FT1

FT1

FC1

FC1

TT1

TT1

SP

qc(t), Tc(t)

q(t), T(t)

Figura 3-3 Grados de libertad (1 grado )



qf(t), Tf(t) TC1

FT1

FC1

TT1

SP SP

qc(t), Tc(t)

q(t), T(t)



Ecuaciones

Tf = cte.

Tc = cte.

q = qf + qc

T = 1/q (qf * Tf + qc * Tc)

qc = F(q)

qf = F(T)

qf(t), Tf(t) TC1TC

1

FT1

FT1

FC1

FC1

TT1

TT1

SP SP

qc(t), Tc(t)

q(t), T(t)



Ecuaciones

Tf = cte.

Tc = cte.

q = qf + qc

T = 1/q (qf * Tf + qc * Tc)

qc = F(q)

qf = F(T)

Figura 3-4 Grados de libertad (0 grados )

Hemos visto el mtodo ortodoxo de clculo de grados de libertad, si bien es un ejercicio interesante, hay una solucin ms fcil que consiste en simplemente sumar el nmero total de vlvulas de control situadas racionalmente. La calificacin de racionalmente situadas es para destacar que, por ejemplo, debemos evitar poner dos vlvulas de control en serie en la misma tubera porque no se podran considerar controladores independientes.

Volviendo al mundo del control de procesos, podemos reescribir la ecuacin de los grados de libertad como:

gl = n MVs disponibles- n CVs a controlar en un valor fijo (SP)

Por nmero de MVs disponibles entendemos aquellas variables manipuladas que pueden moverse libremente. Cuando un lazo de control se pone en MANUAL el controlador pierde un grado de libertad (y lo gana el operador de panel). Cuando una vlvula abre o cierra completamente, el controlador pierde un grado de libertad.



B

BX

DEPSITO DE REFLUJO

F

CONDENSADOR

L

D XD

DESTILADO

REFLUJO

REB

OIL

ER FLUDO CALEFACTOR

1

2

3

FX

Figura 3-5 Grados de libertad en una Columna de Destilacin

En el contexto del control de procesos, vamos a ver la definicin de grados de libertad para una columna de destilacin. En la Figura 3-5 vemos que hay cinco vlvulas de control, una en cada una de las siguientes corrientes: destilado, reflujo, refrigerante, fondo y calentamiento del fondo. Estamos asumiendo en este momento que la corriente de alimentacin est impuesta por la unidad aguas arriba.

As, esta columna tiene cinco grados de libertad. Pero el balance de materia debe estar siempre controlado. Los lazos del inventario afectan a niveles de lquido y a presiones. En la columna de destilacin del ejemplo, esto significa que el nivel del lquido en el acumulador de cabeza, el nivel del lquido en la base de la columna, y la presin en la columna deben controlarse. Cuando decimos que la presin est controlada, no queremos indicar necesariamente que se mantiene constante. Si la minimizamos estamos controlndola.



Si restamos las 3 variables que debemos controlar de las 5 que tenemos, nos quedamos con 2 grados de libertad. As, hay dos y slo dos variables adicionales que pueden ser controladas en la columna de destilacin.

Hay que hacer notar que no hemos hecho ninguna suposicin sobre el nmero o tipo de componentes qumicos que se est separando. As un sistema binario simple e ideal tiene dos grados de libertad; un sistema de destilacin complejo, multi-componente y no ideal, tiene tambin dos grados de libertad.

Las dos variables que se han elegido para ser controladas dependen de muchos factores. Algunas situaciones comunes son:

1. Controlar la composicin de las impurezas de ligeros en el producto de fondo y la composicin de impurezas de pesados en el destilado.

2. Controlar una temperatura en la zona de rectificacin de una columna y otra temperatura en la zona de stripping de la columna.

3. Controlar el caudal de reflujo y la temperatura en algn sitio de la columna.

4. Controlar el caudal de vapor del reboiler y la temperatura cerca de la cabeza de la columna.

5. Controlar la relacin de reflujo (relacin entre caudal de reflujo y caudal de destilado) y una temperatura de la columna.

Estos ejemplos ilustran que (a) slo se pueden controlar dos cosas y (b) normalmente se controla al menos una composicin (o temperatura) en algn lugar de la columna. Una vez especificadas las cinco variables a ser controladas (por ejemplo, dos temperaturas, dos niveles, y la presin), tenemos el problema de decidir qu variable manipulada vamos a usar para controlar qu variable controlada. Este problema de emparejamiento se llama determinar la estructura del sistema de control.

Con la redefinicin de grados de libertad que hemos dado, nos podemos encontrar en tres situaciones respecto a los grados de libertad del controlador a la hora de controlar un proceso:

Un proceso cuadrado, es decir un proceso en el que no hay grados de libertad porque el n de MVs disponibles es igual al n de CVs que se quieren controlar en un valor determinado. En la mayora de las columnas de destilacin binarias que trabajan a presin fija, si se quiere controlar las calidades de cabeza y fondo a un punto de consigna, los caudales de reflujo y calor al reboiler quedan determinados unvocamente. El proceso slo tiene un punto de operacin. No tiene ningn grado de libertad.

Un proceso estrecho en el que el n de CVs que se quiere controlar estrechamente es superior al n de MVs disponibles. El nmero de grados de libertad es negativo. Si fuera posible, es lo que nos gustara a todos, ser capaces de controlar todo el proceso con una sola variable. Al controlador se le pide ms de lo que puede dar y no ser capaz



de satisfacer todas las peticiones. Si llegamos a este caso tendremos que definir unas prioridades; puesto que no es posible satisfacer simultneamente todas las especificaciones es preciso decirle al controlador cules consideramos de mayor importancia y qu especificaciones deben sacrificarse.

Un proceso amplio en el que existen ms MVs disponibles que CVs que quieran controlarse a punto de consigna. En este caso la ventana de operacin es muy amplia, es decir, se puede operar de muchas maneras distintas y todas cumplen con las especificaciones requeridas. El proceso tiene grados de libertad positivos. El controlador tiene muchas posibilidades pero se le pide muy poco. En este caso hay que decirle al controlador cul es el criterio para discriminar entre los distintos puntos de operacin. Este criterio normalmente ser econmico: de todas las operaciones posibles que aseguran la calidad de los productos, operar en el punto en que se consiga un mximo beneficio o un coste mnimo.

El nmero de grados de libertad de un controlador no es algo inherente al proceso, depende de lo que se le pida y cmo se le pida. Si queremos controlar una variable en un valor fijo esto le cuesta al controlador un grado de libertad. Si en vez de un punto determinado especificamos un rango, el controlador tiene una cierta libertad. Si este rango es muy estrecho habremos ganado poco. Las limitaciones tambin pueden ponerse en las variables manipuladas. Si el rango en que se permite mover una variable manipulada es muy estrecho estaremos restringiendo al controlador. Ms adelante volveremos sobre la importancia de los grados de libertad.(ver Figura 3-6).

