Notas de Sistemas de Control Avanzado

Control Avanzado. Luis Edo García Jaimes 1

TABLA DE CONTENIDO

1. ANÁLISIS DE SISTEMAS DE CONTROL EN EL ESPACIO DE

ESTADO

5

1.1 FORMAS CANÓNICAS PARA ECUACIONES EN EL ESPACIO

DE ESTADO EN TIEMPO DISCRETO

8

1.1.1 Forma Canónica Controlable 8

1.1.2 Forma Canónica Observable 9

1.1.3 Forma Canónica Diagonal 10

1.1.4 Forma Canónica de Jordan 10

1.2 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE PULSO Y

REPRESENTACIÓN EN EL ESPACIO DE ESTADO.

11

1.3 SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE ESTADO EN TIEMPO

DISCRETO

13

1.3.1 Método Recursivo 13

1.3.2 Método de la Transformada z 14

PROBLEMAS PROPUESTOS 16

REFERENCIAS 18

2. DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL EN EL ESPACIO DE

ESTADO

19

2.1 2.1 CONTROLABILIDAD 20

2.1.1 Controlabilidad Completa del Estado 20

2.1.2 Controlabilidad Completa de la salida 21

2.2 OBSERVABILIDAD 22

2.3 CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO Y

ASIGNACIÓN DE POLOS

24

2.4 CALCULO DE LA MATRIZ DE GANANCIA DE

REALIMENTACIÓN

26

2.5 SISTEMA DE CONTROL CON ENTRADA DE REFERENCIA 29

2.6 OBSERVADORES DE ESTADO DE ORDEN COMPLETO 32

2.7 OBSERVADOR DE ESTADO TIPO PREDICTOR 33

2.7.1 Cálculo de la matriz de ganancia del observador 35


2.7.2 Formula de Ackerman 35

2.7.3 Función de Transferencia de Pulso del Controlador 36

2.8 OBSERVADOR DE ESTADO DE ORDEN REDUCIDO 42

2.9 SISTEMAS TIPO SERVO 49

2.10 SISTEMAS NO LINEALES 54

2.10.1 Linealización de sistemas no lineales 54

2.10.2 Diseño de Controladores para Sistemas no Lineales 56


REFERENCIAS 62

3. CONTROL ADAPTATIVO 63

3.1 DEFINICIÓN 63

3.1.1 Índice de desempeño 63

3.1.2 Controladores adaptativos 64

3.1.3 Identificación de las características dinámicas de la planta 65

3.1.4 Toma de decisión basada en la identificación de la planta 65

3.2 ESQUEMAS BÁSICOS DE CONTROL ADAPTATIVO 65

3.2.1 Controlador autosintonizado (STR) 66

3.2.2 Control con modelo de referencia (MRAC) 67

3.2.3 Control con ganancia programada (Gain Scheduling) 68

3.2.4 Modelos discretos para sistemas de control adaptativo 69

3.2.5 Clasificación de los controladores discretos según la señal de

control

69

REFERENCIAS 70

4. CONCEPTOS BÁSICOS DE IDENTIFICACIÓN DE SISTEMAS 71

4.1 TIPOS DE MODELOS 72

4.2 PROCEDIMIENTO PARA LA IDENTIFICACIÓN. 73

4.2.1 Recolección de datos 73

4.2.2 Tratamiento previo de los datos obtenidos 73

4.2.3 La Selección del Modelo 73

4.2.4 Estimación de parámetros 73

4.2.5 Validación del Modelo 74


4.3 TÉCNICAS DE IDENTIFICACIÓN 75

4.3.1 Identificación fuera de línea (Off-Line) 75

4.3.2 Identificación en línea (On-Line) 75

4.4 IDENTIFICACIÓN PARAMÉTRICA 76

4.4.1 Identificación por el método de mínimos cuadrados no recursivo 76

4.4.2 Identificación por el método de mínimos cuadrados recursivos 80


REFERENCIAS 88

5. REGULADORES AUTOADAPTABLES 89

5.1 ECUACIÓN GENERAL PARA CONTROLADORES LINEALES 89

5.1.1 Método de asignación de polos 90

5.1.2 Controlador de mínima varianza 92

5.1.3 Diseño de un controlador PI Adaptativo por asignación y

cancelación de polos para un sistema de primer orden (POR):

101


REFERENCIAS 106

6. CONTROL ADAPTATIVO POR MODELO DE REFERENCIA 107

6.1 MRAC PARA SISTEMAS CONTINUOS, MÉTODO DE

LYAPUNOV

108

6.2 MRAC PARA SISTEMAS DISCRETOS 116


REFERENCIAS 128

7. CONTROL ADAPTATIVO CON GANANCIA PROGRAMABLE 129


REFERENCIAS 146

8. CONTROL PREDICTIVO 147

8.1 ESTRATEGIA DE LOS CONTROLADORES PREDICTIVOS 147

8.2 ESTRUCTURA BÁSICA DEL CONTROL PREDICTIVO 148

8.3 ELEMENTOS DE CONTROL PREDICTIVO 149

8.3.1 Modelo de predicción 149

8.3.2 Función objetivo 152


8.4 CONTROL PREDICTIVO GENERALIZADO (GPC) 153

8.4.1 Formulación del control predictivo generalizado 153

8.4.2 Predicción óptima 154

8.4.3 Obtención de la ley de control 156

8.5 CONTROL CON MODELO INTERNO 163

8.6 DISEÑO DE COMPENSADORES POR EL MÉTODO DE

RAGAZZINI

169


REFERENCIAS 178

BIBLIOGRAFIA GENERAL 178


Este método tiene como objetivo la descripción de un sistema en función de

ecuaciones en diferencias o diferenciales de primer orden, las cuales pueden

combinarse para formar una ecuación matricial en diferencias o una diferencial de

primer orden.

El diseño de sistemas en el espacio de estado se puede realizar con todo tipo de

entradas, permite incluir condiciones iniciales y analizar los sistemas de control

con respecto a índices de desempeño dados.

Para un mayor entendimiento del concepto de estado se definen a continuación

algunos términos [1.1].

Estado: el estado de un sistema dinámico es el conjunto más pequeño de

variables, tales que el conocimiento de dichas variables en junto con el

conocimiento de la entrada para , determinan completamente el

comportamiento dinámico del sistema para

Variables de Estado: son las variables que conforman el conjunto más pequeño

de variables que determinan el estado de un sistema dinámico. Las variables de


estado no necesitan ser cantidades físicamente medibles u observables. Pero, en

la práctica, es conveniente seleccionar como variables de estado a cantidades que

sean fácilmente medibles.

Vector de Estado: es el vector formado por el conjunto de las variables de

estado que sean necesarias para determinar completamente el

comportamiento del sistema.

En la figura 1.1a las variables , representan las entradas que

comandan al sistema, las variables , representan las salidas o

respuestas del sistema y las variables , representan las variables

internas o variables de estado del sistema.

Figura 1.1 Representación de un sistema dinámico a) Representación con

las variables de estado. b) Representación con el vector de estado.

Por conveniencia, el sistema de la figura 1.1a se puede representar como se

muestra en la figura 1.1b en donde es el vector de entrada, es el vector

de salida y es el vector de estado es decir:


En general, la ecuación que describe el estado de un sistema de tiempo discreto,

en el instante se puede escribir en la forma:

Así mismo, la salida del sistema se puede dar como:

Para los sistemas lineales de tiempo discreto variantes en el tiempo, la ecuación

de entrada y la ecuación de salida se pueden escribir así:

En donde: Vector de estado (vector )

Vector de salida (vector )

Vector de entrada (vector )

Matriz de estado (matriz )

Matriz de entrada (matriz )

Matriz de salida (matriz )

Matriz de transmisión directa (matriz )

La variable en el argumento de las matrices , , y indica que

estas matrices varían en el tiempo. Si se tiene un sistema de tiempo discreto

lineal e invariante en el tiempo, dichas matrices son constantes y las ecuaciones

de estado y salida del sistema se pueden escribir como:

En la representación por variables de estados de un sistema lineal, con matrices

, , y , las matrices y describen el comportamiento no-forzado del

sistema (o el comportamiento a entrada-cero), mientras que la matriz caracteriza

el efecto de la entrada (o el control) sobre la dinámica del sistema. La matriz

representa la transmisión directa de la entrada a la salida.

La figura 1.2 representa el diagrama en bloques de un sistema de control discreto

definido por las ecuaciones 1.6 y 1.7


Figura 1.2 Diagrama en bloques de un sistema de tiempo discreto lineal e

invariante en el tiempo

1.1 FORMAS CANÓNICAS PARA ECUACIONES EN EL ESPACIO DE ESTADO

EN TIEMPO DISCRETO

Sea el sistema en tiempo discreto definido por la ecuación de diferencias:

En donde es la entrada y es la salida del sistema en el instante de

muestreo . La función de transferencia de pulso correspondiente a la ecuación

1.8 está dada por:

Existen diferentes formas para representar el sistema discreto definido por las

ecuaciones 1.8, 1.9 y 1.10. Las más utilizadas son las llamadas formas

canónicas a saber: forma canónica controlable, forma canónica observable, forma

canónica diagonal y forma canónica de Jordan [1.2]

1.1.1 Forma Canónica Controlable: la representación en el espacio de estado

del sistema en tiempo discreto definido por las ecuaciones 1.8, 1.9 ó 1.10 se

puede expresar en la forma:


1.1.2 Forma Canónica Observable: la representación en el espacio de estado del

sistema en tiempo discreto definido por las ecuaciones 1.8, 1.9 ó 1.10 se puede

expresar en la forma:

1.1.3 Forma Canónica Diagonal: si los polos de la función de transferencia de

pulso dada por la ecuación 1.10 son todos distintos, es decir, si ella se puede

expandir en fracciones parciales en la forma:

La representación en el espacio de estado definido por las ecuaciones 1.8, 1.9 ó

1.10 se puede expresar en la forma:


1.1.4 Forma Canónica de Jordan: Si al descomponer en fracciones parciales la

función de transferencia dada por la ecuación 1.10 se obtiene un polo múltiple de

orden en y todos los demás polos son distintos, es decir:

La representación en el espacio de estado definido por las ecuaciones 1.8, 1.9 ó

1.10 se puede expresar en la forma:

EJEMPLO 1.1

Dado el sistema:

a) Obtener su representación en el espacio de estado en las formas canónicas

controlable, observable y diagonal.

SOLUCIÓN: el sistema dado puede escribirse en la forma:


En donde y

(ver ecuación 1.10)

La ecuación 1.11 da la forma canónica controlable así:

La ecuación 1.12 da la forma canónica observable así:

Como los polos de la función de transferencia del sistema son todos distintos, la

representación del mismo, en su forma canónica diagonal, se obtiene expandiendo

en fracciones parciales:

Utilizando la ecuación 1.14 se obtiene:

1.2 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE PULSO Y REPRESENTACIÓN EN EL

ESPACIO DE ESTADO.

Como se ha visto, la representación en el espacio de estado de un sistema

discreto lineal e invariante en el tiempo se puede expresar en la forma:


Tomando la transformada z a las ecuaciones 1.17 y 1.18 se obtiene:

La definición de la función de transferencia considera que las condiciones iniciales

son iguales a cero, entonces:

Premultiplicando por se obtiene:

Es decir:

Como es la entrada al sistema e su salida, la función de transferencia

del mismo será:

De la ecuación 1.20 se deduce que la ecuación característica del sistema es:

EJEMPLO 1.2

Hallar la función de transferencia de pulso del sistema cuyo comportamiento

dinámico está descrito mediante la ecuación:

SOLUCIÓN: La función de transferencia del sistema es:


1.3 SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE ESTADO EN TIEMPO DISCRETO.

Existen dos técnicas fundamentales para resolver ecuaciones de estado en tiempo

discreto: una que utiliza el método recursivo y otra, que utiliza el método de la

transformada z [1.3]

1.3.1 Método Recursivo: Considerando la ecuación de estado en tiempo discreto

e invariante en el tiempo:

Es obvio que para

Entonces:

La ecuación 1.25 es, entonces, la solución general de la ecuación 1.23. Además,

de 1.25 se obtiene:

La matriz se denomina “Matriz de Transición de Estado” y se puede expresar

como:

Reemplazando la ecuación 1.27 en la 1.25 y la 1.26 se obtiene:


EJEMPLO 1.3

Resolver, utilizando el método recursivo, la ecuación de estado en tiempo discreto:

Asumiendo que y que para

Asumiendo que x(0) = 0 y que u(k) = 1 para k 0.

SOLUCIÓN: El procedimiento es el siguiente:

1.3.2 Método de la Transformada z: Considerando el sistema descrito por la

ecuación de estado [1.4]:

Tomando la transformada Z se obtiene:


Premultiplicando por se obtiene:

Tomando la Transformada z inversa se obtiene:

Comparando término a término las ecuaciones 1. 27 y 1.30 se obtiene que:

EJEMPLO 8.4

Hallar la matriz de transición y resolver la ecuación de estado para el sistema

descrito por la ecuación:

Asumiendo que , y que para .

SOLUCIÓN: La matriz de transición está dada por:

La solución de la ecuación de estado se obtiene así:


PROBLEMAS PROPUESTOS

1.1 Obtenga cuatro diferentes representaciones en el espacio de estado para

cada uno de los siguientes sistemas discretos. Considere condiciones iniciales

iguales a cero.

1.2 Obtenga la función de transferencia de pulso correspondiente a cada uno de

los sistemas cuya representación en el espacio de estado discreto se da a

continuación:


1.3 Dado el sistema:

1.4 Dado el sistema:

1.5 Para cada uno de los sistemas mecánicos que se muestran en la figura 1.3

obtenga las ecuaciones diferenciales que describen su comportamiento dinámico

y, a partir de ellas, obtenga su representación en el espacio de estado. Asuma que

e son las salidas y la entrada.

Figura 1.3 sistemas mecánicos para el problema 1.5


1.6 Para cada uno de los sistemas mecánicos rotacionales que se muestran en la

figura 1.4 obtenga las ecuaciones diferenciales que describen su comportamiento

dinámico y, a partir de ellas, obtenga su representación en el espacio de estado.

Asuma que el torque es la entrada al sistema y que es su salida.

Figura 1.4 Sistemas mecánicos rotacionales para el problema 1.6

REFERENCIAS

[1.1] Ogata, Katsuhiko. Sistemas de control en tiempo discreto. Prentice Hall.

Mexico 1996.

[1.2] Santina, Mohamed. Stubberud et al. Digital control systems design.

Saunders College Publishing Orlando 1994.

[1.3] Phillips, Charles. Nagle Troy. Digital control systems. Analysis and design.

Prentice Hall. Englewood Cliffs 1995.

[1.4] Phillips, Charles, Nagle Troy. Digital control systems. Analysis and design.

Prentice Hall. Englewood cliffs 1995.


El problema de diseño de un sistema de control digital consiste en determinar un

algoritmo que permita generar una secuencia de valores de las variables de

control de la planta , de manera que las salidas cumplan con las

especificaciones de funcionamiento establecidas en cuanto a estabilidad,

exactitud, velocidad de respuesta, un índice determinado de desempeño, etc.

En esta sección se presenta el diseño de controladores en el espacio de estado,

utilizando el método de asignación de polos. Para su aplicación el método

requiere que el sistema sea completamente controlable y completamente

observable.

La controlabilidad y la observabilidad son propiedades de la descripción interna del

sistema.


2.1 CONTROLABILIDAD

2.1.1 Controlabilidad Completa del Estado: Sea el sistema discreto:

Se dice que un sistema de control es de “estado completamente controlable”, si es

posible transferir el sistema desde un estado inicial arbitrario a cualquier otro

estado deseado en un intervalo de tiempo finito, es decir, si existe una señal de

control, no restringida, definida a lo largo de un número finito de periodos de

muestreo de manera que, partiendo de cualquier estado inicial, el estado

pueda ser transferido al estado deseado en periodos de muestreo como

máximo. [2.1].

la controlabilidad completa del estado depende sólo de la variación del estado con

las entradas es decir, de las matrices y de la ecuación 2.1.

La solución de la ecuación 2.1 es:

De la ecuación 2.2 se obtiene:

La expresión anterior se puede escribir en la forma:

Si y son conocidos, la ecuación 2.4 se puede reescribir así:


Como el orden del vector de estado es , entonces la ecuación 2.5 debe

generar ecuaciones simultáneas, lo cual sólo es posible si el rango de la matriz

es .

Resumiendo, el sistema descrito por la ecuación 9.1 es controlable si:

Siendo el orden de la matriz A.

Una condición suficiente y necesaria para la controlabilidad completa del

estado, es que no se presente cancelación de ceros y polos en la función de

transferencia de pulso.

2.1.2 Controlabilidad Completa de la salida: En la práctica, en un sistema de

control se controla la salida del sistema en lugar de controlar el estado. Por tal

motivo, es necesario analizar la controlabilidad completa de la salida. [2.2].

Sea el sistema definido por las ecuaciones:

Se dice que el sistema definido por las ecuaciones 2.7 y 2.8 es de salida

completamente controlable, si mediante una señal de control no restringida ,

es posible transferir la salida del sistema desde un valor inicial hasta un valor

deseado en períodos de muestreo como máximo.

La condición de controlabilidad competa de la salida se puede obtener teniendo en

cuenta las ecuaciones 2.4 y 2.8 es decir:


Teniendo en cuenta que es el vector de salida y su orden es , se deduce

que la ecuación 9.9 debe generar m ecuaciones simultáneas, lo cual sólo es

posible si el rango de la matriz es .

Resumiendo, el sistema descrito por las ecuaciones 2.7 y 2.8 es de salida

completamente controlable sí:

Así mismo, se puede demostrar que si la ecuación 2.8 es de la forma:

El sistema es de salida completamente controlable si:

2.2 OBSERVABILIDAD

En muchas ocasiones no es posible medir directamente el estado de un sistema

ya sea porque no existen los sensores necesarios o porque algunas de las

variables de estado no tienen correspondencia con magnitudes físicas. En este

caso, no sería posible establecer una estrategia de control basada en los valores

alcanzados por las variables de estado. El concepto de observabilidad, se

relaciona con la posibilidad de obtener el estado de un sistema a partir de la

medición o el conocimiento de las entradas y de las salidas del mismo.

Sea el sistema discreto definido por:

Se dice que el sistema descrito por las ecuaciones 2.13 y 2.14 es complemente

observable si cualquier estado inicial puede determinarse a partir de la

observación de en períodos de muestreo como máximo.

La condición de observabilidad se puede obtener a partir de las ecuaciones 2.13 y

2.14, asumiendo , es decir, considerando que:

Al hacer variar desde cero hasta n resulta:


Las ecuaciones anteriores escritas en forma matricial toman la forma:

El vector de salida tiene elementos por lo tanto, en la ecuación 2.17 se

deben generar ecuaciones simultáneas, esta condición solo es posible si:

Una condición suficiente y necesaria para la observabilidad completa del

estado es que no se presente cancelación de ceros y polos en la función de

transferencia de pulso.