CVs

MVs

MVs

MVs

CVs CVs

Proceso estrechoCVs > MVsgrados de libertad < 0

Proceso cuadradoCVs = MVsgrados de libertad = 0

Proceso amplioCVs < MVsGrados de libertad > 0

La estructura del proceso determina los grados de libertad disponiblespara el controlador.

Figura 3-6 Grados de Libertad de un Proceso.



4. PROCESOS MULTIVARIABLES

En un proceso multivariable el problema con que nos encontramos no es el nmero de variables que contemplamos, sino la interaccin que se da entre dichas variables. Los procesos de refino son altamente interactivos, lo cual significa que cada variable manipulada afecta a muchas variables controladas y cada variable controlada est afectada por muchas variables manipuladas. En general vamos a definir un proceso multivariable como aquel en el que existen variables dependientes e independientes que interactan entre s.

Una columna de destilacin binaria es un buen ejemplo de proceso multivariable. Qu variables podramos considerar dependientes o controladas? La calidad del producto de cabeza, la calidad del producto de fondo (ya estn ambas medidas mediante analizador o se utilice alguna temperatura como indicacin de calidad), el nivel del acumulador de cabeza, el nivel en el fondo de la columna, la prdida de carga a travs de columna (medida como diferencia de presin entre la cabeza y el fondo), etc. Qu variables podramos considerar manipuladas? El caudal de destilado, el caudal de reflujo, la presin a la que trabaja la columna, el caudal de producto de fondo y el aporte de calor al reboiler. El caudal de carga y la temperatura de carga podran considerarse variables de perturbacin.

Veamos por qu este proceso es multivariable. Elijamos una variable manipulada, por ejemplo el reflujo, y veamos qu efecto tiene un aumento de reflujo en las variables que hemos definido como controladas, cuando las restantes variables manipuladas se mantienen constantes.

- La calidad del producto de cabeza mejora (mayor pureza)

- La calidad del producto de fondo empeora (mayor impureza)

- La prdida de carga a travs de la columna aumenta

- El nivel del acumulador de cabeza disminuye

- El nivel en el fondo de la columna aumenta

Esto se muestra grficamente en la Figura 4-1.



SI EL REFLUJO AUMENTA

D

V

CALIDAD PRODUCTO CABEZA

PRDIDA DE CARGA

CALIDAD PRODUCTO DE FONDO

NIVEL DEL FONDO

NIVEL DEL ACUMULADOR

L

Figura 4-1 Influencia de un aumento de reflujo en las variables controladas.

Del mismo modo, si elegimos una variable controlada, por ejemplo la calidad del producto de cabeza, vemos que mejora cuando:

- Aumenta el caudal de reflujo

- Disminuye el aporte de calor al reboiler

- Aumenta la presin de trabajo

Vemos que cada variable manipulada afecta a varias controladas y cada variable controlada est afectada por varias variables manipuladas. Si simplificamos el problema y controlamos el nivel del acumulador de cabeza con el caudal de destilado y el nivel del fondo con el caudal de producto de fondo, an nos quedan dos calidades que controlar con el caudal de reflujo y el aporte de calor al reboiler.

La solucin tradicional sera poner el control de calidad de cabeza sobre el reflujo y el control de calidad de fondo sobre el aporte de calor al reboiler. Si recordamos cmo funciona un lazo de control bsico, ante un empeoramiento de la calidad de cabeza el reflujo aumentar, pero un aumento del reflujo hemos visto que lleva aparejado un empeoramiento de la calidad de fondo, por lo que el controlador del calidad de fondo responder aumentando el aporte de calor. Este aporte de calor mejora la calidad del producto de fondo, pero lleva aparejado un empeoramiento de la calidad del producto de cabeza. La Figura 4-2 muestra este proceso.



ALIMENTACIN

PDI

TI

FI

AI

VAP 50#

FC

CONDENSADO

SP

FC

SP

AI

AI

Figura 4-2 Control de una Columna Binaria

Este ciclo es lo que denominamos acoplamiento y existen tcnicas destinadas a atenuar su efecto, pero nunca pueden eliminarlo. El problema del acoplamiento es que existen dos lazos de control que tiene objetivos que entran en competencia, pero al no existir una estrategia de control nica, los dos lazos de control estn luchando de manera permanente sin que ninguno de ellos tenga conocimiento de lo que est haciendo el otro. Podemos decir que el control de un proceso multivariable mediante un conjunto de lazos bsicos (PID) siempre ser defectuoso puesto que ningn controlador sabe de los restantes controladores.

La caracterstica fundamental del control multivariable es que es capaz de ver el proceso en su conjunto y establecer una estrategia nica sin que existan objetivos que entren en competencia, puesto que el controlador ve todos los objetivos simultneamente y es fcil especificar las prioridades en el caso de que no todos los objetivos se puedan satisfacer. Este cambio en la estrategia de control queda representado en la Figura 4-3.



ALIMENTACIN

PDI

FI

AI

FC

VAP 50#

FC

CONDENSADO

SP

CONTROLADORDMC

TI

AI

AI

SP

LISTA DE VARIABLES

INDEPENDIENTES

CONTROLADAS

DV1 Temperatura deAlimentacinDV2 Caudal AlimentacinDV3 Composicin Alimentacin

CV1 Composicin CabezaCV2 Composicin FondoCV3 Presin Diferencial Torre

MV1 Caudal Extraccin CabezaMV2 Caudal Vapor Hervidor

Figura 4-3 Control de una Columna Binaria con DMC

Resumiendo, en cualquier unidad de proceso los lazos de control interaccionan unos con otros. Esta interaccin se denomina acoplamiento. Pues bien, el control multivariable es el control simultneo y coordinado de varias variables acopladas. Esto significa que un controlador multivariable mover de manera simultnea todas las variables manipuladas para controlar todas las variables controladas.



5. MODELO DINMICO DE UN PROCESO Dnde est la magia del control multivariable? Cmo es posible manipular simultneamente todas las variables manipuladas para mantener en los puntos de consigna o en sus rangos a las variables controladas? Cmo sabe el controlador el efecto de cada variable manipulada en cada variable controlada ?

La respuesta est en el modelo. Un controlador multivariable dispone de un modelo del proceso que va a controlar.

mv

tiempo

cv

tiempo

Modelo

cvm

tiempo

mv

tiempo

cv

tiempo

Modelo

cvm

tiempo

Figura 5-1 Concepto de Modelo

Vagamente podramos decir que un modelo es una herramienta que nos permite responder cuestiones referentes a un sistema sin tener que experimentar con dicho sistema. La Figura 5-1 muestra este concepto, pretendemos hacer un cambio en alguna variable independiente (mv) del proceso y observar la evolucin en el tiempo de alguna variable dependiente (cv). Sera interesante diponer de algn medio, modelo, al cual si le aplicamos la misma variacin (mv) se obtenga una evolucin (cvm) que sea lo ms parecida posible a (cv).

En la vida normal utilizamos modelos de manera continua. Por ejemplo, al decir que una persona es amable estamos utilizando un modelo de comportamiento. Este modelo nos ayuda responder a la cuestin de cmo reaccionar dicha persona si le solicitamos un favor. Tambin utilizamos modelos para sistemas mecnicos basados en la intuicin y la experiencia. El aprendizaje de cmo conducir un coche consiste, en parte, en desarrollar un modelo mental de las propiedades de conduccin del coche. La idea que tiene un operador sobre cmo reaccionar el proceso frente a diferentes actuaciones es tambin un modelo mental desarrollado mediante formacin y adquisicin de experiencia.



Otro tipo de modelo seran los modelos verbales donde el comportamiento de un sistema bajo diferentes condiciones se describe mediante palabras: si los tipos de inters aumentan, tambin aumentar el paro. Los sistemas expertos son ejemplos de modelos verbales formalizados. No es lo mismo el modelo mental que el modelo verbal. Cuando montamos en bicicleta estamos utilizando un modelo mental de la dinmica de la bici, pero nos sera muy complicado convertir dicho modelo en un modelo verbal.

Existen modelos fsicos que tratan de imitar al sistema a estudiar, como la maqueta que utiliza un arquitecto para analizar la esttica del edificio que est proyectando.

Pero los modelos de los que vamos a hablar en esta seccin, los modelos de los que hace uso el controlador multivariable son de otro tipo; son modelos matemticos. Con esto queremos decir que las relaciones entre las distintas variables (caudales, temperaturas, presiones, composiciones, etc) que podemos observar en el sistema (el proceso) son descritas como relaciones matemticas en el modelo.

Ad hd t

q k h = hkqo =

Modelo esttico: Relaciona las variables en unestado de equilibrio

Modelo dinmico:Relaciona las variables alo largo del tiempo

q

h

qo

Figura 5-2 Modelos estticos y dinmicos

Una primera clasificacin de modelos matemticos divide a los modelos en estticos y dinmicos. Los primeros solo tienen en cuenta las variables de proceso en un punto estacionario e independiente del tiempo, los dinmicos complementan al modelo esttico en que son capaces de relacionar las variables del proceso en rgimen dinmico, es decir, su evolucin a lo largo del tiempo. La Figura 5-2 muestra un proceso sencillo en el que se pretende modelar el caudal de salida de un tanque, se puede observar que el modelo esttico se compone de una ecuacin algebraica mientras que el dinmico necesita de una ecuacin diferencial.



En realidad cualquier modelo a partir del cual se puedan calcular predicciones puede utilizarse para CPBM ( continuo o discreto, funcin de transferencia, espacio de estados o convolucin, lineal o no lineal incluso modelos basados en reglas, modelos basados en redes neuronales). La tecnologa CPBM est abierta a futuras extensiones y a otros campos de investigacin. Actualmente los modelos ms utilizados son:

5.1. Modelo de respuesta impulsional (FIR) Es el utilizado en el algoritmo IDCOM de Setpoint, tambin denominado modelo de convolucin. La respuesta del sistema en el instante actual es el resultado de la secuencia de entradas pasadas. El estado actual del sistema slo se debe a las variaciones que haya habido en el pasado en las entradas (variables independientes).

y (t) = h u t j h u t j H q u tjj

jj

n

=

= =

1 1

1( ) ( ) ( ) ( )

donde los hj son los coeficientes de la respuesta impulsional y donde:

H(q-1) = h1 q-1 + h2 q-2 +... + hn q-n Claramente debe truncarse despus de un punto n, a partir del cual el sistema se considera estable. Utilizando este modelo la prediccin puede escribirse como:

y(t+k/t) = h u t k j t H q u t k tjj

n

= + = +

1

1( / ) ( ) ( / )

Hay que hacer notar que : u(t+k/t) = u(t+k) para k



PROCESO

u(t)

1

y(t)

h1

h2

h3

h4 h5

MODELO RESPUESTA IMPULSIONAL

Figura 5-3 Modelo Respuesta Impulsional

5.2. Modelo de respuesta a salto Es el modelo utilizado por el algoritmo DMC de Dynamic Matrix Control Corporation, siendo este algoritmo el ms utilizado en nuestra compaa. Si tras un salto en escaln de la variable manipulada, el sistema alcanza un valor estacionario al cabo de n periodos de muestreo, tendremos:

y(t) = yo + g u t k j tjj

n

= +

1

( / ) = yo + G(q-1)(1-q-1)u(t) donde gj son los coeficientes de la respuesta a salto y u(t) = u(t) - u(t-1). Adems yo representa el afecto acumulativo de los incrementos de control n periodos de muestreo antes suponindose que la salida est asentada en un valor constante. La prediccin de la respuesta del proceso se calcula como:

y(t+k/t) = g u t k j tjj

n

= +

1

( / ) = G(q-1)(1-q-1)u(t+k/t) Los coeficientes de la respuesta impulsional y la respuesta a salto estn relacionados:

gj = hii

j

=

1

( j = 1... n ; go = 0 ) y hj = gj - gj-1 ( j = 1... n ; ho = 0 )

El modelo de respuesta a salto tiene las mismas ventajas y desventajas que el modelo de respuesta impulsional.



PROCESO

u(t)

1

y(t)

g1g2

g3

gn

MODELO RESPUESTA A SALTO

u(t) y(t)

Figura 5-4 Modelo Respuesta Impulsional

5.3. Modelo Recursivo de Funcin de Transferencia Es el modelo empleado por el algoritmo RMPCT de Honeywell. El proceso se describe mediante una ecuacin en diferencias: y(t) + a1 y (t-1) + a2 y (t-2) + ... + ana y (t- na) = b1 u (t-1) + b2 u (t-2) + ... + bnb u (t-nb) o, de manera abreviada A(q-1) y (t) = B(q-1) u (t). En este tipo de modelo, la respuesta actual del proceso no slo depende de los cambios pasados en las entradas, sino tambin de las respuestas anteriores. La prediccin de la respuesta del proceso se calcula como:

y (t+k/t) = B qA q

u t k t( )( )

( / ) +

1

1

La ventaja de este modelo es que puede utilizarse para procesos que no sean estables. El nmero de parmetros que definen el modelo es mucho menor que en el caso de los modelos FIR o respuesta a salto. La desventaja es que hay que especificar el orden de na y nb. Adems, como ya se ha sealado anteriormente, su naturaleza recursiva hace mucho ms difcil la prediccin y tiene una gran sensibilidad a los errores.