EJEMPLO 2.1

Dado el sistema en tiempo discreto definido por:

a) Es el sistema completamente controlable? b) Es el sistema completamente

observable?

SOLUCION: a) La matriz de controlabilidad para el sistema dado es:


Se intercambian la fila dos y la tres para obtener una matriz triangular inferior.

El sistema es controlable.

b) La matriz de observabilidad para el sistema dado es:

El sistema es observable.

2.3 CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO Y ASIGNACIÓN DE

POLOS

El método de asignación de polos para el diseño de controladores en el espacio

de estado requiere que el sistema sea de estado completamente controlable y

completamente observable.

El método de asignación de polos, comienza con la determinación de los polos de

lazo cerrado deseados, utilizando para ello especificaciones basadas en la

respuesta transitoria y/o en los requerimientos de respuesta en frecuencia.

Si se desea ubicar los polos de lazo cerrado en es

posible elegir una matriz de ganancia de realimentación K adecuada, que force al

sistema a tener los polos de lazo cerrado en el lugar deseado siempre y cuando el

sistema sea de estado completamente controlable y completamente observable.

A continuación se presenta el método de diseño de controladores en el espacio de

estado conocido con el nombre de “técnica de asignación de polos”. Se

supone que todas las variables de estado son medibles y están disponibles para la


realimentación, además se insiste, el sistema debe ser completamente controlable

y completamente observable.

Sea el sistema de control en lazo abierto dado en la figura 2.1a y definido por la

ecuación de estado:

Si se elige como ley de control:

Se obtiene el sistema de control realimentado mostrado en la figura 2.1b. A este

esquema se le denomina “sistema con realimentación de estado”.

Figura 2.1 a) Sistema de control en lazo abierto. b) Sistema de control en

lazo cerrado .

La matriz se llama “matriz de ganancia de realimentación” y

convierte al sistema en un sistema de control en lazo cerrado, cuya dinámica

queda determinada por las especificaciones de funcionamiento dadas las cuales

determinan, a la vez la ubicación de los polos de lazo cerrado deseados.

Reemplazando la ecuación 2.20 en la ecuación 2.19, se obtiene la ecuación de

estado del sistema en lazo cerrado, así:


La estabilidad y las características de respuesta transitoria del sistema se

determinan a partir de los valores propios de la matriz

Tomando la transformada z a la ecuación 2.21 se obtiene:

Premultiplicando por resulta:

De la ecuación 2.23 se deduce que la ecuación característica del sistema en lazo

cerrado es:

En donde son los coeficientes de la ecuación característica deseada.

2.4 CALCULO DE LA MATRIZ DE GANANCIA DE REALIMENTACIÓN.

La matriz de ganancia de realimentación se puede obtener por diferentes

métodos. A continuación se presenta el método de la formula de Ackerman,

caracterizado por su fácil aplicación y generalidad.

Formula de Ackerman: Esta fórmula permite calcular directamente la matriz de

ganancia de realimentación, a partir de la ecuación:

En donde:

Siendo los coeficientes de la ecuación característica deseada:

EJEMPLO 2.2

La dinámica del sistema de flujo que se muestra en la figura 2.2 está dada por:


Obtener para este proceso, la matriz de ganancia de realimentación de modo que

el sistema en lazo cerrado, tenga un tiempo de establecimiento de 1.2 seg y

coeficiente de amortiguamiento igual a 0.8. Asuma que el período de muestreo es

. (El modelo matemático del sistema se estimó aplicando una señal en

escalón unitario en la válvula de control de flujo FCV).

Figura 2.2 Sistema de flujo para el ejemplo 2.2

SOLUCION: La función de transferencia de pulso del sistema, con está

dada por:

La representación en el espacio de estado en tiempo discreto es:

La ubicación de los polos de lazo cerrado deseados se obtiene a partir de las

especificaciones de tiempo de establecimiento y coeficiente de amortiguamiento

requerido así:

Entonces:


Por lo tanto, los polos de lazo cerrado diseñados deben estar ubicados en

. El tercer polo se asigna en z = 0.05

de modo que no sea polo dominante; así la ecuación característica está dada por:

Utilizando la Fórmula de Ackerman:

La ecuación característica deseada dio:

Entonces:

La figura 2.3 representa la respuesta del sistema en lazo cerrado con la matriz K

estimada.

Figura 2.3 Respuesta del sistema del ejemplo 2.2 con K estimada


2.5 SISTEMA DE CONTROL CON ENTRADA DE REFERENCIA

El sistema de control descrito en la sección anterior no tiene entrada de referencia.

Este tipo de control se denomina “sistema de control tipo regulador”. En la

mayoría de los casos, es necesario que la salida siga a una entrada de

referencia , este sistema se denomina “sistema de control tipo Servo” y su

configuración básica se muestra en la figura 2.4

Figura 2.4 Sistema de control con realimentación de estado y entrada de

referencia

Considerando el sistema de la figura 2.4, su comportamiento dinámico se puede

definir por las siguientes ecuaciones de estado:

La señal de control está dada por:

En donde es una constante que se debe determinar y es la entrada de

referencia.

Reemplazando la ecuación 2.31 en la 2.29 se obtiene:

Tomando la transformada z a las ecuaciones 2.30 y 2.32 y asumiendo las

condiciones iniciales iguales a cero resulta:


Por lo tanto, la función de transferencia de lazo cerrado para el sistema es:

La ecuación característica del sistema es:

La introducción de la matriz de ganancia de realimentación modifica la ecuación

característica del sistema original y al hacerlo, modifica también la ganancia de

estado estable del sistema en lazo cerrado. En estas condiciones, la constante

se puede tomar como un parámetro de ajuste en el circuito del set-point, tal que

el valor de la respuesta en régimen permanente del sistema ante un escalón

unitario sea igual a la unidad, es decir, tal que .

Al aplicar el teorema del valor final a la ecuación 2.33 y teniendo en cuenta que

es un escalón unitario, el error del sistema en estado estable será igual a

cero se cumple que:

Es decir:

La ecuación 2.36 permite calcular el valor adecuado de para que el error de

estado estable del sistema en lazo cerrado ante una entrada en escalón unitario,

aplicada en la señal de referencia, sea igual a cero.

EJEMPLO 2.3

Hallar el valor de de modo que el sistema de flujo analizado en el ejemplo 2.2

tenga error cero ante una entrada en escalón unitario aplicado en la señal de

referencia.


SOLUCIÓN: En el ejemplo 2.2 se obtuvo que:

Para que el error de estado estable del sistema, en lazo cerrado, ante un cambio

en escalón aplicado en la señal de referencia sea igual a cero, se debe cumplir

que:

Entonces:

Así, la función de transferencia de lazo cerrado del sistema, sin el factor de

corrección de error en el circuito del set-point es:

La figura 2.5 corresponde a la respuesta del sistema cuando se le adiciona el

factor de corrección de error en el circuito del set-point.

Figura 2.5 Respuesta del sistema con el factor de corrección de error K0


2.6 OBSERVADORES DE ESTADO DE ORDEN COMPLETO

En la práctica, no todas las variables de estado de un sistema se pueden medir en

forma directa. Este hecho hace necesario estimar el valor de aquellas variables

de estado cuya medición directa no es posible. La estimación se debe realizar a

partir de mediciones en las variables de entrada y en las variables de salida.

En esta sección se desarrolla una técnica que permite estimar los estados de una

planta a partir de la información disponible en ella. El sistema que posibilita la

estimación se denomina “Observador o estimador de estado”.

El observador de un sistema dinámico lineal en tiempo discreto es otro sistema

dinámico lineal en tiempo discreto que tiene como entradas la entrada y la salida

del sistema discreto y como salida, los valores de las variables de estado.

Sea el sistema definido por:

Para resolver el problema de la observación son posibles dos soluciones [2.3]:

a. Utilizar un observador tipo predictor que permite obtener el estado del

sistema en el instante , estimando a partir de la entrada y

de la salida .

b. Utilizar un observador corriente que permite obtener el estado del

sistema en el instante estimando a partir de la entrada y

de la salida

Las figuras 2.6a y 2.6b representan, respectivamente los dos tipos de

observadores. El orden de ellos es igual al orden del sistema.

Figura 2.6 Observadores de estado a) Tipo Predictor b) Tipo Corriente


2.7 OBSERVADOR DE ESTADO TIPO PREDICTOR

Para obtener las ecuaciones que describen a este observador, se supone que el

estado real del sistema no puede medirse directamente. Si el estado

debe estimarse, es necesario que el estado estimado y el estado real

sean iguales o lo más aproximadamente iguales. La figura 2.7 ilustra cómo se

realiza la estimación de los estados.

Figura 2.7 Estimador de estados

La planta está descrita mediante la ecuación:

Tomando la transformada z se obtiene:

De la figura 2.7 se deduce que el sistema correspondiente al observador tiene dos

entradas e , entonces, su ecuación se puede escribir en la forma:

En donde , y son matrices desconocidas. Tomando la transformada z a la

ecuación 2.41 y considerando condiciones iniciales iguales a cero, resulta:

Teniendo en cuenta la ecuación 2.40 se obtiene:


Si el estado real de la planta es igual al estado estimado , las funciones

de transferencia y deben ser iguales es decir:

Simplificando:

La ecuación 2.43 se satisface si se cumple que y .

Entonces, la ecuación 2.41 correspondiente al observador predictor, se puede

escribir en la forma:

La matriz se denomina Matriz de ganancia de realimentación del observador.

La figura 2.8 representa el sistema de control con la matriz de ganancia de

realimentación y el observador de estado incluidos.

Figura 2.8 Sistema de Control con realimentación del estado observado


De la figura 2.8 se deduce que , así la ecuación del observador

tipo predictor de orden completo se puede escribir en la forma:

De la ecuación 2.44 se deduce que el observador es un sistema dinámico con

e como entradas y con ecuación característica dada por:

2.7.1 Cálculo de la matriz de ganancia del observador: la ecuación

característica del observador de estado de orden completo se dedujo en la sección

anterior y, está dada por:

La matriz es una matriz pesante y se debe diseñar de modo que se

aproxime asintóticamente a cuando . El procedimiento para diseñar la

matriz consiste en seleccionar, primero, los polos deseados para el observador y

luego, mediante la aplicación del procedimiento adecuado, calcular la matriz .

Los polos de lazo cerrado deseados para el observador se diseñan de manera que

el sistema cumpla con los requisitos de funcionamiento especificados y se eligen

de modo que su respuesta sea de dos a cuatro veces más rápida que la del

sistema.

2.7.2 Formula de Ackerman: esta fórmula permite evaluar directamente la matriz

de ganancia del observador a partir de la ecuación:

En donde:

Siendo los coeficientes de la ecuación característica deseada para el

observador:

El diseño de la matriz de ganancia de realimentación y el diseño de la matriz

de ganancia del observador , son dos problemas independientes entre si que


se combinan para obtener el sistema de control con realimentación del estado

observado.

EJEMPLO 2.4

Considere el sistema definido por:

a) Determine la matriz de ganancia de realimentación del observador, de modo

que los valores característicos deseados para la matriz del observador sean

y

SOLUCIÓN: Utilizando la formula de Ackerman:

Se obtiene:

La ecuación característica deseada es: por lo tanto:

2.7.3 Función de Transferencia de Pulso del Controlador: una vez obtenida la

matriz de ganancia de realimentación y la matriz de ganancia del observador ,

es posible obtener la función de transferencia de pulso del controlador. Se hace

notar que, para este controlador, la entrada es y la salida . Ver figura

2.9.

La figura 2.9a muestra el sistema de control equivalente con realimentación

unitaria y con entrada de referencia igual a cero (sistema tipo regulador). La figura

2.9b muestra la configuración del hardware. Más adelante se analiza el caso de

sistemas con entrada de referencia predeterminada.


Figura 2.9 Implementación del controlador digital


Tomando la transformada a esta ecuación y, considerando las condiciones

iniciales iguales a cero resulta:

La ley de control es:

Entonces:

Es decir:

La ecuación 2.50 permite estimar la función de transferencia de pulso del

controlador con el observador tipo predictor.

Figura 2.10 Sistema de Control para el ejemplo 2.5


EJEMPLO 2.5

Dado el sistema de control en tiempo discreto mostrado en la figura 2.10. a)

Hallar la matriz de ganancia de modo que la respuesta del sistema en lazo

cerrado tenga un máximo sobreimpulso del 10% y tiempo de pico de 4 seg. b)

Diseñar un observador adecuado para el sistema. c) obtener la ecuación del

controlador y la respuesta del sistema en lazo cerrado ante una entrada en

escalón unitario. Asuma que el período de muestreo es 1 seg.

SOLUCIÓN: Con , la función de transferencia de pulso del sistema es:

La representación en el espacio de estado del sistema en su forma canónica

controlable es:

a) De acuerdo con las especificaciones dadas, la ubicación de los polos de lazo

cerrado deseados para estimar la matriz de ganancia de realimentación , se

calcula así:

La ubicación de los polos deseados es por lo tanto:

La ecuación característica deseada para el sistema es, entonces:


Utilizando la formula de Ackerman:

b) Para diseñar el observador, se debe tener en cuenta que su velocidad debe ser

mayor que la del sistema. Sea y . Con estos parámetros,

la ubicación de los polos deseados para el observador es:

Es decir, los polos deseados son . Así, la ecuación

característica deseada para el observador es:

Utilizando la formula de Ackerman:

La ecuación del observador está dada por:


b) La ecuación del controlador está dada por:

La función de transferencia de lazo cerrado para el sistema es:

La figura 2.11 corresponde a la respuesta del sistema de control en lazo cerrado

con las matrices y diseñadas

Figura 2.11 Respuesta del sistema del ejemplo 2.5


Si se desea tener un error igual a cero, ante una entrada en escalón, es necesario

adicionar un factor de corrección de error en el circuito del set-point como se

indica en la figura 2.12

Figura 2.12 Sistema de control por realimentación de estados con factor

de corrección de error en el circuito del set-point

De la figura 2.12 se obtiene

Si la entrada es un escalón unitario se obtiene:

Teniendo en cuenta el teorema del valor final:

Para que el error sea cero debe cumplirse que , por lo tanto:

Para el caso del ejemplo 2.5 se tiene:

La figura 2.13 muestra la respuesta del sistema con introducida en el

circuito del set-point.

La función de transferencia del lazo cerrado del sistema es:


Figura 2.13 Respuesta del sistema del ejemplo 2.5 con K0 = 0.79

2.8 OBSERVADOR DE ESTADO DE ORDEN REDUCIDO

En la práctica, algunas de las variables de estado del sistema pueden ser medidas

exactamente y, por lo tanto, no es necesario estimarlas. En este caso, es posible

diseñar un observador que estime menos de las n variables que conforman el

vector de estado. Un observador de este tipo se conoce con el nombre de

Observador de Estado de Orden Reducido. Si el número de variables a estimar

es el mínimo posible, el observador se llama Observador de Orden Mínimo.

Sea la parte del vector de estado que puede medirse exactamente y sea

la parte no medible, el observador de orden reducido puede diseñarse

dividiendo el vector de estado en la forma:

Entonces, la ecuación del sistema puede escribirse así:

La ecuación correspondiente a la parte medible es:

Agrupando los términos conocidos se obtiene:


El término de la izquierda de la ecuación 2.56 corresponde a las cantidades

medidas.

La ecuación correspondiente a la parte no medible es:

El término se puede considerar como la entrada conocida.

Al comparar las ecuaciones del observador de orden completo, con la ecuación

2.57 y la de la salida del sistema con la ecuación 2.56 resulta:

La ecuación del observador de orden reducido, se puede obtener haciendo las

siguientes sustituciones en la ecuación del observador de orden completo

(ecuación 2.62).

Es decir:


Entonces:

La ecuación característica del observador de orden reducido es:


La matriz se puede obtener por comparación directa entre la ecuación

característica deseada para el observador de orden reducido y la ecuación

característica del mismo dada por la ecuación 2.66 o utilizando la formula de

Ackerman:

En donde:

Siendo los coeficientes de la ecuación característica deseada y el

orden de la matriz .

Finalmente, una vez calculadas la matriz de ganancia de realimentación y la

matriz del observador se procede a calcular la ecuación del controlador,

utilizando la ecuación [2.4]:

Para obtener la ecuación 2.69 se asume que y que la matriz de

ganancia de realimentación , se particiona de tal forma que:

Para utilizar correctamente las ecuaciones 2.67 y 2.69 es necesario tener presente

que la matriz debe estar en la forma , en caso contrario se

precisa utilizar una matriz de transformación tal que:

Así, la nueva representación de estado del sistema será:

En donde:


EJEMPLO 2.6 Considere el sistema descrito por:

a) Determine la matriz de ganancia de realimentación de modo que el sistema

tenga polos de lazo cerrado ubicados en . b) Si se

supone que sólo la salida es medible, diseñe un observador de orden mínimo

con polos localizados en . c) Obtenga la ecuación del

controlador y grafique la respuesta del sistema en lazo cerrado cuando se aplica

un escalón unitario a la referencia. d) Calcule, si es necesario, el valor del factor

de corrección de error que se debe adicionar en el circuito del set-point para

obtener un error de estado estable igual a cero.

SOLUCIÓN: Para resolver el problema, es necesario obtener la representación de

estado del sistema de modo que .

La matriz que transforma a en es:

Utilizando la ecuación 9.107:

a) La matriz de ganancia de realimentación es:

La ecuación característica deseada para el sistema en lazo cerrado es:


Por lo tanto:

Así, la matriz de ganancia de realimentación está dada por:

b. Dado que sólo se puede medir la salida , la única variable de estado

conocida será . Por lo tanto, es necesario estimar las otras dos variables y el

orden del observador de orden mínimo es 2. Entonces, la representación de

estado del sistema se puede escribir en la forma:

La matriz de ganancia L del observador se puede calcular mediante la formula de

Ackerman:

La ecuación característica deseada para el observador es:

Por lo tanto:

La ecuación del observador es, en este caso:


c. La ecuación del controlador es:

d. La función de transferencia de lazo cerrado del sistema planta-controlador con

el factor de corrección de error incluido en el circuito del set-point es:

En donde es la función de transferencia de pulso de la planta y, está dada

por:

Por lo tanto:

Para que el error de estado estable ante una entrada en escalón unitario sea igual

a cero, se debe cumplir:


Reemplazando

Tomando el límite se obtiene:

La figura 2.14 corresponde al sistema de control diseñado en el ejemplo 2.6, en

ella se muestra la disposición del controlador en la realimentación y el factor

de corrección en el circuito del set-point. La figura 2.15a muestra la respuesta

del sistema ante un escalón unitario sin el factor de corrección y la figura 2.15b

da la respuesta con el factor incluido en el circuito del set-point.

Figura 2.14 Configuración del sistema de control para el ejemplo 2.6

Figura 2.15 a) Respuesta del sistema al escalón unitario sin el factor K0. b)

Respuesta del sistema con K0 = 0.048


2.9 SISTEMAS TIPO SERVO

La figura 2.16 muestra un sistema de control por realimentación del estado en el

cual se utiliza un integrador adicional para estabilizar adecuadamente el sistema y

mejorar su exactitud.

Figura 2.16 Sistema tipo Servo con realimentación del estado

La ecuación de estado de la planta y su correspondiente ecuación de salida son,

respectivamente:

La ley de control para el sistema es:

De las ecuaciones 2.76 y 2.77 se obtiene:


Entonces:

Las ecuaciones 2.74 y 2.79 se pueden escribir en forma matricial así:

La ecuación de salida del sistema es:


Si la referencia es un escalón de magnitud entonces .

Con esta consideración, la ecuación 2.80 se puede escribir en la forma:

Para realizar el diseño, utilizando la técnica de asignación de polos, se debe

estimar la matriz correspondiente al integrador y la matriz correspondiente a

la matriz de ganancia de realimentación. Se puede demostrar que [2.5]:

En donde:

La figura 2.17 muestra el sistema de control por realimentación del estado

observado incluyendo un integrador en la trayectoria directa

Figura 2.17 Sistema tipo Servo con realimentación del estado observado

La ecuación de estado de la planta y su correspondiente ecuación de salida son,

respectivamente:

La ley de control para el sistema es:


La ecuación correspondiente al observador está dada por la ecuación 2.44:

Tomando la transformada z a las ecuaciones 2.88 y 2.90 se obtiene:

Reemplazando la expresión para en la ecuación 2.91 resulta:

Si se asume que la variable es un escalar se obtiene, después de simplificar

y agrupar términos:

Al tomar la transformada z a la ecuación 2.89 se obtiene:

Combinando las ecuaciones 1.93 y 2.94 resulta:

Las matrices y se obtienen utilizando las ecuaciones 2.83 y 2.84. La matriz

, correspondiente a la matriz de ganancia del observador, se calcula a partir de la

ecuación 2.47 para observador de orden completo o de la ecuación 2.67 para

observador de orden reducido.

EJEMPLO 2.7

La dinámica de cierto tanque presurizado está dada por:

a) Diseñar la matriz de ganancia de realimentación incluyendo integrador de

modo que el sistema en lazo cerrado tenga polos ubicados en el origen. b)


Diseñar un observador de orden completo con polos ubicados en el origen. c)

Establecer la ley de control para el sistema.

SOLUCIÓN: a) La matriz , que contiene a la matriz de realimentación y a la

matriz del integrador se calcula a partir de las ecuaciones 2.83, 2.84 y 2.85.

La ecuación característica deseada para el sistema, en lazo cerrado, es: ,

entonces:

b) El diseño del observador se realiza utilizando la formula de Ackerman:


La ecuación característica deseada para el observador es: , por lo tanto:

La ecuación del observador es:

a) La ley de control para el sistema está dada por:

Tomando transformada z y, despejando se obtiene:

Esta última ecuación corresponde a la ley de control para el sistema.

La figura 2.18 corresponde a la representación del sistema implementado en

Simulink para obtener la respuesta del mismo y la figura 2.19 muestra la respuesta

del tanque cuanto se aplica a su entrada un escalón unitario

FIGURA 2.18 Representación del sistema del ejemplo 2.7 en Simulink para

simular su respuesta.


FIGURA 2.19 Respuesta del sistema del ejemplo 2.7

2.10 SISTEMAS NO LINEALES

En la práctica, todos los sistema físicos presentan algún grado de alinealidad por

lo tanto, estrictamente hablando, no existen sistemas físicos perfectamente

lineales y los modelos con que se trabajan son ideales y basados en

simplificaciones con el fin de facilitar el análisis y diseño de sus sistemas de

control. Cuando las magnitudes de las señales aplicadas al sistema de control

están dentro de un rango en el cual exhibe una característica lineal, el sistema se

puede considerar básicamente lineal. Pero cuando los valores de las señales

sobrepasan el rango de la parte lineal, el sistema no se puede considerar lineal

[2.6].

Para el análisis y diseño de sistemas de control lineal existe, como se ha visto,

una gran cantidad de técnicas y métodos bien definidos. Por su parte, los

sistemas no lineales son difíciles de tratar en forma matemática y los

procedimientos para hallar soluciones a problemas presentes en estos sistemas

son bastante complicados. Debido a esta dificultad, se hace necesario introducir

sistemas lineales “equivalentes” para reemplazar los no lineales. Estos sistemas

“equivalentes” se pueden obtener mediante linealización del sistema no lineal en

un rango restringido de funcionamiento. Una vez obtenida la aproximación del

sistema no lineal por medio de un modelo matemático lineal, se le pueden aplicar

técnicas y métodos lineales para su análisis y diseño [2.7].


2.10.1 Linealización de sistemas no lineales: un sistema no lineal se puede

representar mediante ecuaciones de estado en la siguiente forma:

La ecuación 2.96 se puede escribir en la forma matricial así:

En donde es el vector de estado , es el vector de entradas )

y es un vector que es función del vector de estado y del vector de

entrada.

Para linealizar el sistema descrito por la ecuación 2.97 existen diferentes métodos:

uno de ellos consiste en la expansión de las ecuaciones de estado no lineales en

series de Taylor alrededor de un punto o de una trayectoria de operación nominal

del sistema, despreciando los términos de orden superior al primero, con lo cual

resulta una aproximación lineal de las ecuaciones de estado en un punto

determinado.

Si es el punto o la trayectoria de operación nominal correspondiente a la

entrada nominal , al expandir la ecuación 2.97 en una serie de Taylor y,

despreciando los términos de orden superior, resulta:

En donde:

Si se hace: y se obtiene, al reemplazar estas

expresiones en la ecuación 2.98:


Teniendo en cuenta que: se obtiene:

La ecuación 2.101 se puede escribir en la siguiente forma matricial:

En donde:

Para que el sistema linealizado “se aproxime” convenientemente al sistema no

lineal, los valores de y de deben mantenerse siempre lo más cerca

posible a los valores de referencia y respectivamente.

Además, y corresponden a los puntos de equilibrio de la ecuación 2.96 y

para ellos se cumple que:

2.10.2 Diseño de Controladores para Sistemas no Lineales: Teniendo en

cuenta la buena cantidad de herramientas existentes para el análisis y diseño de

controladores de sistemas lineales, una de las técnicas utilizadas para este fin en

los sistemas no lineales es linealizarlos previamente alrededor de un punto de

operación y luego tratarlos como sistemas lineales. Este método puede presentar

inconvenientes cuando la zona de funcionamiento del sistema se aleja

apreciablemente del punto de operación alrededor del cual se realizó la

linealización puesto que, en este caso, el modelo pierde precisión con respecto a

la planta verdadera con la que se está trabajando. Para explicar el procedimiento

de diseño de controladores para sistemas no lineales se presenta a continuación

un ejemplo.


EJEMPLO 2.8

Las siguientes ecuaciones corresponden al modelo matemático de un giroscopio

electrostático:

El punto de operación deseado es

a) Linealice el sistema en el punto de operación deseado. b) Discretice el

modelo lineal obtenido utilizando un período de muestreo c) Diseñe un

controlador discreto utilizando técnicas de realimentación de estado, de modo que

el sistema en lazo cerrado tenga sus polos en el origen. d) Grafique la respuesta

del sistema no lineal con el controlador diseñado.

SOLUCIÓN. a) La linealización se debe realizar alrededor del punto de operación

. Para los puntos de equilibrio se tiene, según la ecuación 2.104:

Resolviendo las ecuaciones anteriores se obtiene que, en el punto de equilibrio

y . Es decir:

Las matrices y se evalúan con la ecuación 9.138

Evaluando las derivadas parciales en el punto de equilibrio se obtiene:


Así, el sistema linealizado es:

La función de transferencia del sistema continuo equivalente es:

Es decir:

b) La discretización del modelo, con da:

Utilizando el MATLAB:

La representación en el espacio de estado discreto para el sistema linealizado, en

la forma canónica observable es:

c) La ecuación característica deseada para el sistema en lazo cerrado y para el

observador es : por lo tanto:


La ecuación para el controlador con observador de orden completo tipo predictor

es:

La función de transferencia del sistema en lazo cerrado está dada por:

El valor del factor de corrección de error esta dado por:


La figura 2.20 muestra la respuesta del sistema ante una entrada en escalón

unitario con el controlador diseñado y el factor de corrección de error en el circuito

del set-point.

Figura 2.20 Respuesta del sistema del ejemplo 2.8 a un escalón unitario


2.1 Para cada uno de los sistemas de control discretos dados a continuación

determinar: a) la matriz de ganancia de realimentación de modo que el sistema

tenga polos de lazo cerrado en el lugar indicado. b) El valor del factor de

corrección para que la respuesta del sistema tenga error de estado estable

igual a cero.

a)

b)

2.2 Para los sistemas de control discreto que se dan a continuación: a) Evalúe la

matriz de ganancia de realimentación y la matriz del observador de orden


completo de modo que el sistema, en lazo cerrado, tenga sus polos en el lugar

especificado. b) Obtenga, para cada caso, la ecuación del controlador. c) Calcule,

si es necesario, el factor de corrección de error en el circuito del set-point , de

modo que el sistema tenga error igual a cero ante una entrada en escalón unitario.

Obtenga la respuesta al escalón para cada sistema con su respectivo controlador.

a)

b)

2.3 Para cada uno de los sistemas discretos propuestos en el problema 2.2

obtener: a) La matriz de ganancia de realimentación incluyendo integrador de

modo que el sistema, en lazo cerrado, tenga polos ubicados en el origen del plano

z. b) Un observador de orden completo con oscilaciones muertas. c) Establecer la

ley de control del sistema con los resultados obtenidos en a y b.

2.4 La dinámica de un intercambiador de calor se puede describir mediante un

modelo de segundo orden de la forma:

Asumiendo , , , período de muestreo , y que el

sistema está precedido por un retenedor de orden cero obtener: a) La función de

transferencia de pulso del intercambiador b) Una representación del sistema en el

espacio de estado discreto c) La matriz de ganancia de realimentación

incluyendo integrador, de modo que el sistema tenga polos en y en

z . c) Diseñe un estimador de estados con polos en y

e) Obtenga la ley de control para el sistema. f) Obtenga la respuesta del

sistema ante un escalón unitario aplicado en la referencia.


2.5 Dado el sistema no lineal:

a) Linealice el sistema alrededor del punto b) Obtenga la función de

transferencia del sistema continuo c) Discretice el sistema con . d)

Obtenga su ecuación de estado en tiempo discreto en forma canónica controlable.

e) Diseñe para el sistema linealizado, un controlador de modo que el sistema

tenga sus polos de lazo cerrado ubicados en el origen y que garantice error cero

ante una entrada en escalón.

REFERENCIAS

[2.1] Ollero, Aníbal. Control por Computador. Marcombo Boixareu Editores.

México. 1991.

[2.2] Ogata, Katsuhico. Sistemas de control en tiempo discreto. Prentice Hall.

Mexico1996.

[2.3] Santina, Mohamed et al. Digital Control Systems Design. Saunders College

Publishing . Fort Worth 1994.

[2.4] Franklin, Gene. Powell, David. Digital control of dynamics systems. Addison

Wesley Publishing Company. Massachusetts 1994.

[2.5] Phillips, Charles. Nagle Troy. Digital control systems analysis and design.

Prentice Hall. Englewood Cliffs, New Jersey 1995.

[2.6] Ogata, Katsuhico. Sistemas de control en tiempo discreto. Prentice Hall.

Mexico 1996.

[2.7] Slotine , Jeans. Li, Weiping. Applied non Linear Control. Prentice Hall.

Englewood Cliffs 1991.

[2.8] Slotine, Jeans. Li, Weiping. Applied non Linear Control. Prentice Hall.

Englewood Cliffs 1991.


3.1 DEFINICIÓN

Un sistema de control adaptativo, es aquel que mide en forma continua y

automática, las características dinámicas de la planta (tales como la función de

transferencia o la ecuación de estado), las compara con las características

dinámicas deseadas y utiliza la diferencia para modificar los parámetros ajustables

del sistema (por lo general los parámetros del controlador) o para generar una

señal de control, de modo que se mantenga el desempeño óptimo,

independientemente de las modificaciones ambientales que experimente el

sistema.

El control adaptativo puede controlar sistemas con parámetros constantes ó

sistemas con parámetros variables. La idea básica del control adaptativo es

estimar on-line las variaciones de los parámetros de la planta, basándose en la

medida de las señales de entrada – salida de la misma y utilizar los parámetros

estimados para realizar los ajustes del controlador. El control adaptativo, tanto

para sistemas lineales ó no lineales, es esencialmente no lineal.

3.1.1 Índice de desempeño: la base del control adaptativo descansa en el

fundamento de que existe alguna condición de operación o desempeño del

sistema, mejor que cualquiera otra. En sistemas de control adaptativo tal


desempeño está definido en función del índice de desempeño, que se debe fijar al

establecer los objetivos. Esos objetivos pueden ser tan diversos como los

sistemas a los cuales se van a aplicar, pero en general, el objetivo de la

optimización se puede orientar a minimizar el costo de operación o maximizar el

beneficio económico.

Es importante tener en cuenta que, en general, los índices de desempeño

matemáticamente utilizables (como los índices de desempeño cuadrático o los de

la integral del error), presentan un inconveniente grave: aunque especifican el

costo de operación del sistema en función del error y de la energía, no ofrecen

información sobre las características de respuesta transitoria del sistema. Así un

sistema diseñado para funcionar en forma óptima desde el punto de vista de las

"utilidades", puede tener características transitorias indeseables o hasta ser

inestable. Por tanto para asegurar características de repuesta satisfactorias, es

necesario utilizar criterios adicionales que hagan referencia a las características de

respuesta transitoria.

3.1.2 Controladores adaptativos: un controlador adaptativo conlleva las

siguientes funciones:

Identificación de las características de la planta.

Toma de decisión basada en la identificación de la planta.

Modificación o acción basada en la decisión tomada.

Si la dinámica de la planta no se conoce exactamente, la identificación, la decisión

y la modificación iniciales, no serán suficientes para minimizar (o maximizar) el

índice de desempeño. Por lo tanto es necesario realizar estos procedimientos,

continua o frecuentemente, a intervalos que dependen de la velocidad de variación

de los parámetros.

En la figura 3.1 se muestra una representación, en diagrama de bloque de un

sistema de control adaptativo. En este sistema se identifica la planta y se mide el

índice de desempeño continua o periódicamente. Una vez logrado esto, el índice

de desempeño se compara con el óptimo y se toma una decisión sobre cómo

modificar la señal actuante. Como la planta se identifica dentro del sistema mismo,

el ajuste de los parámetros es una operación de lazo cerrado.


Entrada

DecisiónIdentificación

Controlador Planta

Perturbaciones

Modificación

+ -

Salida

Figura 3.1 Esquema del control adaptativo

3.1.3 Identificación de las características dinámicas de la planta: las

características dinámicas de la planta se deben medir e identificar continuamente,

o al menos frecuentemente. Esto se debe realizar sin afectar el funcionamiento

normal del sistema. Para identificar las características de un sistema hay que

efectuar una prueba o medición y analizar los resultados. La identificación se

puede realizar con base en los datos de funcionamiento normal de la planta, o

mediante el uso de una señal de prueba, como pueden ser las señales senoidales

de pequeña magnitud o diversas señales estocásticas de baja amplitud. En la

práctica no se debe realizar una aplicación directa de entradas en forma de

escalón. Las entradas normales son señales de prueba ideales, ya que no

producen dificultades en cuanto a salidas indeseadas, o entradas que produzcan

confusión. Sin embargo, la identificación con entradas normales, sólo es posible

cuando tienen característica de señal adecuadas como ancho de banda, amplitud

y otros, para su correcta identificación.

3.1.4 Toma de decisión basada en la identificación de la planta: se entiende

por decisión la que se toma teniendo en cuenta las características de la planta que

han sido identificadas y el índice de desempeño calculado. Una vez identificada la

planta, se compara con las características óptimas (o desempeño óptimo) y luego

se debe tomar una decisión respecto a cómo se deben variar los parámetros

ajustables (características del controlador), para mantener el desempeño óptimo.

La decisión se logra con un computador.

3.2 ESQUEMAS BÁSICOS DE CONTROL ADAPTATIVO

Existen dos tipos principales de controladores adaptativos:


Sistemas con adaptación en lazo cerrado (STR, MRAC)

Sistemas con adaptación en lazo abierto (Ganancia programable)

Para el diseño de algoritmos de control adaptativo se han propuesto diferentes

métodos, unos que utilizan criterios de optimización y otros que no los utilizan, en

este sentido se tiene la siguiente clasificación [3.1]:

Criterio no óptimo:

o Asignación de polos y ceros (APPC)

o Controladores de tiempo finito

o Controladores PID

Criterio óptimo:

o Controladores de mínima varianza (MVR)

o Controladores predictivos generalizados

3.2.1 Controlador autosintonizado (STR): Este regulador está compuesto por

dos lazos, un lazo interno de realimentación ordinaria y un lazo externo que

actualiza los parámetros del proceso y del controlador por medio de identificación

de sistemas.

La operación del controlador con auto-ajuste es la siguiente: en cada instante el

sistema de identificación en línea estima los parámetros de la planta, los cuáles

son calculados a partir de la medida de los datos entrada-salida de la misma. Con

los parámetros estimados se calculan los nuevos parámetros del controlador lo

cual causa una nueva salida de la planta. El ciclo de adaptación se repite, y así la

acción de control cambia cuando hay cambio de los parámetros de la planta.

Para una planta lineal existen muchos métodos disponibles para estimar la

variación de los parámetros. Uno de los más utilizados es el método “Mínimos

cuadrados recursivos”. También existen diferentes técnicas de control para plantas

lineales, tales como controladores PID, Controladores tipo Deadbeat,

controladores de mínima varianza etc. Mediante la conjunción de las diferentes

técnicas, métodos de control y estimadores se obtienen varios tipos de

reguladores STR [3.2].

La figura 3.2 muestra un esquema general del sistema de control con autosintonia.


Figura 3.2 Sistema de control autosintonizado

3.2.2 Control con modelo de referencia (MRAC): En este regulador la

adaptación se obtiene a partir de la señal de error que resulta de comparar la

salida real del sistema con la esperada a partir de un modelo de comportamiento

establecido. El comportamiento ideal del modelo de referencia debería poder ser

alcanzado por el sistema de control adaptativo. La figura 3.3 da una idea del

control con modelo de referencia. La teoría de control dispone de varios métodos

que se pueden utilizar para obtener el mecanismo de adaptación: método de

Lyapunov, método de la hiperestabilidad etc. En cualquier caso, los resultados

obtenidos son semejantes, en cuanto a la estabilidad del sistema se refiere [3.1].