Los modelos de inters para el Control Multivariable relacionan varias variables independientes con varias variables dependientes, esto hace que el modelo sea ms complejo que el caso monovariable de una variable independiente con una variable dependiente.



5.4. Definicin del Modelo Matricial

El control multivariable relaciona matemticamente el efecto en cada variable controlada causado por un cambio en cada variable manipulada. A cada pareja variable independiente/variable dependiente le vamos a denominar subproceso. El modelo del proceso completo que utiliza el controlador, est compuesto por una matriz de modelos de los subprocesos. Una matriz no es sino una manera de ordenar elementos en filas y columnas. Cada elemento de la matriz que utiliza el controlador es un modelo de un subproceso que describe como se manifiesta en el tiempo el efecto de una variable independiente (MV o DV) sobre una CV.

En realidad el modelo del que estamos hablando no es ms que una secuencia de nmeros, que indican los incrementos en el valor de la variable controlada, debidos a un incremento de una unidad (en las unidades de ingeniera correspondientes) en una variable manipulada, cuando todas las dems variables independientes permanecen constantes.

Mediante el uso de un ejemplo sencillo vamos a ilustrar este concepto. El sistema lo constituye un horno de proceso, la variable controlada es la temperatura de salida del horno y la variable que se manipula para conseguirlo es el caudal de combustible.

Si mantenemos el caudal de carga al horno y la temperatura de entrada al horno constantes y aumentamos el caudal de combustible en una unidad ( 1 m3/h de fuel-oil), podramos obtener una respuesta como la que se muestra en la Figura 5-5.

1

46 7 7

t0 1 2 3 4 5 6

1

CV

MV

300302304306308

Figura 5-5 Respuesta cuando aumenta el caudal de combustible.



El modelo del subproceso caudal de combustible/temperatura de salida de horno podra estar representado por la secuencia (1, 4 , 6 , 7 , 7 ). Esto es lo que se llama matemticamente un vector. El primer elemento del vector ( el uno) representa el incremento en la temperatura al cabo de un periodo de muestreo, que vamos a suponer de un minuto. El segundo elemento del vector (el cuatro) representa el incremento de la temperatura al cabo de dos minutos.

Esto significa que cuando aumentamos el caudal de combustible en una unidad, la temperatura de salida del horno aumenta un grado al cabo de un minuto, al cabo de dos minutos aumenta cuatro grados, cuando han pasado tres minutos la temperatura ha aumentado seis grados, a los cuatro minutos siete grados y en este valor queda estabilizada. La informacin que nos da cada uno de estos modelos para cada subproceso es:

La ganancia en estado estacionario (CV/MV) , es decir, en qu valor se va a estabilizar el incremento. En el caso que estamos analizando, la ganancia del subproceso es 7, que significa que al aumentar una unidad el caudal de combustible, la temperatura de salida va a aumentar 7 grados.

El tiempo de estabilizacin o tiempo que tarda en llegar al estado estacionario. En el caso estudiado es de cinco minutos. En realidad no hemos especificado si el perodo de muestreo es de minutos, segundos u horas. De la grfica que mostramos en la Figura 5-5 slo podemos deducir que el tiempo de estabilizacin son cinco perodos de muestreo, pero vamos a suponer que dicho periodo de muestreo es de un minuto (cada minuto tenemos una nueva lectura del valor de las variables).

La dinmica del subproceso, es decir, cmo evoluciona la variable controlada hasta que llega al estado estacionario. Si el subproceso tiene tiempo muerto (tiempo muerto es el tiempo que transcurre desde que se ha movido la variable manipulada, hasta que empieza a moverse la controlada), este aparecer como ceros iniciales en la secuencia. Por ejemplo un subproceso que se represente por la secuencia (0,0,0,0,1,3,5,6,7,8,8,8) tiene un tiempo muerto de cuatro minutos, una ganancia de ocho y un tiempo de estabilizacin de diez minutos. Ver la Figura 5-6.



12345678

t0 t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11

1

Tiempo muerto

Tiempo de estabilizacin

GANANCIA

CV

MV

Figura 5-6 Informacin de los modelos.

En los controladores reales, estos vectores tienen del orden de 100 elementos, y cuando se representan grficamente (ver Figura 5-7), adquieren la apariencia de curvas continuas como la siguiente, donde el cambio en la MV es siempre de una unidad:

Respuesta escalnde CV1 vs MV1

00.10.2

-0.1

-0.2Ganancia: 0.17

90 min

Figura 5-7 Respuesta escaln.

Ahora ya sabemos que cada una de dichas curvas representa el modelo matemtico del subproceso que liga una MV/DV con una CV. El proceso completo estar representado por una matriz de subprocesos, en donde las filas corresponden a las variables independientes (MVs y DVs) y las columnas corresponden a las variables dependientes (CVs).

As, la matriz dinmica de un sistema con tres variables independientes (2 MVs y una DV) y dos variables dependientes podra tener el siguiente aspecto:



CV1 CV2

MV1

MV2

DV1

ganancia = 1

ganancia =0.3

ganancia = -2

ganancia = -1.3

ganancia = 0.1

90 min

Figura 5-8 Matriz dinmica de un sistema con 3 INDS y 2 variables dependientes. En este proceso imaginario, la variable MV1 slo tiene efecto sobre la variable controlada CV1 y no afecta a la CV2. La variable MV2 tiene efectos en CV1 y CV2, y en caso de CV1 tiene lo que se denomina respuesta inversa, esto es, al aumentar MV2 en un primer momento CV1 disminuye, para luego aumentar, siendo el efecto total un aumento en CV1 de 0.3 unidades al aumentar MV2 en una unidad. La variable de perturbacin DV1 afecta tambin a las dos variables controladas. En el caso de la variable CV2, vemos que el efecto de DV1 es slo dinmico porque cuando se llega al estado estacionario el valor de CV2 slo ha aumentado en 0.1 unidades.

5.5. Uso del Modelo Matricial Una vez que sabemos de qu tipo es el modelo que utiliza el controlador vamos a ver cmo y para qu utiliza el controlador multivariable estos modelos.

A partir del modelo el controlador es capaz de predecir el comportamiento futuro de las variables controladas. Para poder realizar esta prediccin suponemos que el proceso es lineal, y que los efectos de las distintas variables independientes se pueden superponer. Esta suposicin se fundamenta en el principio de linealidad y superposicin que se explica a continuacin.

5.5.1. Principio de Linealidad y Superposicin

Qu quiere decir que el proceso es lineal? Si volvemos al ejemplo del caudal de combustible y la temperatura de salida del horno tendramos 1:

1Se aplica la convencin CVN = CV en el periodo de muestreo nmero N.