El control de procesos por modelo de referencia consiste en diseñar un

sistema que modifique el comportamiento natural de la planta con el

objetivo que se aproxime a la respuesta que tiene el modelo de referencia

establecido.

En este esquema de control se supone que el diseñador tiene algún

conocimiento previo de las características dinámicas de la planta que le

permitan definir el comportamiento deseado del sistema por medio del

modelo de referencia adecuado para lograr la salida deseada. El modelo de

referencia que se utiliza es usualmente lineal y con ganancia unitaria

En este caso el modelo está en paralelo con el sistema. El regulador está

formado por dos lazos: un lazo interno de realimentación ordinaria compuesta por

la planta y el controlador y un lazo externo que ajusta los parámetros del regulador

de tal forma que el error entre la salida de la planta , y la referencia

sea pequeño, convirtiendo al lazo externo en un lazo regulador.


El problema clave es determinar un mecanismo de ajuste tal que el sistema sea

estable y lleve el error a cero.

Figura 3.3 Sistema de control con modelo de referencia.

3.2.3 Control con ganancia programada (Gain Scheduling): El control por

ganancia programable se refiere a un sistema donde los parámetros del

controlador varían dependiendo de las condiciones de operación medidas [3.3].

En algunos sistemas existen variables auxiliares que describen bien las

características de la dinámica del proceso. Si estas variables, llamadas

variables de programación o de tabulación pueden ser medidas, estas variables

pueden ser usadas para estimar los parámetros del regulador, es decir se utilizan

para compensar los cambios en la ganancia del proceso. El ajuste de ganancia

es una compensación en lazo abierto y puede ser visto como un sistema

con control de realimentación en el cual el lazo de realimentación es

ajustado en compensación directa.

La variable programable para el cálculo de los parámetros del controlador puede

ser el set-point, la variable controlada ó una señal externa. Una vez seleccionadas

las variables, se calculan los parámetros del regulador para varios puntos de

operación o zonas de trabajo en base a una adecuada estrategia de control que

puede ser del tipo PID, Deadbeat, etc. La figura 3.4 representa un esquema del

control con ganancia programable.

Esta técnica de control asume que el sistema se puede representar mediante un

modelo parametrizado por ciertas variables, llamadas variables de programación o

de tabulación “scheduling variables”, de modo que cuando estas variables asumen

un valor constante se obtiene un punto de equilibrio. En estos casos, se linealiza el

sistema en diferentes puntos de equilibrio de interés, con lo cual se obtiene una


familia de modelos lineales para la cual se diseña una familia de controladores

lineales. Luego, se implementa el esquema de control en un único controlador

cuyos parámetros se modifican según los valores que toman las variables de

tabulación, que deberán monitorearse continuamente.

Programación

Precalculada

Punto de

Trabajo

Controlador Planta

Parámetros del

Controlador

SalidaSP Señal de

Control+

-

Figura 3.4 Sistema de control con ganancia programable.

3.2.4 Modelos discretos para sistemas de control adaptativo

La figura 3.5 muestra cómo se pueden clasificar los modelos discretos de los

sistemas en el control adaptativo [3.4]

MODELOS DISCRETOS PARA

CONTROL ADAPTATIVO

MODELOS

NO PARAMÉTRICOS

MODELOS

PARAMÉTRICOS

Modelo de

Respuesta al

Impulso

Modelo de

Respuesta al

Escalon

Modelos de

Respuesta a la

Frecuencia

Modelo

Entrada-Salida

Modelo

Variables de

Estado

Modelo

CARMA ó

ARMAX

Modelo

CARIMA ó

ARIMAX

Modelo Mínimos

Cuadrados

(ARX)

Figura 3.5 Modelos discretos para sistemas de control adaptativo

3.2.5 Clasificación de los controladores discretos según la señal de control

Los sistemas de control, adaptativos y no adaptivos, se pueden clasificar en tres

grandes grupos, según la forma en que generan la señal de control, como se

indica en la tabla 3.1. Estos tipos de sistemas de control determinan los métodos


de control correspondientes que se han desarrollado para los diferentes grupos de

controladores. Por ejemplo, casi todos los enfoques estocásticos subóptimos han

aparecido como resultado de considerar problemas de control para sistemas de

tipo I, los métodos de control predictivo se consideran los sistemas de tipo II y

otros controladores como los STR pertenecen al tipo III.

Tabla 3.1 Clasificación de los controladores discretos

TIPO DESCRIPCIÓN DEL GRUPO EJEMPLO

I

Generan una secuencia de control

o de leyes de control . En

donde ]. puede asumir valores

Sistemas de control

óptimo

II

En cada instante de muestreo generan una

secuencia de control que optimiza

una función de costo, pero solo se aplica . En

donde . N puede tomar valores en el

intervalo:

Controladores

Predictivos.

Si coinciden

con los tipo I

III

En cada instante de muestreo se genera

solamente la señal de control , en donde

. No es necesario conocer las

referencias futuras.

STR, MVR, MRAC

APPC y Controladores

tipo I de realimentación

constante.

REFERENCIAS

[3.1] Rodriguez, R. Lopez, M. Control Adaptativo y Robusto. Universidad de

Sevilla.1996.

[3.2] Äström, K., Wittenmark: Adaptive Control, Prentice Hall.1989

[3.3] Iserman,R. Lachman,K. Adaptive Control Systems. Prentice Hall 1991.

[3.4] Filatov, Nikolai M. Adaptive Dual Control. Theory and Applications. Springer-

Verlag Berlin Heidelberg New York. 2004


En la actualidad la mayoría de las técnicas utilizadas en el diseño de sistemas de

control se basan en el modelo del proceso considerado, por lo que el modelado y

la identificación se convierten en etapas importantes en los diseños. Para

satisfacer las especificaciones de funcionamiento deseadas en un proceso, el

sistema de control debe garantizar la operación de este con un buen desempeño

sobre un rango amplio de condiciones de operación.

La identificación de sistemas tiene por objeto obtener el modelo de un sistema

dinámico a partir de datos experimentales. Puede decirse que la identificación de

sistemas es la teoría y el arte de construir modelos matemáticos de sistemas

dinámicos basados en las entradas y salidas observadas. Como disciplina

científica data de los primeros intentos de modelar series de tiempo usando

técnicas auto-regresivas (AR). Aunque una parte sustancial del desarrollo de las

técnicas está ligado a la Comunidad de Control, está básicamente construida a

partir de técnicas estadísticas, en particular en los métodos de regresión lineal y

no-lineal.


La figura 4.1 es una representación conceptual de un sistema dinámico. El sistema

es comandado por variables de entrada y por perturbaciones El usuario

puede controlar las variables de entrada , pero no las perturbaciones . Las

señales de salida son variables que suministran información útil acerca del

sistema.

Figura 4.1 Representación de un sistema dinámico.

4.1 TIPOS DE MODELOS

Los modelos de los sistemas dinámicos pueden ser de varias clases, incluyendo

los siguientes:

Modelos Mentales, Intuitivos o Verbales: éste es el tipo de modelo que se

forma por ejemplo cuando se maneja un carro (pisando el freno decrece la

velocidad, girando la cabrilla el carro voltea en determinada dirección, etc.)

Modelos Gráficos: En este caso el modelo del sistema está dado mediante

una gráfica. Un diagrama de Bode de un servo sistema es un ejemplo de un

modelo dado en forma gráfica. La respuesta de un sistema ante una entrada

en escalón es otro tipo de modelo gráfico.

Modelos Matemáticos: Son aquellos que describen el comportamiento del

sistema a partir de ecuaciones diferenciales (sistemas continuos) o de

ecuaciones en diferencias (sistemas discretos). Estos modelos son muy

utilizados para el análisis, predicción y diseño de sistemas dinámicos,

controladores y filtros.

Existen dos formas básicas para obtener el modelo de un sistema dinámico:

Matemáticamente: Es un método analítico en el cual se utilizan leyes físicas,

tales como las leyes de Newton y ecuaciones de balance para describir el

comportamiento dinámico de un fenómeno o de un proceso.


Identificación del Sistema: Es un método experimental en el cual se realizan

algunas pruebas sobre el sistema que permiten obtener los datos necesarios

para estimar el valor de los parámetros del modelo representativo del sistema.

4.2 PROCEDIMIENTO PARA LA IDENTIFICACIÓN.

La obtención de un modelo a partir de datos experimentales conlleva las

siguientes etapas fundamentales: la recolección de datos, la selección del modelo

y la validación del modelo [4.1].

4.2.1 Recolección de datos: Los datos de entrada y salida se pueden obtener

mediante un experimento diseñado específicamente para la identificación del

sistema. En este caso, el usuario puede determinar que señales va a medir,

cuándo y cómo las va a medir y también puede escoger las señales de entrada. El

objetivo del diseño del experimento es entonces, seleccionar los datos que

proporcionen la máxima información posible. En otros casos, el usuario no tiene la

posibilidad de realizar el experimento pero puede utilizar los datos obtenidos a

partir de la operación normal del sistema y llevar a cabo con ellos la identificación

del mismo.

4.2.2 Tratamiento previo de los datos obtenidos: Los datos registrados están

generalmente acompañados de ruidos indeseados u otro tipo de imperfecciones

que puede ser necesario corregir antes de iniciar la identificación del modelo. Se

trata, por tanto, de „filtrar‟ los datos para facilitar y mejorar el proceso de

identificación.

4.2.3 La Selección del Modelo: Esta se realiza a partir de un grupo de modelos,

eligiendo el más adecuado y representativo del sistema. Este paso es sin duda, el

más importante y al mismo tiempo constituye la etapa más difícil en el

procedimiento de la identificación. Es acá en donde el conocimiento previo del

sistema y el de las características de cada modelo deben combinarse para obtener

resultados satisfactorios. Algunas veces el modelo apropiado sólo se obtiene

después de un cuidadoso proceso de modelado.

4.2.4 Estimación de parámetros: Una vez que se tiene la estructura del modelo

y los datos experimentales, el paso siguiente es encontrar los parámetros del


modelo que dan la respuesta más cercana a la experimental. Los métodos más

comunes de estimación de parámetros están basados en un enfoque de

optimización, donde el mejor conjunto de parámetros es aquél que hace que la

respuesta del modelo sea la más cercana a la real según un criterio o función de

coste.

4.2.5 Validación del Modelo: La evaluación de la calidad del modelo se basa en

determinar cómo se desempeña el modelo cuando se trata de reproducir con él

los datos obtenidos en la medición experimental. Un comportamiento deficiente del

modelo en este aspecto hace que el modelo sea rechazado, mientras que un buen

desempeño, proporcionará cierta confianza en el modelo.

Un modelo no se puede aceptar como la última y verdadera descripción del

sistema; por el contrario, es mejor mirarlo sólo como una descripción

suficientemente buena de ciertos aspectos que son de interés particular para un

fin determinado. La figura 4.2 muestra un diagrama de flujo del proceso de

identificación.

Adquisición

de los datos

Filtrado

de los datos

Datos

Selección

del Modelo

Criterios de

calculo

Cálculo del Modelo

Validación

del Modelo

Modelo válido

usar

Conocimiento

inicial del Sistema

Modelo no válido

revisar

Figura 4.2 Proceso para la identificación


4.3 TÉCNICAS DE IDENTIFICACIÓN

Pueden subdividirse en dos grandes clases:

4.3.1 Identificación fuera de línea (Off-Line): En este caso los datos son

recogidos tomando medidas durante la experimentación y, una vez terminada

ésta, se procesan para producir el modelo.

Entre la gran variedad de algoritmos de identificación fuera de línea posibles

pueden citarse los siguientes [4.2]:

Métodos no paramétricos: Estos métodos de identificación se caracterizan

porque los modelos resultantes son funciones o curvas y no pueden ser

expresados en función de un vector de parámetros de dimensión finita. Dentro de

este grupo pueden citarse:

o Análisis transitorio

o Análisis frecuencial

o Análisis de correlación

o Análisis espectral

Métodos paramétricos: A diferencia del grupo anterior, los modelos

resultantes del proceso de identificación contienen la información relevante acerca

de la dinámica del proceso real en un vector de parámetros de dimensión finita.

Pueden destacarse los siguientes métodos:

o Regresión lineal

o Métodos de predicción del error

Mínimos cuadrados

Mínimos cuadrados generalizados

o Métodos basados en la estimación de máxima verosimilitud de los

parámetros.

o Métodos de variable instrumental

o Métodos de identificación paramétrica basados en análisis frecuencial

4.3.2 Identificación en línea (On-Line): En este caso se emplea un algoritmo o

método de actualización de parámetros de tipo recursivo que procesa los datos tal

como son producidos por el sistema real. Este método se caracteriza por llevar a

cabo la adquisición de datos y el procesamiento de los mismos de forma


simultánea por tal razón esta técnica se emplea, principalmente, en control

adaptativo y en aplicaciones de tiempo real cuando la dinámica del proceso debe

ser monitorizada de forma continua. Entre ellos destacan:

o Método recursivo de mínimos cuadrados

o Método recursivo de predicción del error

o Método recursivo de la variable instrumental

4.4 IDENTIFICACIÓN PARAMÉTRICA

Algunas técnicas de diseño de sistemas de control, incluyendo el método del lugar

geométrico de las raíces y el de asignación de polos, requieren de un modelo

paramétrico del sistema. Este tipo de modelo es particularmente importante en

sistemas de control adaptativo, en los cuales, los parámetros de la planta deben

ser estimados en línea para calcular el controlador correspondiente. Para dar una

idea de la identificación paramétrica se consideran a continuación el método de

mínimos cuadrados no recursivo y el método de mínimos cuadrados recursivos.

4.4.1 Identificación por el método de mínimos cuadrados no recursivo. Se

asume que la función de transferencia de pulso del modelo es de la forma [4.3]:

En donde es la entrada e es la salida.

El sistema dado por 4.1 queda descrito por la ecuación en diferencias:

Este modelo se conoce como “MODELO ARMAX” (Auto Regressive Moving

Average) y en él se debe estimar el vector de parámetros dado por:

A partir de un conjunto de N pares de mediciones de entrada–salida del sistema:

Debido al error que se puede introducir en la medición, la ecuación 4.2 se puede



El primer error es función solamente de las mediciones conocidas. Entonces, para

periodos de muestreo , se tendrá:

En donde es el vector de parámetros definido en la ecuación 4.3 y:

Para facilitar el tratamiento matemático, se definen las siguientes ecuaciones:

Así, las ecuaciones dadas en 4.6 se pueden escribir en forma matricial cómo:

En donde: Es de orden .

Es de orden (

Es de orden

Es de orden

Al utilizar el método de mínimos cuadrados para estimar , el vector debe ser

tal que minimice la suma de los cuadrados del error, es decir, que minimice la

función:


Si se despeja de la ecuación 4.9 y se reemplaza en la ecuación 4.10 se

obtiene:

El valor de que minimiza a debe cumplir con la ecuación:

Es decir:

Por lo tanto, el valor estimado de es:

EJEMPLO 4.1

Los datos que se dan a continuación corresponden a la respuesta de un sistema

de control ante una entrada en escalón unitario. Obtener, a partir de ellos, un

modelo de segundo orden que describa la dinámica del sistema.

K 0 1 2 3 4 5

u(k) 0 1 1 1 1 1

y(k) 0 0.73 1.26 1.55 1.73 1.84

SOLUCIÓN: El modelo pedido es:

El vector de parámetros a estimar es:

Para ello se utiliza la ecuación:

El número de pares de medidas es: Entonces:

Orden de

Orden de


Con los resultados anteriores se obtiene:

El modelo estimado es, entonces:

La figura 4.3 corresponde a una representación gráfica de los datos reales y de

los datos estimados, éstos últimos se dan como una función en línea continua.

Figura 4.3 Respuesta del modelo estimado a la señal de entrada u(k)


4.4.2 Identificación por el método de mínimos cuadrados recursivos: En el

método no recursivo, el vector de parámetros se calcula utilizando toda la

información disponible, siendo esta pequeña en los primeros instantes, pero

aumenta a medida que transcurre el tiempo, lo que genera un alto costo

computacional al procesar la información. En el método recursivo el vector de

parámetros se calcula a partir de los resultados obtenidos en el instante anterior

y de los datos de entrada y salida actuales (instante ).

Se supone que el sistema puede ser modelado como un proceso estable,

linealizable y con una sola entrada y una salida por lo que puede ser descrito por

una ecuación en diferencias lineal de la forma:

La ecuación 4.14 se puede escribir en forma vectorial así:

En donde:

El procedimiento para la identificación es el siguiente [4.3]:

1. Seleccionar y .

2. Conformar el vector:

3. Calcular mediante la ecuación:

4. Obtener los nuevos valores de y de

5. Calcular el error en la estimación:

6. Calcular los nuevos parámetros estimados:

7. Actualizar la matriz de covarianza:


8. Actualizar el vector de medidas:

9. Hacer y regresar al paso 3.

En donde:

Es el factor de olvido. Este factor se introduce para que las últimas medidas

tengan más peso que las antiguas. Si , se tiene el algoritmo de mínimos

cuadrados normal, mientras que si el algoritmo “olvida” las medidas más

antiguas. Para casos prácticos se sugiere tomar .

Es la matriz de covarianza. Esta matriz puede interpretarse como un

factor de ganancia que determina el cambio en la identificación.

Es el factor de corrección del error en la estimación

EJEMPLO 4.2

Los datos que se dan a continuación corresponden a la respuesta de un sistema

de control a un escalón unitario. Obtener a partir de ellos, un modelo de segundo

orden que describa la dinámica del sistema. Asumir y utilizar mínimos

cuadrados recursivos.

K 0 1 2 3 4 5 6

u(k) 0 1 1 1 1 1 1

y(k) 0 0.73 1.26 1.55 1.73 1.84 1.91

SOLUCIÓN: el modelo pedido es:

El vector a estimar es:

Orden de

El orden de es:

1. Se toma: y :


2. Se conforma el vector: . Con resulta:

3. Calcular :

Nuevos valores de y de :

4. Calcular el error:

5. Calcular los nuevos parámetros estimados

6. Actualizar la matriz de covarianza:

7. Actualizar el vector de medidas:




El modelo del sistema es:

A continuación se presenta un programa en Matlab para identificación recursiva

con modelo de segundo orden.

clc

u=[0 1 1 1 1 1 1];

y=[0 0.73 1.26 1.55 1.73 1.84 1.91];

t=[0 1 2 3 4 5 6];

r=[t',y'];

n=input('Entre el orden del sistema n=');

lamda=input('Entre el factor de olvido lamda=');

p=1000*eye(2*n);

th=[zeros(1,2*n)]';

phit=[-y(n) -y(n-1) u(n) u(n-1)]

for k=n+1:length(y)

l=(p*phit')/(lamda+phit*p*phit')

e=y(k)-phit*th

th=th+l*e

p=(1/lamda)*(eye(2*n)-l*phit)*p


phit=[-y(k) -y(k-1) u(k) u(k-1)]

end

u1=[1 1 1 1 1 1 1];

n=[th(3) th(4)];

d=[1 th(1) th(2)];

printsys(n,d,'z')

y1=dlsim(n,d,u1)

plot(t,y1)

hold

plot(t,y,'*')

grid

En la tabla adjunta se presenta una comparación entre los valores de la salida real

del sistema y los de la salida estimada para diferentes instantes de muestreo.

0 1 2 3 4 5 6

0.0 0.73 1.26 1.55 1.73 1.84 1.91

La figura 4.4 corresponde a una representación gráfica de los datos reales y de los

estimados, éstos últimos se presentan como una función en línea continua.

Obsérvese la correspondencia entre los valores reales y los valores estimados.

Figura 4.4 Respuesta del modelo estimado a la señal de entrada u(k)



4.1 Los datos que se dan a continuación corresponden a la respuesta en grados

centígrados de la temperatura del agua de un intercambiador de calor al variar la

apertura de la válvula de control del flujo de vapor del 30% al 40%.

La temperatura se midió con un termómetro calibrado de 0 ºC a 100 ºC. Aproxime

la dinámica del intercambiador a un sistema de segundo orden utilizando el

método de: a) Mínimos cuadrados no recursivos b) Mínimos cuadrados recursivos.

c) Valide el modelo obtenido en cada caso

NOTA: Es necesario trasladar los datos y expresar la temperatura en %

t (seg) 0 30 60 90 120 150 180

% Ap Válv 30 40 40 40 40 40 40

Temp (ºC) 20.0 45.9 56.9 61.5 63.5 64.4 64.6

4.2 Los datos que se dan a continuación corresponden a la respuesta en PSI, del

cambio de presión en un tanque al variar la apertura de la válvula de suministro de

aire del 45% al 55%. Utilice el método de mínimos cuadrados a) No recursivos b)

Recursivos y obtenga un modelo de segundo orden que describa adecuadamente

la dinámica del tanque. La presión del tanque se mide con un manómetro

calibrado de 0 a 15 PSI.

NOTA: Es necesario trasladar los datos y expresar la presión en %

t (min) 0 2 4 6 8 10 12

% Ap Válv 45 55 55 55 55 55 55

P (PSI) 4.0 7.30 8.78 9.45 9.75 9.89 9.95

4.3 A un sistema de primer orden con función de transferencia discreta de la

forma:

Se le aplicaron las siguientes secuencias de entrada:


a) Entrada:

b) Entrada:

Las salidas obtenidas para cada secuencia se muestran en las tablas que se

dan a continuación:

Entrada a) Entrada b) K u(k) y(k) K u(k) y(k) 0 1 0.0000 0 1 0.0000 1 0 0.5000 1 0 0.5000 2 1 0.2500 2 1 0.2500 3 0 0.6250 3 0 0.6250 4 1 0.3125 4 1 0.3125 5 0 0.6562 5 1 0.6562 6 0 0.3281 6 1 0.8281 7 0 0.1641 7 1 0.9141 8 0 0.0820 8 1 0.9570 9 0 0.0410 9 1 0.9785

10 0 0.0205 10 1 0.9893 … … … … … … 30 0 0.0000 30 1 1.0000

Utilizando el método de mínimos cuadrados no recursivos y el método de mínimos

cuadrados recursivos, a) Obtenga para cada entrada, los valores de los

parámetros y del modelo. b) Utilizando las mismas secuencias de entrada

valide los modelos obtenidos mediante simulación en MATLAB.

4.4 A un sistema de segundo orden con función de transferencia discreta de la

forma:

Se le aplicó la secuencia de entrada: , los datos de la

salida del sistema se dan en la tabla adjunta:

K 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 30

u(K) 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 … 1

y(K) 0.000 1.000 1.100 1.320 0.918 1.102 1.8491 2.2348 2.2122 2.0675 1.9884 … 2.0270


Utilizando el método de mínimos cuadrados no recursivos y el de mínimos

cuadrados recursivos, a) Obtenga los valores de los parámetros y del

modelo. b) Utilizando la misma secuencia de entrada valide el modelo obtenido

mediante simulación en MATLAB.

4.5 Al sistema de control discreto definido por la función de transferencia:

Se le aplica la secuencia de entrada: . a) Obtenga

la respuesta del sistema a dicha secuencia. b) Grafique la salida y(k)

REFERENCIAS

[4.1] Ljung L. System Identification. Theory for the user. Second Edition, Prentice-

Hall, 1999.

[4.2] Söderström T. Stoica P. System Identification. New York: Prentice-Hall.

1989.

[4.3] Rodriguez, R. López, M. Control adaptativo y robusto. Universidad de Sevilla

1996.

Aström K.J., Wittenmark B. Computer Controlled Systems: Theory and Design.

Third edition. Prentice-Hall. 1997.

Sinha, N. K.: Modelling and Identification of Dynamic Systems, Van Nostrand

Reinhold Co.1983.


Estos controladores conforman una estructura subóptima basada en el principio de

la separación de las tareas de control e identificación. El diseño se realiza

suponiendo inicialmente parámetros conocidos y luego éstos son sustituidos por

los estimados. En estos reguladores se aplica el principio de equivalencia cierta

pues se supone que los parámetros identificados coinciden con los reales.

En el diseño de controladores autoajustables se distinguen tres partes [5.1]:

Un algoritmo recursivo de identificación de parámetros.

Un mecanismo de adaptación que realiza la tarea de diseño del controlador

Un controlador con parámetros ajustables.

5.1 ECUACIÓN GENERAL PARA CONTROLADORES LINEALES

Un controlador lineal se puede describir mediante la función de transferencia de

pulso:


En donde los grados de y de y los parámetros y deben seleccionarse

adecuadamente para satisfacer los requerimientos del sistema de control [5.2].

Se asume que el proceso lineal que se va a controlar tiene como función de

transferencia de pulso:

En donde

Para el diseño del controladores adaptativos se pueden utilizar diferentes

métodos: Asignación de polos, optimización de parámetros, ajuste por tablas etc.

5.1.1 Método de asignación de polos: El objetivo de este método es diseñar el

controlador de modo que los polos del sistema en lazo cerrado, queden ubicados

en el lugar deseado de acuerdo a sus especificaciones de funcionamiento. El

diseño del controlador consiste básicamente, en resolver una ecuación polinomial

con ciertas restricciones en los órdenes de los polinomios para asegurar que el

controlador propuesto sea causal y con realización mínima [5.2].

La ecuación característica deseada para el sistema en lazo cerrado toma la forma:

El orden de en la ecuación 5.3 está determinado por:

La ecuación 5.3 genera ecuaciones simultáneas cuya solución da como

resultado los parámetros del controlador.

Para asegurar error de estado estable igual a cero es necesario que el controlador

tenga un integrador, con esta condición, el denominador del controlador

cumple con la igualdad:

Con la adición del integrador se obtienen ecuaciones y el controlador tendrá

parámetros desconocidos y . La solución de orden mínimo se

obtiene haciendo:


En este caso los parámetros del controlador se obtienen con la ecuación:

EJEMPLO 5.1

La función de transferencia de pulso de cierto sistema neumático está dada por:

Diseñar para el sistema un controlador digital de modo que los polos dominantes

del sistema en lazo cerrado estén ubicados en

SOLUCIÓN: La función de transferencia del sistema se puede escribir como:

En donde: y

El orden del numerador del controlador es:

El orden del denominador del controlador es:

Por lo tanto, la función de transferencia de pulso del controlador toma la forma:

El orden de la ecuación característica deseada es:

es decir .

Se da como polo dominante los tres polos restantes se pueden

asignar en el origen, así la ecuación características es:


Teniendo en cuenta las ecuaciones 5.1, 5.2 y 5.7 se obtiene:

Resolviendo resulta:

Por lo tanto el controlador pedido es:

La figura 5.1 muestra la respuesta del sistema ante un escalón unitario aplicado en

el set-point.

Figura 5.1 Respuesta del sistema al escalón unitario

5.1.2 Controlador de mínima varianza: Este tipo de controlador puede

englobarse dentro de los de síntesis óptima, ya que se utiliza la minimización de

un índice de coste como criterio de diseño. Sin embargo, también puede

interpretarse como un problema de asignación de polos, puesto que el método de

síntesis está basado en manipulaciones algebraicas con los polinomios que se

utilizan en la descripción externa.

El interés de este tipo de controladores se ve acentuado sobre todo en multitud de

procesos industriales en los cuales es de vital importancia la minimización de la


varianza de la salida. Esta técnica de control se utiliza cuando la salida del sistema

está contaminada por una perturbación estocástica. Estas perturbaciones no se

pueden eliminar por completo, pero se puede reducir su varianza.

El controlador de mínima varianza tiene como objetivo minimizar el efecto de las

perturbaciones sobre la salida [5.1].

La estrategia control consiste en calcular la señal de control como una

función de los valores disponibles en ese instante o sea

, de tal forma que minimice el criterio:

En donde: , es el valor de consigna o referencia.

También se han propuesto controladores de mínima varianza minimizando el

criterio:

Si se supone que sobre el sistema actúan perturbaciones estocásticas, el proceso

estará descrito por un modelo ARMAX de la forma (ver figura 5.2):

Donde:

Figura 5.2 Proceso con perturbación

Para el instante , la ecuación 5.10 se puede escribir en la forma:


Utilizando la identidad:

En donde:

La ecuación 5.11 se transforma en:

Los dos últimos términos del lado derecho de la ecuación 5.13 tienen el siguiente

significado:

: Es el efecto sobre la salida correspondientes a las perturbaciones

anteriores a .

: contiene las perturbaciones producidas entre el instante

y el instante , cuyo efecto sobre la salida no se puede controlar con

pues es independiente de

Resolviendo la ecuación 5.10 para se obtiene:

Reemplazando la expresión para en 5.13 resulta:

En la ecuación 5.15 se debe calcular la acción de control que minimice la

varianza de la salida:

El mínimo de se encuentra derivando con respecto a :


Resolviendo para se obtiene la ley de control:

La figura 5.3 corresponde al sistema con el controlador de mínima varianza

incorporado.

Figura 5.3 Controlador de mínima varianza

Control de mínima varianza con seguimiento de referencias: En este caso

se debe calcular la acción de control que minimice la varianza de la salida:

O sea:

Tomando la esperanza matemática a lado y lado de la ecuación se obtiene:

Para hallar el valor mínimo de la ecuación anterior se deriva con a respecto :

Despejando se obtiene la ley de control así:


La ecuación 5.18 corresponde al controlador de mínima varianza con seguimiento

de referencias.

La figura 5.4 representa el diagrama de bloques correspondiente al sistema de

control de minina varianza con ley de control dada por la ecuación 5.18

Figura 5.4 Control de mínima varianza con seguimiento de referencias

Controlador de mínima varianza ponderado: en este caso se debe calcular la

acción de control que minimice la varianza de la salida:

Tomando la esperanza matemática a lado y lado de la ecuación 5.19 se obtiene:

Para hacer mínimo el valor de es necesario calcular su derivada con respecto a

e igualar el resultado a cero lo cual da como resultado:

Resolviendo para se obtiene la ley de control:

La ecuación 5.20 corresponde al controlador de “mínima varianza generalizado”

La figura 5.5 representa el diagrama de bloques correspondiente al sistema de

control de minina varianza con ley de control dada por la ecuación 5.20


Figura 5.5 Control de mínima varianza ponderado

NOTA: La ecuación 5.20 está formada por dos términos: uno corresponde a un

controlador colocado en la realimentación y el otro es un prefiltro para la referencia

no causal . En los controladores de mínima varianza es más común el

sistema tipo regulador , por esta razón, es más conveniente utilizar

solamente la parte de la ecuación correspondiente al controlador ubicado en la

realimentación. En estas condiciones se consideran tres tipos de controladores de

mínima varianza así:

Controlador MVR1: Correspondiente al controlador de mínima varianza

generalizado

Controlador MVR2: Correspondiente al MVR1 con

Controlador MVR3: Correspondiente al MVR1 con

Eliminación del offset: El controlador de mínima varianza presenta offset (Error

de estado estable) ante cambios en la referencia ó cambios en la perturbación,

para eliminar el offset se puede adicionar al controlador un integrador así, la

ecuación 5.23 se puede escribir en la forma [5.3]:


Los controladores MVR1 y MVR2 no cancelan polos ni ceros de la planta por lo

tanto pueden ser utilizados con sistemas inestables y con sistemas con ceros

fuera del circulo unitario sin mayores restricciones, el controlador MVR3 cancela

los ceros del proceso por lo tanto no puede utilizarse en sistemas con ceros

ubicados fuera del circulo unitario [5.3].

APLICACIÓN: En caso de realizar control adaptativo con identificación en línea,

es importante definir previamente el orden del sistema que se va a tomar como

modelo del proceso, así para un sistema de tercer orden , el modelo dado

en la ecuación 5.10 toma la forma:

Con , los polinomios de diseño del controlador y son:

y y cumplen con la identidad dada por

5.12:

Resolviendo para se obtiene:

Con los polinomios de diseño y son y

y cumplen con la identidad dada por 5.12 con lo cual

se obtiene:

Con los polinomios de diseño y son

y y cumplen con la identidad dada por 5.12 con

lo cual se obtiene:


Los coeficientes para se obtienen haciendo y para , se

hace

EJEMPLO 5.2

Se desea diseñar un controlador de mínima varianza para un sistema con función

de transferencia discreta:

La salida de dicho sistema se ve afectada por una perturbación estocástica cuyo

comportamiento se puede modelar mediante un proceso ARMAX. El modelo de la

perturbación estocástica corresponde a un ruido blanco modificado por el filtro:

SOLUCIÓN: La función de transferencia del sistema y la de la perturbación se

pueden escribir en la forma:

En donde:

Con y , se obtiene:

)


Igualando los coeficientes de igual potencia en se obtiene:

Resolviendo se obtiene:

Con los resultados anteriores, el controlador de mínima varianza MVR3 es:

Si se asume , el controlador de mínima varianza MVR2 toma la forma:

Finalmente, con , el controlador de mínima varianza generalizado MVR1,

es:

En las figura 5.6 a, b, c y d se muestran las respuestas del sistema con los

controladores de mínima varianza estimados. En la figura d se adicionó un

integrador con para eliminar el offset en el controlador MV3


Figura 5.6 Respuesta con el controlador de mínima varianza a) MVR3 b)

MVR2 c) MVR1 y d) MVR3 con integrador para eliminar el offset

5.1.3 Diseño de un controlador PI Adaptativo por asignación y cancelación

de polos para un sistema de primer orden (POR): Si la dinámica del sistema se

aproxima a la de un sistema de primer orden con retardo de la forma:

10 20 30 40 50 60 70 800

0.2

0.4

0.6

0.8

1a)

t [s]

Salid

a

10 20 30 40 50 60 70 800

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

t [s]

Salid

ab)

10 20 30 40 50 60 70 800

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

t [s]

Salid

a

c)

10 20 30 40 50 60 70 800

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

t [s]

Salid

a

d)


El modelo discreto correspondiente para dicho sistema es:

Para el diseño, se asume que la función de transferencia del controlador PI toma

la forma:

Si se selecciona el cero del controlador de modo que cancele el polo de la planta,

es decir, si se hace la ecuación característica del sistema en lazo cerrado

es:

Si al sistema en lazo cerrado se le condiciona a que tenga un polo estable en

, entonces, al evaluar en se obtiene:

Despejando q0 resulta:

Entonces, conociendo y del modelo, los parámetros y del controlador

pueden calcularse especificando un polo dominante en lazo cerrado en que

ha de cancelarse con el cero del controlador.

Resolviendo se puede determinar la ubicación de los n polos restantes,

comprobándose que corresponden a polos no dominantes que decaen

rápidamente y que el polo es efectivamente el polo dominante.

Este método de diseño de controladores PI se recomienda especialmente cuando:

EJEMPLO 5.3

Un sistema de flujo tiene como función de transferencia:

Diseñar Para el sistema un controlador PI utilizando el método de cancelación y

asignación de polos de modo que el sistema tenga un polo dominante de lazo

cerrado en El sistema se muestrea cada 0.2 s.


SOLUCIÓN: la función de transferencia del sistema se puede escribir como:

0 1

El controlador PI toma la forma:

Si se asume que el cero del controlador cancela el polo de la planta, entonces

.

El polo dominante deseado es , por lo tanto:

El controlador pedido es:

La figura 5.7 muestra la respuesta del sistema con el controlador PI calculado.

Figura 5.7 Respuesta con el controlador PI por cancelación y asignación de

polos.


5.1 La función de transferencia para el proceso del sistema de control que se

muestra en la figura 5.8 está dada por:


En donde: a) Discretice el sistema con

b) Diseñe un controlador digital utilizando el método de asignación de

polos de modo que el sistema en lazo cerrado tenga tiempo de establecimiento de

y coeficiente de amortiguamiento igual a

Figura 5.8 Sistema de control para el problema 5.1

5.2 La figura 5.9 muestra el diagrama de instrumentación para el control digital de

la temperatura de un horno. El sistema se muestreó cada 0.1 min. La dinámica de

los elementos componentes del sistema se puede modelar así: Horno: sistema de

primer orden. Ganancia 0.6, constante de tiempo 1.75 min y retardo de 0.2 min.

Válvula: Sistema de primer orden. Ganancia 1 y constante de tiempo 0.25 min.

Medición: sistema con ganancia unitaria. Diseñe para el sistema un controlador

digital por asignación de polos de modo que el sistema en lazo cerrado tenga

máximo sobreimpulso igual al 10% y tiempo de establecimiento de 1.5 min.

Figura 5.9 Sistema para el problema 5.2


5.3 La figura 5.10 representa el diagrama en bloques del sistema de control de un

motor de DC. Utilizado para controlar la velocidad de una carga. Las ecuaciones

que describen la dinámica del motor se pueden resumir así:

En donde:

Voltaje aplicado al motor : Resistencia de la armadura

Fuerza contraelectromotriz Inductancia de la armadura

Corriente de la armadura

Velocidad angular del motor

Constante de

torque del motor

Torque del motor :Constante de

Perturbación en torque de la carga :Inercia del motor

a) Obtenga la función de transferencia b) Asuma para el

sistema un periodo de muestreo y diseñe para el mismo a) Un

controlador por asignación de polos de modo que el sistema del motor en lazo

cerrado tenga tiempo de establecimiento igual al 60% del correspondiente al

sistema en lazo abierto. b) Un controlador MVR3, MVR2 y MVR1 con r=0.01 y con

modelo de perturbación estocástica modificada por el filtro


5.4 La función de transferencia para un sistema de control está dada por:


a) Diseñe un controlador digital por asignación de polos de modo que el sistema,

en lazo cerrado tenga máximo sobreimpulso del 10% y tiempo de pico de 0.4 min.

b) Obtenga controladores de mínima varianza MVR3, MVR2 y MVR1. Considere

que el factor de ponderación en el MVR1 es r=0.05. Asuma que la salida de dicho

sistema se ve afectada por una perturbación estocástica cuyo comportamiento se

puede modelar mediante un proceso ARMAX. El modelo de la perturbación

estocástica corresponde a un ruido blanco modificado por el filtro siguiente:

5.5 Un sistema térmico tiene por función de transferencia:

Obtenga para el sistema un controlador PI por asignación y cancelación de polos

de modo que el sistema en lazo cerrado tenga tiempo de establecimiento igual al

60% del correspondiente en lazo abierto.