2

4

6

8

1

46 7 7

t0

La respuesta a un cambio de 1 unidad en la MV

CV1 - CV0 = 1 * (variacin de MV en t0 = 1)







1 2 3 4 5 6

Figura 5-9 Respuesta del horno a un cambio de una unidad en la MV.

Si en vez de realizar un incremento de una unidad en el caudal de combustible, hacemos un incremento de tres unidades, si el proceso es lineal obtendremos:



3

1218 21 21

t0

La respuesta a un cambio de 3 unidades en la MV

1 2 3 4 5 6

MV 3

CV

CV1 - CV0 = 1 * (variacin de MV en t0 = 3) = 3





CV6 - CV0 = 7 * (variacin de MV en t0 = 3) = 21 Figura 5-10 Respuesta a un cambio de tres unidades en la MV.

Si en vez de aumentar la variable manipulada, lo que hacemos es disminuir su valor en dos unidades, o lo que es lo mismo, practicar un incremento negativo de dos unidades, la respuesta del proceso lineal sera:



-2

-8 -12

-14 -14

t0

La respuesta a un cambio de -2 unidades en la MV

1 2 3 4 5 6

MV -2

CV

CV1 - CV0 = 1 * (variacin de MV en t0 = -2) = -2





CV6 - CV0 = 7 * (variacin de MV en t0 = -2) = -14 Figura 5-11 Respuesta a un cambio de una dos unidades negativas en la MV.

Si el proceso es lineal, tambin podemos aplicar el principio de superposicin, que significa que para saber el efecto de los distintos incrementos aplicados en el tiempo a la variable manipulada slo tenemos que sumar los efectos de cada incremento por separado.



14

6 7 7

0

5

10

-5

-10

-2

-8-12

-14 -14

4

-1-5 -7 -7

CV

10

-2MV

CV7 - CV0 = 7 *(1) + 7*(0) + 7*(-2) = -7

CV6 - CV0 = 7 *(1) + 7*(0) + 7*(-2) = -7

CV5- CV0 = 7 *(1) + 7*(0) + 6*(-2) = -5

CV4 - CV0 = 7 *(1) + 6*(0) + 4*(-2) = -1

CV3 - CV0 = 6 *(1) + 4*(0) + 1*(-2) = 4

CV2 - CV0 = 4 *(1) + 1*(0) = 4

CV1 - CV0 = 1 *(1) = 1

Figura 5-12 Linealidad y superposicin.

El conjunto de ecuaciones anteriores se puede sustituir por una forma ms genrica, en la que IN representa el valor de la entrada en el instante N. De esta forma se obtienen las ecuaciones siguientes:

CV1-CV0 = 1*(I1-I0) = 1

CV2-CV0 = 4*(I1-I0) + 1*(I2-I1) = 4

CV3-CV0 = 6*(I1-I0) + 4*(I2-I1) + 1*(I3-I2 ) = 4

CV4-CV0 = 7*(I1-I0) + 6*(I2-I1) + 4*(I3-I2 ) = -1

CV5-CV0 = 7*(I1-I0) + 7*(I2-I1) + 6*(I3-I2 ) = -5

CV6-CV0 = 7*(I1-I0) + 7*(I2-I1) + 7*(I3-I2 ) = -7

CV7-CV0 = 7*(I1-I0) + 7*(I2-I1) + 7*(I3-I2 ) = -7



Sustituyendo CVN-CV0 por CVN y IN-IN-1 por IN-1, se obtiene (obsrvese que denota variaciones con respecto al instate N=0, mientras que se refiere a variaciones con respecto al instante anterior) :

CV1 = 1*(0) = 1 CV2 = 4*(0) + 1*(1) = 4 CV3 = 6*(0) + 4*(1) + 1*(2) = 4 CV4 = 7*(0) + 6*(1) + 4*(2) = -1 CV5 = 7*(0) + 7*(1) + 6*(2) = -5 CV6 = 7*(0) + 7*(1) + 7*(2) = -7 CV7 = 7*(0) + 7*(1) + 7*(2) = -7

Escribiendo estas ecuaciones en forma de producto matricial se obtiene :

CVCVCVCVCVCVCV

III

1

2

3

4

5

6

7

0

1

2

1 0 04 1 06 4 17 6 47 7 67 7 77 7 7

1441577

=

=

Esta relacin escrita en notacin matricial se expresa de la siguiente forma :

A * i = cv (prediccin) siendo :

A Matriz dinmica

i Vector columna de los valores de entrada o variable manipulada (MV) cv Vector columna Prediccin de los valores de salida o variable controlada (CV)

En el ejemplo anterior se ha hecho una prediccin a lo largo de 7 intervalos de tiempo para un proceso de una entrada / una salida (SISO), que se estabiliza en cinco intervalos de tiempo mostrando el efecto de 3 movimientos en la variable manipulada. Los movimientos son : +1 (t1), 0 (t2), -2 (t3). Sustituyendo IN por los valores usados anteriormente resulta :



CVCVCVCVCVCVCV

1

2

3

4

5

6

7

1 0 04 1 06 4 17 6 47 7 67 7 77 7 7

102

1441577

=

=

5.5.2. Extensin del Modelo Matricial a un Proceso Multivariable

La estructura del Modelo Matricial anterior se puede extender fcilmente a procesos con mltiples entradas y mltiples salidas (MIMO). Supongamos que tenemos un proceso como el de la Figura 5-8, en el que hay tres entradas (2 MVs, 1DV) y dos salidas (2 CVs). Supongamos tambin que el proceso se estabiliza en cinco intervalos de tiempo y consideremos el efecto de dos movimientos en las variable manipuladas y variable de perturbacin. El modelo que representa este proceso tiene la siguiente forma matricial :

A * mv = cv a b ca a b b c ca a b b c ca a b b c ca a b b c ca a b b c cd e fd d e e f fd d e e f fd d e e f fd d e e f fd d e e f f

1 1 1

2 1 2 1 2 1

3 2 3 2 3 2

4 3 4 3 4 3

5 4 5 4 5 4

5 5 5 5 5 5

1 1 1

2 1 2 1 2 1

3 2 3 2 3 2

4 3 4 3 4 3

5 4 5 4 5 4

5 5 5 5 5 5

0 0 0

0 0 0

=

MVMVMVMVDVDV

CVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCV

112211

111111222222

0

1

0

1

0

1

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

donde :

A Matriz dinmica de coeficientes

mv Variacin de las variables de entrada cv Prediccin de la variacin de las variables de salida aN coeficientes que relacionan MV1 con CV1

bN coeficientes que relacionan MV2 con CV1

cN coeficientes que relacionan DV1 con CV1

dN coeficientes que relacionan MV1 con CV2



eN coeficientes que relacionan MV2 con CV2

fN coeficientes que relacionan DV1 con CV2

Este tipo de modelo se denomina habitualmete Modelo de Convolucin Discreta.