REFERENCIAS


Sevilla.1996.

[5.2] Iserman, R. Lachman,K. Adaptive Control Systems. Prentice Hall 1991.

[5.3] Isermann, R. Digital Control Systems, Springer Verlag .1981.

Aström, K. Wittenmark, B. Adaptive Control. Addison Wesley, 1989.

Franklin, G. Powell, D. Digital Control of Dynamic Systems. Addison Wesley,

1990.

Phillips, C. Nagle, H. Digital control systems. Análysis and Desing. Ediciones G.

Gili. 1997.


Esta técnica se emplea con modelos matemáticos simulados en computador y es

muy útil para sistemas complicados de controlar por ejemplo, sistemas no lineales

o con parámetros variables en el tiempo. Se trata de que el sistema controlado

siga el comportamiento de un modelo determinado para lo cual se debe generar

una señal de control que haga converger la respuesta de la planta a la del modelo

para una cierta señal de entrada.

En esta estrategia de control se selecciona como referencia un modelo que

cumpla con las condiciones deseadas para el funcionamiento adecuado de la

planta y se desarrolla un mecanismo de control que permita que la planta siga el

modelo escogido. No es necesario un conocimiento extensivo de la planta, pero si

es necesaria la escogencia del modelo adecuado para lograr la salida deseada. El

modelo de referencia que se utiliza es usualmente lineal.

Como se indica en la figura 6.1, el control por modelo de referencia está formado

por tres partes fundamentales: [6.1]


El controlador primario: Debe cumplir la condición de hacer posible que el

conjunto de la planta y el controlador puedan reproducir el modelo de

referencia.

El modelo de referencia: Debe seleccionarse con un comportamiento

dinámico estable y que pueda ser seguido por el proceso a controlar.

La ley de adaptación: esta se puede obtener por diferentes métodos: Método

de sensibilidad, método de Lyapunov y método de hiperestabilidad.

Figura 6.1 Control por modelo de referencia

6.1 MRAC PARA SISTEMAS CONTINUOS, MÉTODO DE LYAPUNOV

Este método establece que un sistema tiene un punto de equilibrio

asintóticamente estable, si existe una función que cumpla con las

siguientes condiciones [6.1]:

: Definida positiva para

Definida negativa para

para

Procedimiento para aplicar el método de Lyapunov:

1. Encontrar la ecuación de error en la salida:

2. Encontrar la función de Lyapunov como una función del error entre las

señales y del error en los parámetros. Esta función es de la forma:

Donde las matrices y deben ser definidas positivas.


3. Calcular la derivada de la función de Lyapunov. Esta derivada debe ser

definida negativa. Por lo general toma la forma:

El primer término garantiza que la derivada es negativa definida, entonces,

haciendo el resto igual a cero se tiene una posible solución para la adaptación.

4. Hacer el término extra igual a cero para obtener la ley de adaptación.

Normalmente tiene la forma:

, está relacionado directamente con el error y tiene que ver con el vector de

señales (Referencia, salida etc.)

EJEMPLO 6.1

Diseñar un sistema de control por modelo de referencia para un sistema de primer

orden [6.2].

SOLUCIÓN: Sea el sistema de primer orden:

Si se toma como modelo de referencia:

El error es:

La ecuación de la planta se puede escribir como:

Haciendo:

Se obtiene:

En donde es la salida y es la ley de control.


La ecuación del modelo de referencia se puede escribir como:

Para que el error sea cero se debe cumplir que: por lo tanto:

Despejando :

Es decir:

Haciendo:

La ecuación 6.12 corresponde a la ley de control del sistema y en ella no se

conocen los parámetros y debido a que y son desconocidos.

Los valores apropiados de y que se adapten al sistema de control se pueden

determinar tomando en cuenta las siguientes consideraciones:

Reemplazando 6.8 y 6.9 en 6.13 se obtiene:

Reemplazando 6.12 en 6.14:

Sumando y restando en la ecuación anterior se obtiene, después de

simplificar:

De la ecuación 6.15 se deduce que si , y .


Se trata de diseñar un sistema que lleve los parámetros y a los valores

deseados. Para este propósito se define la función de Lyapunov:

Esta función es cero cuando y los parámetros del controlador tengan su

valor óptimo.

Derivando parcialmente la ecuación la ecuación 6.16 con respecto a los

parámetros se obtiene:

Reemplazando la ecuación 6.15 en la 6.17 se obtiene:

De acuerdo con la teoría de la estabilidad de Lyapunov, el sistema es estable si

es semidefinida negativa, esto se cumple si en la ecuación 6.18 se da:

Entonces:

La figura 6.2 muestra el diagrama de bloques y la respuesta del sistema de control

MRAC aplicado al sistema de primer orden.

En donde:

Señal de entrada.

La señal de control.

La salida del proceso.

La salida del modelo de referencia.

: El error.


y son las ganancias adaptativas y es una constante positiva que se

puede tomar como parámetro de ajuste. Se trabajó con

Para realizar la simulación se tomaron como modelo para el proceso y como

modelo de referencia:

Figura 6.2 Diagrama de bloques y respuesta del control MRAC

EJEMPLO 6.2

Diseñar un sistema de control por modelo de referencia para un sistema de

segundo orden [6.3].

SOLUCIÓN: Sea el sistema de segundo orden:

yp

So

to

u

ym

e

2

-2

R

4

0.8s+1

Proceso

5

s+5

Modelo de Ref

1

s

1

s


En donde y son parámetros del proceso variables en el tiempo.

Sea el modelo de referencia:

Se asume como ley de control para el sistema [3]:

En donde es la señal de referencia.

La ecuación diferencial que describe el sistema es:

Factorizando y simplificando se obtiene:

La ecuación diferencial del modelo de referencia es:

Restando las ecuaciones 6.26 y 6.27 se obtiene:

Introduciendo los parámetros de error:

Y teniendo en cuenta que el error es:

Se obtiene:

La ecuación anterior se puede escribir así:

Ahora se introduce la función de Lyapunov:


En donde y son constantes positivas.

Como el modelo de referencia se supone estable, entonces es positiva y es

una función positiva definida.

La derivada de la función de Lyapunov introducida es:

Factorizando y simplificando se obtiene:

La teoría de estabilidad de Lyapunov garantiza la estabilidad global del sistema

dinámico si es una función semidefinida negativa. Esto se puede asegurar para

la ecuación 6.33 si:


Integrando cada una de las ecuaciones anteriores se obtiene:


La figura 6.3 muestra el diagrama de bloques y la respuesta del sistema de

control MRAC aplicado al sistema de segundo orden.

Figura 6.3 Control MRAC para sistema continuo de segundo orden

En donde:

La señal de entrada.

La señal de control.

La salida del proceso.

La salida del modelo de referencia.

El error.

Para realizar las simulaciones se tuvieron en cuenta los siguientes valores:

f

ym

yp

qo

q1

r

u

s +2s+42

4

1

s +1.6s+12

1

s

1

s

1

s

5

5

-2

du/dt

du/dt


El modelo del proceso a controlar se tomó como:

El modelo de referencia se tomó como:

6.2 MRAC PARA SISTEMAS DISCRETOS

Al igual que en los sistemas continuos, la idea básica del control con modelo de

referencia MRAC, para sistemas discretos, es que el proceso con función de

transferencia [6.3]:

Con:

Siga el modelo:

En donde:

Mediante la aplicación de la ley de control:

En donde:

La figura 6.4 muestra el diagrama en bloques del sistema de control con modelo

de referencia propuesto.


Figura 6.4 Control con modelo de referencia

La función de transferencia en lazo cerrado para el sistema de la figura 6.4 es:

El procedimiento para el diseño es el siguiente:

1. Seleccionar el modelo de referencia adecuado.

2. Reescribir el polinomio del proceso en la forma:

En donde: : Contiene los ceros estables del proceso.

: Contiene los ceros inestables del proceso.

3. Los ceros estables del proceso se incluyen en el polinomio es decir:

4. Los ceros inestables del proceso deben ser ceros de , es decir, ceros

de

5. Si el grado de seleccionado es menor que el grado de

después de la cancelación de , el lado derecho de

la ecuación 6.38 se multiplica y divide por el polinomio

6. Los polinomios , y el filtro quedan deteminados por

las ecuaciones:

De la última ecuación se despeja el filtro así:

El filtro es realizable si es de la forma

con


NOTA: En caso de que el sistema tenga solo ceros estables se considera que

, en este caso la ley de control toma la forma:

La ecuación 6.41 se puede escribir en forma vectorial como:

En donde:

EJEMPLO 6.3

La función de transferencia de un sistema de presión está dada por:

Diseñe para el sistema un controlador con modelo de referencia de modo que el

sistema, en lazo cerrado siga la dinámica del modelo:

SOLUCIÓN: Los modelos discretos son:

Por lo tanto, la ley de control es:


Grado de

Grado de

Condición de los polinomios:

Comparando término a término y resolviendo las ecuaciones resultantes se

obtiene qué:

, , y

Entonces:

y

Por lo tanto:

Finalmente, la ley de control es:

Despejando se obtiene:

Tomando transformada z y reuniendo términos:

Es decir:

La figura 6.5 muestra el diagrama en bloques del sistema de control y la respuesta

del mismo ante una entrada con forma de onda rectangular de amplitud unitaria.


Figura 6.5 Control con modelo de referencia

EJEMPLO 6.4

La función de transferencia de un sistema térmico está dada por:

El sistema es muestreado cada tres segundos. Diseñar para el sistema un

controlador con modelo de referencia de modo que su comportamiento en lazo

cerrado siga la dinámica de un modelo de segundo orden con ganancia unitaria,

coeficiente de amortiguamiento y constante de tiempo equivalente igual a

12.5 s.

SOLUCIÓN: al discretizar el sistema con se obtiene:

El numerador tiene un cero fuera del círculo unitario, entonces:

0.038(z+0.4631)

z (z-0.8607)2

1.855z2

(z+0.4631)(z+0.0819)

4.0394z(z+0.4404)

(z+0.4631)(z+0.0819)

0 50 100 150 200 250 3000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t[s]

y(k

)


Para obtener la función de transferencia discreta del modelo de referencia se

tiene:

Los polos deseados para el sistema en lazo cerrado son: y

su ecuación característica es:

El modelo de referencia debe tener en el numerador el cero inestable del sistema

a controlar, es decir:

Para que el sistema tenga ganancia unitaria se debe cumplir que:

Por lo tanto el modelo de referencia es:

La ley de control está determinada por la ecuación:

Grado de

Grado de

Las ecuaciones de diseño son:


Efectuando operaciones y reuniendo términos semejantes:

Comparando término a término se obtiene:

Al resolver las ecuaciones anteriores resulta:

Es decir:

El filtro ) se obtiene con la ecuación 6.40:


Es decir:

Esta expresión escrita como una ecuación en diferencias es:


La figura 6.6 muestra el diagrama en bloques del sistema de control y la respuesta

del mismo ante una entrada con forma de onda rectangular de amplitud unitaria.

Figura 6.6 Diagrama en bloques del sistema de control y respuesta del

mismo ante una entrada con forma de onda rectangular de amplitud unitaria.

APLICACIÓN: Para un sistema de segundo orden caracterizado por el modelo

discreto:

Se propone como modelo de referencia el siguiente sistema discreto:

Con y y asumiendo que todos los ceros de están dentro

del circulo unitario (

Es decir:

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

t [s]

y(k

)


Los polinomios y se relacionan mediante la ecuación:

Factorizando:

La identidad anterior se cumple cuando:

La ley de control está dada por:

Es decir:

Para realizar el control adaptativo se cuenta entonces con el vector de parámetros

del proceso , el vector de parámetros del modelo de

referencia y las ecuaciones 6.48 y 6.49 para calcular el

algoritmo de control.

Con y y asumiendo que todos los ceros de están dentro

del circulo unitario (

Los polinomios y se relacionan mediante la ecuación:


Comparando término a término se obtiene:

La ley de control está dada por:

Reemplazando y simplificando se obtiene:

Para realizar el control adaptativo se cuenta entonces con el vector de parámetros

del proceso , el vector de parámetros del modelo de

referencia y las ecuaciones 6.50 y 6.51 para calcular el

algoritmo de control.


6.1 Sea el tanque con agitador representado en la figura 6.7.

Figura 6.7 Tanque para el problema 6.1

El objetivo es controlar la temperatura del fluido de salida manipulando el

caudal de vapor que pasa a través del serpentín. Se debe controlar también el

nivel del tanque manipulando el flujo de entrada . Se dispone de sensores para


medir el nivel, el flujo de entrada y el flujo de salida del tanque y las temperaturas

de entrada y de salida del fluido.

Mediante una serie de experiencias llevadas a cabo en el entorno de las

condiciones nominales de operación, se han obtenido las funciones de

transferencia que se presentan a continuación (tiempo en segundos):

a) Obtenga un diagrama de instrumentación para el proceso incluyendo todos los

componentes necesarios para realizar el control digital del mismo. b) Dibuje un

diagrama de bloques del proceso completo identificando todas las variables

significativas (manipuladas, controladas y perturbaciones a la entrada y a la

salida). c) Diseñe controladores por modelo de referencia discretos para regular el

nivel y la temperatura del tanque. Analice la viabilidad del modelo de referencia

seleccionado en cada caso.

6.2 El sistema de la figura 6.8 representa un intercambiador de calor con un

sistema de calefacción interno no manipulable que calienta un flujo de agua

desde una temperatura a una temperatura .

Figura 6.8 Intercambiador para el problema 6.2

Para este sistema se sabe que la relación entre la señal de control aplicada a la

válvula de entrada y la temperatura de salida viene dada por:


Para el análisis del sistema se considera un periodo de muestreo de 0.5 min.

Se desea que el sistema siga como modelo de referencia a un sistema de

segundo orden con coeficiente de amortiguamiento igual a 0.8 y constante de

tiempo de 2.5 min. Obtenga la ley de control para el controlador discreto que

cumpla con dichas especificaciones.

6.3 La función de transferencia de un determinado proceso es

El proceso está en serie con un sensor como se indica en la figura 6.9.

Existe la posibilidad de seleccionar la función de transferencia del sensor así:

Obtenga para el sistema, el controlador por modelo de referencia discreto

adecuado para cada tipo de sensor propuesto. Justifique la selección de los

parámetros del modelo en cada caso.


6.4 Para un sistema de segundo orden caracterizado por el modelo discreto:

Se propone como modelo de referencia el siguiente sistema discreto:

Asuma y que y obtenga una expresión para calcular la ley de control

en función de los parámetros de la planta y del modelo de referencia.


REFERENCIAS


Sevilla.1996.

[6.2] Äström, K., Wittenmark. Adaptive Control, Prentice Hall.1989

[6.3] Iserman,R. Lachman,K. Adaptive Control Systems. Prentice Hall 1991.

Äström, K., Hägglung. Automatic Tuning of PID Controllers, ISA.1988

Bellman, R. Adaptive Control Processes: A Guided Tour, Princeton University.

1961.


1990.


Gili. 1997.

Söderström, T. & Stoica, P. System Identification, Prentice Hall, Englewood

Cliffs, N.J. 1989.


La técnica de la ganancia programable (Gain scheduling) es un acercamiento al

control de sistemas no lineales que utiliza una familia de controladores lineales,

para proporcionar el control satisfactorio en diversos puntos de operación del

sistema.

Este enfoque asume que el sistema se puede representar mediante un modelo

parametrizado por ciertas variables, llamadas variables de tabulación o de

programación (“scheduling variables”), de modo que cuando estas variables

asumen un valor constante se obtiene un punto de funcionamiento [7.1] Para

sintonizar el controlador adecuado se utilizan una o más de las variables de

programación. En este caso, se linealiza el sistema alrededor de distintos puntos

de operación de interés, obteniéndose una familia de modelos lineales para la

cual se diseña una familia de controladores lineales. Luego, se implementa el

esquema de control con un controlador cuyos parámetros son cambiados acorde a

los valores que toman las variables de programación, que deberán monitorearse

continuamente.


La literatura no documenta reglas generales para el diseño de controladores con

ganancia programable. Sin embargo, se pueden establecer los siguientes pasos:

Determinar las variables de programación: Estas variables deben reflejar las

condiciones de operación de la planta y permitir establecer expresiones

simples que relacionen los parámetros del controlador con las variables de

ajuste. Esto se hace normalmente mediante la identificación física del sistema.

Obtener el modelo del proceso para diferentes puntos de operación: estos

puntos deben estar parametrizados por las variables de programación. Si el

sistema es no lineal se linealiza alrededor de dichos puntos.

Calcular los parámetros del controlador para los diferentes puntos de

operación: Se calculan los parámetros del controlador para un determinado

número de condiciones de trabajo, en función de las variables de

programación, empleando algún método de diseño apropiado. El controlador

se calibra o sintoniza para cada condición de operación. No existe norma sobre

el número de condiciones o zonas de operación en que debe dividirse el rango

de operación de la planta, el diseñador decide al respecto.

Seleccionar el controlador en función de las variables de programación:

según el punto de operación en que se encuentre el proceso, se selecciona el

controlador diseñado para dicho punto de operación. Para evitar los

inconvenientes que puede causar la conmutación de un controlador a otro se

puede generar una ecuación de regresión que permita calcular los parámetros

del controlador en función de las variables de programación.

En la figura 7.1 se presenta un diagrama básico de la técnica de control por

ganancia programable.

Programación

Precalculada

Punto de

Trabajo

Controlador Planta

Parámetros del

Controlador

SalidaSP Señal de

Control+

-

Figura 7.1 Control con ganancia programable.


EJEMPLO 7.1

La figura 7.2 muestra la respuesta de un intercambiador de calor ante escalones

aplicados en diferentes zonas de operación. La temperatura se midió con un

instrumento calibrado de 0 a 100 ºC y la apertura de la válvula se da en

porcentaje. Diseñar para el sistema un controlador PI con ganancia programable.

Figura 7.2 Prueba del escalón

SOLUCIÓN: La dinámica del intercambiador se aproximó a un sistema de primer

orden con retardo. Se obtuvo un modelo para cada uno de los escalones

aplicados, se discretizaron los modelos y para cada uno de ellos se calculó un

controlador PI utilizando el método de Ziegler-Nichols.

Modelos continuo y discreto:

Controlador PI:

Formulas empleadas para el cálculo del controlador:


En la tabla 7.1 se muestran los parámetros obtenidos para los controladores en

cada uno de los puntos de operación considerados

Tabla 7.1 Controladores obtenidos

22 1.5261 -1.2592

40 1.8289 -1.5233

52 1.6498 -1.3781

67 2.2663 -1.8818

78 1.7412 -1.4606

Las ecuaciones para el cálculo de y de que se han de utilizar para estimar el

controlador son:

Los datos presentados en la tabla 7.1 y las ecuaciones de regresión para estimar

los parámetros y del controlador, se obtienen a partir de los valores de los

puntos de operación y de los modelos de primer orden con retardo

correspondientes. Para ello se utilizó el programa en MATLAB que se da a

continuación:

% GANANCIA PROGRAMABLE

% El programa calcula un controlador PI según Ziegler-Nichols

% Para este caso, el modelo debe ser de primer orden con retardo POR

% Para cada punto de operación se debe estimar el modelo correspondiente.

% Puntos de operación: los valores medios de la respuesta de la variable en cada

% uno de los escalones.


clc

T=input('Entre los puntos de operacion V=');

L=length(T);

N=0;

while N<L

N=N+1

n=input('Entre el numerador n=');

d=input('Entre el denominador d=');

R=input('Entre el retardo R=');

TM=input('Entre el periodo de muestreo TM=');

[a,b,c,d1]=tf2ss(n,d);

[ad,bd,cd,dd]=c2dt(a,b,c,TM,R);

[nd1,dd1]=ss2tf(ad,bd,cd,dd);

k=length(nd1);

for j=1:k

if (abs(nd1(j)))<10^(-8)

nd1(j)=0;

else

nd1(j)=nd1(j);

end

end

printsys(nd1,dd1,'z')

theta=R+TM/2;

kc=0.9*d(1)/(n*theta);

ti=3.33*theta;

qo=kc*(1+TM/(2*ti))

q1=-kc*(1-TM/(2*ti))

qo1(N)=qo

q11(N)=q1

end

disp('Los coeficientes para el calculo de qo sn:')


coeqo=polyfit(T,qo1,4);

disp('Los coeficientes para el calculo de q1 son:')

coeq1=polyfit(T,q11,4);

T1=50:95;

qo2=polyval(coeqo,T1);

q12=polyval(coeq1,T1);

figure(1)

plot(T1,qo2,T,qo1,'*')

title('VALORES DE qo')

xlabel('T (ºC)')

ylabel('qo')

grid

figure(2)

plot(T1,q12,T,q11,'*')

title('VALORES DE q1')

xlabel('T (ºC)')

ylabel('q1')

grid

La figura 7.3 muestra la variación de con la temperatura

Figura 7.3 Variación de con la temperatura

20 30 40 50 60 70 80 901

1.5

2

2.5VALORES DE qo

T (ºC)

qo


La figura 7.4 muestra la variación de con la temperatura

Figura 7.4 Variación de con la temperatura

La figura 7.5 muestra la forma de simular el sistema con ganancia programable

con el controlador PI. Los polinomios para el cálculo de y se incluyen en el

bloque f(u).

Figura 7.5 Simulación para el ejemplo 7.1

Los resultados de la simulación se muestran en la figura 7.6, se manejaron los

puntos de operación correspondientes a 40, 70 y 50 ºC respectivamente. Para

disminuir el sobreimpulso los valores estimados para y se multiplicaron por

0.75

20 30 40 50 60 70 80 90-2

-1.8

-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6VALORES DE q1

T (ºC)

q1

q1

qo

e(k)

m(k)T

r(k)

e(k-1)

42s+1

1.5

D

To Workspace

-1

Z

-1

Z

-K-

-K-

f(u)

f(u)

20


Otra alternativa para realizar el control por ganancia programable consiste en

seleccionar un controlador fijo para cada punto de operación. En este caso se

utilizan ciertos valores de la variable de programación para realizar la conmutación

entre los diferentes controladores. En el ejemplo 7.2 se ilustra el método.

Figura 7.6 resultado de la simulación con ganancia programable.

EJEMPLO 7.2

La dinámica de los tanques interconectados de la figura 7.7 se describe mediante

las ecuaciones diferenciales no lineales:

Figura 7.7 Tanques interconectados para el ejemplo 7.2

Para el diseño del controlador se proponen como puntos de equilibrio: ,

, y . a) Linealice el sistema alrededor de cada uno de los

puntos de operación establecidos. b) Obtenga, para cada punto de operación, la


matriz de ganancia de realimentación incluyendo integrador de modo que los polos

de lazo cerrado del sistema queden ubicados en .

c) Simule el sistema de control obtenido con el sistema no lineal propuesto

originalmente.

SOLUCIÓN: Para ilustrar el procedimiento se resuelve completamente el

problema para el punto de equilibrio correspondiente a . Los resultados

para todos los puntos de equilibrio se presentan en la tabla 7.2

La dinámica del sistema linealizado se puede representar mediante la ecuación de

estado:

En donde:

Las derivadas parciales se calculan en el punto de equilibrio:

Los puntos de equilibrio cumplen con la condición: es decir:

Resolviendo las dos ecuaciones anteriores para se obtiene que el

punto de equilibrio es:

Para el cálculo de las matrices y se tiene:

El sistema linealizado es, entonces:


La matriz de ganancia de realimentación del sistema incluyendo integrador está

dada por la fórmula de Ackerman:

En donde:

Siendo los coeficientes de la ecuación característica deseada:

Entonces:

La ecuación característica deseada es:

Por lo tanto:

La ganancia correspondiente al integrador es:

La matriz de ganancia de realimentación es:

En la tabla 7.2 se presentan los valores de la ganancia del integrador y de la

matriz de ganancia de realimentación para cada punto de operación.


Tabla 7.2 Ganancias del sistema en función del punto de operación

A continuación se presenta el programa en Matlab utilizado para realizar los

cálculos de la matriz de ganancia de realimentación y de la ganancia del

integrador.

% GANANCIA PROGRAMABLE

% gananciavar11

% Se trabaja conjuntamente con el diagrama gananciavar1 de simulink

clc

% Generacion de puntos de operacion

t=0:1999;

t=t';

ref1=[0.4*ones(600,1)];

ref2=[0.7*ones(500,1)];

ref3=[0.5*ones(500,1)]

ref4=[0.3*ones(400,1)];

reft=[ref1;ref2;ref3;ref4];

ref=[t,reft];

%Parametros y puntos de operacion

q1=0.4;

q2=0.8;

q3=0.6;

q4=0.2;

% Estados de equilibrio para punto1

h1=8*q1^2;

h2=4*q1^2;


a11=-0.25/sqrt(h1-h2);

a12=0.25/sqrt(h1-h2);

a21=0.25/sqrt(h1-h2);

a22=-0.25/sqrt(h1-h2)-0.25/sqrt(h2);

b11=1;

b21=0;

c=[1 0];

% Matrices linealizadas punto1

a=[a11 a12;a21 a22];

b=[b11;b21];

c=[1 0];

cero=zeros(length(a),1);

A=[a cero;c 0];

B=[b;0];

p=[-0.1 -0.2 -0.5]'; % Polos deseados

K1=acker(A,B,p);

k11=K1(1,1:2);

k21=K1(1,3);


h1=8*q2^2;

h2=4*q2^2;

a11=-0.25/sqrt(h1-h2);

a12=0.25/sqrt(h1-h2);

a21=0.25/sqrt(h1-h2);

a22=-0.25/sqrt(h1-h2)-0.25/sqrt(h2);

b11=1;

b21=0;

c=[1 0];

% Matrices linealizadas punto 2

a=[a11 a12;a21 a22];

b=[b11;b21];


c=[1 0];


A=[a cero;c 0];

B=[b;0];

K2=acker(A,B,p);

k12=K2(1,1:2);

k22=K2(1,3);


h1=8*q3^2;

h2=4*q3^2;

a11=-0.25/sqrt(h1-h2);

a12=0.25/sqrt(h1-h2);

a21=0.25/sqrt(h1-h2);

a22=-0.25/sqrt(h1-h2)-0.25/sqrt(h2);

b11=1;

b21=0;

c=[1 0];

% Matrices linealizadas punto 3

a=[a11 a12;a21 a22];

b=[b11;b21];

c=[1 0];


A=[a cero;c 0];

B=[b;0];

K3=acker(A,B,p);

k13=K3(1,1:2);

k23=K3(1,3);


h1=8*q4^2;

h2=4*q4^2;

a11=-0.25/sqrt(h1-h2);


a12=0.25/sqrt(h1-h2);

a21=0.25/sqrt(h1-h2);

a22=-0.25/sqrt(h1-h2)-0.25/sqrt(h2);

b11=1;

b21=0;

c=[1 0];

% Matrices linealizadas punto4

a=[a11 a12;a21 a22];

b=[b11;b21];

c=[1 0];


A=[a cero;c 0];

B=[b;0];

K4=acker(A,B,p);

k14=K4(1,1:2);

k24=K4(1,3);

sim('gananciavar1')

La figura 7.8 muestra la respuesta del sistema ante cambios en la referencia y la

figura 7.9 corresponde al diagrama de bloques en simulink realizado para simular

el sistema.

Figura 7.8 Control con ganancia programable y realimentación de estado


En el ejemplo 7.1 los parámetros del controlador se calculan a partir de una

ecuación de regresión en la cual las variables dependientes son los parámetros

del controlador y la variable independiente es la temperatura del intercambiador,

en este caso los parámetros se calculan en forma continua y la dinámica del

controlador varia con cada cambio que se presente en la temperatura. En el

ejemplo 7.2 el procedimiento es diferente: en este caso se estima un modelo del

proceso y se calcula el controlador correspondiente para cada zona de trabajo o

punto de equilibrio seleccionado y el sistema de control asume el controlador

correspondiente cuando la variable controlada entra en su respectiva zona de

trabajo.


7.1 La figura 7.10 muestra un tanque presurizado con un gas inerte que descarga

a través de una válvula de característica lineal. El caudal a través de una válvula

de este tipo se puede expresar mediante la ecuación:

Donde representa la fracción de abertura de la válvula , el coeficiente

de caudal y es la diferencia de presión a través de la válvula

Fe

Po=4 bar

F

P=3 bar

h

x

Figura 7.10 Tanque presurizado

Datos:

Caudal nominal a través del tanque:


Coeficiente de caudal de la válvula :

Área de la sección transversal del tanque:

Densidad del líquido:

Presión en el tanque constante:

Presión (constante) aguas abajo de la válvula :

a) Obtener el modelo matemático del proceso que tiene como variable de salida el

nivel y como variables de entrada el caudal de entrada y la abertura de la

válvula b) Si el valor nominal de la apertura de la válvula es , calcular el

valor nominal del nivel . c) Linealizar el modelo alrededor de los puntos de

equilibrio correspondientes a y y obtener su

función de transferencia para cada caso. d) Discretice los modelos obtenidos con

el periodo de muestreo adecuado e) Tomando como variable de programación la

apertura de la válvula diseñe un controlador Deadbeat con ganancia

programada.

7.2 Dado el sistema no lineal:

a) Linealice el sistema alrededor de los puntos b) Obtenga

para cada punto de operación, la función de transferencia Y(S)/U(S) c) Discretice

cada una de los modelos lineales obtenidos con . d) Estime el valor de la

matriz de ganancia de realimentación para que el sistema en lazo cerrado tenga

todos sus polos en el origen y obtenga mediante el Matlab un polinomio que

permita calcular los valores de en función de e) Realice en SIMULINK un

diagrama que permita simular el sistema de control con los estimados mediante

los polinomios.

7.3 Para obtener el modelo del comportamiento dinámico de la temperatura en el

interior de una autoclave en diferentes puntos de operación, se utilizó el método


de la curva de reacción. Para el efecto se aplicaron varios escalones que

cubrieron diferentes zonas de trabajo de la autoclave. Estos escalones tuvieron

una magnitud del 5% y se aplicaron a la válvula de entrada de vapor a la camisa

de la autoclave con aperturas correspondientes al 40%, 45%, 50%, 55%, 60%,

65%, 70% y 75%. El transmisor de temperatura se calibró de 0 a 200ºC.

La dinámica de la temperatura se aproximó a un sistema de primer orden con

retardo. En la tabla adjunta se dan los modelos obtenidos para cada temperatura

a) Estime para cada modelo un controlador PI según Ziegler-Nichols. b) La

relación entre la variable temperatura dentro de la autoclave y los parámetros y

del controlador se definen mediante una ecuación de la forma:

En donde es la variable de ajuste. Obtenga los polinomios que permitan calcular

los parámetros del controlador en función de la temperatura y utilice el Simulink

para simular el sistema con los controladores estimados.

%

REFERENCIAS

[7.1] Isermann, R. Digital Control Systems, Springer Verlag .1981.

Bellman, R. Adaptive Control Processes: A Guided Tour, Princeton University.

1961.


1990.

Iserman,R. Lachman,K. Adaptive Control Systems. Prentice Hall 1991.

Kuo, B: Discrete Data Control Systems, Prentice Hall. 1970

Rodriguez, R. Lopez, M. Control Adaptativo y Robusto. Universidad de

Sevilla.1996.

Wang, M. y F. Crusca. Design and implementation of a gain scheduling

controller for a level control system, ISA transactions, 41(3), (2002).


Es una estrategia de control que se basa en la utilización de forma explícita de un

modelo del proceso para predecir el valor de las variables controladas a lo largo

de un horizonte temporal especificado por el usuario, calculando el valor de las

variables manipuladas para hacer que en ese horizonte las variables controladas

estén en sus valores de referencia.

Los controladores predictivos calculan los valores de las variables manipuladas en

cada periodo de muestreo de acuerdo con los valores de consigna deseados para

las variables controladas y las restricciones y condiciones de operación del

proceso [8.1].

5.2 ESTRATEGIA DE LOS CONTROLADORES PREDICTIVOS

La metodología de los controladores predictivos se caracteriza por la siguiente

estrategia [8.2], representada en la figura 8.1

En cada instante t y haciendo uso del modelo del proceso se predicen las

salidas futuras para un determinado horizonte, llamado horizonte de predicción.

Estas salidas predichas, para dependen de los valores

conocidos de las entradas y de las salidas pasadas hasta el instante y de las

señales de control futuras u para


Las señales de control futuras se calculan optimizando un determinado criterio

en el que se pretende mantener el proceso lo más próximo posible a la

trayectoria de referencia (que puede ser directamente el set-point o

una aproximación suave a este). Este criterio suele tomar la forma de una

función cuadrática de los errores entre la salida predicha y la trayectoria de

referencia también predicha, incluyendo en muchos casos el esfuerzo de

control. Si el criterio es cuadrático, el modelo lineal y no existen restricciones

se puede obtener una solución explicita, en otro caso se debe usar un método

iterativo de optimización.

Sólo la señal de control se envía al proceso mientras que las demás

señales de control calculadas se desechan, puesto que en el siguiente instante

de muestreo ya se conoce y se repite el paso 1 con este nuevo valor y

todas las secuencias son actualizadas. Se calcula por tanto

(que en principio será diferente al al disponer de nueva

información), haciendo uso del concepto de horizonte deslizante.

Figura 8.1 Estrategia del control predictivo

8.2 ESTRUCTURA BÁSICA DEL CONTROL PREDICTIVO

Para llevar a cabo la estrategia propuesta, se usa una estructura como la

mostrada en la figura 8.2. Se hace uso de un modelo para predecir las salidas

futuras del proceso, basándose en las señales de control futuras propuestas.


Estas señales son calculadas por el optimizador teniendo en cuenta la función de

coste así como las restricciones [8.2].

El modelo elegido debe describir lo mejor posible la dinámica del proceso para

poder predecir las salidas futuras al mismo tiempo que debe ser sencillo de usar y

de comprender. El optimizador es otra parte fundamental de la estrategia pues

proporciona las acciones de control.

Figura 8.2 Estructura básica del control predictivo

8.3 ELEMENTOS DE CONTROL PREDICTIVO

Hay una serie de elementos comunes a todos los controladores predictivos [8.2]

El modelo de predicción.

La función objetivo

Obtención de la ley de control

8.3.1 Modelo de predicción. Debe ser capaz de capturar la dinámica del proceso

para poder predecir las salidas futuras, al mismo tiempo debe ser sencillo de usar

y comprender y además, debe permitir un análisis teórico.

A continuación se presentan los principales modelos de procesos y de

perturbaciones utilizados en la formulación del control predictivo.

Modelo de respuesta al impulso. Este modelo no requiere información previa

sobre el proceso y permite una fácil identificación del mismo. Esta

representación sólo es válida para sistemas estables. La figura 8.3 muestra la

respuesta del sistema al impulso.


Figura 8.3 Respuesta al impulso

La salida del sistema está dada por:

En donde:

Siendo los valores muestreados cuando el proceso es excitado con un impulso

unitario.

La predicción del modelo está dada por:

Modelo de respuesta al escalón. Este modelo no requiere información previa

sobre el proceso y permite una fácil identificación del mismo. Esta

representación sólo es válida para sistemas estables. La figura 8.4 muestra la

respuesta del sistema al escalón.

Figura 8.4 Respuesta al escalón

La salida está dada por:


En donde son los valores muestreados de la salida correspondientes a la

entrada en escalón y

La predicción del modelo es:

Modelo de función de transferencia. Este modelo está dado por la ecuación:

En donde:

La predicción del modelo es:

Esta representación es también válida para procesos inestables y tiene la ventaja

de que necesita pocos parámetros.

Modelo de las perturbaciones. Tan importante como la elección del modelo

del proceso es la elección del modelo utilizado para representar las

perturbaciones. Uno de los modelos más utilizados para modelar las

perturbaciones es el Autorregresivo Integrado de Media Móvil (Auto-

Regressive and Integrated Moving Average, ARIMA):

A continuación se definen los siguientes modelos estocásticos de los modelos de

proceso y perturbaciones utilizados:

Modelo ARX

Modelo ARMAX


Modelo ARIX

Modelo ARIMAX

9.3.2 Función objetivo: Los diversos algoritmos de control predictivo proponen

distintas funciones de coste para la obtención de la ley de control. En general se

persigue que la salida futura en el horizonte considerado siga a una determinada

señal de referencia al mismo tiempo que se puede penalizar el esfuerzo de control

requerido para hacerlo. La expresión general de tal función objetivo es:

Parámetros: representan el horizonte mínimo y el horizonte máximo de

predicción y es el horizonte de control. El significado de resulta

bastante intuitivo: marcan los límites de los instantes en que se desea que la

salida siga a la referencia. Los coeficientes y son secuencias que

ponderan el comportamiento futuro.