5.5.3. Formas de Utilizacin del Modelo Matricial

As pues, si disponemos de un modelo del proceso, es posible conocer la evolucin de las variables controladas, si sabemos cmo se han movido las variables manipuladas. Esto permite predecir el comportamiento de las variables controladas basndonos en la historia pasada de las variables manipuladas. Si en el momento actual (t0) conocemos las variaciones pasadas de las variables manipuladas, (el pasado de las MVs), podemos predecir, segn nuestro modelo, el comportamiento futuro de las variables controladas, suponiendo que las variables manipuladas se mantenienen en el mismo valor actual (que los incrementos futuros son cero). Esto es lo que se denomina respuesta libre del sistema, es decir, hacia donde evolucionar el sistema (las variables controladas) a partir del instante actual, si no se toma ninguna accin de control.

MV

Pasado Futuro

CV

Momento actual

valor predicho de CV

Figura 5-13 Evolucin de la variable controlada. Por otra parte, la existencia de un modelo que relaciona las variaciones en las variables manipuladas con los efectos en las variables controladas, nos permite conocer cul ser el resultado de una estrategia de control determinada. Si en el momento actual (t0) postulamos unas acciones de control futuras (movimientos de las variables manipuladas en el futuro), podemos saber qu efecto van a tener dichas acciones de control. Esto es lo que se denomina respuesta forzada del sistema, puesto que es debida a las acciones de control que se tomen a partir del instante actual.



Futuro

CV

MV

t = 0

Figura 5-14 Respuesta Forzada del Sistema.

La prediccin de la respuesta del sistema, es decir, de la evolucin de la variable controlada a partir del instante actual (t0), tiene dos componentes: una que depende de los movimientos de las variables manipuladas en el pasado, y otra que depende de los movimientos de las variables manipuladas en el futuro. La prediccin de respuesta del sistema es la suma de estas dos componentes.

Muy esquemticamente podemos decir que en cada ejecucin, el controlador:

Basndose en la historia de las variables manipuladas, (cmo se han movido en las ejecuciones anteriores) y en el modelo dinmico que pose, predice cul va a ser la evolucin de las variables controladas si no se toman acciones de control. Dicho de otro modo, qu va a pasar si no hacemos nada (si no se toca ninguna variable manipulada).

Si existe un punto de consigna, o un valor deseado de las variables controladas, calcula las acciones de control (movimientos en las variables manipuladas) necesarias para acercarse lo ms posible a dichos valores deseados. Dicho de otro modo, qu tenemos que mover para llegar a donde queremos ir.

Tenemos tres elementos con los que trabajar: las variables controladas, las variables manipuladas y el modelo que describe matemticamente el efecto de las variables manipuladas sobre las variables controladas. Hemos visto dos operaciones posibles:

HISTORIAVARIABLESMANIPULADAS

MODELO

PREDICCIONVARIABLES CONTROLADAS

PREDICCION

Figura 5-15 Prediccin.



OBJETIVOSVARIABLESCONTROLADAS

MODELO

MOVIMIENTOSVARIABLES MANIPULADAS

CONTROL

Figura 5-16 Control.

5.6. Proceso de Obtencin del Modelo Matricial Dinmico De lo visto hasta ahora, se deduce la importancia de la fidelidad del modelo que utilice el controlador. Una diferencia esencial con el modo de trabajar del controlador multivariable es que, a diferencia de los controladores convencionales PID, no responden a errores entre el valor deseado (SP) y el valor real (CV), sino a diferencias entre el valor deseado y el valor que predice el modelo. El controlador multivariable predictivo siempre trabaja mirando al futuro y basa sus acciones de control en la prediccin de su modelo. Ms adelante veremos que los valores reales y medidos de las variables controladas entran de alguna manera al controlador, pero por el momento podemos decir que el controlador slo sabe del modelo de proceso que tiene y que sus predicciones y sus estrategias de control slo sern aceptables si dispone de un buen modelo.

La fase ms importante de un proyecto de control multivariable es, sin lugar a dudas, la obtencin del modelo del proceso que se quiere controlar. A esto se le denomina identificacin dinmica del sistema.

Uno de los factores claves en el rpido desarrollo y aceptacin del control multivariable es la madurez a la que ha llegado la tecnologa de la identificacin dinmica. Hemos visto que el modelo que utiliza el controlador es formalmente muy sencillo y no es sino un vector cuyos elementos expresan los incrementos de la variable controlada en el tiempo cuando se hace un incremento unitario en la variable manipulada y se mantiene el incremento indefinidamente. A los elementos del vector se les denomina parmetros del modelo.

La identificacin dinmica consiste en: conocida la evolucin en el tiempo de las variables controladas y las variables manipuladas, encontrar los parmetros del modelo que mejor son capaces de expresar las variaciones de las variables controladas en funcin de las variaciones de las variables manipuladas. Esto se muestra en la Figura 5-17.



MODELOHISTORIAVARIABLESCONTROLADAS

IDENTIFICACION

HISTORIAVARIABLESMANIPULADAS

IDENTIFICADOR

Figura 5-17 Identificacin.

A continuacin se presentan los principios bsicos matemticos necesarios para obtener el modelo dinmico. Un conjunto de ecuaciones algebraicas lineales se puede representar por la ecuacin matricial:

)1()()1( NxnxNnxxAy =

donde n es el nmero de ecuaciones,N el nmero de incgnitas, siendo conocido y y la matriz de coeficientes A. La solucin a este sistema cuando el nmero de ecuaciones es mayor que el nmero de incgnitas se puede hallar mediante mnimos cuadrados.

Calculando el vector de residuos r :

r = Ax -y

y resolviendo :

=

n

iic

rMin1

2

resulta :

yAAAx TT 1)( = Aplicando este procedimiento al problema de la identificacin dinmica de un sistema lineal con una entrada y una salida se puede obtener una expresin equivalente :

)1()()1( NxnxNnxcMVpv =

donde :



=

npv

pvpvpvpv

pv

.

.4

3

2

1

=

Nc

cccc

c

.

.4

3

2

1

=

+ )1(1)2(1)1(11

121314

111213

1112

11

.............0.0000...00

Nnnnn mvmvmvmv

mvmvmvmvmvmv

mvmvmv

MV

donde :

pv : muestras diferenciales de la respuesta del sistema con respecto al valor inicial. mv : muestras diferenciales de la excitacin al sistema con respecto al valor anterior. c : coeficientes de la respuesta escaln. n : nmero de muestras N : nmero de coeficientes

Resolviendo por mnimos cuadrados obtenemos la expresin :

pvMVMVMVc TT = 1)(

Este proceso de identificacin se realiza con ayuda de un software especfico de identificacin dinmica que realiza de forma automatizada el proceso descrito anteriormente se trata de un conjunto de programas, ms o menos fciles de usar, donde se alimenta la evolucin de las variables controladas y las variables manipuladas y da como resultado el modelo del proceso.

Para la identificacin dinmica del modelo del proceso es necesario excitar a la planta de manera que se pueda obtener la relacin entre las variables independientes ( que sern las causas ) y las variables dependientes (que sern los efectos). Esta es la fase de Step-Test y ya hemos visto que es la fase ms crtica de un proyecto de control multivariable.

Durante los step-test (pruebas en escaln en traduccin literal), cada variable manipulada se mueve una media de 10 veces, normalmente sin que se mueva a la vez ninguna otra variable



manipulada, y se espera un tiempo del orden del tiempo de estabilizacin para realizar cada nuevo movimiento. Dependiendo del tamao del controlador (del nmero de variables manipuladas fundamentalmente), estas pruebas vienen a durar de una a tres semanas. Un controlador con 5 variables manipuladas y un tiempo de estabilizacin de una hora necesitara 5 x 10 x 1 = 50 horas de step-test como mnimo.

Puesto que cuesta mucho tiempo y esfuerzo la realizacin de estas pruebas, es prctica habitual realizar una serie de pruebas preliminares que llamamos Pre-Step en que se mueven slo una vez las variables manipuladas y sirven para tener una idea de los tiempos de respuesta de las variables controladas y para conocer cualquier anomala en la planta antes de la realizacin de los step-test.

Los datos correspondientes a los step-test son analizados estadsticamente y con ayuda de los programas de identificacin se obtiene la matriz dinmica del proceso que constituye el modelo que va a utilizar el controlador multivariable. Si la identificacin se ha llevado a cabo correctamente, alimentando al modelo con los datos correspondientes a las variables manipuladas en los step-test obtendremos predicciones de las variables controladas que sern bastante aproximadas a los valores reales de dichas variables.



6. CLCULO DE LA LEY DE CONTROL

En esta seccin se muestra cual es la filosofa general que usa un controlador multivariable predictivo para calcular la ley de control, dicho de otra forma, que procedimiento se sigue para calcular los movimientos de las variables manipuladas.

En la seccin anterior hemos visto que la prediccin de la variable controlada es la suma de la respuesta libre del sistema (considerando MV del pasado) ms la respuesta forzada ( considerando los MV del futuro). Esto se representa en la Figura 6-1:

Prediccin en lazo abierto

Efectos de la accin de control

Respuesta globallazo cerrado

Figura 6-1 Respuesta global del lazo cerrado Una vez calculada la respuesta libre del sistema (en lazo abierto), la filosofa general del control predictivo consiste en calcular un plan de movimientos futuros en las variables manipuladas, que produzca un comportamiento del lazo cerrado tan prximo como sea posible al comportamiento que deseamos, es decir al set point o punto de consigna.

La pregunta que hay que hacerse es :

qu curva debe sumarse a la prediccin en lazo abierto de tal forma que produzca una respuesta del lazo cerrado lo ms cercana posible al punto de consigna ?

Si se pudiera calcular un plan de movimientos futuros tal, que el efecto de este plan fuera una imagen especular sobre el punto de consigna de la prediccin en lazo abierto, entonces se habr minimizado el error entre la CV real y el punto de consigna. Desde este punto de vista la minimizacin del error se convierte en un problema de ajuste de curvas. Este concepto se ilustra en la Figura 6-2.



Punto de consigna

Prediccin lazo abierto

Imagen especular

Figura 6-2 Imagen especular de la prediccin en lazo abierto

Teniendo en cuenta que A*mv(pasados) predice los cambios en la CV y definiendo el error, e como :

e= error en el tiempo = Setpoint - Prediccin lazo abierto (A*mv )(pasados)

en el problema de ajuste de curvas propuesto habr que elegir los parmetros de mv (futuros) que hagan A*mv (futuros) tan prximo como sea posible a e, es decir se desea que A*mv = e.

Para conseguir este objetivo hay que minimizar la diferencia residual entre el error y la prediccin en lazo cerrado. Es decir, hay que minimizar r, siendo

r = ( A*mv -e ) (vector de errores residuales)

El mtodo tradicional para minimizar r consiste en minimizar la suma de los cuadrados de los elementos de r. En otras palabras, aplicar mnimos cuadrados. Por ejemplo, si se desea utilizar una prediccin de los prximos 9 periodos de muestreo para definir el vector de errores e y se utilizan cuatro grados de libertad para minimizar este error, es decir, se usan cuatro valores futuros de mv, la ecuacin a resolver ser :



rrrrrrrrr

aa aa a aa a a aa a a aa a a aa a a aa a a aa a a a

MVMVMVMV

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2 1

3 2 1

4 3 2 1

5 4 3 2

6 5 4 3

6 6 5 4

6 6 6 5

6 6 6 6

0

1

2

3

=

eeeeeeeee

1

2

3

4

5

6

7

8

9

En esta ecuacin es muy importante darse cuenta que e es el vector de errores futuros, calculado en base a las acciones de control del pasado (respuesta libre), A es la misma matriz dinmica y que mv es el vector de los posibles movimientos futuros de la variable manipulada.

Para minimizar r en funcin de mv hay que minimizar la suma del cuadrado de los componentes de r. En notacin matricial esto se consigue minimizando rT * r.

[ ]r r r r r r r r r

rrrrrrrrr

rii

i

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2

1

9

==

=

Para minimizar

rT * r = (A mv -e)T * (A mv-e)

primero hay que derivar la funcin con respecto a mv y luego encontrar la raz del polinomio resultante:

( )( )

r rmv

T

= 0



[ ]

(A mv - e) A mv - e)mv

T

*(( )

= 0

AT * (A mv -e) = 0

ATA mv - AT e = 0

ATA mv = AT e

Para resolver esta ecuacin previamente conviene comentar que ATA es una matriz cuadrada y suele ser no-singular, por lo tanto se puede calcular su inversa (ATA)-1. Luego despejando mv de la ecuacin anterior, resulta :

(ATA)-1 ATA mv = (ATA)-1AT e

mv = (ATA)-1AT e

Es decir, para una matriz dinmica conocida A, y para un error calculado e, el vector mv que minimiza el error a lo largo del horizonte de prediccin es :

mv = (ATA)-1AT e

El controlador [DMC] usa un horizonte de prediccin ajustable entre 8 y 14 movimientos futuros de mv. Es decir, la anchura de la matriz A es entre 8 y 14.