8.3.3 Algoritmos de control predictivo: Existen diferentes algoritmos de control

predictivo que han sido aplicados con éxito: DMC, IDCOM, PFC, EPSAC, GPC…

Control con matriz dinámica (Dynamic Matrix Control, DMC): Este método

usa la respuesta ante un escalón para modelar el proceso, considerando solo

los primeros términos, asumiendo por tanto que el proceso es estable.

Control predictivo con modelo heurístico: (Model Predictive Heuristic

Control, IDCOM) Este método se conoce comercialmente como IDCOM

(Identification-Command). Es muy similar al DMC con la diferencia principal de

utiliza un modelo de respuesta impulsional.

Control predictivo funcional (Predictive Functional Control, PFC): Este

algoritmo utiliza un modelo en el espacio de estados, por lo que permite el

manejo de procesos inestables y procesos no lineales.


Control adaptativo con predicción extendida. (Extended Prediction Self

Adaptive Control, EPSAC). Este algoritmo usa un modelo de función con

transferencia:

Donde es el retardo y es la perturbación.

Control adaptativo con horizonte extendido. (Extended Horizont Adaptive

Control, EHAC) Esta formulación también emplea un modelo de función de

transferencia y pretende minimizar la discrepancia entre la salida calculada y la

referencia en el instante

El único coeficiente de ajuste es el horizonte de predicción , lo cual simplifica el

uso pero proporciona poca libertad para el diseño. No utiliza trayectoria de

referencia porque el error se considera sólo en un instante , tampoco se

pondera el esfuerzo de control.

Control predictivo generalizado. (Generalized Predictive Control, GPC) Este

método utiliza un modelo CARIMA (Controlled Auto-Regressive Integrated

Moving Average) para la predicción de la salida:

Donde la perturbación viene dada por un ruido blanco coloreado por el polinomio

. Este algoritmo, al igual que otros que usan el modelo de función de

transferencia, se puede implementar fácilmente en forma adaptativa usando un

algoritmo de identificación en línea como los mínimos cuadrados recursivos.

9.4 CONTROL PREDICTIVO GENERALIZADO (GPC)

La idea básica del GPC es calcular una secuencia de futuras acciones de control

de tal forma que minimice una función de coste multipaso. El índice a minimizar es

una función cuadrática que mide por un lado, la diferencia entre la salida predicha

del sistema y una cierta trayectoria de referencia hasta el horizonte de predicción,

y por otro el esfuerzo de control necesario para obtener dicha salida.

8.4.1 Formulación del control predictivo generalizado. El GPC utiliza un

Modelo Autorregresivo de Media Móvil (Controller Auto-Regressive Moving-


Average CARMA). Para aplicaciones industriales en las que las perturbaciones

son no-estacionarias resulta más conveniente el uso de un modelo CARMA

integrado, dando lugar al CARIMA, que viene descrito por [8.2]:

En donde:

Para simplificar se considera que , así la ecuación 8.15 se puede


El algoritmo del Control Predictivo Generalizado consiste en aplicar una secuencia

de señales de control que minimice una función de coste de la forma:

En donde:

: Es la predicción óptima de la salida del proceso pasos adelante.

: Horizonte mínimo de coste. (Horizonte mínimo de predicción).

: Horizonte máximo de coste. (Horizonte máximo de predicción).

: Horizonte de control.

y :Secuencias de ponderación. En la práctica y se toma

como parámetro de diseño.

: Es la trayectoria futura de referencia o Set-point.

El objetivo es el cálculo de la secuencia de control futura de tal

manera que la salida futura del proceso permanezca se aproxime lo mejor

posible a . Esto se logra minimizando la función de costo dada en la

ecuación 8.16

8.4.2 Predicción óptima. Para minimizar la función de costo, es necesario

obtener primero la predicción óptima de en el intervalo .


Aplicando el algoritmo de la división, el último término de la ecuación 6.16, se

puede escribir en la forma:

Para simplificar se utiliza: , , ,

Entonces:

Haciendo:

Multiplicando la ecuación 8.15 con por se obtiene:

Despejando

Haciendo resulta:

Los polinomios y se pueden obtener recursivamente, de forma que los

nuevos valores en el paso ( y sean función de los del paso .

La mejor predicción de se obtiene cuando , es decir:

El conjunto de las predicciones óptimas es:

La ecuación 8.23 se puede escribir en forma matricial así:


Donde:

Los dos últimos términos de la ecuación 8.24 dependen solo del pasado por lo

tanto, pueden agruparse en un solo término , dando lugar a:

8.4.3 Obtención de la ley de control. La función de costo a minimizar propuesta

para el control predictivo generalizado, según la ecuación 8.17 es [8.3]:

Reemplazando en esta ecuación y con se obtiene:

La ecuación anterior se puede escribir como:

Factorizando la expresión anterior resulta:

Haciendo:

Se obtiene:


La ecuación 8.27 debe ser un mínimo, el cual se obtiene derivando la función con

respecto a la variable e igualar el resultado a cero.

Para el cálculo de la derivada se tienen en cuenta las siguientes propiedades del

cálculo matricial:

Es decir:

Por lo tanto:

Debido a que en el instante solo se aplica al sistema de control la salida ,

solo interesa el primer elemento del vector . Por lo tanto, en la ecuación 8.28 sólo

interesa la primera fila de la matriz así, la ley de control para el

GPC queda:

Siendo , la primera fila de

EJEMPLO 8.1

Para el sistema de control de la figura 8.5, diseñe un controlador predictivo.

Asuma horizonte de predicción 3, horizonte de control 3, y periodo de

muestreo

Figura 8.5 Sistema para el ejemplo 8.1

SOLUCION: La función de transferencia de pulso para el sistema es:


Las ecuaciones para obtener la predicción son:

La ecuación de predicción está dada por:

En donde:


La ecuación anterior se puede escribir en la forma:

Finalmente, la ley de control es:

En donde es la primera fila de la matriz:

Con

Se obtiene:

Pero:

Entonces:

Tomando la transformada a la ecuación anterior:


Es decir:

La figura 8.6 muestra el diagrama en bloques del sistema con el controlador

predictivo calculado para el sistema.

Figura 8.6 Diagrama en bloques para el control predictivo del ejemplo 6.1

En la figura 8.7 se presenta la respuesta del sistema con el control predictivo con

diferentes valores de la referencia .

Figura 8.7 Respuesta del control predictivo para ejemplo 6.1

EJEMPLO 8.2

La función de transferencia de un sistema neumático está dada por:

El periodo de muestreo es de 0.5 s. Calcular para el sistema, un controlador

predictivo con , horizonte mínimo de predicción 3, horizonte máximo de

predicción 5 y horizonte de control 5.


SOLUCIÓN: La función de transferencia del sistema se puede escribir como:

En donde: , , y .

Entonces:

Entonces la de predicción entre y es:


Es decir:


En donde es la primera columna de . Con se obtiene:

Por lo tanto:



Es decir:

Finalmente:

Figura 8.8 Respuesta del sistema del ejemplo 8.2

9.5 CONTROL CON MODELO INTERNO

Los métodos de control basados en modelos, incorporan dentro del controlador un

modelo del proceso. Este tipo de control es conocido como control con modelo

interno o , por sus siglas en inglés.

El control por modelo interno (IMC) se utiliza como una alternativa al tradicional

control PID y presenta dos características relevantes: incorpora explícitamente el

modelo de la planta y el diseño del controlador está completamente ligado a dicho

modelo, esto permite que el cálculo de sus parámetros se pueda realizar de una

manera particularmente sencilla.

La figura 8.9a muestra un sistema de control realimentado en donde GP(S) es el

modelo de la planta y es el controlador del sistema. La figura 8.9b muestra el

diagrama de bloques básico del sistema de control basado en modelo, en donde

es un modelo de la planta , en la práctica se hace y

es el modelo del controlador con modelo interno . Comparando las


figuras 8.9a y 8.9b, se observa como el controlador equivalente está dado

por:

La ecuación 8.30 es la base para el diseño de los controladores del tipo PID

cuyos parámetros se calculan aplicando alguna de las técnicas de control con

modelo interno.

Figura 8.9 a) Sistema de control realimentado. b) Estructura IMC básica

Tomando como base la estructura general, Rivera, Morari y Stogestad

demostraron que para modelos simples esta estructura conduce a controladores

del tipo PID y desarrollaron un procedimiento para obtener los controladores y

lograr un cierto desempeño deseado. Para lograr la solución redefinieron el

controlador IMC como:

Donde es un filtro pasa bajo, que debe seleccionarse de manera que

garantice que la función de transferencia del controlador sea propia. El filtro

es de la forma:


EJEMPLO 8.3

Se desea diseñar un controlador PI con modelo interno para un sistema de primer

orden sin retardo. Obtener los parámetros y del controlador.

SOLUCIÓN: El modelo del sistema de primer orden sin retardo es:

La ecuación del controlador PI ideal es:

Se elige la ecuación del filtro como:

Con Se obtiene:

Reemplazando en la ecuación 6.29 resulta:

Comparando las dos ecuaciones obtenidas para el controlador GC(S) se obtiene:

Con un procedimiento similar al anterior, Rivera et al dedujeron, para diferentes

modelos de la planta, los parámetros para los controladores como se indica en la

tablas 8.1 y 8.2. Es necesario tener en cuenta que la ganancia del controlador

varía inversamente con el valor del parámetro es decir, si es pequeño la

ganancia del controlador es alta y la respuesta del sistema en lazo cerrado es

rápida y si es grande la ganancia del controlador es pequeña y la respuesta del

sistema en lazo cerrado es lenta.


Tabla 8.1 Parámetros del IMC para diferentes modelos

P

PI

PD

PID

PID

PID

La tabla 8.2 se aplica a un modelo de primer orden con retardo:

Para obtener los parámetros de dicha tabla, Rivera, Morari y Stogestad utilizan

una aproximación de Padé de primer orden para el retardo así:

Tabla 8.2 Parámetros del IMC para un modelo POR

EJEMPLO 8.4 El modelo de cierto sistema de flujo puede aproximarse al de un sistema de

segundo orden sin retardo con función de transferencia:


Obtenga para el sistema un controlador PID con modelo interno. Asuma como

periodo de muestreo . Resuelva el problema para y y

grafique las respuestas ante una entrada en escalón unitario.

SOLUCIÓN: La función de transferencia del sistema se puede escribir en la forma:

Por comparación se obtiene:

a) Los parámetros del controlador con son:

El controlador PID discreto tiene por ecuación:

La ecuación del controlador es, entonces:

b) Los parámetros del controlador con son:

Los parámetros del controlador son:

La ecuación del controlador es, entonces:


La figura 8.10 muestra la respuesta del sistema de flujo a un escalón unitario.

Como puede verse, para la respuesta del sistema es más rápida

que para el sistema con pero presenta un sobreimpulso

considerable (18%). Por lo tanto, cuando se diseñan controladores por el método

de control con modelo interno es necesario seleccionar el valor de adecuado

para que el sistema en lazo cerrado tenga un desempeño adecuado.

Figura 8.10 Respuesta del sistema con el controlador PID-IMC

9.6 DISEÑO DE COMPENSADORES POR EL MÉTODO DE RAGAZZINI

El método de síntesis directa o de Truxal-Ragazzini, permite diseñar un

controlador de modo que la secuencia de error , ante una señal de

referencia particular, sea cero tras un número de periodos de muestreo y se

mantenga así, sin oscilaciones.

Para el sistema de control discreto mostrado en la figura 8.11, la función de

transferencia de lazo cerrado es:

Si se especifica cuál debe ser el comportamiento de la planta en lazo cerrado, es

decir, si se especifica , el compensador resultante a partir de la

ecuación 8.33 es:


Figura 8.11 Sistema de control digital

Como puede verse, a partir de la ecuación 8.34, una parte del controlador cancela

los polos y ceros de la planta. El problema consiste en establecer e implementar

restricciones específicas sobre de modo que el controlador sea realizable y

que el sistema, en lazo cerrado, tenga un comportamiento adecuado. Dichas

restricciones se pueden resumir en las siguientes [8.4]:

1. Restricción de causalidad: un sistema causal o realizable es aquel que no

responde antes de ser excitado. Para que en la ecuación 8.34 sea causal,

es necesario que y tengan ceros del mismo orden en el infinito es

decir, si se expande en potencias de , el término más significativo de

en potencias de debe ser al menos tan grande como el de Si es de la forma:

En donde:

Es la ecuación característica deseada.

La restricción de causalidad implica qué:

2. Restricción de estabilidad: Si tiene polos fuera del círculo unitario, el

sistema es inestable. El controlador no debe cancelar dichos polos pues

cualquier error en la cancelación entre ceros y polos hará que con el tiempo, el

sistema se haga inestable. Entonces, para que los polos inestables se

cancelen, se deben cumplir las siguientes condiciones:


debe tener como ceros todos los polos de que estén

fuera del círculo unitario.

debe tener como ceros todos los ceros de que estén fuera del

círculo unitario.

3. Restricción de exactitud: Como es la función de transferencia del

sistema en lazo cerrado, entonces:

Si el sistema es tipo 1, con constante de error de velocidad Kv, debe tener un

error de estado estable igual a cero ante una entrada en escalón unitario y

1/Kv de error de estado estable ante una entrada en rampa unitaria, es decir:

Para un escalón unitario :

Para una rampa unitaria:

Utilizando el teorema de L'Hopital se obtiene:

La aplicación de las restricciones anteriores y el cumplimiento de las

especificaciones impuestas al sistema, permiten el diseño del compensador.

EJEMPLO 8.5

La figura 8.12 representa el esquema de una antena diseñada para rastrear un

satélite. La dinámica del sistema que describe el movimiento de la antena se

puede aproximar mediante la expresión:

Diseñar un compensador según Ragazzini de modo que el sistema, en lazo

cerrado, tenga tiempo de crecimiento de 10 seg, sobreimpulso máximo 10% y

coeficiente estático de error de velocidad igual a 2.


SOLUCION: La constante de tiempo equivalente del sistema continuo en lazo

cerrado es: . Por lo tanto, se puede tomar como periodo de muestreo

.

Figura 8.12 Antena rastreadora de satélites

La ubicación deseada para los polos de lazo cerrado está dada por:

De las condiciones del problema:

La ecuación característica deseada es, entonces:

Como el sistema es de segundo orden, debe ser de la forma:


a) Restricción de causalidad :

b) Restricción de estabilidad: no se aplica pues no tiene polos ni ceros

fuera del círculo unitario.

c) Restricción de exactitud :

Ahora se evalúa la derivada de con respecto a en , es decir:

Evaluando la expresión anterior en resulta:

Resolviendo las ecuaciones y se obtiene:

Por lo tanto:

La ecuación del controlador es:

La función de transferencia de lazo cerrado del sistema, con el controlador

diseñado, es:


La figura 8.13a corresponde a la respuesta del movimiento de la antena cuando se

le aplica un escalón unitario en la señal de referencia y la figura 8.13b representa

la acción del controlador sobre el elemento final de control de la misma. Como

puede verse, el controlador presenta oscilaciones ocultas ("efecto timbre"), debido

al polo ubicado en . Para obviar el problema se reemplaza dicho

polo por una ganancia que se obtiene haciendo en él z=1, como se indica a

continuación:

La figura 8.13c representa la respuesta del movimiento de la antena y la figura

8.13d la acción del controlador sobre el elemento final de control de la misma al

aplicar un escalón unitario en la referencia, una vez suprimido el efecto timbre que

producía el controlador.

Figura 8.13 Respuesta del movimiento de la antena y del controlador al

aplicar un escalón unitario a) y b) con efecto timbre c) y d) sin efecto timbre.


EJEMPLO 8.6

La función de transferencia de pulso de un sistema discreto en lazo abierto es:

Diseñar un controlador según el método de Ragazzini de modo que el sistema, en

lazo cerrado, tenga polos ubicados en y y error de estado estable

igual a cero ante una entrada en escalón unitario.

SOLUCIÓN: la función de transferencia del sistema tiene un cero por fuera del

círculo unitario y se puede escribir en la forma:

La ecuación característica deseada es:

Por lo tanto es de la forma:

a) Restricción de causalidad:

Entonces:

b) Restricción de estabilidad: tiene un cero inestable, por lo tanto

debe tener como cero el cero inestable de es decir:

c) Restricción de exactitud: el sistema en lazo cerrado es tipo cero, para que tenga

error cero al escalón unitario se debe cumplir que:

Por tanto:

Es decir:


La figura 8.14 muestra la respuesta del sistema con el controlador diseñado.

Figura 8.14 Respuesta del sistema con el controlador de Ragazzini


8.1 En el intercambiador de la figura 8.15 el objetivo es calentar una corriente de

proceso con temperatura de entrada mediante un flujo de vapor. La

temperatura de salida , se controla manipulando la válvula FCV que regula el

flujo de vapor al intercambiador. La temperatura de la corriente de entrada

puede variar, por lo que constituye la entrada de perturbación más importante. Se

supone que el resto de entradas se mantiene constante.

Experimentalmente se obtuvieron las funciones de transferencia de los

componentes individuales del sistema así:

Válvula de control:

0 50 100 1500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t [s]

Variable


En donde es el recorrido del vástago y la salida del controlador

Intercambiador de calor:

Función de transferencia respecto a la entrada de control (Flujo de vapor)

Función de transferencia respecto a la perturbación (temperatura de la

corriente de entrada)

Transmisor de temperatura:

a) Obtenga la función de transferencia del proceso y la función

de transferencia de la perturbación . b) Dibuje el diagrama de

bloques del sistema incluyendo los diferentes componentes del mismo y la

realimentación c) Asuma que la temperatura de la corriente de entrada permanece

constante (Perturbación igual a cero), discretice la función de transferencia del

proceso con y diseñe un controlador predictivo para el sistema.

Asuma horizonte de predicción 3 y horizonte de control 3.

Figura 8.15 Intercambiador de calor para el problema 8.1


8.2 La figura 8.16a representa un horno en el cual el material que entra a

temperatura debe salir a temperatura . En el horno se puede manipular el flujo

de combustible hacia el elemento calefactor para lograr que la temperatura final

del material alcance el valor deseado. La figura 8.16b muestra la respuesta de la

temperatura del horno al incrementar la apertura de la válvula de control de

combustible en un 10%. La temperatura se mide con un transmisor con rango de 0

a 100 ºC. El proceso se muestreo cada 0.2 min. a) Obtenga la función de

transferencia del sistema aproximándola a un sistema de segundo orden. b) Dibuje

el diagrama de instrumentación necesario para realizar el control digital de la

temperatura del horno y el diagrama de bloques correspondiente en lazo cerrado.

c) Diseñe para el sistema un controlador PI por modelo interno.

Figura 8.16 Horno para el problema 8.2


REFERENCIAS

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perspectivas. Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática. Universidad

[8.2] Camacho,E. Bordons, C. Model Predictive Control. Springer Verlag, 1999.

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[8.4] Franklin, G. Powell, D. Digital Control of Dynamic Systems. Addison Wesley,

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