6.1. Move Suppression Factors

La formulacin bsica del [DMC] calcula un plan de movimientos futuros para la variable manipulada de forma que se minimice el error a lo largo del horizonte de prediccin. Esta solucin, a pesar de ser la ms ptima para minimizar el error, puede ser demasiado agresiva para un proceso real pudiendo provocar cambios muy fuertes de las variables manipuladas. Cuando se controla un proceso real , normalmente se desea una accin del controlador que sea ms suave, a pesar de perder capacidad de respuesta del controlador y a costa de sacrificar el objetivo de minimizacin del error, este compromiso se puede visualizar grficamente en la Figura 6-3.



Sum

a de

l val

or a

bsol

uto

del e

rror

Suma del valor absoluto de los movimientos

AltoMove

Suppression

Bajo Move

Suppression

Figura 6-3 Move Suprresion: Compromiso

A un controlador multivariable predictivo se le puede aadir fcilmente un segundo objetivo consistente en minimizar la magnitud de los movimientos de mv. Este objetivo entra en conflicto con el de minimizar el error, pero es precisamente el algoritmo de mnimos cuadrados el que se encarga de encontrar una solucin de compromiso entre los dos objetivos.

Para aadir el segundo objetivo vamos a usar un factor de peso configurable k, que intente cumplir el objetivo :

k* MV0 = 0 k* MV1 = 0 k* MV2 = 0 k* MV3 = 0

aadiendo este objetivo al de minimizar el error A*mv = e, se obtiene la siguiente ecuacin matricial :



k 0 0 00 k 0 00 0 k 00 0 0 k

A mv e

*

MV0MV1MV2MV3=

0000

CV1

MatrizS

{{

Minimizael

error

Minimizael tamaodel mov.

En la ecuacin anterior se observa que cuanto mayor sea k, ms importancia tiene en la resolucin por mnimos cuadrados el que mv = 0 y por tanto ms se alejar del objetivo de minimizar el error. Es decir para mayores valores de k se obtiene una accin de control ms suave. En procesos normales k vara entre 0.1 y 50 ( sin unidades).

En el controlador [DMC], la constante k se denomina Move Suppression Factor y tiene que ser definida para cada variable manipulada. La matriz K se suele llamar Slack matrix segn la nomenclatura anglosajona.

Esta filosofa se puede ampliar fcilmente para el caso multivariable. Para un caso de 2 variables manipuladas y 2 variables controladas, A*mv = e toma la siguiente forma :

k 0 0 00 k 0 00 0 k 00 0 0 k

*

MV10MV11MV12MV13 =

0000

CV1

MV20MV21MV22MV23

0000

L 0 0 00 L 0 00 0 L 00 0 0 L

00

CV2

E1

E2

A11 A12

A21 A22



donde :

A11 Matriz dinmica de coeficientes que relaciona MV1 con CV1



A22 Matriz dinmica de coeficientes que relaciona MV2 con CV2 E1 Vector de errores de la variable controlada CV1

E2 Vector de errores de la variable controlada CV2

k Move Suppression Factor para MV1

L Move Suppression Factor para MV2

El compromiso que se mostraba en la Figura 6-3 se materializa en el plano temporal tal como se ve en la Figura 6-4 . Se puede observar que cuanto mayor es el Move Suppression ms tarda la variable controlada en alcanzar el nuevo punto de consigna, o lo que es lo mismo, mayor es el sumatorio del error a lo largo del horizonte de prediccin.

99

100

101

102

103

104

105

0

5

10

15

CV

MV

Move Suppression = 10




CV

MV

Low MV Limit

Aumentando el Move Suppression...

99

100

101

102

103

104

105

0

5

10

15

CV

MV





CV

MV

Low MV Limit

Aumentando el Move Suppression...

Figura 6-4 Move Suppresion : Evolucin temporal



6.2. Equal Concern Errors

En un entorno multivariable, el controlador est generando la ley de control para minimizar el error en todas las variables controladas al mismo tiempo. En un contexto de mnimos cuadrados, todos los errores ,EN, se intentarn minimizar con el mismo rigor, sin embargo en el proceso no todas las variables controladas tienen la misma importancia. Por lo tanto, es necesario dotar al controlador de algn mecanismo que permita decidir qu error EN es ms importante.

Multiplicando artificialmente las ecuaciones de minimizacin de error de una variable controlada por un coeficiente de peso, wCVn, positivo, provocar que los residuos asociados con esa CV sean mayores y por lo tanto el algoritmo de mnimos cuadrados intentar minimizar esos errores con ms nfasis.

Podemos definir el concepto de Equal Concern Error como el nivel de error admisible para una variable controlada. Se define en las mismas unidades de ingeniera que la CV. El Equal Concern Error no significa que el controlador permita dicha magnitud de error, si no que comparativamente pondere ms o menos los errores en una CV con respecto a otra. En la medida que el Equal Concern Error es mayor, menos importancia relativa se da a dicha CV.

El factor de peso wCVn definido anteriormente es el inverso del Equal Concern Error :

wEqual Concern Error CVN

= 1CVn

Resumiendo :

El Equal Concern Error normaliza los errores en las CVs para poner todas las magnitudes de error en una misma escala matemtica. Esto da lugar a una resolucin matemticamente ms robusta de la ecuacin (ATA)-1AT e.

Prioriza las variables controladas por orden de importancia relativa de unas con respecto a otras.

Todo este tratamiento se representa de forma matricial con la expresin siguiente :



k 0 0 00 k 0 00 0 k 00 0 0 k

*

MV10MV11MV12MV13=

0000

* wCV1

MV20MV21MV22MV23

0000

L 0 0 00 L 0 00 0 L 00 0 0 L

00

E1

E2

A11 A12

A21 A22

* wCV2

* wCV1

* wCV2

En esta ecuacin se observa como se multiplican los coeficientes de la matriz dinmica, ANM y los errores EN por wCVn para cada variable controlada N.

6.3. Equal Concern Dinmicos El concepto del equal concern se puede ampliar de forma dinmica, es decir, el equal concern no tiene porque ser constante en todo el rango de operacin de las variables controladas. Efectivamente, muchas variables tienen mayor importancia cuando se acercan a un lmite de operacin, por ejemplo una restriccin fsica como la presin de un recipiente, tiene que ser controlada con ms nfasis si sta se acerca al lmite operativo que cuando est lejos de l.

Esto se puede acometer de forma sencilla definiendo un equal concern para cada valor de la variable controlada dentro del rango de operacin. Normalmente se suele definir mediante una funcin compuesta por tramos tal y como se muestra en la Figura 6-5. En este caso se define un valor para el lmite superior, otro para el inferior y rangos de transicin para que el cambio en el controlador no sea muy brusco cuando nos acercamos a un lmite. La Figura 6-5 muestra un caso en el que la variable controlada es ms importante cuando est en el lmite inferior que cuando esta el lmite superior, y todava es menos importante cuando se encuentra dentro del rango.



Zona baja de transicin

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